XẤP XỈ BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU LIÊN TỤC

Bùi Văn HiếuKhoa Toán, Trường Đại học Khoa học, Đại học Huế

biểu thức ∫ b

a

ω(x) [f(x)− pn(x)]2 dx.

Phần thực hành tính toán trên Maple minh họa cho các kết quả lý thuyết cũng đượcthiết lập.

Từ khóa: Hàm trọng, bình phương tối thiểu, đa thức trực giao, lý thuyết xấp xỉ.

1. GIỚI THIỆU

Trước hết, ta nhắc lại bài toán xấp xỉ tốt nhất trong không gian định chuẩn.

Bài toán 1. Cho Y là một không gian con hữu hạn chiều của một không gian định chuẩn (X, ∥.∥) và x0 ∈ X . Tìm y0 ∈ Y sao cho

∥x0 − y0∥ = miny∈Y

∥x0 − y∥ .

Kết quả về sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của Bài toán 1 trong mệnh đề sau thườngxuất hiện dưới dạng một bài tập đơn giản trong giải tích hàm.

Mệnh đề 1.1. Bài toán 1 luôn có nghiệm. Hơn nữa, nếu X lồi chặt1 thì nghiệm này là duy nhất.

Chứng minh. Tập hợpA := {y ∈ Y | ∥y∥ ≤ 2∥x0∥}

1Nhắc lại rằng, một chuẩn ∥.∥ trên X được gọi là lồi chặt nếu hình cầu đơn vị đóng trong (X, ∥.∥) là lồichặt. Tức là, với mỗi x, y ∈ X, x = y, ∥x∥ = ∥y∥ = 1 và λ ∈ (0, 1), ta có

∥λx+ (1− λ)y∥ < 1.

1

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, Trường Đại học Khoa học, ĐH Huế _Tập 12, Số 1 (2018)

E-mail: bvhieu@hueuni.edu.vn

Ngày nhận bài: 9/4/2018; ngày hoàn thành phản biện: 4/6/2018; ngày duyệt đăng: 8/6/2018

TÓM TẮT

Trong giải tích số, bài toán xấp xỉ bình phương tối thiểu liên tục nghiên cứu việc xấpxỉ một hàm cho trước bởi một hàm đơn giản hơn, chẳng hạn hàm đa thức. Ở bài báo này, chúng tôi sẽ khảo sát cách xây dựng một đa thức có bậc không quá n xấp xỉ tốt nhất một hàm cho trước trong không gian hàm L2

ω[a, b] nhờ vào hệ đa thức trực giao. Một cách tương đương, chúng ta cần tìm đa thức pn có bậc không quá n cực tiểu hóa

là đóng và bị chặn trong không gian hữu hạn chiều Y nên compact. Hơn nữa, phiếm hàm y ∈Y 7−→ ∥x0 − y∥ ∈ R liên tục nên đạt giá trị nhỏ nhất trên tập compact A (chẳng hạn tại y0 ∈ A).Đây cũng là giá trị nhỏ nhất trên Y vì với mọi y ∈ Y \A, ta có

∥y − x0∥ ≥ ∥y∥ − ∥x0∥ > 2∥x0∥ − ∥x0∥ = ∥x0∥ = ∥0− x0∥.

Do đó Bài toán 1 có nghiệm. Giả sử X lồi chặt, x0 /∈ Y và y1 = y2 là hai nghiệm của Bài toán 1,tức là

∥x0 − y1∥ = ∥x0 − y2∥ = miny∈Y

∥x0 − y∥ =: d > 0.

Đăt u1 := (x0 − y1)/d và u2 := (x0 − y2)/d, ta có u1 = u2 và ∥u1∥ = ∥u2∥ = 1. Từ tính lồi chặt củaX suy ra

∥(u1 + u2)/2∥ < 1.

Điều này vô lí vì∥(u1 + u2)/2∥ = ∥x0 − (y1 + y2)/2∥ /d ≥ d/d = 1.

Dễ kiểm tra được rằng các không gian Hilbert luôn lồi chặt. Ta có kết quả quen thuộc sau:

Định lí 1.2. ChoX là không gian Hilbert với tích vô hướng ⟨., .⟩ và Y là một tập con lồi, đóng, khác rỗngcủa X . Lúc đó với mỗi x0 ∈ X , tồn tại duy nhất y0 ∈ Y sao cho

∥x0 − y0∥ = miny∈Y

∥x0 − y∥ .

