TỔNG-HỢP-LÝ-THUYẾT-GIỚI-HẠN.pdf - Tự Học 365

CHỦ ĐỀ 4: GIỚI HẠNGIỚI HẠN DÃY SỐ

A. LÝ THUYẾTI. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN .0

1. Định nghĩaTa nói rằng dãy số có giới hạn ( hay có giới hạn là ) nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho nu 0 0trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó.Kí hiệu: . lim 0nu

Nói một cách ngắn gọn, nếu có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng lim 0nu nunào đó trở đi.Từ định nghĩa suy ra rằng:a) .lim 0 lim 0n nu u

b) Dãy số không đổi , với , có giới hạn là . nu 0nu 0

c) Dãy số có giới hạn là nếu có thể gần bao nhiêu cũng được, miễn là đủ lớn. nu 0 nu 0 n

2. Một số dãy số có giới hạn 0Định lí 4.1Cho hai dãy số và . nu nv

Nếu với mọi và thì .n nu v n lim 0nv lim 0nu

STUDY TIPĐịnh lí 4.1 thường được sử dụng để chứng minh một dãy số có giới hạn là .0Định lí 4.2Nếu thì .1q lim 0nq

Người ta chứng mình được rằng

a) .1lim 0n

b)3

1lim 0n

c) với mọi số nguyên dương cho trước.1lim 0kn k

Trường hợp đặc biệt : .1lim 0n

d) với mọi và mọi cho trước.lim 0k

n

na

*k 1a

STUDY TIPCách ghi nhớ các kết quả bên như sau: Khi tử số không đổi, mẫu số càng lớn (dần đến dương vô cực) thì phân số càng nhỏ (dần về )0

II. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN.1. Định nghĩaTa nói rằng dãy số có giới hạn là số thực nếu . nu L lim 0nu L

Kí hiệu: .lim nu L

1

Dãy số có giới hạn là một số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.STUDY TIP

a) Dãy số không đổi với , có giới hạn là . nu nu c c

b) khi và chỉ khi khoảng cách trên trục số thực từ điểm đến trở nên nhỏ lim nu L nu L nu Lbao nhiêu cũng được miễn là đủ lớn; nói một cách hình ảnh, khi tăng thì các điểm “ n n nuchụm lại” quanh điểm .L

c) Không phải mọi dãy số đều có giới hạn hữu hạn.2. Một số định líĐịnh lí 4.3Giả sử . Khi đólim nu L

a) và .lim nu L 33lim nu L

b) Nếu với mọi thì và .0nu n 0L lim nu L

Định lí 4.4Giả sử , và là một hằng số. Khi đólim nu L lim nv M c

a) . b) . lim n nu v L M lim n nu v L M

c) . D) . lim n nu v LM lim ncu cL

e) (nếu ).lim n

n

u Lv M

0M

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạnĐịnh nghĩaCấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân có công bội thỏa .q 1q

Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

2 11 1 1 ...

1uS u u q u q

q

III. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC.

1. Dãy số có giới hạn

Ta nói rằng dãy số có giới hạn nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của nu dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó.Kí hiệu: . lim nu

Nói một cách ngắn gọn, nếu có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ số hạng lim nu nunào đó trở đi.Người ta chứng minh được rằng:a) .lim nu

b) 3lim nu

c) với một số nguyên dương cho trước.lim kn kTrường hợp đặc biệt : .lim n d) nếu .lim nq 1q

2. Dãy số có giới hạn

Ta nói rằng dãy số có giới hạn nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy nu

số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó.

2

Kí hiệu: . lim nu

Nói một cách ngắn gọn, nếu có thể nhỏ hơn một số âm nhỏ tùy ý, kể từ số hạng lim nu nunào đó trở đi.Nhận xét:a) . lim limn nu u

b) Nếu thì trở nên lớn bao nhiêu cũng được miễn đủ lớn. Đo đó trở lim nu nu n 1 1

n nu u

nên nhỏ bao nhiêu cũng được, miễn đủ lớn. Nói cách khác, nếu thì .n lim nu 1lim 0nu

STUDY TIPCác dãy số có giới hạn hoặc được gọi chung là các dãy số có giới hạn vô cực hay dần đến vô cực.Định lí 4.5

Nếu thì . lim nu 1lim 0nu

STUDY TIPTa có thể diễn giải “nôm na” định lí 4.5 như sau cho dễ nhớ: Khi tử số không đổi, mẫu số có giá trị tuyệt đối càng lớn(dần đến vô cực) thì phân số càng nhỏ(dần về ).03. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cựcQuy tắc 1Nếu và thì được cho trong bảng sau:lim n u lim n v lim n nu v

lim nu lim nv lim n nu v

STUDY TIP

Vì và không phải là những số thực nên không áp dụng được các định lí về giới hạn hữu hạn cho các dãy số có giới hạn vô cực.Quy tắc 2Nếu và thì được cho trong bảng sau:lim n u lim 0n L v lim n nu v

lim nu Dấu của L lim n nu v

Quy tắc 3Nếu và và hoặc kể từ một số hạng nào đó trở đi thì lim 0n L u lim 0n v 0nv 0nv

được cho trong bảng sau:lim n

n

uv

3

Dấu của L Dấu của nv lim n

n

uv

STUDY TIP

Ở cả ba quy tắc, về dấu, tương tự như quy tác về dấu của phép nhân hoặc phép chia hai số.Để cho dễ nhớ, ta diễn giải các quy tắc một cách “nôm na” như sau: - Quy tắc 1: Tích của hai đại lượng vô cùng lớn là một đại lượng vô cùng lớn. - Quy tắc 2: Tích của đại lượng vô cùng lớn với một đại lượng khác là một đại lượng vô cùng 0lớn.- Quy tắc 3: Khi tử thức có giới hạn hữu hạn khác , mẫu thức càng nhỏ(dần về ) thì phân thức 0 0càng lớn(dần về vô cực).

B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ GIỚI HẠN DÃY SỐDẠNG 1. TÍNH GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨCCâu 1: bằng 3lim 2 1n n

A. . B. . C. . D. .0 1 Đáp án D.

Lời giải

Cách 1: Ta có: .3 32 3

2 12 1 1n n nn n

Vì và nên theo quy tắc 2, 3lim n 2 3

2 1lim 1 1 0n n

3lim 2 1n n

Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị của biểu thức tại một giá trị lớn của (do 3 2 1n n n) như sau: Nhập vào màn hình biểu thức . Bấm . Máy hỏi n 3 2 1X X CALC ?X

nhập , ấn . Máy hiện kết quả như hình bên. Ta thấy kết quả tính toán với là một 510 510X số dương rất lớn. Do đó chọn D.

Câu 2: bằng 2lim 5 1n n

A. B. C. 5. D. . . 1.Hướng dẫn giải

Chọn B.

Cách 1: Ta có 2 22

5 15 1 1 .n n nn n

Vì và nên (theo quy tắc 2).2lim n 2

5 1lim 1 1 0n n

2lim 5 1n n

Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự như ví dụ trên.Ta thấy kết quả tính toán với là một số âm rất nhỏ. Do đó chọn đáp án có giới hạn 510X bằng .

4

Tổng quát: Cho là một số nguyên dương.ka) nếu 1

1 1 0lim ... ak kk ka n a n n a

0.ka

b) nếu 11 1 0lim ... ak k

k ka n a n n a 0.ka

Chẳng hạn: vì ; vì . 3lim 2 1n n 3 1 0a 2lim 5 1n n 2 1 0a

STUDY TIPCho có dạng đa thức (bậc lớn hơn 0) của .nu n

- Nếu hệ số của lũy thừa bậc cao nhất của là một số dương thì .n lim nu

- Nếu hệ số của lũy thừa bậc cao nhất của là một số âm thì .n lim nu

Câu 3: , với bằng:lim nu2

2

5 3 7n

n nun

A. B. C. D. 0. 5. 3. 7.Hướng dẫn giải

Chọn B.

Cách 1: Ta có: .2

2 2 2 2

5 3 7 3 7lim lim lim 5 5nn nun n n n n

Cách 2: Sử dụng máy tính bỏ túi tương tự những ví dụ trên.

Đây không phải là giá trị chính xác của giới hạn cần tìm, mà chỉ là giá trị gần đúng của một số hạng với khá lớn, trong khi dần ra vô cực. Tuy nhiên kết quả này cũng giúp ta lựa chọn n nđáp án đúng, đó là đáp án B.

STUDY TIP

Một số dòng máy hiện kết quả là dạng phân số, chẳng hạn . Do nên chọn B.1500044300007

15 53

Câu 4: với bằnglim ,nu3 2

3 2

2 3 57n

n n nun n

A. B. C. D. 3. 1. 2. 0.Hướng dẫn giải

Chọn C.Cách 1: Chia cả tử và mẫu của phân thức cho ( là lũy thừa bậc cao nhất của trong phân 3n 3n n

thức), ta được: . Vì và 2 3

3

3 1 52

1 71n

n n nu

n n

2 3

3 1 5lim 2 2n n n

3

1 7lim 1 1n n

0

nên .3 2

3 2

2 3 5 2lim 27 1

n n nn n

Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự như các ví dụ trên.

Ví dụ 5: Giới hạn của dãy số với bằng ,nu3

4 3 2

2 13 5 6n

n nun n n

A. B. C. D. 1. 0. .1 .3

Hướng dẫn giải

5

Chọn B.Cách 1: Chia cả tử và mẫu của phân thức cho ( là bậc cao nhất của trong phân thức), 4n 4n nta được

.3 3 4

4 3 2

2 3

1 2 12 1 0lim lim lim 03 5 63 5 6 11

nn n n n nu

n n nn n n

Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự như các ví dụ trên.

Ví dụ 6: Giới hạn của dãy số với , bằng nu3

2

3 2 12n

n nun n

A. B. C. D. 3 .2

0. . 1.

Hướng dẫn giảiChọn C.Cách 1: Chia cả tử và mẫu cho ( là lũy thừa bậc cao nhất của trong mẫu thức), ta 2n 2n n

được Vậy .3 2

2

2 133 2 1 .12 2n

nn n n nun n

n

3lim lim2nnu

Cách 2: Chia cả tử và mẫu cho ( là lũy thừa bậc cao nhất của trong phân thức), ta 3n 3n nđược

. Vì , và với mọi 2 3

2

2 13lim lim 2 1n

n nu

n n

2 3

2 1lim 3 3 0n n

2

2 1lim 0n n

2

2 1 0n n

nên theo quy tắc 3, .n lim nu

Cách 3: Ta có Vì và

32 3 2 3

2

2 1 2 13 3lim lim lim .11 22

n

nn n n nu n

nnn

lim n

nên theo quy tắc 2, 2 3

2 13 3lim 01 22n n

n

lim .nu

Cách 4: Sử dụng MTCT tương như các ví dụ trên.STUDY TIP

Rõ ràng làm theo cách 1 (chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của trong mẫu thức) ít nphải lập luận hơn cách 2 và cách 3.Tổng quát:

Xét dãy số với trong đó nu1

1 1 01

1 1 0

... ,...

i ii i

n k kk k

a n a n a n aub n b n b n b

, 0i ka b

(dạng phân thức với tử số và mẫu số là các đa thức của ).na) Nếu (bậc tử lớn hơn bậc mẫu) thì nếu nếu i k lim nu 0,i ka b lim nu 0.i ka b

b) Nếu (bậc tử bằng bậc mẫu) thì i k lim .in

k

aub

c) Nếu (bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu) thì .i k lim 0nu

6

STUDY TIPCho có dạng phân thức của .nu n

- Nếu bậc tử cao hơn bậc mẫu thì có giới hạn là vô cực nu

- Nếu bậc tử bằng bậc mẫu thì bằng hệ số của lũy thừa cao nhất trên tử chia cho hệ số lim nucủa lũy thừa cao nhất ở mẫu.- Nếu bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu thì .lim 0nu

Ví dụ 7: bằng 2

sin !lim

1n

n A. B. C. D. 0. 1. . 2.

Hướng dẫn giảiChọn A.

Ta có mà nên chọn đáp án A. 2 2

sin ! 11 1

nn n

2

1lim 01n

Lưu ý: Sử dụng MTCT. Với , máy tính cho kết quả như hình bên. Với , máy bào 13X 13X lỗi do việc tính toán vượt quá khả năng của máy. Do đó với bài này, MTCT sẽ cho kết quả chỉ mang tính chất tham khảo.

Nhận xét: Hoàn toàn tương tự, ta có thể chứng minh được rằng:

a) b) . sinlim 0;

kn

n

uv

cos

lim 0k

n

n

uv

Trong đó nguyên dương.lim ,nv k

Chẳng hạn: ; ; ; …..

2

3

sin5lim 02 1

n

n n

3cos 3 1lim 0

2n

n

3 2 3

cos 2 1lim 05 1

nn n n

STUDY TIP

Khi sử dụng MTCT, với các bài toán liên quan đến lượng giác, trước khi tính toán ta cần chọn chế độ Rad (radian) hoặc Deg (degree) cho phù hợp với đề bài.

Ví dụ 8: bằng

1lim

1

n

n n

A. B. C. D. 1. 1. . 0.Hướng dẫn giải

Chọn D.

Cách 1: Ta có mà nên suy ra 2

1 1 1 11 1 .

n

n n n n n n n

2

1lim 0n

1lim 0

1

n

n n

Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự các ví dụ trên.

Nhận xét: Dãy không có giới hạn nhưng mọi dãy , trong đó thì 1 n 1 n

nv

lim nv

có giới hạn bằng 0.

Ví dụ 9: Tính giới hạn 2lim 2 3I n n n

7

A. B. C. D. 1.I 1.I 0.I .I Hướng dẫn giải

Chọn B.

Cách 1: Ta có 2lim 2 3I n n n 2 2

2

2 3 2 3lim

2 3

n n n n n n

n n n

2 2

2

2 3lim

2 3

n n n

n n n

2

2 3lim2 3n

n n n

2

32 2lim 1.2 3 1 11 1

n

n n

Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự các ví dụ trên.STUDY TIP

Hằng đẳng thức thứ ba: Hai biểu thức và được gọi là biểu 2 2.a b a b a b a b a bthức liên hợp của nhau.

Ví dụ: và là hai biểu thức liên hợp của nhau.2 2 3n n n 2 2 3n n n

Nhận xét: a) ở bước 3 ta đã chia cả tử và mẫu cho . Lưu ý là .n 2n n

b) Ta có , Vì và nên 22

2 32 3 1 1n n n nn n

lim n 2

2 1lim 1 1 0n n

không áp dụng được quy tắc 2 như trong ví dụ trước đó.

Ví dụ 10: bằng: 3 3lim 8 3 2n n n

A. B. C. D. . . 1. 0.Hướng dẫn giải

Chọn B.

Cách 1: Ta có 3 3lim 8 3 2n n n 32 3

3 2lim 1 8 .nn n

Vì nên .332 3

3 2lim , lim 1 8 1 8 1 0nn n

3 3lim 8 3 2n n n

Cách 2: Sử dung MTCT như các ví dụ trên.

Ví dụ 11: bằng: 2lim 4 1n n n

A. B. C. D. 1. 3. . .Hướng dẫn giải

Chọn C.


4 14 1 1 .n n n nn n

Vì và nên theo quy tắc 2, 2lim n 2

4 1lim 1 1 0n n

2lim 4 1 .n n n

Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự như các ví dụ trên.Tổng quát:

Xét dãy số trong đó 1 11 1 0 1 1 0... ... ,i i k ksr

n i i k ku a n a n a n a b n b n b n b

, 0.i ka b

8

- Nếu và : Giới hạn hữu hạn.sri ka b

i kr s

+ Nếu hai căn cùng bậc: Nhân chia với biểu thức liên hợp.

+ Nếu hai căn không cùng bậc: Thêm bớt với rồi nhân với biểu thức liên hợp.iria n

- Nếu hoặc Đưa lũy thừa bậc cao nhất của ra ngoài dấu căn. Trong sri ka b :i k

r s n

trường hợp này sẽ có giới hạn vô cực.nuNhận xét: Trong chương trình lớp 12, các em sẽ được học về căn bậc ( nguyên dương) và s s

lũy thừa với số mũ hữu tỉ. Người ta định nghĩa rằng , trong đó là số thực dương, r

s rsa a a rlà số nguyên dương, là số nguyên dương, Các tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỉ s 2.s tương tự lũy thừa với số mũ nguyên dương.

Chẳng hạn: 1 21

3 23 3 32 , , ...n n n n n n

Chẳng hạn:

a) Với : nhân chia với biểu thức liên hợp của 2 2 22 3 2 3nu n n n n n n

là . Dãy số có giới hạn hữu hạn bằng .2 2 3n n n 2 2 3n n n 1

b) Với : đưa ra ngoài dấu căn.3 3 3 3 3 38 3 2 8 3 2nu n n n n n n 3n

Giới hạn của . nu

c) Với : đưa ra ngoài dấu căn. 2 24 1 4 1nu n n n n n n 2n

Giới hạn của bằng . nu

Ví dụ 12. bằng : 3 3 2lim 3 1n n n

A. . B. . C. . D. .1 1 Hướng dẫn giải

Chọn A.Ta tiến hành nhân chia với biểu thức liên hợp (bậc ba) của 3 3 23 1n n n

3 3 23 3 2

232 3 2 3 23

3 1lim 3 1 lim

3 1 3 1

n n nn n n

n n n n n n

.2

2

333 3

13lim 1

3 1 3 11 1 1

n

n n n n

STUDY TIPHằng đẳng thức thứ bảy: . 3 3 2 2a b a b a ab b

Hai biểu thức và cũng được gọi là hai biểu thức liên hợp (bậc ba) của nhau.a b 2 2a ab b

Ví dụ 13. bằng : 32 3lim 1 3 2n n n n

A. . B. . C. . D. .12

0


9

3 32 3 2 3 1lim 1 3 2 lim 1 3 22

n n n n n n n n n n Ví dụ 14. bằng : lim 5 2n n

A. . B. . C. . D. . 3 52

Hướng dẫn giảiChọn C.

Ta có 25 2 5 15

nn n n

Vì và nên theo quy tắc 2, lim5n 2lim 1 1 05

n lim 5 2n n

Ví dụ 15. bằng : 1lim 3.2 5.3 7n n n

A. . B. . C. . D. . 3 5Hướng dẫn giải

Chọn A.

1 2lim 3.2 5.3 7 3 5 6 73 3

nn n n

n

nn

Ví dụ 16. bằng :14.3 7lim

2.5 7

n n

n n

A. . B. . C. . D. . 1 7 35

75

Hướng dẫn giảiChọn B.

.1

34. 74.3 7 77lim lim 72.5 7 152. 1

7

n

n n

nn n

Cách 2: Sử dụng máy tính bỏ túi. Nhập vào màn hình như hình dưới đây. Bấm CALC. Máy hỏi X? Nhập 100, ấn =. Máy hiện kết quả bằng 7.

Ví dụ 17. bằng :1 24 6lim

5 8

n n

n n

A. . B. . C. . D. . 0 68

36 45


.1 2

4 64. 36.4 6 8 8lim lim 0

5 8 5 18

n n

n n

nn n

STUDY TIP

10

Khi sử dụng máy tính cầm tay, nếu nhập giá trị X quá lớn, máy sẽ báo lỗi do giá trị của , 1na a tăng rất nhanh khi X tăng, nên vượt quá khả năng tính toán của máy. Khi đó cần thử lại các giá trị khác của X. Như vậy các bài toán chứa ta không nên tính với quá lớn., 1na a nCách 2: Sử sụng máy tính cầm tay tương tự như ví dụ trên.Ta thấy kết quả tính toán với là một số dương rất nhỏ. Do đó chọn đáp án giới hạn 100X bằng . 0

Ví dụ 18. bằng :2 3lim2 1

n n

n

A. . B. . C. . D. . 32

0

Hướng dẫn giảiChọn C.

Chia cả tử và mẫu cho ta được 3n

2 12 3 32 1 2 1

3 3

n

n n

n nn

Mà và với mọi nên theo 2 2 1lim 1 1 0, lim 03 3 3

n n n

2 1 03 3

n n

n

quy tắc 3, .2 3lim2 1

n n

n

Dạng 2. Tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi.

Ví dụ 19. Cho dãy số được xác định bởi với mọi . Biết dãy số có nu 1 1

2 2 11,

3n

nn

uu u

u

1n nu

giới hạn hữu hạn, bằng:lim nu

A. . B. . C. . D. .1 2 4 23

Hướng dẫn giảiChọn B.

Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chứng minh được với mọi 0nu n

Đặt . Ta có hay lim 0nu L

1

2 2 1lim lim

3n

nn

uu

u

2 2 1

3L

LL

2 2 ( )2 0

1 ( )L n

L LL l

Vậy .lim 2nu

Lưu ý: Để giải phương trình ta có thể sử dụng chức năng SOLVE của MTCT 2 2 13

LL

L

(Chức năng SOLVE là chức năng tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình bằng phương pháp chia đôi). Ta làm như sau:

Nhập vào màn hình ; Bấm SHIFT CALC (tức SOLVE); Máy báo Solve for ; 2 2 13

XX

X

X

Nhập ; Máy báo kết quả như hình bên. 1

11

tức đây là nghiệm chính xác. Lại ấn phím . Máy báo Solve for ; Nhập ; 0L R X 0 Máy báo kết quả như bên.

tức đây là nghiệm chính xác. Tuy nhiên ta chỉ nhận nghiệm không âm. Vậy . 0L R 2L (Ta chỉ tìm ra hai nghiệm thì dừng lại vì dễ thấy phương trình hệ quả là phương trình bậc hai).Cách 2: Sử dụng MTCT ( quy trình lặp). Nhập vào màn hình như hình bên. Bấm . Máy CALCtính hỏi nhập 1 rồi ấn phím liên tiếp. Khi nào thấy giá trị của không đổi thì dừng lại. ?X YGiá trị không đổi đó của là giới hạn cần tìm của dãy số. Giới hạn đó bằng 2.Y

STUDY TIPSTrong ví dụ này ta đã áp dụng tính chất “nếu thì ”lim nu L 1lim nu L

Ví dụ 20. Cho dãy số được xác định bởi với mọi . Tìm giới hạn của nu 1 11 21, 2n n

n

u u uu

1n

. nu

A. . B. . C. . D. .lim 1nu lim 1nu lim 2nu lim 2nu Hướng dẫn giải

Chọn C.Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chứng minh được với mọi 0nu nĐề bài không cho biết dãy số có giới hạn hữu hạn hay không, tuy nhiên các đáp án đề bài nucho đều là các giới hạn hữu hạn. Do đó có thể khẳng định được dãy số có giới hạn hữu nuhạn. Đặt lim 0nu L

1

1 2lim lim2n n

n

u uu

Hay 21 2 2 2 22

L L L L LL L

Vậy lim 2nu

( loại trường hợp ). Vậy .2L lim 2nu

Cách 2: Sử dụng MTCT ( quy trình lặp). Nhập vào như màn hình sau.

12

Bấm CALC. Máy hỏi X? nhập rồi bấm phím = liên tiếp. Khi nào thấy giá trị của không 1 Yđổi thì dừng lại. Giá trị không đổi đó của là giới hạn cần tìm của dãy số.Y

Trong bốn đáp án đã cho, bằng phương pháp loại trừ, ta thấy chỉ có đáp án C là phù hợp với kết quả tính toán trên máy tính ( ).2 2,41423568

Ví dụ 21. Cho dãy số xác định bởi và với mọi . Khi nó bằng: nu 1 1u 1122n nu u 1n lim nu

A. . B. . C. . D. .0 12

12

12

Đáp án C.

Phân tích: Đề bài không cho biết dãy số có giới hạn hữu hạn hay không. Có đáp án là nuhữu hạn, có đáp án là vô cực. Do đó chưa thể khẳng định được dãy số có giới hạn hữu hạn hay vô cực.

Lời giải

Giả sử dãy có giới hạn hữu hạn là . L

Ta có: .11 1 1lim 2lim 22 2 2n nu u L L L

Đến đây có thể kết luận là được không? Câu trả lời là không?1lim2nu

Vì không khó để chứng minh được rằng với mọi . Do đó nếu dãy số có giới hạn thì 0nu n L. Từ đó suy ra dãy không có giới hạn, mà trong bốn đáp án trên chỉ có đáp án C là vô cực.0L

Vậy ta chọn đáp án C.

