Download - AKAR PERSAMAAN NON LINEAR

Transcript
Page 1: AKAR PERSAMAAN NON LINEAR

AKAR PERSAMAAN NON AKAR PERSAMAAN NON LINEARLINEAR

Persamaan hingga derajat dua, masih mudah diselesaikan dengan cara analitik. Contoh :

02 cbxax

Solusi :a

acbbx

2

42

12

Persamaan yang kompleks, solusinya susah dicari. Contoh :

03)( 23

xexf xx

Page 2: AKAR PERSAMAAN NON LINEAR

Maka timbulah solusi dengan metode Maka timbulah solusi dengan metode numerik, dengan pembagian metode numerik, dengan pembagian metode sebagai berikut :sebagai berikut :

1. GRAFIS2. BISECTION3. REGULA FALSI4. SECANT5. NEWTON RHAPSON6. ITERASI FIXED POINT

Page 3: AKAR PERSAMAAN NON LINEAR

1. GRAFIS1. GRAFISMerupakan metode mencari akar

dengan cara menggambar fungsi yang bersangkutan

Contoh :Y = 2x2 – 3x -2

Page 4: AKAR PERSAMAAN NON LINEAR

Jawab:Jawab:

x f(x)-1.40 6.12-1.20 4.48-1.00 3.00-0.80 1.68-0.60 0.52-0.40 -0.48-0.20 -1.320.00 -2.000.20 -2.520.60 -3.080.90 -3.081.20 -2.721.50 -2.001.80 -0.922.10 0.522.40 2.322.70 4.48

Dengan memasukkan harga “x” didapat nilai fungsi f(x)

-4.00

-2.00

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

-2.00 -1.50 -1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

X

f(x)

Page 5: AKAR PERSAMAAN NON LINEAR

2. BISECTION2. BISECTION• Metode ini melakukan pengamatan

terhadap nilai f(x) dengan berbagai nilai x, yang mempunyai perbedaan tanda.

• Taksiran akar diperhalus dengan cara membagi 2 pada interval x yang mempunyai beda tanda tersebut.

Page 6: AKAR PERSAMAAN NON LINEAR

F(x)

x

x1

x2x3

x4 x5

Page 7: AKAR PERSAMAAN NON LINEAR

1) Pilih x1 bawah dan x2 puncak taksiran untuk akar, sehingga perubahan fungsi mencakup seluruh interval. Hal ini dapat diperiksa dengan memastikan :

2) Taksiran akar x, ditentukan oleh :

0)().( 21 xfxf

Algoritma :

221 xx

xr

Page 8: AKAR PERSAMAAN NON LINEAR

3) Buat evaluasi dengan memastikan pada bagian interval mana akar berbeda :

* jika f(x1).f(x2) < 0 akan berada pada bagian interval

bawah, maka x2 = xr , dan kembali kelangkah 2 * Jika f(x1).f(x2) > 0 akan berada pada bagian interval atas , maka x1 = xr , dan kembali

kelangkah 2 * Jika f(x1).f(x2) = 0, akar setara xr, perhitungan dihentikan, atau bisa juga :

)().( 21 xfxf

Dimana ε adalah harga toleransi yang dibuat.

Page 9: AKAR PERSAMAAN NON LINEAR

Contoh :Contoh :

Carilah akar persamaan dari :

001,0 ,033)( 23 denganxxxxf

Penyelesaian:

Hitung nilai )(xf

pada interval antara 2 titikuntuk x=1, 43)1(3)1()1()1( 23 xf

untuk x=2 33)2(3)2()2()2( 23 xf

Page 10: AKAR PERSAMAAN NON LINEAR

Fungsi diatas adalah kontinyu, berarti perubahan tanda dari fungsi antara x=1 dan x=2 akan memotong sumbu x paling tidak satu kali. titik perpotongan antar sumbu x dan fungsi merupakan akar-akar persamaan.

hitung nilai rx , kemudian hitung fungsi )( rxf

5,12

21

221

xxxr

875,13)5,1(3)5,1()5,1()5,1( 23 rxf

Langkah selanjutnya adalah membuat setengah interval berikutnya untuk membuat interval yang semakin kecil, dimana akar persamaan berada. Hasil perhitungan ditunjukkan pada tabel berikut.

