Fungsi Variabel Banyak Bernilai RealTeorema Taylor
Wono Setya Budhi
KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 1 / 13
Teorema Taylor
Teorema Taylor
Salah satu pemakaian penting dari turunan order tinggi adalah penghampiran fungsi dengan polinomial derajat lebih tinggi.Untuk satu variabel, misalkan f mempunyai turunan ke k + 1 kontinu di pada interval tutup I = [p, q]Untuk bilangan a ∈ I dan x ∈ I berlaku
00 (a) (k ) (a)f (x ) = f (a) + f 0 (a) (x − a) + f
(x − a)2 + . . . + f
(x − a)k
dengan suku sisa
Rk (x ) =
2!
Z x (x − t )k
k !
f (k +1) (t ) dt
Suku sisa ini memenuhia
lim
k !
Rk (x )= 0x →a (x − a)k
+1
Bentuk ini mengatakan bahwa suku sisa lebih kecil dari (x − a)k jikaWono Setya |x −Budhi a|(KK cukupAnalisis dan keG cil.eomet, Fungsi
Variabel Banyak Bernilai Real 2 / 13
Teorema Taylor
Teorema Taylor
Salah satu pemakaian penting dari turunan order tinggi adalah penghampiran fungsi dengan polinomial derajat lebih tinggi.Untuk satu variabel, misalkan f mempunyai turunan ke k + 1 kontinu di pada interval tutup I = [p, q]Untuk bilangan a ∈ I dan x ∈ I berlaku
00 (a) (k ) (a)f (x ) = f (a) + f 0 (a) (x − a) + f
(x − a)2 + . . . + f
(x − a)k
dengan suku sisa
Rk (x ) =
2!
Z x (x − t )k
k !
f (k +1) (t ) dt
Suku sisa ini memenuhia
lim
k !
Rk (x )= 0x →a (x − a)k
+1
Bentuk ini mengatakan bahwa suku sisa lebih kecil dari (x − a)k jikaWono Setya |x −Budhi a|(KK cukupAnalisis dan keG cil.eomet, Fungsi
Variabel Banyak Bernilai Real 2 / 13
Teorema Taylor
Teorema Taylor
Salah satu pemakaian penting dari turunan order tinggi adalah penghampiran fungsi dengan polinomial derajat lebih tinggi.Untuk satu variabel, misalkan f mempunyai turunan ke k + 1 kontinu di pada interval tutup I = [p, q]Untuk bilangan a ∈ I dan x ∈ I berlaku
00 (a) (k ) (a)f (x ) = f (a) + f 0 (a) (x − a) + f
(x − a)2 + . . . + f
(x − a)k
dengan suku sisa
Rk (x ) =
2!
Z x (x − t )k
k !
f (k +1) (t ) dt
Suku sisa ini memenuhia
lim
k !
Rk (x )= 0x →a (x − a)k
+1
Bentuk ini mengatakan bahwa suku sisa lebih kecil dari (x − a)k jikaWono Setya |x −Budhi a|(KK cukupAnalisis dan keG cil.eomet, Fungsi
Variabel Banyak Bernilai Real 2 / 13
Teorema Taylor
Teorema Taylor
Salah satu pemakaian penting dari turunan order tinggi adalah penghampiran fungsi dengan polinomial derajat lebih tinggi.Untuk satu variabel, misalkan f mempunyai turunan ke k + 1 kontinu di pada interval tutup I = [p, q]Untuk bilangan a ∈ I dan x ∈ I berlaku
00 (a) (k ) (a)f (x ) = f (a) + f 0 (a) (x − a) + f
(x − a)2 + . . . + f
(x − a)k
dengan suku sisa
Rk (x ) =
2!
Z x (x − t )k
k !
f (k +1) (t ) dt
Suku sisa ini memenuhia
lim
k !
Rk (x )= 0x →a (x − a)k
+1
Bentuk ini mengatakan bahwa suku sisa lebih kecil dari (x − a)k jikaWono Setya |x −Budhi a|(KK cukupAnalisis dan keG cil.eomet, Fungsi
Variabel Banyak Bernilai Real 2 / 13
Teorema Taylor
Teorema Taylor
Salah satu pemakaian penting dari turunan order tinggi adalah penghampiran fungsi dengan polinomial derajat lebih tinggi.Untuk satu variabel, misalkan f mempunyai turunan ke k + 1 kontinu di pada interval tutup I = [p, q]Untuk bilangan a ∈ I dan x ∈ I berlaku
00 (a) (k ) (a)f (x ) = f (a) + f 0 (a) (x − a) + f
(x − a)2 + . . . + f
(x − a)k
dengan suku sisa
Rk (x ) =
2!
