APLICACIONES DE MÉTODOS NUMÉRICOS EN PROBLEMAS DE MATEMÁTICA REALISTA

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APLICACIONES DE MÉTODOS NUMÉRICOS EN PROBLEMAS DE

MATEMÁTICA REALISTA

PAMELA E. APARICIO LOIS y HEIDI V. RUIZ DÍAZ

Departamento de Matemática

Instituto Superior del Profesorado “Dr. Joaquín V. González”

En este paper, utilizando los métodos estudiados en el Seminario de Matemática

Computacional, examinamos problemas vinculados a casos relativos a lo cotidiano, por un

lado vinculado a un caso concreto como mediciones de espacios geográficos delimitados

por combinación de figuras geométricas conocidas (con una propuesta para que se trabaje

en escuela media) y por otro a un modelo de crecimiento poblacional de células en

tumores.

Obtenemos entonces que adaptando los datos de cada problema a las condiciones de

aplicación de los métodos mencionados, podemos abordar a resultados concretos y por

varios caminos posibles.

1. Introducción

En el ámbito de lo matemático, a lo largo del trayecto estudiantil, se aprende usualmente

que a partir de ecuaciones que modelizan situaciones ya sea intra o extramatemáticas, lo

cual deriva en estudio de una función, buscamos siempre sus ceros o raíces para estudiar su

comportamiento así tenga significado fuera de la ciencia o sólo dentro de ella (valga la

redundancia). En fin, en dicha búsqueda, aprendemos a “despejar” variables, hallando

desde ninguna, hasta infinitas posibles soluciones. Pero siempre despejando. Sustituyendo

como estrategia, a medida que son más avanzadas, o teniendo en cuenta inversas de

funciones trascendentales (donde ya no sólo se trata de una ecuación polinomial sino

incluso una exponencial, trigonométrica, logarítmica). Entonces llega el punto donde nos

encontramos con estos modelos dados por ecuaciones basados en funciones derivadas, las

cuales implican a su propia primitiva o derivadas segundas que involucran a su primitiva y

a la primitiva de ésta (valga la redundancia). Estos modelos, que por algún motivo son

estudiados en estos formatos aunque representen situaciones físicas que hasta estudiamos

antes de conocer la “nueva notación” diferencial. Claramente el motivo es que antes no se

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contaba con el “conocimiento previo” de la noción de diferencial. Entonces ya podemos

hablar de estas ecuaciones diferenciales, propiamente dichas. Y también, al necesitar

estudiarlas, observar comportamientos, requerimos una herramienta tan poderosa como el

despeje o la integración para resolverlas y hallar sus ceros. Y el conflicto surge cuando nos

enfrentamos a que no se resuelven en un número finito de pasos. Además vemos que

ecuaciones como estas últimas pueden no estar “notadas” como diferenciales: no obstante

nos preguntamos cómo resolverlas. Y si no se resuelven con algoritmos de pasos finitos…

ergo sus pasos son infinitos: hablamos de ecuaciones no lineales. Aquí entran en juego

otros dispositivos de cómputo distintos del que poseemos desde siempre, distinto de nuestro

cerebro. Acudimos a calculadoras, pero tampoco nos alcanza, porque necesitamos

programar un algoritmo que requieren sucesiones que nos llevarían al hartazgo y sin

siquiera tener en cuenta el error de redondeo que producen (cosa que también se aprende

mucho después de aprender las operaciones básicas en números reales). Y decididamente,

nos abocamos a los programas de computadora. Programas que, valga nuevamente la

redundancia, nos permiten programar los algoritmos que precisemos, hasta para lo que

solíamos hacer en “papel”.

Entonces construimos programas basados en algoritmos, y ellos nos llevan a aproximar

raíces de ecuaciones no lineales, cada uno con su lógica y convergencia, y en este paper

comprobamos fehacientemente su efectividad. Incluso esto es punto de partida a aplicarlo

en cada problema de ahora en adelante, porque antes, claramente, no contábamos con ello,

no sabíamos. Pero con el conocimiento previo aunado, logramos abordar esta herramienta

poderosa: la del algoritmo de Bisección, de iteración por Punto Fijo, de Newton-Raphson y

de la Secante. Reiteramos, cada uno con su complejidad, pero sorprendentemente efectivos.

Volviendo al tema de ecuaciones diferenciales: también necesitamos resolverlas, y dentro

de las que hacen a los Problemas de Valor Inicial, nos encontramos con los algoritmos que

nuevamente nos llevan a la solución integrando sucesivamente, a partir de un valor inicial

conocido. Y aquí las herramientas son los métodos de Euler y de Runge Kutta de orden 2,

con los que podemos hacernos del estudio de una función conociendo la ecuación

diferencial. En el caso que estudiamos, se trata de un modelo poblacional. Pero sabemos

que las ecuaciones diferenciales modelan en muchos otros casos de ciencias físicas,

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biológicas, económicas, etc y que si necesitamos estudiar sus representaciones, contamos

con estas herramientas, cada una con sus fundamentos algorítmicos-teóricos de fondo.

