Download - 72879039 Buku Ajar Kalkulus II

BAB I

INTEGRAL TAK TENTU

Kompetensi Umum:

Mahasiswa terampil menentukan integral tak tentu dari suatu fungsi tertentu dengan menggunakan rumus-rumus yang telah dipelajari serta dapat menggunakan konsep integral tak tentu untuk menyelesaikan suatu masalah sederhana.

Kompetensi Khusus:

Mahasiswa dapat: a)menentukan anti turunan suatu fungsi tertentu.b)menentukan integral tak tentu dari fungsi tertentu dengan menggunakan

aturan pangkat.c)menentukan integral tak tentu dari fungsi tertentu dengan menggunakan

rumus pokok integral fungsi trigonometrid)menentukan integral tak tentu dari fungsi tertentu dengan mengguna-kan

aturan pangkat yang diperumume)menentukan integral tak tentu dari fungsi tertentu dengan mengguna-kan

teknik subsitusi dengan variabel baruf)menentukan integral tak tentu dari fungsi tertentu dengan mengguna-kan

teknik subsitusi tanpa variabel barug)menggunakan konsep integral tak tentu untuk menyelesaikan suatu masalah

sederhana

Pendahuluan

Konsep integral tak tentu diperkenalkan sebagai invers pendiferensialan, sehingga

integral tak tentu didefinisikan sebagai anti diferensial. Anti diferensial adalah

bentuk paling umum dari anti turunan.

1.1 Anti Turunan

Andaikan dari bentuk F(x)=f(x) atau dF(x)= f(x) dx akan ditentukan fungsi

F. Fungsi F yang demikian kita namakan anti turunan atau fungsi primitif dari f .

Definisi 1.1: (Anti Turunan)

Andaikan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I. Fungsi F dinama-

kan anti turunan atau fungsi primitif dari f pada I , jika dipenuhi

F(x) = f(x) pada I.

Contoh

Andaikan F (x) = x2 maka F(x) = 2x di R

Sehingga anti turunan dari f(x) = 2x adalah F(x) = x2 .

Anti turunan dari suatu fungsi tidak tunggal, perhatikan bahwa fungsi G dan H

berikut juga anti turunan dari f.

G(x) = x2 + 3 juga anti turunan dari f(x) = 2x sebab G(x) = 2x = f(x)

H(x) = x2 5 juga anti turunan dari f(x) = 2x sebab H(x) = 2x = f(x)

Jadi fungsi f(x) = 2x mempunyai banyak anti turunan atau fungsi primitif.

Perbedaan anti turunan yang satu dengan yang lain terletak pada konstanta nya

saja. Kenyataan ini berlaku untuk semua fungsi, hal ini dijamin oleh teorema

Jika F(x) = G(x) untuk semua x dalam (a,b), maka terdapat konstanta C

sedemikian hingga F (x) = G(x) + C

Teorema tersebut sudah anda pelajari di Kalkulus I (Kalkulus Diferensial).

Adanya perbedaan anti turunan yang satu dengan yang lain hanya pada

konstantanya maka terdapat bentuk anti turunan yang paling umum (merupakan

keluarga fungsi) yang dinamakan anti diferensial.

Definisi 1.2: (Anti Diferensial)

Anti diferensial adalah bentuk paling umum dari anti turunan. Jika F

(x) = f(x) pada selang terbuka I, maka anti diferensial dari f(x) pada I

adalah y = F(x) + C dengan C konstanta sembarang.

Contoh

1. Untuk F (x) = x3 1 diperoleh F(x) = 3x2 = f(x) di R maka anti diferensial

dari f(x) = 3x2 di R adalah y = x3 1 + C atau y = x3 + C

2. Untuk F (x) = sin x diperoleh F(x) = cos x = f(x) di R maka anti

diferensial dari f(x) = cos x di R adalah y = sin x + C

1.2 Intergal Tak Tentu

Proses menentukan anti diferensial adalah kebalikan dari proses menentukan

diferensial, yaitu dari F(x) = f(x) diperoleh dF(x) = f(x) dx dengan f

diketahui. dan F akan ditentukan. Proses ini disebut integral tak tentu, istilah tak

tentu berarti memuat konstanta riil sembarang. Leibniz memperkenalkan cara

penulisan simbol operasi anti diferensial dengan dx ... .

Definisi 1.3: (Integral Tak Tentu)

Andaikan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I dan fungsi F adalah

suatu anti turunan dari fungsi f pada I. Proses menentukan anti

diferensial dari fungsi f dinamakan integral tak tentu dari f pada I,

disajikan dengan lambang

+= cxFdxxf )()( dengan C konsanta sebarangdan dibaca integral tak tentu dari f dengan peubah x atau integral tak

tentu dari f terhadap peubah x secara singkat integral f terhadap x.

Catatan

1lambang adalah lambang integral2lambang dx ... adalah operator integral3f(x) adalah fungsi yang diintegralkan dinamakan integran4istilah tak tentu berarti mengandung konstanta sembarang5pekerjaan menghitung integral adalah mengintegralkan

Perhatikan!

i. Hubungan turunan, diferensial, dan integral tak tentu.

)()( xfxF =

+==== CxFdxxfxdFxfxdFxfdxxdF )()()()()()()(

turunan diferensial anti diferensial (integral tak tentu)

ii. Turunan dari suatu integral tak tentu adalah integran,

[ ] [ ] )()()()( xfxFCxFdxddxxf

dxd

==+=

Contoh

1. Cxdxxxddxxxdxdx

xd+ ==+=+=+ 3 23)13( 23)13( 23)1

3(

2. [ ] xxdx

dxd coscos =

1.3 Rumus-rumus Integral Tak Tentu

Teorema 1.1: (Aturan Pangkat)

Jika n adalah bilangan rasional sembarang kecuali 1, maka

Cnnxdxnx ++

+= 1

1

Bukti:

Karena [ ] [ ] )()(')()( xfxFCxFdx

ddxxfdxd

==+= , maka bukti teorema

tersebut sebagai berikut

nxnnxnCn

nxdxd

=++

+=+

+

+

01

)1(11

Contoh

Cx C

x dxx dx dx +=++

+== 10

100 1

Cx C x dxx +=+

+

+= 991 18

188

Ct

C tdtt dt

t +=+

+

+=

= 1 12122

21

Dapat kita pahami bahwa x adalah variabel boneka artinya bahwa jika untuk setiap

kemunculan x diganti dengan variabel lain misalnya t, u, v dsb, nilai integral tak

tentu tersebut tidak berubah.

dsb... .)()()()( === dvvfduufdttfdxxfContoh

( ) ( ) ( ) dsb... .333 222 == duudttdxx

Teorema 1.2: (Integral Fungsi Trigonometri)

+=+=

+=+=

+=+=

C x x dx x vi. C x x dx

C x x dx x C x x dx

C x x dx C x x dx i

csccsccot tan2sec . iii

secsectan v. sincos ii.

cot2csc iv. cossin ..

Bukti teorema i, bukti teorema lainnya diserahkan kepada pembaca.

Bukti:

Cxdx xxx

dxCxd

+===+ cos sin maka sin)sin()cos( Karena

Teorema 1.3: (Kelinieran ...dx )Andaikan fungsi f dan g mempunyai integral tak tentu dan andaikan k

suatu konstanta, maka

[ ][ ]

=

+=+

=

)( )( )()( .

)( )( )()( .

)()( .

dxxg dxxfdxx g xfiii

dx xg dxxf dxx g xfii

dxxf k dx xk fi

ii dan iii dapat diperluas untuk sejumlah berhingga fungsi

Bukti teorema i, bukti teorema lainnya diserahkan kepada pembaca.

