TEORI HIMPUNAN

A. Himpunan dan subhimpunan

1. Pengertian himpunan

Himpunan adalah konsep dasar dari semua cabang matematika. Teori

himpunan bukansaja dipakai sebagai dasar matmatika tetapi sering digunakan

dalam cabang-cabang matematika lainnya, seperti aljabar, teori bilangan, teori

kemungkinan dan lain-lain. Gerorg Cantor (1920) dianggap sebagai bapak teori

himpunan.

Teori himpunan membantu kita dalam membandingkan himpunan-

himpunan untuk melihat keterhubungan, menyelesaikan persamaan, menggambar

grafik, peluang, geometri akan terasa mudah dengan memahami konsep himpunan

Himpunan secara sederhana adalah sekumpulan objek (real maupun

abstrak) yang mempunyai syarat tertentu dan jelas.Himpunan yang jelas artinya

himpunan yang anggotanya dapat ditetapkan secara jelas. Objek yang dimaksud

dapat berupa bilangan, manusia, hewan, tumbuhan, negara dan sebagainya. Objek

ini selanjutnya dinamakan anggota atau elemen dari himpunan itu. Syarat tertentu

dan jelas dalam menentukan anggota suatu himpunan ini sangat penting karena

untuk membedakan mana yang menjadi anggota himpunan dan mana yang bukan

merupakan anggota himpunan. Inilah yang kemudian dinamakan himpunan yang

terdefinisi dengan baik (well-defined set).

2. Notasi

Himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf besar A, B, C, H, K dan

sebagainya. Untuk menyatakan suatu himpunan digunakan simbol “{….}”.

Sementara itu untuk melambangkan anggota himpunan biasanya menggunakan

huruf kecil a, b, c, x, y dan sebagainya. Perlu diperhatikan bahwa penulisan

anggota dalam suatu himpunan hanya sekali saja Jadi tidak boleh kita menuliskan

himpunan sebagai {1,a,b,8,b}. Demikian pula kita tidak boleh menyatakan

himpunan sebagai {bunga, kambing, sapi, kerbau,tumbuhan}. Untuk menyatakan

anggota suatu himpunan digunakan lambang “∈” (baca:anggota) sedangkan untuk

menyatakan bukan anggota suatu himpunan digunakan lambang “∉” (baca:

bukan anggota).

3. Menyatakan dan menuliskan himpunan

Menyatakan keanggotaan suatu himpunan dapat dinyatakan dengan 2

cara yaitu:

3.1 Tabulasi

Maksudnya adalah cara menyatakan keanggotaan suatu himpunan

dengan mencacah, menuliskan, mendaftar anggota-anggota himpunan

tersebut.

Contoh.3.1.1

A = {a,e,i,o,u}

B = {2,3,5,7,11,13,17,19}

3.2 Deskripsi/pernyataan

Maksudnya adalah cara menyatakan keanggotan suau himpunan dengan

membuat keanggotaan suatu himpunan kedalam suatu pernyataan.

Contoh 3.2.1

- P = {x | x himpunan bilangan asli antara 7 dan 15}(Maksudnya P =

{8,9,10,11,12,13,14})

- Q = { t | t biangan asli} (Maksudnya Q = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…}

- R = { s | s2-1=0, s bilangan real} (Maksudnya R = {-1,1})

- M = { x | x adalah mahasiswa STKIP yang mengambil kuliah Logika

dan Himpunan}

Adakalanya suatu himpunan terdiri dari sejumlah elemen yang dapat

dihitung atau dicacah satu persatu elemnnya secara intuitif himpunan seperti ini

disebut himpunan berhingga. Banyaknya anggota suatu himpunan A yang

berhingga dinyatakan dengan

n (A) atau |A|

n(A) menyatakan jumlah elemen dari A, atau disebut dengan kardinalitas

himpunan A (dilambangkan |A|).

dan sebaliknya jika proses perhitungan tidak berkahir maka himpunannya

disebut himpunan tak berhingga.

