PROBABILITAS DASARdan

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT

BAB 4

TOPIK PEMBAHASAN• Konsep Dasar Probabilitas

- Ruang sampel dan peristiwa, Probabilitas sederhana, Probabilitas gabungan.

• Probabilitas Bersyarat- Independensi statistik, Probabilitas marjinal.

• Teorema Bayes• Probabilitas variabel acak diskrit• Kovarians dan aplikasinya dalam keuangan• Distribusi binomial• Distribusi poisson• Distribusi hipergeometrik

Konsep Dasar Probabilitas

Probabilitas adalah peluang kemungkinan terjadinya sebuah peristiwa (event) yang akan terjadi di masa mendatang. Probabilitas dinyatakan antara 0 sampai 1 atau dalam persentase.

Rumus : P (E) = X/NP: ProbabilitasE: Event (Kejadian)X: Jumlah kejadian yang diinginkan (peristiwa)N: Keseluruhan kejadian yang mungkin terjadiContoh : sebuah dadu untuk keluar mata ‘lima’ saat pelemparan dadu tersebut satu kali adalah 1/6 (karena banyaknya permukaan dadu adalah 6)

Konsep Dasar Probabilitas• Ruang sampel (S) :

• Merupakan gabungan dari semua kemungkinan dalam suatu masalah probabilitas.

*CONTOH;Ruang sampel pelemparan dadu 1 kali

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}n(S) = 6

• Peristiwa (Event) :

• Merupakan himpunan bagian dari ruang sampel.

*CONTOH;- Eksperimen : melempar

dadu 1 kali - Peristiwa A : Hasil

pelemparan dadu berupa angka genap =

{ 2, 4, 6}n(A) = 3

Lanjutan

Ruang Sampel (S)• Koleksi dari semua hasil yang mungkin

- misalnya : Semua enam wajah dari dadu:

• - misalnya : Semua 52 kartu yang di tumpuk:

Konsep Dasar ProbabilitasLa

njut

an

Peristiwa (Event)• Peristiwa sederhana

- Hasil dari ruang sampel dengan satu karakteristik-misalnya: Sebuah kartu merah dari setumpuk kartu

• Peristiwa Gabungan- Melibatkan dua hasil secara bersamaan- misalnya: Sebuah as yang juga merah dari setumpuk kartu

Memvisualisasikan Peristiwa

• Tabel kontingensi

• Diagram pohon

As Bukan As Total

Hitam 2 24 26merah 2 24 26Total 4 48 52

As

kartu merah

kartu hitamBukan As

Bukan As

AsDeck penuh Kartu

Konsep Dasar ProbabilitasLa

njut

an

• Probabilitas Sederhana adalah suatu peristiwa yang hanya memuat 1 elemen

• Probabilitas Gabungan : peritiwa tidak saling bebas adalah probabilitas terjadinya dua atau lebih peristiwa secara berurutan (bersamaan) dan peristiwa-peristiwa itu saling mempengaruhi.*Jika dua peristiwa A dan B gubungan, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah P(A dan B) = P(A B) = P(A) x P(B/A)

Konsep Dasar ProbabilitasLanjutan

Peristiwa sederhana• Peristiwa dari Segitiga

Peristiwa Gabungan

Ada 5 segitiga dalam koleksi ini dari 18 objek

• Peristiwa segitiga DAN berwarna biruDua segitiga yang

berwarna biru

Peristiwa Khusus

1. Kejadian/peristiwa Kosong (Null Event)

– Club & Diamond pada tarikan 1 kartu

2. Komplemen dari peristiwa – Untuk setiap Kejadian A, Seluruh

peristiwa tidak dalam A : A’3. Peristiwa Mutually Exclusive – Peristiwa yang tidak terjadi

serentak

4. Peristiwa saling eksklusif - Dua peristiwa tidak bisa terjadi

bersama-sama*misalnya : - A: ratu wajik; B: ratu klub- Peristiwa A dan B ini saling bertolak

- Peristiwa Secara bersama lengkap - Salah satu peristiwa harus terjadi - Seperangkat peristiwa meliputi

ruang sampel secara keseluruhan*misalnya : - A: semua kartu As; B: semua kartu hitam; C: semua wajik; D: semua hati - peristiwa A, B, C dan D secara bersama lengkap - peristiwa B, C dan D juga secara bersama lengkap