Ta xét hai cách giải sau:

Cách 1: Đặt . Ta có: 12n nv u 1 1

1 1 1 12 2 22 2 2 2n n n n nv u u u v

Vậy là cấp số nhân có và . Vậy . nv 132

v 2q 1 23 .2 3.22

n nnv

Do đó . Suy ra . 2lim lim 3.2nnv lim nu

Cách 2: Sử dụng quy trình lặp (MTCT) tương tự ví dụ trên.

Phân tích: Câu hỏi đặt ra là tại sao ta lại đặt để thu được kết quả dãy là cấp số 12n nv u nv

nhân? Ta có kết quả tổng quát sau.

Cho dãy số xác định bởi , với , trong đó là các hằng số và nu 1u a 1n nu ru s 1n ,r s

. Khi đó dãy số với là một cấp số nhân có công bội .1, 0r s nv1n n

sv ur

r

Thật vậy, ta có 1 1 1 1 1 1n n n n n ns s rs sv u ru s ru r u rv

r r r r

13

( Nếu thì là một cấp số cộng, thì là một cấp số nhân).1r nu 0s nu

Như vậy, dãy số xác định bởi , với , trong đó là các hằng số nu 1u a 1n nu ru s 1n ,r s

và sẽ có giới hạn vô cực nếu , có giới hạn hữu hạn nếu .1, 0r s 1r 1r

STUDY TIP

1n nu ru s

Đặt 1n n

sv ur

……………….

, 1u a 1n nu ru s

+ : có giới hạn .1r nu

+ : có giới hạn .1r nu

+ : có giới hạn hữu hạn bằng .1r nu1

sr

Ví dụ 22. Cho dãy số xác định , , với mọi . Tìm giới hạn của nu 1 0u 2 1u 1 12 2n n nu u u 2n

dãy số . nuA. . B. . C. . D. .0 1

Đáp án D.

Phân tích: Đề bài không cho biết dãy số có giới hạn hữu hạn hay không. Có đáp án là nuhữu hạn, có đáp án là vô cực. Do đó chưa thể khẳng định được dãy số có giới hạn hữu hạn hay vô cực.

Lời giải

Giả sử dãy có giới hạn hữu hạn là . L

Ta có: (Vô lý)1 1lim 2lim lim 2 2 2 0 2n n nu u u L L L

Vậy có thể dự đoán dãy có giới hạn vô cực. Tuy nhiên có hai đáp án vô cực ( và ), vậy chưa thể đoán là đáp án nào. Ta xem hai cách giải sau.

Cách 1: Ta có , , , . Vậy ta có thể dự đoán với mọi . 1 0u 2 1u 3 4u 4 9u 21nu n 1n

Khi đó . 22 2 21 12 2 2 1 2 2 1 1n n nu u u n n n n

Vậy với mọi . Do đó . 21nu n 1n 2lim lim 1nu n

Cách 2: Sử dụng MTCT ( quy trình lặp). Nhập vào như màn hình sau.

14

Bấm CALC Máy hỏi B? nhập 1 rồi bấm phím =, máy hỏi A? nhập 0 rồi ấn phím = liên tiếp. Ta thấy giá trị C ngày một tăng lên. Vậy chọn đáp án của dãy số là .

Dạng 3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.

Ví dụ 23. Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn (chu kỳ ), được biểu diễn dưới dạng 2,151515...a 15 aphân số tối giản, trong đó là các số nguyên dương. Tìm tổng .,m n m nA. . B. . C. . D. .104m n 312m n 38m n 114m n

Đáp án A.

Lời giải

Cách 1: Ta có 2 3

15 15 152,151515... 2 ...100 100 100

a

Vì là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu , công 2 3

15 15 15 ...100 100 100

115

100u

bội nên .1100

q

15711002 1 331

100

a

Vậy nên .71, 33m n 104m n

Cách 2: Đặt .50,151515... 100 1533

b b b b

Vậy . 5 712 233 33

a b

Do đó nên .71, 33m n 104m n

Cách 3: Sử dụng MTCT. Nhập vào máy số (Nhiều bộ số 15, cho tràn màn hình) 2,1515151515rồi bấm phím =. Máy hiển thị kết quả như hình sau.

Có nghĩa là . 712, 1533


15

Cách 4: Sử dụng MTCT. Bấm 2 . ALPHA 1 5 = . Máy hiển thị kết quả như hình sau.

Có nghĩa là . 712, 1533


Ví dụ 24. Số thập phân vô hạn tuần hoàn được biểu diễn dưới dạng phân số tối giản , trong 0,32111... ab

đó là các số nguyên dương. Tính .,a b a bA. . B. . C. . D. .611a b 611a b 27901a b 27901a b

Đáp án B.

Lời giải

Cách 1: Ta có:

.3

3 4 5

132 1 1 1 32 289100,32111... ... 1100 10 10 10 100 9001

10

Vậy . Do đó .289, 900a b 289 900 611a b

Cách 2: Đặt Đặt .0,32111... 100 32,111...x x 0,111... 100 32y x y

Ta có: .10,111... 10 19

y y y y

Vậy .1 289 289100 329 9 900

x x

Vậy . Do đó .289, 900a b 289 900 611a b

Cách 3: Sử dụng MTCT. Nhập vào máy số ( Nhập nhiều số , cho tràn màn 0,3211111111 1hình), rồi bấm phím = . Màn hình hiển thị kết quả như sau.

Vậy . Do đó .289, 900a b 289 900 611a b

Cách 4: Sử dụng MTCT. Bấm 0 . 3 2 ALPHA 1 = . Máy hiển thị kết quả như hình sau.

16

Vậy . Do đó .289, 900a b 289 900 611a b

Tổng quát

Xét số thập phân vô hạn tuần hoàn .1 2 1 2 1 1 1 1... , ... ... ... ...m n k ka x x x y y y z z z z z z

Khi đó

1 2 1 21 2

... ......10...0 99...9 0...0

n km

n chu so k chu so n chu so

y y y z z za x x x

Chẳng hạn, .15 32 12,151515... 2 ;0,32111..99 100 990

Dạng 4. Tìm giới hạn của dãy số mà tổng là số hạng đầu tiên của một dãy số khác.n

Ví dụ 25. Tổng bằng:1 1 11 ...2 4 8

S

A. . B. . C. . D. .1 2 23

32

Đáp án B.

Lời giải

Cách 1: là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có và . S 1 1u 12

q

Do đó .1 2112

S

Cách 2: Sử dụng MTCT. Sử dụng chức năng tính tổng. Nhập vào màn hình như hình sau.

Bấm phím = , máy hiển thị kết quả bằng .2

17

Lưu ý: Ở bài này, phải nhập số hạng tổng quát bằng , vì . Nếu nhập số hạng 1

12X 1 1 1

112

u

tổng quát bằng thì kết quả sẽ bằng 1 và là kết quả sai.12X

Mặt khác, nếu cho X chạy từ 1 đến 310 thì máy sẽ báo lỗi do khối lượng tính toán quá lớn, vượt quá khả năng của máy.

Trong trường hợp đó, ta quay lại điều chỉnh biên độ của máy thì sẽ thông báo kết quả như trên.

Ví dụ 26. Cho dãy số nu với 111 1 1 ...2 4 8 2

n

n nu

. Khi đó lim nu bằng:

A. 13

. B. 1. C. 23

. D. 34

.

Đáp án A.

Lời giải

Cách 1: nu là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có 112

u và 12

q .

Do đó

111 1 12. 1

12 3 212

n

n

nu

. Suy ra 1 1 1lim lim 13 2 3

n

nu

.

Cách 2: 1 11 11 1 1 1 1 1lim lim ... ... ...2 4 8 2 2 4 8 2

n n

n n nu

Vậy lim nu bằng tổng của một cấp số nhân lui vô hạn với 112

u và 12

q .

Do đó

112lim

1 312

nu

.

Cách 3: Sử dụng MTCT. Nhập vào như màn hình sau.

18

Ấn phím = , máy hiển thị kết quả bằng 13

Do đó chọn đáp án A.

Nhận xét: Rõ ràng, nếu thuộc công thức thì bài toán này giải thông thường sẽ nhanh hơn MTCT!

STUDY TIP

Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có số hạng đầu 1u và công bội q là:

111

n

nqS uq

Ví dụ 27. Tính

1 1 1lim ...1.3 3.5 2 1 2 1n n

bằng:

A. 0 . B. 1. C. 12

. D. 13

.

Đáp án C.

Lời giải

Cách 1: Ta có:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1... 1 ... 1

1.3 3.5 2 1 2 1 2 3 3 5 2 1 2 1 2 2 1n n n n n

Vậy

1 1 1 1 1 1lim ... lim 11.3 3.5 2 1 2 1 2 2 1 2n n n

.

Cách 2: Sử dụng MTCT.

Nhập vào màn hình biểu thức

100

1

12 1 2 1X X X

, bấm dấu = . Máy hiển thị kết quả như

màn hình sau.

Vậy chọn đáp án C.

Tổng quát, ta có:

1 1 1 1lim ...

2 .1k k d k d k d d kk n d k nd

.

19

Chẳng hạn trong ví dụ trên thì 1k và 2d . Do đó giới hạn là 1 11.2 2

.

Kinh nghiệm cho thấy nhiều bạn quên mất d khi tính toán dãy có giới hạn như trên.

Ví dụ 28. Cho dãy số nu với 2

1 2 ...1n

nun

. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A. lim 0nu . B. 1lim2nu . C. lim 1nu . D. Dãy số nu không

có giới hạn khi n .

Đáp án B.

Lời giải

Cách 1: Ta có: 11 2 ...

2n n

n

. Suy ra 2 2

11 2 ...1 2 1

n nnn n

.

Do đó 2

1 1lim lim22 1n

n nu

n

.

Cách 2: Sử dụng MTCT. Gán 510 cho biến A . Nhập vào màn hình biểu thức

12 1

A

XX

A

, bấm

dấu = . Máy hiển thị kết quả như sau.

Do đó chọn đáp án B.

Lưu ý: Tổng 1 2 ... n trong ví dụ trên là một tổng dạng quen thuộc. Đó chính là tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng có số hạng đầu 1 1u và công sai 1d . Do đó nếu

không thuộc công thức 11 2 ...

2n n

n

, ta có thể sử dụng công thức tính tổng của một

cấp số cộng để tính tổng đó.

Để làm tốt các dạng bài tập trên, cần nhớ một số tổng quen thuộc sau:

a) 11 2 ...

2n n

n

b) 2 2 2 1 2 11 2 ...

6n n n

n

c) 23 3 3 1

1 2 ...2

n nn

.

STUDY TIP

Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng: 1

2n

n

n u uS

;

12 12n

n u n dS

.

20

Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân: 11.1

n

nqS uq

Ví dụ 1: 1 5 9 ... 4 3lim2 7 12 ... 5 3

nn

bằng:

A. 45

. B. 34

. C. 23

. D. 56

.


Chọn A

Cách 1: Tử thức là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng nu với 1n , 4 3nu n và công bội 4d .

Do đó 1 4 3 4 21 5 9 ... 4 3

2 2n n n n

n

.

Tương tự ta có: 2 5 3 5 12 7 12 ... 5n 3

2 2n n n n

.

Vậy 4 21 5 9 ... 4 3 4lim lim

2 7 12 ... 5 3 5 1 5n nn

n n n

.

Cách 2: Sử dụng MTCT. Nhập vào màn hình

1000

11000

1

4 3

5 3

X

X

X

X

, bấm phím,

ta thấy kết quả

bằng 3998 4 .4999 5

Vậy chọn đáp án A.

Studytip:Nếu tử thức là tổng của n+i số hạng đầu tiên của một cấp số cộng có công sai d, mẫu thức

là tổng của n+k số hạng đầu tiên của một cấp số cộng có công sai d’ thì phân thức có giới hạn là 'd

d ,i k .

Ví dụ 2: 2 3

2

3 3 3 ... 3lim1 2 2 ... 2

n

n

bằng:

A. . B. 3 . C. 32

. D. 23

.


Chọn A

Cách 1: Ta có tử thức là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân nu với 1 3u và 3q .

Do đó 2 3 3 1 33 3 3 ... 3 3. 3 13 1 2

nn n

.

Mẫu thức là tổng của n+1 số hạng đầu tiên của cấp số nhân nv với 1nv và 2q . Do đó

1

2 12 11 2 2 ... 2 2. 2. 2 1 .2 1

nn n

=

21

Vậy 2 3

2 1

3 13 3 3 ... 3 3 3 1 3 2 3lim lim . lim .1 2 2 ... 2 4 2 1 4 12

3

n n

n n

nn n

Cách 2: Nhập vào màn hình

20

11000

1

1

3

2

X

X

X

X

, bấm phím,

ta thấy kết quả hiển thị trên màn hình là 2493,943736.Do đó chọn đáp án A.Bổ sung: (Định lí kẹp)

Xét ba dãy số nu , nv , nw . Giả sử với mọi n ta có .n n nu v w Khi đó nếu có

lim limn nu w L thì lim .nv L

Studytip:Nếu tử thức là tổng của n+i số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có công bội 1q , mẫu thức là tổng của n k số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có công bội ' 1q thì:

Phân thức có giới hạn là nếu 'q q ;

Phân thức có giới hạn là 0 nếu 'q q .

Ví dụ 3: 2 2 2

1 2lim ...1 2

nn n n n

bằng

A. 0. B. 12

. C. 13

. D. .


Chọn B

Cách 1: Ta có 2 2 2 2 2

1 2 ... 1 2 1 2 ...... .1 2 1

n n nn n n n n n n

Mà

2 2 2 2

1 11 2 ... 1 1 2 ... 12 2lim lim ; lim lim .

2 1 1 2

n n n nn n

n n n n n n

Vậy 2 2 2

1 2 1lim ... .1 2 2

nn n n n

Cách 2: Sử dụng MTCT. Gán 310 cho A. Nhập vào màn hình 22

A

X

XA X , bấm phím

Kết quả hiển thị 0.5001664168. Vậy chọn đáp án B.

Ta thấy rằng trong trường hợp không thuộc công thức, sử dụng máy tính cầm tay là một giải pháp hiệu quả. Tuy nhiên nếu rèn luyện nhiều, cọ xát nhiều dạng bài tập thì có thể sử dụng MTCT sẽ cho kết quả chậm hơn là tính toán thông thường.C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNGDẠNG 1: BÀI TẬP LÝ THUYẾT

Câu 1: Chọn khẳng định đúng.A. lim 0nu nếu nu có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

B. lim 0nu nếu nu có thể lớn hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

=

=

22

C. lim 0nu nếu nu có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.D. lim 0nu nếu nu có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Câu 2: Chọn khẳng định đúng.A. lim nu nếu nu có thể bé hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.B. lim nu nếu nu có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

C. lim nu nếu nu có thể bé hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

D. lim nu nếu nu có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Câu 3: Chọn khẳng định đúng.A. lim nu a nếu nu a có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.B. lim nu a nếu nu a có thể lớn hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

C. lim nu a nếu nu a có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

D. lim nu a nếu nu a có thể lớn hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Câu 4: Chọn khẳng định đúng.A. lim 0nq nếu 1q . B. lim 0nq nếu 1q .C. lim 0nq nếu 1q . D. lim 0nq nếu 1q .

Câu 5: Chọn khẳng định đúng.A. lim nq nếu 1q . C. lim nq nếu 1q .B. lim nq nếu 1q . D. lim nq nếu 1q

Câu 6: Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?A. Nếu 1q thì limq 0n .

B. Nếu lim nu a , lim nv b thì lim( )n nu v ab .

C. Với k là số nguyên dương thì 1lim 0kn .

D. Nếu lim 0nu a , lim nv thì lim( )n nu v .

Câu 7: Biết lim 3nu . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A. 3 1lim 31

n

n

uu

. C. 3 1lim 2

1n

n

uu

. B. 3 1lim 1

1n

n

uu

. D. 3 1lim 1

1n

n

uu

.

Câu 8: Biết lim nu . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A. 2

1 1lim3 5 3

n

n

uu

. C. 2

1lim 03 5

n

n

uu

. B. 2

1 1lim3 5 5

n

n

uu

. D. 2

1lim3 5

n

n

uu

.

DẠNG 2: BÀI TẬP TÍNH GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC

Câu 9: Trong các dãy số sau đây, dãy số nào có giới hạn?

A. (sin )n . B. (cos )n . C. (( 1) )n . D. 1( )2

.

Câu 10: Trong các dãy số sau đây, dãy số nào có giới hạn khác 0?A. ((0,98) )n . C. (( 0,99) )n . B. ((0,99) )n . D. ((1,02) )n .

Câu 11: Biết dãy số ( )nu thỏa mãn 3

11nun

. Tính lim nu .

23

A. lim 1nu . B. lim 0nu .C. lim 1nu . D. Không đủ cơ sở để kết luận về giới hạn của dãy số ( )nu .

Câu 12: Giới hạn nào dưới đây bằng ?A. 2 3lim(3 )n n . C. 2lim(3 )n n . B. 2 3lim( 4 )n n . D. 3 4lim(3 )n n .

Câu 13:2

2

(2 1) ( 1)lim( 1)(2 1)

n nn n

bằng bao nhiêu?

A. 1. B. 2. C. 0. D. .

Câu 14: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là ?

A. 2 3

2

3 2lim n nn n

. C.

2

3

2 3lim3

n nn n

. B. 3

3

2 1lim2

n nn n

. D. 2 1lim1 2

n nn

.

Câu 15: Trong các giới hạn hữu hạn sau, giới hạn nào có giá trị khác với các giới hạn còn lại

A. 2

3

sin 3lim(1 )1

n nn

. C. 2 2

2

sin 3lim5

n nn

. B. 2 cos5lim

5

n

n

n . D. 1

3 coslim3

n

n

n

.

Câu 16: Để tính 2 2lim( 1 )n n n , bạn Nam đã tiến hành các bước như sau:

Bước 1: 2 2 1 1lim( 1) lim(n 1 1 )n n n nn n

.

Bước 2: 1 1 1 1lim(n 1 1 ) lim ( 1 1 )n nn n n n

.

Bước 3: Ta có lim n ; 1 1lim( 1 1 ) 0n n

.

Bước 4: Vậy 2 2lim( 1 ) 0n n n .

Hỏi bạn Nam đã làm sai từ bước nào?

A. Bước 1. B. Bước 2. C. Bước 3. D. Bước 4.

Câu 17: lim( 3 1 2 1)n n bằng?A. 1. B. 0. C. . D. .

Câu 18:2 1 1lim

3 2n n

n

bằng?

A. 0. B. 13

. C. . D. .

Câu 19: 3

3lim(1 2 )1

nnn n

bằng?

A. 0. B. -2. C. . D. .

Câu 20: Trong các giới hạn sau, giới hạn nào là hữu hạn?

A. lim( 1 )n n n . C. 2lim( 2 1)n n n .

B. 1lim2 1n n

. D. 2lim( 1 )n n n .

Câu 21: Trong các giới hạn sau, giới hạn nào là không hữu hạn?

24

A. 3

3 3lim

1n

n n . C.

2

3 3

1lim n nn n n

.

B. 3 3lim( 1 )n n . D. 3 2 3lim( )n n n .

Câu 22: Biết 2 2

2

4 4 1 6 3lim23 1

n n n mnn n

, trong đó m

n là phân số tối giản, m và n là các số

nguyên dương. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:A. . 10m n . C. . 15m n . B. . 14m n . D. . 21m n .

Câu 23: Tìm 1

1 2.3 6lim2 (3 5)

n n

n n

:

A. . B. 12

. C. 1. D. 13

.

DẠNG 2: TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Câu 24: Cấp số nhân lùi vô hạn 11 1 1 11, , , ,..., ( ) ,...2 4 8 2

n có tổng là một phân số tối giản mn

. Tính

2m n .A. 2 8m n . C. 2 7m n . B. 2 4m n . D. 2 5m n .

Câu 25: Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,27323232... được biểu diễn bởi phân số tối giản mn

( m , n là

các số nguyên dương). Hỏi m gần với số nào nhất trong các số dưới đây?A. 542. B. 543. C. 544. D. 545.

Câu 26: Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là 2, tổng của 3 số hạn đầu tiên của nó là 94

. Số hạn đầu

của cấp số nhân đó là?

A. 4. B. 5. C. 3. D. 94

.

Câu 27: Phương trình 2 3 4 5 52 1 ...4

x x x x x , trong đó 1x , có tập nghiệm là:

A. 7 9724

S

. C. 3 4116

S

. B. 7 9724

S

. D. 3 4116

S

.

Câu 28: Cho tam giác đều 1 1 1A B C cạnh a . Người ta dựng tam giác đều 2 2 2A B C có cạnh bằng đường cao

của tam giác 1 1 1A B C ; dựng tam giác đều 3 3 3A B C có cạnh bằng đường cao của tam giác 2 2 2A B C

và cứ tiếp tục như vậy. Tính tổng diện tích S của tất cả các tam giác đều 1 1 1A B C , 2 2 2A B C , 3 3 3A B C,…

A. 23 34

a . B. 23 32

a . C. 2 3a . D. 22 3a .

DẠNG 4: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ CHO BỞI HỆ THỨC TRUY HỒI

Câu 29: Cho số thực a và dãy số ( )nu xác định bởi: 1u a và 1 12n

nuu với mọi 1n . Tìm giới hạn

của dãy số ( )nu .

25

A. a . B. 2a . C. 1. D. 2.

Câu 30: Cho dãy số ( )nu xác định bởi 1 13,2 1n nu u u với mọi 1n . Gọi nS là tổng n số hạng đàu

tiên của dãy số ( )nu . Tìm lim nS .

A. lim nS . C. lim 1nS . B. lim nS . D. lim 1nS .

Câu 31: Cho dãy số ( )nu xác định bởi 11 2 21, 2,

2n n

nu uu u u

với mọi 1n . Tìm lim nu .

A. . B. 32

. C. 53

. D. 43

.

Câu 32: Cho dãy số ( )nu xác định bởi 21 1

1 ,4 2

nn n

uu u u với mọi 1n . Tìm lim nu .

A. 1lim4nu . C. 1lim

2nu . B. lim 0nu . D. lim nu .

Câu 33: Cho dãy số ( )nu xác định bởi 1 11, 2 1n nu u u n với mọi 1n . Khi đó 1lim n

n

uu

bằng.

A. . B. 0. C. 1. D. 2.DẠNG 5: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ CÓ CHỨA THAM SỐ

Câu 34: Cho dãy số ( )nu được xác định bởi 11 2 2, ,

2n n

nu uu a u b u

với mọi 1n , trong đó a và

b là các số thực cho trước, a b . Tìm giới hạn của ( )nu .

A. lim nu a . C. 2lim3n

a bu . B. lim nu b . D. 2lim

3na bu

.

Câu 35: Cho dãy số ( )nu với 35 2nn mun

, trong đó m là tham số. Để dãy ( )nu có giới hạn hữu hạn thì:

A. m là số thực bất kỳ.B. m nhận giá trị duy nhất bằng 3.C. m nhận giá trị duy nhất bằng 5.D. Không tồn tại số m .

Câu 36: Cho dãy số ( )nu với 2

2

4 25n

n nuan

, trong đó a là tham số. Để ( )nu có giới hạn bằng 2 thì giá

trị của tham số a là?A. -4. B. 2. C. 4. D. 3.

Câu 37: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực a để dãy số ( )nu với 2 22 2nu n n a n n có giới hạn hữu hạn.A. a . C. (1; )a . B. ( ;1)a . D. 1a .

Câu 38: Tìm hệ thức liên hệ giữa các số thực dương a và b để: 2 2lim( 5 3) 2n an n bn .A. 2a b . B. 2a b . C. 4a b . D. 4a b .

Câu 39: Tìm số thực a để 2 1 4 2lim 2

5 2an n

n

.

A. 10a . B. 100a . C. 14a . D. 144a .

26

Câu 40: Tìm số thực a để 3 3lim(2 8 5) 6n a n .A. 2a . B. 4a . C. 6a . D. 8a .

Câu 41: Tìm các số thực a và b sao cho 3 3lim( 1 a ) 0n n b .

A. 1

0ab

. B. 10

ab

. C. 11

ab

. D. 01

ab

.

