APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos

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Física A Opção Certa Para a Sua Realização 1

FÍSICA APLICADA À PERÍCIA DE ACIDENTES RODOVIÁRIOS:

1 Mecânica. 1.1 Cinemática escalar, cinemática vetorial. 1.2 Movimento circular. 1.3 Leis de Newton e suas aplicações. 1.4 Trabalho. 1.5 Potência. 1.6 Energia cinética, energia potencial, atrito. 1.7 Conservação de energia e suas transformações. 1.8 Quantidade de movimento e conservação da quan-tidade de movimento, impulso. 1.9 Colisões. 1.10 Estática dos corpos rígidos. .11 Estática dos fluidos. 1.12 Princípios de Pascal, Arquimedes e Stevin. 2 Ondulatória. 2.1 Movimento harmônico simples. 2.2 Oscilações livres, amortecidas e forçadas. 2.3. Ondas. 2.3.1 Ondas sonoras, efeito doppler e ondas eletro-magnéticas. 2.3.2 Frequências naturais e ressonância. 3. Óptica geométrica: reflexão e refração da luz. 3.1 Instrumentos ópticos: características e aplicações.

1 Mecânica. 1.1 Cinemática escalar, cinemática vetorial.

CINEMÁTICA ESCALAR

Divisão da Mecânica

A Mecânica estuda o movimento dos corpos. Para estu-darmos a Mecânica, dividimo-la em duas grandes partes denominadas Cinemática e Dinâmica.

A Cinemática procura apenas descrever o movimento dos corpos, sem preocupar-se com as suas causas, e está dividi-da em Cinemática Escalar e Cinemática Vetorial. A Dinâmica, por sua vez, explica as causas dos movimentos e faz a liga-ção com os efeitos.

Para que seja possível descrever um movimento de forma correta, precisamos de certos elementos que são medidos, como tempo, posição, velocidade e aceleração. Essas medi-das são chamadas de Grandezas Físicas, e permitem a des-crição perfeita do movimento de um corpo.

PONTO MATERIAL

Um corpo é considerado ponto material quando suas di-mensões não interferem no fenômeno estudado. Um corpo pode ser ou não ponto material, dependendo apenas do fe-nômeno que está sendo estudado. Um carro em uma estrada pode ser considerado um ponto material, pois sua dimensão pode ser desprezada, quando comparada com a dimensão da estrada, mas o mesmo carro não será ponto material quando considerarmos o movimento de manobra em uma garagem, pois seu tamanho não pode ser desprezado em relação ao tamanho da garagem.

PONTO REFERENCIAL

Para determinarmos situações de movimento e repouso devemos adotar algum ponto como referencial, a partir do qual poderemos fazer a classificação.

O Ponto Referencial pode ser qualquer objeto, e é consi-derado sempre em repouso.

Você deve tomar cuidado com a classificação de situa-ções de movimento e repouso, pois estas são feitas em rela-ção ao ponto referencial, mesmo parecendo absurdas para o observador.

MOVIMENTO

Um corpo está em movimento quando a distância deste em relação ao ponto referencial muda com o passar do tem-po.

REPOUSO

Um corpo está em repouso quando a distância deste em relação ao ponto referencial não muda com o passar do tem-po.

Exemplo:

Considere uma caneta colocada no bolso de um homem que caminha pela sala. Em relação a um observador na mesma sala a caneta encontra-se em movimento ou em re-pouso? E em relação ao dono da caneta?

Resposta:

Em relação ao observador a caneta encontra-se em mo-vimento, pois a distância entre o ponto referencial (observa-dor) e o objeto (caneta) está mudando. Em relação ao dono da caneta, esta encontra-se em repouso, pois a distância entre ambos não se altera.

TRAJETÓRIA

É a representação gráfica do movimento de um objeto.

Quando um objeto está em movimento, este ocupa várias posições diferentes no espaço. A união dos pontos corres-pondentes às várias posições adotadas corresponde à trajetó-ria.

Cabe observar que a trajetória depende do referencial a-dotado, pois em relação a vários referenciais diferentes as trajetórias serão diferentes.

Exemplo:

Qual a trajetória de uma laranja caindo de uma árvore em relação a um observador parado na frente da árvore? E em relação a um observador que passa em um carro que se afasta da árvore?

Resposta:

No primeiro caso a trajetória será uma reta vertical, e no segundo um arco de parábola.

POSIÇÃO OU ESPAÇO

E a distância medida sobre a trajetória a partir do ponto re-ferencial. Esta distância pode ser medida em qualquer unida-de.

É representada pela letra S.



ORIGEM

O ponto referencial, a partir do qual começaremos a con-tagem da distância de um objeto recebe o nome de origem, e adota sempre o valor zero.

Para saber se um móvel encontra-se à direita ou a es-querda da origem, adotamos arbitrariamente um sentido posi-tivo para a trajetória. O mais comum é adotar o sentido da esquerda para a direita como sendo o positivo.

Exemplo:

Desta maneira, quando o móvel estiver colocado à es-querda da origem, adotará posições com valores negativos e quando estiver à direita, adotará valores positivos para suas posições.

Lembre-se que esta convenção é a mais comum, mas não é a única, foi adotada arbitrariamente, podendo ser modifica-da, conforme a vontade ou necessidade que a resolução de uma questão nos coloque.

POSIÇÃO INICIAL

É representada por S0 e indica a posição do móvel no ins-tante inicial (t = 0). Você deve tomar cuidado para não con-fundir posição inicial com origem. A posição inicial pode ado-tar qualquer valor, inclusive o zero, mas a origem sempre tem como valor o zero.

Tome a seguinte situação como exemplo:

Um automóvel parte do km 25 de uma estrada, no sentido da trajetória, para uma viagem que durará 6 horas. Ao final deste período o automóvel irá encontrar-se no km 505 da mesma estrada.

A partir da afirmação dada acima, podemos concluir que a posição inicial é 25 km, e não zero, pois o automóvel está a 25 km da origem no início do movimento; a posição final é 505 km.

DESLOCAMENTO

É a variação de posição sofrida pelo móvel, e é represen-tado por ∆S.

Esta variação é determinada pela subtração

das posições final e inicial:

∆∆∆∆S = S – S0

onde:

∆S = deslocamento;

S = posição final;

S0 = posição inicial.

Utilizando o exemplo do item anterior, podemos calcular qual o deslocamento realizado pelo automóvel.

posição inicial:

S0 = 25 km posição final : S = 505 km

deslocamento:

∆S = S - S0 = 505 - 25 = 480 km

MOVIMENTO PROGRESSIVO

É todo movimento que ocorre com ∆S > O.

O exemplo do item anterior é um caso de movimento pro-gressivo (∆S > 0).

MOVIMENTO RETRÓGRADO

É todo movimento que ocorre com ∆S < 0.

Exemplo:

Um ônibus parte do km 300 de uma estrada e, após 3 ho-ras, encontra-se no km 90 da mesma estrada. Classifique o movimento em progressivo ou retrógrado.

Resolução:

Primeiro calculamos o ∆S:

∆S = S – S0 = 90 -300= - 210 km

Como o ∆S é negativo, classificamos o movimento como retrógrado.

INTERVALO DE TEMPO

É a diferença entre o instante final e o instante inicial do movimento. E representado por At.

∆∆∆∆t = t – t 0

onde:

∆t = intervalo de tempo t = instante final

t0 = instante inicial

Tome o seguinte exemplo: Um caminhão parte da cidade A às 9 horas e chega à cidade B às 15 horas. Qual o intervalo de tempo gasto na viagem?

∆t = t – t0 = 15 - 9 = 6 h

VELOCIDADE

A velocidade mede a distância percorrida por um móvel em um dado intervalo de tempo.

VELOCIDADE MÉDIA

t S

VM ∆∆=

Velocidade Média é a relação entre o deslocamento e o in-tervalo de tempo. E representada por VM onde:

VM = velocidade média;

∆S = deslocamento;

∆t = intervalo de tempo.

Unidades:

Pelo Sistema Internacional a velocidade é medida em m/s, mas podemos utilizar outras unidades como km/h, cm/s, etc.

Em alguns casos é necessário converter a velocidade de km/h para m/s. Para fazê-lo basta dividir o valor dado por 3,6.

Exemplo:

Um móvel encontra-se a uma velocidade de 72 km/h, qual sua velocidade em m/s?



Resolução:

v = 72 km/h :3,6

20 m/s

É possível, também, classificar o movimento em função da velocidade:

Movimento Progressivo: v > 0.

Movimento Retrógrado : v < 0.

ACELERAÇÃO

Mede o quanto a velocidade aumenta, ou diminui, em um dado intervalo de tempo.

Se o valor da aceleração for positivo, a velocidade estará aumentando, e se for negativo, a velocidade estará diminuin-do.

ACELERAÇÃO MÉDIA

Aceleração média é a relação entre a variação de veloci-dade e o intervalo de tempo. E representada por αM

t V

M ∆∆=α

onde:

αM = aceleração média;

∆V = variação da velocidade;


mas temos que ∆∆∆∆V = V - V0 ,

com v = velocidade final;

v0 = velocidade inicial.

Unidades:

No Sistema Internacional, a aceleração é medida em m/s2, mas pode-se utilizar outras unidades como km/h2, cm/s2, etc.

MOVIMENTO

Em física, movimento é a variação de posição espacial de um objeto ou ponto material no decorrer do tempo.

Na filosofia clássica, o movimento é um dos problemas mais tradicionais da cosmologia, desde os pré-socráticos, na medida em que envolve a questão da mudança na realidade. Assim, o mobilismo de Heráclito considera a realidade como sempre em fluxo. A escola eleática por sua vez, principalmente através dos paradoxos de Zenão, afirma ser o movimento ilusório, sendo a verdadeira realidade imutável.

Aristóteles define o movimento como passagem de potência a ato, distinguindo o movimento como deslocamento no espaço; como mudança ou alteração de uma natureza; como crescimento e diminuição; e como geração e corrupção (destruição).

No universo descrito pela física da relatividade, o movimento nada mais é do que a variação de posição de um corpo relativamente a um ponto chamado "referencial".

Estudo do movimento

A ciência Física que estuda o movimento é a Mecânica. Ela se preocupa tanto com o movimento em si quanto com o agente que o faz iniciar ou cessar. Se abstraírem-se as causas do movimento e preocupar-se apenas com a descrição do movimento, ter-se-á estudos de uma parte da Mecânica chamada Cinemática (do grego kinema,

movimento). Se, ao invés disso, buscar-se compreender as causas do movimento, as forças que iniciam ou cessam o movimento dos corpos, ter-se-á estudos da parte da Mecânica chamada Dinâmica (do grego dynamis, força). Existe ainda uma disciplina que estuda justamente o não-movimento, corpos parados: é a Estática (do grego statikos, ficar parado). De certo modo, a estaticidade é uma propriedade altamente específica, pois só se apresenta para referenciais muito especiais, de modo que o comum é que em qualquer situação, possamos atribuir movimento ao objeto em análise.

Notas históricas

Movimento Segundo Aristóteles

Segundo Aristóteles todos os corpos celestes no Universo possuíam almas, ou seja, intelectos divinos que os guiavam ao longo das suas viagens, sendo portanto estes responsáveis pelo movimento do mesmo.

Existiria, então, uma última e imutável divindade, responsável pelo movimento de todos os outros seres, uma fonte universal de movimento, que seria, no entanto, imóvel. Todos os corpos deslocar-se-iam em função do amor, o qual nas últimas palavras do Paraíso de Dante, movia o Sol e as primeiras estrelas. Aristóteles nunca relacionou o movimento dos corpos no Universo com o movimento dos corpos da Terra.

Movimento Segundo Galileu

Foi este italiano quem primeiro estudou, com rigor, os movimentos na Terra. As suas experiências permitiram chegar a algumas leis da Física que ainda hoje são aceitas. Foi também Galileu que introduziu o método experimental: Na base da Física, estão problemas acerca dos quais os físicos formulam hipóteses, as quais são sujeitas à experimentação, ou seja, provoca-se um dado fenômeno em laboratório de modo a ser possível observá-lo e analisá-lo cuidadosamente. Galileu procedeu à várias experiências, como deixar cair corpos de vários volumes e massas, estudando os respectivos movimentos. Tais experiências permitiram-lhe chegar a conclusões acerca do movimento em queda livre e ao longo de um plano inclinado. Também fez o estudo do movimento do pêndulo, segundo o qual concluiu que independentemente da distância percorrida pelo pêndulo, o tempo para completar o movimento é sempre o mesmo. Através desta conclusão construiu o relógio de pêndulo, o mais preciso da sua época.

Movimento Segundo Isaac Newton

Foi Isaac Newton quem, com base nos estudos de Galileu, desenvolveu os principais estudos acerca do movimento, traçando leis gerais, que são amplamente aceites hoje em dia. As leis gerais do movimento, enunciadas por Newton são:

Primeira Lei de Newton : Também conhecida como Lei da Inércia, enuncia que:

"Todo corpo continua no estado de repouso ou de movimento retilíneo uniforme, a menos que seja obrigado a mudá-lo por forças a ele aplicadas."

Segunda Lei de Newton : Também conhecida como Lei Fundamental da Dinâmica, enuncia que:

"A resultante das forças que agem num corpo é igual a variação da quantidade de movimento em relação ao tempo"

Terceira Lei de Newton : Também conhecida como Lei de Ação-Reação, enuncia que:

"Se um corpo A aplicar uma força sobre um corpo B, receberá deste uma força de mesma intensidade, mesma direção e sentido oposto à força que aplicou em B."



Tais leis são fundamentais no estudo do movimento em Física, e são essenciais na resolução de problemas relacionados com movimento, velocidade, aceleração e forças, em termos físicos e reais. Assim todas as forças físicas (forças eletromotrizes) expressadas em (Nwe) são utilizadas majoritariamente em casos de extrema necessidade, com por exemplo: - força exercida quando feita por um eletroímã; - quando feita a polarização direta de um imã sob carga; - o simples ato de retirar a mão após uma carga de aproximadamente 220-230 volts; - polarização do pólo norte para o sul.

MOVIMENTO ACELERADO

Ocorre quando velocidade e aceleração têm o mesmo si-nal.

MOVIMENTO RETARDADO

Ocorre quando velocidade e aceleração têm sinais dife-rentes.

Exemplo:

Um motorista está em seu automóvel a uma velocidade de 90 km/h. Em um dado instante percebe um obstáculo na es-trada, tendo que parar seu veículo em 10 segundos. Qual aceleração média deve ser aplicada nos freios a fim de parar o carro? Classifique o tipo de movimento em acelerado ou retardado.

Resolução:

Dados:

V0 = 90 km/h = 25 m/s

V = 0 ( o automóvel deve parar)

∆t =10s

Variação de velocidade:

∆V = V - V0 = 0 - 25 = -25 m/s

Aceleração média:

2M s/m 5,2

10-25

t

V −==∆∆=α

Classificação do movimento:

O movimento é retardado, pois a velocidade inicial e a a-celeração média têm sinais diferentes: a velocidade inicial é positiva e a aceleração média é negativa.

MOVIMENTO UNIFORME

É todo movimento que ocorre com velocidade escalar constante e diferente de zero. No Movimento Uniforme (M.U.) a aceleração escalar é nula.

Para representar um Movimento Uniforme nos utilizamos de uma equação horária de primeiro grau:

S = S0 + V.t onde:

S = posição final

S0 = posição inicial

V = velocidade

t = tempo.

Esta equação horária relaciona a posição do móvel com o instante escolhido.

Unidades:

As posições podem ser medidas em m (S.I.), km, cm, etc.

As velocidades podem ser medidas em m/s (S.I.), km/h, cm/s, etc.

Os tempos podem ser medidos em s (S.I.), h, mm, etc.

Exemplo:

Um móvel parte da posição 10 m com velocidade, em va-lor absoluto, de 2 m/s. Sabendo que o movimento do móvel é retrógrado, determinar:

Equação horária do movimento;

A posição do móvel no instante 3s;

O instante em que o móvel passa pela origem das posi-ções.

Resolução:

Equação horária:

Dados:

S0 = 10 m

V = - 2 m/s (movimento retrógrado)

Equação:

S = S0 + V.t ⇒ S = 10 - 2.t

No instante 3s temos: S = 10 -2.3 ⇔ S = 10 - 6 ⇔ S = 4m

Na origem das posições temos S = 0:

0 = 10 – 2t ⇔ 2.t = 10 ⇔ t = 2

10 ⇒ t = 5s

ENCONTRO DE MÓVEIS

Dois móveis “encontram-se” quando, em um dado instan-te, adotam a mesma posição, ou seja, S1 = S2 .

Este encontro pode ocorrer entre objetos que se deslocam em sentidos contrários:

ou quando há ultrapassagem:

Exemplo:

Dois móveis, A e B, possuem equações horárias: SÃ =20+ 3.t e SB = 50- 2.t, em unidades dó Sistema Internacional. Determine:

O instante de encontro dos móveis;

A posição de encontro dos móveis.

Resolução:

No encontro temos que SA = SB:



SA = SB ⇔ 20+3.t = 50 - 2.t ⇔

3.t +2.t = 50 – 20 ⇔ 5.t = 30 ⇔

t = 5

30 ⇔ t = 6s

Portanto o instante de encontro é 6 s após o início do mo-vimento.

Pode-se substituir o instante de encontro (t = 6s) na equa-ção horária de SA ou na de SB . O resultado é o mesmo:

Em SA:

SA = 20+3.6 ⇔ SA= 20 + 18 ⇒ SA = 38 m

Em SB:

SB =50 -2.6 ⇔ SB = 50 -12 ⇒ SB =38 m

Portanto, a posição de encontro dos móveis é 38 m.

MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO

É todo movimento que ocorre com aceleração escalar constante e não nula. No Movimento Uniformemente Variado (M.U.V.) tanto posição quanto velocidade são variáveis.

No Movimento Uniformemente Variado temos três equa-ções, sendo que a equação das posições é de segundo grau:

2.t

.t V S S2

00α++= onde:

S = Posição final;

S0 = Posição inicial;

V0 = velocidade inicial;

t = tempo;

α = aceleração.

Exemplo: Um móvel encontra-se na posição 10 m com velocidade 3 m/s quando adquire aceleração de 2 m/s2. Determine a posição do móvel no instante 5 s.

Resolução:

Dados:

S = 10 m V0 = 3 m/s

α = 2 m/s2 t = 5s

A posição é:

252

5 3 10 S 2.t

.t V S S22

00⋅+⋅+=⇔++= α

⇔ S = 10 + 15 + 25 = ⇒ S = 50 m

Portanto, a posição no instante 5s é 50 m.

A equação da velocidade é de primeiro grau:

V = V0 + αααα .t

onde:

V = velocidade final;


α = aceleração;

t = tempo.

Exemplo: Um móvel possui velocidade de 8 m/s quando adquire aceleração de 4 m/s2. Determine a velocidade deste móvel no instante 3s.

Resolução:

Dados: V0 = 8 m/s

α = 4 m/s2 t = 3s

A velocidade é:

V = V0 + α .t ⇔ V = 8+4.3 ⇔

V = 8+12 ⇔ V = 20m/s

Portanto, a velocidade no instante 3 s é 20 m/s. E temos também a equação de Torricelli:

S2VV 20

2 ∆⋅⋅+= α

onde:

V = velocidade final;


α = aceleração;

∆S = deslocamento.

Exemplo: Um móvel possui velocidade de 10 m/s quando adquire aceleração de 1 m/s2. Determine a velocidade do móvel após percorrer 400 m.

Resolução:

Dados: V0 = 10 m/s

α = 1 m/s ∆S = 400 m

A velocidade é:

V2 = V0 + 2.α.∆S ⇔ V2 = 102 + 2.1.400 ⇔

V = 100+800 ⇔ V2 = 900 ⇔

V = 900 ⇔ V = 30 m/s

Portanto, a velocidade do móvel após percorrer 400 m é de 30 m/s.

Também no movimento uniformemente variado pode ocor-rer o encontro de móveis, e neste encontro também teremos SA = SB.

Exemplo:

Dois móveis, A e 2B, possuem funções horárias:

SA = 10 +4.t -3.t2 e SB = 4+9.t - 4.t2.

Determine instante e posição de encontro.

Resolução: No encontro dos móveis temos SA = SB:

SA = SB ⇔ 10 + 4.t - 3.t2 = 4+9.t - 4.t2 ⇔

4.t2 – 3.t2 + 9.t + 10 –4 = 0

⇔ t2 – 5.t + 6 = 0 ⇔ 12

61455t

2

⋅⋅⋅−±= ⇔

224255

t−±= ⇔

215

t±= ⇔

⇒ t1 = 3 s e t2 = 2 s



Portanto os móveis se encontrarão duas vezes: 2 s e 3 s após o início do movimento.

