Palíndromos

EscrtoS revista unive1sitaria

de arte y cultura

SE~lINARIO

NUacuteMERO y NOTAS

REFLEXIONES

MATEMAacuteTICAS SOBRE

LA MUacuteSICA

Ponencias presentadas en el seminario Nuacutemero y Notas reflexiones matemaacuteticas sobre la muacutesica organizado por la Comisioacuten de Estudios Interdisciplinarios la Escuela de Artes la Facultad de

Ciencias y la Facultad de Ingenieriacutea de la UC

27 y 28 de jtmio de 2000

---------

~usical Acoustics) 2nd Ed Dover

J _ Muacutesica V Matemaacuteticas (1) Papel

IpelMusical Nro 8 Caracas 1991

apelMusical Nro 9 Caracas 1992

ca y Sonidos Fundamentales Papel

id Sonido Papel Musical Nro 14

ICcis Myste1y and Magic in Numbers

iexclal History ofthe Golden Number Dover

S

oyer Publications lnc Nueva York Cambridge University Press Londres

11 arts Addison-Wesley Publishing

ames and Hudson Londres 1982

tmatics Van Nostrand Company l~c

Ed Dover publications lnc Nueva

EscritoS en arte esteacutetica y cultura ID Etapa Ndeg 14 Caracas julio - diciembre 2001 115-152

PALIacuteNDROMOS

Juan Francisco Sans Universidad Central de Venezuela

EL PALIacuteNDROMO COMO ESTRUCTURA MUSICAL

Dentro de las llamadas estructuras anaciacuteclicas que se utilizan como recurso poeacutetico en el lenguaje verbal encontramos dos tipos bien definidos El primero es el anagrama que nos permite formar con las mismas letras palabras distintas disponieacutendolas en un orden diferente Tal es el caso de MANO-MONA RAMO-ROMA CASAshySACA ARROZ-ZORRA etc Podemos encontrar analogiacuteas musicales con este tipo de estructuras verbales en las permutaciones que se hacen con las notas de motivos meloacutedicos como el ceacutelebre BshyA-C-H (si bemol la do si becuadro) o en los grupos de notas que estructuran la muacutesica atonal y serial tal como lo demuestra el anaacutelisis propuestopor la Set theory El segundo tipo de estructuras anaciacuteclicas que encontramos en el lenguaje verbal es el paliacutendromo El paliacutendromo consiste en una palabra o frase que se deletrea exactamente del mismo modo al ser leiacuteda de izquierda a derecha que de derecha a izquierda Tal es el caso de palabras como AREPERA o ALA e incluso de frases como DAacuteBALE ARROZ A LA ZORRA EL ABAD o ADAacuteN NO CEDE CON EVA YYAHVEacute NO CEDE CON NADA

La idea de crear estructuras musicales basadas en el concepto del paliacutendromo ha fascinado a maacutes de un compositor a lo largo de los siglos Su aplicacioacuten ha generado teacutecnicas puntuales como la retrogradacioacuten el recte etretro los caacutenones cancrizantes y las series

115

dodecafoacutenicas retrogradadas Sin embargo la dificultad que implica llevar estas teacutecnicas a un plano maacutes general como lo es el de la estructura musical hace que sean muy pocos los ejemplos conocidos de composiciones con este tipo de estructura Durante la eacutepoca de auge de la polifoniacutea se compusieron los primeros paliacutendromos musicales de los que tenemos noticia El maacutes conocido de todos es el rondeau del siglo XIV para tres voces de Guillaume de Machaut titulado Ma fin est nwn comencement Dos siglos maacutes tarde William Byrd escribioacute en sus Cantiacuteones Sacrae (1575) un canon cancrizante a ocho voces - un Ditiges Dominum - cuya resolucioacuten praacutectica se reduce a una sucesioacuten homofoacutenica de acordes triaacutedicos en estado fundamental Un ejemplo admirable de paliacutendromo es elAgnus Dei JI del compositor mexicano del siglo XVII Francisco Loacutepez y Capillas perteneciente a su Misa QJtampulchri suntgressus tui Es probable que existan otros ejemplos de ese periacuteodo desconocidos por nosotros ya que era un tipo de especulacioacuten musical muy del gusto de esa eacutepoca

A medida que nos acercamos al universo tonal se hacen maacutes escasos los especiacutemenes de paliacutendromos musicales De hecho conocemos uacutenicamente dos ejemplos escritos en el aacutembito de la tonalidad el Canon no 3 de la OfrendalvIusicat de J ohann Sebastian Bach y el Menuetto al rovescio de la Sonata para piano no 26 en la mayor de Franz Joseph Haydn 1 El sistema armoacutenico posee limitaciones intriacutensecas que dificultan el desarrollo de este tipo de estructuras ciertos enlaces funcionales extremadamente comunes shycomo el paso de la subdominante a la dominante- no son susceptibles de retrogradacioacuten sin vulnerar severamente la naturaleza de la funcionalidad armoacutenica El paso de dominante a subdominante estaacute expresamente vedado en todos los tratados de armoniacutea por considerarse que va a contrapelo de la direccionalidad tonal la falsa relacioacuten de tritono que se produce en este enlace -un estilema de la muacutesica del Ars Nova- es uno de los motivos por el cual se evita

I iexcl

en epocas postenores

1 Es JUSto mencionar que Beethoven echoacute mano de este recurso aunque de manera muy parcial- en el uacuteltimo movimiento de su monumental sonata Hammerklavier op 106 donde una de las exposiciones de la fuga estaacute basada en la torma retrogradada del sujeto original

116

la dificultad que implica eral como lo es el de la 05 los ejemplos conocidos - lCtUra Durante la eacutepoca de

ios primeros paliacutendromos L maacutes conocido de todos es

de Guillaume de Machaut siglos maacutes tarde W~lliam

1 ) un canon cancnzante 4middot1 V

_ cuva resolucioacuten praacutectica se ac~rdes triaacutedicos en estado

paliacutendromo es elAgnus Dei rirFrancisco LoacutepezYCapillas -1)f ffressus tui Es probable que i~~onocidos por nosotrOS ya nuy del gusto de esa eacutepoca

i uniacuteerso tonal se hacen maacutes musicales De hecho

escritos en el aacutembito de la _ ~lfusical de Johann Sebastian

iexcliquest 5omata para piano no 26 en la El sistema armoacutenico posee

_iexcliexcliexclltLi el desarrollo de este tipo de _ _ eXLremadamente comunes shy

iquest comiacutenante- no son susceptibles ~-eramente la naturaleza d~ la

-)minante a subdominante estaacute tratados de armoniacutea por la direccionalidad tonal la en este enlace -un estilema motivos por el cual se evita

~ este recurso aunque de manera muy _~- __ sonara Hammerklavier ap 106 donde

~orma retrogradada del sujeto original

___________~_~~________ PALiacuteNDROMOS

Durante el siglo XX las estructuras cancrizantes han sido utilizadas de manera abundante especialmente a partir de los aportes hechos por Anton Webern En algunas de sus composiciones observamos el uso de estructuras palindroacutemicas en secciones internas tal como sucede en el desarrollo del primer movimiento de la Sinfoniacutea op 21 qu~ Pdemos considerar como un paliacutendromo perfecto2 o en sus Thnacwnes para Piano op27 donde catorce micro-estructuras palindroacutemicas (autoretrogradables como se suelen llamar en el dodecafonismo) se van yuxtaponiendo entre siacute para dar forma al primer movimiento de esta obra La reduccioacuten creciente en la composicioacuten de los problemas de altura y armoniacutea especialmente gracias a la utilizacioacuten de series dodecafoacutenicas y grupos de notas asiacute co~o la concentracioacuten cada vez mayor en paraacutemetros como la textura el tunbre y la estructura han allanado el camino para un uso extensivo de los paliacutendromos en nuestra eacutepoca Ya lo deciacutea Wallace Berry al afIrmar que a menor relevancia de la tonalidad en un estilo particular maacutes depende la estructura musical de otros factores incluso de factores extra musicales excepto donde las consideraciones sobre la estructura han sido dejadas de lado como en la muacutesica aleatoria3

Olivier Messiaen compone en 1951 Reprises par interverswn la pnmera de las piezas de su Livre dJOrgue obra imbuida totalmente del epiacuteritu del serialism integral La interversioacuten es una figura retOrIca eqUIvalente al paliacutendromo que se define como una inversioacuten ~e las widades graacuteficas de una palabra (antimatesis) Reprises par mterverswn es un paliacutendromo en su maacutes fiel expresioacuten que ademaacutes de~ ~so de rag~s hinduacutees y series dodecafoacutenicas desarrolla conceptos teOrICOS proplOs del autor como el valeur ajouteeacute y los ritmos retro~radables y no retrogradables expuestos por Messiaen en su Techmque de mon Langage Musical 4

