BAB I
TURUNAN/DIFFERENTATION
1.1. Turunan Fungsi
Definisi 1.1.1:
Misalkan adalah interval fungsi dan , Bilangan real L
dikatakan derivatif dari f di c jika diberikan sebarang bilangan terdapat
bilangan sehingga untuk setiap dengan C berlaku:
|f (x )− f (c )
x−c−L|<ε
.
Dalam hal ini dikatakan bahwa, f diferensiabel di c, dan L ditulis dengan .
Dengan kata lain, derivatif dari f di c diberikan oleh limit
f ' (c )=limx→c
f ( x )−f (c )x−c
asalkan limitnya ada. Sebagai akibat ketunggalan limit fungsi, maka derivatif (jika
ada) dari fungsi di suatu titik adalah tunggal.
Catatan: Domain fungsi f tidak harus berupa interval (karena titik c yang
diperlukan hanyalah elemen dari domain yang sekaligus titik limit dari domain
tersebut). Hanya saja, akan lebih mudah bagi pembaca untuk memahami
pengertian derivatif pada fungsi yang terdefinisi pada interval. Oleh karena itu,
pembahasan dibatasi pada fungsi yang demikian.
Contoh:
1. Jika untuk , maka untuk setiap ,
f ' (c )=limx→c
f ( x )−f (c )x−c
= limx→ c
x2−c2
x−c=lim
x→c( x+c )=2 c
Dalam hal ini, fungsi f terdefinisi pada R dan untuk .
2. Jika , maka h tidak diferensiabel di 0. Karena untuk
, sehingga tidak ada.
1
Teorema 1.1.2:
Jika fungsi differensiabel di , maka f kontinu di titik c.
Bukti: Untuk sebarang , , diperoleh
f ( x )−f (c )=( f (x )−f (c )x−c ) ( x−c )
Karena ada, maka dengan mengaplikasikan teorema perkalian limit
diperoleh
limx→ c
( f ( x )−f (c ))=(limx→c
f ( x )−f ( c )x−c ) ( limx→c
( x−c ))= f ' (c )⋅0=0
Jadi limx→ c
f ( x )= f (c ), sehingga f kontinu di c.
Kekontinuan fungsi di suatu titik tidak menjamin eksistensi derivatif fungsi di
titik tersebut. Sebagai contoh, fungsi h pada contoh 2 di atas kontinu di titik 0
tetapi h tidak diferensiabel di titik tersebut. Jadi, kekontinuan fungsi di suatu titik,
bukan syarat cukup agar fungsi tersebut diferensiabel di titik tersebut.
Teorema 1.1.3:
Jika adalah interval, , dan fungsi adalah fungsi-fungsi
yang differensiabel di c, maka
(a) Jika , maka fungsi differensiabel di c dan
(αf ' )(c )=αf ' (c )
(b) Fungsi differensiabel di c dan
( f +g ) '(c )=f ' (c )+g '(c )
(c) (Aturan perkalian) Fungsi differensiabel di c dan
( fg )' (c )=f '(c )g(c )+ f (c )g '( c )
(d) (Aturan pembagian) Jika , maka fungsi differensiabel di c , dan
2
( fg ) '(c )=
f ' (c )g( c )−f (c )g ' (c )( g(c ))2
Bukti:
(a) Jika f ' (c )=lim
x→c
f ( x )−f (c )x−c , maka
..............................terbukti.
(b) Misalkan , maka
sehingga,
3
(c) Misalkan , untuk , diperoleh
p( x )−p (c )x−c
=f ( x ) g( x )− f (c )g(c )x−c
=f ( x ) g( x )−f (c )g( x )+ f (c ) g( x )−f (c )g( c )x−c
=f ( x )−f ( c )x−c
g ( x )+ f ( c )g( x )−g(c )x−c
Karena g kontinu di c, dengan teorema 1.1.2, maka limx→ c
g( x )=g (c ). Karena f
dan g diferensiabel di c, dari teorema limit perkalian fungsi, disimpulkan bahwa
limx→ c
p ( x )−p(c )x−c
=f '(c )g( c )+ f ( c )g '( c )
Jadi diferensiabel di c dan ( fg )' (c )=f '(c )g(c )+ f (c )g '( c )terbukti.
(d) Misalkan . Karena g diferensiabel di c, maka dengan teorema 1.1.2, g
kontinu di c. Karena , maka terdapat interval dengan sehingga
untuk setiap . Untuk , , diperoleh:
Dengan memanfaatkan kekontinuan dari g di c dan bahwa f dan g diferensiabel di
c, disimpulkan bahwa
q ' (c )=limx→c
q ( x )−q (c )x−c
=f ' (c )g (c )− f (c ) g '(c )
( g( c ))2
4
Jadi diferensiabel di c dan ( f
g ) '(c )=f ' (c )g( c )−f (c )g ' (c )
( g(c ))2 terbukti.
Dengan induksi matematika teorema di atas dapat dikembangkan aturan
diferensiasi berikut.
Akibat 1.1.4:
Jika adalah fungsi-fungsi dari interval I ke R yang diferensiabel di c,
maka
(a) Fungsi diferensiabel di c, dan
,
(b) Fungsi diferensiabel di c, dan
Khususnya, jika maka (6.8) menjadi
Catatan: Jika adalah interval dan fungsi , kita telah
memperkenalkan notasi untuk menyatakan fungsi yang domainnya adalah
subset dari I dan nilainya di titik c adalah derivatif dari f di titik c. Ada
notasi lain yang kadang-kadang digunakan untuk ; sebagai contoh, ada yang
menulis Df untuk . Oleh karena itu, bentuk sifat (b) dan (c) kadang-kadang
ditulis dalam bentuk:
,
Ketika x adalah variabel bebas, dalam perkuliahan awal, pada umumnya
ditulis . Sehingga bentuk sifat (c) kadang-kadang ditulis dalam bentuk
5
.
