SOAL-SOAL OLIMPIADE MATEMATIKADAN PENYELESAIANNYA1. Buktikanuntuksetiap bilangan real a, b berlaku ab b a 22 2 +!Bukti : ( ) ab b a b ab a b a 2 0 2 02 2 2 2 2 + + 2. Buktikanuntuksetiap bilangan real a, b dengan 0 0 b dan a berlaku abb a+2 !Bukti :( ) abb aab b a b ab a b a + + + 22 0 2 02Catatan : Bentuk abb a+2 dikenal sebagai AMGMdimana AMsingkatan ArithmeticMean sedangkan GMsingkatan GeometricMean.3. Buktikanuntuksetiap bilangan positifa, b, c dan d berlaku 44abcdd c b a+ + + !Bukti :abcd cd abcd abd c b ad c b a +++++ + +2 22 244. Buktikanuntuksetiap bilangan real a, b dan c dengan 0 0 , 0 c dan b a berlaku33abcc b a+ + Bukti :Misal 3 333y abc y abc dan x c b a xc b a + + + +Maka43 42 2 22 24x y abcx cx abx c b ax c b ax c b a ,_

+

,_

+++++ + +Karenax c b a 3 + +makay x x y x x yx x +3 443435. Buktikanuntuksetiap bilangan positifa, b, c berlaku ( ) ( ) ( ) abc b a a c c b 8 + + +!Bukti :) 3 ....(2) 2 ....(2) 1 ....(2abb acaa cbcc b+++Jika (1) x (2) x (3) maka didapat : abc c b ab a a c c b ,_

+

,_

+

,_

+2 2 22 2 2Atau( ) ( ) ( ) abc b a a c c b 8 + + +6. Jika a bilangan positif, buktikanbahwa01 +aa!Bukti :21012 012 + + ,_

aaaaaa7. Jika a dan b sembarang bilangan, buktikanbahwa2 +abba !Bukti :( ) 2 2 02 2 2 + + abbaab b a b a8. Jika a, b bilangan positifdan a +b =1 maka 21 ab!Bukti :Karena a dan b positifdan a +b =1 maka :) 2 ....( 11) 1 ....( 11ba

Jika (1) +(2) maka 212 1 2 2 21 1 + + + ab ab ab b aabb ab a9. Jika a, b, c , d bilangan positif, maka buktikan ( ) ( ) abcd cd ab bd ac 4 + +!Bukti :) 2 ....( 2 ) 1 ....( 2 + +cddcdanabba Jika (1) +(2) didapat : 4 4 + + + + + +abdccdbacddcabba( ) ( ) abcd cd ab bd acabcdcd b abc abd cd a4 42 2 2 2 + + + + +10. Untuksetiap bilangan real x, buktikanbahwa 21142+ xx !Bukti :( ) 212 1 0 1 2 0 1422 4 2 4 2 2+ + + xxx x x x x11. Untuksetiap bilangan real x, buktikanbahwa 21222++xx !Bukti : ( ) ( ) 1 4 2 4 4 4 4 0222 2 2 4 4+ + + + + x x x x x x( ) ( ) 2121 2 2 1 2 2222 22222++ + + + + xxx x x x12. Hitunglahnilai dari: 2 2 2 2 2 2 2 220051200411 ......413113121121111 + + + + + + + + + + + +Jawab :( )( )22 2 2 22 22 2 2 22 2)) 1 ( () 1 2 ( ) 1 2 () 1 (1 ) 1 (11 11++ + + + + +++ + + +++ +n nn n n n n nn nn n n nn n =( )( )( ) ) 1 ( 11111) 1 (1) 1 (1 2 3 22 2222222 3 4++ ++ ++ +++ +++ + + +n n n n n nn nn nn nn nn n n n =11 11+ +n n Jadi 2 2 2 2 2 2 2 220051200411 ......413113121121111 + + + + + + + + + + + += ,_