2 Cf ce 25b al 44 3 Walla~~ Berry Structural FU12Ctions in Mu5Iacutec Dover Publications Ine NY 1987 p 28 traducClOn nuestra 4 Olivier Messiacuteaen Technique de man Langl11c Musical Editions Alphonse Leduc II vol Pans 1944

117

JUA1 FRANCISCO SA-S ___ ~_____

Pierre Boulez hace una interesante expansioacuten de las innovaciones riacutetmicas de Messiaen en obras como El rostro nupcial donde un duacuteo de voz y Ondas Martenot se entrelazan en un paliacutendromo riacutetmico (no meloacutedico) de singular intereacutes Alliacute observamos coacutemo ciertos valores medianos permanecen constantes e invariables tanto en el dux como en el comes (dux retrogradado) los valores largos del dux se convierten en cortos en el comes y viceversa todo esto sin extrema rigurosidad En el centro del canon los valores se corresponden en la misma proporcioacuten

Luigi Nono escribioacute al menos dos obras Varianti y Composizione concebidas a partir de estructuras internas basadas en el concepto del paliacutendromo sin llegar a serlo en un sentido formal globaL Nos referimos al hecho de que ambas composiciones poseen cuatro secciones A-B-Ar-Br donde Ar y Br son la retrogradacioacuten de A y B respectivamente de tal modo que el resultado general de la estructura no es un paliacutendromo aunque si lo son sus secciones 5

Paul Hindemith intentoacute la aplicacioacuten del paliacutendromo a las grandes dimensiones en su oacutepera en un acto Hin und Zuyuumlck (Ida y vuelta) estrenada en 1927 Esta obra representa un verdadero tour de force estructural cuyo elocuente tiacutetulo describe la estructura cancrizante (no estricta) que posee la obra en su totalidad Hindemit utilizoacute tambieacuten este recurso en algunas de las piezas que integran su Ludus Tonalis donde Praeludium yPostludium son inversiones retrogradadas la una de la otra respectivamente y la Fuga tenia en fa presenta tambieacuten una estructura cancrizante6

Una de las creaciones maacutes resaltantes escritas dentro de esta teacutecnica en el siglo XX es el Canon X para pianola del compositor norteamericano-mexicano Conlon Nancarow La estructura de este paliacutendromo es estricta pero su diferencia con todas las anteriores reside en la concepcioacuten riacutetmica - temporal de la obra El dux del

5 Cf Reginald Smith Brindle Serial Compositiun Oxford Uruversiry Press 1966 1977 p 99 6 Cuyo eje estaacute en el c 32

118

lS innovaciones __1- donde un duacuteo

iJldromo riacutetmico ~1l0s coacutemo ciertos

----hables tanto en el 5--~Jores largos del dux

todo esto sin extrema --1- se corresponden en

- -~ obras Varianti y - -~ras internas basadas

serlo en un sentidO - __ -no de que ambas

_ B-~-Br donde Ar Y -~-amente de tal modo-- ~ no es un paliacutendromo

rraliacutendromo a las grandes iexcld Zuruumlck (Ida y vuelta) ci verdadero tour de force

x la estructura cancrizante --~-talidad Hindemit utilizoacute ---ezas que integran su Ludus n inversiones retrogradadas ~ Fuga tertia en fa preserta

(es escritas dentro de esta ~------ pianola del compositor

ncarow La estructura de este - - con todas las anteriores -~noral de la obra El dux del - t

Press 1966 1977 p 99

______ ____________~~ ___ PALiacuteNDROMOS

canon comienza con un pulso que se va acelerando poco a poco hasta el paroxismo en tanto que el comes que es la retrogradacioacuten del dux comienza con este uacuteltimo pulso extremadamente veloz y se va retardando poco a poco hasta llegar al pulso inicial del comes El nombre de la obra deriva del punto central de la composicioacuten (una X) donde coinciden las alturas y los pulsos son bull I

lsocronos

SIMETRIacuteA y MUacuteSICA

Un paliacutendromo es por antonomasia una estructura simeacutetrica Para abordar su estudio requerimos comprender por lo tanto algunos principios baacutesicos de la simetriacutea La simetriacutea es la regularidad en la disposicioacuten de los elementos de un cuerpo y figura que se manifiesta por la existencia de partes que se pueden superponer por giros adecuados ya sea porque una mitad coincide con la imagen especular de la otra o porque las rectas que unen puntos similares forman un haz Los elementos de simetriacutea son centro eje y plano7 La simetriacutea implica una correspondencia de las partes que genera una estructura proporcionada y equilibrada

Un elemento a de un conjunto S es simeacutetrico respecto a otro elemento a del mismo conjunto si en una operacioacuten reg definida en dicho conjunto S se verifica que

a reg a = a reg a = e

siendo e el elemento neutro Pongamos algunos ejemplosSi A es una suma el elemento simeacutetrico de a es su opuesto y se designa por -a siendo su elemento neutro igual a O Si reg es un producto el elemento simeacutetrico de a es su inverso que se designa por la siendo su elemento neutro igual a l La simetriacutea puede definirse tambieacuten como la propiedad que tienen algunos objetos procesos o teoriacuteas

7 Voacutecabulario cientiacutefico y teacutecnico Real Academia de Ciencias Exactas Fiacutesicas y Naturales EditoriaL Espasa-Calpe Madrid 1996 p 920

119

de permanecer invariables frente a ciertas operaciones que se pueden efectuar con ellos como por ejemplo giros rotaciones reflexiones superposiciones etc 8

El concepto de simetriacutea halla su aplicacioacuten en varias disciplinas En la biologiacutea zoologiacutea y botaacutenica se utiliza para describir la configuracioacuten corporal de algunos seres vivos siendo bilateral (el cuerpo humano) radial (la estrella de mar) o esfeacuterica (el eriro) En la fiacutesica se utiliza para defmir algunas propiedades de las leyes de la conservacioacuten simetriacutea molecular y de las partiacuteculas elementales cuyas funciones de onda no cambian cuando se permutan los valores de una pareja cualquiera de coordenadas espaciales y en su caso de espiacuten9 El estudio de la simetriacutea cristalina resulta de gran relevancia para la cristalografiacutea Sin embargo es en las matemaacuteticas y particularmente en la geometriacutea donde se ha desarrollado el concepto en su grado maacutes abstracto y que podemos adaptar con mayor propiedad a la muacutesica

La simetriacutea geomeacutetrica comprende dos operaciones baacutesicas la simetriacutea central y la simetriacutea axial Una simetriacutea central de centro o es una transformacioacuten que hace corresponder a cada punto Potro punto pJ tal que o es el punto intermedio de la liacutenea PP

A

B

A

s Ibiacutedem 9 Ibiacutedem

120

~ operaciones que se p~eden rotaciones refleX1ones

-acioacuten en varias disciplinas o ~~e utiliza para describir l~ es vivos siendo bila~eral (e ~ mar) o esfeacuterica Cel enzo) En

2ropiedades de las leyes de la eacute ~ partiacuteculas elementales cuyas

zjo se permutan los valores de ~ espaciales y en su caso ~e

_ alina resulta de gran relevancIa --_ es en las matemaacuteticas y ceje se ha desarrollado el concepto _ podemos adaptar con mayor

dos operaciones baacutesicas la L na simetriacutea central de centro o ~rresponder a cada p~nto potro

rrnedio de la liacutenea PP ~ ~--

C

S

A

120

____________________ PALiacuteNDROMOS

En la simetriacutea central o representa el uacutenico punto invariante de la transformacioacuten A este movimiento se le llama rotacioacuten ya que se efectuacutea a partir de un punto fijo con un movimiento directo (giro sobre o) de 180deg

Una simetriacutea axial de eje e es una transformacioacuten que hace corresponder a cada punto P otro punto r tal que la recta e es mediatriz del segmento PP

A A

B

La simetriacutea axial es un movimiento de translacioacuten donde los puntos de interseccioacuten de los segmentos PP con la mediatriz (eje de simetriacutea) son los uacutenicos invariantes Es un movimiento inverso porque para hacer coincidir los elementos simeacutetricos hay que sacarlos del plano llamado plano de simetriacutea