Đặc biệt, nếu Y là một không gian con của X thì y0 được đặc trưng bởi

⟨x0 − y0, y⟩ = 0, ∀y ∈ Y. (1)

Bây giờ, ta xét một không gian hàm đặc biệt, không gian L2ω[a, b]. Cho ω(x) là hàm dương,

liên tục trên (a, b), gọi là hàm trọng. Kí hiệu L2ω[a, b] là không gian các hàm thực bình phương khả

tích với trọng ω(x) trên [a, b]. L2ω[a, b] được trang bị tích vô hướng

⟨f, g⟩ω =

∫ b

a

ω(x)f(x)g(x)dx

với chuẩn cảm sinh kí hiệu ∥.∥2,ω

∥f∥2,ω =

(∫ b

a

ω(x)f(x)2 dx

) 12

.

Từ nay về sau, nếu không sợ nhầm lẫn, trong L2ω[a, b] ta viết ⟨., .⟩ thay cho ⟨., .⟩ω và ∥.∥ thay cho

∥.∥2,ω . Trường hợp ω(x) ≡ 1, không gian L2ω[a, b] chính là không gian L2[a, b] quen thuộc. Kí hiệu

Pn là không gian các đa thứcmột biến hệ số thực có bậc không quá n. Đây là không gian n+1 chiềuvới cơ sở đại số là {1, x, x2, . . . , xn}. Ta phát biểu lại Bài toán 1 trong trường hợp X = L2

ω[a, b],Y = Pn và x0 = f ∈ L2

ω[a, b] như sau:

2

Xấp xỉ bình phương tối thiểu liên tục

Bài toán 2. Cho f ∈ L2ω[a, b]. Tìm đa thức pn ∈ Pn sao cho

∥f − pn∥ = minp∈Pn

∥f − p∥ .

Đa thức pn chính là hình chiếu của f ∈ L2ω[a, b] lên không gian hữu hạn chiều Pn, gọi là đa thức

xấp xỉ bình phương tối thiểu bậc ≤ n của f trong L2ω[a, b]. Nhận xét rằng, với

pn(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn,

việc giải Bài toán 2 tương đương với việc cực tiểu hóa hàm (n+ 1) biến thực

g(a0, a1, . . . , an) =

∫ b

a

ω(x) [f(x)− (a0 + a1x+ · · ·+ anxn)]2 dx.

Các mục tiếp theo sẽ khảo sát cách xây dựng đa thức pn dựa vào hệ đa thức trực giao và minh họa kết quả thực hành tính toán trên Maple.

2. KẾT QUẢ VÀ VÍ DỤ

Định nghĩa 2.1. Dãy các đa thức Ψ := {ψj , j = 0, 1, . . .} được gọi là một hệ đa thức trực giao trong L2

ω[a, b] nếu deg(ψj ) = j và

⟨ψk, ψj⟩ =∫ b

a

ω(x)ψk(x)ψj(x)dx =

0 nếu k = j,

aj > 0 nếu k = j.

Nếu aj = 1 với j = 0, 1, . . . thì Ψ được gọi là hệ trực chuẩn trong L2ω[a, b].

Chú ý rằng một hệ đa thức trực giao như vậy không duy nhất, có thể sai khác một hằngsố nhân khác không. Từ nay về sau, ta chỉ xét hệ đa thức trực giao đơn hệ (tức là đa thức có hệ sốbậc cao nhất bằng 1). Ta có thể xây dựng hệ đa thức trực giao như vậy nhờ thủ tục trực giao hóaGram-Schmidt cổ điển trong không gian Hilbert.

Tìm hệ đa thức trực giao trong L2ω[a,b]

bằng thủ tục trực giao hóa Gram-Schmidt

ψ0 = 1,

ψ1 = x− ⟨x, ψ0⟩⟨ψ0, ψ0⟩

ψ0,

ψm = xm − ⟨xm, ψ0⟩⟨ψ0, ψ0⟩

ψ0 − · · · − ⟨xm, ψm−1⟩⟨ψm−1, ψm−1⟩

ψm−1, m ≥ 2.

