Download - 72879039 Buku Ajar Kalkulus II

Transcript

BAB I

INTEGRAL TAK TENTU

Kompetensi Umum:

Mahasiswa terampil menentukan integral tak tentu dari suatu fungsi tertentu dengan menggunakan rumus-rumus yang telah dipelajari serta dapat menggunakan konsep integral tak tentu untuk menyelesaikan suatu masalah sederhana.

Kompetensi Khusus:

Mahasiswa dapat: a)menentukan anti turunan suatu fungsi tertentu.b)menentukan integral tak tentu dari fungsi tertentu dengan mengguna- kan

aturan pangkat.c)menentukan integral tak tentu dari fungsi tertentu dengan mengguna- kan

rumus pokok integral fungsi trigonometrid)menentukan integral tak tentu dari fungsi tertentu dengan mengguna-kan

aturan pangkat yang diperumume)menentukan integral tak tentu dari fungsi tertentu dengan mengguna-kan

teknik subsitusi dengan variabel baruf)menentukan integral tak tentu dari fungsi tertentu dengan mengguna-kan

teknik subsitusi tanpa variabel barug)menggunakan konsep integral tak tentu untuk menyelesaikan suatu masalah

sederhana

Pendahuluan

Konsep integral tak tentu diperkenalkan sebagai invers pendiferensialan, sehingga

integral tak tentu didefinisikan sebagai anti diferensial. Anti diferensial adalah

bentuk paling umum dari anti turunan.

1.1 Anti Turunan

Andaikan dari bentuk F’(x)=f(x) atau dF(x)= f(x) dx akan ditentukan fungsi

F. Fungsi F yang demikian kita namakan anti turunan atau fungsi primitif dari f .

Definisi 1.1: (Anti Turunan)

Andaikan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I. Fungsi F dinama-

kan anti turunan atau fungsi primitif dari f pada I , jika dipenuhi

F′(x) = f(x) pada I.

Contoh

Andaikan F (x) = x2 maka F′(x) = 2x di R

Sehingga anti turunan dari f(x) = 2x adalah F(x) = x2 .

Anti turunan dari suatu fungsi tidak tunggal, perhatikan bahwa fungsi G dan H

berikut juga anti turunan dari f.

G(x) = x2 + 3 juga anti turunan dari f(x) = 2x sebab G′(x) = 2x = f(x)

H(x) = x2 – 5 juga anti turunan dari f(x) = 2x sebab H′(x) = 2x = f(x)

Jadi fungsi f(x) = 2x mempunyai banyak anti turunan atau fungsi primitif.

Perbedaan anti turunan yang satu dengan yang lain terletak pada konstanta nya

saja. Kenyataan ini berlaku untuk semua fungsi, hal ini dijamin oleh teorema

“Jika F′(x) = G′(x) untuk semua x dalam (a,b), maka terdapat konstanta C

sedemikian hingga F (x) = G(x) + C “

Teorema tersebut sudah anda pelajari di Kalkulus I (Kalkulus Diferensial).

Adanya perbedaan anti turunan yang satu dengan yang lain hanya pada

konstantanya maka terdapat bentuk anti turunan yang paling umum (merupakan

keluarga fungsi) yang dinamakan anti diferensial.

Definisi 1.2: (Anti Diferensial)

Anti diferensial adalah bentuk paling umum dari anti turunan. Jika F′

(x) = f(x) pada selang terbuka I, maka anti diferensial dari f(x) pada I

adalah y = F(x) + C dengan C konstanta sembarang.

Contoh

1. Untuk F (x) = x3 – 1 diperoleh F′(x) = 3x2 = f(x) di R maka anti diferensial

dari f(x) = 3x2 di R adalah y = x3 – 1 + C atau y = x3 + C

2. Untuk F (x) = sin x diperoleh F′(x) = cos x = f(x) di R maka anti

diferensial dari f(x) = cos x di R adalah y = sin x + C

1.2 Intergal Tak Tentu

Proses menentukan anti diferensial adalah kebalikan dari proses menentukan

diferensial, yaitu dari F′(x) = f(x) diperoleh dF(x) = f(x) dx dengan f

diketahui. dan F akan ditentukan. Proses ini disebut integral tak tentu, istilah tak

tentu berarti memuat konstanta riil sembarang. Leibniz memperkenalkan cara

penulisan simbol operasi anti diferensial dengan ∫ dx ... .

Definisi 1.3: (Integral Tak Tentu)

Andaikan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I dan fungsi F adalah

suatu anti turunan dari fungsi f pada I. Proses menentukan anti

diferensial dari fungsi f dinamakan integral tak tentu dari f pada I,

disajikan dengan lambang

∫ += cxFdxxf )()( dengan C konsanta sebarang

dan dibaca “integral tak tentu dari f dengan peubah x” atau “integral tak

tentu dari f terhadap peubah x” secara singkat “integral f terhadap x”.

Catatan

1lambang ∫ adalah lambang integral

2lambang ∫ dx ... adalah operator integral

3f(x) adalah fungsi yang diintegralkan dinamakan integran4istilah tak tentu berarti mengandung konstanta sembarang5pekerjaan menghitung integral adalah mengintegralkan

Perhatikan!

i. Hubungan turunan, diferensial, dan integral tak tentu.

)()( xfxF =′ ⇓

∫ ∫ +==⇔=⇔= CxFdxxfxdFxfxdFxfdx

xdF )()()()()()()(

turunan diferensial anti diferensial (integral tak tentu)

ii. Turunan dari suatu integral tak tentu adalah integran,

[ ] [ ] )()()()( xfxFCxFdx

ddxxf

dx

d =′=+=∫

Contoh

1. Cxdxxxddxxxdx

dxxd +∫ ∫ ==+⇔=+⇔=+ 3 23)13( 23)13( 23)13(

2. [ ] xxdx

dx

dcoscos =∫

1.3 Rumus-rumus Integral Tak Tentu

Teorema 1.1: (Aturan Pangkat)

Jika n adalah bilangan rasional sembarang kecuali –1, maka

Cn

nxdxnx +++

=∫ 1

1

Bukti:

Karena [ ] [ ] )()(')()( xfxFCxF

dxddxxf

dxd ==+=∫

, maka bukti teorema

tersebut sebagai berikut

nxn

nxnCn

nxdxd =++

+=+++

0

1)1(

1

1

Contoh

Cx C

x dxx dx dx +=+

+

+=−= ∫∫∫ 10

100 1

Cx C x

dxx +=++

+=∫ 9

9

1

18

188

Ct

C t

dtt dtt

+−=++−

+−=

−= ∫∫

1

12

12221

Dapat kita pahami bahwa x adalah variabel boneka artinya bahwa jika untuk setiap

kemunculan x diganti dengan variabel lain misalnya t, u, v dsb, nilai integral tak

tentu tersebut tidak berubah.

dsb... .)()()()( ∫∫∫∫ === dvvfduufdttfdxxf

Contoh

( ) ( ) ( ) dsb... .333 222 ∫∫∫ −=−=− duudttdxx

Teorema 1.2: (Integral Fungsi Trigonometri)

∫∫∫∫∫∫

+−=+=

+=+=

+−=+−=

C x x dx x vi. C x x dx

C x x dx x C x x dx

C x x dx C x x dx i

csccsccot tan2sec . iii

secsectan v. sincos ii.

cot2csc iv. cossin ..

Bukti teorema i, bukti teorema lainnya diserahkan kepada pembaca.

Bukti:

Cxdx xxx

dx

Cxd +−==−−=+−∫ cos sin maka sin)sin(

)cos( Karena

Teorema 1.3: (Kelinieran ∫ ...dx )

Andaikan fungsi f dan g mempunyai integral tak tentu dan andaikan k

suatu konstanta, maka

[ ][ ]∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫∫ ∫

−=−

+=+

=

)( )( )()( .

)( )( )()( .

)()( .

dxxg dxxfdxx g xfiii

dx xg dxxf dxx g xfii

dxxf k dx xk fi

ii dan iii dapat diperluas untuk sejumlah berhingga fungsi

Bukti teorema i, bukti teorema lainnya diserahkan kepada pembaca.

Bukti:

[ ] [ ] ∫∫∫∫ === dxxfkdxxkfxkfdxxf

dx

dkdxxfk

dx

d)( )( maka )()()( Karena

Contoh

( )

( )

cos22

1

21cos22

1

2cos12

2

1

sin )sin ( .

