ZONDER INSPIRERENDE DOCENT? · 2016-08-09 · De Stichting Vierkant is al langer bekend in wijde...

oktober2001/nr.2

jaargang 77

WISKIDS WISKUNDE ZONDERINSPIRERENDE DOCENT?

WISKUNDE MET KLEUR

2

oktober 2

00

1 JA

AR

GA

NG

77

Redactie

Dr. A.G. van AschDrs. M.G.W. Bos, hoofdredacteurDrs. R. BoschH.H. DaaleDrs. J.H. de GeusG. de Kleuver, voorzitterD.A.J. Klingens, eindredacteurDrs. W.L.J. Knoester-DoeveIr. W.J.M. Laaper, secretarisJ. Sinnema, penningmeester

Artikelen/mededelingen

Artikelen en mededelingen naar:Marja BosMussenveld 137, 7827 AK Emmene-mail: [email protected]

Richtlijnen voor artikelen:

• goede afdruk met illustraties/foto’s/formules op juiste plaats of goed in de tekstaangegeven.• platte tekst op diskette of per e-mail: WP, Word of ASCII.• illustraties/foto’s/formules op aparte vellen:genummerd, zwart/wit, scherp contrast.

Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren

www.nvvw.nl

VoorzitterDrs. M. KollenveldLeeuwendaallaan 43, 2281 GK Rijswijktel. 070-3906378e-mail: [email protected]. KuipersWaalstraat 8, 8052 AE Hattemtel. 038-4447017e-mail: [email protected]. van Bemmel-HendriksDe Schalm 19, 8251 LB Drontentel. 0321-312543 e-mail: [email protected]

Colofon

ontwerp Groninger Ontwerpersfoto omslag Peter Tahl, Groningenproduktie TiekstraMedia, Groningendruk Giethoorn Ten Brink, Meppel

Contributie

Contributie per verenigingsjaar: ƒ 80,00Studentleden: ƒ 40,00Leden van de VVWL: ƒ 55,00Lidmaatschap zonder Euclides: ƒ 55,00Betaling per acceptgiro. Nieuwe ledengeven zich op bij de ledenadministratie.Opzeggingen vóór 1 juli.

Abonnementen niet-leden

Abonnementen gelden steeds vanaf heteerstvolgende nummer.Abonnementsprijs voor personen: ƒ 85,00 perjaar. Voor instituten en scholen: ƒ 240,00 perjaar.Betaling geschiedt per acceptgiro.Losse nummers op aanvraag leverbaar voorƒ 30,00. Opzeggingen vóór 1 juli.

Advertenties

Informatie, prijsopgave en inzending:L. Bozuwa, Merwekade 903311 TH Dordrecht, tel. 078-639 08 90 fax 078-6390891 e-mail: [email protected] F. Mahieu, Dommeldal 125282 WC Boxtel, tel. 0411-67 34 68

Euclides is het orgaan van de NederlandseVereniging van Wiskundeleraren. Het bladverschijnt 8 maal per verenigingsjaar.

Va n d e r e d a c t i e t a f e l[ Marja Bos ]In dit nummer vindt u een grote diversiteit aan artikelen. De onderwijs-insteek is uiteraard ruim vertegenwoordigd, maar ook de meer wiskundigeinvalshoek komt aan bod.Heleen Verhage en Chris Zaal doen de aftrap voor het ambitieuze project‘WisKids’ met als doel het bevorderen van enthousiasme voor wiskunde bijjongens en meisjes van tien jaar en ouder. Over dit project zult u ook inkomende nummers van Euclides regelmatig geïnformeerd worden.Rob Bosch start een nieuwe serie wiskundige artikelen, dit jaar onder de titel‘Wiskunde met Kleur’. In dit nummer de eerste aflevering, ‘Minstens zeventreffers’.Harrie Broekman stelt in zijn stuk de tendens aan de kaak waarbij de docentsteeds meer naar de achtergrond gedrongen wordt, en aldus steeds minderinvloed krijgt op het verloop van de lessen en het leren door de leerling.Harrie geeft aan dat een inspirerende docent wel degelijk belangrijk is! Hijpleit ervoor dat docenten juist initiatieven nemen, buiten hun boekje gaan -precies het thema van de komende studiedag.