Aturan Rantai
Teorema diferensiasi pada fungsi komposisi berikut dikenal sebagai
“Aturan Rantai”. Teorema ini memberikan bentuk derivatif dari fungsi
komposisi g ∘f .
Jika f diferensiabel di c dan g diferensiabel di , maka akan
ditunjukkan bahwa derivatif dari fungsi komposisi g ∘f di c adalah (
. Dalam hal ini dapat ditulis dengan
.
Ide dari aturan rantai didapat dari pengamatan bahwa
g ( f ( x ))−g( f (c ))x−c
=g( f ( x ))−g( f (c ))
f ( x )−f (c )⋅
f ( x )−f ( c )x−c .
Tetapi sayangnya faktor pertama dalam perkalian di atas dapat saja tidak
terdefinisi, yaitu pada saat penyebutnya bernilai 0 untuk nilai dari x
yang mendekati c dan hal ini merupakan suatu permasalahan. Hasil berikut akan
mengatasi masalah tersebut.
Teorema 1.1.5 (Aturan Rantai)
Misalkan adalah interval-interval di dalam R, dan
. Jika f diferensiabel di dan g diferensiabel di , maka fungsi
komposisi g ∘f diferensiabel di c dan
( g∘ f )' (c )=g '( f (c ))⋅f ' (c )
Bukti: Misalkan d = f(c) dan G didefinisikan pada I dengan
6
Karena g diferensiabel di d, maka diperoleh limy→ d
G( y )=g '( d )=G(d ). Jadi, G
juga kontinu di d. Sekarang, karena f kontinu di c (dengan Teorema 1.1.2) dan
dari teorema komposisi fungsi kontinu, maka G∘ f kontinu di c, yaitu
limx→ c
G∘ f ( x )=limy→d
G( y )=g '( f (c )).
Selanjutnya dari definisi G diperoleh bahwa
untuk setiap .
Oleh karena itu, jika diperoleh
g∘ f ( x )−g∘f (c )x−c
=G∘ f ( x )⋅f (x )−f (c )
x−c
Akibatnya diperoleh
limx→ c
g∘ f ( x )−g∘f (c )x−c
=g '( f (c ))⋅f '(c ).
Jadi, g∘f diferensiabel di cI dan persamaan (6.10) dipenuhi.
Jika g diferensiabel pada I dan f diferensiabel pada J, maka dengan Aturan
rantai diperoleh , yang juga dapat ditulis sebagai
D( g∘f )=((Dg)∘ f )⋅Df .
Contoh:
(a) Jika diferensiabel pada I dan untuk , maka
Sehingga dengan Aturan rantai diperoleh
( g∘ f )' (x )=g '( f ( x ))⋅f '( x )
7
untuk Oleh karena itu diperoleh untuk semua
(b) Misalkan diferensiabel pada I, ,dan untuk
Jika untuk , maka , . Sehingga diperoleh
( 1f ) ' ( x )=(h ∘f )' ( x )=h ' ( f ( x )) f ' ( x )=−
f ' ( x )( f ( x ))2 untuk
(c) Jika dan untuk maka dan
untuk . Dengan menggunakan fakta ini dan definisi
tan x=sin xcos x
, sec x= 1cos x
untuk , maka dengan mengaplikasikan Aturan Pembagian,
diperoleh
D tan x=(cos x )(cos x )−(sin x )(−sin x )
(cos x )2= 1(cos x )2
=(sec x )2
dan
D sec x=0−1(−sin x )
(cos x )2=sin x( cos x )2
=(sec x )( tan x )
untuk .
Fungsi Invers
Teorema 1.1.6 Misalkan adalah interval dan fungsi monoton
murni dan kontinu pada I. Misalkan dan monoton murni dan
merupakan fungsi invers kontinu dari f. Jika f diferensiabel di dan
, maka g diferensiabel di , dan
g '(d )= 1
f '( c )= 1
f '( g(d ))
Bukti:
Untuk didefinisikan
8
H ( y )=f ( g( y ))−f ( g(d ))
g ( y )−g( d )
Karena monoton murni, maka untuk dengan
, sehingga H well-defined pada J. Juga karena , maka diperoleh
H ( y )= y−dg ( y )−g( d ) ,
sehingga untuk .
Akan dibuktikan bahwa limy→ d
H ( y )=f ' (c ). Diberikan sebarang .
Karena f diferensiabel di , maka terdapat sehingga untuk
, berlaku
|f (x )−f (c )
x−c−f ' (c )|<ε
.
Tetapi karena g kontinu di , maka untuk di atas, terdapat
sehingga untuk berlaku
.
Karena g satu-satu dan , diperoleh untuk
. Hal ini mengakibatkan
|H ( y )− f ' (c )|=|f ( g( y ))−f ( g(d ))
g ( y )−g (d )−f ' (c )|<ε
apabila . Karena sebarang, maka limy→ d
H ( y )=f ' (c ).
Tetapi, telah diketahui sebelumnya bahwa untuk . Karena
g ( y )−g (d )y−d
= 1H ( y )
untuk , maka disimpulkan bahwa
limy→ d
g( y )−g(d )y−d
=limy→d
1H ( y )
= 1limy→ d
H ( y )= 1
f ' (c )
Jadi, ada dan nilainya sama dengan
Teorema 1.1.7
9
Misalkan adalah interval dan fungsi monoton murni pada I.
