UNIVERSITÉ GALATASARAYFACULTÉ DES ARTS ET DES SCIENCESDÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES

Le Théorème des Nombres Premiereset

La Fonction Zêta de Riemann

Projet de fin d’études préparé par

Firdevs Meltem Akgün

Sous la direction de

Ayberk Zeytin

Juin 2014

Table des matières

Remerciement i

Résumé ii

Introduction iii

1 Préliminaires 11.1 Les nombres premiers et ses propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Formules concernant les nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Introduction au le théorème des nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 La fonction zêta de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Le Théoreme des Nombres Premiers 92.1 Théorème des Nombres Premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.1 Introduction du Théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.2 La Démonstration de Théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 La Fonction Zêta de Riemann 143.1 Introduction aux Séries de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2 La Fonction Zêta de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Remerciement

Je tiens à adresser mes remerciments les plus sincères à mes professeurs : Ayberk Zeytin, AysegülUlus, Susumu Tanabe, Muhammed Uludag, Meral Tosun, Gülay Kaya et Serge Randriambololona.

Je remercie mon directeur du projet Ayberk Zeytin qui a toujours eu le temps pour m’écouter, je luiremercie pour le temps qu’il m’a consacré. Il montre toujours la patience de mes émotions instables,m’a aidé à comprendre la beauté dans les mathématiques, il a essayé de voir à travers mon niveau etme faire compris théorèmes très difficiles. Quand je sentais que je ne peux pas continuer, il a fait unenouvelle approche. Merci à lui pour notre projet.

Je remercie Aysegül Ulus qui nous a tous encadrés avec patience durant la réalisation de ce projetde fin d’étude.Elle est la raison pour laquelle je suis venu à cette école, la première fois que je suisvenu pour voir le département, je l’ai rencontrée et elle nous a enchanté par son optimisme et sonsourire. Elle est la personne la plus douce cœur, et elle est une très bonne écoute. Je n’ai qu’une seulechance de prendre son cours, mais même si j’ai eu un très bon moment en écoutant son.

Il est une preuve vivante de la chevalerie, il se comporte toujours courtois. Il m’a montré parfoisvous avez besoin de mettre en examen des idées diverses de réflexion tous les possibles avant d’arriverune conclusion. Je tiens à remercier, Susumu Tanabe.

Sous sa figure grave, je crois qu’il a le plus grand coeur pour nous tous. Beaucoup de mes idéesvient de la réflexion sur les peines qu’il a dit. Il nous a montré la meilleure façon de la porte desmathématiques, mais toujours nous faire pensé que si il existe un raccourci. Je tiens à remercierMuhammed Uludag.

Ses cours étaient des cours les plus compréhensibles. Elle m’a aidé dans mes confusions, elle étaitcomme une soeur pour moi. Elle m’a appris à prendre mes décisions avec la pensée logique, mais àla fin vous allez suivre votre cœur, dit-elle. Je tiens à la remercier d’être là, Meral Tosun.

Étape par étape, toujours écrire comme des perles dans les lignes, elle est trés propre et systéma-tique. J’ai appris beaucoup de cours d’elle, et avec un coup d’œil dans mon cahier, je me souviensimmédiatement de ses notes. Elle est toujours gentil et sympa avec nous, nous a écouté et a rejointnotre joie. Je tiens à remercier, Gülay Kaya.

Que soit enfin remercié ici Cedric Milliet, qui m’a éclairé par la lumière de la connaissance, medonne de l’espoir et de la motivation à vivre.

i

Résumé

Les nombres premiers sont les nombres speciaux pour les mathématiciens car on désire de com-prendre les nombres, et la pièce élémentaire d’un nombre, est un nombre premier et il n’existe pasune formule explicite pour les determiner.

Dans ce projet de fin d’études, notre but est de donner une formule pour la distribution des nombrespremiers avec le Théorème des Nombres Premieres et demontrer une relation entre la Fonction Zêtade Riemann et le Théorème des Nombres Premieres, (on va le noté TNP).

Les recherches sur les nombres premiers se poursuivent aujhourd’hui encore. Les mathématicienstravaillent pour déterminer le plus grande premier dans l’espoire d’avoir écrit leur noms dans l’an-nales. Il y a beaucoup des questions ouverts qui soutient les nouveaux recherches.

ii

Introduction

L’une des stratégies principales par lesquelles nous arrivons à comprendre notre monde physiqueou conceptuelle, est briser les choses en morceaux, décrire les pièces les plus élémentaires, et décrirecomment ces morceaux assemblés pour créer l’ensemble. On désire de comprendre les nombres, et lapièce élémentaire d’un nombre, est un nombre premier.

