Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

266
= ܛ ܖ= ܛܗ܋ a Berbasis Penemuan Terbimbing Berbasis Penemuan Terbimbing Berbasis Penemuan Terbimbing Berbasis Penemuan Terbimbing Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana D(sec x)= sec x tan x D(sec x)= sec x tan x D(sec x)= sec x tan x D(sec x)= sec x tan x, ( ) = ܔ ܕ ( + ) ()

Transcript of Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Page 1: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

������ = −� � �� �� �� = �� �

a

Berbasis Penemuan TerbimbingBerbasis Penemuan TerbimbingBerbasis Penemuan TerbimbingBerbasis Penemuan Terbimbing

Zulfaneti

Yulia Haryono

Rina F ebriana

D(sec x)= sec x tan xD(sec x)= sec x tan xD(sec x)= sec x tan xD(sec x)= sec x tan x,,,, ��

��

��

��

!�

!�

"′(�) = #�$%→'

"(� + %) − "(�)

%

Page 2: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penyusun

Zulfaneti

Yulia Haryono

Rina Febriana

a

Nama : ________________________

NIm : ________________________

Page 3: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Untuk ilmu yang bermanfaatUntuk ilmu yang bermanfaatUntuk ilmu yang bermanfaatUntuk ilmu yang bermanfaat

Untuk HarapanUntuk HarapanUntuk HarapanUntuk Harapan

Dan Untuk KehidupanDan Untuk KehidupanDan Untuk KehidupanDan Untuk Kehidupan

Page 4: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

i

PRAKATAPRAKATAPRAKATAPRAKATA

alkulus merupakan mata kuliah wajib bagi mahasiswa tingkat pertama

pada Prodi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat. Dari segi

konsep isi perkuliahan kalkulus dapat dikatakan sudah baku, artinya tidak

banyak mengalami perubahan dalam waktu yang cukup panjang. Bagian yang

secara berkala perlu direvisi adalah teknik penyajiannya.

Penyusunan Buku Kerja ini bertujuan mengefektifkan proses pembelajaran.

Melalui buku kerja diharapkan peran serta mahasiswa lebih dapat dioptimalkan.

Selain sebagai bahan bagi dosen untuk dipakai dalam menjelaskan materi kuliah,

buku kerja ini dapat dipakai mahasiswa sebagai pengganti catatan kuliah. Dengan

demikian waktu pembelajaran di kelas dapat digunakan secara efektif untuk diskusi

dan ceramah.

Secara keseluruhan, buku kerja ini disusun berdasarkan pendekatan

penemuan terbimbing. Diharapkan melalui bimbingan mahasiswa dapat

memahami materi dikarenakan setiap konsep yang diberikan melalui langkah-

langkah yang sistematis dan mahasiswa dituntut untuk aktif mengerjakan secara

bermakna. Buku kerja ini disusun secara ringkas dengan tetap memperhatikan

tujuan perkuliahan Kalkulus 1 dan dengan memperhatikan kebutuhan dan

karakteristik mahasiswa. Harapan kami, dengan adanya buku kerja yang terstruktur

ini adalah untuk menjadikan Kalkulus sebagai pelajaran yang fokus pada gagasan

dasar yang berkisar kata-kata, rumus-rumus dan grafik-grafik. Menyelesaikan soal,

meskipun diperlukan untuk pengembangangan keterampilan matematis seharusnya

tdak menjadi fokus dalam mempelajari buku kerja ini, karena yang paling penting

adalah mahasiswa memahami Kalkulus secara bermakna.

Penyajian materi pada buku kerja ini, agar dapat menstimulasi pemikiran

mahasiswa. selalu dimulai dengan memberikan ilustrasi, atau memberikan masalah

yang kemudian dipertanyaan. Setelah mahasiswa mampu menuliskan (memahami)

KKKK

Page 5: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

ii

materi, agar dapat memberikan contoh yang relevan dengan teori, disajikan contoh

soal, latihan terbimbing dan latihan mandiri. Seluruh latihan ini diharapkan dapat

meningkatkan pemahaman terhadap materi.

Buku kerja ini terdiri dari empat bagian yang sistematis. Materi pertama “1.

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi”. Topik ini memuat dasar tentang sistem bilangan

riil. Pengenalan ilmu ukur analitik dalam bab ini memuat materi tradisional tentang

garis lurus dan lingkaran. Definisi fungsi, operasi dengan fungsi dan jenis fungsi

yang khusus juga dibicarakan. Penyajian fungsi trigonometri diberikan diperlukan

sebelum digunakan sebagai contoh pada bab berikutnya.

Bagian kedua “2. Limit dan Kekontinuan”. Topik ini dimulai dengan

memperkenalkan definisi limit, kemudian dilanjutkan sifat-sifat limit, limit sepihak.

Setelah materi limit, dilanjutkan dengan mendefinisikan fungsi kontinu baik kontinu

di titik maupun kontinu selang. Bagian Ketiga” 3. Turunan”. Topik ini memuat

konsep turunan yakni dari limit. Bagian Keempat “ 4. Penggunaan Turunan”. Topik

ini membicarakan tentang konsep maksimum-minimum, penggunaan turunan

pertama dan uji turunan kedua, dan diakhiri dengan penggambaran grafik fungsi

dengan memanfaatkan sifat maksimum dan minimum.

Akhir kata, semoga buku kerja ini bermanfaat bagi pemerhati Kalkulus,

terkhusus mahasiswa. Jika ada kritik dan saran yang membangun. kami menerima

secara terbuka. Pada kesempatan ini secara khusus diucapkan terima kasih kepada

Bapak Prof. Dr. Ahmad Fauzan, M.Pd, M.Sc dan Ibu Dr. Armiati, yang telah banyak

memberikan arahan, masukan dan ide-ide dalam menyusun dan menyelesaikan

Buku Kerja ini

Padang, Juni 2014

Penyusun

Page 6: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

iii

DAFTAR ISIDAFTAR ISIDAFTAR ISIDAFTAR ISI

PRAKATAPRAKATAPRAKATAPRAKATA ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ i

DAFTAR ISIDAFTAR ISIDAFTAR ISIDAFTAR ISI ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ iii

PETUNJUK BELAJARPETUNJUK BELAJARPETUNJUK BELAJARPETUNJUK BELAJAR ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ix

BAB 1. SISTEM BILANGAN RIILBAB 1. SISTEM BILANGAN RIILBAB 1. SISTEM BILANGAN RIILBAB 1. SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI DAN FUNGSI DAN FUNGSI DAN FUNGSI

1.1 Sistem Bilangan Riil ............................................................................................................... 1

Desimal Berulang dan Tak Berulang ............................................................................ 4

Kepadatan ............................................................................................................................... 5

Urutan ....................................................................................................................................... 6

Latihan Terbimbing 1.1 .................................................................................................... 7

Latihan Mandiri 1.1 ........................................................................................................... 8

1.2 Pertidaksamaan ....................................................................................................................... 11

Interval Tertutup dan Terbuka ....................................................................................... 11

Menyelesaikan Pertidaksamaan..................................................................................... 12

Latihan Terbimbing 1.2 .................................................................................................... 14

Latihan Mandiri 1.2 ........................................................................................................... 16

1.3 Nilai Mutlak.............................................................................................................................. 19

Sifat-sifat Nilai Mutlak....................................................................................................... 20

Latihan Terbimbing 1.3 ...................................................................................................... 21

Mengubah Aljabar ke Bentuk yang Tidak Memuat Nilai Mutlak ........................ 22

Latihan Terbimbing 1.4 ...................................................................................................... 22

Pertidaksamaan Nilai Mutlak ........................................................................................... 24

Latihan Terbimbing 1.5 ...................................................................................................... 26

Latihan Mandiri 1.3 ............................................................................................................. 28

1.4 Sistem Koordinat Cartesius .................................................................................................. 32

Latihan Mandiri 1.4 ............................................................................................................ 33

1.5 Grafik Persamaan ................................................................................................................... 35

Latihan Terbimbing 1.6 .................................................................................................... 37

Latihan Mandiri 1.5 ........................................................................................................... 39

1.6 Rumus Jarak, Lingkaran, dan Persamaan Garis ........................................................... 41

Page 7: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

iv

Rumus Jarak........................................................................................................................... 41

Persamaan Lingkaran ......................................................................................................... 42

Persamaan Garis .................................................................................................................. 43

Latihan Mandiri 1.6 ........................................................................................................... 47

1.7 Fungsi dan Grafiknya ............................................................................................................. 50

Pengertian dan Notasi Fungsi .......................................................................................... 50

Daerah Asal (Domain) dan Daerah Hasil (Range) ................................................... 51

Grafik Fungsi ......................................................................................................................... 52

Latihan Terbimbing 1.7 ..................................................................................................... 54

Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil ..................................................................................... 57

Latihan Terbimbing 1.8 ..................................................................................................... 59

Latihan Mandiri 1.7 ............................................................................................................ 59

1.8 Operasi pada Fungsi ............................................................................................................... 62

Jumlah Selisih, Hasil Kali, hasil Bagi dan Pangkat .................................................... 62

Fungsi Komposisi ................................................................................................................. 63

Penggeseran ........................................................................................................................... 64

Latihan Terbimbing 1.9 ..................................................................................................... 65

Latihan Mandiri 1.8 ............................................................................................................ 67

1.9 Fungsi Trigonometri ............................................................................................................... 70

Grafik Sinus dan Cosinus .................................................................................................. 71

Fungsi-Fungsi Trigonometri Lain................................................................................... 71

Sifat-Sifat Penting Fungsi Trigonometri ....................................................................... 72

Latihan Mandiri 1.9 ............................................................................................................ 72

BAB 2.BAB 2.BAB 2.BAB 2. LIMIT DAN KEKONTINUANLIMIT DAN KEKONTINUANLIMIT DAN KEKONTINUANLIMIT DAN KEKONTINUAN

2.1 Pengertian Limit ....................................................................................................................... 75

Pemahaman Limit Secara Intuitif .................................................................................... 76

Pengkajian Mendalam Tentang Limit ............................................................................ 77

Definisi Limit .......................................................................................................................... 78

Latihan Terbimbing 2.1 ..................................................................................................... 80

Latihan Mandiri 2.1 ............................................................................................................ 81

2.2 Sifat-Sifat Limit Fungsi .......................................................................................................... 82

Latihan Terbimbing 2.2 ....................................................................................................... 85

Latihan Mandiri 2.2 .............................................................................................................. 86

Page 8: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

v

2.3 Limit Sepihak ............................................................................................................................ 88

Definisi Limit Kanan .......................................................................................................... 89

Definisi Limit Kiri ................................................................................................................ 89

Teorema Limit Fungsi ........................................................................................................ 89

Latihan Terbimbing 2.3 .................................................................................................... 90

Latihan Mandiri 2.3 ........................................................................................................... 92

2.4 Limit Fungsi Trigonometri ................................................................................................... 94

Latihan Terbimbing 2.4 .................................................................................................... 95

Latihan Mandiri 2.4 ........................................................................................................... 96

2.5 Kekontinuan Fungsi ............................................................................................................... 98

Kekontinuan Terhapus dan Tidak terhapus ............................................................... 100

Kekontinuan Sepihak ......................................................................................................... 101

Kekontinuan dalam Interval ............................................................................................ 101

Latihan Terbimbing 2.5 .................................................................................................... 101

Sifat-Sifat Kekontinuan Fungsi ....................................................................................... 102

Latihan Mandiri 2.5 ........................................................................................................... 102

2.6 Limit Tak Berhingga .............................................................................................................. 105

Definisi Limit Positif Tak berhingga ............................................................................. 105

Teorema Limit Tak Hingga............................................................................................... 107

Latihan Terbimbing 2.6 .................................................................................................... 108

Latihan mandiri 2.6 ............................................................................................................ 110

2.7 Limit Di Tak Hingga .............................................................................................................. 110

Definisi Limit di Tak Hingga ........................................................................................... 110

Sifat Limit Di Tak Hingga ................................................................................................. 111

Latihan Terbimbing 2.7 .................................................................................................... 112

Latihan Mandiri 2.7 ........................................................................................................... 114

BAB 3. TURUNANBAB 3. TURUNANBAB 3. TURUNANBAB 3. TURUNAN

3.1 Garis Singgung dan Kecepatan sesaat ............................................................................. 115

Garis Singgung ...................................................................................................................... 115

Kecepatan sesaat ................................................................................................................... 118

Latihan Terbimbing 3.1 ..................................................................................................... 120

Latihan Mandiri 3.1 ............................................................................................................ 120

3.2 Turunan .................................................................................................................................... 122

Page 9: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

vi

Definisi Turunan .................................................................................................................. 122

Notasi-Notasi Lain untuk Turunan ............................................................................... 122

Latihan Terbimbing 3.2 ..................................................................................................... 125

Latihan Mandiri 3.2 ............................................................................................................ 127

3.3 Turunan Sepihak ..................................................................................................................... 129

Definisi Turunan Kanan .................................................................................................... 129

Definisi Turunan Kiri ......................................................................................................... 129

Keterdiferensialan dan Kekontinuan ............................................................................ 129

Latihan Terbimbing 3.3 ..................................................................................................... 132

Latihan Mandiri 3.3 ............................................................................................................ 133

3.4 Aturan Pencarian Turunan .................................................................................................. 138

Turunan Fungsi Konstanta ............................................................................................... 138

Turunan Fungsi f(x) = xn ................................................................................................... 138

Turunan Fungsi Hasil Kali Konstanta dengan suatu fungsi, cf(x) ....................... 139

Turunan Jumlah Dua Fungsi, f(x) + g(x) ..................................................................... 139

Turunan Hasil Kali Dua Fungsi, f(x)g(x) ..................................................................... 139

Turunan Hasil Bagi Dua Fungsi, �(�)

�(�) ............................................................................ 140

Latihan Terbimbing 3.4 ..................................................................................................... 142

Latihan Mandiri 3.4 ............................................................................................................ 143

3.5 Turunan Fungsi Trigonometri ............................................................................................ 146

Turunan y = sin x ................................................................................................................. 146

Turunan y = cos x ................................................................................................................ 147

Turunan y = tan x ................................................................................................................ 147

Turunan y = cot x................................................................................................................. 147

Turunan y = sec x ................................................................................................................ 147

Turunan y = cosec x ............................................................................................................ 148

Latihan Terbimbing 3.5 ..................................................................................................... 149

Latihan Mandiri 3.5 ............................................................................................................ 150

3.6 Aturan Rantai............................................................................................................................ 152

Latihan Terbimbing 3.6 ..................................................................................................... 153

Latihan Mandiri 3.6 ............................................................................................................ 155

3.7 Turunan Tingkat Tinggi ........................................................................................................ 157

Latihan Terbimbing 3.7 ...................................................................................................... 159

Latihan Mandiri 3.7 ............................................................................................................. 161

Page 10: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

vii

3.8 Diferensial Implisit ................................................................................................................. 162

Latihan Terbimbing 3.8 ...................................................................................................... 164

Latihan Mandiri 3.8 ............................................................................................................ 165

3.9 Laju Berkaitan ........................................................................................................................... 167

Latihan Terbimbing 3.9 ...................................................................................................... 170

Latihan Mandiri 3.9 ............................................................................................................. 171

BAB 4 PENGGUNAAN TURUNANBAB 4 PENGGUNAAN TURUNANBAB 4 PENGGUNAAN TURUNANBAB 4 PENGGUNAAN TURUNAN

4.1 Maksimum dan Minimum .................................................................................................... 175

Definisi Maksimum/Minimum ........................................................................................ 176

Keberadaan Maksimum/Minimum................................................................................ 178

Lokasi Maksimum/ Minimum ........................................................................................ 178

Latihan Terbimbing 4.1 ..................................................................................................... 182

Latihan Mandiri 4.1 ........................................................................................................... 185

4.2 Teorema Roole dan Teorema Rata-Rata .......................................................................... 191

Teorema Roole ...................................................................................................................... 191

Teorema Nilai Rata-rata ................................................................................................... 193

Latihan Terbimbing 4.2 ................................................................................................... 195

Latihan Mandiri 4.2 ........................................................................................................... 196

4.3 Fungsi Naik dan Fungsi Turun Serta Uji Turunan Pertama ................................. 198

Definisi Fungsi Naik/Turun ............................................................................................. 199

Sifat Kemonotonan Fungsi................................................................................................ 199

Latihan Terbimbing 4.3 .................................................................................................... 200

Ekstrim Lokal ........................................................................................................................ 201

Pengujian Ekstrim Lokal ................................................................................................... 202

Latihan Terbimbing 4.4 .................................................................................................... 205

Latihan Mandiri 4.3 ........................................................................................................... 206

4.4 Kecekungan dan Titik Belok ............................................................................................... 210

Latihan Terbimbing 4.5 ................................................................................................... 214

Latihan Mandiri 4.4 ......................................................................................................... 214

4.5 Uji Turunan kedua untuk Ekstrim Lokal ........................................................................ 218

Latihan Terbimbing 4.6 .................................................................................................. 222

Latihan Mandiri 4.5 ......................................................................................................... 223

4.6 Asimtot Grafik .......................................................................................................................... 226

Page 11: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

viii

Asimtot Tegak ...................................................................................................................... 226

Asimtot Datar ....................................................................................................................... 227

Asimtot Miring .................................................................................................................... 227

Latihan Terbimbing 4.7 .................................................................................................... 232

Latihan Mandiri 4.6 ........................................................................................................... 233

4.7 Aplikasi Untuk Menggambar Grafik ................................................................................ 236

Latihan Terbimbing 4.8 .................................................................................................... 240

Latihan Mandiri 4.7 .......................................................................................................... 242

REFERENSIREFERENSIREFERENSIREFERENSI

KUNCI JAWABAN LATIHAN MANDIRIKUNCI JAWABAN LATIHAN MANDIRIKUNCI JAWABAN LATIHAN MANDIRIKUNCI JAWABAN LATIHAN MANDIRI

Page 12: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

....

PePePePetunjuk tunjuk tunjuk tunjuk BelajarBelajarBelajarBelajar

ebelum mempelajari buku kerja ini perhatikan terlebih dahulu

petunjuk belajar berikut:

1. Baca dan pahami cara kerja yang ada pada buku ini secara berurutan

sehingga memudahkan anda dalam memahani konsep yang disajikan.

2. Isilah bagian yang kosong sesuai dengan arahan yang diberikan.

3. Jika Anda terkendala pada suatu bagian dalam buku ini, ulangilah

membacanya dengan cermat dan berulang-ulang, atau mintalah

bimbingan dari dosen.

4. Kerjakan latihan terbimbing dengan mengikuti petunjuk pengerjaan

yang diberikan pada setiap latihan yang diberikan

5. Kerjakan latihan yang tersedia secara mandiri. Jika anda mengalami

kesulitan, pedomanilah contoh soal yang ada.

SSSS

Page 13: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

1

1.1.1.1. SISTEM BILANGAN SISTEM BILANGAN SISTEM BILANGAN SISTEM BILANGAN

RIIL DAN FUNGSIRIIL DAN FUNGSIRIIL DAN FUNGSIRIIL DAN FUNGSI

ada bagian ini, Anda akan mempelajari mengenai sistem bilangan riil.

Sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya merupakan dasar dalam

kalkulus. Sebelum membicarakan sistem bilangan riil tersebut terlebih

dahulu dibicarakan bilangan asli, bilangan bulat, bilangan rasional dan

bilangan irrasional. Tentu hal ini sudah pernah dipelajari di sekolah dasar maupun

menengah. Buku kerja ini akan membimbing Anda dalam menentukan konsep dan operasi

bilangan riil, mencari bilangan diantara dua bilangan riil serta menggunakan aturan

pertidaksaman untuk menyelesaikan soal-soalnya.

KompetensiKompetensiKompetensiKompetensi UtamaUtamaUtamaUtama

Mahasiswa mampu memahami konsep fungsi.

Kompetensi Kompetensi Kompetensi Kompetensi PenunjangPenunjangPenunjangPenunjang

Mahasiswa dapat menentukan sifat bilangan riil, menentukan bilangan rasional,

menentukan himpunan penyelesaian ketaksamaan, ketaksamaan mutlak dan dapat

mensketsa grafik fungsi.

1.11.11.11.1 Sistem Bilangan RiilSistem Bilangan RiilSistem Bilangan RiilSistem Bilangan Riil

Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya. Tetapi apakah

bilangan riil itu? dan apa sifat-sifatnya? Untuk menjawabnya, Anda mulai dengan

mengenal sistem bilangan yang tentu sudah Anda kenal seperti barisan bilangan (1)

1, 2, 3, … (1)

P

Page 14: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

2 .

Kumpulan bilangan (1) biasanya dinotasikan dengan ℕℕℕℕ, yang sudah Anda kenal sebagai

himpunan bilangan aaaaslislislisli. Dengan bilangan ini Anda dapat menghitung banyak buku, teman,

ataupun uang yang Anda miliki. Kemudian, jika bilangan (1) digabungkan dengan barisan

bilangan negatifnya dan nol maka terbentuk barisan bilangan (2), yaitu

-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … (2)

Notasikan bilangan (2) dengan ℤℤℤℤ, ℤ sudah Anda kenal sebagai himpunan bilangan bulatbulatbulatbulat.

Selanjutnya, misalkan Anda berkepentingan mengukur berat badan anggota keluarga Anda.

Anda mungkin menemukan bilangan-bilangan berikut (dalam satuan kg)

50 ; 45,5 ; 60,75 (3)

Perhatikan bilangan (3), mungkin saja ditemukan bilangan-bilangan yang tidak ada pada

(2). Bilangan-bilangan pada (3) dapat dinyatakan menjadi hasil bagi dua bilangan, yaitu

50 = ��� ; 45,5 = �� ; 60,75 = ���� (4)

Jadi, bilamana Anda mencoba mengukur panjang, berat, atau tegangan listrik, bilangan-

bilangan (2) tidak memadai. Bilangan ini terlalu memberikan ketelitian yang cukup.

Sehingga diperlukan pertimbangan hasil bagi (rasio) dari bilangan (2) seperti bilangan (4).

Yang selanjutnya disebut bilangan RasionalRasionalRasionalRasional. Himpunannya disebut himpunan bilangan

rasional, disimbolkan dengan QQQQ. Untuk mendefinisikan Q secara tepat, terlebih dahulu

lakukan perhitungan pembagian ��,

�� atau �� (a bilangan bulat sebarang) dengan

menggunakan Kalkulator. Apa yang tertera pada Kalkulator Anda? Menurut Anda, apa

penyebabnya sehingga Anda tidak menemukan hasilnya?

Page 15: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

3

Jadi perlu diingat, jangan sekali-kali membagi dengan ____ !

Sekarang Anda sudah dapat mendefinisikan bilangan rasional secara tepat, yaitu

Q = …

Sekarang, apakah bilangan-bilangan dalam Q berfungsi mengukur semua panjang?

Perhatikan Gambar 1.1 berikut:

�2 merupakan panjang sisi miring sebuah segitiga siku-siku dengan sisi-sisi 1. Jika

digunakan Kalkulator maka diperoleh

�2 = 1,4142135623 … ,

yang mempunyai desimal yang tidak berulang sehingga �2 tidak dapat dinyatakan sebagai

suatu hasil bagi dari dua bilangan bulat (segera pada bagian berikutnya Anda mengetahui

tentang alasannya). Jadi �2 bukanlah anggota himpunan bilangan rasional. Himpunan

bilangan seperti ini yang disebut dengan bilangan irrasionalirrasionalirrasionalirrasional dinotasikan � \ �.

Gabungan bilangan-bilangan rasional dan irrasional disebut himpunan bilangan

riil dinotasikan dengan �. Dari yang telah dipaparkan, terdapat lambang-lambang baku

notasi bilangan yaitu ℕ, ℤ, Q, ℛ\�, dan ℛ. . . . Tuliskan kembali himpunan-himpunan

bilangan itu dengan memaparkan anggotanya dalam notasi himpunan. ℕ = ………………………………………………………………………………………… ℤ = …………………………………………………………………………………………

Q =…………………………………………………………………………………………

1

1

�2

Gambar 1.1

Page 16: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

4 .

Perhatikan bahwa himpunan bilangan itu merupakan himpunan bagian dari himpunan

bilangan lainnya, jelas bahwa ℕ ⊂ ___ ⊂ ___ ⊂ ___

DESIMAL BERULANG DAN TAK BERULANGDESIMAL BERULANG DAN TAK BERULANGDESIMAL BERULANG DAN TAK BERULANGDESIMAL BERULANG DAN TAK BERULANG.... Untuk memahami bilangan desimal yang

merupakan bilangan rasional ataupun bilangan desimal yang merupakan bilangan

irrasional perhatikan beberap contoh pada Tabel 1:

Tabel 1.Tabel 1.Tabel 1.Tabel 1.1111 Contoh Bilangan rasional dan Contoh Bilangan rasional dan Contoh Bilangan rasional dan Contoh Bilangan rasional dan IrrasionalIrrasionalIrrasionalIrrasional

Contoh BilanganContoh BilanganContoh BilanganContoh Bilangan Hasil dalam bentuk Hasil dalam bentuk Hasil dalam bentuk Hasil dalam bentuk ! KeteranganKeteranganKeteranganKeterangan

0,25 14 Bilangan rasional

0,25000… 14 Bilangan rasional

2,134134134… 2132999 Bilangan rasional

1,11111… 109 Bilangan rasional

2,123456789… - Blangan Irrasional

1,12131415… - Bilangan Irrasional

Perhatikan contoh-contoh pada Tabel abel abel abel 1111.1..1..1..1. Fokuskan pengamatan Anda terhadap

bilangan yang desimalnya berulang (meskipun tidak berhenti). Amati juga bilangan

irrasional dari desimalnya juga. Apakah desimal bilangan irrasional berhenti?apakah

desimalnya berulang? Simpulkan pengamatan Anda terhadap bilangan rasional dan

irrasional jika dipandang dari desimalnya pada kolom berikut

Page 17: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

5

Contoh 1.1 Contoh 1.1 Contoh 1.1 Contoh 1.1 Perlihatkan bahwa x = 1.203203203….. adalah bilangan rasional!

Penyelesaian. Kurangkan x dari 1000x, dan kemudian hitung x

1000x = 1203,203203 . . .

x = 1,203203 . . .

999x = 1202

# = ����

Maka x = 1.203203203….. disebut bilangan rasional.

KEPADATANKEPADATANKEPADATANKEPADATAN. . . . Sekarang ambil dua bilangan riil, misalkan saja 2 dan 4 . Ambillah sebuah

bilangan antara bilangan 2 dan 4 ini.

Ambillah lagi antara 2 dan _____ (bilangan yang diambil pertama) sebuah bilangan lagi

yaitu

Lakukan beberapa kali pengambilan bilangan antara 2 dan bilangan terakhir yang Anda

ambil. Apakah selalu ada bilangan yang Anda ambil itu? __________. Apakah antara dua

bilangan riil terdapat bilangan riil lainnya?____________. Apakah bilangan itu jumlahnya

tak terhingga?____________. Perhatikan bahwa ada banyak sekali bilangan rill yang

terdapat antara dua bilangan rill. Situasi inilah yang disebut padat padat padat padat di sepanjang garis rill.

Coba Anda simpulkan tentang sifat ini

Page 18: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

6 .

URUTAN.URUTAN.URUTAN.URUTAN. sifat urutan bilangan riil, menurunkan suatu konsep yang membandingkan

antara bilangan riil. Sehingga diperoleh suatu bilangan riil lebih dari atau kurang dari

bilangan riil lainnya. Untuk memahami ini, buatlah sebuah garis bilangan riil

Perhatikan garis bilangan riil yang Anda buat, bilangan riil bukan 0 dipisahkan sama besar

menjadi dua himpunan bilangan terpisah.

Misalkan diketahui dua bilangan riil x dan y. Ada tiga kemungkinan dari x dan y,

yaitu: x lebih kecil dari y , ___________________, atau ___________. Ini adalah salah

satu Sifat urutan bilangan riil. Agar lebih jelas, lengkapilah pernyataan berikut:

(1) Trikotomi, jika a dan b adalah bilangan-bilangan riil maka tepat satu diantara yang

berikut berlaku a < b atau ____ = ____ atau ____ > ____

(2) Ketransitifan, jika a < b dan b < c, maka ____ < ___

(3) Penambahan, jika a < b maka __ + c < __ + c

(4) Perkalian,

a. Jika c > 0 dan a < b maka ____< ____

b. Jika c < 0 dan a < b maka ____ > ____

Contoh Contoh Contoh Contoh 1.1.1.1.2222. . . . Mana dari pernyataan berikut yang benar?

a. untuk semua x, x2 > 0

b. untuk semua x, x < 0 ⟹ x2 > 0

penyelesaian:

a. salah. Jika dipilih x = 0, maka tidak benar bahwa x2 > 0

b. benar. Jika x < 0 maka x2 > 0

Page 19: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

7

Kesimpulan.Kesimpulan.Kesimpulan.Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini

LATIHAN TERBIMBINGLATIHAN TERBIMBINGLATIHAN TERBIMBINGLATIHAN TERBIMBING 1.11.11.11.1

Kerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaanKerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaanKerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaanKerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaan

1. Perlihatkan bahwa x = 0,399999….. adalah bilangan rasional!

Petunjuk PengerjaanPetunjuk PengerjaanPetunjuk PengerjaanPetunjuk Pengerjaan: Kurangkan x dari 1000x, dan kemudian hitung x sehingga diperoleh

x sebagai hasil bagi dua bilangan bulat, dengan demikian kita sudah menunjukkan x =

0,399999… merupakan bilangan rasional.

Page 20: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

8 .

2. Apakah 2,123456789101112131415… rasional atau irrasional?(Anda seharusnya

melihat suatu pola dalam barisan angka tersebut)

Petunjuk pengerjaanPetunjuk pengerjaanPetunjuk pengerjaanPetunjuk pengerjaan: Perhatikan bilangan tersebut, pastikan apakah terdapat desimal

berulang. Jika terdapat desimal berulang maka kita dapat menyatakan bilangan

2,123456789101112131415… sebagai hasil bagi dua bilangan bulat, Jika tidak, maka kita

dapat memastikan bahwa bilangan tersebut adalah bilangan irrasional.

LATIHAN MANDIRILATIHAN MANDIRILATIHAN MANDIRILATIHAN MANDIRI 1.11.11.11.1

1. Berikan bukti kebenaran untuk pernyataan berikut

a. �3 adalah bilangan irrasional

b. jumlah dua bilangan rasional adalah bilangan rasional

c. jika a < b maka % < �'(� < ).

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

Page 21: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

9

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

2. Selidiki apakah setiap pernyataan yang diberikan benar? Jika benar, buktikan kebenaran

pernyataan tersebut. Tetapi jika salah berikan contoh penyangkal yang menyatakan

bahwa pernyataan tersebut salah

a. Jika a ≤ b maka a – 4 ≤ b – 4

b. Jika a ≤ b maka a2 ≤ ab

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………...

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………...

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 22: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

10 .

3. Ubahlah masing-masing desimal berulang berikut menjadi suatu hasil bagi dua

bilangan bulat

a. 2,56565656….. b. 0,21717171….. c. 3,92929292…..

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………...……………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………...……………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………...……………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………...……………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………...……………………

Page 23: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

11

1.21.21.21.2 PertidaksamaanPertidaksamaanPertidaksamaanPertidaksamaan

Pada urutan bilangan riil, telah diketahui bahwa antara dua bilangan riil tepat satu

antara “ = ”, atau “ < “ atau “ >” berlaku. Tanda “ = “ memberikan ciri pada persamaan. Tanda

“ <”, atau “ >” atau “ ≥ ” atau “ < ” atau “≤ “ berhubungan dengan pertidaksamaan. Jadi apa

yang disebut pertidaksamaan?

Perhatikan Gambar 1.2

Suatu titik pada sumbu dipilih untuk menyatakan bilangan 0, sebut titik asal. titik asal. titik asal. titik asal. Pilihlah satu

satuan jarak. Negatif dua (-2) misalnya adalah menyatakan suatu titik yang berjarak 2

satuan dari kiri ke titik asal, dan positif 1 menyatakan suatu titik yang berjarak 1 satuan ke

kanan dari titik asal. Jadi setiap bilangan positif x1 dinyatakan oleh suatu titik yang berjarak

________________________________ dan setiap negatif x2 dinyatakan oleh suatu titik

yang berjarak ____________________________.

Perhatikan bahwa jika dipilih dua bilangan katakanlah a dan b , jika a < b maka

titik a berada di sebelah _____ titik b. Sebaliknya juga, jika a > b maka titik a berada di

sebelah ______ titik b.

INTERVALINTERVALINTERVALINTERVAL TERTUTUP DAN TERBUKA. TERTUTUP DAN TERBUKA. TERTUTUP DAN TERBUKA. TERTUTUP DAN TERBUKA. Pertidaksamaan -2 < x < 1 mempunyai arti yang

sama dengan -2 < x dan x < 1, yang menunjukkan interval terbuka interval terbuka interval terbuka interval terbuka yang terdiri dari

semua bilangan antara -2 dan 1 tidak termasuk titik-titik ujung -2 dan 1. Dinyatakan

interval ini dengan notasi (-2,1). Sebaliknya, -2 ≤ x ≤ 1 berarti interval tertutupinterval tertutupinterval tertutupinterval tertutup yang

Page 24: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

12 .

mencakup titik-titik antara -2 dan 1 termasuk 2 dan1, yang dinyatakan dengan [-2, 1].

Lengkapi Tabel 1.2 yang menunjukkan berbagai kemungkinan interval.

Tabel 1.Tabel 1.Tabel 1.Tabel 1.2. 2. 2. 2. JenisJenisJenisJenis----Jenis IntervalJenis IntervalJenis IntervalJenis Interval

Penulisan Himpunan Penulisan Interval GrafikPenulisan Himpunan Penulisan Interval GrafikPenulisan Himpunan Penulisan Interval GrafikPenulisan Himpunan Penulisan Interval Grafik

{x: a < x < b} (a, b)

{x: a ≤ x ≤ b}

{x: a < x ≤ b}

{x: x ≤ b}

{x: x < b}

{x: x ≥ %}

{x: x > a}

HatiHatiHatiHati----hati:hati:hati:hati: −∞ dan ∞ bukan bilangan riil, jadi tidak pernah termasuk dalam subset

bilangan riil

MENYELESAIKAN PERTIDAKSAMAAN.MENYELESAIKAN PERTIDAKSAMAAN.MENYELESAIKAN PERTIDAKSAMAAN.MENYELESAIKAN PERTIDAKSAMAAN. Menyelesaiakan suatu pertidaksamaan adalah

mencari semua himpunan bilangan riil yang membuat pertidaksamaan berlaku. Himpunan

penyelesaian tersebut dapat dituliskan dalam bentuk notasi himpunan atau dalam notasi

interval.

Page 25: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

13

Contoh Contoh Contoh Contoh 1.1.1.1.3333. . . . Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 7x – 2 ≤ 9x + 3.

Penyelesaian.

7x – 2 ≤ 9x + 3 ⟺ 7x – 2 + 2 ≤ 9x + 3 + 2 ⟺ 7x ≤ 9x + 5 ⟺ 7x – 9x ≤ 9x + 5 –

9x ⟺ – 2x ≤ 5 ⟺ – 2x 0− ��1 ≥ 5. 0− ��1 ⟺ x ≥ .− ��

Jadi Himpunan penyelesaian dari 7x – 2 ≤ 9x + 3 adalah HP = 23−2 �� , +∞1 = 5#: # ≥ . − ��8

Contoh Contoh Contoh Contoh 1.1.1.1.4444. . . . Selesaikan pertidaksamaan -5 < 2x + 6 < 4

Penyelesaian.

-5 < 2x + 6 < 4 ⟺ -5 -6 < 2x + 6 - 6 < 4 – 6 ⟺ -11 < 2x < -2 ⟺ − ��� < x < -1

Jadi Himpunan penyelesaian dari -5 < 2x + 6 < 4 adalah HP = 5#: − ��� # < −18

Contoh Contoh Contoh Contoh 1.1.1.1.5. 5. 5. 5. Tentukan himpunan jawab pertaksamaan 9 < 5

Penyelesaian. Perhatikan pertaksamaan tersebut, jangan pernah sekali-kali mengali dengan

x karena x belum diketahui bernilai negatif atau positif. Jadi lebih baik kita nolkan salah

satu ruas.