Misalkan dan merupakan fungsi invers dari f. Jika f
diferensiabel pada I dan untuk , maka g diferensiabel pada J, dan
g '= 1
f ' ∘g
Bukti: Jika f diferensiabel pada I, menurut Teorema 6.1.3 maka f kontinu pada
I. Sehingga dengan Teorema Invers Kontinu, fungsi invers g kontinu pada J.
Selanjutnya dengan Teorema 1.1.6, maka persamaan g '= 1
f ' ∘g dipenuhi.
Catatan: Jika dan fungsi-fungsi yang monoton murni pada
Teorema 1.1.7. Telah ditunjukkan bahwa jika untuk , maka g
diferensiabel pada J dan persamaan teorema 1.1.7 dapat ditulis sebagai
untuk y J
atau dalam bentuk
untuk x I.
Dapat juga ditulis dalam bentuk .
Contoh
Misalkan bilangan genap, , dan untuk . Dapat
ditunjukkan bahwa f naik murni dan kontinu pada I, sehingga untuk ,
fungsi invers juga merupakan fungsi naik murni dan kontinu pada J.
Lebih lanjut, diperoleh untuk . Akibatnya, jika , maka
ada, dan
g '( y )= 1f '( g( y ))
= 1
n( g( y ))n−1= 1
n ( y1/n)n−1= 1
ny(n−1)/n.
Oleh karena itu dapat disimpulkan bahwa
10
g '( y )=1
ny(1 /n )−1
untuk .
Tetapi, g tidak diferensiabel di 0.
1.2 Teorema Nilai Rata-rata
Teorema Nilai Rata-Rata, yang menghubungkan nilai dari suatu fungsi
dengan nilai dari derivatifnya, merupakan salah satu hasil analisis real yang
banyak manfaatnya. Pada subbab ini akan dijelaskan teorema penting tersebut
beserta beberapa contoh aplikasinya.
Akan dimulai dengan melihat hubungan antara ekstrim relatif dari suatu
fungsi dengan nilai dari derivatifnya. Ingat kembali bahwa fungsi f : I
dikatakan mempunyai maksimum relatif [atau minimum relatif] di jika
terdapat persekitaran dari c sehingga [atau ]
untuk semua x di dalam . Fungsi f dikatakan mempunyai ekstrim relatif di
jika f mempunyai maksimum relatif atau minimum relatif di c.
Teorema 1.2.1 (Teorema Ekstrim Dalam)
Misalkan c adalah titik dalam dari interval I dan mempunyai ekstrim
relative di c. Jika derivatif dari f di c ada, maka .
Bukti:
Akan dibuktikan untuk kasus f mempunyai maksimum relatif di c, sedangkan
untuk kasus f mempunyai minimum relatif di c dapat dibuktikan dengan cara
yang sama.
Andaikan , maka terdapat persekitaran sehingga
f ( x )−f (c )x−c
>0 untuk .
Jika , maka diperoleh
f ( x )−f (c )=( x−c )⋅f ( x )−f (c )
x−c>0 .
11
Tetapi hal ini kontradiksi dengan hipotesis bahwa f mempunyai maksimum relatif
di c. Jadi pengandaian salah.
Andaikan , maka terdapat persekitaran sehingga
untuk .
Jika , maka diperoleh
f ( x )−f (c )=( x−c )⋅f ( x )−f (c )
x−c>0 .
Hal ini juga kontradiksi dengan hipotesis bahwa f mempunyai maksimum relatif
di c. Jadi pengandaian juga salah. Jadi, haruslah .
Akibat 1.2.2
Jika kontinu pada interval I dan f mencapai ekstrim relatif di titik c
di dalam I, maka berlaku salah satu derivatif dari f di c tidak ada atau nilainya
sama dengan nol.
Untuk memperjelas pemahaman akibat 1.2.2, perhatikan contoh berikut,
jika pada I = [-1, 1], maka f mempunyai minimum relatif di ,
tetapi f tidak diferensiabel di .
Teorema 1.2.3 (Teorema Rolle)
Jika f kontinu pada interval tertutup dan diferensiabel pada interval
terbuka , dengan , maka terdapat sedikitnya satu titik c di
dalam interval terbuka sehingga . (Lihat Gambar 1.2.1)
Bukti: Jika f fungsi nol pada I, maka sebarang titik c di dalam memenuhi
kesimpulan dalam teorema. Oleh karena itu dianggap bahwa f bukan fungsi nol
pada I. Jika perlu
12
Gambar 1.2.1 Teorema Rolle
gantikan f dengan –f dan diasumsikan f nilainya ada yang positif. Dengan
Teorema Maksimum-Minimum, fungsi f mencapai maksimum di suatu titik
dengan . Karena , maka titik c haruslah berada di dalam
. Menurut yang diketahui ada. Karena f mempunyai maksimum relatif
di c, maka dengan Teorema Ekstrim Dalam 1.2.1, di simpulkan bahwa .
Berikut adalah hasil yang merupakan akibat dari Teorema Rolle, yang
dikenal sebagai Teorema Nilai Rata-rata.
Teorema 1.2.4 (Teorema Nilai Rata-Rata)
Jika f fungsi kontinu pada interval tertutup dan diferensiabel pada
interval terbuka , maka terdapat sedikitnya satu titik c di dalam
sehingga
.
Bukti:
Perhatikan fungsi yang didefinisikan pada I dengan
ϕ ( x )=f ( x )−f ( a)−f (b )−f (a )
b−a( x−a) .
