Álgebra

Al Juar Número Para el concepto lingüístico véase   Número gramatical.

Para otros usos de este término, véase   Número (desambiguación).

Un   número , en   ciencia, es un   concepto  que expresa una   cantidad  en relación a su unidad. También puede indicar el orden de una serie (números ordinales). También, en sentido amplio, indica el carácter gráfico que sirve para representarlo; dicho signo gráfico de un número recibe el nombre de   numeral  o   cifra. El que se escribe con un solo guarismo se llama   dígito.1

En   matemática  moderna, el concepto de número incluye abstracciones tales como   números fraccionarios,   negativos,   irracionales,   trascendentales,   complejos  (todos ellos con correlatos físicos claros) y también números de tipo más abstracto como los   números hipercomplejos  que generalizan el concepto de número complejo o losnúmeros hiperreales, los   superreales  y los   surreales  que incluyen a los números reales como subconjunto.

Índice

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Tipos de números

Los números más conocidos son los   números naturales. Denotados mediante   , son conceptualmente los más simples y los que se usan para contar unidades discretas. Éstos, conjuntamente con los números negativos, conforman el conjunto de los   enteros, denotados mediante     (del alemán   Zahlen   'números'). Los números negativos permiten representar formalmente deudas, y permiten generalizar la resta de cualesquiera dos números naturales.

Otro tipo de números ampliamente usados son números fraccionarios, y tantocantidades inferiores a una unidad, como números mixtos (un conjunto de unidades más una parte inferior a la unidad). Los números fraccionarios pueden ser expresados siempre como cocientes de enteros. El conjunto de todos los números fraccionarios es el conjunto de los   números racionales  (que usualmente se definen para que incluyan tanto a los racionales positivos, como a los racionales negativos y el cero). Este conjunto de números de designa como   .

Los números racionales permiten resolver gran cantidad de problemas prácticos, pero desde los antiguos griegos se conoce que ciertas relaciones geométricas (la diagonal de un cuadrado de lado unidad) son números no enteros que tampoco son racionales. Igualmente, la solución numérica de una ecuación polinómica cuyos coeficientes son números racionales, usualmente es un número no racional. Puede demostrarse que cualquier número irracional puede representarse como unasucesión de Cauchy  de números racionales que se aproximan a un límite numérico. El

conjunto de todos los números racionales y los irracionales (obtenidos como límites de succesiones de Cauchy de números racionales) es el conjunto de los   números reales  . Durante un tiempo se pensó que toda magnitud física existente podía ser expresada en términos de números reales exclusivamente. Entre los reales, existen números que no son soluciones de una ecuación polinomial o algebraica, que reciben el nombre de   transcendentales. Ejemplos famosos de estos números son el número   π (Pi)  y el   número e  (este último base de los   logaritmos naturales), los cuales están relacionados entre sí por la   identidad de Euler.

Uno de los problemas de los números reales es que no forman un   cuerpo algebraicamente cerrado, por lo que ciertos problemas no tienen solución planteados en términos de números reales. Esa es una de las razones por las cuales se introdujeron los   números complejos  , que son el mínimo   cuerpo  algebraicamente cerrado que contiene a los números reales. Además algunas aplicaciones prácticas así como en las formulaciones estándar de la mecánica cuántica se considera útil introducir los   números complejos. Al parecer la estructura matemática de los números complejos refleja estructuras existentes en problemas físicos, por lo que en física teórico y en diversas aplicaciones los números complejos se usan en pie deigualdad con los números reales, a pesar de que inicialmente fueron considerados únicamente como un artificio matemático sin relación con la realidad física. Todos los conjuntos de números     fueron de alguna manera "descubiertos" o sugeridos en conexión con problemas planteados en problemas físicos o en el seno de la matemática elemental y todos ellos parecen tener importantes conexiones con la realidad física.

Fuera de los números reales y complejos, claramente conectados con problemas de las ciencias naturales, existen otros tipos de números que generalizan aún más y extienden el concepto de número de una manera más abstracta y responden más a creaciones deliberadas de matemáticos. La mayoría de estas generalizaciones del concepto de número se usan sólo en matemáticas, aunque algunos de ellos han encontrado aplicaciones para resolver ciertos problemas físicos. Entre ellos están losnúmeros hipercomplejos  que incluyen a los   cuaterniones  útiles para representar rotaciones en un espacio de tres dimensiones, y generalizaciones de etos comooctoniones  y los   sedeniones.

A un nivel un poco más abstracto también se han ideado conjuntos de números capaces de tratar con cantidades   infinitas  e   infinitesimales  como los   hiperreales  y los transfinitos.

ismi (siglo IX d.C.), considerado uno de los «padres del álgebra».

El Álgebra (del árabe: ب�ر al-ŷarabi 'reintegración, recomposición'1 ) es la rama ال�ج�de la matemática que estudia la combinación de elementos de estructuras abstractas acorde a ciertas reglas. Originalmente esos elementos podían ser interpretados como números o cantidades, por lo que el álgebra en cierto modooriginalmente fue una generalización y extensión de la aritmética.2 3 En el álgebra moderna existen áreas del álgebra que en modo alguno pueden considerarse extensiones de la aritmética (álgebra abstracta, álgebra

homológica, álgebra exterior, etc.) Teoría de números(Redirigido desde «Teoría de los números»)

Nuestra teoría de números se deriva de la antigua aritmética griega deDiofanto.1 Portada de la aritmética de Diofanto traducida al latín por Bachet de Méziriac, edición con comentarios dePierre de Fermat publicada en 1670.

La teoría de números es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los números, en particular los enteros, pero más en general, estudia las propiedades de los elementos de Dominios Enteros (Anillos conmutativos con elemento unitario y cancelación) así como diversos problemasderivados de su estudio. Contiene una cantidad considerable de problemas que

podrían ser comprendidos por "no matemáticos". De forma más general, este campo estudia los problemas que surgen con el estudio de los números enteros.Tal como cita Jürgen Neukirch:

La teoría de números ocupa entre las disciplinas matemáticas una posición idealizada análoga a aquella que ocupan las matemáticas mismas entre las otras ciencias.2

El término "aritmética" también era utilizado para referirse a la teoría de números. Este es un término bastante antiguo, aunque ya no tan popular como en el pasado. De allí la teoría de números suele ser denominada alta aritmética,3 aunque el término también ha caído en desuso. Este sentido del término aritmética no debe ser confundido con la aritmética elemental, o con la rama de la lógica que estudia la aritmética de Peano como un sistema formal. Los matemáticos que estudian la teoría de números son llamados teóricos de números.

Nuestra teoría de números se deriva de la antigua aritmética griega de Diofanto. Portada de la aritmética de Diofanto traducida al latín por Bachet de Méziriac, edición con comentarios de Pierre de Fermat publicada en 1670.

La teoría de números es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los números, en particular los enteros, pero más en general, estudia las propiedades de los

elementos de Dominios Enteros (Anillos conmutativos con elemento unitario y cancelación) así como diversos problemas derivados de su estudio. Contiene una cantidad considerable de problemas que podrían ser comprendidos por "no matemáticos". De forma más general, este campo estudia los problemas que surgen con el estudio de los números enteros. Tal como cita Jürgen Neukirch:

La teoría de números ocupa entre las disciplinas matemáticas una posición idealizada análoga a aquella que ocupan las matemáticas mismas entre las otras ciencias.[2]

El término "aritmética" también era utilizado para referirse a la teoría de números. Este es un término bastante antiguo, aunque ya no tan popular como en el pasado. De allí la teoríade números suele ser denominada alta aritmética, aunque el término también ha caído en desuso. Este sentido del término aritmética no debe ser confundido con la aritmética elemental, o con la rama de la lógica que estudia la aritmética de Peano como un sistema formal. Los matemáticos que estudian la teoría de números son llamados teóricos de números.

Campos

Según los métodos empleados y las preguntas que se intentan contestar, la teoría de números se subdivide en diversas ramas.

Teoría elemental de números

En la teoría elemental de números, se estudian los números enteros sin emplear técnicas procedentes de otros campos de las matemáticas. Pertenecen a la teoría elemental de números las cuestiones de divisibilidad, el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor, la factorización de los enteros como producto de números primos, la búsqueda de los números perfectos y las congruencias. Son enunciados típicos el pequeño teorema de Fermat y el teorema de Euler que lo extiende, el teorema chino del resto y la ley de

reciprocidad cuadrática. En esta rama se investigan las propiedades de las funciones multiplicativas como la función de Möbius y la función φ de Euler; así como las sucesiones denúmeros enteros como los factoriales y los números de F.

Diversos cuestionamientos dentro de la teoría elemental de números parecen simples, pero requieren consideraciones muy profundas y nuevas aproximaciones, incluyendo las siguientes:

Conjetura de Goldbach sobre que todos los números pares (a partir de 4) son la suma de dos números primos.

Conjetura de los números primos gemelos sobre la infinitud de los llamados números primos gemelos

Último teorema de Fermat (demostrado en 1995) Hipótesis de Riemann sobre la distribución de los ceros

de la función zeta de Riemann, íntimamente conectada conel problema de la distribución de los números primos.

Teoría analítica de números

La teoría analítica de números emplea como herramientas el cálculo y el análisis complejo para abordar preguntas acerca de los números enteros. Algunos ejemplos de esta son el teorema de los números primos y la hipótesis de Riemann. El problema de Waring, la conjetura de los números primos gemelos y la conjetura de Goldbach también están siendo atacados a través de métodos analíticos.

Teoría de números aditiva

La teoría de números aditiva trata de una manera más profundalos problemas de representación de números. Problemas típicosson los ya nombrados, problema de Waring y la conjetura de Goldbach. Esta rama se suele utilizar algunos resultados referentes a la teoría analítica de números, tales como el método del círculo de Hardy-Littlewood, a veces se complementa con la teoría de cribas y en algunos casos suelenusarse métodos topológicos.

Teoría algebraica de números

La teoría algebraica de números es una rama de la teoría de los números en la cual el concepto de número se expande a losnúmeros algebraicos, los cuales son las raíces de los polinomios con coeficientes racionales.

Teoría geométrica de números

La teoría geométrica de números (tradicionalmente llamada geometría de números) incorpora todas las formas de geometría. Comienza con el teorema de Minkowski acerca de lospuntos comunes en conjuntos convexos e investigaciones sobre superficies esféricas.

Teoría combinatoria de números

La teoría combinatoria de números trata los problemas de la teoría de números involucrando ideas combinatorias y sus formulaciones o soluciones. Paul Erdős es el creador de esta rama de la teoría de números. Los temas típicos incluyen sistemas cubiertos, problemas de suma cero, diversos conjuntos restringidos y progresiones aritméticas en un conjunto de enteros. Los métodos algebraicos o analíticos sonbastante poderosos en este campo.

Teoría computacional de números

La teoría computacional de números estudia los algoritmos relevantes de la teoría de números. Los algoritmos rápidos para evaluar números primos y factorización de enteros tienenimportantes aplicaciones en criptografía

«La evolución de la computación ha hecho que la aritmética deje de ser una ciencia contemplativa y de especialistas paratransformarse en una verdadera rama aplicada. La necesidad denuevos algoritmos de computación requiere- como dice Enzo R. Gentile- vastos y profundos conocimientos aritméticos.»

Historia

Los matemáticos en la India se han interesado en encontrar soluciones enteras a las ecuaciones diofánticas desde la época de los Vedas. El primer uso geométrico de las ecuaciones diofánticas se remonta a los Shulba Sutras, los cuales fueron escritos entre los siglos VIII y VI a. C. Baudhayana (s. VII a. C.) encontró dos conjuntos de enteros positivos a un conjunto de ecuaciones diofánticas simultáneas, y también se usan ecuaciones diofánticas simultáneas con más de cuatro incógnitas. Apastamba (s. VI a. C.) usaba ecuaciones diofánticas simultáneas con más decinco incógnitas.

Los matemáticos de la época jainia fueron los primeros en descartar la idea de que todos los infinitos son los mismos oiguales. Reconocen cinco tipos de infinitos diferentes: infinito en una o dos direcciones (unidimensionales), infinito en superficies (bidimensional), infinito en todas partes (tridimensional) y perpetuamente infinito (en un número infinito de dimensiones).

La teoría de números fue una de las disciplinas de estudio favoritas entre los matemáticos griegos de Alejandría, Egiptoa partir del siglo III a. C., quienes tenían conciencia del concepto de ecuación diofántica en sus casos particulares. Elprimer matemático helenístico que estudió estas ecuaciones fue Diofanto.

Diofanto investigó un método para encontrar las soluciones enteras para las ecuaciones lineales indeterminadas, ecuaciones en las que falta información suficiente para producir un conjunto único de respuestas discretas. La

ecuación es un ejemplo de ellas. Diofanto descubrió que muchas ecuaciones indeterminadas pueden ser reducidas a una forma en donde cierta categoría de soluciones son conocidas, incluso a través de una solución que no lo es.

Las ecuaciones diofantinas fueron estudiadas de manera intensiva por los matemáticos indúes medievales, quienes fueron los primeros en buscar sistemáticamente métodos para la determinación de soluciones enteras. Aryabhata en el 499 da la primera descripción explícita de la solución entera

general de la ecuación diofantina lineal , la cual apareceen su texto Aryabhatiya. El algoritmo kuttaka es considerado como una de las contribuciones más significativas de Aryabhata en las matemáticas puras, el cual encuentra las soluciones enteras de un sistema de ecuaciones diofantinas lineales, un problema de importante aplicación en la astronomía. También encuentra la solución general de la ecuación lineal indeterminada utilizando este método.

Brahmagupta trabaja en 628 las ecuaciones diofantinas más difíciles, que aparece en su libro 18 dedicado al álgebra y ecuaciones indeterminadas. Utiliza el método chakravala para resolver las ecuaciones diofantinas cuadráticas, incluyendo

aquellas de la forma de la ecuación de Pell tal que . Su Brahma Sphuta Siddhanta fue traducido al árabe en 773 y al latín

en 1126. La ecuación fue propuesta como un problema por elmatemático francés Pierre de Fermat. La solución general de esta forma particular de la ecuación de Pell fue encontrada 70 años más tarde por Leonhard Euler, aunque la solución general de la ecuación de Pell fue encontrada 100 años más tarde por Joseph-Louis de Lagrange en 1767. Sin embargo, varios siglos antes, la ecuación de Pell fue trabajada por Bhaskara II en 1150 utilizando una versión modificada del método chakravala de Brahmagupta, encontrando la solución general de otras ecuaciones cuadráticas intermedias indeterminadas y ecuaciones diofánticas cuadráticas. El método chakravala para encontrar la solución general de la ecuación de Pell era más simple que el método utilizado por Lagrange 600 años más tarde. Bhaskara encuentra también la solución de otras ecuaciones cuadráticas indeterminadas, cúbicas, cuárticas y polinómicas de mayores grados. Naraian

Pandit perfeccionó aún más las demás cuadráticas indeterminadas para las ecuaciones de grados superiores.

Véase también

Número natural

Los números naturales pueden usarse para contar (una manzana, dos manzanas, tres manzanas, …).

Un número natural es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de un conjunto.

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Convenios de notación[editar · editar código]

Puesto que los números naturales se utilizan para contar objetos, el cero puede considerarse el número que corresponde a la ausencia de los mismos. Dependiendo del área de la ciencia, el conjunto de los números naturales puede presentarse entonces de dos maneras distintas:

Definición sin el cero:

Definición con el cero:

donde la N de natural se suele escribir en "negrita de pizarra".

Históricamente, el uso del cero como numeral fue introducido en Europa en el siglo XII con la conquista musulmana de la península ibérica,1 pero no se consideraba un número natural.2

Sin embargo, con el desarrollo de la teoría de conjuntos en el siglo XIX, el cero se incluyó en las definiciones conjuntistas de los números naturales. Esta convención prevalece en dicha disciplina,3 y otras, como la teoría de lacomputación.4 En particular, el estándar DIN 5473 adopta esta definición.4 Sinembargo, en la actualidad ambos convenios conviven.5

Para distinguir ambas definiciones a veces se introducen símbolos distintos. Por ejemplo, si se incluye el cero en los naturales, al conjunto de los números naturales sin el cero se lo llama conjunto de los enteros positivos yse lo denota como  . Alternativamente también se utiliza  .6

Por el contrario, cuando el 0 no se considera un número natural (cosa que es conveniente, por ejemplo, en divisibilidad y teoría de números), al conjunto de los naturales con el cero se lo llama conjunto de los números cardinales yse lo denota  .

Historia[editar · editar código]

Antes de que surgieran los números para la representación de cantidades, el ser humano usó otros métodos para contar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos (ver sistema de numeración unario). Más adelante comenzaron a aparecer los símbolos gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en una vara o simplemente trazos específicos sobre la arena (Véase hueso de Ishango). Pero fue en Mesopotamia alrededor del año 4.000 a. C. donde aparecen los primeros vestigios de los números que consistieron en grabados de señales en formas de cuñas sobre pequeños tableros dearcilla empleando para ello un palito aguzado. De aquí el nombre de escritura cuneiforme. Este sistema de numeración fue adoptado más tarde, aunque con símbolos gráficos

diferentes, en la Grecia Antigua y en la Antigua Roma. En la Grecia antigua se empleaban simplemente las letras de su alfabeto, mientras que en la antigua Roma además de las letras, se utilizaron algunos símbolos.

Quien colocó al conjunto de los números naturales sobre lo que comenzaba a ser una base sólida, fue Richard Dedekind en el siglo XIX. Este los derivó deuna serie de postulados (lo que implicaba que la existencia del conjunto de números naturales se daba por cierta), que después precisó Peano dentro de una lógica de segundo orden, resultando así los famosos cinco postulados que llevan su nombre. Frege fue superior a ambos, demostrando la existencia del sistema de números naturales partiendo de principios más fuertes. Lamentablemente la teoría de Frege perdió, por así decirlo, su credibilidad yhubo que buscar un nuevo método. Fue Zermelo quien demostró la existencia del conjunto de números naturales, dentro de su teoría de conjuntos y principalmente mediante el uso del axioma de infinitud que, con una modificación de este hecha por Adolf Fraenkel, permite construir el conjunto de números naturales como ordinales según von Neumann.

Algunas características de los números naturales son:

1. Todo número mayor que 1 (o mayor que 0 en caso de considerar el 0 como natural) va después de otro número natural.

2. Entre dos números naturales siempre hay un número finito de naturales. (Interpretación de conjunto no denso)

3. Dado un número natural cualquiera, siempre existe otro natural mayor que éste. (Interpretación de conjunto infinito).

Construcciones axiomáticas[editar · editar código]

Históricamente, se han realizado propuestas para axiomatizar la noción habitual de números naturales, de entre las que destacan las de Peano, (Axiomas de Peano) y la construcción a partir de la teoría de conjuntos.

Axiomas de Peano[editar · editar código]

Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural.

El 1 no es el sucesor de ningún número natural.

Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.

Si el 1 pertenece a un conjunto de números A, y además siempre se verificaque: dado un número natural cualquiera que esté en A, su sucesor también pertenece a A; entonces A contiene al conjunto de todos los números naturales. Este es el axioma de inducción, que captura la idea de inducción matemática.

Definición en teoría de conjuntos[editar · editar código]En teoría de conjuntos se define al conjunto de los números naturales como elmínimo conjunto que es inductivo. La idea es que se pueda contar haciendo unabiyección desde un número natural hasta el conjunto de objetos que se quiere contar. Es decir, para dar la definición de número 2, se requiere dar un ejemplo de un conjunto que contenga precisamente dos elementos. Esta definición fue proporcionada por Bertrand Russell, y más tarde simplificada por Von Neumann quien propuso que el candidato para 2 fuera el conjunto que contiene solo a 1 y a 0.

