Download - 2 Analisis Vektor

Transcript
Page 1: 2 Analisis Vektor

ANALISIS VEKTOR

Simon Patabang, ST., MT.

Fakultas Teknik

Jurusan Teknik Elektro

Universitas Atma Jaya Makasar

Page 2: 2 Analisis Vektor

Vektor dan Skalar

• Vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah.

• Contohnya : perpindahan, kecepatan, percepatan,

gaya, dan momentum.

Skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai tanpa• Skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai tanpa

arah.

• Contohnya : massa, muatan, kerapatan, dan

temperatur

Page 3: 2 Analisis Vektor

Notasi

• Vektor dilambangkan dengan tanda panah di atas

simbolnya.

• Misalnya Vektor A dilambangkan dengan notasi

A�

• Skalar dinyatakan dengan huruf biasa.

• Misalnya Skalar B dilambangkan dengan notasi B

Page 4: 2 Analisis Vektor

• Besar (nilai) dari suatu vektor digambarkan

dengan diagram sbb :A�

Diagram Verktor

• Vektor berlawanan arah dengan vektor -

tetapi besarnya sama. A�

A�

Page 5: 2 Analisis Vektor

Penjumlahan Dua Vektor

• Penjumlahan 2 buah vektor bersifat komutatif artinya

Page 6: 2 Analisis Vektor

• Penjumlahan bersifat asosiatif:

• Untuk mengurangkan sebuah vektor , tambahkan

dengan kebalikannya seperti gambar berikut :

Page 7: 2 Analisis Vektor

Penjumlahan 2 buah vektor a dan b sbb :

Sifat Dasar Penjumlahan sbb :

a + b = b + a

a + ( b + c ) = (a + b) + c

a + 0 = 0 + a

a + (-a) = 0

Page 8: 2 Analisis Vektor

Perkalian Vektor dengan sebuah skalar

• Perkalian suatu vektor dengan sebuah skalar k positif

menghasilkan sebuah dengan arah yang tidak berubah

dan besarnya bertambah sebesar k kali.

• Sifat Dasar Perkalian Skalar :

1. c (a + b) = ca + cb

2. (c + k) a = ca + ka

3. c(ka) = (ck)a

4. 1a = a

Page 9: 2 Analisis Vektor

• Jika k negatif, arah vektor berubah menjadi sebaliknya.

Page 10: 2 Analisis Vektor

Perkalian titik (dot)

• Perkalian titik (dot) antara 2 buah vektor didefinisikan oleh

• θ adalah sudut antara vektor A dan B. Ketika keduaujung vektor saling bertemu maka akan menghasilkanujung vektor saling bertemu maka akan menghasilkan

sebuah skalar sehingga perkalian titik ini sering juga

disebut perkalian skalar.

Page 11: 2 Analisis Vektor

• Perkalian bersifat komutatif

• Jika dua vektor sejajar, maka :

Page 12: 2 Analisis Vektor

Perkalian silang (Cros)

• Perkalian silang (cros) antara 2 buah vektor didefinisikan oleh :

• ň adalah sebuah vektor satuan (yang panjangnya 1)• ň adalah sebuah vektor satuan (yang panjangnya 1)

mengarah tegak lurus bidang yang sisi-sisinya

dibentuk oleh vektor A dan B

Page 13: 2 Analisis Vektor

• Ada dua arah yang tegak lurus bidang tersebut,

yaitu “masuk” dan “keluar”.

• Untuk mengatasi masalah ini, digunakanlah

kesepakatan aturan tangan kanan dengan cara :

• Kepalkan keempat jari selain ibu jari agar menunjuk• Kepalkan keempat jari selain ibu jari agar menunjuk

pada vektor pertama (dengan ibu jari tegak lurus

keempat jari), kemudian putar keempatnya (pada

sudut terkecil) ke arah vektor kedua, maka ibu jari

menandakan arah dari perkalian silang kedua vektor

tersebut. Perhatikan paga gambar berikut :

Page 14: 2 Analisis Vektor
Page 15: 2 Analisis Vektor

• Perhatikan bahwa vektor A×B akan menghasilkan

sebuah vektor sehingga perkalian silang sering

disebut dengan perkalian vektor

Page 16: 2 Analisis Vektor

• Perkalian silang bersifat distributif

• Secara geometri, ∣ Ā × B ∣ adalah luas daerah jajarangenjang yang dibentuk oleh A dan B. Jika kedua

vektor saling sejajar, maka perkalian silangnya nol

∣ ∣

vektor saling sejajar, maka perkalian silangnya nol

dan secara khusus Ā × Ā = 0 untuk sembarang vektor

Ā .