Cxx

CCxx

Cx Cx

dxxdxx dxxx

+−=

++−=

+−+

+=

+=+ ∫∫∫1

( )

( )

Cxxx

CCCxxx

CxCxCx

dxdxxdxx dxxx

++−=

++++−=

++

+−

+=

+−=+− ∫∫∫∫

622

5 4

4

1

36251622

5 4

4

1

3622

2

151

44

1

6 53

)653( .2

Teorema 1. 4: (Aturan Rantai untuk Anti Pendiferensialan)

Andaikan g adalah fungsi yang dapat didiferensialkan dengan daerah

nilainya adalah selang I, dan andaikan f adalah fungsi yang

didefinisikan pada selang I serta F adalah anti turunan dari f pada I,

maka

Cxg F dx xg xg f +=′∫ ))(()())((

Bukti:

Menurut aturan rantai turunan suatu fungsi diperoleh

[ ] )(' )).(()(' )).(('))(( xgxgfxgxgFCxgFdx

d ==+

Oleh karenanya, berdasar definisi integral tak tentu berlaku

Cxg F dx xg xg f +=′∫ ))(()())((

Contoh

( ) ( )

)(sin)( )(

)1cos( 2 ).1sin( ).1sin(2 .

)(cos)()()(

2sin 2 .2cos

222

.

tt f g'(x) xg

Ctdtttdttt

tt fx g'xg

C x dx x

=↑↑

++−=+=+

=↑↑

+=

∫∫

2

1

Teorema berikut merupakan keadaan khusus dari teorema 1.4.

Teorema 1. 5: (Aturan Pangkat yang Diperumum)

Andaikan g adalah fungsi yang dapat didiferensialkan dan n

bilangan rasional yang bukan –1, maka

[ ] [ ]

Cn

nxgdxxgnxg +

+

+=′∫ 1

1)( )()(

Bukti diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.

Contoh

( )

1

7322

1)32)(732( .

5

612

6

1 )2(

51

2

2

=↑↑

+

+−=−+−

=↑↑

+

−=−

ng'(x)g(x)

Cxxdxxxx

ng'(x)g(x)

Cxdxxx

2

1.

Teknik Subsitusi Dengan Variabel Baru

Jika pada teorema 1.4 dan 1.5 di atas,

dimisalkan g(x) = u maka d[g(x)] = du sehingga g′(x) dx = du

Dari teorema 1.4 diperoleh

CxgFCu F du uf dx xg xg f +=+==′ ∫∫ ))(()()()())((

Dari teorema 1.5 diperoleh

[ ] [ ]C

n

nxgC

n

nu du nu dx xg nxg +

+=+

+==′ ∫∫ 1

)(

1)()(

Prosedur ini selanjutnya disebut teknik subsitusi dengan variabel baru

Contoh

( )

( ) cos

.in 3 .3sin Jadi

3

)3(

3 misal

anPenyelesai

3 .3sin Hitung .

Cu

duusdxx

dudx

duxd

u x

dxx

+−=

=

=⇒=⇒=

∫∫

:

1

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) Cx

Cu

duuu

dxxxdxxx

dudx

duxd

u x

dxxx

dxxx

+=+=

=

=

=⇒=⇒=

∫∫∫

∫∫

2sec

sec

. sec tan

2 .2sec 2tan 2sec 2tan2 Jadi

2

)2(

2 misal

2 .2sec 2tan sebagai PandanganPenyelesai

2sec 2tan2 Hitung .

:

2

( )

( )

Cx

Cu

duu dxxx

duxdx

duxd

u x

dxx x

+

−=

+=

=−

=⇒=−⇒

=−

∫∫

612

6

1

66

1

5 )2(5

12

Jadi

2

)12(

12 isalm

anPenyelesai

)2.(5

12

Hitung

:

3.

Cxx

Cu

duu

dxxxx dxxxx

du dxx

duxx d

u x x

dxxxx

dxxxx

+

+−=

+=

=

−+−=+−−

=−⇒

=+−⇒

=+−

−+−

+−−

∫∫∫

∫∫

4732

4

1

44

1

3

)32(3)732(3)732)(32(Jadi

)32(

)732(

732misal

)32(3)732(sebagai Pandang :anPenyelesai

3)732)(32(Hitung .4

Teknik Subsitusi Tanpa Variabel Baru

Karena g′(x) dx = d[g(x)] maka dari teorema 1. 4 dapat diperoleh

Cxg F xg dxg f dx xg xg f +==′ ∫∫ ))(())(( ))(()())((

dan dari teorema 1.5 diperoleh

[ ] [ ] [ ]C

n

nxg xg dnxg dx xgn xg +

+==′ ∫∫ 1

)())(( )()()(

↑↑ sama

Pada ruas kanan kita pikirkan g(x) sebagai u

Prosedur ini selanjutnya disebut teknik subsitusi variabel baru

Contoh

( )

( ) ( ) ( ) Cxxdxdxx

xddx

dxx

+==

=

∫∫

3tan )3( .3sec 3 .3sec maka

)3( 3 Karena

3 .3sec Hitung .

22

2

:anPenyelesai

1

( ) ( ) ( )C

n

nudu

nuCx

x dxdxxdxdxxx

++

+=+

−=

−=−−=−

∫∫

1

1 karena

612

6

1

)12(2 karena 12 5

12

)2(5

12 .2

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) Cx

Cx

xddxx dx dxx

++=

++=

+=++=+ ∫∫

57315

1

5735

1.

3

1

133

1 karena 73

473

3

1

473 3.

Latihan 1.1

Hitunglah dengan berbagai cara yang telah anda pelajari di atas

( )

( )

( )

( ) ( )

( )( ) t dt t . dxxx

dxx dxx

dxxxxdxxxx

dxxx. dxxx

dx x . dx x .

dx x . dxx

dxxx . dx x x.

dxxdxx

dxx xdx xx

dxx

xxdx

x

x

dxxx

xdxxx

dxxdxx

3cos32sin24 sin cos.cos 23.

45sin 22. 2cos .21

53221 20.

39212 19.

13281 3

12 .71

2)48(16 7315

7)52(41 212 13.

)6(9)231(12 )2(5)12(11

32 .10 21) ( 9.

) cos 2 (3sin 8. )sin (3 7.

6 42

6. 2

823x 5.

)212

(3 4 )432 5( .3

2

11 2. 45 .1

∫∫∫∫∫∫

∫∫

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫

∫∫

∫∫

∫ ∫

+

+−−

−++

+

+

−−

+−

−−+

−+

+−

−++−

−++−

−+

30 cos1

sin29

4

1sin

4

1cos

2

1

82 sin

27

3 422

362

3

11

21

25

3 dxxx. dx

x

x.

dx

x

x . dt

t

t .

dyy

y. dx

xx.

∫∫

∫∫

∫∫

+

−+

1.4 Penggunaan Integral Tak Tentu

Dalam bahasan ini, kita akan menggunakan integral tak tentu untuk

menyelesaikan suatu persamaan diferensial dan masalah yang melibatkan

persamaan diferensial. Tetapi di sini kita akan membatasi perhatian kita pada

persamaan diferensial sederhana yaitu persamaan diferensial yang hanya

mengandung turunan tunggal dari fungsi yang tidak diketahui dengan peubah-

peubah yang dapat dipisahkan.

Kita ingat kembali hubungan turunan, diferensial, dan integral tak tentu.

Andaikan fungsi y= F(x) dengan )()(' xfxF

dx

dy == maka kita peroleh hubungan

∫∫ +===⇔=⇔= Cx F dx xfdy ydx x f dy x fdx

dy )()()()( \

Jika pada bentuk dxxfdyxf

dx

dy)(atau )( ==

, f(x) diketahui dan y akan dicari maka

bentuk tersebut dinamakan persamaan diferensial disingkat PD.

Persamaan diferensial (PD) adalah sembarang persamaan dengan hal yang

tidak diketahui berupa fungsi dan yang melibatkan turunan atau diferensial fungsi

yang tidak diketahui tersebut. Misal,

( ) dsb 0 2 . 0 1 .

2

2

2

23 =−+=++= xy

dx

dy

dx

ydy

dx

ydx

dx

dy

Menyelesaikan PD adalah mencari fungsi yang tidak diketahui tersebut.

Prosedur yang kita gunakan untuk mencari penyelesaian PD sederhana sebagai

berikut

Pertama, ubah PD menjadi dxxfdyyf )()( = dengan memisahkan variabel x dan y.

Kedua, integralkan kedua ruas dan sederhanakan sehingga diperoleh fungsi

CxFy += )( . Fungsi ini merupakan jawab (pemecahan) umum PD.

Ketiga, untuk menentukan jawab khusus PD.carilah nilai C berdasarkan syarat PD

selanjutnya subsitusikan nilai C ke jawab umum PD.