Les nombres premiers sont la base de la théorie des nombres. "Si le mathématique est la reinedes sciences, alors la théorie des nombres est la reine des mathématiques." a dit Gauss.

Une nombre premier est un nombre qui a seulement deux diviseurs, lui même et 1. Les nombrespremiers sont une sujet trés attirante pour les mathématiciens pendant des siécles.

Les nombres premiers ont été d’abord etudié par les Grecs anciens, qui ont trouvé leurs proprié-tés de bases. Eléments d’Euclide (vers 300 avant JC) contiennent des théorèmes importants sur lesnombres premiers, dont l’infinité de nombres premiers et le théorème fondamental de l’arithmétique.Euclide a également montré comment construire un nombre parfait d’un nombre premier de Mer-senne.

En 1640, Pierre de Fermat a déclaré (sans preuve) le petit Théorème de Fermat (plus tard prouvépar Leibniz et Euler). Fermat a conjecturé que tous les nombres de la forme 22n

+ 1 sont nombrespremiers (ils sont appelés nombres de Fermat) et il a vérifié cette conjucture jusqu’à n= 4 (ou 216+1).Marin Mersenne qui etait un moine français, consideré les ou nombres premiers de la forme 2p− 1.Ils sont appelés nombres premiers de Mersenne dans son honneur. les Au début du 19ème siècle,Legendre et Gauss ont conjecturé que x tend vers l’infini, le nombre de nombres premiers jusqu’àx est asymptotique à x/ln(x), où ln(x) est le logarithme naturel de x. Ce plan a été complété parHadamard, [2], [3], et de la Vallée Poussin, [5], qui a prouvé indépendantement le théorème desnombres premiers en 1896.

La fonction Zêta de Riemann est une série. La fonction est née avec le question de Pietro Mengolien 164. "Combien vaut la somme de la série numérique ∑

∞n=1

1n2 ?"

Leonhard Euler, enfin, en 1735, à calcule cette somme avec précision et conjecture qu’elle vautπ2

6 .Il en etait très fier et dirait même que "si un seul de ses travaux devait être conservé, que ce soit

celui-ci". Mais il ne s’arrête pas à ce résultat, et cetait lui qui définit la fonction zêta, notée ζ , sur lesréels positifs supérieurs à 1 par ;

iii

ζ (k) =∞

∑n=1

1nk

En 1859, Riemann a travaillé sur le TNP indirectement et a fait une relation entre le Théorèmeet la fonction de Zêta de Riemann. Il n’a malhereusement pas completement réussi, sa preuve aitdes fauts. En 1876, en utilisant des fonctions intégrales, J.Hadamard et Vallée Poussin ont réussi depreuver le TNP. Cependant, Hypothés de Riemann (si ζ (σ + it) = 0, alors σ = 1/2), laquelle est leplus d’important pour faire un plus précise approximation de le TNP.

En 1948, Atle Selberg et P. Erdös ont réussi de trouver une preuve élémentaire de TNP. Le mot"élémentaire" s’agit on évite d’utilisation des variables complexes et analyse Fourrier quand on dé-montre le théorème des nombres premiers. Pour tous ces travaux, Selberg a reçu la médaille Fields en1950.

Dans ce projet de fin d’études, on va étudier la distribution des nombres premiers et leur relationentre la Fonction Zêta de Riemann.

D’abord, on va étudier les propriétés et les théoremes de bases des nombres premiers et les fonc-tion arithmetiques. On va démontrer qu’il y a une infinité des nombres premiers et étudier sur distri-bution des nombres premiers.

Ensuite, on va examiner le Théoreme des Nombres Premieres et la preuve de Selberg. On vaétudier la formule asymptotic d’Erdös. En l’utilisant on va determiner s’il est possiblé de déterminerle ratio des distribution des nombres premiers.

De plus, on va étudier quelques formules asymptotique de Dirichlet, après on va répondre à laquestion comment on trouve la fonction Zêta avec une série de Dirichlet, on va étudier la FonctionZêta de Riemann.

Enfin, on va conclure avec la relation entre le Théoreme des Nombres Premieres et la FonctionZêta de Riemann.

iv

Chapitre 1

Préliminaires

Dans cette chapitre, on va étudier les définitions de bases des nombres premiers. On va donner unpeu d’information culturelle sur des nombres premiers, comme le plus grande nombre premier connuet quelques formules a été trouvées pour determiner les nombres premiers.