2. Problema N°14 del Trabajo Práctico N°2

2.1. Enunciado

Un corral tiene forma cuadrada con longitud de lado a. Un punto medio a uno de sus lados

se fija el extremo de una cuerda de longitud r. Al extremo libre de la cuerda, se ata un

caballo (Figura 1).

a) Demostrar que el área de la superficie dentro del corral, a la que tiene acceso el caballo

es:

Figura 1. Esquema general de la situación del Problema 14

b) Hallar el valor de r para que el caballo acceda a una superficie de área igual a la mitad

del área del corral (a2/2)

2.2. Desarrollo del punto “a” del Problema

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2.2.1. Construcción de la Primer parte de la Función de Área.

Hipótesis:

; ; circunferencia centrada en (0,0) -extremo inicial de la

cuerda- de radio r (Figura 2).

Figura 2. Esquema gráfico de las condiciones de la hipótesis 1.

Tesis:

Demostración:

Planteamos que el área buscada responde al área del sector circular cuyo ángulo

correspondiente es , pues en esta parte de la función de área el radio r está acotado

entre 0 y

. Por lo tanto, como el área de un sector circular en función del radio es

(2.2.1.1)

Y luego por hipótesis, reemplazamos en (2.2.1.1) a por

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2.2.2. Construcción de la Segunda parte de la Función de Área.

Hipótesis: ;

; circunferencia centrada en (0,0) -extremo inicial de la

cuerda- de radio r (Figura 3).


Tesis:

Demostración:

Planteamos que el área buscada responde a la suma del doble del área del sector circular

de radio r cuyo ángulo correspondiente es, por hipótesis,

–Figura 3, área I-;

y del área de los dos triángulos cuya suma es un rectángulo de base -por

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aplicación de Teorema de Pitágoras- y altura

–Figura 3, área II-. Esto es así ya que en esta

parte de la función de área, el radio r está acotado entre

y a (Figura 3). Por lo tanto, el

área para dichas condiciones, será la suma de lo que llamamos Área I y Área II.

Área I: como el área de un sector circular en función del radio es

(2.2.2.1)

Y luego por hipótesis, duplicamos en (2.2.2.1)

(2.2.2.2)

Luego sustituimos en (2.2.2.2), por hipótesis:

(2.2.2.3)

Área II: como el área de un rectángulo es

(2.2.2.4)

Y luego por hipótesis, sustituimos en (2.2.2.4): y

(2.2.2.5)

(2.2.2.6)

Finalmente sustituimos en (2.2.2.6) por lo obtenido en (2.2.2.3) y en (2.2.2.5)

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2.2.3. Construcción de la Tercera parte de la Función de Área.

Hipótesis:

;

; circunferencia centrada en (0,0) -extremo inicial de la

cuerda- de radio r (Figura 4). ;


Tesis:

Demostración:

Planteamos que el área buscada responde a la diferencia entre:

- La suma del doble del área del sector circular de radio r cuyo ángulo correspondiente

es, por hipótesis,

–Figura 4-; y del área de los dos triángulos cuya

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suma es un rectángulo de base -por aplicación de Teorema de Pitágoras-

y altura

–Figura 4, área II-.

- La parte del sector circular de radio r cuyo ángulo correspondiente es, por hipótesis,

–Figura 4- que excede al límite en dispuesto por el corral ( ).

Esto es, el segmento circular que es igual al área del sector circular de radio R (el

cual es igual a r) cuyo ángulo correspondiente es, por hipótesis, –

Figura 4- menos el área de la porción triangular correspondiente.

Esto es así ya que en esta parte de la función de área, el radio r está acotado entre y

(Figura 4). Por lo tanto, el área para dichas condiciones, será la diferencia entre la suma de

lo que llamaremos Área I’ (incluye el excedente) y Área II; y el Área I’’ (excedente de

Área I, segmento circular).