Studiedag ‘Wiskunde buiten je boekje’Voor 17 november a.s. staat de jaarvergadering/studiedag van de NVvW opde agenda, dit keer in het gebouw van de Hogeschool Domstad te Utrecht. Deeerste plenaire lezing wordt verzorgd door Bert Zwaneveld, en draagt de titel‘Graven naar wiskundige kennis met behulp van kennisgrafen’. Dit wasdestijds ook het onderwerp van zijn proefschrift. Berts werkgroep komtdaarmee overigens te vervallen. Ook andere werkgroep-wijzigingen staanvermeld op de NVvW-website (http://www.nvvw.nl).Ik vind de studiedag altijd weer een prima gelegenheid om contacten op tehalen en ervaringen uit te wisselen, zowel in de workshops als tijdens depauzes. En u?

Verlichtingsmaatregelen Tweede fase revisitedEerst een rectificatie: het domein Continue Dynamische Modellen moet wèlgetoetst worden in het SchoolExamen vwo wiskunde B1/B12.In het vorige nummer van Euclides is dit domein onjuist vermeld als één vande onderdelen waarvan de school de komende jaren zelf mag bepalen òf en zoja, hoe, het in het SchoolExamen aan de orde komt. Dat was overigens nietalleen de interpretatie van de auteur, maar ook die van mijzelf. Fout dus.Onze vergissing is met name vervelend voor diegenen die misschien naaraanleiding van dat bericht dit onderwerp toch maar uit de desbetreffendePTA’s geschrapt hadden. Mijn excuses daarvoor; u moet wéér aan de slag…Maar zo langzamerhand wordt het toch wel bijzonder moeilijk, door debomen het niet meer zo verlichte bos van maatregelen te zien. Er zijn rond deexamenprogramma’s wettelijke voorschriften geweest, permanenteaanpassingen, tijdelijke afwijkingen, CEVO-maatregelen, intrekkingen,verlichtingsmaatregelen, verlengingen,… Kees Hoogland heeft voor u oppagina 49 de actuele (en correcte!) stand van zaken op de rij gezet.Overigens is het in dit kader misschien nuttig om op te merken, dat u voorhet SchoolExamen uiteraard zelf beslist op welke wijze u een onderwerptoetst. Wellicht kan dat nog enig soelaas bieden.En hopelijk kunnen we dan, na al het gesteggel rond de diverse maatregelenen het steeds weer herschrijven van PTA’s, onze gezamenlijke aandachteindelijk weer eens richten op een ernstig onderbelicht punt, het punt waarhet toch eigenlijk allemaal om draait: hoe realiseren we goed wiskunde-onderwijs, en wat is dat eigenlijk? Euclides biedt voor die discussie eenplatform!

037Van de redactietafel[Marja Bos]

038Wiskids van start[Heleen Verhage, Chris Zaal]

041In memoriam Dick Leujes[Ton Kelfkens]

042De essentie van het leren van wiskunde… zonder inspirerende docent?[Harrie Broekman, Chris van der Heijden]

04540 jaar geleden[Martinus van Hoorn]

04613 of 31?[Jeanne Breeman, Hans van Lint]

049Domeinen en subdomeinen in deexamenprogramma’s wiskunde Tweede fase[Kees Hoogland]

050Verwarring rond functies en vormen[Hessel Pot]

054Kangoeroe[Leon van den Broek]

056Perspectieven voor de wiskunde in hethbo, verslag van de tweede conferentie[Henk Staal]

060Tekendriehoeken[Frans Vriesendorp]

062Wiskunde met kleur: Minstens zeventreffers[Rob Bosch]