13
[Fungsi adalah nilai dari selisih fungsi f dengan fungsi yang grafiknya adalah
ruas garis yang menghubungkan titik dan ; lihat Gambar 1.2.2].
Dalam hal ini hipotesis dari Teorema Rolle dipenuhi oleh , karena kontinu
pada , diferensiabel pada , dan . Oleh karena itu, terdapat
titik c di dalam sehingga
0=ϕ' (c )=f '( c )−f (b )−f (a )
b−a .
Jadi .
Interpretasi geometri dari Teorema Nilai Rata-Rata adalah bahwa terdapat
suatu titik pada kurva sehingga garis singgung di titik tersebut sejajar
dengan garis yang melalui dua titik dan .
Dari Teorema Nilai Rata-rata, dapat diambil kesimpulan mengenai sifat-
sifat dari suatu fungsi dengan menggunakan informasi yang didapat dari
derivatifnya. Hal ini dapat dilihat pada teorema berikut.
Teorema 1.2.5
Jika f kontinu pada interval tertutup , diferensiabel pada interval terbuka
, dan untuk , maka f fungsi konstan pada I.
Bukti:
Akan ditunjukkan bahwa untuk semua . Jika diberikan
sebarang , , maka dengan mengaplikasikan Teorema Nilai Rata-
Rata pada f pada interval tertutup terdapat titik c (yang bergantung pada
x) di antara a dan x sehingga
14
Gambar 1.2.2 Teorema Nilai Rata-rata.
Karena (dari hipotesis), maka disimpulkan bahwa
Karena diambil sebarang, maka untuk semua .
Akibat 1.2.6 :
Jika f dan g fungsi kontinu pada , diferensiabel pada dan
untuk semua , maka terdapat konstanta C sehingga
pada I.
Bukti:
Didefinisikan suatu fungsi sehingga
. Karena , maka , sehingga
berdasarkan teorema 1.2.5 pada . Dengan demikian
.
Contoh:
15
a x c b
(x)
Diberikan dua fungsi bernilai real f dan g yang masing-masing didefinisikan
dengan dan .
Perhatikan bahwa
Teorema 1.2.7
Jika diferensiabel pada I, maka
(a) f naik pada I jika dan hanya jika untuk semua .
(b) f turun pada I jika dan hanya jika untuk semua .
Bukti:
(a)
Misalkan untuk semua . Jika , dengan , maka dengan
mengaplikasikan Teorema Nilai Rata-Rata untuk f pada interval
terdapat titik c di antara sehingga
.
Karena dan , maka . Sehingga
Karena adalah sebarang titik di dalam I, maka f naik pada I.
16
Untuk bukti sebaliknya, misalkan f diferensiabel dan naik pada I. Untuk sebarang
, jika atau untuk , maka diperoleh
.
Akibatnya dengan teorema kemonotonan limit disimpulkan bahwa
f ' (c )=limx→c
f ( x )−f (c )x−c 0.
(b)
Misalkan untuk semua . Jika , dengan , maka
dengan mengaplikasikan Teorema Nilai Rata-Rata untuk f pada interval
terdapat titik c di antara sehingga
.
Karena dan , maka . Sehingga
Karena adalah sebarang titik di dalam I, maka f turun
pada I.
Untuk bukti sebaliknya, misalkan f diferensiabel dan turun pada I. Untuk
sebarang , jika atau untuk , maka diperoleh
.
Akibatnya dengan teorema kemonotonan limit disimpulkan bahwa
.
Fungsi f dikatakan naik murni pada interval I jika untuk sebarang titik
, dengan maka Selanjutnya akan ditentukan syarat
cukup bagi suatu fungsi agar mempunyai ekstrim relatif di titik dalam pada suatu
interval. Kondisi tersebut lebih dikenal sebagai Uji Derivatif Pertama.
17
Teorema 1.2.8 (Uji Derivatif Pertama untuk Ekstrim)
Misalkan f fungsi kontinu pada interval dan c titik dalam dari I. Jika f
diferensiabel pada dan , maka:
(a) Jika terdapat persekitaran sehingga untuk
dan untuk , maka f mempunyai maksimum
relatif di c.
(b) Jika terdapat persekitaran sehingga untuk
dan untuk , maka f mempunyai minimum relatif di c.
Bukti:
(a) Jika , maka menurut Teorema Nilai Rata-Rata terdapat titik
sehingga . Karena , maka
untuk . Dengan cara yang sama (tunjukkan) akan diperoleh
untuk . Jadi f mempunyai maksimum relatif di c.
(b) Bukti menggunakan cara yang sama seperti pada (a).
Kebalikan dari Uji Derivatif Pertama 1.2.8 tidak benar. Sebagai contoh,
fungsi yang didefinisikan dengan
mempunyai minimum global di tetapi bernilai positif dan negatif di
sekitar titik .
Ketaksamaan
Salah satu kegunaan dari Teorema Nilai Rata-Rata adalah untuk
memperoleh beberapa ketaksamaan. Ketika informasi mengenai derivatif dari
18
suatu fungsi diberikan, informasi tersebut dapat digunakan untuk mengambil
kesimpulan mengenai beberapa sifat dari fungsi itu sendiri.
Contoh :
(a) Fungsi eksponensial mempunyai derivatif untuk semua
. Oleh karena itu untuk , dan untuk Dari
hubungan tersebut dapat digunakan untuk menurunkan ketaksamaan
untuk (*)
dengan kesamaannya akan diperoleh jika dan hanya jika .