9 − 5 < 0

: �99 < 0

Titik-titik pembuat nol # = � dan x = 0 . Ambil titik-titik uji misalnya x = 2, x =1 dan x = -1

Jadi Himpunan penyelesaian dari 9 < 5 adalah HP = 2(−∞, 0) ∪ ( � , +∞1 = 5#: # > 95 atau # < 08

Contoh Contoh Contoh Contoh 1.1.1.1.6666. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x2- x ≥ 6

Penyelesaian.

x2- x ≥ 6 ⟺ x2- x – 6 ≥ 0 ⟺ (x-3)(x+2) ≥ 0

Page 26: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

14 .

Titik-titik pembuat nol adalah x = 3 dan x = -2. Misalkan ambil titik uji x = 4, x = 0

dan x = -3

Jadi penyelesaian dari x2- x ≥ 6 adalah HP = 233, +∞) ∪ (−∞, −2] = C#: # ≥ 3 atau # ≤ −2D

Kesimpulan.Kesimpulan.Kesimpulan.Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini, terutama

bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan.

LATIHAN TERBIMBING 1.2LATIHAN TERBIMBING 1.2LATIHAN TERBIMBING 1.2LATIHAN TERBIMBING 1.2

Kerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaanKerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaanKerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaanKerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaan

1. Selesaikan 9:�9'� ≥ 0

Petunjuk Pengerjaan: Petunjuk Pengerjaan: Petunjuk Pengerjaan: Petunjuk Pengerjaan: Perhatikan pembuat nol. Gunakan titik-titik uji. Hati-hati dengan

bilangan penyebut, ingatlah bahwa penyebut tidak boleh 0. Sehingga diperoleh

penyelesaian 9:�9'� ≥ 0 adalah (−∞, −2) atau 31, +∞2)

Page 27: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

15

2. Selesaikan �9 < # + 1

PetunjukPetunjukPetunjukPetunjuk Pengerjaan:Pengerjaan:Pengerjaan:Pengerjaan: Jangan sekali-kali mengali kedua ruas dengan x, karena x belum

diketahui bilangan positif atau bilangan negatif, sehingga akan mengaburkan tanda

pertidaksamaan. Tambahkan setiap ruas dengan –( x + 1), kemudian samakan penyebut

sehingga diperoleh bentuk −#2: 9 ' �9 < 0, selanjutnya dengan cara yang sama pada

petunjuk pengerjaan pada latihan (1) diperoleh himpunan penyelesaian �9 < # + 1 adalah

(-2,0) atau (1, +∞)

Page 28: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

16 .

3. Selesaikan 3x + 1 < x < 2x +1

Petunjuk Pengerjaan: Petunjuk Pengerjaan: Petunjuk Pengerjaan: Petunjuk Pengerjaan: Perhatikan bahwa pertidaksamaan a < b < c mempunyai makna yang

sama dengan a < b dan b < c. Dengan menggunakan sifat ini pertidaksamaan

3x + 1 < x < 2x +1 mempunyai makna yang sama dengan 3x + 1 < x dan x < 2x +1.

Sehingga diperoleh penyelesaian 0−1, − 121

LATIHAN MANDIRILATIHAN MANDIRILATIHAN MANDIRILATIHAN MANDIRI 1.21.21.21.2

Dari soal nomor 1 sampai dengan 6 berikut, tentukan himpunan penyelesaian dari setiap

pertidaksamaan yang diberikan

1. 5x + 2 > x – 6

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 29: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

17

2. 3 ≤ 2# − 3 ≤ 13

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

3. 2 + x > -3 - 3x ≥ −7

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

4. �9'� < ��9:�

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 30: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

18 .

5. (x -3)(x+5) > 0

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

6. 1 – x – 2x2 ≥ 0

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

7. Tentukan semua nilai x sehingga bilangan E#2 + 2# − 1 riil

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 31: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

19

8. Tentukan semua nilai x sehingga bilangan E2#2 + 5# − 3 riil

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

1.31.31.31.3 Nilai MutlakNilai MutlakNilai MutlakNilai Mutlak

Perhatikan ilustrasi pada Gambar 1.3

Kita dapat dengan mudah menentukan jarak antara -3 dan 0, yaitu _____ dan jarak antara

3 dan 0 yaitu ____. Kita dapat menyimpulkan bahwa jarak antara -3 dan 0 sama dengan

jarak antara 3 dan 0. Jarak ini selalu bernilai positif. Begitu juga jarak antara dua -2 dan 4,

perhatikan Gambar 1.4

Page 32: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

20 .

Jarak antara -2 dan 4 adalah ____. Secara umum, jarak antara dua bilangan sebarang x

dan a selalu bernilai positif. Berapakah nilainya?

Jadi jarak antara dua bilangan x dan a dapat ditulis sebagai F# − %F, dan jarak antara x

dan titik asal dapat dituliskan sebagai F#F selalu bernilai positif. Jarak inilah yang disebut

sebagai nilai mutlak. Jadi nilai mutlak F#Fdapat didefinisikan sebagai

F#F = G # jika # ≥ 0−# jika # < 0 2

SIFATSIFATSIFATSIFAT----SIFAT NILAI SIFAT NILAI SIFAT NILAI SIFAT NILAI MUTLAKMUTLAKMUTLAKMUTLAK.... Nilai mutlak tidak menimbulkan masalah dalam proses

perkalian dan pembagian, tetapi tidak begitu dalam proses penambahan dan pengurangan.

Sifat-sifat tersebut adalah sebagai berikut:

1. F#F = FKF jika dan hanya jika F#F = ± K dan x2 = y2.

2. Jika a > 0 maka

a. F#F ≤ % jika dan hanya jika −% ≤ # ≤ % dan x2 ≤ a2

b. F#F ≥ % jika dan hanya jika x ≥ a atau x ≤ −% dan x2 ≥ a2

3. Untuk setiap bilangan riil x dan y berlaku

a. F#KF = F#FFKF b. M9NM = F9FFNF, y ≠ 0

4. Untuk setiap bilangan riil x dan y berlaku

a. F# + KF ≤ F#F + FKF c. F#F − FKF ≤ F# − KF b. F# − KF ≤ F#F + FKF d. PF#F − FKFP ≤ F# − KF

Page 33: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

21

Contoh Contoh Contoh Contoh 1.1.1.1.7777. Selesaikan persamaan F3# + 2F = 5

Penyelesaian (3x + 2)2 = 25

9x2 + 12x +4 = 25

9x2 + 12x – 21 = 0

3x2 + 4x - 7 = 0

(3x + 7)(x - 1) = 0

x = 7/3 atau x =1

Kesimpulan.Kesimpulan.Kesimpulan.Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini, terutama

mengenai nilai mutlak.

LATIHAN TERBIMBINGLATIHAN TERBIMBINGLATIHAN TERBIMBINGLATIHAN TERBIMBING 1.31.31.31.3

Kerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaanKerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaanKerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaanKerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaan....

1. Selesaikan persamaan F2# − 1F = F4# + 3F Petunjuk Pengerjaan: Petunjuk Pengerjaan: Petunjuk Pengerjaan: Petunjuk Pengerjaan: Kuadratkan kedua ruas, nolkan salah satu ruas sehingga diperoleh

sebuah persamaan kuadrat, dan selesaikan persamaan itu

Page 34: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

22 .

2. Selesaikan persamaan F5# + 4F = −5

Petunjuk Pengerjaan: Petunjuk Pengerjaan: Petunjuk Pengerjaan: Petunjuk Pengerjaan: Perhatikan persamaan tersebut, ingatlah bahwa nilai mutlak

menunjukkan jarak (selalu bernilai positi). Apa yang dapat Anda simpulkan.

MENGUBAH ALJABAR KE BENTUK YANG TIDAK MEMUAT NILAI MUTLAKMENGUBAH ALJABAR KE BENTUK YANG TIDAK MEMUAT NILAI MUTLAKMENGUBAH ALJABAR KE BENTUK YANG TIDAK MEMUAT NILAI MUTLAKMENGUBAH ALJABAR KE BENTUK YANG TIDAK MEMUAT NILAI MUTLAK.... Secara umum

untuk mengubah bentuk aljabar ke bentuk yang tidak memuat nilai mutlak adalah dengan

menggunakan sifat-sifat nilai mutlak yang telah Anda pelajari. Perhatikan Contoh 1.8.

Contoh Contoh Contoh Contoh 1.1.1.1.8888. Berdasarkan definisi nilai mutlak ubahlah F# − 5F ke bentuk yang tidak memuat

nilai mutlak.

Penyelesaian.

F# − 5F = G # − 5 jika # − 5 ≥ 0−(# − 5) jika # − 5 < 02

= G# − 5 jika # ≥ 55 − # jika # < 52

LATIHAN TERBIMBINGLATIHAN TERBIMBINGLATIHAN TERBIMBINGLATIHAN TERBIMBING 1.41.41.41.4

Kerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaan.Kerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaan.Kerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaan.Kerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaan.

1. Ubahlah F5 − 10#F ke bentuk yang tidak memuat nilai mutlak.

Petunjuk Pengerjaan: Petunjuk Pengerjaan: Petunjuk Pengerjaan: Petunjuk Pengerjaan: Gunakan definisi nilai mutlak untuk mengubah bentuk aljabar ke

yang tidak memuat nilai mutlak.

Page 35: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

23

2. Ubahlah bentuk aljabar f(x) = 3F#F + F# − 2F ke bentuk yang tidak memuat nilai mutlak.

Petunjuk Pengerjaan: Petunjuk Pengerjaan: Petunjuk Pengerjaan: Petunjuk Pengerjaan: Ubahlah secara terpisah 3F#F dan F# + 2F. Perhatikan bahwa bentuk

pertama nilai mutlak berganti tanda di x = 0 dan bentuk kedua berganti tanda di x = 2. ,

dengan batas ini bentuklah garis bilangan sehingga kita punya tiga selang bagian. Gunakan

batas ketiga selang ini untuk menghitung bentuk aljabarnya sehingga diperoleh

Q(#) = R−4# + 2 jika # < 0 2# + 2 jika 0 ≤ # < 24# − 2 jika # ≥ 2 2

Page 36: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

24 .

PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK.PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK.PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK.PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK. Untuk memahami bagaimana menyelesaikan

pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak, perhatikan ilustrasi berikut:

Selesaikan F2# + 8F < 5.

Cara ICara ICara ICara I., Dengan menggunakan sifat nilai mutlak pertidaksamaan F2# + 8F < 5 dapat diubah

menjadi -5 < 2x + 8 < 5 sehingga diperoleh − ��� < x < − ��

Cara IICara IICara IICara II. Perhatikan bahwa F2# + 8F = G 2# + 8 jika # ≥ −4−(2# + 8) jika # < −42, dengan memperhatikan

bentuk ini . selesaikan satu persatu.

Kasus 1Kasus 1Kasus 1Kasus 1, x ≥ -4, dipunyai 2# + 8 < 5 yang mempunyai penyelesaian x < − ��, ,jadi

penyelesaiannya adalah irisan antara x ≥ -4 dan x < − �� yaitu −T ≤ U < − VW.

Kasus 2Kasus 2Kasus 2Kasus 2, x < -4 , dipunyai -2x – 8 < 5 yang mempunyai penyelesaian x > − ��� , jadi

penyelesaiannya adalah irisan antara x < -4 dan x > − ��� yaitu − XVW < # < −4. . . .

Penyelesaian F2# + 8F < 5 merupakan gabungan dari penyelesaian dari kasus 1 dan dari

kasus 2, sehingga diperoleh − ��� < x < − ��

Dari dua cara ini, buatlah kesimpulan bagaimana cara menyelesaikan pertidaksamaan nilai

mutlak

Page 37: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

25

Contoh Contoh Contoh Contoh 1.1.1.1.9.9.9.9. Tentukan penyelesaian dari F3# + 2F > 6

Penyelesaian. Dari sifat nlai mutlak, pertaksamaan F3# + 2F > 6 dipenuhi jika 3x+2 > 6

atau 3x + 2 < -6, sehingga dipunyai x > �� atau x < -

Y� . Jadi Penyelesaian dari F3# + 2F >6 adalah { x : x >

�� atau x < - Y� }

Contoh Contoh Contoh Contoh 1.1.1.1.10. 10. 10. 10. F# − 2F < 2# + 1

Penyelesaian. Perhatikan dengan seksama pertidaksamaan tersebut, Pertidaksamaan ini

hanya bisa kita selesaikan dengan mengubah ke bentuk yang tidak memuat nilai mutlak.

(Kenapa?)

F# − 2F = 5# − 2 untuk # ≥ 22 − # untuk # < 22

Jika # ≥ 2, maka dipunyai x – 2 < 2x + 1 yang dipenuhi oleh x > 3.. Karena hanya untuk # ≥ 2 maka penyelesaian dari kasus ini adalah x > 3.

Jika x < 2 maka dipunyai 2 – x < 2x + 1 yang dipenuhi oleh x > ��. Karena hanya untuk

x < 2 maka penyelesaian dari kasus ini adalah �� < x < 2.

Jadi penyelesaian dari F# − 2F < 2# + 1 adalah { x: x > 3 atau �� < x < 2 }

Kesimpulan.Kesimpulan.Kesimpulan.Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini

Page 38: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

26 .

LATIHAN TERBIMBINGLATIHAN TERBIMBINGLATIHAN TERBIMBINGLATIHAN TERBIMBING 1.51.51.51.5

Kerjakan semua Kerjakan semua Kerjakan semua Kerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaansoal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaansoal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaansoal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaan

1. F# − 5F ≤ 4

Petunjuk Pengerjaan: Petunjuk Pengerjaan: Petunjuk Pengerjaan: Petunjuk Pengerjaan: Gunakan sifat nilai mutlak, atau bisa juga dengan mengubah bentuk

ke bentuk yang tidak memuat nilai mutlak.

2. 2# − 7 < F# + 1F Petunjuk Pengerjaan : Petunjuk Pengerjaan : Petunjuk Pengerjaan : Petunjuk Pengerjaan : hati-hati! Jangan menggunakan sifat nilai mutlak karena itu akan

menjebak penyelesaian kita. Ubahlah F# + 1F bentuk yang tidak memuat nilai mutlak,

kemudian selesaikan dengan menggunakan konsep pertidaksamaan

Page 39: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

27

3. F8 − 3#F ≥ F2#F Petunjuk Pengerjaan: Petunjuk Pengerjaan: Petunjuk Pengerjaan: Petunjuk Pengerjaan: kuadratkan kedua ruas (hal ini dibolehkan karena tanda nilai mutlak

telah menjamin bahwa keduanya tidak mungkin negatif)

4. F# − 2F + 2F2# + 3F > 2

Petunjuk Pengerjaan: Petunjuk Pengerjaan: Petunjuk Pengerjaan: Petunjuk Pengerjaan: Ubahlah ke bentuk yang tidak memuat nilai mutlak, dan selesaikan

kasus demi kasus.

Page 40: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

28 .

LATIHAN MANDIRILATIHAN MANDIRILATIHAN MANDIRILATIHAN MANDIRI 1.31.31.31.3

Untuk nomor 1 sampai dengan 3 berikut, ubahlah setiap bentuk yang diberikan ke bentuk

yang tidak memuat nilai mutlak

1. 2F#F + F# + 3F 2. F#F + F# + 1F − F2# + 6F 3. F2F#F − #�F Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 41: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

29

Untuk nomor 4 sampai dengan 12 berikut, selesaikan pertidaksamaan tersebut

4. F# + 4F < 7 9. #F#F < # − 2

5. F2# − 5F > 3 10. 3F#F + 2F# − 1F ≤ 7

6. F2# + 3F ≤ F# − 3F 11. (3# + 2)� − 6F3# + 2F + 8 ≥ 0

7. M 9:��9'�M ≤ M 9'��9:�M 12. (2# − 5)� − 3F2# − 5F > 10

8. P#2 − #P ≤ 2

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 42: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

30 .

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 43: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

31

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 44: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

32 .

1.41.41.41.4 Sistem Koordinat CartesiusSistem Koordinat CartesiusSistem Koordinat CartesiusSistem Koordinat Cartesius

Gambarlah dua garis riil, satu mendatar dan satu tegak, sedemikian rupa sehingga

keduanya berpotongan pada titik-titik nol dari kedua garis tersebut. Berilah nama garis

mendatar tersebut dengan sumbusumbusumbusumbu----xxxx dan garis tegak dengan sumbusumbusumbusumbu----yyyy, dan perpotongan

kedua garis itu dengan nama titik asaltitik asaltitik asaltitik asal OOOO.

Dari gambar bidang yang dibuat, ada ________ bagian daerah yang dapat kita temukan.

Berilah masing-masing daerah itu dengan nama Kuadran I, Kuadran II, Kuadran III, dan

Kuadran IV. Kuadran I merupakan bidang yang diwakili oleh bagian sumbu-x positif dan y

positif, Kuadran II diwakili oleh bagian _______________________, Kuadran III diwakili

oleh bagian __________________________________, dan Kuadran IV diwakili oleh bagian

_________________________________.

Selanjutnya ambillah sebuah titik sebarang pada bidang itu, misalnya titik P.

Misalkan Titik P diwakili oleh pasangan terurut (x,y). Nilai x mewakili nilai yang diambil

dari garis mendatar (sumbu-x) dan nilai y diambil dari garis tegak (sumbu-y).

Pada setiap pasangan terurut (x,y), x disebut absisabsisabsisabsis dan y disebut ordinatordinatordinatordinat. Pasangan

itulah yang biasa disebut dengan koordinat kartesius.koordinat kartesius.koordinat kartesius.koordinat kartesius. Jadi setiap pasangan terurut bilangan

(a,b) dapat digambarkan sebagai sebuah titik pada koordinat tersebut dan sebaliknya setiap

titik pada bidang koordinat Kartesius berkorespondensi dengan satu buah pasangan

bilangan (b,a). Himpunan semua pasangan bilangan terurut riil (x,y) dinamakan bidang

yang dinyatakan dengan R2.

Page 45: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

33

Buatlah definisi untuk beberapa istilah pada Tabel 1.3:

Tabel 1.3Tabel 1.3Tabel 1.3Tabel 1.3

Sumbu-x

Sumbu-y

Titik asal

Absis

Ordinat

Koordinat Kartesius

Bidang R2

Kesimpulan.Kesimpulan.Kesimpulan.Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini

LATIHAN MANDIRILATIHAN MANDIRILATIHAN MANDIRILATIHAN MANDIRI 1.41.41.41.4

Dalam soal-soal 1-4, gambarkan titik-titik yang diberikan dalam bidang koordinat

1. P(4,5), Q (2,3) 3. P(-4,5), Q (2,3)

2. P(4,5), Q (-2,3) 4. P(4,-5), Q (2,-3)

Penyelesaian

Page 46: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

34 .

Dalam Soal 5 – 8, gambarlah titik P sehingga titik-titik berikut dapat digambarkan

a. Titik Q sehingga garis yang melalui Q dan P tegak lurus ke sumbu x dan terbagi dua

olehnya. Berikan koordinat titik Q.

b. Titik R sehingga garis yang melalui P dan R tegak lurus ke sumbu y dan dibagi dua

olehnya. Berikan koordinat titik R.

c. Titik S sehingga garis yang melalui P dan S terbagi dua oleh titik asal. Berikan koordinat

S.

5. P(1,-2) 7. P(-1,-3)

6. P(-2,2) 8. P(0,-3)

Page 47: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

35

Penyelesaian

1.51.51.51.5 Grafik PersamaanGrafik PersamaanGrafik PersamaanGrafik Persamaan

Perhatikan persamaan y = x2- 4. Tuliskan dan lengkapilah beberapa titik-titik yang

memenuhi y = x2- 4 pada Tabel 1.4:

Tabel Tabel Tabel Tabel 1.1.1.1.4444. Beberapa pasangan titik yang memenuhi . Beberapa pasangan titik yang memenuhi . Beberapa pasangan titik yang memenuhi . Beberapa pasangan titik yang memenuhi y = xy = xy = xy = x2222---- 4444

X -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Y … … … … … … … …

Page 48: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

36 .

Pasangan terurut (x,y) ini memenuhi persamaan itu. Ini berarti himpunan (x,y) merupakan

himpunan penyelesaiannya pada bidang R2. Sekarang, plotlah pasangan titik itu pada sistem

koordinat Kartesius, ingatlah bahwa persamaan tersebut adalah persamaan kuadrat yang

grafiknya berbentuk parabola. Perkirakan sebuah kurva mulus mewakili persamaan itu.

Perhatikan bahwa grafik itu merupakan himpunan seluruh penyelesaian (x,y) yang

memenuhi persamaan y = x2- 4.. Jadi, grafik grafik grafik grafik suatu persamaan suatu persamaan suatu persamaan suatu persamaan di R2 adalah

________________________________________________________________

ContohContohContohContoh 1.111.111.111.11. . . . Gambarkan sketsa grafik persamaan y = �# + 4

Penyelesaian.

Persamaan y = �# + 4 tak negatif. Nilai y tak

negatif, karena itu grafik persamaannya

berada di atas sumbu x. Grafik

persamaannya diberikan pada Gambar 5

Contoh. Contoh. Contoh. Contoh. 1.12 1.12 1.12 1.12 Gambarkan sketsa grafik

persamaan y = −�# + 4

Penyelesaian

Persamaan y = -�# + 4 negatif. Nilai y

negatif, karena itu grafik persamaannya

berada di bawah sumbu x. Grafik

persamaanya diberikan pada Gambar 6

4

y

xGambar 1.5

4x

y

Gambar 1.6

Page 49: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

37

Kesimpulan.Kesimpulan.Kesimpulan.Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini

LATIHAN TERBIMBINGLATIHAN TERBIMBINGLATIHAN TERBIMBINGLATIHAN TERBIMBING 1.61.61.61.6

Kerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaanKerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaanKerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaanKerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaan

1. Sketsalah grafik persamaan y2- x – 4 = 0

Petunjuk Pengerjaan: Petunjuk Pengerjaan: Petunjuk Pengerjaan: Petunjuk Pengerjaan: Perhatikan bahwa persamaan dapat dibuat dalam y2 = x + 4, oleh

karena itu grafik persamaannya merupakan gabungan dari grafik pada Contoh 1.11 dan

Contoh 1.12

Page 50: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

38 .

2. Sketsalah grafik persamaan K = F# + 1F Petunjuk Pengerjaan: Petunjuk Pengerjaan: Petunjuk Pengerjaan: Petunjuk Pengerjaan: Dari definisi nilai mutlak suatu bilangan diperoleh

F# + 1F = G# + 1 jika # ≥ −1−# − 1 jika # < −12 Plotlah titik-titik yang memenuhi dua persamaan ini, perhatikan bahwa nilainya selalu

positif.

3. Sketsalah grafik persamaan (x + y ) (y + x2) = 0

Petunjuk Pengerjaan: Petunjuk Pengerjaan: Petunjuk Pengerjaan: Petunjuk Pengerjaan: Menurut sifat bilangan riil ab = 0 jika dan hanya jika a = 0 atau b =

0, diperoleh (x + y) = 0 atau (y + x2) = 0. Koordinat yang memenuhi (x + y )(y + x2) = 0 akan

selalu memenuhi (x + y ) = 0 dan (y + x2) = 0. Karena itu grafik persamaan terdiri dari dua

grafik yaitu grafik (x + y) = 0 dan (y + x2) = 0.

Page 51: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

39

LATIHAN MANDIRILATIHAN MANDIRILATIHAN MANDIRILATIHAN MANDIRI 1.51.51.51.5

Untuk soal 1-10, sketsalah grafik setiap persamaan

1. y = 2x + 5 5. y = F#F -5 9. (2x + y -1) (y + x2) = 0.

2. y = F# − 5F. 6. y = 4 + x2 10. y2 = x

3. y = 5 7. y = �2#

4. x = -4 8. y =- �4 − #�

Penyelesaian

Page 52: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

40 .

Page 53: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

41

11. a. Tuliskan persamaan yang grafiknya berimpit dengan sumbu-x.

b. Tuliskan persamaan yang grafiknya berimpit dengan sumbu-y

c. Tuliskan suatu persamaan yang grafiknya adalah himpunan semua titik yang

terletak pada sumbu x atau sumbu y.

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

12. a. Tuliskan persamaan yang grafiknya terdiri dari semua titik yang absisnya 5

b. Tuliskan persamaan yang grafiknya terdiri dari semua titik yang ordinatnya -4.

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

1.61.61.61.6 Rumus Jarak, Lingkaran, dan Persamaan Garis.Rumus Jarak, Lingkaran, dan Persamaan Garis.Rumus Jarak, Lingkaran, dan Persamaan Garis.Rumus Jarak, Lingkaran, dan Persamaan Garis.

RUMUS JARAKRUMUS JARAKRUMUS JARAKRUMUS JARAK.... Sekarang Anda sudah memahami koordinat. Berdasarkan ini akan

menentukan jarak antara dua titik. Perhatikan gambar berikut:

Gambar 1.7 Gambar 1.8

Page 54: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

42 .

Berdasarkan Teorema Pyhtagoras,Teorema Pyhtagoras,Teorema Pyhtagoras,Teorema Pyhtagoras, yang menyatakan bahwa kuadrat sisi miring dari sebuah

sisi segitiga siku-siku adalah jumlah kuadrat dari sisi-sisi lainnya, maka jarak antara titik

(a,b) dan titik asal, yang diwakili oleh c adalah

c = ….

Sekarang, bagaimana jarak antara dua titik sebarang P(x1,y1) dan Q(x2,y2) ? Untuk

menjawabnya, perhatikan ilustrasi pada Gambar 1.9

Perhatikan segitiga PQR , siku-siku di R..

QR = …

PR = …

Karena PQ merupakan sisi miring dari

segitiga siku-siku tersebut maka

PQ2 = … + …

Sisi miring PQ, merupakan jarak antara titik

P dan titik Q.

Jadi jarak antara dua titik sebarang P(x1,y1) dan Q(x2,y2) . Rumus jarak dari titik P ke Q

ditulis F[�F adalah

F[�F = ⋯

PERSAMAAN LINGKARANPERSAMAAN LINGKARANPERSAMAAN LINGKARANPERSAMAAN LINGKARAN.... Anda mungkin sudah pernah mempelajari lingkaran. Suatu

lingkaran adalah himpunan semua titik di bidang

yang berjarak sama dari suatu titik tetap.

Titik tetap itu dinamakan titik titik titik titik pusatpusatpusatpusat lingkaran, dan

jarak yang sama dinamakan jarijarijarijari----jarijarijarijari. Bagaimana

bentuk dari persamaan lingkaran? Untuk

menjawabnya, perhatikan ilustrasi Gambar 1.10 ,

yang menyatakan sebuah lingkaran yang berjari-jari

2 dan titik pusat (2,1). Berdasarkan rumus jarak,

jarak titik pusat (2,1) dengan titik sebarang (x,y) Gambar 1.10

x2

1 (2,1)

(x,y)

Gambar 1. 9

Page 55: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

43

yang berada pada lingkaran adalah E(# − 2)� + (K − 1)�. Lingkaran mempunyai jari-jari

sebesar 2, yang merupakan jarak antara titik (x,y) dan (2,1) maka lingkaran yang dimaksud

memenuhi persamaan E(# − 2)� + (K − 1)� = 2, atau (U − W)W + (] − X)W = T.... Apa yang

dapat disimpulkan jika pusat lingkaran itu adalah (a,b) dan berjari-jari r?

Persamaan lingkaran yang berjari-jari r dan titik pusat (a, b) adalah

PERSAMAAN GARISPERSAMAAN GARISPERSAMAAN GARISPERSAMAAN GARIS.... Persamaan garis tentu sudah pernah Anda pelajari di sekolah dasar

ataupun di sekolah menengah. Secara umum persamaan garis diberikan oleh

Ax + By + C = 0

dengan A, B, dan C konstanta-konstanta riil. Grafik persamaannya berbentuk garis lurus

yang melalui dua pasangan titik (x,y). Untuk memahami persamaan garis lebih lanjut ikuti

instruksi berikut:

1. Jika A = 0, persamaan garis berbentuk ______________. Buatlah grafiknya. Apa yang

dapat Anda simpulkan?

2. Jika B = 0, persamaan berbentuk _________________. Buatlah grafiknya. Apa yang

dapat Anda simpulkan?

Page 56: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

44 .

3. Jika A, B tak nol. Bagaimana bentuk grafiknya? Berapakah kemiringannya? Untuk

menjawab ini kerjakan instruksi berikut ini

(i) Ambil A = 2, B = 1, dan C = 4 diperoleh persamaan 2x + y + 4 = 0 ⇔ K = −W# − 4.

Kemiringannya (atau biasa disebut gradien) adalah m = -2.

(ii) Ambil A = 2, B = -1, dan C = 4 diperoleh persamaan 2x - y + 4 = 0 ⇔ K = W# + 4

Kemiringannya adalah m = 2

(iii) Ambil A = -2, B = -1, dan C = 4 diperoleh persamaan -2x - y + 4 = 0 ⇔ K = −W# + 4. Kemiringannya adalah m = -2

Sketsalah masing-masing grafik. Simpulkan perbedaan ketiga grafik itu

Page 57: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

45

4. Misalkan diketahui dua garis y – 2x = 0 dan 2y + x = 0. Garis pertama mempunyai

gradien m1 = 2 dan garis kedua mempunyai gradien m2 = − ��. Hasil perkalian gradien

garis tersebut adalah m1m2 = -1, grafik kedua garis itu saling tegak lurus. Sketsalah

kedua garis tersebut pada satu bidang. Perhatikan grafiknya. Apa yang dapat Anda

simpulkan tentang garis yang tegak lurus berkaitan dengan hasil kali gradiennya?

5. Misalkan diketahui dua garis y = 2x dan y = 2x +1. Gradien masing-masing garis itu,

adalah m1 = 2 dan m2 = 2. Gradien kedua garis itu sama. Sketsalah dua garis itu pada

satu bidang. Bagaimana bentuk grafik kedua garis itu. Simpulkan berdasarkan

gradiennya

Page 58: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

46 .

Contoh 1.13. Contoh 1.13. Contoh 1.13. Contoh 1.13. Gambarlah grafik 2x + 3y = 4 dan -3x + y = 5 pada satu bidang. Apakah garis

tersebut saling tegak lurus?

Penyelesaian. Garis 2x + 3y = 4 mempunyai kemiringan _� = − �� dan garis -3x + y = 5

mempunyai kemiringan _� = 3. Kedua garis ini tidak saling tegak lurus. Grafik kedua

grafik diberikan oleh Gambar 1.11:

Kesimpulan.Kesimpulan.Kesimpulan.Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini

Gambar 1.11

Page 59: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

47

LATIHAN MANDIRILATIHAN MANDIRILATIHAN MANDIRILATIHAN MANDIRI 1.61.61.61.6

1. Tentukan panjang ruas garis suatu segitiga dengan titik sudut A(-3,5), B(2,4), dan

C(-1,4)

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

2. Jika suatu titik ujung ruas garis adalah (-4,2) dan titik tengahnya (3,-1), tentukan

koordinat ujung lainnya dari ruas garis itu.

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 60: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

48 .

3. Tentukan suatu persamaan lingkaran yang berpusat di (1,2) dan melalui titik (3,-1)

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

4. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran berikut, kemudian gambarkan grafiknya

a. x2 + y2 – 6x – 8y + 9 = 0

b. 2x2 + 2y2 – 2x + 2y - 7 = 0

Penyelesaian

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

Page 61: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

49

5. Tentukan persamaan garis dengan syarat yang diberikan:

a. Kemiringannya 4 dan melalui titik (2,-3).

b. Melalui titik (-2,7) dan (6,0)

c. Melalui titik (1,4) dan sejajar dengan garis 2x – 5y + 7 = 0

d. Melalui titik (-3,-4) dan sejajar sumbu y.

e. Melalui titik (1,-7) dan sejajar sumbu x.

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………….

6. Diketahui garis l dengan persamaan 2y -3x = 4 dan titik P(1,-3) . Tentukan persamaan

garis yang melalui P dan tegakl lurus l

PenyelesaianPenyelesaianPenyelesaianPenyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 62: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

50 .

1.71.71.71.7 Fungsi dan Grafiknya.Fungsi dan Grafiknya.Fungsi dan Grafiknya.Fungsi dan Grafiknya.

Konsep fungsi sangat berperan dalam Kalkulus. Topik dalam Kalkulus misalnya limit,

kekontinuan, turunan maupun integral selalu melibatkan suatu fungsi. Oleh karena itu,

konsep fungsi seperti daerah asal, daerah hasil, operasi-operasi pada fungsi, fungsi

komposisi dan fungsi invers sangat diperlukan.

PENGEPENGEPENGEPENGERTIAN RTIAN RTIAN RTIAN DAN NOTASI DAN NOTASI DAN NOTASI DAN NOTASI FUNGSIFUNGSIFUNGSIFUNGSI.... Untuk memahami fungsi, perhatikan ilustrasi berikut:

Misalkan A = {a, b, c} dan B = { 1, 2, 3, 4}. Jika kita hubungkan himpunan A ke

himpunan B , maka kita dapatkan beberapa hubungan (relasi) di antaranya

Gambar 1.12(i) dan (iii) menyatakan suatu fungsi dari A ke B, sedangkan Gambar 12 (ii)

dan (iv) tidak menyatakan suatu fungsi dari A ke B. Perhatikan masing-masing gambar

itu! Apa yang membedakannya? Pada Gambar 12 (i) dan (iii) setiap anggota A mempunyai

relasi dengan tepat satu anggota B. Sedangkan Gambar (ii) ada anggota A yang tidak

mempunyai relasi ke B. pada Gambar (iv) meskipun setiap anggota A telah mempunyai

Gambar 1.12

Page 63: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

51

relasi dengan anggota B tetapi ada anggota B yang mempunyai relasi lebih dari satu. Apa

yang dapat Anda simpulkan tentang fungsi?

Fungsi dinotasikan dengan simbol huruf tunggal seperti f, g atau F. Penulisan y = f(x)

berarti x elemen dari A, f(x) disebut aturan pemadanannya dan y elemen B yang

merupakan pasangan dari x.. Bilangan x dan y adalah peubah. Karena untuk fungsi f

nilainya dinyatakan dengan x , dan karena nilai y bergantung pada pemilihan x maka x

adalah peubah bebas dan y peubah tak bebas.

ContohContohContohContoh 1.141.141.141.14.... Pandanglah persamaan berikut sebagai persaman y yang bergantung pada x.

Tentukanlah mana yang menyatakan fungsi!

a. y = �# − 2 c. xy3 = 1

b. x2 + y2 = 25 d. y2 = x

Penyelesaian

Dari persamaan itu, a dan c merupakan fungsi karena untuk setiap x dipasangkan dengan

tepat satu nilai y. Sedangkan b dan d tidak. Oleh karena itu b dan d bukanlah fungsi.

DAERAH ASAL (DOMAIN) DAN DAERAH HASIL (RANGE)DAERAH ASAL (DOMAIN) DAN DAERAH HASIL (RANGE)DAERAH ASAL (DOMAIN) DAN DAERAH HASIL (RANGE)DAERAH ASAL (DOMAIN) DAN DAERAH HASIL (RANGE).... Untuk menyebutkan suatu fungsi

secara lengkap kita harus menyatakan daerah asal (domain) dari fungsi tersebut. Perhatikan

ilustrasi berikut

Ilustrasi 1. Ilustrasi 1. Ilustrasi 1. Ilustrasi 1. Diketahui fungsi f(x) = x2. Fungsi ini terdefinisi secara baik (well defined) pada

seluruh bilangan riil., Hal ini berarti fungsi itu didefinisikan untuk setiap bilangan riil yang

memenuhi persamaan f(x) = x2. Jadi domain fungsi tersebut adalah Df = {x: x ∈ ℛ } dan

daerah hasil Rf = { y : y ≥ 0D. Grafik fungsinya diberikan pada Gambar 1.13

Page 64: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

52 .