Z x (x − t )k
k !
f (k +1) (t ) dt
Suku sisa ini memenuhia
lim
k !
Rk (x )= 0x →a (x − a)k
+1
Bentuk ini mengatakan bahwa suku sisa lebih kecil dari (x − a)k jikaWono Setya |x −Budhi a|(KK cukupAnalisis dan keG cil.eomet, Fungsi
Variabel Banyak Bernilai Real 2 / 13
Teorema Taylor
Teorema Taylor Fungsi Dua Variabel
TheoremMisalkan f mempunyai turunan ketiga yang kontinu pada daerah tutup D dengan titik dalam yang tak kosong, maka untuk titik dalam(a, b) ∈ D dan (x , y ) ∈ D berlaku
f (x , y ) = f (a, b) + (x − a) ∂f
(a, b) + (y − b) ∂f
(a, b)∂x
2f1+ (x − a)2 ∂
y∂2f∂
2! ∂x 2 (a, b) + (x − a) (y − b)
∂x ∂y (a, b)
f2+ (y − b)2 ∂
∂y 2 (a, b) + R2 (x , y
)
dengan lim(x ,y )→(a,b) R2 (x ,y )
khk2 = 0 dan h = (x − a, y − b).
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 3 / 13
Teorema Taylor
Teorema Taylor Fungsi Dua Variabel
TheoremMisalkan f mempunyai turunan ketiga yang kontinu pada daerah tutup D dengan titik dalam yang tak kosong, maka untuk titik dalam(a, b) ∈ D dan (x , y ) ∈ D berlaku
f (x , y ) = f (a, b) + (x − a) ∂f
(a, b) + (y − b) ∂f
(a, b)∂x
2f1+ (x − a)2 ∂
y∂2f∂
2! ∂x 2 (a, b) + (x − a) (y − b)
∂x ∂y (a, b)
f2+ (y − b)2 ∂
∂y 2 (a, b) + R2 (x , y
)
dengan lim(x ,y )→(a,b) R2 (x ,y )
khk2 = 0 dan h = (x − a, y − b).
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 3 / 13
Teorema Taylor
Teorema Taylor Fungsi Dua Variabel
Proof.
Definisikan
g (t ) = f [(a, b) + t {(x , y ) − (a, b)}]
= f (a + t (x − a) , b + t (y − b))
Kemudian, gunakan teorema Taylor satu variabel untuk fungsi g di titik t = 0.
Kita menghitungg (0) = f (a, b)
g 0 (0) = ∂ f
(a, b) d ( a + t ( x − a ))
+ ∂ f
(a, b) d ( b + t ( y − b ))
x∂ dt ∂y dt
= (x − a) ∂f
(a, b) + (y − b) ∂f
(a, b)
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 4 / 13
Teorema Taylor
Teorema Taylor Fungsi Dua Variabel
Proof.
Definisikan
g (t ) = f [(a, b) + t {(x , y ) − (a, b)}]
= f (a + t (x − a) , b + t (y − b))
Kemudian, gunakan teorema Taylor satu variabel untuk fungsi g di titik t = 0.
Kita menghitungg (0) = f (a, b)
g 0 (0) = ∂ f
(a, b) d ( a + t ( x − a ))
+ ∂ f
(a, b) d ( b + t ( y − b ))
x∂ dt ∂y dt
= (x − a) ∂f
(a, b) + (y − b) ∂f
(a, b)
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 4 / 13
Teorema Taylor
Teorema Taylor Fungsi Dua Variabel
Proof.
Definisikan
g (t ) = f [(a, b) + t {(x , y ) − (a, b)}]
= f (a + t (x − a) , b + t (y − b))
Kemudian, gunakan teorema Taylor satu variabel untuk fungsi g di titik t = 0.
Kita menghitungg (0) = f (a, b)
g 0 (0) = ∂ f
(a, b) d ( a + t ( x − a ))
+ ∂ f
(a, b) d ( b + t ( y − b ))
x∂ dt ∂y dt
= (x − a) ∂f
(a, b) + (y − b) ∂f
(a, b)
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 4 / 13
Teorema Taylor
Teorema Taylor Fungsi Dua Variabel
Proof.