DẠNG 6: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ MÀ SỐ HẠNG TỔNG QUÁT LÀ TỔNG CỦA N SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA MỘT DÃY SỐ KHÁC

Câu 42: 1 2 3 ...lim2 4 6 ... 2

nn

bằng:

A. 12

. B. 23

. C. 1. D. .

Câu 43:2

2

1 2 2 ... 2lim1 5 5 ... 5

n

n

bằng:

A. 0. B. 1. C. 25

. D. 52

.

Câu 44: Tìm 2 2 2

1 1 1lim (1 )(1 )...(1 )2 3 n

ta được:

A. 1. B. 12

. C. 0. D. 2.

Câu 45: 2 2 2

!lim(1 1 ).(1 2 )...(1 )

nn

bằng:

A. 0. B. . C. 1. D. 12

.

Câu 46: Cho dãy số ( )nu . Biết 2

1

3 92

n

kk

n nu

với mọi 1n . Tìm

1

1 n

kkn

unu

.

A. 1. B. 12

. C. 0. D. .

Câu 47:2

21

1 3 3 ... 3lim5

kn

kk

bằng:

A. 0. B. 17100

. C. 17200

. D. 18

.

Hướng dẫn giải chi tiết

Trong đáp án cho các bài tập dưới đây, có nhiều bài tôi chỉ nêu việc áp dụng các kết quả đã trình bày ở phần lí thuyết và ví dụ. Lời giải đầy đủ hoặc việc sử dụng MTCT xin dành lại cho độc giả.

DẠNG 1. Bài tập lí thuyết.

Câu 1: Đáp án A.Xem lại định nghĩa dãy số có giới hạn 0 .

Câu 2: Đáp án B.Xem lại định nghĩa dãy có giới hạn .

Câu 3: Đáp án C.Xem lại định nghĩa dãy có giới hạn hữu hạn.

27

Câu 4: Đáp án D.Xem lại định lí 4.2.

Câu 5: Đáp án A.Xem lại kết quả về dãy số có giới hạn .

Câu 6: Đáp án A.Nếu 1q thì lim lim1 1 0nq .

Câu 7: Đáp án C.

Ta có : 3 1 3lim 1 3.3 1 8lim 21 lim 1 3 1 4

n n

n n

u uu u

.


Ta có : 2

2

2

1 11

53 5 3n n n

n

n

u u uu

u

. Vì lim nu nên 1lim 0nu

, 2

1lim 0nu

.

Vậy 2

1 0 0 0lim 03 5 3 0 3

n

n

uu

.

DẠNG 2. Bài tập tính giới hạn dãy số cho bởi công thức.

Câu 9: Đáp án D.

Ta có : 1 1lims lim2 2n .

Bổ sung :a) Ta chứng minh dãy số sin n không có giới hạn. Thật vậy, vì sin 1n nên nếu dãy số

sin n có giới hạn thì giới hạn đó hữu hạn.

Giả sử limsin n L . Suy ra limsin 2n L .

Do đó : 0 lim sin 2 sinn n 2sin1.lim os 1c n

lim os 1 0c n lim cos 0n lim cos 2 0n

0 lim cos 2 cosn n 2sin1.sin 1n

sin 1 0n . Vậy ta có : 2 21 lim sin 1 os 1 0 0 0n c n ( vô lý). Suy ra đpcm.b) Chứng minh tương tự, ta có dãy số cos n không có giới hạn.

c) Ta chứng minh dãy số 1 n không có giới hạn hữu hạn.

Thật vậy, trên trục số, các số hạng của dãy số đó được biểu diễn bởi hai điểm 1 và 1. Khi n tăng lên, các điểm

Câu 10: Đáp án DVì 1,02 1 nên lim 1,02 n . ( Các dãy số còn lại đều có 1q nên đều có giới hạn bằng 0).

Câu 11: Đáp án A.

Vì 3

1lim 0n

nên lim 1 0nu . Suy ra : lim 1nu .

Câu 12: Đáp án C.Vì 23n n có 2 3 0a nên 2lim 3n n .( Số hạng tổng quát của các dãy còn lại có hệ số của lũy thừa bậc cao nhất là số âm nên giới hạn của các dãy đó đều bằng .)

Câu 13: Đáp án B.

28

Bậc của tử và mẫu thức đều bằng 3 nên dãy có giới hạn hữu hạn. Hệ số của 3n trên tử bằng 22 .1 4 , hệ số của 3n dưới mẫu bằng 1.2 2 nên giới hạn là 4 2

2 .


Phân thức 2 3

2

3 2n nn n

có bậc của tử thức cao hơn bậc của mẫu thức, đồng thời hệ số của lũy

thừa bậc cao nhất của tử thức và hệ số của lũy thừa bậc cao nhất của mẫu thức đều dương nên suy ra giới hạn của dãy số tương ứng bằng .

( Phân thức 3

3

2 12

n nn n

có bậc tử bằng bậc mẫu nên giới hạn dãy số tương ứng bằng 12 . Phân

thức 2

3

2 33

n nn n

có bậc của tử thấp hơn bậc của mẫu nên giới hạn dãy số tương ứng bằng 0 . Phân

thức 2 11 2

n nn

có bậc tử lớn hơn bậc mẫu nhưng hệ số của lũy thừa bậc cao nhất trên tử và hệ

số của lũy thừa bậc cao nhất dưới mẫu trái dấu nhau nên giới hạn dãy số tương ứng bằng .)Câu 15: Đáp án D.

+ Nhận xét : 2 2

3 3

sin 31 1

n n nn n

mà 2

3lim 01

nn

nên 2

3

sin 3lim 01

n nn

.

Do đó : 2

3

sin 3lim 1 11

n nn

.

+ os5 12 2n n

c n mà 1lim 0

2n nên os5lim 02n

c n .

Do đó : 2 os5 os5lim lim 1 12 2

n

n n

c n c n

.

+ 2

2 2

sin 3 15 5n

n n

mà 2

1lim 05n

nên 2

2

sin 3lim 05n

n

.

Do đó : 2 2 2 2

2 2 2

sin 3 sin 3lim lim 15 5 5

n n n nn n n

Vậy ba giới hạn đầu đều có kết quả bằng 1 nên đáp án cần chọn là đáp án D.

( 1 1

cos 13 3n n

n mà 1

1lim 03n nên 1

coslim 03n

n .

Do đó : 1 1 1

3 cos 3 cos 1lim lim3 3 3 3

n n

n n n

n n

.)


Vì lim n , 2

1 1lim 1 1 0n n

nên không thể áp dụng quy tắc 2 . Do đó Nam đã

sai ở bước 4 . ( Quy tắc 2 áp dụng khi lim nu và lim 0nv L .)Câu 17: Đáp án D.

Vì hai căn thức 3 1n và 2 1n đều chứa nhị thức dưới dấu căn mà hệ số của n lại khác nhau nên giới hạn cần tìm bằng ( do 3 2 ).

Thật vậy, ta có : 1 1lim 3 1 2 1 lim 3 2n n nn n

.

Vì lim n và 1 1lim 3 2 3 2 0n n

nên lim 3 1 2 1n n .

29

Hoặc độc giả có thể sử dụng MTVT để kiểm tra kết quả trên.Câu 18: Đáp án B.

Ta thấy tử thức có bậc bằng 1, mẫu thức có bậc cũng bằng 1. Mà hệ số của n trên tử thức bằng

1, hệ số của n dưới mẫu thức bằng 3 nên giới hạn cần tìm bằng 13

. Thật vậy ta có :

2 2 21 1 111 1 1lim lim 23 2 33

n n n n nn

n

hoặc độc giả có thể sử dụng MTCT để kiểm

tra kết quả trên.Câu 19: Đáp án B.

Sử dụng MTCT. Nhập vào màn hình như sau : Qui trình bấm máy Kết quả thu được(1p2Q))saQ)+3RQ)^3$+Q)+1r10^5=

Do đó đáp án đúng là đáp án B.

Hoặc ta làm như sau :

3 2

3 3

3 1 3lim 1 2 lim 21 1

n n nnn n n n n

2 .1 2 .

Câu 20: Đáp án D.Nếu sử dụng MTCT, ta sẽ phải tính toán nhiều giới hạn. Tuy nhiên, nếu có kinh nghiệm, ta sẽ thấy ngay đáp án D. Thật vậy, theo kết quả đã biết ta có 2lim 1n n n là hữu hạn. Hoặc

ta có thể sử dụng MTCT để kiểm tra lại kết quả.

Lời giải chính xác : 2lim 1n n n 2

1lim1

nn n n

2

11lim

1 11 1

n

n n

12

.

Việc tìm các giới hạn trong A, B, C xin dành lại cho độc giả rèn luyện thêm.Câu 21: Đáp án C.

Lập luận như các bài toán trên, ta thấy ba giới hạn trong A, B, D đều hữu hạn. Vậy đáp án là C.Lưu ý : 2 3 3 23 3lim limn n n n n n .

Ta có thể sử dụng MTCT để kiểm tra lại kết quả.Lời giải chính xác :

Ta có : 2 2

333

2

1 111lim lim11 1

n n n nn n n

n

. Mà : 2

1 1lim 1 1n n

; 32

1lim 1 1 0n

và

32

11 1 0 nn

nên 2

33

1lim n nn n n

.

Việc tìm các giới hạn trong A, B, D xin dành lại cho độc giả rèn luyện thêm.Câu 22: Đáp án B.

30

Với các bài toán dạng này, việc sử dụng MTCT là khá mất thời gian. Ta thấy tử thức và mẫu thức đều có bậc bằng 1. Mặt khác cả tử thức và mẫu thức đều có giới hạn vô cực. Do đó ta chia

tử và mẫu cho n để được : 2 2

2

4 4 1lim3 1

n n nn n

2

2

4 11 4lim

13 1

n n

n

13 1

.

Ta có : 3 11 6 3 7

2 2 23 1

. Vậy 7, 2m n nên . 14m n .


Ta có : 1

1 2.3 6 1 2.3 63.6 5.22 3 5

n n n n

n nn n

. Từ đó dễ thấy 1 2.3 6 1lim

3.6 5.2 3

n n

n n

.

Thật vậy,

1 12. 11 2.3 6 6 2lim lim3.6 5.2 13 5.

3

n n

n n

nn n

13

.

DẠNG 3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.


Cấp số nhân lùi vô hạn đã cho có : 1 1u và 12

q . Do đó tổng của cấp số nhân đó là :

1 21 312

S

. Suy ra : 2, 3m n . Vậy 2 2 2.3 8m n .

Câu 25: Đáp án A

Ta có 27 32 5410,27323232...100 9900 1980

.

Hoặc sử dụng MTCT theo hai cách đã trình bày ở phần ví dụ ta được kết quả như sau : Qui trình bấm máy Kết quả

0.27323232323232=

0.27Qs32=

Vậy 541m , do đó chọn đáp án A.Câu 26: Đáp án C.

Ta có : 1 21

uq

1 2 1 1u q mà : 1 2 394

u u u 3

11 9. 21 4

quq

.

Thay 1 vào 2 ta được : 31 92 1 .

1 4qqq

3 91

8q 3 1

8q

12

q .

Vậy 112 1 32

u

.


31

Ta có : 2 3 52 1 ...4

x x x 2 3 53 1 ...4

x x x x . Vì 1x nên 2 31 ...x x x

là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn có 1 1u và q x . Do đó ta có :

2 3 53 1 ...4

x x x x 1 53

1 4x

x

212 7 1 0x x

7 9724

x (t/m 1x ).


Đường cao của tam giác đều cạnh a là 32

a . Diện tích của tam giác đều cạnh a là 2 34

a .

Tam giác 1 1 1A B C có cạnh bằng a tam giác 2 2 2A B C có cạnh bằng 32

a tam giác 3 3 3A B C có

cạnh bằng 2

32

a

… tam giác n n nA B C có cạnh bằng 1

32

n

a

.

Và 1 1 1

234A B CS a ,

2 2 2

23 34 4A B CS a ,

3 3 3

223 3

4 4A B CS a

, …, 1

23 34 4n n n

n

A B CS a

.

Như vậy nS là một CSN lùi vô hạn với 34

q . Vậy 2

21 2

34... 331

4

aS S a

.

DẠNG 4. Tìm giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi.

Câu 29: Đáp án D.Ta thầy các đáp án chỉ là các giới hạn hữu hạn nên chứng tỏ dãy đã cho có giới hạn hữu hạn.

Gọi giới hạn đó là L . Ta có : 12LL 2L . Hoặc theo kết quả đã trình bày trong phần ví

dụ, giới hạn của dãy đã cho bằng 1 2112

1 , 12

r s

.


Cách 1 : Ta có 12 1n nu u 11 12 2n nu u . Đặt 1n nv u .

Khi đó : 1 11 1 1 11 1 12 2 2 2n n n n nv u u u v . Vậy nv là một cấp số nhân có công

bội 12

q . Gọi nT là tổng n số hạng đầu tiên của nv .

Ta có : 11.1

n

nqT vq

1

112. 112

n

v

112 . 12

n

v

. Suy ra : n nS T n 112 . 12

n

v n

.

Vậy l imSn .

Cách 2: Sử dụng MTCT. Nhập vào màn hình : 1 1: :2 2

A A X Y X X Y .

Bấm r, máy hỏi A? nhập 0 , máy hỏi X? nhập 3 , máy hỏi Y? Nhập 0 , bấm =

liên tiếp ta thấy giá trị của A ngày một tăng cao. Vậy chọn đáp án B.

Câu 31: Đáp án C.Sử dụng MTCT.

Qui trình bấm máy Kết quả thu được

32

QcQraQz+QxR2$QyQzQrQxQyQxQrQcr1=2===============================================================================================================================================

Dùng cách tìm dạng phân số của số thập phân vô hạn tuần hoàn 1, 6 ta được 51,666666673

.

Vậy giới hạn của dãy số trong trường hợp này bằng 53

. Do đó chọn đáp án C.

Bổ sung : Cho dãy số nu được xác định bởi 1u a , 2u b , 12 2

n nn

u uu

với 1n ,

trong đó ,a b là các số thực cho trước , a b . Người ta chứng minh được rằng 2lim3n

a bu .


Giả sử dãy có giới hạn hữu hạn L . Khi đó ta có : 2

2LL L 22L L

012

L

L

.

Tuy nhiên đến đây ta không còn căn cứ để kết luận 0L hay 12

L .

Ta sử dụng MTCT tương tự như bài tập trên thì thấy rằng giới hạn của dãy số là 0 . Vậy chọn đáp án B.

92

1,706192802.10

XY X

Câu 33: Đáp án C.Cách 1: Ta có

21 1u ; 2

2 1 2.1 1 2u ; 2 23 2 2.2 1 9 3u ;...

Dự đoán 2nu n . Khi đó 2

1 2 1 1n nu u n n . Vậy 2 1nu n n .

Suy ra 2

12

1lim lim 1n

n

nuu n


Cách 2 : Sử dụng MTCT. Nhập vào màn hình.Qui trình bấm máy Kết quả thu được

QnQrQ)+2Qz+1QyaQnRQ)$QyQ)QrQnQyQzQrQz+1r1=1====================

Bấm r, máy hỏi X? nhập 1, máy hỏi A? nhập bấm = liên tiếp, theo dõi giá trị của YX

, ta thấy

giá trị đó dần về 1. Vậy chọn đáp án C.

Nhận xét : Ở bài này sẽ phải bấm phím = liên tiếp khá nhiều lần, do khi n chưa đủ lớn thì

chênh lệch giữa 21n và 2n là khá xa nên giá trị của 2

2

1nn

khá xa so với 1.

33

DẠNG 5. Tìm giới hạn của dãy số có chứa tham số.

Câu 34: Đáp án C.Đây là một bài toán chứa tham số.Vì là bài toán trắc nghiệm nên có một cách là cho a và b các giá trị cụ thể, rồi sử dụng MTCT để tìm giới hạn, từ đó tìm được đáp án đúng.

Chẳng hạn cho 2, 3a b . Khi đó 2 83 3

a b , 2 7

3a b

và 2 2, , ,3 3

a b a ba b đôi một khác

nhau.Nhập vào màn hình :

Qui trình bấm máy Kết quả thu đượcQcQraQz+QxR2$QyQzQrQxQyQxQrQcr2=3=============================================================================================================================================

Dùng cách tìm dạng phân số của số thập phân vô hạn tuần hoàn 2, 6 , ta được 82, 63

.

Vậy giới hạn của dãy số trong trường hợp này bằng 83


Bổ sung : Cho dãy số nu được xác định bởi 1u a , 2u b , 12 1

2n n

nu uu n

, trong đó

,a b là các số thực cho trước, a b .a) Chứng minh dãy 2nu là dãy giảm, còn dãy 2 1nu là dãy tăng.

b) Chứng minh rằng 2 12 1 1

2n n n

x xx x n

.

c) Chứng minh rằng 2 1 2 12 2 1n nx x x x n .

d) Chứng minh rằng nu có giới hạn và giới hạn đó là 23

a b .

Việc chứng minh bài toán trên xin dành cho độc giả.Câu 35: Đáp án A.

Dễ thấy 3 3lim lim5 1 5nn mun

với mọi m .


Dễ thấy với 2a thì 2

2

4 2lim lim 22 5nn nu

n

.

Thật vậy :

Nếu 0a thì 24 2lim lim

5nn nu

.

Nếu 0a thì 2

2

4 2 4lim lim5n

n nuan a

.

Do đó để lim 2nu thì 4 2 2aa

.

Câu 37: Đáp án D.Với kết quả đã trình bày trong phần ví dụ, ta thấy để nu có giới hạn hữu hạn thì 1a .

Câu 38: Đáp án D.Từ kết quả đã trình bày trong phần ví dụ, ta thấy cần phải nhân chia với biểu thức liên hợp. Ta có :

34

2 2

2 2

25 3

5 3

a b nn an n bn

n an n bn

2 2

2

5 31 1

a bn

a bn n n n

.

Suy ra 2 2lim 5 32

a bn an n bn . Do đó để 2 2lim 5 3 2n an n bn

22

a b 4a b .


Ta có : 2 1 4 1lim

5 2 5an n a

n

. Do đó ta phải có 10 100a a .

Câu 40: Đáp án C.Ta có 33lim 2 8 5 6n a n 336 lim 2 8 5a n n mà 33lim 2 8 5 0n n . Do

đó 6 0a 6a .Câu 41: Đáp án A.

Ta có 33lim 1 0n an b 33lim 1b n an . Để 33lim 1 n an hữu hạn thì

0a ( xem lại phần ví dụ ).phần Ví dụ). Ta có 3 3lim 1 0n n . Vậy 0b . Do đó đáp án là A.

DẠNG 1. TÌM SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ MÀ SỐ HẠNG TỔNG QUÁT LÀ TỔNG N SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA MỘT DÃY SỐ KHÁC.

Câu 42: Đáp án A.Lời giải

Theo kết quả đã trình bày trong phần Ví dụ thì 1 2 3 ... 1lim2 4 6 ... 2 2

nn

do tử thức là tổng của n

số hạng đầu tiên của một cấp số cộng có công sai bằng 1, mẫu thức là tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng có công sai bằng 2 .Tuy nhiên, ta có thể giải nhanh chóng như sau:

1 2 3 ... 1 2 3 ... n 1lim lim

2 4 6 ... 2 2 1 2 3 ... 2nn n

.

Câu 43: Đáp án A.Lời giải

Ta thấy tử thức là tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có công bội bằng 2 , mẫu thức là tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có công bội bằng 5 . Mà 2 5 nên theo kết quả trình bày trong phần Ví dụ, giới hạn cần tìm là 0 .

Câu 44: Đáp án B.Lời giải

Ta có:

2 2 2

2 2 2 2 2 2

22 2 2 2

1 1 1 2 1 3 1 11 1 ... 1 ...2 3 2 3

2 1 11.3 2.4 3.5 ...2 3 4 11 1.2

nn nn n n n

nnn

n

35

Vậy 2 2 2

1 1 1 1 1lim 1 1 ... 1 lim .2 3 2 2

nn n


Lời giảiTa có:

2 22 2 22 2 2

! ! ! ! 1 .1 2 ... !1 1 1 2 ... 1 1 2 ... !

n n n nn nn n n

Mà 1lim 0!n

nên suy ra: 2 2 2

!lim 0.1 1 1 2 ... 1

nn

Câu 46: Đáp án B.Lời giải

Ta có:

2 21

11 1

3 1 9 1 3 9 3 6 3 1 3.2 2

n n

n k kk k

n n n nu u u n n

Suy ra 3 3.nu n

Vậy

2

1

1 3 9 3 1lim lim .2 3 3 2.3 2

n

kkn

n nunu n n


Lời giải

Ta có:

11

21

2 21 1

31 3 3 ... 3lim lim .

5 5

ki

kn ni

k kk k

Do đó nên rất khó để sử dụng MTCT đối với bài toán này. Ta có:1

11

12 2

1 1 1 1

3 133 1 3 3 1 1 3 1 175 5. .3 15 2.5 50 5 50 5 50 50 2001 1

5 5

ki

k kkn n n ni

k kk k k k


GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

A. LÝ THUYẾT

I. Định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm

1. Giới hạn hữu hạn tại một điểm

Định nghĩa 1:

Cho ;a b là một khoảng chứa điểm 0x và hàm số y f x xác định trên ;a b hoặc trên

0

0; \ . limx x

a b x f x L

với mọi dãy số nx mà 0 0; \ ,n nx a b x x x ta có lim .nf x L

Nhận xét:

- Giới hạn của hàm số được định nghĩa thông qua khái niệm giới hạn của dãy số.

- Hàm số không nhất thiết phải xác định tại 0x .

36

Định nghĩa 2 (Giới hạn một bên):

Cho hàm số y f x xác định trên khoảng 0

0; . limx x

x b f x L

với mọi dãy số nx mà

0 0,n nx x b x x ta có lim .nf x L

Cho hàm số y f x xác định trên khoảng 0

0; . limx x

a x f x L

với mọi dãy số nx mà

0 0,n na x x x x ta có lim .nf x L

STUDY TIP

0x x nghĩa là 0x x và 0.x x

0x x nghĩa là 0x x và 0.x x

Định lí 1

0 0 0

lim lim lim .x x x x x x

f x L f x f x L

2. Giới hạn vô cực tại một điểm

Định nghĩa 3

Cho ;a b là một khoảng chứa điểm 0x và hàm số y f x xác định trên ;a b hoặc trên

0

0; \ . limx x

a b x f x

với mọi dãy số nx mà 0 0; \ ,n nx a b x x x ta có .nf x

Lưu ý:

Các định nghĩa 0 0 0 0

lim ; lim ; lim ; lim ;x x x x x x x x

f x f x f x f x

0

limx x

f x

được

phát biểu hoàn toàn tương tự.

3. Lưu ý:

a) f x không nhất thiết phải xác định tại điểm 0x .

b) Ta chỉ xét giới hạn của f x tại điểm 0x nếu có một khoảng ;a b (dù nhỏ) chứa 0x mà f x xác

định trên ;a b hoặc trên 0; \ .a b x

Chẳng hạn, hàm số f x x có tập xác định là 0;D . Do đó ta không xét giới hạn của hàm số

tại điểm 0 0x , do không có một khoảng ;a b nào chứa điểm 0 mà f x xác định trên đó cả. Tương

tự vậy ta cũng không xét giới hạn của f x tại mọi điểm 0 0.x

c) Ta chỉ xét giới hạn bên phải của f x tại điểm 0x nếu có một khoảng 0;x b (khoảng nằm bên phải

0x ) mà f x xác định trên đó.

Tương tự, ta chỉ xét giới hạn bên trái của f x tại điểm 0x nếu có một khoảng 0;a x (khoảng nằm bên

trái 0x ) mà f x xác định trên đó.

37

Chẳng hạn, với hàm số 1f x x , tại điểm 0 1x , ta chỉ xét giới hạn bên phải. Với hàm số

1g x x , tại điểm 0 1x , ta chỉ xét giới hạn bên trái.

d) lim ( ) lim ( ) lim ( )o o o

x x x x x xf x f x f x

lim ( ) lim ( ) lim ( )o o o

x x x x x xf x f x f x

II. Định nghĩa giới hạn của hàm số tại vô cực

1. Giới hạn hữu hạn tại vô cực

Định nghĩa 4

Cho hàm số ( )y f x xác định trên khoảng ; . lim ( )x

a f x L

với mọi dãy số

nx , nx a và nx ta đều có lim ( )f x L .