Ilustrasi 2 .Ilustrasi 2 .Ilustrasi 2 .Ilustrasi 2 . Diketahui fungsi f(x) = x2, -1 < x < 1 . Berbeda dengan ilustrasi 1, fungsi ini

didefinisikan secara jelas pada -1 < x < 1. Oleh karena itu Df = { x : -1 < x < 1} dan

daerah hasil Rf = { y : 0 < y < 1}. Grafik fungsi diberikan pada Gambar 1.14

Dari dua ilutrasi ini apa yang disebut dengan Domain fungsi f dan Range fungsi f?

Jika untuk sebuah fungsi daerah asalnya tidak disebutkan maka daerah asalnya adalah

himpunan bilangan riil sehingga dimana fungsi tersebut well defined, daerah asal ini

disebut daerah asal alami daerah asal alami daerah asal alami daerah asal alami (natural domain)(natural domain)(natural domain)(natural domain).

GRAFIK FUNGSIGRAFIK FUNGSIGRAFIK FUNGSIGRAFIK FUNGSI. . . . Sebagaimana grafik persamaan yang telah kita pelajari, grafik fungsi f

merupakan himpunan titik-titik (x,y) di R2 sehingga (x,y) merupakan pasangan terurut

dari f

.

Gambar 1.13 Gambar 1.14

Page 65: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

53

Contoh 1.15Contoh 1.15Contoh 1.15Contoh 1.15. . . . Diketahui fungsi f(x) = x + 2. Tentukan daerah asal Df dan daerah hasil Rf

serta grafik fungsi f.

Penyelesaian

Fungsi ini tidak menyebutkan domain secara

eksplisit, sehingga domain yang dimaksud

adalah domain alami, yaitu Df

= {x : x ∈ aD, dan Rf = {y : y ∈ a } . Grafik

f diberikan pada Gambar 1.15

Contoh 1.16Contoh 1.16Contoh 1.16Contoh 1.16. . . . Diketahui fungsi f(x) = - �# + 1 Tentukan daerah asal Df dan daerah hasil

Rf serta grafik fungsi f.

Penyelesaian

Fungsi ini tidak menyebutkan domain secara

eksplisit, sehingga domain yang dimaksud

adalah domain alami, yaitu yang membuat

fungsi f terdefinisi, Jadi Df = {x : x ≥ −1D,

dan Rf = {y : K ≤ 0 } . Grafik f diberikan

pada Gambar 1.16:

y = x+2

x

y

2

2

Gambar 1.15

x

y

-1

-1

Gambar 1.16

y = - �# + 1

Page 66: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

54 .

Kesimpulan.Kesimpulan.Kesimpulan.Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini

LATIHAN TERBIMBINGLATIHAN TERBIMBINGLATIHAN TERBIMBINGLATIHAN TERBIMBING 1.71.71.71.7

Kerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaan.

Tentukan daerah asal Df dan daerah hasil Rf serta grafik fungsi f.

1. y = f(x) = �9:�

Petunjuk Pengerjaan: Petunjuk Pengerjaan: Petunjuk Pengerjaan: Petunjuk Pengerjaan: Fungsi y = �9:� merupakan fungsi rasional. Fungsi rasional

didefinisikan dengan penyebut tidak boleh nol

Page 67: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

55

2. y = f(x) = F#F Petunjuk Pengerjaan. Petunjuk Pengerjaan. Petunjuk Pengerjaan. Petunjuk Pengerjaan. y = f(x) = F#F merupakan fungsi nilai mutlak, Anda sudah mempelajari

itu pada bagian 1.3. Mulailah dengan mengubah f ke bentuk yang tidak memuat tanda nilai

mutlak. Perhatikan bahwa fungsinya terdiri dari dua fungsi linier. Plotlah titik-titik yang

memenuhi fungsi itu, Anda akan memperoleh sebuah grafik yang seluruhnya berada di atas

sumbu-x

3. K = Q(#) = G#2 jika # ≥ 01 jika x < 0 2 Petunjuk Pengerjaan:Petunjuk Pengerjaan:Petunjuk Pengerjaan:Petunjuk Pengerjaan: Fungsi f didefinisikan pada seluruh bilangan riil, tetapi dibatasi oleh x

= 0. Sketsalah x2 untuk # ≥ 0 dan 1 untuk x < 0.

Page 68: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

56 .

4. y = f(x) = c#d

Petunjuk Pengerjaan:Petunjuk Pengerjaan:Petunjuk Pengerjaan:Petunjuk Pengerjaan: Fungsi f menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau

sama dengan x. Grafiknya berupa fungsi tangga. Domain dari f adalah seluruh bilangan

riil dan rangenya adalah himpunan bilangan bulat.

FUNGSI GENAP DAN FUNGSI GANJILFUNGSI GENAP DAN FUNGSI GANJILFUNGSI GENAP DAN FUNGSI GANJILFUNGSI GENAP DAN FUNGSI GANJIL Seringkali kita memperkirakan kesimetrian grafik

suatu fungsi dengan memeriksa rumus fungsi tersebut. Hal ini akan mengantarkan kita ke

definisi fungsi genap dan fungsi ganjil. Untuk memahami itu ikuti intruksi berikut pada

tempat yang disediakan:

1. sketsa grafik f(x) = x2 dan g(x) = x

Page 69: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

57

2. Perhatikan grafik f dan g yang Anda buat. Grafik f simetris terhadap ______________

dan Grafik g simeteris terhadap _____________

3. Lengkapi Tabel 1.5

Tabel 1.3Tabel 1.3Tabel 1.3Tabel 1.3

X -2 -1 1 2 a -a

f(x)= x2

g(x) = x

4. Dari Tabel 1.3, diketahui bahwa

f(2) = ______ = _____, f(1) = ______= ______, f(a) = ______= ______

g(2) = ______ = _____, g(1) = ______= ______, g(a) = ______= ______

Fokuskan pada intruksi pada poin (2) dan poin (4). Fungsi f(x) = x2 merupakan fungsi

genap, dan .g(x) = x merupakan fungsi ganjil. Jadi secara umum fungsi genap mempunyai

grafik yang simetris terhadap ________________ atau f(-x) = ______, dan fungsi ganjil

mempunyai grafik yang simetris terhadap __________ atau g(-x) = _________.

KesimpulanKesimpulanKesimpulanKesimpulan

1. Fungsi genap adalah fungsi yang memenuhi _________________

2. Fungsi ganjil adalah fungsi yang memenuhi _________________

Contoh 1.17Contoh 1.17Contoh 1.17Contoh 1.17. . . . Selidiki apakah fungsi berikut genap atau ganjil, atau tidak keduanya

a. y = x2

b. y = F# − 1F c. y =c#d

Penyelesaian

Page 70: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

58 .

a. Perhatikan bahwa f(-x) = (-x)2 = x2 = f(x) oleh karena itu y = x2 merupakan fungsi

genap

b. Perhatikan bahwa f(-x) = F−# − 1F% ≠ f(x) dan f(-x) = F−# − 1F ≠ -f(x) oleh karena itu

fungsi nilai mutlak ini bukanlah fungsi ganjil dan bukan fungsi genap.

c. Perhatikan bahwa f(-x) = c−#d ≠ f(x) dan f(-x) = c−#d ≠ -f(x) oleh karena itu fungsi

ini bukan fungsi ganjil atau fungsi genap.

Kesimpulan.Kesimpulan.Kesimpulan.Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini

LATIHAN TERBIMBINGLATIHAN TERBIMBINGLATIHAN TERBIMBINGLATIHAN TERBIMBING 1.1.1.1.8888

Kerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaan. Kerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaan. Kerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaan. Kerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaan.

Selidiki apakah fungsi berikut genap atau ganjil atau tidak keduanya.

1. Q(#) = #2'�9e

Petunjuk Pengerjaan. Petunjuk Pengerjaan. Petunjuk Pengerjaan. Petunjuk Pengerjaan. Carilah f(-x) kemudian perhatikan apakah f(-x) = f(x) atau

f(-x) = -f(x) atau tidak keduanya.

Page 71: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

59

2. Q(#) = cos #

Petunjuk Pengerjaan. Petunjuk Pengerjaan. Petunjuk Pengerjaan. Petunjuk Pengerjaan. Carilah f(-x) kemudian perhatikan apakah f(-x) = f(x) atau

f(-x) = -f(x) atau tidak keduanya.

LATIHAN MANDIRILATIHAN MANDIRILATIHAN MANDIRILATIHAN MANDIRI 1.71.71.71.7

1. Manakah dari yang berikut yang merupakankan suatu fungsi f dengan rumus y =

f(x)? Petunjuk: Selesaikan untuk y dalam bentuk x dan perhatikan bahwa definisi

fungsi mensyaratkan suatu y tunggal untuk tiap x.

a. x = E2K + 1 c. y = E4 − #2

b. xy + y + 3x = 4, x ≠ −1 d. y2 + x2 = 4

Pemyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

2. Diketahui f(x) = 2x -1, tentukan

a. f(3) c. f(0) e. f(x-1)

b. f(-2) d. f(a+1) f. f(2x)

Page 72: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

60 .

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

3. Diketahui f(x) = �9, tentukan

a. f(1) c. f(�9) e.

i(�)i(9) b. f(-3) d. f(3+x) f. f(x+h)

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

4. Carilah daerah asal alami masing-masing fungsi berikut

a. f(z) = �2j + 3 c. ℎ(#) = ��9:� e. H(x) = F2# + 3F b. g(y) =EK� − 9 d. Q(#) = �:#2#2:9:�

Penyelesaian

Page 73: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

61

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

5. Nyatakan apakah fungsi berikut ini genap atau ganjil atau tidak keduanya. Kemudian

sketsa grafiknya

a. f(x) = -4 e. f(x) = F2#F b. h(x) = 3x2 + 2x -1 f. H( x) = −F# + 3F c. g(x) =

�9l:��9e'9 g. Q(#) = m 1 jika # ≤ 0# + 1 Jika 0 < # < 2#2 − 1 jika # ≥ 2 2 d. Q(#) = G1 jika # ≥ 0 −1 jika # < 0 2 h. f(x) = �# − 1

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 74: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

62 .

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

1.81.81.81.8 Operasi Pada FungsiOperasi Pada FungsiOperasi Pada FungsiOperasi Pada Fungsi

Seperti halnya dua bilangan a dan b dapat ditambahkan untuk menghasilkan sebuah

bilangan baru, demikian juga fungsi f dan g dapat ditambahkan untuk menghasilkan

fungsi baru f + g.

JUMLAH, SELISIH, HASIL KALI, HASIL BAGI DAN PANGKATJUMLAH, SELISIH, HASIL KALI, HASIL BAGI DAN PANGKATJUMLAH, SELISIH, HASIL KALI, HASIL BAGI DAN PANGKATJUMLAH, SELISIH, HASIL KALI, HASIL BAGI DAN PANGKAT. . . . Dua fungsi dapat dioperasikan

dengan operasi jumlah,dan perkalian. Daerah asal untuk fungsi yang dihasilkan merupakan

irisan dari daerah asal fungsi semula. Perhatikan contoh berikut

Contoh 1.18Contoh 1.18Contoh 1.18Contoh 1.18. . . . Misalkan diketahui fungsi f(x) = x dan g(x) = E9 − #2 . Tentukan f + g, f – g,

fg, oi, dan f 5

. Beserta daerah asal (domain)

Penyelesaian

Fungsi f(x) = x mempunyai domain seluruh bilangan riil, sedangkan g(x) = E9 − #2 .

mempunyai domain [-3, 3]. Hasil dari operasi ditampilkan pada Tabel 1.3 berikut

Tabel 1.3Tabel 1.3Tabel 1.3Tabel 1.3

Page 75: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

63

Rumus Domain

(f + g) (x) = x + E9 − #2

(f - g) (x) = x - E9 − #2

(f.g) (x) = x. E9 − #2 pQ (#) = 9 − #2#

f5 (x) = E9 − #2�

[-3, 3]

[-3, 3]

[-3, 3]

[-3, 0) atau (0,3]

[-3, 3]

FUNGSI KOMPOSISIFUNGSI KOMPOSISIFUNGSI KOMPOSISIFUNGSI KOMPOSISI.... Perhatikan dua fungsi f(x) =�9#2: dan g(x) =�3# dibentuk fungsi baru

(g o f) (x) = g (f(x)) = p 0 �9#2: 1 = q �Y9#2: fungsi yang demikian disebut fungsi komposisi dari

f dan g.

Masalah: Masalah: Masalah: Masalah: Bagaimana menentukan Dgof dan Rgof ?. Untuk menjawab ini perhatikan Gambar

1.17 berikut

Titik-titik dari Df yang dapat dievaluasi oleh fungsi komposisi g o f adalah titik-titik yang

oleh fungsi f dipetakan ke dalam Dg. Misalkan A = Rf ∩ Dg maka

f

g

DfDf

Rg

Rg

Gambar 1.17

Page 76: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

64 .

Dgof = f-1 (A) dan Rgof = g(A)

Contoh 1.19Contoh 1.19Contoh 1.19Contoh 1.19. . . . Misalkan diketahui fungsi f(x) = 1+ x2 dan g(x) = �1 − #. Tentukan g o f

dan Dg o f dan R gof

Penyelesaian. g o f (x) = g (f(x)) = g(1+ x2) = E1 − (1 + #2) = E−#2.

Df = (−∞, +∞) , R f = 31, +∞) , Dg = (−∞, 1] dan Rg = 30, +∞) sehingga kita mempunyai

A = Rf ∩ Dg = {1} sehingga D gof = f -1(A) = {0} dan Rgof = g(A) = {0}

Contoh 1.20Contoh 1.20Contoh 1.20Contoh 1.20. . . . Misalkan diketahui fungsi f(x) = �9 dan g(x) = �#. Tentukan f o g , Dfo g dan

Dfo g

Penyelesaian. f o g(x) = f (g(x)) =f( �#) = ��9.

Dg = 30, +∞) , R g= 30, +∞) , Df = ℛ − C0D dan Rf = ℛ sehingga kita mempunyai A = Rg ∩

Df = (0, +∞) sehingga D fog = g-1(A) = (0, +∞) dan Rfog = f(A)= (0, +∞)

PENGGESERANPENGGESERANPENGGESERANPENGGESERAN.... Jika diberikan grafik fungsi y = f(x). Bagaimana grafik dari f( x- a) dan

grafik f(x) + a?. Untuk mengetahui ini perhatikan ilustrasi berikut

IlustrasiIlustrasiIlustrasiIlustrasi. Perhatikan grafik-grafik berikut

Grafik y = (x-1)2 merupakan hasil pergeseran grafik y = x2 sejauh 1 satuan ke kanan.

Grafik y = (x+1)2 merupakan hasil pergeseran grafik y = x2 sejauh 1 satuan ke kiri,

Grafik y = x2+ 1 merupakan hasil pergeseran grafik y = x2 sejauh 1 satuan ke atas,

Grafik y = x2- 1 merupakan hasil pergeseran grafik y = x2 sejauh 1 satuan ke bawah.

Gambar 1.18

Page 77: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

65

Prinsip yang sama berlaku dalam situasi umum. Jadi jika diketahui grafik y = f(x) dan a > 0

maka grafik

f(x – a) bergeser ____________________________________________________________

f(x + a) bergeser ____________________________________________________________

f(x) + a) bergeser ____________________________________________________________

f(x ) – a bergeser ____________________________________________________________

Kesimpulan.Kesimpulan.Kesimpulan.Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini

LATIHAN TERBIMBINGLATIHAN TERBIMBINGLATIHAN TERBIMBINGLATIHAN TERBIMBING 1.91.91.91.9

Kerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaan. Kerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaan. Kerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaan. Kerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaan.

1. Diketahui f(x) = x2; g(x) = ��9. Tentukan f + g, dan

io dan domain dari fungsi yang

dihasilkan tersebut.

Petunjuk Pengerjaan. Petunjuk Pengerjaan. Petunjuk Pengerjaan. Petunjuk Pengerjaan. Perhatikan bahwa Domain hasil operasi penjumlahan, perkalian dan

pembagian adalah irisan dari domain asal fungsi f dan g. Kecuali untuk io ditambahkan

bahwa g ≠ 0.

Page 78: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

66 .

2. Diketahui f(x) = x2; g(x) = ��9. Tentukan f o g, dan g o f, serta domain dan range dari

fungsi yang dihasilkan tersebut.

Petunjuk Pengerjaan. Petunjuk Pengerjaan. Petunjuk Pengerjaan. Petunjuk Pengerjaan. Tentukan Df, Dg, dan Rf, kemudian tentukn A = Rg∩Df, yang menjadi

Dfog adalah g-1(A) dan Rfog = f(A).

3. Berdasarkan grafik y = x2, gambarkan grafik y = x2 + 4x + 3

PPPPetunjuk Pengerjaan: etunjuk Pengerjaan: etunjuk Pengerjaan: etunjuk Pengerjaan: Bentuklah y = x2 + 4x + 3 = (x +2)2 – 1. Geserlah grafik y = x2 ke kiri

sejauh 2 satuan dan ke bawah sejauh 1 satuan.

Page 79: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

67

4. Berdasarkan grafik y = �# gambarkan grafik y = �# − 3 + 2

Petunjuk Pengerjaan: Petunjuk Pengerjaan: Petunjuk Pengerjaan: Petunjuk Pengerjaan: Geserlah grafik y = �# ke kanan sejauh 3 satuan dan ke atas sejauh 2

satuan.

LLLLATIHAN MANDIRIATIHAN MANDIRIATIHAN MANDIRIATIHAN MANDIRI 1.81.81.81.8

Untuk soal nomor 1 sampai dengan nomor 3. Diberikan fungsi f dan g berikut. Dalam

setiap soal tentukan fungsi yang diminta dan tentukan pula daerah asal fungsi yang

diperoleh

1. f + g jika f(x) = x – 5 ; g(x) = x2 -1

2. f - g jika f(x) = E#(9 − #); g(x) = E4 − #2

3. io jika f(x )=

9'�9:� ; g(x) = x

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 80: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

68 .

Untuk soal nomor 4 sampai dengan nomor 6. Diberikan fungsi f dan g. didefinisikan

berikut ini dan tentukan daerah asal dan daerah hasil fungsi komposisi f o g, g o f, f o f dan

gog.

4. f(x) = �#� + 1; g(x) = E4 − #2

5. f(x) = 9'�9:� ; g(x) = x

6. f(x) = x2; g(x) = ��9

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 81: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

69

7. Sketsalah grafik g(x) = F# + 3F − 4 dengan pertama menggambar h(x) = F#F dan

kemudian menggesernya.

Penyelesaian

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

8. Sketsalah grafik g(x) = x2-6x -3 dengan pertama menggambar h(x) = x2 dan kemudian

menggesernya.

Penyelesaian

…………………………………

…………………………………

…………………………………

…………………………………

…………………………………

…………………………………

…………………………………

…………………………………

…………………………………

Page 82: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

70 .

1.9 1.9 1.9 1.9 Fungsi TrigonometriFungsi TrigonometriFungsi TrigonometriFungsi Trigonometri

Perhatikan Gambar 1.19 lingkaran berjari-jari satu

satuan. Posisi titik P = (x,y) . Sudut t positif dihitung

berdasarkan arah yang berlawanan jarum jam

dengan satuan radian 1� = ��Y� s radian.

Misalkan t menyatakan panjang busur lingkaran

satuan dan menentukan titik P(x,y) yang tunggal.

Ingatlah kembali definisi dari sin t , dan cos t. Maka

diperoleh Q(t) = uvw t = ⋯ dan p(t) = cos t = ⋯

Df = Dg = … dan Rf = Rg

= …

Sudut t dan sudut t + 2s menentukan posisi titik P

yang sama, sehingga

Sin (t+2s) = sin t dan cos (t + 2s) = cos t,

dikatakan fungsi tersebut periodik dengan periode 2s. Perhatikan Gambar 1. 20.

Jelaskan bahwa

sin(-t) = -sin t, cos(-t) = cos t, sin2 t + cos2t = 1

t

O

P

x

y1

Gambar 1.19

t

O

P

x

y

1

-y

Gambar 1.20

Page 83: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

71

GRAFIK SINUS DAN COSINUS.GRAFIK SINUS DAN COSINUS.GRAFIK SINUS DAN COSINUS.GRAFIK SINUS DAN COSINUS. Grafik sinus dan cosinus ditampilkan pada Gambar 21

berikut

Empat hal dapat diperhatikan dari grafik ini, yaitu

1. Sin t dan cos t mempunyai nilai __________________

2. Kedua grafik berulang pada setiap _______________________

3. Grafik y = sin t simetri terhadap ___________ sehingga y = sin t adalah fungsi ganjil.

Grafik y = cos t simetri terhadap ___________ sehingga y = cos t adalah fungsi genap.

4. Grafik y = sin t sama seperti y = cos t tetapi digeser x� satuan ke kanan.

FUNGSIFUNGSIFUNGSIFUNGSI----FUNGSI TRIGONOMETRI YANG LAIN.FUNGSI TRIGONOMETRI YANG LAIN.FUNGSI TRIGONOMETRI YANG LAIN.FUNGSI TRIGONOMETRI YANG LAIN. Tulislah fungsi trigonometri yang lain yang

Anda ketahui:

s s

s s

Gambar 1.21

Page 84: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

72 .

SIFATSIFATSIFATSIFAT----SIFAT PENTING FUNGSI TRIGONOMETRISIFAT PENTING FUNGSI TRIGONOMETRISIFAT PENTING FUNGSI TRIGONOMETRISIFAT PENTING FUNGSI TRIGONOMETRI.... Sifat- sifat fungsi trigonometri berikut

sering kita perlukan dan kita ketahui, yaitu:

1. sin2x + cos2x = 1 7. cos2 x = �� (1 + cos 2x)

2. 1 + tan2x = sec2x 8. Sin (x+y) = sinx cos x + cos x sin y

3. 1 + cot2x = csc2x 9. Cos (x +y) = cos x cos y – sin x sin y

4. Sin(-x) = -sin x 10. Sin x + sin y = 2 sin 09'N� 1 cos 09:N� 1

5. Cos(-x) = cos x 11. cos x + cos y = 2 cos 09'N� 1 cos 09:N� 1

6. Sin2 x = �� (1 – cos 2x) 12. cos x - cos y = -2 sin 09'N� 1 sin 09:N� 1

Kesimpulan.Kesimpulan.Kesimpulan.Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini

LATIHAN MANDIRI 1.9LATIHAN MANDIRI 1.9LATIHAN MANDIRI 1.9LATIHAN MANDIRI 1.9

1. Tentukan setiap nilai fungsi yang diberikan tanpa menggunakan kalkulator

a. Sin �� s c. sec s

b. tan − �� s d. cos − �� s

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 85: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

73

2. Periksa bahwa yang berikut ini adalah identitas

a. yz{lN ' �y|}l N = 1

b. (1 + cos ~ ) (1 − cos ~ ) = uvw�~

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

3. Sketsalah grafik y = sin 2x pada [−s, 2s]

Penyelesaian

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

Page 86: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Sistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan FungsiSistem Bilangan Riil dan Fungsi

74 .

4. Sketsalah grafik y = 2 cos t pada [−s, 2s]

Penyelesaian

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

5. Sketsalah grafik y = 3 + sec (x –s) pada [-5,5]

Penyelesaian

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

Page 87: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan

75

2. 2. 2. 2. LIMIT DANLIMIT DANLIMIT DANLIMIT DAN

KEKONTINUANKEKONTINUANKEKONTINUANKEKONTINUAN

ada Bab 1 telah dibahas hal-hal yang disebut prakalkulus. Hal tersebut

menjadi dasar untuk membahas bagian penting dari kalkulus yaitu suatu

gagasan yang membedakan Kalkulus dari ilmu-ilmu lainnya yaitu llllimitimitimitimit.

Konsep limit fungsi merupakan dasar untuk mempelajari Kalkulus.

KompetensiKompetensiKompetensiKompetensi UtamaUtamaUtamaUtama

Mahasiswa dapat memahami konsep limit.

Kompetensi PenunjangKompetensi PenunjangKompetensi PenunjangKompetensi Penunjang

Mahasiswa dapat

1. menyelesaikan permasalahan nilai limit serta mengetahui bentuk-bentuk limit yang

ada.

2. Menentukan kekontinuan suatu fungsi.

2.12.12.12.1 Pengertian Pengertian Pengertian Pengertian LimitLimitLimitLimit

Pernahkah Anda mendengar istilah berikut:

1. Kendaraan yang saya tumpangi hampir saja tertabrak truk.

2. Batas akhir pelaporan nilai Belum Lengkap (BL) tanggal 23 Juli.

3. Seorang buronan nyaris tertembak.

Berdasarkan pernyataan-pernyataan di atas, apa yang bisa Anda simpulkan? (Ambil satu

kata kunci yang bergaris bawah)

P

Page 88: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan

76

PEMAHAMAN LIMIT SECARA INTUITIFPEMAHAMAN LIMIT SECARA INTUITIFPEMAHAMAN LIMIT SECARA INTUITIFPEMAHAMAN LIMIT SECARA INTUITIF. . . . Perhatikan fungsi f berikut

���� = �� + � − 2� − 1

Fungsi ini tidak terdefinisi di x =1, kenapa?

Tetapi bagaimana jika dilihat nilai f untuk x mendekati 1 dari arah kanan (x > 1, dan nilai f

untuk x mendekati 1 dari arah kiri (x < 1)?. Perhatikan lagi fungsi

���� = �� + � − 2� − 1 = �� − 1��� + 2��� − 1� = �� + 2�, � ≠ 1

Lengkapilah Tabel 2.1 berikut, perhatikan apa yang terjadi dengan nilai fungsi f jika x

mendekati 1.

Tabel 2.1. Tabel 2.1. Tabel 2.1. Tabel 2.1.

XXXX F(x)F(x)F(x)F(x)

0.9

0.99

0.999 ⋮

1 ⋮

1.0001

1.001

1.01

1.1

Amati Tabel 2.1 dan grafiknya pada Gambar 2.1, dapat diambil kesimpulan:

1. Jika jarak x dengan 1 kurang dari 0,1 maka jarak f(x) dengan 3 kurang dari 0,1

2. Jika jarak x dengan 1 kurang dari 0,01 maka jarak f(x) dengan 3 kurang dari 0,01

3. Jika jarak x dengan 1 kurang dari 0,001 maka jarak f(x) dengan 3 kurang dari 0,001

Gambar 2.1

Page 89: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan

77

Perhatikan bahwa semakin dekat x ke 1 maka f(x) juga semakin ________ ke _____

Kesimpulan-kesimpulan 1, 2, dan 3 di atas secara matematis dapat ditulis sebagai

1. 0 < �� − 1� < 0.1 ⇒ ����� − 3� < 0.1

2. 0 < �� − 1� < 0.01 ⇒ ����� − 3� < ______ 3. 0 < _______ < ________ ⇒ ______________ < _____

Jika bilangan-bilangan yang cukup kecil tersebut disimbolkan dengan � dan � , dengan �

menyatakan jarak antara f(x) dengan 3, dan � menyatakan jarak x dengan 1, maka dapat

ditulis����� − 3� < � asalkan 0 < �� − 1� < �

Kondisi ini menyatakan bahwa limit f(x) untuk x mendekati 1 adalah 3, atau dapat ditulis: lim�→! ���� = 3

PENGKAJIAN MENDALAM TENTANG LIMITPENGKAJIAN MENDALAM TENTANG LIMITPENGKAJIAN MENDALAM TENTANG LIMITPENGKAJIAN MENDALAM TENTANG LIMIT.... Perhatikan fungsi f yang terdefinisi pada

selang terbuka I yang memuat a, kecuali mungkin di a sendiri seperti yang disajikan

Gambar 2.2

Perhatikan nilai f ketika nilai x mendekati a. Masih adakah bentuk lain dari f(x) yang

memenuhi definisi di atas? Jelaskan

Page 90: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan

78

Untuk memudahkan pembahasan konsep limit, perhatikan gambar 2.3:

Dari gambar 2.3 dapat dinyatakan bahwa nilai

f(x) dapat dibuat sedekat mungkin dengan L

asalkan x cukup dekat ke a. Dengan kata lain

jika jarak x dengan a cukup kecil maka jarak

f(x) dengan L dapat dibuat sedekat mungkin.

Atau dapat dituliskan sebagai

… < �� − ⋯ � < ⋯ ⇒ ����� − ⋯ � < ⋯

Dari pernyataan diatas tersebut dapat didefinisikan limit sebagai berikut:

DEFINISI LIMITDEFINISI LIMITDEFINISI LIMITDEFINISI LIMIT. Misalkan f suatu fungsi yang terdefinisi pada setiap bilangan pada suatu

selang terbuka yang memuat a kecuali a itu sendiri. Limit fungsi f untuk x mendekati a

adalah L ditulis lim�→$ ���� = %

Jika untuk setiap bilangan � > 0 terdapat � > 0 sehingga 0 < �� − &� < � maka ����� − %� < �

Contoh Contoh Contoh Contoh 2.12.12.12.1. Carilah lim�→'�4� − 5�

Penyelesaian. Perhatikan bahwa jika x dekat ke 3 maka f(x) = 4x – 5 dekat ke 7 sehingga lim�→' 4� − 5 = 7

Contoh 2.2Contoh 2.2Contoh 2.2Contoh 2.2. Diketahui fungsi f(x) = 4x – 1. Jika diberikan � = 0.001 maka carilah suatu � > 0 sehingga jika 0 < �� − 2� < � berlaku ����� − 7� < �

x a

L

& + � & − �

L+ �

L- �

f(x)

Y

XGambar 2.3

Page 91: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan

79

Penyelesaian. Terlebih dahulu dilakukan analisis pendahuluan. Akan dicari bilangan � > 0

sehingga 0 < �� − 2� < � ⇒ ����� − 7� < � 0 < �� − 2� < � ⇒ ����� − 7� < 0.001 0 < �� − 2� < � ⇒ �4� − 1 − 7� < 0.001 0 < �� − 2� < � ⇒ �4� − 8� < 0.001 0 < �� − 2� < � ⇒ 4�� − 2� < 0.001

0 < �� − 2� < � ⇒ �� − 2� < 0.0014

Jadi dapat dipilih � ≤ ....!/ maka akan diperoleh

0 < �� − 2� < � ≤ 0.0014 ⇒ ����� − 7� = 4 0.0014 = 0.001

Contoh 2.3Contoh 2.3Contoh 2.3Contoh 2.3. . . . Buktikan lim�→0!�2 − 3�� = 5

Penyelesaian. Terlebih dahulu dilakukan analisis pendahuluan. Diberikan sebarang

bilangan � > 0, akan dicari suatu bilangan � > 0, sehingga 0 < �� + 1� < � ⇒ ����� − 5� < � 0 < �� + 1� < � ⇒ �2 − 3� − 5� < � 0 < �� + 1� < � ⇒ �−3 − 3�� < � 0 < �� + 1� < � ⇒ 3�� + 1� < � 0 < �� + 1� < � ⇒ �� + 1� < �3

Bukti formal. Pilih � ≤ 1' maka

0 < �� + 1� < � ≤ �3 ⇒ ����� − 5� = �2 − 3� − 5� = 3�� + 1� < 3 �3 = �

Kesimpulan. Kesimpulan. Kesimpulan. Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini

Page 92: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan

80

LATIHAN TERBIMBINGLATIHAN TERBIMBINGLATIHAN TERBIMBINGLATIHAN TERBIMBING 2.12.12.12.1

Kerjakan semua soal berikut pada tempat yang disedikan. ahami petunjuk pengerjaan.

1. Diketahui fungsi f(x) = 2 + 5x. Jika diberikan � = 0.002 maka carilah suatu � > 0

sehingga jika 0 < �� − 3� < � berlaku ����� − 10� < �

Petunjuk pengerjaanPetunjuk pengerjaanPetunjuk pengerjaanPetunjuk pengerjaan. Terlebih dahulu lakukan analisis pendahuluan untuk mencari

bilangan � > 0 sehingga 0 < �� − 3� < � ⇒ ����� − 10� < �. Kemudian gantikan fungsi

f(x) ke bentuk pertidaksamaan 0 < �� − 3� < � ⇒ ��2 + 5�� − 10� < �. Pilih �

2. Buktikan lim�→'�3� − 5� = 4

Petunjuk pengerjaan.Petunjuk pengerjaan.Petunjuk pengerjaan.Petunjuk pengerjaan. Terlebih dahulu lakukan analisis pendahuluan. Diberikan sebarang

bilangan � > 0, akan dicari suatu bilangan � > 0, sehingga 0 < �� − 3� < � ⇒ ����� − 4� < �

Page 93: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan

81

LATIHAN MANDIRI 2.1LATIHAN MANDIRI 2.1LATIHAN MANDIRI 2.1LATIHAN MANDIRI 2.1

1. Diketahui fungsi f(x) = 4x – 5. Jika diberikan � = 0.001 maka carilah suatu � > 0

sehingga jika 0 < �� − 2� < � berlaku ����� − 3� < �

Penyelesaian Penyelesaian Penyelesaian Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

2. Buktikan lim�→� 7 = 7

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 94: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan

82

3. Buktikan lim�→2 ��0/ = 2

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

2.2.2.2.2222. . . . SifatSifatSifatSifat----sifat Limit Fungsisifat Limit Fungsisifat Limit Fungsisifat Limit Fungsi

Sebagaimana yang terdapat dalam Pasal 2.1 Anda telah membuktikan limit fungsi

suatu titik kadang-kadang sukar dilakukan. Untuk menghitung limit fungsi dengan metode

yang mudah, Anda dapat menggunakan sifat-sifat limit fungsi yang akan dibicarakan

berikut ini. Namun, sebelumnya perhatikan hal berikut:

a. lim�→! 3 = 3

b. lim�→0� 0,001 = 0,001

Apa yang dapat Anda simpulkan dari bentuk soal (a) dan (b) kedalam bentuk sifat-sifat

limit?

c. lim�→/ � = 4

d. lim�→! � = 1

Page 95: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan

83

Apa yang dapat Anda simpulkan dari bentuk soal (c) dan (d) kedalam bentuk sifat-sifat

limit?

e. Jika lim�→! 2�� = 2 dan lim�→! � = 1 maka lim�→!�2�� + �� = lim�→! 2�� + lim�→! � = 2 + 1 = 3

f. Jika lim�→! 2�� = 2 dan lim�→! � = 1 maka lim�→!�2�� − �� = lim�→! 2�� − lim�→! � = 2 − 1 = 1

Apa yang dapat Anda simpulkan dari bentuk soal (e) dan (f) ke dalam bentuk sifat-sifat

limit?

g. Jika lim�→! 2�� = 2 dan lim�→! � = 1 maka lim�→! 2��� = lim�→! 2�� . lim�→! � = 2.1 = 2

h. Jika lim�→! 2�� = 2 dan lim�→! � = 1 maka

lim�→! 32��� 4 = lim�→! 2��lim�→! � = 21 = 2

Apa yang dapat Anda simpulkan dari bentuk soal (g) dan (h) kedalam bentuk sifat-sifat

limit?

i. Jika lim�→! 2� = 2 maka �lim�→! 2��� = 2� = 4

j. Jika lim�→� 4� = 8 maka 5lim�→� 4�6 = 786 = 2

Page 96: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan

84

Apa yang dapat Anda simpulkan dari bentuk soal (i) dan (j) kedalam bentuk sifat-sifat limit?

k. Jika 8��� = �' + �� − � maka lim p�x� =�→� 8�2� = 2' + 2� − 2 = 10

Apa yang dapat Anda simpulkan dari bentuk soal (k) kedalam bentuk sifat-sifat limit?

l. ;��� = �� ���� = � ℎ��� = �=� , definisikan fungsi-fungsi ini pada [0, +∞].

Perhatikan bahwa ;��� ≤ ���� ≤ ℎ���.

