4. Sudut  Dalam  Ruang    a. Sudut  antara  Garis  Berpotongan  

 Sudut  antara  garis  𝒌  dan  garis  𝒍  yang  berpotongan  adalah  sudut  terkecil  antara  garis  𝒌  dan  garis  𝒍    Untuk  memudahkan  ,  buat  bidang  𝛼  sehingga  garis  𝑘  dan  garis  𝑙  terletak  pada  bidang  𝛼  yang  berbentuk  segitiga    Sudut  antara  garis  𝑘  dan  garis  𝑙  adalah  sudut  pada  titik  potong  antara  garis  𝑘  dan  garis  𝑙    Contoh    Sudut  antara  garis  𝐵𝐸  dan  𝐵𝐺    Buat  bidang  𝐵𝐺𝐸  sehingga  garis  𝐵𝐸  dan  garis  𝐵𝐺  terletak  pada  bidang  𝐵𝐺𝐸  yang  berbentuk  segitiga    

     Gambar  47         Gambar  48      Sudut  antara  garis  𝐵𝐸  dan  garis  𝐵𝐺  adalah  sudut  pada  titik  potong  antara  garis  𝐵𝐸  dan  garis  𝐵𝐺  yaitu  ∠𝐺𝐵𝐸      

   Gambar  49      Karena  𝐵𝐸 = 𝐵𝐺 = 𝐸𝐺  adalah  diagonal  sisi  kubus  maka  ∆𝐺𝐵𝐸  sama  sisi  sehingga  ∠𝐺𝐵𝐸 = 60!  

 

   

b. Sudut  antara  Garis  Bersilangan    Sudut  antara  garis  𝒌  dan  garis  𝒍  yang  saling  bersilangan  adalah  sudut  terkecil  antara  garis  𝒌′  yang  berpotongan  dengan  garis  𝒍  dimana  𝒌′ ∥ 𝒌    Untuk  memudahkan  ,  buat  garis  𝑘′  yang  berpotongan  dengan  garis  𝑙  dimana  𝑘′ ∥ 𝑘    Buat  bidang  𝛼  sehingga  garis  𝑘′  dan  garis  𝑙  terletak  pada  bidang  𝛼  yang  berbentuk  segitiga    Sudut  antara  garis  𝑘′  dan  garis  𝑙  adalah  sudut  pada  titik  potong  antara  garis  𝑘′  dan  garis  𝑙  yang  merupakan  sudut  antara  garis  𝑘  dan  garis  𝑙    Contoh    Sudut  antara  garis  𝐵𝐸  dan  garis  𝐶𝐹    Buat  garis  𝐶𝐻  yang  berpotongan  dengan  garis  𝐶𝐹  dimana  𝐶𝐻 ∥ 𝐵𝐸      

     Gambar  50         Gambar  51      Buat  bidang  𝐶𝐹𝐻  sehingga  garis  𝐶𝐻  dan  garis  𝐶𝐹  terletak  pada  bidang  𝛼  yang  berbentuk  segitiga    

 

Gambar  52    Sudut  antara  garis  𝐶𝐻  dan  garis  𝐶𝐹  adalah  ∠𝐹𝐶𝐻  yang  merupakan  sudut  antara  garis  𝐵𝐸  dan  garis  𝐶𝐹  

 

 c. Sudut  antara  Garis  dan  Bidang  

 Sudut  antara  garis  𝒌  dan  bidang  𝜶  adalah  sudut  antara  garis  𝒌  dan  garis  proyeksinya  pada  bidang  𝜶    Untuk  memudahkan  buat  bidang  𝛽  yang  melalui  garis  𝑘  dan  bidang  𝛽  memotong  tegak  lurus  bidang  𝛼  pada  garis  𝑙    Sudut  antara  garis  𝑘  dan  bidang  𝛼  sama  dengan  sudut  antara  garis  𝑘  dan  garis  𝑙    Contoh    Sudut  antara  garis  𝐴𝐸  dan  bidang  𝐵𝐺𝐷    Buat  bidang  𝐴𝐸𝐺𝐶  yang  melalui  garis  𝐴𝐸  dan  bidang  𝐴𝐸𝐺𝐶  memotong  tegak  lurus  bidang  𝐵𝐺𝐷  pada  garis  𝑃𝐺      

     Gambar  53         Gambar  54      Buat  garis  𝑃𝑄 ∥ 𝐴𝐸  dan  garis  𝑃𝑄  memotong  garis  𝑃𝐺    Sudut  antara  garis  𝑃𝑄  dan  garis  𝑃𝐺  yaitu  ∠𝑄𝑃𝐺  sama  dengan  sudut  antara  garis  𝐴𝐸  dengan  garis  𝑃𝐺  sehingga    ∠𝑄𝑃𝐺    adalah  sudut  antara  garis  𝐴𝐸  dengan  bidang  𝐵𝐺𝐷    

     Gambar  55         Gambar  56

 

   d. Sudut  antara  Bidang  dan  Bidang  

 Sudut  antara  bidang  𝜶  dan  bidang  𝜷  yang  saling  berpotongan  pada  garis  𝒌  adalah  sudut  antara  garis  𝒍  yang  terletak  pada  bidang  𝜶  dan  garis  𝒎  yang  terletak  pada  bidang  𝜷  dimana  𝒍 ⊥ 𝒌  dan  𝒎 ⊥ 𝒌    Untuk  memudahkan  ,  buat  garis  garis  𝑙  yang  terletak  pada  bidang  𝛼  dan  𝑙 ⊥ 𝑘    Buat  garis  𝑚  yang  terletak  pada  bidang  𝛽  dan  𝑚 ⊥ 𝑘    Buat  bidang  𝛾  yang  memuat  garis  𝑙  dan  garis  𝑚  berbentuk  segitiga    Besar  sudut  terkecil  antara  garis  𝑙  dan  garis  𝑚  pada  titik  potongnya  adalah  sudut  antara  bidang  𝛼  dan  bidang  𝛽    Contoh    Sudut  antara  bidang  𝐴𝐵𝐶𝐷  dan  bidang  𝐵𝐸𝐷  yang  berpotongan  pada  garis  𝐵𝐷    Buat  garis  garis  𝐴𝐶  yang  terletak  pada  bidang  𝐴𝐵𝐶𝐷  dan  𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐷    𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐷  karena  bidang  𝐴𝐵𝐶𝐷  berbentuk  bujursangkar  dimana  diagonalnya  berpotongan  ditengah  tengah  dan  saling  tegak  lurus    

       Gambar  57           Gambar  58    Buat  garis  𝐸𝑃  yang  terletak  pada  bidang  𝐷𝐸𝐵  dan  𝐸𝑃 ⊥ 𝐵𝐷  

 

 ∆𝐵𝐸𝐷    sama  sisi  karena  𝐵𝐷 = 𝐵𝐸 = 𝐷𝐸  diagonal  sisi  kubus  sehingga  garis  tinggi  𝐸𝑃 ⊥ 𝐵𝐷  dan  membagi  dua  garis  𝐷𝐵    

         Gambar  59           Gambar  60      Buat  bidang  𝐸𝐴𝑃  yang  memuat  garis  𝐴𝑃  dan  garis  𝐸𝑃  berbentuk  segitiga  ∆𝐸𝐴𝑃    Garis  𝐴𝑃  dan  garis  𝐸𝑃  berpotongan  di  titik  𝑃  maka  ∠𝐴𝑃𝐸  adalah  sudut  antara  bidang  𝐴𝐵𝐶𝐷  dan  bidang  𝐵𝐸𝐷