Jika , maka kedua ruas ketaksamaan bernilai 1. Jika , dengan
menggunakan Teorema Nilai Rata-Rata 6.2.4 terhadap fungsi f pada interval
, maka terdapat c dengan sehingga
.
Karena dan , maka untuk . Argumen yang sama juga
digunakan untuk menghasilkan ketaksamaan yang sama untuk Jadi
ketaksamaan (*) dipenuhi untuk semua x, dan kesamaan akan diperoleh hanya jika
.
(b) Fungsi mempunyai derivatif untuk semua Jelas
bahwa untuk semua Akan ditunjukkan bahwa
untuk semua . (**)
Pertama, jika diaplikasikan Teorema Nilai Rata-Rata terhadap g pada interval
, dengan , diperoleh
19
untuk suatu c diantara 0 dan x. Karena dan , maka
. Karena kesamaan dipenuhi untuk , maka ketaksamaan (**)
dipenuhi.
(c) Jika bilangan real sehingga , dan , maka
. (#)
Misalkan untuk , maka . Sehingga
untuk dan untuk . Akibatnya,
untuk , dan jika dan hanya jika x = 1. Oleh karena itu, jika
dan , maka
.
Khususnya, jika diambil dan kedua ruas dikalikan dengan b, diperoleh
ketaksamaan (#) yang kesamaannya dipenuhi jika dan hanya jika a = b.
Sifat Nilai Antara dari Derivatif
Pada bagian ini akan dipelajari Teorema Darboux. Dimulai dengan jika f
fungsi diferensiabel di setiap titik dari suatu interval I, maka fungsi
mempunyai Sifat Nilai Antara. Hal ini berarti bahwa, jika mempunyai nilai A
dan B, maka juga mengambil semua nilai diantara A dan B. Pembaca akan
menyadari bahwa sifat ini merupakan salah satu konsekuensi dari kekontinuan
yang telah ditetapkan pada Teorema Nilai Antara Bolzano. Hal yang luar biasa
adalah bahwa derivatif yang tidak kontinu juga dapat memenuhi sifat ini.
Lemma 1.2.11
Jika adalah interval, diferensial di c, maka:
(a) Jika , maka terdapat bilangan sehingga untuk
dengan .
20
(b) Jika , maka terdapat bilangan sehingga untuk
dengan
Bukti:
(a) Karena limx→ c
f ( x )−f (c )x−c
=f ' (c )>0, maka terdapat sehingga untuk
, , berlaku
f ( x )−f (c )x−c
>0.
Akibatnya, untuk dengan , maka diperoleh
.
Jadi, jika dengan , maka .
(b) Bukti menggunakan cara yang sama dengan (a).
Teorema 1.2.12 (Teorema Darboux)
Jika f diferensiabel pada dan k bilangan diantara dan ,
maka terdapat paling sedikit satu titik sehingga .
Bukti:
Misalkan . Definisikan g pada I dengan untuk
. Mudah difahami bahwa g kontinu pada I, sehingga ia mencapai maksimum
pada I. Karena , maka dengan Lemma 1.2.11 (a) maksimum
dari g tidak terjadi di . Serupa, karena , maka dengan
Lemma 1.2.11 (b) maksimum dari g tidak terjadi di x = b. Oleh karena itu, g
mencapai maksimum di suatu titik . Akibatnya dengan Teorema 1.2.1
haruslah . Jadi .
Contoh :
21
Fungsi yang didefinisikan dengan
jelas tidak memenuhi sifat nilai antara pada interval [-1,1]. Oleh karena itu,
dengan Teorema Darboux, tidak ada fungsi f sehingga untuk semua
. Dengan kata lain, g bukan derivatif dari sebarang fungsi pada [-1,1].
1.3 Aturan L’Hospital
Marquis Guillame Franqois L’Hospital (1661-1704) adalah pengarang
buku kalkulus pertama, L’analyse des infiniment petits, yang diterbitkan pada
tahun 1696. Dia mempelajari kalkulus diferensial dari Johann Bernoulli (1667-
1748), saat pertama kali Bernoulli mengunjungi negaranya L’Hospital dan
kemudian melanjutkannya melalui surat. Buku yang dikarangnya itu merupakan
hasil studinya L’Hospital. Teorema limit, yang dikenal sebagai Aturan L’Hospital
lebih dulu muncul dalam buku tersebut, meskipun pada kenyataannya teorema itu
ditemukan oleh Bernoulli.
Pada subbab ini akan dijelaskan teorema tersebut beserta hasil-hasilnya
dan menunjukkan bagaimana teorema yang lain bisa diturunkan.
Bentuk Tak Tentu
Jika dan B=lim
x→ cg( x )
dengan , maka
limx→ c
f ( x )g ( x )
= AB .
Tetapi, jika , maka tidak ada kesimpulan yang bisa diambil. Akan dilihat
bahwa jika dan , maka limitnya tak berhingga (jika limitnya ada).
Kasus , belum pernah diberikan sebelummnya. Pada kasus ini,
limit dari pembagian f/g dikatakan tak tentu. Akan dilihat bahwa pada kasus ini
22
limitnya bisa tidak ada atau dapat bernilai sebarang bilangan real, tergantung pada
fungsi f dan g. Simbol 0/0 digunakan untuk menotasikan situasi tersebut. Sebagai
contoh, jika a adalah sebarang bilangan real, dan jika didefinisikan f ( x )=αx dan
g( x )=x , maka
limx→0
f ( x )g ( x )
=limx→0
αxx=lim
x→0α=α
.