Daí teremos duas posições de encontro:

Em A, para t = 2 s: SA = 10 + 4 . 2 – 3 .22 ⇔

SA = 10 + 8 – 12 ⇔ SA = 6 m

Em A, para t = 3 s: SA = 10 + 4 . 3 – 3 .32 ⇔

SA = 10 + 12 – 27 ⇔ SA = -5 m

No movimento uniformemente variado é possível determi-nar o instante em que ocorre inversão do sentido do movi-mento. Isto ocorre quando o móvel tem velocidade igual a zero durante um movimento retardado. Após este intervalo o movimento passa a ser acelerado.

Exemplo:

Um móvel apresenta função horária : V = 30 - 5.1 (5.1.). Determine o instante em que ocorre inversão no sentido do movimento, e classifique o movimento antes e depois deste instante.

Resolução:

No instante de inversão do sentido do movimento temos que v = 0:

0 = 30 - 5.t ⇔ 5.t = 30 ⇔

t = 5

30 ⇔ t = 6s

Classificação do movimento:

Até 6 s o movimento é retardado ( velocidade positiva e aceleração negativa); após 6 s o movimento é acelerado ( velocidade e aceleração negativas).

QUEDA LIVRE

O movimento que ocorre nas proximidades da superfície da Terra (ou no vácuo) com direção vertical é considerado movimento de Queda Livre, desde que seja desprezada a resistência do ar.

Neste tipo de movimento a aceleração é constante, deno-minada aceleração da gravidade (g) e adota o valor aproxi-mado de 10 m/s2.

Na Queda Livre valem as equações do Movimento Uni-formemente Variado, considerando a aceleração positiva em movimento de queda e negativa em movimento de lançamen-to vertical.

Exemplo 1: Um objeto é abandonado, a partir do repouso, de uma certa altura e, em queda livre, atinge o solo após 5 s. Determine:

A altura de onde o objeto foi abandonado;

A velocidade com que o objeto atinge o solo. Adote g = 10 m/s2.

Resolução:

a) Altura: Dados: S0 = 0

V0 = 0 g = 10 m/s2

t = 5s

2510

5 . 0 0 S 2.tg

.t V S S22

00 ⇔⋅=+=⇔++=

S= 0+0+125 ⇒ S = 125m

Portanto, o objeto foi abandonado de uma altura de 125 m.

Velocidade: Dados: V0 = 0

g = 10 m/s2 t = 5s

V = V0 + g.t ⇔ V = 0 + 10.5 ⇔

V = 0 + 50 ⇒ V = 50 m/s

Portanto, a velocidade com que o objeto atinge o solo é de 50 m/s.

Exemplo 2 : Um objeto é abandonado, a partir do repouso, de uma certa altura e, em queda livre, atinge o solo com uma velocidade de 20 m/s. Determine de que altura o ob-jeto foi abandonado. Adote g = 10 m/s2.

Resolução:

Dados: V0 = 0

V = 20 m/s g = 10 m/s2

V2 = V02

+2. g. ∆S ⇔ 202 = 02 +2 . 10 . ∆S

⇔ 400 = 0 + 20. ∆S ⇔ 400 = 20. ∆S =⇔20400

∆S ⇒ ∆S =20 m

Portanto, o objeto foi abandonado de uma altura de 20 m.

LANÇAMENTO DE PROJÉTEIS

Lançamento oblíquo

Estudaremos a seguir o movimento de um corpo, lançado com velocidade v0, nas proximidades da Terra, inclinado inici-almente em relação à Terra.

A trajetória descrita pelo corpo pode ser visualizada se pensarmos na trajetória descrita por uma pedra lançada por um menino com um estilingue, como mostra a figura seguinte.

Supondo-se a resistência do ar desprezível, essa pedra descrevera, em relação ao solo, uma trajetória parabólica (arco de parábola).

Como podemos determinar, por exemplo, o valor do al-cance da pedra? Ou, ainda, qual o valor da altura máxima atingida pela pedra durante o trajeto?

Para tanto, decomporemos o movimento resultante em dois outros: um vertical e outro horizontal.

Qual a conveniência dessa decomposição?

Tornemos a olhar a figura e nela veremos a aceleração da

gravidade g lembramos, então, que sua direção é vertical,

de onde afirmamos que:



em relação à horizontal, o movimento da pedra será uniforme (v = constante), já que nessa mesma direção inexiste ace-leração.

em relação à vertical, a pedra executa um movimento de aceleração constante e de módulo igual a g; trata-se, de um movimento uniformemente variado (MUV)

Consideremos, então, um corpo lançado a partir do solo

com velocidade 0v , com uma dada inclinação θ, em relação

à horizontal, conforme a figura seguinte:

Decompondo-se 0v nos eixos 0 x e 0y, mostrados na fi-

gura, obtemos:

cos θ = θcos.000

0 vvv

vx

x ==

sen θ = θsen.000

0 vvv

vy

y ==

As equações que regem os movimentos nas direções 0x (horizontal) e 0y (vertical) serão:

direção 0x — movimento uniforme:

s = s0 +v . t ⇒ x = x0 + v0x .t ⇒ x =(v0. cos θ).t

direção 0y — movimento uniformemente variado:

s = s0 +v0 . t + 2

γ . t2 onde

−=

⋅==

==

gγ

senθ0voyv0v

00y0s

assim:

2.t

2

g-t . ) θ sen . 0(v y =

⇒+=⇒+= .t γ 0yvyv t γ. 0v v

g.t -.senθ0vyv =

São equações difíceis de memorizar; é mais prático e pru-dente que você saiba monta-las no momento da resolução.

Propriedades do lançamento oblíquo:

Para uma dada velocidade inicial v0, o máximo alcance é obtido para um ângulo de lançamento de 45º.

Para uma dada velocidade inicial v0, para ângulos de lan-çamentos complementares, teremos alcances do mesmo valor.

1.2 Movimento circular.

MOVIMENTO CIRCULAR.

Introdução – Dizemos que uma partícula está em movi-mento circular quando sua trajetória é uma circunferência como, por exemplo, a trajetória descrita por uma válvula do pneu de uma bicicleta em movimento igual a da imagem. Se, além disso, o valor da velocidade permanecer constante, o movimento é denominado circular uniforme. Então, neste movimento, o vetor velocidade tem módulo constante, mas a direção deste vetor varia continuamente.

A figura abaixo mostra a variação de direção do vetor velocidade em alguns pontos.

O tempo que a partícula gasta para efetuar uma volta completa é denominada período do movimento e é represen-tado por T. O espaço percorrido pela partícula, durante um período, é o comprimento da circunferência que, vale 2πR ( R é o raio da trajetória). Como o movimento é uniforme, o valor da velocidade será dado por:

logo, v = 2πR/T

Freqüência do movimento circular – suponha que obser-vando a válvula mostrada na imagem, verificássemos que ela efetua 30 voltas completas em um tempo igual a 10 segun-dos. A freqüência, F desse movimento é, por definição, o quociente entre o número de voltas e o tempo gasto para efetua-las. Logo, a freqüência da válvula será:



Observe que esse resultado significa que a válvula efe-tuou 3.0 voltas em cada 1 seg. A unidade de freqüência,1 volta/seg, é denominada 1 hertz, em homenagem ao cientista alemão H.Hertz ( 1857 – 1894). Portanto, podemos destacar:

A frequência F de um movimento circular é definida por:

F = nº de voltas efetuadas

Tempo gasto para efetuá-las

Este resultado representa o nº de voltas que o corpo exe-cuta por unidade de tempo.

O conceito de freqüência pode ser aplicada em outros ti-pos de movimentos, que não serão discutidos aqui.

A freqüência e o período de um movimento estão relacio-nados. Para relacionar F e T, basta perceber que essas gran-dezas são inversamente proporcionais e, assim podemos estabelecer a seguinte proporção:

No tempo T (um período) é efetuada uma volta

Na unidade de tempo serão efetuadas F voltas ( freqüên-cia)

Ou, esquematicamente

Portanto, a freqüência é igual ao inverso do período e re-ciprocamente. Por exemplo: se o período de um movimento circular é T = 0,5 s, sua freqüência será:

Velocidade Angular – Consideremos a válvula do pneu de bicicleta em movimento circular, passando pela posição P1 representada na figura abaixo. Após um intervalo de tempo ∆t, a válvula estará passando pela posição P2. Neste intervalo de tempo ∆t, o raio que acompanha a válvula em seu movimento descreve um ângulo ∆θ

A relação entre o ângulo descrito pela válvula e o intervalo de tempo gasto para descreve-lo é denominado velocidade

angular da partícula. Representando a velocidade angular por ω temos;

ω = ∆θ/∆t

A velocidade definida pela relação V = ∆d/∆t, que já co-nhecemos, costuma ser denominada velocidade linear, para distingui-la da velocidade angular que acabamos de definir. Observe que as definições de V e ω são semelhantes: a velo-cidade linear se refere à distância percorrida na unidade de tempo, enquanto a velocidade angular se refere ao ângulo descrito na unidade de tempo.

A velocidade angular nos fornece uma informação sobre a rapidez com que a válvula está girando. De fato, quanto maior for a velocidade angular de um corpo, maior será o ângulo que ele descreve por unidade de tempo,isto é , ele estará girando mais rapidamente.

Lembrando que os ângulos podem ser medidos em graus ou em radianos, concluímos que ω poderá ser medida em grau/s ou em rad/s.

Uma maneira de calcular a velocidade angular é conside-rar a válvula ( ou uma partícula qualquer) efetuando uma volta completa. Neste caso, o ângulo descrito será ∆θ =2πrad e o intervalo de tempo será um período, Istoé, ∆t = T. Logo,

ω = 2π/T

Relação entre V e ω - Sabemos que, no movimento circu-lar uniforme, a velocidade linear pode ser obtida pela relação

Como 2π/T é a velocidade angular, concluímos que

Esta equação nos permite calcular a velocidade linear V, quando conhecemos a velocidade angular ω e o raio R da trajetória.

Observe que ela só é válida se os ângulos estiverem me-didos em radianos.

Aceleração centrípeta – No movimento circular uniforme, o módulo da velocidade da válvula permanece constante e, então, a válvula não possui uma aceleração tangencial. Entre-tanto, como a direção do vetor velocidade varia continuamen-te, a válvula (ou uma partícula qualquer nas mesmas condi-

ções) possui uma aceleração centrípeta Na figura abai-

xo estão representados os vetores e em quatro posi-ções diferentes da válvula do pneu de bicicleta. Observe que

o vetor tem a direção do raio e aponta sempre para o centro da circunferência.



Podemos deduzir, matematicamente, que o valor da ace-leração centrípeta no movimento circular é dado por:

Observe que o valor de é proporcional ao quadrado da velocidade e inversamente proporcional ao raio da circun-ferência. Portanto, se um automóvel faz uma curva “fechada” (R pequeno) com grande velocidade, ele terá uma grande aceleração centrípeta. Estes fatos estão relacionados com a possibilidade de o automóvel conseguir ou não fazer a curva.

Observe abaixo, um exercício relacionado a Velocidade Angular Média:

“Uma partícula descreve um movimento circular uniforme, com uma velocidade escalar V= 5m/s. Sendo R = 2m o raio da circunferência, determine a velocidade angular.”

Resolução _- sendo V = 5m / s a velocidade escalar e R = 2 m o raio da circunferência, a velocidade angular e será dado por

V = .R

De onde = V / R

= 5 / 2 = 2,5 rad/s = 450 g / s

MOVIMENTOS CURVOS

Considerando um objeto em movimento curvo:

Pode-se determinar o valor da força aplicada, desde que se faça a sua decomposição:

Ft = componente tangencial da força aplicada.

Fcp = componente centrípeta da força aplicada.

F = Ft + Fcp e cpa ta a +=

Daí podemos concluir que:

ta . m tF = e cpa . m cpF =

Exemplo: Um objeto de massa 3 kg em movimento curvo com aceleração de 2 m/s2 apresenta, num dado instante, velocidade igual a 10 m/s. Sabendo-se que o raio da curva é de 4 m, determine:

a) A aceleração tangencial;

b) a aceleração centrípeta;

c) a força tangencial;

d) a força centrípeta;

e) a força resultante.

Resolução:

Dados: v = 10 m/s R = 4 m

a) at = α ⇒ at = 2 m/s2

b) 4

210

cpaR

2v

cpa =⇔=

c) Ft =m . a ⇔ Ft =3.2 ⇒ Ft = 6 N

d) Fcp = m .acp ⇔

Fcp = 3.25 ⇒ Fcp = 75N

e) F = Ft + Fcp ⇔ F = 6 + 75 ⇒ F = 81N

1.3 Leis de Newton e suas aplicações.

Newton enunciou três axiomas fundamentais da dinâmica nos sistemas e partículas materiais:

(1) A lei da inércia, esboçada previamente por Galileu, se-gundo a qual todo corpo não submetido a perturbações exteriores tende a conservar seu estado de repouso ou movimento.

(2) O princípio fundamental da dinâmica, que situa nas forças mecânicas a origem de todo movimento, de acordo com a relação matemática F = m. a, segundo a qual toda força



aplicada a um corpo imprime nele uma aceleração inver-samente proporcional a sua massa.

(3) A lei de ação e reação, segundo a qual todo corpo A, submetido a uma força aplicada por outro corpo B, aplica-rá sobre o último uma força de mesma intensidade e sen-tido contrário.

A aplicação de tais princípios a problemas estáticos e ci-nemáticos simples facilita sua compreensão e resolução. Com base nesses axiomas, a dinâmica clássica apresenta três importantes teoremas de conservação de suas grandezas fundamentais:

(1) Segundo o princípio de conservação da massa, todo sis-tema físico fechado mantém uma acumulação de matéria uniforme e invariável ao longo dos processos nele desen-volvidos. Esse axioma foi questionado e revisto pelas dou-trinas relativistas de Einstein.

(2) De acordo com o princípio de conservação do momento linear, todo processo físico que implica colisões de partí-culas ou de corpos macroscópicos caracteriza-se pela conservação do momento linear global do sistema.

(3) Por último, o princípio de conservação da energia estabe-lece que a soma das energias contidas no interior de todo sistema físico isolado tem de ser nula. Em problemas que incluam rotações e movimentos circulares, essas leis de conservação se completam com a do momento angular.

O problema da conservação da energia, ampliado pela te-oria relativista para conservação do conjunto massa-energia, foi profundamente debatido ao longo da história. Em mecâni-ca, definem-se dois tipos fundamentais de energia: a cinética, devida à velocidade das partículas materiais em movimento; e a potencial gravitacional, motivada pela distância do corpo com relação ao nível do solo. As duas formas, também ex-pressas em forma de trabalho ou de capacidade de atuação sobre o movimento do sistema, podem ser reduzidas a fórmu-las matemáticas simples:

Ec = 1/2 m.v2

em que Ec é a energia cinética; m é a massa da partícula; e v é a velocidade da partícula; e

Ep = m.g.h

em que Ep é a energia potencial; g é a aceleração da gra-vidade e h é a altura em relação a um nível de referência.

Deve-se distinguir do conjunto as forças ditas conservati-vas, ou seja, as que geram campos de energia cinética e potencial, e em todo momento são capazes de produzir traba-lho. Existem, além destas, forças como as de atrito e as de aceleração angular, que não podem ser transformadas em movimento útil e produzem dissipação de energia em forma de calor. Para dar tratamento físico a essas forças recorre-se a métodos termodinâmicos ou a critérios relativistas.

A dinâmica dos corpos em rotação e, em especial, a do chamado sólido rígido -- sistema que mantém constantes as distâncias que separam partículas dentro do corpo -- inclui uma energia cinética de rotação que se expressa matemati-camente de maneira análoga à linear:

Ec = 1/2 I.w2

em que I é o momento de inércia e w é a velocidade angu-lar.

O movimento oscilatório inclui uma energia potencial elás-tica, que se define como a energia armazenada no campo de

forças contrário, em todo momento, ao sentido do movimento, cuja representação é uma mola esticada que oscila em torno de sua posição de equilíbrio. Essa energia se expressa como:

Ep = 1/2 k.x2

em que k é a constante elástica do oscilador e x é a posi-ção atual do oscilador.

A expressão matemática do trabalho exercido por uma força, equiparável em valor à energia consumida para efetuá-lo, adquire o nível de uma soma infinita de termos ao longo de toda a trajetória, ou seja, de uma integral. De modo simples, pode ser expresso como:

T = F.s

em que T é o trabalho realizado; F é a força aplicada e s é a distância que o corpo percorre durante o período em que se aplica a força.

As grandezas força, velocidade, aceleração, momento li-near e momento angular têm caráter vetorial, enquanto mas-sa, energia em todos os seus aspectos e trabalho são gran-dezas escalares, ou seja, se determinam perfeitamente de-terminadas com a expressão de seu valor absoluto. Cada uma dessas grandezas deriva de outras fundamentais, que são, em mecânica, massa (M), distância (D) e tempo (T), e em função delas pode ser expressa por meio de equações. Nessas expressões, do tipo F = MDT-2, que deriva de F = m.a, incluem-se os correspondentes coeficientes positivos, negativos, nulos ou fracionários, segundo os casos deduzidos da formulação matemática da grandeza.

O campo de aplicação da mecânica permite que as gran-dezas que intervêm em seu estudo sejam inteiramente ex-pressas por meio de equações dimensionais. Deve-se lem-brar, no entanto, que existem outras grandezas físicas, como a densidade relativa e o rendimento de uma máquina, que por serem nulas em relação a qualquer das grandezas fundamen-tais denominam-se adimensionais.

1.4 Trabalho. 1.5 Potência.

CONCEITO DE TRABALHO

Trabalho é a medida da quantidade de energia transfor-mada em outra modalidade, ou transferida para outro corpo através de uma força.

TRABALHO DE UMA FORÇA CONSTANTE

Considere a seguinte situação:

O trabalho realizado é: τ = | Fr

| . | dr

| . cos θ onde:

τ = trabalho realizado pelo corpo;

Fr

= força aplicada no corpo;

dr

= deslocamento realizado pelo corpo;



θ = ângulo formado entre a força e o deslocamento.

Unidades

No Sistema Internacional o trabalho é expresso em joules (J), mas pode ser expresso em erg (CGS), kgm (MKS) ou kJ (MTS).

Exemplo: Uma força de 10 N é aplicada em um corpo de massa 4 kg, provocando um deslocamento de 5 m. Sabendo-se que o ângulo entre força e deslocamento é de 60.º, deter-mine o trabalho realizado.

Resolução:

Dados: F= 10 N

d = 5m θ = 600 cos θ = 1/2

τ = F.d. cos θ ⇔ τ = 10.5. 21⇒ τ = 25 J

Observações:

O trabalho é uma grandeza escalar.

O trabalho de uma força constante não depende da trajetória.

Quando o ângulo for de 0º, podemos escrever apenas: τ = F.d

Exemplo: Uma força de 3 N age sobre um corpo, provo-cando um deslocamento de 6 m. Sabendo-se que a força e o deslocamento tem o mesmo sentido, qual o trabalho realiza-do?

Resolução:

Dados: F = 3N d = 6m

τ = F.d ⇔ τ =3.6 ⇒ τ =18 J

CLASSIFICAÇÃO DO TRABALHO

Trabalho Motor : Ocorre quando o trabalho é maior que zero (t> 0), ou seja, a força F cede energia ao corpo.

Trabalho Resistente : Ocorre quando o trabalho é menor que zero (t < 0), ou seja, a força F retira energia do corpo.

Trabalho Nulo : Ocorre quando a força F não transfere nem transforma energia.

Isto pode ocorrer em três casos:

Força Nula : E evidente que se não houver força aplicada, não haverá trabalho realizado.

Deslocamento Nulo : Muitas vezes a força aplicada em um corpo não é suficiente para movê-lo. Isto significa que a tentativa de realizar trabalho fracassou, pois não houve transferência ou transformação de energia.

Força perpendicular ao deslocamento : Quando o ângulo formado entre a força e o deslocamento é de 900, o tra-balho é nulo.

Percebe-se isto na expressão τ = F.d.cos θ, pois, neste caso, θ = 90.º e cos θ = 0, o que nos leva a τ = 0.

Pode-se citar como exemplo os movimentos circulares, pois é possível determinar que a força centrípeta não altera a energia do ponto material durante a trajetória, o que nos traz

trabalho nulo. Outros exemplos são: um halterofilista manten-do o haltere imóvel sobre sua cabeça, esquiadores deslizando em planos horizontais, um homem carregando uma mala, etc.

TRABALHO DE UMA FORÇA VARIÁVEL

Quando a força aplicada a um corpo não é constante, a determinação do trabalho realizado é feita graficamente:

Considere, inicialmente, uma força constante de valor 10 N aplicada sobre um corpo, no sentido do deslocamento, causando um deslocamento de 3 m. Temos que:

τp = F.d.cos θ ⇔ τp = 10.3.1 ⇒ τp = 30 N

Representando esta situação graficamente temos:

A determinação da área hachurada nos leva ao valor 30, o que nos faz supor que a área do gráfico força x deslocamento é numericamente igual ao trabalho realizado pela força F, o que é correto, ou seja:

τ=

N Área

Exemplo: Uma força de intensidade variável é aplicada em um corpo, como mostra o gráfico abaixo. Determine o trabalho realizado entre 0 e 6 m.