Área I’: como el área de un sector circular en función del radio es

(2.2.3.1)

Y luego por hipótesis, duplicamos en (2.2.3.1)

(2.2.3.2)

Luego sustituimos en (2.2.3.2), por hipótesis:

(2.2.3.3)

Área II: como el área de un rectángulo es

(2.2.3.4)

Y luego por hipótesis, sustituimos en (2.2.3.4): y

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(2.2.3.5)

Área I’’: cómo el área de un sector circular en función del radio es

(2.2.3.6)

Luego sustituimos en (2.2.3.6), por hipótesis: y

(2.2.3.7)

(2.2.3.8)

Finalmente sustituimos en (2.2.3.8) por lo obtenido en (2.2.3.3), en (2.2.3.5) y en (2.2.3.7)

2.2.4. Construcción de la Cuarta parte de la Función de Área.

Hipótesis:

; circunferencia centrada en (0,0) -extremo inicial de la cuerda- de radio

r (Figura 5).

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Tesis:

Demostración:

Planteamos que el área buscada responde al área del cuadrado que delimita el cerco del

corral, pues en esta parte de la función de área el radio r está acotado entre

(la medida

de la diagonal del rectángulo de lados a y a/2, por aplicación del Teorema de Pitágoras) y la

extensión “infinita” que a la cuerda se le pudiera dar (con la posibilidad en esta ocasión de

que no quede tensa al movilizarse el caballo del problema) –Figura 5-. Por lo tanto, como el

área de un cuadrado es

(2.2.4.1)

Luego sustituimos en (2.2.4.1):

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2.3. Desarrollo del punto “b” del Problema

Hipótesis: la función con sus respectivas partes.

Objetivo: Hallar el valor de r para que el caballo acceda a una superficie de área igual a la

mitad del área del corral (a2/2)

Desarrollo:

Planteamos que se precisa resolver la ecuación de incógnita r

Para lo cual seleccionamos a criterio cuál parte de la función mencionada corresponde

utilizar.

2.3.1. Selección de parte correcta de la función de Área a utilizar

Primera opción (primera parte de la función):

pues

esta parte no satisface a la resolución.

Cuarta opción (cuarta parte de la función):

pues

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Tercera opción (tercera parte de la función):

(2.3.1.1)

En (2.3.1.1) es la cota inferior de

, y además la parte de la función utilizada es

siempre creciente, pues a medida que aumenta r, aumenta el área del corral abarcado.

Entonces en (2.3.1.2) mostramos el descarte de la tercera opción por absurdo

(2.3.1.2)


Segunda opción (segunda parte de la función):

Por descarte, la única parte que satisface a la resolución del problema es:

(2.3.1.3)

2.3.2. Resolución de la ecuación del problema

Para hallar a r en función de a, procedemos a resolver la ecuación en (2.3.1.3) por los

métodos conocidos. Previamente en (2.3.1.3) realizamos en la sustitución

(2.3.2.1)

Luego en (2.3.2.1) dividimos miembro a miembro aplicando factor común , con lo cual

obtenemos una función de variable x únicamente

Con lo cual tenemos en cuenta que por hipótesis

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,

(2.3.2.2)

Para ello realizamos en (2.3.2.2) la sustitución

De esta manera definimos la función

(2.3.2.3) con

2.3.2.1. Aplicación del método de Bisección

Definimos en el programa Scilab la función en (2.3.2.3).

Luego procedemos a ejecutar el programa “Método de Bisección”, donde tomamos como

extremo menor del intervalo a la cota inferior del intervalo al que pertenece x y como

extremo mayor a la cota superior de dicho intervalo. La tolerancia aplicada es de 0.001 (un

milésimo). Entonces obtenemos los resultados de la Tabla 1.

0.875

0.8125

0.84375

0.859375

0.8515625

0.8554688

0.8574219

0.8583984

0.8579102

Tabla 1. Valores obtenidos en la sucesión consecuentes de la aplicación del método de Bisección.

El último valor de la Tabla 1 es la aproximación que encontramos para x. Entonces

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2.3.2.2. Aplicación del método de Iteración por Punto Fijo

Definimos en el programa Excel la función en (2.3.2.3).

Luego procedemos a ejecutar en ese programa dicho método.

Como primer paso, buscamos a tal que en el intervalo al que pertenece, su

derivada primera .

Dicha función se elige como

Y verifica la condición de la derivada primera, lo cual podemos comprobar en la Figura 6.

Figura 6. Gráfica de la función derivada primera de con respecto a x que exhibe que

en el intervalo al que pertenece x

Entonces volviendo a la planilla de cálculo seleccionamos como x0 a 0.875. (Figura 7)

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Figura 7. Gráfica de la función realizada en Derive, donde podemos observar

que una aproximación inicial de la raíz es el valor “0.875”.