Page 11: AKAR PERSAMAAN NON LINEAR

No. x f(x)1 1.5 -1.8752 1.75 0.1718753 1.625 -0.9433594 1.6875 -0.4094245 1.71875 -0.1247866 1.734375 0.022037 1.726563 -0.0517558 1.730469 -0.0149579 1.732422 0.003513

10 1.731445 -0.00572811 1.731934 -0.00110912 1.732178 0.00120113 1.732056 4.6E-05

Tabel hasil perhitungan:Tabel hasil perhitungan:

Page 12: AKAR PERSAMAAN NON LINEAR

3. Metode Regula 3. Metode Regula Falsi.Falsi.

• Kekurangan metode bisection adalah membagi dua selang diantara x1 dengan x2 menjadi dua bagian yang sama, besaran f(x1) dan f(x2) diabaikan. Misalnya, jika f(x1) lebih dekat ke nol daripada f(x2), kemungkinan besar akar akan lebih dekat ke x1 daripada ke x2.

Page 13: AKAR PERSAMAAN NON LINEAR

x1

x2

f(x1)

f(x2)

x

y

Page 14: AKAR PERSAMAAN NON LINEAR

Algoritma :Algoritma :1) Pilih x1 bawah dan x2 (puncak) untuk taksiran akar,

sehingga perubahan fungsi mencakup seluruh interval. Hal ini dapat diperiksa dengan: f(x1) . f(x2) < 0

2. Taksir akar xr, ditentukan oleh:

a) Buat evaluasi berikut untuk memastikan harga akar : b) Jika , maka akar berada pada bagian

interval bawah, maka , kembali ke langkah 2.c) Jika maka akar berada pada bagian

interval atas, maka , kembali ke langkah 2.d) Jika , akar setara xr maka hentikan

perhitungan.

)()()(

12

1222 xfxf

xxxfxxr

0)().( 1 rxfxf

rxx 2

0)().( 1 rxfxf

rxx 1

0)().( 1 rxfxf

Page 15: AKAR PERSAMAAN NON LINEAR

Contoh:Contoh:

00001.0

1)( 6

xxxf

ditentukan ; 2.1

1

2

1

x

x

subtitusikan pada persamaan ;

78598,012,1)2,1()2,1( 6 f

111)1( 16 xf

maka nilai 11198,1))1(78598,0(

)12,1(78598,02,1

rx

22146,0111198,111198,1)1198,1( 6 f

Page 16: AKAR PERSAMAAN NON LINEAR

Tabel hasil perhitungan:Tabel hasil perhitungan:

No. x f(x)1 1 -12 1.2 0.7859843 1.111983 -0.2214294 1.131329 -0.0346415 1.134228 -0.0050996 1.134652 -0.0007447 1.134714 -0.0001088 1.134723 -1.58E-05

Page 17: AKAR PERSAMAAN NON LINEAR

4. 4. Metode SecantMetode Secant • Metode ini memerlukan dua taksiran awal

akan tetapi karena f(x) tidak disyaratkan untuk berganti tanda diantara taksiran-taksiran, maka metode ini tidak digolongkan sebagai metode pengurung.