Las figuras geomeacutetricas pueden ser simeacutetricas en siacute mismas respecto a uno o a maacutes ejes o centros de simetriacutea La maacutes comuacuten de todas es la llamada simetriacutea especular que deriva de un movimiento de reflexioacuten del plano de simetriacutea sobre un eje Por ejemplo si giramos la figura frontal de un barco 180deg sobre el plano de simetriacutea a partir de un eje lineal Y que lo bisecciona a cualquier punto cx1) le corresponderaacute un punto -~Y) La figura resultante seraacute simeacutetrica

121

----

JUAl FRAlCISCO SAlIS ____________________

uacutenicamente respecto al eje vertical Y pero no lo seraacute respecto otros ejes como el horizontal X

y

x

~biacuteii

Existen figuras que son simeacutetricas respecto a nuacutemero mayor de ejes como es el caso de una estrella cuyas ocho puntas forman los ejes lineales y X e y a La figura tambieacuten posee simetriacutea central respecto del punto o de interseccioacuten de los ejes

y

Existen figuras que poseen infinitos ejes de simetriacutea como el ciacuterculo

122

no lo seraacute respecto otros

i

~J

los ejes

1~~cpecto a nuacutemero mayor de Ccyas ocho puntas forman os

Leacutelbieacuten posee simetriacutea central

ntildenitos ejes de simetriacutea como el

12

_________~__ __________ PALiacuteNDROMOS

La simetriacutea tiene oacuterdenes y grados Tomemos nuevamente la estrella de ocho puntas pero ennegreciendo algunos trozos internos de modo de crear un nuevo paraacutemetro que pueda incidir en el concepto de simetriacutea que estaacutebamos manejando hasta ahora La estrella sigue teniendo simetriacutea central por lo que podemos girarla de 90deg en 90deg sohre o sin iexcliexcllteriexcliexclr sn simetriacuteiexcliexcl

y

e

Sin embargo la figura perdioacute su simetriacutea especular ya que si giramos el plano 180deg sobre el eje Y no obtendremos la misma figura sino su inversioacuten

y

a e

Para lograr la simetriacutea especular de esta figura ya no basta como vemos una sola transformacioacuten

123

El orden de la simetriacutea es inversamente proporcional a la cantidad de operaciones o transformaciones que debemos realizar para lograr la congruencia de todos los elementos simeacutetricos El orden maacuteximo de simetriacutea es 1 La ausencia total de simetriacutea es igual a O La estrella de ocho puntas sin color tiene un orden de simetriacutea axial igual a 1 en tanto que la ennegrecida tiene un orden menor que uno ya que se requieren al menos dos operaciones para lograr la simetriacutea total rotar el plano 180deg sobre el eje Y y luego 180deg sobre el eje X El orden de simetriacutea central de la estrella - coloreada o no - es igual a 1 ya que si rotamos cualquiera de las dos a partir de su punto central o en 180deg obtendremos siempre laacute misma figura

Por otra parte el grado de simetriacutea depende de la proporcioacuten de puntos de congruencia despueacutes de cada operacioacuten En el caso de la estrella sin color el grado de simetriacutea central axial o especular es igual a 100 En el caso de la estrella coloreada el grado de simetriacutea axial es igual a 50 ya que se requieren dos operaciones para alcanzarla Si se requirieran tres seriacutea de 33 si cuatro de 25 y asiacute sucesivamente

Ahora bien aplicando estos conceptos a la muacutesica pudieacuteramos decir que la simetriacutea se define como una congruenci~ que resulta de las operaciones de reflexioacuten rotacioacuten y traslacioacuten Estas pueden ser aplicadas a cualquier paraacutemetro de la composicioacuten musical 10

Los paraacutemetros de la muacutesica son altura timbre intensidad duracioacuten y forma La simetriacutea que se puede producir en cada uno de estos paraacutemetros depende de su naturaleza temporal espacial o de altura asiacute como de las posibilidades y limitaciones que ofrece el estilo en el que se compone N o entraremos aquiacute a dilucidar las posibilidades que tiene la simetriacutea en la composicioacuten musical en general ya que para ello requeririacuteamos de un espacio mucho mayorY Nos

10 Larry Solomon Symmetry as a Omzpositional DetermitmntA description and analysis ofthe various types ofsymmetry tbat oceur in musie httpccpimaeduuserslarrydiss1htm 1973 revisada en 2000 11 Recomendamos a quien quiera profundizar en los diferentes aspectos de la simetriacutea en la muacutesica leer el excelente trabajo de Larry Solomon arriba citado

124

pccre proporcional a la cantidad 1ebemos realizar para lograr meacutetricos El orden maacuteximo

~erriacutea es igual a O La estrella ___-r~-_ de simetriacutea axial igual al

=--1en menor que uno ya que rara lograr la simetriacutea total

~ _~CQo 1800 sobre el eje X El _~loreada o no es igual a 1 ~ partir de su puntO central o

iquestcpende de la proporcioacuten de - operacioacuten En el caso de la cntral axial o especular es

= _oreada el grado de simetriacutea cen dos operaciones para c 33 si cuatro de 25 y

a la muacutesica pudieacuteramos ~-=a congruenci~ que resulta _ - traslacioacuten Estas pueden

bull bull t bull al 10 iexcl omposlClon muslC t

- mbre intensidad duraclon -r- ~uoacuter en cada uno de estos -_shy--~ roral espacial o de altura

-=-5 que ofrece el estilo en el dilucidar las posibilidades

riUsical en general ya que ~oJ mucho mayorn N os

__J el descriptiacuteon lmd analysiacutes ofthe _ 7_-- duuserslarrydisslhtm 1973

_ --1 res aspectos de la simetriacutea en la

- -i ~ado

________________~ ______ PALiacuteNDROMOS

centraremos exclusivamente en el estudio de los paliacutendromos musicales dentro de la estructura musical y sus determinantes dentro del sistema tonal-modal Como vimos al principio sobran los ejemplos de paliacutendromos musicales a 10 largo del siglo XX debido principalmente a que a partir de la liberacioacuten del sistema tonal se relega el problema de la altura a un segundo plano La inclusioacuten de otros paraacutemetros como lo son el color negro en el caso de la estrella o la consideracioacuten de la modalidad o la tonalidad en el caso de la estructura musical generan limitaciones que pueden hacer maacutes rico el estudio de las propiedades de estas estructuras Ademaacutes el consenso del cual goza el sistema modal-tonal entre la audiencia asiacute como las severas restricciones que impone al compositor nos brindan una mejor oportunidad para comprobar la validez esteacutetica del uso de esta teacutecnica en la composicioacuten musical Procederemos por ende a analizar uacutenicamente los paliacutendromos que se verifican en los escasos ejemplos musicales de los que disponemos del periacuteodo tonal-modal para hacer luego una evaluacioacuten de su pertinencia como meacutetodo compositivo

ANALISIS DE CASOS

~ fin est mon commencement de Guillaume de Machaut es un rondeau una de las tres formas fijas (junto a la balada y el virelai) que conforman la cancioacuten francesa de los siglos XIII y XIV Su nombre deriva del latiacuten rotundeltum o rotundellum un diminutivo de circular ya que proviene de una danza de giros circulares El teacutermino rondeau se aplica en este caso uacutenicamente a la estructura de los versosA-B -a-A-aJ-bJ-A)-B dondeA corresponde al refraacuten o estribillo Ma fin est mon commencement que aparece en los versos 1 4 Y 7 Y B a) aY y b a las estrofas que aparecen en los versos 2345 y 8

l-Ma fin est mon commencement A 2-et mon commencement ma fin B 3-et teneure vraiement 4-ma fin est mon comencement 5-Mes tiers chans trois foiacutes seulement

125

JUAN FRANCISCO SANS ______~

6-se retrograde et einsi fin b 7-ma fin est mon commencement A S-et mon commencement ma fin B

El texto describe un paliacutendromo es decir reproduce en el nivel semaacutentico lo que ocurre en el nivel musical Mi fin es mi comienzo y mi comienzo mi fm y tendreacute verdaderamente mi fin es mi comienzo Mis tres cantos [voces] se retrogradan solamente tres veces y asiacute termina mi fID es mi comienzo y mi comienzo es mi fin Estamos frente a una utilizacioacuten evidente del figuralismo o madrigalismo pero en un sentido inverso en vez de ser la muacutesica la que enfatiza el texto es el texto el que describe lo que estaacute ocurriendo en el plano musical

La estructura musical de esta obra es un paliacutendromo de estructura A-Ar dondeAr (cc21-40) equivale a la retrogradacioacuten de A (cclshy20) La muacutesica de los versos A a y a) es la misma al igual que la de B y b Veamos el esquema de repeticiones que generan los ocho versos del texto y sus respectivas correspondencias musicales