Definisikan
g (t ) = f [(a, b) + t {(x , y ) − (a, b)}]
= f (a + t (x − a) , b + t (y − b))
Kemudian, gunakan teorema Taylor satu variabel untuk fungsi g di titik t = 0.
Kita menghitungg (0) = f (a, b)
g 0 (0) = ∂ f
(a, b) d ( a + t ( x − a ))
+ ∂ f
(a, b) d ( b + t ( y − b ))
x∂ dt ∂y dt
= (x − a) ∂f
(a, b) + (y − b) ∂f
(a, b)
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 4 / 13
Teorema Taylor
Teorema Taylor Fungsi Dua Variabel
Pada penghampiran linear, yaitu f (a + h) = f (a) + f 0 (a) h atauf (x ) = f (a) + f 0 (a) (x − a) besarnya kesalahan adalah
R1 (h) = f (x ) − f (a) − f 0 (a) (x − a)
memenuhi
limf (a + h) − f (a) − f 0 (a) h
= lim R1 (h)
= 0
h→0 h h→0 h
Sedangkan untuk penghampiran derajat dua, kesalahan memenuhi
R2 (h)limh→0
h2= 0
Jika |h| < 1, maka h2 < |h|. Dengan demikian, untuk h kecil
penghampiran derajat dua lebih baik.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 5 / 13
Teorema Taylor
Teorema Taylor Fungsi Dua Variabel
Pada penghampiran linear, yaitu f (a + h) = f (a) + f 0 (a) h atauf (x ) = f (a) + f 0 (a) (x − a) besarnya kesalahan adalah
R1 (h) = f (x ) − f (a) − f 0 (a) (x − a)
memenuhi
limf (a + h) − f (a) − f 0 (a) h
= lim R1 (h)
= 0
h→0 h h→0 h
Sedangkan untuk penghampiran derajat dua, kesalahan memenuhi
R2 (h)limh→0
h2= 0
Jika |h| < 1, maka h2 < |h|. Dengan demikian, untuk h kecil
penghampiran derajat dua lebih baik.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 5 / 13
Teorema Taylor
Teorema Taylor Fungsi Dua Variabel
Pada penghampiran linear, yaitu f (a + h) = f (a) + f 0 (a) h atauf (x ) = f (a) + f 0 (a) (x − a) besarnya kesalahan adalah
R1 (h) = f (x ) − f (a) − f 0 (a) (x − a)
memenuhi
limf (a + h) − f (a) − f 0 (a) h
= lim R1 (h)
= 0
h→0 h h→0 h
Sedangkan untuk penghampiran derajat dua, kesalahan memenuhi
R2 (h)limh→0
h2= 0
Jika |h| < 1, maka h2 < |h|. Dengan demikian, untuk h kecil
penghampiran derajat dua lebih baik.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 5 / 13
Teorema Taylor
Contoh Penghampiran Taylor
Example
Hitunglah rumus Taylor derajat dua untuk fungsi f (x , y ) = e x cos ydi titik (0, 0).
Solution
Kita menghitung nilai f (0, 0), ∂f f ∂ ∂ 2 f
∂ 2 f ∂ 2 f ∂x (0, 0) , ∂y (0, 0), ∂x 2 (0, 0),
∂x ∂y (0, 0) , ∂x 2 (0, 0)
Hasilnya adalah
f (x , y ) ≈ f (0, 0) + ∂f
(0, 0) x + ∂f
(0, 0) y +
2f1+
∂
x∂ ∂y
2f22 f
+ xy ∂ 2 ∂
!2 ∂x 2 (0, 0) x (0, 0) + y ∂x ∂y
∂x 2 (0, 0)
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 6 / 13
Teorema Taylor
Contoh Penghampiran Taylor
Example
Hitunglah rumus Taylor derajat dua untuk fungsi f (x , y ) = e x cos ydi titik (0, 0).
Solution
Kita menghitung nilai f (0, 0), ∂f f ∂ ∂ 2 f
∂ 2 f ∂ 2 f ∂x (0, 0) , ∂y (0, 0), ∂x 2 (0, 0),
∂x ∂y (0, 0) , ∂x 2 (0, 0)
Hasilnya adalah
f (x , y ) ≈ f (0, 0) + ∂f
(0, 0) x + ∂f
(0, 0) y +
2f1+
∂
x∂ ∂y
2f22 f
+ xy ∂ 2 ∂
!2 ∂x 2 (0, 0) x (0, 0) + y ∂x ∂y
∂x 2 (0, 0)
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 6 / 13
Teorema Taylor
Contoh Penghampiran Taylor
Example
Hitunglah rumus Taylor derajat dua untuk fungsi f (x , y ) = e x cos ydi titik (0, 0).