Contoh 3.2.2

- Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}. n(A) = 4

- Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}. n(B) = 4

- S ={-1,0,1, 2, 3….}.maka Q tidak berhingga.

Himpunan yang anggotanya adalah himpunan – himpunan disebut keluarga

himpunan atau kelas –kelas himpunan yang dilambangkan dengan huruf capital

script A, B, X , R..

Contoh 3.2.3

- R = { {a, b, c}, {a, c} }, adalah kelurga himpunan

- C = {a, {a}, {{a}} }, bukan kelurga himpunan karena a ∈ C, tetapi a bukan

himpunan

4. Beberapa Jenis Himpunan

4.1 Himpunan Kosong/empthy set/voids set

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota

atau himpunan bagian dari setiap himpunan yang mana pun. Dilambangkan

“ ” atau { }

Contoh:4.1.1

- Himpunan bilangan bulat yang ganjil

- {x | x2<0, x bilangan real}

- Himpunan orang yang tingginya 100 meter

- E = { x | x < x }, maka n(E) = 0

- P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0

- A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 }, n(A) = 0

* himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {∅}

himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {∅ , {∅}}

{∅} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu

himpunan kosong.

Teorema 1: Himpunan kosong (∅ ) merupakan himpunan bagian

dari semua himpunan.

Bukti:

Kalimat “x∈A →x ∈ B” pada pengertian himpunan bagian

(lihat definisi himpunan bagian), selalu bernilai benar jika diambil A =

∅dan untuk sebarang himpunan B. Hal ini disebabkan syarat cukupnya

selalu tidak terpenuhi. Sama saja dengan kita mengatakan “jika bulan

bisa ngomong, maka dia tak akan bohong”. Kalimat ini selalu bernilai

benar karena syarat cukupnya yaitu “bulan bisa ngomong” selalu tidak

terpenuhi. Lebih lanjut mengenai hal ini akan dibicarakan dalam

pembahasan mengenai LOGIKA.

Sebagai latihan, cobak tunjukkan manakah himpunan-himpunan

berikut yang sama: ∅ , {0}, dan {∅} !.

4.2 Himpunan Semesta

Himpunan yang menjadi objek pembicaraan atau dengan kata lain

himpunan yang mempunyai elemen didalam semesta pembicaraan disebut

himpunan semesta (Universal Set)

Dilambangkan dengan U atau S

Donotasikan dengan U = {x |x ∈ U}

Contoh

4.2.1 U ={1,2,3…}

4.2.2 B={ x |x adalah Penduduk tetap Kabupaten Lombok Timur}

4.3 Himpunan kuasa

Koleksi himpunan dari semua himpunan bagian dari A disebut himpunan

kuasa (Power set) dari A dan dilambangkan dengan 2A atau P(A)

Contoh

4.3.1 Tentukan himpunan kuasa dari A={1,2,3} dan tuliskan angggotanya

P(A) = 23 =2 X 2 X 2= 8

P(A) = {, {1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}

5. Kesamaan dua himpunan

Definisi 1

A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan

sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.

A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B himpunan bagian dari A.

Jika tidak demikian, maka A ≠ B.

Dinotasikan dengan : A = B ↔ A ∪ B dan B ∪ A

Contoh 5.1

(i) Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x – 1) = 0 }, maka A = B

(ii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B

(iii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka B ∪ A

Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut:

(a) A = A, B = B, dan C = C

(b) jika A = B, maka B = A

(c) jika A = B dan B = C, maka A = C

6. Subhimpunan/Subset

Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika

setiap elemen A merupakan elemen dari B. Dengan kata lain jika x ∈ A maka

x ∈ B

Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.

Notasi: A⊂B

Diagram Venn:

Contoh 6.1

(i) { 1, 2, 3} {1, 2, 3, 4, 5}

(ii) {1, 2, 3} {1, 2, 3}

(iii) NZRC

(iv) Jika A = { (x, y) | x + y< 4, x, y 0 } dan

B = { (x, y) | 2x + y< 4, x 0 dan y 0 }, maka BA.