Page 17: 2 Analisis Vektor

Komponen Vektor

• Dalam praktik biasanya cukup mudah untuk bekerjadengan komponen vektor dalam sistem koordinattertentu.

• Misalkan pada koordinat kartesian: i , j , dan k masing-masing adalah vektor satuan yang sejajar dengansumbu- x, y, dan z.sumbu- x, y, dan z.

Page 18: 2 Analisis Vektor

• Sebuah vektor sembarang A dapat dinyatakan dalam

suku vektor basis tersebut seperti pada gambar berikut :

Page 19: 2 Analisis Vektor

• Bilangan Ax , Ay , dan Az disebut komponen dari Ā .

• Tafsiran geometri dari komponen vektor tersebut adalah

proyeksi Ā sepanjang tiga sumbu koordinat.

Dengan hasil ini, keempat operasi vektor yang telah• Dengan hasil ini, keempat operasi vektor yang telah

dijelaskan sebelumnya dapat dirumuskan ulang dalam

bentuk komponen-komponennya:

Page 20: 2 Analisis Vektor

1. Penjumlahan dua vektor:

2. Perkalian skalar:

3. Perkalian dot (titik)

Page 21: 2 Analisis Vektor

4. Perkalian silang (cros) dua vektor

Page 22: 2 Analisis Vektor
Page 23: 2 Analisis Vektor

Contoh soal dan penyelesaian

Sebuah vektor A = (2ax – 3ay + az ) dan

vektor B = ( - 4ax – 2ay + 5az).

Tentukan perkalian silang A x B ?

Penyelesaian :

Page 24: 2 Analisis Vektor

TUGAS 2

1. Gambarlah vector-vektor berikut ini pada koordinatkartesius 3 dimensi yang mempunyai besar dan arahsebagai berikut :

a.Vektor A = 2ax – 3ay + 4az

b.Vektor M = -ax + 2ay + 2az

c. Vektor R = ax + 3ay - 2az c. Vektor R = ax + 3ay - 2az

d. Vektor H = -2ax - ay - 3az

2. Mengacu pada soal No. 1 Hitunglah operasi vektorberikut ini

a. A + M – H

b. A x M

c. R . H

d. A x (M.H)

Page 25: 2 Analisis Vektor

Vektor Posisi

• Lokasi sebuah titik dalam tiga dimensi dapat dinyatakandalam koordinat kartesian x , y , z .

• Vektor yang mengarah ke titik tersebut dari titik asaldisebut dengan vektor posisi:

• Besarnya

adalah jarak dari titik asal, dan

Page 26: 2 Analisis Vektor

• ř merupakan vektor satuan yang mengarah radial keluar.

Vektor Perpindahan

Bagian kecil vektor perpindahan (jarak r) dari (x , y , z)

hingga (x + dx , y + dy , z + dz) adalah dr didefinisikanhingga (x + dx , y + dy , z + dz) adalah dr didefinisikan

sbb:

Page 27: 2 Analisis Vektor

• Pada berbagai kasus fisika, kita sering berhadapan

dengan permasalahan yang melibatkan dua titik, yaitu

sebuah titik sumber r' (tempat sumber medan berada)

dan titik medan r yang sedang ditinjau besar medannya.

• Vektor posisi relatif antara titik sumber dan titik medan.

