A quadratic programming approach to the determination of an upper bound on the weighted stability...

13
Theory and Methodology A quadratic programming approach to the determination of an upper bound on the weighted stability number Carlos J. Luz a, * , Domingos M. Cardoso b a Escola Superior de Tecnologia, Instituto Polit ecnico de Set ubal, Rua Vale de Chaves, Estefanilha, 2914-508 Set ubal, Portugal b Departamento de Matem atica, Universidade de Aveiro, 3810-193 Aveiro, Portugal Received 5 August 1999; accepted 16 May 2000 Abstract In a previous work, the authors have introduced an upper bound on the stability number of a graph and several of its properties were given. The determination of this upper bound was done by a quadratic programming approach whose implementation has given good computational results. We now extend this bound to the weighted case, i.e., an upper bound on the weighted stability of an arbitrary graph with node weights is presented. Similarly to the non-weighted case, the deduced bound allows us to give a necessary and sucient condition to a weighted graph that attains the given bound. Also a heuristic for determining the maximum weight stable set is proposed which is based on an integrality property of a convex quadratic problem that produces the bound. Some comments about the proposed approach will conclude the paper. Ó 2001 Elsevier Science B.V. All rights reserved. Keywords: Graph theory; Weighted stability number; Quadratic programming 1. Introduction Let G V ; E be a simple graph where V fv 1 ; ... ; v n g and E denote, respectively, the vertex and edge sets. Throughout of the paper we will suppose that E is non-empty and consider, assigned to each vertex v i 2 V ; a positive weight w i 2 R . A stable set independent set) of G is a subset of nodes of V whose el- ements are pairwise non-adjacent. The stability number independence number) of G is de®ned as the cardinality of the largest stable set and is usually denoted by aG: A maximum weight stable set of G is a stable set for which the sum of vertex weights is maximum. This maximum sum is referred to as the weighted stability number of G and will be denoted by a w G: The problem of ®nding aG and conse- quently a w G; as this number equals aG in the particular case where all vertex weights are equal to 1) is European Journal of Operational Research 132 2001) 569±581 www.elsevier.com/locate/dsw * Corresponding author. Tel.: +351-265-790018; fax: +351-265-72-1869. E-mail addresses: [email protected] C.J. Luz), [email protected] D.M. Cardoso). 0377-2217/01/$ - see front matter Ó 2001 Elsevier Science B.V. All rights reserved. PII: S 0 3 7 7 - 2 2 1 7 0 0 ) 0 0 1 6 2 - 4

Transcript of A quadratic programming approach to the determination of an upper bound on the weighted stability...

������ �� ������� �

� �������� ��� ������ �������� �� ��� ������������ �� ������� ���� �� ��� ��� ��� ��������� ������

������ �� ��� ���� ���� �� � ������ �

� ������ ������ ���������� ��������� ������������ �������� ��� ��� ������ ����������� ���� !"# �������� ��������� $����%��� &��%������� '������ � (����� )#�" ��) (����� ��������

!����"� # �� ��� $%%%& ������� $' �� ()))

��������

*� � ���"���� ���+� ��� ������� ��"� �������� �� ����� ���� �� ��� ��������� ������ �� � ���� �� ��"���� �� ���

���������� ���� �"��� ��� ������������ �� ���� ����� ���� ��� ��� �� � �������� ��� ������ �������� �����

�������������� ��� �"�� �� ������������� �������� ,� ��� �-��� ���� ���� �� ��� ��� ��� ����� ����� �� �����

���� �� ��� ��� ��� ��������� �� �� ��������� ���� ���� ��� ��� ��� �� ��������� .�������� �� ��� ���/��� ���

����� ��� ���� ���� ������ �� �� �"� � ��������� �� ��0����� �������� �� � ��� ��� ���� ���� ������� ��� �"��

����� ���� � ��������� ��� ��������� ��� ��-���� ��� �� ������ ��� �� ������� ����� �� ���� �� �� ���� ������

�������� �� � ���"�- �������� ������� ���� ������� ��� ����� .��� �������� ����� ��� ������� �������� ����

������� ��� ������ � ())$ 1���"��� .������ 2�3� ��� �� ��� �����"��

*+,�� �- 4���� ������& ,�� ��� ��������� ������& 5������� ��� ������

� ���� ������

��� � � �� ��� �� � ������ ���� ����� � � ��$� � � � � ��� �� � ������ ��������"���� ��� "����- �� � ������ ����� ���� �� ��� ����� �� ���� ������� ���� � �� ���/����� �� �������� ���� �� �� ���� "����-� � � � � ������"� ��� �� � ��� � ������ ��� 6��������� ���7 �� . �� � ������ �� ���� �� � ����� ��/������ ��� �������� ���/�8������ ��� ��������� ������ 6���������� ������7 �� . �� �9�� �� ������������� �� ��� ��� ��� ������ ��� �� �� ������� ����� �� ����� � ��-���� ��� �� ������ ��� �� . �� ������� ��� ��� ����� ��� ��� �� "����- ��� ��� �� ��-����� ���� ��-���� ��� �� ������� �� �� ������ ��� ��������� ������ �� . �� ���� �� ����� �� ����� ��� ������� �� 9��� ���� 6�� �����/������� ����� �� ���� ������ ������ ���� �� ��� ���������� ���� ����� ��� "����- ��� ��� ��� ����� �� $7 ��

1������� ������� �� :���������� !������� $;( 6())$7 #'%<#=$��������"�������>������>��

������������ ������� ����? @;#$/('#/A%))$=& ��-? @;#$/('#/A(/$='%�

� %��� � ����- ����B���������� 6���� ���7� ������B��������� 6 �� ������7�

);AA/(($A>)$>C / ��� ����� ������ � ())$ 1���"��� .������ 2�3� ��� �� ��� �����"��

D**? . ) ; A A / ( ( $ A 6 ) ) 7 ) ) $ ' ( / E

FD/���� �� ���� �� �� �������� ���� �� ������ �� ���"� �� ����������/����� G���"��� ��"���� ���� ������������ ����� ������� ��"� ���� ������� �� ��� ����������� ����� ���� ��������� ����"��� �� �������������� �� ��������� �������� �� ������ ���� 6���� ��� �-������ H(�'<%I7���� ��� �� ���� ����� �� �� �-���� �� ��� ��� ��� ����� ��� ����� ���� �� ��� ��������� ������ �� �

���� �������� �� ��� ������� �� ���"���� ���+� HE�#I� .�������� �� ��� ����� ��� ����� ��� ����� ������ ���� 6����� ���� �� ����� �� ����7 ��� �� ������� �� ���"�� � ���"�- ��� ���� ����� ��� ��/�������"� ����� �� �������� ���� ���� �� �"�� �� � ��������� �� ��0����� �������� ��� � ��� ��� ���� �������� ��� �������� ����� ���� ���� �� ���"�� ,� ���� ���"� �� ���� ������ �������� �� ����"�- �������� ��� ��� ���� ������� ���� ����� ������ �� �� ������� � ��������� ��� �����-���������������� ����� J������� ��� ������ �� ���� ��������� �� �-�����9� �� ���� ����������� ��� �����

� ��� ������� ���� ��� �����

,� �� �� ���� ������� �� ��������� ���� ��������� 4�"�� � 9���� ��� �� ��� ������ �� �������� �� � ������� �� ���� ��� . �� ��� ���� �9�� ������ �� � ��

� �� ��� "����� �� ������"� ��� ��� ���� �� ����� "������� �� .� ,� ���� ����� ��/ ��� �� ���� �����- ����� �� ���� �������� ��� ��� ���������� ��,� ����� � � �� �$� � � � ���� � $�( �� � $�( ���� ���������� ��������"���� ��� �� ���� �����-�� � �����

$

� � � � �������

� �� ��� ��"����� ,� ���� ��� �� ��� ������ ��� �8������ �����- �� .� � ����� ����� ���9�� ��

�� � $ �� ��� ��� � ��) �� ��� ��� � ��

�� ��� �����- � $�( � $�(����

������ $�( � $�(� � �$�� $�( � $�(�� �(�� $�( � $�(�� � � � � ���� $�( � $�(�� ���-�� $�( � $�(��

�� ��� �� ��"����� �� � $�( � $�( �� � � � ��� ������������ �� ������ $�( � $�(�� �� ( �� � ��������������- ��� ���� ������� ���� � $�( � $�( �� ���� ����� �-���� � ��� �� � ����������� �� ��"������ ��/������� ���� ��� �� ��"����� �� � $�( � $�(� ,���� ���� �� �$� � � � � ��� ���$� � � � � ��� ����� ��� 9��� 0 "��������������� �� ������ $�( � $�(��J��� ��� �������� ���������� �� � ���� 6��� H;I ��� ������7� �� ������� ���� ����� �� $ � ) ��

���-� �� $ � ) 6����� � �� ���-� � ������ ��������"���� ��� �������� �� ��� �� ��� �� ��"����� �� (7����� ( �� �� ���9���� �����- �� ��� ���� �� ���� ��� ��� �����- � $�( � $�(� �� ��� ����� ���� ����� ��� ���� � ��� ��� �������� ����"������ ����?