Formalmente, un conjunto   se dice que es un número natural si cumple

1. Para cada  , 

2. La relación   es un orden total estricto en 

3. Todo subconjunto no vacío de   tiene elementos mínimo y máximo en el orden 

Se intenta pues, definir un conjunto de números naturales donde cada elementorespete las convenciones anteriores. Primero se busca un conjunto que sea el representante del 0, lo cual es fácil ya que sabemos que   no contiene elementos. Luego se definen los siguientes elementos de una manera ingeniosa con el uso del concepto de sucesor.

Se define-según Halmos- entonces que el conjunto vacío es un número natural que se denota por   y que cada número natural   tiene un sucesor denotado como  . Estas ideas quedan formalizadas mediante las siguientes expresiones:

De esta manera, cada elemento de algún número natural es un número natural; a saber, un antecesor de él. Por ejemplo:

Por definición   (lo cual refuerza el hecho de que 0 no tieneantecesores)

1 es el sucesor de 0, entonces  2 es el sucesor de 1, pero 1 es {0},

entonces  y en general

Esto permite establecer una relación de orden entre los elementos del conjunto a pesar de que un conjunto es por naturaleza un agregado de elementos desordenados. Se define esta relación mediante la expresión

es decir que un número   es menor o igual que   si y sólosi   contiene a todos los elementos de  .

También se puede usar otra definición más inmediata apartir del hecho de que cada número natural consta desus antecesores. Así   si y sólo si  .

Ésa es la construcción formal de los naturales que garantiza su existencia como conjunto a la luz del desarrollo axiomático Zermelo-Fraenkel. El postulado de los conjuntos infinitos asegura la validez de la técnica de demostración conocida como inducción matemática.

Un teorema demuestra que cualquier conjunto que sea inductivo contiene a todos los números naturales, es decir que si   es un conjunto inductivo,

entonces  . Esto significa que, en efecto,   es el mínimo conjunto inductivo.

Se define la suma por inducción mediante:

Lo que convierte a los números naturales   en un monoide conmutativo con elemento neutro 0, el llamado Monoide Libre

con un generador. Este monoide satisface la propiedad cancelativa y por lo tanto puede incluirse en un grupo matemático. El menor grupo que contiene a los naturales es el de los números enteros.

De manera análoga, la multiplicación × se define mediante las expresiones

Esto convierte   (esto es, ℕ con esta nueva operación), en un monoide conmutativo.

Otra forma de construcción de   es la siguiente: Sea   la clase de todos los conjuntos y definiremos una relación binaria R "ser equipotente" de la siguiente manera Dados A y B∈  se dice que A R B   Existe una aplicación biyectiva de A sobre B,es decir,existe   biyectiva. Claramente se puede demostrar que esta relación verifica las propiedades reflexiva,simétrica y transitiva luego es una relación de equivalencia al conjunto

cociente  los llamaremos cardinales y a los cardinalesfinitos se les llamará números naturales.Las operaciones de suma y producto de cardinales se definen como el cardinal de la unión y el producto cartesiano de los conjuntos representantes y verifica todas las propiedades para que   sea un semianillo conmutativo y unitario.

Operaciones con los números naturales[editar · editar código]

Las operaciones matemáticas que se definen en el conjunto de los números naturales son la suma y la multiplicación.

La suma y la multiplicación de números naturales son operaciones conmutativas y asociativas, es decir:

El orden de los números no altera el resultado (propiedad conmutativa), a+b = b+a, y a×b = b×a.

Para sumar — o multiplicar — tres o más números naturales, no hace falta agrupar los números de una manera específica ya que (a+b)+c=a+(b+c) (propiedad asociativa). Esto es lo que da sentido a expresiones como a+b+c.

Al construir la operación de multiplicación de números naturales, se puede observar claramente que la adicióno suma y la multiplicación son operaciones compatibles, pues la multiplicación sería una adición de cantidades iguales y gracias a esta compatibilidad se puede desarrollar la propiedad distributiva, que se expresa:

Aparte, estas dos operaciones cumplencon las propiedades de:

Clausura de ambas operaciones para todos los números naturales a y b, ya que a + b y a × b son siempre números naturales.

Existencia de elementos neutros para ambas operaciones, es decir, para cada número a, a +0 = a y a × 1 = a.

No existencia de divisores de cero para la operación de multiplicación: si a y b son números naturales tales que a × b = 0, entonces a = 0 ó b = 0.

Propiedades de los números naturales[editar · editar código]

Los números naturales están totalmente ordenados. La relación de orden   se puede redefinir así:   si y sólo si existe otro número natural   que cumple  . Este orden es compatible con todas las operaciones aritméticas puesto que si  ,   y   son números naturales y  , entonces se cumple:

Una propiedad importante del conjunto de los números naturales es que es un conjunto bien ordenado

1. Para cualquier elemento a de A existe b en A tal que a < b

En los números naturales existe el algoritmo de la división. Dados dos números naturales a y b, si b≠ 0, podemos encontrar otros dos números naturales q y r, denominados cociente y resto respectivamente, tales que:

    y     .

Los números q y r están unívocamente determinados por a y b.

Otras propiedades más complejas de los números naturales, como la distribución de los númerosprimos por ejemplo, son estudiadas por la teoría denúmeros.

Uso de los números naturales[editar · editar código]

Los números naturales, son usados para dos propósitos fundamentalmente: para describir la posición de unelemento en una secuencia ordenada, como se generaliza con el concepto de número ordinal, y para especificar el tamaño de unconjunto finito, que a su vez se generaliza en el concepto de número cardinal(teoría de conjuntos). En el mundo de lo finito, ambos conceptos son coincidentes: los ordinalesfinitos son iguales a N asícomo los cardinales finitos. Cuando nos movemosmás allá de lo finito,

ambos conceptos son diferentes.

Otro uso de gran importancia, desde el punto de vista matemático, es en la construcción de los números enteros, para lo cual en N×N se establece una relación de equivalencia, para dos pares ordenados de N×N:

(a,b) ~ (c,d) si y solo si a + d = b + c.

Sustracción o resta con números naturales[editar · editar código]

Asúmase que ℕ = {0, 1, 2, 3,...} y sea H = {(m, n)/ m, n ∈ ℕ; m ≥ n}, sea g una aplicación de H en ℕ, tal que g(m,n)= m-n = dsi solo si m = d + n, donde m,n están en H y d está en ℕ. A la aplicación g de H sobreℕ se llama sustracción o resta en N. La diferencia d = m-n , sólo es

posible en el caso que m ≥ n.

Proposiciones[editar · editar código]

Si m - n = p, entonces m - p= n

Si m - n = p, entonces (m +r) - ( n+ r) = p

Para cualquier m ∈ ℕ, m - m = 0;

como m- 0 = m , 0 hace el papel de elemento neutro por la derecha.

La resta no es conmutativa ni asociativa.

Si se da m - n = p, existe una infinidadde números naturalesm´y m´tal que m´- n´= p; de modo tal que en ℕxℕ la relación (m,n) ≈ (m´,n´) s.s.s. m + n´ = n + m´ define una relación de equivalencia, punto de partida para la construcción del ℤ de los números enteros 7 .

Véase también

Número primo

Este artículo trata sobre primos en los números enteros. Para la generalización a anillos,

véanse elemento primo y elemento irreducible.

La distribución de los números primos (línea azul) hasta el 400

En matemáticas, un número primo es un número natural mayor que 1 que tiene únicamente dos divisores distintos: él mismo y el 1. Los números primos se contraponen así a los compuestos, que son aquellos que tienen algún divisor natural aparte de sí mismos y del 1. El número 1, por convenio, no se considera ni primo ni compuesto.

Los números primos menores que cien son los siguientes: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.1

La propiedad de ser primo se denomina primalidad. A veces se habla de número primo impar para referirse a cualquier número primo mayor que 2, ya que éste es el único número primo par. A veces se denota el conjunto de todos los números primos por  .

El estudio de los números primos es una parte importante de la teoría de números, la rama de las matemáticas que comprende el estudio de los números enteros. Los números primos están presentes en algunas conjeturas centenariastales como la hipótesis de Riemann y la conjetura de Goldbach. La distribución de los números primos es un tema recurrente de investigación en la teoría de números: si se consideran números individuales, los primos parecen estar distribuidos aleatoriamente, pero la distribución «global» de los números primos sigue leyes bien definidas.

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Historia de los números primosMatemáticas anteriores a la Antigua GreciaLas muescas presentes en el hueso de Ishango, que data de hace más de 20.000 años (anterior por tanto a la aparición de la escritura) y que fue hallado por el arqueólogo Jean de Heinzelin de Braucourt,2 parecen aislar cuatro números primos: 11, 13, 17 y 19. Algunos arqueólogos interpretan este hecho como la prueba del conocimiento de los números primos. Con todo, existen muy pocos hallazgos que permitan discernir los conocimientos que tenía realmente el hombre de aquella época.3

Numerosas tablillas de arcilla seca atribuidas a las civilizaciones que se fueron sucediendo en Mesopotamia a lo largo del II milenio a.C. muestran la resolución de problemas aritméticos y atestiguan los conocimientos de la época. Los cálculos requerían conocer los inversos de los naturales, que también se han hallado en tablillas.4 En el sistema sexagesimal que empleabanlos babilonios para escribir los números, los inversos de los divisores de potencias de 60 (números regulares) se calculan fácilmente; por ejemplo, dividirentre 24 equivale a multiplicar por 150 (2·60+30) y correr la coma sexagesimal dos lugares. El conocimiento matemático de los babilonios necesitaba una sólida comprensión de la multiplicación, la división y la factorización de los naturales.

En las matemáticas egipcias, el cálculo de fracciones requería conocimientos sobre las operaciones, la división de naturales y la factorización. Los egipcios sólo operaban con las llamadas fracciones egipcias, suma de fracciones unitarias, es decir, aquellas cuyo numerador es 1,

como  , por lo que las fracciones de numerador distinto de 1 se escribían como suma de inversos de naturales, a ser posible sin

repetición   en lugar de  .5 Es por ello que, en cierta manera, tenían que conocer o intuir los números primos.6

Antigua Grecia

Un fragmento de los Elementos de Euclides encontrado en Oxirrinco.

La primera prueba indiscutible del conocimiento de los números primos se remonta a alrededor del año 300 a. C. y se encuentra en los Elementos de Euclides (tomos VII a IX). Euclides define los números primos, demuestra que hay infinitos de ellos, define el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo y proporciona un método para determinarlosque hoy en día se conoce como el algoritmo de Euclides. Los Elementos contienen asimismo el teorema fundamental de la aritmética y la manera de construir un número perfecto a partir de un número primo de Mersenne.

La criba de Eratóstenes, atribuida a Eratóstenes de Cirene, es un método sencillo que permite encontrar números primos. Hoy en día, empero, los mayores números primos que se encuentran con la ayuda de ordenadores emplean otros algoritmos más rápidos y complejos.

Matemáticas modernas

Pierre de Fermat.

Después de las matemáticas griegas, hubo pocos avances en el estudio de los números primos hasta el siglo XVII. En1640 Pierre de Fermat estableció (aunque sin demostración) el pequeño teorema de Fermat, posteriormente demostrado por Leibniz y Euler. Es posible que mucho antes se conociera un caso especial de dicho teorema en China.

Fermat conjeturó que todos los números de la forma 22n+1 eran primos (debido alo cual se los conoce como números de Fermat) y verificó esta propiedad hasta n = 4 (es decir, 216 + 1). Sin embargo, el número de Fermat 232 + 1 es compuesto (uno de sus factores primos es 641), como demostró Euler. De hecho,hasta nuestros días no se conoce ningún número de Fermat que sea primo apartede los que ya conocía el propio Fermat.

El monje francés Marin Mersenne investigó los números primos de la forma 2p − 1, con p primo. En su honor, se los conoce como números de Mersenne.

En el trabajo de Euler en teoría de números se encuentran muchos resultados que conciernen a los números primos. Demostró la divergencia de

la serie  , y en 1747 demostró que todos los números perfectospares son de la forma 2p-1(2p - 1), donde el segundo factor es un

número primo de Mersenne. Se cree que no existen números perfectos impares, pero todavía es una cuestión abierta.

A comienzos del siglo XIX, Legendre y Gauss conjeturaron de forma independiente que, cuando n tiende a infinito, el número de primos menores o

iguales que n es asintótico a  , donde ln(n) es el logaritmo natural de n.Las ideas queBernhard Riemann plasmó en un trabajo de 1859 sobre la función zeta describieron el camino que conduciría a la demostración del teorema de los números primos. Hadamard y De la Vallée-Poussin, cada uno por separado, dieron forma a este esquema y consiguieron demostrar el teorema en 1896.

Actualmente no se comprueba la primalidad de un número por divisiones sucesivas, al menos no si el número es relativamente grande.

Durante el siglo XIX se desarrollaron algoritmos para saber si un número es primo o no factorizando completamente el número siguiente (p+1) o el anterior(p-1). Dentro del primer caso se encuentra el test de Lucas-Lehmer, desarrollado a partir de 1856. Dentro del segundo caso se encuentra el test de Pépin para los números de Fermat (1877). El caso general de test de primalidad cuando el número inmediatamente anterior se encuentra completamente factorizado se denomina test de Lucas.

Posteriormente se encontraron algoritmos de primalidad con sólo obtener una factorización parcial de p+1 o p-1. Ejemplos de de estos algoritmos son el test de Proth(desarrollado alrededor de 1878) y el test de Pocklington (1914). En estos algoritmos se requiere que el producto de los factores primos conocidos de p-1 sea mayor que la raíz cuadrada de p. Más recientemente, en 1975, Brillhart, Lehmer y Selfridge desarrollaron el test BLS de primalidad que sólo requiere que dicho producto sea mayor que la raíz cúbica de p. El mejor método conocido de esta clase es el test de Konyagin y Pomerance del año 1997, que requiere que dicho producto sea mayor que p3/10.7 8

A partir de la década de 1970 varios investigadores descubrieron algoritmos para determinar si cualquier número es primo o no con complejidad subexponencial, lo que permite realizar tests en números de miles de dígitos,aunque son mucho más lentos que los métodos anteriores. Ejemplos de estos algoritmos son el test APRT-CL(desarrollado en 1979 por Adleman, Pomerance y Rumely, con mejoras introducidas por Cohen y Lenstra en 1984), donde se usan los factores de pm-1, donde el exponente m depende del tamaño del número cuya

primalidad se desea verificar, el test de primalidad por curvas elípticas (desarrollado en 1986 por S. Goldwasser, J. Kilian y mejorado por A. O. L. Atkin), que entrega un certificado consistente en una serie de números que permite después confirmar rápidamente si el número es primo o no.El desarrollo más reciente es el test de primalidad AKS (2002), que si bien su complejidad es polinómica, para los números que puede manejar la tecnología actual es el más lento de los tres.

Durante mucho tiempo, se pensaba que la aplicación de los números primos era muy limitada fuera de la matemática pura.9 10 Esto cambió en los años 1970 conel desarrollo de la criptografía de clave pública, en la que los números primos formaban la base de los primeros algoritmos, tales como el algoritmo RSA.

Desde 1951, el mayor número primo conocido siempre ha sido descubierto con laayuda de ordenadores. La búsqueda de números primos cada vez mayores ha suscitado interés incluso fuera de la comunidad matemática. En los últimos años han ganado popularidad proyectos de computación distribuida tales como el GIMPS, mientras los matemáticos siguen investigando las propiedades de losnúmeros primos.

Primalidad del número 1

La cuestión acerca de si el número 1 debe o no considerarse primo está basadaen la convención. Ambas posturas tienen sus ventajas y sus inconvenientes. Dehecho, hasta el siglo XIX, los matemáticos en su mayoría lo consideraban primo. Muchos trabajos matemáticos siguen siendo válidos a pesar de considerar el 1 como un número primo, como, por ejemplo, el de Stern y Zeisel. La lista de Derrick Norman Lehmer de números primos hasta el 10.006.721, reimpresa hasta el año 195611empezaba con el 1 como primer número primo.12

Actualmente, la comunidad matemática se inclina por no considerar al 1 en la lista de los números primos. Esta convención, por ejemplo, permite una formulación muy económica del teorema fundamental de la aritmética: «todo

número natural tiene una representación única como producto de factores primos, salvo el

orden».13 14Además, los números primos tienen numerosas propiedades de las que carece el 1, tales como la relación del número con el valor correspondiente de la función φ de Euler o la función suma de divisores.15

Propiedades de los números primosTeorema fundamental de la aritméticaArtículo principal: Teorema fundamental de la aritmética.

Esta ilustración muestra que el 11 es un número primo, pero el 12 no lo es.

El teorema fundamental de la aritmética establece que todo número natural tiene una representación única como producto de factores primos, salvo el orden. Un mismo factor primo puede aparecer varias veces. El 1 se representa entonces como un producto vacío.

Se puede considerar que los números primos son los «ladrillos» con los que seconstruye cualquier número natural. Por ejemplo, se puede escribir el número 23.244 como producto de 22·3·13·149, y cualquier otra factorización del 23.244 como producto de números primos será idéntica excepto por el orden de los factores.

La importancia de este teorema es una de las razones para excluir el 1 del conjunto de los números primos. Si se admitiera el 1 como número primo, el enunciado del teorema requeriría aclaraciones adicionales.

A partir de esta unicidad en la factorización en factores primos se desarrollan otros conceptos muy utilizados en matemáticas, tales como el mínimo común múltiplo, el máximo común divisor y la coprimalidad de dos o más números. Así,

El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de los múltiploscomunes de todos ellos. Para calcularlo, se descomponen los números en

factores primos y se toman los factores comunes y no comunes con su máximoexponente. Por ejemplo, el mínimo común múltiplo de 10=2·5 y 12=22·3 es 60=22·3·5.

El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de los divisores comunes de todos ellos. Es igual al producto de los factores comunes con su mínimo exponente. En el ejemplo anterior, el máximo común divisor de 10y 12 es 2.

Finalmente, dos o más números son coprimos, o primos entre sí, si no tienen ningún factor primo común; es decir, si su máximo común divisor es 1. Un número primo es, así, coprimo con cualquier número natural que no sea múltiplo de él mismo.

Otras propiedades

En su representación decimal, todos los números primos salvo el 2 y el 5 acaban en 1, 3, 7 ó 9. En general, en cualquier sistema de numeración, todos los números primos salvo un número finito acaban en una cifra que es coprima con la base.

De lo anterior se deduce que todos los números primos salvo el 2 son de laforma 4n + 1 o bien 4n - 1. Igualmente, todos los números primos salvo el 2 y el 3 son de la forma 6n + 1 o 6n - 1.

Lema de Euclides: Si p es un número primo y divisor del producto de números enteros ab, entonces p es divisor de a o de b.

Pequeño teorema de Fermat: Si p es primo y a es algún número natural diferente de 1, entonces ap - a es divisible por p.

Si p es primo distinto de 2 y 5,   siempre es un número periódico en su representación decimal, de periodo p − 1 o un divisor de p − 1. Esto se

puede deducir directamente a partir del pequeño teorema de Fermat.   expresado en base q (en lugar de en base 10) tiene propiedades similares, siempre que p no sea un factor primo de q.