Trong thực hành tính toán, người ta thường xây dựng hệ đa thức trực giao trong L2ω[a, b]

bằng thủ tục Gram-Schmidt cải biên như sau.

3

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, Trường Đại học Khoa học, ĐH Huế _Tập 12, Số 1 (2018)

Định lí 2.1 (Theorem 4.5.19, [1]). Hệ đa thức trực giao Ψ = {ψj , j = 0, 1, . . .} trong L2ω[a, b] xác định

bởi công thức truy hồi:ψm = (x− am−1)ψm−1 − bm−1ψm−2, m ≥ 1, (2)

với ψ−1 = 0, ψ0 = 1 và các hệ số am−1, bm−1 xác định bởi

am−1 =⟨x, ψ2

m−1⟩⟨ψm−1, ψm−1⟩

và bm−1 =⟨ψm−1, ψm−1⟩⟨ψm−2, ψm−2⟩

. (3)

Chứng minh. Ta chứng minh bằng qui nạp theo m. Ta có ψ−1 = 0, ψ0 = 1. Giả sử đã xây dựngđược các đa thức trực giao ψj , với 0 ≤ j ≤ m − 1 (m ≥ 1). Ta xây dựng đa thức ψm có bậc m vàtrực giao với các đa thức ψj , 0 ≤ j ≤ m− 1 dưới dạng

ψm = xψm−1 −m−1∑i=0

cm,iψi.

Biểu diễn này tồn tại duy nhất vì hệ ψj , 0 ≤ j ≤ m − 1 là một cơ sở của không gian Pm−1 và đathức (ψm−xψm−1) ∈ Pm−1. Tích vô hướng của ψm với các đa thức ψj , 0 ≤ j ≤ m− 1 phải bằng 0

⟨xψm−1, ψj⟩ −m−1∑i=0

cm,i⟨ψi, ψj⟩ = 0, 0 ≤ j ≤ m− 1.

Vì ⟨ψi, ψj⟩ = 0 với mọi i = j nên cm,j⟨ψj , ψj⟩ = ⟨xψm−1, ψj⟩ = ⟨ψm−1, xψj⟩. Để ý rằng xψj là đathức bậc j + 1 nên nếu j < m− 2 thì ⟨ψm−1, xψj⟩ = 0 và do đó cm,j = 0. Lúc đó ψm có dạng

ψm = xψm−1 − cm,m−1ψm−1 − cm,m−2ψm−2.

Lấy tích vô hướng hai vế lần lượt với ψm−1 và ψm−2, suy ra

cm,m−1 =⟨x, ψ2

m−1⟩⟨ψm−1, ψm−1⟩

và cm,m−2 =⟨x, ψm−1ψm−2⟩⟨ψm−2, ψm−2⟩

.

Hơnnữa, do ⟨ψm, ψm⟩ = ⟨x, ψm−1ψm⟩nênbằng cách giảmcác chỉ số đi 1đơnvị, ta có ⟨x, ψm−1ψm−2⟩ =⟨ψm−1, ψm−1⟩ và cm,m−2 = ⟨ψm−1,ψm−1⟩

⟨ψm−2,ψm−2⟩ . Đặt am−1 = cm,m−1 và bm−1 = cm,m−2 ta có điều cầnchứng minh.

Tìm hệ đa thức trực giao trong L2ω[a,b]

bằng thủ tục trực giao hóa Gram-Schmidt cải biên

ψm = (x− am−1)ψm−1 − bm−1ψm−2, m ≥ 1, (4)

với ψ−1 = 0, ψ0 = 1 và các hệ số am−1, bm−1 xác định bởi

am−1 =⟨x, ψ2

m−1⟩⟨ψm−1, ψm−1⟩

và bm−1 =⟨ψm−1, ψm−1⟩⟨ψm−2, ψm−2⟩

. (5)

4

Xấp xỉ bình phương tối thiểu liên tục

Ví dụ 2.1. Từ (4) và (5), dễ tính được các đa thức trực giao bậc 0, 1, 2, 3 trong

a) Không gian L2[−1, 1] là

ψ0(x) = 1, ψ1(x) = x, ψ2(x) = x2 − 1

3, ψ3(x) = x3 − 3

5x, . . .

b) Không gian L2[0, 1] là

ψ0(x) = 1, ψ1(x) = x− 1

2, ψ2(x) = x2 − x+

1

6, ψ3(x) = x3 − 3

2x2 +

3

5x− 1

20, . . .

c) Không gian L2ω[0, 1], với hàm trọng ω(x) = x, là

ψ0(x) = 1, ψ1(x) = x− 2

3, ψ2(x) = x2 − 6

5x+

3

10, ψ3(x) = x3 − 12

7x2 +

6

7x− 4

35, . . .