Solution
Kita menghitung nilai f (0, 0), ∂f f ∂ ∂ 2 f
∂ 2 f ∂ 2 f ∂x (0, 0) , ∂y (0, 0), ∂x 2 (0, 0),
∂x ∂y (0, 0) , ∂x 2 (0, 0)
Hasilnya adalah
f (x , y ) ≈ f (0, 0) + ∂f
(0, 0) x + ∂f
(0, 0) y +
2f1+
∂
x∂ ∂y
2f22 f
+ xy ∂ 2 ∂
!2 ∂x 2 (0, 0) x (0, 0) + y ∂x ∂y
∂x 2 (0, 0)
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 6 / 13
Teorema Taylor
Contoh Penghampiran Taylor
Example
Hitunglah rumus Taylor derajat dua untuk fungsi f (x , y ) = e x cos ydi titik (0, 0).
Solution
Kita menghitung nilai f (0, 0), ∂f f ∂ ∂ 2 f
∂ 2 f ∂ 2 f ∂x (0, 0) , ∂y (0, 0), ∂x 2 (0, 0),
∂x ∂y (0, 0) , ∂x 2 (0, 0)
Hasilnya adalah
f (x , y ) ≈ f (0, 0) + ∂f
(0, 0) x + ∂f
(0, 0) y +
2f1+
∂
x∂ ∂y
2f22 f
+ xy ∂ 2 ∂
!2 ∂x 2 (0, 0) x (0, 0) + y ∂x ∂y
∂x 2 (0, 0)
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 6 / 13
Teorema Taylor
Contoh Penghampiran Taylor
Example
Hitunglah penghampiran nilai√
9, 3 dengan menggunakanpenghampiran satu dimensi dan dua dimensi.
Solution
Dengan menggunakan satu dimensi, f (x ) =
√ x , maka
f (x ) = f (a) + f 0 (a) (x − a) + 1
f 00 (a) (x − a)2
2!√
9 + 1 1
= √0, 3 +
1
− 1
9− 3
2 (0, 3)2
92 2 4
= 3 + 1
× 3
+ 1
− 1 9 7319
6 10 2 4 × 27
= = 3, 049 6 100 2400
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 7 / 13
Teorema Taylor
Contoh Penghampiran Taylor
Example
Hitunglah penghampiran nilai√
9, 3 dengan menggunakanpenghampiran satu dimensi dan dua dimensi.
Solution
Dengan menggunakan satu dimensi, f (x ) =
√ x , maka
f (x ) = f (a) + f 0 (a) (x − a) + 1
f 00 (a) (x − a)2
2!√
9 + 1 1
= √0, 3 +
1
− 1
9− 3
2 (0, 3)2
92 2 4
= 3 + 1
× 3
+ 1
− 1 9 7319
6 10 2 4 × 27
= = 3, 049 6 100 2400
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 7 / 13
Teorema Taylor
Contoh Penghampiran Taylor
Example
Hitunglah penghampiran nilai√
9, 3 dengan menggunakanpenghampiran satu dimensi dan dua dimensi.
Solution
Dengan dua dimensi, kita menuliskan 5, 152 − 4, 152 = 9, 3
Definisikan f (x , y ) = p
x 2 − y 2 dan
f (x , y ) ≈ f (5, 4) + ∂f
(5, 4) 0, 15 + ∂f
(5, 4) 0, 15+x∂ ∂y
2f 2f 2f1+
∂ 2 + 0, 15 × 0, 15 ∂ 2 ∂
!2 ∂x 2 (5, 4) 0, 15 (5, 4) + 0, 15
∂x ∂y ∂x
Berdasarkan formula ini, kita dapat menduga bahwa dengan fungsi dua variabel, nilai hampiran lebih baik, karena untuk p < q, maka p2 << q2
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 8 / 13
Teorema Taylor
Contoh Penghampiran Taylor
Example
Hitunglah penghampiran nilai√
9, 3 dengan menggunakanpenghampiran satu dimensi dan dua dimensi.