Null Event

Tabel Kontingensi

As Bukan As Total

Merah 2 24 26

Hitam 2 24 26

Total 4 48 52

Sebuah Deck dari 52 KartuAs Merah

Ruang sampel

Diagram Pohon

Peristiwa yang mungkin

Deck Kartu lengkap

Kartu merah

Kartu hitam

As

Bukan As

As

Bukan As

Menghitung Probabilitas Gabungan• Probabilitas dari Peristiwa gabungan, A dan B: P(A dan B) =

P(A∩B)= jumlah hasil dari kedua A dan B

jumlah total hasil yang mungkin di ruang sampelMisalnya : P(kartu merah dan As) = 2 As Merah = 1

52 jumlah kartu 26

Peluang gabungan Dengan menggunakan tabel Kontingensi

PeristiwaPeristiwa

TotalB1 B2

A1 P(A1 dan B1) P(A1 dan B2) P(A1)A2 P(A2 dan B1) P(A2 dan B2) P(A2)

Total P(B1) P(B2) 1

Peluang gabungan Peluang Marjinal yang (sederhana)

Menghitung Probabilitas Majemuk

Probabilitas dari peristiwa senyawa, A atau B: P(A atau B) = P(A U B)

= jumlah hasil dari A atau B atau keduanyajumlah hasil dalam ruang

sampelMisalnya : P(kartu merah atau As)4 As + 26 kartu merah – 2 As merah

52 jumlah nomor pada kartu= 28 = 7 52 13

Probabilitas Majemuk (Penambahan Aturan)

P(A1 or B1 ) = P(A1) + P(B1) - P(A1 and B1)

PeristiwaPeristiwa

TotalB1 B2

A1 P(A1 and B1) P(A1 and B2) P(A1)

A2 P(A2 and B1) P(A2 and B2) P(A2)

Total P(B1) P(B2) 1

Untuk peristiwa yang mutually Eksklusif: P (A atau B) = P (A) + P (B)

Probabilitas Bersyarat

Probabilitas bersyarat peristiwa tidak saling bebas adalah probabilitas terjadinya suatu peristiwa dengan syarat peristiwa lain harus terjadi dan peristiwa-peristiwa tersebut saling mempengaruhi.

• Independensi statistik Dua peristiwa dikatakan independen (bebas) jika terjadinya atau tidak terjadinya peristiwa satu tidak mempengaruhi atau tidak dipengaruhi oleh peristiwa yang lain. Jika X dan Y merupakan dua peristiwa yang independen, maka probabilitas untuk terjadinya kedua peristiwa tersebut adalah : P(X ∩ Y) = P(X) x (Y)

• Probabilitas marjinal peristiwa tidak saling bebas adalah probabilitas terjadinya suatu peristiwa yang tidak memiliki hubungan dengan terjadinya peristiwa lain dan peristiwa tersebut saling mempengaruhi.*Jika dua peristiwa A adalah marjinal, probabilitas terjadinya peristiwa A tersebut adalahP(A) = P(B A) = P(Ai) x P(B/Ai), i = 1, 2, 3, …..

Menghitung Probabilitas BersyaratProbabilitas kejadian A mengingat bahwa peristiwa B telah terjadi:P(A | B) = P(A and B)

P(B)Misalnya:

P(Kartu merah diberikan bahwa itu adalah As)

= 2 As merah = 14 As 2

Probabilitas Bersyarat Dengan Menggunakan Tabel Kontingensi

TipeWarna

TotalMerah Hitam

As 2 2 4

Bukan As 24 24 48

Total 26 26 52

Ruang Sampel direvisi

P(As | Merah) = P(As dan Merah) = 2/52 = 2 P(Merah) 26/52 26

Probabilitas Bersyarat Statistik Independensi

• Probabilitas (peluang) bersyarat:P(A|B) = P(A and B)P(B)

• Aturan perkalianP(A and B) = P(A|B) P(B)

= P(B|A) P(A)• Kegiatan A dan B independen jikaP(A|B) = P(A)Atau P(B|A) = P(B)Atau P(A dan B) = P(A) P(B)• Peristiwa A dan B adalah independen ketika probabilitas dari satu

peristiwa, A, tidak terpengaruh oleh peristiwa lain, B.

TEOREMA BAYES

• Merupakan probabilitas bersyarat dari suatu kejadian yang terjadi setelah adanya kejadian lain.