1.1 Les nombres premiers et ses propriétés

L’entier 1 a une seule diviseur qui est lui même. Tous les autres entiers naturels sauf 1 ont aumoins deux diviseurs ; lui même et 1.

Exemple 1.1.1. 10 a les diviseurs 1,2,5,10. 6 a les diviseurs 1,2,3,6. 5 a les diviseurs 1,5.

Définition 1.1.2. Un entier n est un nombre premier si n est plus grande que 1 et n n’a pas de diviseurs

positives sauf que 1 et lui même. Sinon, n est appellé compose.

Exemple 1.1.3. 7 est une nombre premier car tous les diviseurs de 7 sont 1 et 7.

Pour montrer il existe une infinité des nombres premiers, on a besoin la lemme suivante,

Lemme 1.1.4. Tous les entiers plus que 1 a une diviseur premier.

Théorème 1.1.5. Il existe une infinité des nombres premiers.

Démonstration. Supposons que p1, p2, ..., pn sont tous les nombres premiers où n est une entier positifet p1 < p2 < ... < pn. On considere un entier Qn

Qn = p1 p2...pn +1

1

On sait que tous les entiers a une diviseur premier par la lemme precedent, alors il doit existe unautre nombre premier que les pn qui divise Qn,car pi ne divise pas Qn pour tout i ∈ {1, ...,n}

Définition 1.1.6. La fonction de compte des nombres premiers est la fonction comptant le nombre de

nombres premiers inférieurs ou égaux à un nombre réel x, notée par π(x). C’est-à-dire,

π(x) = #{n ∈ N | n≤ x et n−une nombre premier}

Exemple 1.1.7. π(10) = #{2,3,5,7}= 4, π(100) = 25

Remarque 1. On peut déterminer les nombres premiers avec une systeme manuel ; en commencent

avec 2, on barre les nombres qui est multiplication de 2, apres 3, apres 5, jusqu’à 7 ; car les nombres

plus petite que 100 ne peut pas divisible par les nombres plus grande que 10 et il restera seulement

les nombres premiers dans le tableau.

1.2 Formules concernant les nombres premiers

Dans cette partie on montre il n’y a pas aucun polynôme dont coefficients sont entieres, qui peuttrouver tout les nombres premiers.

Le rêve d’une formule exacte et simple donnant le ne nombre premier pn, ou le nombre π(n) denombres premiers inférieurs ou égaux à n, s’est très tôt heurté à l’extrême irrégularité de leur réparti-tion, ce qui a amené à se contenter d’objectifs moins ambitieux. Mais même la recherche de formulesne donnant que des nombres premiers s’avère assez décevante ; ainsi, il est facile de montrer qu’iln’existe aucune fonction polynôme non constante P(n) qui ne prendrait que des valeurs premièrespour tous les entiers n, ou même pour presque tous les n ; en fait, on ignore même s’il existe unpolynôme de degré > 1 qui prenne une infinité de valeurs premièrs.

Legendre a montré que il n’existe un polynôme dans Z[x] qui donner les nombres premiers.

Remarque 2. Les nombres premiers de Mersenne sont le forme 2p−1 où p est un nombre premier.

Plus Grande Nombre Premiere Connu. Le plus grande premier connu est un nombre premier deMersenne. Le plus grande premier est 257885161−1, qui a 17425170 chiffres.

2

Remarque 3. Les formules interessantes pour déterminer les nombres premiers ;

• Fomule Polynôminal d’Euler : P(n) = n2− n+ 41 est toujours un nombre premier pour les n

qui est plus petite que 41.

• Formule de Fermat : 22n+1 où n est un entier positif.

• Mersenne Premiere : 2p−1 où p est un nombre premier.

• Wagstaff Premiere : p = 2q+13 où q est une autres nombre premier.

• Factorial Premiere : p = n!+1 ou p = n!+1

• Pytagorean Premiere : 4n+1. Une Pytagorean nombre premier est l’hypoténuse, racine carré

de somme de deux carrés.

Exemple 1.2.1. Prenons la formule polynôminal d’Euler, P(n) = n2−n+41,

n = 1, P(1) = 41, n = 2, P(2) = 43,

n = 3, P(3) = 47, n = 4, P(4) = 53,

n = 5, P(5) = 61, n = 6, P(6) = 71,

n = 7, P(7) = 83, n = 8, P(8) = 97,

n = 9, P(9) = 113, n = 10, P(10) = 131,

n = 11, P(11) = 151, n = 12, P(12) = 173.