Bukti:

[ ] [ ] === dxxfkdxxkfxkfdxxfdxdkdxxfkdxd )( )( maka )()()( Karena

Contoh

( )( )

cos221

21cos2

21

2cos12

21

sin )sin ( .

Cxx

CCxx

Cx Cx

dxxdxx dxxx

+=

++=

++

+=

+=+ 1

( )( )Cxxx

CCCxxx

CxCxCx

dxdxxdxx dxxx

++=

++++=

++

+

+=

+=+

6225 4

41

3625162

25 4

41

3622

2151

441

6 53

)653( .2

Teorema 1. 4: (Aturan Rantai untuk Anti Pendiferensialan)

Andaikan g adalah fungsi yang dapat didiferensialkan dengan daerah

nilainya adalah selang I, dan andaikan f adalah fungsi yang

didefinisikan pada selang I serta F adalah anti turunan dari f pada I,

maka

Cxg F dx xg xg f += ))(()())((

Bukti:

Menurut aturan rantai turunan suatu fungsi diperoleh

[ ] )(' )).(()(' )).(('))(( xgxgfxgxgFCxgFdxd

==+

Oleh karenanya, berdasar definisi integral tak tentu berlaku

Cxg F dx xg xg f += ))(()())((Contoh

( ) ( )

)(sin)( )(

)1cos( 2 ).1sin( ).1sin(2 .

)(cos)()()(

2sin 2 .2cos

222

.

tt f g'(x) xg

Ctdtttdttt

tt fx g'xg

C x dx x

=

++=+=+

=

+=

2

1

Teorema berikut merupakan keadaan khusus dari teorema 1.4.

Teorema 1. 5: (Aturan Pangkat yang Diperumum)

Andaikan g adalah fungsi yang dapat didiferensialkan dan n

bilangan rasional yang bukan 1, maka

[ ] [ ] C

n

nxgdxxgnxg ++

+= 1

1)( )()(

Bukti diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.

Contoh

( )

1

73221)32)(732( .

5

612

61 )2(

51

2

2

=

+ +=+

=

+ =

ng'(x)g(x)

Cxxdxxxx

ng'(x)g(x)

Cxdxxx

2

1.

Teknik Subsitusi Dengan Variabel Baru

Jika pada teorema 1.4 dan 1.5 di atas,

dimisalkan g(x) = u maka d[g(x)] = du sehingga g(x) dx = du

Dari teorema 1.4 diperoleh

CxgFCu F du uf dx xg xg f +=+== ))(()()()())(( Dari teorema 1.5 diperoleh

[ ] [ ] Cn

nxgCn

nu du nu dx xg nxg ++

=++

== 1)( 1)()( Prosedur ini selanjutnya disebut teknik subsitusi dengan variabel baru

Contoh

( )

( ) cos

.in 3 .3sin Jadi

3 )3(

3 misalanPenyelesai

3 .3sin Hitung .

Cu

duusdxx

dudxduxdu x

dxx

+=

=

=

=

=

: 1

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) CxCu

duuu

dxxxdxxx

dudxduxdu x

dxxx

dxxx

+=

+=

=

=

=

=

=

2sec sec

. sec tan

2 .2sec 2tan 2sec 2tan2 Jadi

2 )2(

2 misal

2 .2sec 2tan sebagai PandanganPenyelesai

2sec 2tan2 Hitung .

:

2

( )

( )Cx

Cu

duu dxxx

duxdxduxd

u x

dxx x

+ =+=

=

=

=

=

612

61

661

5 )2(5

12

Jadi

2 )12(

12 isalm

anPenyelesai

)2.(5

12

Hitung

:3.

Cxx

Cu

duu

dxxxx dxxxx

du dxx

duxx d

u x x

dxxxx

dxxxx

+ +=+=

=

+=+

=

=+

=+

+

+

4732

41

441

3

)32(3)732(3)732)(32(Jadi

)32(

)732(

732misal

)32(3)732(sebagai Pandang :anPenyelesai

3)732)(32(Hitung .4

Teknik Subsitusi Tanpa Variabel Baru

Karena g(x) dx = d[g(x)] maka dari teorema 1. 4 dapat diperoleh

Cxg F xg dxg f dx xg xg f +== ))(())(( ))(()())(( dan dari teorema 1.5 diperoleh

[ ] [ ] [ ] Cn

nxg xg dnxg dx xgn xg ++

== 1)())(( )()()( sama

Pada ruas kanan kita pikirkan g(x) sebagai u

Prosedur ini selanjutnya disebut teknik subsitusi variabel baru

Contoh

( )

( ) ( ) ( ) Cxxdxdxx xddx

dxx

+==

=

3tan )3( .3sec 3 .3sec maka

)3( 3 Karena

3 .3sec Hitung .

22

2

:anPenyelesai

1

( ) ( ) ( )C

n

nudun

uCx

x dxdxxdxdxxx

++

+=+ =

==

1

1 karena

612

61

)12(2 karena 12 5

12

)2(5

12 .2

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) CxCx

xddxx dx dxx

++=

++=

+=++=+

573151

57351.

31

1331 karena 73

473

31

473 3.

Latihan 1.1

Hitunglah dengan berbagai cara yang telah anda pelajari di atas

( )

( )

( )

( ) ( )( )

( ) t dt t . dxxxdxx dxx

dxxxxdxxxx

dxxx. dxxx

dx x . dx x .

dx x . dxx

dxxx . dx x x.

dxxdxx

dxx xdx xx

dxxxxdx

x

x

dxxx

xdxxx

dxxdxx

3cos32sin24 sin cos.cos 23.

45sin 22. 2cos .21

53221 20.

39212 19.

13281 3

12 .71

2)48(16 7315

7)52(41 212 13.

)6(9)231(12 )2(5)12(11

32 .10 21) ( 9.

) cos 2 (3sin 8. )sin (3 7.

6 42

6. 2

823x 5.

)212 (3 4 )432 5( .3

211 2. 45 .1

+

+ +++ +

+

+

+

+

++

++

+

30 cos1

sin29

41sin

41cos

21

82 sin27

3 422

362 3112

125

3 dxxx. dx

xx.

dxx

x . dt

tt .

dyy

y. dx xx

.

+

+

1.4 Penggunaan Integral Tak Tentu

Dalam bahasan ini, kita akan menggunakan integral tak tentu untuk

menyelesaikan suatu persamaan diferensial dan masalah yang melibatkan

persamaan diferensial. Tetapi di sini kita akan membatasi perhatian kita pada

persamaan diferensial sederhana yaitu persamaan diferensial yang hanya

mengandung turunan tunggal dari fungsi yang tidak diketahui dengan peubah-

peubah yang dapat dipisahkan.

Kita ingat kembali hubungan turunan, diferensial, dan integral tak tentu.

Andaikan fungsi y= F(x) dengan )()(' xfxF

dxdy

==

maka kita peroleh hubungan

+===== Cx F dx xfdy ydx x f dy x fdxdy )()()()(

\

Jika pada bentuk dxxfdyxf

dxdy )(atau )( ==

, f(x) diketahui dan y akan dicari maka

bentuk tersebut dinamakan persamaan diferensial disingkat PD.

Persamaan diferensial (PD) adalah sembarang persamaan dengan hal yang

tidak diketahui berupa fungsi dan yang melibatkan turunan atau diferensial fungsi

yang tidak diketahui tersebut. Misal,

( ) dsb 0 2 . 0 1 . 2

2

2

23

=+=++= xydxdy

dxydy

dxydx

dxdy

Menyelesaikan PD adalah mencari fungsi yang tidak diketahui tersebut.