Solution
Dengan dua dimensi, kita menuliskan 5, 152 − 4, 152 = 9, 3
Definisikan f (x , y ) = p
x 2 − y 2 dan
f (x , y ) ≈ f (5, 4) + ∂f
(5, 4) 0, 15 + ∂f
(5, 4) 0, 15+x∂ ∂y
2f 2f 2f1+
∂ 2 + 0, 15 × 0, 15 ∂ 2 ∂
!2 ∂x 2 (5, 4) 0, 15 (5, 4) + 0, 15
∂x ∂y ∂x
Berdasarkan formula ini, kita dapat menduga bahwa dengan fungsi dua variabel, nilai hampiran lebih baik, karena untuk p < q, maka p2 << q2
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 8 / 13
Teorema Taylor
Contoh Penghampiran Taylor
Example
Hitunglah penghampiran nilai√
9, 3 dengan menggunakanpenghampiran satu dimensi dan dua dimensi.
Solution
Dengan dua dimensi, kita menuliskan 5, 152 − 4, 152 = 9, 3
Definisikan f (x , y ) = p
x 2 − y 2 dan
f (x , y ) ≈ f (5, 4) + ∂f
(5, 4) 0, 15 + ∂f
(5, 4) 0, 15+x∂ ∂y
2f 2f 2f1+
∂ 2 + 0, 15 × 0, 15 ∂ 2 ∂
!2 ∂x 2 (5, 4) 0, 15 (5, 4) + 0, 15
∂x ∂y ∂x
Berdasarkan formula ini, kita dapat menduga bahwa dengan fungsi dua variabel, nilai hampiran lebih baik, karena untuk p < q, maka p2 << q2
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 8 / 13
Teorema Taylor
Contoh Penghampiran Taylor
Example
Hitunglah penghampiran nilai√
9, 3 dengan menggunakanpenghampiran satu dimensi dan dua dimensi.
Solution
Dengan dua dimensi, kita menuliskan 5, 152 − 4, 152 = 9, 3
Definisikan f (x , y ) = p
x 2 − y 2 dan
f (x , y ) ≈ f (5, 4) + ∂f
(5, 4) 0, 15 + ∂f
(5, 4) 0, 15+x∂ ∂y
2f 2f 2f1+
∂ 2 + 0, 15 × 0, 15 ∂ 2 ∂
!2 ∂x 2 (5, 4) 0, 15 (5, 4) + 0, 15
∂x ∂y ∂x
Berdasarkan formula ini, kita dapat menduga bahwa dengan fungsi dua variabel, nilai hampiran lebih baik, karena untuk p < q, maka p2 << q2
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 8 / 13
Teorema Taylor
Contoh Penghampiran Taylor
Pertanyaan yang berikut, apakah kita dapat mencari penghampiran Taylor fungsi dua variabel dengan penghampiran fungsi satu variabel. Kunci dari ini adalah
Lemma
Misalkan P (x , y ) dan P ∗ (x , y ) dua polinom derajat k dan memenuhi
P (x , y ) − P ∗ (x , y )
lim(x ,y )→(0,0)
maka P (x , y ) = P ∗ (x , y )
= 0k(x , y )kk
Lemma ini mengatakan bahwa jika ada dua polinomial derajat k dan bedanya terhadap polinom derajat k dengan bentuk k(x , y )kk lebih kecil untuk (x , y ) yang cukup kecil, maka dua polinom tersebut sama. Berdasarkan ini kita dapat menggunakan polinom Taylor satu
variabel untuk mencari polinom Taylor dua variabel.Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 9 / 13
Teorema Taylor
Contoh Penghampiran Taylor
Pertanyaan yang berikut, apakah kita dapat mencari penghampiran Taylor fungsi dua variabel dengan penghampiran fungsi satu variabel. Kunci dari ini adalah
Lemma
Misalkan P (x , y ) dan P ∗ (x , y ) dua polinom derajat k dan memenuhi
P (x , y ) − P ∗ (x , y )
lim(x ,y )→(0,0)
maka P (x , y ) = P ∗ (x , y )
= 0k(x , y )kk
Lemma ini mengatakan bahwa jika ada dua polinomial derajat k dan bedanya terhadap polinom derajat k dengan bentuk k(x , y )kk lebih kecil untuk (x , y ) yang cukup kecil, maka dua polinom tersebut sama. Berdasarkan ini kita dapat menggunakan polinom Taylor satu
variabel untuk mencari polinom Taylor dua variabel.Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 9 / 13
Teorema Taylor
Contoh Penghampiran Taylor
Pertanyaan yang berikut, apakah kita dapat mencari penghampiran Taylor fungsi dua variabel dengan penghampiran fungsi satu variabel. Kunci dari ini adalah
Lemma