Resolução

10∆A2

102∆A

2

hb∆A =⇒

⋅=⇔

⋅= e

A� = b . h ⇔ A� = 4.10 ⇒ A� = 40

τ = A∆+A� ⇔ τ = 10+ 40 ⇒ τ = 50 J

No caso particular de o gráfico estar acima do eixo, o tra-balho é positivo, pois força e deslocamento têm o mesmo sentido, e no caso de o gráfico estar abaixo do eixo, o traba-lho é negativo, porque força e deslocamento têm sentidos opostos.



Exemplo: Uma força de intensidade variável age sobre um objeto como mostra o diagrama abaixo. Qual o trabalho reali-zado entre 0 e 12 m?

Resolução:

⇔+=⇔+=2

.10 ) 3 9 ( A

2

h . b) B ( A 11

602

120

2

1012111 =⇒=⇔⋅= AAA

6A2

12A

243

A2h b

A 2222 =⇒=⇔⋅=⇔⋅=

τ = A1 - A2 ⇔ τ = 60 – 6 ⇒ τ = 54 J

CONCEITO DE ENERGIA

Energia significa capacidade de realizar trabalho, ou seja, capacidade de transformar energia ou transferir energia para outros sistemas. Todo sistema que apresentar esta caracterís-tica será considerado possuidor de energia.

CONCEITO DE POTÊNCIA

Potência é a medida da rapidez com que um sistema transforma ou transfere energia.

Pode-se classificar a potência em Mecânica, onde a ener-gia é transferida na forma de trabalho; Térmica, onde a ener-gia é transferida sob a forma de calor; Elétrica, etc.

POTÊNCIA MÉDIA

Mede a energia transferida em um dado intervalo de tem-po.

tMPot∆τ= onde:

PotM = potência média desenvolvida;

τ = trabalho realizado;


Unidades

No Sistema Internacional a unidade utilizada é o watt (W), mas pode-se utilizar também o erg/s (CGS), o kgm/s (MKS) ou o kW (MTS).

Exemplo:

Um liqüidificador realiza um trabalho de 100 J em 2 se-gundos. Qual sua potência média?

Resolução:

Dados: τ = 100J

∆t = 2

W50Pot2

100Pot

tPot MMM =⇒=⇔

∆τ=

POTÊNCIA INSTANTÂNEA

Mede a energia transferida a cada instante.

Pot = F .v onde:

Pot = potência desenvolvida em um dado instante;

F = força aplicada;

v = velocidade. Unidade

Assim como na potência média, também na potência ins-tantânea utiliza-se, pelo Sistema Internacional, o watt (W).

Exemplo: Uma força de 100 N é aplicada em um corpo que, em certo instante, apresenta velocidade de 5 m/s. Qual sua potência neste instante?

Resolução:

Dados: F = 100 N v = 5 m/s

Pot = F .v ⇔ Pot = 100.5 ⇒ Pot = 500 W

RENDIMENTO

Teoricamente pode-se transformar ou transferir energia sem perdas, mas na prática isto não ocorre.

Define-se como rendimento a quantidade real de energia que é transformada na modalidade desejada. Este rendimento é dado por:

tPotuPot=η onde:

η = rendimento;

Potu = potência útil (energia realmente transformada);

Pott = potência total (potência obtida).

O rendimento não possui unidade, mas pode-se utilizar o valor percentual, bastando para isso multiplicar o valor obtido na equação por 100.



Exemplo: Uma máquina apresenta uma potência total de 2000 W. Sabendo que esta máquina realiza um trabalho de 3200 J em 2 s, qual o seu rendimento?

Dados: Pott = 2000 W

τ = 3200 J t =2s

Potência útil:

W1600 Pot 2

3200 Pot

t Pot =⇒=⇔∆τ=

Rendimento:

8,020001600

tPotuPot =η⇒=η⇔=η

Em valor percentual tem-se: η = 0,8.100 ⇒ η = 80%

1.6 Energia cinética, energia potencial

ENERGIA CINÉTICA

A Energia Cinética é a forma de energia que um sistema possui por estar em movimento em relação a um referencial adotado. E expressa por:

2

2vmcE ⋅=

onde:

Ec = Energia Cinética;

m = massa do corpo;

v = velocidade do corpo.

xemplo:

Um corpo de massa 3 kg encontra-se a uma velocidade de 4 m/s. Qual sua energia cinética?

Resolução:

Dados: m = 3 kg v = 4 m/s

⇔⋅=⇔⋅=2

43

2

22

cc Evm

E

JEEE ccc 242

48

2

163 =⇒=⇔⋅=

ENERGIA POTENCIAL ELÁSTICA

A Energia Potencial Elástica é a forma de energia arma-zenada em uma mola deformada ou um elástico esticado. E dada por:

2

2xkEe⋅= onde:

Ee = Energia Potencial Elástica;

k = constante elástica da mola;

x = deformação sofrida pela mola.

Exemplo:

Uma mola de constante elástica 400 N/m sofre uma de-formação de 40 cm. Qual sua energia potencial elástica?

Resolução:

Dados: k = 400 N/m

x = 40 cm = 0,4 m

( ) ⇔⋅=⇔⋅=2

4,0400

2

22

ee Exk

E

J 322

64

2

16,0400 =⇒=⇔⋅= eee EEE

ENERGIA MECÂNICA

A Energia Mecânica é a energia total de um sistema em um dado instante. E dada pela soma das energias cinética e potencial:

EM = Ec + Ep

Exemplo.

Um pássaro de massa 1 kg voa à altura de 100 m com ve-locidade de 10 m/s. Sendo a aceleração da gravidade local igual a 10 m/s2, qual sua energia mecânica?

Resolução:

Dados: m = 1 kg h = 100 m

v = 10 m/s g = 10 m/s2

EM = Ec + Ep ⇔

⇔+⋅=⇔⋅⋅+⋅=⇔⋅⋅+⋅= 100021001

E1001012101

E hgm2vm

E M

2

M

2

M

EM = 1050 J

1.7 Conservação de energia e suas transforma-ções.

PRINCIPIO DA CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂ-NICA

Um sistema de forças é chamado conservativo quando sua energia mecânica não é alterada.

Isto significa que a energia potencial pode transformar-se em energia cinética, e vice-versa, mas a soma das energias permanece constante.

É importante lembrar que se o sistema estiver sob ação de uma força elástica, esta deve ser levada em consideração.

Temos então:

Sistema sem a ação de uma força elástica:

m.g.h 2

m.v E E E

2

pcM +=+= = constante

⇒ EM1 = EM

2

Sistema sob ação de uma força elástica:



2xk

m.g.h 2

m.v EE E E

22

epcM⋅++=++=

= constante

⇒ EM1 = EM

2

Exemplo:

Um corpo de massa 4 kg encontra-se à altura de 10 m. Determine a velocidade do corpo quando:

a) sua altura é de 5 m;

b) atinge o solo. Adote g = 10 m/s2

Resolução:

Dados: m = 4 kg

h = 10 m g = 10 m/s2

a) EM1 = EM

2 ⇔ m.g.h2vm

m.g.h 2

22

1 ⇔+⋅=

200v240010.5 4.2v4

10 10. 4. 22

22 ⇔+⋅=⇔+⋅=

⇔=⇔=⇔=⋅ 100v2

200v200v2 2

222

22

m/s 10v100v 22 =⇔=

EM1 = EM

2 ⇔ 2vm

m.g.h22

1 ⇔⋅=

v24002v4

10 10. 4. 22

22 ⇔⋅=⇔⋅=

⇔=⇔= 200v2

400v 2

222

m/s 1,14v200v 22 ≅⇔=

TEOREMA DA ENERGIA CINÉTICA (T.E.C.)

Este teorema diz que o trabalho total das forças atuantes em um sistema é dado pela variação da Energia Cinética do sistema, ou seja, pode-se determinar facilmente o trabalho realizado, bastando apenas conhecer-se as Energias Cinéti-cas nos dois pontos em questão:

1cE2

cE −=τ

Exemplo:

Um corpo de massa 2 kg altera sua velocidade de 4 m/s para 6 m/s. Qual o trabalho realizado para ocorrer este au-mento de velocidade?

Resolução:

τ = Ec2 - Ec

1 ⇔

⇔⋅−⋅=τ⇔⋅−⋅=τ242

262

2vm

2vm 222

122

J 20 16 - 36 2162

2362 =τ⇒=τ⇔⋅−⋅=τ

1.8 Quantidade de movimento e conservação da quantidade de movimento, impulso. 1.9 Colisões.

NOÇÃO DINÂMICA DE MASSA E QUANTIDADE DE MOVIMENTO (MOMENTO LINEAR).

FORÇA E VARIAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVI-MENTO.

Momento linear

O momento linear (ou quantidade de movimento) é uma grandeza vetorial que caracteriza o efeito dinâmico de um corpo de massa m, animado com uma velocidade v:

A unidade do sistema internacional do momento linear é kg.m.s-1.

Características do vetor momento linear:

• tem direção tangente à trajetória em cada instante consi-derado, coincidindo com a direção do vetor velocidade, ;

• tem o mesmo sentido do vetor velocidade, ;

• o módulo do momento linear é igual a p = m.v

Lei da Variação do Momento linear (ou da Variação da Quantidade de Movimento)

O impulsoimpulsoimpulsoimpulso de uma força constante que atua num corpo du-rante um intervalo de tempo é igual à variação do momento linear desse corpo, nesse intervalo de tempo,

ou seja,

Princípio da Conservação do Momento Linear

Quando dois ou mais corpos interagem, o momento linear desse sistema (conjunto dos corpos) permanece constante:

CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO DE

UM CORPO EXTENSO

São duas as condições que devem ser satisfeitas simulta-neamente para que um corpo extenso esteja em equilíbrio:

1ª condição: A resultante das forças que atuam sobre o corpo é nula (não há translação).



2ª condição: A soma algébrica dos momentos em relação a um ponto qualquer é nula (não há rotação).

CENTRO DE MASSA OU BARICENTRO DE UM CORPO

Consideremos um sistema de pontos materiais de massas m1, m2, m3, cujas coordenadas em relação a um sistema de referência são (x1, y1), (x2, y2) e (x3, y3), respectivamente, conforme a figura seguinte.

Chamaremos de centro de massa G do sistema um ponto no qual toda massa do sistema está concentrada.

As coordenadas do centro de massa serão dadas por:

3m2m1m

3x3m2x2m1x1m

Gx++

++=

3m2m1m

3y3m2y2m1y1m

Gy++

++=

Caso trabalhemos com corpos simétricos e homogêneos, seus centros de massa coincidirão com seus centros geomé-tricos.

Exemplos

Nos exercícios que envolvem corpos extensos, a força-peso deverá sempre ser localizada no centro de massa G do corpo.

Exemplo:

Considere duas partículas A e B de massas mA = 4 kg e mB = 6 kg, separadas por uma distância d = 50 cm. Localize a posição do centro de massa desse sistema de partículas.

Solução

Nesse caso, onde temos apenas duas partículas, o centro de massa estará localizado num ponto do segmento que une as duas partículas; assim, basta adotarmos um só eixo para encontrar o centro de massa.

As coordenadas de A e B, em relação ao referencial ado-tado, são:

XA =0 e xB = 50 cm

A posição do centro de massa será dada por:

BmAm

BxBmAxAm

Gx+

+=

Substituindo os valores dados, temos:

30cm GX 64

6x50 4x0 GX =→

+

+=

Esse resultado significa que o centro de massa do sistema está a 30 cm da origem do referencial adotado, coincidindo com o ponto A.

LEI DA CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MO-VIMENTO (MOMENTO LINEAR) E TEOREMA DO IMPUL-SO.

QUANTIDADE DE MOVIMENTO

Impulso Você sabe o que acontece quando a bola de futebol fica em contato com o pé do jogador?

Vai ser aplicada uma força, F, em um pequeno intervalo de tempo t (na ordem de centésimos de segundos), tal que esta força vai direcionar a bola para onde o jogador quiser.

O impulso desta força é o produto da força, F, multiplicada pelo intervalo de tempo, t. Observe que o impulso é uma grandeza vetorial porque vai ser dada direção e sentido para a bola, através da força aplicada.



Notação: I impulso

Expressão: I = F t 10.1

Observe que o vetor impulso, I, tem a mesma direção e sentido do vetor força, F.

Unidade de medida - Impulso - Sistema Internacional

U (I) = U (F) U (t) = 1 Newton segundo (1 N s)

No nosso exemplo, considerando que o tempo de contato é da ordem de 0,01s e a força exercida pelo pé do jogador na bola seja 2000 N, temos que o impulso é:

I = F t = 2000 0,01 = 20,0 N s

Quantidade de Movimento

Quando a bola de futebol, de massa m, sai do pé do joga-dor, ela adquire uma velocidade V. Neste caso, dizemos que a bola adquiriu uma quantidade de movimento. A quantidade de movimento é definida como sendo o produto da massa da bola pela velocidade adquirida. É também vetorial porque é o produto de uma grandeza escalar (massa) por uma grandeza vetorial (velocidade).

Notação: Q quantidade de movimento

Expressão: Q = m V 10.2

Observe que o vetor quantidade de movimento, Q, tem a mesma direção e sentido do vetor velocidade, V.

Unidade - Quantidade de Movimento - Sistema Internacio-nal

U (Q) = U (m) U (V) = 1 quilograma metro/segundo (1 kg m/s)

Exemplo: A bola de futebol tem uma massa de 0,4 kg e a velocidade que adquire após o chute foi de 40 m/s. A quanti-dade de movimento da bola é:

Q = m V = 0,4 40 = 16,0 kg m/s

Relação entre impulso e quantidade de movimento

Vimos que o impulso é dado por:

I = F t 10.3

A força F vai imprimir uma aceleração à bola, a, fazendo que a sua velocidade altere de um valor inicial V1, para um valor V2.

A força F é calculada pela 2a Lei de Newton:

F = m a 10.4

Substituindo 10.4 em 10.3, temos:

I = m a t 10.5

Como a = V / t , substituindo na expressão 10.5:

I = m ( V / t) / t = m V = m (V 2- V1) = m V 2- m V1

Como Q = m V (10.2), substituindo, obtemos que:

I = Q 2 - Q1 10.6

A equação 10.5 mostra que o impulso, exercido por uma força ou por uma resultante de forças, em um intervalo de tempo, é igual à variação da quantidade de movimento.

Conservação da Quantidade de Movimento

Você já deve ter visto em colisões de curta duração como por exemplo com bolas em um jogo de bilhar, dependendo da direção e sentido do impulso que for dado à bola com taco, após o choque com uma bola de bilhar em repouso na mesa, as bolas podem se movimentar em quaisquer direções e sentidos.

Vamos analisar o caso mais simples em que bolas de massas diferentes, movimentando-se na em sentidos opostos (fig. 10.2a), após a colisão, se movimentam na mesma dire-ção e mesmo sentido (fig. 10.2b).

(a)

(b) Figura 10.2 Colisão de duas bolas de massas dife-rentes, com velocidades diferentes antes da colisão

Consideremos como dados:

mA = 4 kg

mB= 2 kg

Medindo os valores das velocidades antes e depois da co-lisão, foram obtidos os seguintes valores experimentalmente:

Bola A Bola B

Antes da colisão V 1A = 6 m/s V1B = 4 m/s

Depois da colisão V 2A = 1 m/s V2B = 6 m/s

Calculando a quantidade de movimento antes da colisão:

Q1 = mA V 1A- mBV1B=4 x 6 - 2 x 4 = 24 - 8 = 16 kg m/s

Observe que como os vetores quantidades de movimentos têm sentidos contrários foi realizada a diferença entre os módulos dos dois vetores.

Calculando a quantidade de movimento depois da colisão:

Q2 = mAV 2A+mBV2B = 4 x 1 + 2 x 6 = 16 kg m/s

Chegamos à conclusão que:

Q1 = Q2

ou seja, as quantidades de movimento se conservam.

Por quê?

Quando houve a colisão das bolas, considerando que o sistema seja isolado de forças externas (forças externas nu-las), ou se a resultante das forças externas fôr nula, o impul-so é nulo:

Considerando a expressão 10.6:

I = Q1 + Q2

Como pela expressão 10.3:

I = F t = 0 x t = 0

onde F é a resultante das forças externas.

Substituindo, obtemos:

Q1 + Q2 = 0

que é o Princípio da Conservação da Quantidade de Movimento :

"É constante a quantidade de movimento de um sis-tema quando a resultante das forças externas for nu la".



Qinicial = Qfinal 10.7

sendo as quantidades de movimento grandezas vetoriais.

Vamos ver se você entendeu.

Considere um carro pequeno com massa 500 kg com ve-locidade de 20 m/s e um caminhão com massa 3000 kg com velocidade também de 20 m/s, que estão se movimentando em sentidos contrários (10.3). Em um determinado instante, eles colidem frontalmente. Pergunto: o carro exerce força maior sobre o caminhão ou vice-versa?

Figura 10.3 - Carro e caminhão se movimentando em sentidos contrários, mesma direção e com velocidades iguais

Se você respondeu que o caminhão exerceu maior força sobre o carro, errou! Porque as forças são iguais em módulo e atuam em corpos diferentes (3a Lei de Newton).

Mas você pode perguntar: por quê o carro ficou mais dani-ficado que o caminhão? Para você ter a resposta calcule a quantidade de movimento antes do choque. Você vai verificar que a quantidade de movimento do caminhão antes do cho-que é maior que a quantidade de movimento do carro, provo-cando maior estrago no carro. Entendeu?

Temos outras situações em que a conservação da quanti-dade de movimento se conserva:

Na distensão ou compressão de uma mola existente entre dois blocos.

Quando distendemos ou comprimimos a mola, exercemos uma força externa F. Ao liberarmos a mola ela volta para a sua posição inicial. Como?

Quando a mola é deformada, ao aplicarmos a força exter-na F (força de tração T no exemplo), temos que vai aparecer uma força na mola que atua no sentido contrário ao da força aplicada F, intrínseca à mola denominada força elástica, Fel. Quando é retirada a força externa F, é a força elástica Fel que faz com que a mola volte para sua posição inicial. Neste caso vale o princípio da conservação da quantidade de movimento porque a resultante das forças externa é nula (fig. 10.4).

Figura 10.4 - Dois blocos A e B ligados por uma mola

Inicialmente o sistema está em repouso, portanto a quan-tidade de movimento inIcial é nula:

Qinicial = 0

Quando é retirada a força externa F, o bloco A se desloca com com VA e o bloco B com velocidade VB. A quantidade de movimento final é:

Qfinal = m A VA - m B VB

Qinicial = Qfinal

0 = m A VA - m B VB

m A VA = m B VB

Em um jogo de bilhar, a quantidade de movimento também se conserva.

Após a colisão as bolas podem ter diferentes sentidos e direções (fig.10.5).

Figura 10.5 - Colisão de duas bolas de bilhar.

Análise vetorial

Aplicando o princípio da conservação da quantidade de movimento, na direção x, temos:

Qinicialx = Qfinalx

m A V1Ax = m B V2B x+ m A V2Ax

m A V1A = m B V2B cos B+ m A V2A cos A

Na direção y, temos:

Q (inicial)y = Q(final)y

0 = m B V2By - m A V2Ay

0 = m B V2Bsen B - m A V2A sen A

MOVIMENTO DE UMA FORÇA

EM RELAÇAO A UM PONTO

Seja F uma força cuja linha de ação é dada pela reta r; seja ainda O um ponto qualquer.

Definimos momento da força F em relação ao ponto O a-través do produto:



dFM ⋅±=0

Nessa expressão, d representa o braço de F em relação ao ponto O: distância do ponto O à reta r. Lembre-se de que a distância do ponto à reta corresponde à medida do segmento de perpendicular baixado do ponto à reta.

O sinal + ou - será atribuído ao momento, comparando-se o sentido de rotação imprimido pela força com um sentido anteriormente convencionado como positivo (horário ou anti-horário).

No caso do exemplo da figura anterior, o momento da for-ça F em relação a O, de acordo com a convenção adotada, será positivo.

No Sistema Internacional de Unidades, a unidade de mo-mento será:

[ ] [ ] [ ] [ ] mNMdFM ⋅=→⋅=

EQUILÍBRIO DE UM PONTO

Uma partícula está em Equilíbrio estático quando encon-tra-se em repouso, e em Equilíbrio dinâmico encontra-se em Movimento Retilíneo e Uniforme.

PRINCÍPIOS DA DINÂMICA

Princípio da Inércia (1.ª Lei de Newton)

“Se a resultante das forças agindo sobre um corpo for nu-la, esse corpo permanece em seu estado inicial (em repouso ou em Movimento Retilíneo e Uniforme)”.

Isto quer dizer que, se um corpo estiver em repouso, a tendência é que permaneça em repouso e se estiver em mo-vimento, a ausência de força resultante faz com que ele per-maneça em movimento, mas com velocidade constante.