Dan limit dari g dan h pada x mendekati 1 lim�→! ;��� = lim�→! �� = _________

lim�→! ℎ��� = lim�→! �=� = __________

Perhatikan urutan nilai fungsi yang telah Anda buat tadi, kemudian amati nilai limit g dan

h. Berdasarkan informasi ini, berapakah lim�→! ���� ? _________. Limit f yang Anda

tentukan dengan cara seperti ini disebut Teorema Apit. Apa yang dapat anda simpulkan

mengenai Teorema apit

Page 97: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan

85

Contoh 2.4Contoh 2.4Contoh 2.4Contoh 2.4 Tentukan lim�→'��� + 7� − 5�

Penyelesian

lim�→'� �� + 7� − 5� = 3� + 7.3 − 5 = 9 + 21 – 5 = 25

Contoh 2.Contoh 2.Contoh 2.Contoh 2.5555 Tentukan lim�→' �=0?�0'

Penyelesaian.

lim�→' �=0?�0' = lim�→' �=0?�0' = lim�→' � + 3 = 3 + 3 = 6

Kesimpulan. Kesimpulan. Kesimpulan. Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini

LATIHAN LATIHAN LATIHAN LATIHAN TERBIMBINGTERBIMBINGTERBIMBINGTERBIMBING 2.22.22.22.2

Untuk soal 1 sampai dengan 3, tentukan nilai limit dan tunjukkan teorema yang digunakan

untuk menghitungnya

1. lim�→' 2�� − 4� + 5

PetunjukPetunjukPetunjukPetunjuk PengerjaanPengerjaanPengerjaanPengerjaan. Gantikan nilai x = 3 ke dalam fungsi limitnya

Page 98: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan

86

2. lim@→' /@022@0!

PetunjukPetunjukPetunjukPetunjuk. PengerjaanPengerjaanPengerjaanPengerjaan Sama halnya seperti no (1) di atas, gantikan nilai y = 3 ke fungsi

limitnya

LATIHAN MANDIRI 2.2LATIHAN MANDIRI 2.2LATIHAN MANDIRI 2.2LATIHAN MANDIRI 2.2

1. Tentukan lim�→' ��602�20��0'/�60!'�2A/�0'

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

2. Tentukan lim�→/ B�=0'�A/��=0�0!6

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

Page 99: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan

87

3. Tentukan limC→. �07/0CC

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

4. Jika ℎ��� = 7�A? 0'� tunjukkan bahwa lim�→. ℎ��� = !D tetapi h(0) tidak terdefinisi

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

5. Diketahui bahwa f adalah fungsi yang didefinisikan oleh

���� = E2� − 1, FGH& � ≠ 21, FGH& � = 2 I a. Tentukan lim�→� ���� dan tunjukkan bahwa lim�→� ���� ≠ ��2�

b. Gambarkan grafik fungsi f

Penyelesian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 100: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan

88

2.3.2.3.2.3.2.3. Limit SepihakLimit SepihakLimit SepihakLimit Sepihak

Amati lim�→$ ����, perhatikan nilai x pada suatu selang terbuka yang memuat a

tetapi tidak di a sendiri, yaitu pada nilai x yang mendekati a baik dari arah kiri (lebih kecil

dari a) ataupun dari arah kanan (lebih besar dari a).

Sebagai ilustrasi perhatikan fungsi f dengan aturan sebagai berikut:

���� = E �, FGH& � < 1� − 1, FGH& � > 1I Dengan grafik fungsi pada Gambar 2.3. Dari

grafik tersebut f(x) tidak ada di x = 1, tetapi

kita dapat mengamati f jika didekati dari

sebelah kiri 1 dan sebelah kanan 1 . Sekiranya

jika x yang didekati dari sebelah kiri 1 maka

fungsi yang terlibat adalah ___________.

Pikirkan suatu nilai x yang sangat dekat ke 1

dari kiri, kita dapat menentukan bahwa nilai

f akan dekat ke _________. Hasil inilah yang

disebut sebagai limit kiri dari f, yang dapat

ditulis

lim�→!J ���� = ____________

Sekiranya jika x yang didekati dari sebelah kanan 1 maka fungsi yang terlibat adalah

___________. Pikirkan suatu nilai x yang sangat dekat ke 1 dari kanan, kita dapat

menentukan bahwa nilai f akan dekat ke _________. Hasil inilah yang disebut sebagai limit

kanan dari f, yang dapat ditulis lim�→!K ���� = ____________ Perhatikan lim�→!J ���� dan lim�→!K ����. Apakah mempunyai hasil yang sama? Jika ya

maka dapat dikatakan bahwa LMNO→P Q�O� adaadaadaada, dan sebaliknya jika tidak maka dikatakan

bahwa LMNO→P Q�O� tidak ada.tidak ada.tidak ada.tidak ada.

Secara umum lim�→$ ���� ada jika _____________________________

Page 101: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan

89

DEFINISI LIMIT KANANDEFINISI LIMIT KANANDEFINISI LIMIT KANANDEFINISI LIMIT KANAN. Misalkan f suatu fungsi yang terdefenisi pada suatu selang terbuka

(a,c). Maka limit f(x) untuk x mendekati a dari kanan adalah L, ditulis lim�→$K ���� = %

Jika untuk setiap R > 0 terdapat suatu � > 0 sehingga jika 0 < � − & < � maka

����� − %� < R.

DEFINISI DEFINISI DEFINISI DEFINISI LIMIT KIRILIMIT KIRILIMIT KIRILIMIT KIRI. Misalkan f suatu fungsi yang terdefenisipada suatu selang terbuka

(d,a). Maka limit f(x) untuk x mendekati a dari kiri adalah L, ditulis lim�→$J ���� = %

Jika untuk setiap R > 0 terdapat suatu � > 0 sehingga jika 0 < & − � < � maka

����� − %� < R.

TEOREMA LIMIT FUNGSITEOREMA LIMIT FUNGSITEOREMA LIMIT FUNGSITEOREMA LIMIT FUNGSI. lim�→$ ���� ada dan sama dengan L jika dan hanya jika lim�→$K ���� lim�→$J ���� ada dan sama dengan L.

ContohContohContohContoh.2.6

(1) Fungsi signum didefinisikan oleh

S;T � = U−1, � < 00, � = 01, � > 0 I (a) Gambarkan sketsa grafik fungsi ini

(b) Tentukan lim�→.J S;T � jika ada

(c) Tentukan lim�→.K S;T � jika ada

(d) Apakah lim�→. S;T � ada?

Penyelesaian.

(a)

(b) lim�→.J S;T � = −1,

(c) lim�→.K S;T � = 1,

(d) lim�→. S;T � tidak ada

y

x

1

-1

Gambar 2.4

O

Page 102: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan

90

Contoh 2.7 Contoh 2.7 Contoh 2.7 Contoh 2.7 Misalkan h didefinisikan oleh

ℎ��� = E4 − ��, FGH& � ≤ 12 + ��, FGH& � > 1I a. sketsa grafik fungsi h

b. tentukan setiap nilai limit berikut, bila ada: lim�→!K ℎ��� , lim�→!J ℎ��� , dan : lim�→! ℎ���

Penyelesaian

(b) lim�→!K ℎ��� = 3

(c) lim�→!J ℎ��� = 3

(d) lim�→! ℎ��� = 3 , karena nilai limit kiri sama

dengan nilai limit kanan

Kesimpulan. Kesimpulan. Kesimpulan. Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini

LATIHANLATIHANLATIHANLATIHAN TERBIMBING 2.3TERBIMBING 2.3TERBIMBING 2.3TERBIMBING 2.3

1. Misalkan g didefinisikan oleh

;��� = E���, FGH& � ≠ 02, FGH& � = 1 I (a) Gambarkan skletsa grafik fungsi g

(b) Tentukan lim�→. ;��� bila ada

Page 103: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan

91

PetunjukPetunjukPetunjukPetunjuk PengerjaanPengerjaanPengerjaanPengerjaan. Terlebih dahulu digambarkan grafik fungsi g tersebut, dari grafik

tersebut apakah ada nilai grafik fungsinya jika x = 0?

2. Diketahui ���� = E3� + 2 FGH& � < 45� + H FGH& � ≥ 4I Tentukan nilai k sehingga lim�→/ ���� ada

PetunjukPetunjukPetunjukPetunjuk PengerjaanPengerjaanPengerjaanPengerjaan. Tentukan nilai limit kirinya terlebih dahulu, setelah itu lakukan

pencarian dari limit kanan dan dapatkan nilai k-nya.

Page 104: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan

92

LATIHAN LATIHAN LATIHAN LATIHAN MANDIRI 2.3MANDIRI 2.3MANDIRI 2.3MANDIRI 2.3

Untuk soal 1 sd 3, gambarkan sketsa grafiknya dan tentukan nilai limit yang diminta, jika

ada, berikan alasan.

1. ���� = U 2, FGH& � < 11, FGH& � = 1−3, FGH& � > 1I ; (a)lim�→!K ����, (b)lim�→!J ����, (c)lim�→! ����

Penyelesaian

………………………………………………

………………………………………………

………………………………………………

………………………………………………

………………………………………………

………………………………………………

………………………………………………

2. W��� = E �� FGH& � ≤ 28 − 2� FGH& � > 2 I ; (a)lim�→�K W���, (b) lim�→�J W���, (c) lim�→� W���

Penyelesaian

………………………………………………

………………………………………………

………………………………………………

………………………………………………

………………………………………………

………………………………………………

………………………………………………

………………………………………………

Page 105: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan

93

3. Diketahui G(x) = �2� − 3� − 4 ; a. lim�→6=K X���, (b) lim�→6=J X���, (c) lim�→6= X���

Penyelesaian

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

……………

4. Tentukan lim�→/ Y� − 3Z bila ada

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………….

Page 106: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan

94

5. Diketahui ���� = [ �� FGH& � ≤ −2&� + \ FGH& − 2 < � < 22� − 6 FGH& � ≥ 2 I Tentukan nilai a dan b sehingga

lim�→0� ���� ada.

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

2.42.42.42.4 Limit Fungsi TrigonometriLimit Fungsi TrigonometriLimit Fungsi TrigonometriLimit Fungsi Trigonometri

Limit fungsi polinomial selalu dapat dicari dengan subsitusi, dan limit fungsi

rasional dapat dicari dengan subsitusi selama penyebut tidak nol di titik limit. Aturan

subsitusi ini juga berlaku untuk fungsi trigonometri. Hasil ini dinyatakan sebagai berikut:

Teorema ATeorema ATeorema ATeorema A. Untuk setiap bilangan riil a di dalam daerah asal fungsi

1. lim�→$ sin � = sin & dan lim�→$ cos � = cos &

2. lim�→$ tan � = tan & dan lim�→$ cot � = cot &

3. lim�→$ sec � = sec & dan lim�→$ csc � = csc &

Dua limit lain yang sangat penting ditampilkan oleh teorema berikut:

Teorema BTeorema BTeorema BTeorema B

lim�→.sin �� = 1 b&T lim�→.

1 − cos �� = 0

Contoh 2.Contoh 2.Contoh 2.Contoh 2.8888. Buktikan lim�→. cde �� = 1

Bukti :

lim�→. cde �� = lim�→.fgh ijkli� = lim�→. mne �� . !opq� = lim�→. mne �� . lim�→. !opq� = 1.1 = 1

Page 107: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan

95

Contoh 2.Contoh 2.Contoh 2.Contoh 2.9999. Hitunglah lim�→. qrs /���

Penyelesaian:

lim�→.SGT 4�2� = lim�→.

2 SGT 4�4� = 2. lim�→.sin 4�4� = 2.1 = 2

Kesimpulan. Kesimpulan. Kesimpulan. Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini

LATIHAN LATIHAN LATIHAN LATIHAN TERBIMBING 2.4TERBIMBING 2.4TERBIMBING 2.4TERBIMBING 2.4

1. Tentukan hasil dari lim�→. cde t0mne �� opq�

PetunjukPetunjukPetunjukPetunjuk PengerjaanPengerjaanPengerjaanPengerjaan. Sederhanakan fungsi trigonometri tersebut sehingga didapat hasil

yang limit yang sederhana.

Page 108: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan

96

2. Tentukan hasil dari lim�→. !0uvm �mne �

PetunjukPetunjukPetunjukPetunjuk.. Bagilah pembilang dan penyebut dengan x. Perhatikan hasil yang Anda diperoleh.

Kemudian gunakan teorema B.

LATIHAN MANDIRI 2.4 LATIHAN MANDIRI 2.4 LATIHAN MANDIRI 2.4 LATIHAN MANDIRI 2.4

Untu soal 1 sampai dengan, hitunglah limitnya bila ada

1. lim�→. ��mne ' � 5. lim�→. !0uvm ��/�

2. lim�→. qrs '�mne D � 6. lim�→w=�0w=uvm �

3. lim�→. qrs6 ��2 7. Lim�→. �2A'�mne �

4. lim�→. cde ��� 8. Lim�→. mne �'�2A��

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 109: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan

97

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 110: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan

98

2.52.52.52.5 Kekontinuan FungsiKekontinuan FungsiKekontinuan FungsiKekontinuan Fungsi

Tuliskan apa saja yang Anda pikirkan ketika mendengar kata kontinu

Jika dihubungkan dengan fungsi yang kontinu, tuliskan apa yang dapat Anda artikan

Secara intuitif konsep kekontinuan fungsi sama seperti pengertian dalam bahasa sehari-

hari yaitu tersambung atau berkelanjutan atau tidak terputus. Jadi dapat dikatakan suatu

fungsi dikatakan kontinu bila grafik fungsi tersebut tidak terputus. Sebagai contoh dapat

dilihat beberapa gejala yang terjadi dari tiga grafik fungsi berikut:

lim�→&− ���� = %

lim�→&+ ���� = y

f(a) = M

lim�→&− ���� = y

lim�→&+ ���� = y

f(a) = L

lim�→& − ���� = %

lim�→& + ���� = %

f(a) = L

Berdasarkan Gambar 2.7 di atas isilah Tabel 2.2 di bawah ini

Page 111: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan

99

Tabel 2.2Tabel 2.2Tabel 2.2Tabel 2.2

I ii Iii

Nilai f(a) lim�→$���� jika ada

Apakah f(a) = lim�→$����

Amati nilai lim�→$���� dan nilai f(a), dan apakah f(a) = lim�→$����? Dari hasil ini, tuliskan

beberapa perbedaan dari ketiga grafik di atas

Jadi dapat disimpulkan, suatu fungsi yang kontinu di x = a memenuhi tiga syarat, yaitu

(i) __________________________________

(ii) __________________________________

(iii) __________________________________

Jika satu atau lebih dari ketiga syarat ini tidak terpenuhi di a maka fungsi f dikatakan -

______________ di a.

Contoh 2.1Contoh 2.1Contoh 2.1Contoh 2.10000. Misalkan f didefinisikan:

���� = E2� + 3 FGH& � ≠ 12 FGH& � = 1 I Apakah fungsi f kontinu di x = 1? Buatlah sketsa grafik fungsi f.

Penyelesaian

Page 112: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan

100

Untuk mengetahui apakah fungsi f kontinu di x = 1, cek syarat kekontinuan

(i) f(1) = 2

(ii) lim�→!K���� = 5 dan lim�→!J���� = 5. Oleh karena itu lim�→!���� = 5

(iii) f(1) ≠ lim�→!����

Karena salah satu syarat kekontinuan tidak terpenuhi, fungsi f tidak kontinu di x = 1.

Sketsa grafik f dapat dilihat pada Gambar 2.8

Contoh 2.1Contoh 2.1Contoh 2.1Contoh 2.11111. . . . Apakah fungsi ���� = !�0� kontinu di x = 2?

Penyelesaian

Untuk mengetahui apakah fungsi f kontinu di x = 2, cek syarat kekontinuan. f(2) tidak ada

Oleh karena itu f tidak kontinu di x = 2

KEKONTINUAN TERHAPUS DAN TIDAK TERHAPUSKEKONTINUAN TERHAPUS DAN TIDAK TERHAPUSKEKONTINUAN TERHAPUS DAN TIDAK TERHAPUSKEKONTINUAN TERHAPUS DAN TIDAK TERHAPUS.... Dari Contoh 2.10 dan Contoh 2.11

yang diberikan, ada fungsi kontinu di x = a disebabkan karena ��&� ≠ lim�→$ ����. Tetapi

jika kita definisikan kembali ��&� = lim�→$ ���� maka fungsi f menjadi kontinu di x = a.

Kekontinuan seperti ini disebut ketak-kontinuan terhapus (removable discontinuity). Jika

kekontinuan suatu fungsi tidak terhapus dinamakan ketakkontinuan esensial. Dari contoh

yang telah diberikan tentukan fungsi yang mana termasuk kepada kekontinuan terhapus

dan mana ketak-kontinuan essensial? Kenapa?

Page 113: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan

101

KEKONTINUAN SEPIHAKKEKONTINUAN SEPIHAKKEKONTINUAN SEPIHAKKEKONTINUAN SEPIHAK.... Sebelumnya Anda telah mempelajari mana limit yang kontinu kiri

dan mana limit yang kontinu kanan. Definisikan kembali mana kontinu kiri dan kontinu

kanan

• Fungsi f dikatakan kontinu kiri di x = a jika __________ = ______________ • Fungsi f dikatakan kontinu kanan di x = a jika__________ = ______________

KEKONTINUAN DALAM INTERVALKEKONTINUAN DALAM INTERVALKEKONTINUAN DALAM INTERVALKEKONTINUAN DALAM INTERVAL. . . . Fungsi f dikatakan kontinu pada interval buka (a,b) jika

f kontinu disetiap titik pada (a,b). Fungsi f dikatakan kontinu pada interval tertutup [a,b] jika

f kontinu disetiap titik pada (a,b), kontinu kanan di a dan kontinu kiri di b

Kesimpulan. Kesimpulan. Kesimpulan. Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini

LATIHAN TERBIMBING 2.5 LATIHAN TERBIMBING 2.5 LATIHAN TERBIMBING 2.5 LATIHAN TERBIMBING 2.5

Apakah fungsi ���� = 725 − �� kontinu pada [-5,5]?

PetunjuPetunjuPetunjuPetunjuk Pengerjaank Pengerjaank Pengerjaank Pengerjaan: gunakan aturan definisi kekontinuan dalam interval

Page 114: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan

102

SIFATSIFATSIFATSIFAT----SIFAT KEKONTINUAN FUNGSISIFAT KEKONTINUAN FUNGSISIFAT KEKONTINUAN FUNGSISIFAT KEKONTINUAN FUNGSI

(1) Suatu polinom p(x) kontinu di setiap bilangan

(2) Suatu fungsi rasional z���{��� kontinu pada setiap bilangan pada daerah definisinya

(3) Fungsi ���� = ��� kontinu pada seluruh bilangan

(4) Fungsi ���� = 7�| dengan T ∈ N kontinu pada setiap bilangan pada daerah

definisinya

(5) Jika f dan g kontinu di titik a dan H ∈ R maka kf, f+g, f - g, f.g, f/g g ≠ 0, fn, dan 5�|

kontinu di a.

LATIHAN LATIHAN LATIHAN LATIHAN MANDIRI MANDIRI MANDIRI MANDIRI 2.52.52.52.5

Selidiki apakah fungsi-fungsi dalam nomor 1 sampai dengan nomor 5 kontinu di a yang

diberikan, berikan alasan secukupnya

1. ���� = 6�� + � + 1 ; & = 1 4. W��� = E−�� FGH& � < 0��� FGH& � ≥ 0 I ; & = 0

2. ���� = 72� − 3 ; & = 2 5.���� = E−�� + 2� − 2 FGH& � ≤ 1−4� + 3 FGH& � > 1 ; & = 1 b&T & = −1I 3. ���� = ��=0�� ; & = 0 b&T & = 2

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 115: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan

103

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………...………………………………………………………………………………………

………………...…………………………………………………………………………………

Untuk soal-soal nomor 6 sampai dengan 8, buktikan bahwa fungsinya tidak kontinu di a.

Kemudian tentukan apakah kekontinuannya terhapus atau essensial, jika

ketakkontinuannya terhapus, definisikan kembali agar ketakkontinuannya dapat

dihapuskan

6. ���� = ?�=0/'�0� ; & = �'

7. ���� = '07�A?� ; & = 0

8. ���� = E9 − �� FGH& � ≤ 23� + 2 FGH& � > 2I ; & = 2

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…...………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………...

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 116: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan

104

9. Sketsa suatu grafik fungsi yang memenuhi semua sifat berikut:

a. Daerah definisinya [-2,4]

b. ��−2� = ��0� = ��1� = ��3� = ��4� = 1

c. f kontinu di seluruh Df kecuali di -2, 0, 3

d. lim�→0!J ���� = 2 , lim�→.K ���� = 2 , dan lim�→'J ���� = 1

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………

10. Selidiki apakah fungsi ���� = 72 − � kontinu pada selang [-2,2]

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………

Page 117: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan

105

2.62.62.62.6 Limit Tak BerhinggaLimit Tak BerhinggaLimit Tak BerhinggaLimit Tak Berhingga

Perhatikan Gambar 2.7, misalkan f suatu fungsi yang didefinisikan oleh

���� = '��0��=, � ≠ 2

Tentukan nilai lim�→� ���� = _________ Apa yang dapat Anda simpulkan dari gambar 2.9

tersebut?_________________________________

_________________________________________

_________________________________________

.Secara umum lim�→$ ���� = +∞ diartikan

bahwa nilai f(x) dapat dibuat lebih besar dari

setiap bilangna positif M sebarang dengan

memilih x cukup dekat ke a.

DEFINISI LIMIT POSITIF TAK HINGGADEFINISI LIMIT POSITIF TAK HINGGADEFINISI LIMIT POSITIF TAK HINGGADEFINISI LIMIT POSITIF TAK HINGGA.... Misalkan f suatu fungsi yang terdefinisi pada selang

terbuka I yang memuat a, kecuali mungkin pada a sendiri. Limit fungsi f untuk x mendekati

a sama dengan +∞ yang ditulis lim�→$ ���� = +∞

Jika untuk setiap bilangan besar M > 0 terdapat suatu bilangan δ > 0 sehingga jika 0�� −&�� maka f(x) > M

Perhatikan: perlu diperhatikan bahwa penulisan +∞ bukan lambang suatu bilangan riil, oleh

karena itu penulisan lim�→$ ���� = +∞ tidak sama lim�→$ ���� = % dimana L menyatakan

suatu bilangan riil. Penulisan lim�→$ ���� = +∞ ini dapat dibaca sebagai “limit f(x)

mendekati a adalah positif tak berhingga”. Kasus ini, limit tersebut tidak ada tetapi lambang

+∞ menunjukkan perilaku nilai fungsi f untuk x semakin dekat a.

Dengan cara yang sama, coba Anda tunjukkan perilaku fungsi berikut:

;��� = −3�� − 2�� , � ≠ 2

Page 118: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan

106

Bagaimana nilai fungsinya jika x semakin mendekati ke 2? gambarkan grafik g tersebut!

Definisi Limit Negatif Tak Hingga. Misalkan f suatu fungsi yang terdefinisi pada selang

terbuka I yang memuat a, kecuali mungkin pada a sendiri. Limit fungsi f untuk x mendekati

a sama dengan -∞ yang ditulis lim�→$ ���� = −∞

jika untuk setiap bilangan kecil N < 0 terdapat suatu bilangan δ > 0 sehingga jika 0 <�� − &� < � maka f(x) < N.

Page 119: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan

107

TEOREMA LIMIT TAK HINGGATEOREMA LIMIT TAK HINGGATEOREMA LIMIT TAK HINGGATEOREMA LIMIT TAK HINGGA

Teorema ATeorema ATeorema ATeorema A. Jika r suatu bilangan bulat positif, maka

(i) lim�→.K !�� = +∞

(ii) lim�→.J !�� = E−∞ FGH& � ;&TFG�+∞ FGH& � ;�T&8I Teorema BTeorema BTeorema BTeorema B. Misalkan a suatu bilangan riil dan lim�→$ ���� = 0 dan lim�→$ ;��� = �

dimana c suatu konstanta tak nol.

(i) Jika c > 0 dan f(x) → 0 sepanjang nilai positif dari f(x) maka:

lim�→$;������� = ⋯

(ii) Jika c > 0 dan f(x) → 0 sepanjang nilai negatif dari f(x) maka:

lim�→$;������� = ⋯

(iii) Jika c < 0 dan f(x) → 0 sepanjang nilai positif dari f(x) maka:

lim�→$;������� = ⋯

(iv) Jika c < 0 dan f(x) → 0 sepanjang nilai negatif dari f(x) maka:

lim�→$;������� = ⋯

Teorema B berlaku juga jika x → a diganti dengan x → a+ atau x → a –

Contoh 2.12Contoh 2.12Contoh 2.12Contoh 2.12. Tentukan lim�→/K ��0!�0/

PenyelesaianPenyelesaianPenyelesaianPenyelesaian. Karena lim�→/K�2� − 1� = 7 > 0 dan lim�→/K�� − 4� = 0 dimana x – 4

mendekati nol sepanjang nilai positif maka diperoleh

lim�→/K2� − 1� − 4 = +∞

Contoh 2.13Contoh 2.13Contoh 2.13Contoh 2.13. Tentukan lim�→'K �=A�A��=0��0'

Penyelesaian. Karena lim�→'K �� + � + 2 = 14 > 0 dan lim�→'K �� − 2� − 3 = 0 dimana �� − 2� − 3 mendekati nol sepanjang nilai positif maka diperoleh

Page 120: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan

108

lim�→'K�� + � + 2�� − 2� − 3 = +∞

Contoh 2.14Contoh 2.14Contoh 2.14Contoh 2.14. Tentukan lim�→'J �=A�A��=0��0'

Penyelesaian.

Karena lim�→'J��� + � + 2� = 14 > 0 dan lim�→'J �� − 2� − 3 = 0 dimana �� − 2� − 3

mendekati nol sepanjang nilai negatif maka diperoleh lim�→'K �=A�A��=0��0' = −∞

Contoh 2.15Contoh 2.15Contoh 2.15Contoh 2.15. Tentukan lim�→!K �=0��0��=A��0'

Penyelesaian.

Karena lim�→!K �� − 2� − 8 = −9 < 0 dan lim�→!K �� + 2� − 3 = 0 dimana �� + 2� − 3

mendekati nol sepanjang nilai positif maka diperoleh lim�→'K �=0��0��=A��0' = −∞

Kesimpulan. Kesimpulan. Kesimpulan. Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini

LATIHAN TERBIMBINGLATIHAN TERBIMBINGLATIHAN TERBIMBINGLATIHAN TERBIMBING 2.62.62.62.6

Kerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaan

1. Tentukan lim�→�K 7�=0/�0�

Petunjuk Pengerjaan.Petunjuk Pengerjaan.Petunjuk Pengerjaan.Petunjuk Pengerjaan. Tentukan nilai dari x – 2 ketika � → 2A. Kemudian faktorkan x2 – 4 =

(x-2)(x+2) dan x – 2 = 5�� − 2��. Kemudian perhatikan limit penyebutnya. Perhatikan

Page 121: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan

109

apakah (x-2) mendekati 0 sepanjang nilai negatif atau positif. Sehingga diperoleh hasilnya +∞.

2. Tentukan lim�→/J Y�Z0/�0/

Petunjuk Pengerjaan.Petunjuk Pengerjaan.Petunjuk Pengerjaan.Petunjuk Pengerjaan. Tentukan lim�→/JY�Z, kemudian tentukan lim�→/J�Y�Z − 1�.

Selanjutnya tentukan lim�→/�� − 4�. Perhatikan apakah (x-4) mendekati 0 sepanjang nilai

negatif atau positif. Sehingga diperoleh hasilnya +∞.

Page 122: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan

110

LALALALATIHAN MANDIRI 2.6TIHAN MANDIRI 2.6TIHAN MANDIRI 2.6TIHAN MANDIRI 2.6

Untuk nomor 1 sampai dengan 5, hitunglah limit yang diberikan

1. lim�→2J !�02 4. lim�→! �A���0!�=

2. lim�→. 7'A�=�= 5. lim�→!K �0!7�=0��A!

3. lim�→0�K D�=A�0���=A'�0�

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

2.72.72.72.7 Limit di Tak Hingga Limit di Tak Hingga Limit di Tak Hingga Limit di Tak Hingga

Bagian 2.6 telah dibahas mengenai limit tak hingga dimana nilai fungsi naik atau

turun tak terbatas apabila variabel bebas mendekati bilangan tertentu. Sekarang akan

dibahas limit fungsi apabila variabel bebas naik atau turun tak terbatas. Pandang fungsi f

dengan

���� = lim�→�4�� − 1 , � ≠ 1

Nilai f(x) akan mendekati 4 bila x membesar tanpa batas atau bila � → ∞

DEFINISI LIMIT DI TAK HINGGADEFINISI LIMIT DI TAK HINGGADEFINISI LIMIT DI TAK HINGGADEFINISI LIMIT DI TAK HINGGA

(1) Misalkan f suatu fungsi yang didefinisikan pada selang �&, +∞�. Limit f(x) jika x naik

tak terbatas adalah L, dituliskan

Page 123: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan

111

lim�→A� ���� = %

Apabila untuk setiap � < 0 terdapat suatu bilangan N > 0 sehingga ����� − %� < � jika

x > N

(2) Misalkan f suatu fungsi yang didefinisikan pada selang (-∞,a). Limit f(x) jika x turun tak

terbatas adalah L, dituliskan lim�→0� ���� = %

Apabila untuk setiap � > 0 terdapat suatu bilangan N < 0 sehingga ����� − %� < � jika

x < N

SIFAT LIMIT DI TAK HINGGASIFAT LIMIT DI TAK HINGGASIFAT LIMIT DI TAK HINGGASIFAT LIMIT DI TAK HINGGA. Jika r suatu bilangan positif sebarang, maka:

(i) lim�→A� !�� = 0

(ii) lim�→0� !�� = 0

Contoh 2.Contoh 2.Contoh 2.Contoh 2.16161616. Tentukan lim�→0� '�A/7��=02

Penyelesaian:

Bagi pembilang dan penyebut dengan 7��, yang ekivalen dengan ���, diperoleh

lim�→0�3� + 472�� − 5 = lim�→0�

3���� + 4���B2 − 5��

Karena � → −∞ maka x < 0 dan ��� = −�. Jadi diperoleh

lim�→0� '�A/7��=02 = lim�→0�6iJiA �JiB�0 �i=

= lim�→0� 0'0�iB�0 �i= = 0'0.7�0. = − '7�

Contoh 2.17Contoh 2.17Contoh 2.17Contoh 2.17.... Tentukan lim�→A� �=�A!

Penyelesaian.

Bagi pembilang dan penyebut dengan x2, diperoleh

lim�→A���� + 1 = lim�→A�

11� + 1��

Dari perhitungan limit penyebut diperoleh

Page 124: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan

112

lim�→A� �1� + 1��� = lim�→A�1� + lim�→A�

1�� = lim�→0�−3 − 4�B2 − 5��

= 0 + 0 = 0

Jadi limit penyebut adalah 0 dan penyebut didekati 0 untuk nilai-nilai x positif. Limit

pembilang adalah 1, jadi diperoleh

lim�→A���� + 1 = +∞

Kesimpulan. Kesimpulan. Kesimpulan. Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini

LATIHAN TERBIMBING 2.7LATIHAN TERBIMBING 2.7LATIHAN TERBIMBING 2.7LATIHAN TERBIMBING 2.7

Kerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaan

1. Tentukan lim�→A� /�0'20/�

Petunjuka Pengerjaan. Petunjuka Pengerjaan. Petunjuka Pengerjaan. Petunjuka Pengerjaan. Bagilah pembilang dan penyebut dengan x. Dengan menggunakan

sifat limit diperoleh hasilnya -1

Page 125: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan

113

2. Tentukan lim�→0� ��=0�A2/�602

Petunjuk Pengerjaan. Petunjuk Pengerjaan. Petunjuk Pengerjaan. Petunjuk Pengerjaan. Bagilah pembilang dan penyebut dengan pangkat x tertinggi yang

muncul pada pembilang atau penyebut, yang dalam kasus ini adalah x3. Sehingga diperoleh

hasilnya 0

3. Tentukan lim�→A� /�A'7'�=0/

Petunjuk PengerjaanPetunjuk PengerjaanPetunjuk PengerjaanPetunjuk Pengerjaan. Pangkat tertinggi x adalah 2 dan muncul di tanda akar. Bagilah

pembilang dan penyebut dengan 5�2 = ���. Sehingga diperoleh hasilnya /7�

Page 126: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan Limit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan KekontinuanLimit dan Kekontinuan

114

LATIHAN MANDIRI 2.7LATIHAN MANDIRI 2.7LATIHAN MANDIRI 2.7LATIHAN MANDIRI 2.7

Tentukan hasil dari limit berikut ini

1. Tentukan lim�→A� !�6

2. Tentukan lim�→A� ��20��A!'�=A��A2

3. Tentukan lim�→0� /�2A'��=0!

4. Tentukan lim�→0� �3� + !�=�

5. Tentukan lim�→0� 5�2A/�A/

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

Page 127: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan

115

3333. . . . TURUNANTURUNANTURUNANTURUNAN

ada bab ini dibahas sebuah konsep yang sangat fundamental dalam kalkulus,

yaitu konsep turunan serta beberapa hal yang berkaitan dengan turunan.

Untuk memahami konsep turunan ini, Anda harus menyiapkan diri dan

mengingat kembali dengan baik pemahaman tentang fungsi dan limit. Pada

dasarnya pengerjaan yang berkaitan dengan turunan selalu berkaitan dengan

pengerjaan limit.

Terdapat dua topik yang mengantarkan Anda kepada pemahaman mengenai konsep

turunan. Topik pertama adalah gradien garis singgung, dan topik kedua adalah masalah

kecepatan sesaat dalam gerak lurus suatu benda. Kedua masalah tersebut tampaknya tidak

berhubungan sama sekali, tetapi segera akan diketahui bahwa kedunya merupakan

perwujudan dari sebuah pemikiran yang serupa.

KompetensiKompetensiKompetensiKompetensi UtamaUtamaUtamaUtama

Mahasiswa dapat menentukan turunan suatu fungsi.

Kompetensi PenunjangKompetensi PenunjangKompetensi PenunjangKompetensi Penunjang

Mahasiswa dapat

1. menentukan turunan suatu fungsi dengan menggunakan definisi turunan,

2. menentukan turunan berbagai bentuk fungsi,

3. menentukan turunan implisit,

4. menyelesaikan persoalan-persoalan dengan menggunakan turunan.

3.13.13.13.1 Garis SingguGaris SingguGaris SingguGaris Singgung dan Kecepatan Sesaatng dan Kecepatan Sesaatng dan Kecepatan Sesaatng dan Kecepatan Sesaat

GARIS SINGGUNGGARIS SINGGUNGGARIS SINGGUNGGARIS SINGGUNG. Untuk memahami konsep garis singgung, kita mulai dengan mengikuti

beberapa intruksi berikut:

P

Page 128: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan TurunanTurunanTurunanTurunan

116

1. Buat gambar suatu kurva sembarang pada bidang kartesius.

2. Buatlah sebuah garis yang menyinggung kurva itu pada suatu titik!

3. Beri nama titik itu dengan titik P

Perhatikan kurva dan garis yang Anda buat, apa yang dapat Anda pikirkan mengenai garis

singgung pada satu titik?

Untuk suatu lingkaran, garis singgung di suatu titik pada lingkaran adalah garis yang

memotong lingkaran hanya pada titik itu. Definisi ini tidak berlaku untuk kurva sebarang.

Perhatikan Gambar 3.1

Untuk mendefinisikan pengertian garis singgung secara formal, perhatikan Gambar 3.2,

Gambar 3.1

i ii iii

Page 129: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan

117

Agar fenomena ini dapat dirumuskan secara matematis, perhatikan Gambar 3.3.