Misalkan P (x , y ) dan P ∗ (x , y ) dua polinom derajat k dan memenuhi
P (x , y ) − P ∗ (x , y )
lim(x ,y )→(0,0)
maka P (x , y ) = P ∗ (x , y )
= 0k(x , y )kk
Lemma ini mengatakan bahwa jika ada dua polinomial derajat k dan bedanya terhadap polinom derajat k dengan bentuk k(x , y )kk lebih kecil untuk (x , y ) yang cukup kecil, maka dua polinom tersebut sama. Berdasarkan ini kita dapat menggunakan polinom Taylor satu
variabel untuk mencari polinom Taylor dua variabel.Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 9 / 13
Teorema Taylor
Contoh Penghampiran Taylor
Pertanyaan yang berikut, apakah kita dapat mencari penghampiran Taylor fungsi dua variabel dengan penghampiran fungsi satu variabel. Kunci dari ini adalah
Lemma
Misalkan P (x , y ) dan P ∗ (x , y ) dua polinom derajat k dan memenuhi
P (x , y ) − P ∗ (x , y )
lim(x ,y )→(0,0)
maka P (x , y ) = P ∗ (x , y )
= 0k(x , y )kk
Lemma ini mengatakan bahwa jika ada dua polinomial derajat k dan bedanya terhadap polinom derajat k dengan bentuk k(x , y )kk lebih kecil untuk (x , y ) yang cukup kecil, maka dua polinom tersebut sama. Berdasarkan ini kita dapat menggunakan polinom Taylor satu
variabel untuk mencari polinom Taylor dua variabel.Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 9 / 13
Teorema Taylor
Contoh Penghampiran Taylor
Pertanyaan yang berikut, apakah kita dapat mencari penghampiran Taylor fungsi dua variabel dengan penghampiran fungsi satu variabel. Kunci dari ini adalah
Lemma
Misalkan P (x , y ) dan P ∗ (x , y ) dua polinom derajat k dan memenuhi
P (x , y ) − P ∗ (x , y )
lim(x ,y )→(0,0)
maka P (x , y ) = P ∗ (x , y )
= 0k(x , y )kk
Lemma ini mengatakan bahwa jika ada dua polinomial derajat k dan bedanya terhadap polinom derajat k dengan bentuk k(x , y )kk lebih kecil untuk (x , y ) yang cukup kecil, maka dua polinom tersebut sama. Berdasarkan ini kita dapat menggunakan polinom Taylor satu
variabel untuk mencari polinom Taylor dua variabel.Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 9 / 13
Teorema Taylor
Mencari Polinom Dua Variabel
Example
Hitunglah polinom Taylor derajat dua untuk fungsi f (x ) = e x sin x
Solution
Karena e x = 1 + x + x 2 3 x ∗
2! + R2 (x ) dan sin x = x − 6! + R2 (x ) dengan
limR2 (x )
x →0
R ∗2 ( x )
x 2= 0
Selanjutnyae x sin x = x + x 2 + R (x )
Kita dapat membuktikan bahwa limx →0 R (x )
x 2= 0.
Jadi x + x 2 adalah polinom Taylor derajat dua dari e x sin x .
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 10 / 13
Teorema Taylor
Mencari Polinom Dua Variabel
Example
Hitunglah polinom Taylor derajat dua untuk fungsi f (x ) = e x sin x
Solution
Karena e x = 1 + x + x 2 3 x ∗
2! + R2 (x ) dan sin x = x − 6! + R2 (x ) dengan
limR2 (x )
x →0
R ∗2 ( x )
x 2= 0
Selanjutnyae x sin x = x + x 2 + R (x )
Kita dapat membuktikan bahwa limx →0 R (x )
x 2= 0.
Jadi x + x 2 adalah polinom Taylor derajat dua dari e x sin x .
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 10 / 13
Teorema Taylor
Mencari Polinom Dua Variabel
Example
Hitunglah polinom Taylor derajat dua untuk fungsi f (x ) = e x sin x
Solution
Karena e x = 1 + x + x 2 3 x ∗
2! + R2 (x ) dan sin x = x − 6! + R2 (x ) dengan
limR2 (x )
x →0
R ∗2 ( x )
x 2= 0
Selanjutnyae x sin x = x + x 2 + R (x )
Kita dapat membuktikan bahwa limx →0 R (x )
x 2= 0.
Jadi x + x 2 adalah polinom Taylor derajat dua dari e x sin x .