O princípio da inércia aplica-se, teoricamente, em situa-ções ideais, mas podemos notar a aplicação deste princípio de situações do cotidiano.

Exemplo 1:

Uma nave espacial, em um local onde não existem forças de atração gravitacional, ao desligar os motores permanece em movimento retilíneo e uniforme, por inércia.

Exemplo 2:

Quando um automóvel entra em uma curva para a direita, em alta velocidade, o motorista tende a encostar seu corpo na porta, e o passageiro do banco dianteiro tende a deslocar-se para a esquerda.

Isto ocorre porque, por inércia, os corpos destas pessoas tendem a manter o movimento em linha reta, apesar de o carro estar fazendo uma curva.

Princípio Fundamental da Dinâmica - P.F.D. (2.ª Lei de Newton)

“A força aplicada em um corpo é proporcional à acelera-ção produzida por essa mesma força”.

Equação Fundamental: a . m Frr

=

onde:

Fr

= força resultante agindo sobre o corpo;

m = massa do corpo;

ar

= aceleração adquirida pelo corpo.

Unidades:

A força tem por unidade no Sistema Internacional o new-ton (N), mas pode ser medida em outros sistemas métricos utilizando dyn (CGS), kgf (MKS) ou sth (MTS).

Exemplo: Um corpo de massa 3 kg, pela aplicação de uma força constante, adquire aceleração de 5 m/s2. Qual a intensi-dade da força aplicada?

Resolução:

Dados: m = 3 kg a = 5 m/s2

F = m.a ⇔ F =3 . 5 ⇒ F = 15 N

Portanto, a força aplicada vale 15 N.

Peso de um corpo

O Peso de um corpo é conseqüência da atração gravita-cional da Terra.

Se desconsiderarmos os efeitos da rotação da Terra, o Peso corresponde à força de atração gravitacional.

Pelo Princípio Fundamental da Dinâmica, a força-peso é dada por:

g . m Prr

= onde:

Pr

= força-peso aplicada sobre o corpo;

m = massa do corpo;

gr

= aceleração da gravidade local.

Unidades:

O peso, por ser uma força aplicada sobre um corpo, apre-senta as mesmas unidades de medida de uma força qualquer, que são o newton (N), o kgf, o dyn ou o sth.

Observação 1: A massa de um corpo independe do local, sendo a mesma em qualquer ponto do Universo.

Observação 2: A aceleração da gravidade varia com o lo-cal, pois mede a intensidade do campo gravitacional.

Exemplo:

Um corpo de massa 10 kg encontra-se em um planeta on-de a aceleração da gravidade vale 8 m/s2 . Qual a massa e qual o peso do corpo?

Resolução:

Dados: m = 10 kg2 g = 8 m/s

A massa de um corpo é constante em qualquer local dó Universo, portanto vale 10 kg.

O peso é:

P = m.g ⇔ P = 10 . 8 ⇒ P = 80 N

Portanto, o peso do corpo neste planeta é de 80 N.

d) Força Elástica (Lei de Hooke)

“A intensidade da força deformadora é proporcional à de-formação produzida”.

Esta lei é utilizada para medir-se a força empregada em molas deformadas e elásticos esticados.

A Lei de Hooke é expressa por: x .K Frr

=

onde:



Fr

= força elástica;

K = constante elástica, que representa as características da mola;

xr

= deformação da mola.

Unidades:

Pelo Sistema Internacional, a força elástica é medida em newtons (N), a constante elástica é dada em newton por me-tro (N/m) e a deformação da mola é dada em metros (m).

Exemplo:

Uma mola de constante elástica 400 N/m sofre deforma-ção de 50 cm. Qual a força elástica aplicada sobre a mola para que ela apresente esta deformação?

Resolução:

Dados: k = 400 N/m x = 50 cm = 0,5 m

⇔=⇔= 2

2 400.(0,5)

F 2

2k.x

F

N 50 F 2

100 F

2

400.0,25 F =⇒=⇔=

Portanto, a força elástica aplicada sobre a mola é de 50 N.

Princípio da Ação e Reação (3.ª Lei de Newton)

“A toda força de ação corresponde uma força de reação, com a mesma intensidade, mesma direção e sentidos contrá-rios.”

Observação: As forças de ação e reação aplicam-se em corpos distintos e, portanto, nunca se anulam.

Exemplos da 3.ª Lei de Newton:

Tiro de uma espingarda: Quando acionamos o gatilho de uma arma de fogo ocorre uma explosão que produz gases. Os gases produzidos aplicam sobre o projétil da arma uma força (ação). Mas o projétil aplica sobre a arma uma força de reação que impulsiona para trás violentamente. Se o a-tirador não estiver prevenido, errará o alvo.

Vôo de um pássaro: O pássaro, ao bater as asas, exerce uma força sobre o ar (ação). A força de reação do ar faz com que o pássaro se sustente na altura em que está, e que se movimente.

Vôo de um foguete no espaço: O motor do foguete lança os gases da combustão para o espaço com uma certa força (ação). Os gases lançados reagem empurrando o foguete em sentido contrário. Note que, neste caso, não é neces-sária a presença do ar.

1.10 Estática dos corpos rígidos.

ESTÁTICA EQUILIBRIO DO PONTO MATERIAL

Ponto material: é todo corpo cujas dimensões possam ser consideradas desprezíveis no problema analisado; como decorrência, só terá significado analisarmos movimentos de translação desse ponto material.

Sendo o equilíbrio estático do ponto material, a situação estudada agora, a resposta é dada diretamente pela primeira

lei de Newton: a resultante das forças que atuam sobre o ponto material é nula. Essa condição é necessária e suficiente para que o equilíbrio do ponto material seja atingido.

Assim, todos os problemas referentes ao equilíbrio de um ponto material serão resolvidos a partir da aplicação dessa idéia.

Conceitualmente, são problemas de fácil resolução, exi-gindo, do aluno, porém, alguma habilidade no trabalho com vetores.

Resumindo: seja A um ponto material sujeito ao sistema

de forças .,..., 21 nFFF .

Se esse ponto material estiver em equilíbrio, então:

0...321 =++++ nFFFF

Exemplo:

No esquema que se segue, o peso P de 310 N está em equilíbrio. Determine as forças de tração nos fios da figu-ra.

Solução:

Assinalando as forças que atuam no sistema, teremos:

Estando o corpo em questão em equilíbrio, resulta:

→= PT1 NT 3101 =

Como o ponto A da figura se encontra em equilíbrio, te-mos:



0321 =++ TTT

Uma forma de se simplificar a solução matemática deste exercício é determinar que se a resultante das três forças for nula, a soma de duas delas quaisquer deve ser anulada pela terceira. Assim, temos:

321 TTT −=+

Graficamente, temos:

A partir da observação do triângulo retângulo ABC da figu-ra, escrevemos, sempre lembrando que T1 já é conhecido:

5

3

310

º60senº60sen 1

32

1 ==== TT

T

T

NT 203 =

2

120º60cosº60cos 32

3

2 ⋅=⋅=→= TTT

T

NT 102 =

EQUILÍBRIO DE UM CORPO EXTENSO

Já vimos que a condição necessária e suficiente para que um ponto material permaneça em equilíbrio é que a resultante das forças que atuam sobre ele seja nula.

Um exemplo bem simples, todavia, mostra-nos que essa condição não será suficiente se quisermos impor o equilíbrio a um corpo extenso. Para tanto, consideremos uma barra situa-da sobre a mesa, conforme a figura, e apliquemos aos seus extremos duas forças de mesmo módulo, mesma direção e sentidos opostos. Tente você mesmo, na prática.

Embora a resultante das forças seja nula, a barra não permanecerá em equilíbrio, mas executará um movimento de rotação em torno de um dos seus pontos.

Vemos, então, que uma nova condição deve ser imposta, de forma que o movimento de rotação não seja possível.

OBSERVAÇÃO Lembre-se: quando a resultante das for-ças é nula, o corpo não executa movimento de translação.

FORÇA DE ATRITO, FORÇA PESO, FORÇA NORMAL DE CONTATO E TRAÇÃO.

DIAGRAMAS DE FORÇAS. FORÇA DE ATRITO

Cerca de um quinto da potência de um automóvel é con-sumido na superação das forças de atrito entre suas peças móveis. No esforço de superar o atrito, a humanidade fez conquistas tecnológicas importantes, como a roda.

Entende-se por atrito a força que oferece resistência ao movimento relativo entre superfícies em contato. Apresenta dois efeitos importantes: exercer pressão sobre o corpo e opor-se a seu movimento em relação à superfície. A força do atrito pode ser benéfica, tal como a tração necessária para se caminhar sem deslizar, mas também pode representar um alto custo.

Dois fatos experimentais caracterizam o atrito entre sóli-dos deslizantes. Primeiro, a quantidade de atrito quase inde-pende da área de contato entre as superfícies. Se um tijolo é empurrado sobre uma mesa, a força de atrito é a mesma para qualquer posição desse bloco. Segundo, o atrito é proporcio-nal à carga ou peso que une as superfícies. Se uma pilha de três tijolos é empurrada sobre uma mesa, o atrito é três vezes maior do que no caso de somente um tijolo. Assim, a razão entre a força de atrito e o peso do corpo é uma constante conhecida como coeficiente de atrito. Como atrito e peso são medidos em unidades de força (como quilogramas e new-tons), o coeficiente de atrito é adimensional.

Esse tipo de atrito surge entre superfícies em movimento relativo, e por isso é chamado de atrito cinético. O atrito está-tico, ao contrário, atua entre superfícies em repouso relativo. O valor do atrito estático varia entre zero e a menor força necessária para iniciar o movimento.

A resistência ao movimento exercida por uma superfície sobre um corpo ocorre também quando, ao invés de deslizar, o corpo rola sobre ela. Nesse caso fala-se em atrito de rola-mento. A principal fonte desse tipo de atrito é a dissipação de energia envolvida na deformação dos objetos. Essa deforma-ção elástica, ou compressão, produzida na região de contato cria uma resistência ao movimento que não é compensada quando a região deformada volta a seu estado normal. O coeficiente de atrito de rolamento é geralmente cem ou mil vezes menor que o de atrito cinético ou estático.

Força de Atrito é aquela desenvolvida entre dois corpos em contato, desde que haja, nas regiões de contato, aspere-za. Isto causa o surgimento de forças de ação e reação.

Estas forças surgem apenas se houver movimento relativo entre os corpos (atrito dinâmico), ou quando não há movimen-to, mas existe uma força aplicada em um dos corpos que está sendo neutralizada pela ação da força de atrito (atrito estáti-co).

Determina-se a força de atrito da seguinte forma:

Força de atrito estático: [ ] gme eFat ⋅⋅= µ

onde:

Fat(e) = força de atrito estático

µ e = coeficiente de atrito estático

N = força normal do corpo

m = massa do corpo

g = aceleração da gravidade local



Força de atrito dinâmico:

[ ] gmd Nd dFat ⋅⋅=⋅= µµ

onde:

Fat(d) = força de atrito dinâmico

µ d = coeficiente de atrito dinâmico ou cinético

N = força normal do corpo

m = massa do corpo

g = aceleração da gravidade local

Unidade:

A força de atrito, como todas as outras forças é medida, no Sistema Internacional, em newtons (N). O coeficiente de atrito (µ) é uma constante que representa as características da superfície em questão, e não tem unidade definida.

Observação: Tanto no atrito estático como no dinâmico a força normal é substituída pelo produto m.g, que é a expres-são da força-peso. Isto ocorre porque a força normal e a for-ça-peso equilibram-se no corpo, pois são ambas perpendicu-lares à superfície considerada, mas possuem mesma intensi-dade e sentidos contrários.

Exemplo:

Um objeto de massa 4 kg encontra-se em uma superfície que apresenta coeficientes de atrito estático e dinâmico i-guais, respectivamente, a 0,3 e 0,25. Considerando a acele-ração da gravidade local como sendo 10 m/s2, determine as forças de atrito estático e dinâmico.

Resolução:

Dados: m = 4 kg

µ e = 0,3 µ d = 0,25 g = 10 m/s2

Força de atrito estático:

Fat(e) = µe .m.g ⇔ Fat(e) = 0,3.4.10 ⇒

Fat(e) = 12 N

Portanto, a força de atrito estático é de 12 N.

Força de atrito dinâmico:

Fat(d) = µd .m.g ⇔ Fat(d) = 0,25.4.10 ⇒

Fat(d) = 10 N

Portanto, a força de atrito dinâmico é de 10 N.

PLANO INCLINADO

Considere um objeto em repouso colocado em um plano inclinado de um ângulo em relação ao plano horizontal:

Em uma análise inicial percebemos a existência de duas forças:

onde: Nr

= força normal de reação

Pr

= força-peso do corpo

Para tornar o estudo mais simples, é usual decompor a força-peso em duas componentes:

onde:

PN = componente normal do peso, responsável peIa compressão do bloco sobre o plano de apoio.

Pt = componente tangencial do peso, responsável pelo movimento do bloco para baixo.

Para determinar os valores destas componentes usamos as equações:

θ=θ= sen . | P | | P | cos . | P | | P | tn

rrr

É óbvio, portanto, que devemos conhecer o ângulo de in-clinação.

Como a tendência do bloco é descer o plano inclinado, podemos calcular o valor da aceleração neste plano, descon-siderando o atrito:

a = g.sen θ

Exemplo:

Um bloco encontra-se colocado em um plano inclinado, cujo ângulo de inclinação é de 300. Sabendo-se que o corpo possui massa de 2 kg, determine o valor das componentes do peso do corpo e a aceleração de descida deste bloco. Adote g = 10 m/s2.

Resolução:

Dados: m = 2 kg

g = 10 m/s2 θ = 30º

21

sen =θ 23

cos =θ

Peso do bloco:

P = m . g ⇔ P = 2 . 10 ⇒ P = 20 N

Componente tangencial do peso:



Pt = P. sen θ ⇔ Pt = 20 . 21

⇒ Pt = 10N

Componente normal do peso:

PN = P. cos θ ⇔ PN = 20 . 23

⇒

PN = 10 3 N

Aceleração do bloco na descida:

a = g.sen θ ⇔

a = 21

10 ⋅ ⇒ a = 5 m/s2

1.11 Estática dos fluidos. 1.12 Princípios de Pascal, Arquimedes e Stevin.

HIDROSTÁTICA: PRESSÃO

Consideremos uma força aplicada perpendicularmente a uma superfície com área A. Definimos a pressão (p) aplica-da pela força sobre a área pela seguinte relação:

No SI , a unidade de pressão é o pascal (Pa) que corres-ponde a N/m2 . A seguir apresenta outras unidades de pres-são e suas relações com a unidade do SI :

1 dyn/cm2 (bária) = 0,1 Pa

1 kgf/cm2 = 1 Pa

1 atm = 1,1013x105 Pa

1 lb/pol2 = 6,9x103 Pa

O conceito de pressão nos permite entender muitos dos fenômenos físicos que nos rodeiam. Por exemplo, para cortar um pedaço de pão, utilizamos o lado afiado da faca (menor área), pois, para uma mesma força, quanto menor a área, maior a pressão produzida.

Exemplo

Compare a pressão exercida, sobre o solo, por uma pes-soa com massa de 80 kg, apoiada na ponta de um único pé, com a pressão produzida por um elefante, de 2.000 kg de massa, apoiado nas quatro patas. Considere de 10 cm2 a área de contato da ponta do pé da pessoa, e de 400 cm2 a área de contato de cada pata do elefante. Considere também g = 10 m/s2 .

Resolução

A pressão exercida pela pessoa no solo é dada pelo seu peso, dividido pela área da ponta do pé:

A pressão exercida pelo elefante é dada por:

Comparando as duas pressões, temos que a pressão e-xercida pela pessoa é 6,4 vezes a pressão exercida pelo elefante.

PRINCÍPIO DE PASCAL

O princípio físico que se aplica, por exemplo, aos elevado-res hidráulicos dos postos de gasolina e ao sistema de freios e amortecedores, deve-se ao físico e matemático francês Blaise Pascal (1623-1662). Seu enunciado é:

O acréscimo de pressão produzido num líquido em e-quilíbrio transmite-se integralmente a todos os pon tos do líquido.

Blaise Pascal (1623-1662), físico, matemático, filóso-fo religioso e homem de letras nascido na França.

Consideremos um líquido em equilíbrio colocado em um recipiente. Vamos supor que as pressões hidrostáticas nos pontos A e B (veja a figura) sejam, respectivamente, 0,2 e 0,5 atm.

Se através de um êmbolo comprimirmos o líquido, produ-zindo uma pressão de 0,1 atm, todos os pontos do líquido , sofrerão o mesmo acréscimo de pressão. Portanto os pontos A e B apresentarão pressões de 0,3 atm e 0,6 atm, respecti-vamente.

As prensas hidráulicas em geral, sistemas multiplicadores de força, são construídos com base no Princípio de Pascal. Uma aplicação importante é encontrada nos freios hidráulicos usados em automóveis, caminhões, etc. Quando se exerce uma força no pedal, produz-se uma pressão que é transmitida integralmente para as rodas através de um líquido, no caso, o óleo.

A figura seguinte esquematiza uma das aplicações práti-cas da prensa hidráulica: o elevador de automóveis usado nos postos de gasolina.



O ar comprimido, empurrando o óleo no tubo estreito, pro-duz um acréscimo de pressão (D p), que pelo princípio de Pascal, se transmite integralmente para o tubo largo, onde se encontra o automóvel.

Sendo D p1 = D p2 e lembrando que D p = F/A , escreve-mos:

Como A2 > A1 , temos F2 > F1 , ou seja, a intensidade da força é diretamente proporcional à área do tubo. A prensa hidráulica é uma máquina que multiplica a força aplicada.

Por outro lado, admitindo-se que não existam perdas na máquina, o trabalho motor realizado pela força do ar compri-mido é igual ao trabalho resistente realizado pelo peso do automóvel. Desse modo, os deslocamentos – o do automóvel e o do nível do óleo – são inversamente proporcionais às áreas dos tubos:

t 1 = t 2 e F1d1 = F2d2

Mas na prensa hidráulica ocorre o seguinte:

Comparando-se com a expressão anterior, obtemos:

Exemplo :

Na prensa hidráulica na figura , os diâmetros dos tubos 1 e 2 são , respectivamente, 4 cm e 20 cm. Sendo o peso do carro igual a 10 kN, determine:

a) a força que deve ser aplicada no tubo 1 para equlibrar o carro;

b) o deslocamento do nível de óleo no tubo 1, quando o carro sobe 20 cm.

Resolução:

a) A área do tubo é dada por A = p R2 , sendo R o raio do tubo. Como o raio é igual a metade do diâmetro, temos R1 = 2 cm e R2 = 10 cm .

Como R2 = 5R1 , a área A2 é 25 vezes a área A1 , pois a área é proporcional ao quadrado do raio. Portanto A2 = 25 A1 .

Aplicando a equação da prensa, obtemos:

è

F1 = 400N

b) Para obter o deslocamento d1 aplicamos:

è è d1 = 500 cm (5,0 m)

PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES (EMPUXO)

Contam os livros, que o sábio grego Arquimedes (282-212 AC) descobriu, enquanto tomava banho, que um corpo imerso na água se torna mais leve devido a uma força, exercida pelo líquido sobre o corpo, vertical e para cima, que alivia o peso do corpo. Essa força, do líquido sobre o corpo, é denominada

empuxo ( ).

Portanto, num corpo que se encontra imerso em um líqui-

do, agem duas forças: a força peso ( ) , devida à interação

com o campo gravitacinal terrestre, e a força de empuxo ( ) , devida à sua interação com o líquido.



Arquimedes (282-212 AC).Inventor

e matemático grego.

Quando um corpo está totalmente imerso em um líquido, podemos ter as seguintes condições:

* se ele permanece parado no ponto onde foi colocado, a intensidade da força de empuxo é igual à intensidade da força peso (E = P);

* se ele afundar, a intensidade da força de empuxo é menor do que a intensidade da força peso (E < P); e

* se ele for levado para a superfície, a intensidade da força de empuxo é maior do que a intensidade da força peso (E > P) .

Para saber qual das três situações irá ocorrer, devemos enunciar o princípio de Arquimedes:

Todo corpo mergulhado num fluido (líquido ou gás) sofre, por parte do fluido, uma força vertical para cima, cuja intensidade é igual ao peso do fluido deslocad o pelo corpo.

Seja Vf o volume de fluido deslocado pelo corpo. Então a massa do fluido deslocado é dada por:

m f = d fVf

A intensidade do empuxo é igual à do peso dessa massa deslocada:

E = mfg = d fVfg

Para corpos totalmente imersos, o volume de fluido deslo-cado é igual ao próprio volume do corpo. Neste caso, a inten-sidade do peso do corpo e do empuxo são dadas por:

P = dcVcg e E = d fVcg

Comparando-se as duas expressões observamos que:

* se dc > df , o corpo desce em movimento acelerado (FR = P – E);

* se dc < df , o corpo sobe em movimento acelerado (FR = E – P);

* se dc = df , o corpo encontra-se em equilíbrio.

