GRAFIK DAN ANALISISNYA

A. Pengantar

Salah satu tujuan dari laporan ilmiah adalah mengungkapkan informasi secara numerik yaitu data dan hasil perhitungan dengan cara yang mudah dimengerti. Bersama-sama dengan bagian laporan yang lain maka laporan dapat mengungkapkan isinya dengan sendirinya. Idealnya orang yang tidak melakukan eksperimen jika membaca maka dapat memahami.

Hukum fisika merupakan kaitan matematis antar besaran yang diukur. Grafik merupakan bentuk visual dari pengungkapan keterkaitan tersebut. Dengan kata lain grafik merupakan ungkapan secara visual dari kaitan antara kedua variabel tersebut pada kedua sumbu. Biasanya kaitan kedua variabel tersebut dibuat fungsi.

Untuk menyatakan bagaimana data dikaitkan, grafik biasanya berisi titik-titik data dan kurva tercocok (fitted curve). Termasuk dalam pengertian kurva adalah garis lurus. Dalam kenyataannya paling mudah dilakukan interpretasi jika kurva berupa garis lurus.

Pada suatu nilai hasil pengukuran atau perhitungan, jika ada nilai harapnya maka ralat penting ditampilkan untuk menunjukkan seberapa baik data eksperimental sesuai dengan nilai harap. Untuk set data yang dicocokkan dengan persamaan maka penting mengetahui bagaimana data-data tersebut sesuai dengan fungsi. Hal ini dilakukan menggunakan error bar (batang ralat) yang akan dibahas nanti. Error bar membantu sesesorang untuk mengamati seberapa bagus setiap data mengikuti kurva atau garis pada grafik. Jika parameter persamaan seperti slope dan intersep diperoleh melalui data maka kedua parameter memiliki ralat yang menyatakan jangkau nilai yang diperlukan untuk membuat seluruh titik data sesuai dengan kurva.

Kegunaan grafika. Untuk menentukan besaran fisisb. Visualisasi hasil eksperimen yang dapat memberikan manfaat untuk:

Perbandingan teori dan eksperimen Melihat kontinuitas variabel

c. Untuk menetapkan hubungan empiris antar variabel

B. Pembuatan grafik

1. Tabel data

Sering data yang diperoleh dalam eksperimen berbeda dengan yang akan diplot di grafik. Misalnya yang diukur massa sedangkan yang diplot adalah berat. Dalam hal ini data yang akan diplot sebaiknya tetap seperti pada tabel. Hal ini akan lebih memudahkan bagi pembaca untuk membandingkan setiap titik data pada tabel dengan titik data pada grafik. Tabel data mencakup ukuran error bar untuk setiap titik data. Satuan pada tabel harus sama dengan satuan pada grafik.

Grafik harus diplot dari data yang dinyatakan dalam tabel. Oleh karena itu aturan pentabelan adalah sebagai berikut:

1

a. memiliki ukuran dan antar kolom dipisah supaya lebih mudah membaca.b. Judul harus mengandung arti yang mewakili terhadap eksperimen serta pada tiap

kolom diberi heading.c. Tidak terpisahkan oleh pergantian halaman (kecuali jika tabel panjangnya lebih

dari 1 halaman, sebaiknya tetap diusahakan agar cukup 1 halaman).d. Diberi nomor tabel yang sesuai (misal: ”Tabel 1”) untuk memudahkan merujuk

pada laporan, dan nama, (misal: ”gerak jatuh bebas bola besi”) yang bisa memberikan penjelasan.

e. Masukkan informasi yang terkait dengan data yaitu satuan, ralat dll.

Tabel 3.1 Posisi bola terhadap waktu

i(cm) (cm) (s) (s)

1 2,0 0,123

0

4

8

12

16

0 1 2 3 4 5 6

Waktu (detik)

Po

sisi

(m

)

2. Bagian-bagian grafik

a. Judul

Judul grafik dibuat sedemikian rupa sehingga agak memberikan penjelasan mengenai kegiatan di lab. Judul seperti ”y vs x” mungkin benar, namun tidak berarti jika diharapkan orang yang membaca paham akan grafik tersebut. Lain halnya dengan ”Benda Jatuh Bebas” akan lebih membantu pembaca untuk membayangkan kenyataannya.

b. Label sumbu

2

Seperti disebutkan di atas ”m” dan ”l” tidak berarti jika dibandingkan dengan ungkapan ”penambahan massa (m) dalam gram” dan ”panjang tali (l) dalam cm”. Ungkapan tersebut cukup informatif. Simbol m dan l masih digunakan untuk mempermudah mencari simbol tersebut dalam persamaan. Satuan harus disertakan didalam label sumbu.

c. Skala sumbu

1) pilihlah skala sumbu sedemikian rupa sehingga titik-titik data mampu tersebar pada luasan grafik yang diplot. Diusahakan titik-titik data tidak mengumpul di satu tempat.