Một số hệ đa thức trực giao cổ điển khác (như hệ đa thức Laguerre, Jacobi, Hermite,Chebyshev loại I và loại II) cùng nhiều tính chất thú vị và ứng dụng quan trọng của chúng đượckhảo sát tỉ mỉ trong các tài liệu chuyên khảo [1], [2]. Định lí sau cho ta công thức tìm đa thức xấpxỉ bình phương tối thiểu bậc ≤ n của một hàm trong L2

ω[a, b] nhờ vào hệ đa thức trực giao trongkhông gian này.

Định lí 2.2. Giả sử ψj , j = 0, . . . , n là n + 1 đa thức trực giao đầu tiên trong L2ω[a, b]. Lúc đó đa thức

pn ∈ Pn xấp xỉ bình phương tối thiểu hàm f ∈ L2ω[a, b] xác định bởi

pn(x) =n∑i=0

αjψj(x), (6)

trong đó

αj =⟨f, ψj⟩⟨ψj , ψj⟩

, j = 0, . . . , n. (7)

Đặc biệt, nếu ψj , j = 0, . . . , n là hệ đa thức trực chuẩn thì

αj = ⟨f, ψj⟩, j = 0, . . . , n.

Chứng minh. Vì {ψj | j = 0, . . . , n} là một cơ sở (trực giao) của Pn nên pn có biểu diễn duy nhấtdưới dạng

pn(x) =n∑i=0

αjψj(x)

Theo Định lí 1.2, ⟨f − pn, ψj⟩ = 0 với mọi j = 0, . . . , n nên suy ra Công thức (7).

Ví dụ 2.2. Cực tiểu các hàm nhiều biến:

a) g(a, b) =∫ 1

0x(x2 − ax− b)2 dx.

b) h(a, b, c) =∫ 1

−1(x3 − ax2 − bx− c)2 dx.

5

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, Trường Đại học Khoa học, ĐH Huế _Tập 12, Số 1 (2018)

Việc cực tiểu hàm g tương đương với việc tìm đa thức p1 ∈ P1 xấp xỉ bình phương tối thiểu hàmf1(x) = x2 trong L2

ω[0, 1] (với hàm trọng ω(x) = x). Từ Ví dụ 2.1, hai đa thức trực giao đầu tiêntrong L2

ω[0, 1] là ψ0(x) = 1 và ψ1(x) = x− 23 nên theo (6) ta có

p1(x) =

∫ 1

0x3 dx∫ 1

0xdx

+

∫ 1

0x3(x− 2/3)dx∫ 1

0x(x− 2/3)2 dx

(x− 2/3) =6

5x− 3

10.

Suy ra g đạt giá trị nhỏ nhất khi (a, b) = (6/5,−3/10) và giá trị nhỏ nhất là g(6/5,−3/10) = 1/600.Tương tự, để cực tiểu hàm h, ta tìm đa thức p2 ∈ P2 xấp xỉ bình phương tối thiểu hàm

f2(x) = x3 trong L2[−1, 1]. Ta có ba đa thức trực giao đầu tiên trong L2[−1, 1] là ψ0(x) = 1,ψ1(x) = x và ψ2(x) = x2 − 1

3 nên dễ tính được p2(x) = 35x. Suy ra h đạt giá trị nhỏ nhất khi

(a, b, c) = (0, 3/5, 0) và giá trị nhỏ nhất là h(0, 3/5, 0) = 8/175.

Lưu ý rằng ta có thể kiểm tra lại các kết quả vừa tìm được bằng cách khảo sát cực trị củacác hàm g và h với các biểu thức tường minh

g(a, b) =1

6− 2

5a+

1

4a2 − 1

2b+

2

3ab+

1

2b2

vàh(a, b, c) =

2

7+

2

5a2 − 4

5b+

4

3ca+

2

3b2 + 2c2.