Prosedur yang kita gunakan untuk mencari penyelesaian PD sederhana sebagai

berikut

Pertama, ubah PD menjadi dxxfdyyf )()( = dengan memisahkan variabel x dan y.

Kedua, integralkan kedua ruas dan sederhanakan sehingga diperoleh fungsi

CxFy += )( . Fungsi ini merupakan jawab (pemecahan) umum PD.

Ketiga, untuk menentukan jawab khusus PD.carilah nilai C berdasarkan syarat PD

selanjutnya subsitusikan nilai C ke jawab umum PD.

Contoh

umum) jawab(disebut 331 adalah tersebut PD jawab Jadi

331

12

12 125

125 Selesaikan .

Cxxy

Cxxy

dxxdy

dxxdyxdxdy

xdxdy

++=

++=

+= +=+=

+=

:anPenyelesai

1

7221 2adalah tersebutPD khusus jawab Jadi

7221 2 diperoleh PD umum jawab dalam 7 an Subsitusik

7 22.2123

diperoleh PD umum jawab dalam 2 di 3syarat an subsitusik aSelanjutny

PD umum jawab 221 2

241 C2

21

21

21

2

2 di 3untuk 2

Selesaikan .

21

+=

+==

=+=

==

+=

+=+

=

==

===

xy

xyC

CC

xy

Cxy

Cxy

xdxdyy

dxxdyyy

xdxdy

xyy

xdxdy

:anPenyelesai

2

22

2

2

2

9,4 sehinga 0 diperoleh 0)0(an Subsitusik

9,4 ,89 8,9 8,9 Dari

8,9 sehinga 0 diperoleh 0)0(an Subsitusik

8,9 ,89 8,9 diperoleh 8,9 Dari

0)0(dan 0)0( awalsyarat dengan 8,9

adalahrsebut masalah te dari matematika model Sehingga

dan

maka percepatan dan laju, menyatakan ditempuh, yangjarak menyatakan Bila

.m/detik 9,8itu ditempat grafitasi percepatan bilaitu saat pada lajunya

andan tentuk tanah mencapaiitu boladetik berapaSetelah m. 169 tingginyayang gedung suatu daridatar dianggap yangtanah permukaan ke lurus tegak dijatuhkan bolaSebuah .

22atau

22adalah ditanyakan yang kurvapersamaan Jadi

1 diperoleh (*) dalam 1untuk 2an Subsitusik

.......(*).................... 2

2adalah PD umum Jawab

21 1

21

2

21

2 2

21 tersebut,PD Selesaikan

1untuk 2syarat dengan 221

adalahitu masalah untuk sesuai yang matematika Model

.ordinatnyakuadrat setengah titik sembarang pada

singgung garisarah koefisien dan (1,2) titik melalui yang kurvapersamaan Tentukan .

tsCs

Ctsdttdsdttdstvdtds

tvCv

Ctvdtdvdtdvdtdv

svadtdv

dtsd

dtdva

dtdsv

avs

xy

xy

CxyCx

y

Cxy

dxy

dy

dxy

dyydxdy

xyydxdy

===

+=====

===

+====

====

===

=

=

===

+=

+=

=

==

===

:anPenyelesai

:anPenyelesai

4

3

Latihan 1.2

Untuk nomor 1 s.d 10 carilah fungsi yang memenuhi

( )

(1,1)dan titik asal titik melalui fungsirafik ; 23212

2 .21

3. dan (4,4) titik melalui fungsirafik ; 83

2

2 .11

82

2dan ,0 , 0 di 5 ; 0

3

3 10.

3 dan , 0 di 1 ; 622

2 ..9

2 di 1 ; 023 .8 0 di 3 ; 021 .7

1 di 1 ; 12

1 .6 1 di 1 ; 2

12 .5

23 4. .3

4)52( 2. 37 .1

gxxdx

yd

dxdygx

dx

yd

dx

yddxdyxy

dx

yd

dxdyxyx

dx

yd

xyyxdxdyxyxx

dxdy

xyyxdx

dyxyx

xdxdy

xydxdyyx

dxdy

xxdxdyx

dxdy

+=

==

=====

====

======+

==

+===

+=

==

==

13. Jika y = 3 untuk x = 3 dan 2

2yx

dxdy

=

carilah nilai y untuk x = 1

14. Tentukan persamaan fungsi implisit F(x,y) = 0 yang melalui titik (2,-1) dan

koefisien arah garis singgung grafik fungsi disembarang titik ditentukan

dengan persamaan 0 ,

4' = y

yxy

15. Jika grafik fungsi )(xfy = melalui titik (9,4) dan koefisien arah grafik fungsi tersebut di sembarang titik adalah xy 3'= . Tentukan persamaan fungsi tersebut!

16. Di suatu titik (x,y) pada grafik fungsi f diketahui f (x) = 2. Jika pada

daerah definisinya grafik fungsi f hanya mempunyai tepat satu titik belok di

(1,3) dan garis singgung di titik beloknya sejajar dengan garis y = 2x maka

tentukan persamaan fungsi f.

17. Kira-kira dengan kecepatan berapa seorang penyelam memasuki air setelah

melompat dari tebing sungai setinggi 30 meter. (Gunakan percepatan grafitasi

ditempat itu 9,8 m/det2)

18. Percepatan yang disebabkan oleh grafitasi suatu tempat adalah 9,8 m/det2.

Sebuah peluru ditembakkan lurus ke atas dari permukaan tanah tempat itu

yang dianggap datar dengan kecepatan 50 m/det. Setelah berapa detik peluru

mencapai titik tertinggi dan berapa jarak titik tertinggi tersebut dari tanah?

19. Suatu titik meteri bergerak dari keadaan diam dengan percepatan pada setiap

t ditentukan dengan persamaan a(t) = t(4 t) m/det2 . Tentukan kecepatan titik

materi itu sebagai fungsi dari t. Setelah berapa detik titik materi itu berhenti

dan bergerak lagi. Tentukan persamaan gerak titik materi itu.

20. Seorang kolektor benda-benda seni membeli sebuah lukisan dari seorang

seniman seharga $1000, yang nilainya sekarang bertambah sejalan dengan

berjalannya waktu sesuai dengan rumus 50105 ++= ttt

dtdv

dengan v adalah

nilai dolar yang diharapkan dari lukisan sesudah t tahun pembelian. Jika

rumus ini berlaku untuk 6 tahun kemudian, berapa nilai harapan dari lukisan

itu empat tahun dari waktu pembelian?

1.5 Penggunaan Integral Tentu

Integral tentu khususnya integral tunggal dapat digunakan dalam meng-hitung luas

daerah bidang rata, volume benda putar, panjang kurva, luas permukaan benda

putar, usaha yang dilakukan oleh gaya tertentu, gaya pada cairan, momen dan pusat

massa.

A. Luas Daerah Bidang Rata Untuk menghitung luas daerah bidang rata menggunakan integral diperlukan

prosedur sbb:

Gambar daerah bersangkutan

Potong menjadi jalur-jalur

Hampiri luas suatu jalur dengan luas persegi panjang

Jumlahkan luas hampiran tersebut

Ambilah limit dari jumlah itu dan nyatakan dalam integral

Hitung Integralnya = luas daerah.

y=f(x)

y y=f(x) y y D y=g(x)

D

a b a b x x a b x D

Gambar 1. Gambar 2. Gambar 3.