Entonces obtenemos los resultados de la Tabla 2.

n

1 0,875 -0,031071861

2 0,8628567 -0,024119982

3 0,85936728 -0,022121667

4 0,858334469 -0,021530052

5 0,85802624 -0,021353477

6 0,85793403 -0,021300651

7 0,857906424 -0,021284836

8 0,857898158 -0,021280101

9 0,857895682 -0,021278683

10 0,857894941 -0,021278258

11 0,857894719 -0,021278131

12 0,857894653 -0,021278093

13 0,857894633 -0,021278081

14 0,857894627 -0,021278078

15 0,857894625 -0,021278077

16 0,857894624 -0,021278076

17 0,857894624 -0,021278076

18 0,857894624 -0,021278076

19 0,857894624 -0,021278076

20 0,857894624 -0,021278076

Tabla 2. Resultados que arroja la planilla de cálculo en Excel para la iteración por Punto

Fijo.

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Con lo que

2.3.2.3. Aplicación del método de Newton-Raphson

Definimos en el programa Scilab la función en (2.3.2.3) y además a su derivada con

respecto a x en (7)

Ejecutamos el programa que aplica el método de N-R, con una aproximación inicial de

0.875 (Figura 7) y una tolerancia de un milésimo nuevamente. Obtenemos entonces a través

de la utilización del algoritmo la raíz

con un error menor que en 2 iteraciones

Con lo que

2.3.2.4. Aplicación del método de la Secante

Definimos en el programa Scilab la función en (2.3.2.3).

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Ejecutamos el programa que aplica el método de la Secante, con una valor inicial x0 de

0.802 y uno final x1 de 0.875 (Figura 7) y una tolerancia de un milésimo nuevamente.

Obtenemos entonces a través de la utilización del algoritmo la raíz

con un error menor que en 3 iteraciones

Con lo que

3. Secuencia didáctica sugerida para la escuela media teniendo como disparador al

Problema N° 14 del Trabajo Práctico N°2

3.1. Introducción y especificaciones didácticas propias de la planificación

Nombre: Aplicaciones de la Geometría Plana

Aclaración previa: toda intervención propuesta a lo largo de estas actividades, se hará en

forma oral y/o escrita (en el caso de expresiones que demanden una notación algebraica).

Su ubicación está dispuesta exactamente donde se planea intervenir. A lo largo de la clase

los alumnos resolverán los ejercicios, y las intervenciones se harán a medida que surjan

dudas por parte de los alumnos.

Año: 4° año

Tema: Área de figuras planas, Trigonometría, Teorema de Pitágoras.

Tiempo: 80 minutos (2hs cátedra)

Objetivos:

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- Que los estudiantes interpreten consignas y logren hacer una figura de análisis de la

situación problemática.

- Que los estudiantes integren los contenidos de área de polígonos y circunferencia,

con otros contenidos de geometría, como el Teorema de Pitágoras, y relaciones

trigonométricas.

Contenidos Previos:

- Operaciones en .

- Resolución de ecuaciones.

- Teorema de Pitágoras.

- Cálculo del área del cuadrado, triángulo y circunferencia.

- Relaciones trigonométricas en el triángulo rectángulo.

- Funciones.

- Expresiones algebraicas.

- Propiedades de la potenciación y radicación.

- Factor común.

Materiales: Guía, pizarrón, tiza, tizas de colores, fotocopias de la Guía (una por estudiante).

3.2. Actividades para la clase planificada

Aclaración previa: Las posibles respuestas y esquemas propuestas esperadas por parte del

estudiante están coloreadas en escala de grises a fines de distinción.

Actividad 1

Un corral tiene forma cuadrada con longitud de lado a. En un punto medio a uno de sus

lados se fija el extremo de una soga de longitud r. Al extremo libre de la cuerda, se ata un

caballo.

a. Realicen una figura de análisis, suponiendo que

.

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Se muestran varias opciones

b. Sombreen el área por la que puede circular el caballo. ¿Qué figura es?

Una semicircunferencia.

c. ¿Se cumple para cualquier valor de r, siendo

?

Sí, para cualquier valor de r,

d. ¿Qué expresión A(r) permite calcular el área sombreada, en función del radio r?

e. Calculen el área correspondiente a la superficie por la que puede caminar el caballo

sabiendo que el lado del corral mide 9cm, y el radio de la circunferencia que describe la

soga es igual a dos tercios del lado. Aproximar el resultado por redondeo, de forma tal que

tenga 3 cifras decimales.

,

Luego,

Actividad 2:

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En otro corral cuadrado de lado , tienen atado a un caballo de forma similar: En un punto

medio a uno de sus lados se fija el extremo de una soga de longitud r, y al extremo libre de

la cuerda, se amarra el animal. La diferencia es que en este caso,

.

a. Realicen una figura de análisis.

b. Sombreen el área por la que puede circular el caballo. ¿Cómo pueden “desarmar” la

región sombreada para que quede formada por regiones conocidas?

