) " – 2201( :

המכו הממשלתי להכשרה בטכנולוגיה ובמדע

הנדסאי� מכינה טכנולוגית ל וטכנאי� מוסמכי�

המחלקה ללימודי תעודה_______________________________________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

ט"הזכויות שמורות למה כל ©

))))2222201201201201 –––– גגגג""""מהדורת תשעמהדורת תשעמהדורת תשעמהדורת תשע((((

יעקביעקביעקביעקב� � � � אורי ב�אורי ב�אורי ב�אורי ב�: : : : עור� עור� עור� עור�

המכון הממשלתי להכשרה בטכנולוגיה ובמדע המחלקה ללימודי תעודה

רשימת הפרקים הדרכה ותרגול –מתמטיקה למכינה הטכנולוגית

2מתוך 2עמוד כל הזכויות שמורות למה"ט 2012 –מהדורת תשע"ג

Uרשימת הפרקים

מבוא

כלליות הערות – הקדמה

Uחלק א': אלגברה

משוואות :1 פרק

ותבניות נוסחאות : 2 פרק

שיוויונים אי : 3 פרק

מעריכיות ומשוואות חזקות : 4 פרק

מספר תבניות בניית : 5 פרק

סדרות :6 פרק

מילוליות בעיות : 7 פרק

Uחלק ב': פונקציות וגראפים

גראפים קריאת : 8 פרק

משוואות של גראפי פתרון : 9 פרק

'א רמה אנאליטית הנדסה : 10 פרק

'ב רמה אנאליטית הנדסה : 11 פרק

ליאואינטגר דיפרנציאלי חשבון : 12 פרק

Uחלק ג': הנדסה וטריגונומטריה

משולשים –' א רמה – טריגונומטריה : 13 פרק

מרובעים –' א רמה – טריגונומטריה : 14 פרק

'ב רמה – טריגונומטריה : 15 פרק

המרחב הנדסת : 16 פרק

Uחלק ד': פתרונות מלאים למבחר שאלות

הגדרות ותכונות –א. הנדסה נספחים:

ב. נוסחאון הבחינה


מכינה טכנולוגית להנדסאי� וטכנאי� מוסמכי�

גולהדרכה ותר – טכנולוגיתהמכינה למתמטיקה המחלקה ללימודי תעודה_______________________________________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

1מתו� 1 דעמו ט"כל הזכויות שמורות למה © 2012 –ג "מהדורת תשע

מבואמבואמבואמבוא

, המתמטיקה .ולא בכדי, של המכינה הטכנולוגית כנית הלימודי�פרק המתמטיקה הינו הגדול והכבד ביותר בתו

.תלווה את ההנדסאי לא רק במהל� לימודיו לתואר אלא במהל� כל הקרירה המקצועית שלו, ברמה כזו או אחרת

לבחינה הממלכתית ולהקנות לה� י�ידתלממטרת פרק המתמטיקה בלימודי המכינה אינה רק להכי� את ה, לפיכ�

אמו� ויכולת , אלא ג� לסייע לה� לפתח תחושות של בטחו� עצמי, כ�� את הידע והמיומנויות הנדרשי� לש�

.בבוא� להתמודד ע� בעיות במתמטיקה

אשר יסייעו לה� חומרי למידהבמכינות הטכנולוגיות י�תלמידי המורי� והדמזה מספר שני� עלה הצור� לתת בי

ט מפרס� כבר מספר שני� את הבחינות באתר "אמנ� מה. במהל� הלימודי� ובהכנה לבחינה הממלכתית

א� ריכוזי� כאלה , י�תלמידובמוסדות רבי� א� אספו בחינות אלה בחוברת העומדת לרשות ה, האינטרנט שלו

גר המסודר לפי לשלבי� ההתחלתיי� שלה מתאי� יותר מא. מתאימי� יותר לשלבי ההכנה הסופיי� של המכינה

ט "לפיכ� הוכ� במה. המלווה ג� בדוגמאות פתורות ובהסברי� לגבי דגשי� ומאפייני� הנדרשי� בפתרו�, נושאי�

.מבקש לענות על צרכי� אלהאשר שלהל� מאגרה

א "ט במתמטיקה למכינה הטכנולוגית מאז שנת תשס"המאגר כולל את כל השאלות אשר הופיעו במבחני מה

, י נושאיה�"השאלות אסופות בפרקי� עפ. נ� תואמות את תוכנית הלימודי� הנוכחיתלמעט אלה אשר אי

, דגשי� על המיומנויות הנדרשות לבוא לידי ביטוי בפתרו� השאלה, כשבראש כל פרק הסבר לגבי אופי השאלה

וז בסו� בריכ(הבעיות והתרגילי� המופיעי� במאגר מובאות , כל השאלותל. ודוגמא פתורה או א� מספר דוגמאות

.פתרו� מלא, בנספח, ולחלק מהשאלות מהשני� האחרונות ג� מופיע, התשובות הסופיות) כל פרק

לתרגול , חינותבמספר פרקי� א� נוספו תרגילי� או בעיות שלא הופיעו בבו, ע� השני� התעבה מאגר השאלות

, לפיכ� שונה. במכינה הטכנולוגית כל אלה הפכו את המאגר למעי� ספר הדרכה ותרגול ללימוד המתמטיקה. נוס�

ולא לפי סדר השאלות , י נושאי הלימוד"וכעת מסודרי� הפרקי� עפ, מבנה המאגר, החל מהמדורה הנוכחית

הופרדו הפתרונות המלאי� ,מנת לאפשר לתלמידי� להתמודד בחופשיות ע� השאלות� על ,בנוס� לכ�. בבחינה

).'חלק ד(ורוכזו בנספח

וללא עלות אופ� חופשיב הוא מופ# לכל המכללות, ליהנות מהמאגר י�תלמידהמורי� והמנת לאפשר לכל �על

א� אי� י�תלמידלהפיצו לכל ה, לפיכ�, נית�. ט"ונית� להורידו באופ� חופשי מאתר האינטרנט של מה כספית

יש , זאת��ע ).עלויות הדפסה במקרי� של הדפסה מרוכזת במכללה, לכל היותר, למעט(לגבות בעבורו כל תשלו�

ט "הוא מיועד לשימוש בהוראה במסגרת מכללות מה, ט"לזכור כי זכויות היוצרי� על כל החומר הזה שייכות למה

.ואי� להשתמש בחומר וודאי שלא להפיצו שלא למטרות אלה, בלבד

ע�. לחלק מהשאלות נבדקו מספר פעמי�המובאי� ה� התשובות הסופיות לכל השאלות וה� הפתרונות המלאי�

אנא העבירו הערותיכ� למפקח על , א� לדעתכ� נפלה שגיאה או יש לכ� השגות על הפתרונות המוצעי�, זאת

.המקצוע



הדרכה ותרגול – טכנולוגיתהמכינה למתמטיקה המחלקה ללימודי תעודה________________________________________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

2מתו� 1 עמוד ט"למה כל הזכויות שמורות © 2012 –ג "מהדורת תשע

))))ונקודות שכדאי לשי� אליה� לבונקודות שכדאי לשי� אליה� לבונקודות שכדאי לשי� אליה� לבונקודות שכדאי לשי� אליה� לב((((הערות כלליות הערות כלליות הערות כלליות הערות כלליות

מעקב אחרי תשובות הנבחני� בבחינות הממלכתיות בשני� האחרונות מעלה מספר נקודות החוזרות ונשנות

:ואשר מאוד כדאי לתת עליה� את הדעת ולשי� אליה� לב בעת הכנת הסטודנטי� לבחינה

ני� רבי� מאוד אינ� משתמשי� בסוגריי� בעת נבח – שימוש בסוגריי� והקפדה על סדר פעולות חשבו�שימוש בסוגריי� והקפדה על סדר פעולות חשבו�שימוש בסוגריי� והקפדה על סדר פעולות חשבו�שימוש בסוגריי� והקפדה על סדר פעולות חשבו� .1

.לחישוב שגוי, בדר" כלל, הליקוי ברישו� מוביל; )חישוב ריבוע של מספר שלילי, למשל(ביצוע פעולות חשבו�

נבחני� רבי� מפגיני� משמעת לקויה בכל הנוגע לכתיבה מתמטית נכונה – משמעת כתיבה מתמטית נכונהמשמעת כתיבה מתמטית נכונהמשמעת כתיבה מתמטית נכונהמשמעת כתיבה מתמטית נכונה .2

. וה� בפתרו� בעיות טריגונומטריות ה� בביטויי� אלגבריי�, ומדויקת

רבי� אינ� רושמי� את המשוואה הריבועית כשוויו�, בשלבי פתרו� המשוואה הריבועית, לדוגמא

2

0ax bx c+ + =

אלא כותבי�

2

ax bx c+ +

או בהצבה בנוסחת השורשי� כותבי� רק; בלבד

2

4

...

2

b b ac

a

− ± −=

ו� הכתיבה המלאהבמק

2

1,2 1 2

4

... , ...

2

b b acx x x

a

− ± −= ⇒ = =

בחישובי� טריגונומטריי� אנו נתקלי� פעמי� רבות בכתיבה כגו�, בדומה

BF 11.187

tan BHF 1.364 53.76

HF 8.2

= = = = °�

במקו�

BF 11.187

tan BHF 1.364 BHF 53.76

HF 8.2

= = = ⇒ = °� �

.הפתרו� לכ" הוא כמוב� הקפדה של המורי� בשלבי הלמידה והתרגול

, ח"ש, ר"סמ, מ"ס', מ(י� רבי� אינ� מקפידי� על רישו� נכו� של יחידות נבחנ – רישו� נכו� של יחידותרישו� נכו� של יחידותרישו� נכו� של יחידותרישו� נכו� של יחידות .3

).ב"וכיו

אצל . אינ� מבצעי� עיגול נכו� בחישוביה�, למעט בודדי� ספורי� ביותר, כמעט כל הנבחני� – עיגול נכו�עיגול נכו�עיגול נכו�עיגול נכו� .4

שמירה על כללי)בגלל אי) למרות שהדר" נכונה(חלק מהנבחני� מתקבלות תוצאות סופיות לא מדויקות

.כ")נראה כי כמעט כל הסטודנטי� אינ� מודעי� כלל לצור" בדיוק ושימוש בעיגול ככלי לש�. העיגול

בה� החישוב של ער" של פונקציה , הדבר בא לידי ביטוי במקרי� רבי� בחישובי� טריגונומטריי�

, ו נדרשלמרות שהדבר אינ. ולא תוצאה העומדת בפני עצמה, טריגונומטרית הוא רק חלק מתהלי" החישוב

א" , זה כמוב� אינו פסול מבחינה מתמטית. נבחני� רבי� מחשבי� ערכי ביניי� של פונקציות טריגונומטריות

ופועל יוצא מכ" הוא הפחתה נוספת ברמת הדיוק של , ברוב המקרי� ה� ג� לא מעגלי� נכו� את התוצאה

שוב הבא מקבלי� בחישוב ישירבחי, לדוגמא). וזה כבר עשוי להיות גור� להפסד ניקוד(התוצאה הסופית

הערות כלליות הדרכה ותרגול – טכנולוגיתהמכינה למתמטיקה ________________________________________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

2מתו� 2 עמוד ט"כל הזכויות שמורות למה © 2012 –ג "מהדורת תשע

[ ]6.2

AC 8.300 cm

sin 48.33

= =°

sin) בדיוק המתאי�(א� במקו� הער" המקורב , לעומת זאת 48.33 0.746986.. 0.747° = הנבח� משתמש ≈

sinבער" המקוצ( 48.33 0.74° הוא מקבל ≈

[ ]6.2

AC 8.378 cm

0.74

= ≈

sinג� א� משתמש בער" המקוצ( 48.33 0.746° שכ�, הנבח� כבר מועד לשגיאה ≈

[ ]6.2

AC 8.311 cm

0.746

= ≈

8.31099 –וג� כא� בתנאי שביצע עיגול נכו� ( 8.31099 )ולא קיצ( ל – →8.311 8.310→.(

::::כללי העיגול כללי העיגול כללי העיגול כללי העיגול

:יות ספרות משמעות nעד )הכתוב בצורה עשרונית(לעגל מספר כאשר אנו מתבקשי�

).מטהמטהמטהמטההמספר מעוגל כלפי (מוחקי� את השארית : 5 ) מ קטנהקטנהקטנהקטנה n+1)ה במקו� א� הספרה .א

ומוחקי� את השארית 1 )ב n)ה במקו� הספרה תאמגדילי� : 5 )מ גדולהגדולהגדולהגדולה n+1)ה במקו� א� הספרה .ב

).ההההעלעלעלעלממממכלפי אז המספר מעוגל(

פעולות חשבו� או . הספרות המשמעותיות ה� הספרות שיש לה� משמעות מבחינת רמת הדיוק של התוצאה

, בפועל. בצע תו" הקפדה על השארת ספרות משמעותיות בלבד בתוצאהיש לחישוב פונקציות במחשבו�

, משו� שהספרה האחרונה, 1+ מספר הספרות המופיע בתוצאה הוא מספר הספרות המשמעותיות

.אינה ודאית, גלתהמעו

3, אלא א� ייאמר במפורש אחרת, ט ייקבע שבחישובי� מספריי� נשאיר"כמסגרת אחידה בבחינות מה

ספרות אחרי הנקודה 3(ספרות 4התוצאה הסופית צריכה להיות בת , במלי� אחרות. ספרות משמעותיות

הדרישה הינה בכל מקרה –יות המתקבלות במעלות מתו" חישובי� טריגונומטריי� וובז ).בהצגה מדעית

.שתי ספרות אחרי הנקודהל

".נוסחאות ותבניות"דיו� נוס, בנושא העיגול יימצא בפרק

כל עוד לא . יש יותר מדר" אחת לפתרו�, בעיקר הנדסיות, בבעיות מתמטיות רבות – דרכי� אפשריות לפתרו�דרכי� אפשריות לפתרו�דרכי� אפשריות לפתרו�דרכי� אפשריות לפתרו� .5

ות העוסקות בשרטוט פונקציות כמו בבעי, במקרי� מסוימי�. מצוי� במפורש אחרת כל הדרכי� לגיטימיות

י "ובמקרה זה יש כמוב� לפעול עפ, ניתנת במפורש הנחיה המגבילה את דרכי הפתרו� המותרות, ופתרו� גראפי

, בכל מקרה. יופיעו בפרק המתאי� במאגר זה, ובכל מקרה, כלל בבחינה)הנחיות אלה יופיעו בדר". ההנחיות

או חישוב , כמו למשל ניחוש פתרו� למשוואה(ת הנבדקות לא יתקבל פתרו� המבקש לעקו, את המיומנויו

).י נוסחת הסכו�"סכו� סדרה שלא ע

) משפט זה מופנה בעיקר לסטודנטי�(כדאי לשי� לב ולהיות עירניי� , ג� כאשר קיימות מספר דרכי� לפתרו�

י "ה ג� עפוצרי" לדעת לבחור את הדר" המתאימ, מאחרות, חסכניות בזמ�, לכ" שיש דרכי� יותר יעילות

.שיקולי יעילות



הדרכה ותרגול – טכנולוגיתהמכינה למתמטיקה המחלקה ללימודי תעודה________________________________________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________


ותותותותמשוואמשוואמשוואמשווא: : : : 1111פרק פרק פרק פרק


משימוש בכללי אלגבריי לפישוט ביטויי ועד לפתרו� , פרק זה בוח� את המיומנות האלגברית של התלמידי

משוואה בנעל אחד הכוללת –עשויות להיות משני סוגי בפרק זה הבחינה בעיות .משוואה ממעלה שניה

להגדלת . הדגש בהמש� הוא על שאלות מסוגי אלהו, שברי אלגבריי או מערכת שתי משוואות בשני נעלמי

ואת , ג תרגילי נוספי מסוגי אלה, מלבד תרגילי שמקור בבחינות משני עברו, הוספנוחומר התרגול

לפני קוב " חימו "כשלב מקדי ומעי� , מספר בעיות במערכות משוואות ממעלה ראשונה כול הקדמנו ע

.הבעיות ממעלה שניה

שמומל לתת עליה� את הדעת בהוראה והכנת התלמידי שמומל לתת עליה� את הדעת בהוראה והכנת התלמידי שמומל לתת עליה� את הדעת בהוראה והכנת התלמידי שמומל לתת עליה� את הדעת בהוראה והכנת התלמידי לליותלליותלליותלליותככככ נקודותנקודותנקודותנקודות

דגש . הוא נושא הבקרה העצמית, אלגבריותמלבד המיומנויות ה, פרק הנוכחינושא שעליו נית� דגש ב – בקרהבקרהבקרהבקרה •

י עמית היא תנאי הכרחי להשלמת כל משימה במהל� קרירה "בקרה עצמית או עלאור העובדה ש זה נית�

מהל� הבקרה . � הראוי להטמיע מיומנות כזו כבר בשלבי ההכשרה הבסיסיי ביותרומ, טכנולוגית"מקצועית

:העצמית בבעיות שבפרק הנוכחי כולל

משו שזו , לעול לא במשוואה שהתקבלה כשלב ביניי –א� ורק (הצבת הפתרו� במשוואה המקורית .א

.)עלולה להיות כבר שגויה

.חישוב תוצאת ההצבה ווידוא שהתקבלה זהות .ב

.חזרה אחורה בשלבי הפתרו� עד למציאת הטעות –לא התקבלה זהות א .ג

.תיקו� הטעות וקבלת פתרו� חדש .ד

.ביצוע בקרה חוזרת עד לקבלת תוצאה חיובית .ה

מנת לוודא שהחישוב "על, שמהל� החישוב בבקרה חייב להיות מפורט –ראו בדוגמאות בהמש� –שימו לב

.ב לקויואי� שגיאה המופיעה בשל חישו, מבוצע כהלכה

ותהלי� הבקרה משמש אז ג לבחינת מיומנות התלמידי , במקרי רבי שורשי המשוואה הינ שברי

.בחישובי ע שברי

הוא כתיבה מתמטית נכונה !) א� לא רק כא� ( פרק זהנושא נוס% הנבח� ב – כתיבה מתמטית נכונה ומלאהכתיבה מתמטית נכונה ומלאהכתיבה מתמטית נכונה ומלאהכתיבה מתמטית נכונה ומלאה •

קיצורי "לעצמ כמה שלבי ולעשות " חסו�"מחשבוני משוכללי עשויי לפתות את התלמידי ל. ומלאה

� :כתיבה נכונה היא מהצורה . שאי� מקומ בשלב זה של לימודי המתמטיקה, "דר

2

2

1,2 1 2

0

4 ... ... ...

... , ...

2 2 2 2

ax bx c

b b ac b b bx x x

a a a a

+ + =

− ± − − ± − + − −= = ⇒ = = = =

או

משוואות: 1פרק הדרכה ותרגול – כנולוגיתטהמכינה למתמטיקה ________________________________________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________


2

2

1,2 1,2

0

...

...

4 ...2

...2 2

...

2

ax bx c

b

b b ac b ax x

ba a

a

+ + =

− +=

− ± − − ±= = ⇒ =

− −=

לא , )הלטיני(בית " וא שנית� לסמ� את הנעלמי בכל אותיות האל%ההיבט נוס% אשר עשוי להופיע בבחינות •

, ה� בציו� תחו ההגדרה, במקרי כאלה יש להקפיד על שימוש עקבי באות המופיעה בשאלה .yאו /ו x " רק ב

.וה� בהצגת פתרו� המשוואה או מערכת המשוואות, ה� בשלב ההגעה למשוואה המסכמת

משוואה בנעל אחד הכוללת שברי אלגבריי משוואה בנעל אחד הכוללת שברי אלגבריי משוואה בנעל אחד הכוללת שברי אלגבריי משוואה בנעל אחד הכוללת שברי אלגבריי

:::: והמיומנויות הנבחנותוהמיומנויות הנבחנותוהמיומנויות הנבחנותוהמיומנויות הנבחנותשלבי הפתרו� שלבי הפתרו� שלבי הפתרו� שלבי הפתרו�

ההגדרה זיהוי תחו .א

זיהוי המכנה המשות% .ב

הכפלה נכונה במכנה המשות% .ג

ברי והגעה למשוואה ריבועיתיכינוס א, פתיחת סוגריי .ד

פתרו� המשוואה הריבועית .ה

א יש , השוואת הפתרונות לתחו ההגדרה ופסילה מנומקת של פתרו� הנופל מחו לתחו ההגדרה .ו

.כזה

.ביצוע בקרה לפתרונות התקפי .ז

:::: דגשי ומאפייני דגשי ומאפייני דגשי ומאפייני דגשי ומאפייני

אנו מבקשי . ללא צור� בביצוע בקרה, תחו ההגדרה הינו כלי לאלימינציה של פתרונות לא תקפי .א

.שהתלמידי יהיו מודעי לקיומ של כלי אלגבריי כאלה

.כתיבה מתמטית נכונה כמצוי� לעיל .ב

.ביצוע בקרה עצמית כמפורט לעיל .ג

שורשי כלולי בתחו ההגדרהשורשי כלולי בתחו ההגדרהשורשי כלולי בתחו ההגדרהשורשי כלולי בתחו ההגדרהההההשני שני שני שני –––– 1111' ' ' ' דוגמא מסדוגמא מסדוגמא מסדוגמא מס

:המשוואה הנותנ

3 5

1

1 2 2

x

x x+ =

− +

.וואהשמהת א רותפ .א

.ת נכונות הפתרונות שמצאתא קודב .ב

:פתרו�

) :מציאת תחו הגדרה . א )( ) ( )( )1 2 2 2 1 1 0 1x x x x x− + = − + ≠ ⇒ ≠ ±

) :זיהוי המכנה המשות% )( ) ( ) ( )1 2 2 2 1 1x x x x− + = − +

) : הכפלה במכנה המשות% ) ( ) ( )( )3 5

1 3 2 1 5 1 2 1 1

1 2 2

xx x x x x

x x+ = ⇒ ⋅ + + − = − +

− +

:פתיחת סוגריי וכינוס איברי


_______________________________________________________________________________


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2

2 2 2

3 2 1 5 1 2 1 1 6 1 5 1 2 1

6 6 5 5 2 2 4 11 3 0

x x x x x x x x x

x x x x x x

⋅ + + − = − + ⇒ + + − = − ⇒

⇒ + + − = − ⇒ + − =

:פתרו� המשוואה הריבועית

( )2

1,2

1 2

11 11 4 4 3

11 121 48 11 169 11 13

2 4 8 8 8

11 13 2 11 13 24

1

, 3

4

8 8 8 8

x

x x

− ± − ⋅ ⋅ − − ± + − ± − ±= = = = ⇒

⋅− + − − −

⇒ = = = = = = −

לכ� , הפתרו� הינו. שני השורשי כלולי בתחו ההגדרה: השוואת הפתרונות לתחו ההגדרה

1 2

1

, 3

4

x x= = −

) :קוריתי הצבה במשוואה המ"ע( קרהב. ב

( )( )

31

3

5 5 5

4 41

: 1 1 2 1

41 1 3 1 1

1 2 2 2 2

4 4 2 24

3 35 9 5 9 5 9 5 4

3 : 1

3 1 2 3 2 4 6 2 4 4 4 4 4

x

x

⋅= + = + = − + = − + =

− ⋅ + +−

⋅ − − −= − + = + = + = − = =

− − ⋅ − + − − + − −

שורש אחד מחו לתחו ההגדרהשורש אחד מחו לתחו ההגדרהשורש אחד מחו לתחו ההגדרהשורש אחד מחו לתחו ההגדרה –––– 2222' ' ' ' דוגמא מסדוגמא מסדוגמא מסדוגמא מס


2

3 1

3

1 1

x

x x

+− =

− +



:פתרו�

) :מציאת תחו הגדרה . א )( )2

1 1 1 0 1x x x x− = − + ≠ ⇒ ≠ ±

) :ת% זיהוי המכנה המשו )( )2

1 1 1x x x− = − +

) :הכפלה במכנה המשות% ) ( )2

2

3 1

3 3 1 3 1

1 1

xx x x

x x

+− = ⇒ + − − = −

− +

:פתיחת סוגריי וכינוס איברי

( ) ( )2 2

2 2

3 1 3 1 3 1 3 3

2 2 3 3 3 2 1 0

x x x x x x

x x x x

+ − − = − ⇒ + − + = − ⇒

⇒ + = − ⇒ + − =


( )1,2

1 2

2 4 4 3 1

2 4 12 2 16 2 4

6 6 6 6

2 4 2 4

1

, 1

3

6 6

x

x x

− ± − ⋅ ⋅ − − ± + − ± − ±= = = = ⇒

− + − −⇒ = = = = −

1xהפתרו� : השוואת הפתרונות לתחו ההגדרה = לכ� , הפתרו� הינו .נפסל בשל היותו מחו לתחו ההגדרה −

1

3

x =

) :י הצבה במשוואה המקורית"ע( קרהב. ב


_______________________________________________________________________________


( )2

10 101

3

1 1 3

3 3 31

: 3 3 3

31 1 4 8

41 11

1

3 9 3 9

3

10 9 3 5 3 3 12

3 3 3 3 3

8 3 4 4 4 4

x

+= − = ⇒ − = ⇒ − = ⇒

+ −−

⋅ ⋅⇒ − = ⇒ − = ⇒ = ⇒ =

⋅

מערכת שתי משוואות בשני נעלמי מערכת שתי משוואות בשני נעלמי מערכת שתי משוואות בשני נעלמי מערכת שתי משוואות בשני נעלמי

:::: שלבי הפתרו� והמיומנויות הנבחנותשלבי הפתרו� והמיומנויות הנבחנותשלבי הפתרו� והמיומנויות הנבחנותשלבי הפתרו� והמיומנויות הנבחנות

ותכינוס איברי ופישוט המשווא, פתיחת סוגריי .א

חילו אחד הנעלמי מאחת המשוואות כפונקציה של הנעל השני .ב

הצבה במשוואה השניה והגעה למשוואה ריבועית .ג

.פתרו� המשוואה הריבועית .ד

.מציאת הפתרונות המתאימי עבור הנעל השני .ה

.הצגת הפתרונות כזוגות .ו

.ביצוע בקרה לפתרונות .ז

::::דגשי ומאפייני דגשי ומאפייני דגשי ומאפייני דגשי ומאפייני

.כתיבה מתמטית נכונה כמצוי� לעיל .א

.ביצוע בקרה עצמית כמפורט לעיל .ב

3333' ' ' ' דוגמא מסדוגמא מסדוגמא מסדוגמא מס

:מערכת המשוואות הנותנ

( )( ) ( )

2 1

1 2 24

y x

x y

= −

− + =

.וואותשמהת מערכת א רותפ .א


:פתרו�

:כינוס איברי ופישוט המשוואות , פתיחת סוגריי . א

( )( )( )

2 12 2 2 2

2 2 24 241 2 24

y x y x y x

xy x y xyx y

= − = − = − ⇒ ⇒

+ − − = =− + =

x : 2כפונקציה של yחילו 2y x= −

:הצבה במשוואה השניה והגעה למשוואה ריבועית

( ) 2 2

2 2 24 2 2 24 0 12 0x x x x x x− = ⇒ − − = ⇒ − − =


( ) ( ) ( )2

1,2

1 2

1 1 4 1 12

1 1 48 1 49 1 7

2 1 2 2 2

1 7 8 1 7 6

4 , 3

2 2 2 2

x

x x

− − ± − − ⋅ ⋅ − ± + ± ±= = = = ⇒

⋅+ − −

⇒ = = = = = = −

�


_______________________________________________________________________________


) :מתאימי y מציאת ערכי )1 1 2 2

4 2 4 2 6 ; 3 2 3 2 8x y x y= ⇒ = ⋅ − = = − ⇒ = ⋅ − − = −

) :הצגת הפתרונות ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2

, 4,6 ; , 3, 8x y x y= = − −

) :צבה במשוואה המקוריתי ה"ע( קרהב. ב

( ) ( )( )

( ) ( )1 1

6 2 4 16 2 3 6 6

, 4,6 :

3 8 24 24 244 1 6 2 24

x y= ⋅ − = ⋅ =

= ⇒ ⇒ ⋅ = =− ⋅ + =

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )1 1

8 2 3 1 8 2 48 8

, 3, 8 :

24 243 1 8 2 24 4 6 24

x y− = ⋅ − − − = ⋅ − − = −

= − − ⇒ ⇒ =− − ⋅ − + = − ⋅ − =


_______________________________________________________________________________


מערכות משוואות ממעלה ראשונהמערכות משוואות ממעלה ראשונהמערכות משוואות ממעלה ראשונהמערכות משוואות ממעלה ראשונה

1' מס שאלה

ערכת המשוואותמ הנותנ

1.5 0.25 2

3 6

1 0.5

5 4

x y

x y x yx

+ =

− +− = −

.וואותשמהת א רותפ .א


2' מס שאלה


1

3 2

1

4 3

x y

x y

+ = + =



3' מס שאלה


1

2

2

2

x yx

x yx

+ − =

− + =



4' מס שאלה


6 5

4

2 3

6 5

3

3 2

x y

x y

− + + =

+ − − =




_______________________________________________________________________________


שאלות מבחינותשאלות מבחינותשאלות מבחינותשאלות מבחינות

משברי אלגבריי למשוואה ריבועיתמשברי אלגבריי למשוואה ריבועיתמשברי אלגבריי למשוואה ריבועיתמשברי אלגבריי למשוואה ריבועית

)ב"אביב תשס( 1' מס שאלה

: )w –הנעל (וואה שמה הנותנ2

3 10 24

2 2 4

w

w w w− =

+ − −



)ג"קי תשס( 2' מס שאלה

) :הנעל – k( וואה המש הנותנ2

1 2 3 2 1

2 4 2

k k

k k k

+ −+ =

+ − −



)ד"אביב תשס( 3' מס שאלה

:המשוואה הנותנ2

3 3

1 1 1

x

x x x− =

− + −



)ד"קי תשס( 4' מס שאלה

) :הנעל – y( המשוואה הנותנ1 4

1

3y y+ =

+



)ה"אביב תשס( 5' מס שאלה

:המשוואה הנותנ21 1 4 1

2 4 2 4 2

x

x x x

++ =

+ − +



)ה"קי תשס( 6' מס שאלה


2

2 1 6

1

1 2( 1) 1x x x+ = −

− − +




_______________________________________________________________________________


)ו"אביב תשס( 7' מס שאלה


2

2 1

9 4 12 3

x x

x x x

++ =

− + −



)ו"קי תשס( 8' מס שאלה

:המשוואה הנותנ( )

2

2

2 1 1

4 3 2 3 6

x x x

x x x

− −+ =

− − +


.נכונות הפתרונות שמצאתת א קודב .ב

)ז"אביב תשס( 9' מס שאלה


1

2 3 2 3

x

x x− =

− +



)ז"קי תשס( 10' מס שאלה


2 3 1 3 10

2 4 2 2 8

x x

x x x

+ ++ =

+ − −



)ח"אביב תשס( 11' מס שאלה

:המשוואה הנותנ3 5

1

2 2

x

x x+ =

− +



)ח"קי תשס( 12' מס שאלה

:המשוואה הנותנ( )

2

2 62

3

4 2

x

x x

+− =

− +




_______________________________________________________________________________


)ט"אביב תשס( 13' מס שאלה

:המשוואה הנותנ( )4 6

1

5 2 2

x

x x

−+ =

− +



)ט"קי תשס( 14' מס שאלה


3 10 24

2 2 4

x

x x x+ =

− + −



)ע"אביב תש( 15' מס שאלה


3 1

3

1 1

x

x x

−= +

− −



)ע"קי תש( 16' מס שאלה

) :הנעל – y(המשוואה הנותנ15 2

5

1 1

y

y y

+− =

− +



)א"אביב תשע( 17' מס שאלה


5 3

2

4 2y y= +

− +



)א"קי תשע( 18' מס שאלה

) :הנעל – w(נתונה המשוואה 2

5 1

3

4 2

w

w w

−+ =

− +

.פתור את המשוואה. א

.בדוק את נכונות הפתרונות שמצאת. ב


_______________________________________________________________________________


)ב"אביב תשע( 19' מס שאלה


5 1

3

4 2 8

x

x x x

−− =

− −



)ב"קי תשע( 20' מס שאלה

) :הנעל – w(המשוואה הנותנ2

21 5

1

4 4 2

w

w w

+− =

− −



מערכת משוואות בשני נעלמי מערכת משוואות בשני נעלמי מערכת משוואות בשני נעלמי מערכת משוואות בשני נעלמי

)א"אביב תשס( 1' מס שאלה

ואותנתונה מערכת המשו

102

5

67

=+

=+

yx

yx



)א"קי תשס( 2' מס שאלה

ערכת המשוואותמ הנותנ

30

24)1()2(

=⋅

=+⋅−

yx

yx


.הפתרונות שמצאת ת נכונותא קודב .ב

)ב"קי תשס( 3' מס שאלה

ערכת המשוואותמ הנותנ( 1) ( 1) 2

( 2) 2

x y

x y

+ ⋅ + =

⋅ − = −




_______________________________________________________________________________


)ג"אביב תשס( 4' מס שאלה

ערכת המשוואותמ הנותנ( 2) ( 3) 2

2 1

x y

x y

− ⋅ + =

+ =


.כונות הפתרונות שמצאתת נא קודב .ב

בעיות נוספותבעיות נוספותבעיות נוספותבעיות נוספות ––––משוואות ממעלה שניה משוואות ממעלה שניה משוואות ממעלה שניה משוואות ממעלה שניה

1' מס שאלה

:נתונה המשוואה 2

( 3) (2 2)(2 2) 4( 2)x x x x+ − + − = +

.פתור את המשוואה הנתונה .א

.ת נכונות הפתרונות שמצאתאי הצבה "ע קודב .ב

2' מס שאלה


2 2

3 11

2 2

x y

x y

− =− =

.וואותשמהמערכת ת א רותפ .א


3' מס שאלה

:מערכת המשוואות הנותנ( )( )( ) ( )

2 6 3

5 2 3 2 16

x y

x y x y

− − =

− − − − =



4' מס שאלה

:מערכת המשוואות הנותנ( )

( ) ( )2 1

1 2 24

y x

x y

= −

− + =




_______________________________________________________________________________


5' מס שאלה

:מערכת המשוואות הנותנ( )

( )3 2 1

1 9

x y

x y

+ − =

− = −



6' מס שאלה

:מערכת המשוואות הנותנ2 2

3 6

2 1

x y

x y

− =

− =




_______________________________________________________________________________


תשובות סופיותתשובות סופיותתשובות סופיותתשובות סופיות

מערכות משוואות ממעלה ראשונהמערכות משוואות ממעלה ראשונהמערכות משוואות ממעלה ראשונהמערכות משוואות ממעלה ראשונה

שאלה שאלה שאלה שאלה

''''מסמסמסמס תשובהתשובהתשובהתשובה





1 2, 4x y= = − 2 12, 6x y= = − 3 1, 1x y= = −

4 6, 7x y= =

י אלגבריי למשוואה ריבועיתי אלגבריי למשוואה ריבועיתי אלגבריי למשוואה ריבועיתי אלגבריי למשוואה ריבועיתמשברמשברמשברמשבר ––––שאלות בחינה שאלות בחינה שאלות בחינה שאלות בחינה







1 2

3

w = 8 1

2

x = 15 1

3

x = −

2 3

2

k = 9 1 2

5

3,

2

x x= − = 16

1 2

2

2,

3

x x= − = −

3 1 2

0, 2x x= = 10 1

3x = 17

1,2

3

, 3

2

y = −

4 1 2

3, 1y y= = − 11 1 2

1

, 6

2

x x= = − 18

1,2

5

1,

3

w = −

5 1 2

3

3,

2

x x= = 12 2

3

x = 19

1 2

5, 0.4x x= = −

6 1 2

5

3,

2

x x= = 13 1 2

4

4,

3

x x= = 20 1,2

7.5 , 4w = −

7 1 2

4, 1x x= = − 14 2

3

x = −

מערכת משוואות בשני נעלמי מערכת משוואות בשני נעלמי מערכת משוואות בשני נעלמי מערכת משוואות בשני נעלמי ––––שאלות בחינה שאלות בחינה שאלות בחינה שאלות בחינה

תשובהתשובהתשובהתשובה ''''שאלה מסשאלה מסשאלה מסשאלה מס תשובהתשובהתשובהתשובה ''''שאלה מסשאלה מסשאלה מסשאלה מס

1 1 1 2 2

3

2, 4 ; 7,

2

x y x y= = = = 3 1 1 2 2

2

1, 0 ; , 5

3

x y x y= = = − =

2 1 1 2 2

6, 5 ; 10, 3x y x y= = = − = −

4 1 1 2 2

5

3, 1 ; 6,

2

x y x y= = − = = −

בעיות נוספותבעיות נוספותבעיות נוספותבעיות נוספות ––––משוואות ממעלה שניה משוואות ממעלה שניה משוואות ממעלה שניה משוואות ממעלה שניה

תשובהתשובהתשובהתשובה ''''שאלה מסשאלה מסשאלה מסשאלה מס תשובהתשובהתשובהתשובה ''''שאלה מסשאלה מסשאלה מסשאלה מס

1 1 2

5

1,

3

x x= − = 4 1 1 2 2

4, 6 ; 3, 8x y x y= = = − = −

2 1 1 2 2

3, 4 ; 5, 8x y x y= = = = 5 1 1 2 2

2, 3 ; 10, 1x y x y= − = = = −

3 1 1 2 2

3, 8 ; 4, 6x y x y= − = − = = 6 1 1 2 2

3, 1 ; 9, 5x y x y= = = − = −

המכו הממשלתי להכשרה ובמדע בטכנולוגיה


הדרכה ותרגול – טכנולוגיתהמכינה למתמטיקה המחלקה ללימודי תעודה_______________________________________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

11מתו� 1עמוד ט"כל הזכויות שמורות למה © 2012 –ג "מהדורת תשע

נוסחאות ותבניותנוסחאות ותבניותנוסחאות ותבניותנוסחאות ותבניות: : : : 2222פרק פרק פרק פרק


פרק זה עוסק ברכישת המיומנויות של שימוש בנוסחא כקשר בי� שניי� או יותר משתני� והיכולת להפו� קשרי�

: בפרק זה ה�נבחנות ההמיומנויות החשבוניות והאלגבריות . והשימוש בנוסחא לחישוב ערכי� מדידי�, אלה

.שמירה על סימני� ועל סדר פעולות חשבו� .1

2. � .הכפלת כל הגורמי� המתאימי� במכנה משות

.פישוט ביטויי�כינוס איברי� ושימוש בכללי� אלגבריי� ל .3

.הצבה נכונה בנוסחא מרובת משתני� .4

.היפו� נושא נוסחא .5

.דיוק בחישוב ערכי�עיגול נכו� ו .6

).תו� יישו� נכו� של חוקי חזקות(בהצגה מדעית המחושבי� �הערכי הצגת .7

פרות משמעותיות ועיגול מספרי�פרות משמעותיות ועיגול מספרי�פרות משמעותיות ועיגול מספרי�פרות משמעותיות ועיגול מספרי�סססס: : : : שימוש במחשבו� שימוש במחשבו� שימוש במחשבו� שימוש במחשבו�

::::המטרה המטרה המטרה המטרה

ת ובעלשה� ותתוצאבי� ל לאחר סדרה של פעולות חשבוניות מחשבו�המתקבלות בת ותוצאההבנת ההבדל בי�

.הפתרו� המתחייב הינו ידיעת כללי העיגול הנכוני� והשימוש בה� .משמעות בפועל

::::כללי העיגול כללי העיגול כללי העיגול כללי העיגול

:ספרות משמעותיות nעד )שרוניתהכתוב בצורה ע(לעגל מספר כאשר אנו מתבקשי�

).מטהמטהמטהמטההמספר מעוגל כלפי (מוחקי� את השארית : 5 ) מ קטנהקטנהקטנהקטנה n+1)ה במקו� א� הספרה .א

ומוחקי� את השארית 1 ) ב n)ה במקו� הספרה תאמגדילי� : 5 )מ גדולהגדולהגדולהגדולה n+1)ה במקו� א� הספרה .ב

).ההההעלעלעלעלממממכלפי אז המספר מעוגל(

10·כתיבת מספר בצורה ::::הצגה מדעית הצגה מדעית הצגה מדעית הצגה מדעית

ma כאשרm 1 ) מספר של� ו 10a≤ <.

ספרות משמעותיות ספרות משמעותיות ספרות משמעותיות ספרות משמעותיות

פעולות חשבו� או חישוב . הספרות המשמעותיות ה� הספרות שיש לה� משמעות מבחינת רמת הדיוק של התוצאה

מספר הספרות , לבפוע. בצע תו� הקפדה על השארת ספרות משמעותיות בלבד בתוצאהיש לפונקציות במחשבו�

.אינה ודאית, המעוגלת, משו� שהספרה האחרונה, 1+ המופיע בתוצאה הוא מספר הספרות המשמעותיות

ספרות 3, אלא א� ייאמר במפורש אחרת, ט ייקבע שבחישובי� מספריי� נשאיר"כמסגרת אחידה בבחינות מה

ספרות אחרי הנקודה בהצגה 3(ספרות 4התוצאה הסופית צריכה להיות בת , במלי� אחרות. משמעותיות

שתי ספרות הדרישה הינה בכל מקרה ל –יות המתקבלות במעלות מתו� חישובי� טריגונומטריי� וובז ).מדעית

.אחרי הנקודה

.ספרות משמעותיות 3צריכה להירש� כאשר נדרשות ) 0(הספרה האחרונה , 2.840בער� מספרי כמו למשל : הערה

ותנוסחאות ותבני: 2פרק הדרכה ותרגול – טכנולוגיתהמכינה למתמטיקה _______________________________________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________


דוגמאותדוגמאותדוגמאותדוגמאות

1

0.142857 0.1429

7

= …≅

2

112.3 25.74 0.8935 138.9335 138.9 1.389 10+ + = ≅ = ×

3

235.5 6.953 1637.4315 1637 1.637 10× = ≅ = ×

o o

sin 0.58 35.45 ; cos 0.27 105.66α α α α= ⇒ = = − ⇒ =

לדוגמאלדוגמאלדוגמאלדוגמא ההההשאלשאלשאלשאל

,34.82 נתו� 731.3x a= :בביטוי הבא t חשב את ערכו של. =

271.3

2

93.56

−

+−=

x

xaxt

:פתרו�

3

731.3 2 34.82 800.94

56.93 34.82 1982.3026

34.82 3.271 31.549

1982.3026 25.3871755 1956.915425 1957 1.957 10

t+ ×

= × − = − =−

= − = ⇒ = ×


10·בצורה בצורה בצורה בצורה ––––יות שלפניכ� יש להציג את התוצאה המספרית הסופית בהצגה מדעית יות שלפניכ� יש להציג את התוצאה המספרית הסופית בהצגה מדעית יות שלפניכ� יש להציג את התוצאה המספרית הסופית בהצגה מדעית יות שלפניכ� יש להציג את התוצאה המספרית הסופית בהצגה מדעית בכל הבעבכל הבעבכל הבעבכל הבע

ma כאשר כאשר כאשר כאשרm

1 ) ) ) ) מספר של� ומספר של� ומספר של� ומספר של� ו 10a≤ ).).).).ספרות אחרי הנקודהספרות אחרי הנקודהספרות אחרי הנקודהספרות אחרי הנקודה 3333((((ספרות משמעותיות ספרות משמעותיות ספרות משמעותיות ספרות משמעותיות 3333מוצג בדיוק של מוצג בדיוק של מוצג בדיוק של מוצג בדיוק של a ) ) ) ) כשכשכשכש, , , , >


נתונה הנוסחה

2 3

1

1

PQ

P

+= −

−

.Qבעזרת Pבטא את .א

.הסבר את תשובת�. יכולי� לקבל אינ� Q )ו Pמצא מה� הערכי� המספריי� אשר .ב

)א"קי. תשס( 2' מס שאלה

hrV : י הנוסחא "נית� ע hוגבהו rשל חרוט שרדיוס בסיסו V הנפח2

3

π=

.מצא את רדיוס הבסיס. מ"ס 15ק וגבהו "סמ 320πנתו� שנפחו לחרוט מסוי� .א

.hוהגובה Vת הנפח אמצעוב rובטא את רדיוס הבסיס , הפו� את הנוסחא .ב


_______________________________________________________________________________


)א"קי. תשס( 3' מס שאלה

3559s , 0.07534 , 243.75 :נתוני� המספרי� .א t r= = =

.כתוב מספרי� אלה בהצגה מדעית

) :ג� כ� בהצגה מדעית( Uבנוסחא שלפני� וחשב את הער� של ) עיתבהצגה המד(הצב אות� .ב3

22

s

rtU =


החסונה הנותנ

2 1

2

1

kt

k

−= −

+

.t תרזעב k תא אטב

)ב"קי. תשס( 5' מס שאלה

: נתונה הנוסחא pwq

qwpS

+

−=

.wחשב את . S = 12.5 ,p = -4.2 ,q = 3.3נתו� .א

.q )ו S ,pת אמצעוב wובטא את , הפו� את הנוסחא .ב


: נתונה הנוסחא 2

3

2

( / )

S QM

Q k

⋅=

.S = 254.78 ,Q = -43.2 ,k = 0.00133: ונתוני� הערכי�

.בהצגה מדעית S )ו k ,Qהצג את המספרי� הנתוני� .א

.כ� בהצגה מדעית)והצג את התוצאה ג� Mחשב את .ב

)ג"קי. תשס( 7' מס שאלה

:נתונה הנוסחא 2

2

2

3

w zp

w z

+=

−

).z )z > 0חשב את . p = –0.524 ,w = 23.8 :נתו� .א

.)z > 0( w ) ו pת אמצעוכנושא הנוסחא ב zובטא את , הפו� את הנוסחא .ב


_______________________________________________________________________________



2 :נתונה נוסחת שטח הפני� של גליל

2 2P Rh Rπ π= +

.גובה הגליל h )רדיוס הבסיס ו Rכאשר

.R = 5cmנתו� גליל שבו

. Pבאמצעות hבנוסחא הנתונה ובטא את גובה הגליל Rהצב את הער� של .א

P = 1924cm: נתו� .ב

.והצג את התוצאה בהצגה מדעית hחשב את . 2

.π ≈ 3.142לצור� החישובי� נית� להשתמש בער� המקורב

)ד"קי. תשס( 9' מס שאלה

:היא Cבמעלות צלזיוס כאשר הטמפרטורה נתונה Fהנוסחא למציאת הטמפרטורה במעלות פרנהייט

9

32

5

F C= +

?) C(מהי הטמפרטורה שלו במעלות צלזיוס ). F(מעלות פרנהייט 120הטמפרטורה של גו� מסוי� היא .א

.Fת אמצעוכנושא הנוסחא ב Cובטא את , הפו� את הנוסחא הנתונה .ב


2 :נתונה הנוסחא

2 5S P Q Q= ⋅ +

.Q = 8תו� נ

. Sבאמצעות Pבנוסחא הנתונה ובטא את Qהצב את הער� הנתו� של .א

.והצג את התוצאה בהצגה מדעית Pחשב את . S = 7264: בנוס� לכ� נתו� ג� .ב

)ה"קי. תשס( 11' מס שאלה

:נתונה הנוסחא 2 5

3

t wy

t w

−=

+

.w = –6.3נתו�

. yבאמצעות tונה ובטא את בנוסחא הנת wהצב את הער� הנתו� של .א

.והצג את התוצאה בהצגה מדעית tחשב את . y = 2.05: בנוס� לכ� נתו� ג� .ב


_______________________________________________________________________________




1

2

KWZ

K W

−= +

+

.K = 2.4נתו�

. Zבאמצעות Wבנוסחא הנתונה ובטא את Kהצב את הער� הנתו� של .א

.והצג את התוצאה בהצגה מדעית Wחשב את . Z = 1.732: ג� בנוס� לכ� נתו� .ב

)ו"קי. תשס( 13' מס שאלה


2

2

N HN H

M H

+= +

+

– = Hנתו� 1.8.

.Nבאמצעות Mבנוסחא הנתונה ובטא את Hהצב את הער� הנתו� של .א

7N: נתו� ג� .ב .ספרות משמעותיות 3בדיוק של Nאת הער� המספרי של )בעזרת המחשבו�(חשב . =

הצג את . Mוחשב את Hיחד ע� הער� הנתו� של ) שקיבלת בסעי� הקוד�( Nהצב את הער� המספרי של .ג

.התוצאה בהצגה מדעית



2

3

Q RP

Q R

− ⋅= −

−

.R = 3.25נתו�

. Pבאמצעות Qבנוסחא הנתונה ובטא את Rהצב את הער� הנתו� של .א

8.7P: נתו� ג� .ב .ספרות משמעותיות 3בדיוק של Pאת הער� המספרי של ) בעזרת המחשבו�(חשב . =

הצג את התוצאה . שקיבלת בסעי� הקוד� Pובער� המספרי של Rתו� שימוש בער� הנתו� של Qחשב את .ג

.בהצגה מדעית

)ז"קי. תשס( 15' מס שאלה


2 5

2

2 3

Y ZX Y

Y Z

+= −

+

– = Yנתו� 2.4.

. Xבאמצעות Zבנוסחא הנתונה ובטא את Yהצב את הער� הנתו� של .א

12.34X: נתו� ג� .ב ספרות 3בדיוק של Xאת הער� המספרי של ) בעזרת המחשבו�(חשב . =

.משמעותיות


_______________________________________________________________________________


בנוסחא המקורית וחשב Y יחד ע� הער� הנתו� של) שקיבלת בסעי� הקוד�( Xער� המספרי של הצב את ה .ג

.הצג את התוצאה בהצגה מדעית. Z את



9

3

A BC

B A

+ ⋅= −

−

.A = 12.35נתו�

. Cבאמצעות Bבנוסחא הנתונה ובטא את Aהצב את הער� הנתו� של .א

15.83C: נתו� ג� .ב ספרות 3בדיוק של Cאת הער� המספרי של ) בעזרת המחשבו�(חשב . =

).ספרות אחרי הנקודה 3(משמעותיות

הצג את התוצאה . שקיבלת בסעי� הקוד� Cובער� המספרי של Aתו� שימוש בער� הנתו� של Bחשב את .ג

.בהצגה מדעית

)ח"קי. תשס( 17' מס שאלה


2 2

4

q mp

q m

+=

−

– = mנתו� 3.5.

. pבאמצעות qבנוסחא הנתונה ובטא את mהצב את הער� הנתו� של .א

23.87p: נתו� ג� .ב ספרות 3בדיוק של pאת הער� המספרי של ) בעזרת המחשבו�(חשב . =

).י הנקודהספרות אחר 3(משמעותיות

בנוסחא המקורית mיחד ע� הער� הנתו� של ) שקיבלת בסעי� הקוד�( pהצב את הער� המספרי של .ג

.הצג את התוצאה בהצגה מדעית. qוחשב את


:נתונה הנוסחא 2 5.2

1.3

2.4

W KWZ

K KW

−= +

+

.Z = 31.8נתו�

. Wבאמצעות Kטא את בנוסחא הנתונה וב Zהצב את הער� הנתו� של .א

71.3W: נתו� ג� .ב ספרות 3בדיוק של Wאת הער� המספרי של ) בעזרת המחשבו�(חשב . =


הצג את . שקיבלת בסעי� הקוד� Wובער� המספרי של Zתו� שימוש בער� הנתו� של K חשב את .ג

.תמדעי התוצאה בהצגה


_______________________________________________________________________________


)ט"קי. תשס( 19' מס שאלה


4

q kp q

k q

+= +

−

8.3qנתו� =.

. pבאמצעות kבנוסחא הנתונה ובטא את qהצב את הער� הנתו� של .א

40.18p: נתו� ג� .ב ספרות משמעותיות 3יוק של בד pאת הער� המספרי של ) בעזרת המחשבו�(חשב . =

).ספרות אחרי הנקודה 3(

או (בנוסחא המקורית qיחד ע� הער� הנתו� של ) שקיבלת בסעי� הקוד�( pהצב את הער� המספרי של .ג

.הצג את התוצאה בהצגה מדעית. kוחשב את ) 'א' בנוסחא שקיבלת כתוצאה בסע


2 : י הנוסחא"שטחה של צורה מסוימת נתו� ע

2S R Rbπ= +

π...3.14159כאשר .הוא המספר המוכר מהיק� ושטח המעגל =

. = Sר "סמ 1829נתו�

.π )ו Rבאמצעות bבנוסחא הנתונה ובטא את Sהצב את הער� הנתו� של .א

234.7cmR: נתו� ג� .ב ספרות 3בדיוק של Rאת הער� המספרי של ) בעזרת המחשבו�(חשב . =


πוהער� המספרי של Sיחד ע� הער� הנתו� של ) שקיבלת בסעי� הקוד�( Rהצב את הער� המספרי של .ג

.הצג את התוצאה בהצגה מדעית. bוחשב את ) 'א' סעאו בנוסחא שקיבלת כתוצאה ב(בנוסחא המקורית

)ע"קי. תש( 21' מס שאלה

:נתונה הנוסחא 7.3 4.2

3

2 3

A BM

B A

+ ⋅= +

+

5.35Bנתו� =.

. Mבאמצעות Aבנוסחא הנתונה ובטא את Bהצב את הער� הנתו� של .א

78.35M: נתו� ג� .ב ספרות 3בדיוק של Mאת הער� המספרי של ) זרת המחשבו�בע(חשב . =


או (בנוסחא המקורית Bיחד ע� הער� הנתו� של ) שקיבלת בסעי� הקוד�( Mהצב את הער� המספרי של .ג

.הצג את התוצאה בהצגה מדעית. Aוחשב את ) 'א' בנוסחא שקיבלת כתוצאה בסע


_______________________________________________________________________________


)א"שעאביב ת( 22' מס שאלה


3

4 3

W RP

W R

+= +

−

– נתו� 0.524W =.

.Pבאמצעות Rבנוסחא הנתונה ובטא את Wהצב את הער� הנתו� של .א

23.8P: נתו� ג� .ב ת ספרות משמעותיו 3בדיוק של Pאת הער� המספרי של ) בעזרת המחשבו�(חשב . =

).ספרות אחרי הנקודה 3(

או (בנוסחא המקורית Wיחד ע� הער� הנתו� של ) שקיבלת בסעי� הקוד�( Pהצב את הער� המספרי של .ג

.הצג את התוצאה בהצגה מדעית. Rוחשב את ) 'א' בנוסחא שקיבלת כתוצאה בסע

)א"קי. תשע( 23' מס שאלה

:נתונה הנוסחא 5.3 6.2

7

3.5 4.8

Y ZX

Y Z

− ⋅= +

+

4.5Zנתו� =.

. Xבאמצעות Yבנוסחא הנתונה ובטא את Zהצב את הער� הנתו� של .א

7.49X: נתו� ג� .ב ספרות 3בדיוק של Xאת הער� המספרי של ) בעזרת המחשבו�(חשב . =


או (בנוסחא המקורית Zיחד ע� הער� הנתו� של ) קיבלת בסעי� הקוד�ש( Xהצב את הער� המספרי של .ג

10·בצורה , כלומר(הצג את התוצאה בהצגה מדעית . Yוחשב את ) 'א' בנוסחא שהתבקשת למצוא בסע

ma

1 ) מספר של� ו mכאשר 10a≤ ).ספרות משמעותיות 3כתוב בדיוק של a ) כש >


:נתונה הנוסחה2

2

2

5

M CA

M C

+=

−

26C :נתו�ו =.