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

5

10

15

20

25

0 7 14 21 28 35 42 49

2) Untuk membagi sumbu pilihlah skala-skala pembagi yang mudah (sederhana). Angka 0,3967 volt merupakan contoh pembagian skala yang sulit. Akan lebih mudah jika dipilih 0,25; 0,5 volt atau mungkin 0,4 volt. Jika data berupa bilangan bulat maka untuk menyatakannya jangan menggunakan notasi sientifik.

3) Jika datanya dimulai dari x yang jauh dari titik (0,0) maka titik (0,0) tidak harus ada dalam grafik. Contoh karakteristik arus-tegangan pada lampu LED.

I = 7E-15V34.499

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

Tegangan (volt)

Aru

s (

mik

roam

pere

)

I = 7E-15V34.499

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Tegangan (volt)

Aru

s (

mik

roam

pere

)

Gambar 1. …. Error bar terlalu kecil sehingga tidak tampak dalam gambar

d. memplot titik-titik

Sering hasil yang ditentukan dari grafik agak kurang sesuai karena kesalahan dalam memplot titik-titik data. Jika memplot dengan tangan harus hati-hati jangan sampai keliru. Titik-titik data harus dicocokkan dengan error bar untuk

3

menunjukkan bahwa data tersebut ada ralatnya. Jika ralatnya pada satu atau kedua dimensi terlalu kecil, maka catatan pada grafik perlu dibuat agar pembaca mengetahui jika ralatnya memang terlalu kecil. Catatan ini dapat ditempatkan di keterangan gambar. Misalnya error bar terlalu kecil sehingga tidak tampak dalam gambar.

e. Titik-titik pada Slope

Pada perhitungan parameter grafik seperti slope, maka titik-titik pada garis harus dipilih mana yang merupakan titik data, bahkan jika titik data tampak menyimpangkan garis terlalu besar maka akan membuat grafik keliru.

f. Error bar (batang kesalahan)

Error bar bisa dalam 1 arah atau kedua arah dan mungkin nilainya berbeda antara arah positif dengan arah negatif. Jangkau nilai yang mungkin untuk suatu titik data mencakup semua titik yang dibatasi oleh segiempat dengan titik sudutnya merupakan pertemuan antara kedua error bar. Ukuran error bar diberikan oleh ralat kedua koordinat. Sesungguhnya titik-titik yang menggambarkan nilai yang benar berada di dalam elip yang dibentuk oleh error bar. Hal ini disebabkan karena pengukuran x dan y tidak memiliki nilai maksimum error pada saat yang sama.

Gambar 3.1 Titik dengan error bar

3. Analisis grafikBiasanya titik data pada grafik digunakan untuk menentukan parameter kaitan antara kedua besaran. Misalnya jika memplot garis lurus maka slope dan titik potong pada sumbu y merupakan parameter-parameter yang menggambarkan kaitan tersebut.Catatan: slope dan intersep mungkin memiliki satuan. Satuan intersep pada y sama dengan satuan variabel y dan slope memiliki satuan

4. Linearisasi persamaan

4

Model matematika yang anda pilih harus memungkinkan untuk diplot di grafik. Cara termudah untuk menyederhanakannya dalah dengan melinearkan grafik, yaitu memilih informasi yang akan diplot agar supaya dapat dibuat garis lurus. Contoh:

dengan K dan konstanta. Jika grafik log natural z diplot sebagai fungsi t maka akan diperoleh garis lurus:

parameter K dan menjadi lebih mudah diperoleh dari grafik.Jika kita mensubstitusikan dan dan jika slope dan intersep y diukur masing-masing sebagai m dan b maka diperoleh

5. Fitting kurva

Gambarlah kurva sehalus (selunak) mungkin melalui titik-titik data, kecuali jika memang ada titik-titik diskontinyu yang membuat slope harus berbeda. Grafik tidak boleh berupa hubungan dari titik ke titik. Jika kurva diplot dengan komputer maka tariklah garis dengan tangan. Jika set data benar-benar cocok dengan kurva maka pilihlah pencocokan terbaik