• Persamaan yang dipakai metode secant adalah

)()(

))((

1

11

nn

nnnnn xfxf

xxxfxx

Page 18: AKAR PERSAMAAN NON LINEAR

x1x2

f(x1)

f(x2)

x

y

x3

Page 19: AKAR PERSAMAAN NON LINEAR

Algoritma :Algoritma :• Pilih x1 bawah dan x2 (puncak) untuk taksiran

akar.• Taksir akar xn+1, ditentukan oleh:

• Perhitungan dihentikan jika f(x n+1) ≈ 0 atau Є = yang ditentukan

)()(

))((

1

11

nn

nnnnn xfxf

xxxfxx

Page 20: AKAR PERSAMAAN NON LINEAR

Contoh:Contoh:

1111)1( 6 f

61122)2( 6 f

01)( 6 xxxfDitentukan taksiran awalnya adalah :

X1 = 1

X2 = 2

016129,1)1(61

)12(6121

nx

Page 21: AKAR PERSAMAAN NON LINEAR

No. x f(x)1 1 -12 2 613 1.016129 -0.9153684 1.030675 -0.8319215 1.175689 0.4652276 1.123679 -0.1106337 1.133671 -0.0108068 1.134753 0.0002949 1.134724 -7.48E-07

Tabel hasil perhitungan:Tabel hasil perhitungan:

Page 22: AKAR PERSAMAAN NON LINEAR

5. Metode Newton Rhapson5. Metode Newton Rhapson• Metode ini paling banyak digunakan

dalam mencari akar-akar dari suatu persamaan. Jika perkiraan dari akar adalah xi, suatu garis singgung dapat dibuat dari titik (xi, f(xi). Titik dimana garis singgung tersebut memotong sumbu x biasanya memberikan perkiraan yang lebih dekat dari nilai akar.

Page 23: AKAR PERSAMAAN NON LINEAR

x

y

x1x2

Page 24: AKAR PERSAMAAN NON LINEAR

Algoritma :Algoritma :

• Tentukan nilai x1 sebagai terkaan awal

• Buat taksiran untuk x1+n dengan persamaan :

• Perhitungan dihentikan jika f(x n+1) ≈ 0 atau Є = yang ditentukan

)(

)('1

n

nnn xf

xfxx

Page 25: AKAR PERSAMAAN NON LINEAR

Contoh :Contoh :

01)( 6 xxxf

61122)2( 6 f

016)( 5' xxf

Ditentukan taksiran awal x1 = 2

1911)2(6)2( 5' f

680628,1191

6122 x

Page 26: AKAR PERSAMAAN NON LINEAR

No. x f(x) f'(x)1 2 61 1912 1.680628 19.85294 79.446953 1.430739 6.146795 34.971074 1.254971 1.651657 17.677545 1.161538 0.29431 11.685846 1.136353 0.016826 10.368897 1.134731 6.57E-05 10.28795

Tabel hasil perhitungan:Tabel hasil perhitungan:

Page 27: AKAR PERSAMAAN NON LINEAR

6. 6. Metode Iterasi Fixed Metode Iterasi Fixed PointPoint

• Teknik iterasi fixed point dijalankan dengan cara membuat fungsi f(x) menjadi bentuk fungsi implisit f(x)=0 kemudian x=g(x), iterasi yang digunakan adalah dalam bentuk persamaan; xn+1 = g(xn)

Page 28: AKAR PERSAMAAN NON LINEAR

Algoritma :Algoritma :

• Tentukan nilai taksiran awal xn

• Lakukan perhitungan taksiran akar dengan mempergunakan persamaan;

Xn+1=g(xn)

• Perhitungan dihentikan jika;

nn xx 1

Page 29: AKAR PERSAMAAN NON LINEAR

Contoh:Contoh:X2 - 3x + 1 = 0

3x = x2 + 1

X = 1/3 (x2 +1)

ε = 0,001

Ditentukan x0 = 2

X= 1/3(22+1) = 1,667

Іx1 – x0І= 1,667 – 2 = 0,333

No. Xn Іxn - x n+1І1 2 -2 1.6667 0.33333 1.2593 0.40744 0.8619 0.39735 0.5810 0.28096 0.4458 0.13517 0.3996 0.04628 0.3866 0.01309 0.3831 0.003410 0.3823 0.0009

Tabel Hasil Perhitungan