. Aבאמצעות M והבע את, בנוסחה הנתונה Cהצב את הער� הנתו� של .א

7.89A :נתו� ג� .ב ספרות אחרי 3( בדיוק של שלוש ספרות משמעותיות Aחשב את הער� המספרי של .=

).הנקודה

כתוצאה של המקורית או בנוסחה שקיבלת שקיבלת בסעי� הקוד� בנוסחה Aהצב את הער� המספרי של .ג

.בהצגה מדעית M הצג את .M וחשב את' סעי� א


_______________________________________________________________________________


)ב"קי. תשע( 25' מס שאלה


4

k tp t

t k

+= +

−

13.6tנתו� =.

.pבאמצעות kבנוסחא הנתונה והבע את tהצב את הער� הנתו� של .א

82.5p: נתו� ג� .ב ספרות אחרי 3(ספרות משמעותיות 3בדיוק של pחשב את הער� המספרי של . =

).הנקודה

בנוסחא שקיבלת כתוצאה של או (שקיבלת בסעי� הקוד� בנוסחא המקורית pהצב את הער� המספרי של .ג

10·בצורה , כלומר(הצג את התוצאה בהצגה מדעית . k וחשב את) 'א' סע

ma כאשרm מספר של� ו(

1 10a≤ ).ספרות משמעותיות 3כתוב בדיוק של a ) כש >


_______________________________________________________________________________





. א 14

1

QP

Q

+=

−1P , 1. ב Q≠ ≠

8cmr. א 2 . ב =3V

rhπ

=

2. א 3 2 3

2.438 10 , 7.534 10 , 3.559 10s t r−= × = × = 3. ב ×

4.964 10U−= ×

4 3t

kt

+= −

1. א 5

9.238 10w−= . ב ×

p Sqw

q Sp

−=

+

2. א 6 1 3

2.548 10 , 4.320 10 , 1.330 10S Q k−= × = − × = 8. ב ×

2.775 10M−= − ×

1. א 7

1.025 10z = . ב ×( )2

3 1

p wz

p

−=

+

]. א 8 ]50

cm

10

Ph

π

π

−1. ב =

5.624 10 cmh = ×

48.89C. א 9 . ב =5 160

9

FC

−=

. א 10320

16

SP

−2. ב =

4.34 10P = ×

. א 1118.9 31.5

2

yt

y

+=

−3. ב

1.405 10t = ×

. א 122.2 1.2

5

ZW

Z

−=

+2. ב

1.806 10W−= ×

. א 132

2 1.8

1.8

2 1.8

NM

N

−= +

+2.646N. ב 3.520M. ג = =

. א 143.25 15.5

3 28.75

PQ

P

+=

+2.950P. ב 1. ג =

6.672 10Q−= ×

. א 159.6

6 12.2

XZ

X=

−3.513X. ב 3.799Z. ג = =

. א 1612.35 116.15

3 22.4

CB

C

+=

−3.979C. ב 1. ג =

1.580 10B = − ×

. א 17( )7 7 1

2

pq

p

−=

−4.886p. ב 1. ג =

8.053 10q = ×


_______________________________________________________________________________




. א 182

30.5 78.4

WK

W=

+8.444W. ב 2. ג =

2.439 10K−= ×

. א 198.3 52.29

4 36.2

pk

p

−=

−6.339p. ב 2. ג =

2.985 10k−= − ×

. א 202

1829

2

Rb

R

π−15.32cmR. ב = 1. ג ≈

35.63 3.563 10 cmb ≈ = ×

. א 2139.4 10.7

3 31.47

MA

M

−=

−8.852M. ב 1. ג ≈

11.26 1.126 10A ≈ = ×

. א 227.336 2.096

3 4

PR

P

−=

−4.879P. ב 1. ג =

0.2717 2.717 10R−≈ − = − ×

. א 23156.5 21.6

3.5 3.4

XY

X

−=

+2.737X. ב 0. ג =

7.503 10Y = ×

.א 24

( )26 13

5 1

AM

A

+=

−2.809A .ב 1 .ג ≈

31.509.. 3.151 10M ≈ ≈ ⋅

.א 25

767.04 54.4

10.6

pk

p

−=

−9.083p .ב 2 .ג ≈

179.9 1.799 10k ≈ = ⋅




_______________________________________________________________________________


שוויוני�שוויוני�שוויוני�שוויוני�� מערכות של אימערכות של אימערכות של אימערכות של אי: : : : 3333פרק פרק פרק פרק


שוויוני� ממעלה �מופיעות בפתרו� של אי, ממעלה ראשונה ובמשתנה אחד, שוויוני��מערכות של זוגות של אי

הכוונה כא� היא לדו� במערכות של . או בבעיות בסיסיות בתכנו� ליניארי, שוויוני� בשברי� אלגבריי��שניה או אי

לימוד זה יכול ה� . ה ראשונה במשתנה אחד ג� בלי לגזור אות� מבעיה מורכבת יותרשוויוני� ממעל� זוגות של אי

.יישו� בבעיות מורכבות יותרלעמוד בפני עצמו וה� לשמש כמבוא ל

המטרההמטרההמטרההמטרה

שוויוני� ממעלה ראשונה במשתנה אחדשוויוני� ממעלה ראשונה במשתנה אחדשוויוני� ממעלה ראשונה במשתנה אחדשוויוני� ממעלה ראשונה במשתנה אחד� � � � מציאת תחו� הפתרו� המשות� של זוג אימציאת תחו� הפתרו� המשות� של זוג אימציאת תחו� הפתרו� המשות� של זוג אימציאת תחו� הפתרו� המשות� של זוג אי

נושאי� ללימוד ותרגולנושאי� ללימוד ותרגולנושאי� ללימוד ותרגולנושאי� ללימוד ותרגול

.� שלוהשוויו� ותחו� הקיו� מושג אי •

.≥, ≤<, >, שוויו� בודד ע� היחסי� �מציאת תחו� הפתרו� של אי •

").או("שוויוני� �איחוד תחומי הפתרו� של זוג אי •

").וג�("שוויוני� �חיתו% תחומי הפתרו� של זוג אי •

.מושג הקבוצה הריקה •

.על ציר המספרי�) חיתו%, איחוד(המחשת תחומי הפתרו� וצירופיה� •

הנחיה כלליתהנחיה כלליתהנחיה כלליתהנחיה כללית

זמנית�בושוויוני� מתקיימי� �יש למצוא את התחו� שבו שני אי ⇐ " וג�"

שוויוני� מתקיי�� אחד משני אי לפחותיש למצוא את התחו� שבו ⇐" או"

לקחי בחינותלקחי בחינותלקחי בחינותלקחי בחינות ––––נקודות לתשומת לב נקודות לתשומת לב נקודות לתשומת לב נקודות לתשומת לב

.שוויוני� בנפרד בלא לאחד אות� למערכת אחת� פותרי� את שני האי) כמעט כול�(נבחני� רבי� מאוד .1

5x"למשל , קרי� משאירי� הנבחני� את הפתרו� בצורהבמספר מ .2 ≥ 3xוג� − , שכמוב� אינה מספקת" <

.רק נבחני� בודדי� מציגי� את התחו� המשות� הנדרש. כיוו� שאינה מציגה את התחו� המשות� הנדרש

אינ� מודעי� לכ% שהכפלה במספר –ויו� במספר שלילי שו�של אי) או חילוק(נבחני� רבי� שוגי� בהכפלה .3

3x 3: למשל , וכותבי�, השוויו�� שלילי הופכת את כיוו� אי x− < − ⇒ <.

אלא שרבי� מה� מסתפקי� בהצגה נפרדת של הפתרו� , כמעט כל הנבחני� מבקשי� להיעזר בפתרו� גראפי .4

א% במקרי� , תו% ציו� שני התחומי� שהתקבלו, ותו הציראמנ� על א –שוויו� על ציר המספרי� �של כל אי

השוויו� על גבי ציר �פתרו� אי –בנוס� לכ% . רבי� בלי לנסות לשרטט את התחו� העונה על תנאי השאלה

. פני� אינו יכול לבוא במקו� הפתרו� המסכ� בכתיב מתמטי�א% בשו�, עזר חשוב לנבח�� מספרי� הוא כלי

.נבח� בכלל מבי� אי% לבטא את הפתרו� הגראפי בכתיב מתמטיבמקרי� רבי� לא ברור א� ה

שוויוני�# של אי ותמערכ: 3פרק הדרכה ותרגול – וגיתטכנולהמכינה למתמטיקה _______________________________________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

5מתו� 2 עמוד ט"כל הזכויות שמורות למה © 2012 –ג "דורת תשעמה

ולאחר מציאת נקודת השוויו� , שוויוני� ראשית כמשוואות�פותרי� את האי) יחסית, מועט(מספר נבחני� .5

בשלב הזה רוב� שוגי� ואינ� יודעי� כיצד , בפועל. השוויו��מבקשי� להסב את התוצאה לפתרו� של אי

ובמקרי� , תלמידי� כאלה אינ� מסבירי� בשו� מקרה מה ה� עושי�. השוויו��ילהגיע לפתרו� נכו� של א

לא , שוויוני� בדר% הרגילה�ללמד פתרו� אי –ההמלצה . רבי� ג� לא ברור א� ה� מביני� מה ה� עושי�

.באמצעות משוואות

תרגילי� לדוגמאתרגילי� לדוגמאתרגילי� לדוגמאתרגילי� לדוגמא

""""וג�וג�וג�וג�""""מערכת מערכת מערכת מערכת

4 :שוויוני� �פתור את מערכת אי .1 7 3 4x x x x− − ≤ − 3וג� + 5 2 3x x x− + < +

:פתרו�

3 5 2 3 4 7 3 4

4 2 5 3 3 7 4 4

2 8 3

4 3

x x x x x x x

x x x x

x x

x x

− + < + − − ≤ − + − < + − ≤ −

< − ≤ < ≥ −

השוויוני� �אי זמנית את שני�בוהפתרו� המבוקש כולל את כל הנקודות המקיימות , "וג�"כיוו� שמדובר במערכת

3 : כ% שהתשובה הסופית היא, שהתקבלו 4x− ≤ <.

""""אואואואו""""מערכת מערכת מערכת מערכת

1 :שוויוני� �רכת איפתור את מע .2 8 9 2 3x x x− − ≥ − 6או + 7 2 4 2x x x x− + ≥ − −

:פתרו�

6 7 2 4 2 1 8 9 2 3

8 7 3 2 8 8 2 2

5 5 10 10

1 1

x x x x x x x

x x x x

x x

x x

− + ≥ − − − − ≥ − + − ≥ − − − ≥ +

≥ − ≥ ≥ ≤ −

השוויוני� � משני אי לפחות אחדכל הנקודות המקיימות תהפתרו� המבוקש כולל א, "או"כיוו� שמדובר במערכת

1x ; 1 : כ% שהתשובה הסופית היא, שהתקבלו x≤ − ≥.


_______________________________________________________________________________



:שוויוני� �פתור את מערכות אי

)ג"קי+ תשס( .12 7 7 13x x+ ≤ 13וג� − 5 4 5x x− < −

)ד"קי+ תשס( .24 5 2 3x x− < 3או + 17 18 2x x− ≤ −

)ה"אביב תשס( .32 5 3x x+ ≥ 3וג� − 4 11 2x x− < −

)ה"קי+ תשס( .43 4 12x x+ > 5או − 2 8 3x x− < −

)ו"אביב תשס( .53 5 1x x+ ≥ 2או + 2 7 3x x+ > −

5 )ו"קי+ תשס( .6 2 3 8x x+ ≥ )2וג� − 1) 2 7 3( 2)x x+ + < + −

)ז"אביב תשס( .75 3 9x x− ≤ 5וג� + 6 2 9x x+ > +

) )ז"קי+ תשס( .8 )4 3 3 2x x− ≥ )8או − 2) 4( 3) 7x x x− − < + −

)ח"אביב תשס( .93 1 7x x− ≤ 4או + 2 2 6x x+ > +

)ח"קי+ תשס( .104 7 2 2 3 10x x x+ + > + 6וג� − 7 9 3x x x− − ≤ +

) )ט"אביב תשס( .11 )30 3 2 5x x− > )וג� + ) ( )2 3 2 3 2 4 3x x x+ + ≥ +

) )ט"קי+ תשס( .12 )7 5 3 2 2x x x− − > + )וג� − ) ( )2 3 9 5 12 2 1 3x x x− − ≤ − +

) )ע"אביב תש( .13 ) ( )2 2 4 2 11x x x+ + < − )או − ) ( )3 2 7 2 9 2 7 4x x x− + + ≥ + +

) )ע"קי+ תש( .14 )6 2 2 1x x− ≤ )או − )5 4 2 2 2x x x+ − > + −

) )א"אביב תשע( .15 ) ( )8 3 4 2 8x x x− − ≤ + )וג� − )5 4 4x x+ ≤ −

) )א"קי+ תשע( .16 ) ( )3 2 2 9 6 1 16x x x+ − ≥ + )או − ) ( )4 3 1 3 4 1x x x− > + −

) )ב"אביב תשע( .17 ) ( )5 5 2 2 1 1x x− ≥ + ) או − ) ( ) ( )3 5 2 2 17x x x+ < + − −

3 )ב"קי+ תשע( .18 14

2

xx+ ) וג� ≤ ) ( )3 5 4 2 2 3x x+ > − −


_______________________________________________________________________________


תשובות סופיותתשובות סופיותתשובות סופיותתשובות סופיות –––– שאלות מבחינותשאלות מבחינותשאלות מבחינותשאלות מבחינות

תשובהתשובהתשובהתשובה ''''מסמסמסמס

1 4x ≥

2 7x ≤

3 8 3x− ≤ <

xכל 4

5 2x ≥ −

6 3x >

7 1 3x< ≤

xכל 8

xכל 9

10 5 8x− < ≤

11 2 4x≤ <

12 3 4x< ≤

13 5 ; 1x x≥ < −

14 1x > −

15 7 8x≤ ≤

16 7x >

17 3x <

18 4 5.2x≤ <


_______________________________________________________________________________


תרגילי� נוספי�תרגילי� נוספי�תרגילי� נוספי�תרגילי� נוספי�

:שוויוני� הבאי� � מצא את תחו� הפתרו� המשות� של זוגות האי

1. ( ) ( )5 2 3 5 2 4 5x x+ − ≤ )וג� + ) ( )2 3 4 1 3 5 6 4x x x− + > + −

2. ( )7 2 3 1x x− > )או − )7 5 3 2 2x x x− − ≥ + −

3. ( ) ( )8 2 4 3 7x x x− − ≤ + )וג� − )6 4 3x x+ ≤ −

4. ( ) ( )3 2 2 9 16 6 1x x x− + < − )וג� − ) ( )4 3 2 2 3 4 5x x+ + < +

תשובות סופיותתשובות סופיותתשובות סופיותתשובות סופיות –––– תרגילי� נוספי�תרגילי� נוספי�תרגילי� נוספי�תרגילי� נוספי�

תשובהתשובהתשובהתשובה ''''מסמסמסמס

1 5 0x− < ≤

2 2 ; 3x x< ≥

3 6 7x≤ ≤

4 4x > −


מכינה טכנולוגית להנדסאי�

סמכי�וטכנאי� מו


_______________________________________________________________________________


יותיותיותיותחזקות ומשוואות מעריכחזקות ומשוואות מעריכחזקות ומשוואות מעריכחזקות ומשוואות מעריכ: : : : 4444פרק פרק פרק פרק


ה� כפרק בפני עצמו במתמטיקה וה� כהכנה ליישומו בחישוב ערכי� , מטרת פרק זה הינה הכרת נושא החזקות

.והצגת� בהצגה מדעית

המיומנויות הנדרשותהמיומנויות הנדרשותהמיומנויות הנדרשותהמיומנויות הנדרשות

.הכרת חוקי החזקות והשורשי� .1

פירוק של מספרי� לכפולות של , טבפר .עתירי חזקות, יישו� חוקי� אלה בפישוט של ביטויי� מורכבי� .2

.חזקות של מספרי� ראשוניי�

.או שורשי�/יישו� חוקי� אלה בחישוב ערכי� של ביטויי� הכוללי� חזקות ו .3

.)מסדר ראשו� בלבד בחזקה(יישו� חוקי� אלה בפתרו� משוואות מעריכיות פשוטות .4

והשורשי�והשורשי�והשורשי�והשורשי� חזקותחזקותחזקותחזקותחוקי החוקי החוקי החוקי ה

נקודות שיש לשי� אליה� לבנקודות שיש לשי� אליה� לבנקודות שיש לשי� אליה� לבנקודות שיש לשי� אליה� לב

חל איסור להשתמש במחשבו� , פתרו� הבעיות נעשה תו% שימוש בחוקי החזקות והשורשי�מנת לוודא ש$על .1

.במהל% הפתרו�

.בבדיקת נכונות התוצאה שנתקבלה, במשוואות מעריכיות יש להשלי� את הפתרו� בהלי% בקרה .2

כמו למשל בדוגמא, ע� בסיס זהה במשוואות מעריכיות שוויו� המעריכי� נובע משוויו� החזקות .3

3

2 2 3

xx= ⇒ =

כמו למשל בצורה, צמצו� כזה –להתיחס לפתרו� כאל צמצו� הבסיסי� אי�אופ� $בשו�

3

2 2 3

xx= ⇒ =

!מהווה שגיאה

.עוד מספר שאלות לתרגול, לאחר שאלות הבחינה, בסו) הפרק

( )

m m ma b ab⋅ =

m n m na a a

+⋅ =

o

1a =

m mm

m

a a b

b ab

− = =

mm n

n

aa

a

−=

1

a a=

( )m

mn m nna a a= =

( )nm m na a

⋅=

1n

na

a

− =

יותחזקות ומשוואות מעריכ: 4פרק הדרכה ותרגול – טכנולוגיתהמכינה למתמטיקה _______________________________________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________


לדוגמאלדוגמאלדוגמאלדוגמא ותותותותשאלשאלשאלשאל

פישוט ביטויי�פישוט ביטויי�פישוט ביטויי�פישוט ביטויי� ––––חזקות חזקות חזקות חזקות


במחשבו� את ערכו של הביטוי חשב ללא שימוש15 11 13

12 14 9

5 2 10

5 2 50

⋅ ⋅⋅ ⋅

:פתרו�

( ) ( )( ) ( )

11 19

4 3 2

15 11 13 44 11 57 38 101 49

3

14 2412 14 9 98 56 98 48

7 2

2 3 2 3

5 2 10 2 3 2 3 2 3

2 3 24

5 2 50 2 3 2 3

2 3

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = = ⋅ =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅

24 :תשובה

חישוב ער% ביטויחישוב ער% ביטויחישוב ער% ביטויחישוב ער% ביטוי ––––חזקות חזקות חזקות חזקות


9נתו� 2

x= .1.5חשב את הער% של , ללא שימוש במחשבו�

2

x−.

:פתרו�

( ) ( )1.5 1.5

1.5 1.5 2 3

3

1 1

2 2 9 3 3

3 27

x x− −− − −= = = = = =

1.5 :תשובה

1

2

27

x− =

משוואות מעריכיותמשוואות מעריכיותמשוואות מעריכיותמשוואות מעריכיות


3 :פתור ללא שימוש במחשבו� את המשוואה

2 2 18

x x+ + =

:פתרו�

נרשו� את הביטוי הראשו� בצורה, תו% שימוש בחוקי החזקות

3 3

2 2 2 8 2

x x x+ = ⋅ = ⋅

הצבה במשוואה נותנת

3

2 2 18 8 2 2 18 9 2 18

2 2 1

x x x x x

xx

+ + = ⇒ ⋅ + = ⇒ ⋅ = ⇒

⇒ = ⇒ =

1 ) :י הצבה במשוואה המקורית"ע(בדיקת הפתרו� 3 1 4 1

2 2 2 2 16 2 18

+ + = + = + =

1x : תשובה =


_______________________________________________________________________________


מבחינותמבחינותמבחינותמבחינות ותותותותשאלשאלשאלשאל

פישוט ביטויי�פישוט ביטויי�פישוט ביטויי�פישוט ביטויי� –––– חזקותחזקותחזקותחזקות

: )פשט ככל שנית�( י� הבאי�של הביטוי יה�את ערכ, תו% שימוש בחוקי החזקות, בלי עזרת מחשבו�, חשב

)א"אביב תשס( 1( ) 10

6

3

1272

)225(75

)45()125(

bb

bb

⋅

⋅

)ב"אביב תשס( 2

21

36

54 125

445

− ⋅

)ב"קי+ תשס( 34 2 5 3

(8 ) (2 )

8 3 2

(4 ) ( )

a a a

a a

⋅ ⋅

⋅

)ד"קי+ תשס( 414 7 12

11 13 7

5 2 10

5 2 50

⋅ ⋅⋅ ⋅

)ו"קי+ תשס( 517 7

2 25

72 54

96 36

⋅⋅

)ז"אביב תשס( 620 10

5 39

45 75

9 15

⋅⋅

)ז"קי+ תשס( 712 19

4 28

24 54

81 36

⋅⋅

)ט"אביב תשס( 811 19

14 24

48 72

128 9

⋅⋅

)ע"אביב תש( 92 5 4 2 3

2 6 5 2

(8 ) (2 )

16(4 ) ( )

a a a

a a

⋅ ⋅⋅

)א"קי+ תשע( 10( ) ( )( ) ( )

5

6

2 3

4 2

2 3

9 3 81

81 27

b b b

b b

⋅ ⋅

⋅

)ב"עאביב תש( 11( )

( )( )

3

2 2 4 3

7

5

8

0, 0

2

a b a ba b

a b

⋅ ⋅≠ >

⋅

)ב"עקי+ תש( 12( ) ( )( ) ( )

( )3 2

2 4

3

3

4

9 8

0

12

a aa

a a

⋅≠

⋅


_______________________________________________________________________________


ביטויביטויביטויביטויחישוב ער% חישוב ער% חישוב ער% חישוב ער% ––––חזקות חזקות חזקות חזקות

:ימוש בחוקי החזקות תו% ש, בלי עזרת מחשבו�, פתור

4נתו� )ד"אביב תשס( 1 3

x= . חשב את הער% של( )3

x−

.

6נתו� )ט"קי+ תשס( 2 2

x= . חשב את הער% של ( )2 4

8

x−.

נתו� )ע"קי+ תש( 31

5

4

x 2.5חשב את הער% של . =

5

x−.

חישוב ער% ביטויחישוב ער% ביטויחישוב ער% ביטויחישוב ער% ביטוי+ + + + משוואה משוואה משוואה משוואה ––––חזקות חזקות חזקות חזקות

:תו% שימוש בחוקי החזקות , בלי עזרת מחשבו�, פתור

9 $נתו� ש )ה"קי+ תשס( 1 27

x 1מה ערכו של הביטוי . =

4

x− ?

משוואות מעריכיותמשוואות מעריכיותמשוואות מעריכיותמשוואות מעריכיות

:את המשוואות הבאות , רת מחשבו�בלי עז, פתור

1 )ג"אביב תשס( 1 1

3 2 5 2 14

x x+ −⋅ − ⋅ =

1 )ג"קי+ תשס( 2

2 4 4 3

x x+⋅ + =

1 )ד"אביב תשס( 3 1

2 2 80

x x+ −+ =

1 )ה"אביב תשס( 4

2

4 4 8

x x+− =

2 )ו"אביב תשס( 5 1 2 1

10

3 3

9

x x+ −+ =

1 )ח"אביב תשס( 6 1

15

4 4

2

x x+ −− =

2 )ח"קי+ תשס( 7 1

2 2 18

x x+ −+ =

0.5 )א"אביב תשע( 8

9 9 18

x x+ − =


_______________________________________________________________________________


נוספותנוספותנוספותנוספות ותותותותשאלשאלשאלשאל

פישוט ביטויי�פישוט ביטויי�פישוט ביטויי�פישוט ביטויי� ––––חזקות חזקות חזקות חזקות

1' מס שאלה

חשב ללא שימוש במחשבו� את ערכו של הביטוי15 11 13

12 14 9

5 2 10

5 2 50

⋅ ⋅⋅ ⋅

2' מס שאלה

חשב ללא שימוש במחשבו� את ערכו של הביטוי106

127

3612

188

⋅

⋅

3' מס שאלה

שבו� את ער% הביטוי חשב ללא שימוש במח7 18

8 14

32 81

16 243

⋅⋅

חישוב ער% ביטויחישוב ער% ביטויחישוב ער% ביטויחישוב ער% ביטוי ––––חזקות חזקות חזקות חזקות

4' מס שאלה

9מקיי� x $נתו� ש 27

x 1את ערכו של הביטוי , בלי עזרת מחשבו�, וחשב xמצא את . =

16 4

x x+−.


_______________________________________________________________________________







חישוב ער% ביטויחישוב ער% ביטויחישוב ער% ביטויחישוב ער% ביטוי ויי�ויי�ויי�ויי�פישוט ביטפישוט ביטפישוט ביטפישוט ביט

1 2

5

9b 1

1

2

2 6

5

2 27

8

3 3

2a 3 32

4 5

2

חישוב ער% ביטויחישוב ער% ביטויחישוב ער% ביטויחישוב ער% ביטוי+ + + + משוואה משוואה משוואה משוואה

5 27

4

1 1

2

משוואות מעריכיותמשוואות מעריכיותמשוואות מעריכיותמשוואות מעריכיות 15 6

7 1

54

1 2x =

8 24 2 0.5x = −

9 2

a 3

5x =

10 5

3

b 4

1.5x =

11 4ab

5 0.5x = −

12 27

a 6

0.5x =

7 2x =

8 1x =

שאלות נוספותשאלות נוספותשאלות נוספותשאלות נוספות

1 2

25

2 2

9

3 72

4 32




_______________________________________________________________________________


בניית תבניות מספרבניית תבניות מספרבניית תבניות מספרבניית תבניות מספר: : : : 5555פרק פרק פרק פרק


בעיה הוא מתמטית �הקושי שיש לתלמידי� לתרג� סיפור מעשה או נתוני� המובאי� במלי� לשפה אלגברית

ההתמודדות ע� בעיות מילוליות מכל סוג הינו קשה לא רק לתלמידי ".הבנת הנקרא"ידועה בכינוי המהותית

לא אחת עולות בקשות לצמצ� נושאי� אלה עד כדי . ות רבותברמ, המכינה אלא לרוב תלמידי המתמטיקה בעול�

בניגוד לרוב לימודי המתמטיקה (אלא שלימודי המתמטיקה במכינה . הסרת� המלאה מתוכנית הלימודי� במכינה

, רק שלב ראשו במסלול של הכשרה טכנולוגית שבה מתמטיקה הינה כלי, עבור התלמידי�, הינ�) לבגרות

. י ביותרבמקרי� רבי� כלי חיונ

השימוש במתמטיקה ביישומי� טכנולוגיי� ". טהורות"יישומי� טכנולוגיי� לעול� אינ� מציגי� בעיות מתמטיות

לשפה , המובאות במלי� ,תרגו� בעיות מ השטח –הוא תמיד באמצעות בעיות מילוליות כאלה או אחרות

.מנת לתת לה פתרו מתמטי�מתמטית על

מתמטית עומדת לכ בבסיס � עשה או נתוני� המובאי� במלי� לשפה אלגבריתבעיה זו של תרגו� סיפורי מ

בהיות לה השלכות ליישומי המתמטיקה בכל התחומי� , בהכשרת ההנדסאי� הפירמידה של החינו# המתמטי

יש לשי� דגש על בעיות מילוליות והבנת הנקרא , ע� כל הקושי, לפיכ#. ומכא חשיבותה הרבה, הטכנולוגיי�

פיצלנו את , מתו# ראיית הקושי, ע� זאת .חפש ולמצוא דרכי� להתמודד ע� נושא קשה א# חיוני זהולהמשי# ל

בפרק הנוכחי אנו עוסקי� רק בבניית תבניות מספר מתו# נתוני� מילוליי� וסיפורי . הנושא לשני פרקי� נפרדי�

.נעסוק בפתרו של בעיות מילוליות, בפרק נוס$, בעוד שבהמש#, מעשה

המטרההמטרההמטרההמטרה

....מסוגי� שוני�מסוגי� שוני�מסוגי� שוני�מסוגי� שוני�) ) ) ) תבניות מספרתבניות מספרתבניות מספרתבניות מספר((((כישת מיומנות של תרגו� סיפורי מעשה פשוטי� לביטויי� אלגבריי� כישת מיומנות של תרגו� סיפורי מעשה פשוטי� לביטויי� אלגבריי� כישת מיומנות של תרגו� סיפורי מעשה פשוטי� לביטויי� אלגבריי� כישת מיומנות של תרגו� סיפורי מעשה פשוטי� לביטויי� אלגבריי� רררר


בפרט ממעלה ראשונה (אברי� �רב, אברי��חד: כולל , כל סוגי הביטויי� האלגבריי�בבניית תבניות מספר •

.אברי� ושברי� אלגבריי��מכפלות רבי, )ושניה

כולל שימוש בנוסחאות, פישוט ביטויי� מורכבי�בריי� ליישו� כללי� אלג •

( )

( )( ) 22

222

2

bababa

bababa

−=−+

+±=±

.כולל צמצומי�, ביצוע פעולות בשברי� אלגבריי�ו

.לציו משתני�, אותיות קטנות וגדולות, )zעד a �מ( abc �שימוש בכל מגוו האותיות של ה •

.שימוש באחוזי� •

. הנדסהו מסחר וכספי�: בנושאי� לבניית התבניות ה�סיפורי המעשה •

בניית תבניות מספר: 5פרק הדרכה ותרגול – יתטכנולוגהמכינה למתמטיקה _______________________________________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

15מתו� 2עמוד ט"כל הזכויות שמורות למה © 2012 –ג "שעמהדורת ת

תתתתהערוהערוהערוהערו

טעוני� ומצוידי� בידע אותו רכשו במהל# חייה� תו# התנסות כשה� כבר התלמידי� מגיעי� ללימודי� .1

וזה בא לידי ביטוי בעיקר כאשר , ידע זה הוא העוג שבו נאחזי� לימודי המתמטיקה .אמצעית� בלתיוחוויתית

י� המילוליי� וסיפורי המעשה להיות לקוחי� ככל האפשר כאשר על הנתונ, מדובר בבניה של תבניות מספר

.מהווי החיי� היומיומיי� של התלמידי�

: לשפה מתמטית כולל מספר שלבי� בעיה מילוליתבעיה מילוליתבעיה מילוליתבעיה מילוליתהתרגו� של .2

לית ודימוי חזותי של סיפור המעשההבנה מילו .א

)כ מספר תבניות בבעיה אחת"בד(שה בניה של תבניות מספר מתו# סיפור המע .ב

בי התבניות המתאימות) שוויו � אי/שוויו (ס האלגברי המתבקש זיהוי היח .ג

יו שוו�אי/כתיבת המשוואה .ד

.פתרו .ה

תו# תקווהממתמקד בשני השלבי� הראשוני� בניה של תבניות מספר מתו# סיפורי מעשהבניה של תבניות מספר מתו# סיפורי מעשהבניה של תבניות מספר מתו# סיפורי מעשהבניה של תבניות מספר מתו# סיפורי מעשההנושא של

.אמורה להקל על התלמידי� את קליטת הנושא המרכזי א# קשה הזה זושהצטמצמות

הנסיו . הופיעו בבחינות בעיות המבקשות לבנות תבניות מספר התלויות במספר משתני� ותראשונבשני� ה .3

לפיכ#. ג� בבניה של תבניות בתחו� התנועה� כמו, הראה שהנבחני� מתקשי� מאוד בבניה של תבניות כאלה

מסחר –ובשני תחומי� בלבד , יות במשתנה אחד בלבדבניה של תבניות מספר התלולהדרישה מהמצוצ

.פי� והנדסהוכס

נקודות שמומל( לתת עליה את הדעת בהוראה והכנת התלמידי�נקודות שמומל( לתת עליה את הדעת בהוראה והכנת התלמידי�נקודות שמומל( לתת עליה את הדעת בהוראה והכנת התלמידי�נקודות שמומל( לתת עליה את הדעת בהוראה והכנת התלמידי�

: הצבות .1

השימוש בתבנית הוא לכ ביישו� שלה למקרי� . כל תבנית מכילה בתוכה אינסו$ מקרי� פרטיי� .א

הדורש הצבת ערכי� שאלות סעי$ ל נוס$, לאחר בניית תבניות המספר, לפיכ#. י הצור#"הפרטיי� עפ

החשיבות של .לחשב את ערכי הביטויי� החשבוניי� שנוצרוו, ת המספר שפותחהמסוימי� לתבני

המאפשרות בעזרת נוסחא , פעילות זו היא בכ# שהיא מדגימה את העוצמה והער# של תבניות אלגבריות

.אחת לפתור אינסו$ בעיות פרטיות

אז ו ,רמטרי�לעתי� נדרשת הצבה של יותר מסט אחד של ערכי� לפ –מתבנית אחת לערכי� שוני� .ב

.להשוות בי תוצאות החישובההצבות השונות מאפשרות

הצבת ערכי� ע� ג� רצוי לתרגל . ערכי� מספריי� להצבות לא צריכי� להיות דוקא מספרי� פשוטי� .ג

.שברי� פשוטי� או עשרוניי�

.ההצבה יכולה לשמש ג� כאמצעי בקרה לתבנית .ד

ה פרטי אינה באה במקו� בניית תבנית המספר צרי# לזכור שהצבת הערכי� המספריי� הניתני� כמקר .ה

ה� הנבחני� פותרי� באופ ישיר את השאלה בנתקלנו בבחינות במקרי� רבי� . בפרמטרי� המתאימי�

.ברור שבמקרי� כאלה יש החמצה של מהות הבעיה. בלא לבנות את התבנית המבוקשת, החשבונית

מתו# כוונה שהחישוב המספרי יהווה קו , בחלק מהשאלות הנתוני� המספריי� מופיעי� בסעי$ הראשו

.מנחה לבניית התבנית בהמש#

יש . a% סימו הבנה של משמעות ה�בשימוש באחוזי� הוא אי ביותר אחת השגיאות הנפוצות: אחוזי� .2

..) כלכליי�סטטיסטיי� ובעיקר בדיווחי� (דר# נוחה להציג , כ צורת כתיבה מוסכמת"היא בסה a% �לזכור ש


_______________________________________________________________________________


את הער# 100

a . כל מספר הכתוב באחוזי� כבכל הקשור לתבניות וביטויי� מתמטיי� יש להציג � %a כ �

100

a. #כלל נוח לבטא מספר זה כשבר עשרוני�בדר.

!!!!בתו# תבנית מספר מהווה שגיאה בתו# תבנית מספר מהווה שגיאה בתו# תבנית מספר מהווה שגיאה בתו# תבנית מספר מהווה שגיאה a%שימוש בסימו שימוש בסימו שימוש בסימו שימוש בסימו ::::למע הסר ספק למע הסר ספק למע הסר ספק למע הסר ספק

תו# , יש להנחות את התלמידי� שהתשובה הסופית הנדרשת צריכה להיות קומפקטית ופשוטה ככל האפשר .3

0.4Sתשובות כמו . שימוש בפתיחת סוגריי� וכינוס איברי� דומי� S+ ,או , למשל

( )70 2 50 70 140 50m m m m− − = − או 1.4S ותת מאשר התשובוופחות מספק, ת בלבדוחלקי ה , −

20 140m .בהתאמה, −

שאלות לדוגמאשאלות לדוגמאשאלות לדוגמאשאלות לדוגמא

מסחר וכספי�מסחר וכספי�מסחר וכספי�מסחר וכספי�

ואת שאר , מהפריטי� נמצאו פגומי� 10%. ח"ש 20פריטי� זהי� ושיל� תמורת כל אחד מה� pסוחר קנה

.ח"ש 28 �הוא מכר כל פריט בי� הפריט

:מצא

?כמה שיל� עבור כל הסחורה . א

)פריט פגו� לא נמכר( ?בכמה מכר את כל הסחורה . ב

?מה היה הרווח הנקי שלו . ג

:פתרו

20כ "בסה –) ח"ש 20(במחיר של כל אחד ) p(סכו� הקנייה הוא מכפלת מספר הפריטי� . א p]ח"ש.[

100%אחוז המוצרי� התקיני� הוא . ב 10% 90%− =.

–כדי להציב בתבנית מספר צרי# להפו# את האחוזי� לשבר 90

90% 0.9

100

= =.

0.9 –) 0.9(באחוז המוצרי� התקיני� ) p(מספר הפריטי� התקיני� הוא מכפלת מספר הפריטי� הכולל p.

0.9(כירה הוא מכפלת מספר הפריטי� שנמכרו סכו� המ p ( במחיר של כל אחד)כ "בסה –) ח"ש 28–

25.2 28 0.9p p= ].ח"ש[⋅

5.2 –הרווח הנקי הוא ההפרש בי סכו� המכירה וסכו� הקנייה . ג 25.2 20p p p= ].ח"ש[−

הנדסההנדסההנדסההנדסה

.20% �ואת השניה מגדילי� ב מ"ס 5 � ת באח אריכי� צלעמ. מ"ס kנתו ריבוע שצלעו

.ותהחדש ותהצלע כירשו� ביטוי לאור. א

.שהתקבל מלב שטח הו רשו� ביטוי להיק$. ב


_______________________________________________________________________________


:פתרו

] –אחת הצלע האור# . א ]5 cmk +.

ע השניה הוא כ אור# הצל"כ# שבסה, ביחס לצלע של הריבוע המקורי 20% �אור# הצלע השניה גדול ב

100% 20% 120%+ –כדי להציב בתבנית צרי# להפו# את האחוזי� לשבר ). k(ביחס לצלע הריבוע המקורי =

120

120% 1.2

100

= –) 1.25(באחוז היחס ) k(אור# הצלע השניה הוא מכפלת אור# צלע הריבוע המקורי . =

[ ]1.2 cmk.

) –לב הוא סכו� אורכי הצלעות היק$ המ. ב ) [ ]2 5 2 1.2 2 10 2.4 4.4 10 cmp k k k k k= ⋅ + + ⋅ = + + = +.

) – שטח המלב שווה למכפלת הצלעות ) 2 2

5 1.2 1.2 6 cmS k k k k = + ⋅ = + .

אחוזי� כלליאחוזי� כלליאחוזי� כלליאחוזי� כללי

.ממספר הבני� 60%מספר הבנות בכיתה הוא

?מהו מספר הבנות , mא� מספר הבני� הוא .א

?מהו המספר הכולל של התלמידי� בכיתה .ב

:פתרו

–כדי להציב בתבנית מספר את אחוז הבנות צרי# להפו# את האחוזי� לשבר . א60

60% 0.6

100

= =.

.0.6m –) 0.6(באחוז הבנות ) m(מספר הבנות הוא מכפלת מספר הבני�

0.6 –מספר התלמידי� הכולל הוא סכו� מספר הבני� ומספר הבנות . ב 1.6m m m+ =.


_______________________________________________________________________________





n �ואת היתרה שיל� ב, ממחיר המכונית הוא שיל� במזומ %p. שקלי� Sאד� קנה מכונית חדשה שמחירה

.תשלומי� חדשיי� שווי�

.את גודלו של התשלו� החדשי n �ו, S ,pבטא בעזרת .א

תשלומי� 16 �במזומ ואת היתרה שיל� ב 20%נה שיל� עבורה הקו. ח"ש 80000נתו שמחיר המכונית הוא .ב

.שווי�

.את גודלו של התשלו� החודשי, 'א' בעזרת הביטוי שמצאת בסע, חשב

)ב"קי( תשס( 2' מס שאלה

נית ואת היתרה , של� במזומ נית למ הסכו� %a. ח"ש Mמקרר שמחירו בחנות למוצרי חשמל מוצע למכירה

. ווי�ש חדשיי� תשלומי� n �של� בל

.ח"בש חדשי גודלו של כל תשלו�את n � ו M ,aבטא בעזרת .א

תשלומי� 10 � במזומ ואת היתרה עליה לשל� ב 35% למהיהיא ש. ח"ש 4500קנתה מקרר במחיר מיכל .ב

7 �במזומ ואת היתרה עליו לשל� ב 44%שיל� עבורו , קנה מקרר מאותו הדג� יובל. שווי� חדשיי�

.שווי� חדשיי� תשלומי�

, החדשיי� �מיתשלומהאחד כל מי משני הקוני� ישל� פחות ב, 'א' בעזרת הביטוי שמצאת בסע, בחש

.ובכמה

)ג"קי( תשס( 3' מס שאלה

הסוחר מבקש למכור את הסחורה כ# שהרווח הכולל שלו . ח כל אחד"ש mשקי מלט במחיר 50סוחר קנה

.20%מהעסקה יהיה

ואת הסכו� שהוא מבקש לקבל ממכירת כל ח אשר הסוחר שיל�"ש�את הסכו� הכולל ב mבטא בעזרת .א

.השקי�

מצא כמה שקי� שלמי� נותרו למכירה ובטא . מהשקי� 10%נקרעו ונפגעו , לפני שהספיק למכור אות� .ב

מנת להשיג �ח שבו צרי# הסוחר למכור ללקוחותיו כל אחד מהשקי� שנשארו על"ש�באת המחיר mבעזרת

.את הרווח שביקש

)מכרשק פגוע לא נ –שימו לב (

.את מחיר המכירה של שק אחד, תו# שימוש בתוצאות שני הסעיפי� הקודמי�, חשב. m= ח "ש 24נתו .ג


_______________________________________________________________________________


)ד"קי( תשס( 4' מס שאלה

פחות –כלומר (ח לכל יו� בודד בחלקי שבוע "ש 50ח ועוד "ש Sאד� השוכר מכונית משל� עבור כל שבוע מלא

).'וכד, בי שבוע לשבועיי�, משבוע

.ימי� 16 � ות שכירת רכב לעלאת Sבטא בעזרת .א

?ח "ש 1100ימי� היא 25 � א� עלות שכירת רכב ל, Sמהו הער# של .ב


.מלו �משפחה מבלה את חופשתה בבית

החל מהיו� . המלו �ח עבור כל יו� במש# שבעת הימי� הראשוני� שהיא שוהה בבית"ש bהמשפחה משלמת

.ל יו� נוס$ח לכ"ש 0.8bהשמיני והלאה היא משלמת

.ימי� 12 חופשה בת עלות שלאת ה bבטא בעזרת .א

?ימי� 15מהי העלות של חופשה בת , = bח "ש 320א� .ב

)ה"קי( תשס( 6' מס שאלה

.ח"ש bסוחר קנה כמות מסוימת של שולחנות ושיל� תמורת כל אחד מה�

.30%מכ ברווח של � את השולחנות הוא מכר לאחר

?וחר שולח יחיד בכמה מכר הס, = bח "ש 450א� .א

את הסכו� הכולל שקיבל הסוחר בתמורה bבטא בעזרת , שולחנות ומכר את כול� 50א� נתו שהסוחר קנה .ב

).'א' אי להשתמש בנתו שבסע: שימו לב (לכל השולחנות שמכר


.עצי( גדול ושק דש , ירו ואפרת ביקרו במשתלה וקנו ש� עצי( קט

ח "ש 20 �ושק הדש עלה ב, ממחיר העצי( הקט 50% �מחיר העצי( הגדול גבוה ב, ח"ש a העצי( הקט עלה

.יותר מאשר העצי( הגדול

.מחיריה� של העצי( הגדול ושק הדש את aבטא בעזרת .א

.הסכו� הכולל ששילמו ירו ואפרת עבור שלשת הפריטי� שקנו את aבטא בעזרת .ב

.כל פריט ואת סכו� הקניה הכולל י את מחירו של/מצא, = aח "ש 15א� .ג


_______________________________________________________________________________



.מלפפוני� ופלפלי�, יוס$ ונורית ביצעו קניות בחנות הירקות וקנו ש� עגבניות

ח "ש 1.5 �ג פלפלי� עלה ב"ק�ו, ג עגבניות"ממחיר ק 30% �ג מלפפוני� גבוה ב"מחיר ק, ח"ש aג עגבניות עלה "ק 1

.ג מלפפוני�"יותר מאשר ק

.ג פלפלי�"ק�ג מלפפוני� ו"קמחיריה� של את aת בטא בעזר .א

הסכו� הכולל את aבטא בעזרת . ג פלפלי�"ק 1 �ג מלפפוני� ו"ק 2, ג עגבניות"ק 2.5יוס$ ונורית קנו .ב

.ששילמו יוס$ ונורית עבור המצרכי� שקנו

.ואת סכו� הקניה הכולל ג מכל סוג ירקות"ק 1י את מחירו של /מצא, = aח "ש 3.5א� .ג

)ז"קי( תשס( 9' מס שאלה

שעות זוכה 5 �א# רכב החונה למעלה מ, ח עבור כל שעת חניה"ש aמשלמי� " מגדל העיר"קרקעי ב� בחניו התת

.לכל שעת חניה החל מהשעה הששית 20%להנחה בת

.העלות של שעת חניה החל מהשעה הששית את aבטא בעזרת .א

:א� , את העלות הכוללת של החניה m �ו aבטא בעזרת . כ"שעות בסה mאד� החנה את מכוניתו למש# .ב

1 (5m ≤ ;2 (6m ≥.

.שעות 7כמה שיל� אד� עבור חניה בת מצא , = aח "ש 8א� .ג


.הראל ומיכל קנו קערות וצנצנות

.אחת�ח כל"ש 5קערות במחיר mה� קנו

.ממחיר כל קערה 20% � מחיר כל צנצנת קט ב. ממספר הקערות 2היה גדול פי מספר הצנצנות שקנו

.ות שנקנוצנצנמספר ה את mבטא בעזרת .א

?מהו המחיר של כל צנצנת .ב

.י� שקנופריטהסכו� הכולל ששילמו הראל ומיכל עבור ה את mבטא בעזרת .ג

)ח"קי( תשס( 11' מס שאלה

.40%ברווח של הסחורההוא מכר כל . ח"ש S הסחורה ושיל� תמורת כל שולחנות 300 סוחר קנה

.כל הסחורה את הסכו� שהסוחר קיבל עבור Sבטא בעזרת .א

.את מחיר המכירה של כל פריט Sבטא בעזרת .ב

?מה היה הרווח של הסוחר על מכירת שולח בודד , = Sח "ש 24,000א� .ג


_______________________________________________________________________________



משרה מלאה . ח לשעה"ש mבשכר של , ת שעות העבודה השבועיותי כמו"שכרו של עובד במפעל מסוי� נקבע עפ

)בשבוע' ש 40 �א� הוא עובד יותר מ, כלומר( עבור כל שעה נוספתו, שעות עבודה בשבוע 40 הינה בהיק$ של

.לשעה 25%מקבל העובד תוספת של

: משכורתו השבועית של עובד שעבד את mבטא בעזרת .א

?שעות בשבוע 45) 3 ?שעות בשבוע 40) 2 ?שעות בשבוע 35) 1

ח "ש 37.5בשכר של , שעות בשבוע 38מיכאל עבד . ח לשעה"ש 32בשכר של , שעות בשבוע 43שלמה עבד .ב

.חשב את השכר הכולל שקיבל כל אחד מה�. לשעה

)ט"קי( תשס( 13' מס שאלה

.ח"ש 300כ# שעלות הייצור של כל פריט היא , במפעל מייצרי� מוצר מסוג מסוי�

כל (את עלות הייצור עבור כל ההזמנה Mבטא בעזרת . פריטי� מסוג זה Mייצרו במפעל , קבות הזמנהבע .א

).הפריטי� שהוזמנו

.את מספר המוצרי� התקיני� שנותרו Mבטא בעזרת . מה� 12%נפגמו , במהל# אספקת המוצרי� .ב

M = 150זמנה המקורית נדרשו א� בה. ח למוצר"ש 420את המוצרי� התקיני� שנותרו מכרו במחיר של .ג

?מה היה הרווח הכולל של המפעל מהעיסקה , פריטי�

)ע"קי( תש( 14' מס שאלה

כל פריט ואת השאר מכר , פריטי� התקלקלו 2 .ח"ש 50פריטי� זהי� ושיל� תמורת כל אחד מה� mסוחר קנה

.ח"ש 70 �ב

רכי� מספריי� מתו# הנתוני� וער# או ע m תרא את התשובה בעזטיש לב( ?כמה שיל� עבור כל הסחורה .א

.)בשאלה

וער# או ערכי� m תרא את התשובה בעזטיש לב(? מה היה הרווח הנקי שלו ובכמה מכר את כל הסחורה .ב

.)יש להביא את הביטוי לצורה פשוטה ככל האפשר. מספריי� הנתוני� בשאלה

?מה היה הרווח הנקי שלו . פריטי� 24כ "נתו שהסוחר קנה בסה) לצור# הסעי$ הנוכחי בלבד(כעת .ג


ואת שאר , מהפריטי� נמצאו פגומי� 8%. ח"ש 120פריטי� זהי� ושיל� תמורת כל אחד מה� Nסוחר קנה

.ח"ש 150 �הוא מכר כל פריט בהפריטי�

:מצא

?כמה שיל� עבור כל הסחורה .א

)פריט פגו� לא נמכר( ?בכמה מכר את כל הסחורה .ב

?הרווח הנקי שלו מה היה .ג


_______________________________________________________________________________


יש להביא את . וער# או ערכי� מספריי� הנתוני� בשאלה N תרא את התשובה בעזטיש לב' ג� 'א' בסע

.הביטויי� לצורה פשוטה ככל האפשר

יחסית לסכו� ששיל� (את אחוז הרווח הנקי של הסוחר , יי� שמצאת בסעיפי� הקודמי�וטירת הבזעב, בשח .ד

).על כל הסחורה

.פריטי� 450סוחר קנה הש –! לסעי$ זה בלבד – להניח תינ


.ח"ש 1200פריטי� ושיל� עבור כול� Kסוחר קנה

.אפשר למכור� ואות� אי, מהפריטי� פגומי� 20%כשהכי את הסחורה למכירה התברר כי

.K הבע באמצעות ?כמה שיל� הסוחר עבור פריט אחד .א

?מהו הרווח הנקי של הסוחר .ח לפריט אחד"ש 75 �ב )רו לומאלה שנות(הסוחר מכר כל פריט .ב

.ופשט את הביטוי שקיבלת ככל האפשר, K הבע את הרווח באמצעות

.חשב את הרווח הנקי שלו. פריטי� 25כי הסוחר קנה )לצור# הסעי$ הנוכחי בלבד(כעת נתו .ג

)ב"תשע קי(( 17' מס שאלה

.ספקי� שוני�פריטי� כל אחד משני M הסוחרי� אלו וסמדר קנו

.ח לפריט אחד"ש 130וסמדר שילמה לספק שלה , ח לפריט אחד"ש 120אלו שיל� לספק שלו

,למכור אות� אפשר�אי ולכ , פגומי� היו אלו שקנהמהפריטי� 8%כשהכינו את הסחורה למכירה התברר לה� כי

.למכור אפשר–אי אות� פגומי� וג� היו סמדר של מהפריטי� 5% � ו

.עבור כל הפריטי� שלו כמה שיל� כל אחד מהסוחרי�, Mצעות הבע באמ .א

.נותרו לאלו ולסמדר, בלתי פגומי�, כמה פריטי� למכירה, M הבע באמצעות .ב

.ח לפריט אחד"ש 150 �ב )מאלה שנותרו בלתי פגומי�(אלו מכר כל פריט .ג

.ח לפריט אחד"ש 160 � ב )מאלה שנותרו בלתי פגומי�(סמדר מכרה כל פריט

.ופשט ככל האפשר את הביטויי� שקיבלת, את הרווח הנקי של כל סוחר M הבע באמצעות

ואת , חשב את הרווח הנקי של אלו . פריטי� 300כי כל סוחר קנה )לצור# הסעי$ הנוכחי בלבד(כעת נתו .ד

.הרווח הנקי של סמדר


_______________________________________________________________________________




שאורכי צלעותיו ABCDממלב החצר מורכבת : כמתואר בציור , נתונה חצר

.מהווה קוטר לחצי העיגול BCכ# שהצלע , אליו מחובר חצי עיגול ,2p � ו 2sה�

.p �ו s תרא את שטח החצר בעזטב .א

.AD= ' מAB ,14= ' מ18: שממדי המלב ה� נתו .ב

.שטח החצר בנתוני� אלה תא, 'א' י שמצאת בסעוטירת הבזעב, בשח


. 'מ 2 �והצלע השניה ארוכה מהראשונה ב' מ a מגרש בצורת מלב שאור# צלעו האחת הוא למשפחת כה

.'מ�באת היק$ המגרש aבטא בעזרת .א

תו# שימוש . ח"ש 40אור# גדר עולה ' כל מ. משפחת כה מבקשת להקי$ את החצר בגדר בכל ארבעת הצדדי� .ב

).ח"ש�ב(כמה תעלה כל הגדר aבטא בעזרת ' בתוצאת סעי$ א

.את היק$ המגרש ואת עלות הגדר, תו# שימוש בתוצאות שני הסעיפי� הקודמי� בלבד, חשב. a= ' מ 8נתו .ג


אור# . 'מ28והיק$ המלב הוא ' מ6אור# צלע אחת של המלב . משפחת אור מבקשת לרצ$ חדר בצורת מלב

.'מ0.4הצלע של כל אחת מהמרצפות

?הרצפה כמה מרצפות דרושות לריצו$ .א

אור# הצלע של כל אחת . 2pוהיקפו הוא ' מ6שאור# צלע אחת שלו , מבקשי� כעת לרצ$ חדר בצורת מלב .ב

.'מ0.4מהמרצפות

).S( ואת שטח הרצפה ) b( את אור# הצלע השניה pבטא בעזרת )1(

.הדרושות לריצו$ כל החדר) N( את מספר המרצפות pבטא בעזרת )2(

)ו"קי( תשס( 4' מס שאלה

.מ"ס 5 �מ והצלע השניה ארוכה ממנה ב"ס aידוע שאור# הצלע הקצרה הוא ABCDבמלב

.אור# הצלע השניה את aבטא בעזרת .א

.היק$ המלב ואת שטחו את aבטא בעזרת .ב

.ACאורכו של האלכסו מצא את , = aמ "ס 15א� .ג

B

D

A

C

A

D C

B

2s

2p


_______________________________________________________________________________



הינו , aבעל רדיוס , יהעיגול הפנימ: הכיכר המרכזית בעיר בנויה כעיגול בתו# עיגול

–מדרכה , bכטבעת בתו# עיגול שרדיוסו , ומסביב לו; ) צבע לב בציור(מדשאה

).צבע אפור בציור(טיילת

.b �ו a תרא את שטח המדרכה בעזטב .א

.b= ' מa ,18= ' מ14: ה� הרדיוסי� שנתו .ב

.בנתוני� אלה מדרכהשטח ה תא, 'א' י שמצאת בסעוטירת הבזעב, בשח

)א"קי( תשע( 6' מס שאלה

.'מ aנתו מגרש בצורת ריבוע שאור# צלעו

.'מ 5 �ואת אור# הצלע השניה הקטינו ב, 20% �הגדילו אור# צלע אחת ב

וער# או ערכי� מספריי� a ת רא את התשובות בעזטיש לב( ? מה� אורכי צלעות המגרש לאחר השינוי .א

)מתו# הנתוני� בשאלה

וער# או ערכי� מספריי� הנתוני� a ת רא את התשובה בעזטיש לב(? מהו שטח המגרש לאחר השינוי .ב

)בשאלה

? בכמה השתנה שטח המגרש. 'מ 25נתו שאור# צלע המגרש המקורי הוא –לצור# הסעי$ הנוכחי בלבד .ג

a

b


_______________________________________________________________________________




.מ הסכו� שנותר 60% קיבלהשני , מ הסכו� 40%האחד קיבל . ח חולק בי שלשה שותפי�"ש bסכו� של .1

?כמה קיבל השלישי

צרי# להעלות את מחירי כל , עקב העלאת שיעור מס ער# מוס$ והוספת מס בשיעור אחיד על כל המוצרי� .2

.ח"ש 7ובנוס$ להגדיל את מחיר� בשיעור אחיד של 5% �המוצרי� בחנות מסוימת ב

.ח"ש q מחירו החדש של מוצר שמחירו הקוד�ל רשו� ביטוי

.תשלומי� שווי� 10 �ואת היתרה שיל� ב, מ הסכו� של� במזומ %p .ח"ש 4500 אד� קנה מקרר שמחירו .3

:מצא

?ח ששול� במזומ "מהו הסכו� בש .א

?מהי היתרה לתשלו� .ב

?ח "מה גודלו של כל תשלו� בש .ג

. תשלומי� שווי� 8 �ואת היתרה שיל� ב, במזומ מ הסכו� של� 40% .ח"ש Mאד� קנה מקרר שמחירו .4

: מצא

?ח ששול� במזומ "מהו הסכו� בש .א

?מהי היתרה לתשלו� .ב

?ח "מה גודלו של כל תשלו� בש .ג

–כלומר (ח לכל יו� בודד בחלקי שבוע "ש 60ח ועוד "ש Sאד� השוכר מכונית משל� עבור כל שבוע מלא .5

).'וכד, שבוע לשבועיי�בי , פחות משבוע

.ימי� 18 �את עלות שכירת רכב ל Sבטא בעזרת .א

.ח"ש 1760ימי� היא 30 � א� עלות שכירת רכב ל, Sמהו הער# של .ב

הסחורההוא מכר כל . ח"ש M הסחורהפריטי� זהי� ושיל� תמורת כל 500 תכולת מכולה שבה סוחר קנה .6

.45%ברווח של

:מצא

?הסוחר היה הרווח הנקי שלמה .א

? בכמה מכר את כל הסחורה .ב

?מה היה מחיר המכירה של כל פריט .ג


_______________________________________________________________________________



.מ"ס 3 �מ ומקצרי� את הצלע השניה ב"ס 3 � מאריכי� צלע אחת ב. מ"ס uנתו ריבוע שצלעו .1

.רשו� ביטויי� לארכי הצלעות החדשות .א

? מהו שטח המלב שהתקבל .ב

.ומקצרי� את הצלע השניה מ"ס 5 � מאריכי� צלע אחת ב. מ"ס cנתו ריבוע שצלעו .2

?מ שיתקבל מלב ששטחו שווה לשטח הריבוע "הצלע השניה ע אור# תהיומה צרי# ל

.מ"ס 3 � ב שניה ארוכה ממנההצלע הומ "ס dיא של מלב ה אחת צלע .3

.שניההצלע ה #רורשו� ביטוי לא .א

.מצא את שטחו והיקפו של המלב .ב

aשוקיי� היא �והווית הראש במשולש שוז .4o . מה זויות הבסיס?


