Disusun oleh :
Anna Mariska Diana P, S.Pd
dan Tim MGMP
Tahun Pelajaran 2016 – 2017
SMA Santa AngelaJl. Merdeka No. 24 Bandung
Barisan Dan DeretTak Hingga
Matematika WajibKelas XI
=====================================================Matematika XI Wajib
Pengantar:
Modul ini kami susun sebagai salah satu sumber belajar untuk siswa agar dapat dipelajari dengan lebih mudah. Kami menyajikan materi dalam modul ini berusaha mengacu pada pendekatan kontekstual dengan diharapkan matematika akan makin terasa kegunaannya dalam kehidupan sehari-hari.
Tujuan Pembelajaran :
1. Memahami notasi sigma dengan baik.2. Menganalisis dan membuat kategori dari unsur-unsur yang terdapat pada
pengertian barisan dan deret tak hingga dengan tekun.3. Mengingat kembali konsep barisan dan deret .4. Menyelesaikan persoalan-persoalan yang terkait dengan barisan dan
deret dengan tekun.5. Memahami deret konvergen dan tak konvergen.
Peta Konsep :
.................... hal 2
Barisan dan deret Tak Hingga
Notasi Sigma
Konsep Barisan
Dan Deret
Menghitung Barisan
Dan Deret Tak Hingga
Konvergensi
Deret
=====================================================Matematika XI Wajib
A. Prasyarat 1. Misal diketahui pola :
B, U, R, S, A, B, U, R, S, A, B, ...Berdasarkan barisan tersebut, Tentukan :a. Suku ke – 15b. Suku ke – 18c. Suku ke – 20 d. Suku ke – 1.000e. Suku ke – 1.009
2. Suku-suku suatu barisan bilangan memenuhi rumus : . Tentukan :a. Suku ke – 100b. Jumlah 100 suku pertama
3. Jika jumlah n suku pertama suatu barisan adalah .
Tentukan suku ke – 200.Ingat : Barisan Aritmatika :
1. Barisan U1, U2, U3, ..., Un, .... disebut barisan aritmatika jika Un
- Un-1 = konstan. Un disebut unsur ke n barisan itu, dan konstanta tersebut
disebut beda, yang dinotasikan dengan b.
2. Jika U1, U2, U3, ..., Un, .... merupakan barisan aritmatka
dengan beda b dan unsur pertama U1 = a, maka rumus unsur ke n dari
barisan itu adalah Un = a + (n - 1)b
3. Jika U1, U2, U3, ..., Un, .... merupakan barisan aritmatka,
maka U1 + U2 + U3 + ... + Un, ....disebut deret aritmatika. Un disebut
suku ke n dari deret itu.
.................... hal 3
=====================================================Matematika XI Wajib
4. Jumlah n suku deret aritmatika dengan beda b dan unsur pertama U1 = a
adalah Sn = atau Sn = .
Barisan Geometri :
1. Barisan U1, U2, U3,..., Un,...disebut barisan geometri jika konstandengan n = 2, 2, 3,.... Konstanta pada barisan geometri di atas disebut rasio dari barisan itu dan sering dinotasikan dengan r.
2. Rumus unsur ke n barisan geometri U1, U2, U3, U4,..., Un,.... dengan
U1 = a dan rasio r adalah: Un = arn-1
3. Jika U1, U2, U3, ..., Un,.... merupakan barisan geometri dengan
unsur pertama adalah a = U1 dan rasio r, maka
U1 + U2 + U3 + ... + Un + ....disebut deret geometri dengan
Un = arn-1
4. Rumus jumlah n suku pertama deret geometri dengan suku pertama a dan rasio r adalah:
untuk r < 1 atau untuk r > 1
Jika n menuju tak hingga Sn berhingga, maka deret yang bersangkutan disebut deret konvergen, dan jika tidak demikian disebut deret divergen.
5. Jumlah tak hingga suatu deret geometri dengan suku pertama a dan rasio r
adalah Sn =
.................... hal 4
=====================================================Matematika XI Wajib
B. Notasi Sigma
Perhatikan penjumlahan bilangan-bilangan di bawah ini :
1 + 2 + 3 + 4 + ....... + 50
Penulisan notasi sigma :
Bentuk umum :
Keterangan : 1 = batas bawah
n = batas atas
k = indeks
= suku umum
Contoh :
Nyatakan dalam bentuk penjumlahan
Jawab :
= ....................................... .................... hal 5
=====================================================Matematika XI Wajib
Tulislah bentuk penjumlahan berikut dalam notasi sigma :
a. 2 + 4 + 6 + 8 + 102 + 4 + 6 + 8 + 10 = 2 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 + 2 x 5
= 2 (1+2+3+4+5)
Tulislah bentuk penjumlahan berikut dalam notasi sigma :
a. 4 + 8 + 12 + 16 + .... + 40b. 3 + 4+ 5 + 6 + ... +100c. 3 + 6 + 9 + ... + 24
d.
e.
2. Tentukan apakah hasilnya sama dengan ( 7-3 +1) x 5
3. Apakah sama dengan
Perhatikan jumlahan bilangan-bilangan berikut.
1. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7.
2. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12.
3. .
4. 1 + 3 + 5 + 7 + 9.