Mi fin es mi comienzo- Guillaume de Machaut

Muacutesica A Ar A A A Ar A Ar

Verso 1 2 3 4 5 6 7 8

Texto A B a A a) b A B

El sistema que aplica Machaut en 11a fin se basa en la teacutecnica contrapuntiacutestica del discantus El discantus privilegia las consonancias perfectas dentro de una red diatoacutenica que tiene su punto de partida en la modalidad gregoriana La pieza estaacute en el undeacutecimo tono (do) Observamos la presencia del fa sostenido en algunas de las voces principalmente corno sensible en funcioacuten cadencial l2 asiacute corno la

l2 En esta eacutepoca se utiliza una doble sensible en este caso sija sostenido caracteriacutestica de la llamada claacuteusula de Landino

126

b A B

reproduce en el nivel -)li fin es mi comienzo

__--_~ramente mi fin es mi ~-ogradan solamente tres

~ mi comienzo es mi--_ je~te del figuralismo o en yez de ser la muacutesica la

lo que estaacute ocurriendo

- aliacutendromo de estrUctura iexcl ~ogradacioacuten de A (cclshy

2 niacutesma al igual que la de G que generan los ocho

-cdencias musicales

de Machaut

Ar A Ar

) 6 7 8

b A B

iexcl se basa en la teacutecnica ~ilegia las consonancias

cc ene su punto de partida - el undeacutecimo tono (do) en algunas de las voces

iIIIIII=CC cadencial12 asiacute como la

~ 7 sostenido caracteriacutestica de la

~~~~__~~~~~~~~~~~~~~~__ PALiacuteNDROMOS

semitoniacutea subintelecta (antildeadida por el transcriptor) sobre el do sostenido

La jerarquiacutea armoacutenica de este estilo privilegia las consonancias perfectas (octavas cuartas y quintas) en las claacuteusulas Esta preferencia se manifiesta por supuesto al comienzo y al final de la obra (que es ideacutentico por ser un paliacutendromo) asiacute como en las articulaciones principales donde se constituyen las cadencias intermedias o en los cambios de verso (cf ce 9-10 14 36-37 Y 40) Tambieacuten se va a privilegiar la marcha consecutiva de las voces por cuartas (cc8 y 14) quintas (ce6 10-11 11-12y 19) y octavas directas (cc7 11 13-1415 18 19-20) octavas por movimiento contrario (c9) y triacuteadas paralelas en estado fundamental (c3) Hemos sentildealado estas uacuteltimas caracteriacutesticas uacutenicamente en la seccioacutenA) ya que por ser un paliacutendromo estos movimientos de voces se van ver reproducidos simeacutetricamente en la retrogradacioacuten que comienza en el c 21 0r) En segundo teacutermino encontramos las consonancias imperfectas conformadas por terceras y sextas A veces aparecen en las cadencias intermedias (cf ce 5 1620212536) Sin embargo habriacutea que aclarar que cuando la seccioacuten A se repite consecutivamente por efecto del texto como cuando se pasa del verso 3 al 4 o del 4 a15 la consonancia imperfecta del c 20 que pareciera el eje de la resolucioacuten cadencial se transforma de hecho en primer miembro de la claacuteusula resolviendo en la consonancia perfecta del c L

Otro aspecto resaltante es el tipo de consonancias que se producen en los ictus de cada compaacutes l3 Hay una elevada presencia de consonancias perfectas en estos ictus en nuacutemero de 15 dentro de una estructura de 40 compases Estaacuten en mayoriacutea frente a 13

13 No debemos olvidar que las barras de compaacutes no forman parte de la escritura musical del siglo XIV sino que son una convencioacuten para facilitar la lectura a los inteacuterpretes actuales Ello no significa que las barras sean arbitrarias ni que los ictus no se perciban estas piezas poseiacutean una indicacioacuten de compaacutes que ha sido la guiacutea para el transcriptor y que de alguna manera tiene incidencia en la comprensioacuten e interpretacioacuten de esta muacutesica

127

consonancias imperfectas y 12 triacuteadas (consonancias perfectas e imperfectas juntas) en los ictus restantes Hay que tomar en cuenta que los cuartos tiempos de cada compaacutes en la parteA se convierten en ictus en la parteAr gracias a la retrogradacioacuten y viceversa por lo que podemos contar un total de 30 consonancias perfectas 26 consonancias imperfectas y 24 triacuteadas ubicadas al comienzo y final de cada compaacutes lo que defme las jerarquiacuteas dentro de este sistema diatoacutenico

En Ma fin encontramos dos niveles de simetriacutea En primer lugar el cantus (voz superior) y el tenor (parte intermedia) son la retrogradacioacuten el uno del otro Es decir que a la primera nota del cantus corresponde la uacuteltima del tenor a la segunda nota del cantus corresponde la penuacuteltima del tenor y asiacute sucesivamente De este modo se verifica una simetriacutea central donde a cada nota p en el cantus corresponderaacute una nota simeacutetrica pJ en el tenor entre las cuales se formaraacute un segmento de centro o que intersecta la barra del c 21

El uso de este tipo de simetriacutea entre el cantus y el tenor implica un cruce obligado de las voces que se corresponde con el estilo de composicioacuten delArgt N(j)Ja originando esa suerte de melodiacutea virtual llamada hoquetus producto precisamente del intercambio de los registros

Por su parte el bassus se retrograda a siacute mismo a partir del c 21 por lo que formaraacute una simetriacutea axial al hacer corresponder a cada

128

_

3IC-

2

bull consonancias perfectas e Hav que tomar en cuenta

e en l~ parte A se convierten -_~1dacioacuten y viceversa por lo

consonancias perfectas 26 _ -iacutecadas al comienzo y final iquestuias dentro de este sistema

de simetriacutea En primer parte intermedia) son la

e~ que a la primera nota del 7eacute a la segunda nota del cantuS

asiacute sucesivamente De este i donde a cada nota p en el 3 f en el tenor entre las cuales Tiexclle~intersecta la barra del c 21

enue el cantus y el tenor implica

-~ se corresponde con el estilo de

esa suerte de melodiacutea virtUal samente del intercambio de los

torrada a siacute mismo a partir del c 21 _ ~uumlal al hacer corresponder a cada

5

PALIacuteNDROMOS

p unap siendo la barra del c 21 la mediatriz m del segmento que conforman estos dos puntos El movimiento inverso (fuera del plano de simetriacutea) necesario para hacer coincidir los elementos se hace evidente en el graacutefico

En el aspecto de las duraciones se verifica la presencia de aburdantes anfiacutebracos que son en siacute mismos paliacutendromos riacutetmicos conSIstentes en una secuencia de tres figuras -corta larga cortashycuyos extremos son ideacutenticos y diferentes del centro De hecho el significado etimoloacutegico de la palabra anfiacutebraco es a ambos lados

I r r

Observamos el uso abundante de este patroacuten en los primeros compases de la obra

129

JUAN FRANCISCO SANS ____ __________~

Si ampliamos el concepto de anfiacutebraco a toda foacutermula riacutetmica consistente en figuras largas de igual valor acotadas por figuras cortas de igual valor encontraremos algunos ejemplos en el mismo trozo

A iexclo iexclo

ifiexcl 1 ~

Iiquest-- ~I ~

i K ishy - I

Estas foacutermulas son llamadas por Olivier Messiaen ritmos no retrogradables14 ya que se leen igual de derecha a izquierda que de izquierda a derecha El uso del anfiacutebraco en este nivel se corresponde con el del paliacutendromo en el nivel macroestructural Es decir el paliacutendromo formal es en siacute mismo una estructura no retrogradable ya que da lo mismo leer la obra de comienzo a fm que de fm a comienzo Ademaacutes la preeminencia de estas foacutermulas riacutetmicas en la seccioacuten A garantiza necesariamente la coherencia de la seccioacuten Ar toda vez que los prototipos riacutetmicos van a permanecer invariables en ambas secciones por su naturaleza no retrogradable Finalmente la utilizacioacuten de un campo uniforme de pulsos de blanca en los cc16-18 y su reflejo en los ce 23-25 mantienen estas mismas propiedades de invariabilidad de los anfiacutebracos

En 1575 William Byrd compone sus Cantiones Sacrae En esta obra encontramos un Diliges Dominum a ocho voces

14 Oliviacuteer Messiacuteaenj Technique de non Langage Musical Ediacutetiacuteons Alphonse Leduc II vol Pariacutes 1944 p 12

130

I

a toda foacutermula riacutetmica 1j)[ acotadas por figuras

_~lOSmiddot ejemplos en el mismo

iexcl Olivier Messiaen ritmos no - de derecha a izquierda que 0_ anfiacutebraco en este nivel se

en el nivel macroestructural ~ SI mismo una estructura no ~eer la obra de comienzo a fin eeminencia de estas foacutermulas

necesariamente la coherencia os prototipos riacutetmicos van a eciones por su naturaleza no de un campo unifqrme 8 y su reflejo en los cc 23-25

de invariabilidad de los

i0fle sus Cantiones Sacrae En Thres Dominum a ocho voces

usical Editions Alphonse Leduc II vol

____________ PALiacuteNDROMOS

consistente en cuatro caacutenones simultaacuteneos a dos voces cada uno Larry Saloman dice respecto a esta obra que a pesar del uso de la imitacioacuten esta pieza es fundamentalmente homofoacutenica Sin excepcioacuten son utilizadas triacuteadas simples la mayoriacutea de ellas en estado fundamental y con un nuacutemero de voces armoacutenicas simultaacuteneas que generalmente no exceden de cuatro Maacutes adelante antildeade que desde el punto de vista armoacutenico la obra es muy simple y restringida En el extracto que Saloman ofrece del trozo central de la obra en una reduccioacuten armoacutenica a cuatro partes se puede observar el eje de simetriacutea axial ubicado en la doble barra central 15

El ritmo se extiende en un campo riacutetmico uniforme ya que a lo largo del traro se va a sentir permanentemente el pulso de negra salvo en las dos blancas del centro En este ejemplo podemos detallar a nivel graacutefico uno de los problemas que presentan los paliacutendromos musicales durante la audicioacuten Si observamos cuidadosamente la relacioacuten riacutetmica entre las dos voces superiores en el compaacutes anterior a la doble barra nos percataremos de que al ataque del si bemol blanca del la voz superior corresponde un re negra seguido de un si bemol en la voz inmediata inferior en tanto que en el compaacutes posterior a la doble barra el mismo traro retrogradado al ataque del si bemol blanca corresponde un si bemol negra seguido del re Este fenoacutemeno ocurre en todas estas obras retrogradamos la muacutesica

El ejemplo estaacute tomado del propio trabajo de Solomon quien lo ofrece con la armadura de clave de la bemol mayor Cf supra

131