Notasi yang akan digunakan untuk keperluan ini adalah rNotasi yang akan digunakan untuk keperluan ini adalah r

seperti pada gambar :

Page 28: 2 Analisis Vektor

Besar dari vektor posisi relatif tersebut adalah

'r r r= −� ��

dan vektor satuannya (mengarah dari r ' ke r ):

'r r r−� � ��

ɵ '

'

r r rr

r r r

−= =

ɵ� ��

Page 29: 2 Analisis Vektor

Medan Vektor

• Jika untuk setiap nilai suatu skalar u kita kaitkan sebuahvektor Ā , maka Ā disebut fungsi dari u dan dinyatakandengan Ā (u).

• Notasi ini dalam tiga dimensi dapat dituliskan menjadi :

• Jika setiap titik (x , y , z ) berkaitan dengan sebuah

vektor Ā, maka Ā adalah fungsi dari (x , y , z ) yang

dinyatakan dengan :

Page 30: 2 Analisis Vektor

• Bentuk ini menyatakan vektor Ā ini mendefinisikan

sebuah medan vektor :

• Mendefinisikan medan skalar.

( , , )x y zφ

Page 31: 2 Analisis Vektor

• Jika :

• Maka diferensial total dari Ā(u) didefinisikan :

Turunan dari A(u) didefinisikan

• Maka diferensial total dari Ā(u) didefinisikan :

Page 32: 2 Analisis Vektor

• Jika :

• Turunan dari perkalian vektor dengan skalar atau• Turunan dari perkalian vektor dengan skalar atau

vektor dengan vektor mengikuti aturan yang sama

seperti pada fungsi skalar.

• Ketika kita melibatkan perkalian silang maka

urutan penulisan penting untuk diperhatikan

karena terkait dengan arah dari hasil perkalian

tersebut

Page 33: 2 Analisis Vektor

Contoh :

Page 34: 2 Analisis Vektor

Gradien

• Misalkan sebuah operator vektor ∇ dalam koordinatkartesian didefinisikan

• Jika dan memiliki turunan

parsial pertama yang kontinu pada daerah tertentu,

maka dapat didefinisikan beberapa besaran berikut:

Page 35: 2 Analisis Vektor

• Gradien memiliki besar dan arah. Untuk menentukan arti

geometrinya, kita dapat memisalkan ada sebuah fungsi

tiga variabel, katakanlah temperatur dalam ruang, T (x , y

, z ) , yang merupakan sebuah skalar.

• Seberapa cepat perubahan temperatur tersebut

dinyatakan dalam bentuk diferensial totaldinyatakan dalam bentuk diferensial total

Page 36: 2 Analisis Vektor

• Dalam bentuk perkalian titik, pernyataan di atas setara

dengan

atau

yang berarti

Page 37: 2 Analisis Vektor

dengan θ adalah sudut antara ∇ T dan d r , kemudian uadalah suatu vektor satuan yang menyatakan arah gerak

kita. Dengan demikian, laju perubahan temperatur ( dT /dr )

akan bernilai paling besar ketika geraknya searah dengan ∇

T (yaitu saat θ =0 ).

Page 38: 2 Analisis Vektor

Divergensi

• Sesuai namanya, divergensi ∇⋅A menyatakan ukuranpenyebaran vektor A . Perhatikan gambar sebagai contoh

pada kasus dua dimensi.

Page 39: 2 Analisis Vektor

• gambar (a) memiliki divergensi yang sangat besar dan

positif (jika panahnya mengarah ke dalam berarti

nilainya negatif),

• gambar (b) memiliki divergensi nol,

gambar (c) memiliki divergensi positif yang nilainya• gambar (c) memiliki divergensi positif yang nilainya

agak kecil.

Page 40: 2 Analisis Vektor

Curl

• Pemilihan nama curl juga disesuaikan dengan arti

geometrinya yang menyatakan ukuran rotasi pada

sebuah titik. Oleh karena itu seluruh fungsi pada gambar

divergensi memiliki curl yang bernilai nol (bisa kita cek

dengan mengetahui fungsinya) dan fungsi pada gambar

berikut memiliki curl yang sangat besar berarah padaberikut memiliki curl yang sangat besar berarah pada

sumbu-z.

Page 41: 2 Analisis Vektor