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 10 / 13
Teorema Taylor
Mencari Polinom Dua Variabel
Example
Hitunglah polinom Taylor derajat dua untuk fungsi f (x ) = e x sin x
Solution
Karena e x = 1 + x + x 2 3 x ∗
2! + R2 (x ) dan sin x = x − 6! + R2 (x ) dengan
limR2 (x )
x →0
R ∗2 ( x )
x 2= 0
Selanjutnyae x sin x = x + x 2 + R (x )
Kita dapat membuktikan bahwa limx →0 R (x )
x 2= 0.
Jadi x + x 2 adalah polinom Taylor derajat dua dari e x sin x .
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 10 / 13
Teorema Taylor
Mencari Polinom Dua Variabel
Example
Berdasarkan fungsi satu variabel e t = 1 + t + t 2
2! + R (t ) dengan
limt →0 R ( t )t 2
= 0Untuk t = x dan t = y , diperoleh
2 2
e x = 1 + x + x
+ R (x ) dan e y = 1 + y + y
+ R (y )2! 2!
Dengan demikian
e x +y = e x e y = 1 + (x + y ) + 1
(x + y )2 + R ∗ (x , y )2!
2 xy x + y + 2 xy + 1 + x + 2dan R ∗ (x , y ) = 1 1 1 + y + y 2
x 2
! R (y ) +2! R (x ) + R (x ) R (y )
∗
(x ,y )→(0,0) x 2 +y 2 =
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 11 / 13
Teorema Taylor
Mencari Polinom Dua Variabel
Example
Berdasarkan fungsi satu variabel e t = 1 + t + t 2
2! + R (t ) dengan
limt →0 R ( t )t 2
= 0Untuk t = x dan t = y , diperoleh
2 2
e x = 1 + x + x
+ R (x ) dan e y = 1 + y + y
+ R (y )2! 2!
Dengan demikian
e x +y = e x e y = 1 + (x + y ) + 1
(x + y )2 + R ∗ (x , y )2!
2 xy x + y + 2 xy + 1 + x + 2dan R ∗ (x , y ) = 1 1 1 + y + y 2
x 2
! R (y ) +2! R (x ) + R (x ) R (y )
∗
(x ,y )→(0,0) x 2 +y 2 =
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 11 / 13
Teorema Taylor
Mencari Polinom Dua Variabel
Example
Berdasarkan fungsi satu variabel e t = 1 + t + t 2
2! + R (t ) dengan
limt →0 R ( t )t 2
= 0Untuk t = x dan t = y , diperoleh
2 2
e x = 1 + x + x
+ R (x ) dan e y = 1 + y + y
+ R (y )2! 2!
Dengan demikian
e x +y = e x e y = 1 + (x + y ) + 1
(x + y )2 + R ∗ (x , y )2!
2 xy x + y + 2 xy + 1 + x + 2dan R ∗ (x , y ) = 1 1 1 + y + y 2
x 2
! R (y ) +2! R (x ) + R (x ) R (y )
∗
(x ,y )→(0,0) x 2 +y 2 =
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 11 / 13
Teorema Taylor
Mencari Polinom Dua Variabel
Example
Berdasarkan fungsi satu variabel e t = 1 + t + t 2
2! + R (t ) dengan
limt →0 R ( t )t 2
= 0Untuk t = x dan t = y , diperoleh
2 2
e x = 1 + x + x
+ R (x ) dan e y = 1 + y + y
+ R (y )2! 2!
Dengan demikian
e x +y = e x e y = 1 + (x + y ) + 1
(x + y )2 + R ∗ (x , y )2!
2 xy x + y + 2 xy + 1 + x + 2dan R ∗ (x , y ) = 1 1 1 + y + y 2
x 2
! R (y ) +2! R (x ) + R (x ) R (y )
∗
(x ,y )→(0,0) x 2 +y 2 =
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 11 / 13
Teorema Taylor
Fungsi dengan Variabel Bebas Lebih Dari Dua
Untuk n variabel, kita akan menuliskan x = (x1 , . . . , xn ) dana = (a1 , . . . , an )Berdasarkan aljabar linear, untuk fungsi n variabel f (x), kita dapat menuliskan
g (t ) = f (a + t (x − a))
polinom Taylornya di sekitar t = 0. Dengan aturan rantai, kita memperoleh
g 0 (0) = ∂f
(a) (x − a ) + . . . + ∂f
(a) (x a− )∂x1
1 1
2f∂xn
n n
2 fg 00 (0) = ∂
∂x 2 (a) (x1 − a1 ) 1
2 + . . . +∂
∂x1 ∂xn(a) (x1 − a1 ) (xn − an )
+ . . .