JeAN FRliexclicISCO SANS ____________________

en su escritura pero no los fenoacutemenos auditivos ya que en este caso en particular los acentos posicionales de las notas se han desplazado verticalmente al ser retrogradados por lo que no permanecen simeacutetricos corno pudiera parecernos a primera vista

El Agnus Dei II de la Missa QJtam pulchri sunt gres sus tui del maestro de la Catedral de Meacutexico Francisco Loacutepez Capillas es un ejemplo de la composicioacuten de un paliacutendromo con un sentido miacutestico Es una obra para seis voces reales un coro 1 de cantus altus y bassus y un coro II con el mismo orgaacutenico vocal Las indicaciones establecen la relacioacuten entre ambos coros cantus II=cantus I in cancrizans altus II=altus I in cancrizans bassus II=bassus I in cancrizans por lo que es probable que originalmente soacutelo existan tres partes de manera de dejar la resolucioacuten del paliacutendromo a los ejecutantes Las inscripciones Ego sum Alpha et Omega (Yo soy el Alfa y el Omega) Incipiat in novissimo loco (Comienza en el lugar extremo) y Adlocum unde exerut revertuuntur (Regresa al lugar de donde sale) ubicadas al comienzo de las partes del coro 1 hacen alusioacuten a dicotomiacuteas miacutesticas corno el principio yel fin o el Alfa y el Omega que se relacionan obviamente con la estructura de la obra y que son las indicaciones para la resolucioacuten del canon enigmaacutetico

Al igual que Ma fin y el Diligens Dominum este Agnus tiene dos seccionesA-Ar condicioacuten indispensable para la verificacioacuten de la simetriacutea y cada voz del coro 1 estaacute en una relacioacuten de simetriacutea central con su voz correspondiente del coro Ir tal y corno ocurriacutea entre el cantus y el tenor deMafin intercambiaacutendose roles a partir del c 18 en un permanente cruce de voces Las voces se mueven independientemente con imitaciones entre ellas basadas en la figura de la cambiata a partir del c3

132

05 ya que en este caso ~ Jtas se han desplazado

~ que no permanecen yista

_ sunt gres sus tui del ~o Loacutepez Capillas es un =0 con un sentido miacutestico

=-c I de cantus altus y bassus Las indicaciones establecen

- = mttts 1 in cancrizans altus -I in cancrizans por lo que

-=L~-u tres partes de manera de ccutantes Las inscripciones ~-l - el Omega) lncipiat in

--~- ) YAd locum unde exerut sale) ubicadas al comienzo

- iicotomiacuteas miacutesticas como el 2le se relacionan obviamente s~)n las indicaciones para la

Dominum este Agnus tiene _~ n able para la verificacioacuten de

-2 en una relacioacuten de simetriacutea id coro II tal y como ocurriacutea

_clrercambiaacutendose roles a partir voces Las voces se mueven

entre ellas basadas en la figura

_______________________ PALiacuteNDROMOS

En el aspecto riacutetmico nos volvemos a encontrar con la constante de las pie~~ anteriores campos uniformes (pulso continuo de negra por mOVIDuento constante alternado de las voces) anfiacutebracos (cc 16 y 19) Y detencioacuten del movimiento riacutetmico en el centro de la estructura (c 17-18) ademaacutes de al comienzo y al fmal

_~

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_-1I

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~

--A ~ iexcl 0

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i ltgt i

~

Este Agnus JI es una obra que armoacutenicamente estaacute a caballo entre la tonalidad (do mayor) y la modalidad (undeacutecimo tono) Los enlaces armoacutenicos se producen dentro del ciacuterculo de quintas aunque en ocasiones la marcha del bajo es por terceras o segundas En este uacuteltimo caso cuando se suceden dos acordes mayores en estado fundamental por grado conjunto ocurren falsas relaciones de tritono que son especialmente criacuteticas cuando el bajo desciende por segunda mayor Este tipo de marcha armoacutenica no es muy ortodoxa en la composicioacuten de esta eacutepoca como ya lo hemos sentildealado al comienzo La vemos aquiacute en los cc 24 Y26 producto de la retrogradacioacuten de la marcha ascendente del bajo Hemos sentildealado el triacutetono con una liacutenea punteada entre el bassus 1 y el bassus 11 en ambos ejemplos

133

I ti

~

IV

~ i

~

~ bull-

f shy r shy

Pese a la evidente maestriacutea teacutecnica de la obra algunos trozos presentan problemas que no fueron solucionados del todo por el compositor En el c 11 observamos una anomaliacutea en el movimiento de las voces ella del cantus 1 anticipa la resolucioacuten del retardo si-la del altus II entrando por grado conjunto al tuuacutesono lo que pudiera justificarse como una sincopatio catachrestica o una cadentia duriusculae Pero la retrogradacioacuten de este trozo en los c 23 -24 resulta confusa y poco convincente desde una oacuteptica armoacutenica dado que la claacuteusula sostenida no resuelve a sol como es de esperarse sino a do creando el ya mencionado tritono y desde una oacuteptica contrapuntiacutestica en tanto que el movimiento de las voces no tiene justificacioacuten alguna ni siquiera en la excepcionalidad de las figuras de la retoacuterica musical Algo similar ocurre en los cc13-14 donde la resolucioacuten mi del retardo fa del cantus II se anticipa en el altus 1 cosa tolerable pero en su retrogradacioacuten en los cc 21-22 el reja de los altus aparece como una doble anticipacioacuten recurso muy poco

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la obra algunos trozoS clciacuteonados del todo por el

-oi ll1omaliacutea en el movimiento _ -esolucioacuten del retardo si-la

_--- al uniacutesono lo que pudiera -dlchrestica o una cadentiacutea

este trozO en los c 23 -24 ssdc una oacuteptica armoacutenica d~do

1 como es de esperarse SIDO tono y desde una oacutepica

---TIIacuteento de las voces no tIene ~ excepcionalidad de las figuras eacute-rhTe en los cc13-14 donde la

u1iJ JI se anticipa en el altus 1 en los cc 21-22 el re-fa de~_~v~

-~

usual en la eacutepoca Si bemolamos el si del bassus JI en el c 13 para hacer una claacuteusula remisa -tal como lo sugiere el transcriptor a traveacutes de la semitorua - tendremos una falsa relacioacuten de tritono con el cantus 1 En la retrogradacioacuten de este trozo en el c 22 no es posible bemolar el si y el resultado actual es una teacutetrada de dominante de do que tampoco estaacute dentro de los paraacutemetros del estilo Otro caso similar ocurre en el iCtus del c 5 donde encontramos un acorde disminuido en estado fundamental que muy bien puede -y debe- matizarse alterando a traveacutes de la semitorua el fa Pero la aplicacioacuten de este recurso no resulta viable en el correspondiente uacuteltimo tiempo del c 30 quedando en evidencia la utilizacioacuten de este acorde tan inusual durante esa eacutepoca Estos ejemplos demuestran fehacientemente que algunos procedimientos armoacutenicos y de movimientos de voces no son retrogradables en absoluto

El virtuosismo compositivo empleado por Loacutepez y Capillas en elAgnus JI nos trae a colacioacuten otro Agnus Il esta vez perteneciente a la Missa IHommeArmeacute super voces musicales del compositor franco flamenco Josquin de Prez que presenta un tipo de simetriacutea muy poco usual en la muacutesica Se trata de un canon perfecto a tres voces en el primer tono Las tres voces arrancan simultaacuteneamente aunque la superior hace de tenor La voz grave estaacute en relacioacuten de diapasoacuten (21) y proporcioacuten riacutetmica 32 con respecto al tenor yen relacioacuten de diapente (32) y proporcioacuten riacutetmica 21 con respecto a la voz intermedia en tanto que el tenor estaacute en relacioacuten de diatessaron (43) yen proporcioacuten riacutetmica 3 1 con respecto a la voz intermedia El compositor escribioacute originalmente una sola voz (la superior) indicando tres compases diferentes dando asiacute la clave para la resolucioacuten del canon enigmaacutetico16 Este tipo de especial de simetriacutea se denomina automorfismo y equivale a un movimiento de todos los

16 Cf la partitura completa al final de este trabajo Hemos indicado las partes formales con letras mayuacutesculas lo que permite visualizar claramente coacutemo avanzan las tres voces Existe una seccioacuten E que soacutelo estaacute presente en la voz superior El ejemplo fue extraiacutedo de 1 Omrr D Histoire de la Musique de Jacques Chailley ed Alphonse Leduc 1967 p158

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JUAN FRANCISCO SAJIS _~ _______

elementos de una estructura en teacuterminos proporcionalmente equivalentes como cuando se amplia o reduce de tamantildeo una fotografiacutea El resultado musical de esta pieza de Josquin es por demaacutes eficaz auacuten cuando no representa en modo alguno un paliacutedromo Veamos graacuteficamente coacutemo se establecen las relaciones de las voces extremas con el tenor

Uno de los paliacutendromos maacutes importantes de la historia es el Canon no 3 de la Ofrenda Musical de Johann Sebastiaacuten Bach Esta obra es un canon enigmaacutetico que se resuelve a dos voces teniendo como voz principal el tema dado por el rey Federico el Grande de Prusia que es retrogradado a partir de la segunda parte Bach plantea ~salvo en el primer y uacuteltimo compaacutes - una voz organal basada en un campo uniforme de corcheas con lo que evita cualquier problema riacutetmico en la retrogradacioacuten pudieacutendose asiacute concentrar en los aspectos netamente armoacutenicos que son indiscutiblemente los maacutes complejos Como en todas las obras anteriores se produce una simetriacutea axial articulada en dos seccionesA(ce1-9) y Ar(cc1O-18) con intercambio de roles entre el dux y el comes en el centro de la composicioacuten 17

La diferencia fundamental de esta obra con respecto a las anteriores estriba en que estaacute escrita en un lenguaje definitivamente tonal Es quizaacutes este su aspecto maacutes notable A partir de la segunda

17 Cf la partitura con su respectivo anaacutelisis funcional al final de este trabajo

136

______________________ PALIacuteNDROMOS

proporcionalmente o reduce de tamantildeo una

lCza de Josquin es por demaacutes e nodo alguno un paliacutedromo

~cn las relaciones de las voces

_ xgtrtantes de la historia es el ~~Tohann Sebastiaacuten Bach Esta ~-~suelve a dos voces teniendo --~ el rev Federico el Grande de i ~l se~nda parte Bach plantea

-_ una voz organal basada en un Que evita cualquier problema