Teorema de Wilson: Un número natural n > 1 es primo si y solo si el factorial (n - 1)! + 1 es divisible por n. Asimismo, un número natural n > 4 es compuesto si y sólo si (n - 1)! es divisible por n.

La característica de todo cuerpo es, o bien cero, o bien un número primo.

Primer teorema de Sylow: Si G es un grupo finito, p primo y pn es la mayorpotencia de p que divide el orden de G. Entonces, existe un subgrupo de G de orden pn.

Teorema de Cauchy: Si G es un grupo finito y p es un número primo que divide al orden de G, entonces G contiene un elemento de orden p.

La constante de Copeland-Erdős 0,235711131719232931374143…, obtenida por concatenación de los números primos en el sistema decimal, es un número irracional.

El valor de la función zeta de Riemann en cada punto del plano complejo seda como una continuación meromorfa de una función definida por un productosobre el conjunto de todos los primos para Re(s) > 1:

En la región donde es convergente, este producto indexado por los números primos se puede calcular, obteniéndose diversos valores, algunos de ellos importantes en teoría de números. Los dos primeros son:

 (Correspondiente a la serie armónica, relacionado con la infinitud de números primos).

 (Correspondiente al problema de Basilea).

En general   es un número racional cuando n es un númeroentero positivo par.

El anillo   es un cuerpo si y solo si p es primo. Equivalentemente: p es primo si y solo si φ(p) = p − 1.

Si p > 1, el polinomio x p-1+x p-2+ ··· + 1 es irreducible sobre   si y sólo si p es primo.

Un número natural n es primo si y sólo si el n-ésimo polinomio de Chebyshov de la primera especie Tn(x), dividido entre x, es irreducible en  . Además, Tn(x) ≡ xn si y sólo si n es primo.

Números primos y funciones aritméticasLas funciones aritméticas, es decir, funciones reales o complejas, definidas sobre un conjunto de números naturales, desempeñan un papel crucial en la teoría de números. Las más importantes son las funcionesmultiplicativas, que son aquellas funciones f en las cuales, para cada par de números coprimos (a,b) se tiene

.

Algunos ejemplos de funciones multiplicativas son la función φ de Euler, que a cada n asocia el número de enteros positivos menores ycoprimos con n, y las funciones τ y σ, que a cada n asocian respectivamente el número de divisores de n y la suma de todos ellos. El valor de estas funciones en las potencias de números primos es

,

,

.

Gracias a la propiedad que las define, las funciones aritméticas pueden calcularse fácilmente a partir del valor que toman en las potencias de números primos. De hecho, dado un número natural n de factorización

se tiene que

con lo que se ha reconducido el problema de calcular f(n) al de calcular f sobre las potencias de los números primos que dividen n, valores que son generalmente más fáciles de obtener mediante una fórmula general. Por ejemplo, para conocer el valor de la función φ sobre n=450=2·32·52 basta concalcular

.

Características del conjunto de los números primosInfinitud de los números primosVéase también: Infinitud de los números primos.

Existen infinitos números primos. Euclides realizó la primera demostración alrededor del año 300 a. C. en el libro IX de su obra Elementos16 Una adaptación común de esta demostración original sigue así: Se toma un conjunto arbitrario pero finito de números primos p1, p2, p3, ···, pn, y se considera el producto de todos ellos más uno,  . Este número es obviamente mayor que 1 y distinto de todos los primos pi de la lista. El número q puede ser primo o compuesto. Si es primo tendremos un número primo que no está en el conjunto original. Si, por el contrario, es compuesto, entonces existirá algún factor p quedivida a q. Suponiendo que p es alguno de los pi, se deduce entonces que p divide a la diferencia  , pero ningún número primo divide a 1, es decir, se ha llegado a un absurdo por suponer que p está en el conjunto original. La consecuencia es que el conjunto que se escogió no es exhaustivo, ya que existen números primosque no pertenecen a él, y esto es independientedel conjunto finito que se tome.

Por tanto, el conjunto de los números primos esinfinito.

Si se toma como conjunto el de los n primeros números primos,

entonces ,

donde pn# es lo que se llamaprimorial de pn. Un número primo de la forma pn# +1 se denomina número primo de Euclides en honor al matemático griego. También se puede elaborar una demostración similar a la de Euclides tomando el producto de un número dado de números primos menos uno, el lugar del productode esos números primos más uno. En ese sentido,se denomina número primo primorial a un número primo de la forma pn# ± 1.

No todos los números de la forma pn# +1 son primos. En este caso, como se sigue de la demostración anterior, todos los factores primos deberán ser mayores que n. Por ejemplo: 2·3·5·7·11·13+1=30031=59·509

Otros matemáticos han demostrado la infinitud de los números primos con diversos métodos procedentes de áreas de las matemáticas tales como al álgebra conmutativa y la topología.17 Algunas de estas demostraciones se basan en el uso de sucesiones infinitas con la propiedad de que cada uno de sus términos escoprimo con todos los demás, por lo que se creauna biyección entre los términos de la sucesióny un subconjunto (infinito) del conjunto de losprimos.

Una sucesión que cumple dicha propiedad es la sucesión de Euclides-Mullin, que deriva de la demostración euclídea de la infinitud de losnúmeros primos, ya que cada uno de sus términosse define como el factor primo más pequeño de uno más el producto de todos los términos anteriores. La sucesión de Sylvester se define

de forma similar, puesto que cada uno de sus términos es igual a uno más el producto de todos los anteriores. Aunque los términos de esta última sucesión no son necesariamente todos primos, cada uno de ellos es coprimo con todos los demás, por lo que se puede escoger cualquiera de sus factores primos, por ejemplo,el menor de ellos, y el conjunto resultante será un conjunto infinito cuyos términos son todos primos.

Otros enunciados que implican la infinitud de los números primos

Un resultado aún más fuerte, y que implica directamente la infinitud de los números primos, fue descubierto por Euler en el siglo XVIII. Establece que

la serie   es divergente. Uno de los teoremas de Mertens concreta más, estableciendo que

18

donde la expresión O(1) indica que ese término está acotado entre -C y C para n mayor que n0, donde los valoresde C y n0 no están especificados.19

Otro resultado es el teorema de Dirichlet, que dice así:

En toda progresión aritmética an = a + n·q, donde los enterospositivos a, q ≥ 1 son primos entre sí, existen infinitos términos que son primos.

El postulado de Bertrand enuncia así:

Si n es un número natural mayor que 3, entonces siempre existe un número primo p tal que n < p < 2n- 2.

Una manera más débil pero elegante de formularlo es que, si n es un número natural mayor que 1, entonces siempre existe un número primo p tal que n < p < 2n. Esto supone que, en una progresión geométrica de primer término entero mayor que 3 y razón igual a 2, entre cada términode la progresión y el siguiente, se tiene al menos un número primo.

Frecuencia de los números primosVéase también: Teorema de los números primos.

10 4 −0,3 2,2 2,500

102 25 3,3 5,1 4,000

103 168 23 10 5,952

104 1.229 143 17 8,137

105 9.592 906 38 10,425

106 78.498 6.116 130 12,740

107 664.579 44.158 339 15,047

108 5.761.455 332.774 754 17,3

57

109 50.847.534 2.592.592 1.701 19,6

67

101

0455.052.

511 20.758.029 3.104 21,975

... ... ... ... ...

Comparación entre las funciones π(n) (azul), n / ln n(verde) y Li(n) (rojo); se puede ver que la aproximación de π(n) con Li(n) es mejor que

la que hay con 

Una vez demostrado la infinitud de los números primos, cabe preguntarse cómo sedistribuyen los primos entre los númerosnaturales, es decir, cuán frecuentes sony dónde se espera encontrar el n-ésimo número primo. Este estudio lo iniciaron Gauss y Legendre de forma independiente a finales delsiglo XVIII, para el cual introdujeron la función enumerativa de los números primos π(n), y conjeturaron que su valor fuese aproximadamente

.20

El empeño de demostrar esta conjeturaabarcó todo el siglo XIX. Los primeros resultados fueron obtenidos entre 1848 y 1859 por Chebyshov, quien demostró utilizando métodos

puramente aritméticosla existencia dedos constantes A y B tales que

para n suficientemente grande. Consiguió demostrar que, si existía el límite del cociente deaquellas expresiones, éste debía ser 1.

Hadamard y De la Vallée-Poussin elaboraron una demostración en 1896, independientemente el uno del otro, usando métodos similares, basados en el uso de la función zeta de Riemann, que había sido introducida por Bernhard Riemann en 1859. Hubo que esperarhasta 1949 para encontrar una demostración que usara sólo métodos elementales (es decir, sin usar el análisis complejo). Esta demostración fue ideada por Selberg yErdős. Actualmente, se conoce el teorema como teoremade los números primos.

El mismo Gauss introdujo una estimación más precisa, utilizando la función logaritmo integral:

.

En 1899 De la Vallée-Poussin demostró que el error que se

comete aproximando   de esta forma es

para una constante positiva a y para cada entero m. Este resultado fue ligeramente mejorado a lo largo de los años. Por otra parte, en 1901 Von Koch mostró que si la hipótesis de Riemann eracierta, se tenía la siguiente estimación, más precisa:21

Una forma equivalente al teorema de los números primos es que pn, el n-ésimo número primo, queda bien aproximado por nln(n). En efecto, pn es estrictamente mayor queeste valor.

Diferencia entre dos primos consecutivosArtículo principal: Diferencia entre dos números primos consecutivos.

Ligado a la distribución de los

números primos se encuentra el estudio delos intervalos entre dos primos consecutivos. Este intervalo, con la únicasalvedad del que hay entre el 2 y el 3, debeser siempre igual o mayor que 2, ya que entre dos números primos consecutivos al menos hay un número pary por tanto compuesto. Si dos números primos tienen por diferencia 2, se dice que son gemelos, y con la salvedad del "triplete"formado por los números3, 5 y 7, los números gemelos se presentan siempre de dos en dos. Esto también es fácil de demostrar: entre tres números impares consecutivos mayores que 3 siempre hay uno que es múltiplo de 3, ypor tanto compuesto. Los primeros pares de números primos gemelos son (3,5), (5,7), (11, 13), (17, 19) y (29, 31).

Por otra parte, la diferencia entre primosconsecutivos puede ser tan grande como se quiera: dado un número natural n, se denota por n! su factorial, esdecir, el producto de todos los números naturales comprendidos entre 1 y n. Los números

(n+1)!+2, (n+1)!+3,···,(n+1)!+n+1

son todos compuestos: si 2 ≤ i ≤ n+1, entonces (n+1)!+i es divisible entre i, por tanto, es compuesto. La sucesión, que comprende n enteros consecutivos, no contiene ningún número primo. Por ejemplo, si n=5, estos valores corresponden a:

6!+2=722=2·3616!+3=723=3·2416!+4=724=4·1816!+5=725=5·145

6!+6=726=6·121Número compuesto

Todo número natural no primo, a excepción del 1, se denomina compuesto, es decir, tiene uno o más divisores distintos a 1 y a sí mismo. También se utiliza el término divisible para referirse a estos números.

Los 30 primeros números compuestos son: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44 y 45.

Características[editar · editar código]

Artículo principal: Teorema fundamental de la aritmética.

Una característica de los números compuestos es que cada uno puede escribirsecomo producto de dos naturales menores que él. Así, el número 20 es compuestoporque puede expresarse como 4×5; y también el 87 ya que se expresa como 3×29. Sin embargo, no es posible hacer lo mismo con el 17 ó el 23 porque son números primos. Cada número compuesto se puede expresar como multiplicación de dos (o más) números primos específicos, cuyo proceso se conoce como factorización.

El número compuesto más pequeño es el 4 y no hay ninguno que sea mayor que todos los demás; hay infinitos números compuestos.

La forma más sencilla de demostrar que un número n es compuesto, es encontrarun divisor d comprendido entre 1 y n (1 < d < n). Por ejemplo, 219 es compuesto porque tiene a 3 por divisor. Y también 371 porque tiene a 7 por divisor. Sin embargo, este método deja de ser efectivo para números que son producto de primos grandes. Una buena alternativa es utilizar entonces el pequeño teorema de Fermat, o mejor la generalización de este teorema debida al matemático suizo Leonhard Euler.

Como los números primos y compuestos están entremezclados unos con otros es lógico preguntarse si existirán secuencias de números compuestos consecutivosde longitud arbitraria. La secuencia 32, 33, 34, 35 y 36 es un ejemplo de longitud 5, y 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125 y 126 un ejemplo de longitud 13. La respuesta es que podemos conseguir una secuencia de números compuestos tan larga como se desee. Si deseamos una secuencia de longitud 20, basta tomar los números 21!+2, 21!+3, 21!+4, ... , 21!+21, ya que el primero es divisible por 2, el segundo por 3, etcétera.

Un teorema de Fermat afirma que si p es primo de la forma 4n+1, entonces se da un caso de exclusion simple, que puede expresarse de forma única como sumade dos cuadrados. Si un número de la forma 4n+1 puede expresarse como suma dedos cuadrados de dos formas diferentes al menos, entonces el número es compuesto. Euler halló un método de factorización a partir de este hecho. Porejemplo, si 221 = 112 + 102 = 142 + 52, entonces, 142 - 112 = 102 - 52. Tomando mcd(14+11, 10+5) = mcd(25,15) = 5, y después 25/5 = 5 y 15/5 = 3, y por último 52 + 32 = 25 + 9 = 34, entonces mcd(221, 34) = 17 nos da el factor que buscamos. El 1 y el 0 son casos especiales y no se consideran ni primos ni compuestos.

Número perfectoUn número perfecto es un número natural que es igual a la suma de sus divisores propios positivos, sin incluirse él mismo. Dicho de otra forma,un número perfecto es aquel que es amigo de sí mismo.

Así, 6 es un número perfecto porque sus divisores propios son 1, 2 y 3; y 6 =1 + 2 + 3. Los siguientes números perfectos son 28, 496 y 8128.

Aparte, y considerando la suma de los divisores propios, existen otros tipos de números.

Números defectivos: la suma de los divisores propios es menor que el número.

Números abundantes: la suma es mayor que el número. Números amigos: a y b tales que a es la suma de los divisores propios

de b y viceversa. Números sociables: como los amigos, pero con un ciclo mayor de números. Números semiperfectos: la suma de todos o algunos de los divisores propios

es igual al número.

Índice

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Historia[editar · editar código]

El matemático Euclides descubrió que los cuatro primeros números perfectos

vienen dados por la fórmula  :

n = 2:   21 × (22 – 1) = 6n = 3:   22 × (23 – 1) = 28n = 5:   24 × (25 – 1) = 496n = 7:   26 × (27 – 1) = 8128

Al darse cuenta de que 2n – 1 es un número primo en cada caso, Euclides demostró que la fórmula 2n–1(2n – 1) genera un número perfecto par siempre que 2n – 1 es primo.

Los matemáticos de la Antigüedad hicieron muchas suposiciones sobre los números perfectos basándose en los cuatro que ya conocían. Muchas de estas suposiciones han resultado ser falsas.Una de ellas era que, como 2, 3, 5 y 7 eran precisamente los cuatro primeros números primos, el quinto número perfecto se obtendría con n = 11, el quinto número primo. Sin embargo, 211 –1 = 2047 = 23 × 89 no es primo y por tanto n = 11 no genera un número perfecto. Dos de las otras suposiciones equivocadas eran:

1. El quinto número perfecto tendría cinco dígitos, ya que los cuatro primeros tienen 1, 2, 3 y 4, respectivamente.

2. Los números perfectos terminarían alternativamente en 6 yen 8.

El quinto número perfecto (33 550 336) tiene 8 dígitos, contradiciendo así la primera suposición. En cuanto a la segunda, el quinto número perfecto acaba en 6, pero también el sexto (8 589 869 056) termina en 6. (El que la última cifra de un número perfecto par expresado en base 10 siempre sea 6 u 8 noes difícil de demostrar.)

Fue en 1603 cuando Pietro Cataldi halló los números perfectos sexto y séptimo, 216(217 – 1) = 8 589 869 056 y 218(219 – 1)= 137 438 691 328.1

Es verdad que si 2n – 1 es un número primo, entonces 2n–1(2n – 1) es un número perfecto, pero el recíproco no es necesariamente cierto. Hoy en día, a los números primos generados por la fórmula 2n – 1 se los conoce como números primos de Mersenne, en

honor al monje del siglo XVII Marin Mersenne, quien estudió teoría de números y números perfectos.

Posteriormente, Leonhard Euler demostró en el siglo XVIII que todos los números perfectos pares se generan a partir de la fórmula que ya descubrió Euclides.

No se conoce la existencia de números perfectos impares. Sin embargo, existen algunos resultados parciales al respecto. Si existe un número perfecto impar debe ser mayor que 10300, debe tener al menos 8 factores primos distintos (y al menos 11 si no es divisible por 3). Uno de esos factores debe ser mayor que 107, dos de ellos deben ser mayores que 10 000 y tres factores deben ser mayores que 100.

Otras propiedades de los números perfectos pares[editar · editar código]Son números triangulares[editar · editar código]

Un número triangular es de la forma  , donde «n» es un número entero positivo cualquiera distinto de cero.

Si partimos de la identidad   y distribuimos el producto del segundo miembro obtenemos:

.

La expresión   es un número primo de Mersenne y vemos que el término derecho de la identidad adopta la forma correspondiente a la definición de número triangular. Podemos afirmar que un número perfecto par es un número triangular y su orden es un número primo de Mersenne.

Son números combinatorios o coeficientes delbinomio[editar · editar código]Como todos los números triangulares están en la tercera columna del triángulo de Pascal y acabamos de ver que todo número perfecto par es un número triangular, los números

perfectos son también números combinatorios.  , donde   es la potencia correspondiente a un número primo de Mersenneaumentado en una unidad.

Son números hexagonales[editar · editar código]

Un número hexagonal es de la forma  , para «n» un número entero positivo cualquiera distinto de cero. Surge inmediatamente de la

identidad  , llamando «n» al número  .

Número entero

Resta con negativos. La resta de dos números naturales no es un número natural cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, sino que su valor es negativo: en la imagen, sólo pueden sustraerse 3 plátanos, por lo que se apunta un plátano «debido» o «negativo» (en rojo).

Los números enteros son un conjunto de números que incluye a los números naturales distintos de cero (1, 2, 3, ...), los negativos de los números naturales (..., −3, −2, −1) y al 0. Los enteros negativos, como −1 o −3 (se leen «menos uno», «menos tres», etc.), son menores que todos los enteros positivos (1, 2, ...) y que el cero. Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, a veces también se escribe un signo «más» delante de los positivos: +1, +5, etc. Cuando no se le escribe signo al número se asume que es positivo. El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra   = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ...}, que proviene del alemán Zahlen («números», pronunciado [ˈtsaːlən]).

Los números enteros no tienen parte decimal.

−783 y 154 son números enteros45,23 y −34/95 no son números enteros

Al igual que los números naturales, los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, de forma similar a los primeros. Sin embargo, en el caso de los enteros es necesario calcular también el signodel resultado.

Los números enteros extienden la utilidad de los números naturales para contar cosas. Pueden utilizarse para contabilizar pérdidas: si enun colegio entran 80 alumnos nuevos de primer curso un cierto año, pero hay 100 alumnos de último curso que pasaron a educación secundaria, en total habrá 100 − 80 = 20 alumnos menos; pero también puede decirse que dicho número ha aumentado en 80 − 100 = −20 alumnos.