Contoh

umum) jawab(disebut 33

1 adalah tersebut PD jawab Jadi

33

1

12

12 125

125 Selesaikan .

Cxxy

Cxxy

dxxdy

dxxdyxdx

dy

xdx

dy

++=

++=⇔

+=⇔

+=⇔+=

+=

∫∫

:anPenyelesai

1

722

1 2adalah tersebutPD khusus jawab Jadi

722

1 2 diperoleh PD umum jawab dalam 7 an Subsitusik

7 22.2

123

diperoleh PD umum jawab dalam 2 di 3syarat an subsitusik aSelanjutny

PD umum jawab 22

1 2

24

1 C2

2

1

2

1

2

1

2

2 di 3untuk 2

Selesaikan .

21

+=

+==

=⇒+=

==

←+=⇔

+=+⇔

=⇔

=⇔=

===

∫∫

xy

xyC

CC

xy

Cxy

Cxy

xdxdyy

dxxdyyy

x

dx

dy

xyy

x

dx

dy

:anPenyelesai

2

2

2

2

2

2

9,4 sehinga 0 diperoleh 0)0(an Subsitusik

9,4 ,89 8,9 8,9 Dari

8,9 sehinga 0 diperoleh 0)0(an Subsitusik

8,9 ,89 8,9 diperoleh 8,9 Dari

0)0(dan 0)0( awalsyarat dengan 8,9

adalahrsebut masalah te dari matematika model Sehingga

dan

maka percepatan dan laju, menyatakan ditempuh, yangjarak menyatakan Bila

.m/detik 9,8itu ditempat grafitasi percepatan bilaitu saat pada lajunya

andan tentuk tanah mencapaiitu boladetik berapaSetelah m. 169 tingginyayang gedung

suatu daridatar dianggap yangtanah permukaan ke lurus tegak dijatuhkan bolaSebuah .

2

2atau

2

2adalah ditanyakan yang kurvapersamaan Jadi

1 diperoleh (*) dalam 1untuk 2an Subsitusik

.......(*).................... 2

2adalah PD umum Jawab

2

1

1

2

12

2

12

22

1 tersebut,PD Selesaikan

1untuk 2syarat dengan 22

1

adalahitu masalah untuk sesuai yang matematika Model

.ordinatnyakuadrat setengah titik sembarang pada

singgung garisarah koefisien dan (1,2) titik melalui yang kurvapersamaan Tentukan .

tsCs

Ctsdttdsdttdstvdt

ds

tvCv

Ctvdtdvdtdvdt

dv

svadt

dv

dt

sd

dt

dva

dt

dsv

avs

xy

xy

CxyCx

y

Cxy

dxy

dy

dxy

dyy

dx

dy

xyydx

dy

===

+=⇒=⇒=⇒==

===

+=⇒=⇒==

====

===

−=

−−=

−===+

−=

+=−⇔

=⇔

=⇔=

===

∫∫

∫∫

∫∫

:anPenyelesai

:anPenyelesai

4

3

Latihan 1.2

Untuk nomor 1 s.d 10 carilah fungsi yang memenuhi

( )

(1,1)dan titik asal titik melalui fungsirafik ; 23212

2 .21

3. dan (4,4) titik melalui fungsirafik ; 8

32

2 .11

82

2dan ,0 , 0 di 5 ; 0

3

3 10.

3 dan , 0 di 1 ; 622

2 ..9

2 di 1 ; 023 .8 0 di 3 ; 021 .7

1 di 1 ; 12

1 .6 1 di 1 ;

212

.5

23 4. .3

4)52( 2. 37 .1

gxxdx

yd

dx

dyg

x

dx

yd

dx

yd

dx

dyxy

dx

yd

dx

dyxyx

dx

yd

xyyxdx

dyxyxx

dx

dy

xyyxdx

dyxy

x

x

dx

dy

xydx

dyyx

dx

dy

xxdx

dyx

dx

dy

−+=

==

−=====

===−=

===−=−==+−

=−=+

===+=

==

−=−=

13. Jika y = 3 untuk x = 3 dan 2

2

y

x

dx

dy = carilah nilai y untuk x = 1

14. Tentukan persamaan fungsi implisit F(x,y) = 0 yang melalui titik (2,-1) dan

koefisien arah garis singgung grafik fungsi disembarang titik ditentukan

dengan persamaan 0 ,

4' ≠−= y

y

xy

15. Jika grafik fungsi )(xfy = melalui titik (9,4) dan koefisien arah grafik fungsi

tersebut di sembarang titik adalah xy 3'= . Tentukan persamaan fungsi tersebut!

16. Di suatu titik (x,y) pada grafik fungsi f diketahui f ’’’(x) = 2. Jika pada

daerah definisinya grafik fungsi f hanya mempunyai tepat satu titik belok di

(1,3) dan garis singgung di titik beloknya sejajar dengan garis y = –2x maka

tentukan persamaan fungsi f.

17. Kira-kira dengan kecepatan berapa seorang penyelam memasuki air setelah

melompat dari tebing sungai setinggi 30 meter. (Gunakan percepatan grafitasi

ditempat itu 9,8 m/det2)

18. Percepatan yang disebabkan oleh grafitasi suatu tempat adalah 9,8 m/det2.

Sebuah peluru ditembakkan lurus ke atas dari permukaan tanah tempat itu

yang dianggap datar dengan kecepatan 50 m/det. Setelah berapa detik peluru

mencapai titik tertinggi dan berapa jarak titik tertinggi tersebut dari tanah?

19. Suatu titik meteri bergerak dari keadaan diam dengan percepatan pada setiap

t ditentukan dengan persamaan a(t) = t(4 – t) m/det2 . Tentukan kecepatan titik

materi itu sebagai fungsi dari t. Setelah berapa detik titik materi itu berhenti

dan bergerak lagi. Tentukan persamaan gerak titik materi itu.

20. Seorang kolektor benda-benda seni membeli sebuah lukisan dari seorang

seniman seharga $1000, yang nilainya sekarang bertambah sejalan dengan

berjalannya waktu sesuai dengan rumus 50105 ++= ttt

dt

dv

dengan v adalah

nilai dolar yang diharapkan dari lukisan sesudah t tahun pembelian. Jika

rumus ini berlaku untuk 6 tahun kemudian, berapa nilai harapan dari lukisan

itu empat tahun dari waktu pembelian?

1.5 Penggunaan Integral Tentu

Integral tentu khususnya integral tunggal dapat digunakan dalam meng-hitung luas

daerah bidang rata, volume benda putar, panjang kurva, luas permukaan benda

putar, usaha yang dilakukan oleh gaya tertentu, gaya pada cairan, momen dan pusat

massa.

A. Luas Daerah Bidang Rata

Untuk menghitung luas daerah bidang rata menggunakan integral diperlukan

prosedur sbb:

• Gambar daerah bersangkutan

• Potong menjadi jalur-jalur

• Hampiri luas suatu jalur dengan luas persegi panjang

• Jumlahkan luas hampiran tersebut

• Ambilah limit dari jumlah itu dan nyatakan dalam integral

• Hitung Integralnya = luas daerah.

y=f(x)

y y=f(x) y y D y=g(x)

D

a b a b x x a b x D

Gambar 1. Gambar 2. Gambar 3.

1. Daerah di atas sumbu-x

Perhatikan gambar 1 daerah datar D adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x) dengan f(x) ≥ 0 pada [a,b], garis x = a, garis x = b, dan sumbu-x. Luas daerah D yang demikian dapat dinyatakan sebagai

∫=b

adxxfDL )()(

2. Daerah di bawah sumbu-x.

Perhatikan gambar 2 daerah datar D adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y= f(x) dengan f(x) ≤ 0 pada [a,b], garis x = a, garis x = b, dan sumbu-x. Luas daerah D yang demikian dapat dinyatakan sebagai

∫−=b

adxxfDL )()(

3. Daerah antara dua kurva

Perhatikan gambar 3. Daerah datar D adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y= f(x), kurva y = g(x) dengan f(x) ≥ g(x) pada [a,b], garis x = a, garis x = b, dan sumbu-x. Luas daerah D yang demikian dapat dinyatakan sebagai

[ ]∫ −=b

a

dxxgxfDL )()( )(

Bahan diskusi

1. Bagaimana bentuk integral yang menyatakan luas suatu daerah yang terletak di kanan sumbu-

y, di kiri sumbu-y, dan antara dua kurva, jika kurva pembatasannya dinyatakan sebagai x =

f(y) dan garis-garis pembatasnya y = c, y = d, dan sb y.

2. Tunjukan luas daerah: persegi panjang, segitiga, trapesium, lingkaran dengan

menggunakan integral tunggal.

3. Hitung luas daerah yang dibatasi kurva-kurva dan garis-garis sebagai berikut:

xxy, x yxxx xy

xπ, x x, x y

xy,xyyx, xx xy

-sumbudan ,6 f. -sumbudan 623 c.

0x,2y6y xe. -sumbudan π,sin b.