LƯU Ý: Định nghĩa lim ( )x

f x L

được phát biểu hoàn toàn tương tự.

2. Giới hạn vô cực tại vô cực

Định nghĩa 5

Cho hàm số ( )y f x xác định trên khoảng ; . lim ( )x

a f x

với mọi dãy số

nx , nx a và nx ta đều có lim ( )f x .

LƯU Ý: Các định nghĩa: lim ( ) , lim ( ) , lim ( )x x x

f x f x f x

được phát biểu hoàn toàn tương

tự.

III. Một số giới hạn đặc biệt

a) limo

ox xx x

.

b) lim ; limox x xc c c c

( c là hằng số )

c) lim 0kx

cx

( c là hằng số, k nguyên dương ).

d) lim k

xx

với k nguyên dương; lim k

xx

nếu k là số nguyên lẻ; lim k

xx

nếu k là số nguyên chẵn.Nhận xét: lim ( ) lim ( )

x xf x f x

.

IV. Định lí về giới hạn hữu hạn

Định lí 2

Giả sử lim ( )ox x

f x L

và lim ( )ox xg x M

. Khi đó

a) lim ( ) ( )ox x

f x g x L M

.

b) lim ( ) ( )ox x

f x g x LM

; lim ( )ox x

cf x cL

với c là một là một hằng số.

c) ( )lim ( 0)( )ox x

f x L Mg x M

.

38

STUDY TIP: Giới hạn hữu hạn, giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số tại một điểm bằng tổng, hiệu, tích, thương các giới hạn của chúng tại điểm đó (trong trường hợp thương, giới hạn của mẫu phải khác không).

Định lí 3

Giả sử lim ( )ox x

f x L

. Khi đó

a) lim ( )ox x

f x L

.

b) 33lim ( )ox x

f x L

.

c) Nếu ( ) 0f x với mọi \ oJ x , trong đó J là khoảng nào đó chứa ox , thì 0L và

lim ( )ox x

f x L

.

LƯU Ý: Định lí 2, định lí 3 vẫn đúng khi thay ox x bởi ox x , ox x .

V. Quy tắc về giới hạn vô cực

Các định lí và quy tắc dưới đây được áp dụng cho mọi trường hợp: , , ,o o ox x x x x x x và x .

Tuyên nhiên, để cho gọn, ta chỉ phát biểu cho trường hợp ox x .

Quy tắc 1 ( Quy tắc tìm giới hạn của tích ).

lim ( )ox x

L f x

lim ( )ox xg x

lim ( ) ( )

ox xf x g x

0L 0L

STUDY TIP: Giới hạn của tích hai hàm số

- Tích của một hàm số có giới hạn hữu hạn khác 0 với một hàm số có giới hạn vô cực là một hàm số có giới hạn vô cực.

- Dấu của giới hạn theo quy tắc dấu của phép nhân hai số.

Quy tắc 2 (Quy tắc tìm giới hạn của thương)

lim ( )ox x

L f x

lim ( )ox xg x

Dấu của ( )g x ( )lim

( )ox x

f xg x

L Tùy ý 0+ 0L 0- + 0L 0-

( Dấu của g x xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, với ox x ).

39

STUDY TIP: Giới hạn của thương hai hàm số. Tử thức có giới hạn hữu hạn khác 0:

- Mẫu thức càng tang ( dần đến vô cực) thì phân thức càng nhỏ (dần đến 0).

- Mẫu thức càng nhỏ (dần đến 0) thì phân thức có giá trị tuyệt đối càng lớn (dần đến vô cực).

- Dấu của giới hạn theo quy tắc dấu của phép chia hai số.

VI. Các dạng vô định: Gồm 0 , ,0.0

và .

B. Các dạng toán về giới hạn hàm số

Dạng 1: Tìm giới hạn xác định bằng cách sử dụng trực tiếp các định nghĩa, định lí và quy tắc

Phương pháp:

- Xác định đúng dạng bài toán: giới hạn tại một điểm hay giới hạn tại vô cực? giới hạn xác định hay vô định?

- với giới hạn hàm số tại một điểm ta cần lưu ý: Cho ( )f x là hàm số sơ cấp xác định trên khoảng ;a b chứa điểm 0x . Khi đó,

lim ( ) ( )

oox x

f x f x .

- Với giới hạn hàm số tại vô cực ta “xử lí” tương tự như giới hạn dãy số.

- Với giới hạn xác định, ta áp dụng trực tiếp định nghĩa giới hạn hàm số, các định lí về giới hạn hữu hạn và các quy tắc về giới hạn vô cực.

STUDY TIP: Dùng định nghĩa chứng minh hàm số ( )y f x không có giới hạn khi 0x x

- chọn hai dãy số khác nhau na và nb thỏa mãn na và nb thuộc tập xác định của hàm số

( )y f x và khác 0x ; 0 0;n na x b x .

- Chứng minh lim limn nf a f b hoặc chứng minh một trong hai giới hạn này không tồn tại.

- Từ đó suy ra

lim ( )ox x

f x không tồn tại. TH 0x x hoặc x chứng minh tương tự.

Ví dụ 1: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A.

lim sin 1x

x B.

lim sin 1x

x C.

lim sin 0x

x D. lim sinx

x không tồn tại.

Đáp án D

Lời giải

Xét dãy số ( )nx với 22nx n .

Ta có nx và limsin limsin 2 12nx n

. 1

Lại xét dãy số ( )ny với 22ny n .

40

Ta có ny và limsin limsin 2 12ny n

. 2

Từ 1 và 2 suy ra lim sinx

x không tồn tại. Vậy chọn đáp án D.

Ví dụ 2: Cho hàm số 2

3

1( ) , lim ( )2 x

xf x f xx

bằng:

A. . B. 0 . C. 5 33

. D. 12

.

STUDY TIP: Giới hạn tại một điểm

Nếu ( )f x xác định tại 0x và tồn tại một khoảng ;a b thuộc tập xác định của ( )f x chứa 0x thì

lim ( ) ( )

oox x

f x f x .

- Việc sử dụng hay không sử dụng MTCT để tính ( )of x tùy thuộc vào mức độ phức tạp của ( )of x và khả năng tính toán của độc giả.

Đáp án C.

Lời giải

Hàm số đã cho xác định trên 0; .

Cách 1(sử dụng định nghĩa):

Giải sử ( )nx là một dãy số bất kỳ, thỏa mãn 0, 3n nx x và 3nx khi n . Ta có 2 21 3 1 5 3lim ( ) lim

32 2 3n

nn

xf xx

( áp dụng quy tắc về giới hạn hữu hạn của dãy số). Do đó

3

5 3lim ( )3x

f x

.

Cách 2( sử dụng định lí về giới hạn hữu hạn):

Theo định lí 1 ta có:

2 223 3 3 3 3 3

3 33 3 2 33

lim 1 lim lim1 lim .lim lim11 3.3 1 5 3lim lim32 lim 2.lim lim 2. lim 2 3lim 2

x x x x x x

x xx x x xx

x x x xxf xx x xx

.

Tuy nhiên trong thực hành, vì là câu hỏi trắc nghiệm nên ta làm như sau.

Cách 3: Vì f x là hàm số sơ cấp xác định trên 0; chứa điểm 0 3x nên

3

10 5 3lim 332 3x

f x f

.

Do đó sử dụng MTCT ta làm như cách 4 dưới đây.

Cách 4: Nhập biểu thức của vào màn hình. Bấm phím CALC, máy hỏi X ? nhập 3 = . Máy hiển thị kết quả như hình:

41

Do đó chọn đáp án C.

Ví dụ 3: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây ?

A.3

2lim 12x

xx

. B.

3

2lim 52x

xx

.

C. 3

2lim 12x

xx

. D. Hàm số 2

2xf xx

không có giới hạn khi 3x .

Đáp án B

Lời giải

Hàm số 22

xf xx

xác định trên các khoảng ;2 và 2; . Ta có 3 2; .

Cách 1 : 3

3 2lim 3 53 2x

f x f

.

Cách 2 : Nhập biểu thức của hàm số 22

xf xx

và màn hình MTCT. Bấm phím CALC , máy

hỏi X? nhâp 3 =. Máy hiển thị kết quả như hình:

Vậy 3

2lim 52x

xx

.

Ví dụ 4: 3lim 2 5x

x x

bằng:

A. 2 . B. 3 . C. . D. .

Đáp án C.

Lời giải

Cách 1: Sử dụng MTCT tính giá trị của 32 5f x x x tại một điểm có giá trị âm rất nhỏ (do

ta đang xét giới hạn của hàm số khi x ), chẳng hạn tại 2010 . Máy hiển thị kết quả như hình:

Đó là một giá trị dương rất lớn. Vậy chọn đáp án C , tức 3lim 2 5x

x x

.

42


52 5 2x x xx

.

Vì 3limx

x

và 2

5lim 2 2 0x x

nên 32

5lim 2x

xx

.

Vậy theo Quy tắc 1, 3 32

5lim 2 5 lim 2x x

x x xx

. Do đó chọn C.

Lưu ý 1:

- Để hiểu tại sao 3limx

x

và 2

5lim 2 2x x

xin xem lại phần các giới hạn đặc biệt.

- Bài toán thuộc dạng tính giới hạn hàm số khi x dần tới vô cực, nhưng là khi x . Do đó không thể áp dụng ngay các kết quả đã biết về giới hạn dãy số, vì giới hạn dãy số được xét khi n . Ta chỉ có thể áp dụng các kĩ thuật đã biết đối với giới hạn dãy số.

Lưu ý 2: Có thể dễ dàng chứng minh được kết quả như sau :

Cho hàm số 11 1 0... ( 0)k k

k k kf x a x a x a x a a là một đa thức bậc k .

x k ka Giới hạn của f x

0ka x Tùy ý

0ka

0ka k chẵn

0ka

0ka x

k lẻ0ka

Thật vậy, ta có 1 011...k k

k k k

a aaf x x ax x x

.

Vì 1 011lim ...k

k kk kx

a aaa ax x x

và lim k

xx

với k tùy ý, lim k

xx

nếu k chẵn,

lim k

xx

nếu k lẻ nên ta dễ dàng suy ra bảng kết quả trên.

Ví dụ 5: 4 2lim 3 2 1x

x x

bằng:

A. . B. . C. 3. D. 2.

Đáp án A

Lời giải

43

Cách 1: Theo nhận xét trên thì 4 2lim 3 2 1x

x x

( ,x k chẵn và 0ka ). Thật

vậy, ta có 4 2 42 4

2 13 2 1 3 .x x xx x

Vì 4limx

x

và 2 4

2 1lim 3 3 0x x x

nên 4 2lim 3 2 1x

x x

.

STUDY TIP

- Giới hạn tại vô cực của hàm đa thức là vô cực, chỉ phụ thuộc vào số hạng chứa lũy thừa bậc cao nhất.

- Giới hạn của hàm đa thức tại phụ thuộc vào hệ số của lũy thừa bậc cao nhất. (Giống với giới hạn của dãy số dạng đa thức).

- Giới hạn của hàm đa thức tại phụ thuộc vào bậc và hệ số của lũy thừa bậc cao nhất.

Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số 4 23 2 1f x x x tại 2010x , ta được kết quả

như hình :

Kết quả là một số dương rất lớn. Do đó chọn đáp án A,

Ví dụ 6: Cho hàm số 2 2 5f x x x . Khẳng định nào dưới đây đúng ?

A. limx

f x

. B. limx

f x

.

C. lim 1x

f x

. D. limx

f x

không tồn tại.

Đáp án B.

Lời giải

Hàm số 2 2 5f x x x xác định trên .

Có thể giải nhanh như sau : Vì 2 2 5x x là một hàm đa thức của x nên có giới hạn tại vô cực.

Mà 2 2 5 0x x với mọi x nên giới hạn của 2 2 5f x x x tại chắc chắn là .

Thật vậy, ta có 2 22 2

2 5 2 52 5 1 1x x x xx x x x

.

Vì limx

x

và 2

2 5lim 1 1 0x x x

nên 2lim 2 5x

x x

.

Hoặc ta có thể sử dụng MTCT để tính giá trị của f x tại một giá trị âm rất nhỏ của x , chẳng

hạn tại 2010x ta được kết quả như hình:

44

Kết quả này là một số dương rất lớn. Do đó ta chọn đáp án B. (Dễ thâý kết quả hiển thị trên máy tính như trên chỉ là kết quả gần đúng do khả năng tính toán hạn chế của MTCT. Tuy nhiên kết quả đó cũng giúp ta lựa chọn được đáp án chính xác).

STUDY TIP

Ta có limx

x

.

Khi x thì 0x .

Với 0x ta có 2x x .

Cần đặc biệt lưu ý các điều trên khi tính giới hạn tại của hàm chứa căn thức.

Ví dụ 7: Giới hạn của hàm số 2 24 1f x x x x khi x bằng:

A. . B. . C. 1 . D. 3.

Đáp án A.

Lời giải

Cách 1: Ta có:

2 2 2 22 2

1 1 1 14 1 1 4 1 4x x x x x x xx x x x

2

1 11 4xx x

Mà limx

x

và 2

1 1lim 1 4 1 2 1 0x x x

.

Vậy 2 22

1 1lim 4 1 lim 1 4x x

x x x xx x

.

Lưu ý:

- Độc giả nên đọc lại phần giới hạn dãy số có chứa căn thức để hiểu hơn tại sao lại có định hướng giải như vậy (mà không đi nhân chia với biểu thức liên hợp).

- Có thể thấy như sau: Vì 2 2lim ; lim 4 1x x

x x x

.

Mà hệ số của 2x trong 24 1x lớn hơn hệ số của 2x trong 2x x nên suy ra

2 2lim 4 1x

x x x

.

Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số tại 1010x ta được kết quả như hình.

45


Ví dụ 8: 3 5

2017lim3 5x x x

bằng:

A. 20173

. B. . C. . D. 0.

Đáp án D.

Lời giải

Cách 1: Vì 3 5lim 3 5x

x x

nên theo quy tắc 2, 3 5

2017lim 03 5x x x

.

Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số tại 1010x ta được kết quả như hình.

Đó là một kết quả rất gần 0. Do đó chọn đáp án D.

STUDY TIP

Khi hàm số không xác định tại 0x thì ta thử áp dụng các quy tắc về giới hạn vô cực. Đó là các

quy tắc áp dụng cho các dạng . ; ;0

L LL

. Lưu ý cách xác định dấu của giới hạn.

- Dạng L

: giới hạn là 0.

- Dạng .L và 0L : Giới hạn là vô cực.

Ví dụ 9: Giới hạn bên phải của hàm số 3 72

xf xx

khi 2x là

A. . B. . C. 3. D. 72

.

Đáp án B.

Lời giải

Hàm số 3 72

xf xx

xác định trên ; \ 2 .

Cách 1: Ta có 2

lim 2 0, 2 0x

x x

với mọi 2x và 2

lim 3 7 3.2 7 1 0x

x

. Do đó

theo quy tắc 2 thì2

3 7lim2x

xx

.

46

Cách 2: Sử dụng MTCT. Tính giá trị của 3 72

xf xx

tại 2x ta thấy máy báo lỗi Math

Error (do f x không xác định tại 2x ). Quay lại tính giá trị của f x tại 102 10x (tức

2,0000000001) là một giá trị của x lớn hơn 2 và rất gần 2. Kết quả là một số âm rất nhỏ.


Ví dụ 10: Xét bài toán “Tìm2

22

3 1lim2 5 2x

x xx x

”, bạn Hà đã giải như sau:

Bước 1: Vì 2

2lim 2 5 2 0x

x x

.

Bước 2: 22 5 2 0x x với 2x và x đủ gần 2,

Bước 3: 2

2lim 3 1 13 0x

x x

Bước 4: nên theo quy tắc 2, 2

22

3 1lim2 5 2x

x xx x

.

Hỏi lời giải trên của bạn Hà đã sai từ bước thứ mấy ?


Đáp án B

Lời giải

Xét dấu biểu thức 22 5 2g x x x ta thấy 0g x với mọi 1;2x .

Vậy lời giải sai từ bước 2. (Lời giải đúng cho ra kết quả2

22

3 1lim2 5 2x

x xx x

).

STUDY TIP

0x x nghĩa là 0x x và 0x x .

0x x nghĩa là 0x x và 0x x .

Nếu 0x x thì tính giá trị hàm số tại 0 10 kx x .

Nếu 0x x thì tính giá trị hàm số tại 0 10 kx x .

Trong đó k là một sô nguyên dương.

Ví dụ 11: Giới hạn 24

1lim4x

xx

bằng:

A. 0. B. 3 . C. . D. .

Đáp án C.

47

Lời giải

Cách 1: Ta có 2

4 4lim 1 3 0, lim 4 0x x

x x

và 24 0x với mọi 4x nên theo quy

tắc 2, 24

1lim4x

xx

. Vậy chọn đáp án C.

Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số tại 84 10x hoặc tại 84 10x ra được các kết quả như hình


Ví dụ 12: Cho hàm số 2

5 2 khi 13 khi 1

x xf x

x x

. Khẳng định nào dưới đây là đúng ?

A. 1

lim 7x

f x

. B. 1

lim 2x

f x

.

C. 1

lim 7x

f x

. D. 1

lim 7x

f x

.

Đáp án D.

Lời giải

Ta có 1 1

lim lim 5 2 5.1 2 7x x

f x x

. Vì chỉ có một đáp án đúng nên chọn đáp án D.

STUDY TIP

Cần xác định đúng biểu thức của f x khi 0x x và khi 0x x .

Giải thích thêm : Ta có 2 2

1 1lim lim 3 1 3 2x x

f x x

.

Vậy 1 1

lim limx x

f x f x

nên 1

limx

f x

không tồn tại.

Các đáp án A, B, C đều sai.

STUDY TIP

0 0 0

lim lim limx x x x x x

f x L f x f x L

.

Ví dụ 13: Cho hàm số

2

2

5 khi 3 1

5 khi 3 22

x xf x x x

x

.

48

Trong biểu thức (2) ở trên, cần thay số 5 bằng số nào để hàm số f x có giới hạn khi 3x ?

A. 19. B. 1.

C. 1 . D. Không có số nào thỏa mãn.

Đáp án C.

Lời giải

Hàm số đã cho các định trên \ 2 .

Cách 1: Ta có 2 2

3 3lim lim 5 3 5 2x x

f x x

.

Đặt 2

2x mf xx

khi 3x ( m là tham số, 0m ).

Ta có 2 2

3 3

3 9lim lim2 3 2 5x x

x m m mf xx

.

Để hàm số f x có giới hạn khi 3x thì 3 3

9lim lim 2 15x x

mf x f x m

.

Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị biểu thức 2 5X khi 3X được kết quả bằng 2. Sử dụng

MTCT tính giá trị biểu thức 2

2X AX

khi 3X và lần lượt nhận các giá trị bằng 19,1 và 1 . Ta

thấy khi 1A thì biểu thức nhận giá trị bằng 2. Vậy chọn đáp án C.

Ví dụ 14: Cho hàm số f x có đồ thị như hình dưới đây:

32 3

O

y

x

Quan sát đồ thị và cho biết trong các giới hạn sau, giới hạn nào là ?

A. limx

f x

. B. limx

f x

. C.

3

limx

f x

. D. 3

limx

f x

.

Đáp án C.

Lời giải

49

Khi 3x , đồ thị hàm số là một đường cong đi lên từ phải qua trái. Do đó

3

limx

f x

.

Tương tự như vậy ta có 3

lim lim 0 ; limx x x

f x f x f x

.

Do đó chọn đáp án C.

Công phá toán 2 (trang 240 – 244)

DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH DẠNG 00

STUDY TIP

Khi tính giới hạn mà không thể áp dụng trực tiếp các định lí về giới hạn hữu hạn hay các quy tắc về giới hạn vô cực đã biết thì ta gọi đó là các dạng vô định.

Kí hiệu các dạng vô định gồm: 0 , , 0.0

và . Để tính giới hạn dạng vô định ta phải biến đổi

biểu thức của hàm số về dạng áp dụng được các định lí và quy tắc đã biết. Làm như vậy gọi là “khử dạng vô định”.

1. Bài toán:

Tính 0

limx x

f xg x

khi 0 0

lim lim 0

x x x x

f x g x , trong đó f x và g x là các đa thức hoặc căn thức.

Phương pháp giải (tự luận)

Phân tích tử và mậu thành tích các nhân tử và giản ước. Cụ thể, vì 0 0

lim lim 0

x x x x

f x g x nên

f x và g x cùng có nghiệm 0x x . Do đó ta phân tích được 0 f x x x A x và

0 g x x x B x . Khi đó ta có:

0 0 0

0

0

lim lim lim

x x x x x x

f x x x A x A xg x x x B x B x

và công việc còn lại

là đi tính 0

limx x

A xB x

.

Nếu f x và g x có chứa căn thức thì có thể nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp trước khi phân

tích chúng thành tích để giản ước.

STUDY TIP

Phân tích đa thức thành nhân tử:

Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ.

Khi đã biết f x có nghiệm 0x x , ta sử dụng lược đồ Hooc-ne hoặc chia f x cho 0x x được

thương A x . Khi đó 0 f x x x A x .

Áp dụng kết quả: nếu phương trình 2 0 ax bx c có hai nghiệm 1 2,x x thì

21 2 ax bx c a x x x x .

Tổng quát: nếu phương trình 1 11 1 0... 0

k kk ka x a x a x a có các nghiệm thực 1 2, ,..., mx x x thì

1 11 1 0 1... ...

k kk k k ma x a x a x a a x x x x A x , trong đó A x là đa thức bậc k m . Tuy nhiên,

50

trong thực tế, ta dùng kết quả này khi có đủ k nghiệm thực, tức m k . Trường hợp ngược lại nên dùng lược đồ Hooc-ne. (với phương trình bậc hai, bậc ba có thể dùng MTCT để tìm nghiệm)

Ví dụ 1. Tính 2

22

4lim3 2

x

xx x

.

A. 1. B. 4. C. 2 . D. 4 .

Phân tích: Vì 2 2

2 2lim 4 lim 3 2 0

x xx x x nên đây là giới hạn vô định dạng 0

0. Ta thấy

2 4x và 2 3 2 x x đều triệt tiêu tại 2x nên 2x là nghiệm của 2 4x và 2 3 2 x x . Từ đó ta có cách giải như sau.

Lời giải

Cách 1: Ta có

2

22 2 2

2 24 2 2 2lim lim lim 43 2 2 1 1 2 1

x x x

x xx xx x x x x

.

Cách 2: Dử dụng MTCT tính giá trị hàm số 2

2

43 2

xf x

x x tại 2x ta thấy máy báo lỗi

Math Error (do hàm số không xác định tại 2x ). Quay lại tính giá trị hàm số tại 2,0000000001 ta được kết quả như sau:

Lại quay lại tính giá trị hàm số tại 1,9999999999 ta được kết quả như sau:

Vậy chọn đáp án B.

Ví dụ 2. Tính giới hạn 1

lim , *1

m n

x

x x m nx

, ta được kết quả:

A. . B. m n . C. m . D. 1.

Lời giải

Cách 1: Ta có 1 1

1 1lim lim1 1 1

m n m n

x x

x x x xx x x

.

Lại có 1 2

1 1

1 ... 11lim lim1 1

m mm

x x

x x x xxx x

1 2

1lim ... 1

m m

xx x x m .

Tương tự: 1

1lim1

n

x

x nx

.

Vậy 1 1 1 1

1 1 1 1lim lim lim lim1 1 1 1 1

m n m n m n

x x x x

x x x x x x m nx x x x x

.

51

Cách 2: Cho m và n các giá trị cụ thể, chẳng hạn 3m và 7m . Sử dụng MTCT tính 3 7

1lim

1

x

x xx

ta được kết quả 3 7

1lim 4

1

x

x xx

. Vậy đáp án đúng là B.

STUDY TIP

1 21 1 ... 1 m m mx x x x x

1

1lim1

m

x

x mx

1

1lim1

n

x

x nx

Ví dụ 3. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. 31

3 2lim 03 2

x

xx x

. B. 31

3 2lim3 2

x

xx x

.

C. 31

3 2lim3 2

x

xx x

. D. 31

3 2lim3 2

x

xx x

không tồn tại.