P(B i |A) = P(A|B i)P(B i) P(A|B1)P(B1)+•••+P(A|Bk) P(Bk)= P(B i dan A) P(A)

{Kegiatan yang sama}

Misalnya: kantong A berisi 5 bola biru dan 3 bola kuning, sedangkan kantong B berisi 2 bola biru dan 6 bola kuning. Dengan teori Bayes, kita dapatkan nilai probabilitas untuk pengambilan bola biru dari kantong A adalah 5/7.

Bayes Teorema Menggunakan Tabel Kontingensi

Lima puluh persen dari peminjam melunasi pinjaman mereka. Dari mereka yang dibayar, 40% memiliki gelar sarjana. Sepuluh persen dari mereka yang gagal memiliki gelar sarjana. Berapa probabilitas bahwa peminjam yang dipilih secara acak yang memiliki gelar sarjana akan membayar kembali pinjaman?

P(R)=.50 P(C|R)=.4 P(C|Ṝ)=.10P(R|C)=? Membayar kembali Membayar kembali TOTAL

Perguruan tinggi .2 .05 .25

Perguruan tinggi .3 .45 .75

TOTAL .5 .5 1.0

||

| |

.4 .5 .2 .8.4 .5 .1 .5 .25

P C R P RP R C

P C R P R P C R P R

Probabilitas Variabel Acak Diskrit• Variabel acak :

– Hasil dari eksperimen dinyatakan secara numerik – misalnya: Aduk mati dua kali; menghitung berapa kali jumlah 4 muncul (0,

1 atau 2 kali).• Distribusi probabilitas variabel acak diskrit menggambarkan bagaimana suatu

probabilitas didistribusikan terhadap nilai-nilai dari variabel acak tersebut. Untuk variabel diskrit X, distribusi probabilitas didefinisikan dengan fungsi probabilitas dan dinotasikan sebagai p(x). Fungsi probabilitas p(x) menyatakan probabilitas untuk setiap nilai variabel acak X.

• Variabel acak diskrit:– Diperoleh dengan menghitung (1, 2, 3, dll) – Biasanya jumlah terbatas nilai yang berbeda – misalnya: Aduk koin lima kali; menghitung jumlah ekor (0, 1, 2, 3, 4, atau 5

kali).

Contoh Distribusi Probabilitas Diskrit

© 2002 Prentice-Hall, Inc. Chap 4-20

Distribusi kemungkinan NilaiKemungkinan

0 1/4 = .25

1 2/4 = .50

2 1/4 = .25

T

Acara: Aduk dua koin Menghitung jumlah ekor

T T

Distribusi Probabilitas Diskrit

• Daftar semua kemungkinan [X j, p (X j)] pasangan- X j = nilai variabel random- P (X j) = probabilitas yang terkait dengan nilai

• Mutually eksklusif (tidak ada kesamaan)

• Kolektif lengkap (tidak ditinggalkan)

0 1 1j jP X P X

T

Mengukur Summary• Nilai yang diharapkan (mean)

- Rata-rata tertimbang dari distribusi probabilitas

- Misalnya: Aduk 2 koin, menghitung jumlah ekor, menghitung diharapkan nilai

• Perbedaan – Berat rata-rata kuadrat deviasi terhadap mean –

• Misalnya Toss dua koin, menghitung jumlah ekor, varians menghitung

j jj

E X X P X

0 2.5 1 .5 2 .25 1

j jj

X P X

222j jE X X P X

22

2 2 2 0 1 .25 1 1 .5 2 1 .25 .5

j jX P X

Kovarians adalah suatu pengukur yang menyatakan variasi bersama dari dua variable acak. Kovarians antara dua variabel acak diskrit X dan Y dinotasikan dengan xy dan didefinisikan sebagai berikut dimanaXi = nilai variable acak X ke-iYi = nilai variable acak Y ke-iP(xi, yi) = probabilitas terjadinya xi dan yi

i = 1, 2, …, N

• σXY = ∑ P(X𝑖Y𝑖)X : variabel acak diskritX 𝑖 : 𝑖 th hasil dari XY : variabel acak diskritY𝑖 : 𝑖th hasil dari Y P(X𝑖Y𝑖) : probabilitas terjadinya hasil 𝑖th dari X dan hasil 𝑖th dari Y