Kemiringan garis tali busur yang melalui titik P (c,f(c)) dan Q(c +h, f(c+h)) biasa disebut msec

merupakan perbandingan antara perubahan-y (∆�) dengan perubahan-x (∆�). atau dapat

dirumuskan secara matematis sebagai

Perhatikan Gambar 3.3 kembali, bagaimana menentukan nilai m ? Untuk mengetahui itu,

geserlah titik Q mendekati titik P, jika titik P semakin dekat ke titik Q maka

akan semakin kecil. Oleh karena itu kemiringan garis singgung di titik P = (c,f(c)) dapat

dinyatakan sebagai limit dari msec, , jadi kemiringan garis singgung kurva pada titik (c,f(c))

dapat didefinisikan sebagai berikut

∆� = … - …

Gambar 3.2 Gambar 3.3

Page 130: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan TurunanTurunanTurunanTurunan

118

ContohContohContohContoh 3.3.3.3.1.... Carilah persamaan garis singgung kurva f(x) = x2 + 1 di (1,2). Sketsalah grafik f

beserta garis singgungnya!

Penyelesaian:

��1) = lim →���1 + ℎ) − ��1)ℎ

= lim →� ��� )�����

= lim →� � � �

= 2

Garis singgung kurva adalah y – 2 = 2 (x-1) atau y = 2x

Sketsa grafik f beserta garis singgungnya diberikan oleh

Gambar 3.4

KECEPATAN SESAATKECEPATAN SESAATKECEPATAN SESAATKECEPATAN SESAAT. Perhatikan sebuah benda yang jatuh bebas, hasil percobaan

menunjukkan posisinya setiap saat ���) = 16��. Ingin diketahui berapa kecepatannya saat

t =1? Definisi yang digunakan adalah sebagai berikut,

� = ���� ! = lim∆!→� �" ! �" ! = lim∆!→���� + ∆�) − ���)∆�

Perhatikan kembali rumus kemiringan garis singgung dan bandingkan dengan kecepatan

sesaat. Bagaimana bentuk rumusan matematiknya? Apakah sama?__________. Sekarang

apa yang bisa Anda simpulkan

2

1

(1,2)

f(x) = x2 + 1

y = 2x

y

x

Gambar 3.4

Page 131: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan

119

ContohContohContohContoh 3.3.3.3.1.... Seekor bakteri berkembang sehingga beratnya setelah t jam adalah #��� + 1

gram. Berapa laju perkembangannya pada saat t = 2 jam?

Penyelesaian:

Misalkan Berat bakteri = p, maka p(t) = #��� + 1. Sehingga laju perkembangan bakteri dapat

dinyatakan sebagai $%$! yaitu

$%$! = lim ∆!→� %�!�∆!)�%�!)∆!

= lim ∆!→� #��!�∆!)����&#�!���'∆!

= lim∆!→� #��!���!∆!�∆!2)��#�!���)∆!

= lim ∆!→� !∆!�∆!2∆!

= �

Saat t = 2 diperoleh $%$! = 2

Jadi laju perkembangan bakteri saat 2 jam yaitu 2 mg/jam

Kesimpulan. Kesimpulan. Kesimpulan. Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini

Page 132: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan TurunanTurunanTurunanTurunan

120

LATIHAN TERBIMBING 3.1LATIHAN TERBIMBING 3.1LATIHAN TERBIMBING 3.1LATIHAN TERBIMBING 3.1

Cari kemiringan garis singgung terhadap � = �� − 2� di titik (2,0), sketsa grafik y beserta

garis singgungnya

Petunjuk Pengerjaan.Petunjuk Pengerjaan.Petunjuk Pengerjaan.Petunjuk Pengerjaan. Carilah dengan menggunakan definisi garis singgung dan selanjutnya

subsitusi absis = 2

LATIHAN LATIHAN LATIHAN LATIHAN MANDIRIMANDIRIMANDIRIMANDIRI 3.13.13.13.1

Dalam soal Nomor 1 sampai dengan Nomor 4, tentukan persamaan garis singgung pada

kurva yang diberikan di titik yang ditentukan. Gambarkanlah sketsa kurva bersama-sama

dengan garis singgungnya.

Page 133: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan

121

1. y = x2 – 4x – 5 ; (-2,7) 3. y = (4� − 3; (3,3)

2. y = +, ; (3,2) 4. y =

�- �. ; (4,8)

5. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = 2x2 + 3 yang sejajar dengan garis

8x – y + 3 = 0

6. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x3 – 3x yang tegak lurus pada

garis 2x +18 y - 9 = 0

Penyelesaian

…………………………………………………

…………………………………………………

…………………………………………………

…………………………………………………

…………………………………………………

…………………………………………………

……...…………………………………………

…………………………………………………

…………………………………………………

…………………………………………………

…………………………………………………

…………………………………………...……

…………………………………………………

…………………………………………………

…………………………………………………

…………………………………………………

…………………………………………………

…………………………………………………

…………………………………………………

…………………………………………………

…………………………………………………

Page 134: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan TurunanTurunanTurunanTurunan

122

………………………………...…………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

3.23.23.23.2 TurunanTurunanTurunanTurunan

Pasal 3.1 telah menjelaskan bahwa kemiringan garis singgung dan kecepatan sesaat

merupakan manifestasi sebuah pemikiran dasar yang sama. Laju pertumbuhan organisme,

keuntungan marginal, kepadatan kawat dan laju pemisahan adalah versi-versi lain dari

konsep yang sama. Konsep ini yang menggiring kita ke definisi turunan.

DEFINISI TURUNANDEFINISI TURUNANDEFINISI TURUNANDEFINISI TURUNAN. Misalkan f suatu fungsi riil dan � ∈ 01 turunan dari � ditulis �′ adalah

�3��) = lim →���� + ℎ) − ���)ℎ

NOTASINOTASINOTASINOTASI----NOTASI LAIN UNTUK TURUNAN.NOTASI LAIN UNTUK TURUNAN.NOTASI LAIN UNTUK TURUNAN.NOTASI LAIN UNTUK TURUNAN. Perumusan dari suatu bentuk turunan tidak ada

yang baku. Hal ini didasarkan pada definisi turunan yang merupakan lim∆, ∆4∆, . Jadi

turunan dapat dirumuskan berdasarkan dari cara kita melukiskan kurva titik singgung f .

Untuk lebih mudahnya perhatikan Gambar 3.5. Gambar 3.6, Gambar 3.7

Page 135: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan

123

Dari Gambar 3.5 diperoleh ∆� = ⋯ dan ∆� = ⋯.

Sehingga �3��) = lim →�……

Dari Gambar 3.6 diperoleh ∆� = ⋯ dan ∆� = ⋯.

Sehingga �3��) = lim!→,……

Dari Gambar 3.7 diperoleh �3��) = lim!→,……

Simbol-simbol berikut mempunyai arti yang sama

�3��) = $4$, = 07�8 = 0,7�8

ContohContohContohContoh 3.3.3.3.3333. Gunakan definisian turunan untuk menentukan 93�:) jika diketahui 9��) = �,�. .

Gambar 3.6

Gambar 3.5

Page 136: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan TurunanTurunanTurunanTurunan

124

Penyelesaian:

Gunakan aturan limit turunan

93�:) = lim,→; <�,)�<�;),�;

= lim,→;�=>?� �@>?,�;

= lim,→; A��;�.)���,�.)�,�.)�;�.) . �,�;C = lim,→; A ���,�;)�,�.)�;�.) . �,�;C = lim,→; A ���,�.)�;�.)C = ���D�.)�

ContohContohContohContoh 3.3.3.3.4444.... Masing-masing fungsi berikut adalah turunan suatu fungsi, tetapi dari fungsi

apa dan dititik mana?

a. lim →� �E� )���+

b. lim,→.�=��?,�.

Penyelesaian:

a. Fungsi ���) = �� di titik x = 4

b. Fungsi ���) = �, di titik x = 3

Contoh 3.Contoh 3.Contoh 3.Contoh 3.5555.... Carilah persamaan garis singgung terhadap ���) = �,��� di titik (1,½)

Penyelesaian:

Cari gradien garis singgung (m) dengan turunan. Dapatkan persamaan garis singgungnya

dengan rumus � − �� = ��� − ��) F�F� = lim,→;���) − ��:)� − :

� = lim,→�#=�>#� ##�>#,��

= lim,→��G�=�>#)&=�>#'��),��

= lim,→� �,�����)�,���) . ��,��) = lim,→� �7�,��)�,��)8��)�,���) . ��,��) = lim,→� �7,��8��)�,���)

Page 137: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan

125

= − ��.�

= − ��

substitusi titik (1,½) dan m = -½ ke � − �� = ��� − ��) � − �� = −���� − 1) 2� − 1 = 1 − � 2� + � − 2 = 0

Jadi persamaan garis singgungnya adalah 2y + x -2 = 0

Kesimpulan. Kesimpulan. Kesimpulan. Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini

LATIHAN TERBIMBING 3.2LATIHAN TERBIMBING 3.2LATIHAN TERBIMBING 3.2LATIHAN TERBIMBING 3.2

1. Tentukan turunan dari fungsi berikut ���) = (2��

PetunjukPetunjukPetunjukPetunjuk PengerjaanPengerjaanPengerjaanPengerjaan.... Gunakan aturan limit untuk menyelesaikannya.

Page 138: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan TurunanTurunanTurunanTurunan

126

2. Limit yang diberikan adalah turunan, tetapi dari fungsi apa dan di titik mana?

a. lim →� ��I� )?���I)?

b. lim,→� ,��E,��

Petunjuk Pengerjaan: Petunjuk Pengerjaan: Petunjuk Pengerjaan: Petunjuk Pengerjaan: perhatikan aturan limit.

3. Tentukan titik-titik pada grafik � = #?�. + �� − � yang kemiringan garis singgungnya

bernilai 1.

PetunjukPetunjukPetunjukPetunjuk PengerjaanPengerjaanPengerjaanPengerjaan: Gunakan rumus mencari persamaan garis singgung � − �� = ��� −��)

Page 139: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan

127

LATIHAN MANDIRI 3.2LATIHAN MANDIRI 3.2LATIHAN MANDIRI 3.2LATIHAN MANDIRI 3.2

1. Tentukan turunan dari fungsi berikut ���) = ,��,��,���

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………….

2. Masing-masing fungsi berikut adalah suatu turunan, tetapi dari fungsi apa dan di titik

mana?

a. lim →� �.� )����.� )��I

b. lim!→, !��,�!�,

c. lim,→4 JKL ,�JKL 4,�4

Penyelesaian:

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 140: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan TurunanTurunanTurunanTurunan

128

3. Tentukan persamaan garis singgung pada � = 4� − �� yang melalui (2,5)

Penyelesaian:

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

4. Jika ���) = ��−�) buktikan bahwa �3��) = −�3��)

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 141: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan

129

3.33.33.33.3 Turunan SepihakTurunan SepihakTurunan SepihakTurunan Sepihak

Ingatlah kembali eksistensi sebuah limit. Telah diketahui bahwa limit suatu fungsi

ada jika limit kiri dan limit kanannya ada dan keduanya bernilai sama. Telah dibahas pada

bagian 3.2 bahwa nilai turunan �3�M) dari suatu fungsi adalah sebuah ungkapan limit yaitu

�3�M) = lim →���M + ℎ) − ��M)ℎ

Dengan demikian untuk menjamin bahwa nilai turunan pertama fungsi f di titik x = a, �3�M) ada ditentukan oleh limitnya (dalam hal ini limit kiri dan limit kanannya).

DEFINISI TURUNAN KANANDEFINISI TURUNAN KANANDEFINISI TURUNAN KANANDEFINISI TURUNAN KANAN.... Misalkan f suatu fungsi yang terdefinisi di a. Turunan kanan

dari f di x = a dinyatakan

�3��M) = lim →�>��M + ℎ) − ��M)ℎ

DEFINISI TURUNAN KIRIDEFINISI TURUNAN KIRIDEFINISI TURUNAN KIRIDEFINISI TURUNAN KIRI.... Misalkan f suatu fungsi yang terdefinisi di a. Turunan kiri dari f

di x = a dinyatakan

�3��M) = lim →�G��M + ℎ) − ��M)ℎ

DDDDIFFERENSIABEL. IFFERENSIABEL. IFFERENSIABEL. IFFERENSIABEL. Jika nilai �3��M) = �3��M) dan ada maka dikatakan f differensiabel di x =

a.

KETERDIFERENSIALAN DAN KEKONTINUANKETERDIFERENSIALAN DAN KEKONTINUANKETERDIFERENSIALAN DAN KEKONTINUANKETERDIFERENSIALAN DAN KEKONTINUAN. Perhatikan Gambar 3.8 & Gambar 3.9

Gambar 3.8 Gambar 3.9

Page 142: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan TurunanTurunanTurunanTurunan

130

Berdasarkan Gambar 3.8 dan Gambar 3.9, lengkapi tabel 3.1

Tabel 3.1Tabel 3.1Tabel 3.1Tabel 3.1

y = x2 y = N�N Apakah Kontinu di x = 0 ? �3��0) �3��0) � ′ �0)

Apakah differensiabel di x =

0

Berdasarkan informasi dari Tabel 3.1 terlihat bahwa suatu fungsi yang kontinu di suatu titik

tidak menjamin fungsi tersebut _____________ di titik tersebut. Tetapi sebaliknya, jika suatu

fungsi ___________ di suatu titik maka fungsi tersebut ______________ di titik tersebut.

Atau bisa dikatakan juga,

jika �3�:) ada , maka …

Contoh 3.Contoh 3.Contoh 3.Contoh 3.6666. Misalkan f adalah fungsi yang didefinisikan oleh:

���) = O2� − 1 , QRSM � < 38 − � , QRSM � ≥ 3 W Gambarkan sketsa grafik f

a. Buktikan bahwa f kontinu di 3

b. Carilah �3��3) dan �3��3). Apakah f differensiabel di 3?

PenyelesaianPenyelesaianPenyelesaianPenyelesaian

a. f(3) = 8-5 = 5. Sedangkan lim,→.> ���) = lim,→.>�8 − �) = 5 dan lim,→.G ���) = lim,→.G�2� − 1) = 5 . Jadi lim,→. ���) = 5 . Oleh karena f(3) = lim,→. ���) = 5 dapat

disimpulkan f kontinu di 3.

b. �3��3) = lim →�G 1�.� )�1�.) = lim →�G ��.� )�� �I = 2, dan

�3��3) = lim →�>��3 + ℎ) − ��3)ℎ = lim →�G

8 − �3 + ℎ) − 5ℎ = −1

Page 143: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan

131

Oleh karena �3��3) ≠ �3��3) dapat disimpulkan f tidak differensiabel di 3.

Grafik f diberikan oleh Gambar 3.10

Gambar 3.10

Contoh 3.Contoh 3.Contoh 3.Contoh 3.7777. Misalkan f fungsi yang didefinisikan oleh:

f�x) = \ 1x jika 0 < � < `1 − �Ex jika x ≥ b W

a. Tentukan nilai b agar f kontinu di b

b. Apakah f differensiabel untuk nilai b yang ditemukan bagian a?

Penyelesaian

a. Agar f kontinu di b, lim,→b>&1 − #cx' = lim,→b> �, ⟺ 1-#cb = #e ⟺ ` = 2

b. lim,→�>&1 − #cx' = �� dan lim,→�> �, = ��. Oleh karena itu f differensiabel di x = 2

Kesimpulan. Kesimpulan. Kesimpulan. Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini

LATIHAN TERBIMBING 3.3LATIHAN TERBIMBING 3.3LATIHAN TERBIMBING 3.3LATIHAN TERBIMBING 3.3

Page 144: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan TurunanTurunanTurunanTurunan

132

1. Fungsi f didefinisikan sebagai berikut

���) = O � + 2 QRSM � ≤ −4−� − 6 QRSM � > −4W Gambarlah sketsa grafik fungsinya. Kemudian

a. Tentukan apakah f kontinu di 4

b. Carilah �3��4) dan �3��4) jika ada. Apakah f differensiabel di 4?

PetunjukPetunjukPetunjukPetunjuk Pengerjaan. Pengerjaan. Pengerjaan. Pengerjaan. Sketsa grafik f terdiri dari dua grafik garis lurus. Tentukan

f(4), lim,→E>���) dan lim,→EG���). Jika nilai dari dua limit ini sama dengan f(4), dapat

disimpulkan f kontinu di 4. Jika tidak f tidak kontinu di 4. Gunakan definisi dari limit kiri

dan limit kanan untuk menentukan �3��4) dan �3��4). Jika nilainya sama dapat

disimpulkan f differensiabel.

2. Diketahui fungsi ���) = 1 + N� + 2N, sketsalah grafik fungsinya. Kemudian

a. tentukan apakah f kontinu di 2

b. carilah �3��2) dan �3��2) jika ada

Petunjuk Pengerjaan. Petunjuk Pengerjaan. Petunjuk Pengerjaan. Petunjuk Pengerjaan. Ubahlah dulu f ke bentuk yang tidak memuat nilai mutlak, kemudian

kerjakan seperti pada soal latihan terbimbing nomor 1

Page 145: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan

133

LATIHAN MANDIRI 3.3LATIHAN MANDIRI 3.3LATIHAN MANDIRI 3.3LATIHAN MANDIRI 3.3

1. Diketahui fungsi ���) = O3�� jika � ≤ 2�. jika � > 2 W a. Sketsalah grafik f

b. Apakah f kontinu di x = 2 ?

c. Carilah �3��2) dan �3��2)

d. Apakah f differensiabel di x = 2?

penyelesaian:

Page 146: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan TurunanTurunanTurunanTurunan

134

………………………………………………

………………………………………………

………………………………………………

………………………………………………

………………………………………………

………………………………………………

………………………………………………

………………………………………………

………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 147: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan

135

2. Diketahui fungsi ���) = O�� jika � < −1−1 − 2� jika � ≥ −1W a. Sktesalah grafik f

b. Apakah f kontinu di x = -1 ?

c. Carilah �3��−1) dan �3��−1)

d. Apakah f differensiabel di x = -1?

penyelesaian:

…………………………………………………

…………………………………………………

…………………………………………………

…………………………………………………

…………………………………………………

…………………………………………………

…………………………………………………

…………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 148: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan TurunanTurunanTurunanTurunan

136

3. Diketahui ���) = j�� − 7 jika 0 < � ≤ `+, jika � > ` W a. Tentukan nilai b agar f kontinu di b

b. Apakah f differensiabel untuk nilai b yang ditemukan pada bagian (a)?

penyelesaian:

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

4. Carilah nilai a dan b sehingga f differensiabel di 1 jika ���) = O�� jika 0 < � < 1M� + ` jika � ≥ 1W Penyelesaian:

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 149: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan

137

5. Diketahui f(x) = (8 − �.

a. Buktikan bahwa f kontinu kiri di 2

b. Buktikan bahwa �3��2) tidak ada

penyelesaian:

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

6. Diketahui f(x) = sgn x

a. Buktikan bahwa �3��0) dan �3��0) tidak ada

b. Buktikan bahwa lim,→� ���) = 0 dan lim,→� �′��) = 0

c. Sketsalah grafik f

Penyelesaian:

………………………………………………

………………………………………………

………………………………………………

………………………………………………

………………………………………………

………………………………………………

………………………………………………

………………………………………………

………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 150: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan TurunanTurunanTurunanTurunan

138

3.43.43.43.4 Aturan Pencarian TurunanAturan Pencarian TurunanAturan Pencarian TurunanAturan Pencarian Turunan

Proses penemuan turunan suatu fungsi dengan menggunakan definisi biasanya

agak panjang dan kadangkala rumit. Disini diungkapkan beberapa turunan fungsi yang

membuat kita lebih mudah menemukan turunan suatu fungsi. Perhatikan ilustratasi berikut:

TURUNAN FUNGSI KONSTANTATURUNAN FUNGSI KONSTANTATURUNAN FUNGSI KONSTANTATURUNAN FUNGSI KONSTANTA. . . . Untuk menemukan turunan fungsi konstanta f(x) = c.,

kita gunakan definisi turunan yaitu

�3��) = lim →� 1�,� )�1�,) = …

TURUNAN FUNGSITURUNAN FUNGSITURUNAN FUNGSITURUNAN FUNGSI f(x) = xf(x) = xf(x) = xf(x) = xnnnn, , , , Berdasarkan definisi turunan,

�3��) = lim →� 1�,� )�1�,) = lim →� �,� )l�,l .

Gunakan binomial

�� + ℎ)m = no0p �m + no1p �m��ℎ + no2p �m��ℎ� + ⋯ + n oo − 1p �ℎm�� + noop ℎm

= …

Catatan: Catatan: Catatan: Catatan: n qrp = q!r!�q�r)!

Jadi �3��) = lim →� tnm�p,l�nm�p,lG# �nm�p,lG� ��⋯�n mm��p, lG#�nmmp lu�,l

= ⋯ (bagilah setiap suku dengan h)

= ….

= …

Page 151: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan

139

TURUNAN FUNGSITURUNAN FUNGSITURUNAN FUNGSITURUNAN FUNGSI HASIL KONSTANTA DENGAN HASIL KONSTANTA DENGAN HASIL KONSTANTA DENGAN HASIL KONSTANTA DENGAN SUATU FUNGSI, cSUATU FUNGSI, cSUATU FUNGSI, cSUATU FUNGSI, cf(x)f(x)f(x)f(x) . . . . Misalkan g(x) =

cf(x) maka berdasarkan definisi turunan,

93��) = lim →� <�,� )�<�,) = lim →� ;1�,� )�;1�,) = ⋯.

TURUNAN TURUNAN TURUNAN TURUNAN JUMLAH DUA FUNGSIJUMLAH DUA FUNGSIJUMLAH DUA FUNGSIJUMLAH DUA FUNGSI, , , , f(x) + g(x)f(x) + g(x)f(x) + g(x)f(x) + g(x) . . . . Misalkan h(x) = f(x)+g(x) maka berdasarkan

definisi turunan,

ℎ3��) = lim →� �,� )� �,) .

= lim →� 71�,� )�<�,� )8�71�,)�<�,)8

= ⋯ (pisahkan f(x) & g(x))

= ⋯

TURUNAN TURUNAN TURUNAN TURUNAN HASIL KALI DUA FUNGSI, HASIL KALI DUA FUNGSI, HASIL KALI DUA FUNGSI, HASIL KALI DUA FUNGSI, f(x). g(x)f(x). g(x)f(x). g(x)f(x). g(x) . . . . Misalkan h(x) = f(x).g(x) maka

berdasarkan definisi turunan,

ℎ3��) = lim →� �,� )� �,) .

= lim →� 71�,� ).<�,� )8�71�,).<�,)8

Tambahkan pembilang dengan f(x+h).g(x) – f(x+h)g(x)

ℎ3��) = lim →� 71�,� ).<�,� )8�1�,� )<�,)�1�,� )<�,)�71�,).<�,)8

= lim →� 71�,� ).<�,� )8�1�,� )<�,)�1�,� )<�,)�71�,).<�,)8

= lim →� 71�,� )7<�,� )�<�,)8�<�,)71�,� )�1�,)8

= lim →� … … + lim →� ……

= …

Page 152: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan TurunanTurunanTurunanTurunan

140

TURUNAN TURUNAN TURUNAN TURUNAN HASIL BAGI DUA FUNGSI, HASIL BAGI DUA FUNGSI, HASIL BAGI DUA FUNGSI, HASIL BAGI DUA FUNGSI, v�w)x�w). . . . Misalkan h(x) = v�w)x�w) maka berdasarkan definisi

turunan,

ℎ3��) = lim →� �,� )� �,) .

= lim →� …

Tambahkan pembilang dengan f(x).g(x) – f(x)g(x)

ℎ3��) = ⋯

= ⋯

= ⋯

Jadi dapat kita simpulkan beberapa aturan pencarian turunan:

1. Dx[c] = …

2. Dx[xn ] = …

3. Dx[c f(x)] = …

4. Dx[f(x) + g(x)] = …

5. Dx [ f(x).g(x)] = …

6. DxA1�,)<�,)C = …

ContohContohContohContoh 3.3.3.3.7 7 7 7 Carilah 0,72�E − 3�8 Penyelesaian: ���) = 2�E dan 9��) = 3�. Gunakan aturan 0,7���)8 − 0,79��)8 0,7���)8 = 8�. dan 0,79��)8 = 3, maka 0,7���)8 − 0,79��)8 = 8�. − 3

Contoh 3.Contoh 3.Contoh 3.Contoh 3.8888 Carilah $$, n .,yp

Penyelesaian: ���) = 3 FMo 9��) = �I

Gunakan aturan z=71�,)8<�,)�1�,)z=7<�,)8�<�,))�

Page 153: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan

141

0,7���)8 = 0 dan 0,79��)8 = 5�E, maka:

FF� { 3�I| = 0,7���)89��) − ���)0,79��)8�9��))� = 0��I) − 3�5�E)��I)� = −15�E��� = − 15�+

Contoh 3.Contoh 3.Contoh 3.Contoh 3.9999 Carilah $4$, jika � = ,��,�,

Penyelesaian:

Misalkan ���) = �� + � dan 9��) = 2�

Gunakan aturan z=71�,)8<�,)�1�,)z=7<�,)8�<�,))�

0,7���)8 = 2� + 1 dan 0,79��)8 = 2 , maka:

$4$, = z=71�,)8<�,)�1�,)z=7<�,)8�<�,))� = ��,��)���,��,)���,)� = E,����,���,E,� = ��,���,��E,�

Contoh 3.Contoh 3.Contoh 3.Contoh 3.10101010 Carilah $4$, jika � = ��E − 1)��� + 1)

Penyelesaian:

Misalkan ���) = �E − 1 dan 9��) = �� + 1 0,7���)8 = 4�. dan 0,79��)8 = 2� , maka :

$4$, = 0,7���)89��) + ���)0,79��)8 = �4�.)��� + 1) + ��E − 1)�2�)

= 4�I + 4�. + 2�I − 2�

= 6�} + 4�. − 2�

Kesimpulan. Kesimpulan. Kesimpulan. Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini

Page 154: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan TurunanTurunanTurunanTurunan

142

LATIHAN TERBIMBING 3.4LATIHAN TERBIMBING 3.4LATIHAN TERBIMBING 3.4LATIHAN TERBIMBING 3.4

1. Tentukan hasil turunan dari ���) = �� + 3� + �,�

PetunjukPetunjukPetunjukPetunjuk PengerjaanPengerjaanPengerjaanPengerjaan: Gunakan sifat turunan.

2. Tentukan hasil turunan dari � = ��� + 4)��� + 1)

PetunjukPetunjukPetunjukPetunjuk PengerjaanPengerjaanPengerjaanPengerjaan:::: Gunakan sifat turunan untuk perkalian fungsi, Pandanglah sebagai

hasil kali dua fungsi

3. Carilah persamaan garis singgung pada kurva � = �. − 4 di titik (2,4)

PetunjukPetunjukPetunjukPetunjuk PengerjaanPengerjaanPengerjaanPengerjaan: Tentukan gradien garis singgung m dari y yaitu dengan menentukan

nilai y’ di x= 2. Untuk menentukan persamaan garis singgung gunakan persamaan �� − ��) = ��� − ��).

Page 155: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan

143

4. Tentukan $4$, dari fungsi � = �,���.,�I

PetunjukPetunjukPetunjukPetunjuk PengerjaanPengerjaanPengerjaanPengerjaan: Gunakan sifat turun untuk hasil bagi dua fungsi

5. Tunjukkan bahwa 07���)8� = 2. ���). �3��)

PetunjukPetunjukPetunjukPetunjuk PengerjaanPengerjaanPengerjaanPengerjaan:::: gunakan aturan hasil kali turunan

LATIHAN MANDIRI 3.4LATIHAN MANDIRI 3.4LATIHAN MANDIRI 3.4LATIHAN MANDIRI 3.4

1. Carilah turunan dari f(x) = ,?. + .,?

Penyelesaian:

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 156: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan TurunanTurunanTurunanTurunan

144

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

2. Tentukan hasil turunan dari ℎ�~) = ��� ���� �

Penyelesaian:

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

3. Carilah $4$, dari fungsi � = ���.)�3�� + 2�)��E − 3� + 1)

Penyelesaian:

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

4. Tentukan hasil dari 93��) dari fungsi 9��) = �!��!�I �3� − 1)

Penyelesaian:

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 157: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan

145

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

5. Carilah persamaan persamaan garis singgung pada kurva � = -,��� di titik (2,1)

Penyelesaian:

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

6. Carilah semua titik pada grafik � = ���,y yang garis singgungnya tegak lurus dengan

garis � = �

Penyelesaian:

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

7. Diketahui f(x) = �.x3 + 2x2 + 5x + 5. Perlihatkan bahwa f ‘ (x) > 0 untuk setiap nilai x

Penyelesaian:

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 158: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan TurunanTurunanTurunanTurunan

146

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

8. Jika f, g, dan h adalah fungsi yang turunannya ada dan �(x) = f(x).g(x).h(x) buktikan

bahwa �′(x) = f(x).g(x).h’(x) + f(x).g’(x).h(x) + f ’(x). g(x).h(x)

Penyelesaian:

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

3.53.53.53.5 Turunan Fungsi TrigonometriTurunan Fungsi TrigonometriTurunan Fungsi TrigonometriTurunan Fungsi Trigonometri

Turunan fungsi trigonometri yakni sin x, cos x, tan x, cot x, sec x, dan csc x dapat kita

tentukan dengan menggunakan definisi turunan. Kita mungkin harus mengingat kembali

bahwa

1. lim,→� JKL ,, = 1, dan

2. lim,→� ����J ,, = 0

TURUNAN y = sin x.TURUNAN y = sin x.TURUNAN y = sin x.TURUNAN y = sin x. Gunakan definisi turunan dan kesamaan

Sin (a +b) = sin a cos b + cos a sin bSin (a +b) = sin a cos b + cos a sin bSin (a +b) = sin a cos b + cos a sin bSin (a +b) = sin a cos b + cos a sin b

sehingga

�3 = lim →� ��m�,� )�JKL , .

= ….

Page 159: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan

147

TURUNAN y = cos x TURUNAN y = cos x TURUNAN y = cos x TURUNAN y = cos x . . . . Gunakan definisi turunan dan kesamaan

CCCCos(a + b) = cosa cos(a + b) = cosa cos(a + b) = cosa cos(a + b) = cosa cos b os b os b os b –––– sin a sin a sin a sin a sin bsin bsin bsin b

sehingga

�3 = lim →� ;���,� )���J , .

= ….

TURUNAN TURUNAN TURUNAN TURUNAN y = tany = tany = tany = tan xxxx.... Gunakan fakta bahwa tan x =tan x =tan x =tan x = ��q w��� w. Sehingga dapat digunakan aturan

hasil bagi dua fungsi untuk menurunkan y = tan x.

�3 = ⋯

TURUNAN TURUNAN TURUNAN TURUNAN y = coty = coty = coty = cot xxxx.... Gunakan fakta bahwa cot x =cot x =cot x =cot x = ���� w.... Sehingga dapat digunakan aturan

hasil bagi dua fungsi untuk menurunkan y = cot x.

�3 = ⋯

Page 160: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan TurunanTurunanTurunanTurunan

148

TURUNAN TURUNAN TURUNAN TURUNAN y = secy = secy = secy = sec xxxx.... Gunakan fakta bahwa secsecsecsec x =x =x =x = ����.... Sehingga dapat digunakan aturan

hasil bagi dua fungsi untuk menurunkan y = cot x.

�3 = ⋯

Jadi dapat disimpulkan bahwa

1. 0,7sin �8 =…

2. 0,7cos �8 = ⋯

3. 0,7tan �8 = ⋯

4. 0,7cot �8 = ⋯

5. 0,7sec �8 = ⋯

6.6.6.6. 0,7csc �8 = ⋯

ContohContohContohContoh 3.13.13.13.11111 Diketahui ���) = �� sin �. Carilah �3��)

Penyelesaian:

Dapat digunakan aturan perkalian turunan, misalkan ���) = �� dan 9��) = sin �,

sehingga 0,7���)8 = 2� dan 0,79��)8 = cos �

Jadi �3��) = 0,7���)89��) + ���)0,79��)8 = 2� sin � + �� cos �

Contoh 3.Contoh 3.Contoh 3.Contoh 3.12121212 Diketahui � = JKL ,��� ��J ,. Carilah $4$,

Penyelesaian:

Page 161: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan

149

Dapat digunakan aturan pembagian turunan, misalkan ���) = sin � dan

g��) = 1 − 2 cos � . Sehingga 0,7���)8 = cos � , 0,79��)8 = 2 sin �

Jadi F�F� = 0,7���)89��) − ���)0,79��)8�9��))�

= ��J ,���� ��J ,)�JKL ,�� JKL ,)���� ��J ,)�

= ��J ,��;���,����m�,���� ��J ,)� = ��J ,������ ��J ,)�

Kesimpulan. Kesimpulan. Kesimpulan. Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini

LATIHAN TERBIMBING 3.5LATIHAN TERBIMBING 3.5LATIHAN TERBIMBING 3.5LATIHAN TERBIMBING 3.5

1. Tentukan hasil turunan dari � = 4 sin � cos �

PetunjukPetunjukPetunjukPetunjuk PengerjaanPengerjaanPengerjaanPengerjaan: gunakan sifat perkalian turunan.

Page 162: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan TurunanTurunanTurunanTurunan

150

2. Perlihatkan bahwa kurva � = (2 sin � dan � = (2 cos �, 0 < � < �� berpotongan tegak

lurus di sebuah titik tertentu.

PetunjukPetunjukPetunjukPetunjuk PengerjaanPengerjaanPengerjaanPengerjaan:::: tentukan gradien terlebih dahulu untuk dua kurva yang saling tegak

lurus m1.m2 = -1

LATIHAN MANDIRI 3.LATIHAN MANDIRI 3.LATIHAN MANDIRI 3.LATIHAN MANDIRI 3.5555

1. Tentukan turunan dari f(x) = 4x2 cos x

Penyelesaian:

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

2. Tentukan turunan dari h(y) = y3 – 3 sec y tan y

Penyelesaian:

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 163: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan

151

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

3. Tentukan 0! A� �J� !���J� !�� C

Penyelesaian:

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

4. Tentukan 0,7�� − ~Ro�)�� + cos �)8 Penyelesaian:

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

5. Tentukan hasil turunan dari � = , JKL ,�J� ,��

Penyelesaian:

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

6. Carilah persamaan garis singgung � = tan � di � = 0

Penyelesaian:

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 164: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan TurunanTurunanTurunanTurunan

152

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

3.63.63.63.6 Aturan RantaiAturan RantaiAturan RantaiAturan Rantai

Misalkan � = ���) dan � = ���). Bagaimanakah menghitung $1$, ?

Ilustrasi. ���) = ~Ro�� dan � = �� − 2� + 1. Berapakah $1$,? Perhatikan Gambar 3.6

Gambar 3.11

Untuk mendapatkan $1$, . Pertama turunkan f terhadap u, kemudian turunkan u terhadap x.

Jadi dapat disimpulkan

F�F� = ⋯.

Yang disebut aturan rantai bersusunaturan rantai bersusunaturan rantai bersusunaturan rantai bersusun

ContohContohContohContoh 3.123.123.123.12 Tentukan $4$, jika � = sin � dimana � = �. − 3�

Penyelesaian: F�F� = F�F� F�F� = �cos �) �3�� − 3) = �3�� − 3)cos� �. − 3�)

Contoh Contoh Contoh Contoh 3.13.13.13.13333 Cari 0,7~Ro.�4�)8 Penyelesaian:

Misalkan � = �. dan � = sin � dan � = 4�

Page 165: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan

153

Maka, 0,� = 0�� . 0�� . 0,� = 3��. cos � . 4 = 3~Ro��4�). cos�4�) . 4 = 12~Ro��4�). cos�4�)

Kesimpulan. Kesimpulan. Kesimpulan. Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini

LATIHAN TERBIMBING 3.LATIHAN TERBIMBING 3.LATIHAN TERBIMBING 3.LATIHAN TERBIMBING 3.6666

1. Tentukan hasil turunan � = n,���,�E pE

PetunjukPetunjukPetunjukPetunjuk PengerjaanPengerjaanPengerjaanPengerjaan: Misalkan u = ,���,�E sehingga y = u4. Kemudian gunakan aturan rantai

Page 166: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan TurunanTurunanTurunanTurunan

154

2. Garis singgung terhadap kurva � = �� cos���) di � = (� akan memotong sumbu-x

diposisi berapa?