Phân tích: Vì 1

lim 3 2 0

x

x và 3

1lim 3 2 0

xx x nên đây là dạng vô định 0

0. Tuy nhiên

ta chưa thể phân tích ngay 3 2 x thành nhân tử mà phải nhân cả tử và mẫu với biểu thức

liên hợp của 3 2 x là 3 2 x .

Lời giải

Cách 1: Ta có 3

3 23 2

xx x

3

3 2 3 2

3 2 3 2

x x

x x x

2

13 2 1 2

xx x x

13 2 1 2

x x x

.

Mà 1

1lim3 2 1 2

x x x x

; 1

1lim3 2 1 2

x x x x

.

Do đó 1

1lim3 2 1 2 x x x x

không tồn tại.

Suy ra 31

3 2lim3 2

x

xx x

không tồn tại. Vậy chọn đáp án D.

Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị biểu thức 3

3 23 2

xx x

tại 1x ta thấy máy báo lỗi Math

Error. Quay lại tính giá trị biểu thức tại 1,000001x và tại 0,999999x ta được kết quả:

52

Hai kết quả trên là một số dương rất lớn, một số âm rất nhỏ. Do đó có thể kết luận 31

3 2lim3 2

x

xx x

không tồn tại.

Nhận xét:

- Nếu chỉ tính giá trị biểu thức tại một điểm thì rất dễ chọn đáp án sai.

- Ở đây ta đã chuyển dạng vô định 00

về dạng xác định 0L .

- Dùng MTCT tìm nghiệm của phương trình 3 3 2 0 x x ta được 1 21, 2 x x . Như vậy phải có một nghiệm là nghiệm kép do là phương trình bậc ba. Trong trường hợp này, theo Tip trên đã nêu, ta nên dùng lược đồ Hooc-ne để phân tích đa thức 3 3 2 x x thành nhân tử.

Ví dụ 4. Giới hạn 3

1

2 1 3 2lim1

x

x xx

bằng:

A. 1. B. 0 . C. . D. 12

.

Phân tích: 3

1lim 2 1 3 2 0

xx x và

1lim 1 0

xx nên đây là dạng vô định 0

0. Ta chưa

thể phân tích 32 1 3 2 f x x x thành nhân tử. Mà f x lại là hiệu của hai căn thức

không cùng bậc. Ta để ý thấy 2 1x và 3 3 2x đều đạt giá trị bằng 1 tại 1x nên ta biến đổi

như sau: 32 1 1 1 3 2 f x x x rồi tiến hành nhân chia với biểu thức liên hợp.

Lời giải

Cách 1: Ta có 3 32 1 3 2 2 1 1 1 3 21 1 1

x x x x

x x x

23 3

2 2 3 32 1 1 1 1 3 2 3 2 1

x xx x x x x

23 3

2 32 1 1 1 3 2 3 2

x x x

.

Tac có: 1 23 3

2 3lim 02 1 1 1 3 2 3 2

x x x x.

Do đó 3

1

2 1 3 2lim 01

x

x xx

.

53

Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị biểu thức 32 1 3 21

x xx

tại 1x ta thấy máy báo lỗi

Math Error. Quay lại tính giá trị biểu thức tại 0,99999999x và tại 1,00000001x ta được kết quả:

Do đó chọn đáp án B tức là 3

1

2 1 3 2lim 01

x

x xx

.

STUDY TIP

Cho 3

0

A x B xf x

x x (chứa hai căn khác bậc) trong đó 0 0 A x B x m thì ta biến

đổi như sau: 3

0

A x m m B xf x

x x.

Ví dụ 5. Tính giới hạn

3

21

6 5 4 3lim1

x

x xx

.

A. 0 . B. 2 . C. . D. .

Lời giải

Cách 1: Đặt 1 t x thì 1

1, lim 0

x

x t t và

3

26 5 4 3

1x x

x

3

2

6 1 4 1t tt

3

2 2

6 1 2 1 2 1 4 1t t t tt t

3 2 2

22 22 33

6 1 8 12 6 1 4 4 1 4 1

2 1 4 16 1 2 1 . 6 1 2 1

t t t t t t t

t t tt t t t t

2 233

8 12 42 1 4 16 1 2 1 . 6 1 2 1

tt tt t t t

.

Vậy

3

21

6 5 4 3lim1x

x xx

2 20 33

8 12 4lim2 1 4 16 1 2 1 . 6 1 2 1t

tt tt t t t

.

Mà 2 20 33

8 12 12lim 436 1 2 1 . 6 1 2 1

t

t

t t t t;

0

4 4lim 222 1 4 1

t t t

.

Vậy

3

21

6 5 4 3lim 4 2 21

x

x xx

.

54

Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị biểu thức

3

26 5 4 3

1

x xx

tại 0,9999999x và tại

1,0000001x ta đều được kết quả:


Lưu ý:

- Trong cách thứ 2, nếu ta tính giá trị biểu thức tại 0,999999999x hoặc tại 1,000000001x thì ta được kết quả:

Do vượt quá giới hạn tính toán của máy. Do đó nếu không thử lại với cá trị lớn hơn thì có thể ta sẽ chọn đáp án A.

ở bài này có nhiều vấn đề cần phân tích thêm. Nếu làm như ví dụ 4 thì ta sẽ biến đổi

3

26 5 4 3

1x x

x

3

2 26 5 1 1 4 3

1 1x xx x

rồi nhân liên hợp để thu được

3

26 5 4 3

1x x

x

2 33

2 33

6 1 4 3 4 6 5 6 5 1

1 6 5 6 5 1 1 4 3

x x x

x x x x

- Ta thấy giới hạn mới thu được vẫn còn là dạng vô định 00

nên vẫn tiếp tục phải khử dạng vô định.

Mà việc khử này sẽ rất phức tạp do biểu thức mới thu được khá cồng kềnh. Để giải quyết khó khăn đó ta thấy trong lời giải trình bày ở trên, ta tiến hành đổi biến để cho mẫu gọn lại và không thêm bớt 1 trên tử thức mà thêm bớt nhị thức 2 1t . Vậy cơ sở nào để tìm ra nhị thức đó?

Ta mong muốn sau khi thêm bớt tử thức với một lượng A t nào đó rồi tách ra thành hai phân

thức để nhân liên hợp thì trên tử thức xuất hiện nhân tử 2t để giản ước với 2t dưới mẫu

33

2 2 2

6 1 4 16 1 4 1

t A t A t tt tt t t

.

Vậy ta phải có 2 24 1A t t kt 2 2 4 1 4A t kt t k

và 22 2 1 2 1 A t t A t t .

- Ở nhiều bài toán giới hạn, ta thấy việc sử dụng MTCT là nhanh hơn giải thông thường. Tuy nhiên chúng tôi vẫn khuyến nghị độc giả nên nắm vững phương pháp giải thông thường (theo hình thức tự luận), vì nhiều bài tập không chỉ đơn thuần là tính giới hạn mà người ra đề có thể hỏi bằng nhiều hình thức khác nhau, đặc biệt có nhiều cách ra đề hạn chế việc sử dụng MTCT để tìm ra đáp án.

55

STUDY TIP

Trong nhiều bài toán, không nên chỉ tính giá trị hàm số tại một điểm mà nên tính lại một số điểm từ lớn đến nhỏ và từ cả hai phía trái, phải của 0x .

Ví dụ 6. Giới hạn của hàm số 2

3

2 11

x a x a

f xx

khi 1x bằng

A. 3

a . B.

3a . C. 2

3 a . D. 2

3 a .

Lời giải

Cách 1: 2

31

2 1lim

1x

x a x ax

21

1 1lim

1 1x

x x ax x x

21

1lim1 3x

x a ax x

Cách 2: (Đặc biệt hóa để sử dụng MTCT) Cho a một giá trị bất kì, chẳng hạn 1a , thì

2

3

3 21

x xf x

x. Dùng MTCT ta tìm được

2

31

3 2 1lim1 3 3

x

x x ax

.


Giải thích: phương trình 2 2 1 0 x a x a có tổng các hệ số bằng 0 nên ta có một nghiệm

bằng 1, nghiệm còn lại bằng 1a . Do đó ta phân tích được 2 2 1 1 1 x a x a x x a .

STUDY TIP

Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức có một nghiệm bằng 1.

Nếu đa thức có tổng các hệ số của các lũy thừa bậc chẵn bằng tổng các hệ số của lũy thừa bậc lẻ thì đa thức có một nghiệm bằng 1 .

Ví dụ 7. Giả sử 0

1 1lim2

x

ax Lx

. Hệ số a bằng bao nhiêu để 3L ?

A. 6 . B. 6 . C. 12 . D. 12 .

Lời giải

Cách 1: Ta có 0

1 1lim2x

axx

0lim

2 1 1x

axx ax

0

lim42 1 1x

a aax

Vậy 4

aL . Do đó 3 3 12

4

aL a . Đáp án đúng là D.

Cách 2: Sử dụng MTCT tìm 0

1 1lim2

x

axx

lần lượt với a bằng 6 , 6 , 12 , 12 . Ta thấy với

12a thì 0

1 1lim2

x

axx

bằng 3 . Vậy chọn đáp án D.

STUDY TIP

56

Một trong các kĩ thuật giải bài toán trắc nghiệm là thử lần lượt các đáp án và chọn ra đáp án thỏa mãn yêu cầu bài toán.

2. Các bài toán liên quan đến giới hạn đặc biệt

Trong sách giáo khoa đại số và giải tích 11 có nêu một giới hạn đặc biệt dạng 00

Đó là 0

sinlim 1x

xx

. Sau đây ta xét một số ví dụ áp dụng kết quả này.

Ví dụ 8: Cho a và b là các số thực khác 0. Khi đó 0

limsinx

axbx

bằng

A. a . B. b . C. ab

. D. ba

.

Lời giảiĐáp án C.

Cách 1: Ta có 0 0 0

lim lim . .limsin sin sinx x x

ax bx a a bxbx bx b b bx

Đổi biến t bx ta thấy khi 0x thì 0t . Do đó 0 0

lim lim 1sin sinx x

bx tbx t

Vậy 0

limsinx

ax abx b

.

Cách 2: Cho a và b các giá trị cụ thể, chẳng hạn 2, 3a b .

Sử dụng MTCT tìm giới hạn 0

2limsin 3x

xx

ta được kết quả bằng 23

, tức là bằng ab

.

Vậy chọn C.STUDY TIP

0 0

sinlim 1 lim 1sinx x

x xx x

0

sin ( )lim 1( )x

A xA x

, với điều kiện 0

lim ( ) 0x

A x

Ví dụ 9: Cho số thực a khác 0. Khi đó 2

0lim

1 cosx

xax

bằng

A. 22a

. B. 2a

. C. 22a . D. 2a .

Lời giảiĐáp án A

Cách 1: Ta có:2 2

2 22

2 2 2 20 0 0 02 2

2 2 2 22 2lim lim lim . lim .11 cos 2sin sin sin

2 2 2x x x x

ax axx x

ax ax axax a a a a

.

57

Cách 2: Cho a là một giá trị cụ thể, chẳng hạn 2a (không nên lấy 1a , vì khi đó giá trị của

22a

và 2a

cũng bằng nhau). Sử dụng MTCT tính giới hạn 2

0lim

1 cos 2x

xx

ta được kết quả bằng

12

, tức là bằng 22a

. Vậy chọn đáp án A.

STUDY TIP

0

sinlim 1

k

kx

A xA x

điều kiện 0

lim ( ) 0x

A x

Ví dụ 10: sin sinlim

x a

x ax a

bằng

A. tan a . B. cot a . C. sin a . D. cos a .Lời giải

Đáp án D

Cách 1: Ta có 2cos sin sinsin sin 2 2 2lim lim lim .cos

22.2 2

x a x a x a

x a x a x ax a x a

x a x ax a

Mà sin

2lim 1

2x a

x a

x a

(xem STUDY TIP trên), limcos cos2x a

x a a

.

Vậy sin sinlim cos

x a

x a ax a

. Do đó chọn đáp án D.

Cách 2: Sử dụng MTCT tính giới hạn 1

sin sin1lim1x

xx

(ứng với 1a ).

So sánh kết quả với tan1,cot1,sin1,cos1 ta được 1

sin sin1lim cos11x

xx

.

Vậy chọn đáp án D.3. Đọc thêm

Ví dụ 11: Cho a và b là các số nguyên dương. 0

1 5limsin 3

ax

x

ebx

. Tích ab có thể nhận giá trị bằng số nào

trong các số dưới đây?A. 15. B. 60. C. 240. D. Cả ba đáp án trên.

Lời giảiĐáp án D

Ta có 0 0

1 1lim lim . . 1.1.sin sin

ax ax

x x

e e bx a a abx ax bx b b b

58

Vậy để 0

1 5limsin 3

ax

x

ebx

thì

53

ab

. Vì a và b là các số nguyên dương nên suy ra 5 , 3a k b k

với k nguyên dương. Do đó 215ab k .

+ 2 215 15 1 1 15.k k k ab

+ 2 215 60 4 2 60.k k k ab

+ 2 215 240 16 4 240k k k ab Vậy cả ba đáp án đều đúng. Do đó chọn đáp án D.

STUDY TIP

Ngoài giới hạn 0

sinlim 1x

xx

, Sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao chương 2, 5 còn giới thiệu

thêm các giới hạn:

0

0

1lim 1,

ln 1lim 1

x

x

x

ex

xx

Ví dụ 12: Cho hàm số 3ln 1 1k

xf x

x

, trong đó k là một số nguyên dương. Tìm tất cả các giá trị

của k để f x có giới hạn hữu hạn khi x dần tới 0.

A. , 3k k . B. ,0 3k k . C. , 3k k . D. ,0 3k k .Lời giải

Đáp án D

Cách 1: Ta có 3 3

3 30 0

ln 1 1 ln 1 1 1lim lim .k kx x

x xx x x

Mà 3

30

ln 1 1lim 1x

xx

nên để f x có giới hạn hữu hạn khi x dần tới 0 thì hàm số

31kg x

x phải có giới hạn hữu hạn khi x dần tới 0. Muốn vậy thì 3 0 3k k . Vì k

nguyên dương nên đáp án là D.

Cách 2: Sử dụng MTTCT tìm giới hạn khi 3k , ta được 3

30

ln 1 1lim 1x

xx

.

Vậy ta chỉ xét đáp án C hoặc D. Chẳng hạn với đáp án C, ta sử dụng MTCT tìm giới hạn khi 4k

. Ta được 3

30

ln 1 1limx

xx

. Do đó loại đáp án C. Vậy đáp án đúng là D.

*** Trong chương trình lớp 12 sẽ được học khái niệm căn bậc n.Định nghĩaCho số thực b và số nguyên dương n 2n . Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu

na bVới n chẵn và:

0b : Không tồn tạo căn bậc n của b .

59

0b : Có một căn bậc n của b là số 0.0b : Có hai căn trái dấu, kí hiệu giá trị dương là n b , còn giá trị âm là n b

Sau đây ta xét một vài ví dụ liên quan đến căn bậc n.STUDY TIP

nna b a b -Mọi số thực đều có một căn bậc lẻ và chỉ có một căn bậc lẻ- Chỉ có số không âm mới có căn bậc chẵn.Số 0 có một căn bậc chẵn là 0.Các số dương có hai căn bậc chẵn đối nhau.

Ví dụ 13: Cho a là một số thực khác 0 và n là một số nguyên dương, 2n . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

A. 0

1 1limn

x

ax ax n

. B.

0

1 1limn

x

ax nx a

.

C. 0

1 1 1limn

x

axx n

. D.

0

1 1 1limn

x

axx a

.

Lời giảiĐáp án A.

Cách 1: Sử dụng MTCT tìm giới hạn với 5n và 3a , ta được kết quả 5

0

1 3 1 3lim5x

xx

vậy đáp án đúng là A.

Cách 2: Đổi biến đặt 11 1

nnn tt ax t ax x

a

Ta có khi 0x thì 1t và

1 21 2

1 1 1 11 ... 11 ... 1

n

n n nn n

ax t t aa ax t t t tt t t t

Mà 1 21lim

.. 1n nx

a at t t n

nên suy ra 0

1 1limn

x

ax ax n

. Vậy chọn A.

STUDY TIP

0

1 1limn

x

ax ax n

1 2 2 1...n n n n n na b a b a a b ab b

1 21 1 ... 1n n na a a a a

Ví dụ 14: Biết 3

48

1 19lim8 2x

x x abx

trong đó

ab

là phân số tối giản, a và b là các số nguyên dương.

Tổng a b bằngA. 137. B. 138. C. 139. D. 140.

Lời giảiĐáp án C.

Với những bài dạng này, sẽ khó sử dụng MTCT để tìm đáp án đúng.

60

Đặt 8t x . Suy ra 8x t . 8

lim 0x

t

và

33 3

4 44

3

4

3 1 3 11 19 9 27 9 278 2 16 2 2 1 2

16

1 1 1 19 27

32

116 1

t tx x t t

x t t

t t

t t g tt

t

Do đó 3

48 0

1 19lim lim ( )8 2x t

x x g tx

. Áp dụng ví dụ 13 Ta có:

3 4

0 0 0

1 1 11 1 1 1 1 11 1 19 27 169 27 16lim ;lim ;lim2 18 3 81 4 64t t t

t t t

t t t

Vậy 0

1 13 11218 81lim ( ) . 12 27

64t

g t

Do đó 3

48

1 19 112lim278 2x

x xx

. Vậy 112, 27a b và 139a b

*** Tính giới hạn vô định dạng 00

bằng đạo hàm (Quy tắc L’Hôpital).

STUDY TIP*Quy tắc L’Hôpital

0 0

0

0

'( )lim lim( )x x x x

f xf xg x g x

.

Trong đó f x và g x xác định trên khoảng ;a b , 0 ;x a b

0 0

lim lim 0x x x x

f x g x

(Hoặc 0 0

lim limx x x x

f x g x

)

Và 0

'lim

'x x

f xg x

tồn tại

Trước khi đọc phần này xin đọc chương đạo hàm trong chương trình lớp 11Ví dụ 15: Ta xét lại ví dụ 9 đã nêu ở trên.

Cho số thực a khác 0. Khi đó 2

0lim

1 cosx

xax

bằng

A. 22a

. B. 2a

. C. 22a . D. 2a .

61

Lời giảiĐáp án A

Ngoài hai lời giải đã nêu ở trên ta còn một cách áp dụng Quy tắc L’Hopital như sau: 2

2 20 0 0

2 2 2lim lim lim1 cos sin cosx x x

x xax a ax a ax a

Ở đây ta áp dụng Quy tắc L’Hopital 2 lần. Cách sử dụng Quy tắc này rất hữu dụng khi giải các bài toán trắc nghiệm. Tuy nhiên không áp dụng Quy tắc này cho các bài toán tự luận do Quy tắc L’Hopital không được trình bày trong chương trình THPT.

STUDY TIPCó thể áp dụng quy tắc L’Hopital nhiều lần để tính giới hạnĐề nghị: Độc giả hãy vận dụng quy tắc L’Hopital để giải các ví dụ đã nêu ở dạng 2 này.bài tập dạng trắc nghiệm. Nếu là bài tập dạng tự luận thì các em cần trình bày chi tiết theo phương pháp đã nêu trên. Riêng A và B, ta giải tự luận như sau:

2

1 1 1lim lim lim 01 ( 1)( 1) 1x x x

x xx x x x

5 ( 5)( 5)lim lim lim ( 5)5 5x x x

x x x xx x

Ví dụ 2: Giới hạn 3 3 1lim5 2x

x xx

bằng:

A. 0 B. 32

C. D.

Đáp án D

Cách 1: Theo kết quả đã nêu ở trên thì 3

23 1 1lim lim5 2 2x x

x x xx

Cách 2: Sử dụng MTCT

Bổ sung: Nếu là bài toán tự luận ‘Tìm 3 3 1lim5 2x

x xx

” thì ta có hai cách giải như sau:

Cách 1: Ta có 2

3133 1lim lim 55 2 2

x x

xx x xx

x

. Mà 2 1lim ( 3 )

xx

x ;

5lim ( 2) 2 0x x

nên theo qui tắc 2, 2

3133 1lim lim 55 2 2

x x

xx x xx

x

62

Cách 2 : Ta có 3 2 3

3 2

3 113 1lim lim 5 25 2x x

x x x xx

x x

. Mà 2 3 3 2

3 1 5 2lim (1 ) 1; lim ( ) 0x xx x x x

và

3 2

5 2lim 0x x x

với mọi 0x nên theo qui tắc 2, 3 2 3

3 2

3 113 1lim lim 5 25 2x x

x x x xx

x x

STUDY TIP

k a lim k

xax

+ + Chẵn- - + - Lẻ- +

Ví dụ 3 : Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng ?

A.

5 3

3 2

7lim2 3 1x

x xx x

B.

2 3

2

1 3lim4 1x

x xx

C.

3 4

3

3 5lim1x

x xx x

D.

2 6

2

3lim1 5x

x xx x

Đáp án C

Lời giải

Cách 1 : Theo cách ghi kết quả ở trên thì5 3 2 3

2 23 2 2

7 1 1 3 1lim lim ; lim lim ;2 3 1 2 4 1 4x x x x

x x x xx xx x x

3 4 2 64

3 5

3 5 3 1lim 3 lim ; lim lim ;1 1 5 5x x x x

x x x xx xx x x x

Cách 2 : sử dụng MTCT tính lần lượt các giới hạn

Khi đến C thấy 3 4

3

3 5lim 3 lim1x x

x x xx x

nên dừng lại và chọn đáp án C

Ví dụ 4 : Giới hạn 24 1lim

1x

x xx

bằng :

A. 2 B. -2 C. 1 D. -1Đáp án B

Lời giải :

Cách 1 :

2 2 2 21 1 1 1 1 14 4 44 1lim lim lim lim 211 1 1 1

x x x x

x xx x x x x x x xx x x

x

Vậy chọn đáp án B

63

Cách 2 : Sử dụng MTCT

Ví dụ 5 : Giới hạn 2 24 1lim

2 3x

x x xx

bằng :

A. 12

B. 12

C. D.

Đáp án BLời giải :

Cách 1 : Theo ví dụ đã trình bày ở dạng 1 thì 2 2lim ( 4 1)x

x x x

Ta đưa 2x ra ngoài căn rồi chia cả tử và mấu cho x. Cụ thể như sau :

2 2 2

2 2

1 11 44 1lim lim2 3 2 3

1 1 1 11 4 1 4 1lim lim 32 3 22

x x

x x

x xx x x x xx x

x xx x x xx

x

Vậy đáp án đúng là BCách 2 : Sử dụng máy tính tính giá trị hàm số tại 1010x ta được kết quả như hình bên. Vậy chọn đáp án BCách 3 : Ta có thể giải bài này bằng phương pháp loại trừ như sau :Vì 2 2lim ( 4 1) ; lim (2 3)

x xx x x x

nên giới hạn cần tìm phải mang dấu

dương. Mặt khác bậc tử và bậc mẫu bằng nhau nên giới hạn cần tìm là hữu hạn.Đáp án cần tìm là đáp án B

STUDY TIP

Ví dụ 6 : Biết 3 2

2 1lim3 2x

x axx x b

trong đó a, b là các số nguyên dương. Giá trị nhỏ nhất của tích

ab bằng :

A. 6 B. 12 C. 18 D. 24Đáp án C

Lời giải :

Ta có : 3 2

3 2 3 2

2 1 2 6lim lim3 2 3 2 3x x

x x xxx x x x

Vậy 63

ab

Dễ dàng suy ra được tích của ab là 18.

Chú ý : Nếu sử dụng MTCT tính giá trị hàm số tại 1010x thì ta thu được kết quả như hình bên. Do đó, nếu không có kiến thưc về giới hạn hàm số, rất khó tìm ra được đáp án đúng nếu chỉ dùng MTCT. Ngược lại nếu có kiến thức vững vàng, bạn đọc sẽ nhanh chóng tìm ra đáp án, thậm chí là trong chớp mắt ! Vì vậy, tôi xin nhắc lại, tôi khuyến nghị các bạn đọc nên giải bài tập theo kiểu tự luận một cách căn cơ để có thể đối mặt với các bài toán ‘’chống MTCT’’

STUDY TIP

64

Dạng 4 : Dạng vô định 0.