_______________________________________________________________________________


תשובות סופיותתשובות סופיותתשובות סופיותתשובות סופיות –––– שאלות מבחינותשאלות מבחינותשאלות מבחינותשאלות מבחינות




1. א 1

100

S pa

n

= ⋅ −

ח"ש 4,000. ב

. א 2( )1

100

aM

Xn

− ח פחות"ש 67.5 �ב –מיכל . ב =

3

]ח"ש[ 60m –הכנסה מתוכננת ; ] ח"ש[ 50m –עלות קנייה . א

4 –מחיר חדש לשק , 45 –שקי� שלמי� שנותרו . ב

3

m ]ח"ש 32 –מחיר שק . ג] ח"ש.

2. א 4 100S ח"ש 300. ב] ח"ש[ +

ח"ש 4,288. ב] ח"ש[ 11b. א 5

]ח"ש[ 65b. ח ב"ש 585. א 6

7 1.5 –שק דש ; ] ח"ש[ 1.5a –עצי( גדול . א 20a 4. ב] ח"ש[ + 20a ]ח"ש[ +

.ח"ש 80 –עלות כוללת , ח"ש 42.5 –שק דש , ח"ש 22.5 –עצי( גדול , ח"ש 15 –עצי( קט . ג

8 1.3 –פלפלי� ; ] ח"ש[ 1.3a –מלפפוני� . א 1.5a 6.4. ב] ח"ש[ + 1.5a 23.9. ג] ח"ש[ +

.ח"ש

)) ma ;2) 1. ב 0.8a. א 9 )0.8 1m a+ ח"ש 52.8. ג.

]ח"ש[ 13m. ח ג"ש 4. ב] ח"ש[ 2m. א 10

. ב 1.4S. א 111.4

300

S .ח"ש 32. ג

12 ]ח"ש[ 46.25m) 3; ] ח"ש[ 40m) 2; ] ח"ש[ 35m) 1. א

ח"ש 1425 –מיכאל ; ח "ש 1400 –שלמה . ב

ח"ש 10,440. ג 0.88M. ב]. ח"ש[ 300M. א 13

) –מכירה . ב] ח"ש[ 50m. א 14 )70 2m 20 –רווח נקי ,]ח"ש[ − 140m .ח"ש 340. ג] ח"ש[ −

15%. ד]. ח"ש[18N. ג]. ח"ש[138N. ב]. ח"ש[120N. א 15

1200 .א 16

K60 .ב ].ח"ש[ 1200K .[ח"ש[ 300. ג .]ח"ש[ −

17 .0.95M – לסמדר, 0.92M – לו לא. ב .ח"ש 130M – סמדר, ח"ש 120M – אלו . א

].ח"ש[6,600: סמדר, ]ח"ש[5,400: אלו . ד ]ח"ש[22M –סמדר , ]ח"ש[18M –אלו . ג


_______________________________________________________________________________





2. א 1

4

2

S sp pπ

= ר"מ 328.97. ב +

]. א 2 ]4 4 ma 160. ב + 160a ]ח"ש[+

]. מרצפות ב 300. א 3 ] ( ) 2

6 m ; 6 6 mb p S p = − = − ג .( )37.5 6p ]מרצפות[ −

]. א 4 ]5 cma ]. ב + ] ( ) 2

4 10 cm ; 5 cmp a S a a = + = + מ"ס 25. ג

). א 5 )2 2

S b aπ= ר"מ 402.1. ב −

6 5a –אור# הצלע הקצרה ,]'מ[1.2a –אור# הצלע הארוכה . א ]'מ[−

2. ב

1.2 6a a−]2מ 25 �השטח קט ב. ג ] 2מ.

תשובות סופיותתשובות סופיותתשובות סופיותתשובות סופיות ––––שאלות נוספות שאלות נוספות שאלות נוספות שאלות נוספות




1 0.24b ]ח"ש[

2 1.05 7q ]ח"ש[ +

45. א 3 p ]4500. ב] ח"ש 45 p− ]450. ג] ח"ש 4.5 p− ]ח"ש[

]ח"ש[ 0.075M. ג] ח"ש[ 0.6M. ב] ח"ש[ 0.4M. א 4

2. א 5 240S ח"ש 410. ב] ח"ש[ +

]ח"ש[ 0.0029M. ג] ח"ש[ 1.45M. ב] ח"ש[ 0.45M. א 6


]. א 1 ]3, 3 cmu u− 2. ב + 2

9 cmS u = −

2 [ ]2

cm

5

c

c +

]. א 3 ]3 cmd ]. ב + ] ( ) 2

4 6 cm ; 3 cmp d S d d = + = +

4 [ ]90

2

a− °




_______________________________________________________________________________


סדרותסדרותסדרותסדרות: : : : 6666פרק פרק פרק פרק


ומטרתו ללמוד יישומי� לנושאי� הנלמדי� באלגברה , פרק הסדרות שיי� לתחו� הנושאי� המתקדמי� באלגברה

.הבסיסית ולהביא לידי ביטוי את המיומנויות הנלמדות ש�

.ייתכנו שאלות המערבות את שני הנושאי� .תוכנית הלימודי� מוגבלת לסדרות חשבוניות והנדסיות בלבד

המיומנויות הנבחנותהמיומנויות הנבחנותהמיומנויות הנבחנותהמיומנויות הנבחנות

.שימוש בנוסחת האיבר הכללי של הסדרה .א

.שימוש בתנאי הסדרה .ב

.שימוש בנוסחת סכו� הסדרה .ג

דגשי� ונקודות לתשומת לבדגשי� ונקודות לתשומת לבדגשי� ונקודות לתשומת לבדגשי� ונקודות לתשומת לב

במקרי� אלה יש לבצע את נוהל פתרו� המשוואות . 2או 1ממעלה , פתרו� בעיות כרו� בפתרו� משוואות .א

.ונה ועל בקרה עצמיתכולל הקפדה על כתיבה מתמטית נכ, 2כמתואר בפרק

שימוש , כמו ניחוש פתרו� למשוואה, לא יתקבל פתרו� המבקש לעקו את המיומנויות הנבדקות .ב

.י נוסחת הסכו�"או חישוב סכו� סדרה שלא ע ,במחשבו� לחישוב חזקות

ת בעיות מילוליו. של הבחינה' והוא מתיחס לשאלות המופיעות בפרק א, פרק זה כולל בעיות פורמליות בלבד

.יופיעו בהמש� בפרק נפרד) יישו� לסיפורי מעשה(בסדרות

סדרות: 6פרק הדרכה ותרגול – טכנולוגיתהמכינה למתמטיקה _______________________________________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

8מתו� 2 עמוד ט"כל הזכויות שמורות למה © 2012 –ג "תשע מהדורת


סדרה חשבוניתסדרה חשבוניתסדרה חשבוניתסדרה חשבונית

:נתונה סדרה חשבונית שבה 5 15

33 , 13a a= =

את הער� של מצא .א1

a ושל הפרש הסדרהd.

לחבר על מנת שהסכו� שיתקבל יהיה כמה אברי� צרי� . מחברי� את כל אברי הסדרה החל מהאיבר הראשו� .ב

405 ?

.נמק את תשובת�. מצא את כל הפתרונות האפשריי�

� :פתרו

. א5 1

1 1

15 1

4 33

10 20 2 8 33 41

14 13

a a dd d a a

a a d

= + =⇒ = − ⇒ = − ⇒ − = ⇒ = = + =

: )י הצבה במשוואות המקוריות"ע בדיקה(בקרה ( )( )

5 1

15 1

4 41 4 2 41 8 33

14 41 14 2 41 28 13

a a d

a a d

= + = + ⋅ − = − =

= + = + ⋅ − = − =

: תשובה 1

41 , 2a d= = −

. ב

( ) ( ) ( ) ( )( )1

2

2 1 82 2 184 2

42 405

2 2 2

42 405 0

42 1764 4 405 42 144 42 12

27,15

2 2 2

n

n a n d n n n nS n n

n n

n

⋅ + − ⋅ + − ⋅ − ⋅ − = = = = ⋅ − = ⇒

⇒ − + = ⇒

± − ⋅ ± ±⇒ = = = =

: )י הצבה בנוסחת הסכו�"ע בדיקה(בקרה

( ) ( )

( ) ( )

1

15

1

27

15 2 14

15 41 7 2 15 27 405

2

27 2 26

27 41 13 2 27 15 405

2

a dS

a dS

⋅ += = ⋅ + ⋅ − = ⋅ =

⋅ += = ⋅ + ⋅ − = ⋅ =

,15: תשובה 27n =


_______________________________________________________________________________


מבחינותמבחינותמבחינותמבחינותשאלות שאלות שאלות שאלות


)א"קי* תשס( 1' מס שאלה

,5 ה סדרת המספרי�נתונ 1,3,7,11,...− −

א� .א1

5a = .בסדרה 57 +הנמצא במקו� את האבר ה מצא, −

.ואת מקומ� בסדרה, 162שני אברי� עוקבי� שסכומ� מצא בסדרה זו .ב


.725סכו� איברי הסדרה הוא . איברי� 25בסדרה חשבונית

.3.5הפרש הסדרה הוא

.את האיבר הראשו� בסדרה מצא .א

.את האיבר האחרו� בסדרהמצא .ב

)ג"קי* תשס( 3' מס שאלה


12 , 68a a= =


S ) סכו� כל אברי הסדרה עדn = 88.(

את ערכו של הביטוי מצא .ב9 13 11

a a a+ −


.730סכו� איברי הסדרה הוא . איברי� 20בסדרה חשבונית

.8וא האיבר הראשו� בסדרה ה

.את הפרש הסדרה מצא .א

.את האיבר האחרו� בסדרהמצא .ב

)ד"קי* תשס( 5' מס שאלה


43 , 7a a= =



כו� שיתקבל יהיה כמה אברי� צרי� לחבר על מנת שהס. מחברי� את כל אברי הסדרה החל מהאיבר הראשו� .ב

390 ?

.מצא את כל הפתרונות האפשריי�


_______________________________________________________________________________



. 27האיבר התשיעי של סדרה חשבונית הוא

( 15+האיבר ה15

a ( 6בסדרה זו גדול פי � .מהאיבר הראשו

.את הפרש הסדרה החשבונית מצא .א

.האברי� הראשוני� בסדרה 20את סכו� מצא .ב

)ו"סאביב תש( 7' מס שאלה

. מהאיבר הראשו� 7האיבר החמישי של סדרה חשבונית גדול פי

.מהאיבר הרביעי 15 + האיבר התשיעי בסדרה זו גדול ב

.את הפרש הסדרה החשבונית ואת האיבר הראשו� שלה מצא .א



. השנימהאיבר 7האיבר התשיעי של סדרה חשבונית גדול פי

.210הסכו� של עשרת האיברי� הראשוני� בסדרה זו הוא




:את שלושת האיברי� הראשוני� של סדרה חשבונית נית� לכתוב בצורה

1 2 3

1 ; 3 ; 3 1a x a x a x= − = + = −

.ידוע שצרי� למצוא אותו+וא גודל בלתיה xכאשר

.ובעזרתו מצא את הפרש הסדרה החשבונית ואת האיבר הראשו� שלה, xאת מצא .א



. מהאיבר הרביעי 2האיבר התשיעי של סדרה חשבונית גדול פי

.144הסכו� של שלושת האיברי� הראשוני� בסדרה זו הוא




_______________________________________________________________________________


)ט"קי* תשס( 11' מס שאלה


15 , 39a a= =



כמה אברי� צרי� לחבר על מנת שהסכו� שיתקבל יהיה . סדרה החל מהאיבר הראשו�מחברי� את כל אברי ה .ב

2100 ?

.מצא את כל הפתרונות האפשריי�


. מהאיבר השלישי 4של סדרה חשבונית גדול פי 14+האיבר ה

.מהאיבר החמישי 9 +האיבר השמיני בסדרה זו גדול ב

.האיבר הראשו� שלה את הפרש הסדרה החשבונית ואת מצא. א

.האברי� הראשוני� בסדרה 78את סכו� מצא . ב

)א"קי* תשע( 13' מס שאלה

נתונה סדרה חשבונית שבה 7 13

25, 43a a= =

מצא את הער� של האיבר הראשו� בסדרה . א1


100 + א� ידוע ש, nמצא את ער� . ב

na =

)ב"קי* תשע( 14' מס שאלה

נתונה סדרה חשבונית שבה 3 5 7

28 , 2a a a+ = =

את הער� של האיבר הראשו� בסדרה מצא .א1

a ושל הפרש הסדרה d.

50 + א� ידוע ש, nמצא את ער� .ב

na = −


_______________________________________________________________________________


סדרות הנדסיותסדרות הנדסיותסדרות הנדסיותסדרות הנדסיות

)ח"קי* תשס( 1' מס שאלה

:ני� של סדרה הנדסית נית� לכתוב בצורה את שלושת האיברי� הראשו1 2 3

2 ; 1 ; 7a x a x a x= − = + = +

.ידוע שצרי� למצוא אותו+הוא גודל בלתי xכאשר

.ובעזרתו מצא את מנת הסדרה ההנדסית ואת האיבר הראשו� שלה, xאת מצא .א

.האיברי� הראשוני� בסדרה 7את סכו� מצא .ב


:י� של סדרה הנדסית נית� לכתוב בצורה את שלושת האיברי� הראשונ1 2 3

8 ; 4 ; 8a x a x a x= − = − = +

.ידוע שצרי� למצוא אותו+ הוא גודל בלתי xכאשר

.ובעזרתו מצא את מנת הסדרה ההנדסית ואת האיבר הראשו� שלה, xאת מצא .א

.האיברי� הראשוני� בסדרה 8את סכו� מצא .ב

)ב"עאביב תש( 3' מס שאלה

: נתו� בסדרה הנדסית1

3a =, 2 3

18a a+ )חיובית נתו� ג� כי מנת הסדרה. = )0q >.

.מצא את האיבר החמישי של הסדרה .א

.מצא את הסכו� של שמונה האיברי� הראשוני� של הסדרה .ב


_______________________________________________________________________________


סדרות מעורבותסדרות מעורבותסדרות מעורבותסדרות מעורבות

)ה"קי* תשס( 1' מס שאלה

. 3אברי� הוא 3ת האיבר הראשו� של סדרה חשבונית ב

.לאיבר הראשו� מקבלי� שלשה מספרי� המהווי� יחד סדרה הנדסית 1א� מוסיפי�

).שתי אפשרויות(את הפרש הסדרה החשבונית מצא .א

).'א' אחת משתי האפשרויות שמצאת בסע+בכל(את שתי הסדרות החשבונית וההנדסית מצא .ב

)ו"קי* תשס( 2' מס שאלה

.8יבר הראשו� בה הוא שלשה מספרי� מהווי� סדרה חשבונית שהא

).האיברי� השני והשלישי ללא שינוי(נקבל סדרה הנדסית 9 +א� נחלי בסדרה זו את האיבר הראשו� ל

.חשב את הפרש הסדרה החשבונית .א

.חשב את מנת הסדרה ההנדסית .ב

....א� קיימות שתי אפשרויות יש להביא את שתיה�א� קיימות שתי אפשרויות יש להביא את שתיה�א� קיימות שתי אפשרויות יש להביא את שתיה�א� קיימות שתי אפשרויות יש להביא את שתיה�: : : : שימו לב שימו לב שימו לב שימו לב

)ז"קי* תשס( 3' מס שאלה

.וי� סדרה חשבוניתמהו 24שלשה מספרי� שסכומ�

).האיברי� הראשו� והשני ללא שינוי(נקבל סדרה הנדסית 4א� נוסי לאיבר השלישי בסדרה זו




)ע"קי* תש( 4' מס שאלה

.6איבר הראשו� בה הוא שלושה מספרי� מהווי� סדרה חשבונית שה

).האיברי� השני והשלישי ללא שינוי(נקבל סדרה הנדסית 8 +א� נחלי בסדרה זו את האיבר הראשו� ל





_______________________________________________________________________________



שאלה שאלה שאלה שאלה ''''מסמסמסמס

תשובהתשובהתשובהתשובה

דרות חשבוניותדרות חשבוניותדרות חשבוניותדרות חשבוניותסססס

. א 157

219a . ב =22 23

79 , 83a a= =

. א 21

13a = . ב −25

71a =

. א 388

12,606S . ב =9 13 11

26a a a+ − =

3d. א 4 . ב =20

65a =

. א 51

3 , 49d a= − 12n. ב = =

2.5d. א 6 . ב =20

615S =

. א 71

3 , 2d a= . ב =54

4,401S =

. א 81

4.5 , 0.75d a= .ב =27

1,599.75S =

. א 91

2 , 3 , 4x a d= = . ב =47

4,465S =

. א 101

16 , 32d a= . ב =34

10,064S =

. א 111

3 , 9d a= 35n. ב = =

. א 121

3 , 5d a= . ב =78

9,399S =

.א 131

3 , 7d a= 32n.ב = =

.א 141

4 , 26d a= − 20n.ב = =

סדרות הנדסיותסדרות הנדסיותסדרות הנדסיותסדרות הנדסיות

1 . א

1

5 , 3 , 2x a q= = . ב =7

381S =

. א 21

10, 2, 3x a q= = . ב =8

6560S =

. א 35

48a .ב =8

765S =

סדרות מעורבותסדרות מעורבותסדרות מעורבותסדרות מעורבות

1 . א

1 2

3 , 1d d= = . ב −

d = 3 4,6,9הנדסית 3,6,9חשבונית

d = –1 4,2,1הנדסית 3,2,1חשבונית

. א 21 2

4 , 2d d= = . ב −1 2

2 4

,

3 3

q q= =

. א 31 2

4 , 8d d= = . ב −1 2

1

2 ,

2

q q= =

. א 41 2

6 , 2d d= = . ב −1 2

3 1

,

2 2

q q= =




_______________________________________________________________________________


בעיות מילוליותבעיות מילוליותבעיות מילוליותבעיות מילוליות: : : : 7777פרק פרק פרק פרק


. יומית והתמודדותו ע� צרכי הקיו� שלו� המתמטיקה נולדה ופותחה מתו� המפגש של האד� ע� המציאות היו�

יומית המוכרת לכל תלמיד �להשתדל להרבות ככל האפשר במציאת החיבור הטבעי בי� המציאות היו� עלינולפיכ�

המתמטיקה בעתיד במהל� מייישו, באותה המידה .ה הוא לומדמהתנסויותיו וחוויותיו לבי� המתמטיקה אות

בעיות של תרגו� כרכוי של תלמידינו לא יהיו בפתרו� של בעיות פורמליות אלא המקצועית �עבודתלימודיה� ו

.מסיפורי מעשה ונתוני� מילוליי� לשפת המתמטיקה

יו� יש חשיבות �ובעיות מחיי היו� סיפורי מעשה, ליכולת לתרג� לשפת המתמטיקה נתוני� מילוליי�, לפיכ�

המשלבת ג� –כולנו מודעי� לכ� שרכישת מיומנות זו , יחד ע� זאת. ראשונה במעלה במהל� לימודי המתמטיקה

המתמקד בבניית לפי� יצרנו בפרק קוד� שלב ביניי� . היא מאוד קשה לתלמידי� –" הבנת הנקרא"את הקרוי

י הטיפול בבעיות "ובפרק הנוכחי אנו משלימי� נושא זה ע, מעשה תבניות מספר מנתוני� מילוליי� וסיפורי

.מילוליות

אלא , שעליו יכול המורה לרשו� כל אשר לבו חפ", "לוח חלק"התלמידי� אינ� מגיעי� ללימודי� כש כדאי לזכור

רי� צ, לכ�. במהל� חייה�, אמצעית�בלתי, ה� באי� טעוני� ומצוידי� בידע אותו רכשו תו� התנסות חוויתית

� ג�, ובמידת הצור�( לבנות עליו ולעדכ� אותו ,תהלי� ההוראה את הידע הקיי� אצל התלמידבלקחת בחשבו

� .)לתק� בו את הדרוש תיקו

תו� שימוש אפשרי , מסחר וכספי� � הנדסה ו –ג� הבעיות המילוליות יהיו בשני תחומי� , כמו בפרק התבניות

.במושג האחוזי�

::::ת בנוי מהשלבי� הבאי� ת בנוי מהשלבי� הבאי� ת בנוי מהשלבי� הבאי� ת בנוי מהשלבי� הבאי� כל פתרו� של בעיה מילוליכל פתרו� של בעיה מילוליכל פתרו� של בעיה מילוליכל פתרו� של בעיה מילולי

: הגדרת משתני� .1

או הגדרה , נית� לבחור בי� שימוש מראש במשתנה אחד ובנייה של משוואה בודדת, במקרי� רבי� .א

. תחילה של שני משתני� ע� שתי משוואות ולאחר מכ� חילו" אחד המשתני� לקבלת משוואה אחת

רוב הפתרונות שנביא בהמש� .ות והרגלשתי האפשרויות לגיטימיות והבחירה ביניה� היא עני� של נוח

.כי דר� זו מורכבת יותר, יהיו בדר� של הגדרת שני משתני� ושתי משוואות בהתא�

.במקרי� רבי� נוח לארג� ולהציג את הגדרת המשתני� בטבלה .ב

.י תנאי הבעיה"עפ משוואותמשוואה או כתיבת .2

: פתרו� המשוואות .3

ד המשתני� והצבה במשוואה השניה לקבלת משוואה אחחילו" –במקרה של שימוש בשני משתני� .א

.אחת במשתנה אחד

.ריבועיתבדר� כלל משוואה –במשתנה יחיד המתקבלת משוואהפתרו� ה .ב

בעיות מילוליות: 7פרק הדרכה ותרגול – טכנולוגיתהמכינה למתמטיקה _______________________________________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________


. כלל יש למשוואה המתמטית שני פתרונות שרק אחד מה� מתאי� לתנאי הבעיה המילולית�בדר� .ג

בות לפסילתו של הפתרו� שאינו לנמק במפורש את הסיו לזהות את הפתרו� המתאי� במקרי� אלה יש

.מתאי� לתנאי הבעיה

.סיכו� ובקרה .4

� את הדעת בהוראה והכנת התלמידי�את הדעת בהוראה והכנת התלמידי�את הדעת בהוראה והכנת התלמידי�את הדעת בהוראה והכנת התלמידי� נקודות שמומל" לתת עליה�נקודות שמומל" לתת עליה�נקודות שמומל" לתת עליה�נקודות שמומל" לתת עליה

, ע� גודל נמדד מבוקש, ערכי� באופ� חד, המשתני� צריכי� להיות מזוהי�: הגדרה ברורה של משתני הבעיה .1

את המשתנה ע� ) בבחינות(תלמידי� רבי� מזהי� . ב"וכיו, מספר שקי�, מחיר של בקבוק, אור� צלע –למשל

, למשל, טעות נפוצה. במקרי� רבי� יש שני משתני� המזוהי� ע� אוביקט אחד. ולא ע� גודל נמדד, אוביקט

הפתרו� לכ� הוא . מבלי לציי� הא� הכוונה למחיר בקבוק או מספר הבקבוקי�, "בקבוקי� – x"היא לכתוב

.ובהירה המגדירה את הנתוני� בניה של טבלה מסודרת מושכלת

יש לנמק במפורש , )כלל�מה שקורה בדר�(א� המשוואה המתמטית נותנת פתרו� שאינו מתאי� לתנאי הבעיה .2

.את הסיבות לפסילתו של פתרו� זה

.י תנאי הבעיה"ביצוע בקרה של התוצאות עפ .3

לא , ג� א� הוא נכו�, ופיתניחוש של התוצאה הס. הכוונה הינה כמוב� שיש לפתור פתרו� מלא, בכל מקרה .4

� .כיוו� שהמטרה היא בחינת המיומנות של הפתרו�, יתקבל כפתרו


הנדסההנדסההנדסההנדסה –––– 1111' ' ' ' מסמסמסמס דוגמאדוגמאדוגמאדוגמא

� .'מ 30היק* הגג הוא . למשפחת ישראלי גג בצורת מלב

.הצלע השניהאור� את yי בעזרת /בטא .y � אחת מצלעות המלב� באור� נסמ� את .א

והעלות הכוללת , ח"ש 55ר אחד היא "מ� עלות הריצו* ל. גגבקשת לחדש את ריצו* המ ישראלימשפחת .ב

.י את גודל צלעות המלב�/מצא. ח"ש 3,080הנדרשת לריצו* כל המרפסת היא

� :פתרו

)היק* המלב� הוא . את אור� הצלע השניה b �נסמ� ב. א )2p y b= ⋅ +.

)מהצבת הנתו� מקבלי� את המשוואה )2 30y b+ =.

b :15bממנה מחלצי� את y= −

)שטח המלב� הוא . ב )15S y b y y= ⋅ = ⋅ כ"סה, ר"מ �ח ל"ש55 י הנתו� עלות הריצו* היא"עפ]. ר"מ[−

55 S⋅]המשוואה, לכל השטח] ח"ש � ומכא

( ) ( )

( )

2

2

1,2

3080

55 15 3080 15 56 15 56 0

55

15 15 4 56

15 225 224 15 1

7,8

2 2 2

y y y y y y

y y

⋅ ⋅ − = ⇒ ⋅ − = = ⇒ − + = ⇒

± − − ⋅ ± − ±⇒ = = = ⇒ =

): בקרה )55 7 15 7 55 7 8 3080⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ =.

7 �כיוו� ש 8 15+ .'מ 8 ', מ 7וצלעות המלב� ה� , שני הפתרונות תקפי� =


_______________________________________________________________________________


מסחר וכספי�מסחר וכספי�מסחר וכספי�מסחר וכספי� –––– 2222' ' ' ' מסמסמסמס דוגמאדוגמאדוגמאדוגמא

.גיל וגילה ביקשו להצטייד בכמות גדולה של שקיות חטיפי� לקראת מסיבה שעמדו לערו� בבית�

.ח"ש 240למו יש עבור כמות מסוימת של שקיות

.ח"ש 330כ "ח לשקית ואז היו משלמי� בסה"היו זוכי� להנחה של חצי ש, שקיות יותר 20א� היו קוני�

.וכמה עלתה כל שקית, י כמה שקיות ה� קנו/מצא

� :פתרו

:הגדרת משתני�

:כתיבת משוואות

( ) ( )

240

20 0.5 330

xy

x y

= + − =

:פתרו� המשוואות

:פתיחת סוגריי� וחילו" משתנה

( )20 0.5 10 330 240 20 0.5 340 20 0.5 100

40 200 40 5

xy y x y x y x

x y y

+ − − = ⇒ + − = ⇒ − = ⇒

⇒ = − = −

:משוואה ריבועית במשתנה יחיד ופתרונה

( ) ( ) 2

1,2

40 5 240 5 6 5 6 0

5 25 24 5 7

6, 1

2 2

y y y y y y

y

− ⋅ = ⇒ − ⋅ = ⇒ − − = ⇒

± + ±⇒ = = = −

:זיהוי הפתרו� המתאי� 240

6 40

6

y x= ⇒ = =

.כי מחיר אינו יכול להיות שלילי, הפתרו� השלילי נפסל

:סיכו� ובקרה

עלות כוללת מחיר לשקית שקיות' מס אפשרות קנייה

ח"ש 240 ח"ש 6 40 ללא הנחה

ח"ש 330 ח"ש 5.5 60 ע� הנחה

עלות כוללת מחיר לשקית שקיות' מס אפשרות קנייה

ח"ש 240 ח"ש x y ללא הנחה

ע� הנחה20x + 0.5y ח"ש 330 ח"ש −


_______________________________________________________________________________



נדסהנדסהנדסהנדסההההה ––––בעיות מילוליות בעיות מילוליות בעיות מילוליות בעיות מילוליות

)א"קי" תשס( 1' מס שאלה

.מרצפי� ומגדרי� חצר שצורתה ריבוע

.ח"ש 80והמחיר למטר אחד גדר הוא , ח"ש 120ר ריצו* הוא "מ�המחיר ל

.ח"ש 4600העלות הכוללת של העבודה היתה

).את צלע הריבוע(י את ממדי החצר /חשב

)ג"קי" תשס( 2' מס שאלה

� .'מ 20היק* המרפסת הוא . למשפחת ורדי מרפסת בצורת מלב

.את הצלע השניה xי בעזרת /בטא. x � נסמ� את אחת מצלעות המלב� ב .א

והעלות הכוללת , ח"ש 45ר אחד היא "מ� עלות הריצו* ל. משפחת ורדי מבקשת לחדש את ריצו* המרפסת .ב

.י את גודל צלעות המלב�/מצא. ח"ש 1080הנדרשת לריצו* כל המרפסת היא


).ורראה צי( ABCDנתו� ריבוע

.את האור� של צלע הריבוע x � נסמ� ב

BC �ו ADמ ומקטיני� את הצלעות "ס 2 �ב CD � ו ABמגדילי� את הצלעות

.ר"סמ 98מ ומתקבל מלב� ששטחו "ס 5 �ב

.את צלעות המלב� שהתקבל xי בעזרת /בטא .א

.xי את /מצא .ב


� .מ"ס 100ב� היק* המל). ראה ציור( ABCDנתו� מלב

.של המלב� הגדולהאת האור� של הצלע x � נסמ� ב

.את האור� של הצלע הקטנה של המלב� xי בעזרת /בטא .א

.י את אורכי הצלעות של המלב�/מצא. ר"סמ 600שטח המלב� הוא .ב


.מרוחבו 2נתו� מלב� שאורכו גדול פי

.ר"סמ 1200מקבלי� מלב� ששטחו 25% �חב המלב� בואת רו 20% � א� מגדילי� את אור� המלב� ב

.י את אורכי הצלעות של המלב� המקורי ושל המלב� החדש שהתקבל/מצא

B

D

A

C

x

B

D

A

C

x


_______________________________________________________________________________



.מ צרי� למצוא"ס xנתו� ריבוע שאת אור� צלעו

מתקבל מלב� ששטחו גדול, מ"ס 2 �ומגדילי� את הצלע השניה ב 2ידוע שא� מגדילי� צלע אחת של הריבוע פי

.ר משטח הריבוע המקורי"סמ 45 �ב

?מהו היק* הריבוע המקורי


�' מ 8 �ושהצלע הארוכה של החצר גדולה ב, ר"מ 240ידוע ששטח החצר הוא . למשפחת ישראלי חצר בצורת מלב

.מהצלע הקצרה שלה

.הצלע הארוכהאור� את xבטא בעזרת . x �הצלע הקצרה של החצר באור� נסמ� את .א

.ואת היק* החצר) אור� ורוחב(מצא את מימדי החצר .ב

)ב"עאביב תש( 8' מס שאלה

� . 28m מלב� שהיקפו נתו

ששטחו קט� , מקבלי� מלב� חדש ,המלב� רוחב את 3.5m � ומקטיני� ב, את אור� המלב� א� מגדילי� פי שניי�

2 �ב

8m � .משטח המלב� הנתו

.של המלב� הנתו� ורוחבאת אורכו ו מצא

)ב"עקי" תש( 9' מס שאלה

ורוחבו 20mאדריכל מתכנ� בניית מבנה במגרש מלבני שאורכו

15m.

משטח 42% ידוע כי המבנה ימוק� על שטח מלבני המהווה

).ראה ציור(המגרש ונמצא במרחקי� שווי� מגבולות, המגרש

.את מרחק המבנה מגבולות המגרש x � נסמ� ב

.אור� ואת הרוחב של המבנהמצא את ה

המבנההמבנההמבנההמבנהx

x

x

x

20m

15m


_______________________________________________________________________________


מסחר וכספי�מסחר וכספי�מסחר וכספי�מסחר וכספי� ––––בעיות מילוליות בעיות מילוליות בעיות מילוליות בעיות מילוליות


.ח"ש 10,800סוחר קנה מספר שולחנות עתיקי� בסכו� כולל של

.שח 2,200הוא השקיע בשיפוצ� סכו� של

מחיר המכירה לכל. במחיר זהה לכל שולח�, ואת שאר השולחנות מכר, שולחנות 3הוא השאיר לעצמו ולמשפחתו

.ח מהער� בו נקנה"ש 750 �שולח� היה גבוה ב

.ח"ש 7,250הרווח הכולל שלו מ� העסקה היה

:י /מצא

.כמה שולחנות קנה הסוחר )א

.באיזה מחיר ה� נמכרו )ב


.צוות עבודה מסוי� מורכב מראש צוות ומספר אנשי צוות

.ח ביו�"ש 400כ "ראש הצוות עובד כל יו� מספר שעות מסוי� ומשתכר בסה

ח "ש 400כ� סכו� של � מנת לקבל ביו� עבודה ג��על. ח פחות מראש הצוות"ש 10איש צוות משתכר בכל שעה

.הוא צרי� לעבוד בכל יו� שעתיי� יותר מאשר ראש הצוות

.י את השכר לשעה ואת מספר שעות העבודה ביו� של ראש הצוות ואיש הצוות/מצא

)ד"קי" תשס( 3' מס שאלה

.ייד בכמות גדולה של בקבוקי בירה לקראת מסיבת פתיחת הקי"רות ואמנו� ביקשו להצט

.ח"ש 180עבור כמות מסוימת של בקבוקי� נתבקשו לשל�

.ח"ש 275כ "ח לבקבוק ואז היו משלמי� בסה"היו זוכי� להנחה של חצי ש, בקבוקי� יותר 20א� היו קוני�

.וכמה עלה כל בקבוק, י כמה בקבוקי� ה� קנו/מצא

)ה"קי" תשס( 4' מס שאלה

.אנשי� כללה ילדי� ומבוגרי� 20כ "קבוצת מטיילי� שבה בסה

.ח"ש 300כ "ח ועבור כל המבוגרי� בסה"ש 160כ "בכניסה לאחד האתרי� שילמו עבור כל הילדי� בסה

.ח ממחיר הכניסה לילד"ש 5 �מחיר הכניסה למבוגר גבוה ב

.ל אחד מה�מצא כמה ילדי� וכמה מבוגרי� היו בקבוצה ומה היה מחיר הכניסה לכ


_______________________________________________________________________________



.ח ממחיר עפרו�"ש 5 �מחירו של עט גבוה ב

.ח"ש 12קנה מספר עפרונות ושיל� עבור� אבי

.ח יותר מאבי"ש 16רונית קנתה מספר עטי� ושילמה עבור�

.ממספר העפרונות שאבי קנה 2 � מספר העטי� שרונית קנתה נמו� ב

.קנה ואת מחיריה� י את מספר כלי הכתיבה שכל אחד מה�/מצא

)ו"קי" תשס( 6' מס שאלה

.חלק� מכילות סוכר לב� והשאר מכילות סוכר חו�, חבילות סוכר 50אופה קנה להכנת עוגות

.ח יותר מחבילת סוכר לב�"ש 3חבילת סוכר חו� עולה

� .ח"ש 445שיל� ) עבור הסוכר משני הסוגי�(כ "ח ובסה"ש 280האופה שיל� עבור הסוכר הלב

.ילות הסוכר מכל סוג שהאופה קנה ואת מחיר�מצא את מספר חב

)ז"קי" תשס( 7' מס שאלה

� .ח"ש 1000כ "ושיל� תמורת� בסה, סוחר קנה כמות מסוימת של בקבוקי יי

).ביחס לסכו� ששיל� לכל בקבוק בנפרד(ח לבקבוק "ש 10ואת היתרה הוא מכר ברווח של , בקבוקי� נשברו 5

.ח"ש 225כ הרויח הסוחר מהעסקה "בסה

?ובאיזה מחיר מכר כל אחד , קי� קנה הסוחרכמה בקבו


� .סוחר קנה כמות מסוימת של בקבוקי יי

.ח לבקבוק"ש 15ואת השאר מכר ברווח של , בקבוקי� השאיר לעצמו 5

.ח"ש 675ח עבור כל הבקבוקי� והרויח בעסקה "ש 1800כ שיל� הסוחר "בסה

?קבוק ובכמה קנה כל ב, כמה בקבוקי יי� קנה הסוחר

)ח"קי" תשס( 9' מס שאלה

.כל אחד מה� בתפקיד אחר, ירו� ויובל עובדי� במפעל

.ח ביו�"ש 240כ "ירו� עובד כל יו� מספר שעות מסוי� ומשתכר בסה

400הוא עובד בכל יו� שעתיי� יותר מאשר ירו� ומשתכר סכו� של . ח יותר מירו�"ש 10יובל משתכר בכל שעה

.ח ליו�"ש

.או יותר' ש 7הינו ב� ידוע שיו� עבודה במפעל

.ת העבודה ביו� של ירו� ושל יובלי את השכר לשעה ואת מספר שעו/מצא


_______________________________________________________________________________


)ט"קי" תשס( 10' מס שאלה

.באורכי� שוני�, גנ� קנה צינורות השקייה משני סוגי�

.ולכל סוג צינור ער� שונה של מחיר למטר, )למטר כפול באור� הצינור ח"ש(יר כל צינור נקבע לפי אורכו מח

.ח"ש 500כ "שיל� בסה 2' ח ובעד הצינור מסוג מס"ש 600כ "שיל� בסה 1' נור מסוג מסבעד הצי

ח יותר "ש 5 �גבוה ב 2' צינור מס' א� מחיר מ, 2מאור� הצינור מסוג ' מ 15 �גדול ב 1' אור� הצינור מסוג מס

.1' צינור מס' ממחיר מ

� ? ומה המחיר למטר לכל סוג, מהו אור� הצינור מכל סוג שקנה הגנ

)ע"קי" תש( 11' מס שאלה

.גיא ושרית הצטיידו במלאי של בקבוקי בירה לערבי הקי" החמימי�

.שוני� במחיר�, בקבוקי� משני סוגי� 80כ "ה� קנו בסה

.ח ממחירו של בקבוק בירה מהסוג היקר יותר"ש 3 �מחירו של בקבוק בירה מהסוג הזול נמו� ב

.ח"ש 240כ "עבור בקבוקי הבירה הזולה ה� שילמו בסה

.ח"ש 256כ "עבור בקבוקי הבירה היקרה ה� שילמו בסה

.י את מספר בקבוקי הבירה מכל סוג שה� קנו ואת מחירו של בקבוק בודד מכל סוג/מצא


כ� שהמחיר בו מכר כל תמונה , הוא מכר אות�). כל התמונות באותו המחיר(סוחר קנה כמות מסוימת של תמונות

.ר בו קנה אותהח מהמחי"ש 80 �גבוה ב

.תמונות שלא נמכרו 5לאחר יו� המכירות נותרו בידו

.ח"ש 600ח עבור כל התמונות והרויח בעסקה "ש 5,000כ שיל� הסוחר "בסה

?ובכמה מכר כל תמונה , כמה תמונות קנה הסוחר

)א"קי" תשע( 13' מס שאלה

.ח"ש 600כ "ושיל� תמורת� בסה, ירק� קנה מספר מסוי� של ארגזי עגבניות

.ח לעומת היו� הקוד�"ש 10 �כי מחיר הארגז עלה ב, ארגזי� פחות 2שלמחרת הוא קנה באותו הסכו� ביו�

� ?ובאיזה מחיר , כמה ארגזי� קנה הירק� ביו� הראשו


_______________________________________________________________________________


הנדסההנדסההנדסההנדסה ––––בעיות מילוליות בעיות מילוליות בעיות מילוליות בעיות מילוליות –––– תשובות סופיותתשובות סופיותתשובות סופיותתשובות סופיות



x= ' מ 5 1

10. א 2 x− ]מ 6', מ 4. ב ]'מ'.

,5. א 3 2x x− .מ"ס 12. ב ]מ"ס[ +

50. א 4 x− ]מ 20', מ 30. ב ]'מ'.

מ"ס 50, מ"ס 24 –מלב� חדש ; מ "ס 40, מ"ס 20 –מלב� מקורי 5

6 20cmp =

8x. א 7 'מ 64 –היק* ' ; מ 20', מ 12 –צלעות . ב ] 'מ[ +

.'מ 8', מ 6: מלב� מקורי 8

.'מ 14', מ 9 9


_______________________________________________________________________________


מסחר וכספי�מסחר וכספי�מסחר וכספי�מסחר וכספי� ––––בעיות מילוליות בעיות מילוליות בעיות מילוליות בעיות מילוליות –––– תשובות סופיותתשובות סופיותתשובות סופיותתשובות סופיות



ח"ש 1350, שולחנות 18 1

2

שעות עבודה שכר שעה

8 ח"ש 50 ראש צוות

10 ח"ש 40 איש צוות

ח לבקבוק"ש 6, בקבוקי� 30 3

4

מחיר כרטיס בודד מטיילי�' מס

ח"ש 20 8 ילדי�

ח"ש 25 12 מבוגרי�

5

מחיר לבודד כמות שנקנתה

ח"ש 7 4 עטי� –רונית

ח"ש 2 6 עפרונות –אבי

6

מחיר חבילה בודדת חבילות' מס

� ח"ש 8 35 סוכר לב

ח"ש 11 15 סוכר חו�

ח"ש35, בקבוקי� 40 7

ח"ש 30, בקבוקי� 60 8

9

שעות עבודה שכר שעה

� 8 ח"ש 30 ירו

10 ח"ש 40 יובל

10

'מחיר למ אור� סוג צינור

ח"ש 15 'מ 40 #1

ח"ש 20 'מ 25 #2

11

מחיר לבקבוק בקבוקי�' מס סוג בירה

ח"ש 5 48 זולה

ח"ש 8 32 יקרה

12

מחיר לתמונה מספר התמונות

ח"ש 200 25 קנייה

ח"ש 280 20 מכירה

13

עלות כוללת מחיר לארגז ארגזי�' מס יו� הקניה

� ח"ש 600 ח"ש 50 12 ראשו

ח"ש 600 ח"ש 60 10 שני

המכו הממשלתי להכשרה טכנולוגיה ובמדעב



_______________________________________________________________________________


קריאת גראפי�קריאת גראפי�קריאת גראפי�קריאת גראפי�: : : : 8888פרק פרק פרק פרק


מעבר (מעט בכל תחו� מקצועי שבו עוסקי� הנדסאי� נפו� ורווח השימוש בגראפי� לייצוג נתוני� ותהליכי� כ

ופועל יוצא , מכא� ברורה החיוניות של מיומנות ההנדסאי� בשימוש בגראפי�). להצגה של פונקציות מתמטיות

.סית של ההנדסאי�מכ! החשיבות של הכללת נושא זה בהכשרה הבסי

טרהטרהטרהטרהממממ

.כרת השימוש בגראפי� לייצוג נתוני� במגוו� רחב ככל האפשר של תחומי�ה

ומיומנויות נדרשותומיומנויות נדרשותומיומנויות נדרשותומיומנויות נדרשות ושאי הלימודושאי הלימודושאי הלימודושאי הלימודננננ

.ת השימוש בגראפי� במגוו� רחב ככל האפשר של תחומי�כרה .1

.תו! גרא$מריאת נתוני� ק .2

א! , ! אחד של המשתנה התלויתלוי מתאי� בגרא$ רק ער%ולל האבחנה שלכל ער! של המשתנה הבלתיכ

% של המשתנה הבלתי) לא רק ער! אחד(שלכל ער! של המשתנה התלוי יכולי� להתאי� בגרא$ מספר ערכי�

.תלוי

.ומשמעויותיה�, )אופקי( או גרא$ שטוח, יהוי תחומי עלייה וירידהז .3

.מכסימליי� או מינימליי�� יהוי ערכיז .4

.הבנת ההבדלי� בי� תחומי� בעלי קצב השתנות שונה; תנות בנת הקשר שבי� שיפוע הגרא$ לבי� קצב השה .5

הצגה במקביל של שתי מערכות שונות עבור – ני גרפי� על אותה מערכת צירי�שהתמודדות ע� הצגת .6

.תלוי%אותו משתנה בלתי

.ב"וכיו, קצבי שינוי, נקודות מכסימו� שונות: שוואה בי� הגראפי� ה .א

).י�א� קי(משמעות החיתו! של הגראפי� .ב

)קריאה איכותית של השיפוע(שינוי השיפוע ומשמעותו – ווי� עקומי�בק .7

� את הדעת בהוראה והכנת התלמידי�את הדעת בהוראה והכנת התלמידי�את הדעת בהוראה והכנת התלמידי�את הדעת בהוראה והכנת התלמידי� נקודות שמומל� לתת עליה�נקודות שמומל� לתת עליה�נקודות שמומל� לתת עליה�נקודות שמומל� לתת עליה

1. �הנתוני� אות� נית� להוציא , בשאלות אלה. בכל בעיה במתמטיקה הפותר נדרש לנמק את דר! הפתרו

:מהגרא$ ה� משלושה סוגי� שוני�

ולכ� אי� צור! , במקר� אלה הסימוכי� לתשובה הוא הגרא$ עצמו – � ישירות מהגרא$ערכי� אות� מזהי .א

.להוסי$ הנמקות נוספות

קצב שינוי או , שינויי� בי� ערכי המשתנה התלוי במצבי� שוני� –י הגרא$ "ערכי� אות� יש לחשב עפ .ב

.במקרי� אלה חובה להציג בצורה מפורשת את החישוב – ערכי� ממוצעי�

במקרי� – תמכת על התנהגות השיפוע של הגרא$ ועל הבנת המשמעות של שינויי� בשיפועתשובה המס .ג

.אלה ההנמקה יכולה להיות מילולית בלבד

קריאת גראפי�: 8פרק הדרכה ותרגול – טכנולוגיתהמכינה למתמטיקה _______________________________________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________


, של זמ�, יחידות של כס$(א ביחידות מתאימות "המחושבי� ונמדדי� כ, כל הגראפי� מציגי� גדלי� מדידי� .2

ה� לגדלי� המזוהי� , דות המתאימות בכל תשובהיש להקפיד על ציו� היחי). ב"וכיו, מרחק, של טמפרטורה

.פיה�%ישירות מתו! הגראפי� וה� לגדלי� המחושבי� על


_______________________________________________________________________________




רכישה מרוכזת של ספרי לימוד לכלל התלמידי� בשתי אפשרויות "עלי גבעה" ס"וצאת ספרי� מציעה לביהה

:$ הבא ות בגראראושתי האפשרויות מת .מחירי�

0

400

800

1200

1600

2000

2400

2800

3200

0 20 40 60 80 100 120 140 160

עלות כוללת )ח"בש(

מספר הספרים

"עלי גבעה"ס "רכישת ספרים ביה

:ענה על השאלות שלפני! , תו! שימוש בנתוני� המובאי� בגרא$

?ממוצע לספר המהו המחיר ' ? באפשרות א ספרי� 30מה עולה קניית כ .א

?מהו המחיר הממוצע לספר ' ? ספרי� באפשרות ב 30מה עולה קניית כ .ב

?מהו המחיר הממוצע לספר ? 'ספרי� באפשרות א 120מה עולה קניית כ .ג

?מהו המחיר הממוצע לספר ' ? ספרי� באפשרות ב 120מה עולה קניית כ .ד

?האפשרויות י בור כמה ספרי� זהה מחיר הקנייה בשתע .ה

?ור ס לבח"באיזו אפשרות עדי$ לביה. ס"ספרי� לביה 60ס מבקש לקנות "יהב .ו

יותר כדאית לקניית מספר ואיזו אפשרות, מספר קט� של ספרי� יותר כדאית לקניית )'או ב 'א(איזו אפשרות .ז

)הסבר בקשר ע� הגרא$(? גדול של ספרי�

� :פתרו

, ח"ש 750. א750

25

30

, ח"ש 600. ב .ח לספר"ש =600

20

30

.ח לספר"ש =

, ח"ש 2200. ג2200

18.33

120

, ח"ש 3400 .ד .ח לספר"ש =2400

20

120

.ח לספר"ש =

.ח"ש 1600, ספרי� 80. ה

.'אח באפשרות "ש 1300 %כ ח לעומת"ש 1200העלות באפשרות זו היא רק –' באפשרות . ו

. עלות יותר נמוכה) הקו הנמו! יותר(כי היא מציגה ', עדי$ לבחור באפשרות ב 80 %כאשר מספר הספרי� קט� מ. ז

.שהיא הנמוכה יותר' ואז עדי$ לבחור באפשרות א, המצב הפו! 80 %מספר הספרי� גדול מ כאשר

אפשרות

א

אפשרות

ב


_______________________________________________________________________________



:לפי מש! השיחה בדקות , גר$ שלפני! מתאר את המחיר שגובה חברת טלפוני� עבור שיחה בטלפו� ביתיה

051015202530354045505560657075

0 4 8 12 16 20 24 28

%%%%%%%%%%%%%%%%

)

%%['(

%%%%% %%! ')%%[ %!(

$ $"#,,ע%%%%%%%

:ענה על השאלות שלפני! , תו! שימוש בגרא$

?� המינימלי לשיחה ותשלהו המ .א

?ה דקות שיחה מתחיל מחיר השיחה להשתנות כמחרי א .ב

?דקות 15? דקות 5מה עולה שיחה שנמשכה כ .ג

' ?אג 35מה זמ� נמשכה שיחה שעולה כ .ד

?דקות כל אחת 6דקות או שתי שיחות הנמשכות 12שיחה הנמשכת –ה יותר זול מ .ה

?דקות 3? דקות 16מש! השיחה כאשר , ה המחיר הממוצע לדקהמ .ו

� :פתרו

י נתוני� אות� מזהי� "עפ, היא מילולית' ה' התשובה לסע. מזהי� ישירות מתו! הגרא$' ד%'א' את התשובות לסע

. מחשבי� כממוצע מתו! הגרא$' ו' את התשובות לסע. ישירות מתו! הגרא$

.דקות 14. ד .'אג 37.5 –דקות 15', אג 22.5 –דקות 5. ג .דקות 9. ב .'אג 22.5. א

45כ "לעומת סה', אג 30 –דקות זולה יותר 12שיחה של . ה 2 22.5= .א"דקות כ 6לשתי שיחות בנות ' אג ×

–דקות 16 % ל. ו40

2.5

16

–דקות 3 %ל', אג =22.5

7.5

3

.'אג =


_______________________________________________________________________________



)א"קי� תשס( 1' מס שאלה

.ירב מבקשת לרחו� באמבטמ

32ש! במבט אמת הא הרוקנה ולאמי מירב תהלי! בוב, בטאמ� בליטרי� בימהמות כ תא ר$ שלפניכ� מתארגה

.דקות

כמות המי� באמבט

0

20

40

60

80

100

120

140

0 4 8 12 16 20 24 28 32 זמ מתחילת המילוי (בדקות)

כמות המי� באמבט (בליטרי�)

:ענה על השאלות שלפני!

?דקות 12י� מי� היו באמבט כעבור טרמה ליכ .א

?ליטרי� מי� 100אילו זמני� היו באמבט ב .ב

)ענה תשובה מקורבת ככל שתוכל; �א את שני הפתרונות האפשרייצמ(

?הדקות הראשונות 4מש! ב בטאממה ליטרי� לדקה ממלאי� בכ .ג

? 14 %לדקה ה 6 %י� הדקה הב בטאממו לזרמה מי� הוכ .ד

? 32 %לדקה ה 24 %� הדקה היב) בליטרי� לדקה(מהו קצב הריקו� הממוצע .ה

?ה ערכו ומ, יותרול בדג ה קצב המילויהיילו זמני� בא .ו


_______________________________________________________________________________



בבוקר ממרכז האספקה לחלוקת מוצרי� בשלוש 5:00יוצאת בשעה " הכל טעי�"משאית אספקה של חברת

.בסיו� המסע היא חוזרת לנקודת המוצא). פ סדר הנסיעה"ע, ג% ב ו, א(חנויות שונות

.מרגע יציאתה ועד לחזרתה המרחק של המשאית מנקודת המוצא בכל שעה ושעה תא ר$ שלפניכ� מתארגה

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

שעה

מרחק

ממרכז

האספקה

(ב1ק"מ)


?) ש"קמ% ב(מה היתה מהירות הנסיעה של המשאית בשעתיי� הראשונות .א

?וכמה זמ� , איזו חנות התעכבה המשאית מש! הזמ� הגדול ביותרב .ב

?מ בי� החנות השניה והשלישית "ק%מהו המרחק ב .ג

?) מ"ק%ב(ומה מרחקה ממנו , הרחוקה ביותר ממרכז האספקה מי מ� החנויות היא .ד

?למרכז האספקה ) ג(של המשאית בדרכה חזרה מהחנות האחרונה ) ש"קמ%ב(מה היתה מהירות הנסיעה .ה

?) ש"קמ%ב(ה היה אז ערכה ומ, הנמוכה ביותר י� אילו שעות היתה מהירות הנסיעה של המשאיתב .ו


_______________________________________________________________________________


)ב"קי� תשס( 3' מס שאלה

לפי , המחיר שגובה חברת טלפוני� מסוימת עבור השיחות של מנוייה בטלפו� הביתי תא ר$ שלפני! מתארגה

.מספר פעימות מונה בחודש

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

0 100 200 300 400 500 600

מספר הפעימות

תשלו�ב1ש"ח


?מהו התשלו� החודשי המינימלי עבור השימוש בטלפו� .א

?פעימות בחודש 80 % מהו התשלו� ל .ב

?עימות בחודש פ 225 % מהו התשלו� ל .ג

?פעימות מונה בחודש 300 % ו 100כמה עולה כל פעימת מונה בתחו� שבי� .ד

?פעימות מונה בחודש 300 %כמה עולה כל פעימת מונה בתחו� שמעל ל .ה

?כמה פעימות מונה היו לו . ח"ש 150אד� קיבל לתשלו� חשבו� של .ו


_______________________________________________________________________________



:לפי מספר הכרטיסי� שנקנו, יית כרטיסי� למופעעלות התשלו� לקנ תא ר$ שלפני! מתארגה

0200400600800

10001200140016001800200022002400260028003000

0 10 20 30 40 50 60 70

מספר הכרטיסי�

תשלו�ב1ש"ח

:בעזרת הנתוני� שבגר$ ענה על השאלות שלפני!