1. Daerah di atas sumbu-x

Perhatikan gambar 1 daerah datar D adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x) dengan f(x) 0 pada [a,b], garis x = a, garis x = b, dan sumbu-x. Luas daerah D yang demikian dapat dinyatakan sebagai

=b

adxxfDL )()(

2. Daerah di bawah sumbu-x.

Perhatikan gambar 2 daerah datar D adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y= f(x) dengan f(x) 0 pada [a,b], garis x = a, garis x = b, dan sumbu-x. Luas daerah D yang demikian dapat dinyatakan sebagai

=b

adxxfDL )()(

3. Daerah antara dua kurva

Perhatikan gambar 3. Daerah datar D adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y= f(x), kurva y = g(x) dengan f(x) g(x) pada [a,b], garis x = a, garis x = b, dan sumbu-x. Luas daerah D yang demikian dapat dinyatakan sebagai

[ ] = ba

dxxgxfDL )()( )(

Bahan diskusi1. Bagaimana bentuk integral yang menyatakan luas suatu daerah yang terletak di kanan sumbu-

y, di kiri sumbu-y, dan antara dua kurva, jika kurva pembatasannya dinyatakan sebagai x =

f(y) dan garis-garis pembatasnya y = c, y = d, dan sb y.

2. Tunjukan luas daerah: persegi panjang, segitiga, trapesium, lingkaran dengan

menggunakan integral tunggal.

3. Hitung luas daerah yang dibatasi kurva-kurva dan garis-garis sebagai berikut:

xxy, x yxxx xy

x, x x, x y

xy,xyyx, xx xy

-sumbudan ,6 f. -sumbudan 623 c.

0x,2y6y xe. -sumbudan ,sin b.

2 2 d. -sbdan -sb ,2322 a.

+===

=====

+====

B. Volume Benda Putar

Benda putar adalah benda pejal yang didapat dari hasil pemutaran daerah datar terhadap suatu garis tertentu (sumbu putar). Dasar perhitungan menggunakan rumus volume tabung

1. Metode Cakram

Jika daerah yang dibatasi kurva y = f(x), garis x = a, x = b, dan sb-x dibawah, diputar mengelilingi sumbu x , akan didapat suatu benda putar. Apabila benda putar ini dipotong-potong tegak lurus sb-x akan diperoleh lempengan berupa cakram. Andaikan lempengan yang ke-i memiliki tebal xi dan volume Vi .

xi

y=f(x) f(xi)

a xi b sb x

h

Rumus dasar: hrV 2 pi= dengan )( ixfr = dan i

xh =

Volume lempengan ke-i [ ] ixixfiV = 2 )( piJika dijumlahkan dan diambil limitnya diperoleh

V =

dxb

a xf 2)]([

sumbu

putar sumbu x

2. Metode Cincin

Jika daerah yang dibatasi kurva y = f(x) dan y = g(x) di bawah diputar mengelilingi sumbu x , akan didapat suatu benda putar. Apabila benda putar ini dipotong-potong tegak lurus sumbu-x akan diperoleh lempengan berupa cincin. Andaikan lempengan yang ke-i memiliki tebal xi dan volume Vi .

xi y=f(x) r1 y=g(x) r2 sbx a b

h

Rumus dasar ( ) hrrhrhrV 22 21 22 21 == pipipi Volume lempengan ke-i [ ] ixixgixfiV = 2)(2)( piJika dijumlahkan dan diambil limitnya diperoleh

V =

[ ] ba

dxxgxf 2)(2)( pi

, sumbu putar sb x

3. Metode Kulit Tabung

Dalam berbagai persoalan metode ini lebih mudah digunakan.

r1 r2

h h K=2 r r = r1 r2

Rumus dasar

( )( )( )

( ) ( ) x tebal x tinggijari-jari rerata x 2

2 1 2

2 1 2

2 12 1

22 2

1 22

21

pi

pi

pi

pipipi

=

+=

+=

==

rrhrr

hrrrr

hrrhrhrV

[ ] [ ] xxfxVixixfixiV )( 2 sehingga )( 2 pipi

y y y=f(x) xi

f(xi)

a b a b xi

Sehingga volume benda putar

[ ] dxba

xfx= )( 2pi, sumbu putar sb y

Bahan diskusi

I. Tuliskan integral yang menyatakan volume benda putar yang terjadi kemudian hitunglah, jika daerah D dibatasi kurva-kurva dan atau garis-garis yang persama-annya diberikan dan diputar mengelilingi sumbu putar yang diketahui di bawah ini. 1. y = 2x , x = 3 , sumbu x 4. y = x2 + 1, x = 2, sumbu y

2. y = 2x , x = 3 , sumbu y 5. y = x + 1 , x = 2 , x = 5 , sumbu y

3. y = x2 + 1, x = 2, sumbu x 6. y = 2x2r , y = 0, x = 0, sumbu x

II. Apakah vormula yang kita bahas di atas mampu untuk menjawab persoalan berikut? Tentukan volume benda yang alasnya adalah suatu daerah rata pada kuadran yang dibatasi

oleh 41

2xy = , sumbu x dan sumbu y dan andaikan penampang-penampang yang tegak

lurus sumbu x berbentuk persegi. Jika tidak, bagaimana kita menghitungnya?

Latihan:

Soal-soal 6.2 dan 6.3. Buku Kalkulus dan Geometri Analitis. Purcell. jilid 1. Edisi 5

C. Panjang Kurva pada Bidang (Kurva Rata)

Definisi: Sebuah kurva rata disebut mulus apabila kurva tersebut ditentukan oleh persamaan-persamaan btatgytfx , )( ),( == , dengan ketentuan bahwa turunan-turunan f dan g kontinu pada [a,b] sedangkan f(t) dan g(t) tidak bersama-sama nol pada (a,b)

Andaikan terhadap sebuah kurva mulus dengan persamaan parameter btatgytfx , )( ),( ==

kita buat partisi pada selang [a,b] menjadi n selang bagian dengan titik-titik a=t0

y Qi Qi Qn Si Q i-1 wi yi

Q i-1 xi

x

Kemudian kita aproksimasi kurva itu dengan segi banyak, kita hitung panjangnya dan ditarik limitnya dengan norma partisi mendekati nol.

Khususnya kita aproksimasi Si dengan wi jadi Si wi

( ) ( )[ ] [ ] 2)1()(2)1()(

22

+

=

+=

itgitgitfitf

iyixiw

Menggunakan Teorema Nilai Rata-rata untuk Turunan,

yakni adanya [ ]iii ttt , 1 sehingga

=

=

)(')1()(

)(')1()( ititgitgitgititfitfitf

dengan 1

= ititit

Dengan demikian

[ ] [ ] [ ] [ ] ititgitfititgititfiw +=+= 2)('2)('2)('2)(' [ ] [ ] ititgitfni iw = += =

n

1i

2)('

2)('

1

Jadi, jika kurvanya btatgytfx , )( ),( == maka panjang kurva adalah

[ ] [ ]

+=

+=

ba

dtdt

dy

dt

dx

b

adttgtfL

22

2

)('2

)('

Jika kurvanya bxaxfy ),( = maka panjang kurva adalah

+=

b

adx

dx

dyL

2

1

Jika kurvanya dycyfx ),( = maka panjang kurva adalah

+=

b

ady

dy

dxL

2

1

Latihan:Soal-soal 6.4. Buku Kalkulus dan Geometri Analitis. Purcell. jilid 1. Edisi 5

Diferensial Panjang Busur

Andaikan f sebuah fungsi yang dapat didiferensialkan pada [a,b], kita defiisikan

s(x) melalui du

x

aufxs += 2)]('[1)(

maka s(x) adalah panjang busur y = f(u) antara titik (a,f(a)) dan (x,f(x)).

