Download - ATURAN TRAPESIUM

7/21/2019 ATURAN TRAPESIUM

http://slidepdf.com/reader/full/aturan-trapesium-56d9f4b9f3fd2 1/18

METODE NUMERIK

INTEGRAL NUMERIK



Definisi

mengintegrasikan = memadukan bersama = menjumlahkan total

Mengapa ada integrasi numerikKarena integrasi numerik digunakan untuk men!elesaikanintegral !ang sulit diselesaikan se"ara analitik

x

f(x)f(x)

ba

∫ b

a

dx x f )(



Definisi

#ontoh $

⇒ sulit diselesaikan se"ara analitis %denganteori kalkulus !ang ada&

( )∫ −

−2

0

122

1dx

x

e x x



Cara Penyelesaian

Melalui pendekatan kur'a

( )%(&

* + + + + +

*,-. + + + + +

*,. + + + + +

*,/. + + + + +

+ + + + +

+ + + + +

- + + + + +

0emakin ke"il selang, hasil semakin teliti karena

semakin besar selang, kesalahan semakin besar



Cara Penyelesaian

Alternati) peme"ahan %jika tidak dengan

pen!elesaian analitis& Memplot gra)ik tersebut pada kertas berpetak

segi empat %dijumlah luas setiap kotak&

Membuat segmen1segmen 'ertikal %mirip diagram

batang&, menjumlah %luas setiap segmen 'ertikal&+

Integrasi numerik



Integrasi Newton Cotes

2erhitungan integrasi numerik !ang paling

umum adalah )ormula Ne3ton #otes+

0trategi dari )ormula ini adalah mengganti!ang rumit atau data !ang hilang dengan

beberapa )ungsi aproksimasi !ang mudah

diintegrasikan+




4ika diketahui suatu )%(& pada inter'al 5a,b6,

nilai integral

bisa didekati dengan Ne3ton #otes orde n+

7entuk umum Ne3ton #otes orde n →

∫ =b

a

dx x f s )(

n

n

n

n

x a x a x a x aanf ++++= −

−

1

1

2

210)(




ba

ba

x aanf 10)( +=

( ) 3322103 x a x a x aa x f +++=

( ) 22102 x a x aa x f ++=




0emakin tinggi orde Ne3ton !ang digunakansebagai pendekatan perhitungan, akansemakin ke"il kesalahan !ang dihasilkan+

2endekatan Ne3ton #otes orde ke1n→ perlu %n89& titik+

:alam )ormula Ne3ton #otes

Metode tertutup → batas a3al dan batas akhirdiketahui Metode terbuka → batas integrasi diperluas di

luar rentangan %ekstapoksi&



Metode Traesi!"

Metode ini adalah bagian dari metode

integrasi Ne3ton tertutup dengan

menggunakan aproksimasi polinomial orde 9,

sehingga dengan aturan trapesium+

( )∫ =b

a

dx x f I 1 ⇒ Ne3ton #otes orde 9

( ) ( ) ( )

2

bf af abI +

−=⇒ Rumus ini berpadanan dengan

rumus geometri dari trapesium,

dengan lebar sebesar %b;a& dan

tinggi rata1rata ( ) ( )

2

bf af +



Metode Traesi!"

7esarn!a kesalahan untuk aturan trapesium

tunggal adalah $

adalah nilai rata1rata dari turunan ke1-

!ang dirumuskan sebagai

( )3121 abf a −′′−=ε

f ′′

( )

ab

x f

f

b

a

−=′′

∫ "



Metode Traesi!" (Ex#)

:iketahui suatu )ungsi <itung nilai analitis dari

<itung nilai integral di atas dengan aturan

trapesium tunggal pada batas ( = * sampai

dengan ( = -

<itung nilai εt dan εa

( ) ( ) x e x x f 1+=

( )∫ 2

0

dx x f




u = ( 8 9 d' = e(+d(

du = d( ' =

( ) ∫ ∫ −=+ duv v udx e x x ..1

2

0

x x edx e =

∫ ( ) ( )

( )

( )[ ] ( )[ ]0022

2

0

2

0

2

0

.10.12

]1

].11

eeee

ee x

dx ee x dx e x

x x

x x x

−+−−+=

−+=

−+=+ ∫ ∫

0ee.3 22 −−=

2

e.2= = 9,//>

0e"ara eksak




:engan aturan trapesium tunggal

( ) ( ) ( )

2

bf af abI +

−= ? b = -? a = *

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 167,232

167,22102

167,22.3.122

1.10022

0

=+−=

==+==

=+==

I

eef bf

ef af




Kesalahan

%767,56%100

778,14

167,23778,14=∗

−=

t ε

εt %tidak dalam persen&

εt = @9,//> ; -,9B/@ = >,>C




εa =




u = ( 8 d' = e(+d(

du = d( ∫ == x x

edx ev .

( ) ( ) 2

0

2

0

]..3..3 ∫ ∫ −+=+ dx ee x dx e x x x x

( )

( )[ ] ( )[ ]556,27242.5

.30.32

].3

222

0022

2

0

=−=−−=

−+−−+=

−+=

eee

eeee

ee x x x




( )

( )3.121

778,1302

556,27

abf

f

a −′′−=

=−

=′′

ε

( ) ( )

185,9

185,9

02.778,1312

1 3

=

−=

−−=