2 2 d. -sbdan -sb ,2322 a.

+−==−−=

=−==−==

+===−−=

B. Volume Benda Putar

Benda putar adalah benda pejal yang didapat dari hasil pemutaran daerah datar terhadap suatu garis tertentu (sumbu putar). Dasar perhitungan menggunakan rumus volume tabung

1. Metode Cakram

Jika daerah yang dibatasi kurva y = f(x), garis x = a, x = b, dan sb-x dibawah, diputar mengelilingi sumbu x , akan didapat suatu benda putar. Apabila benda putar ini dipotong-potong tegak lurus sb-x akan diperoleh lempengan berupa cakram. Andaikan lempengan yang ke-i memiliki tebal ∆xi dan volume ∆Vi .

→ ∆xi ←

y=f(x) f(xi)

a xi b sb x

h

Rumus dasar: hrV 2 π= dengan )( ixfr = dan ixh ∆=

Volume lempengan ke-i [ ] i

xixfiV ∆≈∆= 2

)( π

Jika dijumlahkan dan diambil limitnya diperoleh

V =

dxb

a

xf π ∫2

)]([

← sumbu

putar sumbu x

2. Metode Cincin

Jika daerah yang dibatasi kurva y = f(x) dan y = g(x) di bawah diputar mengelilingi sumbu x , akan didapat suatu benda putar. Apabila benda putar ini dipotong-potong tegak lurus sumbu-x akan diperoleh lempengan berupa cincin. Andaikan lempengan yang ke-i memiliki tebal ∆xi dan volume ∆Vi .

→ ∆xi ← y=f(x) r1

y=g(x) r2

sbx a b

h

Rumus dasar ( ) hrrhrhrV 22

21 2

2 21 −=−= πππ

Volume lempengan ke-i [ ] ixixgixfiV ∆−≈∆=

2)(

2)( π

Jika dijumlahkan dan diambil limitnya diperoleh

V =

[ ]∫ −b

a

dxxgxf 2

)(2

)( π

, sumbu putar sb x

3. Metode Kulit Tabung

Dalam berbagai persoalan metode ini lebih mudah digunakan.

r1

r2

h h K=2π r ∆r = r1 – r2

Rumus dasar

( )( )( )

( ) ( ) x tebal x tinggijari-jari rerata x 2

2 1 2

2 1 2

2 12 1

22

21 2

2 21

π

π

π

πππ

=

−+

=

−+=

−=−=

rrhrr

hrrrr

hrrhrhrV

[ ] [ ] xxfxVixixfixiV ∆≈∆∆≈∆ )( 2 sehingga )( 2 ππ

y y y=f(x) ∆xi

f(xi)

a b a b xi

Sehingga volume benda putar

[ ] dxb

axfx∫= )( 2π

, sumbu putar sb y Bahan diskusi

I. Tuliskan integral yang menyatakan volume benda putar yang terjadi kemudian hitunglah, jika daerah D dibatasi kurva-kurva dan atau garis-garis yang persama-annya diberikan dan diputar mengelilingi sumbu putar yang diketahui di bawah ini. 1. y = 2x , x = 3 , sumbu x 4. y = x2 + 1, x = 2, sumbu y

2. y = 2x , x = 3 , sumbu y 5. y = x + 1 , x = 2 , x = 5 , sumbu y

3. y = x2 + 1, x = 2, sumbu x 6. y = 2x2r − , y = 0, x = 0, sumbu x

II. Apakah vormula yang kita bahas di atas mampu untuk menjawab persoalan berikut? Tentukan volume benda yang alasnya adalah suatu daerah rata pada kuadran yang dibatasi

oleh 41

2xy −=

, sumbu x dan sumbu y dan andaikan penampang-penampang yang tegak lurus sumbu x berbentuk persegi. Jika tidak, bagaimana kita menghitungnya?

Latihan:

Soal-soal 6.2 dan 6.3. Buku Kalkulus dan Geometri Analitis. Purcell. jilid 1. Edisi 5

C. Panjang Kurva pada Bidang (Kurva Rata)

Definisi: Sebuah kurva rata disebut mulus apabila kurva tersebut ditentukan oleh persamaan-persamaan btatgytfx , )( ),( ≤≤== , dengan ketentuan bahwa turunan-turunan f’ dan g’ kontinu pada [a,b] sedangkan f’(t) dan g’(t) tidak bersama-sama nol pada (a,b)

Andaikan terhadap sebuah kurva mulus dengan persamaan parameter btatgytfx , )( ),( ≤≤==

kita buat partisi pada selang [a,b] menjadi n selang bagian dengan titik-titik a=t0 <t1<t2<…< ti<…<tn=b

Akibatnya kurva terbagi oleh titik-titik Q0, Q1, Q3, …, Qi, …, Qn

Ilustrasi:

y Qi Qi

Qn ∆Si Q i-1 ∆wi ∆yi

Q i-1 ∆xi

x

Kemudian kita aproksimasi kurva itu dengan segi banyak, kita hitung panjangnya dan ditarik limitnya dengan norma partisi mendekati nol.

Khususnya kita aproksimasi ∆Si dengan ∆wi jadi ∆Si ≈ ∆wi

( ) ( )[ ] [ ] 2

)1()(2

)1()(

22

−−+−−=

∆+∆=∆

itgitgitfitf

iyixiw

Menggunakan Teorema Nilai Rata-rata untuk Turunan,

yakni adanya [ ]iii ttt , 1−∈ sehingga

∆=−−

∆=−−

)(')1()(

)(')1()( ititgitgitg

ititfitfitf

dengan 1 −−=∆ ititit

Dengan demikian

[ ] [ ] [ ] [ ] ititgitfititgititfiw ∆+=∆+∆=∆ 2

)('2

)('2

)('2

)('

[ ] [ ] ititgitfn

iiw ∆∑

=+∑

=∆ = n

1i

2)('

2)('

1

Jadi, jika kurvanya btatgytfx , )( ),( ≤≤== maka panjang kurva adalah

[ ] [ ]

∫ +=

∫ +=

b

a

dtdt

dy

dt

dx

b

a

dttgtfL

22

2

)('2

)('

Jika kurvanya bxaxfy ),( ≤≤= maka panjang kurva adalah

∫ +=

b

a

dxdx

dyL

2

1

Jika kurvanya dycyfx ),( ≤≤= maka panjang kurva adalah

∫ +=

b

a

dydy

dxL

2

1

Latihan:Soal-soal 6.4. Buku Kalkulus dan Geometri Analitis. Purcell. jilid 1. Edisi 5

Diferensial Panjang Busur

Andaikan f sebuah fungsi yang dapat didiferensialkan pada [a,b], kita defiisikan

s(x) melalui

dux

a

ufxs ∫ += 2)]('[1)(

maka s(x) adalah panjang busur y = f(u) antara titik (a,f(a)) dan (x,f(x)).

. (x,f(x)

. (a,f(a)) ds dy

a x b sb-x dx

Dari

dux

a

ufxs ∫ += 2)]('[1)(

diperoleh

2

12

)]('[1

+=+=dx

dyxf

dx

ds

atau

dxdx

dyds

2

1

+=

Sehingga kita dapatkan rumus ds berikut (tergantung persamaan kurvanya):

)(),( kurvauntuk

22

)( kurvauntuk

2

1

)( kurvauntuk

2

1

tgytfxdtdt

dy

dt

dxds

yfxdydy

dxds

xfydxdx

dyds

==←+=

=←+=

=←+=

Latihan:Soal-soal 6.4. Buku Kalkulus dan Geometri Analitis. Purcell. jilid 1. Edisi 5

D. Luas Permukaan Benda Putar

Apabila suatu kurva yang terletak pada suatu bidang diputar mengelilingi

suatu garis pada bidang tersebut maka akan diperoleh suatu permukaan benda putar.

Rumus dasar l

rumus luas kerucut terpancung r1 r2

lrr

A 2

212

+

= π

1. Pemutaran mengelilingi sumbu x

Andaikan pada sebuah kurva mulus di kuadran I atau ke II dengan

persamaan parameter btatgytfx , )( ),( ≤≤== Kita buat partisi [a,b] dengan titik-titik a=t0 <t1<t2<…< ti<…<tn=b maka kuva terbagi menjadi n bagian.

Andaikan ∆Si panjang kurva bagian ke-i dan yi ordinat sebuah titik pada bagian tersebut.

