BAB 5
BAB 4RESPONS SISTEM ORDER SATUTransfer Function
Transfer function dikembangkan untuk mercury-in-glass thermometer.
Thermometer ditempatkan dalam fluida yang mengalir dengan temperatur x yang bervariasi dengan waktu. Diinginkan untuk mencari respons bacaan y untuk perubahan x.Asumsi :
1. Tahanan glass dan mercury diabaikan
2. Semua kapasitas thermal berada dalam mercury. Temperatur mercury sama pada waktu tertentu.3.Dinding glas tidak mengalami ekspansi atau kontraksi.
4.Thermometer mula-mula dalam kondisi steady-state yaitu pada t < 0, temperatur konstanSteady-state energy balance :Input Rate Output Rate = Rate of Accumulation
(1)Dimana :
A = Luas penampang bulb, ft2c = heat capacity mercury,
m = massa mercury dalam bulb, lbm.t = waktu, hrh=film keofisien perpindahan panas,
Input rate menyebabkan kenaikan energi internal mercury. Kenaikan energi internal menyebabkan perubahan temperatur dan ekspansi mercury sehingga bacaan termometer naik.Pada steady-state (dy/dt=o)
(2)Persamaan (1) dikurang persamaan (2) ;
(3)Deviation variables:
(4)
EMBED Equation.3
(5)Dimana time constant system
(6)
(Transfer Function System First order)SIFAT TRANSFER FUNCTIONTransfer Function menunjukkan hubungan output (respons) dan input (forcing function):
Transfer Function dihasilkan dari persamaan differential linear sehingga berlaku prinsip superposisi:
Dimana:
Diagram-Block Transfer Function
Transient ResponseTransient respons terhadap forcing function dapat diperoleh dari hubungan Transfer Function.Step Function sebagai Forcing Function :
x(t)
Step input
Respons lengkap
EMBED Equation.3 Contoh :Thermometer dengan time constant = 0,1 menit pada temperatur steady-state = 90 0F. Pada t = 0, thermometer ditempatkan pada temperature bath pada 100 0F. Tentukan waktu yang dibutuhkan oleh thermometer untuk mencapai 980F. Jawab:
Impulse Function sebagai Forcing Function Impulse Function dengan magnitude A
Dimana
(t)=Unit Impulse Function
Impulse Respons
EMBED Equation.3
Sinusoidal Input sebagai Forcing Function
Respons order satu terhadap Sinusoidal Forcing Function:Thermometer berada dalam keadaan kesetimbangan dengan temperature bath Xs. Pada t=0, tempertature bath bervariasi:
Dimana:
X = temperatur bath
Xs = temperature bath sebelum gangguan sinusoidal
A = Amplitudo
W = radian frequency, rad/time
Variabel Deviasi
]Trigonometric Indentity:
Contoh :Thermometer mercury (=0,1 menit) ditempatkan pada temperature bath 100 0F dan dibiarkan berada dalam keadaan kesetimbangan dengan bath. Pada t = 0. temperature bath mulai bervariasi secara simusoidal disekitar temperature rata-rata 100 0F dengan amplitude 20F. jika frequency osilasi=10/ siklus/menit, berapa phase lag. Gambarkan respons bacaan thermometer sebagai fungsi waktu.Jawab:
Response Thermometer:
Problem
Termometer mempunyai time constant 0,2 menint ditempatkan dalam temperature bath dan setelah termometer mengalami kesetimbangan dengan bath, temperatur bath dinaikkan secara linear dengan waktu pada laju 1 o/menit. Berapa selisih antara temperatur yang dibaca dan temperatur bath (a) 0,1 menit , (b) 1,0 menit setelah perubahan temperatur mulai. (c) Berapa maksimum deviasi antara temperatur yang dibaca dengan temperatur bath dan kapan ini terjadi. Liquid Level System
Gambar
(1)
Transiet mass balance disekitar tanki :
Mass flow in mass flow out =
Rate of accumulation in tank.
(2)
(3)
Pada Steady State
(4)
Persamaan (3) dikurang Persamaan (4)
(5)
Deviation Variabels :
Substitusi Deviation Variabel ke Pers (5)
(6)
Persamaan (6) menjadi:
(7)
(8)
Jika perubahan laju alir Q(t)=u(t)
Final-Value Theorem :
Transfer Function
(1)
(9)
(pada steady state)
(10)
(11)
(8)
Dari Persamaan (8)
Substitusi ke pers (11)
Steady state gain as dimensionless
Karena
Contoh 1
Tanki memiliki time constant dan
Dioperasikan pada steady-state dengan inlet flow
Pada aliran dinaikan menjadi selama 0,1 menit
dengan menambahkan air ke tanki selama peride 0,1 menit
Plot respon level tanki dan bandingkan dengan respon impulse,
GAMBAR
Input :
Respon terhadap Impulse dengan magnstudi 9
Impulse
GAMBAR
LIQUID-LEVEL PROCESS DENGAN CONSTANT-FLOW OUTLET
GAMBAR
Asumsi :
(15)
Steady-State
(16)
Persamaan (16) dikurangkan dari (15)
MIXING PROCESS
GAMBAR
Aliran berupa larutan yang mengandung garam terlarut pada laju alir volumetric Constant dengan Constant holdup volume V.