+ + + ,_

+ + ,_

+ + ,_

+20051200411 .....413113121121111

=( )200520042004200520042004200511 1 .... 1 1 1 + ,_

+ + + + +13. Diketahuia, b, c, d dan e adalah bilangan real. Jika a+b+c+d+e=19 dan992 2 2 2 2 + + + + e d c b atentukannilai maksimumz !Jawab : ( ) ( )0 35 38 54 396 38 36199 99 99 99 38 36199 38 3612 2 2 2 2 2 99 38 3612 2 2 2 2 2 38 3611922 22 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 22 2 2 2 22 2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + e ee e ee e e e e ed c d b c b d a c a b a e e ecd bd bc ad ac ab e e ecd bd bc ad ac ab d c b a e ed c b a e Dengan rumus abc didapat 102144 38102144 38 + e Jadi nilaimaksimume =102144 38 +14. Jika 1+2+3+4+.+n=aaa, maka tentukannilain dan aaa !Jawab : 37 ) 6 ( ) 1 (37 ) 3 ( ) 1 (237 ) 3 ( 111) 1 (2.... 3 2 1x xa n nx xa nnx xa xa aaannn + + + + + + +Ini merupakanperkalianberurutan. Jadi a =6 dan n =3615. Jika aabb =2) (xymaka tentukannilai daria, b, x dan y !Jawab : Karena 2) (xyadalah bilangan kuadrat maka angka satuannya 0, 1, 4, 5, 6 atau 9.Berartibb =00, 11, 44, 55, 66 atau 99Bilangan kuadrat bila dibagi 4 sisanya 0 (untukgenap) atau 1 (untukganjil)Bilangan habis dibagi 4 jika 2 angka terakhirhabis dibagi 4, jadi bb =44aabb =aa44 =11 x a04 maka a =7aabb =7744=288Sehingga a =7, b =4, x =8 dan y =816. Buktikanbahwa : ( )2 2 2 3 3 3 3) 1 (21141.... 3 2 11]1

+ + + + + + n n n n nBukti : Dibuktikandengan induksi matematika.Untukn =1 maka 2 3) 1 1 ( 1 .2111]1

+ benarMisal untukn =k benar maka 2 3 3 3 3) 1 (21.... 3 2 11]1

+ + + + + k k kUntukn =k +1 maka 3 3 3 3 3) 1 ( .... 3 2 1 + + + + + + k k ( )( ) ( )22 22 22 23 22 121) 2 ( ) 1 (41) 4 4 ( ) 1 (411411) 1 ( ) 1 (211]1

+ + + + + + +

,_

+ + + + +1]1

+ k kk kk k kk k kk k k17. Jika 2 2 32004 B A dimana A dan B bilangan asli, maka tentukannilaiA dan B !Jawab : 2 22 2 32 2 32 3 22 3 3 3 3 3) 2003 . 1002 ( ) 2005 . 1002 (2004 . 2003 .212005 . 2004 .212004) 1 (21) 1 (21) 1 (21) 1 (21) 1 (21) 1 ( .... 3 2 1 1]1

1]1

1]1

1]1

+ 1]1

+ +1]1

1]1

+ + + + + +n n n n nn n n n nn n n nJadi A =1002.2005dan B =1002.200318. Jika 3 3 3 3 3 3 32005 .... 6 5 4 3 2 1 + + + + A , maka tentukannilaiA !Jawab : ( )( )4009 . 1003) 2004 2005 )( 2004 2005 ( 1003) 2004 2005 ( 1003) ) 501 . 4 ( 2005 ( 1003) 1003 . 1002 .21( 16 2006 . 2005 .21) 1002 .... 3 2 1 ( 2 . 2 2005 .... 3 2 1) 2004 .... 3 2 ( 2 2005 .... 3 2 1222 2 22 2 22 23 3 3 3 3 3 3 3 33 3 3 3 3 3 3 + ,_