∆si

∆si

. yi sb x

sb x

Apabila kurva tersebut diputar mengelilingi sumbu x, maka bagian ini akan

membentuk kerucut terpancung yang luasnya iisy ∆ 2π

Sehingga luas permukaan hasil pemutaran kurva tersebut adalah

∫=∆=∗∗

∗∑=→

dsysyAi

n

ii

P 2 2lim

10ππ

Kita dapatkan rumus luas permukaan benda putar (seirama dengan rumus ds yang tergantung pada persamaan kurvanya)

( ) ( )

( ) ( ) 22

)(2 )(2

, )(),( kurvaUntuk

2

1 2 )(2

),( kurvaUntuk

∫ +=∫=

≤≤==

∫ +=∫=

≤≤=

b

a

dtdtdy

dtdx

tgdsb

a

tgA

btatgytfx

b

a

dxdxdy

xfdsb

a

xfA

bxaxfy

ππ

ππ

b. Pemutaran mengelilingi sumbu y

Analog dengan pemutaran mengelilingi sumbu x, diperoleh:

∫∗∗

∗=∆∑

=→= dsxis

n

iix

PA 2

1 2

0lim ππ

Kita dapatkan rumus luas permukaan benda putar (seirama dengan rumus ds yang tergantung persamaan kurvanya) berikut:

( ) ( )

2

1 2 )(2

),( kurvaUntuk

∫ +=∫=

≤≤=

d

c

dydydx

yfdsd

c

yfA

dycyfx

ππ

( ) ( ) 22

)(2 )(2

, )(),( kurvaUntuk

∫ +=∫=

≤≤==

b

a

dtdtdy

dtdx

tfdsb

a

tfA

btatgytfx

ππ

Latihan:Soal-soal 6.5. Buku Kalkulus dan Geometri Analitis. Purcell. jilid 1. Edisi 5

E. Usaha/Kerja

Dalam Fisika, apabila suatu benda bergerak sejauh d sepanjang suatu garis dan ada gaya F yang konstan yang menggerakkan benda itu dengan arah searah gerak benda, maka Usaha/kerja W yang dilakukan oleh gaya tersebut adalah W= F . d

Andaikan benda bergerak sepanjang sb x dari x=a sampai x=b dan ada gaya yang menggerakan benda itu F(x) dengan metode: patisikan [a,b], aproksimasi, dan integralkan di peroleh

∫=≈b

adxxFWxxFW )( )Δ(Δ

Contoh:1. Apabila panjang pegas alami 10 inci dan diperlukan gaya 3 pon untuk

menarik dan menahannya sejauh 2 inci, tentukan usaha yang diperlukan untuk menarik pegas itu sejauh 15 inci dari keadaan alami?Jawab:Dasarnya Hukum Hoke: gaya F(x) yang diperlukan untuk menarik pegas sejauh x adalah F(x) = kx, dengan k konstanta pegas.

Karena diketahui diperlukan gaya 3 pon untuk menarik dan menahannya sejauh 2 inci, maka 3 = k.2 ⇔ k= 3/2, sehinga F(x) = 3/2 xJika pegas dalam keadaan alami 10 inci identik dengan x=0 maka panjang pegas 15 inci identik dengan x=5.

Jadi usaha yang dilakukan pon -inci 75,18

2

35

0

== ∫ dxxW

2. Tentukan besarnya usaha yang diperlukan untuk memompa air sampai

mencapai tepi tangki, tangki ini panjangnya 50 kaki dan ujung-ujungnya berbentuk setengah lingkaran dengan jari-jari 10 kaki; tinggi air dalam tangki 7 kaki.

Pada lempengan besarnya y Gaya = beratnya = kepadatan air x volume = δ x ylr ∆ . .2

-y r r x = yx ∆ . 05 .2 . δ

-10 ∆y = ( ) yy ∆− . 05 .102 . 22δ

Lempengan ini harus diangkat sejauh (– y), sehingga

( )( ) 62,4dengan ; 1050.23

10

22 =−−= ∫−

δδ dyyyW pon tiap kaki kubik

Latihan:Soal-soal 6.6. Buku Kalkulus dan Geometri Analitis. Purcell. jilid 1. Edisi 5

F. Gaya Cairan

Dasar hukum Blaise Pascal: tekanan (=gaya pada tiap satuan luas) dari cairan sama besar dari arah manapun. Jadi tekanan pada semua titik sebuah permukaan sama besarnya, tidak peduli apakah permukaan datar, tegak atau miring.

Jika sebuah tangki dengan alas berbentuk persegi panjang dengan luas A berisi cairan (fluida) dengan kepadatan δ setinggi h, maka gaya yang bekerja pada dasar tangki adalah AhF δ=

Contoh: Andaikan tangki yang penampangnya seperti pada gambar, diisi dengan air (δ =62,4 pon tiap kaki kubik) dengan kedalaman 5 kaki. Hitunglah gaya total yang bekeja pada tepi tersebut!

Gaya yang bekerja pada kedalaman 5-y yxyAhF ∆−=≈∆⇒ )5( δδ Dengan x diperoleh dari persamaan y = 3x – 24

10 kaki letakan pada system y=3x-24 6

6 kaki Cairan 5 kaki 5-y y

8 kaki 0 8 x 10

Jadi ( )∫

+−=

5

0 3

245 dy

yyF δ

Latihan:Soal-soal 6.7. Buku Kalkulus dan Geometri Analitis. Purcell. jilid 1. Edisi 5

G. Momen dan Pusat Massa

Hasil kali massa dan jarak berarah dari suatu titik tertentu dinamakan momen partikel (benda) terhadap titik tersebut. Momen ini mengukur kecenderungan massa yang menghasilkan putaran pada titik tersebut. Syarat agar massa pada suatu garis berimbang pada suatu titik di garis itu adalah jumlah momen-momen terhadap titik itu sama dengan nol. m Jumlah momen M (terhadap titik asal) suatu x sistem yang terdiri atas n massa: m1, m2, …,mn

yang berjarak masing-masing di x1, x2, …,xn

M= x.m pada sumbu x adalah

M = x1 m1 + x2 m2 + x3 m3 +…+ xn mn=∑

n

iimx1

Ilustrasi m1 m2 m3 m4 mi mn

x1 x2 0 x3 x4 xi xn

dimanakah koordinat titik seimbang?

Misal koordinat titik seimbangnya adalah x , karena syarat seimbangan momen

system terhadap titik x adalah nol maka

(x1 – x )m1 + (x2 – x )m2 + … +(xi – x )mn +…+ (xn – x )mn = 0

x1 m1 + x2 m2 + … +xi mn +…+ xn mn= x m1 + x m2 + … + x mn +…+ x mn

Sehingga ∑=

∑=== n

i im

n

i imix

mM

x

1

1

1. Distribusi Massa Yang Kontinu Pada Suatu Garis

Misal sepotong kawat dengan kepadatan yang berlainan (massa tiap satuan panjang). Kita akan mengetahui kedudukan titik beratnya. Kita letakkan kawat itu pada system koordinat, andaikan kepadatan di x adalah )(xδ menggunakan metode potong, aproksimasi, dan integralkan diperoleh

=

∫=∫=

∆≈∆∆≈∆

b

a

dxx

b

a

dxxx

x

b

a

dxxxMb

a

dxxm

xxxMxxm

)(

)(

sehingga

)( dan )(

)(dan )(

δ

δ

δδ

δδ

2. Distribusi Massa Pada Bidang

Andaikan n massa titik m1, m2, …,mi, …, mn yang terletak pada titik (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3), …,(xi,yi),…., (xn,yn) pada bidang xoy.Maka

∑=

∑===

∑=

∑===

∑=

=∑=

=

n

i im

n

i imiy

mxM

n

i im

n

i imix

myM

x

yx

n

i imiyxMn

i imixyM

xy

y

1

1

1

1

dengan ),(adalah sistemberat titik Koordinat

1

1

sumbu adapmomen terhJumlah sumbu adapmomen terhJumlah

Andaikan sepotong lamina homogen yang dibatasi oleh x=a, x=b, y=f(x) dan y=g(x), dengan f(x)≤ g(x) pada [a,b]

y y=f(x)

. y=g(x)

2

)()( xgxf +

a 0 x b sb x

Dengan metode potong, aproksimasi, dan integralkan diperoleh

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]∫

−=∆−≈∆

−=∆−≈∆

−=∆−≈∆

b

adxxgxfyxMxxgxfyxM

b

adxxgxfxyMxxgxfxyM

b

adxxgxfmxxgxfm

)()( )()(

)()( )()(

)()( )()(

δδ

δδ

δδ

( )[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]∫ −

∫ −

=

∫ −

∫ −

==

∫ −

∫ −

=

∫ −

∫ −

==

b

adxxgxf

b

adxxgxfy

b

adxxgxf

b

adxxgxfy

mxM

b

adxxgxf

b

adxxgxfx

b

adxxgxf

b

adxxgxfx

myM

x

yx

y

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

dengan , beratnyatitik koordinat Jadi

δ

δ

δ

δ

Latihan:Soal-soal 6.8. Buku Kalkulus dan Geometri Analitis. Purcell. jilid 1. Edisi 5

FUNGSI TRANSENDEN

1. Fungsi Logaritma Natural (Asli)

Sepengatuhan anda saat belajar kalkulus diferensial dalam mata kuliah

Kalkulus I, apakah anda menemukan fungsi yang memiliki turunan x1

?