~~~~dose asiacute concentrar en l~s ~ son indiscutiblemente los mas -~_ anteriores se produce una ----csA(cc1-9) y Ar(cc1O-18)

=-=c y el comes en el centro de la

__ sta obra con respecto a las ~~ un lengua) e deflnitivamente

-~ d ~ ~iJtable A partir de la segun a

- ___ i al final de este trabajo

-

mitad del c 3 Bach establece dos progresiones armoacutenicas una de tres elementos que termina en el c 5 y otra de dos elementos que empieza en el c 6 y termina en el 7 Las siacutencopas del tema real conllevan a que las funciones tonales se desplacen desde el punto de vista meacutetrico (siacutencopas armoacutenicas) Estas progresiones se retrogradaraacuten en la seccioacutenAr con un efecto totalmente diferente en lo que respecta a las funciones tonales Como ya hemos indicado anteriormente eacutestas no son retrogradables en todos los casos Desde el punto de vista tonal los ce 16-18 son una perfecta retrogradacioacuten de los ce 1-3 Pero los retardos de los ce 3-6 dejan de ser tales en su respectiva retrogradacioacuten de los ce 13-16 donde pasan a ser notas reales El cambio maacutes dramaacutetico ocurre en la retrogradacioacuten del c 6 En el c 13 tiene lugar una modulacioacuten pasajera al relativo mayor que no ocurre en absoluto en el c 6 donde maacutes bien toca la subdominante paralela Para observar estos cambios hemos dispuesto una tabla con las funciones tonales (sin indicar inversioacuten) que ocurren en cada compaacutes Para ubicar faacutecilmente los compases correspondientes (el original Y el retrogradado) la suma de los diacutegitos de ambos debe dar 19

anon no 3 (de la Ofrenda Musical) Johano Sebastiaacuten Bach

T D S D 1 2 3

10~~~~~~ _~____ = _L-~~JL-~_~~~~~

El uacuteltimo ejemplo que analizaremos corresponde a una obra de la segunda mitad del siglo XVIII ya en pleno apogeo de la praacutectica general Se trata de laMenuetto al rovescio de la Sonata parapiano no 26 en la mayor de Franz Joseph Haydn La estructura de paliacutendromo

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se adapta en este caso al minueto de sonata que es de tres partes con periacuteodos binarios acotados por los signos de repeticioacuten de rigor La simetriacutea axial se encuentra internamente en cada una de las secciones A B YA siguiendo el esquema a continuacioacuten

Mcnuetto al rovescio (de la Sonata no 26 en la mayor) - Joseph

Los signos de repeticioacuten de los cc 11 y 33 representan el eje de la simetriacutea Sin embargo hay que acotar que el da capo introduce un elemento perturbador en la simetriacutea global de la obra Se hubiera requerido retrogradar la reexposicioacuten del menuetto haciendo ar-a en vez de un da capo convencional para que la obra fuese un paliacutendromo perfecto a nivel macroestructural

Desde el punto de vista armoacutenico Haydn utiliza con abundancia las funciones baacutesicas de toacutenica subdominante y dominante y excepcionalmente las de toacutenica o subdominante paralelas18 En ninguacuten momento hace dominantes secundarias ni mucho menos modulaciones Cabe destacar que el triacuteo o seccioacuten B se encuentra en la misma tonalidad que el menuetto hecho no usual en la eacutepoca y que se debe con toda seguridad al tratamiento sui generis que hace Haydn de esta forma daacutesica Por otra parte en la partitura podemos observar un claro manejo polifoacutenico a tres voces de la textura a pesar de la evidencia del lenguaje tonal utilizado Aquiacute tambieacuten se hace patente la ocasional marcha forzada de las voces de la armoniacutea especiacuteficamente en el c 34 (retrogradacioacuten del c 31) donde la sensible sol sostenido del bajo queda sin resolver en su respectiva octava creando una sensacioacuten no muy comuacuten dentro de la tonalidad

18 ef la partitura al final En el anaacutelisis de las funciones no hemos indicado las inversiones de los acordes