Kovarians dan Aplikasinya dalam Keuangan

Xi – E(X)

Kovarians dan Aplikasinya dalam KeuanganNilai harapan dari penjumlahan dua variable acak adalah sama dengan penjumlahan dari

nilai harapan masing-masing variabel acak. => E(X + Y) = E(X) + E(Y)Varians dari penjumlahan dua variabel acak adalah sama dengan jumlah varians dari

masing-masing variabel ditambah dua kali kovarians.Setelah mendefinisikan kovarians, dll, maka dapat menerapkan konsep-konsep tersebut

pada studi mengenai sekelompok asset yang merujuk pada apa yang disebut sebagai portfolio. Dengan menanamkan investasi yang disebarkan pada tidak hanya satu perusahaan, investor mengkombinasikan pengembalian dan meminimumkan resiko. Dalam studi portfolio, kita menggunakan penimbang untuk setiap jenis investasi dengan proporsi asset pada investasi tersebut. Hal ini memungkinkan kita untuk menghitung portfolio expected return dan portfolio risk.Portfolio expected return untuk investasi dua asset sama dengan penimbang bagi asset X dikalikan dengan expected return dari asset X ditambah dengan penimbang bagi asset Y dikalikan dengan expected return asset Y.

E(P) = E(X) + (1 - ) E(Y)Dimana => E(P) = portfolio expected return E(X) = expected return asset X

w = proporsi nilai portfolio dari asset X E(Y) = expected return asset Y

(1 - ) = proporsi nilai portfolio dari asset Y

Lanjutan

Komputasi Mean untuk Pengembalian Investasi

Kembali per $ 1.000 untuk dua jenis investasi

InvestasiP (Xi Yi) kondisi

ekonomiDow Jones dana X

Pertumbuhan Stock Y

.2 Resesi - $ 100 - $ 200

.5 Stabil Ekonomi + 100 + 50

.3 Memperluas Ekonomi

+ 250 + 350

100 .2 100 .5 250 .3 $105XE X

200 .2 50 .5 350 .3 $90YE Y

Menghitung Variance untuk Pengembalian

Investasi

InvestasiP (Xi Yi) kondisi

ekonomiDow Jones dana X

Pertumbuhan Stock Y

.2 Resesi - $ 100 - $ 200

.5 Stabil Ekonomi

+ 100 + 50

.3 Memperluas Ekonomi

+ 250 + 350

2 2 22 100 105 .2 100 105 .5 250 105 .3

14,725 121.35X

X

2 2 22 200 90 .2 50 90 .5 350 90 .3

37,900 194.68Y

Y

Distribusi Probabilitas Binomial Digunakan untuk probabilitas yang bersifat diskrit, dengan asumsi:1. Terdapat n kejadian pada sampling variabel acak2. Hasil dari n independent antara satu dengan lainnya3. Hanya ada dua kemungkinan hasil4. Probabilitas setiap hasil konstant dari satu pengambilan sampel terhadap pengambilan sampel berikutnya

• Probabilitas keberhasilan suatu peristiwa terjadi = p

• Probabilitas tidak berhasil/kegagalan = q=1-p

• Probabilitas keberhasilan suatu peristiwa terjadi tepat x kali dalam setiap perlakuan (x berhasil dan n-x gagal) = b

Distribusi Probabilitas Binomial • 'N' uji identik

– Misalnya: 15 kali pelemparan koin; sepuluh bola lampu yang diambil dari gudang

• Dua hasil saling eksklusif pada setiap persidangan – Misalnya: Kepala atau ekor di setiap lemparan koin; bola lampu

cacat atau tidak cacat• Uji independen

– Hasil dari satu percobaan tidak mempengaruhi hasil yang lain• Probabilitas konstan untuk setiap percobaan

– Misalnya: Probabilitas mendapatkan ekor adalah sama setiap kali kita melemparkan koin

• Dua metode pengambilan sampel – Populasi tak terbatas tanpa penggantian – Populasi terbatas dengan penggantian

Lanjutan

Fungsi Distribusi Probabilitas Binomial

P(X)= n! . pˣ(1-p) ⁿ-ˣ X!(n-X)!