También hay ciertas magnitudes, como la temperatura o la altura toman valores por debajo del cero. La altura del Everest es 8848 metros por encima del nivel del mar, y por el contrario, la orilla del Mar Muerto está 423 metros por debajo del nivel del mar; es decir, su altura se puede expresar como −423 m.

Índice

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Historia[editar · editar código]

Los números enteros positivos y negativos, son el resultado natural delas operaciones suma y resta. Su empleo, aunque con diversas notaciones, se remonta a la antigüedad.

El nombre de enteros se justifica porque estos números ya positivos o negativos, siempre representaban una cantidad de unidades no divisibles (por ejemplo, personas).

No fue sino hasta el siglo XVII que tuvieron aceptación en trabajos científicos europeos, aunque matemáticos italianos del renacimiento como Tartaglia y Cardano los hubiesen ya advertido en sus trabajos acerca de solución de ecuaciones de tercer grado. Sin embargo, la

regla de los signos ya era conocida previamente por los matemáticos dela India. [cita requerida]

Aplicación en contabilidad

Encuentran aplicación en los balances contables. A veces, cuando la cantidad adeudada o pasivo, superaba a la cantidad poseída o activo, se decía que el banquero estaba en «números rojos». Esta expresión venía del hecho que lo que hoy llamamos números negativos se representaban escritos en tinta roja así: 30 podía representar un balance positivo de 30 sueldos, mientras que 3 escrito con tinta roja podía representar, 3 sueldos, es decir, una deuda neta de 3 sueldos.

Introducción[editar · editar código]

Los números negativos son necesarios para realizar operaciones como:

3 − 5 = ?

Cuando el minuendo es más pequeño que el sustraendo, la resta no puede realizarse con números naturales. Sin embargo, hay situaciones en las que es útil el concepto de números negativos, como por ejemplo al hablar ganancias y pérdidas:

Ejemplo: Un hombre juega a la ruleta dos días seguidos. Si el primero gana 2000 pesos y al día siguiente pierde 1000, el hombre ganó en total 2000 − 1000 = $ 1000. Sin embargo, si el primer día gana 500 y al siguiente pierde 2000, se dice que perdió en

total 2000 − 500 = $ 1500. La expresión usada cambia en cada caso: ganó en total o perdió en total, dependiendo de si las ganancias fueron mayores que las pérdidas o viceversa. Estas dos posibilidades se pueden expresar utilizando el signo de los númerosnegativos (o positivos): en el primer caso ganó en total 2000 − 1000 = + $ 1000 y en el segundo ganó en total 500 − 2000 = − $ 1500. Así, se entiende que una pérdida es una ganancia negativa.

Números con signo[editar · editar código]Artículo principal: Signo (matemáticas).

Los números naturales 1, 2, 3,... son los números ordinarios que seutilizan para contar. Al añadirles un signo menos («−») delante se obtienen los números negativos:

Un número entero negativo es un número natural como 1, 2, 3, etc. precedido de un signomenos, «−». Por ejemplo −1, −2, −3, etcétera. Se leen «menos 1», «menos 2», «menos 3»,...

Además, para distinguirlos mejor, a los números naturales se les añade un signo más («+») delante y se les llama números positivos.

Un número entero positivo es un número natural como 1, 2, 3,... precedido de un signo más. «+».

El cero no es positivo ni negativo, y puede escribirse con signo más o menos o sin signo indistintamente, ya que sumar o restar cero es igual a no hacer nada. Toda esta colección de números son los llamados «enteros».

Los números enteros son el conjunto de todos los números enteroscon signo (positivos y negativos) junto con el 0. Se les representa por la letra Z, también escrita en «negrita de pizarra» como ℤ :

La recta numérica[editar · editar código]Artículo principal: Recta numérica.

Los números enteros negativos son más pequeños que todos los positivos y que el cero. Para entender como están ordenados se utiliza la recta numérica:

Se ve con esta representación que los números negativos son más pequeños cuanto más a la izquierda, es decir, cuanto mayor es el número tras el signo. A este número se le llama el valor absoluto:

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta de quitarle el signo. El valor absoluto de 0 es simplemente 0. Se representa por dos barras verticales «| |».

Ejemplo. |+5| = 5 , |−2| = 2 , |0| = 0.

El orden de los números enteros puede resumirse en:

El orden de los números enteros se define como:

Dados dos números enteros de signos distintos, +a y −b, el negativo es menor que el positivo: −b < +a.

Dados dos números enteros con el mismo signo, el menor de losdos números es: El de menor valor absoluto, si el signo común es «+». El de mayor valor absoluto, si el signo común es «−».

El cero, 0, es menor que todos los positivos y mayor que todos los negativos.

Ejemplo. +23 > −56 , +31 < +47 , −15 < −9 , 0 > −36

Operaciones con números enteros[editar · editar código]

Los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, igual que puede hacerse con los números naturales.

Suma[editar · editar código]

En esta figura, el valor absoluto y el signo de un número se representan por el tamaño del círculo y su color.

En la suma de dos números enteros, se determina por separado el signo y el valor absoluto del resultado.

Para sumar dos números enteros, se determina el signo y el valorabsoluto del resultado del siguiente modo:

Si ambos sumandos tienen el mismo signo: ese es también el signo del resultado, y su valor absoluto es la suma de los valores absolutos de los sumandos.

Si ambos sumandos tienen distinto signo: El signo del resultado es el signo del sumando con mayor

valor absoluto. El valor absoluto del resultado es la diferencia entre el

mayor valor absoluto y el menor valor absoluto, de entre los dos sumandos.

Ejemplo. (+21) + (−13) = +8 , (+17) + (+26) = +43 , (−41) + (+19) =−22 , (−33) + (−28) = −61

La suma de números enteros se comporta de manera similar a la suma de números naturales:

La suma de números enteros cumple las siguientes propiedades:

Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, las sumas (a + b) + c y a + (b + c) son iguales.

Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, las sumas a + b y b + a son iguales.

Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan inalterados al sumarles 0: a + 0 = a.

Ejemplo.

1. Propiedad asociativa:

[ (−13) + (+25) ] + (+32) = (+12) + (+32) = (+44)(−13) + [ (+25) + (+32) ] = (−13) + (+57) = (+44)

2. Propiedad conmutativa:

(+9) + (−17) = −8

(−17) + (+9) = −8

Además, la suma de números enteros posee una propiedad adicional que no tienen los números naturales:

Elemento opuesto o simétrico. Para cada número entero a, existe otro entero −a, que sumado al primero resulta en cero: a + (−a) = 0.

Resta[editar · editar código]La resta de números enteros es muy sencilla, ya que ahora es un caso particular de la suma.

La resta de dos números enteros (minuendo menos sustraendo) se realiza sumando el minuendo más el sustraendo cambiado de signo.

Ejemplos(+10) − (−5) = (+10) + (+5) = +15(−7) − (+6) = (−7) + (−6) = −13(−4) − (−8) = (−4) + (+8) = +4(+2) − (+9) = (+2) + (−9) = −7

Estrictamente, si a y b son dos enteros cualesquiera entonces

a - b = a + (-b), donde se entiende que (-b) es el opuesto o simétrico de b, que siempre existe. Ese hecho asegura que la sustracción de enteros sea una operación binaria en ℤ 1 .

Multiplicación[editar · editar código]La multiplicación de números enteros, al igual que la suma, requiere determinar por separado el signo y valor absoluto del resultado.

En la multiplicación (o división) de dos números enteros se determinan el valor absoluto y el signo del resultado de la siguiente manera:

El valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores.

El signo es «+» si los signos de los factores son iguales,y «−» si son distintos.

Para recordar el signo del resultado, también se utiliza la regla de los signos:

Regla de los signos

(+) × (+)=(+) Más por más igual a más.

(+) × (−)=(−) Más por menos igual a menos.

(−) × (+)=(−) Menos por más igual a menos.

(−) × (−)=(+) Menos por menos igual a más.

Ejemplo. (+4) × (−6) = −24 , (+5) × (+3) = +15 , (−7) × (+8) = −56 , (−9) × (−2) = +18.

La multiplicación de números enteros tiene también propiedades similares a la de números naturales:

La multiplicación de números enteros cumple las siguientes propiedades:

Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c,los productos (a × b) × c y a × (b× c) son iguales.

Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, los productos a × b y b × a son iguales.

Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan inalterados al multiplicarlos por 1: a× 1 = a.

Ejemplo.

1. Propiedad asociativa:1. [ (−7) × (+4) ] × (+5) = (−28) × (+5) = −140

(−7) × [ (+4) × (+5) ] = (−7) × (+20) = −140

2. Propiedad conmutativa:

(−6) × (+9) = −54

(+9) × (−6) = −54

La suma y multiplicación de números enteros están relacionadas, al igual que los números naturales, por la propiedad distributiva:

Propiedad distributiva. Dados tres números enteros a, b y c, el producto a × (b + c) y la suma de productos (a × b) + (a × c) son idénticos.

Ejemplo.

(−7) × [ (−2) + (+5) ] = (−7) × (+3) = −21 [ (−7) × (−2) ] + [ (−7) × (+5) ] = (+14) + (−35) = −21

Propiedades algebraicas[editar · editar código]

Artículo principal: Propiedades de los números enteros.

El conjunto de los números enteros, considerado junto con sus operaciones de adición y multiplicación, tiene estructura que, en matemáticas, se denomina anillo, como también la de dominio de integridad 2 .

Más allá de su estructura algebraica, el conjunto de los númerosenteros tiene una relación de orden. Juega un rol de primera importancia en Teoría de números. Es posible realizar entre dos enteros a , b ≠ 0, el algoritmo de de la división o división euclidiana 3

Los números enteros pueden además construirse a partir de los números naturales mediante clases de equivalencia o bien axiomáticamente mediante adición, multiplicación y relación de orden4 .

Número negativo

Si la temperatura a la que el agua se congela es 0 °C, las temperaturas más bajas se representan con números negativos y las más altas con positivos.

Un número negativo es cualquier número cuyo valor es menor que cero y, por tanto, que los demás números positivos, como 7, 49/22 o π. Se utilizan para representar pérdidas, deudas, disminuciones o decrecimientos, entre otras cosas.

Se representan igual que los positivos, pero añadiendo un signo menos «−» delante de ellos: −4, −2,5, −√8, etc. (estos números se leen: "menos cuatro","menos dos coma cinco", etc.) A veces, se añade un signo más «+» a los números positivos para distinguirlos mejor: +3, +9/12, +4√22, etc. (más tres,más 9 doceavos, etc.)

Uno de los usos de los números negativos es representar pérdidas: si una persona en un año gana 20 000 pesos pero gasta 25 000, al final del año ha perdido 25 000 − 20 000 = $ 5000; pero también puede decirse que sus ahorros han aumentado 20 000−25 000 = − $ 5000.

También se utilizan para representar temperaturas y otras magnitudes por debajo del cero. Cuando la temperatura es de 0 °C (cero grados Celsius) el agua se congela. Si el ambiente se calienta, la temperatura crece, pero sise enfría aún más, desciende por debajo de cero: por ejemplo, el mercurio, un metal líquido, se congela a 39 grados bajo cero, o sea a −39 °C (aproximadamente).

Índice

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Introducción[editar · editar código]

Los números negativos son necesarios para realizar operaciones como:

3 − 5 = ?

Cuando el minuendo es más pequeño que el sustraendo, la resta no puede realizarse. Sin embargo, hay situaciones en las que es útil el concepto denúmeros negativos, como en el ejemplo de la introducción sobre ganancias ypérdidas:

Ejemplo: Una persona juega a la ruleta dos días seguidos. Si el primero gana 200 euros y al día siguiente pierde 100, diremos que la persona ganó

en total 200 − 100 = 100€. Sin embargo, si el primer día gana 50 y al siguiente pierde 200, decimos que perdió en total 200 − 50 = 150 €. La expresión que usamos cambia en cada caso: ganó en total o perdió en total, dependiendo de si las ganancias fueron mayores que las pérdidas o viceversa. Podemos expresar estas dos posibilidades utilizando el signo delos números negativos (o positivos): en el primer caso ganó en total 200 −100 = +100 € y en el segundo ganó en total 50 − 200 = −150 €. Entendemos así que una pérdida es una ganancia negativa.

Números con signo[editar · editar código]Artículo principal: Signo (matemáticas).

Los números naturales 1, 2, 3,... son los números ordinarios que se utilizan para contar. Si les añadimos un signo menos «−» delante, obtenemos los números enteros negativos:

Un número entero negativo es un número natural como 1, 2, 3, etc. precedido de un signomenos «−». Por ejemplo −1, −2, −3, etcétera. Se leen "menos 1", "menos 2", "menos 3",...

De este modo, a todos los números positivos como los números racionales positivos o los números reales positivos tienen su contrapartida negativa, anteponiendo el signo «−». Para distinguirlos mejor, en ocasiones se añade a los números positivos un signo más «+», enfatizando la diferencia con los negativos:

+5, +2/3 , +π, ...

En ausencia de signo, se entiende que un número es positivo. El cero puede escribirse con signo más o menos indistintamente, porque sumar orestar cero es igual a no hacer nada, y por lo general se deja sin signo.

La recta numérica[editar · editar código]Artículo principal: Recta numérica.

Los números negativos son más pequeños que todos los positivos y que el cero. Para entender como están ordenados se utiliza la recta numérica:

Se ve con esta representación que los números negativos son más pequeños cuanto mayor es el número tras el signo «−». A este número sele llama el valor absoluto:

El valor absoluto de un número es el número (positivo) que resulta de quitarle el signo, «+» o «−». El valor absoluto de ±0 es simplemente 0. Se representa por dos barras verticales "| |".

Ejemplo. |+5| = 5 , |−2,7| = 2,7 , |+0| = |−0| = 0.

Ahora puede entenderse como están ordenados los números negativos:

Para comparar dos números distintos con signo:

Si tienen distintos signos, el que tiene el signo menos «−» es menor que el que tenga el signomás «+».

Si tienen el mismo signo: Si el signo común es más «+», el que tiene el menor valor

absoluto es el menor. Si el signo común es menos «−», el que tiene el mayor valor

absoluto es el menor.

El cero es un caso especial: puede elegirse con signo «+» o «−» y

el resultado no depende de ello. En resumen, el cero es menor que los números positivos y mayor que los números negativos.

Ejemplo.

1. Comparemos +4 y −5: tienen signo distinto, por lo que el que tiene el signo «−» es el menor. Por tanto: −5 < +4.

2. Comparemos +3 y +1: tienen el mismo signo, y este es «+», por loque el que tiene el menor valor absoluto es el menor: +1 < +3.

3. Comparemos −2 y −5: tienen el mismo signo, y este es «−», así que el que tiene el mayor valor absoluto es el menor: −5 < −2.

4. Comparemos 0 y +3. Sabemos que el resultado es 0<+3, porque 0 esmenor que todos los números positivos, pero podemos aplicar las reglas anteriores poniéndole signo al cero y el resultado será idéntico:

Si escribimos el 0 como +0, ambos tienen el mismo signo, y el que tiene menor valor absoluto es el menor: +0 < +3.

Si escribimos el 0 como −0, tienen signo distinto, y el que tiene el signo «−» es el menor: −0 < +3.

Operaciones con números negativos[editar · editar código]

Los números con signo pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse. También puedentomarse potencias con números negativos en la base o el exponente. En general se ha de determinar por separado el signo y el valor absoluto del resultado. Para realizar operaciones con número con signo, han de utilizarse paréntesis para facilitar la lectura de los cálculos y evitar errores. Por ejemplo, si queremos sumar los números −4 y +3, no escribiremos

−4 + +3 ,

sino

(−4) + (+3)

Suma[editar · editar código]Suma de números con signo

La suma de dos números con signo puede realizarse desplazándose a lo largo de la recta numérica:

-Los sumandos se representan por flechas que van desde elcero hasta

el número correspondiente. Las que corresponden a números positivos

apuntan hacia la derecha, y hacia la izquierda para los negativos.

-Uniendo el extremo final de una con el extremo inicial de otra, seobtiene la suma de los dos sumandos.

En esta figura, el valor absoluto y el signo de un número se representan por el tamaño del círculo y su color. Se ve que:

-El signo del resultado es el signo del sumando con mayor valor

absoluto.

-El valor absoluto del resultado crece si ambos sumandos son del mismo signo (se suman sus valores absolutos) y decrece si son distintos (al mayor se le resta el menor).

La suma de dos números negativos es muy similar a la de los números positivos. Por ejemplo, si una persona tiene dos

deudas con dos bancos distintos, por valores de 1000 y 2000 pesos respectivamente, entonces debe pagar en total 3000 pesos. Por esta razón se dice

(−1000) + (−2000) = −3000

Para sumar dos números de distinto signo, se puede pensaren la combinación de una deuda y una ganancia. Una persona con una deuda de 200 euros que recibe una paga puede saldar parte o toda la deuda. Si la paga es de 50 euros, prodrá reducir su deuda a 150 euros; mientras que si la paga es de 500, puede saldar por completo la deuda y aún le sobran 300 euros. Esto se representa como:

(−200) + (+50) = −150(−200) + (+500) = +300

Estas sumas también pueden entenderse de otras maneras, como desplazamientos a izquierda o derecha en la recta numérica. En resumen, la suma de números con signo se separa en dos pasos, para determinar las dos características del resultado, su valor absoluto y su signo:

Para sumar dos números con signo, determinamos el signo y el valor absoluto del resultado del siguiente modo:

Si ambos sumandos tienen el mismo signo: ese es también el signo del resultado, y su valorabsoluto es la suma de los valores absolutos de los sumandos.

Si ambos sumandos tienen distinto signo: El signo del resultado es el signo del

sumando con mayor valor absoluto. El valor absoluto del resultado es la

diferencia entre el mayor valor absoluto yel menor valor absoluto, de entre los dos sumandos.

Ejemplo.

1. (+4,5) + (−2,3). Tienen distinto signo, y +4,5 es el que tiene mayor valor absoluto. El signo del resultado es entonces «+», y su valor absoluto es la diferencia 4,5 − 2,3 = 2,2. O sea: (+4,5) + (−2,3) = +2,2.

2. (+1) + (+5). Tienen el mismo signo («+»), así que el signo del resultado es «+» y el valor absoluto es la suma de los valores absolutos 1+5 = 6. O sea: (+1) + (+5) = +6

3. (−6) + (+3/4). Tienen distinto signo, y es −6 el que tiene mayor valor absoluto, así que el signo del resultado es «−» y el valor absoluto es la diferencia 6 − 3/4 = 21/4. O sea: (−6) + (+3/4) = −21/4.

4. (−4) + (−7). Tienen el mismo signo («−»), luego el signo del resultado es también «−»y su valor absoluto es la suma de ambos 4 +7 = 11. O sea: (−4) + (−7) = −11.

Resta[editar · editar código]La resta de números con signo es muy sencilla, ya que ahora la tratamos como un caso particular de la suma.

La resta de dos números con signo (minuendo menos sustraendo) se realiza sumando el minuendo más el sustraendo cambiado de signo.

Ejemplo.

1. (+10) − (−5) = (+10) + (+5) = +152. (−7,4) − (+6) = (−7,4) + (−6) = −13,43. (−4) − (−8) = (−4) + (+8) = +44. (+2/3) − (+9/7) = (+2/3) + (−9/7) = −4/21

Multiplicación[editar · editar código]

Regla de los signos. Dos cargas eléctricas se repelen sison del mismo signo y se atraen si son de signos distintos. Lafuerza que ejerce la carga grande sobre la pequeña es entonces es positiva (empuja) o negativa (tira). La fuerza depende pues del producto de dos números con signo, las dos cargas.