. (x,f(x) . (a,f(a)) ds dy

a x b sb-x dx

Dari

dux

aufxs += 2)]('[1)(

diperoleh

2

12)]('[1

+=+=

dx

dyxf

dx

ds

atau dx

dx

dyds

2

1

+=

Sehingga kita dapatkan rumus ds berikut (tergantung persamaan kurvanya):

)(),( kurvauntuk

22

)( kurvauntuk

2

1

)( kurvauntuk

2

1

tgytfxdtdt

dy

dt

dxds

yfxdydy

dxds

xfydxdx

dyds

==+=

=+=

=+=


D. Luas Permukaan Benda Putar

Apabila suatu kurva yang terletak pada suatu bidang diputar mengelilingi

suatu garis pada bidang tersebut maka akan diperoleh suatu permukaan benda putar.

Rumus dasar l

rumus luas kerucut terpancung r1 r2

lrr

A 2

212

+= pi

1. Pemutaran mengelilingi sumbu x

Andaikan pada sebuah kurva mulus di kuadran I atau ke II dengan persamaan parameter btatgytfx , )( ),( == Kita buat partisi [a,b] dengan titik-titik a=t0

Apabila kurva tersebut diputar mengelilingi sumbu x, maka bagian ini akan

membentuk kerucut terpancung yang luasnya iisy 2pi

Sehingga luas permukaan hasil pemutaran kurva tersebut adalah

==

=

dsysyA in

iiP

2 2lim10

pipi

Kita dapatkan rumus luas permukaan benda putar (seirama dengan rumus ds yang tergantung pada persamaan kurvanya)

( ) ( )

( ) ( ) 22 )(2 )(2

, )(),( kurvaUntuk

2

1 2 )(2

),( kurvaUntuk

+==

==

+==

=

b

adt

dtdy

dtdxtgds

b

atgA

btatgytfx

b

adx

dxdyxfds

b

axfA

bxaxfy

pipi

pipi

b. Pemutaran mengelilingi sumbu y

Analog dengan pemutaran mengelilingi sumbu x, diperoleh:

==

= dsxisn

iixP

A 21

20

lim pipi

Kita dapatkan rumus luas permukaan benda putar (seirama dengan rumus ds yang tergantung persamaan kurvanya) berikut:

( ) ( )

2

1 2 )(2

),( kurvaUntuk

+==

=

d

cdy

dydxyfds

d

cyfA

dycyfx

pipi

( ) ( ) 22 )(2 )(2

, )(),( kurvaUntuk

+==

==

b

adt

dtdy

dtdxtfds

b

atfA

btatgytfx

pipi


E. Usaha/Kerja

Dalam Fisika, apabila suatu benda bergerak sejauh d sepanjang suatu garis dan ada gaya F yang konstan yang menggerakkan benda itu dengan arah searah gerak benda, maka Usaha/kerja W yang dilakukan oleh gaya tersebut adalah W= F . d

Andaikan benda bergerak sepanjang sb x dari x=a sampai x=b dan ada gaya yang menggerakan benda itu F(x) dengan metode: patisikan [a,b], aproksimasi, dan integralkan di peroleh

=b

adxxFWxxFW )( )(

Contoh:1. Apabila panjang pegas alami 10 inci dan diperlukan gaya 3 pon untuk

menarik dan menahannya sejauh 2 inci, tentukan usaha yang diperlukan untuk menarik pegas itu sejauh 15 inci dari keadaan alami?Jawab:Dasarnya Hukum Hoke: gaya F(x) yang diperlukan untuk menarik pegas sejauh x adalah F(x) = kx, dengan k konstanta pegas.

Karena diketahui diperlukan gaya 3 pon untuk menarik dan menahannya sejauh 2 inci, maka 3 = k.2 k= 3/2, sehinga F(x) = 3/2 xJika pegas dalam keadaan alami 10 inci identik dengan x=0 maka panjang pegas 15 inci identik dengan x=5.

Jadi usaha yang dilakukan pon -inci 75,18

235

0

== dxxW

2. Tentukan besarnya usaha yang diperlukan untuk memompa air sampai

mencapai tepi tangki, tangki ini panjangnya 50 kaki dan ujung-ujungnya berbentuk setengah lingkaran dengan jari-jari 10 kaki; tinggi air dalam tangki 7 kaki.

Pada lempengan besarnya y Gaya = beratnya = kepadatan air x volume = x ylr . .2

-y r r x = yx . 05 .2 .

-10 y = ( ) yy . 05 .102 . 22

Lempengan ini harus diangkat sejauh ( y), sehingga

( )( ) 62,4dengan ; 1050.2 310

22==

dyyyW pon tiap kaki kubik


F. Gaya Cairan

Dasar hukum Blaise Pascal: tekanan (=gaya pada tiap satuan luas) dari cairan sama besar dari arah manapun. Jadi tekanan pada semua titik sebuah permukaan sama besarnya, tidak peduli apakah permukaan datar, tegak atau miring.

Jika sebuah tangki dengan alas berbentuk persegi panjang dengan luas A berisi cairan (fluida) dengan kepadatan setinggi h, maka gaya yang bekerja pada dasar tangki adalah AhF =

Contoh: Andaikan tangki yang penampangnya seperti pada gambar, diisi dengan air ( =62,4 pon tiap kaki kubik) dengan kedalaman 5 kaki. Hitunglah gaya total yang bekeja pada tepi tersebut!

Gaya yang bekerja pada kedalaman 5-y yxyAhF = )5( Dengan x diperoleh dari persamaan y = 3x 24

10 kaki letakan pada system y=3x-24 6

6 kaki Cairan 5 kaki 5-y y

8 kaki 0 8 x 10

Jadi ( ) +=

5

0 3245 dyyyF


G. Momen dan Pusat Massa

Hasil kali massa dan jarak berarah dari suatu titik tertentu dinamakan momen partikel (benda) terhadap titik tersebut. Momen ini mengukur kecenderungan massa yang menghasilkan putaran pada titik tersebut. Syarat agar massa pada suatu garis berimbang pada suatu titik di garis itu adalah jumlah momen-momen terhadap titik itu sama dengan nol. m Jumlah momen M (terhadap titik asal) suatu x sistem yang terdiri atas n massa: m1, m2, ,mn yang berjarak masing-masing di x1, x2, ,xn M= x.m pada sumbu x adalah

M = x1 m1 + x2 m2 + x3 m3 ++ xn mn=n iimx

1

Ilustrasi m1 m2 m3 m4 mi mn x1 x2 0 x3 x4 xi xn

dimanakah koordinat titik seimbang?Misal koordinat titik seimbangnya adalah x , karena syarat seimbangan momen

system terhadap titik x adalah nol maka (x1 x )m1 + (x2 x )m2 + +(xi x )mn ++ (xn x )mn = 0 x1 m1 + x2 m2 + +xi mn ++ xn mn= x m1 + x m2 + + x mn ++ x mn

Sehingga =

=

== n

i im

n

i imix

mMx

1

1

1. Distribusi Massa Yang Kontinu Pada Suatu Garis

Misal sepotong kawat dengan kepadatan yang berlainan (massa tiap satuan panjang). Kita akan mengetahui kedudukan titik beratnya. Kita letakkan kawat itu pada system koordinat, andaikan kepadatan di x adalah )(x menggunakan metode potong, aproksimasi, dan integralkan diperoleh

=

==

b

adxx

b

adxxx

x

b

adxxxM

b

adxxm

xxxMxxm

)(

)(

sehingga

)( dan )(

)(dan )(

2. Distribusi Massa Pada Bidang

Andaikan n massa titik m1, m2, ,mi, , mn yang terletak pada titik (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3), ,(xi,yi),., (xn,yn) pada bidang xoy.Maka