TEOREMA 1. Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai

berikut:

(a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, AA).

(b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ( A).

(c) Jika AB dan BC, maka AC

A dan AA, maka dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya

(improper subset) dari himpunan A.

Contoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan adalah improper subset dari A.

AB berbeda dengan AB

(i) AB : A adalah himpunan bagian dari B tetapi AB.

A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B.

Contoh: {1} dan {2, 3} adalah proper subset dari {1, 2, 3}

(ii) AB : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan

bagian (subset) dari B yang memungkinkanA = B.

7. Himpunan terpisah

Jika himpunan – himpunan A dan B tidak mempunyai elemen – elemen

yang dimiliki bersama, artinya jika tidak ado elemen A yang terdapat dalam B dan

tidak ado elemen B yang terdapat dalam A, maka kita katakan A dan B terpisah.

Contoh 7.1

Misalkan A adalah bilangan – bilangan positif dan B bilangan Negatif

Misalkan E ={x,y,z} dann F ={r,s,t}. Maka E dan F terpisah

8. Diagram Venn-Euler

Suatu cara yang sederhana dan instruktif untuk menggambarkan hubungan

antara himpunan – himpunan adalah dengan menggunakan diagram venn-Euler

atau diagram venn. Disini dinyatakan sebuah himpunan dengan suatu daerah

bidang, biasanya dibatasi oleh sebuah lingkaran.

Contoh 8.1. Andaikan A B dan katakana A ≠ B, maka A dan B dapat

dinyatakan dalam diagram Venn

U

B

A

Contoh 8.2 Andaikan A dan B tidak dapat diperbandingkan. Jika A dan B

terpisah, maka A dan B dapat dinyatakan oleh diagram sebelah kanan

dan jika A dan B dapat diperbandingkan tidak terpisah dinyatakan

oleh diagram sebelah kiri.

U U

B

A B A

B. OPERASI-OPERASI HIMPUNAN

Dalam bagian ini kita akan membahas operasi-operasi pada himpunan meliputi

perpaduan/gabungan (union), perpotongan/irisan (intersection) dan sesilisih

(difference) himpunan dan komplemen. Hasil operasi himpunan ini akan

menghasilkan suatu himpunan baru untuk pasangan himpunan-himpunan A dan B.

Pada dasarnya operasi himpunan berlaku sama dengan operasi-operasi yang terdapat

pada ilmu berhitung.

1. Perpaduan/Gabungan (union)

Diberikan himpunan A dan B. perpaduan himpunan A dan B ditulis

dengan AB adalah suatu himpunan yang anggotanya berada di A atau berada

di B.

dan di definisikan secara singkat

AB = { x | xA atau xB }

Dengan menggunakan diagram venn AB dinyatakan oleh daerah yang diarsir

Dalam beberapa buku, perpaduan A dan B dinyatakan oleh A + B dan disebut

penjumlahan himpunan – teoritik A dan B atau penjumlahan A dan B. Dari definisi

perpaduan dua himpunan A dan B diperoleh beberapa sifat yang berkaitan dengan

perpaduan dua himpunan, missal A dan B dua himpunan yang tidak kosong berlaku:

1) AB = BA

2) A (AB) dan B (AB)

Contoh: 1.2

1. P = {a, b, c} dan K ={c,d,e,f,g,h}, maka

P K = {a,b,c,d,e,f,g,h}

K P = {a,b,c,d,e,f,g,h}, dapat kita lihat juga bahwa

P K = K P ,serta

P (PK) dan P (PK)

2. Buktikan bahwa jika (AB) maka A (AB)

Bukti:

Mislakan xA , karena AB maka x adalah anggota dari A atau B. dari

definisi perpaduan dua himpunan berarti x (AB). dari definisi

subhimpunan jika x A maka x (AB), yang berarti A (AB)

Teorema 2

Misalkan A subhimpunan dari B. maka perpaduan A dan B adalah B,

yaitu

Jika A B maka (AB) = B (coba dibuktikan)

2. Perpotongan/Irisan (intersection)

Diberikan himpunan A dan B. Perpotongan himpunan A dan B ditulis

dengan AB adalah suatu himpunan yang anggotanya berada di A dan juga

berada di B.