138

138


_clt--- que es de tres pares

1i5ilr~~ de repeticioacuten de ngor --~_Ie en cada una de las

ontinuacioacuten

1 - 33 representan el eje de o~e el da capo introduc~ un

- bal de la obra Se hubIera ~~~1 menuetto haciendo ar-a

tr1

ara que la obra fuese un

Hadn utiliza con abundancia ~- d~minante Y dominante Y

1B _- ~~bdominante paralelas En --ccundarias ni mucho menos = ~o o seccioacuten B se encuentra en - -hecho no usual en la eacutepoca y -~tamiento sui generis que hace ~l parte en la partitura podemos

a tres voces de la textura a ~~-~w-middot~nal utilizado Aquiacute tambieacuten e

~-orzada de las voces de la armo~lla - del c 31) donde la sensIble

esolver en su respectiva octava ~ onuacuten dentro de la tonalidad

no hemos indicado las inversiones jiexcliexcl ~ -- tunClOnes

COMENTARIOS FINALES

U na vez examinados estos ejemplos se hace necesaria una reflexioacuten acerca del paliacutendromo en tanto estructura musical y sus implicaciones dentro del estilo modal-tonal El problema gira en torno a la naturaleza aprioriacutestica de la estructura musical predeterminada de manera tan dramaacutetica en las obras estudiadas Comencemos por definir los teacuterminos de estructura y forma que a tan a menudo se toman como sinoacutenimos Andreacute Hodeir diferencia ambos conceptos19 al considerar que la estructura es la interrelacioacuten de las diversas partes en vista de constituir un todo mientras que la forma es precisamente ese todo en tanto que tal considerado en su unidad Es decir la forma es la percepcioacuten que tenemos de una obra como un todo en tanto que la estructura tiene maacutes que ver con su factura teacutecnica Al respecto Hodeir acota que los problemas de la arquitectura de una obra los problemas teacutecnicos son parte de la estructura en tanto que la idea de forma esta ligada a la necesidad profunda de una obra a su esencia20 La idea de que forma yestructura no son ideacutenticas la expresa claramente Jan La Rue cuando propone dejar de concebir la forma como un molde estaacutetico que ha de ser rellenado con notas musicales entendieacutendola maacutes bien como un proceso de crecimiento21 debemos aprender a observar cada pieza primeramente como una uacutenica expresioacuten ysoacutelo posteriormente como un miembro de alguna categoriacutea general de las pertenecientes a los tipos de crecimiento 22 Smith Brindle comparte esta idea al expresar que la forma es un proceso designado a cautivar la atencioacuten del escucha a mantenerla continuamente hasta el final y a dejarlo con un sentido de haber experimentado algo completo e inevitable23 La tesis de la organicidad interna de la obra musical es la base de la

19 Andreacute Hodeir Les Formes de la Musique FUE Pariacutes 1951 p 11 traduccioacuten nuestra 20 lbid pp 12-14 21 ~an LaRue Anaacutelisis del Estilo Musical la ed Trad Pedro Purroy Barcelona 1989 p 88 22 lbidem p 117 23 Reginald Smith Brindle Serial Composition Oxford University Press 1966 1977Oxford p102 traduccioacuten nuestra

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JUAN FRANCISCO SANS ~_______________~~____

propuesta de Heinrich Schenker quien pensaba que todas las grandes obras -las obras bien compuestas - poseen una estructura fundamental en el nivel maacutes profundo denominada Ursatz o nivel de base y que adquieren su especificidad formal al manifestarse en el nivel maacutes superficial La forma vista desde este aacutengulo es un accidente y no la esencia misma de la obra musical Pudieacuteramos pensar que las estructuras son paradigmas aprioriacutesticos de las cuales las obras resultan reflejos imperfectos o a la inversa considerar que la obra es una forma viva y uacutenica un sistema que define a posteriori sus propias estructuras esquemas o modelos

Nuestro problema concreto estriba en contribuir a esta discusioacuten basaacutendonos en la evidencia de la existencia a priori de la estructura musical del paliacutendromo Tomando esto en cuenta seriacutea uacutetil dilucidar si las estructuras de paliacutendromo obedecen a una razoacuten formal (entendida como razoacuten profunda) a un proceso de crecimiento o si maacutes bien representan estructuras aprioriacutesticas a las cuales el compositor se somete voluntariamente con una escasa posibilidad de manejo de los restantes paraacutemetros del discurso musical Antes que nada deberiacuteamos puntualizar si la estructura del paliacutendromo es o no perceptible durante la audicioacuten Para ello intentaremos saber en principio de queacute manera percibimos la forma musical

Jan LaRue hace intervenir en este punto y de una manera decisiva a la memoria Para eacutel la forma musical es la memoria del movimiento24 Sin memoria no hay forma Esto coincide plenamente con el postulado de que la decodificacioacuten del mensaje sonoro ( ) tiene necesariamente que organizarse en el tiempo apelando a la memoria 25 Hodeir tambieacuten se adhiere a esta tesis al acotar que la principal razoacuten de la indiferencia o de la hostilidad que encontramos en la mayor parte de las primeras audiciones deriva precisamente de la impresioacuten confusa de encontrarse en una suerte de laberinto sonoro donde no podemos encontrar la salida 26 Todo ello resulta de las expectativas que tenemos acerca de una obra que escuchamos

24 Jan LaRue loe cit 25 Mariacutea del Carmen Aguijar op cit p 2

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1IIIiiI---- que todas las grandes ~ ~een una estructura ~crcinada Ursatz o nivel

al manifestarse en este aacutengulo es un

-~ musical pudieacuteramos - ~rioriacutesticos de las cuales

_~ inversa considerar que I~~a que define a posteriori

ontribuir a esta discusioacuten _iexcl~a a priori de 1 est~c~ra

__ cuenta seriacutea util dilucldar iXeacuteeen a una razoacuten formal -- 7Iroceso de crecimiento o -rioriacutesticas a las cuales el

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L esrructUra del paliacutendromo es Para ello intentaremos saber

la forma musical

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Esto coincide plenamente _c-~cmiddotvmiddotu del mensaje sonoro ( )

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en una suerte de laberinto 0-2 la salida26 Todo ello resulta

~-1 de una obra que escuchamos

__________ PALiacuteNDROMOS

por vez primera y al hecho de que eacutesta debe irse codificando necesariamente en nuestra memoria en tiempo real

Pero hay un paso previo que estamos dejando de lado y que es de vital importancia en este asunto Sabemos que la memoria juega un papel fundamental al comparar eventos que escuchamos en tiempo real con los recuerdos que nos van quedando de ellos La decodificacioacuten de los mensajes musicales estaacuten determinados por esta retroactividad comparativa que se basa en la memoria y que estaacute presente en la mayoriacutea de los procesos funcionales de la muacutesica (como por ejemplo la funcionalidad tonal o la funcionalidad formal)27 Ireacutene Delieacutege en su artiacuteculo Perception et analyse de loeuvre musicale points de rencontre dice que el hecho de que sepamos que en nuestra memoria se acumulan los datos de la manera maacutes sencilla posible en forma de grupos (ley de la pregnancia o buena forma) no necesariamente implica que comprendamos clara y expliacutecitamente las razones psicoloacutegicas y perceptivas que nos permiten percibir estos grupos como estructuras maacutes largas y coherentes (cadenas grupales) 28 Precisamente Delieacutege ha desarrollado la hipoacutetesis de la existencia de un mecanismo de extraccioacuten de iacutendices de base en el curso de la audicioacuten El hecho es que la repeticioacuten de estos iacutendices engendra una grabacioacuten preferencial en la memoria que permite reconocerlos inclusive si han variado de alguna u otra forma A este respecto quedariacutea por resolver el hecho de si las retrogradaciones de estos iacutendices representan uacutenicamente un fenoacutemeno estrictamente graacutefico gracias a la existencia de una notacioacuten musical o si son susceptibles de percibirse realmente en tiempo real El reconocimiento perceptivo de los iacutendices de base en una retrogradacioacuten se hace necesariamente en tiempo diferido y requiere de tres procesos recordar el iacutendice de base transportarlo y retrogradarlo Parecieran ser demasiados cambios para que se verifique un reconocimiento perceptual del iacutendice de base incluso

26 Andreacute Hodeir op cit p14 27 Mariacutea del Carmen Aguilar loe cit l8 Ireacutene Delieacutege Perception et analyse de Ioeuvre musicale points de rencontreenAnaryse Musicale SFAM nos 26 Febrero de 1992 p 8-11 traduccioacuten nuestra

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JUAN FRANCISCO SANS _______________ ~_____

si eacuteste es muy sencillo En este sentido la aplicacioacuten del concepto de simetriacutea a la muacutesica pareciera no ser maacutes que una analogiacutea Incluso los campos uniformes y los ritmos no retrogradables que pudieacutesemos tomar como iacutendices de base riacutetmicos se expresan necesariamente en una liacutenea temporal e impiden una captacioacuten holiacutestica de los elementos simeacutetricos