P(X) : probabilitas keberhasilan X diberikan n dan pX : jumlah "keberhasilan" dalam sampel (X = 0,1, ..., n)P : probabilitas dari setiap "kesuksesan“n: ukuran sampel

• Ekor di 2 lemparan dari CoinX P(X) 0 1/4 = .25

1 2/4 = .50

2 1/4 = .25

Karakteristik Distribusi Binomial• Mean

-- Misalnya:

• Varians dan Standar Deviasi-

- Misalnya:

Distribusi Binomial dalam PHStat• PHStat | probabilitas & prob.

distribusi | binomium • Misalnya di excel spreadsheet

E X np 5 .1 .5np

2 1

1

np p

np p

1 5 .1 1 .1 .6708np p

n = 5 p = 0.1

0.2.4.6

0 1 2 3 4 5X

P(X)

Microsoft Excel Worksheet

Distribusi Probabilitas PoissonDistribusi Poisson adalah suatu Observasi yang

dapat dilakukan pada kejadian diskret dalam suatu area kesempatan.

*contoh: Jumlah telepon panggilan perjam pada kantor polisi; jumlah laporan kehilangan kopor perhari pada suatu airport, dll

Merupakan pendekatan terhadap distribusi binomial jika n>> dan p<< n.p ≤10

Proses Poisson:– Peristiwa diskrit dalam "interval" • Probabilitas One Sukses dalam interval stabil• Probabilitas Lebih dari satu Sukses di interval ini adalah 0

Probabilitas keberhasilan adalah independen dari interval silang– misalnya: jumlah pelanggan tiba di 15 menit – misalnya: jumlah cacat per kasus lampu

Fungsi Distribusi Probabilitas Poisson

P (X)= e¯ 𝜆ˣ X!

P(X) : probabilitas X "sukses" diberikan 𝜆

X : jumlah "keberhasilan" per unit𝜆 : diharapkan (rata-rata) jumlah "keberhasilan“𝑒 : 2,71828 (basis log alamiah)

• Misalnya: Cari probabilitas untuk 4 pelanggan yang sampai di 3 menit saat jumlah keberhasilannya adalah 3,6.

3.6 43.6 .19124!

eP X

Poisson Distribusi di PHStat• PHStat | probabilitas & prob.

distribusi | Poisson • Misalnya di excel spreadsheet

Microsoft Excel Worksheet

Karakteristik Distribusi Poisson

• Mean–

• Standar Deviasi dan Variance–

1

N

i ii

E X

X P X

2

= 0.5

= 6

0.2.4.6

0 1 2 3 4 5X

P(X)

0.2.4.6

0 2 4 6 8 10X

P(X)

Distribusi Hipergeometrik

• "N" uji coba dalam sampel yang diambil dari populasi terbatas ukuran N

• Sampel diambil tanpa adanya penggantian

• Percobaan yang bergantung

• Berkaitan dengan menemukan probabilitas keberhasilan "X" dalam sampel itu di mana terdapat "A" keberhasilan di dalam populasi

Fungsi Distribusi Hipergeometrik

P(X)=

P(X) : probabilitas bahwa keberhasilan X diberikan n, N, dan A

n : ukuran sampelN : ukuran populasiA : jumlah "keberhasilan" dalam

populasiX : jumlah "keberhasilan" dalam sampelMisalnya. 3 Lampu yang dipilih dari 10.Dari 10 ada 4 rusak. Berapa probabilitasbahwa 2 dari 3 operator yang rusak?

AX

N – AN – X

Nn

4 62 1

2 .30103

P

Karakteristik Distribusi hipergeometrik

• Mean–

• Variance dan Standard Deviasi

AE X nN

22

2

1

1

nA N A N nN N

nA N A N nN N

Faktor Koreksi Hingga Populasi

Distribusi hipergeometrik di PHStat• PHStat | probabilitas & prob. distribusi | Hipergeometrik ...• Misalnya di excel spreadsheet

Microsoft Excel

Worksheet

RANGKUMAN BAB

• Dibahas konsep probabilitas dasar

– Ruang sampel dan peristiwa, probabilitas sederhana, dan probabilitas gabungan

• Probabilitas bersyarat didefinisikan

– Independensi statistik, probabilitas marjinal

• Teorema dibahas Bayes 's

• Ditujukan probabilitas dari variabel acak diskrit

• Ditetapkan kovarians dan dibahas penerapannya di bidang keuangan

• Dibahas distribusi binomial • Distribusi Poisson

ditujukan• Dibahas distribusi

hipergeometrik