Biasanya setelah titik-titik data diplot di grafik, maka dilihat kemudian dilanjutkan dengan metode least square (kuadrat terkecil) yang lebih mudah dan otomatis. Jika diplot dengan bantuan mata maka garis terbaik adalah yang membagi 2 set data sehingga jumlah titik yang berada di bawah garis sama dengan jumlah titik yang berada di atas garis. Untuk menentukan intersep, jika

dan

maka untuk sembarang titik pada garis dan maka

sehingga

dan akhirnya

6. Fitting menurut kuadrat terkecil

1. Garis lurus y = a + bx

5

a dan b dicari agar bernilai maksimum.Misal didefinisikan (chi kuadrat dibaca “kai kuadrat”) sebagai

a. Jika

0

2

4

6

8

10

12

14

0 2 4 6 8 10 12

Hal ini terjadi jika pada masing-masing titik tidak dilakukan pengulangan sehingga ralatnya merupakan ralat yang berasal dari alat ukur yang besarnya selalu tetap.

= (0)

Syarat minimum adalah

(1)

(2)

Dari pers. (1) dan (2) maka diperoleh:

(3)

Misal bagian penyebut pada pers. (3):

6

=

Maka :

a = (4)

Dengan cara yang sama yaitu dengan menerapkan maka diperoleh:

(5)

Tampak bahwa nilai a dan b tidak ada ketergantungan terhadap sy.

b. Jika dan keduanya memiliki ralat yang besarnya maka s total untuk xi dan yi adalah :

(6)

Lanjutan ...

= (7)

dimana

ingat, karena maka pada pers. (7) ungkapan tersebut dimasukkan sehingga:

yi

yi

xi

xi

7

atau (8)

Dengan cara yang sama maka diperoleh:

atau (9)

Untuk latihan tentukan rumus untuk dan jika persamaan regresinya .

b. Jika

Hal ini dapat terjadi jika pada masing-masing titik dilakukan pengukuran berulang sehingga memiliki simpangan baku.

0

2

4

6

8

10

12

14

0 2 4 6 8 10 12

(10)

8

(11)

(12)

(13)

Dari pers. (11) dan (13) maka diperoleh:

(14)

Dengan memisalkan

= (15)

Maka intersep

a = (16)

= (17)

atau untuk untuk memudahkan pemahaman:

Pada pers. (16) turunan a terhadap yj dimana yj adalah salah satu nilai dari yi adalah:

9

(18)

Dengan mensubstitusikan pers. (18) ke (17) dan kemudian memasukkan ke dalam

kurung maka diperoleh:

=

Jika tanda dimasukkan ke dalam kurung kotak maka

sehingga dengan menjalankan i = j = 1... N maka diperoleh:

(20)

Dengan menguraikan 2 menjadi dan mengganti salah satu dengan pers. (15) maka ditulis menjadi:

(21)

maka persamaan (20) menjadi

(22)

yang nilainya dapat didekati dengan:

10

atau atau (23)

Slope grafik

Dengan cara yang sama untuk maka diperoleh:

atau atau (24)

dengan = Untuk gejala yang mengikuti distribusi Poisson maka

(25)

maka: sehingga (26)

Misalkan pada kasus pencacahan radiasi dengan berbagai waktu pencacahan sehingga jumlah cacah radiasi yang terkait dengan ti adalah Ni, sebagaimana diskripsi pada tabel berikut:

Tabel i1 5 menit 10222 10 menit 110073 15 menit 1340154 20 menit 210020

Dari tabel tersebut tampak jelas bahwa masing-masing data memiliki simpangan baku yang berbeda-beda sehingga penentuan nilai rata-rata laju pencacahan harus dilakukan dengan regresi linier dengan simpangan baku baku yang berbeda-beda.

11

Berikut diberikan contoh masalah yang diselesaikan dengan regresi linear namun memiliki

Example 6.1. A student is studying electrical currents and potential differences. He has been provided

with a l-m nickel-silver wire mounted on a board, a lead-acid battery, and an analog voltmeter. He connects cells of the battery across the wire and measures the potential difference or voltage between the negative end and various positions along the wire. From examination of the meter, he estimates the uncertainty in each potential measurement to be 0.05 V. The uncertainty in the position of the probe is less than 1 mm and is considered to be negligible.

Tabel 6.1 Beda potensial y sebagai fungsi dari posisi sepanjang kawat nikel-silver berarus

IPosisi

Beda potensial

1 10 0.37 100 3.70 0.33 0.0013

2 20 0.58 400 11.60 0.60 0.0002

3 30 0.83 900 24.90 0.86 0.0008

4 40 1.15 1,600 46.00 1.12 0.0009

5 50 1.36 2,500 68.00 1.38 0.0005

6 60 1.62 3,600 97.20 1.64 0.0005

7 70 1.90 4,900 133.00 1.91 0.0000

8 80 2.18 6,400 174.40 2.17 0.0002

9 90 2.45 8,100 220.50 2.43 0.0004

450 12 28,500 779.30 12.43 0.0049

Nilai dan diperoleh melalui persamaan (8) dan (9) hanya nilai diganti dengan

Selanjutnya nilai diperoleh dari persamaan (0) karena sy untuk kasus ini sama yaitu 0,05 volt.

