Introduccion a la Fısica Experimental

Guıa de la experiencia

(i) Pendulo de gravedad variable.

(ii) Perıodos de angulos grandes.

Departamento de Fısica Aplicada.Universidad de Cantabria.

Febrero 13, 2006

Tenga en cuenta que la lectura previa de esta guıa y la comprobacion delas ecuaciones le llevara del orden de una hora, incluyendo la consulta delas palabras clave, y que la lectura de la bibliografıa especıfica en inglesle llevara una hora.

Resumen

(i) El perıodo de oscilacion de un pendulo fısico varıa con elangulo que forma el plano en el que oscila dicho pendulo con elplano vertical. Esta dependencia hace que el pendulo se comportecomo si oscilara con aceleracion menor que la aceleracion de caıdalibre g. (ii) El perıodo de oscilacion de un pendulo depende de laamplitud de la oscilacion.

Introduccion

(i) El perıodo de oscilacion de un pendulo 1 se suele estudiar suspendiendouna bola pesada de un hilo inextensible y sin masa. Cuando la bola sesepara ligeramente de la vertical, formando un angulo α, y se deja oscilarlibremente, el sistema oscila con un perıodo T ,

T = 2π

√l

g, (1)

donde l es la longitud del pendulo y g la aceleracion de caıda libre.

La aceleracion de caıda libre, siendo la que es, no puede cambiarse mu-cho a menos que el experimento se desarrolle sobre la superficie en otro

1Consulte y escriba la definicion de todos los conceptos que aparecen en letra cursiva en estetexto.

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cuerpo celeste, como, por ejemplo, la Luna. La aceleracion de caıda li-bre en la superficie de la Luna gL es una fraccion de la aceleracion dela gravedad en la Tierra, y realizar el experimento allı serıa interesante,pero esta posibilidad es poco practica [1].

(a) (b)

Figura 1: (i) (a) Esquema para obtener el perıodo de un pendulo de g variable. El plano deoscilacion del pendulo forma un angulo θ con el plano de movimiento vertical. (b) Grabadodel pendulo original de Escriche [2].

En 1876 el espanol Tomas Escriche [2] invento un pendulo –en forma debarra de cuyo extremo colgaba un peso– cuyo plano de oscilacion podıaestar inclinado un angulo θ respecto del plano vertical –en el que oscilarıaun pendulo normal–. Durante sus anos como profesor quiso mostrar asus alumnos que el perıodo del pendulo era inversamente proporcional ala raız cuadrada de la aceleracion g. Pero como g varıa muy poco de unpunto a otro de la Tierra, utilizo un ingenioso procedimiento para con-seguir que g fuese variable. Escriche tuvo la idea de un pendulo inclinadoo pendulo de aceleracion g variable.

(ii) Para obtener el resultado de que un pendulo oscila con movimiento armonicosimple se hace la aproximacion del seno al angulo senα ≈ α, valida paraangulos pequenos. Pero cuando la amplitud es grande, esta aproximacionno es valida y el movimiento deja de ser armonico simple, con la frecuen-cia dependiendo de la amplitud.

Se puede demostrar que la ecuacion mas general, para el perıodo T deun pendulo viene dada por

T = 2π

√l

g cos (αm/2), (2)

donde αm es el maximo angulo de oscilacion [5, 6].

2

(b)(a)(4)

(1)

(2) (3)

Figura 2: (i) (a) Vista frontal de un pendulo de g variable. Pendulo en plano vertical.(b) Vista lateral y pendulo inclinado. (1) Pendulo fısico, (2) sensor de medida de angulos,(3) medidor de angulos, (4) barra y trıpode. (ii) Este mismo dispositivo experimental sepuede utilizar para obtener la dependencia del perıodo de oscilacion de un pendulo con suamplitud.

Descripcion del material

Para llevar a cabo tan la experiencia del pendulo de g variable como la expe-riencia del perıodo del pendulo para amplitudes grandes, se utiliza el siguientematerial (Figs. 1:

1. Barra metalica hueca y pesos con rosca [(1) en Fig. 2 ]

2. Sensor de rotacion (marca PASCO) conectado a un sistema de adquisicionde datos, conectado a un ordenador. [(2) en Fig. 2 ]

3. Medidor de angulos [(3) en Fig. 2 ]

4. Trıpode y barra soporte [(4) en Fig. 2 ]

5. Una regla

6. Un cronometro (opcional).

Reflexiones previas a la realizacion del experimento (i)

1. Obtenga la Ec. (1) haciendo uso del principio de conservacion de la en-ergıa mecanica. Es decir, obtenga la energıa potencial del pendulo en

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funcion del angulo, la energıa cinetica e imponga la condicion de conser-vacion de su suma a lo largo del tiempo. Utilice que F = −mgsenα yque

−∫ α

0F1dα = mgl (1− cosα)

2. Obtenga el valor de la aceleracion de caıda libre en la Luna, gL, y comparelocon el valor de la misma magnitud en la Tierra, g.