+ + + + + + + + + + + + + + +19.na a a a ,...., , ,3 2 1 adalah bilangan cacah yang berbeda. Jika 2005 2 .... 2 2 23 2 1 + + + +na a a a maka tentukannilai darina a a a + + + + ....3 2 1 !Jawab : 46 0 2 4 6 7 8 9 10 ....2 0 2 0 2 0 2 2 2 2 2 20051 1111101010 20053 2 10 2 4 6 7 8 9 102 + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + na a a a20. Diketahuix, y, z dan t adalah bilangan real yang tidak nol dan memenuhipersamaan :) 3 ( .... 1000) 2 ( ....1 1 1 1) 1 ( ....3 3 3 3 + + + + + +z y xt z y xt z y xTentukannilai darix +y +z +t Jawab :( ) ( )2000 21000 10003 . 33 ) ( 31 1 1 13 3 3 3 33 3 3 33 3 3 3 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +t t t t z y xt t z y xxyztxyzt z y x txyz yz xz xy z y x z y x z y xtxyzyz xz xyt xyzyz xz xyz y x21. Suatu fungsi dinyatakan sebagai e e ex fxx+ ) ( . Tentukannilai dari)20052004( ... )20052( )20051( f f f + + +Jawab :122) 1 ( ) (111 1111+ ++ ++ + ++ + ++++ + e e e e ee e e e ee e e e e e ee e e e e ee e ee e ex f x fx xx xx x x xx xxxxx1 )20051003( )20051002(..........1 )20052003( )20052(1 )20052004( )20051( + + +f ff ff f+ =100222. Diketahuia dan b adalah bilangan real yang memenuhisyarat :i. 44 32 3 ab aii. 8 32 3 b a bTentukannilai 2 2b a + !Jawab :( ) 64 9 6 8 3 8 31936 9 6 44 ) 3 ( 44 32 4 4 2 6 2 2 2 3 2 34 2 2 4 6 2 2 2 3 2 3 + + b a b a b b a b b a bb a b a a ab a ab a +( )3 3 2 2 3 2 26 4 2 2 4 62 10 2000 20002000 3 3 + + + + +b a b ab b a b a a23. Tentukanbanyaknya bilangan yang terdiridari4 digit angka abcd sehingga memenuhipersamaan abcd +1 =(ac +1)(bd +1) !Jawab :abcd +1 =(ac +1)(bd +1)1000a +100b+10c +d +1 =(10a +c +1)(10b+d +1)=100ab +10ad +10a +10bc +cd +c +10b +d +1990a +90b +9c - 100ab - 10ad - 10bc cd =0(900a 100ab) +(90a 10ad) +(90b 10 bc) +9c cd =0100a (9 b) +10a (9 d) +10b (9 c) +c (9 d) =0Jadi : b =d =c =9a =1, 2, 3, ., 9Sehingga bilangan-bilangan itu : 1999, 2999, 3999, ., 999924. Tentukannilai dari2003 3 2 12 2004 2003 2005....2 4 352 3 242 2 13x x x x x x x x+ + + +Jawab :k k k k kk ka k b ak kkb k akbkak kk2 ). 1 () (2 ). 1 () 1 () 1 .( 2 . 2 2 ). 1 .(2++ + ++ ++jadi a b =1 karena a =2 maka b =1