063Aankondiging

064Verenigingsnieuws:- Notulen van de jaarvergadering van18 november 2000- Verslag van het verenigingsjaar1 augustus 2000-31 juli 2001[Wim Kuipers]

068Recreatie[Herman Ligtenberg]

070Inhoud van de 76e jaargang (2000-2001)

072Servicepagina

InleidingWisKids is een gezamenlijk initiatief van hetWiskundig Genootschap (WG), de NederlandseVereniging van Wiskundeleraren (NVvW) en deNederlandse Vereniging tot Ontwikkeling van hetReken-WiskundeOnderwijs (NVORWO). Het doel vanWisKids is het bevorderen van enthousiasme voorwiskunde bij jongens en meisjes van tien jaar enouder. Tevens wil WisKids het imago van de wiskundeverbeteren: wiskunde is geen saai schoolvak, maar eenuniversele taal die steeds meer facetten van demoderne samenleving ingrijpend beïnvloedt.WisKids wil jongeren uitdagen via de wiskunde hunintellectuele vaardigheden te ontwikkelen en hunkritische zin aan te scherpen. Verwacht mag wordendat hierdoor de belangstelling voor wiskunde,natuurwetenschappen en techniek in het voortgezetonderwijs en vervolgonderwijs zal toenemen.De uitvoerders van WisKids zijn tenminste voor eendeel oude bekenden van u: • Ratio (KUN),• STW, NWO en NVvW, met de site in aanbouwWiskunde in Perspectief,• Stichting Vierkant voor Wiskunde (bekend van deWiskundekampen),• Stichting Nederlandse Wiskunde Olympiade,• Pythagoras (wiskundetijdschrift voor jongeren), en • Freudenthal Instituut (Expertisecentrum voorreken/wiskundeonderwijs). WisKids is een samenhangend geheel vandeelprojecten die door bovenstaande partners wordenuitgevoerd.Wat kunt u de komende twee jaar allemaal verwachtenvan WisKids? Een heleboel.

Ratio pilotprojectenRatio is een groter project van de SubfaculteitWiskunde van de Katholieke Universiteit Nijmegen.Doel van dat project is het ontwikkelen van creatief enuitdagend wiskundemateriaal voor 10- tot 18-jarigen.In het kader van WisKids worden pilotprojectenuitgevoerd die speciaal gericht zijn op leerlingen van12 tot 16 jaar. Het gaat hierbij om interactieve

wiskundecursussen die via het internet wordenaangeboden. Iedere cursus kan op verschillendeniveaus gevolgd worden: er zal telkens eenminimumroute zijn met daarnaast aantrekkelijkemogelijkheden tot verdieping en verbreding. Bij deontwikkeling van de materialen wordt samengewerktmet de auteurs van de Wageningse Methode.

‘Wiskunde biedt perspectief’Dit deelproject is een initiatief van de Technologie-stichting STW, het gebied Exacte Wetenschappen vanNWO en onze eigen NVvW. ‘Wiskunde biedtperspectief’ is de naam van een website in aanbouwdie informatie geeft over de grote en verrassendeperspectieven die wiskunde biedt als beroeps-mogelijkheid. De site is gericht op de leerlingen van debovenbouw van het vwo en natuurlijk ook op hundocenten. Op de site komt feitelijke informatie te staanover het studeren van wiskunde. Daarnaast komen erinterviews met wiskundigen op de site, waaronderwiskundigen die spreker waren op de NationaleWiskunde Dagen. De site krijgt een interactiefkarakter; zo kunnen de bezoekers bijvoorbeeld ookvragen stellen aan de geïnterviewde wiskundigen.

Vierkant WiskundeclubsDe Stichting Vierkant is al langer bekend in wijdekring vanwege de jaarlijkse wiskundezomerkampen. Inhet kader van WisKids gaat Vierkant materiaalontwikkelen dat gebruikt kan worden in wiskundeclubsvoor kinderen vanaf 10 jaar. Ook zal het project eenaantal van zulke wiskundeclubs helpen opzetten. Dedeelnemers aan de clubs zijn actief en op eenuitdagende manier bezig met wiskunde. De benodigdematerialen worden via internet beschikbaar gesteld aanleraren van de basisschool, leraren van het voortgezetonderwijs en andere begeleiders van de clubs. Verderzal er een netwerk ten behoeve van de communicatietussen de participanten worden opgezet.