La multiplicación de un número positivo por otro número, positivo o negativo es sencilla de entender, como repetición de una suma:

(+3) × (+1000) = (+1000) + (+1000) + (+1000) = +3000(+2) × (−2000) = (−2000) + (−2000) = −4000

En otras palabras: el triple de un ingreso de 1000 pesos es un ingreso de 3000 pesos; y el doble de una deuda de 2000 pesos es una deuda de 4000 pesos. El producto de un número negativo por otro número con signo puede entenderse como resultado de las propiedades conmutativa y distributiva de la multiplicación:

1. 4 × 5 = 5 × 4 = 20

2. 5 × (3 + 2) = 5 × 5 = 25 y a su vez 5× 3 + 5 × 2 = 15 + 10 = 25

Entonces, el producto de un número negativopor otro número con signo es

1. (−5) × (+4) = (+4) × (−5) = (−5) + (−5) + (−5) + (−5) = −20

2. (−2) × (+5) + (−2) × (−4) = (−2) × [ (+5) + (−4) ] = (−2) × (+1) = −2

Puesto que (−2) × (+5) es (+5) × (−2) = −10, la única posibilidad es que (−2) × (−4) = +8.

En resumen, la multiplicación de números con signo, al igual que la suma, requiere determinar por separado el signo y valor absoluto del resultado:

En la multiplicación de dos números con signo se determinan el valor absoluto y elsigno del resultado de la siguiente manera:

El valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores.

El signo es «+» si los signos de los factores son iguales, y «−» si son distintos.

Para recordar el signo del resultado, también se utiliza la regla de los signos:

Regla de los signos

(+) × (+)=(+) Más por más igual a más.

(+) × (−)=(−) Más por menos igual a menos.

(−) × (+)=(−) Menos por más igual a

menos.

(−) × (−)=(+) Menos por menos igual a más.

Ejemplo.

1. (+4,5) × (−6). El signo de los factores es distinto, así que el signo del resultado es «−». El producto de los valores absolutos es 4,5 × 6 = 27. O sea: (+4,5) × (−6) = −27.

2. (+5) × (+3). El signo de los factoreses idéntico, así que el signo del resultado es «+». El producto de los valores absolutos es 5×3 = 15. O sea:(+5) × (+3) = +15.

3. (−7/5) × (+8/3). El signo de los factores es distinto, luego el signo del resultado es «−». El producto de los valores absolutos es 7/5 × 8/3 = 56/15. O sea: (−7/5) × (+8/3) = −56/15.

4. (−9) × (−2). El signo de los factoreses el mismo, así que el signo del resultado es «+». El producto de los valores absolutos es 9×2 = 18. O sea:(−9) × (−2) = +18.

División[editar · editar código]La división de números con signo es similara la multiplicación, puesto que también respeta la regla de los signos:

En la división de dos números con signo (dividendo entre divisor) el resultado se determina como sigue:

El valor absoluto del resultado es el cociente entre los valores absolutos del dividendo y el divisor.

El signo del resultado se determina por la regla de los signos: signo «+» si los signos son iguales y «−» si sondistintos.

Ejemplo.

1. (−7) ÷ (+2) = −(7 ÷ 2) = −3,52. (+8) / (+4) = +(8/4) = +23. (−31,2) ÷ (−5,2) = +(31,2 ÷ 5,2) = +64. (+14) / (−3) = −(14/3) = −14/3

Potencias[editar · editar código]Una potencia de un número negativo elevado a un número entero es sencilla de entender,puesto que puede descomponerse en repetidasmultiplicaciones:

(−3)4 = (−3) × (−3) × (−3) × (−3) = +81

No siempre es posible calcular la potencia de un número negativo elevado aun exponente que no sea entero:

(−32)1/5 = −2 , ya que (−2)5 = −32No existe (−7)1/2 , ya que el cuadrado de un número real es siempre positivo: (+) × (+) = (−) × (−) = (+)

Si el exponente es un número negativo, como 3−2, esta operaciónpuede entenderse debido a las propiedades usuales de las potencias cuando son multiplicadas:

Sabiendo que: 42 × 43 = (4 × 4) × (4 × 4 × 4) = 42+3 = 45 ,

entonces: 3−2 × 33 = 3(−2) + (+3) = 31 = 3 ,y puesto que 33 = 27, ha de ser 3−2 = 1/9, ya que 27 × 1/9 = 27/9 = 3.

Resumiendo, las potencias se definen como:

Números pares e impares(Redirigido desde «Número par»)

En caso un número par es un número entero que se puede escribir de la forma: 2k, donde k es un entero (los números pares son los múltiplos del número 2).

Los números enteros que no son pares, se llaman números impares (o nones), y se pueden escribir como 2k+1.1

Los números pares son:

y los impares:

La paridad de un número entero se refiere a su atributo de ser par o impar.2 Comparativamente, dos números son «de la misma paridad» si al dividirlos entre 2, el resto es el mismo, por ejemplo: 2 y 4, o 3 y 7;«son de la misma paridad». Por el contrario losnúmeros 23 y 44 « son de distinta paridad».

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Reconocimiento[editar · editar código]

Si la base de numeración utilizada es un número par (por ejemplo, base10 o base 8), podremos reconocer un número par si su último dígito también es par.

Por ejemplo, el siguiente número en base 10:

es par ya que su último dígito: 6, también es par.

Lo mismo sucede con el siguiente número en base 6:

Si la base del sistema de numeración es impar, ( 3, 5, etc), el número será par si el número de dígitos con cifra impar es par, en cualquier otro caso el número será impar.

Por ejemplo, en base 3:

es impar, dado que el uno es la única cifra impar, mientras que:

Como el 3 y el 1 son impares, hay un número par de cifrasimpares y el número es par.

Paridad del cero[editar · editar código]Artículo principal: Paridad del cero.

El cero es un número par, cumple con la definición así como con todas las propiedades de los número pares.

Propiedades aritméticas[editar · editar código]

Los números pares tienen las siguientes propiedades con respecto a los impars:

1. .2.3.4.5.6.

Para demostrarlas, tendremos en cuenta que cualquier número par puede ser escrito como   y cualquier número impar como  , siendo   un número entero.

1.2.

3.

4.5.

6.

Propiedades con respecto a la divisibilidad[editar · editar código]

Dos números enteros consecutivos tiene paridad diferente.

Dados tres enteros consecutivos, dos serán de la misma paridad y uno de ellos será necesariamente de paridad distinta de los otros dos.

Tipos especiales de números pares[editar · editar código]

Los números perfectos, son pares. Los factoriales de un natural diferente de 1 y de 0 y

los números primoriales son pares. Los números congruentes de Fibonacci son todos pares.

Según la definición del mismo Fibonacci (Leonardo de Pisa, Filius Bonacci), que aparece en su libro "LiberQuadratorum" (1225), un número congruente es de la forma m·n (m² - n²), con m y n enteros positivos impares y m > n.

Tipos especiales de números impares[editar · editar código]

Los números primos, con la única salvedad del 2, que es par. Se trata de aquellos números naturales que notienen otros divisores más que ellos mismos y el 1. Los números primos de la forma  , con n un

número natural cualquiera, se descomponen de una única manera en suma de dos cuadrados de números enteros. Esto fue estudiado por Fermat y permite que ese primo sea la hipotenusa de un triángulo rectángulo diofántico o diofantino. Estas últimas dos palabras se refieren a triángulos con lados enteros positivos en honor a Diofanto de Alejandría, quien estudió los problemas en los queinteresa obtener soluciones enteras.

Los primos de la forma   no pueden expresarse como suma de dos cuadrados enteros, pero sí como diferencia de cuadrados. La raíz cuadrada del cuadrado mayor, o minuendo de la diferencia, es igual a  , donde n es el mismo natural que aparece en la expresión del número primo.

Definiciones en desuso[editar · editar código]En el libro 7 de los Elementos de Euclides3 (definiciones8 a 10) vienen definidas unas clases de números que, aunque hoy en desuso, han sido citadas de forma recurrente en libros históricos de matemáticas.

Número parmente par, pariter par o propiamente par «es el medido por un número par según un número par». Sería, por tanto, el producto de dos números pares (todos son múltiplos de 4).

Número parmente impar o pariter impar «es el medido por un número par según un número impar», es decir, el producto de un número par por un número impar.

Número imparmente impar, impariter impar o propiamente impar «es el medido por un número impar según un número impar», es decir, el producto de dos números impares.

Observaciones:

En estas definiciones, el 1 no cuenta como número,4 5 por lo que los números imparmente impares son exactamente los números impares compuestos. Estosson los números que se emplean en la criba de Sundaram para hallar números primos: un número primo será todo número impar (con la consabida excepción del 2) que no esté en la criba de Sundaram.

Algunos números se consideran tanto parmente pares como parmente impares. Por ejemplo, 24 es igual a 6 por 4, así que es parmente par; pero también es iguala 3 por 8, con lo que es parmente impar.

Algunas fuentes, tales como Dorado contador. Aritmética

especulativa y práctica (1794)6 y el más reciente Enjambre

matemático,7 utilizan otra definición para los números parmente pares: no se trata de los que son productos de dos pares, sino de los que sólo se pueden expresar como producto de dos pares (exceptuando, por supuesto, el producto de sí mismos por uno). Según esta definición, los números parmente pares son exactamente las potencias de 2. Asimismo, definen el número parmente impar como el múltiplo de una potencia de 2 por un número impar e introducen el concepto, ausente en la obra de Euclides,7 de número imparmente par como un número que esdoble de un número impar. La definición del número imparmente impar no sufre variación.

El libro Llave aritmética y algebrayca8 utiliza las primeras definiciones y explica el caso de que haya números que son simultáneamente parmente pares y parmente impares. Esta definición, además, queda reforzada en la proposición 32 del libro 9 de los Elementos,3 que explicaasí: «Cada uno de los números (que es continuamente) duplicado a partir de una díada es solamente un (número) parmente par».

Número racional

Diagrama usado en la demostración de que los racionales son numerables (Georg Cantor).

En matemáticas, se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros (más precisamente, un entero y un natural positivo1 ) es decir, una fracción común a/b con numerador a y denominador b distinto de cero. El término «racional» alude a fracción o parte de un todo. El conjunto de los números racionales se denota por Q (o bien  , en negrita de pizarra) que deriva de «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números enteros ( ), y es un subconjunto de los números reales ( ).

La escritura decimal de un número racional es, o bien un número decimal finito, o bien periódico. Esto es cierto no solo para números escritos en base 10 (sistema decimal), también lo es en base binaria, hexadecimal o cualquier otra base entera. Recíprocamente, todo

número que admite una expansión finita o periódica (en cualquier base entera), es un número racional.

Un número real que no es racional, se llama número irracional; la expansión decimal de los números irracionales, a diferencia de los racionales, es infinita no-periódica.

En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante canónico de dicho número racional a la fracción irreducible. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia sobre  .

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Construcción formal[editar · editar código]

Véanse también: Dominio de integridad y Cuerpo de cocientes.

El conjunto de los números racionales puede construirse a partir del conjuntode fracciones cuyo numerador y cuyo denominador son números enteros. El conjunto de los números racionales no es directamente identificable con el conjunto de fracciones, porque a veces un número racional puede representarsepor más de una fracción por ejemplo:

Para poder definir los números racionales debe definirse cuando dos fracciones diferentes son equivalentes y por tanto representan el mismo número racional. Formalmente cada número racional puede representarse como la clase de equivalencia de un par ordenado de enteros, con la siguiente relación de equivalencia:

 [Mostrar] Demostración

Para el conjunto de los números racionales puede escribirse:

Y si se tienen en cuenta la relación de equivalencia anterior de hecho se tiene:

Aritmética de los números racionales[editar · editar código]

Representación gráfica de las fracciones cuyo divisor es 4.

Definición de suma y multiplicación en Q[editar · editar código]

Se define la suma 

Se define la multiplicación 

Relaciones de equivalencia y orden en Q[editar · editar código]

Se define la equivalencia   cuando 

Los racionales positivos son todos los   tales que 

Los racionales negativos son todos los   tales que 

Se define el orden   cuando Existencia de neutros e inversos[editar · editar código]

Para cualquier número racional:   se cumple que   entonces   es el neutro aditivo de los racionales y se le denota por  .

Para cualquier número racional:   se cumple que   entonces   es el neutro multiplicativo de los racionales y se le denota por  .

Cada número racional:   tiene un inverso aditivo   tal

que 

Cada número racional:   con excepción de   tiene un inverso

multiplicativo   tal que Equivalencias notables en Q[editar · editar código]

Todo número entero   se puede escribir como fracción 

 con   y 

 con   y 

 con   y  .Propiedades[editar · editar código]

El conjunto  , con las propiedades de adición y multiplicación definidas más arriba, conforma un cuerpo conmutativo: el cuerpo de cocientes de los enteros  .

Los racionales son el menor cuerpo con característica nula.

La clausura algebraica de  , es el conjunto de los números algebraicos.

El conjunto de los números racionales es numerable, es decir que existe una biyección entre   y   (tienen la misma cantidad de elementos). El conjunto de los número reales no es numerable (la parte no-denombrable de los reales, la constituyen los números irracionales).

Propiedad arquimediana: el conjunto   es denso en   por construcción misma de  ; es decir, para cualquier pareja de números reales existe otro número racional situado entre ellos.

Los racionales forman un dominio de factorización única ya que todo racional puede descomponerse en la forma:   donde   son números enteros primos,   (siendo algunos de ellos negativos si q no es entero) y  . Por

ejemplo  .

Escritura decimal[editar · editar código]Representación racional de los números decimales[editar · editar código]Todo número real admite una representación decimal ilimitada, esta representación es única si se excluyen secuencias infinitas de 9 (como por ejemplo el 0,9 periódico). Todo número decimal finito o periódico puede expresarse como número racional de la siguiente manera:

Decimales exactos o finitos: se escribe en el numerador la expresión decimal sin la coma (como un número entero), y en el denominador un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales.

Ejemplo:  Decimales periódicos puros: la fracción correspondiente tiene como

numerador la diferencia entre el número escrito sin la coma, y la parte anterior al periodo; y como denominador, tantos "9" como cifras tiene el periodo.

Ejemplo:  Decimales periódicos mixtos: tendrá como numerador la diferencia entre   

y  , donde   es el número escrito sin la coma, y   es el número sin la parte decimal periódica, escritos ambos como números enteros. El denominador tendrá tantos "9" como cifras tiene el periodo y otros tantos "0" como cifras tenga el anteperíodo. Ejemplo: Sea el número   entonces   

y  , por lo que la fracción correspondiente

será  , es decir:  .Desarrollo decimal de los números racionales[editar · editar código]El valor decimal de un número racional, es simplemente el resultado de dividir el numerador entre el denominador. Los números racionales se caracterizan portener una escritura decimal que sólo puede ser de tres tipos:

Exacta: la parte decimal tiene un número finito de cifras. Al no ser significativos, los ceros a la derecha del separador decimal pueden omitirse, lo que da por resultado una expresión «finita» o «terminal».

Ejemplo:

Periódica pura: toda la parte decimal se repite indefinidamente. Ejemplo:

Periódica mixta: no toda la parte decimal se repite. Ejemplo:

Nota: lo mismo se aplica al desarrollo decimal de un número racional enbases distintas de diez.

Número racional en otras bases[editar · editar código]En un sistema de numeración posicional de base racional, las fracciones irreducibles cuyo denominador contiene factores primos distintos de aquellos que factorizan la base, no tienen representación finita.

Ejemplos: En base 10, un racional tendrá un desarrollo finito si y

sólo si el denominador de su fracción irreducible es de la forma 2n·5p (n y p enteros).

En base duodecimal es infinita y recurrente la representación de todas aquellas fracciones cuyo denominadorcontiene factores primos distintos de 2 y 3.

Propiedades topológicas de los números racionales[editar · editar código]

Forman un subconjunto denso de los números reales: todo número real tiene racionales arbitrariamente cerca.

Poseen una expansión finita como fracción continua regular. Con la topología del orden, forman un anillo topológico, o

de grupo parcialmente ordenado; presentan una topología inducida; también forman un espacio métricocon la métrica d(x,y)= |x − y|.

Los racionales son un ejemplo de espacio que no es localmente compacto.

Se caracterizan topológicamente por ser el único espacio metrizable numerable sin puntos aislados (también es totalmente discontinuo). Los números racionales no forman un espacio métrico completo.

Número p-ádico[editar · editar código]Sea p un número primo y para todo entero no nulo a, sea |a|p = p−n, donde pn es la mayor potencia de p que divide a a.

Si |0|p = 0, y para cada número racional a/b, |a/b|p = |a|p / |b|

p, entonces la función multiplicativa   define una métrica sobre  .

El espacio métrico   no es completo, su completitud es el cuerpo de los números p-ádicos  . El teorema de Ostrowski aseguraque todo valor absoluto no-trivial sobre   es equivalente ya sea al valor absoluto usual, o al valor absoluto p-ádico.

Número real

Diferentes clases de números reales.

Recta real.

En matemáticas, los números reales (designados por  ) incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y elcero) como a los números irracionales; y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes1 (1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras

decimales aperiódicas, tales como:  , el número real log2, cuya trascendencia fue mentada por Euler en el siglo XVIII.2

Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.

Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear unabase rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.3 En una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind.

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Historia[editar · editar código]

Los egipcios dieron origen por primera vez a las fracciones comunes alrededordel año 1000 a. C.; alrededor del 500 a. C. un grupo de matemáticos griegos liderados por Pitágoras se dio cuenta de la necesidad de los números irracionales. Losnúmeros negativos fueron ideados por matemáticos indios cerca del 600, posiblemente reinventados en China poco después, pero no se utilizaron en Europa hasta el siglo XVII, si bien a

finales del XVIII Leonhard Euler descartó las soluciones negativas de las ecuaciones porque las consideraba irreales. En ese siglo, en el cálculo se utilizaban números reales sin una definición precisa, cosa que finalmente sucedió con la definición rigurosa hecha por Georg Cantor en 1871.

En realidad, el estudio riguroso de la construcción total de los números reales exige tener amplios antecedentes de teoría de conjuntos y lógica matemática. Fue lograda la construcción y sistematización de los números reales en el siglo XIX por dos grandes matemáticos europeos utilizando vías distintas: la teoría de conjuntos de Georg Cantor (encajamientos sucesivos, cardinales finitos e infinitos), por un lado, y el análisis matemático de Richard Dedekind (vecindades, entornos y cortaduras de Dedekind). Ambos matemáticos lograron la sistematización de los números reales en la historia,no de manera espontánea, sino utilizando todos los avances previos en la materia: desde la antigua Grecia y pasando por matemáticos como Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann, Cauchy yWeierstrass.

Evolución del concepto de número[editar · editar código]Se sabe que los egipcios y babilónicos hacían uso de fracciones (números racionales) en la resolución de problemas prácticos. Sin embargo, fue con el desarrollo de la matemática griega cuando se consideró el aspecto filosófico de número. Los pitagóricos descubrieron que las relaciones armónicas entre las notas musicales correspondían a cocientes de números enteros, lo que les inspiró a buscar proporciones numéricas en todas las demás cosas, y lo expresaron con la máxima «todo es número».