,_

+ + ,_

+ ,_

+2003120032003 2003 2 2 1 12004 . 2112004 . 212003 . 22....3 . 212 . 222 . 211 . 22) 1 .( 21. 22(kk kk k25. Jika x dan y bilangan asli yang memenuhipersamaan xy +x +y =71 dan8802 2 + xy y xmaka tentukannilai 2 2y x +!Jawab :Misal xy =a dan x +y =b maka :xy +x +y =71 a +b =71 a =71 b .. (1)8802 2 + xy y xxy(x+y) =880 ab =880 . (2)Dari(1) dan (2) didapat :i.b =55dan a =16 maka 2 2y x +=( ) 2993 16 . 2 55 22 2 + xy y xii. b =16 dan a =55 maka 2 2y x +=( ) 146 55 . 2 16 22 2 + xy y x26. Tentukannilai2A dimana A adalah jumlahdarinilaimutlaksemua akar-akar persamaan :xx919911991199119++++ Jawab :383383219 3832 383 192 383 192 383 192 383 190 91 19911922 . 12++++t + AAxx xxx27. Didefinisikan3 2 3 2 3 21 2 1 1 21) (+ + + + +n n n n nn f untuksemua n bilangan asli. Tentukannilai darif(1)+f(3)+f(5)+. +f(999999)!Jawab : ( )( )y xy xy xy xy xy x y x y x y x+ + + + 333233 23233 23333331Misal : 1 1 ) 1 )( 1 (1 ) 1 ( 1 21 ) 1 ( 1 22 22 2 22 2 2 + + + + + + n xy n n n xyn x n n n yn x n n n x21 1) 1 ( ) 1 (1 1) (1) (3 3 3 3333233 2 + + ++ +n nn nn nn fy xy xy xy xn ff(1)+f(3)+f(5)+. +f(999999)=( ) ( ) ( ) ( ) ( )2999999 1000000 .... 6 8 4 6 2 4 0 23 3 3 3 3 3 3 3 3 3 + + + + + = 502100 0+28. Carilah3 bilangan asli x, y, z dimana 2004 < < < x y z dan memenuhipersamaan 5 4 3z y x +!Jawab :3 8 24 24 25 3 6 54 5 31 ) 1 ( a a x a a a a x maka a y dan a z Misaly z xa 1harus bilangan pangkat 3 seperti 1, 8, 27 dsb.Misal a =2 maka256 1 2 23 8 x 64 232 265 yz29. Tunjukkanbahwa untuksetiap bilangan asli n berlakun n n n) 4 ( 1900 25 121 + selalu habis digai 2000!Jawab :2000=125x 16Gunakan teori n nb a habis dibagi a bn n n n) 4 ( 1900 25 121 + = n n n n) 4 ( 121 25 1900 + habis dibagi 16habis dibagi 16habis dibagi 125habis dibagi 125Jadi n n n n) 4 ( 1900 25 121 + habis dibagi 125x 16 =200030. Buktikanbahwa 1998+1999x 20042 habis dibagi 7!Bukti :1998+1999x 20042 =(7n+3) +(7n+4) x (7 +1)668Kita lihat satuannya : 3 +4 x 1668 =3 +4 =7Jadi 1998+1999x 20042 habis dibagi 731. Tentukan3 bilangan asli x, y, z sehingga 200520063 33 3++z xy xJawab :( ) ( )( ) ( )2 22 23 33 3z xz x z xy xy x y xz xy x+ ++ +++Karena 2006dan 2005relatifprima, maka diantara faktor-faktorpembilangdan penyebut harus ada yang sama.x +y =x +ztidak mungkin,karena y =z.1337 668 6692005 22006 22005200620052006) ( ) )( (2 22 2 2 2 + ; + ++ ++ + +++ + + + z y x sehingga z dan yy zz yz z yy z yz xy xz y xz y x z y z yxz xy z yz xz x y xy x32. Tentukanrumus untuk) ! ( ... ) ! 3 3 ( ) ! 2 2 ( ) ! 1 1 ( n x n x x x + + + + !Jawab :( ) [ ]( ) [ ]1 )! 1 ( ! 1 )! 1 ()! 1 ( ! 1) ! )! 1 (( ... ) ! 3 ! 4 ( ) ! 2 ! 3 ( ) ! 1 ! 2 ( ) ! ( .... ) ! 3 3 ( ) ! 2 2 ( ) ! 1 1 (! 3 ! 4 ! 3 3! 2 ! 3 ) ! 2 1 ( ) ! 2 3 ( ) ! 2 1 ( ! 2 1 2 ! 2 2! 1 ! 2 ) ! 1 1 ( ) ! 1 2 ( ) ! 1 1 ( ! 1 1 1 ! 1 1 + + + + + + + + + + + + + + + n nnn n n x n x x xdst xx x x x xx x x x x33. Diketahui13361....61514131211 + + + ba dimana a relatifprimadengan b. Tunjukkanbahwa a adalah kelipatan dari2005!Jawab : )1003 . 10021....1335 . 67011336 . 6691( 20051003 . 10022005....1335 . 67020051336 . 66920051003 . 1002 1002 1003....1335 . 670670 13351336 . 669669 13361003110021....133516701) 13361669113361....67016691)6681...31211 ( )13361...31211 ()13361...3121( 2 )13361...31211 (13361....61514131211+ + + + + + ++ ++++

,_

+ + + ,_

+ +

,_

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Jadi kelipatan 2005.34. Jika xx32323232++++ maka tentukannilaix !Jawab :( ) ( ) 3 0 1 3 0 3 2322 + + x x x x xxxyang memenuhi.35. Diketahui20051002....73523120031002....5332112 2 2 2 2 2 2 2+ + + + + + + + b dan aTunjukkanbilangan bulat terdekat dari a b !Jawab :50120051003 . 10022005) 1002 2005 ( 1002200510021002) 1 ..... 1 1 1 (200510021200510022003100120031002....5253313211)20051002....735231( )20031002....533211(222 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 + + + + +

,_

+ +

,_

+

,_

+ + + + + + + + + b a36. Diketahuia, b, c, d, e dan f adalah bilangan real. Jika 64 fedcba maka tentukan3 2 23 2 24 54 5f f d d be e c c a+ + Jawab :512 644 5) 4 5 ( 644 5) 64 ( 64 . ) 64 ( 4 64 . ) 64 ( 54 54 564 6464 6464 6433 2 23 2 2 33 2 23 2 23 2 23 2 2 + + + + + + f f d d bf f d d bf f d d bf f d d bf f d d be e c c af efed cdcb aba37. Diketahui