Bài toán : Tính giới hạn 0

lim [ ( ) ( )]x x

u x v x

khi 0

lim [ ( )] 0x x

u x

và 0

lim [v( )]x x

x

Phương pháp : Ta có thể biến đổi 0 0

( )lim [u(x)v( )] lim 1( )

x x x x

u xx

v x

để đưa về dạng 00

hoặc

0 0

( )lim [u(x)v( )] lim 1( )

x x x x

u xx

v x

để đưa về dạng

.

Tuy nhiên, trong nhiều bài tập, ta chỉ cần biến đổi đơn giản như đưa biểu thức vào trong/ ra ngoài dâu căn, quy đồng mẫu thức …. Là đưa được về dạng quen thuộc.

Ví dụ 1 : Giới hạn 0

1 1lim ( 1)1x x x

bằng :

A. 0 B. -1 C. 1 D. Đáp án B

Phân tích : Ta có 0 0

1 1lim ; lim( 1) 01x xx x

nên chưa có thể áp dụng các định lí, qui tắc để

tính giới hạn.Lời giải :

Cách 1 : Ta có 0 0 0 0

1 1 1 ( 1) 1lim ( 1) lim lim lim 11 ( 1) ( 1) 1x x x x

x xx x x x x x x

Cách 2 : Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số tại 0,00000001 ta được kết quả như hình bên. Do

đó chọn đáp án B, tức 0

1 1lim ( 1) 11x x x

STUDY TIP

Ví dụ 2 : Giới hạn 22lim ( 2)

4x

xxx

bằng :

A. B. C. 0 D. 1Đáp án C

Phân tích : Vì 22 2lim ( 2) 0; lim

4x x

xxx

nên chưa có thể áp dụng các định lý và qui tắc

để tính giới hạn.Lời giải :

Cách 1 : Với mọi 2x ta có : 2

2 2

( 2) ( 2)( 2)4 4 2

x x x x xxx x x

65

Do đó 22 2

( 2)lim ( 2) lim 04 2x x

x x xxx x

. Vậy chọn đáp án C



2 1lim ( 1)5 2x

xxx x

bằng:

A. 2

2

B. 105

C.

55

D. 2

Đáp án B

Phân tích: Ví dụ tương tự đã được nghiên cứu trong phần dạng vô định

Tuy nhiên vì 3

2 1lim ( 1) ; lim 05 2x x

xxx x

nên giới hạn này cũng có thể coi như dạng

0.Lời giải

Cách 1: Với 1x ta có 1 0x nên 21 ( 1)x x . Do đó

2

3 3

2 1 ( 1) (2 1) 10lim ( 1) lim5 2 5 2 5x x

x x xxx x x x

Vậy chọn đáp án BCách 2: Sử dụng MTCT. Tính giá trị hàm số tại

1010x ta được kết quả như hình bên. So sánh các đáp số A, B, C, D ta chọn đáp án đúng là B.

STUDY TIPTa chỉ quan tâm đến lũy thừa bậc cao nhất là

3x . Hệ số của 2x trong

2( 1)x là 21 do

2 21 2 1x x x . Hệ số của x trong 2x + 1 là 2 nên hệ số của 3x trên tử là

21 .2 . Ở đây

không nhất thiết phải khai triển tích thành đa thức để tìm hệ số của 3x .

Ví dụ 4: Giới hạn 1lim (xsin )

x x bằng

A. 0 B. 1 C. D. Không tồn tạiĐáp án B

Phân tích: Vì 1lim 0

x x nên

1lim sin 0x x

. Ta có dạng 0. . Lời giải như sau :

Lời giải :

Cách 1 : Ta có :

1sin1lim ( sin ) lim 1x x

xxx

x

Đặt 1tx

và lim 0x

t

thì 1 sintlim ( sin ) lim 1

x xx

x t

Cách 2: Sử dụng MTCT ( Lưu ý chuyến máy về chế độ Radian)STUDY TIP

Ở ví dụ 4 ta đã chuyển dạng 0. thành 00 do ta liên tưởng đến giới hạn đặc biệt 0

s inxlim 1x x

66


lim ( ) anx2x

x t

bằng

A. 1 B. 0 C. D. Không tồn tạiĐáp án A

Phân tích: vì 2 2 2

s inxlim ( ) 0; lim anx= lim2 cosx x x

x tx

nên ta có dạng 0.

Lời giải :

Cách 1 : Đặt 2t x

thì 2

, lim 02 x

x t t

và

sin( )2( ) tan tan( ) t cos

2 2 sincos( )2

t tx x t t ttt

. Do đó

2

lim ( ) t anx= lim 12 sint o

x

tx costt

Cách 2 : Sử dụng MTCTSTUDY TIP

2 2

lim anx=+ ; lim anx=+x x

t t

. Lưu ý để tránh nhầm lẫn giữa hai giới hạn này

Dạng 5 : Dạng

Bài toán : Tính 0

lim [ ( ) ( )]x x

u x v x

khi 0

lim ( )x x

u x

và 0

limv( )x x

x

Hoặc tính

0

lim [ ( ) ( )]x x

u x v x

khi 0

lim ( )x x

u x

và 0

limv( )x x

x

Phương pháp : Nhân hoặc chia với biểu thức liên hợp (nếu có căn thức) hoặc qui đồng để đưa về cùng một phân thức ( nếu chứa nhiều phân thức).

Ví dụ 1 : Giới hạn 2 2lim 1x

x x x

bằng

A. 12 B.

14 C. D.

Đáp án A

Lời giải :

Cách 1:

Phân tích: Ta thấy 2 2lim ; lim 1

x xx x x

nên bài này thuộc dạng . Tương

tự như giới hạn dãy số, ta nhân chia với biểu thưc liên hợp. Lời giải cụ thể như sau:

Ta có: 2 2

2 2

2

111 1lim 1 lim lim21 11 1 1

x x x

x xx x xx x x

x x


67

Ví dụ 2: Giới hạn 2lim 9 1 3x

x x x

bằng

A.

23 B.

23

C.

16 D.

16

Đáp án DLời giải:

Phân tích: Ta có 2lim 9 1 ; lim (3 )

x xx x x

nên bài này thuộc dạng vô

định (mặc dù biểu thức của hàm số lấy giới hạn có hạng tổng). Ta tiến hành nhân chia với biểu thức liên hợp. Lời giải cụ thể như sau:

Ta có: 2

2

2

1 1lim 9 1 3 lim lim1 19 1 3 9 3

x xx x xx x x x x

x x

2

11 1 1lim .3 3 61 19 3

x

x

x x

Vậy chọn đáp án D.

Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số tại 1010x ta được kết quả như hình bên. Sử

dụng ki thuật tìm dạng phân số của một số thập phân vô hạn tuần hoàn ta được 10,1 66

(xem lại phần giới hạn dãy số). Vậy chọn đáp án D.

Studytip:

Ví dụ 3. Giới hạn 32 3 2lim 4 3 8 2 1

xx x x x

bằng:

A. 1324

B. 712

C. 1324

D. 712

Lời giải

Cách 1: Phân tích:

Vì 32 3 2lim 4 3 ; lim 8 2 1x x

x x x x

nên đấy cũng là dạng vô định . Tuy

nhiên vì là hiệu của hai căn thức không cùng bậc nên ta chưa thể nhâ chia với biểu thức liên

hợp luôn được. Nhận thấy 0x thì 32 34 8 2x x x nên ta thêm bớt 2x rồi nhân chia liên hợp.

Với 0x : 3 32 3 2 2 3 24 3 8 2 1 4 3 2 2 8 2 1x x x x x x x x x x

68

2

2 2

333 3

1234 3 2 2 1 2 14 2 8 8

x xx x x

x x x x

Do đó 32 3 2lim 4 3 8 2 1x

x x x x

2

2

333 3

123 3 2 7lim .2 2 4 4 4 123 2 1 2 14 2 4 2 8 8

x

x

x x x x x

Do đó chọn B.

Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số tại 1010x ta được kết quả như hình bên. Sử

dụng ki thuật tìm dạng phân số của một số thập phân vô hạn tuần hoàn ta được 70,58 3 .12

(xem lại phần giới hạn dãy số). Vậy chọn đáp án D.

Studytip:

Lưu ý: Ta xem lại một Ví dụ đã trình bày ở dạng 1 như sau:

Ví dụ 4. Giới hạn của hàm số 2 24 1f x x x x khi x bằng:

A. B. C. 1 D. 3Phân tích: Ví dụ này cũng thuộc dạng nhưng lại không phải là dạng vô định. Bằng các định lí và quy tắc, ta tính được giới hạn hàm số mà không cần phải nhân chia với biểu thức liên hợp. Ta xem cách giải cho tiết dưới đây.

Lời giải

2 2 2 22 2

1 1 1 14 1 1 4 1 4x x x x x x xx x x x

2

1 11 4 .xx x

Ta có limx

x

và 2

1 1lim 1 4 1 2 1 0.x x x

Vậy 2 22

1 1lim 4 1 lim 1 4 .x x

x x x xx x

69

Studytip:Cũng là nhưng khi nào là xác định, khi nào là vô định? Khi nào phải nhân chia liên hợp, khi nào thì đưa nx ra ngoài căn rồi đặt nhân tử chung như Ví dụ 4? Để có câu trả lời mời quý độc giả hãy đọc lại phần giới hạn dãy số có chứa căn.

Ví dụ 5. Trong các giới hạn sau giới hạn nào là hữu hạn:

A. 2lim 4 4 3 2 .x

x x x

B. 2lim 2 1 3 .x

x x x

C. 2lim 1 2 .x

x x x

D. 2lim 3 2 .x

x x x

Lời giải

Cách 1: Với các kết quả đã biết phần giới hạn dãy số có chứa căn, ta thấy ngay đáp án là D. Thật vậy:

2 2lim 4 4 3 ; lim 2 lim 4 4 3 2 .x x x

x x x x x x

2 2lim 2 1 ; lim 3 lim 2 1 3 .x x x

x x x x x x

22

1 1lim 1 2 lim 1 2x x

x x x xx x

do 2

1 1lim ; lim 1 2 1 2 0.x x

xx x

2

2

2

233 2 3lim 3 2 lim lim .23 23 2 1 1

x x x

x xx x xx x x

x x

Cách 2: Sử dụng MTCT để tìm lần lượt các giới hạn.

Ví dụ 6. Giới hạn 22

1 1lim4 2x x x

bằng:

A. B. C. 3 D. 2Lời giải

Cách 1: Vì 22 2

1 1lim ; lim4 2x xx x

nên ta có dạng .

Theo phương pháp đã nêu từ đầu, ta đi quy đồng mẫu số các phân thức.

Ta có 22 2 2

1 1 1 1 1lim lim lim .4 2 2 2 2 2 2x x x

xx x x x x x x

Vì

2 2

1 3lim 0, lim 2 02 4x x

x xx

và 2 0x với mọi 2x nên theo quy tắc 2,

22 2

1 1 1lim lim .4 2 2 2x x

xx x x x

Do đó chọn B

70

Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số tại 2,00000001x ta được kết quả như hình bên.

Do đó chọn đáp án B, tức là 22

1 1lim .4 2x x x

Ví dụ 7. Cho a và b là các số thực khác 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để giới hạn:

2 22lim

6 8 5 6x

a bx x x x

là hữu hạn:

A. 4 0.a b B. 3 0.a b C. 2 0.a b D. 0.a b Lời giải

Cách 1: Ta có 2 26 8 5 6 2 4 2 3

a b a bx x x x x x x x

3 4.

2 3 4 2 3 4a x b x g xx x x x x x

Ta có 2 2 2 2

lim 2 0; lim 3 1; lim 4 2; lim 2 .x x x x

x x x g x b a

Do đó nếu 2

lim 0 2 0x

g x b a

thì giới hạn cần tìm là vô cực theo quy tắc 2.

Từ đó chọn được đáp án đúng là C.

(Thật vậy, nếu 2

lim 2 0x

g x b a

thì

2 2

26 8 5 6 2 3 4 3 4a b bx b b

x x x x x x x x x

Và do đó 2 22 2

lim lim .6 8 5 6 3 4 2x x

a b b bx x x x x x

Cách 2: Sử dụng MTCT. Với mỗi đáp án, lấy các giá trị cụ thể của a và b , thay vào hàm số rồi tính giới hạn.

Từ đó chọn được đáp án là C.

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNGDẠNG 1. BÀI TẬP TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁCH SỦ DỤNG ĐỊNH NGHĨA, ĐỊNH LÍ, QUY TẮC.

Câu 1: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để 7B với 3 2

1lim 3 2 .x

B x x m m

A. 1m hoặc 3m B. 1m hoặc 3m C. 1 3m D. 1 3.m

71

Câu 2: Cho hàm số 2 1 1

.1

2 2 1

x khi xf x x

x khi x

Khi đó 1

limx

f x

bằng:

A. 0 B. 2 C. D.

Câu 3: Trong các hầm số sau, hàm số nào có giới hạn tại điểm 1?x

A. 11

f xx

B. 11

g xx

C. 11

h xx

D. 11

t xx

Câu 4: Chọn khẳng định đúng.

A. 0

1lim cos 0x x

B. 0

1lim cos 1x x

C. 0

1lim cos 1x x

D. 0

1lim cosx x

không tồn

tại.

Câu 5: Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng ?

A. 3 2lim 5 1 .x

x x x

B. 4lim 2 3 1 .x

x x

C. 2 3lim 4 7 2 .x

x x

D. 5lim 3 2 .x

x x


A. 2lim 4 4 3 2 .x

x x x

B. 2lim 4 4 3 2 .x

x x x

C. 2lim 4 4 3 .x

x x x

D. 2lim 4 4 3 .x

x x x


A.

2

3

6lim .9 3x

xx

B. 1

1 2lim .5 5x

xx

C.

3

42

5 3lim .2x

xx

D.

3

21

2 4lim1x

xx

Câu 8: Trong các giới hạn sau, giới hạn nào là vô cực?

A. 2

322

1lim .2x

x xx x

B.

3 2

222

2lim .6x

x x

x x

C.

2

43

9lim .2 1 3x

x xx x

D. 2

41

2 1lim .

1x

x xx x

Câu 9: Trong các giới hạn sau, giới hạn nào là vô cực?

A. 2

3lim .5 2 4x x x x

B. 3

0

2 8lim .x

xx

C.

2

41

2 3lim .x

x x xx x

D. 3 3

5lim .4 2x x x

Câu 10: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho hàm số 29 3 1f x mx x x có giới hạn

hữu hạn khi .x A. 3m B. 3m C. 0m D. 0m

DẠNG 2. GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH DẠNG 0 .0

72

Câu 11: Giới hạn 2

3 6lim

2x

xx

A. Bằng 3 B. Bằng 3 C. Bằng 0 D. không tồn tại

Câu 12: Cho a là một số thực khác 0. Kết quả đúng của 4 4

limx a

x ax a

bằng:

A. 33a B. 32a C. 3a D. 34a

Câu 13: Cho 2

21

1lim ,1x

x mx mC mx

là tham số thực. Tìm m để 2.C

A. 2m B. 2m C. 1m D. 1m

Câu 14: Cho a và b là các số thực khác 0.Nếu 2

2lim 6

2x

x ax bx

thì a b bằng:

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

Câu 15: Cho a và b là các số thực khác 0.Giới hạn 0

1 1limsinx

axbx

bằng:

A. 2ab

B. 2ab

C. 2ab

D. 2ab

Câu 16: Cho , , ca b là các số thực khác 0,3 2 0.b c Tìm hệ thức liên hệ giữa , ,a b c để:

30

tan 1lim .21 1x

axbx cx

A. 13 2 10

ab c

B. 13 2 6

ab c

C. 13 2 2

ab c

D. 13 2 12

ab c

Câu 17: Cho m và n là các số nguyên dương phân biệt. Giới hạn 1

sin 1lim m nx

xx x

bằng:

A. m n B. n m C. 1m n

D. 1n m

Câu 18: Để tính giới hạn 1

5 4 2 1lim ,1x

x xx

bạn Bính đã trình bày bài giải như sau:

Bước 1: Ta có:

1 1 1

5 4 2 1 5 4 1 2 1 1lim lim lim .1 1 1x x x

x x x xx x x

Bước 2: 1 1 1

5 15 4 1 5 5lim lim lim .1 25 4 11 5 4 1x x x

xxx xx x

Bước 3: 1 1 1

2 12 1 1 2lim lim lim 1.1 2 1 11 2 1 1x x x

xxx xx x

Bước 4: 1

5 4 2 1 5 3lim 1 .1 2 2x

x xx

Hỏi lời giải của bạn Bính đã mắc lỗi sai ở bước nào?

73


Câu 19: Biết 3

22

8 11 7lim3 2x

x x mx x n

trong đó m

n là phân số tối giản, m và n là các số nguyên dương.

Tổng 2m n bằng:A. 68 B. 69 C. 70 D. 71

Câu 20: Biết

3

23

6 9 27 54lim ,3 3 18x

x x mnx x x

trong đó m

n là phân số tối giản, m và n là các số nguyên

dương. Khi đó 3m n bằng:A. 55 B. 56 C. 57 D. 58

Câu 21: Giới hạn

3

21

3 2 5 4lim1x

x xx

bằng:

A. B. C. 0 D. 1Câu 22: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0?

A. 31

1lim .1x

xx

B.

2

22

1lim .3 2x

xx x

C. 2

23

6lim .3x

x xx x

D. 22

3 22

6lim .

2x

x xx x

Câu 23: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào khác 0?

A. 2

2

3 2lim .2x

x xx

B.

2

23

9lim .1 3x

x

x x

C.

2

21

3 2lim .2 1x

x xx x

D.

3

21

1lim .1x

xx

Câu 24: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào không tồn tại?

A. 3

22

8lim .11 18x

xx x

B. 3

0

3 27lim .x

xx

C.

2 4

0

3lim .2x

x xx

D. 22

2lim .

3 2x

x xx x

Câu 25: Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào không hữu hạn?

A. 2

32

2 10lim .8x

x xx

B. 2

23

4 3lim .6 9x

x xx x

C. 22

2lim .5 3x

xx

D. 23

1 2lim .9x

xx

DẠNG 3: GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH DẠNG .

Câu 26: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 1 ?

A. 2 1lim .

1x

xx

B. 3 2

2 3

3lim .5x

x xx x

C. 2

2 3lim .5x

xx x

D. 2

2

2 1lim .3x

x xx x

Câu 27: Trong các giới hạn hữu hạn sau đây, giới hạn nào là lớn nhất?

A.

3

3

1 3 2 5lim .

1x

x x x

x x

B.

2 2

4

2 1 2lim .

2 1x

x x x

x x x

C.

2 2

3

1 2 4lim .

3 1x

x x xx x

D.

2 3

4

3 1 2lim .

2 1x

x x

x x x

Câu 28: Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào là ?

74

A. 22 1lim .

3x

x xx

B. 23 5lim .1 2x

x xx

C. 3 2

2

1 3lim .5 2x

x xx x

D. 2 4

2

3 1lim .2x

x xx x

Câu 20. Tính giới hạn 2

2

2 3lim4 1 2x

x x xx x

.

A. 12

. B. 23

. C. 23

. D. 12

.

Câu 21. Cho , ,a b c là các số thực khác 0 . Tìm hệ thức liên hệ giữa , ,a b c để 29 2lim 5

1x

ax b xcx

.

A. 3 5a bc

. B. 3 5a bc

. C. 3 5a bc

. D. 3 5a bc

.

Câu 22. Cho a và b là các tham số thực . Biết rằng 24 3 1lim 0,

1x

x x ax b acx

và b thỏa mãn

hệ thức nào trong các hệ thức dưới đây ?A. 9.a b B. 9.a b C. 9.a b D. 9.a b

Câu 23. Trong các giới hạn sau , giới hạn nào là ?

A. 4

2

2 1lim2x

x xx x

. B. 2 5 2lim1 2x

x xx

.

C. 5

2

11lim2 1x

x xx x

. D. 3 3 22 1lim

1 2x

x xx

.

Câu 24. Tìm giới hạn nhỏ nhất trong các giới hạn hữu hạn sau.

A. 6

3

2lim3 1x

xx

. B. 2

32

2lim8 3x

x xx x

.

C. 2lim2x

x xx x

. D. 2

2 3lim

5x

x

x x

.

Câu 25. Trong các giới hạn hữu hạn sau , giới hạn nào là lớn nhất?

A. 2

33

2 5 1lim

3 1x

x xx x

. B. 2

2

2 1 3lim

5x

x xx x

.

C. 4 2

3

2lim1 3 1x

x xx x

. D. 2

3 2lim

1x

x

x x

.

Câu 26. Trong các giới hạn hữu hạn sau , giới hạn nào là nhỏ nhất?

A. 2 2lim3 4x

x x xx

. B. 3lim 1 21x

xxx

.

C. 2 24 1lim

2 3x

x x xx

. D. 4 5

5 4

3 4 2lim9 5 4x

x xx x

.

DẠNG 4: Giới hạn vô định dạng 0.

Câu 27. Cho a là một số thực dương. Tính giới hạn

21 1 1lim

x a x a x a

.

75

A. bằng 2

1a

. B. là . C. là . D. không tồn tại.

Câu 28. Trong các giới hạn sau , giới hạn nào là hữu hạn ?

A. 3

4 2lim 12 1x

xxx x

. B. 2

3lim 11

x

xxx

.

C. 3

1lim 2x

xxx x

. D. 2

4lim 12 1x

xxx x

.

Câu 29. Trong các giới hạn hữu hạn sau , giới hạn nào là nhỏ nhất?

A. 3

2 1lim 12x

xxx x

. B. 3

3 11lim 1 21x

xxx

.

C. 321

lim 11x

xxx

. D. 3

1lim 2 35 2 1

x

xxx x

.

Câu 30. Tính giới hạn 2 32 3lim

x

x xxx x

.

A. 12

. B. 0. C. . D.

Câu 31. Tính giới hạn 4

lim tan 2 tan4x

x x

.

A. 2 . B. 0. C. 12

. D. 14

DẠNG 5: Dạng vô định

Câu 32. Cho n là một số nguyên dương. Tính giới hạn

1

1lim1 1nx

nx x

.

A. 2n . B. 1

2n . C. 1

2n . D. 2

2n

Câu 33. Cho hàm số 3

1 3 11 1

2 1

khi xf x x x

mx khi x

. Với giá trị nào của m thì hàm số f x có giới hạn

tại điểm 1x A. 2. B. -1. C. 1. D. 3

Câu 34. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực k sao cho giới hạn 21

1lim( )1 1x

kx x

là hữu hạn.

A. 2k . B. 2k . C. 2k . D. 2k .Câu 35. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào là 1 ?

A. 2lim ( 2 )x

x x x

. B. 2lim ( 2 )x

x x x

.

C. 2lim( 2 )x

x x x

. D. 2lim ( 2 )x

x x x

.

Câu 36. Giới hạn 2lim ( 3 5+ax) = +x

x x

nếu.

A. 1a . B. 1a . C. 1a . D. 1a .

Câu 37. Cho a và b là các số thực khác 0 . Biết 2lim ( 2) 3x

ax x bx

, thì tổng a b bằng

A. 2 . B. 6 . C. 7 . D. 5 .

76

Câu 38. Cho a và b là các số thực khác 0 . Biết 2lim (ax+b- 6 2) 5x

x x

số lớn hơn trong hai số

a và b là số nào trong các số dưới đây?A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 1.

Câu 39. Trong các giới hạn dưới đây, giới hạn nào là vô cực?A. 2 2lim ( 2 2 3)

xx x x

. B. 2lim ( 4 1 2 )

xx x x

.

C. 2lim ( 9 3 1 5 )x

x x x

. D. 2 2lim ( 3 1 3 5 )x

x x x

.

Câu 40. Biết 32 3 2lim ( 9 2 27 4 5)x

mx x x xn

trong đó mn

là phân số tối giản, m và n là các

số nguyên dương. Tìm bội số chung nhỏ nhất của m và n . A. 135 . B. 136 . C. 138 . D. 140 .

Câu 41. Cho a và b là các số nguyên dương. Biết 32 3 2 7lim ( 9 + ax 27 5)27x

x x bx

, hỏi a và b

thỏa mãn hệ thức nào dưới đây? A. 2 33a b . B. 2 34a b . C. 2 35a b . D. 2 36a b .