3. THỰC HÀNH TÍNH TOÁN

Trong phần này, ta sẽ minh họa việc tìm hệ đa thức trực giao và đa thức xấp xỉ bình phương tối thiểu trong không gian L2

ω[a, b] trên Maple.Chẳng hạn, để giải bài toán trong Ví dụ 2.2 a), trước hết ta nhập các cận tích phân,

hàm trọng, bậc của đa thức và hàm f :

> a:=0;b:=1;w:=x;n:=1;f:=x^2;

a := 0

b := 1

w := x

n := 1

f := x2

Tiếp đến, ta tìm hệ đa thức trực giao theo Công thức (4) và (5):

> u[0]:=1;u[1]:=(x-int(w*x*u[0]^2,x=a..b)/int(w*u[0]^2,x=a..b));

u0 := 1

u1 := x− 2

3> for i from 2 to n do> u[i]:=expand((x-int(w*x*u[i-1]^2,x=a..b)/int(w*u[i-1]^2,x=a..b))*u[i-1]

-(int(w*u[i-1]^2,x=a..b)/int(w*u[i-2]^2,x=a..b))*u[i-2]);

> od;

và đa thức xấp xỉ bình phương tối thiểu theo Công thức (6):

6

Xấp xỉ bình phương tối thiểu liên tục

> p:=0:> for i from 0 to n do> s[i]:=simplify(int(w*f*u[i],x=a..b)/int(w*u[i]^2,x=a..b));> p:=p+s[i]*u[i]:

> od:

> p:=collect(p,x);

p :=6

5x− 3

10Từ đó suy ra g đạt giá trị nhỏ nhất khi (a, b) = (6/5,−3/10) và giá trị nhỏ nhất là

> Int(w*(f-p)^2,x=a..b): %=value(%);∫ 1

0

x

(x2 − 6

5x+

3

10

)2

dx =1

600

Việc tính toán đối với Ví dụ 2.2 b) được thực hiện tương tự như sau:

> a:=-1;b:=1;w:=1;n:=2;f:=x^3;

a := −1

b := 1

w := 1

n := 2

f := x3

> u[0]:=1;u[1]:=(x-int(w*x*u[0]^2,x=a..b)/int(w*u[0]^2,x=a..b));

u0 := 1

u1 := x

> for i from 2 to n do> u[i]:=expand((x-int(w*x*u[i-1]^2,x=a..b)/int(w*u[i-1]^2,x=a..b))*u[i-1]

-(int(w*u[i-1]^2,x=a..b)/int(w*u[i-2]^2,x=a..b))*u[i-2]);

> od;

u2 := x2 − 1

3> p:=0:> for i from 0 to n do> s[i]:=simplify(int(w*f*u[i],x=a..b)/int(w*u[i]^2,x=a..b));> p:=p+s[i]*u[i]:

> od:

> p:=collect(p,x);

p :=3

5x

Suy ra h đạt giá trị nhỏ nhất khi (a, b, c) = (0, 3/5, 0) và giá trị nhỏ nhất là

> Int(w*(f-p)^2,x=a..b): %=value(%);∫ 1

−1

(x3 − 3

5x

)2

dx =8

175

7

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, Trường Đại học Khoa học, ĐH Huế _Tập 12, Số 1 (2018)

4. THUẬT TOÁN CLENSHAW

Vấn đề tìm đa thức thuộc Pn xấp xỉ bình phương tối thiểu một hàm trong L2ω[a, b] không đơn giản

trong trường hợp n lớn. Lúc đó, một thuật toán có thể áp dụng hiệu quả trong tính toán số giá trị của đa thức này tại một điểm cho trước là thuật toán Clenshaw. Thuật toán Clenshaw cho ta một phương pháp để tính tổng hữu hạn

S =n∑k=0

ckpk,

khi (pk) là dãy xác định bởi công thức truy hồi cấp hai:

pk+1 = akpk + bkpk−1, k = 0, . . . , n− 1. (8)