� � � $�(� �� � � � $�(� �$��� ������ �� �� ����� �� � �� ��� ���� ��� $�( � $�(�� ����� �� ��� ��� �� ���� �������� �� / ���������"�� �� ��"� ���� ������ $�( � $�(� � ) �� ���-�� $�( � $�(� � )� ������������� � $�( � $�( ���� ���9���� �����- �� ��� ���� ������� �� ��� �����-

� � $

������ $�( � $�(��$�( � $�(�

���� ���� �� ��� �� ��� ������� F��� ���� ���� � $�( � $�( �� 1 ��"� ��� ���� �� ��"������ �� ����� ��"����� �� 1 ��� �"�� ��

#A) �232 4�5� $2&2 ��� ��� 6 ������ 3������ �� 7�������� ������ �)� 8�""�9 !:�;!#�

���� � $ �� � �$� � � � � ������ $�( � $�(�

������ $�( � $�(� �� � �� � $� � � � � ���

��������� �� ��� ��� ��� ���� . ��� �� ��� ������� ��� �������� ������ "�������� ������ �������?

62DD7

���2DD� � ��- �� $(��

$

������ $�( � $�(� �

���8��� ��

����� ������ � �)� $���

��� � �� � ��-���� ��� �� ��������� ��� �� . �� ������� ��� �������������� "����� < �� �� �"����

� � $ �� � � �) �� � � �

���� ��� � � �

,� ���"� 9��� ���� ��� ������� ��������� �� ������� 62DD7 ��� ��� �������������� "������ �� ��� ��-������� �� ������ ���� �� .�

����� � � ������ �� �� ������ ��� ����� � �� ��� ��� ����� �� ��� 62DD7 � ��� ���� � �� � ��� ���������� �� � ������ �� � ������ ��� �� ��� ��� �� ���� ������������� ���2DD� � �����

����� J��� ��� �9������ �� ��� ��� ��� ��������� ������ ���� �� ������� ���� �� �� ��� ������/�������� "����� �� � ������ ��� �� ��-���� ��� �� �� �� ���� �� �� �����9�� ��� �������� ���/������������?

�� � � )����� � ������ � �)� $�� � $� (� � � � � ��

�(�

�� �� �� ) �� ���� � �� ��� ��� � � �)� $��� �� ��"� ���� ���2DD�� ����� G����� �� �� �� � �������� ��6(7 ���� �� �� �� ������� �������� �� ��� ��� ��� 62DD7� ���"������� ��� �� �� �� ������� �������� ��� 62DD7�� ������� ���� ��� �� � )� ����

��� $(���

$

������ $�( � $�(� �� � ��� �

���$

�� ����$

��( � ������ � �����

2�� ���� �� ������ ����� ���� �� ������� ��� ��� �������������� "����� �� � ��-���� ��� ��� ������ ��������� ��� �� � ) �� ������ � ��� � ���� ��+�� ���������� ���� ������� ���� �� �� �� ������� ���������� 62DD7 �� ���� ���2DD�� ����� ������������� �� "���9�� 6(7 �� ��������J��� ��� ���"� ����"������ �� ������� ���������� ���� ���2DD� � ����� �

�232 4�5� $2&2 ��� ��� 6 ������ 3������ �� 7�������� ������ �)� 8�""�9 !:�;!#� #A$

��� �� ������� ��� �������� ���������� ����-����� �� 62DD7?

6DD7

���DD� � ��- �� $(��

$

������ $�( � $�(� �

���8��� ��

����� ������� )�

�� ��� 6 D7 �� ��� ��������� �� ��� ��� ��� �� 6DD7� �9�� ��

6 D7

��� D� � �������� � �� )�������

���� � ��- ��

� ���� $(��

$

������ $�( � $�(� � � ����� ������

���� �� ��� "�������� ������� �� ����"������ 6$7 �� ��"� ���� ���� ��� �� ������� ��

���� � ��- �� $�(��

� ����� $(���� � ���� ����

�� �;�

��� �� �9�� ��� D� � �� ��� ������� "���� �� ��� �������� D� �

��� D� � � �������� � � � � �������

� � �� � �� )� �� $�(�� ����� � )� � $� � � � � ��� �E�� ���� ��� �� ��"������ �� 1 ����������� �� �������� �� � ����������� �� ��� �9������ �� ��� D� �� ����� ������� ���� ��� D�� ��� D� � ����� = 6��� �������� �� ��� �� � D� �7 �� ������ �� ��� �������� �� ����� 6 D7� ��� ��-� ������ ������� � ��� ����� ���� ��� ��� ��� ��� ��������� ������ �� .�

����� � ��� ��� D� � �� ��� ��� ��� ����� �� ������� � D� �� �������� ��� DK��

����� .���� ���DD� �� ��� D� ��� ��� ������� "����� �� 6DD7 �� 6 D7� ��������"���� ���� ��� ���+�� ��� ��� ������ ������� 6���� ��� �������� H$I7 �� ��"�� �� ��� ����� $ �� ��� �9������ ��������� 6DD7� �� ������� ����

���� � ���2DD�� ���DD�� ��� D������� ����� ��� D�� ��� D� �� �� �� ����� ��� D� �� �

#A( �232 4�5� $2&2 ��� ��� 6 ������ 3������ �� 7�������� ������ �)� 8�""�9 !:�;!#�

��� ��-� ����� ����� ��� �������� ��� D� � ���� ���"��

����� � ������ �� �� ��� ��� � � �� �� ���� �� � � ���� ������� ����� � 6;7 �� 6E7� ��� ������ �� ������ �� � ����!

��� D� �� $(

�����$

��� $�(�� ������(���� � $

�� ����

��

����� ��� � � � �� ������� ���� ���� �� ������� ��� � ����$ �� �

�����$ ��� .����

���� �������

�$ �( � ����

�����$ �

( � ����� ����������� � �� ��� ��8����"� �������� ��� 6;7 �� ����

��� ���"� ���������� ������

���� � �� $�(�� �������$

������ $(

���$

���������(

����$

������� $�(�� ����� $(�������

���$

�( $

(

�����$

�����(

������$

������� $�(�� ����� $(�������

���$

�( $

(

�����$

�����(

������$

��� $�(�� ����� � $(

���$

�( $

(

�����$

�����(

������$

��� $�(�� ����� � $(

�����

�����$

�(

� $(

�����$

�����(

������$

��� $�(�� ����� � $(���� $

(

�����$

����� � $��(

������$

��� $�(�� ����� � $(���� $

(

�����$

����� � $��(

� $(

�����$

��� $�(�� ������(���� � $ $

(

�����$

��� $�(�� ������(���� � $

� $

(���� � $

(

�����$

��� $�(�� ������(���� � $

$(

�����$

����� � $� �

� �� $�(�� �����

���� � $

(

� $(���� � $

(

�����$

��� $�(�� ������(���� � $ �

������������� ����� ��� ����������

����� $(

�����$

��� $�(�� ������(���� � $

�� ����

�232 4�5� $2&2 ��� ��� 6 ������ 3������ �� 7�������� ������ �)� 8�""�9 !:�;!#� #A;

���� ���� ��� ��� � � � � �� ������� ����

��� D� � � �������� � � � � �� $(

�����$

��� $�(�� ������(���� � $

�� ����

��

�� �������� �

��� ��� ����� ����� ���� �� ���� ��� ��� �� �9���

������� � ��� � �� � ����� � �� � ���� ��� ��� � �� ��� ��� �� � 6E7� ���

����� ���������� ���� � ��� ��� ��� ��"��� �� ����� �� ��� ������ �� ������ ������� � �������� �� �������!

���� � ��������$

��� $�(�� ������(���� � $ � � � �

� � �#�

����� J��� ����� ;�

��� D� � � �������� � � � � �

� ��� $

(

�����$

��� $�(�� ������(���� � $

��� ����

�� � � �

�'�

�� ���� ����� (�

����� ��� D� �� �A�J��� 6'7 �� 6A7� �� ������� ����

����� $(���

�����$

��� $�(�� ������(���� � $ � � � �

� � $(����

��� ����"�������

����� ������� �������� �

��� ���������"� ����� �� �������� ���� ��� �"�� ������

������� � ��� ��� �� ��� ���� � ����� ������� ��� ��� � ���������� ���$� � � � � �� ���������� �� �� ���� ��������� �� � $�( � $�( � ������� ���� ������ $�( � $�(� ��� ��� ��� ���� � ����� � ������ ����������� $������ � $� ��� � � � $� � � � � �� ��� ��� ��� ��� ����� �� �� ������� 6#7 ��� �� ���� ��� �� ���� �� ����������

���� � ��� $

E������ � ����

�� (� $�(

��=�

#AE �232 4�5� $2&2 ��� ��� 6 ������ 3������ �� 7�������� ������ �)� 8�""�9 !:�;!#�

��� �������� ����� �� ���� �� �� ����

���� � ��- (���

��$

������ $�( � $�(�

� ��� � �� )

�� �%�

����� ��� �� 9��� ���"� 6=7� J��� ��� �9������ �� # �"�� �� 6E7� �� ������� ���� �� � � � � ���� � $�(�� ������� � �� ��� �������� ������ �� ���$� � � � � �� ��� ����"�������� ����� �-���� ���� ����

� $�(�� �� � $(����� �$)�

����� ����� �� ) �� � $�(�� ) ��� ����������� �� ������� 6#7 ������ ����"����� �� ��� ��������������� (� $�(� ���������� ���� ���� ���� 6$)7 ��� ����������� ��� ��8����"� �������� �� 6=7� �� ��"�

���� � ��������$

��� $�(�� ������(���� � $ � � � �

� ��������$

�$�(�������(���� � $ � ���

�� (� $�(

� ���$

E

�����$

�(���� � $ � ����

�� (� $�(

� ���$

E��

���� � �����

� (� $�(��

�� ������*� ���� �� ���"� 6%7� ��� �� ������� ��� �� ��� ��� �� 6=7� �����

���� �� � $E������� ���(� $�( ������ �$$�

����� �����

������ �� � ) �� $

(���� ��

��� � ) �� � � (�$���

�����

��� ������� �� ��� �� ��� ��� ��� 5 �� �"�� ��

����

���� �� � $E(������$

����� (�$���

����

� � (��� $�( (������$���

����

� ������$���

���� (������$

�������� (��� $�( � (��� $�( ������$

����

����

�� 1 ��� �� ������� �� ��� ���� � ����$ ������� �� � ���

�$ ��� � ����� � �� ��� ������� �����- ��

���� �� �� ��� �����

����$���

��� �

�����$

����� � $���� ������$

������� ������$

��� ������$

������� � � ���$

���

������$

������� � ����������$

��� � � � � � � �

�232 4�5� $2&2 ��� ��� 6 ������ 3������ �� 7�������� ������ �)� 8�""�9 !:�;!#� #A#

����� �� ������� ����

����

���� �� � (��� $�( ���� � ����

�� 6=7 �� � �������� ���"�- ��� ��� �� �� ������� E� ���� �� 9����� ����� �� � �������� ��� ��� �� ��� ������ �� 6=7�

��-�� )

����

���� �� � ��-�� )

(��� $�( ���� � ����

�� ��� ������� "���� �������� ���� ����� ��������� � ��-�(��� $�( ���� � ��� � �� )��

���� �� ��� "�������� ������� �� 6$7 �� ��

���� � ��-�(�� ���� $�(�� $�( � � �� � �� )�

� ��-�(�� ��

$

������ $�( � $�(�

� ��� � �� )

��

�� �������� �

� ��� ����� �� ������ ��� ����� ����� � �����

��� ��-� ������ ������� ��� ��������� �� ��0����� �������� �� � ��� ��� ��������� ������ �� � �������� ������� ��� ���� �����

������� � ��� � �� � ������ ��� ���� � ���� � ��� ���� � ����� � � ��� ��� �� ����� ������ ��� ���� �� ��� �� �� ��� ������ ��

������ $�( � $�(�� ��� ����� � ��

� � � � � �� �

�$(�

������ ����� ���� ������� ��� ��� �� ���� ��� �� � �� �� ��� ��"����� �� ��

����� ��� �� ������� ���� ��� ���������� 6$(7 ���� ��� � ��-���� ��� ��� ������ ��� $ �� %�*� < �� ��� �������������� "����� �� �� �� ��"� ����

($

������ $�( � $�(�

� ��� � ( �� � � ��

( �������������� $�( � $�(� �� � � ��

*� ����� ������ ���� ��� ����/��� ��� �� ���� �������� ��� �� ������� �� (�� � � ��� ������ � ��������"���� �� � � �� �� � � � ��� ���� �� � � �� � � � ����������� �� ��� ��� �� �� ��"� ���� � � ) ���� � �� � � � �� ���� (�� � � �� � (� *� � � �� � � ����� � �� �� �� � )� ���������� �� ��������� �� ��� ������� ����

(�� � � � � (����� � ��

������ $�( � $�(� �

#A' �232 4�5� $2&2 ��� ��� 6 ������ 3������ �� 7�������� ������ �)� 8�""�9 !:�;!#�

:� ��� ����� ���� ��� � � ��$� � � � � ��� �� �"�� ��

� �) �� � � ��( ��������

������ $�( � $�(� ( �� � � ��

J��� ��� �9������� �� < �� + �� ��+�� ���� ������� ���� �� ��� ������� ��� ������������ �� 6$(7� ����� ���� ��� �������� ���������?