En la matemática griega, dos magnitudes son conmensurables si es posible encontrar una tercera tal que las primeras dos sean múltiplos de la última, es decir, es posible encontrar una unidad común para la que las dos magnitudestengan una medida entera. El principio pitagórico de que todo número es un cociente de enteros, expresaba en esta forma que cualesquiera dos magnitudes deben ser conmensurables.

Sin embargo, el ambicioso proyecto pitagórico se tambaleó ante el problema demedir la diagonal de un cuadrado, o la hipotenusa de un triángulo rectángulo,pues no es conmensurable respecto de los catetos. En notación moderna, un

triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1, tiene una hipotenusa que mide :

Si   es un número racional donde   está reducido a sus términos mínimos (sin factor común) entonces 2q²=p².

La expresión anterior indica que p² es un número par y por tanto p también,es decir, p=2m. Sustituyendo obtenemos 2q²=(2m)²=4m², y por tanto q²=2m².

Pero el mismo argumento usado nos dice ahora que q debe ser un número par, esto es, q=2n. Mas esto es imposible, puesto que p y q no tienen factores comunes (y hemos encontrado que 2 es un factor de ambos).

Por tanto, la suposición misma de que   es un número racional debe ser falsa.

Surgió entonces un dilema, ya que de acuerdo al principio pitagórico: todo número era racional, mas la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles no era conmensurable con los catetos, lo cual implicó que en adelante las magnitudes geométricas y las cantidades numéricas tendrían que tratarse porseparado, hecho que tuvo consecuencias en el desarrollo de la matemática durante los dos milenios siguientes.4 Los griegos desarrollaron una geometría basada en comparaciones (proporciones) de segmentos sin hacer referencia a valores numéricos, usando diversas teorías para manejar el caso de medidas inconmesurables, como la teoría de proporciones de Eudoxo. Así, los números irracionales permanecieron a partir de entonces excluidos de la aritmética puesto que sólo podían ser tratados mediante el método de infinitas aproximaciones. Por ejemplo, los pitagóricos encontraron (en notación moderna) que si a/b es una aproximación a   entonces p=a+2b y q=a+bson tales que p/q es una aproximación más precisa. Repitiendo el proceso nuevamente se obtienen mayores números que dan una mejoraproximación.5 Dado que las longitudes que expresan los números irracionales podían ser obtenidas mediante procesos geométricos sencillos pero, aritméticamente, sólo mediante procesos de infinitas aproximaciones, originó que durante 2000 años la teoría de los números reales fuese esencialmente geométrica,

identificando los números reales con los puntos de una línea recta. Nuevos avances en el concepto de número real esperaron hasta los siglos XVI y XVII, con el desarrollo de la notación algebraica, lo que permitió la manipulación y operación de cantidades sin hacer referencia a segmentos y longitudes. Por ejemplo, se encontraron fórmulas para resolver ecuaciones de segundo y tercer grado de forma mecánica mediante algoritmos, los cuales incluían raíces e incluso, en ocasiones, «números no reales» (lo que ahora conocemos como números complejos). Sin embargo, no existía aún un concepto formal de número y se seguíadando primacía a la geometría como fundamento de toda la matemática. Incluso con el desarrollo de la geometría analítica este punto de vista se mantenía vigente, pues Descartes rechazaba la idea que la geometría pudiera fundamentarse en números, puesto que para él la nueva área era simplemente una herramienta para resolver problemas geométricos.Posteriormente, la invención delcálculo abrió un período de grandes avances matemáticos, con nuevos y poderosos métodos que permitieron por vez primera atacar los problemas relacionados con lo infinito mediante el concepto de límite. Así, un número irracional pudo ser entendido como el límite de una suma infinita de números racionales (por ejemplo, su expansión decimal). Como muestra, el número π puede estudiarse de forma algebraica (sin apelar a la intuición geométrica) mediante la serie:

entre muchas otras expresiones similares. Para entonces, el concepto intuitivo de número real era ya el moderno, identificando sin problema un segmento con la medida de su longitud (racional o no). El cálculo abrió el paso al análisis matemático, que estudia conceptos como continuidad, convergencia, etc. Pero el análisis no contaba con definiciones rigurosas y muchas de las demostraciones

apelaban aún a la intuición geométrica. Esto conllevó a una serie de paradojas e imprecisiones.

Notación[editar · editar código]

Los números reales se expresan con fracciones decimales que tienen una secuencia infinita de dígitos a la derecha de la coma decimal, como por ejemplo 324,8232. Frecuentemente también se subrepresentan con tres puntos consecutivos al final (324,823211247…), lo que significaría que aún faltan más dígitos decimales, pero que se consideran sin importancia.

Las medidas en las ciencias físicas son siempre una aproximación a un número real. No sólo es más conciso escribirlos con forma de fracción decimal (es decir, númerosracionales que pueden ser escritos como proporciones, con undenominador exacto) sino que, en cualquier caso, cunde íntegramente el concepto y significado del número real. En el análisis matemático los números reales son objeto principal de estudio. Puede decirse que los números reales son la herramienta de trabajo de las matemáticas de la continuidad, como el cálculo y el análisis matemático, mientras que los números enteros lo son de las matemáticas discretas, en las que está ausente la continuidad.

Se dice que un número real es recursivo si sus dígitos se pueden expresar por un algoritmo recursivo. Un número no-recursivo es aquél que es imposible de especificar explícitamente. Aun así, la escuela rusa

de constructivismo supone que todos los números reales son recursivos.

Los ordenadores sólo pueden aproximarse a los números realespor números racionales; de todas maneras, algunos programas de ordenador pueden tratar un número real de manera exacta usando su definición algebraica (por ejemplo, " ") en vez de su respectiva aproximación decimal.

Los matemáticos usan el símbolo   (o, de otra forma,  , laletra "R" en negrita) para representar el conjunto de todos los números reales.

La notación matemática   se refiere a un espacio de   dimensiones de los números reales; por ejemplo, un valor   consiste de tres números reales y determina un lugar en un espacio de tres dimensiones.

En matemática, la palabra "real" se usa como adjetivo, con el significado de que el campo subyacente es el campo de losnúmeros reales. Por ejemplo, matriz real,polinomio real, y Álgebra

de Lie real.

Tipos de números reales[editar · editar código]

Un número real puede ser un número racional o un número

irracional. Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los irracionales son todos los demás. Los números racionales también pueden describirse como aquellos cuya representación decimal es eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimal aperiódica:

Ejemplos

1/4 = 0,250000... Es un número racional puesto que es periódico a partir del tercer número decimal.5/7 = 0,7142857142857142857.... Es racional y tiene un período de longitud 6 (repite 714285).

 es irracional y su expansión decimal es aperiódica.

Otra forma de clasificar los números reales es en algebraicos y trascendentes. Un número es algebraicosi existe un polinomio de coeficientes racionales que lo tiene por raíz y es trascendente en caso contrario. Obviamente, todos los números

racionales son algebraicos: si   es un número racional, con p entero y q natural, entonces es raíz de la ecuación qx=p. Sin embargo, no todos los números algebraicos son racionales.

Ejemplos

El número   es algebraico puesto que es la raíz del polinomio Un ejemplo de número trascendente es 

Construcciones de los números reales[editar · editar código]

Caracterización axiomática[editar · editar código]Artículo principal: Axiomas de los números reales.

Existen diferentes formas de construir el conjunto de los números reales a partir de axiomas, siendo la caracterización más común, el conocido como método directoque introduce el sistema (ℝ, +, ., ≤), donde los elementos de ℝ se llaman números reales, +y . son dos operaciones en ℝ, ≤ es una relación de orden en ℝ6 . Se presenta una

variante axiomática, mediante las siguientes tres propiedades:

Un conjunto   es el conjunto de los números reales si satisface las siguientes tres condiciones:

1.  es un campo.2.  es un conjunto totalmente

ordenado y el orden es compatible con las operaciones del campo:

Si   entonces  ;Si   y   entonces  .

3. El conjunto K es completo: satisfaceel axioma del supremo:

Todo conjunto no vacío y acotado superiormente tiene un supremo.

Las primeras dos condiciones definen el concepto de campo ordenado, mientras que la tercera propiedad es de naturaleza topológica y es la que diferencia al conjunto de los números reales de todos losdemás campos ordenados. Hay que hacer notarque, en principio pueden existir diferentesconjuntos que satisfagan las mismas condiciones y que podrían ser diferentes alconjunto de los números reales, pero un teorema establece que si eso sucediera, ambas estructuras serían esencialmente la misma.

Cualquier campo ordenado que cumpla las tres propiedades mencionadas es isomorfo al conjunto de los números reales.

En vista de lo anterior podemos hablar de el conjunto de los números reales (y no de un conjunto de números reales) y estableciendo su unicidad se puede usar el símbolo   para representarlo.

Al enunciar la tercera propiedad en ocasiones se especifica que   es completo en el sentido de Dedekind, pues existen otros axiomas que se pueden usar y que, asumiendo las primeras dos condiciones, todos son lógicamente equivalentes. Algunosde estos son:

(Cauchy) El conjunto K cumple que cualquier sucesión de Cauchy es convergente.

(Bolzano-Weierstrass) El conjunto K cumple que cualquier sucesiónacotada tiene una subsucesión convergente.

Cualquier sucesión decreciente de intervalos cerrados   tiene intersección no vacía.

Cada una de las primeras dos propiedades mencionadas al inicio de la sección corresponden a su vez a otra serie de axiomas, de modo que si se hace un desglose, puede caracterizarse el conjunto de los números reales como un conjunto que satisfaga la siguiente lista de axiomas.

1. Si  , entonces   (Cerradura en la suma)

2. Si  , entonces   (Conmutatividad en la suma)

3. Si  , entonces   (Asociatividad en la suma)

4. Existe   de manera que   para todo   (Neutro aditivo)

5. Para cada   existe un elemento   tal que   (Inverso aditivo)

6. Si  , entonces   (Cerradura en la multiplicación)

7. Si  , entonces   (Conmutatividad en la multiplicación)

8. Si  , entonces   (Asociatividad en la multiplicación)

9. Existe   de manera que   para cualquier   (Neutro multiplicativo)

10.Para cada   existe un elemento   tal que   (Inverso multiplicativo)

11.Si  , entonces   (Distributividad de la multiplicación en la suma)

12.Si  , entonces se cumple sólo una de estas: (Tricotomía)

13.Si  ,   y   entonces   (Transitividad)

14.Si   y  , entonces   (Monotonía en la suma)

15.Si  ,   y  , entonces   (Monotonía en la multiplicación)

16.Si   es un conjunto no vacío acotado superiormente en   , entonces   tiene supremo en   (Axioma del supremo)

Los axiomas del 1 al 15 corresponden a la estructura más general de cuerpo ordenado. El último axioma es el que distingue   de otros cuerpos ordenados como  . Debe señalarse que los axiomas 1 a 15 no constituyen una teoría categórica ya que puede demostrarse que admiten al menos un modelo no estándar diferente de los números reales, que es precisamente el modelo en el que se basa la construcción delos números hiperreales

Construcción por números decimales[editar · editar código]Consideramos los números decimales como losconocemos intuitivamente. Sabemos que , es decir, el número πse expresa como el número entero 3 y una secuencia infinitade dígitos 1, 4, 1, 5, 9, 2, etc.

Un número decimal se expresa entonces como   donde   es un número entero y cada   es un elemento del

conjunto  . Además,consideramos que no existen las colas de 9.

Al conjunto de todos los números decimales donde   es un número entero positivo se le denota por   y se le llama el conjunto delos números reales positivos.

Al conjunto de todos los números decimales donde   es un número entero negativo se le denota por   y se le llama el conjunto delos números reales negativos.

Al número decimal   se le llama cero.

Al conjunto   sele denota por   y se le llama conjunto de números reales.

Se define la relación de orden total de losnúmeros decimales como

1.  para todo 2.  siempre que   

y 3.  para todo 4. Dados dos números reales

cualesquiera   y  ,   en cualquiera de los casos siguientes:

 y además existe   talque   para todo   y 

Construcción por cortaduras de Dedekind[editar · editar código]Artículo principal: Cortaduras de Dedekind.

Hay valores que no se pueden expresar como números racionales, tal es el caso de  . Sin embargo es claro que se puede aproximar   con números racionales tanto como se desee. Podemos entonces partir al conjunto de los números racionales en dos subconjuntos   y   de manera que en el conjunto   se encuentran todos los númerosracionales   y en   todos los números racionales tales que  .

Una cortadura de dedekind es un par ordenado   que hace precisamente esto.Conceptualmente, la cortadura es el "espacio" que hay entre   y  . De esta manera es posible definir a   como   tal

que   

y  .

Es posible demostrar que   queda unívocamente definido por  , de esta manera la cortadura   se reduce simplemente a  .

También es demostrable que el conjunto de todas las cortaduras cumple con los axiomasde los números reales, de esta manera   esel conjunto de todas las cortaduras de Dedekind. Esta es la primera construcción formal de los números reales bajo la teoría de conjuntos.

Construcción por sucesiones de Cauchy[editar · editar código]Artículo principal: Sucesión de Cauchy.

Las sucesiones de Cauchy retoman la idea deaproximar con números racionales un número real. Tómese por ejemplo, la ecuación.

Es claro que esta sumatoria opera sólo con los números racionales de la forma:

sin embargo el resultado final es el número irracional  . Cada vez que seañade un término, la expresión se aproxima más y más a  .

Las sucesiones de Cauchy generalizan este concepto para definir a los números reales. Primero se define queuna sucesión de números racionales es una función se denota simplemente por  .

Una sucesión de Cauchy es una sucesión de números racionales donde sus elementos cada vez son menos diferentes. Más formalmente, se define una sucesión de Cauchy como una sucesión de números racionales tales que para todo   existe un   tal que para todo   se cumple  .

De esta manera es posible definir al número real   como la sucesión de números racionales:

Operaciones con números reales[editar · editar código]

Con números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con dos excepciones importantes:

1. No existen raíces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc.) de números negativos en números reales, (aunque sí existen en el conjunto de los números complejos dondedichas operaciones sí estándefinidas).

2. La división entre cero no está definida (pues cero noposee inverso multiplicativo, es decir, no existe número x tal que 0·x=1).

Estas dos restricciones tienen repercusiones en otras áreas de las matemáticas como el cálculo: existen asíntotas verticales en los lugares donde el denominador de una función racional tiende a cero, es decir, en aquellos valores de la variable en los que

se presentaría una división entrecero, o no existe gráfica real enaquellos valores de la variable en que resulten números negativospara raíces de orden par, por mencionar un ejemplo de construcción de gráficas en geometría analítica

Número irracionalEn matemáticas, un número irracional es un número que no puede ser expresado

como una fracción  , donde   y   son enteros, con   diferente de cero y donde esta fracción es irreducible. Es cualquier número real que no es racional.

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Notación[editar · editar código]

No existe una notación universal para indicarlos, como  , que es generalmenteaceptada. Las razones son que el conjunto de Números Irracionales no constituyen ninguna estructura algebraica, como sí lo son los Naturales ( ),los Enteros ( ), los Racionales ( ), los Reales ( ) y los Complejos ( ), por un lado, y que la   es tan apropiada para designar al conjunto de NúmerosIrracionales como al conjunto de Números Imaginarios Puros, lo cual puede crear confusión.

Fuera de ello,   , es la denotación del conjunto por definición.

Clasificación[editar · editar código]

Tras distinguir los números componentes de la recta real en tres categorías: (naturales, enteros y racionales), podría parecer que ha terminado la clasificación de los números, pero aun quedan "huecos" por rellenar en la recta de los números reales. Los números irracionales son los elementos de dicha recta que cubren los vacíos que dejan los números racionales.

Los números irracionales son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales no periódicas. De este modo, puede definirse al número irracional como un decimal infinito no periódico [cita requerida]. En general, toda expresión en números decimales es solo una aproximación en números racionales al número irracional referido, por ejemplo, el número racional 1,4142135 es solo una aproximación a 7 cifras decimales del número irracional raíz cuadrada de 2, el cual posee infinitas cifras decimales no periódicas.

Entonces, decimos con toda propiedad que el número raíz cuadrada de dos es aproximadamente igual a 1,4142135 en 7 decimales, o bien es igual a 1,4142135… donde los tres puntos hacen referencia a los infinitos decimales que hacen falta y que jamás terminaríamos de escribir.

Debido a ello, los números irracionales más conocidos son identificados mediante símbolos especiales; los tres principales son los siguientes:

1.  (Número "pi" 3,14159 ...): razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.

2. e (Número "e" 2,7182 ...): 

3.  (Número "áureo" 1,6180 ...): 

Los números irracionales se clasifican en dos tipos:

1.- Número algebraico: Son la solución de alguna ecuación algebraica y se representan por un número finito de radicales libres o anidados; si "x" representa ese número, al eliminar radicales del segundo miembro mediante operaciones inversas, queda una ecuación algebraica de cierto grado. Todas las raíces no exactas de cualquier orden son irracionales algebraicos. Por ejemplo, el número áureo es una de las raíces de la ecuación algebraica  , por lo que es un número irracional algebraico.

2.- Número trascendente: No pueden representarse mediante un número finito deraíces libres o anidadas; provienen de las llamadas funciones trascendentes (trigonométricas, logarítmicas y exponenciales, etc.) También surgen al

escribir números decimales no periódicos al azar o con un patrón que no llevaperiodo definido, respectivamente, como los dos siguientes:

...

...

Los llamados números trascendentes tienen especial relevancia ya que no pueden ser solución de ninguna ecuación algebraica. Los números pi y e son irracionales trascendentes, puesto que no pueden expresarse mediante radicales. 878956s números irracionales no son numerables, es decir, no pueden ponerse en biyección con el conjunto de los números naturales. Por extensión, los números reales tampoco son contables ya que incluyen el conjunto de los irracionales.

Número algebraico

Números algebraicos del plano complejo coloreados según su grado (azul=4, cyan=3, rojo=2, verde=1). La circunferencia unitaria en color negro.

Un número algebraico es cualquier número real o complejo que es solución de una ecuaciónpolinómica de la forma:

Donde:

, es el grado del polinomio., los coeficientes del polinomio son números enteros.

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Ejemplos[editar · editar código]

Todos los números racionales son algebraicos porque toda fracción de la forma a / b es solución de  , donde a ∈ ℤ y b ∈ ℤ0 .

Todos los números construibles son algebraicos.

Algunos números irracionales como:  y   también son algebraicos porque son soluciones de x2 - 2 = 0 y 8x3 - 3 = 0, respectivamente.

Otros irracionales no son algebraicos, como π (Lindemann, 1882) y e (Hermite, 1873). Son, en consecuencia, trascendentes.1

i es algebraico, siendo raíz de  .

Clasificación de los complejos[editar · editar código]

Si un número real o complejo no es algebraico, se dice que es trascendente.

Si un número algebraico es solución de una ecuación polinómica de grado n, y no es solución de una ecuación polinómica de grado menor m < n, entonces se dice que es un número algebraico de grado

n (n > 0).

Los números racionales son números algebraicos de primer grado, pues para todo racional  , siempre podemos escribir una ecuación polinómica de grado uno con coeficientes enteros   cuya solución es precisamente  .

En cambio, los irracionales — aunque pueden ser números algebraicos — nunca pueden ser números algebraicos de grado 1.

Propiedades del conjunto de los números algebraicos[editar · editar código]

1. El conjunto de los números algebraicos es contable, i.e. puede establecerse una biyección con el conjunto de los números naturales.