PetunjukPetunjukPetunjukPetunjuk PengerjaanPengerjaanPengerjaanPengerjaan: Tentukan gradien garis singgung dengan menurnkan y, kemudian

tentukan persamaan garis singgungnya di � = (�. Setelah itu tentukan nilai x yang

persamaan garis singgungnya sama dengan 0 (karena yang diminta adalah memotong

sumbu-x)

3. Cari 0,�sin7cos���)8�

PetunjukPetunjukPetunjukPetunjuk PengerjaanPengerjaanPengerjaanPengerjaan: Misalkan u = x2, v = sin u. Gunakan aturan rantai bersusun

Page 167: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan

155

LATIHAN MANDIRI 3.6LATIHAN MANDIRI 3.6LATIHAN MANDIRI 3.6LATIHAN MANDIRI 3.6

1. Tentukan hasil turunan � = �2� − 9)���. + 4� − 5).

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

2. Tentukan hasil turunan � = n JKL ,��J �,p.

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

3. Tentukan turunan dari f(x) = sec3(x2 + 2x)

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 168: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan TurunanTurunanTurunanTurunan

156

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

4. Tentukan turunan � = ~Ro. �cos �.)

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

5. Carilah persamaan garis singgung pada kurva � = ��� − 1)� dititik (-2,9)

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 169: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan

157

3.73.73.73.7 Turunan Tingkat TinggiTurunan Tingkat TinggiTurunan Tingkat TinggiTurunan Tingkat Tinggi

Misalkan ���) suatu fungsi dan mempunyai turunan pertama �3��). Turunan

kedua dari f adalah turunan pertama dari �3��)

�33��) = 0�7�8 = F��F�� = lim →�……

Dengan cara yang sama turunan ketiga dan keempat dan seterusnya turunan ke-n dapat

dituliskan sebagai

ContohContohContohContoh 3.143.143.143.14 Hitunglah $�

$!� (4� + 1

Penyelesaian

F�F�� (4� + 1 = F A���4� + 1)�#��4)CF�

= F A�4� + 1)�#��2)CF�

= 2. ����4� + 1)�?��4)

= −4�4� + 1)�?�

ContohContohContohContoh 3.153.153.153.15 Jika � = sin 2� cari $?4$,? $c4$,c dan

$#�4$,#�

Penyelesaian

$4$, = 2 cos 2�, $�4$,� = −2� sin 2�, $?4 $,? = − 2.cos 2�

$c4$,c = 2E sin 2�,

$y4$,y = 2I cos 2�, …., $#�4$,#� = 2�� sin 2�

ContohContohContohContoh 3.163.163.163.16 Diketahui �� + �� = 1, perlihatkan bahwa $�4$,� = − �4?

Penyelesaian

�� + �� = 1 ⟺ � = �1 − ��

Page 170: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan TurunanTurunanTurunanTurunan

158

Maka F��(1 − ���F�� = FF�  12 �1 − ��)�#��−2�)¡ = FF� A�1 − ��)�#��−�)C = FF� ¢ −��1 − ��)#�£

Misalkan ���) = −� dan 9��) = �1 − ��)#�

Maka, 0,7���)8 = −1 dan 0,79��)8 = �� �1 − ��)�#��−2�)

0,7���)89��) − ���)0,79��)8�9��))� = A−�1 − ��)#�C − A�−�) 12 �1 − ��)�#��−2�)CA�1 − ��)#�C�

= A−�1 − ��)#�C − A���1 − ��)�#�C1 − ��

= 7−�1 − ��)8 − 7��8�1 − ��)?�

= −1�1 − ��)?�

= − 1�.

Kesimpulan. Kesimpulan. Kesimpulan. Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini

LATIHAN TERBIMBING 3.7:LATIHAN TERBIMBING 3.7:LATIHAN TERBIMBING 3.7:LATIHAN TERBIMBING 3.7:

Page 171: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan

159

1. Tentukan ��I) jika ���) = cos 2� − sin 2�

PetunjukPetunjukPetunjukPetunjuk PengerjaanPengerjaanPengerjaanPengerjaan: Turunkan f sebanyak 5 kali secara bertahap

2. Andaikan 9��) = M�� + `� + : dan 9�1) = 5 , 93�1) = 3 , 933�1) = −4. Carilah a, b,

dan c.

PetunjukPetunjukPetunjukPetunjuk PengerjaanPengerjaanPengerjaanPengerjaan:::: Carilah turunan pertama dan kedua, subtitusi nilai yang diketahui

diperoleh dua persamaan, selesaikan persamaan itu

Page 172: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan TurunanTurunanTurunanTurunan

160

3. Posisi dua partikel P1 dan P2 pada sebuah garis koordinat pad akhir t detik masing-

masing diberikan oleh ~� = 3�. − 12�� + 18� + 5 dan ~� = −�. + 9�� − 12�. Kapan

kedua partikel tersebut mempunyai kecepatan yang sama?

PetunjukPetunjukPetunjukPetunjuk PengerjaanPengerjaanPengerjaanPengerjaan:::: mempunyai kecepatan yang sma jika �� = �� dimana � = $�$!

LATIHAN MANDIRI 3.7LATIHAN MANDIRI 3.7LATIHAN MANDIRI 3.7LATIHAN MANDIRI 3.7

1. Tentukan 0,.7�E − 2�� + � − 58 Penyelesaian:

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

2. Diketahui ���) = ¤,yN,N QRSM � ≠ 00 QRSM � = 0W tentukan �333��)

Penyelesaian:

Page 173: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan

161

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

3. Cari sebuah rumus untuk 0,m n�,p

Penyelesaian:

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

4. Sebuah benda dilempar langsung ke bawah dari puncak sebuah karang dengan

kecepatan awal �� kaki/detik kira-kira jatuh sejauh ~ = ��� + 16�� kaki setelah t detik.

Jika benda tersebut membentur permukaan laut di bawah setelah 3 detik dengan

kecepatan 140 kaki/detik, berapakah tinggi karang tersebut?

Penyelesaian:

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 174: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan TurunanTurunanTurunanTurunan

162

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

3.83.83.83.8 Differensial ImplisitDifferensial ImplisitDifferensial ImplisitDifferensial Implisit

Perhatikan grafik �. + 7� = �. berikut

Gambar 3.12

Akan dicari persamaan garis singgung pada Gambar 3.12 yang melalui titik (2,1). Masalah:

bagaimana mencari $4$, fungsi tersebut? Sebuah fungsi dikatakan berbentuk implisit bila

berbentuk F(x,y) = 0. Pada bentuk ini variabel x dan y tercampur dalam suatu ekspresi.

Misalnya fungsi (a.) �. + 7� − �. = 0 dan (b.) sin���) + ��. = 5

PrinsipPrinsipPrinsipPrinsip. Perhatikan bentuk implisit F(x,y) = 0 untuk mencari $4$, turunkan kedua ruas

terhadap variable x

ContohContohContohContoh 3.3.3.3.17 17 17 17 Carilah $4$, dari 4��� − 3� = �. − 1

Penyelesaian:

Metode I.Metode I.Metode I.Metode I. Dapat diselesaikan persamaan yang diberikan secara jelas untuk y sebagai berikut: ��4�� − 3) = �. − 1

� = �. − 14�� − 3

Jadi, F�F� = �4�� − 3)�3��) − ��. − 1)�8�)�4�� − 3)� = 4�E − 9�� + 8��4�� − 3)�

Metode IIMetode IIMetode IIMetode II. (differensial implisit). Turunkan kedua ruas 4��� − 3� = �. − 1

Setelah memakai aturan hasil kali pada suku pertama, didapatkan

Page 175: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan

163

4�� F�F� + �. 8� − 3 F�F� = 3�� F�F� �4�� − 3) = 3�� − 8�� F�F� = 3�� − 8��4�� − 3

Terlihat jawaban ini berlainan dengan jawaban yang diperoleh terdahulu, tetapi keduanya

sama. Untuk mendapatkannya, gantikan � = ,?��E,��. , maka

F�F� = 3�� − 8� { �. − 14�� − 3|4�� − 3 = 12�E − 9�� − 8�E + 8��4�� − 3)� = 4�E − 9�� + 8��4�� − 3)�

ContohContohContohContoh 3.3.3.3.18 18 18 18 Cari persamaan garis singgung pada kurva �. − ��� + cos �� = 2 di titik

(0,1)

Penyelesaian:

Lakukan differensial kedua ruas terhadap x, sehingga 3���3 − ��2��3) − �� − �sin ��)���3 + �) = 0 �3�3�� − 2�� − �~Ro ��) = �� + �~Ro ��

�3 = �� + �~Ro ��3�� − 2�� − �~Ro ��

Di (0,1), � = �. . Sehingga, persamaan garis singgung di (0,1) adalah

� − 1 = 13 �� − 0)

� = 13 � + 1

Kesimpulan. Kesimpulan. Kesimpulan. Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini

Page 176: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan TurunanTurunanTurunanTurunan

164

LATIHAN TERBIMBING 3.8LATIHAN TERBIMBING 3.8LATIHAN TERBIMBING 3.8LATIHAN TERBIMBING 3.8

1. Carilah $4$, dari �.�. = 8��

PetunjukPetunjukPetunjukPetunjuk PengerjaanPengerjaanPengerjaanPengerjaan: turunkan kedua ruas

2. Jika diketahui �� + 5�. = � + 9 . Tentukan $4$,

PetunjukPetunjukPetunjukPetunjuk: turunkan kedua ruas

Page 177: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan

165

4. Diketahui �� + 25�� = 100, perlihatkan bahwa $�4$,� = − E�I4�

PetunjukPetunjukPetunjukPetunjuk PengerjaanPengerjaanPengerjaanPengerjaan: turunkan dua kali terhadap variabel x

LATIHAN MANDIRI 3.LATIHAN MANDIRI 3.LATIHAN MANDIRI 3.LATIHAN MANDIRI 3.8888

1. Carilah $4$, dengan diferensial implisit

a. �4 + �,� = 1 d. sec2 x + csc2 y = 4

b. 4(,�4 = 2 �2 e. (x + y)2 – (x – y)2 = x3 + y3

c. � sin � + � cos � = 1 f. cos (x+y) = y sin x

Penyelesaian

Page 178: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan TurunanTurunanTurunanTurunan

166

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 179: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan

167

2. Cari 0,� jika diketahui ��� + 3� = 10�

Penyelesaian:

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

3. Carilah persamaan garis singgung pada ��� + �� = x di titik (1,4)

Penyelesaian:

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

4. Sketsakan grafik lingkaran �� − 4� + �� + 3 = 0. Kemudian cari persamaan-

persamaan untuk dua garis singgung yang melalui titik asal.

Penyelesaian:

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 180: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan TurunanTurunanTurunanTurunan

168

3.93.93.93.9 Laju yang BerkaitanLaju yang BerkaitanLaju yang BerkaitanLaju yang Berkaitan

Jika variabel y bergantung kepada t, maka turunannya dy/dt disebut laju perubahan

y terhadap t.. Untuk menyelesaikan berbagai persoalan yang menyangkut laju perubahan

ini, kita mulai dengan menyelesaikan permasalahan berikut

“ Sebuah tangga yang panjangnya 25 Sebuah tangga yang panjangnya 25 Sebuah tangga yang panjangnya 25 Sebuah tangga yang panjangnya 25 kaki bersandar pada dinding tegakkaki bersandar pada dinding tegakkaki bersandar pada dinding tegakkaki bersandar pada dinding tegak. Jika ujung . Jika ujung . Jika ujung . Jika ujung

bawah tangga ditarik mendatar dari arah dinding dengan kecepatan 3 kaki/detik, bawah tangga ditarik mendatar dari arah dinding dengan kecepatan 3 kaki/detik, bawah tangga ditarik mendatar dari arah dinding dengan kecepatan 3 kaki/detik, bawah tangga ditarik mendatar dari arah dinding dengan kecepatan 3 kaki/detik,

dengan kecepatan berapa ujung atasnya tergelincir ke bawah bila ujung bawah dengan kecepatan berapa ujung atasnya tergelincir ke bawah bila ujung bawah dengan kecepatan berapa ujung atasnya tergelincir ke bawah bila ujung bawah dengan kecepatan berapa ujung atasnya tergelincir ke bawah bila ujung bawah

tangga berada 15 kaki dari dinding?”tangga berada 15 kaki dari dinding?”tangga berada 15 kaki dari dinding?”tangga berada 15 kaki dari dinding?”

Untuk menjawab ini, ikutilah prosedur berikut:

1. Buatlah gambar yang mengilustrasikan kondisi tersebut

2. Tentukan peubah-peubah yang terlibat. Misalkan t menyatakan waktu (dalam detik)

sejak tangga mulai tergelincir ke bawah, y menyatakan jarak (dalam kaki) ujung atas

tangga dari tanah, dan x menyatakan jarak (dalam kaki) ujung bawah tangga dari

dnding pada saat t detik

3. Tuliskan semua fakta numerik yang diketahui tentang setiap peubah t, y, dan x.

Page 181: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan

169

4. Tentukan semua peubah yang bergantung kepada t.. Karena ujung bawah tangga ditarik

mendatar menjauhi dinding dengan kecepatan 3 kaki/detik maka F�F� = ⋯

Karena yang ditanyakan adalah kecepatan pada saat ujung atas tergelincir ke bawah

bila ujung bawah tangga berada 15 kaki dari dining, maka yang dicari adalah

… pada saat x = …. .

Perhatikan gambar yang Anda buat pada langkah 1, karena dinding dan tanah

membentuk siku-siku, maka menurut Teorema Phytagoras berlaku

y2 = ….

5. Diferensiasikan persamaan yang ditemukan pada langkah 4 terhadap t. Ingat bahwa y

dan x bergantung kepada t

6. Subtitusi besaran yang diketahui dalam persamaan yang ditemukan pada langkah 5

Contoh 3.19Contoh 3.19Contoh 3.19Contoh 3.19.... Air dituangkan ke dalam bak berbentuk kerucut dengan laju 8 dm/menit. Jika

tinggi bak adalah 12 dm dan jari-jari permukaan atas adalah 6 dm, berapa cepat

permukaan air naik bila tinggi permukaan adalah 4 dm?

Page 182: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan TurunanTurunanTurunanTurunan

170

Penyelesaian

Misalkan tinggi permukaan air pada saat t sebarang

adalah h. dan r adalah jari-jari permukaan air

Diketahui volume air V dalam bak naik dengan laju 8

dm/detik yaitu F�F� = 8

Ingin diketahui seberapa cepat air naik yakni $ $! pada

saat h = 4. Volume bak air berbentuk kerucut adalah

� = �. �¥�ℎ, Perhatikan bahwa " = +�� diperoleh ¥ = �� ℎ maka

� = 112 �ℎ.

Diferensialkan diperoleh F�Fℎ = 14 �ℎ� FℎF�

Karena $¦$! = 8 dan yang ditanyakan adalah

$ $! pada h = 4 maka diperoleh

8 = 14 �4� FℎF� ⟺ FℎF� = 2�

Jadi pada saat ketinggian air 4 dm, permukaan air naik dengan laju �� dm/detik.

Kesimpulan. Kesimpulan. Kesimpulan. Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini

LATIHAN TERBIMBING 3.9LATIHAN TERBIMBING 3.9LATIHAN TERBIMBING 3.9LATIHAN TERBIMBING 3.9

Sebuah kubus bertambah dengan laju 16 cm/menit. Tentukan:

12

h

6

Gambar 3.13

Page 183: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan

171

a. Laju pertambahan volumenya pada saat sisinya 20 cm

b. Laju perubahan luas permukaannya pada saat sisinya 15 cm

Petunjuk Pengerjaan. Petunjuk Pengerjaan. Petunjuk Pengerjaan. Petunjuk Pengerjaan. Misalkan panjang sisi kubus adalah x cm. Diketahui laju perubahan

kubus $,$! = 16 cm/menit . a) Tentukan Volume kubus bersisi x cm. Turunkan secara

implisit V terhadap t dan x juga terhadap t.. Subtitusi x = 20 cm. b) Tentukan luas

permukan kubus yang bergantung kepada x. turunkan secara implisit, subtitusi x = 15 cm

LATIHAN LATIHAN LATIHAN LATIHAN MANDIRIMANDIRIMANDIRIMANDIRI 3.93.93.93.9

1. Sebuah layang-layang terbang pada ketinggian 40 kaki. Seorang anak

menerbangkannya sehingga bergerak mendatar dengan kecepatan 3 kaki/ detik. Jika

benangnya tegang, dengan kecepatan berapa benang harus diulur bila panjang benang

yang dilepaskan 50 kaki?

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 184: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan TurunanTurunanTurunanTurunan

172

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

2. Rusuk kubus yang berubah bertambah panjang dengan laju 3 cm/detik. Berapa

kecepatan pertambahan volume kubus pada saat panjang rusuk 10 cm?

Penyelesain

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

3. Sebuah tangga panjang 20 dm bersandar di dinding. Jika ujung bawah tangga bawah

ditarik sepanjang lantai menajuhi dinding dengan kecepatan 2 dm /detik, seberapa

ceapat ujung atas tangga bergeser menuruni dinding pada waktu ujung bawah tangga

sejauh 4 dm dari dinding?

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 185: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan

173

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

4. Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan 30 kaki/detik mendekati suatu persimpangan.

Pada saat mobil itu berada 120 kaki dari persimpangan, sebuah truk dengan kecepatan

40 kaki/detik melewati persimpangan. Mobil dn truk berada pada dua jalan yang siku-

siku satu sama yang lain. Dengan kecepatan berapa mobil dan truk berpisah setelah

truk meninggalkan persimpangan?

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

5. Persamaan persediaan untuk suatu komoditi tertentu adalah � = 1000�3¨� + 20¨,

bila tersedia x satuan dengan harga p rupiah tiap satuan. Carilah laju perubahan

permintaan jika harga yang sedang beredar Rp. 20 tiap satuan dan harga naik dengan

kecepatan Rp. 0.5 tiap bulan!

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 186: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

TurunanTurunanTurunanTurunan TurunanTurunanTurunanTurunan

174

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 187: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

S 175

4.4.4.4. PPPPENGENGENGENGGGGGUNAANUNAANUNAANUNAAN

TURUNANTURUNANTURUNANTURUNAN

ada bagian ini, digunaan konsep-konsep turunan. Pengertian nilai maksimum

atau nilai minimum dari suatu fungsi dalam interval tertutup dan hubungannya

dengan turunan pertama dari fungsi itu sendiri akan dibahas pada awal bagian

ini. Pada bagian akhir akan dibahas komponen-komponen yang diperlukan dalam

mensketsa grafik suatu fungsi seperti fungsi naik-turunnya grafik dan kecekungan. Telah

dipelajari bahwa tafsiran geometri dari turunan suatu fungsi merupakan kemiringan garis

singgung di suatu titik pada grafik fungsi tersebut. Hal ini memungkinkan turunan dapat

digunakan sebagai alat bantu untuk menggambarkan grafik suatu fungsi. Selain itu turunan

dapat juga digunakan untuk menentukan selang di mana grafik suatu fungsi terletak di atas

garis singgung dan di mana grafik terletak di bawah garis singgung. Sebelum

menggunakan turunan untuk menggambarkan skets grafik terlebih dahulu diperlukan

beberapa sifat dari turunan, yang akan dibahas satu-persatu.

KompetensiKompetensiKompetensiKompetensi UtamaUtamaUtamaUtama

Mahasiswa dapat menggambarkan grafik suatu fungsi dengan

memanfaatkan turunan.

Kompetensi PenunjangKompetensi PenunjangKompetensi PenunjangKompetensi Penunjang

Mahasiswa dapat

1. menentukan nilai maksimum dan nilai minimum,

2. menentukan kemonotonan suatu fungsi (selang naik dan selang turun)

3. menentukan kecekungan grafik suatu fungsi,

4. menyelesaikan berbagai permasalahan berkaitan nilai maksimum /minimum.

P

Page 188: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

176

4.14.14.14.1 Maksimum dan MinimumMaksimum dan MinimumMaksimum dan MinimumMaksimum dan Minimum

Kita sering berhadapan dengan masalah mencari nilai maksimum atau minimum

dari suatu besaran. Misalnya masalah berikut:

“ kita bermaksud memagari sebuah lapangan berbentuk empat persegipanjang. Misalkan

salah satu sisi lapangan itu dibatasi oleh sungai sebagai batas alam dan kita mempunyai

material pagar 240 m. Bagaimana menentukan ukuran lapangan empat persegi panjang

yang terbesar yang dapat ditutupi dengan menggunakan 240 m material pagar untuk ke

tiga sisinya?”

Untuk menjawab permasalahan ini, perhatikan Gambar 4.1 berikut:

Pertanyaan ukuran lapangan sama dengan pertanyaan luas daerah terbesar. Pertama, kita

harus memodelkan masalah ke model matematika. Kita mempunyai fungsi keliling pagar

sebagai fungsi dari panjang sisi, dengan 2x + y = 240 m. Kita mempunyai fungsi luas f(x) =

x (240-2x). Sehingga masalah ini menjadi masalah nilai maksimum yang dapat dicapai oleh

fungsi f(x) = x (240-2x) pada interval tertutup [0, 120]. Bagaimana menentukannya?. Bagaimana menentukannya?. Bagaimana menentukannya?. Bagaimana menentukannya? Untuk

menjawab ini kita memerlukan beberapa konsep maksimum dan minimum.

DEFINISI MAKSIMUM/DEFINISI MAKSIMUM/DEFINISI MAKSIMUM/DEFINISI MAKSIMUM/MINIMUM.MINIMUM.MINIMUM.MINIMUM. Kita awali dengan mendefinisikan maksimum/minimum

suatu fungsi. Perhatikan Gambar 4.2, kemudian berilah tanda checklist (√) untuk

menyatakan persetujuan dan tanda silang (×) untuk menyatakan ketidaksetujuan.

sungai

x x

y

Gambar 4.1

Page 189: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

S 177

Maksimum ada Maksimum ada Maksimum ada

Minimum ada Minimum ada Minimum ada

Kontinu Kontinu Kontinu

Apa yang Anda pikirkan tentang maksimum/minimum sehubungan dengan Gambar 4.2?

Untuk mendefinisikan maksimum dan minimum suatu fungsi perhatikan Gambar 4.3

berikut

Pada interval [a,b] titik (c,f(c)) merupakan titik

tertinggi dan (d, f(d)) merupakan titik terendah.

Ini berarti bahwa pada interval [a,b] tidak ada

nilai f yang lebih besar dari f(c) , dan tidak ada

nilai f yang lebih kecil dari f(d). Oleh karena itu

f(c) disebut nilai maksimumnilai maksimumnilai maksimumnilai maksimum dan f(d) nilai nilai nilai nilai

minimum. minimum. minimum. minimum. Jadi dapat didefinisikan nilai

maksimum dan minimum suatu fungsi sebagai

berikut:

y

x

Gambar 4.3

c d

f(d)

f(c)

a bO

Gambar 4.2

Page 190: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

178

Misalkan f suatu fungsi dengan domain Df dan c, d ∈ Df maka

(i) jika f(c) ≥ f(x) untuk setiap x ∈Df maka f disebut mencapai nilai maksium di c.

(ii) jika f(d) ≤f(x) untuk setiap x ∈Df maka f disebut mencapai nilai minimum di d.

(iii) Titik di mana suatu fungsi f mencapai maksimum/minimum disebut titik ekstrimtitik ekstrimtitik ekstrimtitik ekstrim....

KEBERADAAN KEBERADAAN KEBERADAAN KEBERADAAN NILAI MAKSIMUM / MINIMUMNILAI MAKSIMUM / MINIMUMNILAI MAKSIMUM / MINIMUMNILAI MAKSIMUM / MINIMUM.... Anda sudah mempelajari fungsi yang

kontinu pada interval tertutup [a,b]. Gambarkan suatu fungsi sebarang yang kontinu pada

[a,b]. Apakah fungsi itu mempunyai maksimum dan minimum? Apakah hubungan

kekontinuan dengan jaminan keberadaan maksimum dan minimum fungsi tersebut?

LOKASI NILAI MAKSIMUM/MINIMUM.LOKASI NILAI MAKSIMUM/MINIMUM.LOKASI NILAI MAKSIMUM/MINIMUM.LOKASI NILAI MAKSIMUM/MINIMUM. Grafik berikut ini menggambarkan kemungkinan

tempat terjadinya ekstrim.

Page 191: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

S 179

Pada Gambar 4.4 (i) maksimum dan minimum terjadi pada x = a dan x = b yang merupakan

titik-titik ujung interval. Jadi ekstrim dapat terjadi pada ___________________________.

Pada Gambar 4.4 (ii) ekstrim terjadi pada saat garis singgung fungsi f mendatar, sudah kita

pelajari bahwa kemiringan garis singgung merupakan turunan dari f, Jadi karena garis

singgung mendatar (gradien garis adalah nol), ini berarti ekstrim dapat terjadi pada

_____________. Titik inilah yang disebut dengan titik stasioner.titik stasioner.titik stasioner.titik stasioner. Selanjutnya, perhatikan

Gambar 4.4(iii), garis singgung f di x = c mempunyai kemiringan yang berbeda jika

didekati dari arah kiri c dan dari arah kanan c. Ini berarti turunan f tidak ada di x = c atau

f’(c) tidak ada. Jadi ekstrim berkemungkinan dapat terjadi pada _______________. Titik

inilah yang disebut titik singular.titik singular.titik singular.titik singular.

Jadi dapat kita disimpulkan bahwa kemungkinan nilai maksimum/ minimum (titik

ekstrim) dapat terjadi pada tiga tempat yaitu:

Catatan : Jika Catatan : Jika Catatan : Jika Catatan : Jika f(c)f(c)f(c)f(c) adalah nilai ekstrim maka adalah nilai ekstrim maka adalah nilai ekstrim maka adalah nilai ekstrim maka c c c c haruslahharuslahharuslahharuslah titik kritis.titik kritis.titik kritis.titik kritis. Titik c disebut titik kritis Titik c disebut titik kritis Titik c disebut titik kritis Titik c disebut titik kritis

jika jika jika jika f’(0) = 0 f’(0) = 0 f’(0) = 0 f’(0) = 0 ataataataatau u u u f’(c) f’(c) f’(c) f’(c) tidak ada.tidak ada.tidak ada.tidak ada.

Contoh 4.1Contoh 4.1Contoh 4.1Contoh 4.1 Carilah nilai maksimum dan minimum dari f(x) = x3 pada [-2,2]

Penyelesaian. Turunan adalah f'(x) = 3x2 yang terdefinisi pada (-2,2) dan nol hanya pada

x = 0. Maka titik kritisnya adalah x = 0 (titik stasioner) dan pada titik-titik ujung yaitu x = -

2 dan x = 2.

f(-2) = (-2)3 = -8, f(2) = 23 = 8 , dan f(0) = 0 .

Jadi nilai maksimum adalah 8, dan nilai minimum adalah -8. Sketsa grafik f diperlihatkan

pada Gambar 4.5

Page 192: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

180

Contoh 4.2Contoh 4.2Contoh 4.2Contoh 4.2 Carilah nilai maksimum dan minimum dari f(x) = x 3 + x2 - x + 1 pada [-2, ��]

Penyelesaian Turunan adalah f'(x) = 3x2 + 2x -1 yang terdefinisi pada (-2, �� ). Karena f’(x)

ada untuk semua bilangan riil maka titik kritis f hanya pada f'(x) = 0.

3x2 + 2x -1 = 0 ⟺(3x -1) (x+1) = 0. Maka titik kritisnya adalah x = � dan x = -1 (titik

singular) dan pada titik-titik ujung yaitu x = -2 dan x = ��

f(-2) = (-2)3 + (-2)2 – (-2) + 1 = -1

���� = ���� + ����� − �� + 1 = ��

��� = ��� + ���� − � + 1 = ����

f(-1) = (-1)3 + (-1)2 – (-1) + 1 = 2

Jadi nilai maksimum adalah 2, dan nilai

minimum adalah -1. Sketsa grafik f terlihat

pada gambar 4.6

2

1

27

22,3

1

8

7,2

1

Page 193: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

S 181

Contoh 4.3Contoh 4.3Contoh 4.3Contoh 4.3 Carilah nilai maksimum dan minimum dari f(x) = �2� − 1 jika � ≤ 38 − � jika � > 3 � Penyelesaian. Turunan kiri f’-(3) = 2 dan turunan kanan f’+(3) = 8 karena itu f’(3) tidak ada.

Nilai maksimum terjadi pada x = 3 (titik singular) yaitu f(3) = 5. Sketsa grafik f diberikan

pada Gambar 4.7

Kesimpulan. Kesimpulan. Kesimpulan. Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini

Page 194: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

182

LATIHAN TERBIMBINGLATIHAN TERBIMBINGLATIHAN TERBIMBINGLATIHAN TERBIMBING 4.14.14.14.1

Kerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaan.

1. Carilah nilai maksimum dan minimum dari f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 15 pada Interval

tertutup [0,3].

Petunjuk Pengerjaan:Petunjuk Pengerjaan:Petunjuk Pengerjaan:Petunjuk Pengerjaan: Tentukan terlebih dahulu f’(x), ceklah apakah titik singular ada, tiitk

stasioner ada, kemudian tentukan titik kritis yaitu nilai x yang memenuhi f’(x) = 0 .

Kemudian lakukan perhitungan nilai f pada titik-titik ujung dan titik kritis. Nilai yang

memberikan nilai tertinggi merupakan nilai maksimum, dan nilai yang memberikan nilai

terendah adalah nilai minimum.

2. Carilah nilai maksimum dan minimum dari fungsi f(x) = 3 – �� − 2� pada interval [1,4]

Petunjuk Pengerjaan:Petunjuk Pengerjaan:Petunjuk Pengerjaan:Petunjuk Pengerjaan: Ubahlah terlebih dahulu f ke bentuk yang tidak memuat nilai mutlak.

Kemudian tentukan apakah titik singular ada,dan tentukan juga apakah titik statisioner ada,

serta cek juga nilai f pada titik-titik ujung

Page 195: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

S 183

3. Carilah nilai maksimum dan minimum dari f(x) = 5� ! − �"! pada interval tertutup [-

1,4]

Petunjuk Pengerjaan:Petunjuk Pengerjaan:Petunjuk Pengerjaan:Petunjuk Pengerjaan: Tentukan turunan pertama dari f, Tentukan titik-titik singular dan

titik stasioner. Hati-hati dengan bentuk fungsi ini. Selanjutnya ceklah nilai f pada titik- titik

itu, juga pada titik ujung.

Page 196: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

184

4. Lapangan berbentuk empat persegi panjang yang terbentang di tepi sungai, hendak

dipagari tetapi sepanjang tepi sungai tidak ikut dipagari. Misalkan harga material untuk

pagar pada sisi yang sejajar dengan sungai adalah Rp.12,000,- perkaki dan harga

material untuk pagar pada kedua sisi lainnya Rp.8,000,- perkaki. Tentukan ukuran

lapangan yang luasnya terbesar yang dapat dipagari dengan harga Rp. 3,600,000,-

Petunjuk Pengerjaan:Petunjuk Pengerjaan:Petunjuk Pengerjaan:Petunjuk Pengerjaan: Modelkan permasalahan ke model matematika, dengan menentukan

harga untuk keliling lapangan yang dipagari. Kemudian tentukan fungsi luas, nilai

maksimum bagi luas itulah jawaban ukuran lapangan.

Page 197: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

S 185

.LATIHAN MANDIRILATIHAN MANDIRILATIHAN MANDIRILATIHAN MANDIRI 4.14.14.14.1

Untuk soal nomor 1 sampai 4 berikut, tentukan titik kritis untuk fungsi yang diberikan:

1. f(x) = x3 + 7x2 – 5x 3. g(x) = �"! − 3� !

2. h(x) = #$#%� 4. f(x) = cos2 4x

Penyelesaian

1. f(x) = x3 + 7x2 – 5x

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

2. h(x) = #$#%�

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

3. g(x) = �"! − 3� !

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 198: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

186

4. f(x) = cos2 4x

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Untuk soal nomor 5 sampai dengan nomor 10, nyatakan apakah fungsi yang diberikan

mencapai nilai maksimum atau minimum (atau keduanya) pada interval yang diberikan

(saran: mulailah dengan mensketsa grafik fungsi f ). Jika fungsi tersebut mempunyai nilai

maksimum atau minimum tentukan nilainya.

5. f(x) = 1 – x; [-1,1) 8. f(x) = x3+ 5x – 4 ; [-3, -1]

6. f(x) = �# ; [2,3] 9. f(x) = x4 – 8x2 + 16 ; [0,3]

7. f(x) = ��� ; (-1,1) 10. f(x) = 2sin x ; [−&, &]

PenyelesaianPenyelesaianPenyelesaianPenyelesaian

5.5.5.5. f(x) = 1 – x; [-1,1)

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 199: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

S 187

6.6.6.6. f(x) = �# ; [2,3]

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

7.7.7.7. f(x) = ��� ; (-1,1)

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

8. f(x) = x3+ 5x – 4 ; [-3, -1]

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 200: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

188

9. f(x) = x4 – 8x2 + 16 ; [0,3]

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

10. f(x) = 2sin x ; [−&, &]

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 201: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

S 189

11. Carilah dua buah bilangan tak negatif yang jumlahnya 10 dan hasil kalinya

maksimum.

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

12. Sebuah kotak persegi panjang dibuat dari selembar kertas persegi dengan memotong

sisi-sisinya x cm dan melipatnya. Jika kertas itu mempunyai sisi 50 cm maka tentukan

nilai x supaya volume kotak tersebut maksimum.

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 202: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

190

13. Diketahui lingkaran yang mempunyai persamaan x2 + y2 = 9. Tentukan

a. Jarak terdekat dari titik (4,5) ke suatu titik pada lingkaran

b. Jarak terjauh dari (4,5) ke suatu titik pada lingkaran.

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 203: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

S 191

14. Kawat sepanjang 16 cm dipotong menjadi dua bagian. Salah satu potongan dibentuk

jadi bujursangkar dan potongan lainnya dibuat jadi lingkaran. Berapa ukuran potongan

tersebut agar jumlah seluruh luas bentukan kawat minimum.

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

4.24.24.24.2 Teorema Teorema Teorema Teorema RolleRolleRolleRolle ddddan Teorema Rataan Teorema Rataan Teorema Rataan Teorema Rata----RRRRataataataata

Teorema nilai rata-rata adalah salah satu teorema yang paling penting dalam

Kalkulus. Teorema ini digunakan untuk membuktikan banyak teorema dalam kalkulus

diferensial dan kalkulus integral, demikian juga pada topik-topik lain seperti pada analisis

numerik.

TEOREMA TEOREMA TEOREMA TEOREMA ROLLEROLLEROLLEROLLE.... Mulailah dengan mensketsa grafik fungsi f dengan mengikuti petunjuk

berikut ini: f suatu fungsi yang kontinu pada selang tertutup [a,b], f terdifrensialkan pada f suatu fungsi yang kontinu pada selang tertutup [a,b], f terdifrensialkan pada f suatu fungsi yang kontinu pada selang tertutup [a,b], f terdifrensialkan pada f suatu fungsi yang kontinu pada selang tertutup [a,b], f terdifrensialkan pada

selang tertutup [a,b] dan f(a) = 0 dan f(b) = 0selang tertutup [a,b] dan f(a) = 0 dan f(b) = 0selang tertutup [a,b] dan f(a) = 0 dan f(b) = 0selang tertutup [a,b] dan f(a) = 0 dan f(b) = 0

Sketsalah sebarang fungsi f yang memenuhi itu

Page 204: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

192

Perhatikan grafik yang Anda buat! Karena fungsi itu kontinu pada selang [a,b] maka grafik

fungsi itu tidak terputus pada [a,b] . Karena f(a) = 0 dan f(b) = 0 berarti f memotong

____________ di __________. Dapat dilihat bahwa terdapat sekurang-kurangnya terdapat

satu titik c pada lengkungan titik (a,0) dan (b,0) sehingga garis singgungnya sejajar sumbu

x, atau f’(c) = 0. Kondisi inilah yang yang disebut Teorema Rolle. Jadi Teorema Rolle

menyatakan bahwa

Misalkan f suatu fungsi yang memenuhi

(i) ….