2 f 2 f+∂
(a) (xn − an ) (x1 − a1 ) + . . . + ∂
(a) (xn − an )2
∂xn ∂x1 ∂x 2n
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 12 / 13
Teorema Taylor
Fungsi dengan Variabel Bebas Lebih Dari Dua
Untuk n variabel, kita akan menuliskan x = (x1 , . . . , xn ) dana = (a1 , . . . , an )Berdasarkan aljabar linear, untuk fungsi n variabel f (x), kita dapat menuliskan
g (t ) = f (a + t (x − a))
polinom Taylornya di sekitar t = 0. Dengan aturan rantai, kita memperoleh
g 0 (0) = ∂f
(a) (x − a ) + . . . + ∂f
(a) (x a− )∂x1
1 1
2f∂xn
n n
2 fg 00 (0) = ∂
∂x 2 (a) (x1 − a1 ) 1
2 + . . . +∂
∂x1 ∂xn(a) (x1 − a1 ) (xn − an )
+ . . .
2 f 2 f+∂
(a) (xn − an ) (x1 − a1 ) + . . . + ∂
(a) (xn − an )2
∂xn ∂x1 ∂x 2n
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 12 / 13
Teorema Taylor
Fungsi dengan Variabel Bebas Lebih Dari Dua
Untuk n variabel, kita akan menuliskan x = (x1 , . . . , xn ) dana = (a1 , . . . , an )Berdasarkan aljabar linear, untuk fungsi n variabel f (x), kita dapat menuliskan
g (t ) = f (a + t (x − a))
polinom Taylornya di sekitar t = 0. Dengan aturan rantai, kita memperoleh
g 0 (0) = ∂f
(a) (x − a ) + . . . + ∂f
(a) (x a− )∂x1
1 1
2f∂xn
n n
2 fg 00 (0) = ∂
∂x 2 (a) (x1 − a1 ) 1
2 + . . . +∂
∂x1 ∂xn(a) (x1 − a1 ) (xn − an )
+ . . .
2 f 2 f+∂
(a) (xn − an ) (x1 − a1 ) + . . . + ∂
(a) (xn − an )2
∂xn ∂x1 ∂x 2n
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 12 / 13
Teorema Taylor
Fungsi dengan Variabel Bebas Lebih Dari Dua
Khusus untuk turunan kedua,
2f 2 fg 00 (0) = ∂
∂x 2 (a) (x1 − a1 ) 1
2 + . . . +∂
∂x1 ∂xn(a) (x1 − a1 ) (xn − an )
+ . . .
2 f 2 f+∂
(a) (xn − an ) (x1 − a1 ) + . . . + ∂
(a) (xn − an )2
∂xn ∂x1
dapat dituliskan dalam bentuk matriks
∂x 2n
∂ 2 f∂x 2
∂ 2 f ∂x1 ∂x2
. . . ∂ 2 f ∂x1 ∂xn x1 − a1
2
1 2 f 2 f
x1 − a1 . . . xn − an∂ f
∂x2 ∂x1
..
∂ 2 f
∂2∂x2
.
.∂ 2 f
. . . ∂∂x2 ∂xn
. . . ..∂ 2 f
x2 − a2
.
.
xn − an
∂xn ∂x1 ∂xn ∂x2. . . ∂x 2n
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 13 / 13
Teorema Taylor
Fungsi dengan Variabel Bebas Lebih Dari Dua
Khusus untuk turunan kedua,
2f 2 fg 00 (0) = ∂
∂x 2 (a) (x1 − a1 ) 1
2 + . . . +∂
∂x1 ∂xn(a) (x1 − a1 ) (xn − an )
+ . . .
2 f 2 f+∂
(a) (xn − an ) (x1 − a1 ) + . . . + ∂
(a) (xn − an )2
∂xn ∂x1
dapat dituliskan dalam bentuk matriks
∂x 2n
∂ 2 f∂x 2
∂ 2 f ∂x1 ∂x2
. . . ∂ 2 f ∂x1 ∂xn x1 − a1
2
1 2 f 2 f
x1 − a1 . . . xn − an∂ f
∂x2 ∂x1
..
∂ 2 f
∂2∂x2
.
.∂ 2 f
. . . ∂∂x2 ∂xn
. . . ..∂ 2 f
x2 − a2
.
.
xn − an
∂xn ∂x1 ∂xn ∂x2. . . ∂x 2n
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 13 / 13
Top Related