?ח "ש 500כמה כרטיסי� קנה אד� ששיל� .א

?מהו אז המחיר לכרטיס ? כרטיסי� 20כמה משלמי� עבור .ב

?רטיס מהו אז המחיר הממוצע לכ? כרטיסי� 50 % מהו התשלו� ל .ג

?מנת ליהנות מהנחה במחיר כרטיס %צרי! אד� לקנות על) לפחות(כמה כרטיסי� .ד


_______________________________________________________________________________


)ג"קי� תשס( 5' מס שאלה

פותחי� את הברזי� ומזרימי� . בעזרתו נית� למלא את המיכל) בנפרד(לכל מיכל צמוד ברז . נתוני� שני מיכלי�

בכל מיכל לפי הזמ� ) בליטרי�(הגרפי� שלפני! מתארי� את כמויות המי� . מי� לתוכ� עד אשר ה� מתמלאי�

:מרגע פתיחת הברזי� , )בדקות(

:ענה על השאלות שלפני! , תו! שימוש בגרפי�

?) דקות 0= בזמ� (כמה מי� יש בכל מיכל ברגע פתיחת הברזי� .א

?דקות מילוי 8כמה מי� יש בכל מיכל אחרי .ב

?דקות 14באיזה מיכל יש יותר מי� אחרי .ג

?מי מה� מתמלא בקצב מהיר יותר . חשב את קצב המילוי של שני המיכלי� .ד

?כמה מי� הוא מכיל אז ? איזה מיכל מסיי� ראשו� להתמלא .ה

0

20

40

60

80

100

120

140

0 4 8 12 16 20 24 28

זמ� (דקות)

כמות מי�

(ליטרי�)

'מיכל א

'מיכל ב


_______________________________________________________________________________



:לפי מספר הדיסקי� שנקנו, עלות התשלו� לקניית דיסקי� תא ר$ שלפני! מתארגה

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 10 20 30 40

מספר הדיסקי�

תשלו�

ב1ש"ח

:שבגר$ ענה על השאלות שלפני! בעזרת הנתוני�

?ח "ש 600כמה דיסקי� קנה אד� ששיל� .א

?מהו אז המחיר הממוצע לדיסק ? דיסקי� 10כמה משלמי� עבור .ב

?מהו אז המחיר הממוצע לדיסק ? דיסקי� 30 % מהו התשלו� ל .ג

?מנת ליהנות מהנחה במחיר דיסק %צרי! אד� לקנות על) לפחות(כמה דיסקי� .ד


_______________________________________________________________________________


)ד"קי� תשס( 7' מס שאלה

של ) בנקודות(הגרא$ מתאר את ההשתנות של הער! . לפני! גרא$ שפורס� במוס$ הבורסה של אחד העיתוני�

:מיו� ראשו� עד יו� חמישי , אחת המניות במהל! שבוע


?ניה מה היה אז ער! המ? )מינימו�(באיזה יו� בשבוע היה ער! המניה הנמו! ביותר .א

?מה היה אז ער! המניה ? ) מקסימו�(באיזה יו� בשבוע היה ער! המניה הגבוה ביותר .ב

?בכמה נקודות השתנה ער! המניה מיו� ראשו� עד יו� חמישי .ג

?) ביחס ליו� הקוד�(באיזה יו� היתה העלייה הגבוהה ביותר בער! המניה .ד

203

204

205

206

207

208

209

210

211

212

213

214

215

216

217

218

219

220

יום בשבוע

ת)דוקו(נ

ה נימה

ך רע

ה ד ג ב א


_______________________________________________________________________________



.זת של ספרי לימוד לכלל התלמידי�מבקשת לבצע רכישה מרוכ" המכללה להנדסאי"

המתאר את הסכו� שתדרש המכללה לשל� , נתונה בגרא$ הבא" ספר לכל"וצאת הספרי� ההצעת המכירה של

� :לפי כמות הספרי� שתזמי


?מהו המחיר הממוצע לספר ? ספרי� 30ח עולה קניית "מה שכ .א

?מהו אז המחיר הממוצע לספר ? ספרי� 70ניית ח עולה ק"מה שכ .ב

? ח"ש 2600 %כמה ספרי� יכולה המכללה לרכוש ב .ג

בהשוואה לקנייה של (כמה ספרי� לפחות כדאי למכללה לרכוש כדי להתחיל ליהנות מהנחה במחיר לספר .ד

?) ספרי� בודדי�

0

400

800

1200

1600

2000

2400

2800

3200

3600

4000

0 10 20 30 40 50 60 70 80

כמות הספרי�

תשלו�

כולל

ב1ש"ח


_______________________________________________________________________________


)ה"קי� תשס( 9' מס שאלה

לפני (גובה המס תלוי במחיר המקורי של המוצר . "מס קנייה"משרד האוצר הטיל על סדרה של מוצרי� חשמליי�

).המס

:לפי מחירו לפני המס , )המחיר שצרכ� משל�(הגרא$ הבא מתאר את המחיר של כל מוצר כולל המס

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

מחיר מוצר לפני מס (ב1ש"ח)

מחיר לצרכ כולל

מס(ב1ש"ח)


?ח "ש 400כאשר המחיר לפני המס הוא , מה שקלי� משל� הצרכ�כ .א

? ח"ש 2250כאשר הצרכ� משל� , מהו המחיר לפני המס .ב

1200כאשר המחיר לפני מס הוא ) בכמה אחוזי� מייקר המס את המחיר לצרכ�(מצא את אחוז מס הקניה .ג

.ח "ש

2000כאשר המחיר לפני מס הוא ) בכמה אחוזי� מייקר המס את המחיר לצרכ�(מצא את אחוז מס הקניה .ד

.ח"ש


_______________________________________________________________________________



:בבוקר 008החל מהשעה , של מכונית) ש"בקמ(הגרא$ שלפני! מתאר את מהירותה


?מה היתה מהירות זו ? באיזו שעה היתה מהירות המכונית הגבוהה ביותר .א

?באיזה פרק זמ� עמדה המכונית .ב

? 009מה היתה מהירות המכונית בשעה .ג

?ו פרקי זמ� היתה מהירות המכונית במגמת עליה באיל .ד

מהירות )ש"קמ(

105

90

75

60

45

30

15

זמ� )שעות(

8

00

9

00

10

00

11

00

12

00

13

00


_______________________________________________________________________________


)ו"קי� תשס( 11' מס שאלה

" :צעדת הגליל"שתי קבוצות של צועדי� יצאו לדרכ� ב

.וה� הלכו בקצב מהיר יותר, היתה מורכבת מצועדי� מנוסי�' קבוצה א

.וה� הלכו בקצב איטי יותר, היתה מורכבת בעיקר ממשפחות' קבוצה ב

.כל קבוצה עצרה להפסקת מנוחה

:של כל אחת מהקבוצות מנקודת המוצא בכל זמ� במהל! הצעדה ) מ"בק(הגראפי� שלפני! מתארי� את המרחק


?מתאר את קבוצת המשפחות ) IIאו I(מי מבי� הגראפי� .א

?מה היתה מהירותה של כל קבוצה בכל קטע .ב

.בנפרד לתנועה לפני המנוחה ולתנועה אחרי המנוחה יש להתיחס

?כ כל קבוצה "איזה מרחק עברה בסה .ג

? המרחק שעברה קבוצת הצועדי� המנוסי� מהמרחק שעברה קבוצת המשפחות –באחוזי� –בכמה גדול .ד

רחקמ )מ"ק(

15

10

5

0

זמ�6 )שעות(

00

7

00

8

00

9

00

10

00

11

00

I

II


_______________________________________________________________________________



ש "מות הקוולפי כ, המחיר שגובה חברת החשמל עבור צריכת החשמל של האזרחי� תא ר$ שלפני! מתארגה

:הנרשמת במש! חודש במונה ) שעה%קילוואט(

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 200 400 600 800 1000

כמות הקוו"ש

תשלו� כוללב1ש"ח

תשובה תשובה תשובה תשובה ––––יש לנמק את התשובות יש לנמק את התשובות יש לנמק את התשובות יש לנמק את התשובות : : : : שימו לב שימו לב שימו לב שימו לב (ענה על השאלות שלפני! , תו! שימוש בנתוני� המובאי� בגרא$

) :!!!!ללא נימוק לא תתקבל ללא נימוק לא תתקבל ללא נימוק לא תתקבל ללא נימוק לא תתקבל

?) תשלו� בסיסי לפני צריכה, כלומר(מהו התשלו� החודשי הקבוע .א

?ש בחודש "קוו 500 % ו התשלו� הכולל לצריכה של כמה .ב

?ש הוא צר! "כמה קוו. ח"ש 200אד� קיבל לתשלו� חשבו� כולל של .ג

?ש בחודש "קוו 650 %ו 0 שבי�ש בתחו� "כל קוו, בממוצע, כמה עולה .ד

?ש בחודש "קוו 650 % ל שמעלש בתחו� "כל קוו, בממוצע, כמה עולה .ה

ש מקבל הנחה עבור צריכה גדולה "אד� הצור! כמות גדולה של קוו, קודמי�לפי הגרא$ ותוצאת שני הסעיפי� ה

?" קנס"או משל�


_______________________________________________________________________________


)ז"קי� תשס( 13' מס שאלה

:לפי שעות , הגרא$ שלפני! מתאר את כמות המי� בבריכה ואת השינויי� בכמות זו במהל! יו� אחד

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

שעות

כמות המי� בבריכה(ב1מ"ק)

:ות שלפני! ענה על השאל, תו! שימוש בנתוני� המובאי� בגרא$

?מה היתה אז כמות המי�? בי� אילו שעות היתה כמות המי� בבריכה גדולה ביותר .א

?מה היתה אז כמות המי�? בי� אילו שעות היתה כמות המי� בבריכה קטנה ביותר .ב

?בי� אילו שעות הוסיפו מי� לבריכה .ג

!!!!שובת! שובת! שובת! שובת! נמק את תנמק את תנמק את תנמק את ת? בי� אילו שעות היה קצב גידול כמות המי� בבריכה הגדול ביותר .ד

!!!!נמק את תשובת! נמק את תשובת! נמק את תשובת! נמק את תשובת! ? 12 %ו 7ק השתנתה כמות המי� בבריכה בי� השעות "בכמה מ .ה

?בי� אילו שעות לא חל שינוי בכמות המי� בבריכה .ו


_______________________________________________________________________________



י "עפ, מרחקו מביתו כפונקציה של הזמ� תא ר$ שלפני! מתארגוה, למסע אופניי� 10:00דני יצא מביתו בשעה

:מציינות את הנקודות בה� שינה דני את מהירותו A,B,C,D,Eהנקודות . השעה

0

20

40

60

80

100

10 11 12 13 14 15 16 17 18

השעה

מרחק מהבית(ב1ק"מ)

תשובה –יש לנמק את התשובות : שימו לב (ענה על השאלות שלפני! , תו! שימוש בנתוני� המובאי� בגרא$

!) :ללא נימוק לא תתקבל

?ומה היה מרחק זה , מביתו) מכסימלי(י� אילו שעות היה דני במרחק מירבי ב .א

?) קטעי� שוני� 4כ "סה(מהי מהירותו של דני בכל קטע במסעו .ב

סמ� על הגרא$ . 17:00ופע� בשעה 12:00פע� בשעה –פעמיי� את דני ובדרכו פגש , יואב יצא למסע רגלי .ג

:וחשב , )המתאר את תנועתו של יואב(קו ישר חבר אות� ב, הנתו� את נקודות המפגש

?הדר! שעבר יואב בי� שני המפגשי� מהי) 1

?מהירותו של יואב בי� שני המפגשי� מהי) 2

)מספיק לציי� במחברת את החישובי�; אי� צור! להעתיק את הגרא$ אל המחברת (

A

B C

D

E


_______________________________________________________________________________


)ח"קי� תשס( 15' מס שאלה

המבצע כולל תשלו� ). SMS(מבצע מיוחד להודעות טקסט חברת הטלפוני� הסלולריי� מציעה ללקוחותיה

. ותוספת תשלו� עבור כל הודעה מעבר לכמות הבסיסית, )עבור משלוח הודעות עד כמות מסוימת(בסיסי קבוע

לפי מספר ההודעות אשר נשלחו במהל! , גר$ שלפני! מתאר את עלות השימוש החודשי בהודעות טקסטה

:החודש

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

מספר ההודעות בחודש

עלותהשימושהחודשיבהודעותטקסט(ב1ש"ח)


?מהו התשלו� הבסיסי הקבוע .א

?ללא תוספת תשלו� , מה המספר המכסימלי של הודעות שנית� לשלוח בתערי$ הבסיסי .ב

?הודעות בחודש 300כמה ישל� אד� השולח .ג

!!!!נמק את תשובת! נמק את תשובת! נמק את תשובת! נמק את תשובת! ?הודעות 160? הודעות 100לאד� השולח , ה המחיר הממוצע להודעהמ .ד

!!!!נמק את תשובת! נמק את תשובת! נמק את תשובת! נמק את תשובת! ? הודעות 500? הודעות 300לאד� השולח , ה המחיר הממוצע להודעהמ .ה


_______________________________________________________________________________



הגרא$ שלפני! מתאר את תוצאות מדידת הטמפרטורה במקו� מסוי� ואת השינויי� בטמפרטורה במהל! יו�

:לפי שעות , אחד

10

15

20

25

30

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

שעות

טמפרטורה

(oC1ב)

:ענה על השאלות שלפני! , וש בנתוני� המובאי� בגרא$תו! שימ

?מה היה אז ערכה ? בי� אילו שעות היתה הטמפרטורה גבוהה ביותר .א

?מה היה אז ערכה ? בי� אילו שעות היתה הטמפרטורה נמוכה ביותר .ב

!נמק את תשובת! ? מה היה אז קצב גידול הטמפרטורה ? בי� אילו שעות עלתה הטמפרטורה .ג

!נמק את תשובת! ? מה היה אז קצב הירידה ? בי� אילו שעות ירדה הטמפרטורה .ד


_______________________________________________________________________________


)ט"קי� תשס( 17' מס שאלה

רכישה מרוכזת של ספרי לימוד במתמטיקה לכלל התלמידי� בשתי וצאת ספרי� מציעה לאחת המכללותה

:ות בגראפי�ראושתי האפשרויות מת. אפשרויות מחירי�

רכישת ספרים לתלמידי המכללה

0

400

800

1200

1600

2000

2400

2800

3200

3600

4000

4400

4800

0 40 80 120 160 200

מספר הספרים

עלות כוללת

(בש"ח)


?מהו המחיר ממוצע לספר ' ? באפשרות א ספרי� 40מה עולה קניית כ .א

?מהו המחיר הממוצע לספר ' ? ספרי� באפשרות ב 40מה עולה קניית כ .ב

?מהו המחיר הממוצע לספר ' ? ספרי� באפשרות א 160מה עולה קניית כ .ג

?מהו המחיר הממוצע לספר ' ? רי� באפשרות בספ 160מה עולה קניית כ .ד

?האפשרויות ומהו המחיר י בור כמה ספרי� זהה מחיר הקנייה בשתע .ה

?ור באיזו אפשרות עדי$ למכללה לבח. ס"ספרי� לביה 100המכללה מבקשת לקנות .ו

!נמק את תשובותי!

אאפשרות

אפשרות ב


_______________________________________________________________________________



או /בבוקר ממרכז האספקה לחלוקת חבילות ו 8:00יוצאת בשעה " זריז"רכב ההובלה של חברת המשלוחי�

.בסיו� המסע הוא חוזר לנקודת המוצא). פ סדר הנסיעה"ע, ג%ב ו, א(איסופ� בשלוש תחנות שונות

:המרחק של הרכב מנקודת המוצא בכל שעה ושעה מרגע יציאתו ועד לחזרה תא ר$ שלפניכ� מתארגה

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

שעות

מרחק ממרכז האספקה (ב1ק"מ)

:ענה על השאלות שלפני! , א$תו! שימוש בגר

?) ש"קמ% ב( )א(עד לתחנה הראשונה מה היתה מהירות הנסיעה של הרכב .א

?וכמה זמ� , איזו תחנה התעכב הרכב מש! הזמ� הגדול ביותרב .ב

?מ בי� התחנה השניה והשלישית "ק%מהו המרחק ב .ג

?) מ"ק%ב(ו ומה מרחקה ממנ, מי מ� התחנות היא הרחוקה ביותר ממרכז האספקה .ד

?למרכז האספקה ) ג(של הרכב בדרכו חזרה מהתחנה האחרונה ) ש"קמ%ב(מה היתה מהירות הנסיעה .ה

?) ש"קמ%ב(ה היה אז ערכה ומ, הנמוכה ביותר י� אילו שעות היתה מהירות הנסיעה של הרכבב .ו


א

ב ג


_______________________________________________________________________________


)ע"קי� תש( 19' מס שאלה

לפי כמות הדקות בה� משתמש הלקוח בטלפו� , ש ללקוחותיהחברת הטלפוני� הסלולרי� הוציאה תעריפו� חד

:תעריפו� זה מתואר בגרא$ שלפניכ�. במש! חודש

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 200 400 600 800 1000

כמות הדקות

תשלו�כולל

ב1ש"ח


?) תשלו� בסיסי לפני צריכה, כלומר(מהו התשלו� החודשי הקבוע .א

?דקות בחודש 700 %הכולל לשימוש של כמהו התשלו� .ב

?כמה דקות הוא דיבר . ח"ש 200אד� קיבל לתשלו� חשבו� כולל של .ג

?דקות בחודש 300לאד� שהשתמש בטלפו� ) ללא התשלו� הקבוע(כל דקת שימוש , בממוצע, כמה עולה .ד

?דקות בחודש 1000פו� לאד� שהשתמש בטל) ללא התשלו� הקבוע(כל דקת שימוש , בממוצע, כמה עולה .ה

?כדי שעלות דקת שימוש תתחיל לרדת , צרי! אד� להשתמש בטלפו� בחודש –לפחות –כמה דקות .ו

!)יש לנמק את התשובות בעזרת חישוב ' ה%ו' ד' בסע(


_______________________________________________________________________________



ביתית הוציא תאגיד המי� העירוני תעריפו� חדש לצריכת מי�, "מס הבצורת"עקב העלאת מחיר המי� והטלת

.נפשות לחודש אחד 4למשפחות בנות

:ר$ שלפניכ� גתעריפו� זה מסוכ� ב

0

40

80

120

160

200

240

280

320

360

400

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

מ"ק

עלות(ב1ש"ח)


?ק "מ %מהו אז המחיר ל? במחיר הנמו! , לכל היותר, ק מי� נית� לצרו!"כמה מ .א

?די שיחול עליה התערי$ הגבוה ביותר ק מי� לפחות צריכה המשפחה לצרו! כ"כמה מ .ב

?ק מי� היא צרכה בחודש "כמה מ. ח"ש 200משפחה קיבלה לתשלו� חשבו� כולל של .ג

?ק אחד "מ %מהו אז המחיר הממוצע ל? ק בחודש "מ 30מהו התשלו� הכולל לצריכה של .ד

?ק אחד "מ %מהו אז המחיר הממוצע ל? ק בחודש "מ 50מהו התשלו� הכולל לצריכה של .ה



_______________________________________________________________________________


)א"קי� תשע( 21' מס שאלה

תא ר$ שלפני! מתארגוה, בבוקר 6:00ה� יצאו לדרכ� בשעה . קבוצת רוכבי� יצאה למסע אופניי� בכבישי האר�

� :י השעה "עפ, מרחק� מנקודת המוצא כפונקציה של הזמ


?ובאיזה מרחק ה� היו אז מנקודת המוצא , אילו שעות ביצעו הרוכבי� הפסקת מנוחהבי� .א

?) קטעי� שוני� 4כ "סה(מה מהירות� של הרוכבי� בכל קטע שבו היו בתנועה .ב

!)יש לנמק את התשובות בעזרת חישוב ' ב' בסע(


_______________________________________________________________________________



.B ועמדה A עמדה: i-phone %ביריד המכירות שתי עמדות למכירת כיסויי� ל

.עלות הכיסויי� בכל עמדה מתוארת בגרפי�

. B והגר$ המקווקו הוא של העמדה, A הגר$ הרצי$ הוא של העמדה

:תו! שימוש בגר$ ענה על השאלות

. נמק ?מתנה –כל כיסוי עשירי : באיזו מ� העמדות מתקיי� מבצע .א

?כיסויי� 8א� קוני� Bובעמדה Aבעמדה אחד כיסוימהו המחיר ל .ב

באיזו מ� העמדות .לאנשי הצוות שלו כמתנה i-phone %ח לרכישת כיסויי� ל"ש 600 מוסד מסוי� הקציב .ג

.נמק ?כדאי לרכוש את הכיסויי�

איל� א!, ושיל� אותו סכו�קנה אותו מספר כיסויי� התברר שכל אחד. איל� וחגי נפגשו ביריד המכירות .ד

.Bוחגי קנה בעמדה , Aקנה בעמדה

).ויש לפרט את שתיה�, קיימות שתי אפשרויות –שימו לב ( ?כמה כיסויי� קנה כל אחד )1

?לכיסוי אחד לכל אפשרות הממוצעמהו מחיר )2


_______________________________________________________________________________


)ב"קי� תשע( 23' מס שאלה

כאשר עלות ההשכרה תלויה במספר, חברה להשכרת רכב מציגה את תנאי ההשכרה באמצעות הגר$ שלפני!

:הקילומטרי� הכולל שהרכב עבר


?באיזה תשלו� יחויב . מ"ק 250ונסע בו , שכר רכב 'לקוח א .א

?איזה מרחק נסע . ח"ש 275שיל� על השכרת רכב 'לקוח ב .ב

? מהו המחיר הממוצע לקילומטר אחד. מ"ק 700 ונסע במש! היו�, משה שכר רכב .ג

ומתחלקות בתשלו� , זו אחר זו נוסעות בו, ביחד רכב אחד שוכרות –אילנה ותהילה , יעל –שלוש חברות .ד

:בתנאי� הבאי�

.מ ראשוני� ומשלמת עבור נסיעתה זו בלבד"ק 200יעל נוהגת

.ומשלמת עבור נסיעתה זו בלבד) מ"ק 400 %מ ל"ק 200בי� ( מ הבאי� "ק 200 %אילנה נוהגת ברכב ב

.ומשלמת עבור נסיעתה זו בלבד) מ"ק 600 % מ ל"ק 400בי� (מ נוספי� "ק 200תהילה נוהגת

?אחת מהחברות מהו התשלו� ששילמה כל )1

.פרט את חישובי! ?אשר כל אחת מהחברות שילמה מהו המחיר לקילומטר אחד )2

.לקוח אחדמבחינת החברה ה� נחשבות כמו , כלומר. רכב אחדת אילנה ותהילה שוכרו, יעל' בסעי$ ד :שימו לב


_______________________________________________________________________________





1 'דק/'ל 10. ה' ל 80. ד' דק/'ל 7.5. ג' דק 16', דק 13. ב' ל 80. א

'דק/'ל 20', דק 14–10בי� . ו

2 מ"ק 160 –החנות הראשונה . ד מ"ק 40. שעתיי� ג –בחנות הראשונה . ש ב"קמ 80. א

ש"קמ 40 – 12:00 % ו 11:00בי� השעות . ש ו"קמ 60. ה

פעימות 400. ח ו"ש 0.3. ח ה"ש 0.4. ח ד"ש 90. ח ג"ש 40. ח ב"ש 40. א 3

סי�כרטי 30. ח ד"ש 44, ח"ש 2,200. ח ג"ש 50, ח"ש 1,000. כרטיסי� ב 10. א 4

5 'מיכל ב. ג' ל 20 –' מיכל ב', ל %44כ –' מיכל א. ב' ל 0 –' מיכל ב', ל 20 –' מיכל א. א

'ל 80', מיכל א. דקה ה/'ל 5 –' מיכל ב, דקה/'ל 3 –' מיכל א. ד

דיסקי� 20. ח לדיסק ד"ש 36.67, ח"ש 100. ח לדיסק ג"ש 40, ח"ש 400. דיסקי� ב 15. א 6

)'יחסית ליו� ד(' יו� ה. ד' נק 5-. ג' נק 219', יו� ב. ב' נק 204', יו� ד. א 7

ספרי� 41. ספרי� ד 60. ח לספר ג"ש 41.43, ח"ש 2,900. ח לספר ב"ש 50, ח"ש 1,500. א 8

50%. ד 25%. ח ג"ש 1,600. ח ב"ש 500. א 9

12:00%13:00, 8:00%9:30. ש ד"קמ 80 %כ. ג 11:00%12:00. ש ב"קמ 90, 9:30. א 10

11

Iגרא$ . א

. ב

42.86%. מ ד"ק 14 –' קבוצה ב, מ"ק 20 –' קבוצה א. ג

אחרי ההפסקה לפני ההפסקה

ש"קמ 4 ש"קמ 6 'קבוצה א

ש"קמ 3 ש"קמ 4 'קבוצה ב

קנס. ו' אג 57.1. ה' אג 26.9. ש ד"קוו 650. ח ג"ש 150. ח ב"ש 25. א 12

13 18 %ל 16בי� ; 7 % ל 5בי� .ק ג"מ 40 – 14 %ל 10בי� . ק ב"מ 160 – 9 %ל 7בי� . א

18%19, 14%16, 12%13, 10%11, 7%9. ק ו"מ 100. ק בשעה ה"מ 80 – 7 %ל 6בי� . ד

14 . ב מ"ק 90, 13%14. א

AB BC CD DE

30 ; 0 ; 20 ; 40v v v v= = = − = ]ש"קמ[ −

ש"קמ 8, מ"ק 40. ג

15

.ח"ש 100. ג . הודעות 200. ב .ח"ש 50. א

ח"ש 0.3125 – הודעות 160; ח "ש 0.5 –הודעות 100. ד

ח"ש 0.4 –הודעות 500 ;ח "ש 0.333 –הודעות 300. ה

16 26, 12%14בי� . א

o

C ב . �14, 18%19בי

o

C

2קצב העליה ; 7%12בי� . ג

o

C ד .עהלש . �3קצב הירידה ; 14%18בי

o

C לשעה.

17 .ח לספר"ש 25, ח"ש 4000. ג .ח לספר"ש 40, ח"ש 1600. ב .ח לספר"ש 25, ח"ש 1000. א

.'א. ו .ח"ש 3000, ספרי� 120. ה .ח לספר"ש 21.25, ח"ש 3400. ד

18 .מ"ק 40. ג .'ש 2', תחנה ב. ב ש"קמ 80. א

.ש"קמ 40; 13%14בי� השעות . ו ש"קמ 60. ה .מ"ק 180', תחנה ג. ד


_______________________________________________________________________________




19 .דקות 350. ג .ח"ש 300. ב .ח"ש 25. א

.דקות 400מעל . ו .ח"ש 0.35. ה .ח"ש 0.5. ד

20 .ק"מ 40. ג .ק"מ 40. ב ק"מ% ח ל"ש 4; ק "מ 20. א

.ק"מ%ח ל"ש 6; ח "ש 300. ה .ק"מ%ח ל"ש 4.67; ח "ש 140. ד

21

מ"ק 200 ,14%15; מ "ק 170, 11%12. א

. ב

15%18 12%14 9%11 6%9 בי� השעות

40 ]ש"קמ[מהירות

25

15 20%

22 .Aעמדה . ג . ח"ש B – 60עמדה ,ח"ש A – 40עמדה .ב Aעמדה .א

.ח לכיסוי"ש 36 –כיסויי� 20) %2ו. ח לכיסוי"ש 37.8 –כיסויי� 18) 1. ד

23

. מ"קח ל"ש 0.43, ח"ש 300. ג .מ"ק 500. ב .ח"ש 175. א

.ד

תהילה שילמה אילנה שילמה יעל שילמה

ח"ש 50 ח"ש 100 ח"ש 150 )1

מ"ח לק"ש 0.25 מ"ח לק"ש 0.50 מ"ח לק"ש 0.75 )2

רה המכו הממשלתי להכש בטכנולוגיה ובמדע



_______________________________________________________________________________


פתרו� גראפי של משוואותפתרו� גראפי של משוואותפתרו� גראפי של משוואותפתרו� גראפי של משוואות: : : : 9999פרק פרק פרק פרק


ההנדסאי� העתידיי� , קרוב לודאי, הצגה גראפית של נתוני� הינה אחד הכלי� המרכזיי� אשר בה� עתידי�

אות עשוי בהחלט להופיע בהרבה תחומי� טכניי� בה� יעסקו התלמידי� ופתרו� גראפי של משו, בפרט. להשתמש

.תהינה משואות שנית� לפותר� אלגבריתבמציאות קרוב לודאי שאלה לא . בעתיד

. אפי של הפונקציות המרכיבות את המשוואהגרה � התיאוריש למצוא מ, מעצ� הגדרתו, של משוואה פתרו� גראפי

כמו בכל מקרה של פתרו� .של נקודות החיתו של פונקציות אלה –מתו הגרא� –הפתרו� מבוסס על זיהוי

.יתמקורי הצבה במשואה ה"ע וב�כמ ,משוואות ג� כא� יש לבצע בקרה

בעיות הפתרו� הגראפי מצומצמות למשוואות המכילות פונקציות , לאור הידע המתמטי המצומצ� של הסטודנטי�

. ואשר ביחס אליה� התלמידי� יודעי� לפתור את משוואות בדר אלגברית מדויקת, ממעלה ראשונה ושניה בלבד

ללא שימוש כלל בטכניקות אלגבריות , בוצע בדר גראפית בלבדהכוונה היא במפורש שהפתרו� י, למרות זאת

).הצבת ערכי� בפונקציה, כמוב�, למעט(

במקרי� רבי� נמצא בבחינות שהפתרו� הגראפי נעשה רק למראית עי� והפונקציות הנידונות משורטטות רק כדי

אותושפתרו� גראפי של משו ,כאמור, יש לזכור. בעוד שבפועל הפתרו� נעשה בדר אלגברית, לצאת ידי חובה

ובמציאות קרוב לודאי שאלה לא , עשוי בהחלט להופיע בהרבה תחומי� טכניי� בה� יעסקו התלמידי� בעתיד

ביישומי� בפועל ה� התיאור הגראפי וה� הפיתרו� הגראפי ייעשו ודאי .תהינה משואות שנית� לפותר� אלגברית

את התלמידי� ולתת לה� את הבסיס וההבנה של התהליכי� ומטרת יחידת לימוד זו היא להכי� , בעזרת מחשב

.אות� יבצעו בעתיד בעזרת המחשב

כשלב ). י חיתו של קו ישר ע� פרבולה"ע(מטרת פרק זה הינה להגיע לפתרו� גראפי של משוואות ממעלה שניה

של משוואות העוסקות בפתרו� גראפי, מספר בעיות דמותמובאי� לפני אוס� שאלות הבחינה , מקדי� וכהכנה

).י חיתו של שני קווי� ישרי�"ע(ממעלה ראשונה

מטרהמטרהמטרהמטרה

).מעגל, היפרבולה, פרבולה , קו ישר(רכישת המיומנות של שרטוט גראפי של פונקציות •

.להמחיש באופ� גראפי את המשמעות של משוואה •

.ברית לפתרונ�להציע את הפתרו� הגראפי כטכניקה לפתרו� של משוואות שלא קיימת או מוכרת דר אלג •

.שלא נית� לפותרה באופ� אלגברי למצב שבו יש לפתור מערכת משוואות )סימולציה(ע הדמיה וציב •

.של מערכת משוואות, בשונה מפתרו� אלגברי, המשמעות של פתרו� גראפי נתהב •


:בניית מערכת צירי� קרטזית מישורית .1

.שרטוט הצירי� בסרגל .א

א יש להקפיד על שינות ברווחי� אחידי� , דל היחידה אינו חייב להיות זהה בשני הצירי�גו(שינות נכו� .ב

).בכל ציר

פתרו גראפי של משוואות: 9פרק הדרכה ותרגול – טכנולוגיתהמכינה למתמטיקה _______________________________________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________


:שרטוט נאמ� של גראפי� של פונקציות ממעלה ראשונה ומעלה שנייה במערכת צירי� קרטזית .2

.בניית טבלת ערכי� .א

.ציו� הנקודות במערכת הצירי� .ב

קו חלק ככל האפשר לפונקציה ממעלה , ה ממעלה ראשונהקו ישר בסרגל לפונקצי –חיבור הנקודות בקו .ג

.שנייה

:פתרו� גראפי של משוואה נתונה .3

.י הפונקציות הנתונות במערכת צירי� משותפתתטוט שרש .א

.י נקודות החיתו של הפונקציות"עפ, הוי פתרו� המשוואה מתו הגרא�זי .ב

.המשוואה ו�רד לפתביי� בלפכלי� גראב שושימ הקפדה על .ג

.התקבל� שוונות הפתרכנ לוידוא –במשוואה הנתונה הצבה בלבדהצבה בלבדהצבה בלבדהצבה בלבדי "ע – קרהביצוע ב .4

את הדעת בהוראה והכנת התלמידי�את הדעת בהוראה והכנת התלמידי�את הדעת בהוראה והכנת התלמידי�את הדעת בהוראה והכנת התלמידי� נקודות שמומל) לתת עליה�נקודות שמומל) לתת עליה�נקודות שמומל) לתת עליה�נקודות שמומל) לתת עליה�

.את קווי הצירי� ואת הפונקציה הליניארית יש לשרטט בעזרת סרגל .1

אי� הגדרה של לא נית� להסתפק במשבצות של הד� כיוו� שאז . את שני קווי הצירי�) למספר(יש לשנת .2

.בשתי משבצות כיחידה אחת) בשני הצירי�(לבחור , למע� הדיוק בעבודה, רצוי .היחידה בכל ציר

. רחוקות כל האפשר זו מזו, נקודות בלבד 3 (יש להשתמש ב) הפונקציה הליניארית(לצור שרטוט הקו הישר .3

כל המוסי� ( להוסי� עוד נקודות אי� צור. והשלישית היא לבקרה, נקודות בלבד 2תיאורטית אמנ� מספיקות

) !גורע

נקודות אלה . י נקודות החיתו ע� הצירי�"אי� זה נכו� לשרטט את הישר עפ, למרות הפיתוי שבכ •

פיה� עלול (ושרטוט על, כלל קרובות זו לזו יותר מדי(א בפועל ה� בדר , נכונות אמנ� מבחינה תיאורטית

.נקודות החיתו סוטה ממקומו האמיתילהסתיי� במקרי� רבי� בישר אשר באיזור

:) הפונקציה ממעלה שניה(לצור שרטוט הפרבולה .4

xלצור בנית הטבלה רצוי למצוא את מקו� הקודקוד ולהתחיל מערכי –יש לבנות טבלת ערכי� .א

ומש� להתקד� ) של� xא� הוא בער , כמוב�, כולל הקודקוד עצמו(השלמי� הסמוכי� לקודקוד

.מינה ושמאלה עד שמכסי� את כל התחו� הדרוש לפתרו� המשוואה הנתונהביחידות שלמות י

נית� להשתמש לצור בנית ). x(בכל נקודה ) y(את טבלת הערכי� יש לבנות תו חישוב ער הפונקציה .ב

באופ� (א אז יש להסביר , טבלת הערכי� בסימטריה של הפרבולה ביחס לאנ העובר דר הקודקוד

.נעשה שימוש בסימטריהאת האופ� בו ) מילולי

י "עפ, כיוו� ששרטוט הפרבולה בצורה מדויקת, פרבולה שתשורטט ללא טבלת ערכי� לא תתקבל כפתרו� .ג

, לא נית� לשרטט את הפרבולה כסקיצה בלבד, בנוס� לכ . הוא חלק מדרישות השאלה, טבלת ערכי�

פתרו� המשוואה ולכ� צריכה כיוו� שסקיצה היא מקורבת ואינה מדויקת ואילו הפרבולה דרושה לצור

.להיות מדויקת

לא תמיד ה� –ג� א� ה� קיימות (מסיבה זו אי� טע� לחפש נקודות חיתו של הפרבולה ע� הצירי�

!).קיימות

כי לעתי� א� מקצי� מראש מקו� קט� מדי לא נית� , רצוי להקדיש עמוד של� במחברת לצור השרטוט .ד

.� המלא של המשוואהכל הפרבולה הדרושה לפתרולהשלי� את

�


_______________________________________________________________________________


אז חייבת להיות נקודה נוספת שבה , צרי לזכור שא� הקו הישר חות את הפרבולה בנקודה מסוימת .ה

אז צרי להרחיב את , א� לא מצאנו נקודה נוספת כזו בתחו� ששרטטנו. הקו חות את הפרבולה

.התחו� עד אשר נמצא את הנקודה המתאימה

".נקיה"ולקבל תוצאה , במידת הצור , כדי לאפשר תיקוני� ,את שרטוט הפרבולה יש לבצע בעפרו� .5

)מתו הגרא� מזהי� כמוב� את נקודות החיתו .6 )1 1

,x y ו) ( )2 2

,x y ,כמו , א את הפתרו� המבוקש יש להציג

(כ, שמציגי� כל פתרו� של משוואה או מערכת משוואות1 2

,x x x=.

אי� משמעות להכרזה על פתרו� . כפתרו� למשוואה יתקבל רק ער הנסמ על נקודת חיתו בשרטוט הגראפי .7

בלא , פתרו� הנסמ על זיהוי נקודות משותפות בטבלת הערכי� .למשוואה א� אי� נקודת חיתו תואמת

!אינו קביל , שהדבר בא לידי ביטוי בשרטוט

אי� טע� .בשרטוט בפועל חיתו הת ולפתרו� הנסמ על נקוד א� היא מתיחסתלבקרה יש משמעות רק .8

.שלא הושג מהפתרו� הגראפי" פתרו�"לביצוע בקרה ל

כיוו� שהבקרה כיוו� שהבקרה כיוו� שהבקרה כיוו� שהבקרה , , , , אי� בו כל צור אי� בו כל צור אי� בו כל צור אי� בו כל צור ....להשתמש בפתרו� אלגברי בשו� שלב משלבי הפתרו�להשתמש בפתרו� אלגברי בשו� שלב משלבי הפתרו�להשתמש בפתרו� אלגברי בשו� שלב משלבי הפתרו�להשתמש בפתרו� אלגברי בשו� שלב משלבי הפתרו� אי�אי�אי�אי� ––––למע� הסר ספק למע� הסר ספק למע� הסר ספק למע� הסר ספק .9

אלגברי יגרו� לפסילת הפתרו� אלגברי יגרו� לפסילת הפתרו� אלגברי יגרו� לפסילת הפתרו� אלגברי יגרו� לפסילת הפתרו� תרו� תרו� תרו� תרו� בפבפבפבפשימוש שימוש שימוש שימוש , בנוס� לכ ....בהצבה במשוואה המקוריתבהצבה במשוואה המקוריתבהצבה במשוואה המקוריתבהצבה במשוואה המקורית, , , , נעשית באופ� ישירנעשית באופ� ישירנעשית באופ� ישירנעשית באופ� ישיר

!!!!בבחינה בבחינה בבחינה בבחינה


_______________________________________________________________________________


לדוגמאלדוגמאלדוגמאלדוגמא ההההשאלשאלשאלשאל

2 :הפונקציות תיונות שנת .א

(1) 3 1 ; (2) 2y x x y x= − + = −

.שרטט את שתי הפונקציות במערכת צירי� משותפת

:את המשוואה בדר גראפית בלבדבדר גראפית בלבדבדר גראפית בלבדבדר גראפית בלבדפתור ', א' תו שימוש בשרטוט שבסע .ב

2

3 1 2x x x− + = −

.ונות הפתרו� שקבלתבדוק את נכ .ג

::::פתרו� פתרו� פתרו� פתרו�

:חישוב ערכי הפונקציות בטבלת ערכי� במספר נקודות .א

) :מרוחקות זו מזו ככל האפשר, נקודות שונות 3( קו הישרל טבלת ערכי�בניית

2 2 5

– 2 :

4 0 3

xy x

y

−=

−

: )�אי� להסתפק בנקודות חיתו ע� הצירי –טבלת ערכי� מפורשת ( פרבולהל טבלת ערכי�בניית

2 :שיעורי קודקוד הפרבולה

min

( 3)

1.5 1.5 3 1.5 1 1.25

2

x y− −

= = ⇒ = − ⋅ + = −

:טבלת ערכי� 2

2 1 0 1 2 3 4 5

3 1:

11 5 1 1 1 1 5 11

xy x x

y

− −= − +

− −

:משותפת הצירי� הגבי מערכת (שרטוט שתי הפונקציות עלו, שרטוט מערכת צירי� מפורטת

.(1–,1) (ו (3,1): זיהוי שתי נקודות החיתו מתו הגר� .ב

:סיכו� הפתרו� 1 2

1 , 3x x= =

:ה רקב .ג

2

2

1: 1 – 3·1 1 1– 2 –1 –1

3: 3 – 3·3 1 3 – 2 1 1

x

x

= + = ⇒ =

= + = ⇒ =

�

�


_______________________________________________________________________________


משוואות ממעלה ראשונהמשוואות ממעלה ראשונהמשוואות ממעלה ראשונהמשוואות ממעלה ראשונה ––––פתרו� גראפי פתרו� גראפי פתרו� גראפי פתרו� גראפי

1' מס שאלה

2 (1) :הפונקציות תיונות שנת 3 ; (2) 2 7y x y x= − = +

.י הפונקציות במערכת צירי� משותפתתש טט אתרש .א

:משוואה את ה דבבל יתפדר גראבפתור ', א' בשרטוט שבסע שו שימות .ב

2 3 2 7x x− = +

.� שקבלתוונות הפתרכנ וק אתדב .ג

2' מס שאלה

8 (1) :הפונקציות תיונות שנת 2 ; (2) 3 2y x y x= − = −


:את המשוואה דבית בלפדר גראבפתור ', א' בשרטוט שבסע שו שימות .ב

8 2 3 2x x− = −


3' מס שאלה

10 (1) :הפונקציות תיונות שנת 3 ; (2) 2 5y x y x= − = −



10 3 2 5x x− = −




2 : נתונות שתי הפונקציות

(1) 8 18 ; (2) 8y x x y x= − + = −

.שרטט את שתי הפונקציות במערכת צירי� משותפת .א


xxx −=+− 8188

2

.בדוק את נכונות הפתרו� שקבלת .ג


_______________________________________________________________________________



2 :הפונקציות תיונות שנת

(1) 8 3 ; (2) 2(1 )y x x y x= − − = −



2

8 3 2(1 )x x x− − = −

.תרו� שקבלתבדוק את נכונות הפ .ג



(1) 5 9 ; (2) 3(3 )y x x y x= − + = −



2

5 9 3(3 )x x x− + = −


)ג"קי) תשס( 4' מס שאלה

) :הפונקציות תיונות שנת ) ( )2

1 –2 – 6 3 ; 2 –3 – 2y x x y x= + =



2

–2 – 6 3 –3 – 2x x x+ =




1 – 5 1 ; 2 5 – 2y x x y x= + =



2

– 5 1 5 – 2x x x+ =


)ד"קי) תשס( 6' מס שאלה


1 – 4 5 ; 2 4 –10y x x y x= + =



2

– 4 5 4 –10x x x+ =



_______________________________________________________________________________




1 2 –1 ; 2 4 2y x x y x= + = +



2

2 –1 4 2x x x+ = +


)ה"קי) תשס( 8' מס שאלה


1 – 2 2 ; 2 6y x x y x= + = +



2

– 2 2 6x x x+ = +




1 – 3 3 ; 2 3 – 2y x x y x= + =



2

– 3 3 3 – 2x x x+ =


)ו"קי) תשס( 10' מס שאלה


1 – 2 ; 2 5y x x y x= + = +



2

– 2 5x x x+ = +




(1) 6 10 ; (2) 2 2y x x y x= − + = −

.שתי הפונקציות במערכת צירי� משותפתשרטט את .א


2

6 10 2 2x x x− + = −



_______________________________________________________________________________


)ז"קי) תשס( 12' מס שאלה


(1) 4 7 ; (2) 2 2y x x y x= − + = +

.ירי� משותפתשרטט את שתי הפונקציות במערכת צ .א


2

4 7 2 2x x x− + = + .בדוק את נכונות הפתרו� שקבלת .ג



(1) 2 1 ; (2) 5y x x y x= − + = +



2

2 1 5x x x− + = +


)ח"קי) תשס( 14' מס שאלה


(1) 10 ; (2) 6 2y x x y x= − + + = −


:את המשוואה בדר גראפית בלבדבדר גראפית בלבדבדר גראפית בלבדבדר גראפית בלבדפתור ', א' שבסעתו שימוש בשרטוט .ב

( )2

10 2 3x x x− + + = −




(1) 5 1 ; (2) 7 3y x x y x= − − = −


:את המשוואה דבית בלפדר גראבתור פ', א' בשרטוט שבסע שו שימות .ב

2

5 1 7 3x x x− − = −


)ט"קי) תשס( 16' מס שאלה


(1) 2 3 ; (2) 9y x x y x= − + = − +



2

2 3 9x x x− + = −



_______________________________________________________________________________




(1) 2 ; (2) 8 2y x x y x= − + = −


:המשוואה את דבית בלפדר גראבפתור ', א' בשרטוט שבסע שו שימות .ב

( )2

2 2 4x x x− + = −


)ע"קי) תש( 18' מס שאלה


(1) 2 2 ; (2) 6 3y x x y x= − + = −


:את המשוואה דדדדבבבבית בלית בלית בלית בלפפפפדר גראדר גראדר גראדר גראבבבבפתור ', א' בשרטוט שבסע שו שימות .ב

( )2

2 2 3 2x x x− + = −




(1) 5 8 ; (2) 4 2y x x y x= − + + = +



( )2

5 8 2 2 1x x x− + + = +


)א"קי) תשע( 20' מס שאלה


(1) 2 2 11 ; (2) 5 2y x x y x= − + + = −



2

2 2 11 5 2x x x− + + = − .� שקבלתוונות הפתרכנ וק אתדב .ג



(1) 4 1 ; (2) 4 2y x x y x= − + = −



2

4 1 4 2x x x− + = −

.� שקבלתוונות הפתרכנ תוק אדב .ג


_______________________________________________________________________________


)ב"קי) תשע( 22' מס שאלה


(1) 4 ; (2) 1y x x y x= − + + = −



2

4 1x x x− + + = − .� שקבלתופתרונות הכנ וק אתדב .ג


_______________________________________________________________________________



משוואות ממעלה ראשונהמשוואות ממעלה ראשונהמשוואות ממעלה ראשונהמשוואות ממעלה ראשונה ––––פתרו� גראפי פתרו� גראפי פתרו� גראפי פתרו� גראפי

1111 1x = − 3333 3x =

2222 2x =



''''מסמסמסמס

תשובהתשובהתשובהתשובה



1 1 2

2 , 5x x= = 2 1 2

2 , 3x x= − =

3 1 2

0 , 2x x= = 4 1 2

3 , 1x x= − =

5 1 2

1 , 4x x= − = 6 1 2

3 , 5x x= =

7 1 2

1 , 3x x= − = 8 1 2

1 , 4x x= − =

9 1 2

1 , 5x x= = 10 1 2

1 , 3x x= − =

11 1 2

2 , 6x x= = 12 1 2

1 , 5x x= =

13 1 2

1 , 2x x= − = 14 1 2

1 , 4x x= − =

15 1 2

2 , 4x x= − = 16 1 2

2 , 3x x= − =

17 1 2

3 , 2x x= − = 18 1 2

2 , 1x x= − =

19 1 2

2 , 3x x= − = 20 1 2

1 , 3x x= − =

21 1 2

1 , 3x x= − = 22 1 2

1 , 3x x= − =


טכנולוגית להנדסאי� מכינה

וטכנאי� מוסמכי�


_______________________________________________________________________________


''''רמה ארמה ארמה ארמה א � � � � הנדסה אנאליטית הנדסה אנאליטית הנדסה אנאליטית הנדסה אנאליטית : : : : 10101010פרק פרק פרק פרק


תיאור גראפי של פונקציות ממעלה ראשונה ושניההשאלות בפרק זה באות לבדוק הכרת תכונות בסיסיות של

: בסיסיות של הנדסה אנאליטיתושליטה במיומנויות

:שימוש במערכת צירי� קרטזית )1

.שלה) קואורדינטות(י השיעורי� "תיאור של נקודה במישור ע .א

.משפט פיתגורס והמרחק בי! שתי נקודות נתונות .ב

.אמצע של קטע נתו! .ג

.המשמעות הגראפית של פונקציות באופ! כללי )2

: התיאור הגראפי של פונקציות ממעלה ראשונה )3

yהמשמעות הגראפית של הפרמטרי� בתבניות .א ax b= + 0Ax �ו By C+ + =.

.נתו! העובר דר% נקודה נתונה בעל שיפוע משוואת ישרמציאת .ב

.משוואת ישר העובר דר% שתי נקודות נתונותמציאת .ג

.ישרי� מקבילי� ותנאי הקבלה .ד

.ותנאי ניצבות ישרי� ניצבי� .ה

2הפונקציה הריבועית )4

y Ax Bx C= + : ותאורה הגרפי +

).מקסימו�/נימו�ימ(קיצו! הנקודת –קודקוד ה .א

.ונקציה ביחס לאנ% העובר דר% הקודקודהסימטריה של הפ .ב

.תחומי עליה וירידה .ג

:מספר פונקציות התרת בעיות המשלבות )5

.חישוב וזיהוי של נקודות החיתו% של הפונקציות .א

.חישוב שטחי� והיקפי�; תכונות של משולשי� ומרובעי� שוני�של ) ברמה בסיסית(יישומי� .ב

כנת התלמידי�כנת התלמידי�כנת התלמידי�כנת התלמידי�ההההנקודות שמומל+ לתת עליה! את הדעת בהוראה ונקודות שמומל+ לתת עליה! את הדעת בהוראה ונקודות שמומל+ לתת עליה! את הדעת בהוראה ונקודות שמומל+ לתת עליה! את הדעת בהוראה ו

בתו% השרטוט להוסי- .גבי השרטוט�וציו! כל הנתוני� על, העתקת השרטוט אל מחברת העבודה או הבחינה .1

.את כל בניות העזר שהתלמיד מבצע במהל% הפתרו!

.יש להשתמש בסרגל לשרטוט קוי� ישרי� )א

ת שנתוע� ה, מפורטתו לשרטט מערכת צירי� מדויקת, יש להשתמש במשבצות שבמחברת הבחינה )ב

נבחני� רבי� מאוד משרטטי� מערכות צירי� .ולהציב נקודות וישרי� במקומ� ,וערכיה! המתאימות

.והדבר בהחלט פוגע בציו! שה� מקבלי�, בצורה מרושלת

היו נבחני� רבי� אשר לצור% מציאת נקודות החיתו% בי! פונקציות לבי! הצירי� או בי! שתי , בבחינות .2

. רטטו גראפי� של הפונקציות וביצעו למעשה פתרו! גראפייש, אות ערכי�פונקציות נתונות חישבו טבל

�שאלה זו מבקשת לבדוק את מיומנויות הנבחני� בשיטות של הנדסה אנאליטית כולל פתרו! אלגברי , אול

'רמה א "הנדסה אנאליטית : 10פרק הדרכה ותרגול – טכנולוגיתהמכינה למתמטיקה _______________________________________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________


יש !). יש בעיה נפרדת הבוחנת את מיומנויות השרטוט והפתרו! הגראפי (של משוואות לזיהוי נקודות חיתו%

.את התלמידי� בהתא�להנחות

כלי נפו+ בפתרו! בעיות בהנדסה אנאליטית הוא פתרו! משוואות למציאת נקודות חיתו% בי! –בקרה .3

ידהקפיש ל, כמו בכל מקרה אחר של פתרו! משוואות. פונקציות לבי! הצירי� או בי! שתי פונקציות נתונות

יש לשי� לב לכ% שהבקרה צריכה .!) ג� א� אינה נדרשת במפורש בגו- השאלה( על ביצוע בקרהג� כא!

.תמיד להתבצע במשוואה המקורית

.הקפדה על משמעת כתיבה מתמטית נכונה .4

. הקפדה על עיגול נכו! .5



2בציור נתוני� הגראפי� של הפרבולה

3 3y x x= − + +

3ושל הישר 6y x= −.

.רויצב הארומכ, C �ו A תודוקנבשתי הפונקציות נחתכות

� .yמאונכי� לציר CD � ו ABהקטעי

.C �ו A הנקודות ירועיש תא אצמ .א

מקבלי� ) הקו המרוסק בציור( ABCDכאשר מחברי� את הנקודות .ב

.וחשב את שטחו, קבע איזה מרובע הוא זה. מרובע

:פתרו!

:פרבולה והישר נמצא את נקודות החיתו% של ה. א

2 2

1,2

3 3 3 6 9 0 3x x x x x− + + = − ⇒ − = ⇒ = ±

!) :תמיד במשוואה המקורית (בקרה

( ) ( ) ( )2

2

3 : 3 3 3 3 3 3 6 9 9 3 9 6 15 15

3 : 3 3 3 3 3 3 6 3 3

x

x

= − − − + ⋅ − + = ⋅ − − ⇒ − − + = − − ⇒ − = −

= − + ⋅ + = ⋅ − ⇒ =

) : מכא! שיעורי הנקודות , המתאימי� y � הערכי� המחושבי� בבקרה ה� ג� שיעורי ה ) ( )A 3, 15 , C 3,3− −

ולכ! xמקבילי� לציר BC �ו ADהישרי� . D � ו Bנמצא ראשית את שיעורי הנקודות . ב

D A B C

15 ; 3y y y y= = − = =

0xולכ! לשתיה! yנמצאות על ציר D � ו Bהנקודות = . �)שיעורי הנקודות ה ) ( )D 0, 15 ; B 0,3−.