�� )�

��� � )�

($

������ $�( � $�(�

� ��� � (� ��

����� ��� ��� L�����<L���<���+�� ��������� ��� ������� 6%7� �� � ������������

���� � (�� ��$

������ $�( � $�(�

� ���

� (�� �� � �� � �����

���"������� ��� �� ������� ���� ���� � ����� ���� � �������������� "����� �� ��� ��-���� ��� ��������� ��� �� �� ������� �������� �� ��� ��� ���

���� � ��- (���

��$

������ $�( � $�(�

� ��� � �� )

��

��� < �� ��� �������������� "����� �� � ��-���� ��� ��� ������ ��� �� .� ����� ��� L�����<L���<���+����������� ����� ����

(

������ $�( � $�(�

� ��� � (� ��

*� ������� ����� ��� ���� � � �� ��� ����������� ���� �� ��� ���� �������� ������ ��

(����� � ��

������ $�( � $�(� � ( � �

���� ����� �� ������� ����

������ $�( � $�(�� ����� � ��

��+�� ���� ������� ���� � � ) �� � )� ����������

������ $�( � $�(�� ��� ����� � ��

� � � � � �� �

�� �������� �

�232 4�5� $2&2 ��� ��� 6 ������ 3������ �� 7�������� ������ �)� 8�""�9 !:�;!#� #AA

� � ��������� ��� ����� ������� �����

,� �� �� ���� ������� �� ���"�� �� ���� ������ �������� �� 6%7 ������� ��������� ����� ������ �� ��������� ��-� � ��������� ��� �����-������ �����

������� ! ���� ��� ������� 6%7� ��� ����� �� ��� �� ��� ��� ����� �� �� �� 6%7 ���� ���� �� � ) ��� �� ��������� � �$� � � � � ���

����� ������� ( ����� ���� �������� 6=7 �� 6%7 ���� � ������<��� ���� �� ����� �� �� ������ �������� �� �� �� �� ���� ��������"���� ������� ��������� �� ����� ��������� ���� �� � � $�(��� �� � ���� �������� ��� �� ��� ��� �������� 6$$7 �� ����

������� ��� � ) �� $

(����� ��

���$�(�� � ) �� $

(�����

� �����

$�(�� �� $

(����� �

���$

�� �� �$;�

����� � ��� � $� � � � � � ��� ��� ������� �� ��� �����- �����

$�(� *� ����� �� �� ���- � �$� � � � � �� ���� ������ � )� ��� ������ �� ���"�� :��������� ����� ��� ������� �� ��� �����- ��

���$�( ��� �������� �������� �

"����� �� ������� � � ��$��(� � � � � ���� �-���� ���� �� ����� ��� �� ��� ���������� ������"�� ���� ��������

���$�( ���

�$ �� � )� ��� � �� �"�� ��

� � ���

���

� �

�� )

��

���� ��� "������ ��� � �� �� �� �� �������

���$

��� � � ���������

$�( � ��������

$�( ��������

$�(

� ��������

$�( ����$

�� �

�� �� 6$;7

$

(����� �

���$

��� ��

�� ��� ��� "�������� ��� ��� ���/�� ���"�� ���� ���������� ����� ���� ��� �� �� ������� �������� �� 6%7� ��+��

���� ������� ���� ��� ������������� �������� �(� $�( ������� $�(��� � ) ������ ���� 6������ ������ � ) �� �� ��� ������������� �������� �(� $�( ������� $�(�� � ) ����� ���� (� $�( ���� �)7� J������� ��� ������ �� � ���� ��������� ���� ��� ��� �� ����� ��� ���� ���������� ��������� ��� ��������������� �

,� ��� ������� �� �� ������ ��� �����-������� ���"�� ��� FD/��� ������� �� 9��� ���� ����� ������ �� ������� A� ���� �� ������ �� ������� �� ��� ��������� �������� �� H#I� ��� ������ �M������ ���� ���� ��� ����� ���� �� ��� ��� �� ���� 6%7 �� ��� ���"� ������ �� ��� ����������� ������� ����� ����� ����� ��� ����� J�� ��� ��+� �� ������������ �� ������� ��� ������ ���������� �� ��� �����������������

#A= �232 4�5� $2&2 ��� ��� 6 ������ 3������ �� 7�������� ������ �)� 8�""�9 !:�;!#�

��� . �� � ��� ��� ����� *�������� ��� �� ������ ���� � � ) �� �� � �� �� ��������� >� ����� �� ����������� ���� �������� � �������� �� �� ��� ����� �� ��� ��

)���$��

�(� � � � ��

���� ����� ��

) � �� �� �� � �� ��6�� ���� ���� ��� ��������� � �� �

� ��� ����������� � ��������"���� ��� ��� ���� �� ��� ��� ����� � ��

�� �� .7� ��� �� ����� ����� ��"� �� ����� ��� � � �-���� ��

��� ����� ��� �� ����� ��� ��� �� �� � ���

F��� ��� ��� ���� �� ��� ��� �� ��� ����� �� � �

��� �����

� � ���

� �� � � � � � �

��� � � ����� ��� ���� � � � �

��

� ��

����� ����� �� ��� � � ��� �� ��� ���� ��� ���� ��� � � � � ���� ��� �

��� �� ����� �� ���$ � �� � � ���

��� ���� �� �� ����� �� � � � �� *� ���$ ��� �� � ��� ��� ��� � )�) � � � � � � ���� �� � � � �� �� ��� �������

�����-������� �� ��� ��� ��� ��������� ��� �� .� :��������� ��� �� ������ ���� � � �� $ �� ������������� ��� ��������� �� � �������� �� ��� ����� �� ���*� ������� �� ������� ��� ���������� ���� �������� �� ���� ��������� > �� ��� �� ������� ��� �������� ��

��� ����� ��� � � � )� � � � � ��� �� ������������ ? 6)� �� �� $7 ��� ���������� ���"�� ������� 6%7 ��������� ��

��� ���� ��� � ���� ��� ���� ��

��$ �� �������� �� ��� �������� ���? ��� �� �� ��� ������� �������� �� 6%7�

������� ���� ��� ���� � � �� ����� �� �� ��� ��� ���� ��

� �� �� ���� ���� ��� ��� ��������� �� �� ��

����� �� )� ����� �� � ) 6�� ������� A ����� �-���� �� ����� ���� � ���7� ���� ��� ��� ���� ����$ �� �������

�� ���������� ���� ��� ��� ��� �� ���� � � � �

� � �� � )�� ����� ����$ � �� � � � �

� � �� � )�� ����� ��/������ ��� ���� ��

��$� ��� ���������� ���� � � �� $ �� ����� �� �� ��������� ��� ��� ��������� ������ �� �� � �

��� ����� �� � �� :��������� ��� ���������� ��������� ����� ���� ��������

��� ����� �� ������ �� ��� ����������

,� ��� �-������� ��� ����������� �� ���� �� ������ �� ��� ���� . �� J� � $� ��� �� ������� ���� � �'� $;� ()� $%� $)� $'� $$�� �� ��� "����� �� ��� ��� ��������� ��� ���� �� .� ��� ��������� ����������������"��� ��� �������� �����?

�� �2 .�� � � )� �) � �� � ) � � �� � � ���� �2 �� �) ��� �� ����� ��� � �� � �� ���� ;��� )2 .�� � � ) �� �)) � �)��� �2 �� �)) ��� �� ����� ��� � � 6��� J� � ( 6�77� � �� ���� #�

��������� � G�������� ��� ��� ��-���� ��� ��� ��������� ���"�#����? � ��� ��� ���� ��� ���� ����� � ���

$� .�� � � ) � �� � �� � � � � �� � � ��(� ����� �� ��� �� ����� ��� � � �;� .�� � � ) �� ��

� � ��

E� ����� ��� ��� �� ����� ��� � � �

#� .��"� ������� 6%7 ��������� �� ��� �������� � �������� �� ���� �� ����� ��� ����/"���� ���/

������&'� .�� ��

��$ � ��� � � � �

� � �� � )� �� � � �� $&A� �� �����

=� .�� �� � �� ���� � ����� ��� ��� ��� �� ��

���� ��� � � � � �

��� ��� �

���� ����� ��� �

��� �� ��� ��� ��

��� ����� �� � ����� ���� ��&

%� .�� � � � � � ���� ���$ � �� � � �� � � �� $&

$)� �� �����

$$� .�� � � � � � � �� .�:D 6� �� �� �����-������� �� ��� ��-���� ��� ��� ��������� ��� �� .7�

�232 4�5� $2&2 ��� ��� 6 ������ 3������ �� 7�������� ������ �)� 8�""�9 !:�;!#� #A%

�� !2 .��"� ������� 6%7 ��������� �� �)) �� ������ ��� �������� �) �"�� �� �)( � )�;$##� �); � )�'=E'��)E � $� �)# � )�=$(#� �)' � )�AE#A �� �)$ � �)A � ) ���� ������� "���� ���))� � #'�=E%%�

�� :2 �������� �)$ ���� ���� �)$ � � )) �$� A� � �(� ;� E� #� '�� ��� � � $ �� � �� ���� E�

�� �2 �� �)$ ��� �� ����� ��� � � 6��� J� � ( 6�77� � �� ���� #��� !2 .��"� ������� 6%7 ��������� �� �)$ �� ������ ��� �������� �$ �"�� �� �$$ � )� �$( � )�A;=(�

�$; � �$E � $ �� �$# � )�#%$% ���� ������� "���� ���)$� � #;�(;#(��� :2 �������� �)( ���� ���� �

)( � � )$ �(� � �;� E� #� '�� ��� � � ( �� � �� ���� E�

�� �2 �� �)( ��� �� ����� ��� � � 6��� J� � ( 6�77� � �� ���� #��� !2 .��"� ������� 6%7 ��������� �� �)( �� ������ ��� �������� �( �"�� �� �($ � �(( � �(; � $ ��

�(' � ) ���� ������� "���� ���)(� � E%��� :2 �������� �); ���� ���� �

); � � )( �'� � �;� E� #�� ��� � � ; �� � �� ���� E�

�� �2 �� �); ��� �� � � 6��� J� � (677� � �� ���� =��� #2 .�� �) � ;� � ); � �;� E� #�� � ) � �;� E� #� � ���;� E� #�� � �$� (� ;� E� #� '� A���� �2 .�� � � � � � ); � �;� E� #�� � $ � � ) � ) � � �� � � $��� �2 �� �$ ��� �� � �� � �� ���� $$��� ��2 .�� � � �;� E� #� � � � �;� E� #� �� .�:D 6� �� �� ���� ���� ��� ��-���� ��� ��� ���������

��� �� ���

� $����������

*� ���� ������ �� ��"� �"�� �� ����� ���� ��� ��� ��� ��� ��������� ������ �� � ���� �-����� ������� �"����� �� ���"���� ������� ��� ������� ���� ��� � ����������� N�"�� ������ �� �� ��� ���/

J� � $� 4���� .�

J� � (� 4������� �������� �� ��� �����? 6�7 �))& 6�7 �)$& 6�7 �

)(& 67 �

);�

#=) �232 4�5� $2&2 ��� ��� 6 ������ 3������ �� 7�������� ������ �)� 8�""�9 !:�;!#�

������ �� ��0����� �������� ��� ��"�� ���� � ���� 6������� '7� ����������� �� ����� ���������� ���� ���� �� ���"� ���� �� �����-����� �������� �� 6%7 ���� �� ����� ��� ���� ��������� ��� �� �������6������� A7� �� � ������ �� ���� ���� ������ �� ���� ��� ���� ��� ��������� �������� �� �� ������ $ ��� ������� ��� � �� �� �� ������ �� ��� ������ �� ���� ����� ��� ������ �� ���� ��� "������� ����������� ����� ���� ��������� �� � ������� ������� ��� ���� 9-�� :� ��� ����� ���� ��������� ����� ��� ����� ��� "�������� �� ����� �� ������ $ �� ���� *��. �������� �� ���9��� ��� �� ������� ��/����� �� ��� ���/��� ��� ���� 6����� ��� ������� �� H#I7� ��������� ����� �� ������� ����"��� ��� ��/������������ �� � ������ �� ���� �������� ����� ����������� ��� �� �� ������� ���� ����� �"��������� ������� �� ���� ����� �� ���� �� �"������ ��� ��������� ������������

��%����� �������

,� ��� ������� �� ��� �������� ��� ����� �������� �� �� ������� ����� �����"� ��� ������

"���������

H$I �.� 2������� G� � .������� ��� .������ ��? F�������� D�� ������ � ,����� F�� K��+� $%%;�

H(I �� 2�� �� ��? 4������ F����/G������ ��������� $%%$�

H;I � �"��+�"��� � ���� G� .����� .������ �� 4������ ������ �� ������������� 312 �������� 3���� �� ,�������������� 2�����

6 � �!�7� $%A%�

HEI ���� ���� �� ����� ���� �� ��� ���������� ������ �� � ���� ���������� �� ����������/����� :��������� !������� ������� $=

6$%%#7 $;%<$E#�

H#I ���� ���� �� ������� � ������������� �� ��� G�M���<��"���� ����� ���� �� ��� ���������� ������ �� � �� ���� ����������� �� :��������� !������� =$ 6$%%=7 ;)A<;$%�

H'I 4��� F��������� �������� 3����- ���+�� �? .��������� ���������� �� �� �������� ����������� D�� ������ = 6$%A#7 (;(<(E=�

HAI 4��� F��������� ���� ,������ ��? *��� �� �� ������������� :������������ ,����� F�� K��+� $%==�

H=I D�� D������� 4�D� !� ���� � ������ �� ���� �� ������ ��� ��� ��-���� ������ �������� ��������� �� :���������

!������� $% 6#7 6$%%(7 ;';<;A#�

H%I D�� D������� �� O��� ��� ��-���� ������ �������� ������� �� 4����� :����������� E 6$%%E7 ;)$<;(=�

�232 4�5� $2&2 ��� ��� 6 ������ 3������ �� 7�������� ������ �)� 8�""�9 !:�;!#� #=$