Quando um corpo mais denso que um líquido é totalmente imerso nesse líquido, observamos que o valor do seu peso, dentro desse líquido , é aparentemente menor do que no ar. A diferença entre o valor do peso real e do peso aparente cor-responde ao empuxo exercido pelo líquido:

Paparente = Preal - E

Exemplo :

Um objeto com massa de 10 kg e volume de 0,002 m3 é colocado totalmente dentro da água (d = 1 kg/L).

a) Qual é o valor do peso do objeto ?

b) Qual é a intensidade da força de empuxo que a água exerce no objeto ?

c) Qual o valor do peso aparente do objeto ?

d) Desprezando o atrito com a água, determine a acelera-ção do objeto.

(Use g = 10 m/s2.)

Resolução:

a) P = mg = 10.10 = 100N

b) E = dáguaVobjetog = 1.000 x 0,002 x 10 � E = 20N

c) Paparente = P – E = 100 – 20 = 80N

d) FR = P – E � a=8,0 m/s2 (afundará, pois P > E)

Flutuação

Para um corpo flutuando em um líquido, temos as condi-ções a seguir.

1) Ele encontra-se em equilíbrio:

E = P

2) O volume de líquido que ele desloca é menor do que o seu volume:

Vdeslocado < Vcorpo

3) Sua densidade é menor do que a densidade do líquido:

dcorpo < d líquido

4) O valor do peso aparente do corpo é nulo:

Paparente = P – E = O

A relação entre os volumes imerso e total do corpo é dada por:

E = P

d liquido Vimerso g = dcorpo Vcorpo g =

Exemplo :

Um bloco de madeira (dc = 0,65 g/cm3), com 20 cm de a-resta, flutua na água (dagua = 1,0 g/c3) . Determine a altura do cubo que permanece dentro da água.



Resolução:

Como o bloco está flutuando, temos que E = P e , sendo V = Abaseh , escrevemos:

Como hcorpo = 20 cm, então h imerso = 13 cm.

2 Ondulatória. 2.1 Movimento harmônico simples. 2.2 Oscilações livres, amortecidas e forçadas. 2.3. Ondas.

ONDULATÓRIA

Estudaremos nesta parte os principais fenômenos ondulatórios, entre os quais se destacam a reflexão e a refração.

ONDAS

Vamos inicialmente obter o conceito de onda e introduzir alguns elementos a ele relacionados.

Consideremos uma corda esticada na qual produzimos um abalo em uma das extremidades.

Observemos que esse abalo se desloca ao longo da corda cujos pontos serão perturbados à medida que ferem por ele atingidos. A corda é o meio de propagação do abalo.

De um modo geral, um abalo é uma perturbação causada no meio de propagação.

Assim, podemos conceituar:

Onda é uma perturbação que se propaga.

Podemos citar outros exemplos de ondas:

ondas na água: que surgem quando produzimos um abalo na superfície da água;

ondas sonoras: que se originam por uma perturbação num meio material (sólido, liquido ou gasoso);

ondas eletromagnéticas (entre as quais se enquadra a luz): que são devidas às perturbações em campos elétricos e magnéticos.

É importante observarmos que a onda transmite energia de ponto para ponto do meio de propagação. Assim, na corda, pontos que estavam em repouso são postos em movimento quando atingidos pela onda, adquirindo energia cinética e potencial. Essa transmissão de energia não envolve o transporte de matéria.

A onda transmite energia sem transporte de matéria.

Ondas periódicas

Se produzirmos abalos sucessivos e que se repetem em tempos iguais, estabeleceremos na corda uma onda periódica. A propagação de um único abalo é denominada pulso de onda.

Um caso importante a ser estudado é quando as ondas periódicas têm a forma de uma senóide (ou cossenóide).

Após uma oscilação:

Na figura anterior, uma oscilação corresponde ao movimento da mão, que é a fonte das ondas, indo do ponto A ao B, do ponto B ao C e retomando ao ponto A.

Um ponto P da corda, atingido pela onda, oscila para cima e para baixo, da mesma forma como oscila a mão. A altura y do ponto, em relação à posição inicial dela, a cada instante, é denominada elongação.

Após outra oscilação:

A elongação y, durante a oscilação do ponto, varia entre os valores + a e - a. O valor a é denominado amplitude de onda.

Resumindo:

y: elongação;

a: amplitude;

aya +≤≤−

Os pontos que, num dado instante, possuem elongação máxima (+ a) são chamados de cristas. E os de elongação mínima (- a) são os vales. Na figura anterior, C é uma crista e V é um vale.

Período e freqüência

O tempo necessário para a realização de uma oscilação é o mesmo, tanto para qualquer ponto atingido pela onda como para a fonte de ondas.

Período é o tempo decorrido numa oscilação.



Assim, por exemplo, um período igual a 0,5 s significa que a fonte gasta 0,5 s para executar uma oscilação. Poderíamos querer saber quantas oscilações são realizadas em 1s, isto é, a freqüência. No exemplo, é imediato que a freqüência é de 2 oscilações por segundo.

Freqüência é o número de oscilações por unidade de tempo.

Chamando de T o período e de f a freqüência, vale que:

Tf

1= ou f

T1=

ATENÇÃO Quando o período T estiver medido em s (segundos), a freqüência f estará em s-1 (oscilações por segundo), que recebe o nome de Hz (hertz).

Comprimento de onda

Voltamos a observar a figura anterior, onde assinalamos a distância representada pela letra grega λ (lâmbda) e denominada comprimento de onda.

Comprimento de onda (λ) é a distância percorrida pela onda durante uma oscilação.

A figura acima também mostra que o comprimento de onda (λ) é a distância entre duas cristas consecutivas ou entre dois vales consecutivos.

Velocidade de propagação

Vamos calcular a velocidade V com que a onda se propaga.

Usemos a relação:

(tempo)

)percorrida (distânciav =

Tomando como base uma oscilação, temos:

TV

λ= ou fV ⋅= λ

onde:

V: velocidade de propagação;

f: freqüência;

T: período.

Classificação das ondas

As ondas podem ser classificadas quanto:

à natureza;

às direções de propagação e de vibração;

à dimensão.

Quanto à natureza

Quanto à natureza uma onda pode ser mecânica ou eletromagnética.

Onda mecânica é aquela que necessita de um meio material para se propagar.

São exemplos de ondas mecânicas: onda na corda, onda na água, onda sonora etc.

ATENÇÃO O som não se propaga no vácuo pois, sendo uma onda mecânica, necessita de um meio material (sólido, liquido ou gasoso) para sua propagação.

Onda eletromagnética (por ser devida às variações em campos elétricos e magnéticos) é aquela que se propaga em meios materiais e também no vácuo.

São exemplos de ondas eletromagnéticas: onda luminosa, raios X, raio “lazer”, ondas de rádio e de televisão etc.

ATENÇÃO A luz é onda eletromagnética, daí ela se pro-paga no vácuo e em meios materiais.

Quanto às direções de propagação e vibração Quanto a esse aspecto, destacam-se dois tipos importantes de ondas: a transversal e a longitudinal.

Onda transversal é aquela cuja direção de propagação é perpendicular à direção de vibração.

A onda numa corda é transversal pois, enquanto os seus pontos vibram para cima e para baixo, ela se propaga ao longo da corda, conforme figura.

ATENÇÃO Verifica-se que todas as ondas eletromagnéticas são ondas transversais.

Onda longitudinal é aquela cuja direção de propagação coincide com a direção de vibração.

Comprimindo-se os aros de uma mola, estabelecemos uma onda de compressão ao longo da mola, à medida que os aros vibram para frente e para trás. Essa onda é longitudinal.

ATENÇÃO O som, no ar, é uma onda longitudinal, pois ocorre com as moléculas do ar um comportamento semelhante aos aros da mola do exemplo anterior.

Quanto à dimensão

Quanto à dimensão, uma onda pode ser: unidimensional, bidimensional ou tridimensional.

a onda unidimensional se propaga ao longo de uma linha;



a onda bidimensional se propaga numa superfície;

a onda tridimensional se propaga em todas as direções de uma região.

Exemplos

1. a onda na corda, ou na mola, é unidimensional;

2. a onda na superfície da água é bidimensional;

3. o som no ar é tridimensional.

ONDAS UNIDIMENSIONAIS

Analisemos agora a velocidade de propagação e certos fenômenos ondulatórios para as ondas unidimensionais.

Velocidade de propagação

Consideremos um meio unidimensional, como por exemplo, uma corda, onde se propaga uma onda.

Seja ρ , a densidade linear da corda, dada por:

L

m=ρ

onde m é a massa da corda e L é o seu comprimento.

A velocidade de propagação V é dada pela fórmula de Taylor:

ρF

V =

onde F é a força de tração (que mantém a corda esticada).

Podemos tirar as seguintes conclusões da fórmula de Taylor:

• a onda se propaga com maior velocidade na corda de menor densidade linear;

• a onda se propaga com maior velocidade na corda mais tracionada.

Tomando duas cordas do mesmo material, a mais grossa possui maior densidade linear.

Reflexão

Devemos considerar dois casos na reflexão de uma onda, pois a onda refletida poderá estar invertida ou não, em relação à incidente.

Reflexão com inversão de fase: Consideremos uma onda que se propaga em direção a uma extremidade fixa da corda. Ao atingir essa extremidade, a onda incidente sofrerá reflexão. A força que a corda recebe do suporte fixo determina uma onda refletida invertida em relação à incidente.

Reflexão sem inversão de fase: Se a extremidade da corda estiver livre para oscilar, a onda refletida não será invertida em relação à incidente.

ATENÇÃO

se não houver dissipação de energia, a energia da onda refletida será igual à da incidente;

a onda incidente e a refletida possuem a mesma velocidade, uma vez que propagam-se no mesmo meio.

REFLEXÃO E REFRAÇÃO

Quando uma onda atinge a separação de dois meios unidimensionais distintos haverá a formação de uma onda refletida e uma refratada. Iremos, a seguir, considerar dois casos.

Onda incidente no meio menos denso: Consideremos uma onda incidente se propagando numa corda A e atingindo o ponto P (junção da corda A com uma corda B). onde:

BA ρρ <

Se a densidade linear de A é menor que a de B

( BA ρρ < ), o ponto P equivale a uma

extremidade fixa e a onda refletida será invertida em relação à incidente.

ATENÇÃO A onda refratada sempre ocorre sem inversão de fase.

Onda incidente no meio mais denso: Consideremos as cordas A e B, do caso anterior, e uma onda incidente se propaga em B, conforme figura.

onde: BA ρρ <

O ponto P comporta-se agora como uma extremidade livre e a onda refletida não sofrerá inversão de fase.



ATENÇÃO Se não houver dissipação de energia, a soma das energias transportadas pelas ondas refletida e refratada é igual à energia da onda incidente.

Pela fórmula de Taylor:

ρF

V =↓

podemos saber se a onda aumentou ou diminuiu a velocidade de propagação ao se refratar. Assim:

quando a onda passa da corda menos densa para a mais densa, a velocidade diminui;

quando a onda passa da corda mais densa para a menos densa, a velocidade aumenta.

Ondas estacionárias

Consideremos duas ondas se propagando em sentidos opostos num meio unidimensional, como, por exemplo, os dois pulsos de onda, A e B, na corda representada a seguir.

Chama-se interferência ao fenômeno resultante da superposição dos dois pulsos. Cada ponto da corda sofrerá uma perturbação igual à soma algébrica das perturbações que cada pulso produziria sozinho.

BA aaa +=

Após a interferência, cada pulso de onda se propaga in-dependentemente do outro, isto é, como se nada tivesse acontecido. Este é o princípio da independência das ondas, como havíamos visto na óptica geométrica.

Podemos conceituar onda estacionária a partir do entendimento do fenômeno de interferência.

Onda estacionária é a resultante da interferência de duas ondas iguais e que se propagam em sentidos opostos.

TIPOS DE ONDAS

Podemos classificar as ondas quanto à:

sua origem direção de oscilação tipo de energia transportada.

ONDAS QUANTO À ORIGEM

Quanto à origem uma onda pode ser classificada em onda mecânica e onda eletromagnética .

Ondas mecânicas são as ondas produzidas por uma per-turbação num meio material, como, por exemplo, uma onda na água, a vibração de uma corda de violão, a voz de uma pessoa, etc.

Ondas eletromagnéticas são produzidas por variação de um campo elétrico e um campo magnético, tais como as on-das de rádio, de televisão, as microondas e outras mais.

As ondas eletromagnéticas não precisam de um meio de propagação, logo podem propagar-se no vácuo. As ondas mecânicas não têm essa possibilidade.

ONDAS QUANTO À DIREÇÃO DE OSCILAÇÃO

Uma outra classificação de onda é em relação à direção de oscilação, comparada coma direção de propagação.

Considere, por exemplo, uma corda segurada por duas pessoas nas extremidades. A pessoa na extremidade da esquerda levanta e abaixa a corda rapidamente. Forma-se, então, um pulso de onda.



Após alguns instantes, o pulso terá se propagado e teremos a situação seguinte:

Note que o pulso de onda está se propagando na hori-zontal da esquerda para a direita, enquanto os pontos da corda, os perturbados pelo pulso, oscilam para cima e para baixo. Com isso, a direção de oscilação (vertical) é perpendi-cular à direção de propagação (horizontal). A onda será cha-mada de onda transversal.

Podemos obter uma onda transversal usando uma mola helicoidal.

Entretanto, os exemplos mais significativos de ondas transversal são as ondas eletromagnéticas (todas), que serão estudadas mais adiante.

Considere agora uma pessoa falando. O som da voz da pessoa se propaga no espaço em todas as direções, afastan-do-se da fonte, como indicado no desenho. O som, transmi-tindo-se no ar, produz compressões e rarefações. De acordo com a seqüência sonora emitida pela pessoa, podemos ter camadas de ar mais comprimidas ou menos comprimidas, conforme está representado na figura como regiões claras e regiões escuras.

Podemos fazer o diagrama de oscilação num certo instan-te:

Veja a figura abaixo para ter uma visão complemen-tar desse fenômeno.

Outro exemplo interessante pode ser obtido com uma mola helicoidal:

Existem também as ondas mistas , como o som nos sóli-dos.

ONDAS QUANTO AO TIPO DE ENERGIA TRANSMITI-DA

Quanto ao tipo de energia transmitida pela onda, podemos classificá-la em ondas sonoras, ondas luminosas, ondas tér-micas, etc. Fonte: http://www.fisica.net.

2.3.1 Ondas sonoras, efeito doppler e ondas eletromagnéticas. 2.3.2 Frequências naturais e ressonância.

PROPAGAÇÃO DO SOM

Introdução

Quando falamos de som e música, raramente pensamos em física e na análise científica necessária para entender a propagação do som e suas nuanças, nas propriedades do som e nos detalhes ligados ao processo que antecede a a-preciação da arte musical. Esta monografia apresenta a parte da Física ligada ao processo da produção e análise dos sons, em particular os musicais: a Acústica.

A ligação da música com a ciência - em outras palavras, a associação da estética musical à teoria dos números – remon-ta à Escola Pitagórica, no século VI a.C. O ponto de partida era a relação entre os comprimentos das cordas de uma lira e as notas musicais e a percepção que cordas mais curtas emitiam sons mais agudos .A partir daí foi desenvolvida toda uma teoria que relacionava comprimentos de cordas, escalas, intervalos, notas, números inteiros e frações. Em particular, a associação de uma fração a um dado intervalo musical mos-trou-se um dos princípios mais fecundos da acústica e em cima dele montou-se praticamente toda a teoria da música ocidental. A relação entre a Física e a Música começou a aparecer depois da teoria ondulatória, estabelecida nos sécs. XVII e XVIII, e sedimentou-se quando Jean Batiste Fourier criou a parte da Matemática que leva seu nome e que é utili-zada na análise de qualquer fenômeno periódico. Falaremos a análise de Fourier em diversas partes dessa monografia.

Trataremos também da percepção do som a partir das su-as propriedades físicas, que nos permite ouvir o som sem,



necessariamente, estar na frente da fonte sonora. Como toda onda, o som sofre reflexão, é absorvido pelo meio em que se propaga, atenuado pelo atrito com as moléculas do meio e transmitido de um meio a outro. Usando essas ferramentas vamos então discutir os detalhes da produção do som nos diversos instrumentos musicais e entender o porque das pe-culiaridades sonoras de cada um deles e porque um som musical é diferente de um som qualquer produzido na nature-za.

Produção do som

O som é produzido ao criarmos algum tipo de mecanismo que altere a pressão do ar em nossa volta. Na verdade, para a produção do som, é mais importante a velocidade com que a pressão varia (o "gradiente da pressão") do que o seu valor absoluto. Por essa razão é que um balão cheio de ar não faz praticamente nenhum barulho ao deixarmos o ar sair de den-tro dele naturalmente. Por outro lado, se o balão estourar (e o ar sair todo de uma vez), existe uma variação enorme da pressão e um ruído alto é produzido. Podemos então dizer que o som é produzido ao colocarmos uma quantidade (mas-sa) de ar em movimento. É a variação da pressão sobre a massa de ar que causa os diferentes sons, dentre eles os que são combinados para criar a música. A vibração de determi-nados materiais é transmitida às moléculas de ar sob a forma de ondas sonoras. Percebemos o som porque as ondas no ar, causadas por essa variação de pressão, chegam aos nossos ouvidos e fazem o tímpano vibrar. As vibrações são transfor-madas em impulsos nervosos, levadas até o cérebro e lá codificadas.

A analogia entre a compressão e a rarefação do ar ao transmitir as ondas sonoras pode ser vista ao brincarmos com uma mola, facilmente encontrada em lojas de brinquedos infantis. O nosso problema agora é quantificar a produção do som a partir desta variação de pressão. Uma maneira interes-sante de se fazer isso é mostrar como, num tubo tampado, a modificação da pressão interna que acontece quando ele é destampado, produz um som característico. Esse som pode ser observado num osciloscópio e registrado no computador, caso ele possua uma placa de som e um microfone. Qualquer dos programas anexos à placa de som é capaz de gravar e reproduzir esse som .

Uma nota musical é um som cuja freqüência de vibração encontra-se dentro do intervalo perceptível pelo ouvido huma-no e a música é a combinação, sob as mais diversas formas, de uma seqüência de notas em diferentes intervalos. Entre-tanto, uma mesma nota emitida por diferentes fontes (ou instrumentos musicais) podem ter a mesma freqüência e ainda assim soar de maneira diferente para quem ouve. Atu-almente o conhecimento dos princípios da acústica e a teoria da propagação das ondas é bastante bem conhecida e pode-se descrever com precisão todas as peculiaridades e caracte-rísticas associadas aos fenômenos acústicos. A teoria mate-mática que descreve fenômenos ondulatórios foi desenvolvida por Jean Baptiste Fourier no início do século XIX. Ela afirma que qualquer onda pode ser decomposta em uma combina-ção de ondas primitivas, todas elas com a forma de uma se-nóide. Vamos discutir esses dois aspectos mais na frente.

Descrevendo cientificamente um som

A forma de onda vista abaixo (Figura 1) possui a forma da função matemática conhecida como senóide. Podemos des-crever completamente essa função em termos da sua ampli-tude, comprimento de onda e freqüência.

Y – Amplitude da onda

X - Deslocamento da onda

A Figura 1 vai nos ajudar a definir praticamente todas as grandezas de que necessitamos para descrever os sons du-rante o resto do texto. O comprimento de onda é a grandeza

física que define o "tamanho do ciclo", ou seja, qual a distân-cia percorrida por um ciclo de onda até que ele volte a se repetir. Na nossa figura, um comprimento de onda é a distân-cia, no eixo horizontal, de 0 a 4, 4 a 8, 8 a 12 e assim por diante. Assim, dizemos que a nossa onda tem 4 unidades de comprimento de onda (que pode ser expresso em metros, centímetros ou qualquer outra unidade que você desejar). A amplitude é o afastamento da forma de onda da origem, na direção vertical Assim, a amplitude máxima na Figura 1 é de 10 unidades, quer para cima, quer para baixo. A freqüência descreve o número de vibrações por segundo, ou seja, quan-tos ciclos completos a onda percorre por segundo. A unidade que usaremos para descrever as freqüências é o Hertz (Hz). 1 Hz corresponde a um ciclo de vibração por segundo. Por exemplo, quando colocamos um diapasão em vibração, suas hastes vibrarão a uma freqüência de 440 Hz, ou 440 ciclos por segundo, correspondentes à nota musical Lá. Essa nota pode ser perfeitamente descrita pela sua freqüência (440 Hz), comprimento de onda (0,77 m) e uma amplitude que vai de-pender da energia utilizada para colocá-lo em vibração e que descreve a intensidade na variação de pressão.