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

DẠNG 1: Bài tập tính giới hạn bằng cách sử dụng định nghĩa, định lý, qui tắc.

Câu 1. Đáp án B.

Cách 1: Ta có 4223lim 222

1

mmmmxxB

x.

Do đó 7B 17422 mmm hay 3m .

Cách 2: Sử dụng MTCT tính B khi 4m và 0m .

Khi 4m thì 712 B , do đó chỉ xét A và B.

Khi 0m thì 74 B , do đó A sai vậy B đúng.

Câu 2. Đáp án D.

Cách 1: Ta có x

xxfxx

11lim)(lim

2

11.

Vì 01lim;21lim1

2

1

xx

xx và 1;01 xx

nên theo quy tắc 2:

x

xxfxx 1

1lim)(lim2

11.

Cách 2: Ta có x

xxfxx

11lim)(lim

2

11.

Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số tại 99999999,0x ta được kết quả 199999998 .

77

Vậy chọn D.

Câu 3. Đáp án A.

Vì 01lim1

xx

, 1,01 xx nên

1

1lim)(lim11 x

xfxx

.

Giải thích thêm:

+ Hàm số 1

1)(

x

xg xác định trên khoảng ;1 nên không tồn tại giới hạn bên trái tại 1x

, do đó không tồn tại giới hạn tại 1x .

+ Hàm số x

xh

11)( xác định trên khoảng 1; nên không tồn tại giới hạn bên phải tại

1x , do đó không tồn tại giới hạn tại 1x .

+ Vì 01lim1

xx

, 1,01 xx , 1,01 xx

nên lim ( ) limx x

t xx

1 1

11

, lim ( ) limx x

t xx

1 1

11

.

Vậy lim ( ) lim ( )x x

t x t x

1 1

nên không tồn tại lim ( )x

t x1

.


Xét dãy số nx với 121

n

xn . Ta có 0nx và 112coslim1coslim nxn

(1).

Lại xét dãy số ny với n

xn 21

. Ta có 0ny và 12coslim1coslim nyn

(2)

Từ (1) và (2) suy ra xx

1coslim0

không tồn tại.

Câu 5. Đáp án C.

Cách 1: Ta có

)15(lim 23 xxxx

,

)132(lim 4 xxx

;

)274(lim 32 xxx

;

)23(lim 5xxx

.

Cách 2: Sử dụng MTCT tính lần lượt các giới hạn cho đến khi tìm được giới hạn bằng .


Cách 1: Ta có

78

+

xxxx

2344lim 2 ,

xxxx

2344lim 2

+

1344lim344lim 2

2

xxxxxx

xx

Do đó

344lim 2 xxxx

.



Cách 1: Ta có 036lim 2

3

x

x; 039lim

3

x

x và 3,039 xx .

Vậy theo quy tắc 2,

xx

x 396lim

2

3.

Tương tự:

xx

x 5521lim

1;

2

3

2 235lim

xx

x;

2

3

1 142lim

xx

x.

Do đó đáp án đúng là C ( Thật ra ta chỉ cần tính đến C là chọn được đáp án đúng).



Cách 1: Các hàm số trong A, C, D đều xác định tại các điểm điểm tính giới hạn. Do đó đáp án là B.

Thật vậy, ta tính được bằng MTCT:

22

23

2 62lim

xxxx

x.

Cách 2: Sử dụng MTCT tính lần lượt các giới hạn cho đến khi tìm được giới hạn vô cực.Câu 9. Đáp án C

Cách 1: Ta có 022)32(lim 2

)1(

xxx

x;

0)(lim 4

)1(

xx

x; 1,0)1()( 34 xxxxx .

Vậy

xx

xxxx 4

2

)1(

32lim

Bổ sung:

+

)4215(lim)425(lim 22

xxxxxx

xx nên 0

4253lim

2

xxxx

.

+ 12)126(lim88126lim82lim 2

0

23

0

3

0

xxx

xxxx

xxxx

.

+ 024

5lim)24(lim 2323

xxxx

xx.

Cách 2: Sử dụng MTCT tính lần lượt các giới hạn cho đến khi tìm được giới hạn vô cực.Câu 10. Đáp án A

Cách 1: Sử dụng MTCT tính toán khi 3m ta được kết quả 21)1393(lim 2

xxx

x

. Vậy ta chỉ xét các đáp án A và D.

79

Lại sử dụng MTCT tính toán khi 1m ta được kết quả

)139(lim 2 xxxx

. Vậy

loại đáp án D. Do đó đáp án đúng là A.Cách 2: )139(lim)(lim 2

xxmxxf

xx.

+ Nếu 0m thì

)139(lim)(lim 2 xxmxxfxx

.

+ Nếu 0m thì lim limx x

mx x x x mx x

22

3 19 3 1 9 .

Ta thấy nếu 3m thì limx

mx x

2

3 19 0 và do đó

)139(lim 2 xxmx

x.

Ngược lại nếu 3m thì 21)1393(lim 2

xxx

x. Vậy đáp án đúng là A.

DẠNG 2: Giới hạn vô định dạng 00 .


Ta có 3223lim

263

lim)2()2(

x

xxx

xx và 3

223lim

263

lim)2()2(

x

xxx

xx.

Vậy 263

lim263

lim)2()2(

x

xxx

xx nên

263

lim2

x

xx

không tồn tại.


Cách 1: Ta có 3322332234

4)(lim))((limlim aaaxxaxax

axaaxxaxaxax

axaxax

.

Cách 2: Cho a một giá trị cụ thể rồi tính giới hạn bằng máy tính cầm tay. Chẳng han với

2a ta có 4 4

32lim 32 4.22x a

xx

. Do đó chọn đáp án D.


Cách 1: 2

21

1lim)1)(1(

)1)(1(lim1

1lim112

2

1

mx

mxxx

mxxx

mmxxCxxx

Vậy 22 mC .Cách 2: Thay lần lượt các giá trị của m vào, rồi tìm C cho đến khi gặp kết quả 2C thì dừng lại.

Câu 14. Đáp án C

Đặt baxxxg 2)( . Rõ ràng là nếu ( )g 2 0 thì 2)(lim

2 xxg

x không thể hữu hạn. Do đó điều

kiện đầu tiên là ( )g a b 2 0 2 4 .

Khi đó )2

)(2()( bxxxg và 2

2)2

(lim2)(lim

22

bbxx

xgxx

.

Vậy .62862

262)(lim

2

baabb

xxg

x


80

Cách 1: lim lim( . . )sin sinx x

ax ax bxbx x bx b

0 0

1 1 1 1 1 .

Mà lim ;sinx

ax abx

0

1 12

1sin

lim0

bx

bxx

nên ;2sin

1lim0 b

abx

baxx

Cách 2: Cho a và b các giá trị cụ thể, thay vào rồi tính giới han. Chẳng hạn với 1 ba , sử

dụng MTCT ta tính được 0

1 1 1limsin 2x

xx

. Từ đó chọn đáp án đúng là B.


Cách 1: 3 3

tan tan. .1 x 1 x 1 1

ax ax xaaxb c bx cx

Lại có 0 0

tan sin a 1lim lim( . ) 1cosaxx x

ax xax ax

3

0

1 x 1 xlimx

b cx

3

0

1 x 1 1 x 1lim( )x

b cx x

3 22 3 6b c b c

Vậy 30

tan 6alim3 21 x 1 xx

axb cb c

.

Do đó hệ thức liên hệ giữa , ,a b c là 6a 1 13 2 2 3 2 12

ab c b c

Cách 2: Sử dụng MTCT. Với mỗi đáp án, chọn các giá trị cụ thể của , ,a b c thỏa mãn hệ thức rồi

thay vào để tính giới hạn. Nếu giới hạn tìm được bằng 12

thì đó là đáp án đúng.

Chẳng hạn, với đáp án A, chọn 1; 4; 1a b c , sử dụng MTCT tính được

30

tan 3lim51 4 1x

xx x

.

Vậy A không phải là đáp án đúng.Tương tự vậy B và C cũng không phải là đáp án đúng. Vậy đáp án đúng là D.


Cách 1: Ta có n( 1) s in(x-1) 11m n m n

si x xx x x x x

Mà 1

lim1

m n

x

x x m nx

;

1

n( 1)lim 11x

si xx

nên

1

n( 1) 1lim m nx

si xx x m n

Cách 2: Cho m và n các giá trị cụ thể, thay vào rồi sử dụng MTCT tính giới hạn. Chẳng hạn với

3; 1m n ta tính được 31

n( 1) 1 1lim2x

si xx x m n

.

Vậy đáp án đúng là C

81


Vì ta chưa thể biết được các giới hạn 1

5x 4 1lim1x x

;1

2x 4 1lim1x x

có hữu hạn hay không

nên chưa thể viết được:1

5x 4 2x 1lim1x x

1

5x 4 1lim1x x

1

2x 4 1lim1x x

Do đó lời giải đã mắc lỗi sai ngay ở bước đầu tiên.Ta sửa lại như sau:

Bước 1: Ta có 1

5x 4 2x 1lim1x x

1

5x 4 1 2x 1 1lim( )1 1x x x


Ta có 3

2

8x 11 x+73x 2x

3

2 2

8x 11 3 7 33x 2 3x 2

xx x

2 33

2 2( 2)( 1)( 7 3)( 2)( 1)( (8x 11) 3 8 11 9)

x xx x xx x

2 33

8 1( 1)( 7 3)( 1)( (8x 11) 3 8 11 9) x xx

Ta có 22 33

8 8lim27( 1)( (8x 11) 3 8 11 9)x x

; 2

1 1lim6( 1)( 7 3)x x x

Do đó 3

22

8x 11 x+7 8 1 7lim3x 2 27 6 54x x

Vậy 7; 54m n và 2 68m n .


Ta có 3

2

6x 9 27x-54( 3)( 3x-18)x x

3

2

6x 9 27x-54( 3) ( 6)x x

Sử dụng MTCT ta tính được:

3

23

6x 9 27x-54 1lim( 3) 6x x

;

3

1 1lim6 9x x

nên 3

23

6x 9 27x-54 1lim( 3)( 3x-18) 54x x x

. Vậy 3 57m n .

Giải tự luận: Đặt 3t x thì 3

lim 0x

t

và3

2

6x 9 27x-54( 3)x

3

2

6 9 27t+27tt

3

2 2

6 9 ( 3) ( 3) 27 27t t t tt t

82

( )

( )

t t tt t t t t t t t

tt t t t t t

2 3 2

2 22 23 3

2 23 3

9

6 9 3 3 3 27 27 27 27

1 9

6 9 3 3 3 27 27 27 27

Ta có

lim ; lim( )t t

tt t t t t t

2 230 0 3

1 1 9 16 36 9 3 3 3 27 27 27 27

Vậy

lim .x

x x

x

3

23

6 9 27 54 1 1 16 3 63

Mặt khác limx x

3

1 16 9

nên

lim .x

x x

x x x

3

2 23

6 9 27 54 1543 3 18

Lưu ý: Nếu sử dụng MTCT tính giá trị hàm số tại ,x 3 00000001 và tại ,x 2 99999999 ta đều thu được kết quả bằng 0 hoặc máy báo lỗi ( tùy theo loại máy). Điều này là do vượt quá khả năng tính toán của máy. Ta thay đổi tính giá trị của hàm số tại ,x 2 99999 thì ta được kết quả như sau

Kết quả hiển thị trên máy như vậy rất khó để ta tìm ra giới hạn chính xác của hàm số. Tuy nhiên nếu phân tích kĩ một chút rồi biến đổi như trong lời giải trên thì ta vẫn có thể tìm ra đáp án đúng chỉ bằng MTCT.

Câu 1: Đáp án ABài tập này có dạng tương tự như bài tập trên. Bằng MTCT, không khó để tìm ra đáp án đúng là A. Tuy nhiên nếu giải tự luận thì có một số vấn đề cần bàn. Đặt t x 1 thì , lim

xx t

11 0

và

x x t t t tt t tx

3 3 3

2 2 2 2

3 2 5 4 3 1 5 1 3 1 1 1 5 1

1

t tt t t t t2 22 3 3

3 5

3 1 1 1 5 1 5 1

t t t

t t t t

23 3

23 3

3 1 5 1 5 1 5 3 1 1

3 1 1 1 5 1 5 1

83

Ta có

lim

t

t t t

t t t t

23 3

20 3 3

3 1 5 1 5 1 5 3 1 1

3 1 1 1 5 1 5 1

Vậy

lim .x

x x

x

2

21

3 2 5 4

1

Ta thấy sau khi đổi biến cho gọn, ta thêm bớt tử với hàng số 1 rồi tách ra thành hai phân thức và nhân chia liên hợp mà không thêm bớt đa thức. Vậy khi nào thì thêm bớt hằng số, khi nào thì thêm bớt với đa thức? Quý độc giả hãy nghiên cứu kĩ hai bài tập trên và tự rút ra nhận xét.

Câu 2: Đáp án D

Ta có

lim lim lim .x x x

x x x x x x

x x x x x

22 2 2 2

3 2 2 22 2 2

6 3 2 3 20

2 2

Câu 3: Đáp án C

lim lim lim lim

x x x x

x xx x x x x xxxx x x

2 2 2

2 21 1 1 1

1 23 2 3 2 3 2112 1 1

lim .

xx

1

2 1 0

Câu 4: Đáp án C

Ta có lim limx x

x x x xx x

2 4 2

0 0

3 3 32 2 2

và lim limx x

x x x xx x

2 4 2

0 0

3 3 32 2 2

Vậy lim limx x

x x x xx x

2 4 2 4

0 0

3 32 2

nên limx

x xx

2 4

0

32

không tồn tại.

Câu 5: Đáp án B

lim lim lim .x x x

x xx x xxx x x

2

2 23 3 3

1 34 3 136 9 3

Dạng 3: Giới hạn vô định dạng

Câu 6: Đáp án B

+ lim ;x

xx

2 11

+ lim ;x

x xx x

3 2

2 3

31

5

+ lim ;x

xx x

2

2 30

5 + lim ;

x

x xx x

2

2

2 12

3Câu 7: Đáp án C

+

lim .

x

x x x

x x

3

3

1 3 2 55

1 +

lim .x

x x x

x x x

2 2

4

2 1 20

2 1

84

+

lim .

x

x x x

x x

2 2

3

1 2 4 233 1

+

lim .x

x x

x x x

2 3

4

3 1 2 322 1

Câu 8: Đáp án B

+ lim .x

x xx

22 13

+ lim .x

x xx

23 11 2

+ lim .x

x xx x

3 2

2

1 3

5 2 + lim .

x

x xx x

2 4

2

3 1

2Câu 9: Đáp án C

lim lim limx x x

x xx x x x x

x x x xxx x

2

2

2 2

2 21 3 1 3

2 3 1 3 22 1 31 1 24 1 2 4 2 4 1

Câu 10: Đáp án C

Ta có lim lim lim .x x x

ax bx a bax b x a bx x

cx cx ccx

2 2 22 2

9 99 2 3

11 1

Do đó lim .x

ax b x a bcx c

29 2 35 5

1


lim lim .x x

x x ax b x ax bx x

24 3 1 114 5

2 2

Do đó lim ; .x

x x ax b a b a bx

24 3 10 4 5 9

2

Câu 12: Đáp án D

+ lim .x

x xx x

4

2

2 1

2 + lim lim

x x

x x x xxx

2 25 2 5 21 21 2

.

+ lim .x

x xx x

5

2

11

2 + lim .

x

x xx

3 3 22 1

1 2Câu 13: Đáp án D

+ lim lim .x x

xx xx x

36 6

3 3

21

2 133 1 3 1

Ta có

lim lim .x x

x x x xx x x x

2 233 3

2 2

2 2 1 18 28 3 8 3

+ lim .x

x xx x

2

02

85

+ lim lim .x x

x x

x x xx x

2

2

2 3 2 32

1 55 1

Câu 14: Đáp án B

+

lim .x

x x

x x

23 3

3

2 5 1 233 1

+

lim lim .x x

x xx x xx x x x

2 2

2 2

32 1 1

2 1 3 255 5

+ lim lim .x x

x x

x x x xx

2

2

3 2 3 21

11 1


+ lim lim .x x

x xx x x xx x

21

1 22 1

43 4 3 4

+ lim lim

x x

x xxxx x

2

3 3

1 21 2 2

1 1 (do ,x x

11 2 0

2 ).

+ lim .x

x xx x

4 5

5 4

3 4 2 239 5 4

Dạng 4: Giới hạn vô định dạng . .0Câu 16: Đáp án D

Cách 1: Ta có . .a x

x a ax ax x ax a x a

2 2

1 1 1 1 1

Do đó lim lim ;

x a x ax a ax x ax a

2

1 1 1 1

lim lim ;x a x ax a ax x ax a

2

1 1 1 1

Vậy

lim limx a x ax a x ax a x a

2 2

1 1 1 1 1 1 nên

limx a x a x a

2

1 1 1 không tồn tại.

Cách 2: Cho a một giá trị cụ thể, chẳng hạn ,a 1 thay vào hàm số rồi sử dụng MTCT để tính giới hạn. Từ đó ta tìm được đáp án đúng là D.


+ lim lim .

x x

x xxxx x x x

233

4 2 4 2

11

2 1 2 1

86

+ lim lim .

x x

x xxxx x

2

2 2

3 131

1 1

+ lim lim .

x x

x xxxx x x x

2

3 3

2 112 1

+ lim lim .

x x

x xxxx x x x

222

4 2 4 2

11

2 1 2 1Câu 18: Đáp án B

+ lim lim .

x x

x xxxx x x x

2

3 3

2 1 12 11 2

2 2

+ lim lim .

x x

x xxxx x

2

2 2

3 11 1 23 111 2 2 3

1 1

+

lim lim lim .x x x

x x xx x x x x x xx x xx

3 2 22

1 1 1 1 1 01 1 11

+ lim lim .

x x

x xxxx x x x

3 3

1 2 31 3 52 3

55 2 1 5 2 1

Câu 19: Đáp án ACách 1: Sử dụng MTCT.

Cách 2: Đặt tx

1 thì , lim

xx t

t

10 và

t t t tx x t txx x t t t

332

2 2 2

1 2 1 1 1 32 3 1 2 1 3

t

t t t t t t

2 23 3

1 3

1 2 1 1 1 1 3 1 3

Do đó

lim lim

x t

x x txx x t t t t t t

2

2 20 3 3

2 3 1 3

1 2 1 1 1 1 3 1 3

Câu 20: Đáp án CCách 1: Sử dụng MTCT.

Cách 2: Đặt πt x 4

thì

, limπx

πx t t

4

04

và

tan tan tan tan tan tanπ π πx x t t t t2 2 2

4 4 2

cos sin sin coscot tan . . .sin cos sin cos

t t t t tt tt t t t t

2 2 22

2 2 2.

87

Do đó: sin coslim tan tan lim . . .sin cosπ tx

π t t tx xt t t

04

2 2 12

4 2 2 2

Dạng 5: Dạng vô định .

Câu 21: Đáp án BCách 1: Sử dụng MTCT tính giới hạn với một giá trị cụ thể của n rooif so sánh với đáp án.

Chẳng hạn n 3 ta có lim .x xx

31

3 11

11

Cách 2: ... ...

n n

n n n

n x x xn x x xxx x x

2 1 2 111 1 1 111 1 1

.... ...

...

n

n

x x x x x x

x x x

2 2 2

2 1

1 1 1 1

1

Do đó lim .nx

n nxx

1

1 11 21

Lưu ý: lim .nx

n nxx

1

1 11 21

Câu 22: Đáp án B

Theo câu 41, ta có lim lim lim .x x x

f xx xx x

3 31 1 1

1 3 3 11

1 11 1

Lại có lim lim .x x

f x mx m

1 1

2 2 Để f x có giới hạn tại điểm x 1 thì

lim lim .x x

f x f x m m

1 1

2 1 1


Ta có .k x kx x x

2 2

1 11 1 1

Mà

lim ; limx x

x k k x2

1 11 2 1 0 nên để

limx

kx x

21

11 1

là hữu hạn thì điều kiện cần là .k k 2 0 2

Thật vậy, khi , .xkx xx x

2 2

1 2 1 12

1 11 1Nên lim lim .

x x

kx xx

21 1

1 1 11 1 21

Lưu ý: limnx

kx x

1

11 1

hữu hạn .k n

Câu 24: Đáp án BCách 1: Sử dụng MTCT tính lần lượt các giới hạn. Đến ý B ta được giới hạn bằng 1 . Vậy đáp án đúng là B.Cách 2: Ta thấy ngay A và C là các giới hạn vô cực, B và D là dạng vô định . Ta xét giới hạn ở ý B.

lim .x

xx x xx

x

2 22 1

21 1

Vậy đáp án là B.

88

Bổ sung:

+ limx

x x x

2 2 + limx

x x x

2 2

+ lim lim lim .x x x

xx x xx x x

x

2

2

2 22 1

22 1 1

Câu 25: Đáp án DCách 1: Sử dụng MTCT tính giới hạn khi va`a a 1 0 , ta được

lim ; lim .x x

x x x x x

2 233 5 3 5

2 Từ đó suy ra đáp án đúng là D

Cách 2: lim lim .x x

x x ax x ax x

22

3 53 5 1

Vì limx

nên để limx

x x ax

2 3 5 thì .a a 1 0 1

Câu 26: Đáp án D

Ta có lim lim .x x

bax x bx x ax x

22

22 1

Do đó nếu a 1 thì lim .x

ax x bx

2 2 Vậy .a 1 Khi đó

lim lim .x x

bx bx x bxx x bx

2

2

22

22

Vậy: .b b 3 62

Do đó .a b 5


lim lim .x x

ax b x x x a bx x

22

6 26 2 1

Do đó nếu a 1 thì lim .x

ax b x x

2 6 2 Vậy .a 1 Khi đó ta có

lim lim .x x

xx b x x b b bx x x

2

2

6 2 66 2 3

26 2Vậy: .b b 3 5 2 DO đó số lớn hơn trong hai số a và b là số 2. Chọn đáp án C.

Câu 28: Đáp án CCả bốn giới hạn đều có dạng , tuy nhiên chỉ có giới hạn ở ý C, hệ số trong hai số hạng là khác nhau.Theo kết quả đã biết thì giới hạn ở ý C chắc chắn là . Do đó đáp án đúng là C, Thật vậy:

89

lim lim lim .x x x

x xx x xx x x x

x x

2 2

2 2

3 3 1 22 2 3

42 21 32 2 3 2 2

lim lim lim .x x x

x xx x xx x x x

x x

2

2

2

1 1 14 1 2

41 14 1 2 4 2

lim lim .x x

x x x xx x

22

3 19 3 1 5 9 5

lim lim lim .x x x

x xx x xx x x x

xx

2 2

2 2

2

1 5 1 5 5 5 33 1 3 5

62 31 53 1 3 5 3 3


Cách 1: Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số tại x 1010 ta được kết quả

Áp dụng kĩ thuật tìm dạng phân số của số thập phân vô hạn tuần hoàn ta có , .5

0 18527

Vậy

.mn

527

Từ đó chọn đáp án đúng là A.

Cách 2: x x x x x x x x x x

3 32 3 2 2 3 29 2 27 4 5 9 2 3 27 4 5 3

.x x

x x x x x x x x x

2

2 2 33 2 3 2 23

2 4 5

9 2 3 27 4 5 3 27 4 5 9

Suy ra lim .x

x x x x

32 3 2 2 4 5

9 2 27 4 56 9 9 9 27

Từ đó chọn đáp án đúng là A.Câu 30: Đáp án B

Làm tương tự như câu 49, ta có: lim .x

a b b ax ax x bx

32 3 2 2 99 27 5

6 27 54

Do đó .b a 2 9 14 Suy ra a là số chẵn. Vậy a b2 là số chẵn. Từ đó loại được đáp án A và C.

Giải hệ a bb a

2 34

2 9 14 được ; .a b 2 16

Giải hệ a bb a

2 36

2 9 14 được a

115

(loại).

Vậy B là đáp án đúng.HÀM SỐ LIÊN TỤC

90

A. LÝ THUYẾT1. Định nghĩa

Định nghĩa 1

Cho hàm số y f x xác định trên khoảng ,a b và ; .x a b0 Hàm số y f x được gọi

là liên tục tại x0 nếu lim .x x

f x f x

0

0

Hàm số y f x không liên tục tại x0 được gọi là gián đoạn tại điểm đó.