Nederlandse Wiskunde OlympiadeIn 1962 werd de eerste Nederlandse WiskundeOlympiade georganiseerd, en sindsdien vindt er elk

WISKIDS VAN STARTWat is WisKids? Aan de ene kant is WisKids (niet te verwarren metWhizz-kids!) een heel nieuw project voor het Nederlandsewiskundeonderwijs, aan de andere kant kent u WisKids allang.[ Heleen Verhage, Chris Zaal ]

0 3 9euclides nr.2 / 2001

wiskundevraagbaak op internet komt. Hierbij zalaangesloten worden bij diverse andere initiatieven dieer op dit gebied al zijn in Nederland. Het doel van deWisKids vraagbaak is vooral ook dat leerlingen doorhet stellen van vragen direct in contact komen metwiskundigen. Er zal daartoe een netwerk vanwiskundigen opgezet worden die bereid zijn de vragente beantwoorden. Een moderator zal er voor zorgen datvragen en antwoorden ook toegankelijk zijn voorandere bezoekers van de vraagbaak-site.

Verdere informatieIn komende nummers van Euclides zal nader wordeningegaan op de diverse deelprojecten. De nieuwsteinformatie over WisKids is steeds te vinden op dewebsite: http://www.fi.uu.nl/wiskids. Op de komendestudiedag van de NVvW op 17 november zal WisKidsmet een informatiestand aanwezig zijn.

Inlichtingen:Freudenthal Instituutt.a.v. WisKidsPostbus 94323506 GK Utrechttel.: 030 2611611website: http://www.fi.uu.nl/wiskidse-mail: [email protected]

Over de auteurs

Heleen Verhage (Freudenthal Instituut, e-mail: [email protected]) is

projectleider van WisKids.

Chris Zaal (Universiteit van Leiden, e-mail: [email protected])

is voorzitter van het WisKids Projectteam.

jaar zo’n scholierenwedstrijd plaats. De Olympiadeheeft twee doeleinden: het laten zien dat wiskundeleuk en uitdagend kan zijn, en het opsporen enstimuleren van sluimerend talent.In die bijna veertig jaar is er een keur aan leuke enuitdagende opgaven geproduceerd. Als onderdeel vanWisKids zal dit materiaal toegankelijk gemaakt wordendoor middel van een aantrekkelijk boek met cd-rom.Opgaven worden in categorieën bij elkaar gezet engerangschikt van zeer eenvoudig tot heel moeilijk. Erworden oplossingstips, achtergrondinformatie envolledige oplossingen gegeven. Kortom, het wordt eenboek waarmee je jezelf kunt ontwikkelen tot eensystematische en analytisch denkende probleem-oplosser.

PythagorasHet tijdschrift Pythagoras kent u ongetwijfeld allang,misschien las u het vroeger zelf als leerling al! BinnenWisKids heeft Pythagoras twee ambities: 1. hetmateriaal uit vroegere jaargangen via internettoegankelijk maken voor toepassingen bij wiskunde-werkstukken in de tweede fase, en 2. het leveren vaneen aantoonbare positieve bijdrage aan het beeld datjongeren hebben van de beroepspraktijk vanwiskundigen in het bedrijfsleven. Om deze ambities teverwezenlijken, zal Pythagoras van een papierentijdschrift uitgebreid worden tot een eigentijds mediumdat ten volle gebruik maakt van alle mogelijkheden diede moderne informatietechnologie ons biedt.Leerlingen zullen hierbij een actieve inbreng hebben,door zelf applets te ontwerpen, artikelen te schrijvenen interviews met wiskundigen af te nemen.