Oleh karena itu bentuk tak tentu bisa saja menghasilkan sebarang bilangan real a
sebagai limitnya.
Bentuk tak tentu yang lain disajikan dengan simbol ∞/∞ ,0⋅∞ , 00 ,1∞ , ∞0 ,
dan ∞−∞ . Tetapi perhatian akan lebih difokuskan pada bentuk 0/0 dan ∞/∞ ,
karena bentuk yang lain biasanya dapat diturunkan dari kedua bentuk tak tentu
tersebut dengan menggunakan manipulasi logaritma, eksponensial, atau aljabar.
Aturan L’Hospital Bentuk 0/0
Untuk menunjukkan bahwa kegunaan diferensiasi dalam konteks ini
merupakan hal yang biasa dan bukan hal yang baru, akan diberikan terlebih
dahulu hasil dasarnya dengan menggunakan definisi dari derivatif.
Teorema 1.3.1
Misalkan f dan g terdefinisi pada , f (a )=g(a )=0 , dan misalkan g( x )≠0
untuk . Jika f dan g diferensiabel di a dan g '(a )≠0 , maka limit dari
ada nilainya sama dengan f ' (a )/g ' (a ). Jadi,
Bukti: Karena f (a )=g(a )=0 , maka pembagian f ( x )/ g( x ) dapat dituliskan
sebagai
23
f ( x )g ( x )
=f (x )− f (a )g (x )−g(a )
=
f ( x )−f ( a)x−a
g( x )−g (a )x−a
.
Dengan mengaplikasikan teorema pembagian limit diperoleh
Catatan: Hipotesis sangat penting di sini. Sebagai contoh, jika
dan untuk xR, maka , sedangkan .
Dengan menggunakan cara yang sama, limit berikut dapat dicari
limx→0
x2+xsin 2 x
=2⋅0+12cos 0
=12
.
Untuk menentukan limit dimana f dan g tidak diferensiabel di a,
diperlukan hasil yang yang lebih umum dari Teorema Nilai Rata-Rata.
Teorema 6.3.2 (Teorema Nilai Rata-Rata Cauchy)
Jika f dan g kontinu pada , diferensiabel pada , dan g '( x )≠0 untuk
semua , maka terdapat sehingga
f (b )−f (a )g (b )−g(a )
=f ' (c )g ' (c )
.
Bukti:
Sebagaimana pembuktian Teorema Nilai Rata-Rata, didefinisikan suatu fungsi
yang memenuhi Teorema Rolle. Pertama, karena g '( x )≠0 untuk setiap ,
maka dengan Teorema Rolle g(a )≠g (b) . Untuk , didefinisikan
h( x )=f (b)−f ( a)g (b)−g(a )
( g( x )−g(a ))−( f ( x )−f (a )) .
24
Mudah difahami bahwa h kontinu pada , diferensiabel pada , dan
. Oleh karena itu dengan Teorema Rolle, terdapat titik
sehingga
0=h '(c )=f (b)−f (a)g (b)−g(a )
g '(c )−f ' (c ).
Karena g '( x )≠0 , maka dengan membagi persamaan di atas dengan g '(c ) akan
diperoleh hasil yang diinginkan.
Catatan:
Teorema di atas mempunyai interpretasi geometri yang mirip dengan Teorema
Nilai Rata-Rata 6.2.4. Fungsi f dan g dapat dipandang sebagai kurva dalam bidang
dengan memakai persamaan parameter dengan
Sedangkan kesimpulan dari teoremanya yaitu terdapat titik pada kurva
untuk suatu , sehingga gradien garis singgung di titik tersebut sama
dengan gradien garis lurus yang melalui titik dan .
Perhatikan jika , maka Teorema Nilai Rata-rata Cauchy menghasilkan
Teorema Nilai Rata-Rata 1.2.4.
Berikut ini diberikan hasil utama yang lebih dikenal sebagai Aturan
L`Hospital. Pembaca harus mengamati bahwa hal ini berbeda dengan Teorema
6.3.1, yaitu tidak diperlukan asumsi bahwa f diferensiabel di titik a.
Teorema 1.3.3 (Aturan L’Hospital)
Jika f dan g fungsi kontinu pada , diferensiabel pada , f(a) = g(a) = 0,
dan g( x )≠0 , dan g '( x )≠0 untuk , maka
(a) Jika untuk L , maka .
(b) Jika (atau −∞ ), maka (atau −∞ ).
25
Bukti:
(a) Diberikan sebarang . Dari yang diketahui terdapat sehingga untuk
berlaku
|f '( x )g ' ( x )
−L|<ε ..
Untuk sebarang x yang memenuhi diperoleh suatu titik c x (dengan
Teorema Nilai Rata-Rata Cauchy) sehingga dan
f ( x )g ( x )
=f ' (cx )g ' (cx )
.
Karena c x memenuhi , dengan ketaksamaan sebelumnya
mengakibatkan
|f ( x )g( x )
−L|=|f ' (cx )g ' (cx )
−L|<ε .
Karena hal ini benar untuk semua x dengan , maka dapat
disimpulkan
.
(b) Hanya dibuktikan untuk kasus +¥. Diberikan sebarang . Terdapat
sehingga untuk berlaku
.
Untuk setiap x yang demikian, dapat diaplikasikan Teorema Nilai Rata-Rata
Cauchy 1.3.2 untuk memperoleh c x sehingga dan
f ( x )g ( x )
=f ' (cx )g ' (cx )
>K .
Karena K sebarang, maka disimpulkan bahwa .
26
Contoh:
adalah bentuk tak tentu 0/0.