STUDY TIP

Khi xét tính liên tục của hàm số tại một điểm, đặc biệt lưu ý đến điều kiện hàm số xác định trên một khoảng (dù nhỏ) chứa điểm đó.

Định nghĩa 2

Hàm số y f x được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của

khoảng đó.Hàm số y f x được gọi là liên tục trên một đoạn ,a b nếu nó liên tục trên khoảng ;a b

và lim ; limx a x b

f x f a f x f b

Khái niệm liên tục của hàm số trên nửa khoảng như ; , ; , ; , ;a b a b a b được định

nghĩa một cách tương tự.STUDY TIP

Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một “đường liền” trên khoảng đó

y

a O b x

y

aO b x

Đồ thị của hàm số liên tục trên khoảng ; .a b

Đồ thị của hàm số không liên tục trên khoảng ; .a b

Định lý 2Giả sử y f x và y g x là hai hàm số liên tục tại điểm .ox Khi đó:

a) Các hàm số , , .y f x g x y f x g x y f x g x liên tục tại điểm .ox

91

b) Hàm số

f xy

g x liên tục tại điểm ox nếu .g x 0

STUDY TIP

Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại điểm đó (trong trường hợp thương, giá trị của mẫu tại điểm đó phải khác 0).2. Một số định lí cơ bảnĐịnh lí 1a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực .b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức), các hàm số lượng giác, hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.(Các hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit sẽ được học trong chương trình lớp 12)

STUDY TIP

Các hàm số sơ cấp liên tục trên từng khoảng xác định của chúng

Định lí 3

Nếu hàm số y f x liên tục trên đoạn ;a b và . 0f a f b thì tồn tại ít nhất một điểm

;c a b sao cho 0f c .

Nói cách khác:

Nếu hàm số y f x liên tục trên đoạn ;a b và . 0f a f b thì phương trình 0f x

có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng ;a b .

STUDY TIP

Một phương pháp chứng minh phương trình 0f x có nghiệm trên khoảng ;a b :

- Chứng minh hàm số y f x liên tục trên đoạn ;a b .

- Chứng minh . 0f a f b .

B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM SỐ LIÊN TỤC

DẠNG 1. XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ

Phương pháp chung:

Cho hàm số y f x xác định trên khoảng ;a b và 0 ;x a b . Để xét tính liên tục của hàm

số y f x tại 0x ta làm như sau:

- Tính 0f x ;

- Tính 0

limx x

f x

.

- Nếu 0

0limx x

f x f x

thì kết luận hàm số liên tục tại 0x .

- Nếu 0

limx x

f x

không tồn tại hoặc 0

0limx x

f x f x

thì kết luận hàm số không liên tục tại

0x .

92

Khi xét tính liên tục của hàm số trên một tập, ta sử dụng Định lí 1, Định lí 2 đã nêu trong phần Lí thuyết.

Câu 48: Hàm số y f x có đồ thị dưới đây gián đoạn tại điểm có hoành độ bằng bao nhiêu?

A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 .Đáp án B.

Lời giảiQuan sát đồ thị ta thấy

1 1lim 3; lim 0x x

f x f x

. Vậy 1 1

lim limx x

f x f x

nên 1

limx

f x

không tồn tại. Do đó hàm số gián đoạn tại điểm 1x .

Câu 49: Cho hàm số 2

2

15x 6

xf xx

. Hàm số f x liên tục trên khoảng nào sau đây?

A. ;3 . B. 2;3 . C. 3;2 . D. 3; .

Đáp án B.Lời giải

Hàm số có dạng phân thức hữu tỉ xác định trên tập hợp ; 3 3; 2 2;D

nên theo Định lí 1, hàm số liên tục trên các khoảng ; 3 ; 3; 2 ; 2; . Vì

2;3 2; nên đáp án đúng là B.

STUDY TIP Các hàm số sơ cấp liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.


23 2

xf xx x

. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. f x liên tục trên .

B. f x liên tục trên các khoảng ;1 và 1; .

C. f x liên tục trên các khoảng ;2 và 2; .

D. f x liên tục trên các khoảng ;1 , 1;2 và 2; .

Đáp án D.Lời giải

f x là hàm phân thức hữu tỉ, có tập xác định là ;1 1;2 2; nên theo Định lí 1,

f x liên tục trên các khoảng ;1 , 1;2 và 2; .

STUDY TIP

93

Thật ra rút gọn ta được 2 1

1 2 1xf x

x x x

nhưng không vì thế mà kết luận f x

trên các khoảng ;1 và 1; .

Chú ý: Không được rút gọn biểu thức của hàm số trước khi tìm tập xác định!

Câu 51: Cho hàm số 5 khi 51 khi 0

x xf xx

. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?

A. f x liên tục tại 7x . B. f x liên tục tại 0x .

C. f x liên tục trên 5; . D. f x liên tục trên 5; .

Đáp án B.Lời giải

Hàm số f x xác định trên 5; 0D . Theo định lí 1, f x liên tục trên 5; . Do

đó f x liên tục trên 5; và tại 7x . Vậy A, C, D đúng suy ra B sai .

Thật vậy, vì không tồn tại khoảng ;a b nào chứa điểm 0x mà f x xác định trên ;a b

nên không thể xét tính liên tục của f x tại 0x . Do đó không thể khẳng định f x liên tục

tại 0x .


3 2 khi 11 khi 1

x xf x

x x

. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

A. f x liên tục trên . B. f x liên tục trên ; 1 .

C. f x liên tục trên 1; . D. f x liên tục tại 1x .

Đáp án C.Lời giải

Trên 1; , 2 1f x x nên theo định lí 1, f x liên tục trên 1; . Vậy chọn đáp án

đúng là C.Giải thích thêm:Ta có

1 1lim lim 3 2 1

x xf x x

,

2

1 1lim lim 1 0

x xf x x

.

Vậy 1 1

lim limx x

nên 1

limx

không tồn tại.

Do đó f x không liên tục tại 1x nên A,D sai.

Mặt khác 21 1 1 0f . Vậy

1

lim 1x

f

nên f x không liên tục trên ; 1 .

Do đó B sai.

Câu 53: Cho hàm số 3 8 khi 2

21 khi x=2

x xf x xmx

. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số

liên tục tại 2x .

A. 172

m . B. 152

m . C. 132

m . D. 112

m .


f x xác định trên .

94

Ta có 2 2 1f m và 3

2

2 2 2

8lim lim lim 2 4 122x x x

xf x x xx

.

(có thể dùng MTCT để tính giới hạn của hàm số)

Để f x liên tục tại 2x thì 2

11lim 2 2 1 122x

f x f m m

.

Câu 54: Chon hàm số 23

khi 3.3khi 3

xxf x x

m x

Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm

số liên tục tại 3x .A. m . B. m . C. 1m . D. 1m .Đáp án A.

Lời giảiHàm số đã cho xác định trên .

Ta có 2

3 3 3 3 3

3 3 3lim lim lim lim lim 1 1

3 3 3x x x x x

x x xf x

x x x

.

Tương tự ta có 3

lim 1x

f x

.(có thể dùng MTCT để tính giới hạn của hàm số)

Vậy 3 3

lim limx x

f x f x

nên 3

limx

f x

không tồn tại. Vậy với mọi m , hàm số đã cho không

liên tục tại 3x .Do đó đáp án đúng là A.Ta có thể tam khảo thêm đồ thị của hàm số khi 3x để hiểu rõ hơn.

Câu 55: Cho a và b là các số thực khác 0 . Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để hàm số

2

1 1 khi 0

4 5 khi 0

ax xf x xx b x

liên tục tại 0x .

A. 5a b . B. 10a b . C. a b . D. 2a b .Đáp án B.

Lời giải

Cách 1: Theo kết quả đã biết thì 0 0

1 1lim lim2x x

ax af xx

. Mặt khác 0 5f b . Để hàm

số đã cho liên tục tại 0x thì 0

lim 0 5 102x

af x f b a b

. Vậy đáp án đúng là B.

Cách 2: Sử dụng MTCT. Chọn các giá trị cụ thể của a và b thỏa mãn từng hệ thức rồi tính toán cho đến khi được kết quả

0lim 0x

f x f

. Chẳng hạn với hệ thức ở đáp án A, chọn

5; 1a b ta tìm được 0

5 1 1 5lim ; 0 52x

x fx

nên không thỏa mãn. Với hệ thức ở đáp

95

án B, chọn 10; 1a b ta được 0

10 1 1lim 5; 0 5x

x fx

nên thỏa mãn

0lim 0x

f x f

.

Do đó đáp án là B.STUDY TIP

0

1 1limn

x

ax ax n

.


2 4 3 khi 21 khi 2

2 3 2

x xf x x x

x mx m

. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để

hàm số liên tục trên .A. 3m . B. 4m . C. 5m . D. 6m .Đáp án C.

Lời giảiCách 1: Hàm số xác định trên , liên tục trên khoảng 2; .

Ta có 2 2

2 3; lim lim 2 4 3 3x x

f f x x

.

Nếu 6m thì 22 2

1lim lim12 20x x

xf xx x

nên hàm số không liên tục tại 2x .

Nếu 6m thì ta có 22 2

1 3lim lim2 3 2 6x x

xf xx mx m m

.

Để hàm số liên tục tại 2x thì 3 3 6 1 56

m mm

.

Với 5m thì khi 2x , 2

110 17xf x

x x

liên tục trên ;2 .

Tóm lại với 5m thì hàm số đã cho liên tục trên .Cách 2: Hàm số xác định trên , liên tục trên khoảng 2; .

Ta có 2 2

2 3; lim lim 2 4 3 3x x

f f x x

.

Thử lần lượt các giá trị từ A dến C thấy 5m thỏa mãn 2

lim 3x

f x


DẠNG 2. CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM

Phương pháp chung:

Một phương pháp chứng minh phương trình 0f x có nghiệm trên khoảng ;a b :

- Chứng minh hàm số y f x liên tục trên đoạn ;a b .

- Chứng minh . 0f a f b .

- Từ đó kết luận phương trình 0f x có ít nhất một nghiệm trên khoảng ;a b .

Để chứng minh phương trình 0f x có ít nhất một nghiệm ta cần tìm được hai số a và b sao cho hàm

số liên tục trên đoạn ;a b và . 0f a f b .

Ví dụ 1. Cho hàm số f x xác định trên đoạn ;a b . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

96

A. Nếu hàm số f x liên tục trên đoạn ;a b và . 0f a f b thì phương trình 0f x

không có nghiệm trong khoảng ;a b .

B. Nếu . 0f a f b thì phương trình 0f x có ít nhất một nghiệm trên khoảng ;a b .

C. Nếu phương trình 0f x có nghiệm trong khoảng ;a b thì hàm số y f x phải liên

tục trên khoảng ;a b .

D. Nếu hàm số y f x liên tục, tăng trên đoạn ;a b và . 0f a f b thì phương trình

0f x không thể có nghiệm trong khoảng ;a b .


A sai. Chẳng hạn xét hàm số 2 5f x x . Hàm số này xác định trên đoạn 3;3 và liên tục

trên đó, đồng thời 3 . 3 4.4 16 0f f nhưng lại có hai nghiệm 1 25; 5x x thuộc

vào khoảng 3;3 .

B sai . vì thiếu điều kiện f x liên tục trên đoạn ;a b .

C sai. Chẳng hạn xét hàm số 1 khi x 02 khi 0

xf x

x x

. Hàm số này xác định trên đoạn 3;3 ,

có nghiệm 1x thuộc vào khoảng 3;3 nhưng gián đoạn tại điểm 0 3;3x , tức là

không liên tục trên 3;3 .

Vậy D đúng. Thật vậy:- Vì hàm số y f x liên tục, tăng trên đoạn ;a b nên giá trị nhỏ nhất của hàm số trên

đoạn ;a b là f a , giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn ;a b là f b .

- Nếu 0f a thì giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn ;a b là một số dương nên

không có giá trị nào của x trên khoảng ;a b làm cho 0f x . Do

đó phương trình 0f x không thể có nghiệm trong khoảng ; .a b

+ Nếu 0,f a do . 0f a f b nên suy ra 0.f b Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn

;a b là một số âm nên không có giá trị nào của x trên khoảng ;a b làm cho 0f x . Do đó phương

trình 0f x không thể có nghiệm trong khoảng ;a b .

Câu 57: Cho phương trình 3 2 0 1x ax bx c trong đó , ,a b c là các tham số thực. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sauA. Phương trình 1 vô nghiệm với mọi , ,a b c .

B. Phương trình 1 có ít nhất một nghiệm với mọi , ,a b c .

C. Phương trình 1 có ít nhất hai nghiệm với mọi , ,a b c .

D. Phương trình 1 có ít nhất ba nghiệm với mọi , ,a b c .

Lời giảiĐáp án B.

97

Dễ thấy 0a b c thì phương trình 1 trở thành 3 0 0.x x Vậy A, C, D sai. Do đó B

đúng.Giải thích thêm: Xét bài toán “Chứng minh rằng phương trình 3 2 0 1x ax bx c luôn

có ít nhất một nghiệm với mọi , ,a b c ”. Ta có lời giải cụ thể như sau:

Đặt 3 2 .f x x ax bx c Ta có:

+ 3 2limx

x ax bx c

với mọi , ,a b c nên tồn tại một giá trị 1x x sao cho 1 0f x .

+ 3 2limx

x ax bx c

với mọi , ,a b c nên tồn tại một giá trị 2x x sao cho 2 0f x .

Vậy 1 2. 0f x f x mà f x liên tục trên nên suy ra 0f x có ít nhất một nghiệm trên

khoảng 1 2;x x . Từ đó suy ra ĐPCM.

STUDY TIP Phương trình đa thức bậc lẻ 2 1 2

2 1 2 1 0... 0n nn na x a x a x a

trong đó 2 1 0na luôn có ít nhất

một nghiệm với mọi giá trị của , 2 1,0.ia i n

Câu 58: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình: 2 33 2 3 1 0m m x x có nghiệm. A. 1;2m . B. m . C. \ 1;2m . D. m .

Lời giảiĐáp án B.

Nếu 2 3 2 0m m : Phương trình đã cho trở thành 13 1 0 .3

x x

Nếu 2 3 2 0m m : theo STUDY TIP vừa nêu thì phương trình đã cho luôn có nghiệm.Tóm lại với mọi m thì phương trình đã cho luôn có nghiệm. Do đó B đúng.

Câu 59: Cho phương trình 4 3 13 0 1 .8

x x x Chọn khẳng định đúng:

A. Phương trình 1 có đúng một nghiệm trên khoảng 1;3 .

B. Phương trình 1 có đúng hai nghiệm trên khoảng 1;3 .

C. Phương trình 1 có đúng ba nghiệm trên khoảng 1;3 .

D. Phương trình 1 có đúng bốn nghiệm trên khoảng 1;3 .

Lời giảiĐáp án D.

Cách 1: Sử dụng chức năng Table trên MTCT: 4 3 13 ,8

f X X X X Start: 1, End: 3,

Step: 0.2 ta được kết quả như sau:

98

Quan sát kết quả ta thấy giá trị của f x tại các điểm trong khoảng 1;3 đổi dấu 4 lần. Mà

phương trình bậc 4 thì có tối đa 4 nghiệm thực. Vậy phương trình 1 có đúng bốn nghiệm trên

khoảng 1;3 . Do đó D là đáp án đúng.

Cách 2: Sử dụng chức năng Shift Calc (Solve) của MTCT để tìm nghiệm xáp xỉ của phương trình trong khoảng 1;3 . Tuy nhiên cách này tiềm ẩn nhiều may rủi hơn cách sử dụng chức

năng Table như trên.STUDY TIP

Nếu f x liên tục trên đoạn ;a b và f x đổi dấu khi x từ a qua b thì phương trình

0f x có ít nhất một nghiệm trên khoảng ;a b .

Câu 60: Cho phương trình 4 22 5 1 0 1 .x x x Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. Phương trình 1 không có nghiệm trong khoảng 1;1 .

B. Phương trình 1 không có nghiệm trong khoảng 2;0 .

C. Phương trình 1 chỉ có một nghiệm trong khoảng 2;1 .

D. Phương trình 1 có ít nhất hai nghiệm trong khoảng 0;2 .

Lời giảiĐáp án D.Cách 1: Sử dụng chức năng Table trên MTCT: 4 22 5 1,f X X X X Start: 2, End: 2,

Step: 0.2 ta được kết quả như sau:

Quan sát kết quả ta thấy trên khoảng 1;1 phương trình có ít nhất hai nghiệm, trên khoảng

2;0 phương trình có ít nhất hai nghiệm, trên khoảng 2;1 phương trình có ít nhất ba

nghiệm, trên khoảng 0;2 phương trình có ít nhất hai nghiệm. Vậy D là đáp án đúng.

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG

Câu 1. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình dưới đây:

99

Chọn khẳng định đúng:

A. Hàm số liên tục trên . B. Hàm số liên tục trên ;4 .

C. Hàm số liên tục trên 1; . D. Hàm số liên tục trên 1;4 .

Câu 2. Cho hàm số

2

2

3 2 , 11

1 , 14

1 , 1.7 6

x xx

f x x

x xx x

Chọn khẳng định đúng:A. f x liên tục tại 6x và không liên tục tại 1x .

B. f x liên tục tại 6x và tại 1x .

C. f x không liên tục tại 6x và liên tục tại 1x .

D. f x liên tục tại 6x và tại 1x .

Câu 3. Cho hàm số 4 24 0.3 0

x x khi xf x xm khi x

Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số

liên tục tại 0.x A. Không có giá trị nào của m thỏa mãn. B. 5m .

C. 1m . D. 1;5m .

Câu 4. Cho a và b là các số thực khác 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để hàm số sau liên tục tại 0.x

100

31 1 1 0.

0

ax bx khi xf x xa b khi x

A. 0a b . B. 2 0a b . C. 3 4 0a b . D. 3 2 0a b .


3

3 1 11 1 .

3 3 1

khi xx xf x

m x m khi x

Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để

hàm số liên tục trên . A. 1;2m . B. 1; 2m . C. 1;2m . D. 1; 2m .


6 3.1 2

2 1 3

x a khi xf x x

x b x khi x

Trong đó a và b là các tham số thực. Biết hàm

số liên tục tại 3.x Số nhỏ hơn trong hai số a và b làA. 2 . B. 3 . C. 4. D. 5 .

Câu 7. Cho hàm số 2sin 0

.cos 5 0

x khi xf x x

a x khi x

Tìm tất cả các giá trị của tham số thực a để hàm

số liên tục trên . A. 5a . B. 7a .

C. 112

a . D. Không có giá trị nào của a thỏa mãn.

Câu 8. Cho phương trình 4 24 2 3 0 1 .x x x Chọn khẳng định đúng:

A. Phương trình 1 vô nghiệm trên khoảng 1;1 .

B. Phương trình 1 có đúng một nghiệm trên khoảng 1;1 .

C. Phương trình 1 có đúng hai nghiệm trên khoảng 1;1 .

D. Phương trình 1 có ít nhất hai nghiệm trên khoảng 1;1 .

Câu 9. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình 2 5 25 4 2 1 0m m x x có

nghiệm.A. \ 1;4m . B. ;1 4;m .

C. 1;4m . D. m .

Câu 10. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình sau có nghiệm

20172 20182 5 2 1 2 2 3 0.m m x x x

A. 1\ ;22

m

. B. 1; 2;2

m

.

C. 1 ;22

m

. D. m .

D. HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 42. Đáp án D.Rõ ràng hàm số không liên tục tại 1x và 4.x Do đó đáp án đúng là D.

101

Câu 43. Đáp án A.Hàm số đã cho liên tục trên các khoảng ;1 và 1; . Do đó hàm số liên tục tại 6.x Ta có

+ 1 1

3 2 1lim lim ;1 4x x

xf xx

+ 2

21 1

1 2lim lim .7 6 5x x

xf xx x

Vậy 1

limx

f x

không tồn tại nên hàm số không liên tục tại 1.x Do đó đáp án đúng là A.


Ta có 224 2

2

4 044 .4 0

x khi xx xx xx x x khi x

Do đó 0 0

lim 2; lim 2x x

f x f x

. (có thể dùng MTCT để tìm giới hạn một bên).

Vậy hàm số không có giới hạn tại 0x nên không liên tục tại 0.x Vậy không có giá trị nào của m để hàm số liên tục tại 0.x Đáp án đúng là A.


Theo kết quả đã biết thì 3

0

1. 1 1lim .2 3x

ax bx a bx

Để hàm số liên tục tại 0x thì 3 4 0.2 3a b a b a b

Vậy C là đáp án đúng.

Nếu sử dụng MTCT, với mỗi hệ thức ta chọn các giá trị của a và b thỏa mãn hệ thức, thay vào hàm số tính 0f và

0lim .x

f x

Nếu 0

lim 0x

f x f

thì đó là hệ thức đúng.

Câu 46. Đáp án B.Hàm số đã cho xác định trên , liên tục trên các khoảng ;1 và 1; .

Theo kết quả đã biết thì 31 1

3 1 3 1lim lim 1.1 1 2x x

f xx x

(Có thể dùng MTCT để tìm

giới hạn trên).

Mặt khác 3 3

1 1lim lim 3 3 3 3 1x x

f x m x m m m f

Để hàm số liên tục trên thì hàm số phải liên tục tại 3 31 3 3 1 3 2 0 1x m m m m m hoặc 2.m (Sử dụng chức năng giải

phương trình bậc 3 của MTCT). Vậy đáp án đúng là B.

Câu 47. Đáp án B. 3 27 3 2 1 .f b Đặt 6 .g x x a Ta có 3 3 .g a

102

Ta thấy nếu 3 0 3g a thì 3 3

lim lim1 2x x

g xf x

x

nên hàm số không thể liên tục

tại 3.x

Nếu 3a thì 3 3

6 3 2lim lim .31 2x x

xf xx

Hàm số liên tục tại 3

2 353 lim 3 27 3 2 1 .3 9x

x f x f b b

Vậy 3a và 35 .9

b Số nhỏ hơn là 3a .

Do đó đáp án đúng là B.

Lưu ý: Để giải phương trình 227 3 2 13

b ta có thể làm như sau:

+ Nhập vào màn hình 227 3 2 1 .3

X

+ Bấm SHIFT CALC (SOLVE), máy báo SOLVE FOR X nhập 1=

Máy hiển thị kết quả

+ Bấm 3.Qs=, máy hiển thị kết quả

Vậy phương trình có nghiệm 35 .9

b

Câu 48. Đáp án A.Hàm số đã cho liên tục trên các khoảng ;0 và 0; .

Ta có 0 0

lim lim cos 5 5 0 .x x

f x a x a f

Ta có với mọi 2: sin .x x xx

Suy ra 0 0

2lim lim sin 0.x x

f x xx

Hàm số đã cho liên tục trên hàm số liên tục tại 0 5 0 5.x a a

Vậy đáp án đúng là A.

Câu 49. Đáp án D.Sử dụng chức năng TABLE của MTCT với

103

+ 4 24 2 3.f X X X X

+ Start: 1; End: 1; Step: 0,1.

Ta thấy giá trị f x tại các điểm đổi dấu hai lần. Suy ra f x xót ít nhất hai nghiệm trên

khoảng 1;1 . Vậy đáp án đúng là D.

Câu 50. Đáp án A.+ Nếu 2 5 4 0 1;4m m m thì phương trình đã cho trở thành 22 1 0.x Đây là một phương trình vô nghiệm.

+ Nếu 2 5 4 0m m thì theo kết quả đã biết, phương trình luôn có ít nhất một nghiệm.

Vậy để phương trình đã cho có nghiệm thì \ 1;4 .m


+ Nếu 22 5 2 0m m thì phương trình đã cho trở thành 32 3 0 .2

x x

+ Nếu 22 5 2 0,m m phương trình đã cho là một đa thưc bậc lẻ (bậc 4035) nên theo kết quả đã biết, phương trình có ít nhất một nghiệm.

Vậy với mọi ,m phương trình đã cho luôn có ít nhất một nghiệm.

104

TỔNG-HỢP-LÝ-THUYẾT-GIỚI-HẠN.pdf - Tự Học 365

Documents

Transcript of TỔNG-HỢP-LÝ-THUYẾT-GIỚI-HẠN.pdf - Tự Học 365