[ ]

[ ]

3 22

1

2 1

1 ..?..

0

1 2

2

2 3

3

−=−−

−=−−

−=

=

=

=

xxdxd

xxdxd

xdxd

xxdxd

xxdxd

xxdxd

Situasi di atas memicu munculnya fungsi baru yang memenuhi

[ ] 1 ..?.. −= xdxd

.

Definisi

Fungsi logaritma natural, ditulis sebagai ln, didefinisikan dengan

0 , 1

1 ln >∫= xdtx

tx

Perhatikan!

• Daerah definisi dan nilai fungsi ini adalah ( ) RRD ff =∞= dan ,0

• Untuk 10 << x , 0

1

1 ln <∫= dtx

tx

• Untuk 1=x , 0

1

1 1ln1

=∫= dtt

• Untuk 1>x , 0

1

1 ln >∫= dtx

tx

Turunan Fungsi Logaritma Asli

[ ]dx

du

uu

dx

dxfu

x xdx

dyxy

.1

ln maka ,0)( Jika 2.

0,1

maka ln Jika 1.

:Teorema

=>=

>==

Bukti: 1.

[ ] 0 , 1

1

1 ln >=

== ∫ x

x

xdt

tdx

dx

dx

d

dx

dy

Gunakan aturan rantau untuk membuktikan yang ke 2.

Contoh:

( ) ( ) ),2()3,(02306 pada

yaitu ini fungsi definisidaerah padaberlaku ini 6

12)12.(

6

1)( :Jawab

)6ln()( dari pertamaurunan Tentukan t 1.

2

22

2

∞−−∞⇒>−+⇒>−+

−++=+

−+=

−+=

xxxx

xx

xx

xxdx

xdf

xxxf

0 , 1

0,

1

0,1

)1.(1

)( maka

0 , ln

0 ),ln(ln)( :Jawab

ln)( dari pertamaurunan Tentukan t .2

≠=

>

<=−−=

><−

==

=

xxx

x

xxx

dx

xdf

xx

xxxxf

xxf

Integral Fungsi Logaritma Asli

Berdasarkan contoh 2 di atas, kita peroleh

0 ,ln 1

dan 0 ,ln 1

≠+=≠+= ∫∫ uCuduu

xCxdxx

Contoh:

42ln 2

3

)42(42

1

2

1.3

42

1 3

42

3atau

42ln 2

3 ln

2

3

1

2

3

2

1.

1 3

42

3

Sehingga .2

142 Misal :Jawab

42

3Tentukan

Cx

xdx

dxx

dxx

CxCu

duu

duu

dxx

dudxux

dxx

+−=

−−

=

−=

+−=+=

==−

=⇒=−

∫∫

∫∫∫

Sifat Logaritma Asli

Teorema

Jika a dan b bilangan-bilangan positif dan r bilangan rasional, maka

araiv

bab

aiii

baabii

i

r lnln .

lnlnln .

lnlnln .

01ln .

=

−=

+==

Bukti:

T.i.

01

1ln diperoleh definisi Dari1

1

== ∫ dtt

T. ii. Karena untuk x > 0 berlaku

[ ] [ ]x

xdx

d

xa

axax

dx

d 1lndan

1.

1ln ===

maka Cxax += lnln

untuk x = 1 diperoleh C = ln a sehingga axax lnlnln +=

dan jika kita subsitusikan x = b kita peroleh baab lnlnln +=

T. iii. Jika pada T.ii kita subsitusikan 01lnlnperoleh kita

1 === abb

a

bab

ab

ab

a

bb

bb

bb

lnln1

lnln1

.lnln sehingga

ln1

ln maka ln1

ln.1

ln padahal

−=+==

−=+=

T. iv. Karena untuk x > 0 berlaku

[ ] [ ]x

rxr

dx

d

x

rrx

xx

dx

d rr

r === − lndan .1

ln 1

maka Cxrxr += lnln

untuk x = 1 diperoleh C = ln 1= 0 sehingga xrxr lnln =

Contoh 1:

[ ]

( )

( ) [ ]( )

8ln2

1

3

24ln

2

13ln24ln

2

1

1ln 2

11

1

1

2

1

1 atau

8ln2

1

3

24ln

2

13ln24ln

2

1

ln 2

1

1

2

1

1 Sehingga

245

32

2

11

Misal :Jawab

1

Tentukan

5

2

225

22

5

22

24 3

24

3

5

22

2

5

22

==−=

−=−−

=−

==−=

==−

=→==→=

==−

∫∫

∫∫

xxdx

dxx

x

uduu

dxx

x

ux

ux

duxdx

ux

dxx

x

Contoh 2:

Tentukan turunan dari 3

23

5ln

x

xy

+=

Jawab: Karena

[ ]xxx

xy ln23ln)5ln(

3

1

3

5ln 3

2−−+=+=

Maka )5(3

1020

5

1

3

1

++−=

−−

+=

xx

x

xxdx

dy

Grafik Fungsi Logaritma Natural

Perhatikan fungsi y = ln x dengan ( ) RRD ff =∞= dan ,0

, grafik fungsi ini

melalui titik (1,0). Turunan pertama dan keduanya adalah

0

1dan 0

122

2<−=>=

xdx

yd

xdx

dy

Sehingga grafik fungsi naik dan cekung kebawah pada daerah definisinya.

Kemudian −∞=∞=

+→∞→xx

xxlnlimitdan lnlimit

0

jadi sumbu y merupakan asymtot tegak. Y

0 1 X

Latihan:Soal-soal 7.1. Buku Kalkulus dan Geometri Analitis. Purcell. jilid 1. Edisi 5

2. Fungsi Invers

Kita akan mengulas secara umum pembalikan atau penginversan suatu fungsi.

Kita ingat bahwa ciri suatu fungsi mempunyai balikan atau invers, apabila

fungsi itu merupakan fungsi satu-kesatu, yaitu

( ) ( )2121 xfxfxx ≠⇔≠

Sifat yang mudah adalah

Teorema

Apabila f monoton murni pada daerah definisinya, maka f mempunyai invers.

Selanjutnya apabila 1−f adalah invers dari fungsi f , maka sebaliknya f juga

merupakan infers dari fungsi 1−f .Jadi antara f dan

1−f saling menginvers dan

berlaku (1−f o f )(x)=

1−f (f(x)) = x dan f(1−f (y)) = y

Jadi untuk membuktikan bahwa suatu fungsi mempunyai invers, tunjukkan

bahwa fungsi tersebut monoton murni atau berlaku

(1−f o f )(x)=

1−f (f(x)) = x dan f(1−f (y)) = y

Cara untuk menentukan invers fungsi y = f(x) sebagai berikut:

Langkah 1. Nyatakan x dalam y dari persamaan y = f(x)

Langkah 2. Nyatakan bentuk dalam y sebagai x =1−f (y)

Langkah 3. Gantikan y dengan x dan x dengan y dari bentuk x =1−f (y)

Perhatikan bahwa dengan menentukan x =1−f (y) dari y = f(x) berarti

menentukan pasangan titik (x,y) yang sama atau identik, hanya menukar

variabel x dengan variabel y sebagai varibel bebas. Penukaran ini

mengakibatkan pencerminan grafik fungsi pada garis y = x. Jadi grafik fungsi

invers dan grafik fungsi asalnya simetris terhadap garis y = x.

Contoh: Jika fungsi f didefinisikan sebagai 1)(

+=

x

xxf

. Tentukan rumus

fungsi invers, garfik fungsi dan grafik fungsi inversnya.

Turunan Fungsi Invers

Teorema. (Turunan Fungsi Invers)

Apabila f mempunyai turunan dan monoton murni pada selang I. Jika

0)( ≠′ xf pada suatu Ix ∈ , maka 1−f mempunyai turunan di titik

)(xfy = pada daerah hasil f dan berlaku

( )

)(

1)(1

xfyf

′=

′−

atau dx

dydy

dx 1=

Contoh: Tentukan turunan dari ( ) )7(1 ′−f dari 1)( 3 −== xxfy

Latihan:Soal-soal 7.2. Buku Kalkulus dan Geometri Analitis. Purcell. jilid 1. Edisi 5

3. Fungsi Eksponen Asli

Dari sifat kekontinuan fungsi logaritma natural kita dapat definisikan bilangan

e (bilangan ini pertama kali digunakan oleh Leonhard Euler) sebagai berikut:

Definisi

1. Bilangan e adalah bilangan real positif yang merupakan jawab

tunggal dari persamaan ln x = 1 (atau memenuhi ln e = 1). Nilai

hampirannya ialah 2,718281828459...