Axis Wiskunde PrijsHet is opmerkelijk dat bepaalde scholen er steeds weerin slagen om excellente resultaten met hun wiskunde-onderwijs te bereiken. Het instellen van de AxisWiskunde Prijs voor scholen biedt de gelegenheid,jaarlijks een school in het zonnetje te zetten die ietsbijzonders heeft gepresteerd op het gebied vanwiskundeonderwijs. En daarbij gaat het dan niet alleenom de scholen die uitzonderlijk getalenteerde ‘knappekoppen’ onder de leerlingen heeft. Er zal een helewaaier van criteria gehanteerd worden, zodat heel veelscholen kunnen meedingen naar deze prijs. Eendeskundige jury zal de inzendingen beoordelen. Deprijsuitreiking zal waarschijnlijk plaats vinden tijdenshet Mathematisch Congres op 4 en 5 april 2002 inEindhoven. Binnenkort ontvangen alle scholen voor voortgezetonderwijs een folder waarin onder andere staat hoe uwschool kan meedingen naar deze prijs en wat debeoordelingscriteria zijn. Deze informatie zal ook tevinden zijn op de WisKids website.

WiskundevraagbaakScholieren hebben internet volop ontdekt als mediumom vragen te stellen over wiskunde (ook over anderezaken trouwens). Het WisKids project wil hier opinspelen, door te bevorderen dat er een centrale


Op 1 juni 2001 is Dick Leujes op 89-jarige leeftijdoverleden.Dick was een onderwijsman in hart en nieren. Vanafzijn 18e werkte hij in het lager onderwijs, aanvankelijkals de befaamde ‘kwekeling met acte’. Na de kweek-school en het behalen van de lagere aktes wiskunde,Engels, Duits en handelskennis, verwierf hij deeerstegraads bevoegdheid wiskunde door het metsucces voltooien van de opleidingen voor KI en KV, devoorgangers van de latere MO-A- en MO-B-examens.Helaas was het door de sluiting van de RU Leidentijdens de oorlog voor hem niet mogelijk zijnwiskundige aspiraties academisch af te ronden.

Hij was zeer productief als schrijver van diverseschoolboeken. Echte bekendheid in de Nederlandseschoolwiskundewereld kreeg hij met zijn driedeligePlanimetrie in 1961 en Complexe Getallen enkelejaren daarna, beide uitgaven van Noorduijn inGorinchem. Maar de grote klapper was in 1966. DeMammoetwet had als interessant bijverschijnsel dathet wiskundeprogramma van het complete voortgezetonderwijs drastisch werd gewijzigd. Dick trad toe toteen werkgroep die uiteindelijk tot de methodeModerne wiskunde zou leiden. De didactischeuitgangspunten konden hem echter niet bekoren en hijbesloot zelf, met assistentie van Kees de Bruin en TonKelfkens, een methode op te zetten die uiteindelijkbekend zou worden als Getal en Ruimte. Eind 1967 verschenen bij Noorduijn de eerste deeltjesonder de eenvoudige namen Algebra voor de Brugklasen Meetkunde voor de Brugklas.De gezonde concurrentie met Moderne wiskunde enSigma leidde er toe dat in overleg met de gebruikersen de uitgever de gehele methode al vele malen zoweluiterlijk als inhoudelijk flink is omgewerkt. Ook heeftDick in het begin van de jaren ‘80 nog bijgedragenaan de uitbreiding van Getal en Ruimte met een lbo-editie. Tot 1988 bleef Dick actief als eindredacteur.Van 1930 tot 1932 stond Dick in Rotterdam voor deklas, daarna werkte hij tot 1947 aan de ULO-A1 inSchiedam en ten slotte tot 1977 aan het Grotius-gymnasium in Delft, waar hij van 1952 tot 1973tevens conrector was. Daarnaast gaf hij van 1955 tot1970 les aan het Haagse avondlyceum Noctua.Bovendien leidde hij als enthousiast en verdienstelijkviolist ook 20 jaar lang het schoolorkest van hetGrotius. Voorts was Dick ook nog gedurende 20 jaarsecretaris van het bestuur van LIWENAGEL, totdatdeze vereniging samen met WIMECOS en deWerkgroep voor Vernieuwing van het Wiskunde-onderwijs opging in de huidige NederlandseVereniging van Wiskundeleraren.Door zijn werkdiscipline en grote betrokkenheid bijhet wiskundeonderwijs zag Dick kans naast de reedsgemelde activiteiten, deel uit te maken van examen-commissies voor MULO, HBS en gymnasium,nomenclatuur-, leerplan- en staatsexamencommissies.Ook was hij gedurende 12 jaar penningmeester vanhet Congres van Leraren in Wiskunde en Natuur-wetenschappen en was hij mede-auteur van Bunts VanAhmes tot Euclides dat in 1954 verscheen en bestemdwas voor de gymnasium-� leerlingen die geschiedenisvan de wiskunde in hun examenpakket hadden.Een gedreven onderwijsman is niet meer. Het was eenvoorrecht lange tijd met hem samen te werken.