=

=

==

=

=

==

=

==

=

n

i im

n

i imiy

mxM

n

i im

n

i imix

myMx

yx

n

i imiyxM

n

i imixyM

xy

y

1

1

1

1

dengan ),(adalah sistemberat titik Koordinat

1

1

sumbu adapmomen terhJumlah sumbu adapmomen terhJumlah

Andaikan sepotong lamina homogen yang dibatasi oleh x=a, x=b, y=f(x) dan y=g(x), dengan f(x) g(x) pada [a,b]

y y=f(x)

. y=g(x)

2)()( xgxf +

a 0 x b sb x

Dengan metode potong, aproksimasi, dan integralkan diperoleh

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

=

=

=

b

adxxgxfyxMxxgxfyxM

b

adxxgxfxyMxxgxfxyM

b

adxxgxfmxxgxfm

)()( )()(

)()( )()(

)()( )()(

( )[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

=

==

=

==

b

adxxgxf

b

adxxgxfy

b

adxxgxf

b

adxxgxfy

mxM

b

adxxgxf

b

adxxgxfx

b

adxxgxf

b

adxxgxfx

myMx

yx

y

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

dengan , beratnyatitik koordinat Jadi


FUNGSI TRANSENDEN

1. Fungsi Logaritma Natural (Asli)

Sepengatuhan anda saat belajar kalkulus diferensial dalam mata kuliah

Kalkulus I, apakah anda menemukan fungsi yang memiliki turunan x1

?

[ ][ ]

3 221

2 1

1 ..?..

0

1 22

2 33

=

=

=

=

=

=

xxdxd

xxdxd

xdxd

xxdxd

xxdxd

xxdxd

Situasi di atas memicu munculnya fungsi baru yang memenuhi

[ ] 1 ..?.. = xdxd

.

Definisi

Fungsi logaritma natural, ditulis sebagai ln, didefinisikan dengan

0 , 1

1 ln >= xdtx tx

Perhatikan!

Daerah definisi dan nilai fungsi ini adalah ( ) RRD ff == dan ,0

Untuk 10

Untuk 1=x , 0

11 1ln

1== dtt

Untuk 1>x , 0

11 ln >= dtx tx

Turunan Fungsi Logaritma Asli

[ ]dxdu

uu

dxdxfu

x xdx

dyxy

.1ln maka ,0)( Jika 2.

0,1 maka ln Jika 1.

:Teorema

=>=

>==

Bukti: 1. [ ] 0 , 1

1 1 ln >=

== xx

xdt

tdxdx

dxd

dxdy

Gunakan aturan rantau untuk membuktikan yang ke 2.

Contoh:

( ) ( ) ),2()3,(02306 pada yaitu ini fungsi definisidaerah padaberlaku ini

612)12.(

61)( :Jawab

)6ln()( dari pertamaurunan Tentukan t 1.

2

22

2

>+>+

+

+=+

+=

+=

xxxx

xxxx

xxdxxdf

xxxf

0 , 1 0, 1

0,1)1.(1)( maka

0 , ln 0 ),ln(

ln)( :Jawab

ln)( dari pertamaurunan Tentukan t .2

=

>

Sifat Logaritma Asli

Teorema

Jika a dan b bilangan-bilangan positif dan r bilangan rasional, maka

araiv

babaiii

baabiii

r lnln .

lnlnln .

lnlnln . 01ln .

=

=

+=

=

Bukti:

T.i. 011ln diperoleh definisi Dari

1

1== dtt

T. ii. Karena untuk x > 0 berlaku

[ ] [ ]x

xdxd

xa

axax

dxd 1lndan 1.1ln ===

maka Cxax += lnln

untuk x = 1 diperoleh C = ln a sehingga axax lnlnln +=

dan jika kita subsitusikan x = b kita peroleh baab lnlnln +=

T. iii. Jika pada T.ii kita subsitusikan 01lnlnperoleh kita 1 === ab

ba

bab

ab

aba

bb

bb

bb

lnln1lnln1.lnln sehingga

ln1ln maka ln1ln.1ln padahal

=+==

=+=

T. iv. Karena untuk x > 0 berlaku

[ ] [ ]xrxr

dxd

xrrx

xx

dxd r

rr

=== lndan .1ln 1

maka Cxrxr += lnln

untuk x = 1 diperoleh C = ln 1= 0 sehingga xrxr lnln =

Contoh 1:

[ ]( )

( ) [ ]( )

8ln21

324ln

213ln24ln

21

1ln 211

11

21

1 atau

8ln21

324ln

213ln24ln

21

ln 21 1

21

1 Sehingga

245 32

21

1

Misal :Jawab

1

Tentukan

5

2 22

5

22

5

22

24 3

24

3

5

22

2

5

22

===

=

=

===

==

==

==

=

=

xxdx

dxx

x

uduu

dxx

x

uxux

duxdxux

dxx

x

Contoh 2:

Tentukan turunan dari 3

235ln

xxy +=

Jawab: Karena

[ ]xxx

xy ln23ln)5ln(31

35ln 3 2 +=

+=

Maka )5(31020

51

31

+

+=

+=

xxx

xxdxdy

Grafik Fungsi Logaritma Natural

Perhatikan fungsi y = ln x dengan ( ) RRD ff == dan ,0 , grafik fungsi ini melalui titik (1,0). Turunan pertama dan keduanya adalah

01dan 0 1 22

2=

xdxyd

xdxdy

Sehingga grafik fungsi naik dan cekung kebawah pada daerah definisinya.

Kemudian ==

+xx

xxlnlimitdan lnlimit

0

jadi sumbu y merupakan asymtot tegak. Y

0 1 X


2. Fungsi Invers

Kita akan mengulas secara umum pembalikan atau penginversan suatu fungsi.

Kita ingat bahwa ciri suatu fungsi mempunyai balikan atau invers, apabila

fungsi itu merupakan fungsi satu-kesatu, yaitu

( ) ( )2121 xfxfxx

Sifat yang mudah adalah

Teorema

Apabila f monoton murni pada daerah definisinya, maka f mempunyai invers.

Selanjutnya apabila 1f adalah invers dari fungsi f , maka sebaliknya f juga

merupakan infers dari fungsi 1f .Jadi antara f dan

1f saling menginvers dan

berlaku (1f o f )(x)=

1f (f(x)) = x dan f(1f (y)) = y

Jadi untuk membuktikan bahwa suatu fungsi mempunyai invers, tunjukkan

bahwa fungsi tersebut monoton murni atau berlaku

(1f o f )(x)=

1f (f(x)) = x dan f(1f (y)) = y

Cara untuk menentukan invers fungsi y = f(x) sebagai berikut:

Langkah 1. Nyatakan x dalam y dari persamaan y = f(x)

Langkah 2. Nyatakan bentuk dalam y sebagai x =1f (y)

Langkah 3. Gantikan y dengan x dan x dengan y dari bentuk x =1f (y)

Perhatikan bahwa dengan menentukan x =1f (y) dari y = f(x) berarti

menentukan pasangan titik (x,y) yang sama atau identik, hanya menukar

variabel x dengan variabel y sebagai varibel bebas. Penukaran ini

mengakibatkan pencerminan grafik fungsi pada garis y = x. Jadi grafik fungsi

invers dan grafik fungsi asalnya simetris terhadap garis y = x.

Contoh: Jika fungsi f didefinisikan sebagai 1)(

+=

xxxf

. Tentukan rumus

fungsi invers, garfik fungsi dan grafik fungsi inversnya.