Didefinisikan secara singkat AB = { x | x A dan x B }

Contoh: 2.1

A = {a,b,c,1,2} dan B = {c,d,e,f}. Maka AB = {c}

P = {a,b,c,1,2} dan Q = {d,e,f}. Maka AB =

Dengan menggunakan diagram Venn AB dinyatakan dengan daerah yang

diarsir

Dari definisi perpotongan dua himpunan A dan B dimana AB = diperoleh

pernyataan:

2.1 AB = BA

2.2 (AB) A dan (AB) B

2.3 Jika A dan B dua himpunan yang terpisah maka AB =

Bukti: Pernyataan 2.3 AB adalah subhimpunan dari A dan B atau (AB) B

Misal x sembarang elemen (AB) yaitu x (AB). Menurut definisi

perpotongan berarti x termasuk dalam A maupun B atau A dan x B. Telah

diperlihatkan bahwa jika x (AB) maka x B, berarti (AB) B

Teorema 3

Misalkan A subhimpunan dari B. Maka perpotongan A dan B adalah A, yaitu

Jika A B maka (AB) =A (coba dibuktikan)

3. Selisih (difference)

Selisih dua himpunan A dan B adalah himpunan elemen-elemen yang termasuk

A tetapi tidak termasuk B, selisih Himpunan A dan B

Donotasikan : A – B = { x x A dan x B } = A

Contoh 3.1

B

(i) Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka A – B = { 1, 3, 5,

7, 9 } dan B – A =

Contoh 3.2

Misal U ={a,b,c,d,e}. A={a,c,e}. B={c,d,e}. C={a}, dan D={e}

Maka nilai dari

a. U-A ={b,d}, U-B ={a,b}, U-C={b,c,d,e}, U-D={a,b,c,d}

b. A-B ={a}= C

c. (AB)-C={a,c,d,e}-{a} = {c,d,e}=B

d. (AB)-D ={c,e}-{e} ={c}

Dari definisi selisih dua himpunan A dan B diperoleh beberapa sifat yang

berkaitan dengan selisih dua himpunan, missal A dan B dua himpunan yang

tidak kosong berlaku

1). (A-B) A

2). Himpunan-himpunan (A-B) , (AB), (B-A) saling terpisah, artinya

perpotongan setiap dua buah himpunan di atas adalah himpunan nol.

Selisih A dan B kadang-kadang dinyatakan oleh A/B.

Teorema 4

Missal A subhimpunan dari B. Maka perpaduan A dan(B-A) adalah B

Jika A B maka A (B-A)= B (coba dibuktikan)

4. Komplemen

Diberikan suatu himpunan A. Komplemen dari A ditulis dengan “ Ac “

atau A’ atau A adalah himpunan yang anggotanya berada dalam himpunan

semesta tetapi bukan berada di A.

Jadi A’ = { x | x U, x A } atau A’ = {x|x A}

Dengan menggunakan diagram Venn A’ dinyatakan dengan daerah yang

diarsir

Dari definisi komplemen suatu himpunan A diperoleh bebrapa sifat yang

berkaitan dengan komplemen suatu himpunan, missal A suatu himpunan maka

berlaku

1) A A’ = U

2) A A’=

3) A’ U = U dan A’ U= A

4) U’= dan ’ = U

5) (A)’= A

6) A-B =A B’ (coba dibuktikan)

Teorema 5

Misalkan A subhimpunan dari B. Maka B’ adalah subhimpunan dari A’, yaitu

Jika A B maka B’ A’

Teorema 6: De Morgan (A B)’ = (A’ B’)

Bukti:

Untuk (A B)’ (A’ B’)

Misalkan x (A B)’; maka x tidak termasuk A B. Dengan demikian x A

dan x B, yang berarti x A’ dan x B’, dan menurut definisi perpotongan, x

termasuk A’ B’ . jadi sudah diperlihatkan bahwa jika x (A B)’ maka x

(A’ B’) yang berarti (A B)’ (A’ B’)