Maka
Teorema 1.3.4
Misalkan f dan g fungsi kontinu dan diferensiabel pada , dan
limx→∞
f ( x )=limx→∞
g( x )=0 dengan g '( x )≠0 untuk , maka
limx→∞
f (x )g( x )
= limx→∞
f ' ( x )g ' (x )
.
Bukti:
Dengan mengambil t=1/ x , pada interval didefinisikan fungsi F dan G
dengan
dan
.
Perhatikan bahwa dan Selanjutnya fungsi F
dan G memenuhi syarat hipotesis pada Teorema 1.3.3. Untuk , dengan
Aturan Rantai 1.1.5 diperoleh F ' ( t )=(−1/ t2) f ' (1/ t ) dan G ' ( t )=(−1/ t2 )g ' (1/ t ). Sehingga dengan Teorema 1.3.3 disimpulkan bahwa
27
Contoh
(a)
Perhatikan bahwa penyebut tidak diferensiabel di x = 0 sehingga Teorema
1.3.1 tidak dapat diaplikasikan.
(b) limx→0
(1−cos x )x2
=limx→0
sin x2 x
. Pembagian pada limit kedua masih merupakan
bentuk tak tentu 0/0. Sehingga aturan L’Hospital masih dapat digunakan.
Akibatnya
limx→0
(1−cos x )x2
=limx→0
sin x2 x
=limx→0
cos x2
=12
.
(c) limx→0
( ex−1 )/ x=limx→0
ex /1=1 . Dengan cara serupa,
limx→0
ex−1−xx2
=limx→0
ex−12x
=12
.
(d) .
(e) Misalkan diketahui fungsi f dengan
.
Karena , maka f kontinu di 0.
Lebih lanjut, f juga diferensiabel di 0 dengan
.
(f) Misalkan f diferensiabel dua kali di persekitaran dari c, hitung
.
28
Limit ini adalah bentuk tak tentu 0/0 (terhadap h), sehingga
Bentuk ¥ / ¥
Teorema 1.3.6
Jika f dan g diferensiabel pada , dan , serta
g( x )≠0 dan g '( x )≠0 untuk , maka :
(a) Jika untuk , maka .
(b) Jika (atau −∞ ), maka (atau −∞ ).
Bukti:
(a) Diberikan sebarang . Dari hipotesis terdapat sehingga untuk
berlaku
|f '( x )g ' ( x )
−L|<ε .
Dipilih c1 di dalam , dan karena f mempunyai limit kanan di a, maka
dapat dipilih c2 di dalam sehingga untuk .
Selanjutnya didefinisikan fungsi F pada dengan
F ( x )=
1−f ( c1 )/ f ( x )1−g(c1)−g( x ) untuk .
29
Karena g '( x )≠0 untuk , maka untuk . Dari
definisi fungsi F, . Oleh karena itu terdapat titik c3 dengan
sehingga |F ( x )−1|<ε untuk . Jadi, jika , maka
1|F ( x )|
< 11−ε
<2 .
Perhatikan bahwa
f ( x )g ( x )
=f ( x )g (x )
⋅F (x )F (x )
=f ( x )−f ( c1)g( x )−g (c1)
⋅ 1F( x )
.
Kemudian dengan mengaplikasikan Teorema Nilai Rata-Rata Cauchy 1.3.2,
terdapat x di dalam sehingga
f ( x )g ( x )
=f ' (ξ )g ' (ξ )
⋅ 1F ( x )
.
Karena a< x<c3<c2<c1<a+δ , maka diperoleh
|
f ( x )g( x )
−L|=|f ' (ξ )g ' (ξ )
⋅ 1F ( x )
−L|
=|
f ' (ξ )g ' ( ξ )
−LF( x )|⋅|F( x )|−1
¿ {| f ' (ξ )
g ' (ξ )−L|+|L−LF ( x )|}|F( x )|−1
¿( ε+|L|ε )2={2(1+|L|)}ε .
Karena e > 0 sebarang, maka disimpulkan bahwa limx→a+
f ' ( x )g' ( x )
=L.
(b) Buktinya ditinggalkan sebagai latihan.
30
Terdapat suatu teorema yang sejalan dengan Teorema 1.3.6, yang berlaku
untuk . Hasil ini diperoleh dari Teorema 6.3.6 dengan cara yang sama
seperti ketika menurunkan Teorema 1.3.4 dari Teorema 1.3.3.
Contoh
(a) Misalkan dan perhatikan . Jika diaplikasikan modifikasi
dari Teorema 1.3.6, maka .
(b) Misalkan I = R dan perhatikan . Dalam hal ini diperoleh
.
(c) Misalkan dan perhatikan . Dengan
mengaplikasikan Teorema 1.3.6 diperoleh
limx→0+
logsin xlog x
=limx→0+
cos xsin x1/ x
= limx→0+
( xsin x )¿cos x .
Karena limx→0+
x /sin x=1 dan
limx→0+
cos x=1, maka disimpulkan
.
Bentuk-bentuk Tak Tentu yang Lain
Bentuk-bentuk tak tentu seperti 00 , dan ∞−∞ dapat
diperoleh dari bentuk tak tentu sebelumnya dengan menggunakan manipulasi
aljabar, fungsi logaritma, dan fungsi eksponensial.