Turunan Fungsi Invers

Teorema. (Turunan Fungsi Invers)

Apabila f mempunyai turunan dan monoton murni pada selang I. Jika 0)( xf pada suatu Ix , maka

1f mempunyai turunan di titik )(xfy = pada daerah hasil f dan berlaku

( )

)(1)(1

xfyf

=

atau dxdydy

dx 1=

Contoh: Tentukan turunan dari ( ) )7(1 f dari 1)( 3 == xxfyLatihan:Soal-soal 7.2. Buku Kalkulus dan Geometri Analitis. Purcell. jilid 1. Edisi 5

3. Fungsi Eksponen Asli

Dari sifat kekontinuan fungsi logaritma natural kita dapat definisikan bilangan

e (bilangan ini pertama kali digunakan oleh Leonhard Euler) sebagai berikut:

Definisi

1. Bilangan e adalah bilangan real positif yang merupakan jawab

tunggal dari persamaan ln x = 1 (atau memenuhi ln e = 1). Nilai

hampirannya ialah 2,718281828459...

2.xe adalah bilangan real yang memenuhi xex =ln

3. Fungsi eksponen asli adalah suatu fungsi yang didefinsikan Rxexfy x == , )(

Dari definisi di atas dapat dibuktikan bahwa fungsi eksponen asli adalah invers

dari fungsi logaritma asli.

Teorema

Fungsi Rxeyx = , adalah invers dari fungsi 0 , ln >= xxy

Akibatnya: 0 , ln , >== yyxRxeyx

Grafik Fungsi Eksponen Asli y=ex y=x

Y

y= ln x

1

0 1 X

Bentuk Limit Dari Bilangan e

Teorema

( )n

n

n

n

n

nh

h

neiv

neii

neiiihei

=

+=

+=+=

+

+

11limit . 11limit .

11limit . 1limit .1

0

Bukti:

i. Misal xxf ln)( = maka 1

11)1(dan 1)( === f

xxf

sehingga

( ) ( )( )

( ) hh

hh

hhhh

he

xxf

he

hh

hh

fhffe

1

0

1

0

1

000

1limit

maka kesatu,-satu fungsimerupakan ln)( fungsi Karena

.1limitlnln peroleh kita

1lnlimit1lnlimit)1()1(limit)1(1ln

+=

=

+=+=

+=

+===

Selanjutnya silahkan anda buktikan ii, iii, dan iv dengan menggantikan n

h=

1

dari bentuk i.

Sifat-sifat Eksponen AsliTeorema

Andaikan a dan b bilangan rasional, maka

( ) abbababababa eeiiieeeiieeei === + . . . .

Bukti i:

baebeaee

beaeeee ba +=

+

==

lnln.ln.

. Selanjutnya untuk ii dan iii silahkan anda buktikan sendiri.

Turunan Fungsi Eksponen Asli

Teorema

dxdue

dxdyxfuey

edxdyey

uu

xx

. maka )(dengan , Jika 2.

maka Jika 1.

===

==

Bukti: Karena 0 , ln , >== yyxRxeyx

maka

xeydxdy

ydydx

===1

Dengan aturan rantai, buktikan yang ke 2.

Contoh:

322322

232

32

42)(dan 2)( :Jawab

)( dari keduadan pertamaurunan Tentukan t

+++

+

+==

=

xxx

x

exedx

xfdxedx

xdf

exf

Integral Fungsi Eksponen Asli

Dari sifat turunan fungsi eksponen kita peroleh

Cedx e xx += dan Cedu e uu +=

Contoh:

( )eeedeedxeedxe

Cexdedxxe

dxxe

exexxexxexxe

xxx

x

=

===

+==

+

22

0

2

0

2

0

2

0

)(

5225252

52

. Hitung .2

215

21 :Jawab

Tentukan .1


4. Fungsi Eksponen Umum dan Logaritma Umum

Fungsi eksponen umum ialah fungsi eksponen dengan bilangan dasar a >

0. Dari relasi Rbeaaabb =>= , 0 , ln

kita peroleh 0 , ln >= aea a sehingga ( ) 0 , lnln >== aeea axxax

Definisi

Fungsi eksponen dengan bilangan dasar a > 0 dan peubah bebas x

didefinisikan sebagai axx eaxf ln)( ==

Daerah definisinya adalah RD f = dan daerah nilainya ( )+= ,0fRSifat-sifat Eksponen UmumTeorema

Andaikan a > 0 , b > 0 , x dan y bilangan real, maka ( )

( ) xyyxx

xxyx

y

x

xxxyxyx

aaiii

ba

bava

aaii

baabivaaai

=

=

=

==

+

.

. . .

Akan dibuktikan untuk iii dan v, yang lain buktikan sendiri.

Bukti: ( ) ( ) xyxyaayxyaxyx aeeeaiii ==== lnlnln .

( )y

x

bx

axbaxb

axx

ba

eeee

bav ====

ln

lnlnln

ln .

Diferensial dan Integral Fungsi Eksponen umum

Teorema

1 ,ln

atau 1 , ln

.

.ln.)(, .

ln .

+=+=

===

==

aCaaduaaC

aadxaiii

dxduaa

dxdyxfuayii

aadxdyayi

uu

xx

uu

xx

Bukti:

1 ,

ln

1 ,)(ln1

1 , )(ln1ln)( .

ln)(

ln)(.)(

1

lnln)(ln)( .

+=

=

==

=

=

===

aCa

adxa

axdfa

dxa

adxaxdfa

aadx

xdfiii

aadx

xdf

adx

xdfxf

axaxfaxfi

xx

x

xx

x

xx

Contoh:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxxxx

xxdx

xdfxf

dxdyy

sinsinsin 2cos2lncos2ln 2)( 2)( .2

3ln3 3 .1

===

==

Grafik Fungsi 0,)( >= aaxfx

0 < a < 1 Y a > 1

1

X

Fungsi Logaritma Umum ialah fungsi logaritma dengan bilangan pokok (bilangan dasar) a > 0 dan a 1.

Definisi

Jika 0>a dan 1a , maka fungsi logaritma dengan bilangan pokok a,

ditulis xxfa log )( = didefinisikan sebagai invers fungsi

0, >= aay x .

Akibatnya: 1 , 0 , log >== aaaxxyya

Perhatikan hubungan berikut,

axx

axyayxax ay

lnlnlogatau

lnlnlnln ====

Jika kita ganti a dengan e kita peroleh x

exxe ln

lnlnlog ==

Teorema

i. axdxdyxy a

ln1 maka log Jika ==

ii. dxdu

audxdyxfuuy a .

ln1 maka )( ,log Jika ===

Bukti i: axdxdy

axxy a

ln1

lnlnlog ===

Selanjutnya silahkan anda buktikan teorema ii.

Grafik Fungsi xxfa log )( =

Y 0 < a < 1 a > 1

1 X

5. Penggunaan Fungsi Logaritma dan Eksponen

a. Pendiferensialan Logaritma

Dalam kasus tertentu metode ini sangat efektif.

Contoh 1: Tentukan turunan dari 3 12)4(

7+

+=

xxxy

Jawab: Karena

( ) ( ) ( )12ln

314ln7ln

21

12)4(7lnln 3 ++=+

+= xxx

xxxy

Maka

( )( )

( )

( )

+

++

+=

+

+=

+

+==

)12(32

41

721

12)4(7

)12(32

41

721

)12(32

41

7211ln

3 xxxxxx

dxdy

xxxy

dxdy

xxxdxdy

ydxyd

Latihan: Gunakan pendiferensialan logaritma untuk

1. Menentukan turunan dari )(dan ),(),(dengan , xhwxgvxfuuvwy ====

Gunakan rumus yang anda peroleh untuk menentukan turunan pertama

dari ( ) ( ) 1251 2232 ++= xxxy2. Carilah rumus turunan pertama dari [ ] { }0)(,)( )( >= xgxxxfy xg

Gunakan rumus yang anda peroleh untuk menentukan turunan pertama

dari ( ) sin ). , ). , ). cossin xxx xycxybxya ===

b. Limit Fungsi Bentuk Tak Tentu

1dan , ,0 00

Untuk menghitung limit bentuk ini, tulislah limitnya sebagai L kemudian

ambilah logaritma natural dari kedua ruasnya, gunakan sifat kekontinuan

fungsi logaritma dan selesaikan limitnya dengan teorema Lhospital.