Dos sectores circulares iguales y dos triángulos iguales (congruentes)

INTERVENCIÓN:

Se realizará la puesta en común de esta actividad. En dicha instancia de este ejercicio, se

espera que los estudiantes logren interpretar un enunciado y representarlo haciendo una

figura de análisis correspondiente. Además, la puesta en común tiene como fin el hacer

“aparecer”, en la actividad 1, las distintas posibilidades para la figura (que los chicos

visualicen cómo varían las semicircunferencias conforme al valor de ).

En la actividad 2, también aparecen las distintas superficies, aunque todas pueden

descomponerse en la suma de dos sectores circulares y dos triángulos (congruentes dos a

dos).

También se desea que los estudiantes puedan aplicar correctamente, en el primer caso, la

fórmula del área de una semicircunferencia, y puedan plantearlo como una función que

depende del valor del radio. Por ello, en el último ítem, se les dan valores precisos para que

puedan percibir que, dándole valores al lado del corral y al radio, la fórmula que hallaron es

útil para calcular el área.

21

Esta actividad se trabajará en forma grupal, entre los compañeros de banco o con los que se

encuentren cerca, para favorecer el debate y la explicación que se puedan dar entre los

estudiantes.

(Fin de la intervención. Continuación del plan.)

c. ¿Se cumple para cualquier valor de r, siendo

?

Sí, para cualquier valor de r,

d. Llamando al área del sector circular, escriban la expresión que permitiría hallarla,

para, en los siguientes ítems, averiguar los datos que necesitamos para calcularla. Designen

al ángulo correspondiente al sector circular. Trabajen en radianes.

(cancelando )

e. Expresen el ángulo utilizando las relaciones trigonométricas en el triángulo

rectángulo.

f. En base a lo obtenido en los dos puntos anteriores, ¿Cómo expresan el área de los 2

sectores circulares, es decir ?

simplificando el 2,

INTERVENCIÓN:


espera que los estudiantes logren expresar el área de una sector circular en función del radio

de dicha circunferencia. Para ello, deben aplicar la fórmula (o deducirla) de un sector

circular, y como el ángulo interior del sector no es un dato, ni una variable, además deben

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intentar expresarlo en función de algo conocido. De esta manera, se busca que recurran a

las relaciones trigonométricas, utilizando el seno del ángulo requerido.



estudiantes.


g. ¿Qué áreas faltan calcular para poder hallar la de toda la superficie sombreada?

La de los dos triángulos.

h. ¿Qué fórmula permite hallar el área de cada una de esas figuras? Nómbrenla .

i. ¿Conocen el valor de los segmentos que aparecen en la fórmula? (En función de y ).

Si los conocen, indíquenlos, y de lo contrario, averígüenlos usando los contenidos de

geometría que ya han aprendido.

La altura es conocida,

(es la mital del lado del corral), pero la base no. Como es un

triángulo rectángulo, se puede aplicar el Teorema de Pitágoras:

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j. Reemplacen los datos obtenidos en el punto anterior, para dar la expresión del área de

los dos triángulos, es decir en función de .

INTERVENCIÓN:


espera que los estudiantes logren expresar el área de un triángulo en función del radio de la

circunferencia que describe el caballo, y teniendo como dato la medida del lado del corral

. Para ello, deben aplicar la fórmula del área del triángulo. La dificultad aparece porque

una de las dos medidas es desconocida, y deben calcularla aplicando el Teorema de

Pitágoras en dicho triángulo (pueden hacerlo porque es un triángulo rectángulo ya que uno

de sus ángulos coincide con un ángulo interior del corral, que es un cuadrado).



estudiantes.


24

k. Un alumno asegura que en el ítem anterior obtuvo

¿Qué opinan? ¿Son

expresiones similares? Justifiquen.

Son expresiones iguales.

l. Expresen, entonces, el área total de la superficie de la que dispone el caballo en este

corral, donde

INTERVENCIÓN:

Se realizará la puesta en común de esta actividad. En dicha instancia del ejercicio k), se

espera que los estudiantes logren comparar expresiones algebraicas. Para ello, deben

utilizar propiedades de la potenciación y radicación, extraer factor común entre otras cosas

que demanda el trabajo algebraico.

El ejercicio l) es un cierre al cálculo del área total de la superficie que recorre el caballo, no

tiene tanta dificultad como el ítem anterior.



estudiantes.


25

m. ¿Qué sucedería si la medida del radio fuese mayor a la medida del lado ? Realicen

figuras de análisis para visualizar cuántas opciones hay y cómo sería cada caso.

(Esta parte de la actividad se trabajará en forma grupal desde el inicio, para favorecer el

debate y la explicación que se puedan dar entre los estudiantes.)

