Manajemen InformatikaUniversitas Pendidikan Ganesha

Singaraja – Bali2010

Aljabar Boole & Teorema De Morgan

Dosen : Agus Aan Jiwa P. , S.Kom, M.CsSite’s : agusaan.wordpress.com

E-mail : studywithaan@gmail.com

Aljabar Boole

Diperkenalkan oleh George Boole

Seorang matematikawan asal Inggris

Tahun (1815 - 1864)

Sekitar tahun 1938 Claude Shannon menekankan penggunaan aljabar boole untuk menyelesaikan masalah switching telepon dan untuk dasar matematika.

Penggunaannya berlanjut sampai saat ini.

Aljabar Boole (Cont.)

Dalam aljabar boole, hanya ada dua kemungkinan konstanta dan variable.

Bernilai “0” dan “1”

Kedua nilai bukanlah menunjukan bilangan, namun dua keadaan yang berbeda

Dua keadaan dalam sistem digital dalam kehidupan sehari-hari dapat dianalogikan dengan : (hidup - mati), (benar-salah), (rendah-tinggi), (ya - tdk), (tdk ada - ada)

Aljabar Boole (Cont.)

Dapat digunakan untuk mengekspresikan hubungan antara masukan dan keluaran untaian logika.

Biasanya digunakan lambang alfabetik untuk mewakili variable logika.

Misal : X = masukan untaian logika

Y = keluaran untaian logika

Jika Y = X artinya logika keluarannya sama dengan masukannya

Aljabar Boole (Cont.)

Dapat digunakan untuk menyederhanakan untaian logika yang terdiri dari banyak gerbang logika menjadi untaian yang terdiri dari gerbang yang jumlahnya lebih sedikit tanpa mengubah fungsi dari untaian tersebut.

Dapat digunakan untuk membantu merancang suatu untaian yang telah ditentukan fungsinya.

Dasar Aljabar Boole

Dalam mengembangkan sistem Aljabar

Boolean Perlu memulainya dengan asumsi–

asumsi yakni Postulat Boolean dan Teorema

Aljabar Boolean

Postulat Boole

Teorema Aljabar Boole

T 1. COMMUTATIVE LAW :

a. A + B = B + A

b. A . B = B . A

T 2. ASSOCIATIVE LAW :

a. ( A + B ) + C = A + ( B + C )

b. ( A . B) . C = A . ( B . C )

T 3. DISTRIBUTIVE LAW :

a. A. ( B + C ) = A . B + A . C

b. A + ( B . C ) = ( A+B ) . ( A+C )

Teorema Aljabar Boole (Cont.)

T 4. IDENTITY LAW:a. A + A = A b. A . A = A

T 5. NEGATION LAW: a.( A’) = A’b. ( A’’) = A

T 6. REDUNDANCE LAW :a. A + A. B = A atau A + A. B’ = Ab. A .( A + B) = A atau A .( A + B’) = A

Teorema Aljabar Boole (Cont.)

T 7. :

a. 0 + A = A

b. 1 . A = A

c. 1 + A = 1

d. 0 . A = 0

T 8. :

a. A’+ A = 1

b. A’. A = 0

T 9. : a. A + A’. B = A + Bb. A.( A’+ B ) = A . B c. A + A.B = A

Teorema De Morgan

Diperkenalkan oleh Augustus DeMorgan yang menganut aliran teorema Boole juga.

A’ + B’ = (A.B)’ (Teorema pertama)

A’.B’ = (A + B)’ (Teorema kedua)

Bunyi teori pertama : keluaran dua gerbang NOT yang di OR-kan akan berfungsi sama dengan gerbang NAND.

Bunyi teori kedua : keluaran dua gerbang NOT yang di AND-kan akan berfungsi sama dengan dengan gerbang NOR.

Teorema De Morgan (Cont.)

Teori I

Teori II

Pembuktian Hukum :

Tujuan Teorema

Dari Postulat dan Teorema Aljabar Boolean diatas tujuan utamanya adalah untuk penyederhanaan :

-Ekspresi Logika

-Persamaan Logika

-Persamaan Boolean (Fungsi Boolean)

yang inti-intinya adalah untuk mendapatkan Rangkaian Logika (Logic Diagram) yang paling sederhana.

Contoh 1 :

Sederhanakan : A . (A . B + C)

Penyelesaian :

A . (A . B + C) = A . A . B + A . C (T3a)

= A . B + A . C (T4b)

= A . (B + C) (T3a)

Latihan Soal :

1. Sederhanakan persamaan :

a. A’. B + A . B + A’. B’ . . . . . ?

b. A + A . B’+ A’. B . . . . . ?

2. Buatlah tabel kebenaran dari :

(a). X . Y + X’. Y + X’. Y’ = X’+ Y

(b) . A . B . C + A . C + B . C = A + B + C

(c). ( X’. Y + Y’. X ) + X . Y = ( X . Y’)

(d). A . B . D + A’. B’. D + A . B’.D’= A . ( B’.D’+ B.D )

Soal 1.a

Penyelesaian :

A’. B + A . B + A’. B’ = (A’+ A) . B + A’. B’ (T3a)

= 1 . B + A’. B’ (T7b)

= B + A’. B’ (T9a)

= B + A’

Soal 1b

Penyelesaian :

A + A . B’+ A’. B = (A + A . B’) + A’. B (T6a)

= A + A’. B (T9a)

= A + B

Pembahasan Soal 2a

Tabel kebenaran :

A = XY+X'Y+X'Y‘

X Y X’ Y’ XY X’Y X’Y’ A X’+ Y

0 0 1 1 0 0 1 1 1

0 1 1 0 0 1 0 1 1

1 0 0 1 0 0 0 0 0

1 1 0 0 1 0 0 1 1

Terbukti Sama

Jawaban Soal 2b-2d

2b1 2b2 2c1 2c2 2d1 2d2

0 0 0 0 0 0

0 1 1 0 1 0

0 1 0 1 0 0

1 1 1 0 0 0

0 1 1 1

1 1 0 0

0 1 0 0

1 1 1 1