Bentuk 00

Bentuk ini muncul dari [ ] 0)(limit)(limitdengan )( limit )( ==

xgxfxf

axaxxg

ax

+ xxax atau atau sepihak limit digantidapat

Contoh: Hitunglah limit

0

x

xx

+

Jawab: Andaikan limit

0

x

xxL

+

=

maka

0)(limit11 limit1

ln limit

ln limit limitlnln

02

00

00

==

==

==

+++

++

xxx

x

x

xxL

xxx

x

x

x

x

Jadi L = 10 =e atau 1 limit

0=

+

x

xx

Bentuk 0

Bentuk ini muncul dari

[ ] 0)(limitdan )(limitdengan )( limit )( = =

xgxfxfaxax

xgax


Contoh: Hitunglah ( ) 1 limit ln1 x

xx+

+

Jawab: Andaikan ( ) 1 limit ln1 x

xxL +=

+ maka

( ) ( )( ) 1

11limit

1limit

ln1lnlimit

1lnlimit 1 limitlnln ln1ln1

==

+=

+=

+=+=

+++

++

xxx

xx

xx

xx

xx

xxL

Jadi L = ee =1 atau ( ) 1 limit ln1 ex x

x=+

+

Bentuk 1

Bentuk ini muncul dari

[ ] +==

)(limitdan 1)(limitdengan )( limit )( xgxfxfaxax

xgax


Contoh: Hitunglah ( ) 1 limit csc

0

x

xx

+

Jawab: Andaikan ( ) 1 limit csc

0

x

xxL =

+ maka

( ) ( )( ) ( ) 1

11

cos11 limit

sin1ln limit

1ln limit 1 limitlnln

00

csc

0

csc

0

==

=

=

==

++

++

xx

xx

xxL

xx

x

x

x

x

Jadi ( ) 1csc

0 1 limit

+

= ex xx

5. Fungsi Invers Trigonometri

Karena fungsi trigonometri pada daerah definisinya (himpunan bilangan real)

bukan merupakan fungsi satu-kesatu maka fungsi trigonometri tersebut tidak

mempunyai invers, tetapi dengan membatasi daerah definisi fungsi

trigonometri kita dapat mendefinisikan fungsi invers untuk semua fungsi

trigonometri.

Definisi

0,22

dengan csc 1csc .

2,0dengan sec 1sec .

0dengan cot 1cot .

22dengan tan 1tan .

0dengan cos 1cos .

22dengan sin 1sin .

1 , 1

1 maka csc Jika .

1 , 1

1 maka sec Jika .

11 maka cot Jika .

1

1 maka tan Jika .

11 , 1

1 maka cos Jika .

11 , 1

1 maka sin Jika .

21

21

21

21

21

21

>

==

>

==

+

==

+==

2122

2

1

11

)(tansec1

sec1

sec

tan tan .

- xxydxdy

ydydx

yxxyii

+===

=

==

Contoh:

Integral Fungsi Invers Trigonometri

Dari rumus turunan fungsi invers trigonometri kita peroleh rumus integral berikut. Silahkan Anda buktikan!

Teorema

0 , sec1 1 .

0 , tan1 1 .

0, sin 1 .

csc atau sec 1

1 .

cot atau tan 1

1 .

cosatau sin 1

1 .

122

122

122

112

112

112

>+=

+=+

>+=

+=+=

+=+=+

+=+=

aCax

adx

axxvi

aCax

adx

xav

aCax dx

xaiv

CxCxdxxx

iii

CxCxdxx

ii

CxCx dxx

i

Perhatikan!

0 , tan1

1

1 1 1 1222 +=

+

=

+

aCax

aaxd

axa

dxxa

Contoh:

Cx

dxxx

Cxdxx

+=

+=

4sec

41

16

1 .2

3sin

9

1 .1

12

12

6. Fungsi Hiperbolik dan Inversnya

Bentuk parameter hiperbol satuan 122

= yx dapat ditampilkan sebagai fungsi sinus dan cosinus hiperbolik. Fungsi hiperbolik didefinisikan sebagai

kombinasi dari fungsi xey = dan

xey =

Definisi

( ) ( )

xxxx

xx

xx

xx

xx

xxxx

eexxfiv

eexxfv

eeeexxfiv

eeeexxfiii

eexxfiieexxfi

===

+===

+===

+

===

+====

2sinh

1csch )(. 2cosh

1sech )( .

sinhcoshcoth)(.

coshsinhtanh)( .

21cosh)( .

21sinh)( .

Untuk sinh, cosh, tanh, dan coth terdefinisi pada R, sedangkan untuk sech dan

csch terdefinisi pada { }0R .

Keterkaitan Fungsi hiperbolik dengan hiperbol 122

= yx

Y Y 1 sinh t (x,y) sin t (x,y)

t t -1 cos t 1 X -1 1 cosh t X

parameter ;

sincos

122

ttytx

yx

=

=

=+

parameter ;

sinhcosh

122

ttytx

yx

=

=

=

Sifat-sifat Fungsi HiperbolikSifat fungsi hiperbolik mirip dengan fungsi trigonometri. Teorema ini

dibuktikan dengan menggunakan definisi dan sifat eksponen, silahkan Anda

buktikan!

Teorema

2csch12coth 12. csch )csch( .6

2sech 2tanh1 11. sech )sech( .5

12sinh 2cosh 10. coth)coth( .4

sinhcosh 9. tanh)tanh( .3

sinhcosh 8. cosh )cosh( .2

coth 1 tanh 7. sinh)sinh( .1

xxxx

xxxx

xxxx

xexxxx

xexxxx

xxxx

==

==

==

==

=+=

==

xxx

xxxxxxxx

yxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyx

2tanh1tanh 22 tanh.19

2sinh112cosh22sinh2cosh 2cosh .18coshsinh2 2sinh 17.

sinh sinh cosh cosh )cosh( 16.sinh sinh cosh cosh )cosh( 15.sinh cosh cosh sinh )sinh( .14

sinh cosh cosh sinh )sinh( .13

+=

+==+=

=

=

+=+=

+=+

Turunan Fungsi Hiperbolik

Dengan menggunakan turunan fungsi eksponen dan sifat fungsi hiperbolik, kita

peroleh rumus turunan berikut. Silahkan anda buktikan!

Teorema

[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ] cothcsch csch .6 2sechtanh .3

tanhsech sech .5 sinh cosh .2

2cschcoth .4 cosh sinh .1

xxxdxd xx

dxd

xxxdxdxx

dxd

xxdxd xx

dxd

==

==

==

Grafik fungsi hiperbolik

y = cosh x Y y = sinh x

y = tanh x X

Integral Fungsi Hiperbolik

Berdasarkan turunan fungsi hiperbolik, kita peroleh rumus integralnya.

Teorema

csch cothcsch .6 tanh 2sech .3

sech tanhsech .5 cosh sinh .2coth 2csch .4 sinh cosh .1

Cxdxxx Cxdxx

CxdxxxCxdxxCxdxx Cxdxx

+=+=+=+=

+=+=

TEKNIK INTEGRASI

1. PENGINTEGRALAN DENGAN SUBSITUSI2. INTEGRAL TRIGONOMETRI3. SUBSITUSI YANG MERASIONALKAN

4. PENGINTEGRALAN PARSIAL5. PENGINTEGRALAN FUNGSI RASIONAL

6. TEKNIK SUBSITUSI x

21tan