TS. Trần Văn Hoài

TS. Trần Văn Hoài

Phương pháp chứng minh(Methods of proof)

Methods of proof (các phương pháp chứng minh) 2008-2009


Ý nghĩa

☞ Xây dựng những suy luận toán học đúng đắn (correctness)

☞ Hiểu các luật mà máy tính dùng để➠ Suy diễn

➠ Kiểm chứng sự đúng đắn của chương trình

➠ Xây dựng định lý mới dùng suy diễn tự động



Những thành phần

☞ Định lý (theorem) = một phát biểu được chỉ ra là đúng

☞ Tiên đề (axiom) = giả thiết cơ sở của các cấu trúc toán

học

☞ Giả thiết (hypothesis) = giả thiết của định lý



Sự chứng minh (proof)

Rules of inference

Hypotheses oftheorem

Proved theorem

Theorem

Axiom

☞ Quy tắc suy luận = cách rút ra kết luận từ các

khẳng định khác

☞ Liên kết các bước chứng minh



Bổ đề và Hệ quả

LemmaTheorem

Corollary

☞ Bổ đề = Định lý đơn giản dùng trong chứng minh

định lý

☞ Hệ quả = Mệnh đề được suy ra từ định lý đã

được chứng minh



Ví dụ quy tắc suy luận (1)

Ví dụ:

➳ Trời hôm nay không nắng (p),và lạnh hơn hôm qua (q)

➳ Chúng ta đi bơi (r) chỉ nếutrời nắng

➳ Nếu chúng ta không đi bơi thìchúng ta sẽ đi xem phim (s)

➳ Nếu chúng ta đi xem phim,thì chúng ta sẽ về khuya (t)

➳ Chúng ta về khuya

1. ¬p ∧ q Giả thiết

2. ¬p Đơn giản (dùng bước 1)

3. r → p Giả thiết

4. ¬r Modus tollens dùng bước 2 và 3

5. ¬r → s Giả thiết

6. s Modus ponens dùng bước 4 và 5

7. s → t Giả thiết

8. t Modus ponens dùng bước 6 và 7



Các quy tắc suy luận (1)

Quy tắc Hằng đúng Tên gọi

p

∴ p ∨ qp → (p ∨ q) Luật cộng

p ∧ q

∴ p(p ∧ q) → p Luật rút gọn

p

p → q

∴ q

(p ∧ (p → q)) → q Modus ponens



Các quy tắc suy luận (2)

¬q

p → q

∴ ¬p

(¬q ∧ (p → q)) → ¬p Modus tollens

p → q

q → r

∴ p → r

((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r) Tam đoạn luận giả định

p ∨ q

¬p

∴ q

((p ∨ q) ∧ ¬p) → q Tam đoạn luận tuyển



Ngụy biện

Ngụy biện giống như các quy tắc suy luận nhưngkhông dựa trên các hằng đúng

Ví dụ:

➳ Nếu bạn làm hết các bài tập trong cuốn sách này (p) thìbạn sẽ học được toán rời rạc (q)

➳ Bạn đã học được toán rời rạc

➳ Bạn đã làm hết bài tập trong cuốn sách này

Suy luận sai vì có thể học toán rời rạc bằng các cách khác.Mệnh đề ((p → q) ∧ q) → p không phải là hằng đúng



Các quy tắc suy luận có lượng từ

Quy tắc Tên gọi

∀xP (x)

∴ P (c) nếu c ∈ UUniversal instantiation

P (c) với một c bất kỳ ∈ U

∴ ∀xP (x)Universal generalization

∃xP (x)

∴ P (c) với c nào đó ∈ UExistential instantiation

P (c) với c nào đó ∈ U

∴ ∃xP (x)Existential generalization



Ví dụ suy luận có lượng từ

Ví dụ:

➳ Mọi sinh viên tronglớp toán rời rạc (P )đã học một môntrong ngành khoa họcmáy tính (Q)

➳ Lý là một sinh viêncủa lớp toán rời rạc

➳ Lý đã học một môntrong ngành khoa họcmáy tính

1. ∀x(P (x) → Q(x)) Tiền đề

2. P (Lý) → Q(Lý) Đơn giản (dùng bước 1)

3. P (Lý) Giả thiết

4. Q(Lý) Modus ponens dùng bước 2 và 3



Các phương pháp chứng minh

☞ Chứng minh trực tiếp (direct proof)

☞ Chứng minh gián tiếp (indirect proof)

☞ Chứng minh tầm thường (trivial proof)

☞ Chứng minh phản chứng (proof by contradiction)

☞ Chứng minh quy nạp (inductive proof)



Chứng minh trực tiếp

Chứng minh p → q bằng cách chỉ ra nếu p đúng thìq phải đúng

Ví dụ: Nếu n lẻ thì n2 lẻ.Chứng minh: Giả thiết n lẻ, n = 2k +1, k ∈ Z. n2 = (2k +1)2 =

4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1 lẻ.



Chứng minh gián tiếp

(p → q) ⇔ (¬q → ¬p) (mệnh đề phản đảo)Chứng minh p → q được thực hiện bằng cách chứngminh (trực tiếp) ¬q → ¬p

Ví dụ: Nếu 3n + 2 lẻ thì n lẻ.Chứng minh: Giả thiết n chẵn (kết luận của kéo theo là sai).n = 2k. Ta suy ra 3n + 2 = 6k + 2 = 2(3k + 1). Nghĩa là 3n + 2

chẵn (giả thiết của kéo theo là sai). Suy ra định lý đã đượcchứng minh.