Outra característica importante de uma onda, normalmen-te mencionada nos livros de Física de nível médio, é que ela transporta energia sem transportar matéria. Isso pode ser observado quando jogamos uma pedra numa piscina com água parada. Não há transporte das moléculas de água, mas observamos uma "perturbação" se propagando do ponto onde jogamos a pedra para todos os pontos na borda da piscina. Podemos ver que ela transporta energia, caso haja uma folha na superfície da água. Quando a perturbação passar pela folha, ela vai entrar em movimento (na direção vertical, atin-gindo o pico da onda, e depois descendo passando pelo "va-le" da onda), voltando ao repouso depois da passagem.

O Efeito Doppler

O nome efeito Doppler é uma referência ao físico austría-co Christian Johann Doppler, que o estudou e descreveu. Ele escreveu um artigo onde afirma que a frequência do som percebida por um observador depende do movimento relativo entre a fonte emissora do som e o observador. Esse fenôme-no pode ser escrito da seguinte forma:

Efeito Doppler



O efeito Doppler é a alteração da frequência sonora per-cebida pelo observador em virtude do movimento relativo de aproximação ou afastamento entre a fonte e o observador.

Um exemplo típico do efeito Doppler é o caso de uma am-bulância com a sirene ligada quando ela se aproxima ou se afasta de um observador. Quando ela se aproxima do obser-vador o som é mais agudo e quando ele se afasta o som é mais grave.

Esse é um fenômeno característico de qualquer propaga-ção ondulatória, e ele é muito mais presente no cotidiano do que pensamos.

O Efeito Doppler é utilizado para medir a velocidade de objetos através de ondas que são emitidas por aparelhos baseados em radiofrequência ou lasers como, por exemplo, os radares. Na astronomia esse fenômeno é utilizado para medir a velocidade relativa das estrelas e outros objetos ce-lestes em relação ao planeta Terra. E na medicina o efeito doppler é utilizado nos exames de ecocardiograma para medir a direção e a velocidade do fluxo sanguíneo ou do tecido cardíaco.

O efeito Doppler não ocorre somente com o som. Como foi dito, esse fenômeno é característico de propagações ondu-latórias, ou seja, é possível observar esse fenômeno com qualquer tipo de onda. Dessa forma, podemos observar o efeito Doppler com a luz, que também é uma onda. Para esse caso, o fenômeno do efeito Doppler se manifesta na mudança de cor que é percebida pelo observador, uma pessoa, por exemplo, que se aproxima de um sinal de trânsito que está vermelho, percebe a coloração vermelha mais intensa se ela estiver parada, pois a frequência de onda luminosa é maior do que quando a pessoa está em movimento.

ONDAS ELETROMAGNÉTICAS

As ondas eletromagnéticas são ondas formadas pela combinação dos campos magnético e elétrico que se propa-gam no espaço perpendicularmente um em relação ao outro e na direção de propagação da energia. James Clerk Maxwell, físico escocês, ficou conhecido por desenvolver o trabalho mais notável na área do eletromagnetismo no século XIX. Maxwell se apoiou nas leis experimentais que foram desco-bertas pelos célebres cientistas Coulomb, Ampère, Faraday e deu a essas teorias uma nova visão, estruturando um conjun-to de equações que resume todos os conhecimentos sobre o eletromagnetismo, as quais ficaram conhecidas como equa-ções de Maxwell .

Além de descrever o comportamento do campo elétrico e do campo magnético, as equações de Maxwell possibilitaram a previsão da existência das ondas eletromagnéticas, as quais são muito conhecidas e empregadas na ciência e na tecnologia. São ondas eletromagnéticas: as ondas de rádio, as micro-ondas, a radiação infravermelha, os raios X e raios gama e a luz visível ao olho humano.

As ondas de rádio são ondas eletromagnéticas utilizadas pelas emissoras de rádio e que possuem frequências que variam até cerca de108 hertz. Nas emissoras de rádio, existe um circuito elétrico que provoca a oscilação de elétrons na antena emissora, esses elétrons são acelerados e em decor-rência desse acontecimento emitem ondas de rádio que se propagam transportando informações da estação até a antena receptora que existe, por exemplo, no radinho de pilha do vovô. As emissoras de TV utilizam esse mesmo princípio para realizar suas transmissões, no entanto as ondas eletromagné-ticas que elas utilizam possuem frequências mais altas que as utilizadas pelas emissoras de rádio.

Por Marco Aurélio da Silva

Ressonância

Frequências naturais e Ressonância?

Qualquer objeto material tem uma ou mais frequências nas quais ele "gosta" de vibrar. Se for um objeto simples, como um pêndulo ou uma corda de violão, essa freqüência é bem definida e só há um modo fundamental.

Outros objetos mais complicados, como um tambor, uma mesa, um prédio ou até nossos corpos, podem vibrar em muitos modos, com muitas freqüências diferentes. Se você "tocar" uma mesa, dando-lhe um forte chute, ouvirá um som que é o resultado do conjunto de modos de vibração naturais da mesa.

Qualquer objeto material tem uma ou mais freqüências nas quais "gosta" de vibrar: são as freqüências naturais de vibração do objeto. Quando o objeto é "excitado" por algum agente externo em uma de suas freqüências naturais dá-se a ressonância: o objeto vibra nessa freqüência com amplitude máxima, só limitada pelos inevitáveis amortecimentos, se eles não forem suficientemente fortes a vibração pode ficar tão intensa que a objeto chega até a quebrar.

Agora que sabemos o que é ressonância vamos ver al-guns exemplos em que ela ocorre:

Uma criança em um balanço nunca ouviu falar em resso-nância mas sabe como usá-la. Num instantinho ela descobre qual é o momento certo de dobrar o corpo para aumentar a amplitude do movimento.

A ponte que caiu: Conta a lenda que um regimento de Na-poleão entrou marchando em uma ponte e a freqüência do compasso da marcha, por azar, coincidiu com a freqüência natural de vibração da ponte. Deu-se a ressonância, a ponte passou a oscilar com grande amplitude e desabou. A partir desse desastre os soldados passaram a quebrar o passo sempre que atravessam alguma ponte.

Esse caso pode ser só lenda, mas, uma ponte nos Esta-dos Unidos desabou quando entrou em ressonância com o vento. A ponte sobre o Estreito de Tacoma, logo após ser liberada ao tráfego, começou a balançar sempre que o vento soprava um pouco mais forte. No dia 7 de Novembro de 1940 aconteceu a ressonância. Inicialmente, a ponte começou a vibrar em modos longitudinais, isto é, ao longo de seu com-primento. Até aí, tudo bem. Mas, logo apareceram os chama-dos "modos torsionais", nos quais a ponte balançava para os lados, se torcendo toda. Na ressonância, a amplitude desses modos torsionais aumentou de tal forma que a ponte desa-bou.

3. Óptica geométrica: reflexão e refração da luz.

CONCEITO DE ÓPTICA

Óptica é a parte da Física que estuda os fenômenos que têm a luz como causador.

LUZ

Pode-se conceituar a luz como ondas eletromagnéticas que são capazes de sensibilizar nossos órgãos visuais. Pro-paga-se no vácuo à velocidade de aproximadamente 300.000 km/s.

RAIO DE LUZ

É a linha que representa o trajeto seguido pela luz. A idéia de raio de luz é teórica, uma vez que não tem existência física real.



FEIXE LUMINOSO

E o conjunto de raios luminosos no qual a abertura angu-lar é relativamente grande.

Podem ser de três tipos:

a) Cônico Convergente: Os raios de luz conver-gem para um único pon-to.

b) Cônico Divergente: Os raios de luz divergem a partir de um dado ponto.

c) Cilíndrico: Os raios de luz são paralelos entre si.

FONTES DE LUZ

E considerado fonte de luz qualquer corpo capaz de emitir luz.

Estas fontes são classificadas em:

a) Fontes Primárias: São os corpos que emitem “luz pró-pria”, ou seja, transformam algum tipo de energia em e-nergia luminosa.

Exemplos: Sol, estrelas, lâmpada elétrica, chama de uma vela, luz emitida pelo vaga-lume.

b) Fontes Secundárias : São os corpos que não pos-suem “luz própria”, reemitindo a luz recebida de outro corpo. Exemplos: Lua, paredes, esta folha de papel.

MEIOS DE PROPAGAÇÃO

São os meios por onde a luz pode se propagar.

a) Meio Transparente: E todo meio que permite a propaga-ção da luz de forma regular, possibilitando a visualização nítida dos objetos.

Exemplos: vidro hialino, ar, pequenas camadas de água, etc.

b) Meio Translúcido: É todo meio que permite a propagação da luz de forma irregular, impossibilitando a visão nítida dos objetos, ou seja, permite apenas visualizar seus con-tornos.

Exemplos: vidro fosco, papel de seda, etc.

c) Meio Opaco: É qualquer meio que não permite a propa-gação da luz através dele próprio, o que impossibilita a vi-sualização dos objetos.

Exemplos: madeira, parede de concreto, etc.

FENÔMENOS ÓPTICOS

São os fenômenos que ocorrem com a luz quando esta entra em contato com urna fronteira que separa dois meios de propagação. Estes fenômenos são:

a) Reflexão: Ocorre quando a luz incide em uma fronteira e retorna ao mesmo meio de propagação.

A Reflexão Especular ocorre quando a luz incide em uma fronteira perfeitamente polida e retorna ao mesmo meio de forma regular. E o tipo de reflexão que permite a formação de imagens em espelhos.

b) A Reflexão Difusa ocorre quando a luz incide em uma superfície não polida (que apresenta saliências), retornan-do ao mesmo meio de forma irregular. E o tipo de reflexão que permite a visualização dos objetos.

c) Refração: Ocorre quando a luz incide em uma superfície e, ao passar para outro meio, sofre, em geral, desvio em sua trajetória.

d) Absorção: Ocorre quando a luz incide em uma superfície e é transformada em energia térmica.

ÓPTICA GEOMÉTRICA: LENTES E ESPELHOS. FOR-MAÇÃO DE IMAGENS.

PRINCÍPIOS DA ÓPTICA GEOMÉTRICA

Os fenômenos ligados à propagação da luz são estudados seguindo-se três princípios:

Princípio da Propagação Retilínea da Luz

“Nos meios transparentes e homogêneos, a luz propaga-se em linha reta”.

Este principio evidencia os fenômenos de formação de sombra e do eclipse.

Principio da Independência dos Raios de Luz

“Os raios luminosos, ao se cruzarem, não interferem uns sobre as propagações dos outros”.

Os raios de luz, não tendo existência física real, não po-dem chocar-se, e nem desviar suas trajetórias.



Princípio da Reversibilidade dos raios de Luz

“Se um raio de luz executa um determinado caminho, ou-tro raio luminoso pode executar o mesmo caminho em sentido contrario

Este princípio pode ser evidenciado quando tomamos du-as pessoas (A e B) na frente de um espelho plano. Quando o observador A olha o espelho, consegue ver o observador B, pois os raios de luz que incidem em B, refletem-se no espelho e atingem os olhos de A. Mas o observador B também conse-gue ver o observador A através dos raios de luz que fazem o caminho contrário.

Espelhos Planos

Os Espelhos Planos são superfícies planas e perfeitamen-te polidas onde há predominância do fenômeno de reflexão.

ELEMENTOS ÓPTICOS

Ponto Objeto Real (P.O.R.): É o ponto de onde divergem os raios luminosos (feixe diver-gente).

Ponto Objeto Virtual (P.O.V.): É o ponto para onde convergem os rai-os luminosos. (feixe convergente).

Ponto Imagem Real (P.I.R.): É o ponto para onde convergem os rai-os luminosos.

Ponto Imagem Virtual (P.I.V.): É o ponto de onde divergem os raios luminosos.

LEIS DA REFLEXÃO

O fenômeno de reflexão da luz segue duas leis:

1.ª Lei da Reflexão: “O raio de luz incidente (i), a reta normal ao ponto de incidência (N) e o raio de luz refletido (r) pertencem ao mesmo plano (plano de incidência da luz)”.

2.ª Lei da Reflexão: “O ângulo de incidência O e o ângulo de reflexão O têm o mesmo valor em relação à reta normal (N)”.

FORMAÇÃO DE IMAGENS EM ESPELHOS PLANOS

Os espelhos planos apresentam as seguintes característi-cas na formação de suas imagens:

Para um objeto real a imagem é virtual, e vice-versa.

Objeto e imagem são simétricos, ou seja, possuem mesmo tamanho e igual distância à superfície refletora.

Para objetos em movimento, a velocidade do objeto em rela-ção ao espelho é igual à velocidade da imagem. Se um objeto se aproxima do espelho com velocidade v, a veloci-dade de aproximação da imagem em relação ao espelho é a mesma, em módulo.

A imagem é sempre revertida em relação ao objeto. Se um observador levantar a mão direita na frente de um espe-lho, sua imagem “levantará” a mão esquerda.

ESPELHOS ANGULARES

Quando uni objeto é colocado no plano bissetor de dois espelhos planos, o número de imagens obtido depende do ângulo formado entre estes espelhos e é dado por:

1360N −θ

°= onde:

N = número de imagens formadas;

θ = ângulo entre os espelhos.

ESPELHOS ESFÉRICOS

CLASSIFICAÇÃO DOS ESPELHOS ESFÉRICOS

É denominado espelho esférico qualquer calota esférica que apresente uma superfície refletora.

Os espelhos côncavos são aqueles onde a superfície re-fletora é interna, ç os espelhos. convexos são os que possu-em superfície refletora externa.



ELEMENTOS DOS ESPELHOS ESFÉRICOS

Vértice (V) : pólo da cabia esférica.

Centro de Curvatura (C) centro da esfera que originou o espe-lho.

Raio de Çurvatura (R) E o raio da esfera que originou o espe-lho.

Eixo Principal (P) Reta que passa pelo centro de curvatura e pelo vértice.

Foco (F) É o ponto localizado no ponto médio do segmento CV.

Distância Focal (O Segmento FV.

RAIOS NOTÁVEIS

São raios especiais que podemos utilizar para formar gra-ficamente as imagens.

O raio que incide no espelho paralelamente ao eixo principal, reflete-se passando pelo foco.

O raio que incide no espelho passando anteriormente pelo centro de curvatura, reflete-se voltando sobre si mesmo.

O raio que incide no vértice do espelho, reflete-se com ângulo de incidência igual ao de reflexão. em relação ao eixo principal.

CONSTRUÇÃO DE IMAGENS

Usualmente, os dois primeiros raios notáveis são utiliza-dos.

Exemplo: Determinar geometricamente a imagem obtida para o objeto colocado antes do cento de curvatura do espe-lho côncavo. A imagem é obtida no ponto de encontro dos raios refletidos.

Análise qualitativa das características da imagem:

Natureza: Imagem real (forma-se na frente do espelho, atrás do espelho seria virtual).

Tamanho: Menor que o objeto. (o tamanho é determinado fazendo-se a comparação com o objeto).

Orientação: Invertida (forma-se abaixo do eixo principal, se a formação da imagem fosse acima do eixo, esta seria direi-ta).

ESTUDO ANALÍTICO DOS ESPELHOS PLANOS

O estudo analítico dos espelhos esféricos consiste em es-tabelecer equações que permitam obter as características da imagem quantitativamente.

E necessário estabelecer uma convenção de sinais para abcissas e ordenadas, de modo a caracterizar a Natureza, o Tamanho, a Orientação e a Posição da imagem.

Para isto utiliza-se o Referencial de Gauss:

De acordo com esse referencial, as abcissas positivas en-contram-se à esquerda do espelho (na frente), e as negativas à direita (atrás).

Com relação às ordenadas, estas são positivas quando encontram-se acima do eixo principal. e negativas quando abaixo deste.

A partir desta convenção pode-se determinar as caracte-rísticas da imagem da seguinte forma:

Adotando-se a convenção:

p = abcissa do objeto;

p’ = abcissa da imagem;

o = tamanho do objeto;

i = tamanho da imagem, temos:



Natureza:

• Objeto real: p > 0

• Imagem real: p > 0

• Imagem virtual: p < 0

Orientação:

tem sinal positivo

i e o têm o mesmo sinal: Imagem Direita

i e o têm sinais diferentes: Imagem Invertida

Apesar de pouco usual, podemos considerar o objeto co-mo colocado abaixo do eixo principal ( o negativo), e o racio-cínio se inverte.

Tipo de espelho:

Espelhos côncavos possuem focos positivos ( f > 0)

Espelhos convexos possuem focos negativos (f < 0)

EQUAÇÃO DE GAUSS

Para um objeto disposto perpendicularmente ao eixo prin-cipal, esta equação relaciona as abcissas do objeto e da ima-gem com a distância focal.

'p1

p1

f1 += onde:

f = distância focal;

p = abcissa do objeto;

p’ = abcissa da imagem.

3.1 Instrumentos ópticos: características e a-plicações.

INSTRUMENTOS ÓPTICOS

Introdução

Os instrumentos ópticos são instrumentos bem comuns, em nosso cotidiano, a lupa, a luneta, o microscópio são e-xemplos bem conhecimentos. A classificação dos instrumen-tos ópticos é feita com base no tipo de imagem final que pro-duzem.

CLASSIFICAÇÃO DOS INSTRUMENTOS ÓPTICOS

a) Instrumentos de Observação

Os chamados instrumentos de observação produzem uma imagem final virtual, observada diretamente pelo operador do instrumento. Exemplos: Lupa, Luneta astronômica e o micros-cópio composto.

LUPA

Para observar com mais detalhes pequenos objetos ou áreas de uma superfície, utilizamos a lupa. É um instrumento de ampliação composto de uma lente convergente que nos fornece uma imagem virtual, direita e maior que o objeto real. A lupa também é chamada de microscópio simples.

LUNETA ASTRONÔMICA

Utilizamos a luneta astronômica para observar os astros. A olho nu, obviamente não conseguimos vê-los em maiores detalhes porque desse modo o nosso ângulo visual é muito pequeno. E a função da luneta é justamente a de produzir um aumento visual na observação dos astros.

A luneta contém duas lentes convergentes: a objetiva, de grande distância focal, que proporciona uma imagem real e invertida do astro observado; e a ocular, que nos fornece uma imagem final virtual e invertida do objeto.

Definimos o aumento visual obtido com a luneta pela rela-ção entre a distância focal da objetiva e a distância focal da ocular:

MICROSCÓPIO COMPOSTO

Um microscópio composto serve para a observação de regiões minúsculas cujos detalhes não podem ser distinguidos a olho nu. Ele é composto basicamente de duas lentes con-vergentes, ambas de pequena distância focal: a objetiva, que fornece uma imagem real, invertida e ampliada do objeto focalizado, e a ocular, que fornece uma imagem final virtual, direita e ampliada em relação à imagem do objetiva, mas inversa em relação ao objeto.

b) Instrumentos de Projeção

Os instrumentos de projeção produzem uma imagem final real, que pode ser projetada em um anteparo qualquer. E-xemplos: câmara fotográfica, episcópio e o projetor de slides.

CÂMARA FOTOGRÁFICA

A câmara fotográfica é constituída por uma lente conver-gente que deve projetar, de um objeto real, uma imagem real exatamente sobre o filme.

Como os objetos fotografados estão normalmente a uma distância bem maior do que a distância focal da objetiva da câmara, a imagem se forma, praticamente, no plano focal imagem da lente. Quando a imagem se forma antes ou depois do filme, obtém-se uma foto sem nitidez (fora de foco). O ajuste do foco é feito com o deslocamento da posição da lente.

PROJETOR DE SLIDES

O projetor de slides tem funcionamento inverso ao da má-quina fotográfica. A lente convergente conjuga, para um pe-queno slide bem iluminado, uma imagem real, ampliada e projetada sobre um anteparo.

TESTES DE FÍSICA

PROVA SIMULADA I

Exercícios sobre cinemática vetorial 01. Em que movimentos permanece constante: a) o módulo da velocidade vetorial; b) a direção de velocidade vetorial; c) a velocidade vetorial.