Konsentrasi garam yang masuk ke tanki = x (massa garam/volume).
Neraca massa garam :
Laju alir garam masuk- laju alir garam keluar = Laju akumulasi garam dalam tanki.
(21)
Pada Steady-State
(22)
Persamaan (22) dikurangkan dari pers (21)
(23)
LINEARISASI
Apabila parameter seperti tidak linear, maka harus dilinearkan.
Material balance disekitar tanki.
(33)
Substitusi persamaan (32) kedalam persamaan (33)
(34)
Persamaan (34) mengandung non linear term
Taylor-Series Expansion
Fungsi dapat diekspansi disekitar nilai steady state
(35)
Substitusi ke persamaan (35)
(36)
Dimana :
Substitusi persamaan (36) ke (33)
(37)
Pada Steady State
Persamaan (3) dikurang persamaan (i) :
(39)
Deviation Variables :
Persamaan (39) dapat ditulis
(ii)
Laplace Persamaan (ii) :
Dimana
GAMBAR
RESPONS SISTEM SERIE (ORDER 1)
Noninteracting System
GAMBAR
Level tidak mempengaruhi respon pada tanki 1.
Asumsi :
( Densitas konstan
( Ruas penampang tanki uniform
( Tahanan aliran linear.
Neraca pada tanki 1 :
(1)
Neraca pada tanki 2
(2)
Tahanan aliran
(3)
(4)
Persamaan (3) ditubstitusi ke pers (1)
(a)
Pada Steady-State
(b)
Persamaan (b) dikurang dari persamaan (a)
(5)
Dimana :
(2)
(2a)
Pada Steady-State
(2b)
Replace Transform
Contoh 1
Dua non interacting tank dihubungkan serie
Gambarkan respons tanki 2 jika unit change diberikan pada inlet flowrate tanki 1.
GAMBAR
Non Interacting system in series
GAMBAR
Sistem yang terdiri dari 2 sistem first-order menghasilkan respon dalam bentuk s yang menunjukkan respon berubah sangat lambat setelah pemberian step input (Transfer log).
Transfer log tidak dijumpai untuk system first-order tunggal. Laju perubahan respons maksimal pada t=0.
Transfer log meningkat dengan naiknya jumlah stage.
GAMBAR
Step respons non interacting first-order system.
Interacting System
GAMBAR
Aliran yang melalui tergantung pada selisih antara
Neraca pada tanki 1
(1)
Neraca pada tanki 2
(2)
Hubungkan flow head untuk tanki 1 :
(13)
(4)
Pada Steady-state (Pers 1 & 2) :
(14)
(15)
Pers (1) Pers (14) :
(16)
Pers (2) Pers (15) :
Dalam bentuk deviation variables :
Pers (13) & (4) menjadi :
(18)
(19)
Transformasi Pers (16) s/d (19) :
(20)
(21)
(22)
(23)
Gabung persamaan (20) s/d (23)
Untuk menghilangkan
(24)
Istilah interacting berarti loading.
Tanki kedua memberikan load (beban) kepada tanki pertama.
Efek Interacting pada Respons transient system
Anggaplah 2 sistem tanki dengan konstanta waktu sama :
Jika tanki non interacting :
(25)
Untuk unit step respon
(26)
Jika tanki interacting &
(27)
Dengan formula kuadrat,
Untuk unit step function
GAMBAR
Pada interacting, respons lebih lambat,
Aliran turun dengan naiknya level pada tanki 2.