Contoh
(a) Misalkan dan perhatikan
,
31
yang mempunyai bentuk tak tentu ∞−∞ . Bentuk direduksi ke bentuk 0/0,
(b) Misalkan dan perhatikan , yang mempunyai bentuk tak
tentu . Diperoleh
(c) Misalkan dan perhatikan , yang mempunyai bentuk tak tentu
. Dengan mengingat kembali aturan pada kalkulus bahwa ,
maka dari (b) dan kekontinuan fungsi untuk , diperoleh
(d) Misalkan d an perhatikan , yang mempunyai bentuk tak
tentu . Karena
(*)
dan
,
maka dengan kekontinuan di , disimpulkan bahwa =
1.4 Teorema Taylor
Nilai fungsi dari suku banyak dapat ditentukan dengan melakukan
sejumlah berhingga operasi penjumlahan dan perkalian. Tetapi terdapat beberapa
fungsi lain seperti fungsi logaritma, eksponensial dan fungsi trogonometri yang
nilainya tidak dapat ditentukan dengan mudah. Pada subbab ini akan
32
diperlihatkan bahwa banyak fungsi yang dapat dihampiri oleh suku banyak, dan
suku banyak tersebut sebagai pengganti fungsi asalnya dapat digunakan untuk
perhitungan apabila perbedaan diantara nilai fungsi asalnya dan hampirannya
dengan suku banyak cukup kecil.
Terdapat berbagai metode untuk meghampiri fungsi yang diberikan
dengan suku banyak. Salah satu cara yang paling sering digunakan adalah dengan
rumus Taylor. Nama ini diabadikan untuk menghormati seorang matematikawan
Inggris, Brook Taylor (1685 – 1731). Teorema Taylor dapat dipandang sebagai
perluasan dari Teorema Nilai Rata-Rata.
Jika fungsi f mempunyai derivatif ke-n di titik , tidak sulit untuk
mengkonstruksi suku banyak berderajat n, , sehingga dan
untuk k = 1,2,…, n. Kenyataanya suku banyak
(*)
mempunyai sifat seperti ini. Suku banyak ini disebut suku banyak Taylor ke-n
untuk f di . Suku banyak ini diharapkan akan menghampiri f di titik-titik dekat
, tetapi untuk mengukur keakuratan dari hampiran perlu informasi dari sisa
. Hasil berikut memberikan informasi demikian.
Teorema 1.4.1 (Teorema Taylor)
Misalkan , , dan sehingga f dan derivatif
kontinu pada I dan ada pada (a,b). Jika , maka untuk sebarang
terdapat titik c diantara x dan sehingga
(**)
Bukti:
Misalkan dan J interval tertutup dengan titik ujung x dan . Didefinisikan
fungsi F pada J dengan
33
untuk . Mudah difahami bahwa
.
Jika didefinisikan G pada J dengan
untuk , maka G kontinu pada J, diferensiabel diantara x dan , dan
. Akibatnya menurut Teorema Rolle 1.2.3 terdapat titik c diantara
x dan sehingga
.
Oleh karena itu,
yang memberikan persamaan (**).
Jika menotasikan suku banyak Taylor berderajat n (1) dari f , dan
untuk sisa, maka kesimpulan dari Teorema Taylor dapat dituliskan sebagai
dengan diberikan oleh
(***)
untuk suatu c diantara x dan . Formula disebut bentuk Lagrange (atau
bentuk derivatif) dari sisa.
34
Aplikasi dari Teorema Taylor
Suku sisa di dalam Teorema Taylor dapat digunakan untuk
mengestimasi error dari hampiran suku banyak Taylor terhadap f. Jika nilai n
ditentukan, maka keakuratan dari hampiran itu dapat dihitung. Sebaliknya, jika
keakuratan ditentukan lebih dahulu, maka nilai n dapat ditentukan. Contoh-contoh
berikut menjelaskan keadaan ini.
Contoh
(a) Gunakan Teorema Taylor dengan untuk menghampiri , .
Diambil fungsi , dan . Karena dan
, maka dan . Jadi
,
dengan untuk suatu c diantara 0 dan x. Jika
diambil , maka diperoleh hampiran untuk . Lebih
lanjut, karena dalam kasus ini , maka dan sehingga errornya
paling besar adalah
.
Jadi, diperoleh , yaitu diperoleh ketelitian sampai dua
tempat desimal.
(b) Hampiri bilangan e dengan error kurang dari .
Ambil fungsi , dan x = 1 di dalam Teorema Taylor. Akan
ditentukan n sehingga . Untuk melakukan ini, gunakan fakta
bahwa , untuk semua k N, dan untuk ,
maka suku banyak Taylor berderajat n adalah
,
dan sisa untuk x = 1 diberikan oleh
35
dengan . Karena , jika dan hanya jika .
Ketaksamaan terakhir ini dipenuhi untuk n = 8, sehingga diperoleh
dengan error kurang dari .
Teorema Taylor dapat juga untuk menurunkan beberapa ketaksamaan.
Contoh:
(a) Tunjukkan bahwa untuk semua
Dengan dan di dalam Teorema Taylor diperoleh
dengan
,
dan c bilangan diantara 0 dan x. Jika , maka . Lebih lanjut,
karena c dan positif, maka . Juga, jika , maka
Karena c dan negatif, maka . Oleh karena itu,
untuk .
Jika , maka dan ketaksamaan dengan sendirinya
dipenuhi. Jadi ketaksamaan di atas dipenuhi untuk semua x .
(b) Untuk sebarang k N, dan untuk semua , berlaku
.
Karena derivatif dari adalah untuk , maka suku banyak
Taylor untuk dengan adalah
dan sisanya diberikan oleh
36
untuk suatu c yang memenuhi . Jadi untuk sebarang dan
(genap), maka . Sedangkan untuk (ganjil), maka
. Akhirnya ketaksamaan di atas terbukti.
37
Top Related