. זה ת זה נשתמש בתכונה שהאלכסוני� במקבילית חוצי�, להוכחה. י השרטוט המרובע נראה כמקבילית"עפ

� :ונראה ששני המרכזי� מתקבלי� באותה הנקודה ) לפי נוסחת אמצע קטע(נחשב את מרכזי האלכסוני

C

B

A

x

y

D


_______________________________________________________________________________


) : ACמרכז האלכסו! )AC

3 3 15 3

M : , 0, 6

2 2

− + − + = −

) : BDמרכז האלכסו! )BD

0 0 15 3

M : , 0, 6

2 2

+ − + = −

והילכ! ז, אינ! שוות בגודל! ו וג�אינ! מאונכות זו לז קל לראות שהצלעות. המרכזי� זהי� ולכ! זוהי מקבילית

.אמנ� מקבילית ולא מלב! או מעוי!

:דרכי� נוספות להוכחה שזו מקבילית

:שוויו! צלעות מנוגדות ) 1

( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

22

2 2

AD 0 3 3

AD BC ;

BC 3 0 3

AB 0 3 3 15 3 18 333

AB CD

CD 3 0 3 15 3 18 333

= − − = ⇒ == − =

= − − + − − = + = ⇒ =

= − + − − = + =

) :י שוויו! השיפועי�"הוכחה ע(מקביליות צלעות מנוגדות ) 2

( ) ( )

AB BC

AB CD BC AD

CD AD

15 3 18 3 3

6 0

3 0 3 0 3

;

3 15 15 1518

6 0

3 0 3 3 0

a a

a a a a

a a

− − − − = = = = = − − − − ⇒ = ⇒ = − − − − − = = = = =

− − −

AD :ADגודל . י מכפלת צלע בגובה לאותה הצלע"שטח מקבילית נקבע ע : הגובה לצלע , =3

( )AD B D

3 15 18h y y= − = − − :השטח הוא . =

AD

AD 3 18 54S h= ⋅ = ⋅ =


): נתוני� שלשת הקודקודי� ABCבמשולש ) ( ) ( )A 1,4 , B 3, 2 , C 6,5.

.והראה שה� מאונכי� זה לזה BC � ו ABחשב את שיפועי הישרי� .א

.ACחשב את אור% הצלע .ב

:פתרו!

:נחשב את שיפועי הישרי� . אAB BC

4 2 2 2 5 3

1 ; 1

1 3 2 3 6 3

a a− − −

= = = − = = =− − − −

) :ה� מקיימי� את תנאי הניצבות )AB BC

1 1 1a a⋅ = ⋅ − = −

.לכ! ה� מאונכי� זה לזה

) : ACחשב את אור% הצלע . ב ) ( )2 2

2 2

AC 6 1 5 4 5 1 26 5.099= − + − = + = ≈


_______________________________________________________________________________



)א"קי+ תשס( 1' מס שאלה

:ולות פרבפונקציות הבאות המתארות הנתונות שתי

)1(

2

4 4y x x= − + ; )2 ( 2

8 6y x x= − + −

.ראה בציורכמו, C �ו Aכות בנקודות נחתהפרבולות

.ולותנקודות המכסימו� והמינימו� של הפרב !ה D � ו Bדות והנק

שבציור את הפונקציה " ב" � ו "א"זהה והתא� לכל אחת מהפרבולות .א

.אותה היא מתארת

.D �ו A ,B, C את שיעורי הנקודות מצא .ב

, D �ו A ,B, C הנקודותשרטט במחברת% במערכת צירי� מתאימה את .ג

.הוא מקבילית ABCDשהמרובע בדר% אלגברית הוכח ו

)ב"קי+ תשס( 2' מס שאלה

2נתונה הפרבולה

10 26y x x= − +.

2y שריה x= .רויאב הארומכ, B � ו A תודוקנבחות% את הפרבולה +

.Cבנקודה x �חות% את ציר ה ABהמאונ% לישר BCהישר

.Dבנקודה x �וחות% את ציר ה y � מקביל לציר ה BDהישר

.Eבנקודה y �חות% את ציר ה ABהישר

.B �ו A קודות הנ ירועיש תא אצמ .א

.C הנקודה ירועיש תא אצמ .ב

.)ראשית הצירי� – BDME )Mחשב את שטח הטרפז .ג



2 4 30y x x= − + +.

הקטע . Cבנקודה y �ואת ציר ה B �ו A תודוקנב x �הפרבולה חותכת את ציר ה

CD מקביל לציר ה� x.

.בולההיא קודקוד הפר Eהנקודה

.ACהמקביל לישר EMמעבירי� ישר Eדר% הנקודה

.D �ו A ,B ,C הנקודות ירועיש תא אצמ .א

.EMמשוואת הישר תא אצמ .ב

C

B

A

y

x

M

E

D

A

B

C

D

א

ב

x

y

C

B A x

y

M

O

D

E


_______________________________________________________________________________


B

A x

y

O

)ג"קי+ תשס( 4' מס שאלה

2: נתונה הפרבולה

6y x x= − −.

.רויצב הארומכ, B �ו A תודוקנב x �הפרבולה חותכת את ציר ה

ישר זה חות% את הפרבולה . 1 �ישר ששיפועו שווה ל עובר Aדר% הנקודה

.Cג� בנקודה

.B �ו A הנקודות ירועיש תא אצמ .א


.ABCחשב את שטח המשולש שקודקודיו בנקודות .ג


2בשרטוט שלפני% מתוארי� הגראפי� של הפרבולה

4y x x= − +

4yושל הישר x= − +.

� .B �ו A תודוקנבהישר והפרבולה נחתכי


.)ראשית הצירי� – OAB )Oשטח המשולש תא אצמ .ב

)ד"קי+ תשס( 6' מס שאלה

2בציור נתוני� הגראפי� של הפרבולה

2 2y x x= − + +

2ושל הישר 2y x= −.

.רויצב הארומכ, C �ו A תודוקנבשתי הפונקציות נחתכות

� .yמאונכי� לציר AD �ו BCהקטעי

.C �ו A הנקודות ירועיש תא אצמ .א

מקבלי� ) הקו המרוסק בציור( ABCDכאשר מחברי� את הנקודות .ב

.וחשב את שטחו, קבע איזה מרובע הוא זה. מרובע

C

B A

x

y

C

B

A

x

y

D


_______________________________________________________________________________



2י% מתואר הגרא- של הפרבולה בשרטוט שלפנ

4 5y x x= − + +.

.Cבנקודה yואת ציר B � ו Aבנקודות xהפרבולה חותכת את ציר

.xמקביל לציר CDהישר

.D �ו A ,B ,C הנקודות ירועיש תא אצמ .א

מהי . BCואת הנקודות ADמחברי� בקוי� ישרי� את הנקודות .ב

? D �ו A ,B ,C ארבע הנקודות י"הצורה הגיאומטרית הנוצרת ע

. הסבר וחשב את שטחה

)ה"קי+ תשס( 8' מס שאלה

.B(4,-5) � ו A(-2,7)נתונות הנקודות

.ABהקטע אמצע ועובר דר% ABמצא משוואת ישר המאונ% לקטע .א

והוכח שהמשולש Cמצא את שיעורי הנקודה . Cבנקודה x = 5חות% את הישר ' א' הישר שמצאת בסע .ב

ABC שו� הוא שווה� .קיי


2בשרטוט שלפני% מתואר הגרא- של הפרבולה

5 4y x x= − + −.


.C �ו A ,B הנקודות ירועיש תא אצמ .א

מצא את . ABCבמשולש BCהוא הגובה לצלע ADהישר .ב

. AD משוואת הישר

B A x

y

C D

B

A x

y

C

D


_______________________________________________________________________________


)ו"קי+ תשס( 10' מס שאלה

בשרטוט שלפניכ� מתוארי� הגראפי� של הפרבולות

2

4 6y x x= − + 2 � ו +

4 4y x x= − −.

.C � ו Aקודקודי הפרבולות נמצאי� בנקודות

.D �ו Bהפרבולות חותכות זו את זו בנקודות

הפרבולות והראה שלשתי A ,C הנקודות ירועיש תא אצמ .א

.יש ציר סימטריה משות-

.D �ו B הנקודות ירועיש תא אצמ .ב

הראה . מרובע) בסדר זה(יוצרות ABCDהנקודות .ג

. הוא מעוי! ומצא את שטחו ABCDשהמרובע


2בשרטוט שלפני% מתואר הגרא- של הפרבולה

4y x x= − +.

הנקודה . A � ו) ראשית הצירי�( Oבנקודות xהפרבולה חותכת את ציר

B היא קודקוד הפרבולה.

אצשהפרבולה אמנ� עוברת בראשית הצירי� ומ) י חישוב"ע(הראה .א

.B �ו A הנקודות ירועיש תא

מצא . AB מאונ% לישר ODהיא נקודה על הפרבולה כ% שהישר D .ב

.D את שיעורי הנקודה

)ז"קי+ תשס( 12' מס שאלה

�2של הפרבולה בשרטוט שלפניכ� מתוארי� הגראפי

4y x x= ושל −

2הישר

3

xy =.

. Bוקודקוד הפרבולה נמצא בנקודה , Aהישר חות% את הפרבולה בנקודה

.היא ראשית הצירי� Oהנקודה

שיעורי הנקודות –שימו לב . (B �ו A הנקודות ירועיש תא אצמ .א

!)פרי� שלמי� אינ� חייבי� להיות בהכרח מס

.מצא את משוואת האנ%. OAהעבירו אנ% לישר B הנקודה דר% .ב

לא Dהראה שהנקודה ). לא מופיעה בציור( Dבנקודה OAהאנ% שמצאת בסעי- הקוד� חות% את הישר .ג

.A �ו Oבי! הנקודות נמצאת

B

A

x

y

O

D

x

y

C

A

B

D

x

y

O

A

B


_______________________________________________________________________________



2בשרטוט שלפני% מתוארי� הגרא- של הפרבולה

2 7y x x= − + +

1yושל הישר x= + .

.B �ו A שתי הפונקציות נחתכות בנקודות


מצא . xמקביל לציר ACהיא נקודה על הפרבולה כ% שהישר C .ב

.ABCאת שטח המשולש

)ח"קי+ תשס( 14' מס שאלה

2 הפרבולה

4 5y x x= − + 2והישר + 3y x= −

.כמוראה בציור, B �ו A נחתכי� בנקודות

.היא נקודת המכסימו� של הפרבולה C הנקודה

.C � ו A ,Bמצא את שיעורי הנקודות .א

.Cהנקודה ישר המאונ% לישר הנתו! ועובר דר% של שוואתומצא את מ .ב


2: נתונה הפרבולה

5 6y x x= − −.

.רויצב הארומכ, B �ו A תודוקנב x �הפרבולה חותכת את ציר ה

1 � עובר ישר ששיפועו שווה ל Bדר% הנקודה

2

ישר זה חות% את הפרבולה . −

.Cג� בנקודה



.ABCחשב את שטח המשולש שקודקודיו בנקודות .ג

B

A

x

y

C

C

B

A

x

y

C

B

A

x

y


_______________________________________________________________________________


)ט"קי+ תשס( 16' מס שאלה

2 הפרבולה

2 1y x x= − + 1yוהישר + x= −


.היא נקודת המכסימו� של הפרבולה C הנקודה

.C � ו A ,Bקודות מצא את שיעורי הנ .א

לא מופיע ( C �ו Bות הנקוד הישר העובר דר% של שוואהמהמצא את .ב

.ABמאונ% לישר הנתו! BCוהראה שהישר ) בשרטוט


2 הפרבולה

4 5y x x= − 9yוהישר + x= −


.Cבנקודה xחות% את ציר ABהמאונ% לישר AC הישר

.Dבנקודה yהפרבולה חותכת את ציר

.A ,Bמצא את שיעורי הנקודות .א

.C המצא את שיעורי הנקוד .ב

לא מסומ! (יוצרות משולש ) ראשית הצירי� – M )M � ו C ,Dהנקודות .ג

.CDMחשב את שטח המשולש ). בציור

)ע"קי+ תש( 18' מס שאלה

2ני% מתואר הגרא- של הפרבולה בשרטוט שלפ

5 6y x x= − + +.


.xמקביל לציר CDהישר

.D �ו A ,B ,C מצא את שיעורי הנקודות .א

.ABCDחשב את שטח הטרפז .ב

� ע AMנקודת החיתו% של – BD )Mמאונ% לישר AMהישר .ג

BD .( מצא את משוואת הישרAM.

C

B

A

x

y

C

B

A

y

x

M

D

B A x

y

C D

M


_______________________________________________________________________________



2 הפרבולה

6 10y x x= − 4yוהישר + x= +


.Cבנקודה xחות% את ציר ABהישר

.Dבנקודה xחות% את ציר ABהמאונ% לישר BDהישר

.B ההנקודמצא את שיעורי .א

.D �ו C המצא את שיעורי הנקוד .ב

.BCDחשב את שטח המשולש .ג

)א"קי+ תשע( 20' מס שאלה

2 הפרבולה

7y x x= − + 4yוהישר + x= , B � ו A נחתכי� בנקודות−

.שרטוטכמוראה ב

.B �ו Aמצא את שיעורי הנקודות .א

.המצא את שיעורי .לההפרבו קודקודהיא C הנקודה .ב

הישר העובר של שוואתומצא את מ. ABהינה אמצע הקטע Dהנקודה .ג

.D ההנקודראשית הצירי� ו דר%

)ב"תשע אביב( 21' מס שאלה

2:משוואת הפרבולה שבציור היא

6 5y x x= − + − .

.היא קודקוד הפרבולה Kהנקודה

Cבנקודה y �הפרבולה חותכת את ציר ה

.הנמצאת ימינה מהקודקוד, Aבנקודה x �ואת ציר ה

� .y �מאונכי� לציר ה CB � ו KF הישרי

� ) .ראה ציור( Dנפגשי� בנקודה AF �ו CBהישרי

.A ,B ,Fמצא את שיעורי הנקודות .א

.AF את משוואת הישר מצא .ב

.D מצא את שיעורי הנקודה. ג

C

B

A

y

x

D

C

B

A

x

y

D

K

F

A

D

x

y

B C


_______________________________________________________________________________


)ב"קי+ תשע( 22' מס שאלה

2: משוואת הפרבולה שבציור היא

6y x x p= − + )p – מציי! מספר

).שאת ערכו צרי% למצוא בהמש%

)בנקודה x �הפרבולה חותכת את ציר ה )A , Bובנקודה נוספת , 0;2

.Cחותכת בנקודה y �ואת ציר ה

.וכתוב את הביטוי המלא של הפרבולה, pמצא את הער% של .א

).ראשית הצירי� – BOC )Oשטח המשולש ת אמצא .ב

.BCומאונ% לישר , Aהעובר דר% הנקודה את משוואת הישר מצא .ג

C

B A

y

x

O


_______________________________________________________________________________





1

2 –" ב. "א

4 4y x x= − 2 –" א" ; +

8 6y x x= − + −

). ב ) ( ) ( ) ( )A 5,9 ,B 4,10 ,C 1,1 ,D 2,0

): כסוני� חוצי� זה את זה במקבילית האל. ג )M 3,5

). א 2 ) ( )A 8,10 ,B ). ב 3,5 )C . ג 8,0BDME

10.5S =

). א 3 ) ( ) ( ) ( )A 5,0 ,B 3,0 ,C 0,30 ,D 38. ב −2,30 6y x= −

). א 4 ) ( )A 2,0 ,B ). ב −3,0 )C 15S. ג 4,6 =

). א 5 ) ( )A 4,0 ,B 6S. ב 1,3 =

). א 6 ) ( )A 2, 6 ,C 2,2− 16S. ב − =

). א 7 ) ( ) ( ) ( )A 5,0 ,B 1,0 ,C 0,5 ,D 25S. ב −4,5 =

. א 81

2

xy

+AC. ב = BC 65= =

). א 9 ) ( ) ( )A 1,0 ,B 4,0 ,C 0, 1y. ב −4 x= −

). א 10 ) ( )A 2,10 ,C 2, ). ב −8 ) ( )D 1,1 ,B 54S. ג −5,1 =

). א 11 ) ( )A 4,0 ,B ). ב 2,4 )D 3.5,1.75

). א 12 ) ( )2 1

3 9

A 4 ,3 ,B 2, . ב −43

1

2

y x= − . ג −D

6

0

13

x = − <

). א 13 ) ( )A 2, 1 ,B 3,4− 15S. ב − =

). א 14 ) ( ) ( )A 2, 3 ,B 4,5 ,C 2,9− 10. ב −

2

xy = −

). א 15 ) ( )A 1,0 ,B ). ב −6,0 )C 13.125S. ג −1.5,3.75 =

). א 16 ) ( ) ( )A 1, 2 ,B 2,1 ,C 1,2− 3y. ב − x= −

). א 17 ) ( )A 4,5 ,B ). ב −1,10 )C . ג −1,0CDM

2.5S =

). א 18 ) ( ) ( ) ( )A 6,0 ,B 1,0 ,C 0,6 ,D 36S. ב −5,6 6y. ג = x= −

). א 19 )B ). ב 1,5 ) ( )C 4,0 ,D . ג −6,0BCD

25S =

). א 20 ) ( )A 1,5 , B ). ב −3,1 )C 3y. ג 0.5,7.25 x=


_______________________________________________________________________________




) .א 21 ) ( ) ( )A 5;0 , B 6; 5 , F . ב .−4;04

4

5

y x= − ). ג + )D 11.25; 5−

2 .א 22

6 8y x x= − . ב +BOC

16S∆ . ג =1

1

2

y x= −



הדרכה ותרגול – טכנולוגיתהמכינה למתמטיקה י תעודההמחלקה ללימוד_______________________________________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

11מתו� 1עמוד ט"כל הזכויות שמורות למה © 2012 –ג "רת תשעמהדו

''''בבבברמה רמה רמה רמה � � � � הנדסה אנאליטית הנדסה אנאליטית הנדסה אנאליטית הנדסה אנאליטית : : : : 11111111פרק פרק פרק פרק


מלבד הכרת התכונות של תיאור גראפי של פונקציות ממעלה . 10ו המש� והרחבה לנושא שנדו� בפרק פרק זה הינ

השאלות בפרק זה לבדוק באות , כמפורט ש!, ראשונה ושניה ושליטה במיומנויות בסיסיות של הנדסה אנאליטית

כמו ג! שילוב אפשרי של מעגל קאנוני , ות של משולשי! ומרובעי! שוני!של תכונמורכבי! יותר יישומי!

.בבעיות שונות

את הדעת בהוראה והכנת התלמידי!את הדעת בהוראה והכנת התלמידי!את הדעת בהוראה והכנת התלמידי!את הדעת בהוראה והכנת התלמידי! נקודות שמומל" לתת עליה�נקודות שמומל" לתת עליה�נקודות שמומל" לתת עליה�נקודות שמומל" לתת עליה�

)10ס$ לנקודות אשר פורטו בפרק ובהמש� ובנ(

. השרטוט גבי�וציו� כל הנתוני! על, אל מחברת העבודה או הבחינה )במידה וקיי!(הנתו� העתקת השרטוט .1

, בעיהבג! א! לא נתו� שרטוט .בתו� השרטוט להוסי$ את כל בניות העזר שהתלמיד מבצע במהל� הפתרו�

.י נתוני הבעיה ולהוסי$ לו את התוצאות המתקבלות במהל� הפתרו�"מומל" מאוד לבנות כזה שרטוט עפ

:בקרה .2

ת לבי� הצירי! או בי� שתי בי� פונקציו(פתרו� משוואות למציאת נקודות חיתו� ביצוע בקרה בעת .א

.הבקרה צריכה כמוב� להתבצע תמיד במשוואה המקורית ).פונקציות נתונות

.שהישר שהתקבל אמנ! עובר דר� הנקודות המתאימות )י הצבה"ע( לוודא –בעת מציאת משוואת ישר .ב

, ב�מל(בבעיות רבות מטרת הבעיה היא מציאת נקודות המהוות קודקודי! של צורה הנדסית מסוימת .ג

דר� נוספת לבקרה במקרי! כאלה הינה שרטוט הנקודות המתקבלות ). ב"וכיו, משולש, מעוי�, מקבילית

.ווידוא שאמנ! התקבלה הצורה המבוקשת, !)בעזרת סרגל (חיבור הנקודות , במערכת צירי! מתאימה

!).$ השאלה ג! א! אינה נדרשת במפורש בגו(יש להקפיד על ביצוע בקרה ג! כא� , י!אחר י!נושאכמו ב .ד


. בעת ביצוע חישובי! הקפדה על עיגול נכו� .4

'ברמה !הנדסה אנאליטית : 11פרק הדרכה ותרגול – טכנולוגיתהמכינה למתמטיקה _______________________________________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________


לדוגמאלדוגמאלדוגמאלדוגמא שאלהשאלהשאלהשאלה

):ה! ABCD שלשה קודקודי! של מקבילית )A 5,3 ,( )B 3, ) � ו 1– )C –3,5 )A ו� C !ה! קודקודי! נגדיי.(

.CD �ו AD של הצלעותת ומשוואה את מצא .א

.Dמצא את שיעורי הקודקוד הרביעי .ב

חוצי! המקבילית אמנ! אלכסוניוהראה ש Mמצא את שיעורי . את נקודת חיתו� האלכסוני! M �נסמ� ב .א

.זה את זה

:פתרו�

: ה� שווי!שיפועי ולכ�הצלעות הנגדיות מקבילות . א

( )

( )

CD AB

AD BC

3 14

2

5 3 2

1 5 6

1

3 3 6

a a

a a

− −= = = =

−− − −

= = = = −− −

) :י נקודה ושיפוע"עפ(משוואות הצלעות ה�

( ) ( )( )

AD

CD

: 3 1 5 5 8

: 5 2 3 2 6 2 11

y y x x y x

y y x x y x

− = − − = − ⇒ = −

− = − − = + ⇒ = +

): ADאמנ! נמצאת על הישר Aה נוודא שהנקוד) 1 :בקרה )A 5,3 : 8 5 3y = − =

): CDאמנ! נמצאת על הישר Cה נוודא שהנקוד) 2 ) ( )C 3,5 : 2 3 11 6 11 5y− = ⋅ − + = − + =

: CD �ו ADגש של שתי הצלעות נמצא כנקודת המפ Dאת שיעורי . ב

( ) ( )D : 8 2 11 3 3 1 8 1 9 D 1,9y x x x x y= − = + ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − − = ⇒ −

) : CD �ו AD י!אמנ! נמצאת על הישר Dה נוודא שהנקוד :בקרה )( )( )

AD: 8 1 9

D 1,7 :

CD: 2 1 11 9

y

y

= − − =

= ⋅ − + =

א! נקבל את אותה הנקודה הרי שהראינו שהאלכסוני! חוצי! זה את זה ומצאנו . נמצא את מרכזי האלכסוני!. ג

:את נקודת המפגש

) : ACכז הקטע מר ) ( ) ( )A C A C

M M

5 33 5

AC : , , , 1,4

2 2 2 2

x x y yx y

+ − + + + = = =

) : BDמרכז הקטע ) ( ) ( )B D B D

M M

3 11 9

BD : , , , 1,4

2 2 2 2

x x y yx y

+ − + + − + = = =

): ואותה אנו מזהי! כנקודת חציית האלכסוני! , התקבלה אותה הנקודה )M 1,4.

. בקרה לחישובי! שבסעיפי! הקודמי!ג! מהווה בעצ! תוצאה זו

A

B

C

D

M


_______________________________________________________________________________


N


)א"ביב תשסא( 1' מס שאלה

) : מצויי! בנקודות ABCDארבעת קדקודיו של מרובע ) ( ) ( ) ( )A 2,3 , B 2,1 , C 5,7 , D 1,9−

.הוא מלב� ABCDהוכח באופ� אלגברי שהמרובע .א

.חשב את שיעורי נקודת המפגש של האלכסוני! .ב


4הישר 17x y+ חות� את המעגל =

2 2

34x y+ ואת , B �ו Aבנקודות =

).ראה בציור( Nבנקודה �xציר ה

ה� נקודות החיתו� D �ו Cהנקודות , �xמאונכי! לציר ה AD � ו BCהישרי!

.xשלה! ע! ציר

.B �ו Aמצא את שיעורי הנקודות .א

.ABCDלבי� שטח הטרפז BCNחשב את היחס בי� שטח המשולש .ב


) : קודותנתונות שלוש הנ ) ( ) ( )A 3,5 , B 2,1 , C 8, 2.

.יהי מקבילית ABCDכ� שהמרובע Dמצא נקודה רביעית .א

.מצא את שטח המקבילית .ב

)א"קי" תשס( 4' מס שאלה

) שבי� שתי הנקודות ABהקטע ) ( )A 3,7 , B .שוקיי!�מהווה את הבסיס של משולש שווה 1,1–

8נמצאת על הישר BCהצלע 7x y+ =.

.Cמצא את שיעורי הנקודה .א

.ח המשולשטשצא את מ .ב


) :ודות קנבויי! צמ ABCDדיו של מרובע קובעת קדאר ) ( ) ( ) ( )A 2, 3 , B 4,1 , C 8,3 , D 6, 1− −

.במערכת צירי! מתאימה ABCDשרטט את המרובע .א

.ABCDבע רומצא את משוואות האלכסוני! של המ .ב

.וא מעוי�ה ABCDבע רוהמש � אלגבריופאב כחוה .ג

y

x

A

B

C D

N


_______________________________________________________________________________



2נתו� המעגל שמשוואתו 2

20x y+ =.

3הישר .א – 10y x .מצא את שיעורי הנקודות האלה. B � ו Aחות� את המעגל בנקודות =

גובה מצא את משוואת ה. ABCשוקיי! �מהוות את קודקודי הבסיס של משולש שווה B �ו Aהנקודות .ב

.לבסיס

).מצא את שתיה� –יש שתי אפשרויות ( Cמצא את שיעורי הנקודה . נמצא על המעגל הנתו� Cהקודקוד .ג

)ב"קי" תשס( 7' מס שאלה

)הנקודות )A ) �ו 8,5 )B AB שבו ABCשוקיי! �מהוות שני קודקודי! במשולש שווה 0,4 AC=.

4נמצא על הישר BCבסיס המשולש –1.5 y x=.

.BCמצא את משוואת הגובה היורד לבסיס .א

.Cמצא את שיעורי הקודקוד השלישי .ב


)הנקודות )A 1, 1− ) �ו − )B .היא היתר ABשבו הצלע ABCזווית �מהוות שני קודקודי! במשולש ישר 5,7

3אחד הניצבי! במשולש נמצא על הישר 2 y x= +.

.Cמצא את שיעורי הקודקוד השלישי .א

.AB לצלע Cמצא את משוואת התיכו� היורד מ� הקדקוד .ב

)ג"קי" תשס( 9' מס שאלה

) : נתונות הנקודות ) ( ) ( ) A 3,0 , B 2,8 , C 9, 4

.הוא מקבילית ABCDכ� שהמרובע , x � הנמצאת מתחת לציר ה, Dנוספת מצא את שיעורי נקודה .א

.הוא מעוי� ABCDהראה שהמרובע .ב


): ני!נתו ABCזווית �במשולש ישר ) ( ) B 90 , A 7,3 , B 3,0= °�

).ראה ציור( yנמצא על ציר Cהקודקוד השלישי

.Cמצא את שיעורי הקודקוד .א

.היא מלב� ABCDכ� שהצורה Dהשיעורי! של נקודה נוספת מצא את .ב

C

B

A

x

y

O


_______________________________________________________________________________



) שני קודקודי! סמוכי! ה! ABCDבמעוי� ) ( )A 3, 2 , B 6,3.

2נמצא על הישר ACהאלכסו� 7x y+ =.

.BDמצא את משוואת האלכסו� .א

.מצא את נקודת המפגש של שני האלכסוני! .ב

.D � ו Cמצא את שיעורי הקודקודי! .ג

)ה"קי" תשס( 12' מס שאלה


10x y+ =.

4yהישר .א x+ .ABשל המיתר אורכומצא את . B �ו Aחות� את המעגל בנקודות =

. בהתאמה C �ו Dבנקודות xיר אנכי! אלה חותכי! את צ. xמורידי! אנכי! אל ציר B �ו Aמ� הנקודות .ב

.ABCDמצא את שטח המרובע


)נמצאי! בנקודות ABCD שני קודקודי! סמוכי! של המעוי� )A 1, ) �ו 2– )B 10, –1.

–נמצא על הישר BDהאלכסו� 9y x= +.

.ACמצא את משוואת האלכסו� .א

.D �ו Cמצא את שיעורי שני הקודקודי! האחרי! .ב

.ABM מצא את שטח המשולש. את נקודת חיתו� האלכסוני! M � נסמ� ב .ג

)ו"קי" תשס( 14' מס שאלה

).ראה ציור( Mהאלכסוני! נפגשי! בנקודה ABCDבריבוע

3y נמצא על הישר BDהאלכסו� x=.

) נתוני! שיעורי הקודקוד )C 6,3.

.ACמצא את משוואת האלכסו� .א

.Aמצא את שיעורי הנקודה .ב

.BCMמצא את שטח המשולש .ג

A B

C D

M


_______________________________________________________________________________



נמצאי! על נקודות החיתו� של ABCD של המקבילית D �ו Bהקודקודי!

–הישר 6y x= מאונכת לאלכסו� AB הצלע. כמוראה בשרטוט, ע! הצירי! +

BD , והצלעAD 1נמצאת על ישר ששיפועו

–

3

.

.D �ו Bמצא את שיעורי שני הקודקודי! .א

.Aמצא את שיעורי הקודקוד .ב

.Cמצא את שיעורי הקודקוד .ג

)ז"קי" תשס( 16' מס שאלה

ABC )ABשוקיי! �במשולש שווה AC= ( הבסיסBC מצא על הישר נ1

2

y x=.

) נתוני! שיעורי הקודקודי! ) ( )A 0,5 , B –2, –1.

AD הוא הגובה לבסיס.

.ADמצא את משוואת הגובה .א

.Cמצא את שיעורי הנקודה .ב

.ABCמצא את שטח המשולש .ג


) : ה! ABCD שלשה קודקודי! של מעוי� ) ( ) ( )A 5,8 , B 6,0 , C –1, –4 )A ו� C !ה! קודקודי! נגדיי.(

.מצא את המשוואות של אלכסוני המעוי� .א

.Dמצא את שיעורי הקודקוד הרביעי .ב

)ח"קי" תשס( 18' מס שאלה


65x y+ =.

3הישר .א 25y x+ .שיעורי הנקודות האלה מצא את. B � ו Aחות� את המעגל בנקודות =

. Cוחות� את המעגל בנקודה נוספת Aעובר דר� הנקודה , המאונ� לישר הנתו� בסעי$ הקוד!, ישר נוס$ .ב

.Cמצא את משוואת הישר ואת שיעורי הנקודה

.ABCמצא את שטח המשולש .ג

C

B

A

x

y

O

D

A

B

C

D


_______________________________________________________________________________



)נתוני! הקודקוד ABCDבמעוי� )A ) דת חיתו� האלכסוני!ונקו 1,1 )M 3,7.

.BDמצא את משוואת הישר של האלכסו� .א

.Cמצא את שיעורי הקודקוד .ב

8נמצאת על הישר ABהצלע .ג 7y x= .D �ו Bמצא את שיעורי הקודקודי! . −

)ט"קי" תשס( 20' מס שאלה

)הנקודות )A ) �ו −2,1 )B .היא היתר BCשבו הצלע ABCזווית �מהוות שני קודקודי! במשולש ישר 6,7

2נמצא על הישר BCהיתר 5y x= −.

.Cמצא את שיעורי הקודקוד השלישי .א

.ABCמצא את שטח המשולש .ב

.הראה שצלעות המשולש מקיימות את משפט פיתגורס .ג


):ה! ABCD שלשה קודקודי! של מקבילית )A 3, –1 ,( )B –1, ) � ו 2– )C –3,5 )A ו� C !ה! קודקודי! נגדיי.(

.BDואת משוואת האלכסו� Mמצא את שיעורי . את נקודת חיתו� האלכסוני! M � נסמ� ב .א

.Dוד הרביעי מצא את שיעורי הקודק .ב

.BC �מקבילה ל AC � ו BD �מקבילה ל AB �ש, כלומר, הראה שצלעות המקבילית אמנ! מקבילות זו לזו .ג

)ע"קי" תש( 22' מס שאלה

) שני קודקודי! סמוכי! ה! ABCDבמעוי� ) ( )B 3,5 , A 1,2−.

2נמצא על הישר BDהאלכסו� 1y x= −.

.ACסו� מצא את משוואת האלכ .א

.Mמצא את נקודת המפגש של שני האלכסוני! .ב

.D � ו Cמצא את שיעורי הקודקודי! .ג


_______________________________________________________________________________



) שבי� שתי הנקודות ABהקטע ) ( )A 3,5 , B –1, מהווה את הבסיס של −3

BC שבו ABC שוקיי!�משולש שווה AC=.

.ABהינה מרכז הקטע Dהנקודה

3נמצאת על הישר BCהצלע 6 0x y+ + =.

.CDמצא את משוואת הישר .א

.Cמצא את שיעורי הנקודה .ב

.ABCח המשולש טשצא את מ .ג

.או יחסי צלעות נכוני!/ואינו מראה בהכרח כיווני! ו, השרטוט הינו להמחשה בלבד: הערה

)א"קי" תשע( 24' מס שאלה

) כי! ה!שני קודקודי! סמו ABCDבמלב� ) ( )B 1, 3 ,A 2,3− −.

.ADמצא את משוואת הצלע .א

2נמצא על הישר BDנתו� שהאלכסו� .ב 5y x= .Dמצא את שיעורי הקודקוד . −

.Cואת שיעורי הקודקוד Mמצא שיעורי הנקודה . את נקודת המפגש של אלכסוני המלב� M � נסמ� ב .ג


: ני!נתו �ABCD במלב

AB : yהצלע הישר שעליו נמצאת משוואת) 1 x+ =6

AC : yהאלכסו� הישר שעליו נמצא משוואת) 2 x= −3 10

)שיעורי הקודקוד ) 3 )B 8,2

.Aדהמצא את שיעורי הנקו .א

.BCעמצא את משוואת הצל .ב

. D �ו Cהקודקודי!שיעורי מצא את .ג

)ב"קי" תשע( 26' מס שאלה

ABC בו הוא משולש ישר זוויתC=90°�.

): המשולש הקודקודי! שלנתוני! שיעורי שני )A ) �ו 4,3 )C 7,0.

2 היא ABמשוואת הישר עליו מונחת הצלע 10 0x y+ − =.

.B קודקודמצא את שיעורי ה .א

C

B

A

D


_______________________________________________________________________________


.ABCחשב את שטח המשולש .ב

.ABCחשב את היק$ המשולש .ג


_______________________________________________________________________________





1 . א

AB BC

1

AB CD 4.472 , AC BD 6.708 , 2 1

2

a a = = = = ⋅ = − ⋅ = −

. ב

( )E 1.5,5

). א 2 ) ( )A 3,5 , B . ב −5,3BCN ABCD

0.5625S S =

). א 3 )D )או 9,6 )D 7, 23S. ב −2 =

). א 4 )C . ב 7,0ABC

26S =

5

. אAC BD

5 , 5y x y x= − = −

). ב ) ( )AC BD

A C B D

1 1 1 ; 5,0

2 2

a a+ +

⋅ = ⋅ − = − = =

3y. א 6 x= ). ב − )C 2,3 )או −2 )C 2, 3 2−

. א 72 1

3

xy

−). ב = )C 4, 2−

) .א 8 )C 2x. ב 2,8 =

) .א 9 )D 10, . ב −4AC BD AC BD

32

, 1

3 2

a a a a= = − ⇒ ⋅ = −

) .א 10 )C ). ב 0,4 )D 4,7

. א 11BD

2 9y x= ). ב − )M ). ג 5,1 ) ( )C 7,0 ,D 4, 1−

AB. א 12 8 2.828= . ב =ABCD

4S =

. א 13AC

3y x= ). ב − ) ( )C 11,8 ,D . ג 2,7ABM

20S =

. א 14AC

5

3

xy = ). ב − )A . ג −3,6

BCM

11.25S =

) .א 15 ) ( )B 6,0 ,D ). ב 0,6 )A ). ג 9,3 )C 3,3−

. א 16AD

2 5y x= − ). ב + )C 20S .ג 6,3 =

. א 17AC BD

2 2 , 3

2

xy x y= − = ). ב − )D 2, 4−

). א 18 ) ( )A 1,8 , B ). ב 4,7 )3 5 , C 4, 7y x= + − 25S. ג − =

. א 19BD

8

3

xy = ). ב − )C ). ג 5,13 ) ( )B 0,8 ,D 6,6


_______________________________________________________________________________




20 ). א )C 1, . ב −3

ABC

25S =

2. ג 2 2

AB 10 , AC 5 , BC 125 AB AC BC= = = ⇒ + =

). א 21 )M 0, 2 ; 4 2y x= ). ב + )D . ג 1,6AB CD AD BC

71

;

4 2

a a a a= = = = −

. א 223

2

xy

−). ב = )M ). ג 1,1 ) ( )C 3,0 ,D 1, 3− −

. א 23CD

3

:

2

xy y

−). ב = )C 20S. ג −3,3 =

4 .א 24

2

xy = ). ב + )D ). ג 6,7 ) ( )M 3.5,2 , C 9,1

) .א 25 )A 2; 10y .ב −4 x= − ) .ג + ) ( )C 5;5 , D 1; 1− −

). א 26 )B 8,1

. בABC

3S∆ . ג=ABC

10.13p∆ ≈



הדרכה ותרגול – טכנולוגיתהמכינה לה מתמטיק המחלקה ללימודי תעודה_______________________________________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________


))))אאאא""""חדוחדוחדוחדו(((( חשבו� דיפרנציאלי ואינטגראליחשבו� דיפרנציאלי ואינטגראליחשבו� דיפרנציאלי ואינטגראליחשבו� דיפרנציאלי ואינטגראלי: : : : 12121212פרק פרק פרק פרק


ל במתמטיקה במכינה הטכנולוגית פרק מצומצ� בחשבו� דיפרנציאלי "ד נכלל בתוה"ל תשס"החל משנה

עקב , בעקבות בקשות של סגל ההוראה במספר מכללות, הרציונל להכללת הפרק היה. )א"חדו( ואינטגראלי

עקב , ע� זאת. בני� ותעשיה וניהול, מכונות, כחשמל ואלקטרוניקה, י�חשיבות הנושא במספר מסלולי הנדסא

כ" שהמטרה כא� היא בעיקר הכרת , הוא עוסק ביישומי� בסיסיי� ביותר, קוצר הזמ� שנית� להקציב ללימוד זה

� .בהתא� לצרכי המגמה, בעוד שהרחבת� והעמקה בה� תתבצע בלימודי המגמה, המושגי

ומיומנויות נדרשותומיומנויות נדרשותומיומנויות נדרשותומיומנויות נדרשות ותותותותמטרמטרמטרמטר

:כולל את הנושאי� הבאי� א "החדופרק

יסודיסודיסודיסוד מושגימושגימושגימושגי ––––חשבו� דיפרנציאלי חשבו� דיפרנציאלי חשבו� דיפרנציאלי חשבו� דיפרנציאלי ....1111

) :סימו� הנגזרת . הנגזרת ושיפוע המשיק. שיפוע של גרא$ בנקודה 1.1 ) 'f x.

): הנגזרת של פונקצית חזקה 1.2 ) 1

'

n nx nx

).ללא הוכחה(רציונאלי nע� מערי" =−

הנגזרת של פונקציה המוכפלת במספר קבוע והנגזרת של סכו� והפרש של : � כללי גזירה בסיסיי 1.3

:פונקציות

[ ][ ]

( ) ' '( )

( ) ( ) ' '( ) '( )

k f x k f x

f x g x f x g x

⋅ = ⋅

± = ±

1.4 � .חישוב נגזרות –פולינומי

1.5 � .פי השיפוע)מציאת נקודת ההשקה על, מציאת משיק בנקודה –פולינומי

נקודות הקיצו� בעזרת איפיו�; מציאת נקודות קיצו� של פולינומי� ממעלה שלישית לכל היותר 1.6 .הנגזרת השניה

יסודיסודיסודיסוד מושגימושגימושגימושגי ––––חשבו� אינטגרלי חשבו� אינטגרלי חשבו� אינטגרלי חשבו� אינטגרלי ....2222

)ההצגה : מושג הפונקציה הקדומה ; האינטגרציה כפעולה הופכית לגזירה 2.1 ) ( )f x dx F x C= +∫

.ומושג קבוע האינטגרציה

: מסוי� של פונקציית חזקה )האינטגרל הבלתי 2.21

1

n

n xx dx C

n

+

= ++∫.

האינטגרל של פונקציה המוכפלת במספר קבוע והאינטגרל של סכו� : נטגרציה בסיסיי� כללי אי 2.3

:והפרש של פונקציות

[ ]

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

k f x dx k f x dx

f x g x dx f x dx g x dx

⋅ = ⋅

± = ±

∫ ∫∫ ∫ ∫

2.4 � .וערכה בנקודה פי נגזרתה)פונקציה עלמציאת . אינטגרלי�חישוב –פולינומי

2.5 � .בי� שתי נקודות x ) האינטגרל המסוי� ומציאת השטח בי� הגרא$ לבי� ציר ה –פולינומי

חשבו דיפרנציאלי ואינטגראלי: 12פרק הדרכה ותרגול – טכנולוגיתהמכינה למתמטיקה _______________________________________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________


:מתו" כ" נגזרות המיומנויות אות� אנו מבקשי� ללמד בפרק זה

.וכלליה� הכרה בסיסית ע� פעולות הגזירה והאינטגרציה .1

.ומציאת הישר המשיק בנקודה נתונה, הכרת הנגזרת ככלי לחישוב שיפוע .2

.הכרת הנגזרת ככלי למציאת נקודות קיצו� .3

.מציאת הפונקציה הקדומה לפונקציה נתונה –גזירה הכרת האינטגרל כפעולה הפוכה ל .4

5. � .הכרת האינטגרל ככלי לחישוב שטחי

� נקודות שמומל+ לתת עליה� את הדעת בהוראה והכנת התלמידי�נקודות שמומל+ לתת עליה� את הדעת בהוראה והכנת התלמידי�נקודות שמומל+ לתת עליה� את הדעת בהוראה והכנת התלמידי�נקודות שמומל+ לתת עליה� את הדעת בהוראה והכנת התלמידי

בקרה היא ג� בבעיות בנושאי גזירה ואינטגרציה, הנדסה אנאליטיתובדומה ל, כמו בנושאי� אחרי� –בקרה .1

:כלי חיוני

בי� פונקציות לבי� הצירי� או בי� שתי (רו� משוואות למציאת נקודות חיתו" ביצוע בקרה בעת פת .א

.הבקרה צריכה כמוב� להתבצע תמיד במשוואה המקורית). פונקציות נתונות

.שהישר שהתקבל אמנ� עובר דר" הנקודות המתאימות) י הצבה"ע(לוודא –בעת מציאת משוואת ישר .ב

!).ג� א� אינה נדרשת במפורש בגו$ השאלה (ביצוע בקרה יש להקפיד ג� כא� על, כמו במקרי� אחרי� .ג


. בעת ביצוע חישובי� הקפדה על עיגול נכו� .3

.לאחר אוס$ שאלות בחינה מובאות עוד שאלות לתרגול נוס$


חשבו� דיפרנציאליחשבו� דיפרנציאליחשבו� דיפרנציאליחשבו� דיפרנציאלי –––– 1111' ' ' ' דוגמא מסדוגמא מסדוגמא מסדוגמא מס

3נתונה הפונקציה 2

3 7 9y x x x= − − +.

.2מצא את שיעורי שתי נקודות שבה� שיפוע המשיק לפונקציה הינו .א

.מצא את משוואות המשיקי� לפונקציה בנקודות אלה .ב

:פתרו�

: 2 ) נחשב את הנגזרת ונשווה אותה ל לכ�, שיפוע המשיק שווה לער" הנגזרת בנקודת ההשקה. א

( ) 2 2 2

1,2

' 3 6 7 2 3 6 9 0 2 3 0

2 4 12 2 4

3, 1

2 2

f x x x x x x x

x

= − − = ⇒ − − = ⇒ − − = ⇒

± + ±⇒ = = = −

:ונקודות ההשקה ה� , מתאימי� נמצא מהפונקציה הנתונהה yאת ערכי

( ) ( )A 3, 16 ,B 1,8− −( ) ( ) ( )

3 2

1 1

3 2

2 2

3: 3 3 3 7 3 5 27 27 21 5 16

1: 1 3 1 7 1 5 1 3 7 5 8

x y

x y

= = − ⋅ − ⋅ + = − − + = −⇒

= − = − − ⋅ − − ⋅ − + = − − + + =

: את משוואותיה� ומשיעורי הנקודות מקבלי�, )2(שיפועי המשיקי� ידועי� . ב


_______________________________________________________________________________


2 22y x= −( ) ( ) ( )A 3, 16 : 16 2 3 y x− − − = − ⇒

2 10y x= +( ) ( )B 1,8 : 8 2 1 y x− − = − − ⇒

:ת על הישרי� שמצאנו ונוודא שנקודות ההשקה אמנ� נמצא: בקרה

( )( ) ( )

A 3, 16 : 2 3 22 6 22 16

B 1,8 : 2 1 10 2 10 8

y

y

− = ⋅ − = − = −

− = ⋅ − + = − + =

ליליליליאינטגראינטגראינטגראינטגרחשבו� חשבו� חשבו� חשבו� –––– 2222' ' ' ' דוגמא מסדוגמא מסדוגמא מסדוגמא מס

2בשרטוט שלפני" מתואר גרא$ הפרבולה

4y x x= −.

.קו ישר משיק לפרבולה בנקודת המקסימו� שלה

.את משוואת המשיק לפרבולה בנקודת המקסימו� שלה מצא .א

y )י ציר ה"י המשיק וע"ע, י גרא$ הפרבולה"חשב את השטח המוגבל ע .ב

).השטח המקווקו בשרטוט(

:פתרו�

ואמנ� קל לוודא , לפי השרטוט רואי� שהפרבולה עוברת דר" ראשית הצירי�. א

2: זאת

0 4 0 0 0x y= ⇒ = ⋅ − =

:וצאי� כקודקוד הפרבולה מ Aאת שיעורי

( )( )2

A A

4

A: 2 4 2 2 4 A 2, 4

2 1

x y= − = ⇒ = ⋅ − = ⇒⋅ −

4yמשוואתו היא לכ� , Aועובר דר" x ישר המקביל לציר המשיק לקודקוד הינו =.

:השטח המבוקש הינו האינטגרל של ההפרש בי� פונקצית המשיק לבי� פונקצית הפרבולה . ב

8

3

=( ) ( )2

2 23

2 2 2

0 00

8

4 4 4 4 2 4 2 4 4 2

3 3

xS x x dx x x dx x x

= − − = − + = − + = − ⋅ + ⋅ ∫ ∫

ששטחו ACOBכ" שנוצר מלב� , xלציר A ) מ ACלחישוב השטח המבוקש היא להוריד אנ" אחרתדר"

ACOB

2 4 8S = ⋅ : C )ו Oוממלב� זה להוריד את האינטגרל של הפרבולה בי� הנקודות , =

( )2

23

2 2

00

8 8

8 4 8 2 8 8

3 3 3

xS x x dx x

= − − = − − = − − =

∫

.וי את האינטגרל ככלי לחישוב שטחי�דר" זו מביאה יותר לידי ביט

B

A

O

x

y

B

A

O

x

y

C


_______________________________________________________________________________





6 12 4y x x x= − + +.




fהנגזרת של הפונקציה (x) היא :( ) 2

' 6 4 1 f x x x= − +.

.A(1,3)נתו� ג� שגרא$ הפונקציה עובר דר" הנקודה

fמצא את משוואת המשיק לפונקציה .א (x) בנקודהA.

fמצא את הפונקציה .ב (x) המקורית.


2בשרטוט שלפני" מתואר הגרא$ של הפרבולה

2 8y x x= − + +

.yוהצד החיובי של ציר xנמצא בי� הצד החיובי של ציר ה

.Bבנקודה yואת ציר Aבנקודה xהגרא$ חות" את ציר

.B )ו A הנקודות ירועיש תא אצמ .א

.y )ו xהמוגבל בי� הגרא$ לבי� צירי ) המסומ� בשרטוט(חשב את השטח .ב


תבשרטוט שלפני" מתוארי� הגראפי� של הפרבולו

2

6 9y x x= − 2 )ו +

6 9y x x= + +

xבציר ) משיקי�(ונוגעי� Aבנקודה yשני הגראפי� נחתכי� על ציר

.C )ו Bבנקודות

.C )ו A ,B הנקודות ירועיש תא אצמ .א

).מסומ� בשרטוט( xלבי� ציר שתי הפרבולותפי� של חשב את השטח המוגבל בי� הגרא .ב

A

B C

B

A

y

x


_______________________________________________________________________________



3 נתונה הפונקציה 2

2 4y x x x= + + +.

1x עבורה Aמצא את משוואת הישר המשיק לגר$ הפונקציה בנקודה .א = −.

.מקבילי� B )ו Aהמשיקי� בנקודות . היא נקודה נוספת על גר$ הפונקציה B .ב

.Bמצא את שיעורי הנקודה



4 3y x x= − +.

2mישר ששיפועו = .Aמשיק לפרבולה בנקודה −

.A הנקודה ירועיש תא אצמ .א

.Aחשב את משוואת הישר המאונ" למשיק הנתו� בנקודה .ב


2נתונה הפונקציה

3 4 y x x= − + +.

.Bבנקודה y ) ואת ציר ה Aבנקודה x )יה חות" את ציר הגר$ הפונקצ

.ABמצא את משוואת הישר .א

השטח ( ABמצא את השטח המוגבל בי� גרא$ הפונקציה לבי� הישר .ב

).המלא שבציור


)פונקציה )f x 2מקיימת

'( ) 9 4 3f x x x= − 4yבנקודה yנקציה זו חות" את ציר ידוע שהגרא$ של פו. − =.

)הפונקציה תא אצמ .א )f x.

)חשב את משוואת הישר המשיק לפונקציה .ב )f x 1בנקודה שבהx .והנמצאת על גרא$ הפונקציה =


3הפונקציה נתונה 2

3 6 12y x x x= − − +.



x

y

B

A


_______________________________________________________________________________




2 3y x x C= − 5ונתו� הישר + 7y x= −.

.יש לפרבולה ולישר אותו השיפוע xור איזה ער" של חשב עב .א

.Cמצא את הער" של . נתו� ג� שהישר משיק לפרבולה .ב


2בשרטוט שלפני" מתואר גרא$ הפרבולה

4 3y x x= − xהפרבולה חותכת את ציר . −

.xלציר מקביל CDוהקו , היא קודקוד הפרבולה Cהנקודה . B ) ו Aבנקודות

..D )ו, A ,B ,Cמצא את שיעורי הנקודות .א

y ) וציר ה x )י ציר ה"וע CDי הקו "ע, י גרא$ הפרבולה"חשב את השטח המוגבל ע .ב

).השטח המקווקו בשרטוט(


)פונקציה )f x 2מקיימת

'( ) 2 4 5f x x x= − + בנקודה yזו חות" את ציר ידוע שהגרא$ של פונקציה. +

6y = −.

)הפונקציה תא אצמ .א )f x.

)חשב את משוואת הישר המשיק לפונקציה .ב )f x 3בנקודה שבהx .והנמצאת על גרא$ הפונקציה =


2לה נתונה הפרבו

3 2y x x C= − 4ונתו� הישר + 5y x= +.

.יש לפרבולה ולישר אותו השיפוע xחשב עבור איזה ער" של .א



)נתונה הפונקציה ) 3 2

4.5 6y f x x x x C= = − + + )C למצוא בהמש"הוא גודל קבוע שצרי ".(

)נתו� שהגרא$ של פונקציה זו עובר דר" הנקודה )A 3, 2.

.Cמצא את ערכו של הקבוע .א

.מצא את משוואות המשיק לפונקציה בנקודה הנתונה .ב

A )יהיה מקביל למשיק ב B )כ" שהמשיק ב, על גרא$ הפונקציה Bמצא את השיעורי� של נקודה נוספת .ג

).B ) � צור" למצוא את משוואת המשיק באי(

O

C

D

B A

y

x


_______________________________________________________________________________


)א"תשע קי+( 15' מס שאלה


6 7 1y x x x= − + +.

3לגרא$ של הפונקציה הנתונה מעבירי� שני משיקי� המקבילי� לישר .א 2y x= מצא את שיעורי נקודות . −

.ההשקה של משיקי� אלה

5ידוע שהישר .ב 2y x= − �? מה� שיעורי נקודה זו . משיק לפונקציה באחת הנקודות שמצאת בסעי$ הקוד

!נמק


): נתונה הפונקציה ) 3 2

6 4f x x Ax x= + + − )A – פרמטר .(

2x שבה בנקודה x )ידוע כי גר$ הפונקציה חות" את ציר ה =.

) וכתוב את הביטוי המלא של הפונקציה, A של הפרמטרמצא את ערכו .א )f x.

xyלגר$ הפונקציה שני משיקי� המקבילי� לישר .ב .מצא את נקודות ההשקה. =

את משוואת המשיק מצא. שלמי�מספרי� השיעורי� של אחת מנקודות ההשקה שמצאת בסעי$ הקוד� ה� .ג

.בנקודה זו

)ב"תשע קי+( 17' מס שאלה

2: הפרבולה נתונהיור שלפני" אב

8y x x= −.

.היא נקודת המכסימו� של הפרבולה Kהנקודה

.yמקביל לציר BKוהישר , xמקביל לציר AKהישר

S –סמ� ב 1

).השטח המקווקו( xוציר BKהישר , את השטח המוגבל בי� הפרבולה

S –סמ� ב 2

).השטח המנוקד( yוציר AKהישר , בולהאת השטח המוגבל בי� הפר

.B )ו Aהנקודות מצא את שיעורי .א

Sחשב את השטח .ב1

.

Sחשב את השטח .ג2

1חשב את היחס .

2

S

S.

B

K

A

x

y

B


_______________________________________________________________________________


A x

y

B

נוספותנוספותנוספותנוספותשאלות שאלות שאלות שאלות

1' מס שאלה


2 3 9 4y x x x= − − +.

.3נקציה הינו מצא את שיעורי שתי נקודות שבה� שיפוע המשיק לפו .א


2' מס שאלה


4y x x C= − 2ונתו� הישר + 5y x= −.

.יש לפרבולה ולישר אותו השיפוע xחשב עבור איזה ער" של .א


3' מס שאלה

)הנגזרת של הפונקציה )f x היא :( ) 3

' 4 4 6f x x x= − + .

)דר" הנקודה גרא$ הפונקציה עוברנתו� ג� ש )A 1,3.

.Aמצא את משוואת המשיק לפונקציה בנקודה .א

)מצא את הפונקציה .ב )f x.

4' מס שאלה

:י הפרבולות נתונות שת

2

4 8y x x= − 2 )ו +

10 12y x x= − + −.