(ii) …

(iii) …

Maka terdapat bilangan c pada selang terbuka (a,b) sehingga ….

ContohContohContohContoh 4.4 4.4 4.4 4.4 Diberikan fungsi f(x) = 4x3 – 9x. Perlihatkan bahwa Teorema Rolle berlaku pada

selang (− � , 0* dan (0, �* dan (− � , �*. Kemudian tentukan nilai c pada masing-masing

selang tersebut sehingga f’(c) = 0

Page 205: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

S 193

Penyelesaian : f suatu fungsi yang kontinu pada seluruh bilangan riil, dan f' (x) = 12x2 – 9.

karena ′ ada untuk semua nilai x maka f terdiferensialkan pada seluruh bilangan riil.

Akibatnya f kontinu. Jika f(x) = 0.

4x3 – 9x = 0

4x(x2 - ,-) = 0

X = 0, x = � � = − �

Untuk menentukan nilai c , ambil f’(c) = 0 dan diperoleh:

12x2 – 9 = 0

x = − �� .3 x = �� .3

Untuk selang (− � , 0* ambil c = x = − �� .3. Untuk selang (0, �* ambil c = �� .3,dan untuk

selang (− � , �* ada dua kemungkinan pengambilan c yaitu x = − �� .3 atau x = �� .3 .

TEOREMA NILAI RATATEOREMA NILAI RATATEOREMA NILAI RATATEOREMA NILAI RATA----RATARATARATARATA. . . . Sekarang Anda gunakan Teorema Rolle untuk membuktikan

teorema nilai rata-rata. Interpretasikan secara geometris melalui Gambar 4.8:

Berapakah nilai f’(c)? Untuk menjawab

ini, ingatlah bahwa f’(c) merupakan

kemiringan garis singgung dari kurva f

pada x = c.. Anda mulai dengan

menentukan persamaan garis AB yakni / − (1)(3) − (1) = � − 13 − 1

Yang dapat diubah menjadi

/ = (3) − (1)3 − 1 (� − 1) + (1)

Jika g(x) menyatakan jarak vertikal di antara titik (x,f(x)) pada grafik fungsi f dengan titik

kaitannya pada garis sekan yang melalui A dan B, maka

4(�) = (�) − (3) − (1)3 − 1 (� − 1) − (1)

Selanjutnya, dapat ditunjukkan fungsi g(x) memenuhi Teorema Rolle yaitu:

(i) g(x) kontinu pada selang tertutup [a,b].

a c b

A(a,f(a))

B(b,f(b))

y

x

Gambar 4.8

O

Page 206: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

194

Karena g(x) merupakan jumlah dari dua fungsi yang kontinu pada [a,b] maka g(x)

kontinu pada [a,b].

(ii) g(x) terdiferensialkan pada (a,b).

(iii) terlihat g(a) = 0 dan g(b) = 0.

Karena syarat Teorema Rolle dipenuhi maka dijamin bahwa ada suatu titik c ∈ (a,b)

sedemikian sehingga g’(c) = 0. Perhatikan bahwa:

4′(�) = ′(�) − (3) − (1)3 − 1

Jadi

4′(5) = ′(5) − (3) − (1)3 − 1

Karena g’(c) = 0 maka

0 = ′(5) − (3) − (1)3 − 1

Sehingga

6(5) = (3) − (1)3 − 1

Sifat inilah yang disebut dengan Teorema Nilai RataTeorema Nilai RataTeorema Nilai RataTeorema Nilai Rata----Rata.Rata.Rata.Rata. Jadi dapat disimpulkan bahwa

Teorema nilai rata-rata menyatakan hal berikut

Misalkan f suatu fungsi yang memenuhi

(i) ….

(ii) …

Maka terdapat bilangan c pada selang terbuka (a,b) sehingga ….

Contoh 4.5 Contoh 4.5 Contoh 4.5 Contoh 4.5 Diberikan fungsi f(x) = x3 – 5x2 - 3x. Perlihatkan bahwa hipotesis teorema nilai

rata-rata dipenuhi untuk a = 1 dan b = 3. Kemudian tentukan semua bilangan c pada

selang terbuka (1,3).

6(5) = (3) − (1)3 − 1

Penyelesaian: Karena f suatu fungsi polinom maka f kontinu dan terdiferensialkan untuk

semua x . Jadi hipoesis teorema rata-rata dipenuhi untuk setiap a dan b..

Page 207: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

S 195

f'(x) = 3x2 – 10x -3

dan f(3) = 32 – 5. (3)2 – 3.(3) = -27

f(1) = 13 – 5.12 – 3.1 = -7

Jadi (3) − (1)3 − 1 = −27 − (−7)3 − 1 = −10

Untuk menentukan nilai c yang memenuhi 6(5) = 8()$8(�)$� , ambil

f'(c) = -10

3c2 – 10c -3 = -10

3c2 – 10 c + 7 = 0

(3c-7)(c-1) = 0

Sehingga diperoleh c = � dan c = 1

Karena c = 1 bukan berada pada selang (1,3) maka c yang berlaku adalah c = �

Kesimpulan. Kesimpulan. Kesimpulan. Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini

LATIHAN LATIHAN LATIHAN LATIHAN TERBIMBINGTERBIMBINGTERBIMBINGTERBIMBING 4.24.24.24.2

Diberikan fungsi (�) = � !. Tunjukkan bahwa tidak terdapat c dalam selang terbuka (-2,2)

sehingga 6(5) = 8(�)$8($�)�$($�)

Petunjuk PengerjaanPetunjuk PengerjaanPetunjuk PengerjaanPetunjuk Pengerjaan: Terlebih dahulu tentukan 6(�), kemudian tentukan 6(5). Dengan

memperhatikan 6(5) = 8(�)$8($�)�$($�) terlihat bahwa tidak ada nilai c yang memenuhi itu.

Page 208: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

196

LATIHAN MANDIRI 4.2LATIHAN MANDIRI 4.2LATIHAN MANDIRI 4.2LATIHAN MANDIRI 4.2

1. Perlihatkan bahwa syarat-syarat hipotesis Teorema Rolle dipenuhi untuk fungsi

f(x) = x3 – 2x2 – x + 2 pada selang [1,2]. Kemudian tentukan nilai c yang memenuhi

kesimpulan Teorema Rolle.

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 209: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

S 197

2. Perlihatkan bahwa hipotesis teorema nilai rata-rata dipenuhi untuk fungsi yang

diberikan dalam selang yang ditentukan. Kemudian tentukan nilai c yang memenuhi

teorema nilai rata-rata

a. f(x) = x2 + 2x -1 ; [0,1]

b. (�) = �2%-##$� ; [2,6] Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

3. Pada soal berikut gambar (a). sketsa grafik pada selang yang diberikan. (b) Uji ketiga

syarat dalam Teorema Rolle, dan tentukan syarat mana yang dipenuhi dan yang tidak

dipenuhi, jika ada; dan (c) jika ketiga syarat di bagian (b) dipenuhi, tentukan suatu titik

di mana terdapat garis singgung horizontal.

a. (�) = ��2 − 4 jika � < 15� − 8 jika � ≥ 1�; [-2,�?]

b. f(x) = 1 - ��� ; [-1,1]

c. f(x) = �!@ − 2�A@ ; [0,4]

Penyelesaian

Page 210: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

198

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

4.34.34.34.3 Fungsi Naik dan Fungsi Turun serta Uji Turunan PertamaFungsi Naik dan Fungsi Turun serta Uji Turunan PertamaFungsi Naik dan Fungsi Turun serta Uji Turunan PertamaFungsi Naik dan Fungsi Turun serta Uji Turunan Pertama

Kita awali dengan memahami fungsi naik dan fungsi turun, perhatikan ilustrasi

pada gambar 4.9 berikut:

Page 211: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

S 199

Pada Gambar 4.9, memperlihatkan bahwa nilai fungsi bertambah apabila absis bertambah,

dan fungsi turun, nilai fungsi berkurang apabila absis bertambah. Jika fungsi f naik atau

turun pada suatu selang maka f dikatakan monoton monoton monoton monoton pada selang tersebut. Jadi dapat

didefinisikan fungsi naik/turun sebagai berikut

DEFINISI FUNGSI NAIK/TURUN.DEFINISI FUNGSI NAIK/TURUN.DEFINISI FUNGSI NAIK/TURUN.DEFINISI FUNGSI NAIK/TURUN. Misalkan f fungsi yang terdefinisi pada selang I.

1) f disebut monoton naik pada suatu selang I jika untuk setiap x1 < x2 berlaku

f(x1) ≤ f(x2).

2) f disebut monoton turun pada suatu selang I jika untuk setiap x1 > x2 berlaku

f(x1) ≥ f(x2).

SIFAT KEMONOTONAN FUNGSISIFAT KEMONOTONAN FUNGSISIFAT KEMONOTONAN FUNGSISIFAT KEMONOTONAN FUNGSI. Selanjutnya akan ditinjau kaitan kemonotonan fungsi

dengan kemiringan garis singgung. Kita telah mengetahui bahwa kemiringan garis

singgung suatu kurva f pada x = c merupakan turunan dari f pada x = c atau 6(5). Apa

yang dapat Anda tafsirkan secara geometris jika kemiringan garis singgung positif? Dan apa

pula yang Anda tafsirkan jika kemiringan garis singgung negatif?

Untuk itu dapat disimpulkan hal berikut:

Misalkan f fungsi kontinu pada selang tertutup [a,b] dan differensiabel pada selang terbuka

(a,b).

1) Jika 6(�) > 0 untuk setiap x pada (a,b) maka _________________ pada [a,b]

2) Jika 6(�) < 0 untuk setiap x pada (a,b) maka _________________ pada [a,b]

Contoh 4.Contoh 4.Contoh 4.Contoh 4.6666 Tentukan daerah kemonotonan dari fungsi (�) = �2$�#%-#$�

Penyelesaian turunan pertama f adalah

6(�) = (2� − 2)(� − 2) − B�2 − 2� + 4C. 1(� − 2)� = �2 − 4�(� − 2)� = �(� − 4)(� − 2)�

Selesaikan

Page 212: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

200

f’ (x) < 0 ⟺ #(#$-)(#$�) < 0 untuk fungsi turun,

dan selesaikan

f’(x) > 0 ⟺ #(#$-)(#$�) > 0 untuk fungsi naik.

Jadi dapat disimpulkan bahwa f naik pada (−∞, 0) atau (4, ∞) dan turun pada (0, 2) atau

pada (2,4).

Kesimpulan. Kesimpulan. Kesimpulan. Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini

LATIHAN TERBIMBINGLATIHAN TERBIMBINGLATIHAN TERBIMBINGLATIHAN TERBIMBING 4.34.34.34.3

Selesaikan soal berikut pada tempat yang disediakan, dengan

1. Tentukan di mana (�) = #(#%�) naik dan turun.

Petunjuk Pengerjaan: Petunjuk Pengerjaan: Petunjuk Pengerjaan: Petunjuk Pengerjaan: tentukan f ’ (x), kemudian tentukan penyelesaian untuk f ‘(x) < 0 dan

f’(x) > 0. Penyelesaian yang pertama adalah jawaban untuk fungsi turun dan penyelesaian

kedua adalah untuk fungsi naik.

Page 213: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

S 201

2. Tentukan di mana 4(�) = #@- − -#!

F naik dan turun,

Petunjuk Pengerjaan: Petunjuk Pengerjaan: Petunjuk Pengerjaan: Petunjuk Pengerjaan: tentukan f ’ (x), kemudian tentukan penyelesaian untuk f ‘(x) < 0 dan

f’(x) > 0. Penyelesaian yang pertama adalah jawaban untuk fungsi turun dan penyelesaian

kedua adalah untuk fungsi naik.

EKSTRIM LOKALEKSTRIM LOKALEKSTRIM LOKALEKSTRIM LOKAL.... Perhatikan ilustrasi pada gambar berikut:

Page 214: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

202

Apa yang dapat Anda simpulkan tentang ekstrim global dan ekstrim lokal?

Seperti pada masalah ekstrim global, calon ekstrim lokal adalah titik-titik kritis.

PENGUJIAN EKSTRIM LOKALPENGUJIAN EKSTRIM LOKALPENGUJIAN EKSTRIM LOKALPENGUJIAN EKSTRIM LOKAL Ilustrasi gambar berikut memberikan beberapa konsep

perubahan kemiringan garis singgung

Perhatikan masing-masing sketsa grafik pada Gambar 4.11, adanya perubahan tanda

kemiringan garis singgung memberikan informasi bahwa terdapat ekstrim di x = c. Jika

tidak ada perubahan kemiringan garis singgung, memberikan arti bahwa x = c bukan

Page 215: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

S 203

ekstrim. Oleh karena kemiringan garis singgung merupakan turunan pertama maka dapat

disimpulkan

1) Jika tanda f’(x) berubah dari positif ke negatif di sekitar c maka c merupakan titik yang

memberikan nilai _____________ (Gambar 4.8(i))

2) Jika tanda f’(x) berubah dari negatif ke positif di sekitar c maka c merupakan titik yang

memberikan nilai _____________ (Gambar 4.8(ii))

3) Jika tanda f’(x) di kiri dan kanan c sama dan tidak sama dengan nol maka maka c

bukan _____________ (Gambar 4.8(iii))

Contoh 4.7Contoh 4.7Contoh 4.7Contoh 4.7 Diberikan f(x) = x3 - 6x2 + 9x + 1, tentukan ekstrim lokal dari f dengan

menggunakan uji turunan pertama. Tentukan di mana ekstrim lokal terjadi, demikian juga

selang di mana f naik dan f turun. Sketsalah grafik f.

Penyelesaian, turunan pertama f adalah

f’(x) = 3x2 – 12x + 9 = (3x -3)(x -3)

Oleh karena itu titik stasionernya adalah x = 1 dan x = 3. Tinjaulah titik-titik pada selang

itu, kita tampilkan hasil tinjauan itu pada Tabel 4.1 berikut:

Tabel 4.1Tabel 4.1Tabel 4.1Tabel 4.1

f(x) f’(x) f(x) f’(x) f(x) f’(x) f(x) f’(x) KKKKesimpulanesimpulanesimpulanesimpulan

x < 1 + f naik

x = 1 5 0 f mempunyai nilai maksimum lokal

1 < x < 3 - f turun

x = 3 1 0 f mempunyai nilai minimum lokal

x > 3 + f naik

Jadi ekstrim lokal yakni nilai maksimum f(1) = 5,

dan nilai minimum adalah f(3) = 1. Fungsi turun

pada 1 < x < 3 , dan naik pada x < 1 atau x > 3.

Grafik f diberikan pada Gmbar 4.12:

Page 216: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

204

ContohContohContohContoh 4.84.84.84.8.... Diberikan fungsi

(�) = ��2 − 4 jika � < 38 − � jika � ≥ 3� . Tentukan ekstrim lokal dari f dengan menggunakan uji turunan pertama. Tentukan nilai-

nilai x di mana ekstrim lokal terjadi, demikian juga selang di mana f naik dan turun.

Sketsalah grafiknya.

Penyelesaian. Jika x < 3, f’(x) = 2x dan jika x > 3, f’(x) = -1. Karena f’-(3) = 6 dan f’+(3) = -1

maka x = 3 titik kritis (yang merupakan titik singular). Karena f’(x) = 0 untuk x = 0 maka x

= 0 juga titik kritis (yang merupakan titik stasioner). Dengan menggunakan uji turunan

pertama, dapat disimpukan hasilnya pada Tabel 4.2 berikut

Tabel 4.2Tabel 4.2Tabel 4.2Tabel 4.2

f(x) f’(x) f(x) f’(x) f(x) f’(x) f(x) f’(x) KesimpKesimpKesimpKesimpuuuulanlanlanlan

x < 0 - f turun

x = 0 -4 0 f mempunyai nilai minimum lokal

0 < x < 3 + f naik

x = 3 5 tidak ada f mempunyai nilai maksimum lokal

x > 3 - f turun

Jadi ekstrim lokal yakni nilai maksimum f(3)

= 5, dan nilai minimum adalah f(0) = -4. Fungsi

turun pada x < 0 atau x > 3 , dan naik pada 0<

x < 3. Grafik f adalah sebagai berikut:

y

Gambar 4.13

x83

-4

5

Page 217: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

S 205

Kesimpulan. Kesimpulan. Kesimpulan. Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini

LATIHAN LATIHAN LATIHAN LATIHAN TERBIMBINGTERBIMBINGTERBIMBINGTERBIMBING 4.4.4.4.4444

Diberikan fungsi

(�) = G (� + 9)� − 8 jika � < −7−I25 − (� + 4)� jika − 7 ≤ � < 0(� − 2)� − 7 jika � > 0 � . Tentukan ekstrim lokal dari f dengan menggunakan uji turunan pertama. Tentukan nilai-

nilai x di mana ekstrim lokal terjadi, demikian juga selang di mana f naik dan turun.

Sketsalah grafiknya.

Petunjuk pengerjaan. Petunjuk pengerjaan. Petunjuk pengerjaan. Petunjuk pengerjaan. Tentukan f ‘ (x). Tentukan titik ekstrim dengan menggunakan f ‘ (x) =

0 atau di f ‘ (x) tidak ada. Carilah penyelesaian f ‘ (x) > 0 untuk mengetahui selang f naik,

dan f ‘ (x) < 0 untuk mengetahui selang f turun.

Page 218: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

206

LATIHAN MANDIRI 4.3LATIHAN MANDIRI 4.3LATIHAN MANDIRI 4.3LATIHAN MANDIRI 4.3

Dalam latihan nomor 1 sampai dengan 8, (a) Tentukan ekstrim lokal dari f dengan

menggunakan uji turunan pertama. (b) Tentukan nilai-nilai x di mana ekstrim lokal

terjadi, (c) selang di mana f naik (d) selang f turun, (e) sketsa grafiknya.

1. f(x) = x2 – 4x -1 5. f(x) = x5 – 5x3 -20x -2

2. f(x) = x3- x2 – x 6. (�) = GJ25 − (� + 7)2 jika − 12 ≤ � < −312 − �� jika � ≥ −3 � 3. f(x) =

�-x4 – x3 + x2 7. (�) = G 3� + 5 jika � < −1�� + 1 jika − 1 ≤ � < 2 7 − � jika � ≥ 2 � 4. f(x) = 4 sin

��x 8. f(x) = x + ��2

PENYELESAIAN

1. f(x) = x2 – 4x -1

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

2. f(x) = x3- x2 – x

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

Page 219: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

S 207

3. f(x) = �-x4 – x3 + x2

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

4. f(x) = 4 sin��x

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

5. f(x) = x5 – 5x3 -20x -2

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 220: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

208

6. (�) = GJ25 − (� + 7)2 jika − 12 ≤ � < 312 − �� jika � ≥ 3 � …………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

7. (�) = G 3� + 5 jika � < −1�� + 1 jika − 1 ≤ � < 2 7 − � jika � ≥ 2 �

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

Page 221: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

S 209

8. f(x) = x + ��2

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

9. Tentukan a dan b sehingga fungsi yang didefinisikan oleh f(x) = x3 + ax2 + b

mempunyai ekstrim lokal di (2,3).

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

Page 222: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

210

10. Diberikan fungsi f yang kontinu untuk semua x, f(3) = 2, f’(x) < 0 untuk x < 3 dan

f’(x) > 0 untuk x > 3. Sketsa grafik f untuk setiap kasus berikut:

a. f' kontinu di x = 3

b. f’(x) = -1 untuk x < 3 dan f’(x) = 1 untuk x > 3.

c. lim#→N 6(�) = −1, lim#→O 6(�) = 1, dan f’(a) ≠ f’(b) jika a ≠ b.

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

4.44.44.44.4 Kecekungan dan Titik BelokKecekungan dan Titik BelokKecekungan dan Titik BelokKecekungan dan Titik Belok

Suatu fungsi mungkin menaik tetapi mempunyai grafik yang sangat bergoyang

(Gambar 4.14)

Untuk menganalisis goyangan Anda perlu

mempelajari bagaimana garis singgung berbelok.

Jika garis singgung berbelok secara tetap dalam

arah berlawanan arah putaran jarum jam dapat

dikatakan grafik cekung ke atas, jika garis

singgung berbelok searah putaran jarum jam

maka grafik cekung ke bawah. Secara formal dapat

didefinisikan sebagai berikut:

Page 223: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

S 211

Misalkan f terdiferensialkan pada interval terbuka I. Kita katakana bahwa f Cekung ke atas Cekung ke atas Cekung ke atas Cekung ke atas

pada I jika f’ menaik dan kita katakana cekung ke bawahcekung ke bawahcekung ke bawahcekung ke bawah pada I jika f’ menurun pada I.

Definisi kecekungan ini berkaitan dengan turunan pertama dari f’ atau turunan

kedua dari f. Fungsi f’ naik jika ______________, dan f’(x) turun jika ________________

Agar lebih jelas perhatikan gambar 4.15:

Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa:

Misalkan f fungsi yang terdiferensialkan pada interval I yang memuat c maka:

1. f disebut cekung ke atas bila f’ monoton naik, atau dapat dikatakan grafik cekung ke

atas di (c,f(c)) jika ___________________

2. f disebut cekung ke bawah bila f’ monoton turun, atau dapat dikatakana grafik cekung

ke bawah di (c,f(c)) jika _____________________.

3. Titik c disebut titik balik/belok jika terjadi perubahan kecekungan di kiri dan kanan c.

ContohContohContohContoh 4.9 4.9 4.9 4.9 Diketahui f(x) = x3 – 3x2 + 7x - 3. Tentukan titik belok, titik di mana grafik

cekung ke atas dan bawah. Gambarkan sketsa grafiknya.

Penyelesaian

′ (x) = 3x2 – 6x + 7 ′′(x) = 6x - 6 ′′(x) ada di setiap x. Jadi kemungkinan titik belok hanya di ′′(x) = 0

6x - 6 = 0

x = 1

Titik balik

Cekung ke bawah Cekung ke atas Cekung

ke bawah

Cekung

ke atas

Gambar 4.15

Page 224: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

212

Untuk menentukan apakah titik belok terdapat di x = 1 kita periksa apakah 66 berganti

tanda. Kecekungan pada masing-masing selang. Hasilnya disimpulkan dalam Tabel 4.3

Tabel 4.3Tabel 4.3Tabel 4.3Tabel 4.3

f(x) f(x) f(x) f(x) Q6(R) Q66(R) KesimpKesimpKesimpKesimpuuuulanlanlanlan

x < 1 - f cekung ke bawah

x = 1 2 4 0 f mempunyai titik belok

x > 1 + f cekung ke atas

Perhatikan bahwa pada x = 1 ,

terjadi perubahan tanda ′′ di

sebelah kiri dan kanan 1 sehingga

titik belok terjadi di x = 1.

ContohContohContohContoh 4.104.104.104.10 Diketahui f(x) = x4 – 2x2. Tentukan titik belok, titik di mana grafik cekung

ke atas dan ke bawah. Sketsa grafiknya.

Penyelesaian

′ (x) = 4x3 – 4x ′′(x) = 12x2 - 4 ′′(x) ada di setiap x. Jadi kemungkinan titik belok hanya di ′′(x) = 0

12x2 – 4 = 0

x = ± � .3

Page 225: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

S 213

Untuk menentukan apakah titik belok terdapat di x = ± � .3 kita periksa apakah 66 berganti tanda, dan kecekungan pada masing-masing selang. Hasilnya disimpulkan dalam

Tabel 4.4

Tabel 4.4Tabel 4.4Tabel 4.4Tabel 4.4

f(x) f(x) f(x) f(x) Q6(R) Q66(R) KesimpKesimpKesimpKesimpuuuulanlanlanlan

x < − � .3 + f cekung ke atas

x =- � .3 − ?, − -, + - .3 0 f mempunyai titik belok

− � .3 < x < � .3 - f cekung ke bawah

x = � .3 − ?, − �, .3 0 f mempunyai titik belok

x > � .3 + f cekung ke atas

Jadi titik belok f terjadi di x = - � .3 dan x = � .3 , grafik f cekung ke atas x < − � .3 atau x

> � .3 dan cekung ke bawah pada selang − � .3 < x <

� .3

Kesimpulan. Kesimpulan. Kesimpulan. Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini

Page 226: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

214

LATIHAN LATIHAN LATIHAN LATIHAN TERBIMBINGTERBIMBINGTERBIMBINGTERBIMBING 4.54.54.54.5

Diketahui (�) = (2� − 6)! + 1 Tentukan titik belok, titik di mana grafik cekung ke atas

dan ke bawah. Sketsa grafiknya.

Petunjuk Pengerjaan. Petunjuk Pengerjaan. Petunjuk Pengerjaan. Petunjuk Pengerjaan. Tentukan ′(�) dan ′′(�). Tentukan titik belok dengan mencari nilai

x yang memenuhi 66(�) = 0 atau 66(�) tidak ada.

LATIHANLATIHANLATIHANLATIHAN MANDIRI 4.4MANDIRI 4.4MANDIRI 4.4MANDIRI 4.4

Dalam latihan nomor 1 sampai dengan 4, Tentukan titik belok, titik di mana grafik cekung

ke atas dan cekung ke bawah. Sketsa grafiknya

1. f(x) = x3 + 9x 3. f(x) = x4 – 8x3

2 f(x) = x3 – 3x2 + 7x – 3 4. (�) = T x2 jika � ≤ 0−�� jika � > 0� Penyelesaian:

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 227: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

S 215

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 228: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

216

5. Jika f(x) = ax3 + bx2 + cx + d maka tentukan a, b, c, dan d sehingga f mempunyai ekstrim

lokal di (0,3) dan grafik f mempunyai titik belok di (1,-1).

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

6 Gambarkan sketsa dari grafik suatu fungsi f di mana f(x), f’(x) dan f’’(x) ada dan positif

untuk semua x.

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 229: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

S 217

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

7. Sketsa dari grafik suatu fungsi f di mana f(x), f’(x) dan f’’(x) ada dan negatif untuk

semua x.

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 230: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

218

4.54.54.54.5 Uji Turunan Kedua untuk Ekstrim LokalUji Turunan Kedua untuk Ekstrim LokalUji Turunan Kedua untuk Ekstrim LokalUji Turunan Kedua untuk Ekstrim Lokal

Pada bagian 4.3 Anda telah mempelajari bagaimana menentukan apakah suatu

fungsi mempunyai maksimum lokal atau minimum lokal di titik kritis c dengan memeriksa

tanda f’ di sebelah kiri dan kanan c. Pada bagian ini Anda akan diperkenalkan dengan cara

lain untuk menemukan maksimum dan minimum lokal. Anda terlebih dahulu diajak untuk

membahas secara geometris .

Misalkan f suatu fungsi sehingga f’ dan f’’

ada dalam suatu selang terbuka (a,b) yang memuat c

dengan f’(c) = 0. Misalkan f’’ negatif pada (a,b) .

Karena f’’ < 0 maka f’ turun pada [a,b]. Gambar 4.14

memberikan ilustrasi untuk f yang memenuhi sifat-

sifat ini

Grafik f cekung ke bawah di semua titik pada Gambar

4.14. Perhatikan bahwa kemiringan garis singgung naik

pada [a,b]. Jadi dapat disimpulkan bahwa f mempunyai

nilai maksimum lokal di c dimana f’(c) = 0 dan f’’ < 0.

Selanjutnya erhatikan Gambar 4.15

Grafik pada Gambar 4.15 sama halnya dengan grafik

pada Gambar 4.14, kecuali f’’ >0 pada (a,b). Ini

berarti f’ naik pada [a,b]. Perhatikan bahwa grafik

cekung ke atas pada semua titik. Jadi fungsi f

mempunyai minimum lokal di c dimana f’(c) = 0 dan f’’

> 0.

Dari dua ilustrasi ini dapat disimpulkan:

Misalkan c suatu titik kritis dari fungsi f di mana f’(c) =

0 dan f’ ada untuk semua nilai x pada suatu interval

terbuka yang memuat c. Bila f’ (c) ada dan

(i) Jika f’’(c) < 0 maka f mempunyai nilai _____________ di c.

(ii) Jika f’’(c) > 0 maka f mempunyai nilai _____________ di c.

c,f(c)

a c b

Gambar 4.14

a c b

c,f(c)

Gambar 4.15

Page 231: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

S 219

ContohContohContohContoh 4.11 4.11 4.11 4.11 Diberikan fungsi f(x) = x4 – -x3 - 4x2. Tentukan maksimum dan minimum dari

f dengan menggunakan uji turunan kedua.

Penyelesaian

′(x) = 4x3 – 4x2 – 8x ′′(x) = 12x2 – 8x – 8

Ambil ′(x) = 0 untuk menentukan titik kritis

4x3 – 4x2 – 8x = 0

4x(x + 2) (x-1) = 0

x = 0, x = -2, x =1

Sekarang tentukan apakah terjadi ekstrim lokal pada titik-titik kritis itu dengan menentukan

tanda turunan kedua di titik-titik kritis itu. Hasilnya ditampilkan pada tabel berikut

Tabel 4.5Tabel 4.5Tabel 4.5Tabel 4.5

f(x) f(x) f(x) f(x) Q6(R) Q66(R) KesimpKesimpKesimpKesimpuuuulanlanlanlan

x = -2 − � 0 + f mempunyai nilai minimum lokal

x = 0 0 0 - f mempunyai nilai maksimum lokal

x = 1 − ? 0 + f mempunyai nilai minimum lokal

Jadi nilai maksimum lokal f adalah f(0) = 0 dan nilai minimum lokal adalah f(-2) = − �

dan f(1) = − ?

ContohContohContohContoh 4.12 4.12 4.12 4.12 Diberikan fungsi f(x) = � ! − 2�A! . Tentukan maksimum dan minimum dari f

dengan menggunakan uji turunan kedua apabila memungkinkan. Gunakan turunan kedua

untuk menentukan titik belok grafik f, dan tentukan di mana grafik cekung ke atas dan

cekung ke bawah. Sketsa grafiknya.

Penyelesaian

6(�) = � �$A! − � �$ ! 66(�) = − �, �$@! + -, �$"!

Karena 6 tidak ada pada x = 0 maka x = 0 merupakan titik kritis dari f. Titik kritis yang

lain dapat ditentukan pada 6(�) = 0

� �$A! − � �$ ! = 0

Page 232: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

220

� �$ ! �2�A! − 2� = 0

�2�A! − 2� = 0

x = 1

Jadi x = 0 dan x = 1 merupakan titik kritis. Untuk menentukan titik belok

Ambillah pada 66(�) tidak ada atau pada 66(�) = 0 . Karena 66(0) tidak ada maka x = 0

merupakan salah satu kemungkinan titik belok, Selanjutnya

− 29 �$- + 49 �$? = 0

− 29�- + 4

9�? = 0

−2�� + 49�? = 0

−2�� + 4 = 0

�� = 2 � = 8

Untuk menentukan apakah terdapat titik-titik belok di titik x = 0 dan x = 8 kita memeriksa

apakah ′′ berganti tanda dan sekaligus kita dapat memeriksa kecekungan. Tabel 4.6

memberikan hasil itu.

Tabel 4.6Tabel 4.6Tabel 4.6Tabel 4.6

f(x) f(x) f(x) f(x) Q6(R) Q66(R) KesimpKesimpKesimpKesimpuuuulanlanlanlan

x < 0 - - f turun; grafik cekung ke bawah

x = 0 0 tidak ada tidak ada f tidak mempunyai nilai ekstrim lokal;

f mempunyai titik belok.

0 < x <1 - + f turun; grafik cekung ke atas

x = 1 -1 0 + f mempunyai nilai minimum lokal; grafik cekung atas

1 < x < 8 + + f naik; grafik cekung atas

x= 8 0 �F 0 f naik; grafik mempunyai titik belok

x > 8 + - f naik; grafik cekung ke bawah

Page 233: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

S 221

Jadi f mempunyai nila minimum lokal f(1) = -1, grafik cekung ke atas pada selang 0 < x <

8, cekung ke bawah pada x < 0 atau x > 8. Dari informasi pada Tabel 4.5 kita dapat

mensketsa grafik f seperti gambar 4.16

Kesimpulan. Kesimpulan. Kesimpulan. Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini

LATIHAN TERBIMBING 4.6LATIHAN TERBIMBING 4.6LATIHAN TERBIMBING 4.6LATIHAN TERBIMBING 4.6

Diberikan fungsi f(x) = � I8 − �2. Tentukan maksimum dan minimum dari f dengan

menggunakan uji turunan kedua apabila memungkinkan. Gunakan turunan kedua untuk

menentukan titik belok grafik f, dan tentukan di mana grafik cekung ke atas dan cekung ke

bawah. Gambarkan sketsa grafiknya.

Petunjuk Pengerjaan. Petunjuk Pengerjaan. Petunjuk Pengerjaan. Petunjuk Pengerjaan. Tentukan 6(�), 66(�) kemudian gunakan 6(�) = 0 untuk

menetukan titik kritis, gunakan uji turunan kedua untuk menentukan titik kritis yang

memberikan maksimum atau minimum. Tentukan titik belok dengan menggunakan 66(�) = 0.

5

8x

y

Gambar 4.16

O

Page 234: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

222

LATIHAN MANDIRI 4.5LATIHAN MANDIRI 4.5LATIHAN MANDIRI 4.5LATIHAN MANDIRI 4.5

Untuk setiap fungsi f berikut. Tentukan ekstrim lokal dengan menggunakan uji turunan

kedua apabila memungkinkan. Gunakan turunan kedua untuk menentukan titik belok

grafik f, dan tentukan di mana grafik cekung ke atas dan cekung ke bawah. Gambarkan

sketsa grafik

1. f(x) = 3x2 – 2x + 1 4. f(x) = cos 3x

2. f(x) = -4x3 + 3x2 + 18x 5. f(x) = x.� + 3

3. f(x) = (4-x)4 6. f(x) = 6� A! − � !

Page 235: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

S 223

JAWAB:

1. f(x) = 3x2 – 2x + 1

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

2. f(x) = -4x3 + 3x2 + 18x

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

3. f(x) = (4-x)4

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

Page 236: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

224

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

4. f(x) = cos 3x

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

5. f(x) = x.� + 3

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 237: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

S 225

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

6. f(x) = 6� A! − � !

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

4.64.64.64.6 Asimtot GrafikAsimtot GrafikAsimtot GrafikAsimtot Grafik

Untuk membantu kita menggambar sketsa grafik perlu diketahui asimtot-asimtot,

asimtot yang dimaksud adalah asimtot tegak, asimtot datar dan asimtot miring. Sebelum

membahas asimtot-asimtot ini, terlebih dahulu ingatlah kembali tentang limit tak hingga

dan limit di ketakhinggan. Misalnya

1. lim�→∞ �#%� (limit di tak hingga)

2. lim�→0 �#V = +∞ (limit tak hingga)

Page 238: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

226

Pada Bab 2 Anda sudah mempelajari mengenai dua limit ini, Anda tentu sudah

memahaminya. Untuk mendefinisikan asimtot-asimtot yang dimiliki suatu grafik fungsi

kita memerlukan pemahaman mengenai limit di tak hingga dan limit tak hingga.