3. Demuestre que el perıodo de oscilacion de un pendulo fısico que oscila enun plano que forma un angulo θ con el plano vertical viene dado por

T (θ) = 2π

√l

g cos θ, (3)

donde l es la longitud del pendulo, g la aceleracion de caıda libre en lasuperficie de la Tierra.

4. Estime el perıodo de oscilacion del pendulo en posicion vertical, θ = 0.

Reflexiones previas a la realizacion del experimento (ii)

1. La fuerza sobre la masa del pendulo es F (α) = (mg/l)cosα, que no esconstante. Si el angulo maximo de oscilacion es αm, se puede tomar αm/2como angulo intermedio y poner [5] que F (α) = (mg/l) cos (αm/2).

2. En vez de aproximar senα ≈ α, utilice la expresion [6]

sen α = 2 senα

2cos

α

2,

para obtener la Ec. (2).

3. Teniendo en cuenta que

1√cosα/2

= 1 +α2

16+

7α4

1536+

demuestre que el perıodo T (αm) para una amplitud αm viene dado, enprimera aproximacion, como

T (αm) = T

(1 +

α2

16+ ...

)(4)

4

Indicaciones

Lleve a cabo las siguientes experiencias:

1. Familiarizarse con el sistema de adquisicion de datos y representaciongrafica de angulos. Haga oscilar el pendulo e inicie el proceso de obtencionde datos y representacion de angulos. Mida el tiempo que el pendulo hatardado en ejecutar 10 o mas oscilaciones y obtenga el perıodo del mismo.

2. (i) Perıodos frente a angulos. Gire el soporte del pendulo hasta lograrque su plano de oscilacion forme un angulo θ con el plano vertical. Midatiempos y oscilaciones y obtenga el perıodo de oscilacion para ese angulo.Varıe los angulos de inclinacion y obtenga los sucesivos perıodos de os-cilacion del pendulo para los distintos angulos.

2. (ii) Perıodos frente a amplitudes. Con el pendulo en vertical, midael maximo angulo para una oscilacion. Mida tiempos y oscilaciones yobtenga el perıodo de oscilacion para ese angulo maximo. Varıe losangulos iniciales y obtenga los sucesivos perıodos de oscilacion del pendulopara los distintos angulos.

Preguntas adicionales relacionadas con la experiencia

1. ¿Como son las oscilaciones que observa en la pantalla del ordenador?

2. ¿Cual es la representacion grafica mas adecuada para contrastar sus datosexperimentales con la teorıa desarrollada anteriormente para el pendulode g variable?

3. (ii) Compare los perıodos obtenidos experimentalmente con la expresion

T (θm) = 2π

√l

g

(1 +

θ2m

16

),

dada por Bernoulli en 1749 [7]. ¿Que representacion grafica sera lamas adecuada para contrastar los resultados experimentales con estaecuacion?

Referencias

[1] J. Feliciano, The variable gravity pendulum, The Physics Teacher 36, 51-52(1998)

[2] J. M. Vaquero, An old apparatus for physics teaching: Escriche’s pendulum,The Physics Teacher 38, 424-425 (2000). Breve biografıa de Tomas Escrichey descripcion de su pendulo.

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[3] G E Hite, Approximations for the period of a simple pendulum, The PhysicsTeacher 43, 290-292 (2005)

[4] M E Bacon, D D Nguyen, Real-world damping of a physical pendulum,European Journal of Physics 26, 651-655 (2005)

[5] R B Kidd, S L Fogg, A simple formula for the large-angle pendulum period,The Physics Teacher 40, 81-83 (2002)

[6] L E Millet, The large-angle pendulum period, The Physics Teacher 41, 162-163 (2003)

[7] N Aggarwal, N Verma, P Arun, Simple pendulum revisited, EuropeanJournal of Physics 26, 517-523 (2005). Perıodo de oscilacion para angulosgrandes.

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