).B )ו Aהנקודות (מצא את שיעורי הנקודות בה� נחתכות שתי הפרבולות .א

).B )ו Aבי� הנקודות (מצא את השטח המוגבל בתחו� שבי� שתי הפרבולות .ב


_______________________________________________________________________________



שאלות בחינהשאלות בחינהשאלות בחינהשאלות בחינה

שאלה שאלה שאלה שאלה שובהשובהשובהשובהתתתת ''''מסמסמסמס

). א 1 ) ( )A 1,11 ,B A : 3. ב 3,13 8 ; B : 3 4y x y x= + = +

. א 23 2

( ) 2 2 2f x x x x= − + 3y. ב + x=

). א 3 ) ( )A 4,0 ,B . ב 0,880

3

S =

). א 4 ) ( ) ( )A 0,3 ,B 3,0 ,C 18S. ב −3,0 =

3. א 5 5y x= ). ב + )1 22

3 27

B ,4

). א 6 )A . ב 1,01

2

xy

−=

4y. א 7 x= . ב −32

3

S =

. א 83 2

( ) 3 2 3 4f x x x x= − − 2y. ב + x=

). א 9 ) ( )A 3, 6 ,B 1,14− A : 3. ב − 15 ; B : 3 17y x y x= − = +

2x. א 10 1C. ב = =

). א 11 ) ( ) ( ) ( )A 1,0 , B 3,0 ,C 2,1 ,D . ב 0,14

3

S =

. א 123

2

2

( ) 2 5 6

3

xf x x x= − + + 12y. ב − x= −

1x. א 13 8C. ב = =

2.5C. א 14 = 6. ב − 16y x= ). ג − )B 0, 2.5−

). א 15 ) ( )A 1,3 ,B 3, ). ב −5 )A 1,3

) .א 16 ) 3 2

4 6 4f x x x x= − + ) .ב − )1; )ו −15 13

;

3 27

−

2y .ג x= −

). א 17 ) ( )A 0;16 ,B . ב 0;41

2

42

3

S 1. ג =

2

2

1

2, 21

3

SS

S= =


). א 1 ) ( )A 2, 10 , B 1,8− 3. ב − 16 , 3 11y x y x= − = +

3x. א 2 4C. ב = =

6 .א 3 3y x= 4. ב − 2

( ) 2 6 2f x x x x= − + −

). א 4 ) ( )A 2, 4 , B ר"יח 9. ב 5,13



רגולהדרכה ות – טכנולוגיתהמכינה למתמטיקה המחלקה ללימודי תעודה________________________________________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

11מתו� 1 מודע ט"כל הזכויות שמורות למה © 2012 –ג "מהדורת תשע

משולשי�משולשי�משולשי�משולשי� ––––' ' ' ' רמה ארמה ארמה ארמה א ––––טריגונומטריה טריגונומטריה טריגונומטריה טריגונומטריה : : : : 33331111פרק פרק פרק פרק


השאלות בפרק זה באות לבדוק הכרת תכונות בסיסיות של משולשי� ושליטה במיומנויות טריגונומטריות

:בסיסיות

.תיכו� וחוצה זווית במשולש, הגדרה ותכונות של גובה .1

.צלעות!שווה, שוקיי�! שווה, זווית! ישר: תכונות של משולשי� מיוחדי� .2

.סכו� הזוויות במשולש וחישובי זוויות .3

.הגדרה וחישוב של היק$ ושטח .4

.שימוש במשפט פיתגורס .5

זווית והשימוש בה� !במשולש ישר sin ,cos ,tanההגדרות הבסיסיות של הפונקציות הטריגונומטריות .6

.לחישוב צלעות וזוויות

אינ� דורשות שימוש ו, זווית בלבד!רעושות שימוש בטריגונומטריה של משולש ישהשאלות המובאות בפרק זה

.או הקוסינוסי�/במשפטי הסינוסי� ו

ת התלמידי�ת התלמידי�ת התלמידי�ת התלמידי�נקודות שמומל) לתת עליה� את הדעת בהוראה והכננקודות שמומל) לתת עליה� את הדעת בהוראה והכננקודות שמומל) לתת עליה� את הדעת בהוראה והכננקודות שמומל) לתת עליה� את הדעת בהוראה והכנ

, מומל) מאוד להעתיקו למחברת העבודה או הבחינה, ג� א� מופיע שרטוט בגו$ השאלה – שרטוט הבעיהשרטוט הבעיהשרטוט הבעיהשרטוט הבעיה .1

פתרו� בעיות הנדסיות הינו שרטוט מדויק ככל חלק אינטגרלי של .בפרט א� נדרשת הוספת בניית עזר

מטרת שרטוט כזה הינה קוד� כל . ג� א� השרטוט לא נדרש במפורש בגו$ השאלה, האפשר של נתוני הבעיה

בבחינה ממחיש . ושרטוט נכו� הינו כבר צעד נכבד בדר( לפתרו�, להמחיש לפותר את הבעיה העומדת לפניו

הקפדה על שרטוטי� ברמה ישבהערכת הבחינות .בח� את הבעיההשרטוט למערי( את מידת ההבנה של הנ

:בפרט .נאותה בבעיות הנדסיות

.יש להשתמש בסרגל לשרטוט קוי� ישרי� )א

אבל רצוי מאד לשי� (וית וז!כ( במד! ויות יכול להיות איכותי בלבד ואי� צור( להשתמש לש�ושרטוט של ז )ב

).או קהותויות ישרות וובפרט לז, לב לגודל היחסי של הזויות

במקרי� בה� נדרש חישוב של זווית מתו( – שימוש במחשבו� לחישוב זוויות מתו( קשרי� טריגונומטריי�שימוש במחשבו� לחישוב זוויות מתו( קשרי� טריגונומטריי�שימוש במחשבו� לחישוב זוויות מתו( קשרי� טריגונומטריי�שימוש במחשבו� לחישוב זוויות מתו( קשרי� טריגונומטריי� .2

זווית !שנתו� משולש ישר, לצור( הדוגמא, נניח: מומל) לבצע את החישוב באופ� הבא , קשר טריגונומטרי

ABC ע� אור( הניצבAB 6.45m= ואור( היתרBC 7.58m= , ואנו נדרשי� לחשב את הזוויתACB� .

הקשר הטריגונומטרי המתאי� הוא

AB 6.45

sin ACB

BC 7.58

= =�

:את אופ� החישוב המומל) נרשו� באופ� הבא

1 1

AB 6.45

ACB sin sin ...

BC 7.58

− − = = =

�

B

A

C

'מ 7.58

'מ 6.45

משולשי� –' רמה א – טריגונומטריה: 13פרק הדרכה ותרגול – טכנולוגיתהמכינה למתמטיקה ________________________________________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________


1במחשבו� הפעולה

sin

1, בצורה דומה( shift-sinמשמעותה −

cos

1 !ו shift-cosמשמעותה −

tan

−

בפועל נחשב בעזרת המחשבו� את ). shift-tanמשמעותה 6.45

7.58

ונקבל את shift-sinכ נלח) על "ומיד אח,

ACBבמקרה הנתו� (ער( הזווית 58.31≈ °�.(

וצרי( להקפיד , )DEG ,RAD ,GRA(יש לשי� לב שהמחשבוני� מכירי� מספר אופני חישוב של זוויות .3

.לקבלת תוצאה נכונה DEGשהמחשבו� מכוו� תמיד על

הקפדה על עיגול ! במקרי� רבי� מתגלה איהסיבה להמלצה על אופ� חישוב זה היא ש – הקפדה על עיגול נכו�הקפדה על עיגול נכו�הקפדה על עיגול נכו�הקפדה על עיגול נכו� .4

נומטריי� בה� החישוב של ער( של פונקציה טריגונומטרית הוא רק חלק מתהלי( נכו� בחישובי� טריגו

הנבחני� מחשבי� , מנת להקל על עצמ�! כנראה על, במקרי� רבי�. החישוב ולא תוצאה העומדת בפני עצמה

פועל יוצא מכ( הוא . א( ללא הקפדה על עיגול נכו� של התוצאה, ערכי ביניי� של פונקציות טריגונומטריות

בחישוב , לדוגמא). וזה כבר עשוי להיות גור� להפסד ניקוד(חתה נוספת ברמת הדיוק של התוצאה הסופית הפ

הבא מקבלי� בחישוב ישיר

[ ]6.2

AC 8.300 cm

sin 48.33

= =°

sin) בדיוק המתאי�(א� במקו� הער( המקורב , לעומת זאת 48.33 0.746986.. 0.7470° = הנבח� ≈

sinמשתמש בער( המקוצ) 48.33 0.74° הוא מקבל ≈

[ ]6.2

AC 8.378 cm

0.74

= ≈

sinמשתמש בער( המקוצ) הנבח� ג� א� 48.33 0.746° שכ�, כבר מועד לשגיאההוא ≈

[ ]6.2

AC 8.311 cm

0.746

= ≈

8.31099 –צע עיגול נכו� וג� כא� בתנאי שבו( 8.31099 !) לוולא קיצ – →8.311 8.310→.(

.בחישובי� של זוויות מתו( קשרי� טריגונומטריי� יש להקפיד על דיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה

בחישובי� טריגונומטריי� אנו נתקלי� פעמי� רבות בכתיבה – הקפדה על משמעת כתיבה מתמטית נכונההקפדה על משמעת כתיבה מתמטית נכונההקפדה על משמעת כתיבה מתמטית נכונההקפדה על משמעת כתיבה מתמטית נכונה .5

כגו�, שגויה מבחינה מתמטית

BF 11.187

tan BHF 1.364 53.76

HF 8.2

= = = = °�

הנכונהבמקו� הכתיבה

BF 11.187

tan BHF 1.364 BHF 53.76

HF 8.2

= = = ⇒ = °� �

,כמו שהמלצנו קוד�, פשוט, או

1 1

BF 11.187

BHF tan tan 53.76

HF 8.2

− − = = = °

�

.נושא הכתיבה המתמטית הנכונה נבדק בעת הערכת הבחינות ועשוי להשפיע על הציו�

ת של אבחנה בי� שיטות שונו) 1: זו צריכה לבוא לידי ביטוי בשני היבטי� ––––הקפדה על שימוש נכו� ביחידות הקפדה על שימוש נכו� ביחידות הקפדה על שימוש נכו� ביחידות הקפדה על שימוש נכו� ביחידות .6

–שימוש ביחידות המתאימות לגודל הגיאומטרי ; ) וכל שאר היחידות הנגזרות מכ(', מ מול מ"ס(יחידות

.לשטחי�) 2סמ(ר"סמ)/2מ(ר"מ, מ לקטעי�"ס/'מ, מעלות לזוויות


_______________________________________________________________________________


לדוגמאלדוגמאלדוגמאלדוגמאשאלות שאלות שאלות שאלות


ABC )C תיוזו!רשי שלושמב 90= :נתוני� ) �°

= ACמ"ס 12 הניצב) 1

2 (AD �מ"ס 16וארכו , הוא תיכו.

.ABCש ולשמה היק$ תא אצמ .א

.DABבמשולש ותיווזה תא אצמ .ב

:פתרו�

BDלכ� , תיכו� AD !נתו� ש .א CD= ו! BC 2CD= . אתCD מוצאי� בעזרת משפט פיתגורס במשולשACD

2 2

BD DC 16 12 112 10.583.. 10.58cm= = − = = ≈

BCמכא� הצלע 2CD 2 10.583.. 21.166.. 21.17cm= = ⋅ = מוצאי� שוב בעזרת משפט ABאת היתר . ≈

: ABCהפע� במשולש , פיתגורס

2 2

AB 21.166 12 592 24.331.. 24.33cm= + = = ≈

הוא ABCהיק$ המשולש המבוקש

ABC

AB BC AC 24.331.. 21.166.. 12 57.497.. 57.50cmp∆ = + + = + + = ≈

נחשב ראשית את �ADBלמציאת . א( אינו חוצה זווית, הוא תיכו� AD !צרי( לזכור ש .ב

( )1 1 1

AC 12

ADC sin sin sin 0.75 48.590

AD 16

− − − = = = = °

�

ADB ,כזווית משלימה, ולכ� 180 ADC 131.410 131.41= °− = ° ≈ °� �

ABDאת ABC=� ,ABCאפשר לחשב במשולש �

1 1

AC 12

ABC tan tan 29.5509.. 29.55

BC 21.166

− − = = = ° ≈ °

�

: 180° ! הזווית השלישית משלימה את סכו� הזוויות במשולש ל

BAD 180 ABD ADB 180 29.55 131.41 19.04= °− − = °− °− ° = °� � �

ADB :סיכו� 131.41 , ABC 29.55 , BAD 19.04= ° = ° = °� � �

12cm

D

C A

B

16cm


_______________________________________________________________________________



ABC )Aזווית !במשולש ישר 90= הינו חוצה זווית CDהקטע ) �°

)ACD BCD=� �.(

AC = ,CBD'מ8: נתו� 40= °�

.BCDורכי צלעות המשולש חשב את א .א

.BCDחשב את שטח המשולש .ב

:פתרו�

:נמצא את הזוויות הנדרשות בהמש( .אACB

ACB 90 40 50 ACD BCD 25

2

= °− ° = ° ⇒ = = = °�

� � �

מקבלי� ACDבמשולש AD

tan 25 AD 8 tan 25 3.73046.. 3.7305m

AC

= ° ⇒ = ⋅ ° = ≈

מקבלי� ABDבמשולש AB

tan 50 AB 8 tan 50 9.53403.. 9.5340m

AC

= ° ⇒ = ⋅ ° = ≈

BD לכ� AB AD 9.5340 3.7305 5.8035 5.804m= − = − = ≈

מקבלי� ACDבמשולש AC 8

cos 25 CD 8.82702.. 8.827m

CD cos 25

= ° ⇒ = = ≈°

מקבלי� ABCבמשולש AC 8

sin 50 BC 10.443.. 10.44m

BC sin 50

= ° ⇒ = = ≈°

BD :סיכו� 5.804m , CD 8.827m , BC 10.44m= = =

ואז השטח הוא, כאל גובה חיצוני ACכאל בסיס ואל BD ! נית� להתיחס ל, BCDבמשולש .ב

2

BD AC 5.8035 8

23.214.. 23.21m

2 2

S⋅ ×

= = = ≈

A

B

C

D

40°

8m


_______________________________________________________________________________



)א"תשס אביב( 1' מס שאלה

:נתוני� ו BCהיא אמצע הניצב Dהנקודה ABCזוית !במשולש ישר

= ABמ"ס 15.8אור( היתר ) 1

ABC ויתוהז) 2 62= °�.

.�BAD ויתוהזגודל מצא את .א

.BADמצא את שטח המשולש .ב

)א"קי) תשס( 2' מס שאלה

:י� ננתו ABCוית וז!לש ישרבמשו

, = ACמ"ס 6 הניצב )1

2( BD �מ"ס 5וארכו , תיכו.

.�ABD ויתוהזגודל ת א צאמ .א

.ABCת אור( מחוג המעגל החוס� את המשולש א צאמ .ב


:נתוני� ABC תיווז!רשי שלושמב

= ACמ"ס 12.8 הניצב )1

2( AD מ"ס 14.9וארכו , הוא חוצה זווית.

.ABCבמשולש ותיוזה תא אצמ .א

.DABש ולשמה חטש תא אצמ .ב

)ב"קי) תשס( 4' מס שאלה

ABC )Aזווית ! במשולש ישר 90= חוצה את הצלע Dהנקודה ) �°

AB )AD = BD.(

AC = ,ADC'מ 7.1: נתו� 64= °�

.ABCחשב את זוויות המשולש .א

.BCDשטח המשולש חשב את אורכו ואת. BCDהוא אנ( במשולש DK .ב

15.8cm

D

C

A

B

62°

D

C

A

B

12.8cm

D

C A

B

14.9cm

A B

C

D

K

64°


_______________________________________________________________________________



ABC )Aזווית !במשולש ישר 90= ! נבחרה כ( ש Dהנקודה ) �°

CD = BD.

= AB'מ AC = ,9.6'מ 7.2: נתו�

.DBCחשב את אורכי צלעות המשולש .א

.DBCחשב את מחוג המעגל החוס� משולש .ב


BAC(ת זווי!ישר ABCבמשולש 90= :שבשרטוט נתוני� ) �°

= ABמ"ס 16.3הניצב ) 1

ACBהזווית ) 2 62= °�

3 (AD ליתר ו הגובההוא! AK הוא�ליתר התיכוBC.

.ADמצא את אור( הגובה .א

.DKחשב את אור( הקטע .ב


ABC )Aזווית !במשולש ישר 90= הוא חוצה CDהקטע ) �°

.�ACBהזווית

= AB'מ AC = ,8.6'מ 5.8: אורכי הניצבי� ה�

.�ACBחשב את גודל הזווית .א

.CDחשב את אור( הקטע .ב


A(זווית !ישר ABCבמשולש 90= :שבשרטוט נתוני� ) �°

. = BC'מ 17.5היתר ) 1

ABCהזווית ) 2 28= °�.

.�ACB חוצה את הזווית CDהקטע ) 3

.ADמצא את אור( הקטע .א

.ABCמצא את שטח המשולש .ב

A B

C

D

K

62

o

16.3cm

A B

C

D

5.8m

8.6m

A B

C

D

28

o

17.5m

A B

C

D


_______________________________________________________________________________



ABC )Aזווית !במשולש ישר 90= :וני� נת) �°

BC = 12.4mאור( היתר ) 1

ABCהזוויות ) 2 33= ADC !ו �° 44= °�.

AC ,ABחשב את אורכי הניצבי� .א

.BDחשב את אור( הקטע .ב


ABC )Bזווית !במשולש ישר 90= :נתוני� ) �°

AB = 20.5m !ו AD = 7.3m י�הקטע כיאור) 1

BDCהזווית ) 2 35= °�.

. BCחשב את אורכו של הניצב .א

.�ACDחשב את גודל הזווית .ב


לשתי �A מחלק את זווית הראש ADהגובה ABCבמשולש

CAD :זוויות 34= BAD !ו �° 43= °�.

.AC = 6.7mנתו� אור( הצלע

BCחשב את אור( הצלע .א

.ABחשב את אור( הצלע .ב


מאונ( DE ! הוא הגובה לבסיס ו ADשבו ABCשוקיי� ! משולש שווהנתו�

.ABלשוק

DE = 2.36mאור( הקטע ) 1 :נתוני�

BDEזווית ה) 2 34= °�.

. BCחשב את אור( הבסיס .א

.ABCחשב את שטח המשולש .ב

B A

C

D

35

o

D

A

B

C

6.7m

34

o

43

o

D

A

B C

2.36m

34

o

E

A

B

C

D

33

o

12.4m

44

o


_______________________________________________________________________________



ונתונות הזוויות BCהוא גובה לצלע ADהקטע , ABCבמשולש

ACD 40= ABD !ו �° 25= °�.

. BD = 15.7mנתו� אור( הקטע

. ACאת אור( הצלע חשב .א

.שטח המשולשחשב את .ב


ABC )Aזווית !במשולש ישר 90= :נתוני� ) �°

BDי�הקטע כיאור) 1 18.4m= AC ! ו 32.5m=

CBDהזווית ) 2 34= °�.

.ADחשב את אור( הקטע .א

.�BDC חשב את גודל הזווית .ב


ABC )C תיוזו!רשי שלושמב 90= :נתוני� ) �°

= ACמ"ס 21.8 הניצב) 1

2 (AD �מ"ס 24.7וארכו , הוא תיכו.

.DABש ולשמה חטש תא אצמ .א

.DABבמשולש ותיווזה תא אצמ .ב


ABC )Aזווית !לש ישרבמשו 90= :י� ננתו) �°

= ABמ"ס 12.4 הניצב) 1

2 (CD �מ"ס 8.3וארכו , תיכו.

.�ACD הזווית גודל תא צאמ .א

.BCDת שטח המשולש אחשב .ב

A

B

C

D

34

o

18.4m

32.5m

21.8cm

D

C

A

B

24.7cm

D

B

A

C

12.4cm

8.3cm

D

A

B

C

15.7m

40

o

25

o


_______________________________________________________________________________



ABC )Aזווית !במשולש ישר 90= הינו חוצה זווית CDהקטע ) �°

)ACD BCD=� �.(

CD = ,ADC'מ 6.45: נתו� 65= °�

.ABCחשב את אורכי צלעות המשולש .א

.BDCחשב את שטח המשולש .ב


ABCשוקיי� ! זווית ושווה!לש ישרמשונתו�

)A 90= ).AB = AC !ו �°

.�ACB חוצה את הזווית CDהקטע

.= AD מ"ס 7.35 נתו� אור( הקטע

.ABCת היק$ המשולש א צאמ .א

.BCDת שטח המשולש אחשב .ב


ABC )Aזווית !לש ישרמשוב 90= :נתוני� ) �°

.'מ AC =17.35 ! ו' מ AB =21.44אורכי הניצבי�

.ABהוא תיכו� לצלע CDהקטע

.BCDהמשולש זוויותת א צאמ .א

.BCDת היק$ המשולש אחשב .ב


ABC )Aזווית !לש ישרמשוב 90= :נתוני� ) �°

'מ AB =12.45אור( הניצב

.'מ BC =17.35אור( היתר

.�ABCחוצה את הזווית BDהקטע

.BCDהמשולש זוויותת א צאמ .א

.ABDת שטח המשולש אחשב .ב

A

B

C

D

65°

D B

A

C

7.35cm

D B

A

C

17.35m

21.44m

D

B A

C

'מ 17.35

'מ 12.45


_______________________________________________________________________________



ABC )Cוית וז!במשולש ישר 90= .BCהיא אמצע הניצב Dהנקודה ) �°

:נתוני�

= AC'מ 13.4 צלעאור( ה) 1

CAB ויתוהז) 2 25= °�.

.�ADC ויתוהז גודלמצא את .א

.ABDהמשולש היק$מצא את .ב


ABC )oזווית !במשולש ישר

C :נתוני� .�ABCחוצה את הזווית BDהקטע ) �=90

'מ BC =5.95אור( הניצב ) 1

.'מ BD =7.41אור( הקטע ) 2

.ABCת המשולש מצא את זוויו .א

.ABCחשב את היק$ המשולש .ב


)במשולש שווה שוקיי� )AB AC= ABC ני� נתו:

1 (AD ו ! BE – הנפגשי� בנקודה, זוויות חוצי L.

AC אור( השוק) 2 15 cm=.

BACזווית הראש ) 3 48= °�.

.BDL זוויות המשולש מצא את .א

.BDL מצא את שטח המשולש .ב

.AL הקטע מצא את אור( .ג


ABC )oזווית !לש ישרמשוב

C :נתוני� .ADהעבירו תיכו� ) �=90

'מ BC =15אור( הניצב ) 1

.'מ AD = 8.5אור( הקטע ) 2

.ABחשב את אור( הצלע .א

.ABDלש מצא את שטח המשו .ב

.ABDמצא את זוויות המשולש .ג

13.4m

D

C

A

B

25°

B

'מ 7.41

'מ 5.95

D

A C

A

'מ 8.5

'מ 15

D

B C

L

D

A

C B

15cm

48

o

E


_______________________________________________________________________________





BAD. א 1 13.11= 2. ב �°

∆BAD

25.87cmS =

ABD. א 2 36.87∠ = 3.606cmR. ב ° =

ABC. א 3 28.42 , CAB 61.58

o= = °� 2. ב �

∆ABD

102.6cmS =

ABC. א 4 45.71 , ACB 44.29= ° = °� 2. ב �

∆BCD

12.29m , DK 2.479mS = =

BD. א 5 CD 7.5m , BC 12.0m= = 6.25mR. ב = =

AD. א 6 7.653cm= ב .DK 5.162cm=

ACB. א 7 56.00∠ = CD. ב ° 6.569cm=

AD. א 8 4.937m= 2. ב

∆ABC

63.47mS =

AC. א 9 6.754m , AB 10.40m= BD. ב = 3.406m=

BC .א 10 9.243m= ב .ACD 10.73= °�

BC. א 11 8.926m= ב .AB 7.595m=

BC. א 12 5.693m= 2. ב

∆ABC

12.01mS =

AC. א 13 11.39m= 2. ב

∆ABC

89.41mS =

AD .א 14 29.78m= ב .BDC 132.50= °�

2 .א 15

DAB

126.6cmS∆ ABD. ב = 43.19 , BAD 18.77 , ADB 118.04= ° = ° = °� � �

ACD. א 16 48.33∠ = 2. ב °

BCD

17.11cmS∆ =

AC. א 17 5.846m , BC 9.094m , AB 6.967m= = 2. ב =

∆BCD

12.40mS =

AB. א 18 AC BC 60.58cmp = + + 2. ב =

BCD

92.22cmS =

ABC. א 19 38.98 , BCD 19.31 , BDC 121.71∠ = ° ∠ = ° ∠ = . ב °BCD

58.70mp =

DCB. א 20 45.86 , CBD 22.07 , BDC 112.07= ° = ° = °� � 2. ב �

ABD

31.43mS =

ADC. א 21 76.88= . ב �°ABD

31.70mp =

B. א 22 73.17 , A 16.83= ° = °� 46.17mp. ב � =

BLD .א 23 57 , BDL 33 , ADB 90= ° = ° = °� � 2. ב �

BDL

12.09cmS∆ AL .ג = 9.741cm=

24 AB. א 15.52m= 2 .ב

∆ADB

S =15m

ABD. ג 14.93 , ADB 151.93 , BAD 13.14= ° = ° = °� � �



הדרכה ותרגול – טכנולוגיתהמכינה למתמטיקה י תעודההמחלקה ללימוד_______________________________________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________


מרובעי�מרובעי�מרובעי�מרובעי� � � � � ''''רמה ארמה ארמה ארמה א � � � � טריגונומטריה טריגונומטריה טריגונומטריה טריגונומטריה : : : : 14141414פרק פרק פרק פרק


השאלות בפרק זה באות לבדוק הכרת תכונות בסיסיות של המרובעי� השוני� ושליטה בשימוש במיומנויות

:טריגונומטריות לפתרו� בעיות במרובעי� אלה הנדסיות ו

,)זווית� ישר, שוקי��שווה(י� טרפז כללי וטרפזי� מיוחד, מקבילית, מעוי�, מלב�, הגדרה ותכונות של ריבוע .1

� .דלתו

.חישוב של היק$ ושטח בצורות אלה .2

סכו� הזוויות , שימוש במשפט פיתגורס, בפרט .שימוש בתכונות של משולשי� לפתרו� בעיות במרובעי� .3

.תיכו� וחוצה זווית במשולש, ותכונות של גובה ,במשולש

זווית והשימוש בה� �במשולש ישר sin ,cos ,tanההגדרות הבסיסיות של הפונקציות הטריגונומטריות .4

.לחישוב צלעות וזוויות

ואינ� דורשות שימוש , זווית בלבד�השאלות המובאות בפרק זה עושות שימוש בטריגונומטריה של משולש ישר

.או הקוסינוסי�/במשפטי הסינוסי� ו

נקודות שמומל' לתת עליה� את הדעת בהוראה והכנת התלמידי�נקודות שמומל' לתת עליה� את הדעת בהוראה והכנת התלמידי�נקודות שמומל' לתת עליה� את הדעת בהוראה והכנת התלמידי�נקודות שמומל' לתת עליה� את הדעת בהוראה והכנת התלמידי�

)13כמו בפרק (

בתו) השרטוט להוסי$ .גבי השרטוט� וציו� כל הנתוני� על, תקת השרטוט אל מחברת העבודה או הבחינההע .1

� .את כל בניות העזר שהתלמיד מבצע במהל) הפתרו


3. � . הקפדה על עיגול נכו

.הקפדה על שימוש נכו� ביחידות .4

מרובעי� # 'רמה א #טריגונומטריה : 14פרק הדרכה ותרגול – טכנולוגיתהמכינה למתמטיקה _______________________________________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________




�ראה ( 69°מ והזווית החדה היא בת "ס 37.4אור) הצלע הוא ABCDבמעוי

).ציור

.חשב את שטח המעוי� .א

. שוקיי��הוא שווה ABCEכ) שהטרפז Eמסמני� נקודה ADעל הצלע .ב

.DEחשב את גודל הקטע

� :פתרו

שטח המעוי� הוא, כמו במקבילית. א

2 3 2

AB AC sin BAC 37.4 sin 69 1.306 10 cm

oS = ⋅ ⋅ = ⋅ = ×�

הבסיס שלו וזוויות DE � ש, שוקיי��הוא משולש שווה CDEהמשולש . ב

אל CDמהצלע CK) גובה למשולש(נוריד אנ) . �69° הבסיס שוות ל

ואז בסיס המשולש הינו, ADהצלע

DE 2CD cos CDE 2 37.4 cos 69 26.806 26.81cm= = ⋅ ⋅ ° = ≈�

3. א :תשובות 2

1.306 10 cmS = DE. ב × 26.81cm=


.ABCDשוקיי� � נתו� טרפז שווה

.CD= מ "ס 16 �ו AB= מ "ס 20אורכי הבסיסי� ה�

.= ACמ "ס 22אור) האלכסו� הוא

.ABמאונ) לבסיס CEהקטע

.CEמצא את האור) של .א

.מצא את שטח הטרפז .ב

� :פתרו

, שוקיי��כיוו� שהטרפז הוא שווה. אAB CD 20 16

BE 2cm

2 2

− −= = =,

AEואז AB BE 20 2 18cm= − = − לכ� לפי משפט פיתגורס, זווית�הוא ישר ACEהמשולש .=

2 2 2 2

CE AC AE 22 18 160 12.65cm= − = − = =

: לפי נוסחת השטח . ב( ) ( )

2

AB CD CE 20 16 12.65

227.7cm

2 2

S+ ⋅ + ⋅

= = =

CE. א: תשובות 12.65cm= 2. ב

227.7cmS =

A

B

C

D

מ"ס 37.4

69°

E

D C

B

A

20 cm

16 cm

22 cm

E

A

B

C

D

מ"ס 37.4

69°

E K

K


_______________________________________________________________________________




� .ר"סמ 72הוא ABCDשטחו של מעוי

� .מ"ס 9הוא AC אור) האלכסו

.ית החדה של המעוי�ווחשב את גודל הז .א

.חשב את היק$ המעוי� .ב

)א"קי' תשס( 2' מס שאלה

, מ"ס 24שוקיי� נתו� אור) הבסיס הגדול �בטרפז שווה

.מ"ס 16ואור) הבסיס הקט� , מ"ס 12אור) השוק

.מצא את אור) אלכסו� הטרפז .א

.הטרפז שטחמצא את .ב


ר"מס 250 אוה טחהשש ABCDנתונה מקבילית

� .= BCמ "ס 28 � ו = ABמ "ס 12וצלעותיה ה

.ת גודל הזווית החדה של המקביליתא שבח .א

.ת אורכו של האלכסו� הגדול במקביליתא שבח .ב

)ב"קי' תשס( 4' מס שאלה

� .ר"סמ 245מ ושטח המעוי� הוא "ס 19 הוא הצלע ור)א ABCDבמעוי

.הזווית הקהה של המעוי� גודל תא שבח .א

.ת אורכי האלכסוני� של המעוי�א שבח .ב

B

D

A C

B

D

A

C

מ"ס 24

מ"ס 16

מ"ס 12

B

D

A

C


_______________________________________________________________________________



� :ה� ורכי הצלעותא ABCDבמלב

. = ADמ"ס 24 -ו = ABמ"ס36

.BC = BE �נקבעה כ) ש Eהנקודה

.CDEת זוויות המשולש א שבח .א

.CDEשל המשולש ת היקפוא שבח .ב

)ג"קי' תשס( 6' מס שאלה

.מ"ס 12ואור) מחוגו Mנתו� מעגל שמרכזו בנקודה

AB ו� BC במעגל זה!) לא שווי� (ה� מיתרי�.

� .= BCמ "ס AB = ,8מ "ס 10: נתו

.�ABCמצא את גודל הזווית .א

.MABCחשב את שטח המרובע .ב


�AC אורכי האלכסוני� ה� ABCDבמעוי 18cm=

BD � ו 24cm=.

.זוויות המעוי� גודל חשב את .א

.חשב את היק$ ושטח המעוי� .ב

)ד"קי' תשס( 8' מס שאלה

�ראה ( 72°מ והזווית החדה היא בת "ס 32.7אור) הצלע הוא ABCDבמעוי

).ציור

.המעוי� חשב את שטח .א

. שוקיי�� הוא שווה ABCEכ) שהטרפז Eמסמני� נקודה ADעל הצלע .ב

.DEחשב את גודל הקטע

B

D

A

C

E

A

B

C

M

A

B

C

D

מ"ס 32.7

72°

E


_______________________________________________________________________________



� :אורכי האלכסוני� ה� ABCDבמעוי

. = ACמ"ס 24.5 � ו = BDמ "ס 19.8

.ת זוויות המעוי�א שבח .א

.ת היק$ המעוי�א שבח .ב

)ה"קי' תשס( 10' מס שאלה

BCמאונ) לשוק BDלכסו� הא ABCDשוקיי� �בטרפז שווה

)DBC 90= °�.(

DAB -ו = BCמ"ס14.5 נתו� שאור) השוק הוא 123= °�.

.ת אור) הבסיס הגדול ואור) הבסיס הקט�א שבח .א

.ת שטח הטרפזא שבח .ב


� .ר"סמ 58.32הוא ABCDשטח מלב

.מ"ס 4.5הוא BC אור) הצלע

.ת היק$ המלב�א שבח .א

.�ACD ת גודל הזוויתא שבח .ב

)ו"קי' תשס( 12' מס שאלה

.שוקיי��הוא טרפז שווה ADEB �היא מקבילית ו ABCDבשרטוט שלפני)

BCD ויתווהז, AD = 21.3cm � ו AB = 15.7cm ות המקבילית צלענתוני� 132= °�.

.BEרפז ת אור) בסיס הטא שבח .א

.מקביליתת שטח הא שבח .ב

.BDת אור) האלכסו� א שבח .ג

B

D

A

C

24.5cm

19.8cm

B

D

A

C

4.5cm

B

D

A

C

14.5cm

123°

D A

21.3cm

15.7cm

132°

B

C

E


_______________________________________________________________________________



: בסיסי�נתוני� אורכי ה. ישרות D � ו Aהזוויות ABCDזווית � בטרפז ישר

,= CDמ "ס AB = ,9.4מ "ס 12.7

� .= BDמ "ס 16.3וכ� נתו� אור) האלכסו

.ית החדה של הטרפזומצא את גודל הזו .א

.הטרפז היק$חשב את .ב

)ז"קי' תשס( 14' מס שאלה

A זווית שבו� הוא טרפז ישר ABCDבשרטוט שלפני) D 90= = °� �.

� .BD = CD, שווה באורכו לבסיס התחתו� BDהאלכסו

BDC ויתווהז, BD = 27.4cm אור) האלכסו� נתוני� 52= °�.

.הטרפז זוויותת א שבח .א

.BCת אור) השוק א שבח .ב

.ח הטרפזת שטא שבח .ג


: צלעותנתוני� אורכי ה ABCD מלב�ב

.= ADמ "ס AB = ,16.4מ "ס 12.8

.AM = AKנבחרה כ) שמתקיי� Kוהנקודה , Mהאלכסוני� נחתכי� בנקודה

.�CAD יתומצא את גודל הזו .א

.MKגודל הקטע חשב את .ב

)ח"קי' תשס( 16' מס שאלה

.CDשווה באורכו לבסיס הגדול BDהאלכסו� ABCD שוקיי��בטרפז שווה

�DAB -ו = BDמ"ס22.7 נתוני� אור) האלכסו 118= °�.

.BCת אור) השוק א שבח .א

.ABDת הזוויות במשולש א שבח .ב

C

D

B A

B

D

A

C

52°

27.4cm

B

D

A

C

22.7cm

118°

C

D

B

A

M

K


_______________________________________________________________________________


B

D

A

C

63°

18.5cm


�AD נתוני� אור) הצלע ABCDבמעוי 21.3cm= �BD ואור) האלכסו 35.2cm=.

.חשב את זוויות המעוי� .א

.חשב את היק$ ושטח המעוי� .ב

)ט"קי' תשס( 18' מס שאלה

Aזווית שבו � הוא טרפז ישר ABCDבשרטוט שלפני) D 90= = °� �.

� ).BC )BD = BCשווה באורכו לשוק BDהאלכסו

BD אור) האלכסו� : נתוני� 18.5cm= ,ויתווהז BDC 63= °�.

.הטרפז זוויותת א שבח .א

.ת אורכי צלעות הטרפזא שבח .ב

.ת היק$ הטרפזא שבח .ג


� .ר"סמ 918מ ושטח המעוי� הוא "ס 54 הוא ACור) האלכסו� א ABCDבמעוי

.BDת אור) האלכסו� א שבח .א

�ת הזוית הקהה של המעויא שבח .ב.

.חשב את אור) צלע המעוי� .ג

)ע"קי' תש( 20' מס שאלה

.ישרות C �ו Bהזוויות ABCDזווית � בטרפז ישר

:נתוני� אורכי הצלעות

,= BCמ "ס AD = ,9.9מ "ס 13.5

� .= BDמ "ס 17.3וכ� נתו� אור) האלכסו

.ית החדה של הטרפזומצא את גודל הזו .א

.ת אורכי בסיסי הטרפזא שבח .ב

B

D

A

C

C D

B A

מ"ס 13.5

מ"ס 9.9

מ"ס 17.3

E

C

D

A

B


_______________________________________________________________________________



�BCנתוני� אור) הצלע ABCDבמלב 12.57cm= � .32.74cmואור) האלכסו

לשני חלקי� שווי� CDמחלקת את הצלע Eהנקודה

)CE DE=.(

.ת שטח המלב�א שבח .א

.�CAEת גודל הזווית א שבח .ב

)א"קי' תשע( 22' מס שאלה

� ).ראה ציור( 65°מ והזווית החדה היא בת "ס 35.2אור) הצלע הוא ABCDבמעוי

.חשב את שטח המעוי� .א

חשב . שוקיי�� הוא שווה ABCEכ) שהטרפז Eמסמני� נקודה ADעל הצלע .ב

.AEאת גודל הקטע


)בטרפז שווה שוקיי� )AB||CD ABCD �ראה ( BDהעבירו אלכסו

).יורא

� .AB=12cm ,CD=18cm, AD=9.4cm: נתו

.חשב את גודל� של זוויות הטרפז .א

.שטח הטרפזחשב את .ב

�BDAחשב את גודל הזווית .ג

)ב"קי' תשע( 24' מס שאלה

� � כ) ש ABמונחת על הצלע Eהנקודה ABCDבמלב2

BE AB

3

=.

� ).ראה ציור( E �ו Cומחברי� נקודות , BDמעבירי� אלכסו

�AD: נתו 6cm , CD 18cm= =.

חשב את יחס הקטעי� .אBD

CE

.

.∆BFCהמשולש יותחשב את זוו. Fנפגשי� בנקודה CE �ו BDהקטעי� .ב

B

D

A

C

12.57cm

32.74cm

E

A

B

C

D

מ"ס 35.2

65°

E

B

C

18cm

A

D

12cm

9.4cm

C

B

6cm

18cm

E

F

D

A


_______________________________________________________________________________





B. א 1 D 58.72= = °� 36.72cmp. ב � =

AC. א 2 22.98cm= 2. ב

226.3cmS =

A. א 3 C 48.08= = °� AC. ב � 37.11cm=

B. א 4 D 137.26= = °� AC. ב � 35.39cm , BD 13.85cm= =

DCE. א 5 45 , CDE 63.43 , CED 71.57= ° = ° = °� � 96.77cmp. ב � =

ABC. א 6 135.90= 2. ב �°

MABC

99.80cmS =

B. א 7 D 73.74 , A C 106.26= = ° = = °� � � 2. ב �

60cm , 216cmp S= =

2. א 8

ABCD

1017cmS DE. ב = 20.21cm=

B. א 9 D 102.11 , A C 77.89= = ° = = °� � � 63.00cmp. ב � =

AB. א 10 10.83cm , CD 26.62cm= 2. ב =

227.7cmS =

34.92cmp. א 11 ACD. ב = 19.15= °�

CE. א 12 21.01cm= 2. ב

248.5cmS BD. ג = 33.88cm=

CED. א 13 72.10= 43.05cmp. ב �° =

ABC. א 14 116 , BCD 64∠ = ° ∠ = BD. ב ° 24.02cm= 2. ג

477.9cmS =

CAD. א 15 37.97= MK. ב �° 6.768cm=

BC. א 16 21.31cm= ב .ABD 56 , ADB 6

o o∠ = ∠ =

17 ADC. א 68.561 , BAD 111.439∠ = ° ∠ = °

2. ב

85.2cm , 422.297cmp S= =

18 BCD. א 63 , ABC 117∠ = ° ∠ = °

AB. ב 8.399cm , CD 16.80cm , AD 16.48cm= = 60.18cmp. ג = =

BD. א 19 34cm= ב .ADC 115.61= AC. ג �° 31.91cm=

BAD. א 20 47.167= CD. ב �° 14.19cm,AB 23.37cm= =

2. א 21

380.0cmS CAE. ב = 17.17= °�

3. א 22 2

1.123 10 cmS = AE. ב × 5.45cm=

23 C .א D 71.39 ; A B 108.61= = ° = = °� � � 2 .ב �

133.6cmS =

BDA .ג 40.68= °�

. א 24BD

1.414

CE

FBC. ב = 71.565 , FCB 63.435 , BFC 45= ° = ° = °� � �




_______________________________________________________________________________


''''רמה ברמה ברמה ברמה ב ––––טריגונומטריה טריגונומטריה טריגונומטריה טריגונומטריה : : : : 55551111פרק פרק פרק פרק

מרובעי� ומצולעי� משוכללי�מרובעי� ומצולעי� משוכללי�מרובעי� ומצולעי� משוכללי�מרובעי� ומצולעי� משוכללי�, , , , משולשי�משולשי�משולשי�משולשי�


המרובעי� המשולשי� ושל יה�תכונותבנוס" להכרת . 14 � ו 13פרק זה הינו המש� והרחבה לשאלות בפרקי�

כולל הפרק ג� הכרת , בהנדסת המישורהשוני� ושליטה בשימוש במיומנויות טריגונומטריות לפתרו$ בעיות

השאלות בפרק זה באות לבדוק , כ"בסה). מתומ$, משושה, מחומש(כונות בסיסיות של מצולעי� משוכללי� ת

:הכרה ושליטה של

כולל , ומשולשי� כלליי�) צלעות�שווה, שוקיי��שווה, זווית� ישר(הגדרה ותכונות של משולשי� מיוחדי� .1

.)טריגונומטריות של זוויות קהותהכרת זוויות קהות ועבודה ע� הפונקציות ה( זווית�משולשי� קהי

.משפטי הסינוסי� והקוסינוסי� ושימוש� לחישובי� במשולשי� .2

,)זווית�ישר, שוקי�� שווה(טרפז כללי וטרפזי� מיוחדי� , מקבילית, מעוי$, מלב$, הגדרה ותכונות של ריבוע .3

.דלתו$

.בדמשוכללי� בל – מתומ$, משושה, מחומש –הגדרה ותכונות בסיסיות של מצולעי� .4

.שימוש בתכונות של משולשי� לפתרו$ של בעיות במרובעי� ובמצולעי� .5

.של היק" ושטח בצורות אלה י�חישוב .6

את הדעת בהוראה והכנת התלמידי�את הדעת בהוראה והכנת התלמידי�את הדעת בהוראה והכנת התלמידי�את הדעת בהוראה והכנת התלמידי� נקודות שמומל+ לתת עליה$נקודות שמומל+ לתת עליה$נקודות שמומל+ לתת עליה$נקודות שמומל+ לתת עליה$

)14 �ו 13בהמש� ובנוס" לנקודות אשר פורטו בפרקי� (

:כלליות לעבודה בחישובי� הנדסיי� נקודות .1

בתו� השרטוט . גבי השרטוט�וציו$ כל הנתוני� על, ל מחברת העבודה או הבחינההעתקת השרטוט א .א

.להוסי" את כל בניות העזר שהתלמיד מבצע במהל� הפתרו$

.הקפדה על משמעת כתיבה מתמטית נכונה .ב

. הקפדה על עיגול נכו$ .ג

.הקפדה על שימוש נכו$ ביחידות .ד

וצרי� לדעת להיזהר , ותתרונות וחסרונה$ למשפט הסינוסי� וה$ למשפט הקוסינוסי� יש י, בפרט .2

:מהמלכודות

כיוו$ שהוא מכיל ריבועי� וחיבור או חיסור של מחוברי� , השימוש במשפט הקוסינוסי� הוא מורכב .א

וכיוו$ שצרי� לזכור שהקוסינוס של זוויות קהות הוא מספר שלילי שצרי� לקחת בחשבו$ את , שוני�

.הסימ$ שלו

אול� צרי� לזכור שהסינוס אינו מבדיל בי$ זוויות חדות , פשוט יותר החישוב בעזרת משפט הסינוסי� .ב

אול�, אי$ כל בעיה ע� חישוב צלעות בעזרת משפט הסינוסי� כאשר הזוויות ידועות. לזוויות קהות

א� איננו . שמדובר בזווית חדה תבוודאונשתמש במשפט הסינוסי� לחישוב זוויות רק כאשר אנו יודעי�

'ברמה # טריגונומטריה: 15פרק הדרכה ותרגול – טכנולוגיתהמכינה למתמטיקה _______________________________________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________


טוב � לשי� לב טוב, למרות מורכבותו, מש במשפט הקוסינוסי� לחישוב הזוויתבטוחי� עדי" להשת

.וא� הקוסינוס יוצא שלילי אז הזווית היא בהכרח קהה, לסימני�

לא נית$ להשתמש במשפט והזוויות אינ$ ידועות בבעיות בה$ נתוני� במשולש רק אורכי הצלעות .ג

שבמשולש יכולה , ע� זאת, צרי� לזכור .סינוסי�השתמש במשפט הקואי$ ברירה וחייבי� לואז , הסינוסי�

הזווית הגדולה , ובכל מקרה; והיא אז הזווית הגדולה ביותר, רק זווית קהה אחת –לכל היותר –להיות

לכ$ נחשב בעזרת משפט הקוסינוסי� את הזווית מול . ביותר נמצאת תמיד מול הצלע הגדולה ביותר

. בעזרת משפט הסינוסי�, לפי הצור�, ר הזוויותכ נחשב את שא"ואח, הצלע הגדולה במשולש

ג� בפתרו$ בעיות הנדסיות וטריגונומטריות , בפתרו$ משוואות, כלל�בדר�, למרות שלא מדובר כא$: בקרה .3

א לוודא יה דר�ה, בעקרו$. קיימות מספר דרכי בקרה הנסמכות על תכונותיה� של המשולשי� והמרובעי�

אחת לא הכרחית מספיק שתכונה –או המרובע /ונות המשולש ותכ כלשהפתרו$ שקיבלנו מקיי� את

:דוגמא לתכונות העיקריות אשר חובה לבדוק שה$ מתקיימות . קיימת כדי להצביע על שגיאה בפתרו$מת

.180° תמיד סכו� הזוויות במשולש צרי� להיות .א

והפרש כל שתי צלעות תמיד קט$ מהצלע ,במשולש סכו� כל שתי צלעות תמיד גדול מהצלע השלישית .ב

.השלישית

והזווית הקטנה ביותר נמצאת , הזווית הגדולה ביותר במשולש נמצאת תמיד מול הצלע הגדולה ביותר .ג

.תמיד מול הצלע הקטנה ביותר

.או זווית קהה אחת, במשולש יכולה להיות לכל היותר זווית ישרה אחת .ד

.360° סכו� הזוויות במרובע צרי� להיות תמיד .ה


_______________________________________________________________________________



1' מס שאלה

. °142הזווית הקהה היא בת ABCDבמקבילית

.מ"ס 12.8הוא ADמ ואור� הצלע "ס 16.7אור� האלכסו$ הגדול הוא

.�ADB חשב גודל הזווית .א

.ABחשב אור� הצלע .ב

.ACחשב את אור� האלכסו$ .ג

:פתרו$

!) :האלכסו$ הגדול הוא מול הזווית הקהה (את הנתוני� נשרטט ראשית את המקבילית ונוסי" בה. א

לא נית$ לחשב אותה באופ$ ישיר בעזרת משפט הסינוסי� כיוו$ שאור� . ABDמוגדרת במשולש �ADBהזווית

בעזרת �ABDולכ$ נחשב ראשית את הזווית , ידועי� BD � ו ADא� אורכי הצלעות . עאינו ידו ABהצלע

:משפט הסינוסי�

AD BD AD sin142 12.8 sin142

sin ABD 0.471884

sin ABD sin142 BD 16.7

ABD 28.1567.. 28.16

⋅ ° ⋅ °= ⇒ = = = ⇒

°⇒ = ≈ °

��

�

ADB :מוצאי� בעזרת סכו� הזוויות במשולש �ADBואת הזווית 180 142 28.16 9.84= °− °− ° = °�

:נחשב בעזרת משפט הסינוסי� ABאת הצלע . ב

AB BD 16.7 sin 9.84

AB 4.6356.. 4.636cm

sin ADB sin142 sin142

⋅ °= ⇒ = = ≈

° °�

הזווית מול האלכסו$ היא . ACDנמצא כעת בעזרת משפט הקוסינוסי� במשולש ACאת אור� האלכסו$ . ג

ADC הזווית החדה במקבילית 180 142 38= °− ° = במקבילית צלעות נגדיות שוות באורכ$ ולכ$ . �°

CD AB 4.636cm= ומקבלי�, ≈

2 2 2 2 2

AC AD CD 2AD CD cos ADC 12.8 4.636 2 12.8 4.636 cos38

91.8101.. AC 9.581729.. 9.582cm

= + − ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ° =

= ⇒ = ≈

�

2' מס שאלה

.מ"ס 40 �ו, מ"ס 30, מ"ס 20צלעותיו של משולש ה$ שולשאורכי

.מצא את כל זוויות המשולש

:פתרו$

:כיוו$ ששרטוט כזה איננו נתו$ בשאלה , של המשולש) איכותי(נכי$ קוד� שרטוט . א

A

B

C

D

°142

מ"ס 12.8

מ"ס 16.7

A

C

B

D


_______________________________________________________________________________


. הכלי הנכו$ להשתמש בו הוא משפט הקוסינוסי� ובעזרתו נמצא את הזוויות, אורכי הצלעות כיוו$ שנתוני� רק

, א� הנכו$ הוא להתחיל ע� הזווית הגדולה ביותר, נית$ להשתמש במשפט הקוסינוסי� עבור כל זווית, לכאורה

, משפט הקוסינוסי� נית$ לזהות אותה רק בעזרת) וא� יש כזו אז היא יחידה(משו� שא� יש במשולש זווית קהה

:ת וזווישלוש הל י�קבלכ מ"בסה. כי קוסינוס של זווית קהה הוא שלילי

2 2 2

2 2 2

2 2 2

20 30 40 400 900 1600 300

cos A 0.25 A 104.4775.. 104.48

2 20 30 1200 1200

20 40 30 400 1600 900 1100 11

cos B 0.6875 B 46.567.. 46.57

2 20 40 1600 1600 16

30 40 20

cos C

2 30 40

+ − + −= = = − = − ⇒ = ≈ °

⋅ ⋅+ − + −

= = = = = ⇒ = ≈ °⋅ ⋅+ −

=⋅ ⋅

�

�

900 1600 400 2100 7

0.875 C 28.955.. 28.96

2400 2400 8

+ −= = = = ⇒ = ≈ °�

: 180° �נשתמש בתכונה שסכו� הזוויות במשולש חייב להיות שווה ל, כבקרה

A B C 104.48 46.57 28.96 180.01+ + ≈ °+ °+ ° = °� � �

, בתחו� שגיאת העיגול, לכ$. והשגיאה נובעת מהעיגולי� שביצענו, 0.01° � ב 180° �התוצאה שקיבלנו שונה מ

).א� היינו מבצעי� שגיאת חישוב אז השגיאה היתה גדולה בהרבה(התוצאה נכונה

. רת משפט הסינוסי�דר� חלופית היא למצוא זווית אחת בעזרת משפט הקוסינוסי� ואת שאר הזוויות בעז ☺

, התוצאות צריכות להיות). במקרה שלנו �Aהזווית (במקרה כזה חובה להתחיל ע� הזווית הגדולה ביותר

כל הזוויות , כלומר( הזוויות 3תלוי את �מומל+ תמיד לחשב בנפרד ובאופ$ בלתי, זאת�ע�. זהות, כמוב$

שא� טעינו בחישוב הזווית הראשונה ומחשבי� את שאר הזוויות משו�, )באמצעות משפט הקוסינוסי�

.אז אנו גוררי� שגיאה מיותרת�בהסתמ� עליה כי

.הזוויות ואז להשתמש בסכו� הזוויות ככלי בקרה 3הדר� הנכונה היא לחשב במפורש את כל , בכל מקרה ☺

A

B C

מ"ס30

מ"ס 20

מ"ס 40


_______________________________________________________________________________




:נתוני� אורכי הצלעות ABCDבטרפז

,= BCמ "ס AB = ,5מ "ס 8

.= ADמ "ס CD = ,7מ "ס 19

.�DCB יתומצא את הזו .א

]Bאו Aהעבר מקביל לשוק דר� אחת הנקודות : רמז [

.ACחשב את אור� האלכסו$ .ב

)א"קי+ תשס( 2' מס שאלה

.מ"ס 40 �ו, מ"ס 35, מ"ס 15צלעותיו של משולש ה$ שולש

.מצא את כל זוויות המשולש .א

.מ"ס 35 שארכהאת אורכו של חוצה הזווית היורד אל הצלע מצא .ב


והזווית בי$ האלכסו$ לבסיס , CD= מ "ס 12 �ו AB= מ "ס 18אורכי הבסיסי� ה� ABCDשוקיי� � בטרפז שווה

28הקט$ היא

o.

.את הנקודה בה נפגשי� אלכסוני הטרפז O � נסמ$ ב

.ת הנתוני� בשרטוטוציי$ א) שרטוט סכימתי(שרטט את הטרפז .א

.OABמצא את היק" המשולש .ב

.מצא את אור� השוק של הטרפז .ג

)ב"קי+ תשס( 4' מס שאלה

.מ"ס 12משוכלל שגודל צלעו ) צלעות 8מצולע בעל (נתו$ מתומ$

.ABCDחשב את שטח הטרפז .א

חשב . לשני חלקי� שווי� �DAGחוצה את הזווית AMהקטע .ב

� הקטע בכמה גדול אורMD הקטע � .GMמאור

D

C

B A

A

F

E

D

C B

H

G

M


_______________________________________________________________________________



שוקיי��ה� שווי ACD �ו ABCבנוי כ� שהמשולשי� ABCDטרפז

)AD CD , AC BC= =(.

CD = ,DACמ"ס 12: נתו$ 40= °�.

.ABCDחשב את זוויות הטרפז .א

.ABCDחשב את שטח הטרפז .ב

.BDחשב את אור� האלכסו$ .ג

)ג"קי+ תשס( 6' מס שאלה

.מ"ס 24 �מ ו"ס 16, מ"ס 12: נתו$ משולש שאורכי צלעותיו ה�

.מצא את זוויות המשולש .א

.במשולש הזווית הגדולהמצא את אורכו של הקטע החוצה את .ב


,שוקיי� השוני� זה מזה�עפיפו$ נוצר כצירו" של שני משולשי� שווי

.BC = DC �ו AB = AD :כ� ש

CM: כ$ ידוע ש �מוכ 2 AM= מגובה 2הגובה של המשולש התחתו$ גדול פי ( ⋅

).המשולש העליו$

DAB: נתו$ 72= . = ABמ "ס 32, �°

.AC � ו BDמצא את גודל אלכסוני העפיפו$ .א

.ABCDמצא את שטח העפיפו$ .ב

חשב את אור� הסרט . ונימבקשי� לקשט את העפיפו$ ולהקיפו בסרט צבע .ג

).היק" העפיפו$(


132הזווית הקהה היא בת ABCDבמקבילית

o.