2. La suma, la diferencia, el producto o el cociente de dos númerosalgebraicos resulta ser algebraico, y por lo tanto los números algebraicos constituyen un un grupo aditivo, un anillo y un cuerpo matemático.

3. Como consecuencia de lo anterior, todos los números que pueden escribirse a partir de los racionales empleando solamente las operaciones aritméticas +, -, *, /, potencias y raíces son algebraicos. Sin embargo, existen números algebraicos que no pueden escribirse de esta forma, y son todos de grado >5. Ésta es una consecuencia de la Teoría de Galois.

4. Puede demostrarse que si los coeficientes ai son números algebraicos cualesquiera, la solución de la ecuación volverá a ser un número algebraico. En otras palabras, el cuerpo de los números algebraicos es algebraicamente cerrado. De hecho, los números algebraicos son el cuerpo algebraicamente cerrado más pequeño que contiene los racionales (su clausura algebraica).

El conjunto de los números algebraicos, a veces denotado como   forma un cuerpo con las operaciones heredadas de los complejos  . A diferencia de los números complejos los números algebraicos son un conjunto numerable.2 y por tanto su cardinal es alef 0). Esto es unaconsecuencia de que el conjunto de polinomios con coeficientes enteroses numerable.

Enteros algebraicos[editar · editar código]

Artículo principal: Número entero algebraico.

Un número algebraico que satisface una ecuación polinómica de grado n con an = 1 se denomina entero algebraico. Algunos ejemplos de enteros algebraicos son: 3×21/2 + 5, 6i - 2. La suma, diferencia y

producto de enteros algebraicos vuelve a ser un entero algebraico, lo que significa que los enteros algebraicos forman un anillo. El nombre de entero algebraico proviene del hecho de que los únicos números racionales que son enteros algebraicos son los propios enteros.

Extensiones algebraicas[editar · editar código]

Artículo principal: Extensión algebraica.

Las nociones de número algebraico y de entero algebraico pueden ser generalizadas a otros campos, no sólo aplican al de los complejos; véase extensión algebraica.

En general, si tenemos dos cuerpos   y   de forma que el segundo es extensión del primero, diremos que   es algebraico sobre   si existe un polinomio   del que   es raíz ( ).

Número trascendenteEste artículo o sección necesita referencias que aparezcan en una publicación acreditada, como revistas especializadas,monografías, prensa diaria o páginas de Internet fidedignas.Puedes añadirlas así o avisar al autor principal del artículo ensu página de discusión pegando: {{subst:Aviso referencias|Número trascendente}} ~~~~

Un número trascendente (o trascendental) es un tipo de número irracional que no es raíz de ningún polinomio (no nulo) con coeficientes enteros (o racionales). En este sentido, número trascendente es antónimo de número algebraico.La definición no proviene de una simple relación algebraica, sino que se define como una propiedad fundamental de las matemáticas.

En general, si tenemos dos cuerpos   y   de forma que el segundo es extensión del primero, diremos que   es trascendente sobre   si no existe ningún polinomio   del que   es raíz ( ).

El conjunto de números algebraicos es numerable, mientras el conjunto de números reales es no numerable; por lo tanto, el conjunto de números trascendentes es también no numerable. Sin embargo, existen muy pocos números

trascendentes conocidos, y demostrar que un número es trascendente puede ser extremadamente difícil. Por ejemplo, todavía no se sabe si la constante de

Euler ( ) lo es, siendo   =  , cuando  . De hecho, ni siquiera se sabe si   es racional o irracional.

La propiedad de normalidad de un número puede contribuir a demostrar si es trascendente o no.

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Historia[editar · editar código]

existencia de los números trascendentes fue probada en 1844 por Joseph Liouville, quien mostró ejemplos, entre ellos la Constante de Liouville:

donde el enésimo dígito después de la coma decimal es 1 si n es un factorial (es decir, 1, 2, 6, 24, 120, 720, etc.) y 0 en cualquier otro caso. El primer número del que se demostró que era trascendente sin haber sido específicamente construido para ello fue e, por Charles Hermite en 1873.En 1882, Carl Louis Ferdinand von Lindemann publicó una demostración de que π es trascendente. En 1874, Georg Cantor encontró el argumento descrito anteriormente estableciendo la ubicuidad de los números trascendentes.

El descubrimiento de estos números ha permitido la demostración de la imposibilidad de resolver varios antiguos problemas de geometría que sólo permiten utilizarregla y compás. El más conocido de ellos es el de la cuadratura del círculo, y su imposibilidad radica en que π es trascendente. No ocurre lo mismo con los otros dos "problemas griegos" más famosos, la duplicación del cubo y la trisección del ángulo, que se deben a la imposibilidad de construir con regla y compás números derivados de polinomios de grado superior a dos (véase Número construible) es significativo que estos otros dos problemas puedan resolverse con modificaciones relativamente simples del método (permitiendo marcar la regla,

acción que la geometría euclídea no toleraba) o con métodos similares a la regla y compás, como elorigami, en tanto que la cuadratura del círculo, al depender de la trascendencia de π, tampoco es resoluble con esos métodos.

Ejemplos[editar · editar código]

Una lista de los números trascendentes más comunes:

e

π

 o, de forma más general,   donde   es algebraico y b es algebraico pero irracional. El caso general del séptimo problema de Hilbert, es decir, la determinación de si   es trascendental cuando   es algebraico y b es irracional, queda demostrado parcialmente como cierto según el teorema de Gelfond-Schneider.

 si a es positivo, racional y diferente de 1. Véase logaritmo natural

 y   (véase función Gamma). número de Champernowne: C10 = 0.123456789101112131415161718192021... , constante de Chaitin.

donde   es la función parte entera. Por ejemplo, si β = 2 el número resultante es 0,1010001000000010000000000000001000...

 número de Liouville

Número π(Redirigido desde «Número pi»)

π (pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, en geometría euclidiana. Es un número irracional y una de las constantes

matemáticas más importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:

El valor de π se ha obtenido con diversas aproximaciones a lo largo de la historia, siendo una de las constantes matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física, junto con el número e. Cabe destacar que el cociente entre la longitud de cualquier circunferencia y la de su diámetrono es constante en geometrías no euclídeas.

 es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Es una

constante en geometría euclidiana.

Lista denúmeros – Números

irracionalesζ(3) – √2 – √3 – √5 – φ 

– α – e – π – δ

Binario

11,00100100001111110110…

Decimal

3,14159265358979323846…

Hexadecimal

3,243F6A8885A308D31319…

Fracción continua

Nótese que la fracción continua no es periódica.

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El nombre π[editar · editar código]

Letra griega pi. Símbolo adoptado en1706 por William Jones y popularizado porLeonhard Euler.

La notación con la letra griega π proviene de la inicial de las palabras de origen griego περιφέρεια 'periferia' yπερίμετρον 'perímetro' de una círcunferencia,1 notación que fue utilizada primero por William Oughtred (1574-1660), y propuesto su uso por el matemático galés William Jones2 (1675-1749), aunque fue el matemáticoLeonhard Euler, con su obra Introducción al cálculo infinitesimal, de 1748, quien la popularizó. Fue conocida anteriormente como constante de Ludolph (en honor al matemático Ludolph van Ceulen) o como constante de Arquímedes (que no se debe confundir con el número de Arquímedes).

Historia del cálculo del valor π[editar · editar código]

La búsqueda del mayor número de decimales del número π ha supuesto un esfuerzo constante de numerosos científicos a lo largo de la historia. Algunas aproximaciones históricas de π son las siguientes.

Antiguo Egipto[editar · editar código]

Detalle del papiro Rhind.

El valor aproximado de π en las antiguas culturas se remonta a la época del escriba egipcio Ahmes en el año 1800 a. C., descrito en el papiro Rhind,3 donde se emplea un valor aproximado de π afirmando que el área de un círculo es similar a la de un cuadrado cuyo lado es igual al diámetro del círculo disminuido en 1/9; es decir, igual a 8/9 del diámetro. En notación moderna:

Entre los ocho documentos matemáticos hallados de la antigua cultura egipcia, en dos se habla de círculos. Uno es elpapiro Rhind y el otro es el papiro de Moscú. Sólo en el primero se habla

del valor aproximado del número π. El investigadorOtto Neugebauer, en un anexo de su libro The Exact Sciences in Antiquity,4 describe un métodoinspirado en los problemas del papiro de Ahmes para averiguar el valor de π, mediante la aproximación del área de un cuadrado de lado 8, a la de un círculo de diámetro 8.

Mesopotamia[editar · editar código]Algunos matemáticos mesopotámicos empleaban, en el cálculo de segmentos, valores de   igual a 3, alcanzando en algunos casos valores más aproximados, como el de:

Referencias bíblicas[editar · editar código]Una de las referencias indirectas más antiguas del valor aproximado de π se puede encontrar en un versículo de la Biblia:

«Hizo fundir asimismo un mar de diez codos de un lado al otro, perfectamente redondo. Tenía cinco codos de altura y a su alrededorun cordón de treinta codos.»

I Reyes 7:23-24 (Reina-Valera 1995)

Una cita similar se puede encontrar en Segundo Libro de las Crónicas. En él aparece en una lista de requerimientos para la construcción del Gran Templo de Salomón, construido sobre el 950 a. C.:

«También hizo un mar de metal fundido, el cual tenía diez codos de un borde al otro, enteramente redondo; su altura era de cinco codos, y un cordón de treinta codos de largo lo ceñía alrededor.»

II Crónicas 4:2 (Reina-Valera 1995)

Ambas citas dan 3 como valor de π lo que supone una notable pérdida de precisión respecto de las anteriores estimaciones egipcia y mesopotámica.

Método de Arquímedes para encontrar dos valores que se aproximen al número π, por exceso y defecto.

Método de aproximación de Liu Hui.

Antigüedad clásica[editar · editar código]El matemático griego Arquímedes (siglo III a. C.) fue capaz de determinar el valor de π entre el intervalo comprendido por 3 10/71, como valor mínimo, y 3 1/7, como valor máximo. Con esta aproximación de Arquímedes se obtiene un valor con un error que oscila entre 0,024% y 0,040% sobre el valor real. El método usado por Arquímedes5 era muy simple y consistía en circunscribir e inscribir polígonos regulares de n-lados en circunferencias y calcular el perímetro de dichos polígonos. Arquímedes empezó con hexágonos circunscritos e inscritos, y fuedoblando el número de lados hasta llegar a polígonos de 96 lados.

Alrededor del año 20 d. C., el arquitecto e ingeniero romano Vitruvio calcula π como el valor fraccionario 25/8 midiendo la distancia recorrida en una revolución por una rueda de diámetro conocido.

En el siglo II, Claudio Ptolomeo proporciona un valor fraccionario por aproximaciones:

Matemática china[editar · editar código]El cálculo de pi fue una atracción para los matemáticos expertos de todas las culturas. Hacia 120, el astrónomo chino Zhang Heng (78-139) fue uno de los primeros en usar la aproximación  , que dedujo de la razón entre el volumen de un cubo y la respectiva esfera inscrita. Un siglo después, el astrónomo Wang Fang lo estimóen 142/45 (3,155555), aunque se desconoce el método empleado.6 Pocos años después, hacia 263, el matemático Liu Hui fue el primero en sugerir7 que 3,14 era una buena aproximación, usando un polígono de 968 o 1926 lados. Posteriormente estimó π como 3,14159 empleando un polígono de 3.072 lados.8 9

A finales del siglo V, el matemático y astrónomo chino Zu Chongzhi calculó el valor de π en 3,1415926, al que llamó «valor por defecto», y 3,1415927, «valor por exceso», y dio dos aproximaciones racionales de π, 22/7 y 355/113, muy conocidas ambas,10 siendo la última aproximación tan buena y precisa que no fue igualada hasta más de nueve siglos después, en el siglo XV.8

Matemática india[editar · editar código]Usando un polígono regular inscrito de 384 lados, a finales del siglo V el matemático indio Aryabhata estimó el valor en3,1416. A mediados del siglo VII, estimando incorrecta la aproximación de Aryabhata, Brahmagupta calcula π como  ,cálculo mucho menos preciso que el de su predecesor. Hacia 1400 Madhava obtiene una aproximación exacta hasta 11 dígitos (3,14159265359), siendo el primero en emplear series para realizar la estimación.6

Matemática islámica[editar · editar código]En el siglo IX Al-Jwarizmi, en su Álgebra (Hisab al yabr ua al

muqabala), hace notar que el hombre práctico usa 22/7 como

valor de π, el geómetra usa 3, y el astrónomo 3,1416. En el siglo XV, el matemático persa Ghiyath al-Kashi fue capaz de calcular el valor aproximado de π con nueve dígitos, empleando una base numérica sexagesimal, lo que equivale a una aproximación de 16 dígitos decimales: 2π = 6,2831853071795865.

Renacimiento europeo[editar · editar código]

John Wallis (1616–1703).

Leonhard Euler (1707–1783).

A partir del siglo XII, con el uso de cifras arábigas en loscálculos, se facilitó mucho la posibilidad de obtener mejores cálculos para π. El matemático Fibonacci, en su Practica Geometriae, amplifica el método de Arquímedes, proporcionando un intervalo más estrecho. Algunos matemáticos del siglo XVII, como Viète, usaron polígonos de hasta 393.216 lados para aproximarse con buena precisión a 3,141592653. En 1593 el flamenco Adriaan van Roomen (Adrianus

Romanus) obtiene una precisión de 16 dígitos decimales usando el método de Arquímedes.

Época moderna (pre-computacional)[editar · editar código]En 1610 el matemático Ludolph van Ceulen calculó los 35 primeros decimales de π. Se dice que estaba tan orgulloso deesta hazaña que lo mandó grabar en su lápida. Los libros de matemática alemanes durante muchos años denominaron a π como número ludolfiano. En 1665 Isaac Newton desarrolla la serie11

Con   obtuvo una serie para:

El matemático inglés John Wallis desarrolló en 1655 la conocida serie Producto de Wallis:

En 1699, a sugerencia de Edmond Halley, el matemático inglés Abraham Sharp (1651-1742) calculó pi con una precisión de 71 dígitos decimales usando la serie de Gregory:

Con   se obtiene una serie para:

Para alcanzar la precisión obtenida, debió usar alrededor de trescientos términos en la serie. En 1720 el francés Thomas de Lagny utilizó el mismo método para obtener una aproximación de 127 dígitos (solo los primeros 112 eran correctos).

Leibniz calculó de una forma más complicadaen 1682 la siguiente serie matemática que lleva su nombre:

.

El inglés William Oughtred fue el primero que empleó la letra griega π como símbolo del cociente entre las longitudes de una circunferencia y su diámetro. Fue en el año 1706 cuando el galés William Jones afirmó: «3,14159 andc. = π» y propuso usar siempre el símbolo π, y fue Leonhard Euler el que al adoptarlo en 1737 lo convirtió en la notación habitual que se usa hasta nuestros días.

El matemático japonés Takebe empezó a calcular el número π en el año 1722, conel mismo método expuesto por Arquímedes,y fue ampliando el número de lados para polígonos circunscritos e inscritos

hasta llegar a 1.024 lados. Este ingentetrabajo consiguió que se determinara π con 41 decimales.

En 1789 el matemático de origen esloveno Jurij Vega, mediante la fórmula de John Machin, descubierta en 1706, fue el primero en averiguar losprimeros 140 decimales de π, de los cuales 126 eran correctos; este récord se mantuvo durante 52 años, hasta que en 1841 William Rutherford calculó 208 decimales, de los cuales 152 eran correctos.

El matemático aficionado de origen inglés William Shanks dedicó cerca de 20años a calcular π y llegó a obtener 707 decimales en 1873. En el año 1944, D. F.Ferguson encontró un error en la posición decimal 528 de la serie de Shanks, a partir del cual todos los dígitos posteriores eran erróneos. En 1947, Ferguson recalculó π con 808 decimales con la ayuda de una calculadora mecánica.

Algunas aproximaciones históricas de valores de π, anteriores a la época computacional, se muestran en la siguiente tabla:

Año Matemático o documento

Cultura

Aproximación

Error

(en

part

es

por

mill

ón)

~1900 a. C.

Papiro de Ahmes

Egipcia

28/34 ~ 3,1605

6016 ppm

~1600 a. C.

Tablillade Susa

Babilónica

25/8 = 3,125

5282 ppm

~600 a. C.

La Biblia (ReyesI, 7,23)

Judía ~3,21434570 ppm

~500 a. C.

Bandhayana India 3,09

16422 ppm

~250 a. C.

Arquímedes de Siracusa

Griega

entre 3 10/71 y 3 1/7

empleó 211875/67441 ~ 3,14163

<402 ppm

13,45 ppm

~150 Claudio Ptolomeo

Greco-egipcia

377/120 = 3,141666...

23,56 ppm

263 Liu Hui China 3,141590,84 ppm

263 Wang Fan China 157/50 = 3,14

507ppm

~300 Chang China 101/2 ~ 658

Hong 3,1623 4 ppm

~500 Zu Chongzhi China

entre 3,1415926 y3,1415929empleó 355/113 ~ 3,1415929

<0,078ppm0,085 ppm

~500 Aryabhata India 3,1416

2,34 ppm

~600 Brahmagupta India 101/2 ~

3,1623

6584 ppm

~800 Al-Juarismi Persa 3,1416

2,34 ppm

1220 Fibonacci

Italiana 3,141818

72,73 ppm

1400 Madhava India 3,14159265359

0,085 ppm

1424 Al-Kashi Persa2π = 6,2831853071795865

0,1ppm

Época moderna (computacional)[editar · editar código]Desde el diseño de la primera computadora se empezaron a desarrollar programas para el cálculo del número π con la mayor cantidad de cifras posible.

De esta forma, en 1949 un ENIAC fue capaz de romper todos los récords, obteniendo 2037 cifras decimales en 70 horas. Poco a poco fueron surgiendo ordenadores que batían récords y, de esta forma, pocos años después (1954) un NORAC llegó a 3092 cifras. Durante casi toda la década de los años 1960 los IBM fueron batiendo récords, hasta que un IBM 7030 pudo llegar en 1966 a 250.000 cifras decimales (en 8h y 23 min). Durante esta época se probaban las nuevas computadoras con algoritmospara la generación de series de números procedentes de π.

En la década de 2000, los ordenadores son capaces de obtener números que poseen una inmensa cantidad de decimales. En 2009 se hallaron más de dos billones y medio de decimales de pi mediante el uso de una supercomputadora T2K Tsukuba System,compuesta por 640 computadoras de alto rendimiento, que juntas consiguen velocidades de procesamiento de 95 teraflops. Lo obtuvieron en 73 horas y 36 minutos.