G(s)
t
O
O
A
EMBED Equation.3
b
O
O
t
_1342941438.unknown
_1342949088.unknown
_1342954434.unknown
_1352180312.unknown
_1352181228.unknown
_1352182551.unknown
_1352183165.unknown
_1352183658.unknown
_1352186416.unknown
_1352183743.unknown
_1352183404.unknown
_1352182736.unknown
_1352182832.unknown
_1352182710.unknown
_1352182126.unknown
_1352182408.unknown
_1352182041.unknown
_1352180514.unknown
_1352181013.unknown
_1352181128.unknown
_1352180926.unknown
_1352180426.unknown
_1352180488.unknown
_1352180384.unknown
_1342956725.unknown
_1343030283.unknown
_1352180098.unknown
_1352180197.unknown
_1352180235.unknown
_1352180133.unknown
_1352179938.unknown
_1352180012.unknown
_1343033979.unknown
_1352179871.unknown
_1343030805.unknown
_1343031924.unknown
_1342958953.unknown
_1342959272.unknown
_1342959575.unknown
_1343028927.unknown
_1343030012.unknown
_1343029957.unknown
_1342959954.unknown
_1342960948.unknown
_1342959710.unknown
_1342959372.unknown
_1342959480.unknown
_1342959354.unknown
_1342959177.unknown
_1342959260.unknown
_1342959132.unknown
_1342958466.unknown
_1342958832.unknown
_1342958913.unknown
_1342958782.unknown
_1342958253.unknown
_1342958386.unknown
_1342956830.unknown
_1342956041.unknown
_1342956425.unknown
_1342956552.unknown
_1342956623.unknown
_1342956488.unknown
_1342956345.unknown
_1342956399.unknown
_1342956099.unknown
_1342955680.unknown
_1342955938.unknown
_1342955984.unknown
_1342955855.unknown
_1342954729.unknown
_1342954948.unknown
_1342955349.unknown
_1342954892.unknown
_1342954586.unknown
_1342953100.unknown
_1342953674.unknown
_1342954128.unknown
_1342954323.unknown
_1342954342.unknown
_1342954310.unknown
_1342954015.unknown
_1342954107.unknown
_1342953844.unknown
_1342953384.unknown
_1342953487.unknown
_1342953582.unknown
_1342953434.unknown
_1342953270.unknown
_1342953281.unknown
_1342953161.unknown
_1342952684.unknown
_1342952856.unknown
_1342952956.unknown
_1342953022.unknown
_1342952897.unknown
_1342952802.unknown
_1342952821.unknown
_1342952775.unknown
_1342952370.unknown
_1342952458.unknown
_1342952564.unknown
_1342952661.unknown
_1342952497.unknown
_1342952425.unknown
_1342949399.unknown
_1342952305.unknown
_1342949301.unknown
_1342943676.unknown
_1342947607.unknown
_1342948392.unknown
_1342948637.unknown
_1342948851.unknown
_1342948903.unknown
_1342948788.unknown
_1342948524.unknown
_1342948562.unknown
_1342948447.unknown
_1342947786.unknown
_1342947920.unknown
_1342948250.unknown
_1342947868.unknown
_1342947708.unknown
_1342947736.unknown
_1342947660.unknown
_1342944197.unknown
_1342946483.unknown
_1342947474.unknown
_1342947515.unknown
_1342947447.unknown
_1342944323.unknown
_1342944577.unknown
_1342944263.unknown
_1342943922.unknown
_1342944016.unknown
_1342944155.unknown
_1342943986.unknown
_1342943851.unknown
_1342943878.unknown
_1342943777.unknown
_1342942518.unknown
_1342943102.unknown
_1342943365.unknown
_1342943475.unknown
_1342943490.unknown
_1342943416.unknown
_1342943209.unknown
_1342943300.unknown
_1342943140.unknown
_1342942642.unknown
_1342942741.unknown
_1342942988.unknown
_1342942702.unknown
_1342942572.unknown
_1342942600.unknown
_1342942548.unknown
_1342941872.unknown
_1342942261.unknown
_1342942424.unknown
_1342942478.unknown
_1342942356.unknown
_1342942079.unknown
_1342942194.unknown
_1342941934.unknown
_1342941653.unknown
_1342941745.unknown
_1342941832.unknown
_1342941686.unknown
_1342941565.unknown
_1342941586.unknown
_1342941540.unknown
_1342871409.unknown
_1342872814.unknown
_1342940798.unknown
_1342941252.unknown
_1342941339.unknown
_1342941393.unknown
_1342941302.unknown
_1342941158.unknown
_1342941191.unknown
_1342940897.unknown
_1342940489.unknown
_1342940686.unknown
_1342940725.unknown
_1342940576.unknown
_1342872950.unknown
_1342940381.unknown
_1342872878.unknown
_1342871930.unknown
_1342872125.unknown
_1342872259.unknown
_1342872734.unknown
_1342872186.unknown
_1342871981.unknown
_1342872025.unknown
_1342871965.unknown
_1342871688.unknown
_1342871836.unknown
_1342871860.unknown
_1342871762.unknown
_1342871507.unknown
_1342871561.unknown
_1342871418.unknown
_1342866156.unknown
_1342868130.unknown
_1342868479.unknown
_1342870323.unknown
_1342871067.unknown
_1342871340.unknown
_1342871355.unknown
_1342871303.unknown
_1342871255.unknown
_1342870570.unknown
_1342870657.unknown
_1342870493.unknown
_1342870207.unknown
_1342870313.unknown
_1342868511.unknown
_1342868229.unknown
_1342868337.unknown
_1342868178.unknown
_1342866401.unknown
_1342867762.unknown
_1342868080.unknown
_1342867705.unknown
_1342866293.unknown
_1342866361.unknown
_1342866259.unknown
_1342853940.unknown
_1342865942.unknown
_1342866026.unknown
_1342866097.unknown
_1342865990.unknown
_1342857491.unknown
_1342863591.unknown
_1342857318.unknown
_1342853312.unknown
_1342853586.unknown
_1342853645.unknown
_1342853939.unknown
_1342853385.unknown
_1342853171.unknown
_1342853265.unknown
_1342853159.unknown
Top Related