4. Problema N°6 del Trabajo Práctico N°3

4.1. Enunciado

El crecimiento de una masa tumoral fue modelada por Gompertz. El volumen V(t) de la

masa de un tumor es solución del problema de valor inicial:

Donde , y son constantes positivas.

a) Interpretar el modelo.

b) Si y , hallar con un error menor de el valor tal que

cuando -sin resolver la ecuación diferencial. Interpretar este resultado

desde el punto de vista matemático y físico.

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c) Obtener una aproximación a la solución si , y tomando

y . Integrar usando los métodos de Euler y Runge-Kutta de orden 2 y

compararlos.

4.2. Desarrollo del punto “a” del Problema

Tenemos la función representante del modelo de Gompertz dada como

Si representa el volumen de la masa de un tumor,

representa entonces la

velocidad de crecimiento del tumor en el tiempo.

viene a ser el volumen en el instante , o el volumen conocido en el momento de

diagnóstico (valor inicial ). Luego observamos analizando la fórmula de la función del

modelo, que con (es decir con el volumen del tumor tendiendo a “desaparecer”):

(4.2.1)

Calculamos el límite en (4.2.1), tomando a como variable, con Derive

Por lo cual representa la velocidad inicial en el crecimiento del tumor.

4.3. Desarrollo del punto “b” del Problema

Datos:

Condiciones:

, ,

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(4.3.1)

Sabemos que (4.3.2)

Luego,

por (4.3.2)

Entonces obtenemos un infinitésimo el que por propiedad hace que

Pero por (4.3.1), , luego, en el límite planteado, ningún término depende de .

Por ello, el límite equivale a resolver la ecuación:

Para resolver, podemos extraer factor común :

Con lo cual con –planteado como una condición inicial del problema-

(4.3.3)

Realizamos la sustitución en (3):

28

Definimos (4.3.4)

Entonces realizamos el gráfico de la función en Graphmatica (Ver Figura 8) para obtener

valores entre los cuáles se encuentra la raíz, y luego poder aplicar el Método de Bisección

en Scilab.

Figura 8: Gráfico de la Función f(x) en Graphmatica.

Definimos en el programa Scilab la función en (4.3.4).

Luego procedemos a ejecutar el programa “Método de Bisección”, donde tomamos como

extremo menor y como extremo mayor . La tolerancia aplicada es de 0.0001 (por lo

pedido en la consigna). Entonces obtenemos los resultados de la Tabla 1.

Tolerancia= 0.0001

1.125

1.1875

1.15625

1.171875

1.1796875

1.1835938

1.1855469

1.1845703

1.184082

1.1838379

29

1.18396

1.184021

1.1839905

Tabla 3. Valores obtenidos en la sucesión consecuentes de la aplicación del método de

Bisección.

El último valor de la Tabla 1 es la aproximación que encontramos para x. Entonces:

4.3.1. Interpretación física del resultado

El crecimiento tumoral tiende a detenerse, cuando tiende a infinito, pues se trata de

crecimiento poblacional confinado a espacio limitado con recursos limitados. Entonces

cuando se detiene dicho crecimiento, es cuando llegó el tumor a su Volumen máximo

( ), es decir que es ese volumen máximo o capacidad máxima de carga del

tumor.

4.3.2. Interpretación matemática del resultado

Sin importar el volumen inicial , el máximo que se alcanza está vinculado al valor de

Asíntota Horizontal de la función dada por el modelo de Gompertz, que tiene que ver

justamente a dos valores fundamentales: el valor que nos indica la capacidad máxima del

tumor y el valor que es el límite de la función con el volumen tendiendo a . Por ello el

resultado, que sin hubiera sido , es aproximadamente .

Consecuentemente hallamos en un máximo de crecimiento, y una AH para

la función del modelo.

4.4. Desarrollo del punto “c” del Problema

Datos:

Condiciones:

30

, ,

Tomando y

Luego,

(4.4.1)

4.4.1. Aplicación del método de Euler

Tenemos y

Por (4.4.1)

Y además sabemos que

Como el método de Euler lo indica

,

Conocido ,

Entonces con esas fórmulas del método, armamos en planilla de cálculo en Excel la

integración, y obtenemos los datos de la Tabla 4. A partir de podemos ver que la

función se “detiene” en el valor .

0,1000 paso

0,0000 0,1000 0,6844

0,1000 0,1684 0,7668

0,2000 0,2451 0,8422

0,3000 0,3293 0,9112

0,4000 0,4205 0,9736

0,5000 0,5178 1,0293

. . .

. . .

. . .