Testes: 02. (FATEC) Um automóvel percorre 6,0km para o norte e, em seguida 8,0km para o leste. A intensidade do vetor posi-ção, em relação ao ponto de partida é: a) 10 km b) 14 km c) 2,0 km d) 12 km e) 8,0 km



03. Considere uma partícula descrevendo uma trajetória circu-lar. O vetor posição associado ao movimento da partícula: a) será constante; b) terá módulo necessariamente constante; c) somente terá módulo constante se a origem do sistema de coordenada for o centro da circunferência; d) somente terá módulo constante se a origem do sistema de coordenadas pertencer a uma reta normal ao plano da trajetó-ria e passando pelo centro da circunferência descrita; e) será nulo. 04. (OSEC) Um móvel percorre uma trajetória circular de 1,00 metro de raio. Após percorrer um quarto de circunferência, o deslocamento do móvel é, aproximadamente: a) 1,00m b) 1,41m c) 3,14m d) 6,28m e) n.d.a. 05. (MACKENZIE) Um corpo é atirado verticalmente para cima a partir do solo com velocidade inicial de módulo 50 m/s. O módulo de sua velocidade vetorial média entre o instante de lançamento e o instante em que retorna ao solo é: a) 50 m/s b) 25 m/s c) 5,0 m/s d) 2,5 m/s e) zero 06. (PUC - RS) As informações a seguir referem-se a um movimento retilíneo realizado por um objeto qualquer. I. A velocidade vetorial pode mudar de sentido. II. A velocidade vetorial tem sempre módulo constante. III. A velocidade vetorial tem direção constante. A alternativa que representa corretamente o movimento retilí-neo é: a) I, II e III b) Somente III c) Somente II d) II e III e) I e III 07. Considere uma partícula em movimento. A respeito de sua velocidade vetorial (instantânea) assinale a opção falsa: a) tem direção sempre tangente à trajetória; b) tem sentido sempre concordante com o sentido do movi-mento; c) tem intensidade sempre igual ao valor absoluto da veloci-dade escalar (instantânea); d) somente é constante se o movimento for retilíneo e uni-forme; e) é constante no movimento circular e uniforme. 08. Considere uma partícula em movimento circular e unifor-me. Assinale a opção falsa: a) a velocidade escalar é constante; b) a velocidade vetorial tem módulo igual ao da velocidade escalar; c) a velocidade vetorial tem módulo constante; d) a velocidade vetorial é variável; e) a velocidade vetorial média e a velocidade escalar média têm módulos iguais. 09. Em um movimento com trajetória retilínea podemos afir-mar: a) a aceleração tangencial será nula; b) a aceleração tangencial terá mesmo sentido da velocidade vetorial; c) a aceleração tangencial terá sempre o mesmo sentido;

d) a aceleração tangencial, suposta não nula, terá sempre a mesma direção; e) a aceleração tangencial será constante. 10. (UFPA) Uma partícula percorre, com movimento uniforme, uma trajetória não retilínea. Em cada instante teremos que: a) Os vetores velocidade e aceleração são paralelos entre si; b) A velocidade vetorial é nula; c) Os vetores velocidade e aceleração são perpendiculares entre si; d) Os vetores velocidade a aceleração têm direções indepen-dentes; e) O valor do ângulo entre o vetor velocidade e o vetor acele-ração muda de ponto a ponto. Resolução: 01 - a) O módulo da velocidade vetorial é igual ao da veloci-dade escalar e será constante se o movimento for uniforme. b) A velocidade vetorial terá direção constante se a trajetória for retilínea. c) Para a velocidade vetorial ser constante ela deve ser todas as suas características constantes e, portanto, o movimento deverá ser retilíneo e uniforme. 02 - A 03 - D 04 - B 05 - E 06 - E 07 - E 08 - E 09 - D 10 - C

PROVA SIMULADA II

Exercícios sobre composição de movimentos 01. (FEI) Um vagão está animado de velocidade cujo módulo é V, relativa ao solo. Um passageiro, situado no interior do vagão move-se com a mesma velocidade, em módulo, com relação ao vagão. Podemos afirmar que o módulo da veloci-dade do passageiro, relativa ao solo, é: a) certamente menor que V; b) certamente igual a V; c) certamente maior que V; d) um valor qualquer dentro do intervalo fechado de 0 a 2V; e) n.d.a. 02. A lei de movimento de uma partícula, relativamente a um referencial cartesiano, é dada pelas equações x= 2,0t2 e y = 1,0t2 + 1,0 um unidades do SI. A trajetória da partícula é uma: a) circunferência b) elipse c) hipérbole d) parábola e) reta 03. (UNITAU) A trajetória descrita por um ponto material P e a equação horária da projeção horizontal de P, num sistema de coordenadas cartesiano ortogonal Oxy, expressas em unida-des do sistema internacional, são respectivamente: y = 0,125x2 e x = 6,0t, onde x e y são coordenadas de P e t é tempo. A velocidade de P segundo Ox e a aceleração de P segundo Oy, em unidades do sistema internacional, têm den-sidades iguais a: a) 4,5 e 6,0



b) 6,0 e 9,0 c) 3,0 e 9,8 d) 6,0 e 4,5 e) 3,0 e 9,0 04. Um saveiro, com motor a toda potência, sobe o rio a 16 km/h e desce a 30 km/h, velocidades essas, medidas em relação às margens do rio. Sabe-se que tanto subindo como descendo, o saveiro tinha velocidade relativa de mesmo mó-dulo, e as águas do rio tinham velocidade constante V. Nesse caso, V, em km/h é igual a: a) 7,0 b) 10 c) 14 d) 20 e) 28 05. Um homem rema um barco com velocidade de 5,00 km/h na ausência de correnteza. Quanto tempo ele gasta para remar 3,00 km rio abaixo e voltar ao ponto de partida num dia em que a velocidade da correnteza é de 1,0 km/h? a) 1,25 h b) 1,20 h c) 1,15 h d) 1,10 h e) 1,00 h 06. (VUNESP) Gotas de chuva que caem com velocidade v = 20 m/s , são vistas através da minha vidraça formando um ângulo de 30° com a vertical, vindo da esquerda para a direi-ta. Quatro automóveis estão passando pela minha rua com velocidade de módulos e sentidos indicados. Qual dos moto-ristas vê, através do vidro lateral, a chuva caindo na vertical?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) nenhum deles vê a chuva na vertical. 07. Um barco pode atravessar um rio de largura constante, de modo que o tempo de trajeto seja o mínimo possível. Para tanto: a) o barco deve ser disposto em relação à correnteza de modo que o percurso seja o mínimo possível; b) o barco deve ser disposto de modo que a sua velocidade em relação às margens seja a máxima possível; c) o barco deve ser disposto de modo que sua velocidade resultante em relação às margens seja perpendicular à cor-renteza; d) o barco deve ser disposto de modo que sua velocidade própria (velocidade relativa às águas) seja perpendicular à correnteza; e) n.d.a. 08. (SANTA CASA) Um automóvel percorre um trecho retilí-neo de uma estrada mantendo constante sua velocidade escalar linear. O ponto de contato entre um pneu e a estra-da: a) tem velocidade nula em relação à estrada; b) tem velocidade nula em relação ao automóvel; c) está em repouso em relação à qualquer ponto do pneu;

d) executa movimento circular e uniforme em relação à estrada; e) tem a mesma velocidade linear do centro da roda, em relação à estrada. 09. (UNIP) Considere um automóvel com velocidade constan-te em uma estrada reta em um plano horizontal. No pneu do automóvel estão desenhados quatro patinhos. Quando o automóvel passa diante de um observador parado à beira da estrada, este tira uma fotografia do pneu.

Na figura representamos o pneu no instante da fotografia e os quatro patinhos ocupam as posições A, B, C e D. A respeito da nitidez dos patinhos na foto podemos afirmar que: a) O patinho C é o mais nítido e o patinho A é menos nítido. b) Todos os patinhos são igualmente nítidos. c) Todos os patinhos têm nitidez diferente. d) O patinho A é o mais nítido. e) O patinho D é o menos nítido. 10. A figura mostra uma roda que rola sem deslizar sobre o solo plano e horizontal.

Se o eixo da roda se translada com velocidade constante de intensidade 50 m/s, que alternativa apresenta os valores mais próximos das intensidades das velocidades dos pontos A, B e C em relação ao solo, no instante considerado? ponto A ponto B ponto C a) 50 m/s 50 m/s 50 m/s b) zero 70 m/s 100 m/s c) zero 50 m/s 100 m/s d) 25 m/s 30 m/s 50 m/s e) 100 m/s 100 m/s 100 m/s Resolução: 01 - D 02 - E 03 - B 04 - A 05 - A 06 - C 07 - D 08 - A 09 - A 10 - B

PROVA SIMULADA III

Exercícios sobre fundamentos da cinemática escalar 01. Você é um ponto material? Exemplifique.



Testes: 02. Considere um ponto na superfície lunar. A trajetória desse ponto será: a) circular; b) elíptica; c) retilínea; d) depende do referencial adotado; e) n.d.a. Texto para as questões 03 e 04 O esquema a seguir representa o perfil de uma estrada, que vai ser percorrida por um carro.

O ponto A corresponde ao marco zero da estrada e é adotado como origem dos espaços. A convenção de sinais para a medida do espaço é indicada no desenho (de A para F). A medida dos arcos entre os pontos sucessivos é sempre de 50 km (AB = BC = CD = DE = EF = 50km). No instante t = 0, denominado origem dos tempos, o carro inicia seu movimen-to, obedecendo a seguinte lei horária: s = 50 + 50t 2 (t em h; s em km) . Depois de uma hora de viagem, o movimento do carro passou a obedecer a seguinte lei horária: s = 100t (t em h; s em km). Nota: o tempo t é medido desde a partida do carro. 03. Após meia hora do início da viagem o carro se encontra em uma posição na estrada entre: a) o quilômetro 12 e o quilômetro 13; b) o quilômetro 50 e o quilômetro 60; c) o quilômetro 62 e o quilômetro 63; d) o quilômetro 0 e o quilômetro 1; e) o quilômetro 30 e o quilômetro 31. 04. O carro passa pelo ponto E da estrada após um tempo de viagem de: a) 1,0h b) 2,0h c) 3,0h d) 4,0h e) 5,0h Texto para as questões 05 e 06 Consideremos um ponto material em trajetória retilínea e cuja equação horária é dada por: s = 1,0 t3-1,0 t (SI) 05. Admitindo que o movimento estudado tenha seu início no instante t = 0 podemos afirmar que o móvel vai estar na ori-gem dos espaços: a) apenas no instante t = 1,0s b) em dois instantes c) em três instantes d) em nenhum instante e) n.d.a. 06. A velocidade escalar média entre os instantes t = 0 e t = 2,0s: a) 3,0 b) zero c) 6,0

d) 1,0 e) -3,0 Texto para as questões 07 e 08 Consideremos um ponto material em trajetória retilínea e cuja equação horária é dada por: s = 1,0 t3-1,0 t (SI) 07. A velocidade escalar instantânea em função do tempo será expressa, em unidades do SI, por: a) v = 1,0 t3 - 1,0 t b) v = 3,0 t2 - 1,0 c) v = 6,0 t d) v = 0 e) v = 3,0 t2 08. O espaço inicial e a velocidade escalar inicial, em unida-des SI, valem respectivamente: a) 0 e 0 b) 0 e -1,0 c) 2,0 e 2,0 d) -1,0 e 0 e) -2,0 e -2,0 09. O movimento de um ponto material obedece à função horária: s = -1,0t 2 + 2,0t, sendo s medido em metros e t em segundos. No instante t = 2,0s, o movimento é: a) progressivo e retardado; b) retrógrado e acelerado; c) progressivo e acelerado; d) retrógrado e retardado; e) uniforme. 10. Um ponto material move-se em trajetória retilínea obede-cendo à função horária s = 6,0 - 2,0t + 1,0t 2, ondes é o espa-ço e t é o tempo em unidades SI. Podemos afirmar que: a) o movimento é sempre progressivo; b) o movimento é sempre retrógrado; c) o movimento é retrógrado até o instante t = 1,0 segundo e progressivo a partir deste instante; d) o movimento é retrógrado até o instante t = 6,0 segun-dos e progressivo a partir deste instante; e) n.d.a. Resolução: 01 - Depende das distâncias envolvidas no movimento reali-zado. Uma pessoa é considerada um ponto material quando vai a pé de sua residência ao seu local de trabalho, suposto distante. A mesma pessoa deixa de ser um ponto materi-al quando está fazendo ginástica, pois os deslocamentos realizados, quando se faz ginástica, são de mesma ordem de grandeza das dimensões da pessoa. 02 - D 03 - C 04 - B 05 - B 06 - A 07 - B 08 - B 09 - B 10 - C

PROVA SIMULADA IV

Exercícios sobre vetores 01. Um projétil é lançado com uma velocidade de módulo 20 m/s e formando com o plano horizontal um ângulo de 60°. Calcule os componentes horizontal e vertical da velocidade.



02. (INATEL) Dois corpos A e B se deslocam segundo trajetó-ria perpendiculares, com velocidades constantes, conforme está ilustrado na figura adiante.

As velocidades dos corpos medidas por um observador fixo têm intensidades iguais a: VA = 5,0 (m/s) e VB = 12 (m/s). Quanto mede a velocidade do corpo A em relação ao corpo B?

Testes: 03. (UnB) São grandezas escalares todas as quantidades físicas a seguir, EXCETO: a) massa do átomo de hidrogênio; b) intervalo de tempo entre dois eclipses solares; c) peso de um corpo; d) densidade de uma liga de ferro; e) n.d.a. 04. (UEPG - PR) Quando dizemos que a velocidade de uma bola é de 20 m/s, horizontal e para a direita, estamos definin-do a velocidade como uma grandeza: a) escalar b) algébrica c) linear d) vetorial e) n.d.a. 05. (UFAL) Considere as grandezas físicas: I. Velocidade II. Temperatura III. Quantidade de movimento IV. Deslocamento V. Força Destas, a grandeza escalar é: a) I b) II c) III d) IV e) V 06. (CESGRANRIO) Das grandezas citadas nas opções a seguir assinale aquela que é de natureza vetorial: a) pressão b) força eletromotriz c) corrente elétrica d) campo elétrico e) trabalho 07. (FESP) Num corpo estão aplicadas apenas duas forças de intensidades 12N e 8,0N. Uma possível intensidade da resultante será: a) 22N b) 3,0N c) 10N d) zero e) 21N

08. (FUND. CARLOS CHAGAS) O módulo da resultante de duas forças de módulos F1 = 6kgf e F2 = 8kgf que for-mam entre si um ângulo de 90 graus vale: a) 2kgf b) 10kgf c) 14kgf d) 28kgf e) 100kgf 09. (UFAL) Uma partícula está sob ação das forças coplana-res conforme o esquema abaixo. A resultante delas é uma força, de intensidade, em N, igual a:

a) 110 b) 70 c) 60 d) 50 e) 30 10. (ACAFE) Os módulos das forças representadas na figura são F1 = 30N, F2 = 20 N e F3 = 10N. Determine o módulo da força resultante:

a) 14,2 N b) 18,6 N c) 25,0 N d) 21,3 N e) 28,1 N Resolução: 01 - Vx = 10m/s

02 - 13 m/s 03 - C 04 - D 05 - B 06 - D 07 - C 08 - B 09 - D 10 - D

PROVA SIMULADA V

Exercícios sobre lançamento de projéteis



01. Um projétil é lançado com velocidade inicial de intensida-de igual a 50 m/s. A trajetória faz na origem um ângulo de 37° com a horizontal. As intensidades da velocidade e da acelera-ção no ponto mais alto da trajetória são: Dados: sen 37° = 0,60; cos 37° = 0,80; g = 10 m/s 2 Despreza-se o efeito do ar. a) v = 40 m/s; a = zero; b) v = zero; a = zero; c) v = 40 m/s; a = 10 m/s2; d) v = 30 m/s; a = zero; e) v = zero; a = 10 m/s2. 02. Em um local onde o efeito do ar é desprezível e g = 10 m/s2 um nadador salta de um trampolim de 12m de altura e atinge a água a uma distância de 6,0 m, medida horizontal-mente da borda do trampolim, em um intervalo de tempo de 2,0s. A velocidade do nadador no instante do salto tem inten-sidade igual a: a) 3,0 m/s b) 4,0 m/s c) 1,0 m/s d) 5,0 m/s e) 7,0 m/s 03. (UECE) Num lugar em que g = 10 m/s2, lançamos um projétil com a velocidade de 100 m/s e formando com a horizontal um ângulo de elevação de 30°. A altura máxima será atingida após: a) 3s b) 4s c) 5s d) 10s e) 15s 04. (FEI) Um projétil é lançado a partir do solo, com velocida-de de intensidade v0 = 100 m/s. Quando retorna ao solo, sua distância ao ponto de lançamento (alcance) é de 1000 m. A menor velocidade do projétil durante seu movimento é apro-ximadamente: a) zero; b) 100 m/s c) 87 m/s d) 70 m/s e) 50 m/s 05. Ganhou destaque no voleibol brasileiro a jogada denomi-nada "jornada nas estrelas", na qual a bola arremessada de um lado da quadra sobe cerca de 20 m de altura antes de chegar ao adversário do outro lado. Quanto tempo, em se-gundos, a bola permanece no ar? Adote g = 10 m/s2 e não considere o efeito do ar. a) 20 b) 10 c) 5,0 d) 4,0 e) 2,0 06. No exato instante em que o revólver é acionado, no es-quema da figura, a pessoa inicia uma queda livre vertical a partir do repouso. Desprezando-se resistência e empuxo do ar, considerando o campo de gravidade uniforme e desejan-do-se que o projétil atinja o coração da pessoa, escolha a posição conveniente para o cano do revólver:

a) I b) II c) III d) IV e) V 07. (UNIP) Um atirador aponta um fuzil diretamente para um pequeno pássaro parado no alto de uma árvore.

Não se considera afeito do ar e admite-se o campo de gravi-dade uniforme. No exato instante em que o projétil é dispara-do, o pássaro inicia um movimento de queda livre, a partir do repouso. Supondo que o alcance horizontal do projétil seja maior que D, assinale a opção correta: a) a trajetória do projétil será retilínea e ele passará acima do pássaro; b) a trajetória do projétil será parabólica (em relação ao solo) e o projétil certamente atingirá o pássaro; c) a trajetória do projétil será parabólica (em relação ao solo) e o projétil passará abaixo do pássaro; d) a trajetória do projétil será parabólica (em relação ao solo) e o projétil passará acima do pássaro; e) a trajetória do projétil será parabólica (em relação ao solo) e o projétil não atingirá o pássaro. 08. (UNIP) Em uma região onde o efeito do ar é desprezível e o campo de gravidade é uniforme, dois projéteis A e B são lançados a partir de uma mesma posição de um plano hori-zontal. O intervalo de tempo decorrido, desde o lançamento até o retorno ao solo horizontal, é chamado de tempo de vôo.



Sabendo que os projéteis A e B atingem a mesma altura má-xima H e foram lançados no mesmo instante, podemos con-cluir que: a) os projéteis foram lançados com velocidades de mesma intensidade; b) as velocidades dos projéteis no ponto mais alto da trajetó-ria são iguais; c) os ângulos de tiro (ângulo entre a velocidade de lançamen-to e o plano horizontal) são complementares; d) a cada instante os projéteis A e B estavam na mesma altura e o tempo de vôo é o mesmo para os dois; e) durante o vôo, os projéteis têm aceleração diferentes. 09. (CESGRANRIO) Para bombardear um alvo, um avião em vôo horizontal a uma altitude de 2,0 km solta uma bom-ba quando a sua distância horizontal até o alvo é de 4,0 km. Admite-se que a resistência do ar seja desprezível. Para atin-gir o mesmo alvo, se o avião voasse com a mesma velocida-de, mas agora a uma altitude de apenas 0,50 km, ele teria que soltar a bomba a uma distância horizontal do alvo igual a: a) 0,25 km b) 0,50 km c) 1,0 km d) 1,5 km e) 2,0 km 10. (ITA) Um avião de bombardeio voa a uma altitude de 320 m com uma velocidade de 70 m/s e surpreende uma lancha torpedeira viajando a 20 m/s na mesma direção e sentido do avião. A que distância horizontal atrás da lancha o avião deve lançar a bomba para atingi-la? Adote g = 10m . s-2. a) 560 m b) 160 m c) 400 m d) 2 100 m e) 600 m Resolução: 01 - C 02 - D 03 - C 04 - D 05 - D 06 - C 07 - B 08 - D 09 - E 10 - C

PROVA SIMULADA VI

Exercícios sobre movimento uniforme 01. A luz solar gasta 5,0 . 102 s para chegar à Terra. O diâme-tro do Sol é da ordem de 1,4 . 106 km. Seja 10n a ordem de grandeza do número de corpos idênticos ao Sol que cabem no espaço entre o Sol e a Terra, com centros na reta que una o centro do Sol ao centro da Terra. O valor de n é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 10 02. Abaixo estão representados, exatamente como foram obtidos, 5 pedaços de fita, marcados por uma "campainha" que os fere periodicamente e com uma freqüência constante. Estas fitas foram puxadas pela mão, no sentido assinalado, representando, portanto, a velocidade da mão do observador.

Qual das fitas representa, no intervalo de tempo considerado (10 tiques), o movimento que tem velocidade escalar média maior? a) I b) II c) III d) IV e) V 03. (FUND. CARLOS CHAGAS) Um trem de 200m de com-primento, com velocidade escalar constante de 60 km/h, gasta 36s para atravessar completamente uma ponte. A extensão da ponte, em metros, é de: a) 200 b) 400 c) 500 d) 600 e) 800 Para as questões 04 e 05 Dois pontos materiais A e B caminham sobre uma mesma reta e no mesmo sentido. na origem dos tempos a distância entre os pontos é de 5,0 km. A velocidade escalar de A é de 80 km/h e a velocidade escalar de B é de 60 km/h, mantidas constantes.