IN MEMORIAM DICK LEUJES[ Ton Kelfkens ]


Als leerlingen alleen (eenvoudige) opgaven uit het boekals studiemateriaal krijgen, dan worden ze te weiniggeconfronteerd met andere toepassingsmogelijkhedenvan de wiskunde. Een mogelijkheid om het leerprocesop dit punt te verbeteren is de leerlingen extraleergang-onafhankelijke opdrachten te laten maken.’Uit het eerste deel van dit citaat spreekt een zekerenostalgie. Toch moet mij van het hart dat ik in mijnpraktijk gelukkig nog steeds docenten ontmoet diedeze extra diepgang wel geven. Zij zien het als eenbelangrijk aspect van hun werk om leerlingen teinspireren en hen te enthousiasmeren. Wel is het zo datzij zich nu, in tegenstelling tot ‘vroeger’, tegenover mijmenen te moeten verontschuldigen met de opmerking:‘Dit is niet een echte tweede-fase-les hoor’. Ik vind ditbetreurenswaardig. Want juist bij het voorleggen vanleergangonafhankelijke opdrachten aan leerlingen isveelvuldige interactie in het persoonlijke vlak tussendocent en leerling een ‘must’.

ICT als oplossing?Miskenning van de rol van de docent tref ik ook aan inhet overigens stimulerende artikel van Henk Staal,getiteld: ‘Computeralgebra en digitaal lesmateriaal‘.Hij beschrijft de ervaringen van de docent Klaas methet computerpracticum differentiëren:‘Klaas vindt dat de stof oppervlakkig werd verwerkt.Leerlingen doen de oefeningen wel maar begrijpen vaakniet wat ze daar van op moeten steken. Na deze serielessen was het nodig om in een aantal klassikale lessende zaken op een rijtje te zetten. Klaas pleit er dan ookvoor om het materiaal te splitsen in een papieren deelmet overzichten en samenvattingen van de stof en eendigitaal deel met de oefeningen.’Pleit Henk hier bij monde van Klaas ervoor datklassikale lessen uit den boze zijn en vervangenmoeten worden door papier en scherm? Zo ja, dan mag

InleidingIn Euclides van februari 2001 komen in een tweetalartikelen (van Harm Boertien en van Henk Staal) eenaantal uitspraken voor die uitnodigen tot een reactie.Ze bevatten gedachten over de problemen met hetzelfstandig leren van leerlingen en ze geven mogelijkeoplossingen hiervoor. Naar mijn mening wordt de rolvan een goede inspirerende docent echter onderbelicht.Daarom wil ik in kort bestek nader ingaan op enkeleuitspraken in genoemde artikelen. Afsluitend geef ikenkele beschrijvingen van leersituaties die het begrip‘inspirerend’ in een ruimer perspectief plaatsen.