Exemple 1.2.2. Prenons la Pytagorean Premiere, P(n) = 4n+1,

n = 1, P(1) = 5, n = 3, P(3) = 13,

n = 4, P(4) = 17, n = 7, P(7) = 29,

n = 9, P(9) = 37, n = 10, P(10) = 41.

Théorème 1.2.3. Il n’existe aucun polynôme dans Z[x] qui nous donner des nombres premiers.

Démonstration. Soit f (x) ∈ Z[x] assumer des nombres premiers comme valeurs, écrire,

f (x) = akxk +ak−1xk−1 + ...a1x1 +a0

où ak > 0 et on a limx→∞ f (x) = ∞.Soit f (x0) = akx0

k +ak−1x0k−1 + ...a1x0

1 +a0 = y une nombre premier, alors

f (ry+ x0) = ak(ry+ x0)k +ak−1(ry+ x0)

k−1 + ...a1(ry+ x0)1 +a0

Si on prenons les nombres en la forme (ry+ x0), y divise f (ry+ x0) alors, f (ry+ x0) n’est pas unnombre premier.

3

1.3 Introduction au le théorème des nombres premiers

Dans cette partie, on va étudier les fonctions et les notations concernant le TNP.Soient n un nombre naturel, p, q et r les nombres premiers et τ(n) le nombre des diviseurs de

l’entier n et log la logarithme naturelle. On va noter les constants par c, et les constants positives parK.

Définition 1.3.1 (La Fonction de Möbius). La fonction de Möbius désigne généralement une fonction

multiplicative particulière, définie sur les entiers strictement positifs et à valeurs dans l’ensemble

{−1,0,1}, ainsi ;

µ(n) =

0, si n est divisible par un carré parfait différent de 1,

1, si n est le produit un nombre pair de nombres premiers distincts,

−1, si n est le produit d’un nombre impair de nombres premiers distincts,

On définit µ(1) = 1.

Exemple 1.3.2. µ(10) = 1, µ(8) = 0

Définition 1.3.3 (La Fonction de von Mangoldt, Λ(d)). La fonction de Mangoldt, notée par Λ(n), est

définie comme la suivante ;

Λ(n) =

log p, si n = pc

0, sinon

Exemple 1.3.4. Λ(8) = log2

Remarque 4. On définit,

λd = λd,x = µ(d) log2 xd

Définition 1.3.5 (La fonction ϑ(x)). La fonction ϑ(x) est définie ainsi ;

ϑ(x) = ∑p≤x

log p

Exemple 1.3.6. ϑ(10) = log2+ log3+ log5+ log7

Définition 1.3.7 (Comparaison Asymptotique ou O notation). Soient f et g sont deux fonctions qui

sont définie dans R, on écrit,

f (x) = O(g(x))

si est seulement s’il existe une constant positif M, tel que

| f (x)| ≤M|g(x)|

4

pour x assez grande.

Exemple 1.3.8. 4x3 +2014x2 = O(x3) car il existe une M assez grande que 4x3 +2014x2 ≤Mx3 où

M = 5

Définition 1.3.9 (La Fonction θn). La θn est une fonction qui est définie ainsi ;

θn = θn,x = ∑d|n

λn

Proposition 1.3.10 (La Fonction θn).

θn =

log2 x, pour n = 1,

log p logx2/p, pour n = pα , α ≥ 1,

2log p logq, pour n = pαqβ , α ≥ 1, β ≥ 1,

0, sinon

Démonstration. Si n = 1, ∑d|1 µ(d) log2 xd = µ(1) log2 x = log2 x. Si n = pα où p est un nombre

premier et α ≥ 1 un entier naturel :

∑d|pα

µ(d) log2 xd

= µ(1) log2 x1+µ(p) log2 x

p+µ(p2) log2 x

p2 + ...+µ(pα) log2 xpα

= 1 · log2 x−1 · log2 xp+0+ ...+0

= log2 x− log2 xp

= (logx)2− (logx− log p)2

= log p(logx2− log p)

= log p · logx2

p

Si n= pα .qβ , où p,q sont des nombres premiers et α,β ≥ 1 sont des entiers naturels on determinerque θpα qβ = 2log p− logq

∑d|pα .qβ

µ(d) log2 xd

= µ(1) log2 x1+µ(p) log2 x

p+µ(q) log2 x

q+µ(pq) log2 x

pq

= log2 x1− log2 x

p− log2 x

q+ log2 x

pq= (logx)2− (logx− log p)2− (logx− logq)2 +(logx− log p− logq)2

= log p(logx2− log p− logx2 + log p+ logq2

= log p · logq2

5

Et si on suppose que n est non-carré, alors

θn,x = θn/pk,x−θn/pk,x/pk.