04. A velocidade escalar de A relativa a B é igual a: a) zero; b) 80 km/h; c) -20 km/h d) 20 km/h e) -80 km/h



05. A encontra B: a) no instante t = 15 h; b) no instante t = 15 min; c) no instante t = 1/4 min; d) nunca e) n.d.a Para as questões 06 e 07 Dois pontos materiais A e B caminham sobre uma mesma reta e no mesmo sentido. na origem dos tempos a distância entre os pontos é de 5,0 km. A velocidade escalar de A é de 80 km/h e a velocidade escalar de B é de 60 km/h, mantidas constantes.

06. A função horária que descreve o movimento de B, relativo a A para s em km e t em h, é representada por: a) s = 5,0 - 20t b) s = 5,0 + 20 t c) s = 20t d) s = -20t e) n.d.a. 07. A função horária que descreve o movimento de A, relativo a B para s em km e t em h, é representada por: a) s = -5,0 - 20t b) s = 5,0 + 20 t c) s = 20t - 5,0 d) s = -20t e) n.d.a. 08. Considere dois trens T1 e T2 caminhando em linhas fér-reas retilíneas e paralelas com velocidades de intensidade V1 = 36 km/h e V2 = 72 km/h, em sentidos opostos. Um obser-vador O1 está no trem T1 e nota que a passagem de T2, diante de sua janela, durou um intervalo de tempo de 10s. O tempo gasto por T2, para passar por um túnel de comprimento 200m, é de: a) 25s b) 20s c) 30s d) 50s e) 60s Para as questões 09 e 10 Considere um movimento cuja posição s, em função do tempo t, está representado no gráfico.

09. A distância percorrida pelo móvel entre os instantes t = 0 e t = 20s, em metros, vale: a) -40 b) zero

c) 20 d) 40 e) 80 10. O móvel passa pela origem no instante: a) zero b) 5,0s c) 10s d) 15s e) 20s Resolução: 01 - B 02 - A 03 - B 04 - D 05 - B 06 - A 07 - C 08 - A 09 - E 10 - C

PROVA SIMULADA VII

Exercícios sobre movimento uniforme variado 01. (FUVEST) Um veículo parte do repouso em movimento retilíneo e acelera com aceleração escalar constante e igual a 2,0 m/s2. Pode-se dizer que sua velocidade escalar e a dis-tância percorrida após 3,0 segundos, valem, respectivamen-te: a) 6,0 m/s e 9,0m; b) 6,0m/s e 18m; c) 3,0 m/s e 12m; d) 12 m/s e 35m; e) 2,0 m/s e 12 m 02. (FUND. CARLOS CHAGAS) Dois móveis A e B movimen-tam-se ao longo do eixo x, obedecendo às equações móvel A: xA = 100 + 5,0t e móvel B: x B = 5,0t2, onde xA e xB são medi-dos em m e t em s. Pode-se afirmar que: a) A e B possuem a mesma velocidade; b) A e B possuem a mesma aceleração; c) o movimento de B é uniforme e o de A é acelerado; d) entre t = 0 e t = 2,0s ambos percorrem a mesma distân-cia; e) a aceleração de A é nula e a de B tem intensidade igual a 10 m/s2. 03. (MACKENZIE) Um móvel parte do repouso com acelera-ção constante de intensidade igual a 2,0 m/s2 em u-ma trajetória retilínea. Após 20s, começa a frear uniforme-mente até parar a 500m do ponto de partida. Em valor absolu-to, a aceleração de freada foi: a) 8,0 m/s2 b) 6,0 m/s2 c) 4,0 m/s2 d) 2,0 m/s2 e) 1,6 m/s2 04. (UFMA) Uma motocicleta pode manter uma aceleração constante de intensidade 10 m/s2. A velocidade inicial de um motociclista, com esta motocicleta, que deseja percorrer uma distância de 500m, em linha reta, chegando ao final desta com uma velocidade de intensidade 100 m/s é: a) zero b) 5,0 m/s c) 10 m/s



d) 15 m/s e) 20 m/s 05. (UFPA) Um ponto material parte do repouso em movimen-to uniformemente variado e, após percorrer 12 m, está anima-do de uma velocidade escalar de 6,0 m/s. A aceleração esca-lar do ponto material, em m/s vale: a) 1,5 b) 1,0 c) 2,5 d) 2,0 e) n.d.a. 06. (UNIP) Na figura representamos a coordenada de posi-ção x, em função do tempo, para um móvel que se desloca ao longo do eixo Ox.

Os trechos AB e CD são arcos de parábola com eixos de simetria paralelos ao eixo das posições. No intervalo de tem-po em que o móvel se aproxima de origem dos espaços o seu movimento é: a) uniforme e progressivo; b) retrógrado e acelerado; c) retrógrado e retardado; d) progressivo, retardado e uniformemente variado; e) progressivo, acelerado e uniformemente. 07. (PUCC) Um vaso de flores cai livremente do alto de um edifício. Após ter percorrido 320cm ele passa por um andar que mede 2,85 m de altura. Quanto tempo ele gasta para passar por esse andar? Desprezar a resistência do ar e as-sumir g = 10 m/s2. a) 1,0s b) 0,80s c) 0,30s d) 1,2s e) 1,5s 08. (PUCC) Duas bolas A e B, sendo a massa de A igual ao dobro da massa de B, são lançadas verticalmente para cima, a partir de um mesmo plano horizontal com velocidades inici-ais. Desprezando-se a resistência que o ar pode oferecer, podemos afirmar que: a) o tempo gasto na subida pela bola A é maior que o gasto pela bola B também na subida; b) a bola A atinge altura menor que a B; c) a bola B volta ao ponto de partida num tempo menor que a bola A; d) as duas bolas atingem a mesma altura; e) os tempos que as bolas gastam durante as subidas são maiores que os gastos nas descidas. 09. (UFPR) Um corpo é lançado verticalmente para cima, atinge certa altura, e desce. Levando-se em conta a resistên-cia do ar, pode-se afirmar que o módulo de sua aceleração é: a) maior, quando o corpo estiver subindo; b) maior, quando o corpo estiver descendo;

c) igual ao da aceleração da gravidade, apenas quando o corpo estiver subindo; d) o mesmo, tanto na subida quanto na descida; e) igual ao da aceleração da gravidade, tanto na subida quanto na descida. 10. (UCPR) Num local onde a aceleração da gravidade vale 10 m/s2 uma pedra é abandonada de um helicóptero no ins-tante em que este está a uma altura de 1000m em relação ao solo. Sendo 20s o tempo que a pedra gasta para chegar ao solo, pode-se concluir que no instante do abandono da pedra o helicóptero: (Desprezam-se as resistências passivas) a) subia b) descia c) estava parado d) encontrava-se em situação indeterminada face aos dados; e) esta situação é impossível fisicamente. Resolução: 01 - A 02 - E 03 - A 04 - A 05 - A 06 - D 07 - C 08 -D 09 - A 10 - A

PROVA SIMULADA VIII

Exercícios sobre movimentos circulares 01. (AMAN) Um ponto material parte do repouso e se desloca sobre um plano horizontal em trajetória circular de 5,0 metros de raio com aceleração angular constante. Em 10 segundos o ponto material percorreu 100 metros. A velocidade angular do ponto material neste instante vale: a) 16 rad . s-1 b) 4,0 rad . s-1 c) 20 rad . s-1 d) 2,0 rad . s-1 e) 0,40 rad . s-1 02. (UnB) O tempo de revolução do elétron mais interno em torno do núcleo mais pesado é 10-20s. a) Em um dia, o elétron dá 86 . 1024 voltas. b) Em duas horas, o elétron dá 72 . 1023 voltas. c) Em uma hora, o elétron dá 36 . 1022 voltas. d) Em um mês, o elétron dá 25 . 1025 voltas. e) Em um ano, o elétron dá 255 . 1025 voltas. 03. (FUND. CARLOS CHAGAS) Um relógio funciona durante um mês (30 dias). Neste período o ponteiro dos minutos terá dado um número de voltas igual a: a) 3,6 . 102 b) 7,2 . 102 c) 7,2 . 103 d) 3,6 . 105 e) 7,2 . 105 04. (UFES) A ordem de grandeza da velocidade angular de rotação da Terra, em rad/s, é: a) 10-4 b) 10-3 c) 10-1 d) 101 e) 105



05. (FUND. CARLOS CHAGAS) Considere que o raio da Terra no plano do equador é igual a 6,0 . 103km. O módulo da velocidade escalar de um ponto do equador, em relação a um referencial com a origem no centro da Terra é, em m/s, igual a: a) 1,1 . 102 b) 2,1 . 102 c) 3,2 . 102 d) 4,3 . 102 e) 5,4 . 102 06. (FUND. CARLOS CHAGAS) Uma partícula executa um movimento uniforme sobre uma circunferência de raio 20 cm. Ela percorre metade da circunferência em 2,0 s. A fre-qüência, em hertz, e o período do movimento, em segundos, valem, respectivamente: a) 4,0 e 0,25 b) 2,0 e 0,50 c) 1,0 e 1,0 d) 0,50 e 2,0 e) 0,25 e 4,0 07. (FUND. CARLOS CHAGAS) Uma roda gira em torno de seu eixo, de modo que um ponto de sua periferia executa um movimento circular uniforme. Excetuando o centro da roda, é correto afirmar que: a) todos os pontos da roda têm a mesma velocidade esca-lar; b) todos os pontos da roda têm aceleração centrípeta de mesmo módulo; c) o período do movimento é proporcional à freqüência; d) todos os pontos da roda têm a mesma velocidade an-gular; e) o módulo da aceleração angular é proporcional à dis-tância do ponto ao centro da roda. 08. (FAAP) Dois pontos A e B situam-se respectivamente a 10 cm e 20 cm do eixo de rotação da roda de um automóvel em movimento uniforme. É possível afirmar que: a) O período do movimento de A é menor que o de B. b) A freqüência do movimento de A é maior que a de B. c) A velocidade angular do movimento de B é maior que a de A. d) As velocidades angulares de A e B são iguais. e) As velocidades lineares de A e B têm mesma intensi-dade. 09. (FUND. CARLOS CHAGAS) Duas polias de raios R1 e R2 estão ligadas entre si por uma correia. Sendo R1 = 4R2 e sabendo-se que a polia de raio R2 efetua 60 rpm, a freqüência da polia de raio R1, em rpm, é: a) 120 b) 60 c) 30 d) 15 e) 7,5 10. (MED - OSEC) Num relógio comum, o ponteiro dos minu-tos se superpõe ao ponteiro das horas às 3 horas, 16 minutos e x segundos. Qual dos valores indicados nas alternativas mais se aproxima de x? a) 18 b) 20 c) 21 d) 22 e) 24 Resolução: 01 - B 02 - C 03 - B 04 - A

05 - D 06 - E 07 - D 08 - D 09 - D 10 - D

PROVA SIMULADA IX

Exercícios sobre as leis de Newton 01. A respeito do conceito da inércia, assinale a frase corre-ta: a) Um ponto material tende a manter sua aceleração por inércia. b) Uma partícula pode ter movimento circular e uniforme, por inércia. c) O único estado cinemático que pode ser mantido por inér-cia é o repouso. d) Não pode existir movimento perpétuo, sem a presença de uma força. e) A velocidade vetorial de uma partícula tende a se manter por inércia; a força é usada para alterar a velocidade e não para mantê-la. 02. (OSEC) O Princípio da Inércia afirma: a) Todo ponto material isolado ou está em repouso ou em movimento retilíneo em relação a qualquer referencial. b) Todo ponto material isolado ou está em repouso ou em movimento retilíneo e uniforme em relação a qual-quer referencial. c) Existem referenciais privilegiados em relação aos quais todo ponto material isolado tem velocidade vetorial nula. d) Existem referenciais privilegiados em relação aos quais todo ponto material isolado tem velocidade vetori-al constante. e) Existem referenciais privilegiados em relação aos quais todo ponto material isolado tem velocidade escalar nula. 03. Um homem, no interior de um elevador, está jogando dardos em um alvo fixado na parede interna do elevador. Inicialmente, o elevador está em repouso, em relação à Terra, suposta um Sistema Inercial e o homem acerta os dardos bem no centro do alvo. Em seguida, o elevador está em mo-vimento retilíneo e uniforme em relação à Terra. Se o homem quiser continuar acertando o centro do alvo, como deverá fazer a mira, em relação ao seu procedimento com o elevador parado? a) mais alto; b) mais baixo; c) mais alto se o elevador está subindo, mais baixo se descendo; d) mais baixo se o elevador estiver descendo e mais alto se descendo; e) exatamente do mesmo modo. 04. (UNESP) As estatísticas indicam que o uso do cinto de segurança deve ser obrigatório para prevenir lesões mais graves em motoristas e passageiros no caso de acidentes. Fisicamente, a função do cinto está relacionada com a: a) Primeira Lei de Newton; b) Lei de Snell; c) Lei de Ampère; d) Lei de Ohm; e) Primeira Lei de Kepler. 05. (ITA) As leis da Mecânica Newtoniana são formuladas em relação a um princípio fundamental, denominado: a) Princípio da Inércia; b) Princípio da Conservação da Energia Mecânica; c) Princípio da Conservação da Quantidade de Movimen-to;



d) Princípio da Conservação do Momento Angular; e) Princípio da Relatividade: "Todos os referenciais inerci-ais são equivalentes, para a formulação da Mecâni-ca Newtoniana".

06. Consideremos uma corda elástica, cuja constante vale 10 N/cm. As deformações da corda são elásticas até uma força de tração de intensidade 300N e o máximo esforço que ela pode suportar, sem romper-se, é de 500N. Se amarramos um dos extremos da corda em uma árvore e puxarmos o outro extremo com uma força de intensidade 300N, a deformação será de 30cm. Se substituirmos a árvore por um segundo indivíduo que puxe a corda também com uma força de inten-sidade 300N, podemos afirmar que:

a) a força de tração será nula; b) a força de tração terá intensidade 300N e a deformação será a mesma do caso da árvore; c) a força de tração terá intensidade 600N e a deformação será o dobro do caso da árvore; d) a corda se romperá, pois a intensidade de tração será maior que 500N; e) n.d.a.

07. (FATEC) Uma bola de massa 0,40kg é lançada contra uma parede. Ao atingi-la, a bola está se moven-do horizontalmente para a direita com velocidade escalar de -15m/s, sendo rebatida horizontalmente para a esquerda com velocidade escalar de 10m/s. Se o tempo de colisão é de 5,0 . 10-3s, a força média sobre a bola tem intensidade em newtons: a) 20 b) 1,0 . 102 c) 2,0 . 102 d) 1,0 . 102 e) 2,0 . 103

08. (FUND. CARLOS CHAGAS) Uma folha de papel está sobre a mesa do professor. Sobre ela está um apagador. Dando-se, com violência, um puxão horizontal na folha de papel, esta se movimenta e o apagador fica sobre a mesa. Uma explicação aceitável para a ocorrência é: a) nenhuma força atuou sobre o apagador; b) a resistência do ar impediu o movimento do apagador; c) a força de atrito entre o apagador e o papel só atua em movimentos lentos; d) a força de atrito entre o papel e a mesa é muito intensa; e) a força de atrito entre o apagador e o papel provoca, no apagador, uma aceleração muito inferior à da folha de papel.

09. Um ônibus percorre um trecho de estrada retilínea hori-zontal com aceleração constante. no interior do ônibus há uma pedra suspensa por um fio ideal preso ao teto. Um pas-sageiro observa esse fio e verifica que ele não está mais na vertical. Com relação a este fato podemos afirmar que: a) O peso é a única força que age sobre a pedra. b) Se a massa da pedra fosse maior, a inclinação do fio seria menor. c) Pela inclinação do fio podemos determinar a velocidade do ônibus. d) Se a velocidade do ônibus fosse constante, o fio estaria na

vertical. e) A força transmitida pelo fio ao teto é menor que o peso do corpo.

10. (UFPE) Um elevador partindo do repouso tem a seguinte seqüência de movimentos: 1) De 0 a t, desce com movimento uniformemente acelera-do. 2) De t1 a t2 desce com movimento uniforme. 3) De t2 a t3 desce com movimento uniformemente retarda-do até parar. Um homem, dentro do elevador, está sobre uma balança calibrada em newtons. O peso do homem tem intensidade P e a indicação da balan-ça, nos três intervalos citados, assume os valores F1, F2 e F3 respectivamente: Assinale a opção correta: a) F1 = F2 = F3 = P b) F1 < P; F2 = P; F3 < P c) F1 < P; F2 = P; F3 > P d) F1 > P; F2 = P; F3 < P e) F1 > P; F2 = P; F3 > P Gabarito: 01 - E 02 - D 03 - E 04 - A 05 - E 06 - B 07 - E 08 - E 09 - D 10 - C

PROVA SIMULADA X

Exercícios sobre calorimetria 01. (FUVEST) Um ser humano adulto e saudável consome, em média, uma potência de 120J/s. Uma “calori-a alimentar” (1kcal) corresponde, aproximadamente, a 4,0 x 103J. Para nos mantermos saudá-veis, quantas “calorias alimentares” devemos utilizar, por dia, a partir dos alimentos que ingerimos?

a) 33 b) 120 c) 2,6x103 d) 4,0 x103 e) 4,8 x105

02. (MACKENZIE) Uma fonte calorífica fornece calor continu-amente, à razão de 150 cal/s, a uma determinada massa de água. Se a temperatura da água aumenta de 20ºC para 60ºC em 4 minutos, sendo o calor especifico sensível da água 1,0 cal/gºC, pode-se concluir que a massa de água aquecida, em gramas, é:

a) 500 b) 600 c) 700 d) 800 e) 900

03. (UFPR) Durante o eclipse, em uma das cidades na zona de totalidade, Criciúma-SC, ocorreu uma queda de temperatura de 8,0ºC. (Zero Horas – 04/11/1994) Sabendo que o calor específico sensível da água é 1,0 cal/gºC, a quan-tidade de calor liberada por 1000g de água, ao reduzir sua temperatura de 8,0ºC, em cal, é:

a) 8,0 b) 125



c) 4000 d) 8000 e) 64000

04. (UFSE) A tabela abaixo apresenta a massa m de cinco objetos de metal, com seus respectivos calores específi-cos sensíveis c.

METAL c(cal/gºC) m(g) Alumínio 0,217 100 Ferro 0,113 200 Cobre 0,093 300 Prata 0,056 400 Chumbo 0,031 500

O objeto que tem maior capacidade térmica é o de: a) alumínio b) ferro c) chumbo d) prata e) cobre

05. (MACKENZIE) Um bloco de cobre (c = 0,094 cal/gºC) de 1,2kg é colocado num forno até atingir o equilíbrio térmico. Nessa situação, o bloco recebeu 12 972 cal. A variação da temperatura sofrida, na escala Fahrenheit, é de:

a) 60ºF b) 115ºF c) 207ºF d) 239ºF e) 347ºF

06. (MACKENZIE) Quando misturamos 1,0kg de água de água (calor específico sensível = 1,0cal/g°C) a 70° com 2,0kg de água a 10°C, obtemos 3,0kg de água a: a) 10°C b) 20°C c) 30°C d) 40°C e) 50°C 07. (UFSM - RS) Um corpo de 400g e calor específico sensí-vel de 0,20cal/g°C, a uma temperatura de 10°C, é colocado em contato térmico com outro corpo de 200g e calor específi-co sensível de 0,10cal/g°C, a uma temperatura de 60°C. A temperatura final, uma vez estabelecido o equilíbrio térmico entre os dois corpos, será de: a) 14°C b) 15°C c) 20°C d) 30°C e) 40°C 08. (FUVEST) Num calorímetro contendo 200g de água a 20°C coloca-se uma amostra de 50g de um metal a 125°C. Verifica-se que a temperatura de equilíbrio é de 25°C. Desprezando o calor absorvido pelo calorímetro, o ca-lor específico sensível desse metal, em cal/g°C, vale: a) 0,10 b) 0,20 c) 0,50 d) 0,80 e) 1,0 09. (VEST - RIO - RJ) Um confeiteiro, preparando um certo tipo de massa, precisa de água a 40°C para obter me-lhor fermentação. Seu ajudante pegou água da torneira a 25°C e colocou-a para aquecer num recipiente graduado de capacidade térmica desprezível. Quando percebeu, a água fervia e atingia o nível 8 do recipiente. Para obter a água na temperatura de que precisa, deve acrescentar, no recipiente, água da torneira até o seguinte nível:

a) 18 b) 25 c) 32 d) 40 e) 56 10. (PUCCAMP) Uma barra de cobre de massa 200g é retira-da do interior de um forno, onde estava em equilíbrio térmico, e colocada dentro de um recipiente de capacidade térmica 46cal/°C que contém 200g de água a 20°C. A temperatura final de equilíbrio é de 25°C. A temperatura do forno, em °C, é aproximadamente igual a: Dado: CCu = 0,03 cal/g°C a) 140 b) 180 c) 230 d) 280 e) 300 Resolução: 01 - C 02 - E 03 - D 04 - E 05 - C 06 - C 07 - C 08 - B 09 - D

10 - C

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APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos

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