.�ADB חשב את גודל הזווית .א

.ABחשב את אור� הצלע .ב

.ACחשב את אור� האלכסו$ הקצר .ג

A

B

C

M

D

72

o

32cm

A

B

C

D

132

o

מ"ס 18.4

מ"ס 14.3

A B

C D 12cm

40

o


_______________________________________________________________________________


)ה"ביב תשסא( 9' מס שאלה

.ABCDשוקיי� � נתו$ טרפז שווה

.CD= מ "ס 16 �ו AB= מ "ס 20אורכי הבסיסי� ה�

.= ACמ "ס 22אור� האלכסו$ הוא

.מצא את הזווית בי$ האלכסו$ לבסיס הגדול .א

.מצא את היק" הטרפז .ב



o.

ABואור� הצלע הקצרה מ "ס 24.3הוא ACאור� האלכסו$

.מ"ס 16.7הוא

.�ACB חשב את גודל הזווית .א

.ADחשב את אור� הצלע .ב

.חשב את שטח המקבילית .ג


Fוהנקודה ABהיא אמצע הצלע Eר הנקודה "סמ 225ששטחו ABCDבריבוע

.BCהיא אמצע הצלע

.DEF ולששאורכי הצלעות של הממצא את .א

.DEFואת שטח המשולש �EDFמצא את גודל הזווית .ב


.מ"ס 42.5 אור� צלעוש ABCDE נתו$ מחומש משוכלל

.BDאלכסו$ ה �אורמצא את .א

� ו CM, לשני קטעי� לא שווי� CFמחלק את הגובה BDהאלכסו$ .ב

FM . הטרפז חשב את אורכי שני הקטעי� ומצא את היחס בי$ שטח

ABDE לבי$ שטח המשולשBCD.

D C

B

A

20 cm

16 cm

22 cm

D

C

B A

E

F

A

B

C

D

125

o

מ"ס 24.3

מ"ס 16.7

A

B

C

E

D

F

M


_______________________________________________________________________________



.מ"ס 22.5משוכלל שגודל צלעו ) צלעות 8מצולע בעל (נתו$ מתומ$

.ABCDחשב את שטח הטרפז .א

.BH �ו BEחשב את הזווית שבי$ האלכסוני� .ב


ACB ויתווהז, AC = 31.7cm, AB = 18.5cm תצלעוה כיאורנתוני� ABC במשולש 25= °�.

.היא זווית קהה �ABC הזווית

.ABCמצא את זוויות המשולש .א

.BDחשב את אור� . ACהוא התיכו$ לצלע BD .ב




.מ"ס 35 שארכההזווית היורד אל הצלע מצא את אורכו של חוצה .ב


.מ"ס 17.5שגודל צלעו ABCDEFמשוכלל )צלעות 6מצולע בעל ( משושהנתו$

.AD �ו ACהאלכסוני� אורכיחשב את .א

.ACDשטח המשולש חשב את .ב



o.

.מ"ס 21.6הוא ABמ ואור� הצלע הקצרה "ס 37.1א הו ADאור� הצלע הארוכה

.ACחשב את אור� האלכסו$ .א

.�CAD חשב את גודל הזווית .ב


A

F

E

D

C B

H

G

A

B

C

D

112

o

מ"ס 37.1

מ"ס 21.6

B

A C

25

o

31.7cm

18.5cm

D

A

F E

D

C B


_______________________________________________________________________________



ACאורכי האלכסוני� ה� ABCDבמקבילית 12.4cm= ו � BD 17.8cm=.

oהזווית החדה שבי$ האלכסוני� היא

AMB 62=�.

.חשב את אורכי צלעות המקבילית .א

.שטח המקביליתחשב את .ב

.�ABDגודל הזווית חשב את .ג


: ABCDשוקיי� � נתו$ טרפז שווה

.BC =AD= מ "ס 23.5אורכי השוקיי� ה� ) 1

ABCזווית הבסיס היא )2 62.3= °�.

.CD= מ "ס 16.3אור� הבסיס הקט$ הוא ) 3

.חשב את אור� הבסיס הגדול .א


.ACאור� האלכסו$ חשב את .ג


).מרכז המעגל – M(ומעגל חסו� בתוכו ABCDEנתו$ מחומש משוכלל

.מ"ס 23.7אור� רדיוס המעגל הוא

.חשב את אור� צלע המחומש .א

.ADחשב את אור� אלכסו$ המחומש .ב


AC, שוקיי��ה� שווי ACD �ו ABCבנוי כ� שהמשולשי� ABCDטרפז BC= ו� AD CD=.

AC: נתו$ 23.4cm = ,ACD 41.4= °�.


.ABCDחשב את היק" הטרפז .ב

לא מופיע ( BDחשב את אור� האלכסו$ .ג

).בשרטוט

D C

B

A

23.5cm

16.3cm

23.5cm

62.3°

A

B

C

D E

M

A

B

C

D

23.4cm

41.4°

A

B

C

D

62

o

מ"ס 17.8

מ"ס 12.4

M


_______________________________________________________________________________



והזווית בי$ האלכסו$ לבסיס , CD= מ "ס 9 � ו AB= מ "ס 15אורכי הבסיסי� ה� ABCDשוקיי� �בטרפז שווה

.34° הקט$ היא

.מצא את אור� אלכסו$ הטרפז .א

.מצא את אור� השוק של הטרפז .ב

.מצא את גודל הזוויות שליד הבסיס הגדול של הטרפז .ג


AC : נתו$ ABCבמשולש 11cm, AB 14cm, BAC 63= = = °�

.המשולשהאחרות של יות וזושתי החשב את . א

.A חשב את אורכו של התיכו$ היוצא מהקודקוד. ב

: פתרו$

:בעזרת משפט הקוסינוסי� BCנחשב תחילה את . א

2 2 2 2 2

BC AB AC 2 AB AC cos A 14 11 2 14 11 cos 63 177.171

BC 177.171 13.311 13.31cm

= + − ⋅ ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ° ≈

⇒ = = ≈

�

, להשתמש במשפט הקוסינוסי� או במשפט הסינוסי�, לכאורה, למציאת הזוויות האחרות של המשולש אפשר

:נשתמש במשפט הקוסינוסי� , אול� כיוו$ שהזווית מול הצלע הגדולה במשולש איננה ידועה

2 2 2 2 2

1

AC BC AB 11 177.171 14

cos C C cos 69.580 69.58

2 AC BC 2 11 13.311

− + − + −= ⇒ = = ≈ ° ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

� �

:את הזווית השלישית נחשב בעזרת משפט הסינוסי�

1

AC BC AC sin A 11 sin 63

sin B B sin 47.420 47.42

sin B sin A BC 13.311

−⋅ ⋅ ° = ⇒ = ⇒ = ≈ ≈ °

��

� �

A סכו� הזוויות הוא אמנ�: בקרה B C 63.00 47.42 69.58 180+ + = °+ °+ ° = °� � �

מקבלי� , הוא תיכו$ AD � כיוו$ ש. BCאת מרכז הצלע D � נסמ$ ב. ב13.311

BD DC 6.655cm

2

= = =.

: ACDסינוסי� במשולש נשתמש במשפט הקו

2 2 2 2 2

AD AC CD 2 AC CD cos C 11 6.655 2 11 6.655 cos 69.58 114.208..

AD 114.208 10.6868... 10.69cm

= + − ⋅ ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ° ≈

= = ≈

�


D

C

B

A

9cm

15cm

34°

A

B

C

14cm

63°

11cm


_______________________________________________________________________________


AB:שלפני� ה$ ABCDצלעות המקבילית 8.4cm= ו�AD 14.5cm=.

2: שטח המקבילית הוא

60.9cm.

.זוויות המקביליתחשב את .א

.ביליתאלכסוני המקשל � חשב את אורכ .ב

.�ACDית וזוגודל החשב את .ג

:פתרו$

:פתרו$

sinSי נוסחת שטח מקבילית "עפ. א ab α= נקבל :

( )1 1

60.9

60.9 8.4 14.5sin B B sin sin 0.5 30 D

8.4 14.5

A C 180 B 150

− − = ⋅ ⇒ = = = ° = ⋅ ⇒ = = °− = °

� � �

� � �

:ממשפט הקוסינוסי� מקבלי� . ב

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

AC AB BC 2 AB BC cos B 8.4 14.5 2 8.4 14.5 cos 30 69.846

AC 69.846 8.357cm

BD BC CD 2 BC CD cos C 8.4 14.5 2 8.4 14.5 cos 150 491.774

BD 491.774 22.176cm

= + − ⋅ ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ° ≈ ⇒

⇒ = ≈

= + − ⋅ ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ° ≈ ⇒

⇒ = ≈

� �

� �

.∆ACD � נתבונ$ ב . ג

A

C

D14.5 cm

8.4 cm8.357 cm

30°

שימוש במשפט הסינוסי� יכול להטעות ולכ$ הדר� , היא הזווית שמול הצלע הגדולה במשולש �ACD�כיוו$ ש

:הבטוחה למציאתה היא תו� שימוש במשפט הקוסינוסי�

( )

2 2 2

2 2 2

1

AD AC CD 2 AC CD cos ACD

14.5 8.357 8.4 2 8.357 8.4 cos ACD

69.846 70.56 210.25

cos ACD 0.49745

140.3976

ACD cos 0.49745 119.83

−

= + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

⇒ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

+ −⇒ = ≈ − ⇒

⇒ ≈ − = °

�

�

�

�

C

D

A

B

14.5cm

8.4cm


_______________________________________________________________________________



_______________________________________________________________________________


שאלות בחינהשאלות בחינהשאלות בחינהשאלות בחינה –––– תשובות סופיותתשובות סופיותתשובות סופיותתשובות סופיות



DCB. א 1 28.14= AC. ב �° 12.63cm=

98.21. א 2 ,60 , 21.79° ° 18.90cm. ב °

. א 3OAB

38.39cmp AD. ב = BC 8.521cm= =

2. א 4

ABCD

173.8cmS MG. ב = MD 3.85cm− =

A. א 5 80 , B 40 , C 140 , D 100= ° = ° = ° = °� � � 2. ב �

237.3cmS BD. ג = 28.64cm=

117.28. א 6 ,36.34 , 26.38° ° 7.137cm. ב °

AC. א 7 77.67cm , BD 37.62cm= 2. ב =

1451cmS 174.2cm. ג =

ADB. א 8 12.72= AB. ב �° 5.452cm= ג .AC 11.40cm=

CAB. א 9 35.10= 61.61cmp. ב �° =

ACB. א 10 34.26= AD. ב �° 29.66cm= 2. ג

405.8cmS =

DE. א 11 DF 16.77cm , EF 10.61cm= = 2. ב =

84.38cm , EDF 36.87S = = °�

BD. א 12 68.77cm= ב .ABDE

BCD

2.618 ; CM 24.98cm , FM 40.42cm

S

S= = =

2. א 13

ABCD

611.1cmS EBH .ב = 67.5= °�

A. א 14 21.40 , B 133.60= ° = °� 6.889cm. ב �

120. א 15 ,38.21 , 21.79° ° 9.375cm. ב °

AC. א 16 30.31cm , AD 35.0cm= 2. ב =

ADC

265.2cmS∆ =

AC. א 17 35.25cm= ב .CAD 34.62= 2. ג �°

743.0cmS =

18 AB. א CD 8.114cm , BC AD 13.02cm= = = 2. ב =

97.44cmS =

ABD. ג 42.43= °�

AB. א 19 38.15cm= 2. ב

566.4cmS AC .ג = 34.26cm=

55.72cm. ב 34.44cm. א 20

21 ADC. א 97.2 , BAD 82.8 , ABC 41.4 , BCD 138.6= ° = ° = ° = °� � � �

89.70cmp. ב BD .ג = 36.58cm=

AC. א 22 14.47cm= ב .BC 8.632cm= ג .BAD ABC 69.66= = °� �

C. א 23 69.58 , B 47.42= ° = °� AD. ב � 10.69cm=

24 B. א D 30 , A C 150= = ° = = °� � � AC. ב � 8.357cm , BD 22.18cm= =

ACD. ג 119.83= °�


_______________________________________________________________________________


A

B

C

D E


1' מס שאלה

126הזווית הקהה היא בת ABCD במקבילית

o.


.�ADBחשב את גודל הזווית .א



2' מס שאלה

:שבו ABCDנתו$ טרפז שווה שוקיי�

,CD =מ "ס14 � ו AB =מ "ס18 אורכי הבסיסי� ה�

,AC =מ "ס32אור� האלכסו$

.ABמאונ� לבסיס CEוהקטע

.CEמצא את אור� הקטע .א

.חשב שטח והיק" הטרפז .ב

.�CADחשב את גודל הזווית .ג

3' מס שאלה

.חסו� בתו� מעגל ABCDEמחומש משוכלל

.מ"ס 42.6הוא ) לא מופיע בשרטוט(אור� קוטר המעגל

.ADכסו$ המחומש חשב את אור� אל .א

.ABחשב את אור� הצלע של המחומש .ב

שאלות נוספותשאלות נוספותשאלות נוספותשאלות נוספות –––– תשובות סופיותתשובות סופיותתשובות סופיותתשובות סופיות



10.81cm. ג 6.104cm. ב 16.39°. א 1

2. ב 27.71cm. א 2

87.75cm , 443.4cmp S= 25.89°. ג =

25.04cm. ב 40.52cm .א 3

A

B

C

D

126

o

מ"ס 17.5

מ"ס 13.2

A

D

C

E

B


_______________________________________________________________________________


פתרונות מלאי� לשאלות בחינהפתרונות מלאי� לשאלות בחינהפתרונות מלאי� לשאלות בחינהפתרונות מלאי� לשאלות בחינה




.מ"ס 35 שארכהלע מצא את אורכו של חוצה הזווית היורד אל הצ .ב

:פתרו$

:כיוו$ ששרטוט כזה איננו נתו$ בשאלה , של המשולש) איכותי(נכי$ קוד� שרטוט . א

:הזוויות 3 הכלי הנכו$ להשתמש בו הוא משפט הקוסינוסי� ובעזרתו נמצא את, כיוו$ שנתוני� רק אורכי הצלעות

)א� הנכו$ הוא להתחיל ע� הזווית הגדולה ביותר, � עבור כל זוויתנית$ להשתמש במשפט הקוסינוסי(

2 2 2

2 2 2

2 2 2

15 25 35 225 625 1225 375

cos A 0.5 A 120

2 15 25 750 750

15 35 25 225 1225 625 825 11

cos B 0.785714.. B 38.2132.. 38.21

2 15 35 1050 1050 14

25 35 15 625 1225 225 1

cos C

2 25 35 1750

+ − + −= = = − = − ⇒ = °

⋅ ⋅+ − + −

= = = = = ⇒ = ≈ °⋅ ⋅+ − + −

= = =⋅ ⋅

�

�

625 13

0.92857.. C 21.78679.. 21.79

1750 14

= = ⇒ = ≈ °�

: 180° �נשתמש בתכונה שסכו� הזוויות במשולש חייב להיות שווה ל, כבקרה

A B C 120 38.21 21.79 180.0+ + ≈ °+ ° + ° = °� � �

חוצה זווית AD � כיוו$ ש. כדי לחשב אותו ABDולש ונשתמש במשפט הסינוסי� במש, ADנעביר חוצה זווית . ב

BAD �נובע ש 60= היא ABDבמשולש ABוהזווית שמול הצלע , �°

ADB 180 60 38.21 81.79= °− ° − ° = °�

:מקבלי� AD 15 15 sin 38.21

AD 9.374cm

sin 38.21 sin81.79 sin81.79

o

o o o

⋅= ⇒ = =


.מ"ס 17.5ו שגודל צלע ABCDEFמשוכלל )צלעות 6מצולע בעל ( משושהנתו$

.AD �ו ACהאלכסוני� אורכיחשב את .א

.ACDשטח המשולש חשב את .ב

:פתרו$

�הזווית ההיקפית במשושה משוכלל שווה ל. א( )6 2 180

120

6

− ⋅ °= נחשב בעזרת משפט ACאת האלכסו$ . °

: ABCהקוסינוסי� במשולש

A

B C

D

מ"ס 25

מ"ס 15

מ"ס 35

A

F E

D

C B


_______________________________________________________________________________


( )2 2 2 2

ABC 120 AC AB BC 2AB BC cos120 2 17.5 2 17.5 0.5

3 17.5 30.311.. 30.31cm

o o= ⇒ = + − ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ − =

= ⋅ = ≈

�

, שווי� באורכ� לפעמיי� אור� הצלע) ADכמו (הגדולי� במשושה משוכלל האלכסוני�

ADולכ$ 2BC 35.0cm= =.

י הנוסחא"עפהיא ACDהדר� הנוחה לחשב את שטח המשולש . בADC

AD CD sin ADC

2

S∆⋅ ⋅

=�

לחישוב .

�CDEחוצה את הזווית ADנשתמש בעובדה שמהסימטריה של המשושה נובע שהאלכסו$ �ADCהזווית

ולכ$ 120

ADC 60

2

°= = ומקבלי�, �°

2

ADC

AD CD sin ADC 35.0 17.5 sin 60

265.22.. 265.2cm

2 2

S∆⋅ ⋅ ⋅ ⋅ °

= = = ≈�


.112° הזווית הקהה היא בת ABCDבמקבילית

מ ואור� הצלע הקצרה "ס 37.1 הוא ADאור� הצלע הארוכה

AB מ"ס 21.6הוא.

.ACחשב את אור� האלכסו$ .א

.�CAD חשב את גודל הזווית .ב


:פתרו$

ניעזר בתכונות שבמקבילית צלעות נגדיות ה$ שוות באורכ$ וזוויות סמוכות ACלחישוב אור� האלכסו$ .א

BCולכ$ , 180° �משלימות ל AD 37.1cm= ABC �ו = 180 112 68= °− ° = נשתמש במשפט הקוסינוסי� . �°

: ABCבמשולש

2 2 2 2 2

AC AB BC 2AB BC cos ABC 21.6 37.1 2 21.6 37.1 cos68

466.56 1376.41 1602.72 0.3746 1242.58.. AC 35.25cm

= + − ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ° =

= + − ⋅ = ⇒ ≈

�

: ACDנשתמש במשפט הסינוסי� במשולש .ב

CD AC 21.6 sin 68

sin CAD 0.56814.. CAD 34.62

sin CAD sin ACD 35.250

⋅ °= ⇒ = = ⇒ ≈ °� �

� �

2 נשתמש בנוסחת השטח .ג

AB BC sin ABC 21.6 37.1 sin68 743.01.. 743.0cmS = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ° = ≈�

A

B

C

D

112°

מ"ס 37.1

מ"ס 21.6


_______________________________________________________________________________



ACאורכי האלכסוני� ה� ABCDבילית במק 12.4cm= ו�

BD 17.8cm=.

oהזווית החדה שבי$ האלכסוני� היא

AMB 62=�.

.חשב את אורכי צלעות המקבילית .א

.שטח המקביליתחשב את .ב

.�ABDגודל הזווית חשב את .ג

:פתרו$

ולכ$, לחישוב אורכי הצלעות ניעזר בתכונת המקבילית האומרת שהאלכסוני� חוצי� זה את זה .א

AC BD

AM CM 6.2cm ; BM DM 8.9cm

2 2

= = = = = =

מקבלי� ABMבמשולש . את אורכי הצלעות נחשב בעזרת משפט הקוסינוסי�

2 2 2 2 2

AB AM BM 2AM BM cos AMB 6.2 8.9 2 6.2 8.9 cos62 65.839

AB CD 8.114cm

= + − ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ° = ⇒

⇒ = =

�

ABC( מקבלי� BCMובמשולש 180 AMB 180 62 118= °− = °− ° = °� )כזווית משלימה �

2 2 2 2 2

BC BM CM 2BM CM cos BMC 6.2 8.9 2 6.2 8.9 cos118 169.461..

BC AD 13.02cm

= + − ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ° = ⇒

⇒ = ≈

�

י הנוסחא"את השטח נוח לחשב בעזרת האלכסוני� עפ .ב

2

1 1

AC BD sin AMB 12.4 17.8 sin62 97.442.. 97.44cm

2 2

S = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ° = ≈�

.ג

AM AB AM sin 62 6.2 0.8829

sin ABD 0.67466

sin ABD sin 62 AB 8.114

ABD 42.428

⋅ ° ⋅= ⇒ = = = ⇒

°⇒ = °

��

�


: ABCDשוקיי� � נתו$ טרפז שווה

.BC =AD= מ "ס 23.5אורכי השוקיי� ה� ) 1

oזווית הבסיס היא ) 2

ABC 62.3=�.

.CD= מ "ס 16.3אור� הבסיס הקט$ הוא ) 3

.חשב את אור� הבסיס הגדול .א


.ACאור� האלכסו$ חשב את .ג

:פתרו$

: DF � ו CEנוריד אנכי� .א

:ז "שהוא משולש יש BCEנחשב במשולש BEאת

A

B

C

D

62

o

מ"ס 17.8

מ"ס 12.4

M

D C

B

A

23.5cm

16.3cm

23.5cm

62.3

o

D C

B

A

E F


_______________________________________________________________________________


BE BCcos ABC 23.5 cos62.3 10.9238..= = ⋅ ° =�

AFריה של הטרפז בגלל הסימט BE= ,$הבסיס הגדול הוא לכ � ואור

AB CD 2BE 16.3 2 10.9238 38.147576... 38.15cm= + = + ⋅ = ≈

BCE : CEכ$ במשולש �את גובה הטרפז נחשב ג�. ב BC sin ABC 23.5 sin 62.3 20.80675..h = = ⋅ = ⋅ ° =�

י הנוסחא"שטח הטרפז מחושב עפ

( ) ( )2

CE AB+CD 20.80675 38.147576 16.320.80675 54.447576

566.439.. 566.4cm

2 2 2

S⋅ ⋅ + ⋅

= = = = ≈

� הדר� הנוחה ביותר היא לחשב את אור .גAC י משפט פיתגורס במשולש "עפACE ,שהוא ישר�נחשב . זווית

�AE : AEראשית את אור CD BE 16.3 10.9238.. 27.2238..= + = + =

2 ונקבל 2 2 2 2

AC AE CE 27.2238 20.8068 1174.058.. AC 34.26cm= + = + = ⇒ ≈


).מרכז המעגל – M(ומעגל חסו� בתוכו ABCDEנתו$ מחומש משוכלל

.מ"ס 23.7אור� רדיוס המעגל הוא

.ר� צלע המחומשחשב את או .א

.ADחשב את אור� אלכסו$ המחומש .ב

:פתרו$

= זווית פנימית במחומש . א( )180 5 2

ABC 108

5

° ⋅ −= = °�.

MBC∆ הקטעי� . ש"הוא משMA ,MB ,MC , ...חוצי� את הזוויות ההיקפיות ,

: MBCזווית בסיס במשולש ולכ$ 108

MBC 54

2

°= = °�

.BCאת מרכז הקטע K � נסמ$ ב

MBC : BMKבמשולש מחצית זווית הראש 90 54 36= °− ° = °�.

MBC∆ : MKגובה המשולש 23.7cmR= =.

BC: בסיס המשולש = צלע המחומש 2 tan 36 2 23.7 tan 36 34.4381.. 34.44cm

o oR= = ⋅ ⋅ = ≈.

: ADEמחצית זווית הראש במשולש . ש"הוא מש ∆ADE. ב108

54

2

°= °.

AD:האלכסו$ = בסיס המשולש 2 AE sin 54 2 34.44 sin 54 55.7220.. 55.72cm

o o= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ≈.

A

B

C

D E

M

A

B

C

D E

M

K

R


_______________________________________________________________________________



AC, שוקיי��ה� שווי ACD �ו ABCבנוי כ� שהמשולשי� ABCDטרפז BC= ו� AD CD=.

AC: נתו$ 23.4cm = ,o

ACD 41.4=�.


.ABCDחשב את היק" הטרפז .ב

).לא מופיע בשרטוט( BDחשב את אור� האלכסו$ .ג

:פתרו$

o �ש "הוא מש ACDמשולש .א

CAD ACD 41.4= =� ).זוויות בסיס שוות( �

D � 180° �שולש שווה לסכו� זוויות במ ADC 180 2 41.4 180 82.8 97.2= = °− ⋅ ° = ° − ° = °� �

o �) בסיסי� בטרפז(מקבילות CD �ו ABהצלעות

CAB ACD 41.4= =� ).זוויות מתחלפות בי$ מקבילי�( �

A� : Aחישוב הזווית DAB CAB DAC 2 41.4 82.8= = + = ⋅ ° = °� � � �

B �ש "א משהו ABCמשולש ABC BAC 41.4= = = °� � �

C �מקבילות CD �ו ABהצלעות BCD 180 B 138.6= = °− = °� � ).זוויות משלימות בי$ מקבילי�( �

A :סיכו� 82.8 , B 41.4 , C 138.6 , D 97.2= ° = ° = ° = °� � � �

:ההיק" הוא סכו� אורכי הצלעות .ב

BCולכ$ , שוקיי��הוא שווה ABCמשולש ) 1 AC 23.4cm= =.

2 ( �. ABע� הבסיס ABCוהוא ג� הגובה של המשולש , זהו גובה בטרפז. ABלבסיס C � מ CEנוריד אנ

ACאורכו הוא ABשהוא מחצית הבסיס AEולכ$ הקטע , הוא ישר זווית ACEהמשולש cos BAC⋅ ולכ$ , �

כולו הוא ABאור� הבסיס

AB 2 AC cos BAC 2 23.4 cos 41.4 35.105198.. 35.11cm= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ° = ≈�.

ע� ACDזהו הגובה של המשולש . ACלאלכסו$ D �מ DFד אנ� נורי) 3

שהוא מחצית AFולכ$ הקטע , הוא ישר זווית ADFהמשולש . ACהבסיס

אורכו הוא ACהבסיס AC

AF AD cos DAC

2

= = ⋅ ולכ$ , �

AC 23.4

AD CD 15.59769.. 15.60cm

2 cos ABC 2 cos 41.4

= = = = ≈⋅ ⋅ °�

AB ההיק" הוא) 4 BC CD AD 89.700578 89.70cmp = + + + = ≈

: BCDלמשל במשולש , את אורכו נחשב בעזרת משפט הקוסינוסי�. שרטוטל BDנוסי" את .ג

2 2 2 2 2

BD CD BC 2CD BC cos BCD 15.60 23.4 2 15.60 23.4 cos138.6

1338.4079.. BD 36.58cm

= + − ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ° =

= ⇒ ≈

�

A

B

C

D

23.4cm

41.4

o

A

B

C D

E

F


_______________________________________________________________________________



והזווית בי$ האלכסו$ לבסיס , CD= מ "ס 9 � ו AB= מ "ס 15אורכי הבסיסי� ה� ABCDשוקיי� �בטרפז שווה

34הקט$ היא

o.

.מצא את אור� אלכסו$ הטרפז .א

.ר� השוק של הטרפזמצא את או .ב

.מצא את גודל הזוויות שליד הבסיס הגדול של הטרפז .ג

:פתרו$

BAC –זוויות מתחלפות בי$ מקבילי� . א ACD 34= = °� �

� נקבל ACEבמשולש . ABלבסיס CEנוריד אנ

15 9

BE 3cm AE 15 3 12cm

2

AE 12

AC 14.4746.. 14.47cm

cos CAB cos34

−= = ⇒ = − =

⇒ = = = ≈°�

:בעזרת משפט הקוסינוסי� נקבל . ב

2 2 2 2 2

BC AB AC 2AB AC cos BAC 15 14.47 2 15 14.47 cos34

225 209.51 360 74.5145.. BC 8.6321776.. 8.632cm

= + − ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ° =

= + − = ⇒ = ≈

�

1 נקבל BCEבמשולש . ג 1

BE 3

ABC cos cos 69.663.. 69.66

BC 8.632

− − = = ≈ = °

�

BADומכא$ ג� ABC 69.66= = °� �.


AC : נתו$ ABCבמשולש 11cm, AB 14cm, BAC 63= = = °�

.המשולשהאחרות של יות וזושתי החשב את . א

.A חשב את אורכו של התיכו$ היוצא מהקודקוד. ב

: פתרו$

:בעזרת משפט הקוסינוסי� BCנחשב תחילה את . א

2 2 2 2 2

BC AB AC 2 AB AC cos A 14 11 2 14 11 cos 63 177.171

BC 177.171 13.311 13.31cm

= + − ⋅ ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ° ≈

⇒ = = ≈

�

, להשתמש במשפט הקוסינוסי� או במשפט הסינוסי�, לכאורה, למציאת הזוויות האחרות של המשולש אפשר

:נשתמש במשפט הקוסינוסי� , אול� כיוו$ שהזווית מול הצלע הגדולה במשולש איננה ידועה

2 2 2 2 2

1

AC BC AB 11 177.171 14

cos C C cos 69.580 69.58

2 AC BC 2 11 13.311

− + − + −= ⇒ = = ≈ ° ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

� �

:ווית השלישית נחשב בעזרת משפט הסינוסי� את הז

1

AC BC AC sin A 11 sin 63

sin B B sin 47.420 47.42

sin B sin A BC 13.311

−⋅ ⋅ ° = ⇒ = ⇒ = ≈ ≈ °

��

� �

D

C

B

A

9cm

15cm

34

o

34

o

D

C

B

A

E

9cm

15cm

34

o

A

B

C

14cm

63°

11cm


_______________________________________________________________________________


A סכו� הזוויות הוא אמנ�: בקרה B C 63.00 47.42 69.58 180+ + = °+ °+ ° = °� � �

מקבלי� , הוא תיכו$ AD � כיוו$ ש. BCאת מרכז הצלע D � נסמ$ ב. ב13.311

BD DC 6.655cm

2

= = =.

: ACDנשתמש במשפט הקוסינוסי� במשולש

2 2 2 2 2

AD AC CD 2 AC CD cos C 11 6.655 2 11 6.655 cos 69.58 114.208..

AD 114.208 10.6868... 10.69cm

= + − ⋅ ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ° ≈

= = ≈

�


AB:שלפני� ה$ ABCDצלעות המקבילית 8.4cm= ו�AD 14.5cm=.

2: שטח המקבילית הוא

60.9 cm.

.זוויות המקביליתחשב את .א

.אלכסוני המקביליתשל � חשב את אורכ .ב

.�ACDית וזוגודל החשב את .ג

:פתרו$

sinSי נוסחת שטח מקבילית "עפ. א ab α= נקבל :

( )1 1

60.9

60.9 8.4 14.5sin B B sin sin 0.5 30 D

8.4 14.5

A C 180 B 150

− − = ⋅ ⇒ = = = ° = ⋅ ⇒ = = °− = °

� � �

� � �

:ממשפט הקוסינוסי� מקבלי� . ב

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

AC AB BC 2 AB BC cos B 8.4 14.5 2 8.4 14.5 cos 30 69.846

AC 69.846 8.357cm

BD BC CD 2 BC CD cos C 8.4 14.5 2 8.4 14.5 cos 150 491.774

BD 491.774 22.176cm

= + − ⋅ ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ° ≈ ⇒

⇒ = ≈

= + − ⋅ ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ° ≈ ⇒

⇒ = ≈

� �

� �

היא הזווית שמול הצלע �ACD�כיוו$ ש .∆ACD � נתבונ$ ב . ג

שימוש במשפט הסינוסי� יכול להטעות ולכ$ הדר� , הגדולה במשולש

:הבטוחה למציאתה היא תו� שימוש במשפט הקוסינוסי�

( )

2 2 2

2 2 2

1

AD AC CD 2 AC CD cos ACD

14.5 8.357 8.4 2 8.357 8.4 cos ACD

69.846 70.56 210.25

cos ACD 0.49745

140.3976

ACD cos 0.49745 119.83

−

= + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

⇒ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

+ −⇒ = ≈ − ⇒

⇒ ≈ − = °

�

�

�

�

C

D A

14.5cm

8.4cm

8.357cm

30°

C

D

A

B

14.5cm

8.4cm


_______________________________________________________________________________



1' מס שאלה


o.


.�ADBחשב את גודל הזווית .א



:פתרו$

. א1

sin126 sin ABD 13.2 sin126

ABD sin 37.6061.. 37.61

17.5 13.2 17.5

ABD 180 126 ABD 54 37.61 16.39

−° ⋅ ° = ⇒ = = ≈ ° ⇒

⇒ = °− °− = °− ° = °

��

� �

. ב2 2 2 2

2 2

AB AD BD 2 AD BD cos ADB 13.2 17.5 2 13.2 17.5 cos16.39

13.2 17.5 2 13.2 17.5 cos16.39 6.1044.. 6.104cm

= + − ⋅ ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ° =

= + − ⋅ ⋅ ⋅ ° = ≈

�

2 . ג 2 2 2

ADC 180 126 54

AC AD CD 2 AD CD cos54 13.2 6.1044 2 13.2 6.1044 cos16.39

10.806.. 10.81cm

= °− ° = ° ⇒

= + − ⋅ ⋅ ⋅ ° = + − ⋅ ⋅ ⋅ ° =

= ≈

�

2' מס שאלה

:שבו ABCDנתו$ טרפז שווה שוקיי�

,CD =מ "ס14 � ו AB =מ "ס18 אורכי הבסיסי� ה�

,AC =מ "ס32אור� האלכסו$

.ABמאונ� לבסיס CEוהקטע

.CEמצא את אור� הקטע .א

.חשב שטח והיק" הטרפז .ב

.�CADחשב את גודל הזווית .ג

:פתרו$

. א2 2 2 2

AB CD 18 14

BE 2cm AE AB BE 18 2 16cm

2 2

CE AC AE 32 16 768 27.7128... 27.71cm

− −= = = ⇒ = − = − = ⇒

⇒ = − = − = = ≈

A

B

C

D

126

o

מ"ס 17.5

מ"ס 13.2

A

D C

E

B


_______________________________________________________________________________


A

B

C

D E

. ב

( ) ( )

2 2 2

2

BC BE CE 3 768 777 27.8747... 27.87cm

AB CD 2 BC 18 14 2 27.8747... 87.7494... 87.75cm

AB CD CE 18 14 27.71

443.405... 443.4cm

2 2

p

S

= + = + = = ≈ ⇒

⇒ = + + ⋅ = + + ⋅ = ≈

+ ⋅ + ⋅= = = ≈

1. ג 1

2 16

CAD BAD CAB CBE CAE cos cos 85.89 60 25.89

32777

− − = − = − = − = °− ° = °

� � � � �

3' מס שאלה

.חסו� בתו� מעגל ABCDEמחומש משוכלל

.מ"ס 42.6הוא ) לא מופיע בשרטוט(אור� קוטר המעגל

.ADחשב את אור� אלכסו$ המחומש .א

.ABחשב את אור� הצלע של המחומש .ב

:פתרו$

= זווית פנימית במחומש . א( )180 5 2

AED 108

5

° ⋅ −= = °�. M – מעגל החוס�מרכז ה.

= רדיוס המעגל החוס� 42.6

21.3cm

2

R = ה� ..., MA ,MD ,MEהקטעי� . =

... , AEM ,DEMולכ$ המשולשי� , ה� שווי� באורכ�, רדיוסי� של המעגל החוס�

חוצי� את ... , MA ,MD ,MEהרדיוסי� . שוקיי� וחופפי� זה לזה�ה� שווי

: AEM למשל, י� אלהבמשולשולכ$ זווית בסיס , קפיותהזוויות ההי

108

AEM 54

2

°= = AMEהראש ש� היא וזווית , �° 180 2 54 72= °− ⋅ ° = °� .

ME AD⊥ והוא ג� חוצה זוויותAMD� ו� AED� ,חוצה את וAD )AK DK=: (

AD 2 AK 2 sin 72 2 21.3 sin 72 40.515.. 40.52cm

o oR= ⋅ = = ⋅ ⋅ = ≈

: AEMמחצית זווית הראש במשולש .AEאת מרכז הקטע F �נסמ$ ב. ב72

36

2

°= בסיס = צלע המחומש .°

AE :המשולש 2 AF 2 sin 36 2 21.3 sin 36 25.03965.. 25.04cm

o oR= ⋅ = = ⋅ ⋅ = ≈

A

B

C

D E

M

K

R

F




_______________________________________________________________________________


הנדסת המרחבהנדסת המרחבהנדסת המרחבהנדסת המרחב: : : : 66661111פרק פרק פרק פרק


:הכרת מושגי� בסיסיי� בהנדסת המרחב והכרת הגופי� השוני� ותכונותיה� השאלות בפרק זה באות לבדוק

.מצבי� הדדיי� של ישר ומישור )1

–ע� בסיס משולש , ישרה(מנסרה , )ע� בסיס ריבועי או מלבני, ישרה(תיבה , קוביה: הכרת הגופי� השוני� )2

, חרוט ישר, גליל ישר, )ע� בסיס ריבועי או מלבני, ישרה(פירמידה , )זווית! שוקיי� או ישר!השוו, צלעות!שווה

.כדור

.ויות השונותוהז, אלכסוני�, מקצועות, צלעות, פאות, גובה, בסיס: פי� אלההכרת החלקי� השוני� בגו )3

. שטח פני� ושטח מעטפת לגופי� אלה, הגדרה וחישוב של נפח )4

ריבוע, )זווית!ישר, צלעות!שווה, שוקיי�!שווה(שוני� משולשי� –רות מישוריות צושימוש בתכונות של )5

.עיגול, ומלב&

.זווית!טריגונומטריה במשולש ישר, משפט פיתגורס –כלי� מתו' הנדסת המישור שימוש ב )6

נקודות שמומל) לתת עליה& את הדעת בהוראה והכנת התלמידי�נקודות שמומל) לתת עליה& את הדעת בהוראה והכנת התלמידי�נקודות שמומל) לתת עליה& את הדעת בהוראה והכנת התלמידי�נקודות שמומל) לתת עליה& את הדעת בהוראה והכנת התלמידי�

: 14 ! ו 8 ,3כמו בפרקי� – נקודות כלליות לעבודה בחישובי� הנדסיי�

בתו' השרטוט להוסי* . גבי השרטוט!וציו& כל הנתוני� על, העתקת השרטוט אל מחברת העבודה או הבחינה )1

.את כל בניות העזר שהתלמיד מבצע במהל' הפתרו&

.הקפדה על משמעת כתיבה מתמטית נכונה )2

. הקפדה על עיגול נכו& )3

.)הייחודיות להנדסת המרחב, דות של נפחכולל יחי( הקפדה על שימוש נכו& ביחידות )4

ג� בהנדסת המרחב הבקרה נסמכת בעיקר על , שורבצורות מישוריות בהנדסת המי בעיותכמו ב –בקרה )5

, במקרי� רבי� משתמש החישוב בזיהוי של משולש. שימוש בתכונותיה� של הגופי� בה� עוסקת הבעיה

כפי שראינו , ולה להשתמש בתכונות של צורות אלהואז הבקרה יכ, ריבוע או מלב& המהווי� חלק מ& הגו*

.בפרקי� קודמי�

המרחבהנדסת : 16פרק הדרכה ותרגול – טכנולוגיתהמכינה למתמטיקה _______________________________________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________




.שוקיי�!שבסיסה משולש שווה ABCDEFנתונה מנסרה ישרה

.= ADמ "ס BC = ,12מ "ס AB = AC = ,10מ "ס 15: נתו&

.ABEDשל הפיאה הצדדית BDחשב את אור' האלכסו& .א

.נסרהחשב את נפח המ .ב

:פתרו&

: ABDזווית !כיתר במשולש ישר BDנחשב את גודל אלכסו& הפיאה בעזרת משפט פיתגורס . א

2 2

BD 12 15 369 19.209.. 19.21cm= + = = ≈

נסמ& –ש "שהוא מש ABCהמשולש –למציאת שטח הבסיס . שווה למכפלת שטח הבסיס בגובה מנסרהנפח ה. ב

2 גובה המשולש הוא אז. BCאת מרכז הקטע K !ב 2

BK 15 5 200 14.142.. 14.14cm= − = = ≈.

2 שטח הבסיס הוא

ABC

1

10 BK 70.710.. 70.71cm

2

S = ⋅ ⋅ = ≈.

3 ולכ& נפח המנסרה הוא

ABC

12 848.528.. 848.5cmV S= ⋅ = ≈.

2222' ' ' ' מסמסמסמסדוגמא דוגמא דוגמא דוגמא

.מ"ס 15 !מ ו"ס 12נתונה תיבה ישרה בעלת בסיס מלבני שצלעותיו

.ק"סמ 3240נפח התיבה הוא

.חשב את גובה התיבה .א

.של התיבה) כל הפיאות(הפני� חשב את שטח .ב

:פתרו&

לכ& הגובה הוא, נפח המנסרה שווה למכפלת שטח הבסיס בגובה. א3420

19cm

12 15

h = =⋅

: 2 !השונות זו מזו ולהכפיל ב הפיאות שלושכ& מספיק לחשב את השטח של ל, כל זוג פיאות נגדיות ה& שוות. ב

( ) ( ) 2

2 12 15 12 19 19 15 2 180 408 185 1746cmP = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + + =

3333' ' ' ' וגמא מסוגמא מסוגמא מסוגמא מסדדדד

.בצורת ריבועהוא ABCDשבסיסה ישרה נתונה תיבה

.= hמ "ס 8.5מ וגובה התיבה "ס 12.6היק* הבסיס

.aחשב את גודל צלע הבסיס .א

.חשב את שטח הפני� של התיבה .ב

.חשב את נפח התיבה .ג

A B

h

C D

a

מ"ס15

מ"ס12

A

B

C

D

E

F

10

15

15

12


_______________________________________________________________________________


:פתרו&

ומהנתו& מקבלי� 4aהיק* הבסיס הוא .א12.6

4 12.6cm 3.15cm

4

a a= ⇒ = =

לכ& שטח , )ג� ה& שוות בשטח&(הפיאות הצדדיות 4ואת ) שווי� בשטח�(פני התיבה כוללי� את שני הבסיסי� .ב

2 הפני� הוא 2 2

2 4 2 3.15 4 3.15 8.5 126.945 126.9cmP a ah= + = ⋅ + ⋅ ⋅ = ≈

2 הנפח הוא .ג 2 3

3.15 8.5 84.341.. 84.34cmV a h= = ⋅ = ≈


.ריבועי ABCD שבסיסה ABCDEFGHתונה תיבה ישרה נ

.מ"ס 16.5הוא AEוגובה התיבה , מ"ס 22הוא ABאור' צלע הבסיס

.BHחשב את אור' אלכסו& התיבה .א

.ABCDלבי& הבסיס ADHE)האלכסו& של הפיאה ( AHחשב את הזווית בי& .ב

.הנפח התיבחשב את .ג

:פתרו&

:בה כמשפט פיתגורס מורחב ע� כל צלעות התיאלכסו& התיבה מתקבל . א

2 2 2 2 2 2

H AB BC +AE 22 22 16.5 35.2171 35.22cmΒ = + = + + = ≈

: �DAHהזווית המבוקשת היא . בHD 16.5

tan DAH 0.75 DAH 36.87

AD 22

= = = ⇒ = °� �

3 :נפח התיבה מתקבל כמכפלת שלוש הצלעות . ג

DH AD AB 16.5 22 22 7,986cmV = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

A B

C

D

H

E

F

G


_______________________________________________________________________________


⇒

A

C B

D

A D

B C



.מ"ס aנתונה פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע שצלעו

.2a !אור' המקצוע הצדדי של הפירמידה שווה ל

.aבטא את גובה הפירמידה בעזרת .א

.מצא את הזווית בי& המקצוע הצדדי לבי& בסיס הפירמידה .ב

)א"קי) תשס( 2' מס שאלה

.תונה פירמידה ישרה שבסיסה ריבוענ

.מ"ס 18מ ואור' המקצוע הצדדי של הפירמידה "ס 14אור' צלע הבסיס

שרטט . דית של הפירמידה לבי& בסיס הפירמידהחשב את הזוית שבי& פאה צד .א

.את הפירמידה במחברת' וציי& את הזווית בשרטוט

.חשב את רדיוס הכדור. נתו& כדור שנפחו שווה לנפח הפירמידה .ב


:עותיו ה& שצל ABCDמלב& נתו&

.AD= מ"ס AB ,44= מ "ס 34

CD ! ו ABגלו את המלב& וחיברו את הצלעות גיל

.שנוצר גליל כ'

.את נפח הגליל שנוצר חשב .א

?מנת להשלי� את פני הגליל !השטח הכולל של העיגולי� אשר צרי' להוסי* בתור בסיסי� על מהו .ב

)ב"קי) תשס( 4' מס שאלה

.216°מ וזוית הפריסה שלה "ס 10ונה גיזרת עיגול שמחוגה נת

:יוצרי� מגיזרה זו מעטפת של חרוט, י קיפול"ע

.חשב את גובה החרוט .א

חשב מה צרי' להיות אור' המחוג של כדור .ב

.שנפחו יהיה שווה לנפח החרוט

מ"ס 10

216° ⇒

A

K

D

C

B

A

K

D

C

B


_______________________________________________________________________________



.שבסיסה מלב& ABCDEFGKנתונה תיבה ישרה

.= ADמ "ס AB = ,17מ "ס 22: צלעות הבסיס ה&

.ק"סמ 4,488נפח התיבה הוא


.י התיבהחשב את השטח הכולל של פנ .ב

.ADEFלבי& הפיאה BEמצא את גודל הזווית שבי& האלכסו& .ג


.מקוטר הבסיס 1.5מ וגובהו גדול פי "ס 6נתו& גליל שרדיוס בסיסו

.חשב את שטח המעטפת של הגליל ומצא את היחס בינה לבי& שטח הבסיס .א

.הגלילחשב את נפח הגליל ומצא מהו הרדיוס של כדור שנפחו שווה לנפח .ב


אור' האלכסו& . הוא ריבוע ABCDשבסיסה ABCDEFGKנתונה תיבה ישרה

.= AF = AHמ "ס 16של כל פיאה צדדית הוא

oהזווית שבי& האלכסוני� של זוג פיאות צדדיות סמוכות היא

FAH 34=�.

.FHחשב את אור' אלכסו& הבסיס .א

.הבסיסחשב את אור' הצלע של .ב

.לבי& מישור הבסיס CEחשב את הזווית שבי& אלכסו& התיבה .ג


.שוקיי�!שבסיסה משולש שווה ABCDEFנתונה מנסרה ישרה

.= ADמ "ס BC = ,12מ "ס AB = AC = ,8מ "ס 10: נתו&


.חשב את נפח המנסרה .ב

A B

C

D

E

F

G

K

A B

C D

E

F

G H

34

o

16

16

A

B

C

D

E

F

8 10

10

12

r

h


_______________________________________________________________________________


)ה"סאביב תש( 9' מס שאלה

.שבסיסה ריבוע ABCDKתונה פירמידה ישרה נ

.מ"ס 22הוא –הריבוע –אור' צלע הבסיס

52היא KBCזווית הראש של הפיאה הצדדית

o.

.KBCחשב את הגובה של הפיאה .א

.לבי& בסיס הפירמידה KBCחשב את הזוית שבי& הפאה .ב


.שבסיסה מלבני ABCDEFGHתונה תיבה ישרה נ

.מ"ס 22הוא AEאור' גובה התיבה

חשב את . מ"ס 28הוא ADHEשל הפיאה AHאור' האלכסו& .א

.AD) צלע(אור' המקצוע

לבי& הבסיס ABFE)האלכסו& של הפיאה ( AFהזווית בי& .ב

ABCD הנפח התיבחשב את . 32° היא.


.ה ריבועשבסיס KABCDתונה פירמידה ישרה נ

.מ"ס 15הוא ) הריבוע(אור' צלע הבסיס

58לבי& בסיס הפירמידה היא KBהזווית בי& המקצוע הצדדי

o.

.KMחשב את גובה הפירמידה .א

.KBCחשב את שטח הפיאה .ב

.KCחשב את אור' המקצוע הצדדי .ג


.שבסיסה מלב& ABCDEFGKנתונה תיבה ישרה

.= ADמ "ס AB = ,12מ "ס 18: צלעות הבסיס ה&

43היא ABCDהזווית בי& אלכסו& התיבה לבי& הבסיס

o.


.GCחשב את אור' אלכסו& הפיאה .ב

.ABGFלבי& הפיאה CGמצא את גודל הזווית שבי& האלכסו& .ג

A B

C

D

E

F

G

K

A B

C

D

E

F

G

K

A

K

D

C

B

A

K

D

C

B


_______________________________________________________________________________



ה� DEF !ו ABCשבסיסיה ABCDEFתונה מנסרה משולשת ישרה נ

.י�שוקי!משולשי� שווי

.AB = AC = 15cm ,AD = 12cm ,BC = 8cm: נתו&


.�BDC חשב את גודל הזווית .ב


.הוא מלב& ABCDשבסיסה ABCDKנתונה פירמידה ישרה

.= BCמ "ס AB = ,15מ "ס 18: צלעות הבסיס ה&

63לבי& הבסיס היא KBC הפיאה &הזווית בי

o.

.KMה פירמידחשב את גובה ה .א

.חשב את נפח הפירמידה .ב

.בסיסלבי& ה KBמצא את גודל הזווית שבי& המקצוע הצדדי .ג


.שבסיסה ריבוע ABCDKתונה פירמידה ישרה נ

.מ"ס 20מ ואור' המקצוע הצדדי של הפירמידה "ס 12אור' צלע הבסיס

שרטט . ת הזוית שבי& פאה צדדית של הפירמידה לבי& בסיס הפירמידהחשב א .א

.את הפירמידה במחברת' וציי& את הזווית בשרטוט

.חשב את אור' צלע הקוביה. נתונה קוביה שנפחה שווה לנפח הפירמידה .ב


.הוא ריבוע ABCDשבסיסה ABCDEFGKנתונה תיבה ישרה

.AF = 12.6cmצדדית הוא אור' האלכסו& של כל פיאה

.FH = 8.2cmאור' האלכסו& של בסיס התיבה הוא

.ואת גובה התיבה) AB(חשב את אור' הצלע של הבסיס .א

.התיבהנפח חשב את .ב

.לבי& בסיס התיבה BHחשב את גודל הזווית שבי& אלכסו& התיבה .ג

A

K

D

C

B

A

B

C

D

E

F

8 15

15

12

A B

C D

E

F

G H

A

K

D

C

B


_______________________________________________________________________________



.מ"ס 8.5הו מ וגוב"ס 12.6נתו& גליל שהיק* בסיסו

.חשב את גודל רדיוס הבסיס .א

.חשב את שטח המעטפת של הגליל .ב

של חרוט אשר רדיוס בסיסו שווה לרדיוס הבסיס של הגליל ונפחו H חשב את גובהו .ג

.שווה למחצית נפח הגליל


ה� DEF ! ו ABCשבסיסיה ABCDEFתונה מנסרה משולשת ישרה נ

.מ"ס 12כשאור' כל צלע הוא , ותצלע!משולשי� שווי

.57° ובי& הבסיס היא BDהזווית בי& האלכסו& של הפיאה הצדדית

.CD !ו BDשבי& אלכסוני הפיאות �BDCחשב את גודל הזווית . א

.של המנסרה) בסיסי�+ פיאות (חשב את שטח הפני� . ב


.שבסיסה ריבוע KABCDתונה פירמידה ישרה נ

.מ"ס 27.4הוא ) הריבוע(אור' צלע הבסיס

.63.1°לבי& בסיס הפירמידה היא KBהזווית בי& המקצוע הצדדי

).מרכז הריבוע – KM )Mחשב את גובה הפירמידה .א

.KABחשב את שטח הפיאה .ב

.פירמידה לבי& בסיסהחשב את הזווית בי& פיאת ה .ג


.שבסיסה מלב& ABCDEFGHתונה תיבה ישרה נ

:נתוני�

.AF= מ "ס 17.5גובה התיבה

.AD= מ "ס 16.3אור' צלע

.מ"ס ABGF = (28.4של הפיאה ( BFאור' האלכסו&

.ABחשב את אור' הצלע .א

.ABCDלבי& הבסיס BEחשב את הזווית בי& אלכסו& התיבה .ב

.חשב את השטח הכולל של פני התיבה .ג

A

B

C

D

E

F

12 12

12 57°

A

K

D

C

B

M

A B

C

D

E

F

G

H

r

h


_______________________________________________________________________________



.שבסיסה מלבני ABCDEFGHתונה תיבה ישרה נ

.מ"ס 22הוא ADאור' צלע התיבה

לבי& הבסיס ADHE)האלכסו& של הפיאה ( AHהזווית בי& .א

ABCD היאo

.חשב את אור' גובה התיבה. 57.5

חשב את אור' הצלע . מ"ס 54.2הוא BHיבה אור' אלכסו& הת .ב

AB.

.הנפח התיבחשב את .ג


.שבסיסה ריבוע KABCDתונה פירמידה ישרה נ

.מ"ס 20מ ואור' גובה הפירמידה "ס 18אור' צלע הבסיס

.לבי& בסיס הפירמידה KBחשב את הזווית שבי& המקצוע .א

.Rחשב את אור' רדיוס הכדור . נתו& כדור שנפחו שווה לנפח הפירמידה .ב


.ABCD הוא ריבוע 'ABCDA'B'C'Dבסיס התיבה

AB' – אלכסו& הפאהAA'BB' .

CC' – גובה התיבה.

AC' – אלכסו& התיבה.

AB: נתו& =17cm′ ,CC =15cm′.

.חשב את נפח התיבה. א

.'AC ו&חשב את אור' האלכס. ב

Bחשב את גודל הזווית . ג C A′ ′�.


SABCD וכל , שבסיסה ריבוע משוכללת וישרה, היא פירמידה מרובעת

).ראה ציור(הפאות הצדדיות שלה ה& משולשי� שווי צלעות

BC: נתו& 6cm=.