2.xe adalah bilangan real yang memenuhi xex =ln

3. Fungsi eksponen asli adalah suatu fungsi yang didefinsikan

Rxexfy x ∈== , )(

Dari definisi di atas dapat dibuktikan bahwa fungsi eksponen asli adalah invers

dari fungsi logaritma asli.

Teorema

Fungsi Rxey x ∈= , adalah invers dari fungsi 0 , ln >= xxy

Akibatnya: 0 , ln , >=⇔∈= yyxRxey x

Grafik Fungsi Eksponen Asli y=ex y=x

Y

y= ln x

1

0 1 X

Bentuk Limit Dari Bilangan e

Teorema

( )n

n

n

n

n

nh

h

neiv

neii

neiiihei

−=

+=

+=+=

+∞→−∞→

+∞→→

11limit .

11limit .

11limit . 1limit .

1

0

Bukti:

i. Misal xxf ln)( = maka 1

1

1)1(dan

1)( ==′=′ f

xxf

sehingga

( ) ( )

( )

( ) hh

hh

hhhh

he

xxf

he

hh

h

h

fhffe

1

0

1

0

1

000

1limit

maka kesatu,-satu fungsimerupakan ln)( fungsi Karena

.1limitlnln peroleh kita

1lnlimit1ln

limit)1()1(

limit)1(1ln

+=

=

+=

+=+=−+=′==

→→→

Selanjutnya silahkan anda buktikan ii, iii, dan iv dengan menggantikan n

h=1

dari bentuk i.

Sifat-sifat Eksponen Asli

Teorema

Andaikan a dan b bilangan rasional, maka

( ) abbabab

ababa eeiiie

e

eiieeei === −+ . . . .

Bukti i:

baebeaee

beaeeee ba +=

+==

lnln.ln.

. Selanjutnya untuk ii dan iii silahkan anda buktikan sendiri.

Turunan Fungsi Eksponen Asli

Teorema

dx

due

dx

dyxfuey

edx

dyey

uu

xx

. maka )(dengan , Jika 2.

maka Jika 1.

===

==

Bukti: Karena 0 , ln , >=⇔∈= yyxRxey x

maka

xeydx

dy

ydy

dx ==⇒= 1

Dengan aturan rantai, buktikan yang ke 2.

Contoh:

32232

2

232

32

42)(

dan 2)(

:Jawab

)( dari keduadan pertamaurunan Tentukan t

+++

+

+==

=

xxx

x

exedx

xfdxe

dx

xdf

exf

Integral Fungsi Eksponen Asli

Dari sifat turunan fungsi eksponen kita peroleh

Cedx e xx +=∫ dan

Cedu e uu +=∫

Contoh:

( )eeedeedxeedxe

Cexdedxxe

dxxe

exexxexxexxe

xxx

x

−=

===

+=−=

∫∫∫

∫∫

+

−−−

22

0

2

0

2

0

2

0

)(

5225252

52

. Hitung .2

2

15

2

1 :Jawab

Tentukan .1

Latihan:Soal-soal 7.3. Buku Kalkulus dan Geometri Analitis. Purcell. jilid 1. Edisi 5

4. Fungsi Eksponen Umum dan Logaritma Umum

Fungsi eksponen umum ialah fungsi eksponen dengan bilangan dasar a >

0. Dari relasi Rbeaaab b ∈=⇔>= , 0 , ln

kita peroleh 0 , ln >= aea a sehingga ( ) 0 , lnln >== aeea axxax

Definisi

Fungsi eksponen dengan bilangan dasar a > 0 dan peubah bebas x

didefinisikan sebagai axx eaxf ln)( ==

Daerah definisinya adalah RD f =

dan daerah nilainya ( )+∞= ,0fR

Sifat-sifat Eksponen Umum

Teorema

Andaikan a > 0 , b > 0 , x dan y bilangan real, maka

( )

( ) xyyx

x

xxyx

y

x

xxxyxyx

aaiii

b

a

b

ava

a

aii

baabivaaai

=

=

=

==

+

.

. . .

Akan dibuktikan untuk iii dan v, yang lain buktikan sendiri.

Bukti: ( ) ( ) xyxyaayxyaxyx aeeeaiii ==== lnlnln .

( )y

x

bx

axbaxb

axx

b

a

e

eee

b

av ====

ln

lnlnln

ln .

Diferensial dan Integral Fungsi Eksponen umum

Teorema

1 ,ln

atau 1 , ln

.

.ln.)(, .

ln .

≠+=≠+=

=⇒==

=⇒=

∫∫ aCa

aduaaC

a

adxaiii

dx

duaa

dx

dyxfuayii

aadx

dyayi

uu

xx

uu

xx

Bukti:

1 ,

ln

1 ,)(ln

1

1 , )(ln

1ln

)( .

ln)(

ln)(

.)(

1

lnln)(ln)( .

≠+=⇒

≠=⇒

≠=⇒=

=⇒

=⇒

==⇒=

∫∫

aCa

adxa

axdfa

dxa

adxaxdfa

aadx

xdfiii

aadx

xdf

adx

xdf

xf

axaxfaxfi

xx

x

xx

x

xx

Contoh:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxx

xx

xxdx

xdfxf

dx

dyy

sinsinsin 2cos2lncos2ln 2)(

2)( .2

3ln3 3 .1

==⇒=

=⇒=

Grafik Fungsi 0,)( >= aaxf x

0 < a < 1 Y a > 1

1

X

Fungsi Logaritma Umum ialah fungsi logaritma dengan bilangan pokok

(bilangan dasar) a > 0 dan a≠ 1.

Definisi

Jika 0>a dan 1≠a , maka fungsi logaritma dengan bilangan pokok a,

ditulis xxf a log )( = didefinisikan sebagai invers fungsi

0, >= aay x.

Akibatnya: 1 , 0 , log ≠>=⇔= aaaxxy ya

Perhatikan hubungan berikut,

a

xx

a

xyayxax ay

ln

lnlogatau

ln

lnlnln ==⇔=⇔=

Jika kita ganti a dengan e kita peroleh x

e

xxe ln

ln

lnlog ==

Teorema

i. axdx

dyxy a

ln

1 maka log Jika ==

ii. dx

du

audx

dyxfuuy a .

ln

1 maka )( ,log Jika ===

Bukti i: axdx

dy

a

xxy a

ln

1

ln

lnlog =⇒==

Selanjutnya silahkan anda buktikan teorema ii.

Grafik Fungsi xxf a log )( =

Y 0 < a < 1 a > 1

1 X

5. Penggunaan Fungsi Logaritma dan Eksponen

a. Pendiferensialan Logaritma

Dalam kasus tertentu metode ini sangat efektif.

Contoh 1: Tentukan turunan dari 3 12)4(

7

+−+=

xx

xy

Jawab: Karena

( ) ( ) ( )12ln

3

14ln7ln

2

1

12)4(

7lnln

3+−−−+=

+−+= xxx

xx

xy

Maka

( )( )

( )

( )

+−

−−

++−+=⇔

+−

−−

+=⇔

+−

−−

+==

)12(3

2

4

1

72

1

12)4(

7

)12(3

2

4

1

72

1

)12(3

2

4

1

72

11ln

3 xxxxx

x

dx

dy

xxxy

dx

dy

xxxdx

dy

ydx

yd

Latihan: Gunakan pendiferensialan logaritma untuk

1. Menentukan turunan dari )(dan ),(),(dengan , xhwxgvxfuuvwy ====

Gunakan rumus yang anda peroleh untuk menentukan turunan pertama

dari ( ) ( ) 1251 2232 ++−= xxxy

2. Carilah rumus turunan pertama dari [ ] { }0)(,)( )( >∈= xgxxxfy xg

Gunakan rumus yang anda peroleh untuk menentukan turunan pertama

dari ( ) sin ). , ). , ). cossin xxx xycxybxya ===

b. Limit Fungsi Bentuk Tak Tentu ∞∞ 1dan , ,0 00

Untuk menghitung limit bentuk ini, tulislah limitnya sebagai L kemudian

ambilah logaritma natural dari kedua ruasnya, gunakan sifat kekontinuan

fungsi logaritma dan selesaikan limitnya dengan teorema L’hospital.