,_

+ + + +20041... 3 2 11kkA. Tentukannilai A !Jawab :200540082005222005220042.....42323222221212 2) 1 ( 2..... 3 2 112) 1 (.... 3 2 1200412004120041 ,_

+ + ,_

+ ,_

+ ,_

+ ++ + + ++ + + + + k k kk k k k kk kk38. Jika 0 312 ) ( ,_

+ x dan xxf x f maka tentukanpenyelesaian untukf(x)=f(-x) !Jawab :22 2) ( ) (2) ( )1() 2 ....(3) ( 2 )1() 1 ......( 3 )1( 2 ) (2 22t + +xxxxxx f x fxxx f maka n dihilangkaxf Jikaxx fxfxxf x f39. Tentukannilai dari3 3y x +jika diketahui60 192+ + +y xy xdanyxy x !Jawab :Misal x +y =a dan byx maka : + + 19yxy xa +b =19 atau a =19 b (1)) 2 .........( 60 60 ) ( 602 + +ab y xyxy xy xDari(1) dan (2) didapat :i. b =4dan a =15 maka x +y =15 dan x =4y sehingga x =12 dan y =3 jadi17553 3 + y xii. b=15dan a =4 maka x +y =4 dan x =15y sehingga x =15/4dan y =jadi 6433763 3 + y x40. Tentukanpenyelesaian (x,y,z) dari sistem persamaan : ' + + + + + +191411zx x zyz z yxy y xJawab :6 , 4 54 , 2 30 15 2 141191111191111411919111112 + ,_

+

,_

+++++ + ++ + ++ + +z y xz y xx xxxxxxxxxyz z yxxz zx x zxxy xy y x41. Jika x, y, z adalah bilangan real yang memenuhipersamaan :3213 3 32 2 2 + + + + + +z y xz y xz y xMaka tentukannilai 4 4 4z y x + + !Jawab :( )21) ( 2 2 1 ) ( 22 2 2 2 2 + ++ + + + + + + + + +yz xz xyyz xz xy yz xz xy z y x z y x( )( )( ) [ ]( ) [ ]6141 .61. 2212 2) ( 2 2) ( ) ( 2) ( 2613 1 ).21( 3 3 13 ) )( ( 34 4 42 4 4 4 24 4 42 2 2 4 4 42 2 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 233 3 3 3 + +1]1

,_

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +z y xz y xz y x xyz yz xz xy z y xyz xz xy z y xz y z x y x z y x z y xxyz xyzxyz z y x yz xz xy z y x z y x42. Diketahui ( ) 81 ) 3 ( 108 ) 3 ( 54 ) 3 ( 12 3 ) (2 3 4+ + + + + + x x x x x f . Tulislah f(x)dalam bentukyang palingsederhana dan tentukanf(2005)!Jawab :( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( )( )442 3 44 3 2 2 3 4 4 42005 ) 2005 (81 ) 3 ( 108 ) 3 ( 54 ) 3 ( 12 33 3 . 3 4 3 . 3 6 3 . 3 4 3 3 3+ + + + + + + + + + + + + fxx x x xx x x x x x43. Tentukannilai x, y, z yang memenuhipersamaan 71,31,21+++ x zzxz yyzy xxy Jawab :41 1411131 13: ) 3 ( ) 2 ( ), 1 () 3 ....( 7 71 1771) 2 ....( 3 31 1331) 1 ....( 2 21 1221 + + + + + + + + + + + +zzcyybxxadidapat dan Daric az x zxx zx zzxc bz y yzz yz yyzb ay x xyy xy xxy44. Tentukanlahnilai dari ,_

,_

,_

,_

200411 ....411311211 !Jawab :2004120042003.20032002.......43.32.2145. Tentukannilai dari2005 . 20041......4 . 313 . 212 . 11+ + + +!Jawab :11 1) 1 ( 1+ + k k k k2005 . 20041......4 . 313 . 212 . 11+ + + += ,_