ASIMTOT TEGAKASIMTOT TEGAKASIMTOT TEGAKASIMTOT TEGAK. Asimtot tegak berhubungan dengan nilai limit tak hingga, sebagai

Ilustrasi perhatikan Gambar 4.17 berikut:

+∞=+→

)(lim xfax

+∞=−→

)(lim xfax

−∞=−→

)(lim xfax

−∞=+→

)(lim xfax

Garis x = a merupakan asimtot tegak dari grafik f. Perhatikan bahwa pada setiap grafik itu

nilai dari limitnya tak hingga. Jadi dapat disimpulkan:

Garis x = a dikatakan asimtot tegakasimtot tegakasimtot tegakasimtot tegak dari grafik fungsi f apabila sekurang-kurangnya satu

dari 4 pernyataan limit berikut berlaku

Page 239: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

S 227

ASIMTOT DATARASIMTOT DATARASIMTOT DATARASIMTOT DATAR. Asimtot datar berhubungan dengan nilai limit di tak hingga, sebagai

Ilustrasi perhatikan Gambar 4.18 berikut:

bxfx

=+∞→

)(lim bxfx

=+∞→

)(lim bxfx

=−∞→

)(lim bxfx

=−∞→

)(lim

Gambar 4.18 memperlihatkan bagian dari grafik fungsi di mana garis y = b merupakan

asimtot datar. Perhatikan masing-masing nilai limit yang diberikan . Apa yang dapat Anda

simpulkan?

ASIMTOT MIRINGASIMTOT MIRINGASIMTOT MIRINGASIMTOT MIRING. Grafik dari fungsi 8(#)W(#), dengan derajat f(x) lebih besar satu daripada

derajat g(x) mempunyai garis

y = mx + b.

sebagai asimtot miring jika

0)()(

)(lim =+−

+∞→bmx

xg

xf

x

Page 240: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

228

ContohContohContohContoh 4.134.134.134.13 Tentukan asimtot tegak dari grafik fungsi f yang didefinisikan oleh

(�) = �I�2 + 1

dan Sketsalah grafiknya.

Penyelesaian

Pertama tinjau

101

1

11

lim1

lim1

lim)(lim

222

22=

+=

+

=

+

=+

=∞→∞→∞→∞→

x

x

x

xx

x

x

x

x

xxf

xxxx

dan

101

1

11

lim1

lim1

lim)(lim

222

22−=

+

−=

+

−=

+

=+

=−∞→−∞→−∞→−∞→

x

x

x

xx

x

x

x

x

xxf

xxxx

Jadi garis y = 1 dan y = -1 adalah asimtot datar. Skets dari grafik diberikan dalam Gambar

4.19

ContohContohContohContoh 4.144.144.144.14 Tentukan asimtot tegak dan datar untuk grafik fungsi dengan persamaan

xy2 – 2y2 – 4x = 0, dan Sketsa grafiknya.

Penyelesaian

Selesaikan persamaan xy2 – 2y2 – 4x = 0, untuk y diperoleh

y2(x – 2) = 4x atau / = ±J -##$� = ± 2J ##$�

Page 241: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

S 229

Jadi ada dua fungsi, yaitu � = 2J ##$� dan � = −2J ##$�.

Perhatikan bahwa

22

1

12lim

22lim)(lim 1 =

=−

=∞→∞→∞→

x

x

xxf

xxx

dan

22

1

12lim

22lim)(lim 2 −=

−=−

−=∞→∞→∞→

x

x

xxf

xxx

Jadi garis y = 2 dan y = -2 merupakan asimtot datar dari f

Selanjutnya

∞=−

=++ →→ 22lim)(lim

21

2 x

xxf

xxdan −∞=

−−=

++ →→ 22lim)(lim

22

2 x

xxf

xx

Jadi garis x = 2 merupakan asimtot tegak dari f. Grafik f diberikan oleh Gambar 4.20

ContohContohContohContoh 4.15 4.15 4.15 4.15 Tentukan asimtot tegak dan datar untuk grafik fungsi dengan persamaan

(�) = �#$�# �2$- ,

dan sketsa grafiknya.

Page 242: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

230

PenyelesaianPenyelesaianPenyelesaianPenyelesaian

Pertama tinjau

201

20

41

28

lim4

28lim)(lim

2

2

2

2

−=−

−=

−=

−=

∞→∞→∞→

x

x

x

x

xxxf

xxx

Jadi garis y = -2 merupakan asimtot datar.

Selanjutnya perhatikan bahwa (�) = �#$�# �2$- = �#(-$#)(#$�)(#%�) Tinjau keempat limit, yaitu

+∞=+−

−=

++ →→ )2)(2(

)4(2lim)(lim22 xx

xxxf

xx dan −∞=

+−

−=

−→−→ )2)(2(

)4(2lim)(lim22 xx

xxxf

xx

+∞=+−

−=

++ −→−→ )2)(2(

)4(2lim)(lim

22 xx

xxxf

xx dan −∞=

+−

−=

−− −→−→ )2)(2(

)4(2lim)(lim

22 xx

xxxf

xx

Jadi garis x = 2 dan x = -2 merupakan asimtot tegak

Sketsa grafik f diberikan oleh Gambar 4.21

Page 243: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

S 231

ContohContohContohContoh 4.164.164.164.16 Tentukan asimtot-asimtotdari grafik fungsi f yang didefinisikan oleh

(�) = # %#%� ,

dan sketsalah grafiknya.

PenyelesaianPenyelesaianPenyelesaianPenyelesaian

Karena +∞=+

+=

++ −→−→ 1

3lim)(lim

2

11 x

xxf

xx dan −∞=

+

+=

+− −→−→ 1

3lim)(lim

2

11 x

xxf

xx

Jadi garis x = -1 merupakan asimtot tegak. Tidak ada asimtot datar. Karena derajat

pembilang lebih besar satu derajat penyebut maka

1

41

1

3)(

2

++−=

+

+=

xx

x

xxf

Jadi garis y = x -1 adalah asimtot miring. Untuk menggambar sketsa dari grafik f

kita periksa apakah terdapat garis-garis singgung horizontal,

2

22

)1(

32

1

)3()1(2)('

+

−+=

+

+−+=

x

xx

x

xxxxf

Dengan mengambil f ‘ (x) = 0 diperoleh (x+3)(x-1) = 0 yang dipenuhi oleh x = -3

dan x = 1. Jadi terdapat garis-garis singgung di titik (-3, -6) dan (1, 2). Grafik f

diberikan oleh Gambar 4. 22

y

x-1

o

G a m b a r 4 .2 2

-2-3

Page 244: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

232

Kesimpulan. Kesimpulan. Kesimpulan. Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini

LATIHAN LATIHAN LATIHAN LATIHAN TERBIMBINGTERBIMBINGTERBIMBINGTERBIMBING 4.74.74.74.7

Tentukan asimtot-asimtot yang dimiliki oleh grafik fungsi (�) = # #$�

Petunjuk Pengerjaan. Petunjuk Pengerjaan. Petunjuk Pengerjaan. Petunjuk Pengerjaan. Perhatikan f. pangkat pembilang lebih rendah satu dari pangkat

pembilang sehingga f mempunyai asimtot miring. Selanjutnya pada x = 1, f tidak

terdefinisi.

Page 245: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

S 233

LATIHAN MANDIRI 4.6LATIHAN MANDIRI 4.6LATIHAN MANDIRI 4.6LATIHAN MANDIRI 4.6

Dari atihan berikut tentukan asimtot datar, asimtot tegak dan asimtot miring jika ada

1. (�) = �#%�#$ 4. x2y + 2x2 – y- 2 = 0

2. (�) = -# I�2$� 5. (�) = # $-#

3. 3xy-2x – 4y – 3 = 0 6. (�) = # $#%�#%-

1. (�) = �#%�#$

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

2. ((�) = -# I�2$�

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

Page 246: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

234

3. 3xy-2x – 4y – 3 = 0

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

4. 2xy2 + 4y2 -3x = 0

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 247: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

S 235

5. (�) = # $-#

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

6. (�) = # $#%�#%-

yelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 248: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

236

4.74.74.74.7 Aplikasi Untuk Menggambar sketsa GrafikAplikasi Untuk Menggambar sketsa GrafikAplikasi Untuk Menggambar sketsa GrafikAplikasi Untuk Menggambar sketsa Grafik

Menggambar grafik persamaan pada bagian 1.5 adalah sederhana. Jika persamaan

yang harus digambar grafiknya cukup rumit atau jika ingin membuat grafik yang sangat

cermat, teknik-teknik Kalkulus dapat membantu Anda untuk menganalisis struktur grafik

secara baik, khususnya untuk mengenali titik-titik tempat terjadinya perubahan ciri-ciri

grafik. Kita dapat melokalisasikan titik-titik maksimum lokal, titik-titik minimum lokal, dan

titik belok, kita dapat mengetahui secara persis tempat grafik menaik/ menurun atau tempat

cekung ke bawah/ cekung ke atas.

Analisis struktur grafik ini telah Anda pelajari pada subbab 4.1 sampai subbab 4.6.

Sifat-sifat itu akan kita terapkan untuk memperoleh sketsa dari grafik suatu fungsi f, dengan

langkah-langkah sebagai berikut:

1. Tentukan daerah asal f

2. Tentukan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat, yakni titik yang memenuhi

_____________________________________________________

3. Uji kesimetrian terhadap sumbu-y. yakni dengan menguji apakah f merupakan fungsi

genap, yaitu dengan memeriksa apakah ________________

4. Hitung f’ (x) dan f’’(x)

5. Tentukan titik-titik kritis, yang dapat kita tentukan melalui

________________________________.

6. Terapkan uji turunan pertama atau uji turunan kedua untuk menentukan ekstrim lokal.

Atau tidak ada sama sekali di titik kritis.

7. Tentukan selang-selang-selang f naik dan turun, yakni dengan mencari selang-selang

yang memenuhi _______________________________________

8. Tentukan titik belok, yang diperoleh dari ______________________________

9. Periksa kecekungan, yaitu jika ___________________________________

10. Periksa apakah terdapat asimtot tegak, datar atau miring.

ContohContohContohContoh 4.174.174.174.17 Sketsalah grafik (�) = #"$�X#!�

Penyelesaian

Diperiksa satu persatu

Page 249: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

S 237

1. Karena f terdefinisi pada seluruh bilangan riil, maka daerah asal f adalah R

2. Titik potong dengan sumbu-x terjadi jika f(x) = 0. Jadi diperoleh x = 0, x = ±J�X , dan

titik potong dengan sumbu-y terjadi jika x = 0, jadi diperoleh y = 0. Sehingga dapat

disimpulkan titik-titik potong dengan sumbu koordinat adalah (0,0), YJ�X , 0Z dan

Y−J�X , 0Z.

3. (−�) = $#"%�X#!� = − #"$�X#!

� = −(�). Ini berarti f merupakan fungsi ganjil, oleh

karena itu f simetris terhadap titik asal.

4. Cari turunan pertama dan kedua

6(�) = �?#@$FX# � = �?# (#%�)(#$�)� dan 6′(�) = FX#!$��X#� = FX#B#%.�C(#$.�)�

5. Titik-titik kritis ditentukan dengan 6(�) = 0, jadi titik kritis adalah x = 0, x = -2 dan x

= 2. Titik-titik belok ditentukan dengan 6′(�) = 0

Langkah 6, 7, 8 dan 9 dapat kita simpulkan pada Tabel 4.7 dan Tabel 4.8.

Tabel 4.7Tabel 4.7Tabel 4.7Tabel 4.7

f(x) f(x) f(x) f(x) Q6(R) KesimpKesimpKesimpKesimpuuuulanlanlanlan

x < -2 + f naik

x = -2 2 0 f mempunyai nilai maksimum lokal

-2 < x <0 - f turun

x = 0 0 0 f tidak mempunyai nilai ektrim lokal

0 < x < 2 - f turun

x = 2 -2 0 f grafik mempunyai minimum lokal

x > 2 + f naik

Tabel 4.8Tabel 4.8Tabel 4.8Tabel 4.8

Q6′(R) KesimpKesimpKesimpKesimpuuuulanlanlanlan

x < −.2 - f cekung ke bawah

x = −.2 0 f mempunyai titik belok −.2 < x <0 + f cekung ke atas

x = 0 0 f mempunyai titik belok

0 < x < .2 - f cekung ke bawah

x = .2 0 f mempunyai titik belok

x > .2 + f cekung ke atas

Page 250: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

238

Grafik f diberikan oleh Gambar 4.23

Contoh Contoh Contoh Contoh 4.18 4.18 4.18 4.18 Gambarlah grafik (�) = # �2$-

Penyelesaian

1. f terdefinisi pada seluruh bilangan riil kecuali x = -2 dan x = 2

2. Titik potong dengan sumbu-x terjadi jika f(x) = 0. Jadi diperoleh x = 0, dan titik potong

dengan sumbu-y terjadi jika x = 0, jadi diperoleh y = 0. Sehingga dapat disimpulkan

titik-titik potong dengan sumbu koordinat adalah (0,0),

3. (−�) = ($#) ($#) $- = # �2$- = (�). Ini berarti f merupakan fungsi genap, oleh karena itu

f simetris terhadap sumbu y.

4. Cari turunan pertama dan kedua

6(�) = �#B�2$-C$�#(�2)(�2$-) = $�#(�2$-) dan 6′(�) = $�((�2$-) $�(�2$-)�#($�#)(�2$-)@ = �-�2%�(�2$-)@

5. Titik-titik kritis ditentukan dengan 6(�) = 0, jadi titik kritis adalah x = 0, Titik-titik

belok ditentukan dengan 6′(�) = 0 atau 6′(�) tidak ada, sehingga dipenuhi oleh x = -

2 dan x = 2

Langkah 6, 7, 8 dan 9 dapat kita simpulkan pada Tabel 4.9 dan Tabel 4.10. Sedangkan

Langkah 10 ditentukan dengan memperhatikan

(i) 14

lim)(lim2

2

=−

=∞→∞→ x

xxf

xx

(ii) −∞=−

=++ −→−→ 4

lim)(lim2

2

22 x

xxf

xx

(iii) −∞=−

=++ →→ 4

lim)(lim2

2

22 x

xxf

xx

Jadi garis y = 1 merupakan asimtot datar, dan x = -2 dan x = 2 merupakan asimtot tegak.

Page 251: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

S 239

Tabel 4.9Tabel 4.9Tabel 4.9Tabel 4.9

f(x) f(x) f(x) f(x) Q6(R) KesimpKesimpKesimpKesimpuuuulanlanlanlan

x < 0 + f naik

x = 0 0 0 f mempunyai nilai maksimum lokal

x > 0 - f turun

Tabel 4.10Tabel 4.10Tabel 4.10Tabel 4.10

Q6′(R) KesimpKesimpKesimpKesimpuuuulanlanlanlan

x < -2 + f cekung ke atas

x = -2 tidak ada f mempunyai titik belok

-2 < x < 2 - f cekung ke bawah

x = 2 tidak ada f mempunyai titik belok

x > 2 + f cekung ke atas

Skets grafik diberikan oleh Gambar 4.24

Page 252: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

240

LATIHAN TERBIMBINGLATIHAN TERBIMBINGLATIHAN TERBIMBINGLATIHAN TERBIMBING 4.74.74.74.7

1. Sketsalah grafik (�) = .# (#$?) -

Petunjuk Pengerjaan. Petunjuk Pengerjaan. Petunjuk Pengerjaan. Petunjuk Pengerjaan. Ikuti langkah-langkah pengerjaan yang dibicarakan pada subbab 4. 7

Page 253: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

S 241

2. Sketsalah grafik (�) = 5� ! − �"!

Petunjuk Pengerjaan. Petunjuk Pengerjaan. Petunjuk Pengerjaan. Petunjuk Pengerjaan. Ikuti langkah-langkah pengerjaan yang dibicarakan pada subbab 4.7

Page 254: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

242

LATIHAN MANDIRI 4.7LATIHAN MANDIRI 4.7LATIHAN MANDIRI 4.7LATIHAN MANDIRI 4.7

Untuk setiap fungsi f berikut, sketsalah grafiknya. Buat analisis seperti yang disarankan

pada bagian ini.

1. f(x) = 2x3 - 6x +1 6. (�) = # %�#$

2. f(x) = 3x4 + 2x3 7. (�) = �#�2%�

3. (�) = T �2 jika � < 02�2 jika � ≥ 0� 8. (�) = �2.4 − �

4. (�) = # #$� 9. f(x) = cos2x

5. (�) = # $-�2$, 10. (�) = �sin ��

Penyelesaian

6. f(x) = 2x3 - 6x +1

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 255: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

S 243

7. f(x) = 3x4 + 2x3

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

8. (�) = T �2 jika � < 02�2 jika � ≥ 0� Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 256: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

244

9. (�) = # #$�

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

10. (�) = # $-�2$,

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 257: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

S 245

11. (�) = # %�#$

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

12. (�) = �#�2%�

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 258: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

246

13. (�) = �2.4 − �

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

14. f(x) = cos2x

Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 259: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Penggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan TurunanPenggunaan Turunan

S 247

10. (�) = �sin �� Penyelesaian

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………...……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……...……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Page 260: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

REFERENSIREFERENSIREFERENSIREFERENSI

Dedy, Endang dkk, Common Text Book Kalkulus 1, Edisi revisi, JICA, Universitas

Pendidikan Bandung, Bandung, 2003

Leithol, Louis, Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik, Edisi Kelima jilid 1, Erlangga,

Jakarta, 1991

Varberg, D., Purcell, E.J dan Rigdon, S,E, Kalkulus, Edisi Kesembilan jilid 1,

Erlangga, Jakarta, 2008

Page 261: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

KUNCI JAWABAN KUNCI JAWABAN KUNCI JAWABAN KUNCI JAWABAN

LATIHAN MANDIRILATIHAN MANDIRILATIHAN MANDIRILATIHAN MANDIRI Latihan mandiri 1.1

3.3.3.3. aaaa. ����� bbbb.

����� cccc. �����

Latihan Mandiri 1.2Latihan Mandiri 1.2Latihan Mandiri 1.2Latihan Mandiri 1.2

1111. . . . x > -2. 2. 2. 2. 2. 2 ≤ x ≤ 8 3333. − �� < � ≤ �� 4. 4. 4. 4. � < −1 atau �� < � < 3 5. � ≤

atau x > 3 6. 6. 6. 6. −1 ≤ � ≤ �� 7. 7. 7. 7. � ≤ −1 − �2 atau � ≥ −1 + �2 8. 8. 8. 8. � ≤ −3 atau � ≥ ��

Latihan Mandiri 1.3Latihan Mandiri 1.3Latihan Mandiri 1.3Latihan Mandiri 1.3

1.1.1.1. 2��� + �� + 3� = �−3� − 3 jika � ≤ −3 −� + 3 jika − 3 < � < 03� + 3 jika � ≥ 0 � 2.2.2.2. ��� + �� + 1� − �2� + 6� = � −� − 7 jika x < −3 −5� − 7 jika − 3 ≤ � ≤ −1−2� − 5 jika − 1 < � ≤ 0 −5 jika x > 0 � 3.3.3.3. �2��� − ��� =

"#$#% 2� + �� jika x < −2 −2� − �� jika − 2 ≤ � ≤ 02� − �� jika 0 < � ≤ 2�� − 2� jika x > 2

4.4.4.4. −11 < � < 3 5. 5. 5. 5. x < 1 atau x > �� 6.6.6.6.-6 ≤ x ≤ 0 7. 7. 7. 7. � ≥ 0 8. 8. 8. 8. −1 ≤ � ≤ 2

9 9 9 9 x < -1 10. 10. 10. 10. 0 ≤ � ≤ �� 11. 11. 11. 11. � ≤ −4 atau − �� < � ≤ 0 atau � ≥ �� 12. 12. 12. 12. � < 0 atau � > ��

Latihan Mandiri 1.4Latihan Mandiri 1.4Latihan Mandiri 1.4Latihan Mandiri 1.4

5. 5. 5. 5. Q (1,2), R (-1,-2), S (1,2) 6. 6. 6. 6. Q (-2,-2), R (2,2), S (2,-,2) 7. 7. 7. 7. Q (-1,3), R (1,3), S (1,-3)

8. 8. 8. 8. Q(0,3), R (0,-3), S(0,3)

Page 262: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Latihan Mandiri 1.5Latihan Mandiri 1.5Latihan Mandiri 1.5Latihan Mandiri 1.5

1. 1. 1. 1.

11.11.11.11. a. y = 0, b. x = 0, c. xy = 0 12121212. a. x = 5 b. y = -4

Latihan Mandiri 1.6Latihan Mandiri 1.6Latihan Mandiri 1.6Latihan Mandiri 1.6

1. 1. 1. 1. �26 + 3 + �5 2. 2. 2. 2. (10,-4) 3. 3. 3. 3. (x-1)2 + (y-2)2 = 13 4.4.4.4.aaaa. r = 4, (3,4) bbbb. r = 2, ()�� , − ��+ 5. 5. 5. 5. aaaa. y

= 4x -11 bbbb. 8y + 7x -42 = 0 cccc. 5y-2x = 18 dddd. x = -3 eeee. y = -7 6.6.6.6.3y=-2x -7

Latihan Mandiri 1.7Latihan Mandiri 1.7Latihan Mandiri 1.7Latihan Mandiri 1.7

1. 1. 1. 1. aaaa. Fungsi bbbb. Fungsi cccc. Fungsi dddd. Tidak 2.2.2.2.aaaa. 5 bbbb. -5 cccc. -1 dddd. 2a +1 eeee. 2x2 -3 f. f. f. f. 4x –

1 3. 3. 3. 3. aaaa. 3 bbbb. -1 cccc. x dddd. ��,- eeee.

�- ffff. �-,. . 4.4.4.4.aaaa. / ≥ − �� bbbb. 0 ≤ −3 atau 0 ≥ 3 c. � ≠ �� dddd. � ≠ −2 dan � ≠ 3 eeee. R 5.5.5.5.aaaa. Genap bbbb. Tidak genap & tidak ganjil cccc. Ganjil

dddd. genap e.e.e.e. Genap ffff. Tidak genap & tidak ganjil gggg. Tidak genap & tidak

ganjil hhhh. Tidak genap & tidak ganjil

Latihan Mandiri 1.8Latihan Mandiri 1.8Latihan Mandiri 1.8Latihan Mandiri 1.8

1.1.1.1. x2 + x – 6 , Df+g = R 2.2.2.2. 2�(9 − �) - g(x) = �4 − ��, Df-g = [0,2]

3.3.3.3. -,�-(-6�), 789 = : − {0,1} 4. 4. 4. 4. fog(x) = �5 − ��, gof (x) = �3 − ��, fof (x) =��� + 2 ,

gog (x) = ���

Latihan Mandiri 1.9Latihan Mandiri 1.9Latihan Mandiri 1.9Latihan Mandiri 1.9

1.1.1.1. a. a. a. a. => b. b. b. b.

=? �? c. c. c. c. -1 d. d. d. d. => �>

-2 2

-2

5

2.5

y

5

5

y

x

2 5

-5

5

4

y

x

6

1

0.5

7 8 9 10

Page 263: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

Latihan Mandiri 2.1Latihan Mandiri 2.1Latihan Mandiri 2.1Latihan Mandiri 2.1

1. 1. 1. 1. @ ≤ A.AA=C

Latihan Mandiri 2.2Latihan Mandiri 2.2Latihan Mandiri 2.2Latihan Mandiri 2.2

1. 1. 1. 1. ==D 2222. E ���F

3.3.3.3.. �� 5.5.5.5. aaaa lim-→� J(�) = 3, f(2)=1

Latihan Mandiri 2.3Latihan Mandiri 2.3Latihan Mandiri 2.3Latihan Mandiri 2.3

1a. 1a. 1a. 1a. -3 b. b. b. b. 2 c. c. c. c. Tidak ada 2a.2a.2a.2a.4 b. b. b. b. 4 c. c. c. c. 4 3333. a.a.a.a.-4 b. b. b. b. -4, c. , c. , c. , c. -4 4. 4. 4. 4. Tidak ada 5555 − ?> & 1

Latihan Mandiri 2.4Latihan Mandiri 2.4Latihan Mandiri 2.4Latihan Mandiri 2.4

1. 1. 1. 1. �� 2. 2. 2. 2.

�� 3. 3. 3. 3. 0 4. 4. 4. 4. �� 5. 5. 5. 5. 0 6. 6. 6. 6. -1 7.7.7.7. 3 8. 8. 8. 8.

��

Latihan Mandiri 2.5Latihan Mandiri 2.5Latihan Mandiri 2.5Latihan Mandiri 2.5

1. 1. 1. 1. kontinu 2. 2. 2. 2. Kontinu 3. 3. 3. 3. Tidak Kontinu di 0, tidak kontinu di 2 4. 4. 4. 4. Kontinu 5. 5. 5. 5. Kontinu di 1,

tidak kontinu di -1 6. 6. 6. 6. Dapat dihapuskan 7. 7. 7. 7. Dapat dihapuskan 8. 8. 8. 8. Esensial. 10. 10. 10. 10. kontinu

Latihan Mandiri 2.6Latihan Mandiri 2.6Latihan Mandiri 2.6Latihan Mandiri 2.6

1. 1. 1. 1. −∞ 2. 2. 2. 2. +∞ 3. 3. 3. 3. −∞ 4. 4. 4. 4. +∞ 5. 5. 5. 5. 1

Latihan Mandiri 2.7Latihan Mandiri 2.7Latihan Mandiri 2.7Latihan Mandiri 2.7

1. 1. 1. 1. 0 2. 2. 2. 2. L� 3. 3. 3. 3. 2 4 4 4 4 ∞ 5. 5. 5. 5. 1

Latihan Mandiri 3.1Latihan Mandiri 3.1Latihan Mandiri 3.1Latihan Mandiri 3.1

1. 1. 1. 1. y = -8x -9 2.2.2.2. 3y + 2x = 12 3. 3. 3. 3. 3y-2x = 3 4. 4. 4. 4. Y = 6x -16

3

2

1

3b

1

2

-

3

4

2

Grafik no.1 Grafik no. 2

-1

-4

1.5

Grafik no. 3

Page 264: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

5555. . . . y -8x +5 6. 6. 6. 6. y – 9x + 16 = 0 dan y - 9x – 16 = 0

Latihan Mandiri 3.2Latihan Mandiri 3.2Latihan Mandiri 3.2Latihan Mandiri 3.2

1.1.1.1. M = N>6=ON>,=P> 2.2.2.2. aaaa....f(x) = x2 + 2x di x = 3, b.b.b.b.f(t) = t2 di t = x, c.c.c.c.f(x) = sin x di x = y 3. 3. 3. 3. y = 5

Latihan Mandiri 3.3Latihan Mandiri 3.3Latihan Mandiri 3.3Latihan Mandiri 3.3

1. b.1. b.1. b.1. b.tidak kontinu 1c. c. c. c. JQ,(2) = 12 dan JQ6(2) = 12 1d1d1d1d. . . . diferensiabel di 2 2.b. 2.b. 2.b. 2.b. kontinu

2222cccc.... JQ,(−1) = -2 dan JQ6(−1) = -2 2222c. c. c. c. diferensiabel di -1 3. a3. a3. a3. a. 3 3333b. b. b. b. tidak diferensiabel

4. 4. 4. 4. a = 2 & b = -1 5555

Latihan Mandiri 3.4Latihan Mandiri 3.4Latihan Mandiri 3.4Latihan Mandiri 3.4

1. 1. 1. 1. x2 - ��2 2. 2. 2. 2.

�RSTOU2+V2P2 3.3.3.3. �-W,�-X,�-6��3 4. 4. 4. 4.

YZS,Y[Z,Y(\+5)S 5. 5. 5. 5. Y + 4x = 9

Latihan Mandiri 3.5Latihan Mandiri 3.5Latihan Mandiri 3.5Latihan Mandiri 3.5

7

2 5x

y

x

y

(3,2)

x

y

(3,3)

( 4 , 8 )

Sketsa no 1 Sketsa no 2 Sketsa no 3 Sketsa no 4

2

12

8

-1

grafik no 1a grafik no 2a

Page 265: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

1.1.1.1.8x cos x -4x2 sin x 2222 3y2 – 3 sec x (tan2 x + sec2 x) 3. 3. 3. 3. − � ]^] Z ]_` Z(aUa \+2)3

4. 4. 4. 4. 2x + cos x – sin x – x cos x – x sin x – cos2 x + sin2 x 5. 5. 5. 5. �,� ^bc -,� ]_^ -,]_` -,- ]_` -(csc �+2)S

6. 6. 6. 6. y = x

Latihan Mandiri 3.6Latihan Mandiri 3.6Latihan Mandiri 3.6Latihan Mandiri 3.6

1.1.1.1.(2x-9)(x3+4x-5)2(22x3-81x2+40x+128) 2. 2. 2. 2. �TfgS-(hiT �-,�Tfg- Tfg �-)hiTX�-

3. 3. 3. 3. 3(2x+2) sec3 (x2 +2x) tan (x2 +2x) 4444. . . . -9x2 sin x3. Sin2 (cos x3) cos (cos x3) 5555.... y+24x+39

Latihan Mandiri 3.7Latihan Mandiri 3.7Latihan Mandiri 3.7Latihan Mandiri 3.7

1. 1. 1. 1. 24x 2. 2. 2. 2. J(�) = � 24� jika � > 0−24� jika � < 00 jika x = 0 � 3. 3. 3. 3. y(n) = (-1)nn! x-(n+1)

Latihan Mandiri 3.8Latihan Mandiri 3.8Latihan Mandiri 3.8Latihan Mandiri 3.8

1a. 1a. 1a. 1a. − M>N? 2b. 2b. 2b. 2b. jN�NO�N6MP>,M>N 2c. 2c. 2c. 2c.

k Tfg -6Tfg k- hiT k,hiT - 2d2d2d2d. . . . TlhS- ZRg -hThSk hiZ k 2e.2e.2e.2e.

?N6CM�-6�kS

1111f. f. f. f. − khiT -,^bc (-,k)Tfg-,^bc (-,k) 2222. . . . �[�-k6k-,Y�-k 3333. . . . 5y – 28x – 48 = 0

Latihan Mandiri 3.9Latihan Mandiri 3.9Latihan Mandiri 3.9Latihan Mandiri 3.9

1. 1. 1. 1. mn kaki/detik 2. 2. 2. 2. 900 cm3/detik 3. 3. 3. 3. 0.408 dm/detik 4. 4. 4. 4. 14 kaki/detik 5. 5. 5. 5. 875 satuan per bulan

Latihan Mandiri 4.1Latihan Mandiri 4.1Latihan Mandiri 4.1Latihan Mandiri 4.1

1. 1. 1. 1. x = �� dan x = -5 2. 2. 2. 2. x =-7 3. 3. 3. 3. x =

�� dan x = 0 4. 4. 4. 4. x = (�o,�)p� , dan x =kq, k = ±1,2, …

5. 5. 5. 5. nilai maksimum f(-1) = 2, nilai minimum tidak ada 6. 6. 6. 6. Nilai maksimum f(2) = ��, nilai

minimum f(3) = �� 7. 7. 7. 7. Nilai maksimum f(1) =1, nilai minimum f(0) = 0 8. 8. 8. 8. Nilai maksimum

f(-1) = -10, nilai minimum f(-3) = -46 9. 9. 9. 9. Nilai maksimum f(3) = 25, nilai minimum f(2) =

0 10 10 10 10 . . . . nilai maksimum f)�� q+ = 2, nilai minimum f)− �� q+ = -2 11.11.11.11. 10 dan 10 12. 12. 12. 12. �[�

13131313....a a a a �50 − 6�41.... 11113b.3b.3b.3b. �50 + 6�41 14141414. . . . �L��� dan

�����

Latihan Mandiri 4.2Latihan Mandiri 4.2Latihan Mandiri 4.2Latihan Mandiri 4.2

1. 1. 1. 1. c = �,�L� 2a. 2a. 2a. 2a. c =

�� 2b. 2b. 2b. 2b. 7 − �5 3a. 3a. 3a. 3a. (b) ii tidak terpenuhi. 3b. 3b. 3b. 3b. (b) ii tidak terpenuhi.

3c. 3c. 3c. 3c. tE>? , ECn?uC v

Latihan Latihan Latihan Latihan Mandiri 4.3Mandiri 4.3Mandiri 4.3Mandiri 4.3

Page 266: Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana - STKIP PGRI Sumbar

1.1.1.1. aaaa.... dan bbbb. f(2) = -5; min c. c. c. c. (>, +∞) dddd. (− ∞, >)

2.2.2.2. aaaa.... dan bbbb. J )− ��+ = ��L ; maks lokal dan f(1) =-1; min lokal c. c. c. c. (−∞, − ��),,,, (1, +∞) d. d. d. d. )− �� , 1+

3.3.3.3. a dan b a dan b a dan b a dan b f(0) = 0; min lokal c. c. c. c. (0,1), (2, +∞) d. ) d. ) d. ) d. (-∞, 0), (1,2)

4.4.4.4. a dan b f(4qk+q)= 4, maks lokal dan f(4qk+3q)= -4 cccc. . . . (4qk-q, 4qk+q),

d.d.d.d. 4qk+q, 4qk+3q)

5.5.5.5. a dan b f(-2) = 26 maks lokal, f(2) = -50 min lokal, c.c.c.c. (− ∞, −2), , , , (2, + ∞) d. d. d. d. ( −2, 2)

6.6.6.6. a dan b f(-7) = 5, f(0) = 12 maks lokal, f(-12) = 0, f(-3) = 3 min lokal, cccc. . . . (-12, -7), (-3,

0) dddd. . . . (-7, -3), (0, +∞)....

7.7.7.7. a dan b f(-1) = 2, f(2) = 5 maks lokal, f(0) = 1 min lokal. c. c. c. c. (−∞, −1), , , , (0,2) d. d. d. d. (-1,0),

(2, −∞))))

8.8.8.8. a dan b JO�2F P = �� �2F min lokal. c.c.c.c. (-∞, 0), (�2F ,-∞) d. d. d. d. (A, �2F )

9.9.9.9. a = -3 dan b = 7

Latihan Mandiri 4.4Latihan Mandiri 4.4Latihan Mandiri 4.4Latihan Mandiri 4.4

1.1.1.1.(0,0), cekung ke bawah untuk x < 0, cekung ke atas untuk x > 0 2. 2. 2. 2. (1,2), cekung ke

bawah untuk x < 1, cekung ke atas untuk x > 1 3. 3. 3. 3. (0,0), (4, -256), cekung ke bawah untuk

0 < x < 4, cekung ke atas x < 0 dan x > 4. 4. 4. 4. 4. (0,0), cekung ke bawah untuk x > 0, cekung

ke atas x < 0. 5. 5. 5. 5. a = 2, b = -6, c = 0, d = 3

Latihan Mandiri 4.Latihan Mandiri 4.Latihan Mandiri 4.Latihan Mandiri 4.5555

1. 1. 1. 1. J )��+ = �� min lokal, cekung ke atas di mana-mana 2. 2. 2. 2. J )��+ = ��� maks lokal, f(-1) = -11

min lokal, )�� , �L� + titik belok, cekung ke atas x > 1, cekung ke bawah x < 1. 3. 3. 3. 3. f(4) = 0 min

lokal, cekung ke atas di mana-mana. 4. 4. 4. 4. w )�� q+ = −1 min lokal, f(0) = 1 maks lokal, )�Y q, 0+

titik belok, cekung ke bawah untuk − �Y q < � < �Y q , cekung ke atas �Y q < � < �� q 5. 5. 5. 5. F(-

2) = -2 min lokal, cekung ke atas untuk x > -3 6. 6. 6. 6. f(27) = 9 maks lokal, (0,0), (216,0) titik

belok, cekung ke atas untuk x < 0 dan x > 216, cekung ke bawah untuk 0 < x < 216

Latihan Mandiri 4.6Latihan Mandiri 4.6Latihan Mandiri 4.6Latihan Mandiri 4.6

1. 1. 1. 1. y = 2, x = 3 2. 2. 2. 2. x = -�2 dan x = -�2 3. 3. 3. 3. 0 = �� dan � = �� 4.4.4.4. y = 2, x = -1, x = 1 5. 5. 5. 5. x = 0,

y = x 6. 6. 6. 6. y = x – 7. x = -4