Si on applique la formule precedente pour tous les entieres on obtient ;

∑n≤x

θn = log2 x+ ∑pα≤x

log p · logx2

p+2 ∑

p·q≤x,p<qlog p · logq

= ∑pα≤x

log2 p+ ∑pα≤x

log p · logq+O(∑p≤x

log p · logxp)+O( ∑

pα≤x,α>1log2 x)

+O( ∑pα ·qβ≤x,α>1

log p. logq)+ log2 x

= ∑p≤x

log2 p+ ∑p·q≤x

log p · logq+O(x)

6

1.4 La fonction zêta de Riemann

Dans cette partie on étudie quelques formule asymptotique de Dirichlet, on définir une série deDirichlet et enfin on définit de la Fonction Zêta de Riemann

Définition 1.4.1 (Constant d’Euler). Le constant d’Euler est défini comme la suivante ;

C = limn→∞

(n

∑k=1

1k− ln(n)

)Théorème 1.4.2 (Une formule asymptotique). Pour x≥ 1 on aura

∑n≤x

1n= logx+C+O

(1n

)

Pour démonstrer cette propriété, on a besoin d’utiliser la formule sommation d’Euler.

Proposition 1.4.3 (La formule sommation d’Euler). Si f a une derivée continue f ′, en l’intervalle

[x,y], où 0 < x < y, alors

∑y<n≤x

f (n) =∫ x

yf (t)dt +

∫ x

y(t− [t]) f ′(t)dt + f (x)([x]− x)− f (y)([y]− y);

où [t] indique le plus qrande entier ≤ t

Démonstration. Soient m = [y] et k = [x]. Pour les entiers n et n−1 en l’intervalle [y,x] on a ;∫ n

n−1[t] f ′(t)dt =

∫ n

n−1(n−1) f ′(t)dt = (n−1){ f (n)− f (n−1)}

= {n f (n)− (n−1) f (n−1)}− f (n).

Prenons n = m+1 à n = k on trouve

∫ m

k[t] f ′(t)dt =

k

∑n=m+1

{n f (n)− (n−1) f (n−1)}− ∑y<n≤x

f (n)

= k f (k)−m f (m)− ∑y<n≤x

f (n),

d’où

∑y<n≤x

f (n) = −∫ m

k[t] f ′(t)dt + k f (k)−m f (m)

= −∫ y

x[t] f ′(t)dt + k f (x)−m f (y).

7

Avec l’integration partielle ;

∫ x

yf (t)dt = x f (x)− y f (y)−

∫ x

yt f ′(t)dt

En combinant ∑y<n≤x f (n)=−∫ y

x [t] f′(t)dt+k f (x)−m f (y) et

∫ xy f (t)dt = x f (x)−y f (y)−

∫ xy t f ′(t)dt,

on trouve la formule.

Démostration (Théoreme 1.4.2). Prenons f (t) = 1/t en la formule sommation d’Euler pour obtenir,

∑n≤x

1n

=∫ x

1

dtt−∫ x

1

t− [t]t2 dt +1− x− [x]

x

= logx−∫ x

1

t− [t]t2 dt +1+O

(1n

)= logx+1−

∫∞

1

t− [t]t2 dt +

∫∞

x

t− [t]t2 dt +O

(1n

).

L’integral impropre∫

∞

1 (t− [t])t−2dt exist car, il est dominé par∫

∞

1 t−2dt, ainsi ;

0≤∫

∞

x

t− [t]t2 dt ≤

∫∞

x

1t2 dt =

1x

Alors dernière équation devenient ;

∑n≤x

1n= logx+1−

∫∞

1

t− [t]t2 dt +O

(1n

)Cela démontre la formule avec ; C = 1−

∫∞

1t−[t]

t2 dt. Laisent x→ ∞, on trouve ;

limn→∞

(∑n≤x

1n− logn

)= 1−

∫∞

1

t− [t]t2 dt

Alors, C est le constant d’Euler,[7].

Théorème 1.4.4 (La Formule Asymptotique de Dirichlet). Pour tout x≥ 1 on aura

∑n≥x

τ(n) = x logx+(2C−1)x+O(√

x)

où C est la Constant d’Euler.

8

Chapitre 2

Le Théoreme des Nombres Premiers

Dans cette chapitre on va démontre le théorème des nombres premiers.La théoreme des nombres premiers énonce que ; il y a une relation de logarithm naturelle avec les

distributions des nombres premiers.