Untuk (A’ B’)(A B)’

Sekarang misalkan y A’ B’ : maka y termasuk A’ dan B’. Jadi y A dan y

B dan oleh karena itu y (A B), yang berarti y (A B)’. Kita telah

memperlihatkan bahwa jika y (A’ B’) maka y (A B)’, yang

berarti (A’ B’)(A B)’

5. Operasi-operasi Keanggotaan Suatu Himpunan

Dari definisi himpunan dan anggota suatu himpunan maupun operasi –

operasi terhadap himpunan, diperoleh beberapa hubungan antara anggota suatu

himpunan dan operasi yang dilakukan terhadap himpunan tersebut , diperoleh

beberapa pernyataan-pernyataan yaitu:

1) Apabila dua buah himpunan A dan B adalah himpunan - himpunan yang

tidak kosong dan tidak saling lepas atau A B≠, maka berlaku:

n (A B) = n (A) + n (B) – n (A B)

dan

n (A B C) = n (A) + n (B) + n (C) – n (A B) – n (A C) – n (B

C) + n (A B C)

2) Apabila dua himpunan A dan B adalah himpunan – himpunan yang tidak

kosong dan saling lepas atau A B=

n (A B) = n (A) + n(B) dan

n (A B C) = n (A) + n (B) + n (C)

1. n (A B) ≠ n (A) + n(B)

2. n (A B) = n (A) + n (B) – n (A B)

3. A C =

4. n (A C) = n (A) + n (C)

C. ALJABAR HIMPUNAN

1. Hukum-hukum Aljabar Himpunan

Salah satu cabang matematika menyelidiki teori himpunan dengan

mempelajari teorema-teorema yang dihasilkan dari hukum-hukum aljabar

himpunan, yakni teorema-teorema yang buktinya hanya memerlukan hukum-

hukum aljabar himpunan tanpa menggunakan hukum lain. Tabel dibawah ini

menghimpun beberapa hukum-hukum himpunan yang kebanyakan di antaranya

telah dikenal dan dibuktikan pada bahasan sebelumnya (bag. B).

1. Hukum identitas:

- A = A

- AU = A

2. Hukum null/dominasi:

- A =

- AU = U

3. Hukum Komplemen:

- A A’ = U

- A A’ =

4. Hukum idempoten:

- AA = A

- AA = A

5. Hukum involusi:

- (A’)’= A

6. Hukum penyerapan

(absorpsi):

- A (AB) = A

- A (AB) = A

7. Hukum Komutatif:

- AB = BA

- AB = BA

8. Hukum asosiatif:

- A (BC) = (AB)

C

- A (BC) = (AB)

C

9. Hukum distributif:

- A (BC) = (AB) (AC)

- A (BC) = (AB) (AC)

10. Hukum De Morgan:

- (A B)’ = A’ B’

- (A’ B’) = A’ B’

11. Hukum 0/1

- ’= U

- U’ =

2. Prinsip Dualitas

(Prinsip Dualitas pada Himpunan).Misalkan S adalah suatu kesamaan

(identity) yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti , , dan

komplemen. Jika S* diperoleh dari S dengan mengganti , ,

U, U , sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula, maka kesamaan

S* juga benar dan disebut dual dari kesamaan S.

1. Hukum identitas:

A = A

Dualnya:

AU = A

2. Hukum null/dominasi:

A =

Dualnya:

AU = U

3. Hukum komplemen:

A A’ = U

Dualnya:

A A’=

4. Hukum idempoten:

AA = A

Dualnya:

AA = A

5. Hukum penyerapan:

A (AB) = A

Dualnya:

A (AB) = A

6. Hukum komutatif:

AB = BA

Dualnya:

AB = BA

7. Hukum asosiatif:

A (BC) = (AB) C

Dualnya:

A (BC) = (AB) C

8. Hukum distributif:

A (BC)=(AB) (AC)

Dualnya:

A (B C) = (AB) (AC)

9. Hukum De Morgan:

(A B)’ = A’ B’

Dualnya:

(A B)’ = A’ B’

10. Hukum 0/1

’ = U

Dualnya:

U’ =

Tabel 2 memperlihatkan prinsip dualitas

3. Himpunan berindeks

Tinjaulah himpunan-himpunan

A1= {1,10}, A2={2,4,6,10} A3={3,6,9}, A4={4,8}

A5={5,6,10}

Dan himpunan

I= {1,2,3,4,5}

Perhatikan bahwa setiap elemen i I terdapat sebuah elemen Ai. dalam

hal ini I dinamakan himpunan indeks (index set), himpunan {A1…………A5)

dinakaman himpunan berindeks (indexed set), dan indeks bawah I dari A i, yakni

setiap i I, dinamakan sebuah indeks.

Sebuah keluarga himpunan berindeks seperti contoh diatas dinyatakan dengan

{Ai) i I

Suatu keluarga himpunan berindeks dapat dipandang sebagai suatu

fungsi yang menghubungkan himpunan I dan himpunan Ai yang dinyatakan

dengan

Definisi 2: sebuah keluarga himpunan yang berindeks {Ai) i I adalah sebuah

fungsi

F:x→ A

Dimana ranah (domain) dari f adalah himpunan indeks I dan jangkauan

dari f adalah keluarga himpunan.

Contoh 3.1 Misalkan I adalah himpunan nama dosen STKIP Hamzanwadi Selong

dan i I, didefinisikan

Wi ={x|x adalah sebuah huruf dalam kata i I}

Jika I adalah kata “ sabili” , maka Wi= {s,a,b,i,l}

Contoh 3.2 Dedefinisikan Dx ={x | x adalah kelipatan n}, dimana n N, maka

D1= {1,2,3,4,5..} D2={2,4,6,8,…}

D3={3,6,9,12…}

Setiap keluarga β dari himpunan dapat diindeks oleh dirinya sendiri,

secara spesifik digambarkan sebagai fungsi identitas

i: β → β

adalah sebuah keluarga himpunan yang berindeks

{Ai} i β

Dimana Ai B dimana i=Ai, dengan kata lain indeks setiap himpunan dalam β

adalah himpunan itu sendiri.

Operasi-operasi gabungan dan irisan telah didefinisikan untuk dua

himpunan. Dengan metode induksi, maka definisi-definisi ini dapat diperluas,

kepada himpunan yang banyaknya berhingga. Misalkan A1, A2, A3…..An adalah

himpunan –himpunan berindeks maka

ni=1 Ai = A1 A2 A3...An

ni=1 Ai = A1 A2 A3…An

Suatu keluarga himpunan yang berindeks { Ai} i I dan misalkan J I, maka

iJAi

Terdiri dari elemen-elemen yang merupakan elemen dari paling sedikit satu A i

dimana i J, secara spesifik

iJAi = { x |x terdapat sebuah i J sehingga x Ai}

Dengan cara analog, suatu keluarga yang berindeks { Ai} i I dan misalkan J I,

maka

ni=1 Ai

Terdiri dari elemen-elemen yang merupakan elemen dari paling sedikit satu A i

dimana i J, s ecara spesifik

iJAi = { x | x Ai, untuk tiap-tiap i J}

Contoh 3.3 Misalkan A1 ={1,10}, A2={2,4,6,10}, A3={3,6,9}, A4={4,8}, A5=

{5,6,10} dan misalkan J={2,3,5}, maka:

a. iJAi = A2 A3 A5

= {2,4,6,10} {3,6,9} {5,6,10}

= {6}

b. iJAi = A2 A3 A5

= {2,4,6,10} {3,6,9} {5,6,10}

= {2,3,4,5,6,9,10}

4. Partisi

Partisi dari sebuah himpunan A adalah sekumpulan himpunan bagian

tidak kosong A1, A2, … dari A sedemikian sehingga:

(a) A1A2 … = A, dan

(b) AiAj = untuk ij