Año Descubridor Ordenador utilizado

Número decifras decimales

1949

G.W. Reitwiesner

ENIAC 2037

y otros12

1954 NORAC 3092

1959 Guilloud IBM 704 16 167

1967 CDC 6600 500 000

1973

Guillord y Bouyer12 CDC 7600 1 001 250

1981

Miyoshi y Kanada12 FACOM M-200 2 000 036

1982 Guilloud 2 000 050

1986 Bailey CRAY-2 29 360

111

1986

Kanada y Tamura12

HITAC S-810/20

67 108 839

1987

Kanada, Tamura, Kobo y otros

NEC SX-2 134 217 700

1988

Kanada y Tamura

Hitachi S-820

201 326 000

1989

Hermanos Chudnovsky

CRAY-2 y IBM-3090/VF

480 000 000

1989

Hermanos Chudnovsky IBM 3090 1 011 196

691

1991

Hermanos Chudnovsky

2 260 000000

1994

Hermanos Chudnovsky

4 044 000000

1995

Kanada y Takahashi

HITAC S-3800/480

6 442 450000

1997

Kanada y Takahashi

Hitachi SR2201

51 539 600 000

1999

Kanada y Takahashi

Hitachi SR8000

68 719 470 000

1999

Kanada y Takahashi

Hitachi SR8000

206 158 430 000

2002

Kanada y otros12 [3]

Hitachi SR8000/MP

1 241 100000 000

2004 Hitachi 1 351 100

000 000

2009

Daisuke Takahashi13

T2K TsukubaSystem

2 576 980370 000

2009

Fabrice Bellard14

Core i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB

2 699 999990 000

2010

Shigeru Kondo

2 x Intel Xeon X5680,3.33 GHz

5 000 000000 000

2011

Shigeru Kondo

10 000 000 000 000

En la época computacional del cálculo de π las cifras se han disparado, no sólo debido a la potencia de cálculo que estas máquinas son capaces de generar, sino también por el prestigio que conlleva para el constructor de la máquina cuandosu marca aparece en la lista de los récords.

Características matemáticas[editar · editar código]

Se muestra la relación entre un cuadrado de lado   y un círculo de radio  . El área del círculo es  .

Definiciones[editar · editar código]Euclides fue el primero en demostrar quela relación entre una circunferencia y su diámetro es una cantidad constante.15 No obstante, existen diversas definiciones del número  , pero las más común es:

 es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.

Por tanto, también   es:

El área de un círculo unitario (de radio unidad del plano euclídeo).

El menor número real   positivo tal que  .

También es posible definir analíticamente  ; dos definiciones son posibles:

La ecuación sobre los números complejos   admite una infinidad de soluciones reales positivas, la más pequeña de las cuales es precisamente  .

La ecuación diferencial   con las condiciones de contorno   para la que existe solución única, garantizada por elteorema de Picard-Lindelöf, es un función analítica (lafunción trigonométrica  ) cuya raíz positiva más pequeña es precisamente  .

Número irracional y trascendente[editar · editar código]Artículo principal: Prueba de que π es irracional.

Se trata de un número irracional, lo quesignifica que no puede expresarse como fracción de dos números enteros, como demostró Johann Heinrich Lambert en 1761(o 1767). También es un número trascendente, es decir, que no es la raíz de ningún polinomio de coeficientes enteros. En el siglo XIX elmatemático alemán Ferdinand Lindemann demostró este hecho, cerrando con ello definitivamente la permanente yardua investigación acerca del problema de la cuadratura del círculo indicando que no tiene solución.

También se sabe que π tampoco es un número de Liouville (Mahler,16 1953), es decir, no sólo es trascendental sino que no puede ser aproximado por una secuencia de racionales "rápidamente convergente" (Stoneham 1970[cita requerida]).

Las primeras cincuenta cifrasdecimales[editar · editar código]A pesar de tratarse de un número irracional continúa siendo averiguada lamáxima cantidad posible de decimales. Los cincuenta primeros son:

Para ver secuencias mayores de este número consúltese las referencias (5·1012 decimales),17 así como Las primeras diez mil cifrasdecimales A00796 y OEIS.

En ciencia e ingeniería, esta constante puede emplearse, la mayoríade las veces, con una precisión de sólo una docena de decimales. Con cincuenta decimales se podría describir con precisión la curvatura del Universo con un error más pequeñoque el tamaño de un protón.18

Fórmulas que contienen el número π[editar · editarcódigo]

En geometría[editar · editarcódigo]

Longitud de la circunferencia de radio r: C = 2 π r

Áreas de secciones cónicas:

Área del círculo de radio r: A = π r²

Área interior de la elipse con semiejes a y b: A = π ab

Áreas de cuerpos de revolución:

Área del cilindro: 2 π r (r+h) Área del cono: π r² + π r g Área de la esfera: 4 π r²

Volúmenes de cuerpos de revolución:

Volumen de la esfera de radio r: V= (4/3) π r³

Volumen de un cilindro recto de radio r y altura h: V = π r² h

Volumen de un cono recto de radio r y altura h: V = π r² h / 3

Ecuaciones expresadas en radianes:

Ángulos: 180 grados son equivalentes a π radianes.

En cálculo[editar · editar código]

Área limitada por la astroide: (3/8) π a²19

Área de la región comprendida porel eje X y un arco de la cicloide: 3 π a²

Área encerrada por la cardioide: (3/2) π a²

Área de la región entre el eje polar y las dos primeras vueltas de la espiral de Arquímedes20 es 8π3a²

En probabilidad[editar · editarcódigo]

La probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre sí es: 6/π²

Si se eligen al azar dos números positivos menores que 1, la probabilidad de que junto con el número 1 puedan ser los lados de un triángulo obtusángulo es: (π-2)/4

El número medio de formas de escribir un entero positivo como suma de dos cuadrados perfectos es π/4 (el orden es relevante).

Aguja de Buffon: si lanzamos al azar una aguja de longitud L sobre una superficie en la que hay dibujadas líneas paralelas

separadas una distancia D, la probabilidad de que la aguja corte a una línea es: 2L/Dπ

En análisis matemático[editar · editar código] Fórmula de Leibniz:

Producto de Wallis:

Euler:

Identidad de Euler

Área bajo la campana de Gauss:

Fórmula de Stirling:

Problema de Basilea, resuelto porEuler en 1735:

Euler:

Además, π tiene varias representaciones como fracciones continuas:

También como desarrollo en series:

Formas de representación aproximada a  21

Método de Montecarlo

En un círculo de radio r inscrito en un cuadrado de lado 2R (2 veces elradio), el área del círculo es πr² y la del cuadrado (2r)². De esto se deduce que la relación de área entre el cuadrado y el círculo de π/4.22

Formula de Srinivāsa Rāmānujan demostrada en 1985 por Jonathan y Peter Borwein, es la que descubrió él en 1910. Es muy eficaz porque ella aporta 8 decimales a cada iteración:

Cómputos de π[editar · editar código]

Categoría principal: Algoritmos de cálculo de π.

Pi y los números primos[editar · editar código]Utilizando el inverso del producto deEuler para la función zeta de Riemann y para el valor del argumentoigual a 2 se obtiene:

donde pn es el n-ésimo número primo. Euler fue el primero en hallar este valor de la función zeta (empleando la expresión de sumatoria) y resolviendo así el famosoProblema de Basilea.

Fórmula de Machin[editar · editar código]Una forma exacta de poder calcular π en términos de tangentes inversas de fracciones unitarias es la fórmula de Machin, descubierta en 1706:

Muchos matemáticos emplearon esta fórmula para averiguar dígitos por encima de la

centena (por ejemplo, el ya citado Shanks, que con esta fórmula calculó 707 posicionesdecimales de π).

Métodos eficientes[editar · editar código]Los primeros millones de dígitos de π y 1/π se pueden consultar en Proyecto Gutenberg (véase enlaces externos). Uno de los records más recientes fue alcanzado endiciembre de 2002 por YasumasaKanada de la Universidad de Tokio, fijando el número pi con 1.241.100.000.000 dígitos;se necesitaron unas 602 horas con unsuperordenador de 64 nodos Hitachi SR8000 con una memoria de un terabyte capaz de llevar a cabo 2 billones deoperaciones por segundo, más de seis veces el record previo(206 mil millones de dígitos).Para ello se emplearon las siguientes fórmulas modificadas de Machin:

K. Takano (1982).

F. C. W. Störmer (1896).

Estas aproximaciones proporcionaron una cantidad tan ingente dedígitos que puede decirse que ya no es útil sino para comprobar el funcionamiento de los superordenadores. La limitación no está en la computación sino en la memoria necesaria para almacenar una cadena con una cantidadtan grande de números.

Aproximaciones geométricas a π[editar · editar código]

Es posible obtener una aproximación al valor de π de forma geométrica. De hecho, ya los griegos intentaron obtener sin éxito una solución exacta al problema del valor de π mediante el empleo de regla y compás. El problema griego conocido como cuadratura del

círculo o, lo que es lomismo, obtener un cuadrado de área igual al área de un círculo cualquiera, lleva implícito el cálculo del valor exacto de π.

Una vez demostrado que era imposible la obtención de π medianteel uso de regla y compás, se desarrollaron varios métodos aproximados. Dos de las soluciones aproximadas más elegantes son las debidas a Kochanski (usando regla y compás)y la de Mascheroni (empleando únicamente un compás).

Método de Kochanski[editar · editar código]

Método de Kochanski.

Se dibuja una circunferencia de radioR. Se inscribe el triángulo equilátero OEG. Se traza una rectaparalela al segmento EGque pase por A, prolongándola hasta quecorte al segmento OE, obteniendo D. Desde el punto D y sobre ese segmento se transporta 3 veces el radio de la circunferencia y se obtiene el punto C. El segmento BC es aproximadamente la mitad de la longitud dela circunferencia.

Demostración (suponiendo R = 1)

Sustituyendo en la primera fórmula:

Método de Mascheroni[editar · editar código]

Método de Mascheroni.

Método desarrollado por Lorenzo Mascheroni:se dibuja una circunferencia de radioR y se inscribe un hexágono regular. El punto D es la intersección de dos arcos de circunferencia: BD con centro en A', y CD con centro en A. Obtenemos el punto E como intersección del arco DE, con centro en B, y la circunferencia. El segmento AE es un cuarto de la longitud de la circunferencia, aproximadamente.

Demostración (suponiendo R = 1)

 

 

Por el teorema de Ptolomeo, en el cuadrilátero ABEB'

Uso en matemática y ciencia[editar · editar código]

π es ubicuo en matemática; aparece incluso en lugares que carecen de una conexióndirecta con los círculos de la geometría euclídea.23

Geometría y trigonometría[editar · editar código]Para cualquier círculo de radio r y diámetro d = 2r, la longitud de la circunferencia es πd y el área del círculo es πr2. Además, π aparece en fórmulas para áreas y volúmenes de muchas otras figurasgeométricas relacionadas con la circunferencia, como elipses, esferas, conos, y toroides.24 π aparece en integrales definidas que describenla circunferencia, áreao volumen de figuras

generadas por circunferencias y círculos. En el caso básico, la mitad del área de un círculo unitario es:25

y la mitad de la longitud de la circunferencia unitaria es:26

Se puede integrar formas más complejas como sólidos de revolución.27

De la definiciónde las funcionestrigonométricas desde el círculounitario se llega a que el seno y el cosenotienen período 2π. Lo que significa, para todo x y enterosn, sin(x) = sin(x + 2πn) y cos(x) = cos(x + 2πn). Porque

sin(0) = 0, sin(2πn) = 0 para todos los enteros n. Además, el ángulo 180° es igual a π radianes. En otras palabras 1° = (π/180) radianes.

En la matemáticamoderna, π es a menudo definido usando funciones trigonométricas,por ejemplo comoel menor entero positivo x para el cual sinx = 0,para evitar dependencias innecesarias de las sutilezas dela geometría euclidiana y la integración. Equivalentemente, π puede ser definido usando funciones trigonométricas inversas, por ejemplo como π =2 arccos(0) o π

= 4 arctan(1). Expandir funciones trigonométricas inversas como series de potencias es la manera más fácilde obtener series infinitaspara π.

Análisis superior y teoría de números[editar · editar código]

Representación geométrica de la fórmula de Euler.

La frecuente aparición de π en análisis complejo puede estar relacionada con el comportamiento de la función exponencial de una variable compleja, descrito por la fórmula de Euler

donde i es la unidad imaginaria que satisface la ecuación 

 y e ≈ 2.71828 es el número de Euler. Esta fórmula implica que las potenciasimaginarias de e describen rotaciones un círculo unitario en el plano

complejo; estas rotaciones tienen un período de 360º = 2π. Enparticular, la rotación de 180º φ = πresulta en lanotable identidad de Euler

Hay n diferentes raíces n-ésimas de la unidad

La integral de Gauss

Número e

e es el único número a, tal que la derivada de la función exponencial f(x) = ax (curva azul) en el punto x = 0 es igual a 1. En comparación, las funciones 2x (curva a puntos)y 4x (curva a trazos) son mostradas; no son tangentes a la línea de pendiente 1 (rojo).

La constante matemática   es uno de los más importantes números reales.1 Se relaciona con muchos interesantes resultados. Por ejemplo, la derivada de la función exponencial   es esa misma función. El logaritmo en base   se llama logaritmo natural o neperiano.

El número  , conocido a veces como número de Euler o constante de Napier, fuereconocido y utilizado por primera vez por el matemático escocés John Napier,quien introdujo el concepto de logaritmo en el cálculo matemático.

Es considerado el número por excelencia del cálculo, así como   lo es de la geometría y el número   del análisis complejo. El simple hecho de que la función   coincida con su derivada hace que la función exponencial se encuentre frecuentemente en el resultado de ecuaciones diferenciales sencillas. Como consecuencia de esto, describe el comportamiento de acontecimientos físicos regidos por leyes sencillas, como pueden ser la velocidad de vaciado de un depósito de agua, el giro de una veleta frente a una ráfaga de viento, el movimiento del sistema de amortiguación de un automóvil o el cimbreo de un edificio metálico en caso de terremoto. De la misma manera, aparece en muchos otros campos de la ciencia y la técnica, describiendo fenómenos eléctricos y electrónicos (descarga de un condensador,amplificación de corrientes en transistores BJT, etc.), biológicos

(crecimiento de células, etc.), químicos (concentración de iones, periodos desemidesintegración, etc.), y muchos más.

El número  , al igual que el número   y el número áureo (φ), es un irracional, no expresable por la razón de dos enteros; o bien, no puede ser expresado con un número finito de cifras decimales o con decimales periódicos. Además, es un número trascendente, es decir, que no puede ser obtenido mediante la resolución de una ecuación algebraica con coeficientes racionales.

Su valor aproximado (truncado) es:

 ≈ 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995...

Índice

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Historia[editar · editar código]

Leonhard Euler popularizó el uso de la letra e para representar la constante; además fue el descubridor de numerosas propiedades referentes a ella.

Las primeras referencias a la constante fueron publicadas en 1618 en la tablaen un apéndice de un trabajo sobre logaritmos deJohn Napier.2 No obstante, esta tabla no contenía el valor de la constante, sino que era simplemente una

lista de logaritmos naturales calculados a partir de ésta. Se cree que la tabla fue escrita por William Oughtred.

El "descubrimiento" de la constante está acreditado a Jacob Bernoulli, quien estudió un problema particular del llamado interés compuesto. Si se invierte una Unidad Monetaria (que abreviaremos en lo sucesivo como UM) con un interés del 100% anual y se pagan los intereses una vez al año, se obtendrán 2 UM. Sise pagan los intereses 2 veces al año, dividiendo el interés entre 2, la cantidad obtenida es 1 UM multiplicado por 1,5 dos veces, es decir 1 UM x 1,502 = 2,25 UM. Si dividimos el año en 4 períodos (trimestres), al igual quela tasa de interés, se obtienen 1 UM x 1,254 = 2,4414... En caso de pagos

mensuales el monto asciende a 1 UM x   = 2,61303...UM. Por tanto, cada vez que se aumenta la cantidad de períodos de pago en un factor de n (que tiende a crecer sin límite) y se reduce la tasa de interés en el

período, en un factor de  , el total de unidades monetarias obtenidas está expresado por la siguiente ecuación:

Bernoulli comprobó que esta expresión se aproxima al valor de 2,7182818...UM. De aquí proviene la definición que se da de een finanzas, que expresa que este número es el límite de una inversión de 1 UM con una tasa de interés al 100% anual compuesto en forma continua. En forma más general, una inversión que se inicia con un capital C y una tasa de interés anualR, proporcionará   UM con interés compuesto.

El primer uso conocido de la constante, representado por la letra b, fue en una carta de Gottfried Leibniz a Christiaan Huygensen 1690 y 1691. Leonhard Euler comenzó a utilizar la letra e para identificar la constante en 1727, y el primer uso de e en una publicación fue en Mechanica, de Euler, publicado en 1736. Mientras que en los años subsiguientes algunos investigadores usaron la letra c, e fue la más común, y finalmente se convirtió en la terminología usual.

En 1873, Charles Hermite (1822-1905) logró demostrar que e es trascendente, a dicho logro llegó usando un polinomio, conseguido con ayuda de fracciones continuas, empleadas , anteriormente, por Lambert. David Hilbert — también Karl Weierstrass y otros —

propusieron, posteriomente, variantes y modificaciones de las primeras demostraciones.3

Definición[editar · editar código]

El área entre el eje x y la gráfica y = 1/x, entre x = 1 y x = e es 1.

La definición más común de e es como el valor límite de la serie

que se expande como

Otra definición habitual4 dada a través del cálculo integral es como solución de la ecuación:

que implica

es decir que se define e como el número para el que

o lo que es lo mismo, el número para el que

Número complejo

Ilustración del plano complejo. Los números reales se encuentran en el eje de coordenadas horizontal y los imaginarios en el eje vertical.

Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. El conjunto de los números complejos se designa como  , siendo   el conjunto de los reales se cumple que  . Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de launidad imaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar.

Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además los números complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de la física(notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y

las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.

En matemáticas, estos números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. Una propiedad importanteque caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra — pero que se demuestra aún en un curso de variable compleja —, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas. Contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas más importantes de la inteligencia humana. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.1

Álgebra abstractaEl álgebra abstracta es la parte de la matemática que estudia las estructurasalgebraicas como las de grupo, anillo, cuerpo o espacio vectorial. Muchas de estas estructuras fueron definidas formalmente en el siglo XIX, y, de hecho, el estudio del álgebra abstracta fue motivado por la necesidad de más exactitud en las definiciones matemáticas.

En el álgebra abstracta los elementos combinados por diversas operaciones generalmente no son interpretables como números, razón por la cual el álgebraabstracta no puede ser considerada una simple extensión de la aritmética. El estudio del álgebra abstracta ha permitido observar con claridad lo intrínseco de las afirmaciones lógicas en las que se basan todas la matemática y las ciencias naturales, y se usa hoy en día prácticamente en todas las ramas de la matemática. Además, a lo largo de la historia, los algebristas descubrieron que estructuras lógicas aparentemente diferentes muya menudo pueden caracterizarse de la misma forma con un pequeño conjunto de axiomas.

El término álgebra abstracta se usa para distinguir este campo del álgebra

elemental o del álgebra de la escuela secundaria que muestra las reglas correctas para manipular fórmulas y expresiones algebraicas que conciernen a los números reales y números complejos. El álgebra abstracta fue conocida durante la primera mitad del siglo XX como álgebra moderna.

Álgebra homológicaEl álgebra homológica es un campo de las matemáticas que estudia la homología en un marco algebraico general. Es una disciplina relativamente joven, cuyos orígenes pueden remontarse a investigaciones en topología combinatoria (un precursor de la topología algebraica) y en álgebra abstracta (teoría de módulos y sizigia) de fines del siglo XIX, lideradas por Henri Poincaré y David Hilbert.

El desarrollo del álgebra homológica está estrechamente relacionado con la emergencia de la teoría de categorías.

Producto exterior(Redirigido desde «Álgebra exterior»)

En matemática, el producto exterior es una antisimetrización (alternación) del producto tensorial. El producto exterior es una multiplicación asociativay distributiva de funciones multilineales antisimétrico que sea anticonmutativo para las funciones con el número impar de variables y conmutativo de otra manera. La teoría sistemática empieza en la construcción de la potencia exterior para un espacio vectorial.

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