Remarque 5. La fonction de compte des nombres premiers est la fonction comptant le nombre de

nombres premiers inférieurs ou égaux à un nombre réel x, on la notée π(x).

π(x) = #{n ∈ N | n≤ x et n−une nombre premier}

Si on examine le tableau, on peut en déduire que la fonction π(x) converge vers xlogx . [4]

x π(x) x/ logx103 168 144.8104 1229 1085.7105 9592 8685.9106 78498 72382.4107 664579 620420.7108 5761455 5428681.0109 50847534 48254942.41010 455052512 434294481.91011 4118054813 3948131663.71012 37607912018 36191206825.31013 346065536839 226726783871014 3204941750802 31021034421661015 29844570422669 289529654602171016 27923834133925 201195442895331017 2623557157654230 25546734229609501018 24739954287740800 246787059168473001019 23457667276344600 179760431069746001020 2220819602560910000 22158848832162500001021 2112726948618730000 16661470770405600001022 201467286689315000000 201466825984695000000

9

2.1 Théorème des Nombres Premiers

Dans cete partie de fin d’études, on étudie le preuve élémentaire de Selberg.En 1948, il a donné avec Paul Erdös une preuve élémentaire du théorème des nombres premiers

(avec une controverse entre eux sur l’attribution de la priorité). Pour tous ces travaux, Selberg a reçula médaille Fields en 1950, [6], [1].

2.1.1 Introduction du Théorème

Dans cette partie on montre la relation entre la fonction de compte des nombres premiers, π(x) etla logarithm naturelle, log(x).

Théorème 2.1.1 (Théorème des Nombres Premieres). Pour x ∈ R on a,

limx→∞

π(x)x/ logx

= 1

Proposition 2.1.2. Si on preuve limx→∞ϑ(x)

x = 1, alors limx→∞π(x)

x/ logx = 1.

Démonstration. On se rappele que,

ϑ(x) = ∑p≤x

logx

On en déduit donc,

ϑ(x) = ∑p≤x

logx≤ log(x) ∑p≤x

1 = π(x) logx

Soit y tel que, 1≤ y≤ x,

π(x)− y≤ π(x)−π(y)≤ 1logy

(ϑ(x)−ϑ(y))≤ ϑ(x)logy

ϑ(x)x≤ π(x) logx

x≤ y logx

x+

logxlogy

· ϑ(x)x

Prenons y = xρ(x), oú ρ(x)< 1 et ρ(x)→ 1 tel que ; logxx1−ρ(x) → 0 oú x→ ∞.

Il existe un ρ(x) qui satisfait des equations ; ρ(x) = 1− 1loglogx .

Alors, limx→∞(1− 1loglogx) = 1.

Maintenant, on montre que,

limx→∞

x1−ρ(x) = limx→∞

x1

loglogx = ∞

limx→∞

x1

loglogx = elimx→∞1

loglogx ·logx = elimx→∞1/x

1/x logx = elimx→∞ logx = ∞

10

Alors,

ϑ(x)x≤ π(x) logx

x≤ logx

x1−ρ(x)+

1ρ(x)

ϑ(x)x

Alors ; ϑ(x)x → 1 implique π(x) logx

x → 1.

2.1.2 La Démonstration de Théorème

Dans cette partie on va démontrer le TNP.La strategie est en trouveant un point superieur et un point inferieur à ϑ(x)

x apres, on trouve queleur somme est égale a 2. Apres on déduit qu’il sont égaux.[6]

Lemme 2.1.3 (La Théorème de Tchebycheff). Pour x≥ 2, ϑ(x)x admet une borné inferieure positif et

une borné superieure positif.

Remarque 6. Pour preuve de Selberg il est sufficent que trouver seulement une borne superieur. Car

il existe une point inférieur, puisque notre fonction est croissante.

Démonstration. Soit P = (2n)!n!n! une nombre naturel. Car les facteurs des nombres premiers p > n et

≤ 2n, le produit des nombres premiers est un diviseur de P, et est au moins égal à 1+(2n1)+ ...+

(2nn)+ ...+(2n1)+ 1 = (1+ 1)2n = 22n. La logarithm de cette produit est égal à ∑n<p≤2n log p =

ϑ(2n)−ϑ(n).Alors ; ϑ(2n)−ϑ(n)≤ log22n = 2n log2. Pour x = 2m où m est un entier plus grande

ou egal à 1, on obtient ;

ϑ(x) = {ϑ(2m)−ϑ(2m−1)}+{ϑ(2m−1)−ϑ(2m−2)}+ ...