Bentuk 00

Bentuk ini muncul dari

[ ] 0)(limit)(limitdengan )( limit )( ==→→→

xgxfxfaxax

xg

ax

−∞→+∞→→ xxax atau atau sepihak limit digantidapat

Contoh: Hitunglah limit

0

x

xx

+→

Jawab: Andaikan limit

0

x

xxL

+→=

maka

0)(limit1

1 limit

1ln

limit

ln limit limitlnln

02

00

00

=−=−

==

==

+→+→+→

+→+→

xx

x

x

x

xxL

xxx

x

x

x

x

Jadi L = 10 =e atau 1 limit

0=

+→

x

xx

Bentuk 0∞

Bentuk ini muncul dari

[ ] 0)(limitdan )(limitdengan )( limit )( =± ∞=→→→

xgxfxfaxax

xg

ax

−∞→+∞→→ xxax atau atau sepihak limit digantidapat

Contoh: Hitunglah ( ) 1 limit ln1 x

xx+

+∞→

Jawab: Andaikan ( ) 1 limit ln1 x

xxL +=

+∞→ maka

( ) ( )

( )1

1

1limit

1limit

ln

1lnlimit

1lnlimit 1 limitlnln ln1ln1

==+

=+=

+=+=

+∞→+∞→+∞→

+∞→+∞→

xxx

x

x

x

x

x

x

x

x

xxL

Jadi L = ee =1 atau

( ) 1 limit ln1 ex x

x=+

+∞→

Bentuk ∞1

Bentuk ini muncul dari

[ ] +∞==→→→

)(limitdan 1)(limitdengan )( limit )( xgxfxfaxax

xg

ax

−∞→+∞→→ xxax atau atau sepihak limit digantidapat

Contoh: Hitunglah ( ) 1 limit csc

0

x

xx−

+→

Jawab: Andaikan ( ) 1 limit csc

0

x

xxL −=

+→ maka

( ) ( )

( ) ( )1

1

1

cos

11 limit

sin

1ln limit

1ln limit 1 limitlnln

00

csc

0

csc

0

−=−=−−=−=

−=−=

+→+→

+→+→

x

x

x

x

xxL

xx

x

x

x

x

Jadi ( ) 1csc

0 1 limit −

+→=− ex x

x

5. Fungsi Invers Trigonometri

Karena fungsi trigonometri pada daerah definisinya (himpunan bilangan real)

bukan merupakan fungsi satu-kesatu maka fungsi trigonometri tersebut tidak

mempunyai invers, tetapi dengan membatasi daerah definisi fungsi

trigonometri kita dapat mendefinisikan fungsi invers untuk semua fungsi

trigonometri.

Definisi

0,22

dengan csc 1csc .

2,0dengan sec 1sec .

0dengan cot 1cot .

22dengan tan 1tan .

0dengan cos 1cos .

22dengan sin 1sin .

≠<<−=⇔−=

≠≤≤=⇔−=

<<=⇔−=

<<−=⇔−=

≤≤=⇔−=

≤≤−=⇔−=

yyyxxyvi

yyyxxyv

yyxxyiv

yyxxyiii

yyxxyii

yyxxyi

ππ

ππ

π

πππ

ππ

Turunan Fungsi Invers Trigonometri

Teorema

1 , 1

1 maka csc Jika .

1 , 1

1 maka sec Jika .

1

1 maka cot Jika .

1

1 maka tan Jika .

11 , 1

1 maka cos Jika .

11 , 1

1 maka sin Jika .

21

21

21

21

21

21

>−

−==

>−

==

+−==

+==

<<−−

−==

<<−−

==

xxxdx

dyxyvi

xxxdx

dyxyv

xdx

dyyiv

xdx

dyxyiii

xxdx

dyxyii

xxdx

dyxyi

Bukti: Akan dibuktikan teorema ii dan iii, yang lain silahkan buktikan anda

buktikan.

21

1

1

1

)cos(sin

1

cos

1

cos

sin sin .

-xxydx

dy

ydy

dx

yxxyi

−===⇒

=⇒

=⇒= −

1 x 21 x+ x

x1sin− x1tan−

21 x− 1

2122

2

1

1

1

)(tansec

1

sec

1

sec

tan tan .

- xxydx

dy

ydy

dx

yxxyii

+===⇒

=⇒

=⇒= −

Contoh:

Integral Fungsi Invers Trigonometri

Dari rumus turunan fungsi invers trigonometri kita peroleh rumus integral berikut. Silahkan Anda buktikan!

Teorema

0 , sec1

1

.

0 , tan1

1

.

0, sin 1

.

csc atau sec 1

1 .

cot atau tan 1

1 .

cosatau sin 1

1 .

122

122

122

112

112

112

>+=−

≠+=+

>+=−

+−=+=−

+−=+=+

+−=+=−

−−

−−

−−

aCa

x

adx

axxvi

aCa

x

adx

xav

aCa

x dx

xaiv

CxCxdxxx

iii

CxCxdxx

ii

CxCx dxx

i

Perhatikan!

0 , tan1

1

1

1

1 1

222≠+=

+

=+

−∫∫ aCa

x

aa

xd

a

xadx

xa

Contoh:

Cx

dxxx

Cx

dxx

+=−

+=−

4sec

4

1

16

1 .2

3sin

9

1 .1

12

12

6. Fungsi Hiperbolik dan Inversnya

Bentuk parameter hiperbol satuan 122 =− yx dapat ditampilkan sebagai fungsi sinus dan cosinus hiperbolik. Fungsi hiperbolik didefinisikan sebagai

kombinasi dari fungsi xey = dan

xey −=

Definisi

( ) ( )

xxxx

xx

xx

xx

xx

xxxx

eexxfiv

eexxfv

ee

eexxfiv

ee

eexxfiii

eexxfiieexxfi

−−

−−

−===

+===

−+===

+−===

+==−==

2

sinh

1csch )(.

2

cosh

1sech )( .

sinh

coshcoth)(.

cosh

sinhtanh)( .

2

1cosh)( .

2

1sinh)( .

Untuk sinh, cosh, tanh, dan coth terdefinisi pada R, sedangkan untuk sech dan

csch terdefinisi pada { }0−R .

Keterkaitan Fungsi hiperbolik dengan hiperbol 122 =− yx

Y Y 1 sinh t (x,y) sin t (x,y)

t t -1 cos t 1 X -1 1 cosh t X

parameter ; sin

cos

122

tty

tx

yx

==

=+

parameter ; sinh

cosh

122

tty

tx

yx

==

=−

Sifat-sifat Fungsi Hiperbolik

Sifat fungsi hiperbolik mirip dengan fungsi trigonometri. Teorema ini

dibuktikan dengan menggunakan definisi dan sifat eksponen, silahkan Anda

buktikan!

Teorema

2csch12coth 12. csch )csch( .6

2sech 2tanh1 11. sech )sech( .5

12sinh 2cosh 10. coth)coth( .4

sinhcosh 9. tanh)tanh( .3

sinhcosh 8. cosh )cosh( .2

coth 1 tanh 7. sinh)sinh( .1

xxxx

xxxx

xxxx

xexxxx

xexxxx

xxxx

=−−=−

=−=−

=−−=−

−=−−=−

=+=−

=−=−

x

xx

xxxxx

xxxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyx

2tanh1

tanh 22 tanh.19

2sinh112cosh22sinh2cosh 2cosh .18

coshsinh2 2sinh 17. sinh sinh cosh cosh )cosh( 16.

sinh sinh cosh cosh )cosh( 15.sinh cosh cosh sinh )sinh( .14

sinh cosh cosh sinh )sinh( .13

+=

+=−=+=

=−=−+=+−=−+=+

Turunan Fungsi Hiperbolik

Dengan menggunakan turunan fungsi eksponen dan sifat fungsi hiperbolik, kita

peroleh rumus turunan berikut. Silahkan anda buktikan!

Teorema

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ] cothcsch csch .6 2sechtanh .3

tanhsech sech .5 sinh cosh .2

2cschcoth .4 cosh sinh .1

xxxdx

d xx

dx

d

xxxdx

dxx

dx

d

xxdx

d xx

dx

d

−==

−==

−==

Grafik fungsi hiperbolik

y = cosh x Y y = sinh x

y = tanh x X

Integral Fungsi Hiperbolik

Berdasarkan turunan fungsi hiperbolik, kita peroleh rumus integralnya.

Teorema

csch cothcsch .6 tanh 2sech .3

sech tanhsech .5 cosh sinh .2

coth 2csch .4 sinh cosh .1

Cxdxxx Cxdxx

CxdxxxCxdxx

Cxdxx Cxdxx

+−=∫+=∫

+−=∫+=∫

+−=∫+=∫

TEKNIK INTEGRASI

1. PENGINTEGRALAN DENGAN SUBSITUSI2. INTEGRAL TRIGONOMETRI3. SUBSITUSI YANG MERASIONALKAN

4. PENGINTEGRALAN PARSIAL5. PENGINTEGRALAN FUNGSI RASIONAL

6. TEKNIK SUBSITUSI x

2

1tan