Jumlahan bilangan-bilangan dari deretan bilangan yang mempunyai pola dapat dituliskan dengan notasi (dibaca: sigma), sehingga jumlahan bilangan
.................... hal 6
=====================================================Matematika XI Wajib
diatas dapat ditulis kembali :
1.
2.
3.
4.
Beberapa sifat notasi sigma
Jika m dan n adalah bilangan asli, dengan m ≤ n dan c ,maka berlaku:
1.
2.
3.
4. , c Є R, c = konstanta
5. atau
.................... hal 7
=====================================================Matematika XI Wajib
6.
Ex. 1 Nyatakan dalam bentuk penjumlahan
Ex. 2 Tulislah bentuk penjumlahan berikut dalam notasi sigma:
a. 2+ 4 + 6 + 8 + 10
= 2 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 + 2 x 5
=2(1 + 2 + 3 + 4 + 5)
=
b.
c.
.................... hal 8
=====================================================Matematika XI Wajib
Ex. 3 Tentukan nilai dari :
a.
b.
c.
d.
e.
Ex. 4 Buktikan :
Ex. 5 Ubahlah batas bawah sigma menjadi 4 dari notasi sigma berikut:
a.
b.
C. Deret Khusus dalam Notasi Sigma
Deret Bilangan Asli .................... hal 9
=====================================================Matematika XI Wajib
Himpunan bilangan asli {1, 2, 3, 4, 5,....,n}
Suku ke- n adalah
, sehingga dapat ditulis :
Deret Kuadrat Bilangan Asli
Himpunan kuadrat bilangan asli
Suku ke-n adalah
,sehingga dapat ditulis :
Deret Kubik Bilangan Asli
Himpunan kuadrat bilangan asli
Suku ke-n adalah
, sehingga dapat ditulis :
.................... hal 10
=====================================================Matematika XI Wajib
Ex. 6 Diketahui barisan : 1, 4, 9,16, 25, 36, ...., n2. Tentukan jumlah dari suku ke-50 sampai suku ke-60.
Ex. 7 Berapakan nilai dari
Jawab :
=
=
=
=
=
D. Barisan dan Deret Tak Hingga
Misal :
Barisan bilangan 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...., 100 dinamakan barisan berhingga.
.................... hal 11
=====================================================Matematika XI Wajib
Barisan bilangan dinamakan barisan tak hingga.
Bagaimana dengan deret??
Deret bilangan merupakan penjumlahan suku-suku barisan.
Misal : barisan
Deret :
Ex. 8 Tentukan suku ke-2, suku ke-5, dan suku ke 12 jika diketahui
E. Limit dari Suatu Barisan
Suatu bilangan L dikatakan sebagai limit dari sebuah barisan tak berhingga apabila untuk setiap bilangan Є > 0 yang diberikan (berapa pun kecilnya), dapat ditrmukan sebuah bilangan N sedemikian sehingga ,untuk semua bilangan bulat n > N.
Misalnya : . Barisannya adalah 4.
Teorema Limit Pusat
Jika diketahui ada maka :
1.
2.
.................... hal 12
=====================================================Matematika XI Wajib
3.
4.
Ex. 9 Diketahui sebuah barisan dengan rumus suku ke-n adalah
. Tentukan nilai limitnya.
Jawab :
F. Barisan Konvergen dan Divergen
1. Konvergen
Deret geometri yang tidak dapat dihitung banyak seluruh sukunya disebut deret geometri tak berhingga.
a. 1 + 2 + 4 + 8 + ....
b. 5 – 10 + 20 – 40 + ....
c.
d.
Dalam contoh a dan b rasionya 2 dan -2, jika deret tersebut diteruskan maka nilainya akan makin besar dan tak terbatas. Deret yang demikian disebut deret divergen, dengan .
.................... hal 13
=====================================================Matematika XI Wajib
Dalam contoh c dan d rasionya , dapat dihitung
jumlahnya,deret ini disebut deret konvergen dengan .
Karena deret konvergen ,untuk n → ∞ maka ,sehingga :
Jadi rumus jumlah deret geometri tak hingga :
Ex. 10 Tentukan jumlah deret tak berhingga suku dari deret berikut :
a.
Deret ini konvergen,
Dengan a = 1 dan r =
b.
Deret ini konvergen,
Dengan a = 2 dan r = ,
.................... hal 14
=====================================================Matematika XI Wajib
Ex. 11 Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m danmemantul kembali
dengan ketinggian kali tinggi sebelumnya.pemantulan berlangsung
terus menerus sehingga bola berhenti. Tentukan jumlah seluruh lintasan bola.
Cara lain :
Suatu benda dijatuhkan dari ketinggian H secara vertikal dan memantul
ke atas dengan tinggi pantulan kali dari ketinggian semulamaka
panjang lintasan pantulan hingga berhenti adalah :
Uji Rasio untuk Konvergensi Suatu Deret
Misal diketahui deret dengan tanda yang sama
atau campuran (berselang-seling antara + dan -) kita dapat menunjukkan
konvergensinya dengan menggunakan uji rasio, yaitu dengan
.................... hal 15
=====================================================Matematika XI Wajib
Deret akan konvergen jika r < 1 dan divergen jika r > 1. Jika r = 1 maka uji
rasio gagal
.................... hal 16
Top Related