31

18,7000 4,9045 0,0001

18,8000 4,9045 0,0001

18,9000 4,9045 0,0001

19,0000 4,9046 0,0001

19,1000 4,9046 0,0001

19,2000 4,9046 0,0000

19,3000 4,9046 0,0000

19,4000 4,9046 0,0000

Tabla 4. Integración en Excel por método de Euler. Exhibimos en la tabla los rangos de

valores fundamentales, motivo por el que aparecen “puntos suspensivos”.

También podemos observar en el gráfico de la Figura 9 (elaborada en base a la planilla de

cálculo de la Tabla 4) que la curva describe una asíntota horizontal de ecuación .

Figura 9. Gráfico que arroja el dataset de la Tabla 2. Podemos visualizar en él la Asíntota

Horizontal que describe para .

4.4.2. Aplicación del método de Runge - Kutta de orden 2

Tenemos y

Por (4.4.1)

0,0000

1,0000

2,0000

3,0000

4,0000

5,0000

6,0000

0,0000 10,0000 20,0000 30,0000 40,0000 50,0000 60,0000

Curva de integración obtenida por Método de Euler

32

Y además sabemos que

Como el método de Runge Kutta de orden 2 lo indica

,

Conocido ,

Además tomamos las formas

; y

Entonces con esas fórmulas del método, armamos en planilla de cálculo en Excel la

integración, y obtenemos los datos de la Tabla 5. A partir de podemos ver que la

función se “detiene” en el valor .

0,1000 paso

0,0000 0,1000 0,6844 0,0684 0,0767

0,1000 0,1726 0,7712 0,0771 0,0846

0,2000 0,2534 0,8496 0,0850 0,0918

0,3000 0,3418 0,9204 0,0920 0,0982

0,4000 0,4369 0,9837 0,0984 0,1038

0,5000 0,5380 1,0397 0,1040 0,1087

. . . . .

. . . . .

. . . . .

15,7000 4,9037 0,0005 0,0001 0,0001

15,8000 4,9038 0,0005 0,0001 0,0000

15,9000 4,9038 0,0005 0,0000 0,0000

16,0000 4,9039 0,0005 0,0000 0,0000

. . . . .

. . . . .

. . . . .

19,4000 4,9045 0,0001 0,0000 0,0000

19,5000 4,9046 0,0001 0,0000 0,0000

19,6000 4,9046 0,0001 0,0000 0,0000

19,7000 4,9046 0,0000 0,0000 0,0000

19,8000 4,9046 0,0000 0,0000 0,0000

33

19,9000 4,9046 0,0000 0,0000 0,0000

Tabla 5. Integración en Excel por Método de Runge Kutta de orden 2. Exhibimos en la

tabla los rangos de valores fundamentales, motivo por el que aparecen “puntos

suspensivos”.

También podemos observar en el gráfico de la Figura 10 (elaborada en base a la planilla de

cálculo de la Tabla 5) que la curva describe una asíntota horizontal de ecuación .

Figura 10. Gráfico que arroja el dataset de la Tabla 3. Podemos visualizar en él la

Asíntota Horizontal que describe para .

Por lo tanto, con los resultados obtenidos podemos decir que ambos métodos proporcionan

aproximadamente los mismos resultados.

5. Conclusiones

En el enunciado del Problema 14 se plantea una situación relacionada con el área de la

superficie que puede recorrer un caballo amarrado a una soga dentro de un corral. Para ello,

demostramos la misma depende de la longitud de la cuerda (además de parametrizar en

base al límite del corral). Para los casos en que la longitud de la soga es menor a la longitud

del lado, se verifican las partes de función dadas, pero también puede darse el caso en que

sea mayor, con lo cual encontramos otras dos partes de función que son acordes a esas

condiciones.

0,0000

1,0000

2,0000

3,0000

4,0000

5,0000

6,0000

0,0000 10,0000 20,0000 30,0000 40,0000 50,0000 60,0000

Curva de integración obtenida por Método de Runge Kutta de orden 2

34

En la parte b del Problema queda planteada una ecuación no lineal, y como sabemos, esto

implica que en un número infinito de pasos podemos obtener , la solución exacta. Cabe

aclarar que la sustitución que hacemos en la función de área correspondiente a la que da

solución al problema es esencial para poder trabajar la fórmula en una variable. Así, la idea

de resolver numéricamente , equivale a hallar un procedimiento que permita

generar una secuencia , con tal que: , con una tolerancia

prefijada , tal que .

Para ello, utilizamos los métodos estudiados en el Seminario de Matemática

Computacional: Método de Bisección, método de Iteración por Punto Fijo, método de

Newton-Raphson y método de la Secante, valiéndonos de programas como Scilab, Derive,

Graphmatica y Excel. Finalmente, verificamos la efectividad de los mismos pues con todos

ellos abordamos al mismo resultado. Es decir que éste se reafirma conforme realizamos la

aplicación de cada método conocido. Con respecto al valor numérico del resultado que

obtenemos indica que dicho radio debe medir un poco más que la mitad del lado del

cercado.