.)בסיסכולל (שטח הפני� של הפירמידה חשב את .א

.נפח הפירמידהחשב את .ב

.חשב את הזווית בי& הפאה הצדדית לבסיס הפירמידה . ג

A B

C

D

H

E

F

G

A

K

D

C

B

A

B

C

D

B'

A'

D'

C'

15cm

17cm

A

S

D

C

B

6cm


_______________________________________________________________________________


לשאלות בחינהלשאלות בחינהלשאלות בחינהלשאלות בחינה תשובות סופיותתשובות סופיותתשובות סופיותתשובות סופיות



1.871h. א 1 a= 69.30°. ב

6.166cmR. נ 65.03°. א 2 =

3. א 3 3

5238 5.238 10 cmV = = 2. ב ×

308.1cmA =

8cmh. א 4 4.160cmR. ב = =

12cmh. א 5 2. ב =

1684cmP AEB. ג = 46.59= °�

2. א 6

678.6cm , 6

MM

B

SS

S= 3. ב =

2036cm , 7.862cmV R= =

BHF. ג 6.616cm. ב 9.356cm. א 7 57.29= °�

BD. א 8 15.62cm= 3. ב

439.9cmV =

60.81°. ב 22.55cm. א 9

AD. א 10 17.32cm= 4. ב 3

1.342 10 cmV = ×

KM. א 11 16.97cm= 2. ב

KBC

139.2cmS KC. ג = 20.02cm=

30.75°. ג 23.47cm. ב 20.17cm. א 12

BD. א 13 19.21cm= ב .BDC 24.04

o=�

KM. א 14 17.66cm= 3. ב

1590cmV BMK. ג = 56.45

o=�

KEM. א 15 71.67

o=� 9.544. בcma =

AB. א 16 5.798cm , BF 11.19cm= 3. ב =

376.1cmV BHF. ג = 53.76

o=�

2.005cmr. א 17 2. ב =

107.1cmM 12.75cmH. ג = =

BDC. א 18 31.60

o=� 2. ב

789.9cmP =

2. ב 38.19cm. א 19

555.8cmS 70.27°. ג =

AB. א 20 22.37cm= 32.31. ב

o 2. ג

2083cmP =

34.53cmh. א 21 A. ב = 35.51cmΒ 4. ג = 3

2.698 10 cmV = ×

8.019cmR. ב 57.53°. א 22 =

3 .א 23

960cmV AC. ב = 18.79cm′ B. ג = C A 64.80′ ′ = °�

2. א 24

98.35cmP 3. ב =

50.91cmV 54.74° .ג =



הדרכה ותרגול – טכנולוגיתהמכינה ל מתמטיקה המחלקה ללימודי תעודה_______________________________________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________


הגדרות ותכונותהגדרות ותכונותהגדרות ותכונותהגדרות ותכונות ––––הנדסה הנדסה הנדסה הנדסה : : : : נספח נספח נספח נספח


הגדרות ותכונות של מושגי� וצורות הנדסיות אות� ה� פוגשי� , עבור התלמידי�, מטרת נספח זה היא לסכ�

.הנדסת המרחבב וה� בהנדסת המישור מקי� ה� מושגי�הנספח .במהל� לימודי המתמטיקה במכינה הטכנולוגית

זוויותזוויותזוויותזוויות

::::הגדרות הגדרות הגדרות הגדרות

שני קווי� ישרי� היוצאי� מנקודה אחתנוצרת בי� זוויתזוויתזוויתזווית

קודקוד הזוויתקודקוד הזוויתקודקוד הזוויתקודקוד הזוויתהנקודה נקראת

שוקי הזוויתשוקי הזוויתשוקי הזוויתשוקי הזוויתאו קרניי�קרניי�קרניי�קרניי�שני הישרי� נקראי�

י הקודקוד ושתי נקודות "לזהות עפאו ..),α,β,γ(לציי� בשרטוטי� באותיות יווניות קטנות את הזוויות נוהגי� •

ABCα: �בצירו� הסימו� , המגדירות את קרני הזווית =� האות המרכזית מציינת ABCבשלישיה ( �

א� נקודה ). והאותיות משני צידיה את שתי הקרניי� – Bבמקרה הנוכחי –תמיד את קודקוד הזווית

).כמו בדוגמאות שלהל�(י מספרי� "נוהגי� להבדיל ביניה� ע, מסוימת משמשת קודקוד למספר זוויות

:::: זוויות ותכונותיה�זוויות ותכונותיה�זוויות ותכונותיה�זוויות ותכונותיה�סוגי סוגי סוגי סוגי

90° #קטנה מ חדהחדהחדהחדהזווית •

90°= ישרהישרהישרהישרהזווית •

)180° #וקטנה מ( 90° #גדולה מ קההקההקההקההזווית •

180°= שטוחהשטוחהשטוחהשטוחהכל נקודה על קו ישר מגדירה זווית •

)2#4, 1#3( שוות זו לזוקודקודיות קודקודיות קודקודיות קודקודיות זוויות •

: יוצר שלושה סוגי� של צמדי זוויות ישר החות� שני מקבילי� •

o 4#8, 3#7, 2#6, 1#5(שוות זו לזו מתאימותמתאימותמתאימותמתאימותזוויות(

o 4#6, 3#5, 2#8, 1#7( שוות זו לזו מתחלפותמתחלפותמתחלפותמתחלפותזוויות(

o משלימותמשלימותמשלימותמשלימותזוויות � )4#5, 3#6, 2#7 ,1#8( 180°= סכומ

1 2

3 4

5 6

7 8

1 2

3 4

α

A

B

C

הגדרות ותכונות –הנדסה : נספח הדרכה ותרגול – טכנולוגיתהמכינה למתמטיקה _______________________________________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________


משולשי�משולשי�משולשי�משולשי�


.י הקווי� המחברי� שלוש נקודות שאינ� על קו ישר אחד"הוא צורה הנוצרת ע משולשמשולשמשולשמשולש •

.קודקודי המשולשקודקודי המשולשקודקודי המשולשקודקודי המשולששלוש הנקודות נקראות •

את הקודקודי� נוהגי� לציי� בשרטוטי� באותיות לטיניות גדולות

)A,B,C,.(..

צלעות צלעות צלעות צלעות � שלושת הקטעי� המחברי� את הקודקודי� נקראי •

.המשולשהמשולשהמשולשהמשולש

את הצלעות נוהגי� לציי� בשרטוטי� באותיות לטיניות קטנות

)a,b,c,(.. ,י הנקודות המהוות את קצות הצלע "או עפ

)AB,AC,BC,.(..

משולש כללי משולש כללי משולש כללי משולש כללי

:הזוויות במשולש •

o 180°= סכו� כל הזוויות במשולש

o והזווית הקטנה ביותר נמצאת , ל הצלע הגדולה ביותרהזווית הגדולה ביותר במשולש נמצאת תמיד מו

.תמיד מול הצלע הקטנה ביותר

o או זווית קהה אחת, במשולש יכולה להיות לכל היותר זווית ישרה אחת.

.180° #זווית הצמודה לזווית פנימית במשולש ומשלימה אותה ל= זווית חיצונית במשולשזווית חיצונית במשולשזווית חיצונית במשולשזווית חיצונית במשולש •

o צמודות להזווית חיצונית במש � .ולש שווה לסכו� שתי הזוויות הפנימיות שאינ

o 360° –סכו� זוויות חיצוניות במשולש שווה ל.

והפרש כל שתי צלעות תמיד קט� מהצלע , במשולש סכו� כל שתי צלעות תמיד גדול מהצלע השלישית •

.השלישית

:בכל משולש קיימי� – משפטי� טריגונומטריי�משפטי� טריגונומטריי�משפטי� טריגונומטריי�משפטי� טריגונומטריי� •

o ט הסינוסי�משפ )R – 2 ) :את המשולש רדיוס המעגל החוס�

sin sin sin

a b cR

α β γ= = =

o 2 : משפט הקוסינוסי� 2 2

2 cosc a b ab γ= + −

)משפט הקוסינוסי� הוא הכללה של משפט פיתגורס למשולש כללי(

קטעי� מיוחדי� במשולשקטעי� מיוחדי� במשולשקטעי� מיוחדי� במשולשקטעי� מיוחדי� במשולש

.תיכו�תיכו�תיכו�תיכו�ו נקרא קטע ישר המחבר קודקוד במשולש ע� מרכז הצלע שמול •

.גובהגובהגובהגובהקטע ישר המחבר קודקוד במשולש ע� הצלע שמולו כ� שהוא מאונ� לצלע נקרא •

קטע ישר המחבר קודקוד במשולש ע� הצלע שמולו כ� שהוא מחלק את הזווית שבקודקוד לשתי זוויות שוות •

.חוצה זוויתחוצה זוויתחוצה זוויתחוצה זוויתבגודל� נקרא

A

B C

a

b c

α

β γ


_______________________________________________________________________________


שוקיי�שוקיי�שוקיי�שוקיי�# # # # משולש שווהמשולש שווהמשולש שווהמשולש שווה


.))))שששש""""משמשמשמש(((( שוקיי�שוקיי�שוקיי�שוקיי�# # # # משולש שווהמשולש שווהמשולש שווהמשולש שווהנקרא שתיי� מצלעותיו שוותמשולש ש

.שוקיי�שוקיי�שוקיי�שוקיי�נקראות שתי הצלעות השוות

.בסיסבסיסבסיסבסיסהצלע השלישית נקראת

.זווית הראשזווית הראשזווית הראשזווית הראש תנקרא )כנגד הבסיס(הזווית שבי� השוקיי�

.זוויות הבסיסזוויות הבסיסזוויות הבסיסזוויות הבסיסהזוויות שבצידי הבסיס נקראות

:::: משפטי�משפטי�משפטי�משפטי�////ותותותותתכונתכונתכונתכונ

.שוקיי� שוות זו לזו#זוויות הבסיס במשולש שווה •

.שוקיי�#המשולש שווה –זוויות שוות א� במשולש שתי •

.שוקיי� חייבות להיות חדות#זוויות הבסיס במשולש שווה •

.)א� זוויות הבסיס אינ� חדות קווי השוקיי� לא יפגשו(

.התיכו� לבסיס הוא ג� גובה וג� חוצה את זווית הראש •

זוויתזוויתזוויתזווית# # # # משולש ישרמשולש ישרמשולש ישרמשולש ישר


.זוויתזוויתזוויתזווית# # # # ישרישרישרישרמשולש משולש משולש משולש נקרא ) 90°(=אחת מזוויותיו ישרה משולש ש

.ניצבי�ניצבי�ניצבי�ניצבי�שתי הצלעות שלצידי הזווית הישרה נקראות

.יתריתריתריתרהצלע שמול הזווית הישרה נקראת


.90°וסכומ� , ה� זוויות חדות) שאינ� ישרות(שתי הזוויות האחרות •

.כל אחד מהניצבי� הוא ג� גובה •

: !)קיי� א� ורק במשולש ישר זווית( רסמשפט פיתגו •

2–סכו� ריבועי הניצבי� שווה לריבוע היתר 2 2

a b c+ =

צלעותצלעותצלעותצלעות# # # # משולש שווהמשולש שווהמשולש שווהמשולש שווה


.))))צצצצ""""משמשמשמש(((( צלעותצלעותצלעותצלעות# # # # משולש שווהמשולש שווהמשולש שווהמשולש שווהכל צלעותיו שוות נקרא משולש ש

::::ות ות ות ות תכונתכונתכונתכונ

.60°= צלעות שוות זו לזו #כל הזוויות במשולש שווה •

.)א� לא להיפ�(שוקיי� #צלעות הוא ג� משולש שווה# כל משולש שווה •

.כל תיכו� הוא ג� גובה וג� חוצה זווית •

.זווית#צלעות אינו יכול להיות ישר#משולש שווה •

A

B C

a

b c

α

β γ

A

B

C a

b c

α

β 90°

A

B C

a

b c

60° 60°

60°


_______________________________________________________________________________


מלב�

מרובעי�מרובעי�מרובעי�מרובעי�

:::: הגדרההגדרההגדרההגדרה

.צלעות 4מרובע הוא צורה מישורית בעלת


360°= סכו� הזוויות במרובע •

4צורה כללית בעלת ל מתיחס מרובעמרובעמרובעמרובע המושג –יש לשי� לב למינוח •

מרובע משוכללהוא ריבועריבועריבועריבוע. ללא כל תנאי על הצלעות והזוויות, צלעות

)� ).כל הצלעות שוות זו לזו באורכ� וכל הזוויות שוות זו לזו בגודל

מקביליתמקביליתמקביליתמקבילית


.מקביליתמקביליתמקביליתמקבילית נקרא קבילות זו לזוצלעות נגדיות שלו מ זוגמרובע שכל


.בגודל� כל שתי זוויות נגדיות במקבילית שוות זו לזו •

.באורכ� כל שתי צלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו •

.180°סכו� כל שתי זוויות סמוכות במקבילית הוא •

.האלכסוני� במקבילית חוצי� זה את זה •

:::: משפטי מקביליתמשפטי מקביליתמשפטי מקביליתמשפטי מקבילית

.הוא מקביליתאז המרובע באורכ� שוות זו לזו ג� מקבילות ו שה� ג�צלעות נגדיות זוגיש מרובע א� ב •

.אז הוא מקביליתבגודל� א� במרובע כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו •

.אז הוא מקבילית באורכ� א� במרובע כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו •

.יתא� במרובע האלכסוני� חוצי� זה את זה אז הוא מקביל •

� מלב�מלב�מלב�מלב


.לב�לב�לב�לב�ממממ נקרא בגודל� זו לזו זוויותיו שוותמרובע שכל


• � .זוויות ישרות= 90° בנות כל הזוויות במלב

• �א� במקבילית זווית אחת ישרה אז ( מקבילית בעלת זווית ישרההוא מלב

.)כל שאר הזוויות ג� חייבות להיות ישרות

.זו לזו ומקבילות באורכ� ות במלב� שוותצלעות נגדי •

.צלעות סמוכות במלב� מאונכות זו לזו •

.וחוצי� זה את זה באורכ� האלכסוני� במלב� שווי� •

� :::: משפטי מלב�משפטי מלב�משפטי מלב�משפטי מלב

.אז הוא מלב� בגודל� א� במרובע כל הזוויות שוות •

מקבילית

A

B

C

α β

γ

D

δ


_______________________________________________________________________________


ריבוע

.זווית ישרה אז היא מלב� יש א� במקבילית •

.)שני התנאי� נדרשי�( אז היא מלב� וחוצי� זה את זה כ�באור א� במקבילית האלכסוני� שווי� זה לזה •

� מעוי�מעוי�מעוי�מעוי


.עוי�עוי�עוי�עוי�ממממ באורכ� נקראזו לזו צלעותיו שוותמרובע שכל


• � .מעוי� הוא מקבילית שבה כל הצלעות שוות באורכ

.חוצי� את זוויות המעוי� ומאונכי� זה לזה, האלכסוני� במעוי� חוצי� זה את זה •

.זווית חופפי�# משולשי� ישרי 4 # לקי� את המעוי� להאלכסוני� מח •

.בגודל� זוויות נגדיות במעוי� שוות •

� :::: משפטי מעוי�משפטי מעוי�משפטי מעוי�משפטי מעוי

.אז הוא מעוי� באורכ� א� במרובע כל הצלעות שוות •

.אז היא מעוי�באורכ� א� במקבילית שתי צלעות סמוכות שוות זו לזו •

• � .א� במקבילית האלכסו� חוצה זווית אז היא מעוי

.לית האלכסוני� מאונכי� זה לזה אז היא מעוי�א� במקבי •

ריבועריבועריבועריבוע


.ריבועריבועריבועריבוע וכל זוויותיו שוות זו לזו בגודל� נקרא באורכ� זו לזו צלעותיו שוותמרובע שכל


.ריבוע הוא מרובע משוכלל •

.90° # כל הזוויות בריבוע שוות ל •

.זו לזוצלעות סמוכות בריבוע מאונכות •

• � .ריבוע הוא מעוי� שכל זוויותיו שוות בגודל

• � .ריבוע הוא מלב� שכל צלעותיו שוות באורכ

.ומאונכי� זה לזה, חוצי� את זוויות הריבוע, באורכ� שווי� זה לזה, האלכסוני� בריבוע חוצי� זה את זה •

:::: משפטי ריבועמשפטי ריבועמשפטי ריבועמשפטי ריבוע

.א� במלב� אחד מהאלכסוני� חוצה זווית אז הוא ריבוע •

• � .האלכסוני� מאונכי� זה לזה אז הוא ריבוע א� במלב

.אז הוא ריבוע באורכ� א� במעוי� האלכסוני� שווי� זה לזה •

.אז הוא ריבוע באורכ� וכל הצלעות שוות בגודל� א� במרובע כל הזוויות שוות •

ואחד האלכסוני� חוצה זווית אז הוא באורכ� שווי� זה לזה, א� במרובע האלכסוני� חוצי� זה את זה •

.ועריב

.ומאונכי� זה לזה אז הוא ריבוע באורכ� שווי� זה לזה, א� במרובע האלכסוני� חוצי� זה את זה •

מעוי�


_______________________________________________________________________________


טרפזטרפזטרפזטרפז


.טרפזטרפזטרפזטרפזמקבילות נקרא אינ�של צלעות נגדיות שנימקבילות וזוג ה� מרובע שבו זוג אחד של צלעות נגדיות

.בסיסי�בסיסי�בסיסי�בסיסי�הצלעות המקבילות נקראות

.שוקיי�שוקיי�שוקיי�שוקיי�הצלעות שאינ� מקבילות נקראות


.)בי� ישרי� מקבילי� זוויות משלימות( 180°סכו� הזוויות ליד כל שוק הוא •

))))שששש""""טשטשטשטש((((שוקיי� שוקיי� שוקיי� שוקיי� # # # # טרפז שווהטרפז שווהטרפז שווהטרפז שווה


.שוקיי�שוקיי�שוקיי�שוקיי�# # # # שווהשווהשווהשווה טרפזטרפזטרפזטרפזנקרא השוקיי� שוות באורכ�שבו טרפז


.בגודל� ש שוות זו לזו"זוויות שליד כל בסיס בטש זוגכל •

.1800ש "סכו� כל שתי זוויות נגדיות בטש •

.באורכ� ש שווי� זה לזה"האלכסוני� בטש •

.בגודל� ש שוות זו לזו"כל ארבע הזוויות שבי� האלכסוני� לבסיסי� בטש •

.באורכ� הקטעי� בי� שני הקצוות של כל בסיס לנקודת החיתו� של האלכסוני� שווי� זה לזה •

:::: שששש""""משפטי טשמשפטי טשמשפטי טשמשפטי טש

.ש"זו לזו אז הוא טש א� בטרפז השוקיי� שוות •

• � .ש"אז הוא טש 180°א� בטרפז יש זוג זוויות נגדיות שסכומ

.ש"אז הוא טש בגודל� ת שליד אחד מהבסיסי� שוות זו לזוא� בטרפז הזוויו •

.ש"אז הוא טשבאורכ� א� בטרפז האלכסוני� שווי� זה לזה •

זוויתזוויתזוויתזווית# # # # טרפז ישרטרפז ישרטרפז ישרטרפז ישר


.זוויתזוויתזוויתזווית# # # # ישרישרישרישר טרפזטרפזטרפזטרפזנקרא השוקיי� מאונכת לבסיסי� אחת שבו טרפז


.זווית#א� בטרפז אחת השוקיי� מאונכת לאחד הבסיסי� אז הוא טרפז ישר •

� דלתו�דלתו�דלתו�דלתו


.דלתו�דלתו�דלתו�דלתו�ובסיס משות� נקרא שוקיי� בעלי שוקיי� שונות#מרובע הבנוי משני משולשי� שווי

:::: ותותותותתכונתכונתכונתכונ

.באורכ� שוותהסמוכות צלעותשל שני זוגות בדלתו� יש •

.האלכסוני� בדלתו� מאונכי� זה לזה •

.חוצה את זוויות הראש ואת האלכסו� השני") האלכסו� החוצה"או " אלכסו� הראשי"ה(אלכסו� אחד •


_______________________________________________________________________________


משוכללי�משוכללי�משוכללי�משוכללי�מצולעי� מצולעי� מצולעי� מצולעי�

:::: הגדרותהגדרותהגדרותהגדרות

.צורה מישורית בעלת מספר כלשהו של צלעות – מצולעמצולעמצולעמצולע •

.בגודל� וכל זוויותיו שוותדל� שוות בגויו תצלעו מצולע שכל – משוכללמשוכללמשוכללמשוכלל מצולעמצולעמצולעמצולע •

במצולע ).בי� הצלעות הנפגשות בקודקוד זה(הזווית הנוצרת בכל אחד מקודקודי המצולע – זווית היקפיתזווית היקפיתזווית היקפיתזווית היקפית •

� .משוכלל כל הזוויות ההיקפיות שוות בגודל

::::דוגמאות דוגמאות דוגמאות דוגמאות

.72°במחומש משוכלל כל זווית היקפית היא בת . צלעות 5מצולע בעל –מחומש •

.60°במשושה משוכלל כל זווית היקפית היא בת . צלעות 6מצולע בעל –משושה •

• � .45°במתומ� משוכלל כל זווית היקפית היא בת . צלעות 8מצולע בעל –מתומ

:::: משפטי�משפטי�משפטי�משפטי�////תכונותתכונותתכונותתכונות

.מרכז המצולעמרכז המצולעמרכז המצולעמרכז המצולענקודה זו נקראת . י� מכל הקודקודי�במצולע משוכלל קיימת נקודה הנמצאת במרחקי� שוו •

אלא א� שלוש הנקודות (שוקיי� # יוצר יחד ע� מרכז המצולע משולש שווה קודקודי�כל זוג במצולע משוכלל •

).ואז מרכז המצולע נמצא במרכז הקטע המחבר את שני הקודקודי�, נמצאות על קו ישר אחד

ות היא בת צלע nהזווית ההיקפית במצולע משוכלל בעל •( )2

180

n

nα

−= °.

α


_______________________________________________________________________________


המעגלהמעגלהמעגלהמעגל

הוא ) מרכז המעגלמרכז המעגלמרכז המעגלמרכז המעגל(המקו� הגיאומטרי של כל הנקודות שמרחק� מנקודה אחת – מעגלמעגלמעגלמעגל

.שווה בגודלו


רדיוסרדיוסרדיוסרדיוס= = = = מחוג מחוג מחוג מחוג .קטע המחבר את מרכז המעגל ע� נקודה שעל המעגל

.משמש ג� לציו� אור� הקטע רדיוסרדיוסרדיוסרדיוסאו מחוגמחוגמחוגמחוגהמונח

.קטע המחבר שתי נקודות על המעגל מיתרמיתרמיתרמיתר

.מיתר העובר דר� מרכז המעגל קוטרקוטרקוטרקוטר

.חלק מהמעגל שבי� שתי נקודות שעליו קשתקשתקשתקשת

.המעגל ונשענת על מיתר או קשת זווית שהקודקוד שלה במרכז זווית מרכזיתזווית מרכזיתזווית מרכזיתזווית מרכזית

.זווית שהקודקוד שלה על היק� המעגל ונשענת על מיתר או קשת זווית היקפיתזווית היקפיתזווית היקפיתזווית היקפית

.קו ישר הנוגע במעגל בנקודה אחת בלבד משיקמשיקמשיקמשיק

מרחק מיתר מרחק מיתר מרחק מיתר מרחק מיתר

מהמרכזמהמרכזמהמרכזמהמרכז

הקטע המחבר את מרכז המעגל ע� מרכז המיתר ומאונ� אורכו של

.לו


.לפעמיי� הרדיוסבאורכו שווה הקוטר •

.וחוצי� זה את זהבאורכ� כל הקטרי� שווי� זה לזה •

• � .על מיתרי� שווי� נשענות זוויות מרכזיות שוות ולהפ

.על קשתות שוות ולהפ�זוויות מרכזיות שוות נשענות •

• � .למיתרי� שווי� מתאימות קשתות שוות ולהפ

• � .לזווית המרכזית הגדולה מתאימה הקשת הגדולה ומתאי� המיתר הגדול ולהפ

• � .מיתרי� שווי� במעגל נמצאי� במרחקי� שווי� מהמרכז ולהפ

קט� ממרחקו של א� במעגל מיתר אחד יותר גדול ממיתר שני אז מרחקו מהמרכז של המיתר הגדול יותר •

� .המיתר הקט� ולהפ

:אנ� ממרכז המעגל למיתר במעגל •

חוצה את המיתר �

חוצה את הזווית המרכזית �

חוצה את הקשת המתאימה למיתר �


_______________________________________________________________________________


תתתתזוויות מרכזיות והיקפיוזוויות מרכזיות והיקפיוזוויות מרכזיות והיקפיוזוויות מרכזיות והיקפיו

.במעגל שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת תהזווית ההיקפי •

.מות קשתות שוות ומיתרי� שווי�שוות במעגל מתאי תהיקפיו/לזוויות מרכזיות •

.היקפיות שוות/למיתרי� שווי� או קשתות שוות במעגל מתאימות זוויות מרכזיות •

הזווית המרכזית שווה בגודלה לפעמיי� הזווית , זווית היקפית וזווית מרכזית הנשענות על אותה הקשת •

.ההיקפית

.זווית היקפית במעגל הנשענת על קוטר היא זווית ישרה •

.נשענת על הקוטר במעגל 90° # היקפית השווה ל זווית •

משיק למעגלמשיק למעגלמשיק למעגלמשיק למעגל

.המשיק למעגל מאונ� לרדיוס בנקודת ההשקה •

.הישר המאונ� לרדיוס בקצהו הוא משיק למעגל •

.המשיקי� היוצאי� מנקודה אחת לאותו מעגל שווי� באורכ� •

.שווה לזווית ההיקפית הנשענת על מיתר זה, חתהזווית הכלואה בי� משיק ומיתר הנחתכי� בנקודה א •

.קו ישר המחבר את מרכז המעגל ע� נקודת המפגש של שני משיקי� חוצה את הזווית שבי� המשיקי� •

שני מעגלי�שני מעגלי�שני מעגלי�שני מעגלי�

.נמצאת נקודת השקת� בקטע המחבר את מרכזיה�, א� שני מעגלי� משיקי� זה לזה •

.חוצה את המיתר המשות� ומאונ� לו, בי� המרכזי� של שני מעגלי� נחתכי� קטע המחבר •


_______________________________________________________________________________


מצולעי� חסומי� וחוסמי� במעגלמצולעי� חסומי� וחוסמי� במעגלמצולעי� חסומי� וחוסמי� במעגלמצולעי� חסומי� וחוסמי� במעגל


.צורה מישורית בעלת מספר כלשהו של צלעות – מצולעמצולעמצולעמצולע •

המעגל חסו� המעגל חסו� המעגל חסו� המעגל חסו� אז אומרי� ש, )המעגל בתו� המצולע( א� קיי� מעגל כ� שכל צלעות המצולע משיקות לו •

.המצולע חוס� את המעגלהמצולע חוס� את המעגלהמצולע חוס� את המעגלהמצולע חוס� את המעגלאו ש, ולעולעולעולעבמצבמצבמצבמצ

המעגל המעגל המעגל המעגל אז אומרי� ש, )המצולע בתו� המעגל(מונחי� על המעגל המצולע קודקודיא� קיי� מעגל כ� שכל •

.מעגלמעגלמעגלמעגלו� בו� בו� בו� בססססהמצולע חהמצולע חהמצולע חהמצולע חאו ש, חוס� את המצולעחוס� את המצולעחוס� את המצולעחוס� את המצולע


).המשולש בתו� המעגל(כל משולש נית� לחסו� במעגל •

).ו� המשולשהמעגל בת(לכל משולש קיי� מעגל חסו� •

.שלושת חוצי הזווית במשולש נפגשי� בנקודה אחת שהיא מרכז המעגל החסו� •

.מרכז המעגל החוס� משולש הוא נקודת המפגש של האנכיי� האמצעיי� של המשולש •

:כל מרובע נית� לחסו� מעגל ולא ב, לא כל מרובע נית� לחסו� במעגל, לעומת זאת •

o של שתי הצלעות האחרות, במרובע החוס� מעגל � .סכו� שתי צלעות נגדיות שווה לסכומ

o של שתי הצלעות הנגדיות האחרותרק �יכול לחסו� , מרובע שבו סכו� שתי צלעות נגדיות שווה לסכומ

.מעגל

o 180° # במרובע החסו� במעגל סכו� כל שתי זוויות נגדיות שווה ל.

o לחסו� במעגל , 180° #מרובע שבו סכו� שתי זוויות נגדיות שווה לרק � .")בר חסימה"נקרא מרובע (נית


_______________________________________________________________________________


מקומות גיאומטריי�מקומות גיאומטריי�מקומות גיאומטריי�מקומות גיאומטריי�


.קיימות תכונה משותפתאוס� נקודות המ – מקו� גיאומטרימקו� גיאומטרימקו� גיאומטרימקו� גיאומטרי

אנ� אמצעי כמקו� גיאומטריאנ� אמצעי כמקו� גיאומטריאנ� אמצעי כמקו� גיאומטריאנ� אמצעי כמקו� גיאומטרי


� .לקטע אנ� אמצעיאנ� אמצעיאנ� אמצעיאנ� אמצעי ועובר במרכזו נקרא ABלקטע ישר המאונ


הוא אוס� כל הנקודות שמרחקיה� מקצות AB אנ� אמצעי לקטע •

קיה� מרח – אמצעיהאנ� על הודות כל הנק( שווי� B # ו Aהקטע

).שווי� B # ו Aמקצות הקטע

MAאז –היא נקודה על האנ� האמצעי Mא� : בניסוח אחר • MB=

� .ולהפ

שלושת האנכי� האמצעיי� במשולש נפגשי� בנקודה אחת שהיא מרכז •

.המעגל החוס� את המשולש

).זווית#קהה/ ישר / משולש חד : יש לשי� לב לשלושה מצבי�(

חוצה זווית כמקו� גיאומטריחוצה זווית כמקו� גיאומטריחוצה זווית כמקו� גיאומטריחוצה זווית כמקו� גיאומטרי


.תתתתזוויזוויזוויזווי# # # # חוצהחוצהחוצהחוצה קו ישר המחלק זווית נתונה לשתי זוויות שוות בגודל� נקרא


.הוא אוס� כל הנקודות הנמצאות במרחקי� שווי� משוקי הזוויתחוצה הזווית •

.כל נקודה על חוצה הזווית נמצאת במרחקי� שווי� משוקי הזווית: בניסוח אחר •

• )� .� שווי� משוקי הזווית נמצאת על חוצה הזוויתכל נקודה הנמצאת במרחקי) משפט הפו

A B

M


_______________________________________________________________________________


הנדסת המרחבהנדסת המרחבהנדסת המרחבהנדסת המרחב

פאוני�פאוני�פאוני�פאוני�

� .י משטחי� ישרי� היוצרי� צורות מישוריות"הינו גו� המוגבל ע פאו�פאו�פאו�פאו

).ביחיד פאהפאהפאהפאה( פאותפאותפאותפאותאת הגו� נקראות ) ובכ� ג� מגדירות(הצורות המישוריות המגבילות •

....עעעעמקצומקצומקצומקצוקו זה נקרא . כל זוג פאות סמוכות נפגשות בקו ישר •

, מקצועות 3בכל קודקוד נפגשי� לפחות ). ביחיד קודקודקודקודקודקודקודקוד( קודקודי�קודקודי�קודקודי�קודקודי�נקודות המפגש של המקצועות נקראות •

.ייתכ� מספר גדול יותר של מקצועות הנפגשי� באותה הנקודה, י צורת הגו�"ועפ

.ופירמידה ישרה) וקוביה כמקרה פרטי(תיבה : אנו נעסוק בשני סוגי� של גופי� כאלה

תיבהתיבהתיבהתיבה

.שכל פיאותיו ה� מלבני�) פאו�(ינה גו� ה תיבהתיבהתיבהתיבה

::::תכונות תכונות תכונות תכונות

)ABCDEFGHהקודקודי� ה� אלהבאיור שמשמאל –קודקודי� 8לתיבה •

, ABCD ,ABFE ,BCGFבאיור שמשמאל אלה ה� המלבני� – פאות 6לתיבה •

CDHG ,ADHE ,ו# EFGH.

.כל הפיאות הסמוכות מאונכות זו לזו •

).זוגות 3כ "סה(פפות כל זוג פיאות נגדיות ה� מקבילות וחו •

, AB ,BC ,CD ,AD ,AE ,BF ,CG ,DH ,EF ,FGבאיור שמשמאל אלה ה� הקטעי� –מקצועות 12לתיבה •

GH ,ו # HE.

.מאונכי� זה לזה הנפגשי� בנקודה אחת כל המקצועות. מקצועות 3בכל קודקוד נפגשי� •

לדוגמא ( שווי� באורכ�רביעיות של מקצועות המקבילי� זה לזה ו 3 #המקצועות מתחלקי� ל 12 •

AB=CD=EF=GH.(

::::ות ות ות ות הגדרהגדרהגדרהגדר

).ADHEבפיאה AH לדוגמא ( אלכסו� הפיאהאלכסו� הפיאהאלכסו� הפיאהאלכסו� הפיאההקטע המחבר קודקודי� נגדיי� בפיאה נקרא •

)באיור משמאל BHלדוגמא ( אלכסו� התיבהאלכסו� התיבהאלכסו� התיבהאלכסו� התיבההקטע המחבר קודקודי� נגדיי� בתיבה נקרא •

.הבסיסהבסיסהבסיסהבסיסצור או בקי, בסיס התיבהבסיס התיבהבסיס התיבהבסיס התיבהנקראת .) ABCD –באיור משמאל (הפיאה התחתונה •

.גובה התיבהגובה התיבהגובה התיבהגובה התיבהנקראי� ) AE ,BF ,CG ,DH(המקצועות המאונכי� לבסיס •

וה� , התלויות כמוב� באופ� שבו מונחת התיבה, ההגדרות של בסיס וגובה ה� הגדרות של נוחות: הערה (

).משתנות א� משני� את תנוחת התיבה

V: ח היא הנוסחא לחישוב הנפ. הינו מכפלת שטח הבסיס בגובה התיבה התיבההתיבההתיבההתיבה נפחנפחנפחנפח • abc=.

:הנוסחא לחישוב שטח הפני� היא . פני התיבהפני התיבהפני התיבהפני התיבהפיאות התיבה נקרא 6השטח הכולל של כל •

( )2P ab ac bc= + +

הנוסחא לחישוב שטח המעטפת . התיבההתיבההתיבההתיבה מעטפתמעטפתמעטפתמעטפתפיאות התיבה המאונכות לבסיס נקרא 4השטח הכולל של •

:היא

A B

C

D

H

E

F

G

a b

c


_______________________________________________________________________________


( )2M ac bc= +

:::: נוספותנוספותנוספותנוספות תכונותתכונותתכונותתכונות

אור� אלכסו� ).תכונות מלב�(בכל פיאה שני אלכסוני� השווי� זה לזה באורכ� ואשר חוצי� זה את זה •

2: לדוגמא . י משפט פיתגורס"הפיאה נית� ע 2

AH b c= +.

) :DF #ו, AG ,BH ,CEבאיור שמשמאל אלה ה� (אלכסוני תיבה 4כ יש בתיבה "בסה •

2: הנוסחא לחישוב האור� .כסוני התיבה שווי� באורכ�כל אל • 2 2

BH a b c= + משפט פיתגורס ( +

).בתיבה

.וה� חוצי� זה את זה) מרכז התיבה(כל האלכסוני� נפגשי� בנקודה אחת •

קוביהקוביהקוביהקוביה


.פיאותיה ה� ריבועי�הינה תיבה שכל קוביהקוביהקוביהקוביה


.זה באורכ�ה שווי� זה ליבקוכל מקצועות ה •

.ה חופפותיבקוכל פיאות ה •

3: הנוסחא לחישוב הנפח היא – ההההייייבבבבקוקוקוקוהההה נפחנפחנפחנפח •

V a= )a – מקצוע הקוביה � ).אור

2 :הנוסחא לחישוב שטח הפני� היא . פיאות חופפות 6כוללי� – פני התיבהפני התיבהפני התיבהפני התיבה •

6P a=

BH: הנוסחא לחישוב האור� .כל אלכסוני הקוביה שווי� זה לזה באורכ� • 3a=.

AH: הנוסחא לחישוב האור� .כל אלכסוני פיאות הקוביה שווי� זה לזה באורכ� • 2a=.

פירמידהפירמידהפירמידהפירמידה


.אשר פיאותיו ה� משולשי� אשר קודקודיה� נפגשי� בנקודה אחת, הינה פיאו� בעל בסיס פירמידהפירמידהפירמידהפירמידה

.קודקוד הפירמידהקודקוד הפירמידהקודקוד הפירמידהקודקוד הפירמידהנקראת שבה נפגשי� קודקודי הפיאות דה נקוה

. שוקיי�#אנחנו נעסוק רק בפירמידות אשר פיאותיה� ה� משולשי� שווי

.פירמידה ישרהפירמידה ישרהפירמידה ישרהפירמידה ישרהפירמידה כזו נקראת

אול� אנו נעסוק רק , להיות מצולע כלשהו, בעיקרו�, בסיס הפירמידה יכול

� .)פרטי של מלב� כמקרה, ריבועאו (בפירמידות שבסיס� הינו מלב

היא קודקוד Kנקודה ה. שבסיסה מלב� ,ABCDK רטוט נראית פירמידהשב

.הפירמידה

.נקודת החיתו� של האלכסוני� –מרכז הבסיס היא Mנקודה ה

.גובה הפירמידהגובה הפירמידהגובה הפירמידהגובה הפירמידההוא –צא מקודקוד הפירמידה וניצב לבסיס יוה KMהקטע

.מקצועות צדדיי�מקצועות צדדיי�מקצועות צדדיי�מקצועות צדדיי� נקראי� –לבסיס לקודקודיקודקוד הפירמידה מחברי� את ה KA ,KB ,KC ,KD י�הקטע

A B

C

D

H

E

F

G

A

K

D

C

B

h

a

b M


_______________________________________________________________________________


.מעטפת הפירמידהמעטפת הפירמידהמעטפת הפירמידהמעטפת הפירמידההמקיפי� את הפירמידה נקרא ) המשולשי�(הצירו� של כל הפיאות

.פני הפירמידהפני הפירמידהפני הפירמידהפני הפירמידההצירו� של מעטפת הפירמידה ע� הבסיס נקרא


: טח הבסיס כפול הגובהנפח הפירמידה שווה לשליש ש •3

BhV גובה = h #שטח הבסיס ו= B # כש, =

.הפירמידה

:נפח פירמידה שבסיסה מלב� הוא, בפרט •3

abhV .צלעות הבסיס= a,b #כש, =

).משולשי�(שטח המעטפת של הפירמידה הוא סכו� של כל השטחי� של הפיאות הצדדיות •

.ח הפני� של הפירמידה הוא שטח המעטפת ועוד שטח הבסיסשט •

::::הגדרות נוספות הגדרות נוספות הגדרות נוספות הגדרות נוספות

המשולש : �MBKהיא כזווית זווית בי� מקצוע צדדי לבי� הבסיסזווית בי� מקצוע צדדי לבי� הבסיסזווית בי� מקצוע צדדי לבי� הבסיסזווית בי� מקצוע צדדי לבי� הבסיס •

MBK שבו המקצוע הצדדי , זווית#הוא משולש ישרBK הוא היתר ,

)סו�מחצית האלכ= ( MBהוא הניצב שמול הזווית והקטע MKהגובה

בפירמידה ישרה כל הזוויות בי� המקצועות .הוא הניצב שליד הזווית

.הצדדיי� לבי� הבסיס שוות

• �הינה מרכז Eהנקודה : �MEKהיא כזווית לבי� הבסיסלבי� הבסיסלבי� הבסיסלבי� הבסיס פיאהפיאהפיאהפיאהזווית בי� זווית בי� זווית בי� זווית בי

ג� חוצה את ( KBCש "הוא הגובה של המש KEואז הקטע , BCהקטע

, זווית#הוא משולש ישר MEKהמשולש ). BC # זווית הראש וג� תיכו� ל

הוא הניצב שמול הזווית MKגובה הפירמידה , הוא היתר KEשבו

.הוא הניצב שליד הזווית) ABמחצית צלע הבסיס (= MEוהקטע

.בפירמידה ישרה כל הזוויות בי� הפיאות לבסיס ה� שוות

גלילגלילגלילגליל


המקבילי� זה לזה והמשטח המחבר שני עיגולי� י שני עיגולי� זהי� "הוא גו� הנוצר ע גלילגלילגלילגליל

.אלה

גליל גליל גליל גליל גליל כזה נקרא . אנו נעסוק רק בגליל שבו המשטח המחבר מאונ� לשני העיגולי� •

.ישרישרישרישר

.הגלילהגלילהגלילהגליל ייייבסיסבסיסבסיסבסיס נקראי� גולי�יעשני ה •

).בשרטוט AB( גובה הגלילגובה הגלילגובה הגלילגובה הגלילהקטע המחבר את מרכזי שני הבסיסי� נקרא אז •

.מעטפת הגלילמעטפת הגלילמעטפת הגלילמעטפת הגלילנקרא ) לל הבסיסי�לא כו(המשטח המחבר את שני הבסיסי� •

.פני הגלילפני הגלילפני הגלילפני הגלילהצירו� של מעטפת הגליל יחד ע� שני הבסיסי� נקרא •


2: שטח הבסיס כפול הגובה –נפח הגליל הוא •

V r hπ= ,כש # r =רדיוס הבסיס ו# h =גובה הגליל.

A

K

D

C

B

h

a

b M

A

K

D

C

B

h

a

b M

E

r

h

A

B


_______________________________________________________________________________


אור�ל המעטפתי� את כוחות ,המעטפתכ� שנשארת רק ,מהמשטח המחבר י�הבסיס שני רידי� אתא� מפ •

2 מתקבל מלב� שאורכו הוא היק� הבסיס –ומשטחי� את החלק שנוצר )בשרטוט 'CC'–DD(הגובה rπ

שטח המלב� הוא , לפיכ� .h ורוחבו הוא גובה הגליל )שהרי הוא היה צמוד לבסיס העגול לפני ששיטחנו אותו(

2M ,שטח המעטפת של הגליל rhπ=.

2 :י� הבסיס י שנישטח ע�שטח המעטפת מתקבל מצירו� שטח הפני� של הגליל •

2 2P rh rπ π= +.

חרוטחרוטחרוטחרוט


דומה או כ, נית� לראות כגליל שבסיסו העליו� הצטמצ� לנקודה אחת חרוטחרוטחרוטחרוטהאת

.ללפירמידה שבסיסה עגו

.קודקוד החרוטקודקוד החרוטקודקוד החרוטקודקוד החרוטהיא K הנקודה •

.בסיס החרוטבסיס החרוטבסיס החרוטבסיס החרוטהוא M הנקודה ומרכזש התחתו� העיגול •

נית� לתאר ( גובה החרוטגובה החרוטגובה החרוטגובה החרוטוניצב לבסיסו הוא K שיוצא מקודקוד החרוט KM הישר •

KMחרוט שבו . א� אנו לא נעסוק בה�, אינו ניצב לבסיס KMג� חרוטי� שבה�

).חרוט ישרחרוט ישרחרוט ישרחרוט ישרניצב לבסיס נקרא

.חרוטחרוטחרוטחרוטמעטפת המעטפת המעטפת המעטפת הנקרא ) לא כולל הבסיס(בסיסי� ע� הקודקוד המשטח המחבר את ה •

.חרוטחרוטחרוטחרוטפני הפני הפני הפני ההצירו� של מעטפת החרוט יחד ע� הבסיס נקרא •

הקו – A' למשל הנק( קו יוצרקו יוצרקו יוצרקו יוצרע� אחת מנקודות ההיק� של הבסיס נקרא Kכל קו ישר המחבר את הקודקוד •

KA .(בחרוט ישר כל הקווי� היוצרי� שווי� באורכ�.


2: שליש שטח הבסיס כפול הגובה –כמו בפירמידה –הוא רוטחנפח ה •

1

3

V r hπ= ,כש# r = רדיוס הבסיס

.גובה החרוט= h # ו

שבו הקו היוצר הוא היתר וגובה החרוט , זווית# רדיוס הבסיס וגובה החרוט יוצרי� יחד משולש ישר, קו יוצר •

2, י משפט פיתגורס"עפ, לפיכ� מתקיי�). MKAלמשל המשולש (ורדיוס הבסיס ה� הניצבי� 2

r h= +�.

ומשטחי� את )בשרטוט 'K–AA( קו יוצר אור�ל המעטפתי� את כוחות ,מהמעטפתהבסיס רידי� אתא� מפ •

2 הוא היק� הבסיס � הקשת בהשאור ,ת גזרת עיגולמתקבל – ")כובע ליצ�"כמו ב( החלק שנוצר rπ ) שהרי

חשוב לשי� לב שרדיוס הגזרה של המעטפת ( � הקו היוצרהוא ורדיוסה )בסיסהקשת מתקבלת מהיק� ה

⇒

C

D' D

C'

CC'

DD'

M

K

A

�

r

h


_______________________________________________________________________________


M, חרוטהוא שטח המעטפת של ה גזרהשטח ה, לפיכ� .)אלא דווקא הקו היוצר, רדיוס הבסיס איננו rπ= �.

360הוא )במעלות( הגזרה גודל הזוית המרכזית של

rα = ⋅ °�

.

2 : הבסיס שטח ע�שטח המעטפת מתקבל מצירו� חרוטשטח הפני� של ה •

P r rπ π= +�.

כדורכדורכדורכדור

::::הגדרה הגדרה הגדרה הגדרה

.נמצאת במרחק זהה מנקודה מרכזית אחת) פניו(הינו גו� שכל נקודה בשפתו כדורכדורכדורכדור

.מרכז הכדורמרכז הכדורמרכז הכדורמרכז הכדורודה המרכזית נקראת הנק •

.הכדורהכדורהכדורהכדור) ) ) ) מחוגמחוגמחוגמחוג((((רדיוס רדיוס רדיוס רדיוס המרחק בי� מרכז הכדור לשפתו נקרא •


r : 3כדור בעל רדיוס נפח •

4

3

V rπ=.

: rבעל רדיוס כדורשל ) פני�( שטח המעטפת). אי� לו בסיס(בכדור אי� אבחנה בי� פני� ובי� מעטפת •

2

4M rπ=.

⇒

K

AA'

�

2 rπ

α

2 rπ

�

A

A'

K

r

בטכנולוגיה ובמדעבטכנולוגיה ובמדעבטכנולוגיה ובמדעבטכנולוגיה ובמדעהממשלתי להכשרה הממשלתי להכשרה הממשלתי להכשרה הממשלתי להכשרה המכו�המכו�המכו�המכו� המחלקה ללימודי תעודההמחלקה ללימודי תעודההמחלקה ללימודי תעודההמחלקה ללימודי תעודה

בחינות גמר ממלכתיותבחינות גמר ממלכתיותבחינות גמר ממלכתיותבחינות גמר ממלכתיות מכינה טכנולוגיתמכינה טכנולוגיתמכינה טכנולוגיתמכינה טכנולוגית

להנדסאי� וטכנאי� מוסמכי�להנדסאי� וטכנאי� מוסמכי�להנדסאי� וטכנאי� מוסמכי�להנדסאי� וטכנאי� מוסמכי�

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 5555ממממתתתתוווו�� 1111 עעעעממממוווודדדד טטטט""""ככככלללל ההההזזזזככככווווייייוווותתתת ששששממממווווררררוווותתתת ללללממממהההה ©

מכינה הטכנולוגיתמכינה הטכנולוגיתמכינה הטכנולוגיתמכינה הטכנולוגיתמתמטיקה למתמטיקה למתמטיקה למתמטיקה לבבבב � הבחינה� הבחינה� הבחינה� הבחינהנוסחאונוסחאונוסחאונוסחאו

אלגברהאלגברהאלגברהאלגברה

נוסחאות כפלנוסחאות כפלנוסחאות כפלנוסחאות כפל

2 2 2

2 2

( )

( ) 2

( )( )

a b c ab ac

a b a ab b

a b a b a b

+ = +

± = ± +

+ − = −

2 משוואה ריבועיתמשוואה ריבועיתמשוואה ריבועיתמשוואה ריבועית

0 , 0ax bx c a+ + = ≠

:שורשי המשוואה 2

1,2

4

2

b b acx

a

− ± −=

2 : י פירוק לגורמי� "פתרו� ע

1 2

( )( )ax bx c a x x x x+ + = − −

:קשרי� בי� השורשי� למקדמי� 1 2 1 2

;

b cx x x x

a a+ = − ⋅ =

הנדסה אנאליטיתהנדסה אנאליטיתהנדסה אנאליטיתהנדסה אנאליטיתפונקציות ופונקציות ופונקציות ופונקציות ו

y :)פונקציה ממעלה ראשונה( משוואת הישר ax b= +

שיפוע הישר העובר בי� שתי נקודות 1 1 2 2

( , ), ( , )x y x y : 2 1

2 1

y ya

x x

−=

−

x)העובר דר� הנקודה aבעל שיפוע משוואת הישר1

,y1

) : 1 1

( )y y a x x− = −

הישרי�2 2 1 1

, y a x b y a x b= + = :מקבילי� זה לזה כאשר +1 2

a a=

הישרי�2 2 1 1

, y a x b y a x b= + = :י� זה לזה כאשר אונכמ +1 2

1a a⋅ = −

נקודות השתי של הקטע המחבר אתנקודת האמצע 1 1 2 2

A( , ), B( , )x y x y : 1 2 1 2

,

2 2

x x y y+ +

בי� שתי נקודות dהמרחק 1 1 2 2

A( , ), B( , )x y x y : 2 2

1 2 1 2

( ) ( )d x x y y= − + −

x)בי� הנקודה dהמרחק 1

,y1

: Ax + By + C = 0 והישר (1 1

2 2

Ax By Cd

A B

+ +=

+

2 : פונקציה ריבועית

y ax bx c= + +

: של פרבולה) מינימו� או מכסימו�(נקודת קיצו�

2

m

bx

a= −

2 : )בראשית הצירי� המעגל מרכז, רדיוס – R(משוואת מעגל קאנוני 2 2

x y R+ =


____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 5555ממממתתתתוווו�� 2222 עעעעממממוווודדדד טטטט """"ככככלללל ההההזזזזככככווווייייוווותתתת ששששממממווווררררוווותתתת ללללממממהההה ©


: )איבר כללי(י %n%יבר ההא1

( 1)

na a n d= + −

:איברי� ראשוני� nסכו�

[ ]

1

1

( )

2

2 ( 1)

2

n

n

n

a a nS

a n d nS

+ ⋅=

+ − ⋅=

סדרה הנדסיתסדרה הנדסיתסדרה הנדסיתסדרה הנדסית

1 : )איבר כללי(י %n%האיבר ה

1

n

na a q

−= ⋅

:איברי� ראשוני� nסכו� 1

1

1

1 1

n

n

n

q a aqS a

q q

⋅ −−= =

− −

:)q| < 1|(סדרה הנדסית אינסופית סכו� 1

1

aS

q∞ = −

חזקותחזקותחזקותחזקות

( )

m m ma b ab⋅ =

m n m na a a

+⋅ =

o

1a =

m mm

m

a a b

b ab

− = =

mm n

n

aa

a

−=

1

a a=

( )m

mn m nna a a= =

( )nm m na a

⋅=

1n

na

a

− =

חשבו� דיפרנציאלי ואינטגראליחשבו� דיפרנציאלי ואינטגראליחשבו� דיפרנציאלי ואינטגראליחשבו� דיפרנציאלי ואינטגראלי

) :הנגזרת של פונקצית חזקה ) 1

'

n nx nx

−=

] :הנגזרת של פונקציה המוכפלת במספר קבוע ]( ) ' '( )k f x k f x⋅ = ⋅

] :הנגזרת של סכו� והפרש של פונקציות ]( ) ( ) ' '( ) '( )f x g x f x g x± = ±

1 :אינטגרל של פונקצית חזקה

1

n

n xx dx C

n

+

= ++∫

:אינטגרל של פונקציה המוכפלת במספר קבוע ( ) ( )k f x dx k f x dx⋅ = ⋅∫ ∫

] :אינטגרל של סכו� והפרש של פונקציות ]( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫



הנדסה וטריגונומטריההנדסה וטריגונומטריההנדסה וטריגונומטריההנדסה וטריגונומטריה

הנדסת המישורהנדסת המישורהנדסת המישורהנדסת המישור

שטח משולש

)h צלע ל הגובהa ,

γ הזווית בי� הצלעות a,b(

שטח מרובע כלשהושטח מרובע כלשהושטח מרובע כלשהושטח מרובע כלשהו

)d1

,d2

,האלכסוני�

α הזוית ביניה�(

1

1 2

2

sinS d d α=

שטח מלב�שטח מלב�שטח מלב�שטח מלב�

)a,bצלעות (

S ab=

קביליתקביליתקביליתקביליתשטח משטח משטח משטח מ

)�וית ביניההז a,b ,αצלעות (

sinS ab α=

שטח טרפזשטח טרפזשטח טרפזשטח טרפז

)a,b הבסיסי� ,h הגובה(

( )

2

a b hS

+=

))רדיוס(מחוג – r( היק' מעגלהיק' מעגלהיק' מעגלהיק' מעגל

2l rπ=

α ויתובז אור� קשת מעגלאור� קשת מעגלאור� קשת מעגלאור� קשת מעגל

)α 180 במעלות

ol r

πα= ⋅

2 שטח עיגולשטח עיגולשטח עיגולשטח עיגול

S rπ=

α יתובזו שטח גזרת עיגולשטח גזרת עיגולשטח גזרת עיגולשטח גזרת עיגול

)α במעלות(

2

360

oS r

πα= ⋅

זווית היקפית במצולע משוכללזווית היקפית במצולע משוכללזווית היקפית במצולע משוכללזווית היקפית במצולע משוכלל

צלעות nבעל

180 ( 2)

on

n

−

α r

a γ

h b

d1

d2

α

1 1

2 2

sinS ah ab γ= =

α

a

b

a

h

b

α

a

b



טריגונומטריהטריגונומטריהטריגונומטריהטריגונומטריה

:זווית %משולש ישר –הגדרות

sin

cos

tan

a

c

b

c

a

b

α

α

α

= =

= =

= =

:קשרי�

2 2

sin(90 ) cos ; cos(90 ) sin

sin(180 ) sin ; cos(180 ) cos

sin(360 ) sin ; cos(360 ) cos

sin

sin cos 1 ; tan

cos

o o

o o

o o

α α α α

α α α α

α α α αα

α α αα

− = − =

− = − = −

− = − − =

+ = =

::::משולש כללי משולש כללי משולש כללי משולש כללי

: משפט הקוסינוסי�משפט הקוסינוסי�משפט הקוסינוסי�משפט הקוסינוסי�

2 2 2

2 2 2

2 cos

cos

2

c a b ab

a b c

ab

γ

γ

= + −

+ −=

2 : )את המשולש רדיוס המעגל החוס� – R( משפט הסינוסי�משפט הסינוסי�משפט הסינוסי�משפט הסינוסי�

sin sin sin

a b cR

α β γ= = =

a

b

c

α

β γ

ניצב מול הזווית

יתר

ניצב ליד הזווית

יתר

ניצב מול הזווית

ניצב ליד הזווית

a

b

c

α

β

90

o



הנדסת המרחבהנדסת המרחבהנדסת המרחבהנדסת המרחב

קוביהקוביהקוביהקוביה

)aצלע (

3 :נפח

V a=

:שטח פני� 2

6P a=

תיבהתיבהתיבהתיבה

)a,b צלעות הבסיס,

c הגובה(

V :נפח abc=

)2 :שטח מעטפת )M ac bc= +

)2 :שטח פני� )P ab ac bc= + +

גלילגלילגלילגליל

)r הגליל רדיוס,

h הגובה(

2 :נפח

V r hπ=

:שטח מעטפת 2M rhπ=

) :שטח פני� )2

2P rh rπ π= +

חרוטחרוטחרוטחרוט

)r רדיוס ,l הקו היוצר ,

h הגובה,

α זוית הפריסה

)במעלות של המעטפת

2 :נפח

3

V r hπ

=

M :שטח מעטפת rlπ=

2 :שטח פני�

P rl rπ π= +

:פריסת מעטפת 360

o

r

l

α=

כדורכדורכדורכדור

)r רדיוס(

:נפח 4

3

3

V rπ=

2 :שטח פני�

4P rπ=

פירמידהפירמידהפירמידהפירמידה

)B שטח הבסיס,

h הגובה(

:נפח 1

3

V Bh=

a

a

c

b

h

r

h

r

l

r

B

h

) " – 2201( :

Documents

Transcript of ) " – 2201( :