+ + ,_

+ + ,_

2005120041.....4131)3121(211120052004200511 46. Tentukannilai dari10000 9999 1....4 3 13 2 12 1 1++ ++++++!Jawab :10000 9999 1....4 3 13 2 12 1 1++ ++++++=( ) ( ) ( ) ( ) 99 10000 1 10000 9999 ..... 4 3 3 2 2 1 + + + + + + + + + 47. Jika 11111757++++ dcba maka tentukannilaia x b x c x d !Jawab :1 41112135111213561213652136171317631757++++ +++ ++ ++ + + Jadi a =3, b =2, c =1 dan d =4Sehingga a x b x c x d =3.2.1.4 =2447. Jika 83103 262 x z z y y x +++ maka tentukannilai dari2 2 22005 2005 2005z y xxy zx yz+ ++ +!Jawab :) 3 ........( 0 3 8 5 10 30 24 16) 2 ........( 0 9 8 6 18 16 8) 1 .......( 0 9 4 5 18 12 20 10 + + + + + + + + +z y x x z z yz y x x z y xz y x z y y xdari(1), (2) dan (3) didapat x =y =z2 2 22005 2005 2005z y xxy zx yz+ ++ + =( )200520052 2 22 2 2+ ++ +x x xx x x48. Diketahui:20041.....1005110041100312004120031.....514131211+ + + + + + + BAMaka hitunglahnilai dari2 2B A !Jawab :20041......100411003110021....3121120041....3121120041.....614121220041....312112004120031.....514131211+ + +

,_

+ + + + ,_

+ + + +

,_

+ + + + ,_

+ + + + + + + AJadi A =B maka02 2 B A50. Buktikanbahwa2! 20051.....! 31! 21! 11< + + + +!Jawab :2 1 1! 20051.....! 31! 21! 111211 021211211)211 (2121....212121! 20051.....! 31! 21! 112004 2004200420042004 3 2 1 + < + + + +< ,_

> ,_

,_

,_

+ + + + < + + + +Jadimaka Karena51. Tentukannilai dari1111....21....11112005 2004 2004 2005++++ + + ++++ e e e eJawab :1221111+ ++ ++++ x xx xx xe ee ee e2120051 111 ...... 1 1 111......111111111111....21....11110 2004 2004 2005 20052005 2004 2004 2005++ + + + + ++ + ,_

++++ ,_

+++++++ + + ++++ e e e e ee e e e52. Diketahuia, b, c, d adalah bilangan-bilangan real yang memenuhipersamaan :a +4b +9c +16d =52.(1)4a +9b +16c +25d =150..(2)9a +16b +25c +36d =800(3)Tentukannilai dari16a +25b +36c +49d !Jawab:( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )450 75 48 27 12 3 ) 2 .(2400 108 75 48 27 3 ) 3 .(25 4 27 48 . 2 1 2 3 2 2 3 3 216 12 27 . 1 1 1 3 2 1 3 3 11 3 2 3 30 1 3 2 3 32 2 2 22 2 2 22 2 2 22 2 2 2 + + + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + +d c b a x Persd c b a x Persb b b b b b b ba a a a a a a an n n nn n n n-15a +21b +27c +33d =1950Persa.(1)x1 a+ 4b + 9c+16d =52+16a +25b +36c +49d =200253.Jika 22004 1+ xmaka tentukannilaidari :2003 2004 200532003 4 4 )2000 2007 4 )x x x bx x a Jawab:0 2003 4 4. 0 2003 4 4 2004 1 4 4 )3 2000 4 2003 42000 4 4 2000 2007 2003 4 2000 2007 42003 4 4 2003 4 422004 1)2003 2004 20052003 2 22 2 32 3 2 + + + + + +x x xx x x x x bx xx x x x x x xx x x x x x a54.Jika a dan b adalah bilangan real yang memenuhipersamaan :( ) 1 611112 2 2 2 2 + + +b a b a b ab aabTentukannilai darib a1 1+ !Jawab:Misaly b a dan xab + 130516 1 1651 15 )30615 1 1561 16 ): ) 2 ( ) 1 () 2 .....( 6161.11 61 ) () 1 ......( 11 1112 2222222 2 2 2 2 + ++ + ++ + + + +abb ab ab a yababx iiabb ab ab a yababx ididapat dan Darix yxxxyxb a b a b ay x b aab55. Buktikanbahwa jika suatu bilangan kelipatan 9 maka jumlahangka-angkanya pasti kelipatan 9!Jawab:abcd =1000a +100b+10c +d =999a +a +9b +b +9c +c +d =999a +99b +9c +(a+b +c +d) =9(111a+11b +c) +(a +b +c +d) a +b +c +d =abcd 9(111a+11b +c)Karena abcd kelipatan 9 maka a +b +c +d kelipatan 9.56. Diketahuibilangan asli berurutana, b, c , d. buktikanbahwa ab +ac +ad +bc +bd +cd +1 habis dibagi 12Jawab:Hasil kali 2 bilangan asli berurutanpasti bilangan genap (kelipatan 2)Misal a =x, b =x +1, c =x +2 dan d =x +3ab +ac +ad +bc +bd +cd +1=x(x+1)+x(x+2)+x(x+3)+(x+1)(x+2)+(x+1)(x+3)+(x+2)(x+3)+1=2x +x+ 2x +2x+ 2x +3x+ 2x +3x+2+ 2x +4x+3+ 2x +5x+6+1=62x +6x+12x+12=6x(x+1)+12(x+1)Karena x(x+1)kelipatan 2 maka 6x(x+1)kelipatan 12Jadi soal kelipatan 12.57. Buktikanbahwa semua bilangan asli yang terdiridari 6 digit angka berbentukabcabc selalu habis dibagi 91 !Bukti:abcabc =100.000a+10.000b+1.000c +100a +10b +c =100100a+10010b+1001c =1001x 100a +1001x 10b +1001c =(91x 11)x 100a +(91 x 11) x 10b +(91x 11)c Jadi abcabc habis dibagi 91.58. Jika a, b, c bilangan real positifdan a +b +c =1, buktikanbahwa (1 - a)(1 b)(1 c) 8 abc !Jawab:( ) ( ) ( )( ) abc c b ac b a c a c b b amaka x x Jikaac c abc c bab b ab c aa c bc b ac b a8 ) 1 )( 1 ( 18: ) 3 ( ) 2 ( ) 1 () 3 ....( 2) 2 ....( 2) 1 ....( 211112 2 2 + + + + + + + + + + +59. Jika A =1 +(1+2)+(1+2+4)+(1+2+4+8)+..+(1+2+4+..+2 )1 n maka tentukanrumus untuknilai A !Jawab:1 +(1+2)+(1+2+4)+(1+2+4+8)+..+(1+2+4+..+2 )1 n =