< (2m +2m+1 + ...+2) log2

< 2m+1 log2

= 2x log2.

Pour 2m−1 < x≤ 2m, on a,

ϑ(x)≤ ϑ(2m)< 2m+1 log2 < 4x log2,

Alors pour tout x > 1, on obtien,

ϑ(x)x

< 4log2.

11

Lemme 2.1.4 (La Formule de Selberg).

ϑ(x)x

+2

x logx ∑p≤√

x

ϑ(xp) log p→ 2 lorsque x→ ∞

Lemme 2.1.5.1

logx ∑p≤x

log pp→ 1 lorsque x→ ∞

Lemme 2.1.6. A+a = 2

Démosntration. Il est possible de faire x une infinité en cette chemin, que ϑ(x)x → A. Si δ est une

nombre positif fixé, ϑ( xp)> (a−δ ) x

p pour tout x assez grande et pour tout nombre p≤√

x, donc,

2x logx ∑

p≤√

x

ϑ(xp) log p≥ 2(a−δ )

logx ∑p≤√

x

log pp

Le dernière term converge à a− δ car la lemme precedente, donc la formule de Selberg montreque A+a−δ ≤ 2. C’est vrai pour tout positif δ fixé. Alors A+a≤ 2.

En la même maniere, en changeant A,a,δ et > avec A,a,−δ et < respectivement, on trouverA+a≥ 2. Alors A+a = 2.

Proposition 2.1.7. Il existe liminfx→∞ϑ(x)

x = a et limsupx→∞

ϑ(x)x = A et A+a = 2.

Démonstration. Il existe les limites liminf ϑ(x)x = a et limsup ϑ(x)

x = A, donc on va demontrer ϑ(x)

est borné.

Avec la formule soit a+A = 2.ϑ(x) = ax+O(x)

puisque ;

limx→∞

ϑ(x)x

+axx

=ϑ(x)

x+a;

En utilisant la formule d’asymptotique, on obtient ;

(ϑ(x)−ax) logx+∑ log p(ϑ(xp)+A

xp) = O(x).

Pour un nombre fixé δ , on a ;ϑ(

xp)> (A−δ )

xp,

On fait la même détermination pour la limite inférieure, et on arrive à ;

ϑ(x′

p)> (a+δ )

x′

p;

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Avec les deux inégalites précedentes, on obtient,

(A−δ )xp< ϑ(

xp)≤ ϑ(

x′

p)< (a+δ )

x′

p< (a+δ )(1+δ )

xp

A−δ < (a+δ )(1+δ )

A≤ a

Comme la limite supérieur est plus grande que la limite inférieure, on a A = a. Comme A+ a = 2,donc a = A = 1.

limϑ(x)

x= 1

13

Chapitre 3

La Fonction Zêta de Riemann

Dans cette partie on defini les séries de Dirichlet, et au cas especial de la série de Dirichlet ontrouvera la Fonction Zêta de Riemann.

3.1 Introduction aux Séries de Dirichlet

On va donner une bref introduction aux séries de Dirichlet pour déterminer la fonction zêta deRiemann.

Définition 3.1.1. Une série de Dirichlet est une série de la forme ;

f (s) =∞

∑n=1

ane−λn·s;

où λn est λ1 < λ2 < λ3 < λ4 < ... ; et λn→ ∞ ; et an ∈C et s = {σ + t√−1|σ , t ∈ R}.

Exemple 3.1.2. Parmi les séries de Dirichlet « classiques », celles de la première définition, figurent

les séries L de Dirichlet, qui correspondent aux cas où la suite (an) est totalement multiplicative et

périodique. L’exemple le plus simple d’une telle suite (appelée un caractère de Dirichlet) est la suite

constante an = 1, qui correspond à la série de Riemann ;

ζ (s) =∞

∑n=1

1ns

Exemple 3.1.3. La théorie des séries de Dirichlet générales, en autorisant d’autres suites d’exposants

λn que la suite log(n), permet d’inclure d’autres théories classiques :

Si les valeurs λn vérifient : λn = n et que l’on note z = e−s, la série prend la forme :

f (z) =∞

∑n=1

anzn

On retrouve la définition d’une série entière, à une constante additive près.

14

Exemple 3.1.4. Dans le cas où λn = 2πn, le changement de variable s =−it montre qu’une série de

Fourier est aussi un cas particulier de série de Dirichlet.

A0 +∞

∑n=1

(An cos(nx)+Bn sin(nx)).