Entonces, ese problema es utilizado como disparador de una secuencia didáctica para la

escuela media, haciéndole una adaptación debido a su extensión y complejidad. Ponemos

énfasis en los dos primeros casos (donde , y sólo agregamos una pregunta al final

para que los estudiantes analicen las otras dos situaciones (si pueden darse, qué alternativas

hay, etc). Cabe destacar que este plan rescata el valor de la geometría plana vinculada a lo

circular en situaciones de la vida real.

En el Problema 6 nos encontramos ante la ecuación del modelo de crecimiento de células

tumorales estudiada por Benjamín Gompertz (matemático autodidacta y actuario inglés del

siglo XIX), con una notación que por el análisis de sus términos y variables denota alguna

de sus características. Con esto, podemos hacer una interpretación que como principal

conclusión tiene que la velocidad de crecimiento tiene un tope, vinculado

fundamentalmente a la constante K (capacidad máxima de carga) y a la constante de la

ecuación. De todos modos es menester que analicemos los siguientes dos puntos del

problema sin los cuales careceríamos de apoyo a nuestras conjeturas acerca del modelo.

Así es que en el punto b analizamos el límite de la primera derivada la función ,

sabiendo que tiende a , cuando tiende a infinito. Esto significa que la velocidad de

35

crecimiento del Volumen del tumor tiende a cero con el paso del tiempo, es decir, que el

volumen del tumor se acerca a cierto valor máximo. En el enunciado del problema, se

afirma que es constante y, sin resolver la ecuación diferencial, hallamos que (bajo las

condiciones dadas de y ) , que representa el valor constante al cual se

aproxima el valor del volumen del tumor. Cabe destacar que la contribución de los métodos

de aproximación de raíces a la resolución del problema (en el caso Bisección por su

convergencia) denota la utilidad que tiene aún en este tipo de situaciones.

Ya en la parte c, obtenemos una aproximación a la solución mediante los métodos de Euler

y Runge-Kutta de orden 2, los cuales arrojan resultados similares: A partir de

observamos que la función se “detiene” en el valor . A la hora de comparar los

métodos, el primero resultó más breve y rápido, está basada en el significado geométrico de

la derivada de la función en un punto dado; y el segundo, está basado en una aplicación de

los polinomios de Taylor. Respecto al gráfico de la función, con Graphmatica pudimos

observar que la misma, tiene una asíntota horizontal en . Consideramos que el error

proviene de no haber considerado un lo “suficientemente” pequeño, pero aún así, se

aproxima bastante al valor de la asíntota.

Referencias

[1] Díaz A., Métodos Matemáticos Computacionales: Errores en el Cómputo Matemático,

Instituto Superior del Profesorado Dr. Joaquín V. González, (2012).

[2] Díaz A., Métodos Matemáticos Computacionales: Ecuaciones No Lineales, Instituto

Superior del Profesorado Dr. Joaquín V. González, (2012).

[3] Díaz A., Seminario Métodos Matemáticos Computacionales: Notas de clase, Instituto

Superior del Profesorado Dr. Joaquín V. González, (2012).

[4] Mora Escobar H., Métodos numéricos con Scilab, Universidad Nacional de Colombia,

(2010).

[5] Manual de Iniciación de Scilab.

[6] http://en.wikipedia.org/wiki/Circular_sector

[7] http://en.wikipedia.org/wiki/Circular_segment

[8] http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_method

[9] Nagle R. K., Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera, 4ª. Ed.,

Pearson Education, México, (2005).

http://en.wikipedia.org/wiki/Circular_sector

http://en.wikipedia.org/wiki/Circular_segment

http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_method

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[10] http://en.wikipedia.org/wiki/Gompertz_function#Growth_of_tumors

[11] http://es.scribd.com/doc/46147808/MODELO-DE-GOMPERTZ

[12] Menchón S. A., Modelado de las diversas etapas del crecimiento del cáncer y de

algunas terapias antitumorales, FAMAF, Universidad Nacional de Córdoba (2007).

[13] http://estadisticaactuarial.wetpaint.com/page/Benjamin+Gompertz

http://en.wikipedia.org/wiki/Gompertz_function#Growth_of_tumors

http://es.scribd.com/doc/46147808/MODELO-DE-GOMPERTZ

http://estadisticaactuarial.wetpaint.com/page/Benjamin+Gompertz

APLICACIONES DE MÉTODOS NUMÉRICOS EN PROBLEMAS DE MATEMÁTICA REALISTA

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