Định lí 4.1 (Thuật toán Clenshaw (Theorem 4.5.21, [1])). Giả sử (pk) là dãy xác định bởi (8), vớip−1 = 0. Lúc đó

S =n∑k=0

ckpk = y0p0,

trong đó y0 được tính theo công thức truy hồi ngược:

yn+1 = 0, yn = cn, yk = ck + akyk+1 + bk+1yk+2, k = n− 1, . . . , 0. (9)

Chứng minh. Xét các vectơ c = (c0, c1, . . . , cn)T , p = (p0, p1, . . . , pn)

T , q = (p0, 0, . . . , 0)T trong

Rn+1 và ma trận

A =

1 0 · · · · · · 0

−a0 1. . .

...

−b1 −a1 1. . .

......

. . . . . . . . . 0

0 · · · −bn−1 −an−1 1

.

Lúc đó dễ thấy dãy truy hồi (pk) là nghiệm của hệ tam giác dưới Ap = q. Vì detA = 1 = 0 nên hệnày có nghiệm duy nhất p = A−1q. Suy ra

S = cT p = cTA−1q = qT (AT )−1c = qT y = y0p0,

trong đó y = (y0, y1, . . . , yn)T là nghiệm của hệ tam giác trên AT y = c. Giải hệ này bằng phép thế

ngược ta nhận được dãy truy hồi (9). Đó là điều cần chứng minh.

Trong trường hợp pk, ak, bk là các hàm số theo biến x, thuật toán Clenshaw tính giá trị củahàm số S(x) =

∑nk=0 ckpk(x). Thuật toán này đặc biệt hữu ích khi việc tính pk(x) là phức tạp, còn

ak(x) và bk(x) là đơn giản. Vì lúc đó có thể tính S(x) mà không cần tính các hàm pk(x). Lưu ýrằng thuật toán Horner tính giá trị của đa thức

S(x) = c0 + c1x+ · · ·+ cnxn

là một trường hợp đặc biệt của thuật toán Clenshaw với

p0(x) = 1, pk+1(x) = xk+1 = xpk(x), k = 0, . . . , n− 1.

8

Xấp xỉ bình phương tối thiểu liên tục

Cụ thể, ta có S(x) = y0, với y0 được tính theo công thức truy hồi ngược:

yn = cn, yk = yk+1x + ck, k = n − 1, . . . , 0.

Việc đánh giá và sử dụng thuật toán Clenshaw để thử nghiệm tính toán số giá trị của đathức xấp xỉ bình phương tối thiểu khi n lớn là một đề tài thú vị, vượt ra khỏi phạm vi bài báo

này.

TÀI LIỆU THAM KHẢO[1] Germund Dahlquist, Åke Björck (2008). Numerical Methods in Scientific Computing, SIAM.

[2] Walter Gautschi (2004). Orthogonal Polynomials, Computation and Approximation, Oxford Uni-versity Press.

CONTINUOUS LEAST SQUARES APPROXIMATION

Bui Van HieuFaculty of Mathematics, University of Sciences, Hue University

E-mail: bvhieu@hueuni.edu.vn

ABSTRACT

Continuous least squares approximation problem in numerical analysis study the approximationof a given function by a simpler function, such as a polynomial. In this paper, we shall investigatehow to construct the polynomial of best approximation of degree at most n to a given function inL2ω[a, b] via the system of orthogonal polynomials. Equivalently, we need to find a polynomial pn

of degree at most n that minimizes the expression∫ b

a

ω(x) [f(x)− pn(x)]2dx.

Numerical experiments complement the theoretical results are also established by using Maple.

Keywords: Weight function, least squares, orthogonal polynomials, approximation theory.

9

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, Trường Đại học Khoa học, ĐH Huế _Tập 12, Số 1 (2018)

10

Bùi Văn Hiếu sinh ngày 13/05/1983 tại Quảng Nam. Năm 2004, ông tốt

nghiệp Cử nhân ngành Toán học và là giảng viên Khoa Toán, Trường Đại

học Khoa học, Đại học Huế cho đến nay. Năm 2008, ông tốt nghiệp thạc sĩ

chuyên ngành Toán Giải tích tại Trường Đại học Khoa học, Đại học Huế.

Lĩnh vực nghiên cứu: Giải tích, Toán ứng dụng.