,_

niikk1 112Karena 1+2+4+. 1 21 2) 1 2 ( 1 iiiSmaka :1 +(1+2)+(1+2+4)+(1+2+4+8)+..+(1+2+4+..+2 )1 n= nininiinii in1 1 1 12 1 2 1 2+ +++ + + + nin n ininnin n11 111) 2 ( 2 2 2 1 22 21 2) 1 2 ( 2..... 8 4 2 260. Jika a, b dan c bilangan real positif, buktikanbahwaabc ac c a bc c b ab b a 62 2 2 2 2 2 + + + + +!Jawab:abc ac c a bc c b ab b a maka Jikaabc c b c a c ab b aabc ac ab a bc c babc bc b a b ac c a6 ) 3 ( ) 2 ( ) 1 () 3 ....( 2 . 2) 2 ....( 2 . 2) 1 ....( 2 . 22 2 2 2 2 22 2 2 22 2 2 22 2 2 2 + + + + + + + + + + + + +61.Tentukanpenyelesaian dari sistem persamaan berikutjika diketahuia, b, c, d bilangan real.abc +ab +bc +ca +a +b +c =1. (1)bcd +bc +cd +db +b +c +d =9. (2)cda +cd +da +ac +c +d +a =9. (3)dab +da +ab +bd +d +a +b =9 . (4)Jawab:Jika pers (1), (2), (3) dan (4) semua masing-masing ruas di tambah 1, maka didapat :(a +1)(b +1)(c +1) =2(b +1)(c +1)(d +1) =10(a +1)(c +1)(d +1) =10(a +1)(b +1)(d +1) =10x( ) [ ]( )1 2 2 10 ) 1 ( 101 2 2 10 ) 1 ( 101 2 2 10 ) 1 ( 101 2 5 2 10 ) 1 ( 22 10 ) 1 )( 1 )( 1 ( 12000 ) 1 )( 1 )( 1 ( 13 33 33 33 333 + + + + + + + + + + + +c cb ba ad dd c b ad c b a

62. Jika a dan b bilangan real dan21010+++a bb aba maka tentukannilai ba!Jawab:1540 ) 1 ( 4 50 4 9 5 210 110210102 ,_

+ ,_

,_

+++ +++baataubabababababababaa bb aba63. Jika a, b, c dan d real positifdan berlakudcba