Leergang-onafhankelijke opdrachtenHarm Boertien schrijft in zijn artikel ‘Voortgangbijhouden in het studiehuis, hoe doe je dat?’ over deslechte leerresultaten in de tweede fase van hethavo/vwo. Ook al kunnen de leerlingen de opgaven uithet boek maken, dan wil dat naar zijn ervaring nog nietzeggen dat zij de onderliggende wiskunde goedbegrepen hebben. Uit didactisch oogpunt zijn deopgaven te zeer voorgekookt en er wordt te weinigverbinding gelegd met andere delen van de leerstofbinnen en buiten de wiskunde. Als deel van deoplossing van de problemen ziet hij vergroting van deinteractie door het inzetten van interactiemiddelen dieniet per se op meer persoonlijk contact hoeven teberusten. Een van de mogelijkheden die Boertienvoorstaat is het aan de leerlingen voorleggen vanleergang-onafhankelijke opdrachten met correctie-voorschriften. Hij schrijft:‘Vroeger zorgde de docent bij de uitleg van de leerstofvoor extra diepgang door inzichtvragen bij de leerstof testellen, die voor de logische verbindingen in de leerstofzorgden of door (extra) opgaven te geven waarin deintegratie van leerstof gerealiseerd was.

DE ESSENTIE VAN HET LERENVAN WISKUNDE … ZONDERINSPIRERENDE DOCENT?Motto: de docent/docente is harder nodig dan ooit. [ Harrie Broekman, met medewerking van Chris van der Heijden [1] ]


Dit voorbeeld van een lessituatie geeft aan dat het heelnuttig is om eens af te wijken van de opgaven uit hetboek. Zonder deze aanpak zou een dergelijkeinspirerende discussie tussen leerlingen over wiskundeniet ontstaan zijn.

2. Een 5-havo groep werkend uit Moderne wiskundeHavo B1, deel 2, hoofdstuk 9De docent merkt vooraf op: ‘Het onderwerp dat aanbod komt, is wel van direct belang voor in ieder gevalnatuurkunde en biologie, maar ik behandel het gewoonals wiskundedocent.’ De docent vindt het betreffendeonderdeel een belangrijke kern die zeker klassikaal aanbod moet komen.De introductie door de docent verloopt als volgt: ‘Alswe allemaal even proberen te luisteren, dan heb ik eenvraag voor jullie die voor iedereen van belang is. Julliezijn nu al weer een tijd bezig met het onderzoeken vanallerlei functievoorschriften en daarbij hoort ook hettekenen en verschuiven van grafieken. Je gebruiktdaarbij heel vaak de standaardfuncties.Je kunt je natuurlijk afvragen of je ook de andere kantop kunt. Anders gezegd: kun je het functievoorschriftvinden als je een grafiek hebt? De richting waarin jekunt zoeken is misschien al wel te zien door goed naarhet plaatje te kijken.’Uitgangspunt is een door de docent op het bordgetekende grafiek die hoort bij opgave 22 uit het boek(zie figuur 1), wat er overigens niet bij vermeld wordt.Twee leerlingen grijpen onmiddellijk de grafischerekenmachine en grijnzen vervolgens al mopperend:‘Dus niet.’ De docent vraagt: ‘Oké, aan welkestandaardfunctie doet dit plaatje je denken?’Geleid door de vragen van de docent komen deleerlingen in de richting van het gevraagde functie-voorschrift, waarbij mij als observator opvalt dat deleraar telkens de leerlingen zelf de kans geeft om meteen vervolgsuggestie of -vraag te komen. De twee leerlingen met de rekenmachine toetsenoverigens na elke volgende stap het dan verkregenvoorschrift in om te zien hoever de gegeven grafiek algenaderd is. De docent stimuleert dit door telkenslachend te vragen of ze er al zijn.De opmerking van de docent dat dit eigenlijk geentweede-fase-les is, omdat hij zelf de touwtjes in de handenhad, beaam ik niet. Achteraf gezien was het misschienjammer dat er geen gezamenlijke gedachtenwisselingplaatsvond over de strategie: kies een standaardfunctiewaarvan je vermoedt dat die te gebruiken is om degegeven grafiek van een functievoorschrift te voorzien.