Chứng minh rỗng (vacuous proof)

Chứng minh p → q bằng cách chứng minh p sai

Ví dụ: Cho P (n) là hàm mệnh đề "Nếu n > 1 thì n2 > n".Chứng minh mệnh đề P (0) là đúngChứng minh: P (0) cho giả thiết 0 > 1 sai. Suy ra kéo theo P (0)

là đúng.



Chứng minh phản chứng

Nếu tìm được 1 mâu thuẫn (luôn sai) q sao cho¬p → q đúng thì suy ra ¬p sai. Nghĩa là p đúng.

Ví dụ: Chứng minh√

2 là số vô tỷ.Chứng minh: Giả sử

√2 là hữu tỷ (¬p đúng). Ta sẽ chỉ ra có

một mâu thuẫn. Tồn tại a, b ∈ Z không có thừa số chung saocho

√2 = a/b. Suy ra 2 = a2/b2, a chẵn. Dễ chứng minh b chẵn.

Nghĩa là 2 chia hết a và b.¬p → (r ∧ ¬r) đúng, (r ∧ ¬r) mâu thuẫn.



Chứng minh tồn tại

P (x) là một vị từ, chứng minh mệnh đề ∃xP (x) gọi

là chứng minh tồn tại.

☞ Tìm a sao cho P (a) đúng, chứng minh kiến thiết

☞ Chứng minh ¬∃xP (x) dẫn đến mâu thuẫn, chứng

minh không kiến thiết



Ý nghĩa của chứng minh quy nạp

Ví dụ: Tìm tổng của n số nguyên dương lẻ đầu tiên.Có thể là liên quan đến n2

☞ Quy nạp toán học không được dùng để phát hiện

công thức hay định lý

☞ Chứng minh các định lý có dạng P (n), là một

hàm mệnh đề. Chứng minh ∀nP (n)



Ý nghĩa của chứng minh quy nạp

Well-ordering property (tính được sắp tốt) là tiên đề trên tập số nguyên

"Mọi tập số nguyên dương không rỗng đều có sốnhỏ nhất"



Chứng minh quy nạp

Gồm 2 bước:

1. Bước cơ sở: Chứng minh P (1) là đúng.

2. Bước quy nạp: Chứng minh P (n) → P (n + 1) là

đúng ∀n ∈ Z+



Ví dụ chứng minh quy nạp

Ví dụ: Tổng n số nguyên dương lẻ đầu tiên là n2.Chứng minh:

1. Bước cơ sở: n = 1. Rõ ràng P (1) là đúng.

2. Bước quy nạp: Giả thiết quy nạp P (n) là đúng,

1 + 3 + . . . + (2n − 1) = n2.

Khi đó

1 + 3 + . . . + (2n − 1) + (2n + 1) = n2 + (2n + 1) = (n + 1)2

Nói cách khác P (n + 1) là đúng nếu P (n) đúng.



Ví dụ:∑

n

k=1k2k = (n − 1)2n+1 + 2.

Chứng minh:

1. Bước cơ sở:1∑

k=1

k2k = 2 = (1 − 1)22 + 2

2. Bước quy nạp: Giả thiết quy nạpn∑

k=1

k2k = (n − 1)2n+1 + 2.

Khi đó,∑

n+1

k=1k2k = (n − 1)2n+1 + 2 + (n + 1)2n+1

= (n − 1 + n + 1)2n+1 + 2

= n2n+2 + 2



Tại sao chứng minh quy nạp hợp lệ

☞ Viết theo dạng mệnh đề

(P (1) ∧ ∀n(P (n) → P (n + 1))) → ∀nP (n)

☞ Phương pháp chứng minh có thể xem trong sách

tham khảo. Điểm chính là dùng tính sắp tốt của

tập số nguyên dương.



Nguyên lý thứ hai của quy nạp toán học

1. Bước cơ sở: Chứng minh P (1) là đúng.

2. Bước quy nạp: Chứng minh

(P (1) ∧ . . . ∧ P (n)) → P (n + 1)

là đúng ∀n ∈ Z+



Định nghĩa đệ quy (recursive definition)

Gồm 2 bước

1. Xác định trị của hàm tại 0

2. Đưa ra một luật tính trị của hàm tại 1 số nguyên

từ các trị hàm tại các số nguyên nhỏ hơn

Định nghĩa trên còn được gọi là dịnh nghĩa quy nạp(inductive definition)



Định nghĩa đệ quy (recursive definition)

Ví dụ: Định nghĩa f như sau:

f(0) = 3,

f(n + 1) = 2f(n) + 3

Ví dụ: Định nghĩa đệ quy của giai thừa f(n) như sau:

f(0) = 1,

f(n + 1) = f(n) × n



Thuật toán đệ quy (recursive algorithm)

Thuật toán giải một bài toán bằng cách giảm nóxuống trường hợp cùng dạng có đầu vào nhỏ hơn

Algorithm 0.1: power(a, n)Input: a: số thực khác 0, n: số nguyên không âmOutput: an

if n = 0 thenreturn 1 ;

elsereturn a×power(a, n − 1);

end


TS. Trần Văn Hoài

Documents

Transcript of TS. Trần Văn Hoài