Todas estas consideraciones se hacen necesarias para comprender hasta queacute punto los paliacutendromos que aquiacute estudiamos pueden ser percibidos en tanto organizacioacuten sintaacutectica yen queacute medida el hecho de que percibamos o no esta organizacioacuten influye en el recuerdo global que nos queda de la obra es decir en su forma Hodeir es claro en este punto al sentildealar que por ejemplo la arquitectura interna de un movimiento de sonata puede dejar indiferente al auditor29 Pero esta indiferencia no es oacutebice alguno para que el auditor pueda tener una apreciacioacuten esteacutetica de la composicioacuten que pueda dejar una huella profunda en los depoacutesitos de su memoria Al respecto apelaremos a la opinioacuten de algunos autores que han tratado el tema William Drabkin dice que a pesar de que esta estructura ha sido preferida entre aquellas que tienen un significado esoteacuterico para hacer muacutesica no necesariamente invita a la apreciacioacuten del escucha Antildeade que raramente se pretendioacute [que durante el sigiacuteo XIV] fuera detectada en la ejecucioacuten 30 Zamacois coincide con Drabkin al afirmar que si una imitacioacuten no es identificable por el oiacutedo guarda soacutelo intereacutes para el lector de la obra no para quien la oye Por eso las [imitaciones Jdirectas son las maacutes empleadas y las retroacutegradas las menos31 Smith Brindle por su parte asocia la inteligibilidad de estas estructuras a su longitud Habraacute entonces una proporcioacuten inversa entre percepcioacuten y longitud Sin embargo acota que

Estas estructuras pueden ciertamente ser un excelente medio para escribir el doble de la muacutesica con un poco menos de esfuerzo -su loacutegica como

29 Andreacute Hodeir op cit p ll 30 William Drabkin Retrograde en Stanley Sadie (Ed) The New GrlJVe Dictiotlay of Musiacutec andluacuteusicians Vol 15 Macmillan Publisher LTD London 1980 p 768 traduccioacuten nuestra 31 Joaquiacuten Zamacois Curso de Fomtas Musicales Editorial Labor Barcelona 1982 p 56

142

cJacioacuten del concepto de ~-e una analogiacutea Incluso - que pudieacutesemos

5xsan necesariamente en holiacutestica de los

-bull ~)ltU para comprender - estudiamos pueden ser

- - en queacute medida el hecho _-_ influye en el recuerdo

en su forma Hodeir es tr eiemplo la arquitectura - C-lede dejar indiferente al ~- )oice alguno para que el

---_~ de la composicioacuten que ClOsitos de su memoria Al

alliEK)S autores que han tratado de que esta estructura ha

significado esoteacuterico para dicha

1 a aprecIaClon e escu durante el siglo XIV] fuera

coincide con Drabkin al bO~lt1caDJLe por el oiacutedo guarda

= Dara quien la oye Por eso ~ieadas y las retroacutegradas las

- asocia la inteligibilidad de entonces una proporcioacuten

S- embargo acota que

S-ID excelente medio para escribir ==05 de esfuerzo -su loacutegica como

~c~ Ed) The New Grove DictianaYof =--u London 1980 p 768 traduCClOn

-=~d-al Labor Barcelona 1982 p 56


meacutetodo de papel estaacute maacutes allaacute de toda cuestioacuten pero debernos asegurarnos que este reflejo [mirrorring] no resulte en muacutesica de dudosos meacuteritos auditivos Si usarnos las formas de espejo debernos estar seguros que el procedimiento produce resultados musicales positivos y que los valores poeacuteticos nunca seraacuten sacrificados en aras de conceptos intelectuales hipoteacuteticos 32

Ademaacutes recalca que las secciones retrogradadas de una obra deberiacutean tener la misma vitalidad y musicalidad que las secciones que van recto

No podemos afirmar de plano -como lo hacen estos autoresshyque la estrUctura del paliacutendromo no se percibe durante la audicioacuten toda vez que esta estructura parte de una organizacioacuten tan evidentemente loacutegica que resulta difiacutecil aceptar que alguacuten rasgo de ella no sea percibido en modo alguno En todo caso creemos que el problema de la percepcioacuten de este tipo de estrUcturas es similar a los que se plantean en la muacutesica dodecafoacuteruca y serial partiendo de que en estas obras hay una ratio inexorable que articula todo el discurso y que esta ratio debe hacerlo coherente de alguna u otra manera A este respecto coincidimos con Kramer cuando asegura que se ha demostrado que la mayoriacutea de los oyentes incluyendo a muchos muacutesicos de elevado entrenamiento no pueden extraer la secuencia de doce tonos en muchos pasajes seriales Pero seriacutea un error concluir por ello que esa secuencia y sus manipulaciones son irrelevantes Puede que la secuencia en siacute misma no se escuche) pero sus efectos siacute)) 33

Dadas estas dificultades podremos comprender que los paliacutendromos musicales estrictos no sean frecuentes en la historia musical debido el reto que significa para un creador componer una obra esteacuteticamente satisfactoria con esas exigencias Pero no cabe duda de que las obras que hemos analizado representan uno de los casos maacutes interesantes en lo que respecta a la relacioacuten entre estrUctura y forma entre ser y devenir entre paradigma y sintagma

32 Smirh Brindle op cit p 99 33 Jonathan Kramer The Time OfMusic New York Schirmer Books 1988 p 329 sub nuestro

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JUAN FRANCISCO SANS _______~_~____ _~___~~~~_____

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___ _________________ PALiacuteNDROMOS

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S0-1ork Dover Publications

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-cS du Seuil 1966

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Rosen Charles Formas de Sonata Barcelona Editorial Labor 1987

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Zamacois Joaquiacuten Curso de FormasMusicales Barcelona Editorial Labor 1982

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JUAN FRANCISCO 5ANS _________________

Mi fin es mi comienzo

Guillaume de Machaut

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Francisco Loacutepc2 YCapilla$ Transcripcioacuten de Robert Stetnron

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____________________________ PALiacuteNDROMOS

Agnus Dei 11 Messe 1 Humille AITlleacute super HI(CS m1Sicu[e~

Josquindes Preacutes Transcripcioacuten de Jacques Chailley

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JVAgtiexcl FRANCISCO SANS ________________

La ofrenda musical Canon 3

Johann Sebastian Bach

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musical Johann Sebastian Bach

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Menuetto de la Sonata No 26 en la mayor

Franz Josepb Haydn MenueHo al Rovescio

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~usical Acoustics) 2nd Ed Dover

J _ Muacutesica V Matemaacuteticas (1) Papel

IpelMusical Nro 8 Caracas 1991

apelMusical Nro 9 Caracas 1992

ca y Sonidos Fundamentales Papel

id Sonido Papel Musical Nro 14

ICcis Myste1y and Magic in Numbers

iexclal History ofthe Golden Number Dover

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oyer Publications lnc Nueva York Cambridge University Press Londres

11 arts Addison-Wesley Publishing

ames and Hudson Londres 1982

tmatics Van Nostrand Company l~c

Ed Dover publications lnc Nueva

EscritoS en arte esteacutetica y cultura ID Etapa Ndeg 14 Caracas julio - diciembre 2001 115-152

PALIacuteNDROMOS

Juan Francisco Sans Universidad Central de Venezuela

EL PALIacuteNDROMO COMO ESTRUCTURA MUSICAL

Dentro de las llamadas estructuras anaciacuteclicas que se utilizan como recurso poeacutetico en el lenguaje verbal encontramos dos tipos bien definidos El primero es el anagrama que nos permite formar con las mismas letras palabras distintas disponieacutendolas en un orden diferente Tal es el caso de MANO-MONA RAMO-ROMA CASAshySACA ARROZ-ZORRA etc Podemos encontrar analogiacuteas musicales con este tipo de estructuras verbales en las permutaciones que se hacen con las notas de motivos meloacutedicos como el ceacutelebre BshyA-C-H (si bemol la do si becuadro) o en los grupos de notas que estructuran la muacutesica atonal y serial tal como lo demuestra el anaacutelisis propuestopor la Set theory El segundo tipo de estructuras anaciacuteclicas que encontramos en el lenguaje verbal es el paliacutendromo El paliacutendromo consiste en una palabra o frase que se deletrea exactamente del mismo modo al ser leiacuteda de izquierda a derecha que de derecha a izquierda Tal es el caso de palabras como AREPERA o ALA e incluso de frases como DAacuteBALE ARROZ A LA ZORRA EL ABAD o ADAacuteN NO CEDE CON EVA YYAHVEacute NO CEDE CON NADA

La idea de crear estructuras musicales basadas en el concepto del paliacutendromo ha fascinado a maacutes de un compositor a lo largo de los siglos Su aplicacioacuten ha generado teacutecnicas puntuales como la retrogradacioacuten el recte etretro los caacutenones cancrizantes y las series

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