Download - [ Kolokium ] MENENTUKAN JARI-Jari Lingkaran Dalam Segitiga

Transcript

MEMBUKTIKAN JARI-JARI LINGKARAN DALAM SEGITIGA Lingkaran merupakan himpunan semua titik pada bidang datar dalam jaraktertentu,yangdisebutjari-jari,darisuatutitiktertentu,yangdisebut sebagaititikpusat.Sedangkansegitigamerupakanbidangdataryang memilikitigasisiberupagarislurusdanmemilikitigatitiksudut.Makalah ini akan membahas mengenai rumus untuk mencari jari-jari lingkaran dalam suatu segitiga. Jari-jari lingkaran tersebut dicari dengan menggunakan garis-garis singgung lingkaran dari setengah lingkaran, di mana diameter-diameter darilingkarantersebutdapatmembentuksisi-sisidarisegitiga.Pembuktian rumusinimenggunakangarissinggunglingkaran,danprinsip-prinsip lingkarandalamsegitiga.Tujuandaripenulisanmakalahiniadalahuntuk mempermudahmencarijari-jarilingkarandalamsuatusegitiga,yangdapat berupa segitiga beraturan dan segitiga sembarang. Kata kunci : jari-jari lingkaran, segitiga, garis singgung lingkaran. I.PENDAHULUAN Dalamgeometri,khususnyamengenaibidangdatar,terdapatbanyak modifikasi-modifikasiyangmenggabungkanlebihdarisatucontohbidangdatar, misalnyasegitigadanlingkaran.Bahasanmengenaisegitigadanlingkaraninidapat berupalingkarandalamsegitigadanlingkaranluarsegitiga.Daribahasanini,dapat dicarijari-jarilingkarandalamsegitigamaupunjari-jarilingkaranluarsegitiga. Untukmencarijari-jaritersebut,dapatdigunakanberbagaicara.Makalahiniakan membahasmengenairumusjari-jarilingkarandalamsegitigadenganmenggunakan panjanggarissinggungsetengahlingkaran,yangmanadiameter-diameterdari lingkaran tersebut membentuk sisi-sisi dari segitiga tersebut. II.MATERI PENUNJANG 1.Segitiga Segitigamerupakanbidangdataryangmemilikitigasisiyangberupagaris lurus dan tiga titik sudut. Gambar 1: Segitiga ABC Luas segitiga juga dapat menggunakan rumus heron, yaitu: ( )( )( ) c s b s a s s LABC =A dengan2c b as+ += t tinggi alas LABC =A212.Lingkaran Lingkaranmerupakanhimpunansemuatitikpadabidangdatardalamjarak tertentu,yangdisebutjari-jari,darisuatutitiktertentu,yangdisebutsebagaititik pusat. Gambar 2: Lingkaran Sedangkan, garis singgung dari dua lingkaran seperti gambar di bawah ini adalah: Gambar 3: garis singgung dua lingkaran 2 2 2DF EF DE =( ) ( )2122 12r r r r DE + =( )22 2 12122 2 12122 2 r r r r r r r r DE + + + =2 1 2 122 2 r r r r DE + =2 124 r r DE =2 12 r r DE =diameter jari jari = 2III. MATERI INTI Diberikan suatu segitiga ABC yang terbentuk dari diameter-diameter 6 buah setengah lingkaran (semicircle) sedemikian hingga AE-AF, DC=CF, EB=BD; serta lingkaran dalam O berjari-jari r, sedangkan d, e, fmerupakan garis singgung, maka 2 2 2 21 1 1 1f e d r+ + = (Guiterrez, Antonio) LingkaranyangmemilikidiameterAEdanAFdinamakanlingkaranC1 dengan jari-jari r1, lingkran yang memiliki diameter DC dan CF dinamakan lingkaran C2 dengan jari-jari r2, dan lingkaran yang memiliki diameterEB dan BD dinamakan lingkaran C3 dengan jari-jari r3 Pembuktian: Berdasarkan garis singgung dua lingkaran, maka didapat: 2 124 r r d = 1224rdr = (1) 3 224 r r e = 3224rer = (2) 3 124 r r f = (3) 1.Substitusi persamaan (1) ke persamaan (2) 3122rrde||.|

\|=2213de rr = (4) 2.Substitusi persamaan (4) ke persamaan (3) 22 212211244de rde rr f =||.|

\|=22 2214ed fr = ef dr21 = (5) 3.Substitusi persamaan (5) ke persamaan (1) |.|

\|=edfdr2422 ( )fdedfe dr2 4222= = (6) 4.Substitusi persamaan (5) ke persamaan (4) 2232deefdr|.|