3.2 La Fonction Zêta de Riemann

La fonction zêta de Riemann nous vient en fait d’Euler. Il s’agit de la fonction qui à un exposants associe :

ζ (s) =+∞

∑n=1

1ns .

La détermination de ζ (2) = π2

6 , puis dans la foulée de ζ (2n) pour n ∈N∗ est un des exploits dontEuler était le plus fier. Il ne s’était pas arrêté là. Il avait aussi démontre le rapport des séries de ce typeavec les nombres premiers.

Théorème 3.2.1 (La formule multiplication d’Euler). La fonction zêta de Riemann est ;

ζ (s) = ∏p

1(1− 1

ps )

Démonstration. On va l’écrire en forme de multiplication,

ζ (s) =+∞

∑n=1

1ns

ζ (s) = 1+12s +

13s +

14s +

15s + ...

12s ζ (s) =

12s +

14s +

16s +

18s + ...

(1− 12s )ζ (s) = 1+

13s +

15s +

17s +

19s + ...

13s (1−

12s )ζ (s) =

13s +

115s +

121s +

127s + ...

(1− 13s )(1−

12s )ζ (s) =

13s +

115s +

121s +

127s + ...

...

...(1− 111s )(1−

17s )(1−

15s )(1−

13s )(1−

12s )ζ (s) = 1

15

ζ (s) =1

(1− 12s )(1− 1

3s )(1− 15s )(1− 1

7s )(1− 111s )...

ζ (s) = ∏p

1(1− 1

ps )

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Conclusion

Dans ce chapitre on va donner une des relations entre Fonction Zêta et fonction de compte desnombres premiers.

Théorème 3.2.2 (L’identite d’Abel). Considerons a : N→ C and soit A(x) = ∑n≤x a(n), si x ≥ 1,

sinon 0. Soit 0 < y < x et f : R→ C est une fonction continue et derivable sur [y,x]. Identite d’Abel

nous montre ;

∑y<n≤x

a(n) f (n) = A(x) f (x)−A(y) f (y)−∫ z

yA(t) f ′(t)dt

Théorème 3.2.3. Soient π(x) fonction de compte des nombres premiers qui sont ≤ x et supposons un

σ ∈ R tel que σ > 2. Alors

logζ (σ) = σ

∫∞

2

π(x)x(xσ −1)

dx

Démonstration. Dans chapitres precedentes on preuve avec la théorème d’Euler ;

ζ (σ) = ∏p(1− p−σ )−1

ζ (σ) = ∏p(1− p−σ )−1

logζ (σ) = −∑p

log(1− p−σ )

= −∞

∑n=2

[π(n)−π(n−1)] log(1−n−σ ),

En utilisant l’identite d’Abel, soient a(n) = π(n)−π(n− 1) et f (x) = log(1− x−σ ) où y = 2 etx = N > 2

N

∑n=3

a(n) log(1−n−σ ) =−π(n) log(1−N−σ )+π(2) log(1−2−σ )+σ

∫ N

2

π(x)x(xσ −1)

dx

car A(x) = ∑n≤x[π(n)−π(n−1)] log(1−n−σ ) =−π(N) log(1−N−σ )+σ∫ N

2π(x)

x(xσ−1)dx

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limx→∞

1xσ

1xσ−1

= limx→∞

xσ

xσ −1= 1

donc où π(n)≤ n

limN→∞

t(N) log(1−N−σ ) = 0.

Corollaire. Si σ > 2, il n’y a pas des zeros de ζ (σ).

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Bibliographie

[1] P. Erdös. On a New Method in Elementary Number Theory Which Leads to an Elementary Proofof The Prime Number Theorem. Department of Mathematics, Syracuse University, Avril 16,1949.

[2] J. Hadamard. Étude sur les propriétés des fonctions entieres et en particulier d’une fonctionconsiderée par Riemann. Journal de Math. Pures Appl., 1893.

[3] J. Hadamard. Sur la distribution des zeros de la fonction ζ (s) et ses consequences arithmétiques.Bull. Soc. Math., 1896.

[4] V. H. C. Montogomery H. L. Multiplicative Number Theory : I. Classical Number Theory. Cam-bridge University Press, 2006.

[5] C. J. d. l. V. Poussin. Rechérches analytiques sur la théorie des nombres premiers. Ann. Soc. Sci.

Bruxelles, 1896.

[6] A. Selberg. An Elementary Proof of the Prime Number Theorem. Annals of Math, 1949.

[7] N. Wiener. A new method in Tauberian theorems. J. Math. Physics, 1927 - 1928.

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