12

Jika dilihat pada Tabel C4 maka diperoleh 98%.

Untuk fungsi hasil fitting yang baik yaitu yang mendekati distribusi induk, maka nilai

mendekati 1 dan probabilitas pada Tabel C4 halaman 258 mendekati 0,5.

Untuk fitting yang jelek maka nilai lebih besar dari 1 dan probabilitas lebih kecil dari 0,5.

Pada Tabel C4 angka-angka yang berada di dalam tabel merupakan nilai dari

dengan v merupakan derajat kebebasan yaitu jumlah data dikurangi dengan jumlah parameter. Untuk garis lurus maka ada 2 parameter yaitu a dan b.

y = 0.0262x + 0.0714

R2 = 0.9988

-

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

- 20 40 60 80 100

Posisi (cm)

Teg

ang

an (

volt

)

Untuk eksperimen yang berbentuk teknik rerata berbobot:

Example 6.2. In another experiment, a student is provided with a radioactive source enclosed in a small

8-mm-diameter plastic disk and a Geiger counter with a 1-cm-diameter end window. Her object is to investigate the 1/r law by recording Geiger counter measurements over a fixed period of time at various distances from the source between 20 and 100 cm. Because the counting rate is not expected to vary from measurement to measurement, except for statistical fluctuations, the student can record data long enough to obtain good statistics over the entIre range of the experiment. She uses an automatic recording system and records counts for thirty 15-s intervals at each position. For analysis in this experiment, she sums the counts from the 30 measurements at each positions. The separate 15-s interval measurements at each position can be used in other statistical studies.

Data pengukuran adalahPosisixi

CacahCi

20 901

25 652

30 443

13

35 339

40 283

45 281

50 240

60 220

75 180

100 154

Karena data tersebut telah diketahui bersama mengikuti distribusi Poisson maka masing-masing data memiliki simpangan baku akar dari cacahnya. Selain itu jumlah cacah radioaktif berbanding lurus terhadap 1/r2.

14

15

KEBOLEHJADIAN TERKORELASI

1. Linear Bagaimana adanya perubahan pada suhu T menyebabkan perubahan pada indek

bias n? Dalam kasus ini dikatakan bahwa n terkorelasi secara linier terhadap T. Jika asumsi ini benar maka

(26)atau

= (27)

Jika slope dari pers. (26) dan (27) dikalikan maka diperoleh koefisien korelasi:

contoh: y = 2x + 3. Jika dibalik menjadi x = y/2 – 3/2

0

2

4

6

8

10

12

14

0 1 2 3 4 5 6

0

1

2

3

4

5

6

0 2 4 6 8 10 12 14

Jika x dan y tidak terkorelasi samasekali maka r = 0.

Contoh

x y1 52 73 94 115 13

Jika diplot maka diperoleh grafik

16

y = 2.4x + 1.2

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5 6

x

y

Jika diplot maka diperoleh grafik

y = 0.3922x - 0.2941

0

2

4

6

0 5 10 15

y

xTentu saja kedua grafik tidak bisa digambar bersma karena identitas sumbu-sumbunya berlainan.

Nilai koefisien determinasi bb’ = r2 = 2,4 x 0,3922 = 0,94

Nilai r ini belum cukup untuk untuk menyimpulkan ketergantungan y terhadap x, seperti jumlah pengukuran yang terlalu sedikit. Oleh karena itu diperlukan kriteria tambahan yaitu probabilitas koefisien korelasi.

Dari suatu sampel data acak tak terkorelasi dibuat distribusi probabilitas r nya yaitu Pr(r,v) dengan v adalah derajat kebebasan.

Probabilitas koefisien korelasi r hasil pengamatan (eksperimen) lebih besar dari r untuk sampel acak dengan jumlah data N dan derajat kebebasan v adalah integral kebolehjadian

dengan v = N-2

17

18

19

KEBAGUSAN HASIL PENCOCOKAN

Sebagaimana diungkapkan sebelumnya:

tereduksi / termodifikasi menjadi dengan v adalah derajat kebebasan.

selanjutnya probabilitasnya dilihat pada table C4. Bentuk distribusinya adalah

berupa integral yang menyatakan kebolehjadian pengamatan nilai dari hasil pengamatan melebihi sample acak dengan N pengamatan dan v derajat kebebasan.

20

21

22

23