\|=defr23 = (7) 5.Menentukan luas segitiga ABC menggunakan rumus heron: Diketahui:( )3 2 2 32 2 2 r r r r DC BD BC a + = + = + = = ( )2 1 2 12 2 2 r r r r BC AB AC b + = + = + = = ( )3 1 3 12 2 2 r r r r EB AE AB c + = + = + = =Ditanya: Luas segitiga ABC? Dijawab:a.Menggunakan rumus heron Menentukan semiperimeter: 2c b as+ +=( ) ( ) ( )22 2 23 1 2 1 3 2r r r r r rs+ + + + +=( )223 1 2 1 3 2r r r r r rs+ + + + +=3 2 12 2 2 r r r s + + =( )3 2 12 r r r s + + = ( ) ( ) ( )1 3 2 3 2 12 2 2 r r r r r r a s = + + + = ( ) ( ) ( )3 2 1 3 2 12 2 2 r r r r r r b s = + + + = ( ) ( ) ( )2 3 1 3 2 12 2 2 r r r r r r c s = + + + = ( )( )( ) c s b s a s s LABC =A ( )( )( )( )2 3 1 3 2 12 2 2 2 r r r r r r LABC+ + =A ( )( )()()2 3 1 3 2 116 r r r r r r LABC+ + =A 3 2 1 3 2 14 r r r r r r LABC+ + =A b.Menggunakan rumus luas segitiga -Menentukan luas segitiga OAB t AB LOAB =A21 ( ) r r r LOAB + =A 3 12 221 ( ) r r r LOAB + =A 3 1221 ( ) r r r LOAB + =A 3 1 -Menentukan luas segitiga OBC t BC LOBC =A21 ( ) r r r LOBC + =A 3 22 221 ( ) r r r LOBC + =A 3 2221 ( ) r r r LOBC + =A 3 2 A -Menentukan luas segitiga OCA t CA LOCA =A21 ( ) r r r LOCA + =A 2 12 221 ( ) r r r LOCA + =A 2 1221 ( ) r r r LOCA + =A 2 1 6.Menentukan nilai r OCA OBC OABL L LA A A+ + ABCLA= ( ) ( ) ( )r r r r r r r r r2 1 3 2 3 1+ + + + + 3 2 1 3 2 14 r r r r r r + + =

( ) r r r r r r r + + + + +2 1 3 2 3 1 3 2 1 3 2 14 r r r r r r + + =

( ) r r r r + +3 2 12 2 23 2 1 3 2 14 r r r r r r + + =

( ) r r r r + +3 2 123 2 1 3 2 14 r r r r r r + + =

( ) r r r r + +3 2 1 3 2 1 3 2 12 r r r r r r + + = r r r r + +3 2 1 3 2 12 r r r =

( )23 2 1r r r r + + ( )23 2 12 r r r =

( )23 2 1r r r r + + ( )3 2 14 r r r = 2r( )3 2 13 2 14r r rr r r+ += (8) 7.Substitusi persamaan (5), (6), (7) ke persamaan (8) ( )3 2 13 2 1 24r r rr r rr+ +=deffdeef ddeffdeef dr2 2 22 2 242+ +|.|

\|||.|

\||.|

\|=deff edefe ddefd fdeff e dr2 2 2842 2 2 2 2 22 2 22+ +=deff e e d d fdeff e dr222 2 2 2 2 22 2 22+ +=2 2 2 2 2 22 2 22f e e d d ff e dr+ +=2 2 2 2 2 22 2 2f e f d e df e d+ += Atau dapat ditulis secara umum: 2 2 22 2 2 2 2 221f e df e f d e dr+ +=2 2 22 22 2 22 22 2 22 221f e df ef e df df e de dr+ + =2 2 2 21 1 1 1d e f r+ + =2 2 2 21 1 1 1f e d r+ + = IV. KESIMPULAN Dari pembuktian di atas, jari-jari lingkaran dalam segitiga dapat dicari dengan mudahmenggunakanrumus 2 2 2 21 1 1 1f e d r+ + = dengand,e,fmerupakangaris singgungdaridualingkarandimanadiameterdarilingkaran-lingkarantersebut membentuk sisi-sisi dari segitiga. DAFTAR PUSTAKA Nuharini, Dewi dan Tri Wahyuni. 2008. Matematika Konsep dan Aplikasinaya untuk SMP/MTs Kelas VIII. Jakarta : Depdiknas Guiterrez,Antonio.HeronsFormula.Online,http://gogeometry.com/heron,diakses tanggal 6 Maret 2011. Guiterrez,Antonio.Problem213.Triangle,Incircle,Inradius,Semicircles,Common Tangents.Online,http://gogeometry.com/problem/p213_triangle_inradius common tangents.html, diakses tanggal 7 Juni 2011.