de interactie waar Boertien al naar verwees, kennelijkniet bestaan uit het persoonlijke contact op klassikaalniveau tussen docent en leerling.Dat de rol van de docent niet onderschat mag worden,wordt nog eens te meer bevestigd in hetzelfde artikeldoor de ervaringen met ICT van docent WillemHoekstra. Kortom, hoewel het gebruik van ICT zekermogelijkheden biedt in het wiskundeonderwijs, is derol van de docent in individueel contact met deleerling en in klassikaal verband nog steeds bepalend.

Mijn meningDe huidige leerboeken bevatten minder opgaven diegericht zijn op ‘trainen’ dan bijvoorbeeld 40 jaargeleden in de tijd van HBS en Mulo, maar het zijn ernog steeds erg veel. Als docent moet je daarom het lefhebben om vraagstukken te schrappen en te vervangendoor de door Henk Staal besproken digitale lessen ofde leergang-onafhankelijke opdrachten, voorgestelddoor Harm Boertien. Veel belangrijker is echter: Dedocent moet weer de tijd nemen om de leerlingen teinspireren en uit te dagen!

Drie voorbeelden van inspirerende docenten1. Een beginnende leraresKlas 4-vwo heeft het eerste uur van een blokuurzelfstandig gewerkt aan opgaven over functies. Deleerlingen zijn op verschillende plaatsen in hethoofdstuk aan het werk. Toch wil de docente hettweede uur de aandacht van alle leerlingen richten opeen bijzondere functie, de entier- of integer-funtie. Zijdoet dit met als voorbeeld: ‘het aantal keren dat jejarig bent geweest’. Na een discussie met een aantalleerlingen komt er een tweetal punten van de grafiekop het bord. De te verwachten suggestie dat er wel eenrechte lijn zou komen, wordt besproken door meerdereleerlingen en uiteindelijk komt de grafiek van een trap-functie op het bord. Toen de grafiek duidelijke vormenaannam, vroeg een aantal leerlingen: ‘… staat die ookop de rekenmachine?’ De docente antwoordde: ‘… weetik niet, zal ik moeten kijken. Zal wel onder “Math”.’Het gunstige gevolg van deze aanpak was dat bijnaalle leerlingen dit op hun machine gingen proberen,waarbij zij als vanzelf met elkaar in gesprek raaktenover wat er te zien was onder ‘math’ en de mogelijkebetekenis daarvan.In het nagesprek van deze les vertelde de docente datze dit voorbeeld gekozen had omdat ze het nuttig vindtom regelmatig met de leerlingen ‘interactie’ te hebbenover wiskunde.

FIGUUR 1

‘zelfstandig werken’ naar ‘zelfverantwoord leren’ zouinhouden dat de docenten zich steeds op de achtergrondmoeten houden en geen initiatieven meer durven tenemen. Als dat zo zou zijn, zou ik de verzuchting willenslaken: ‘Arme leerlingen, arme docenten.’

Lukt het u om een uitdaging te creëren voor uwleerlingen met die prachtige 3000 jaar oudeoplossingsmethode die ik onlangs weer eens tegenkwam in een artikel van David Wheeler met het motto‘We can introduce diversity in algebra without needingextra time’:‘Welk getal plus een vierde van zichzelf is gelijk aan100?’

De Egyptische methode (die ook gebruikt schijnt te zijndoor Chinezen en Grieken) zou beginnen met hetproberen van 4 of een veelvoud van 4, aangezien 4 + �

14� �4 = 5. En 5 is een twintigste van het beoogde

getal 100. We passen daarom onze poging 4 aan doorte vermenigvuldigen met 20. Dat het resultaat 80inderdaad voldoet is eenvoudig te controleren.

Het lijkt me heerlijk om een klas te zien waarin deleerlingen in staat gesteld worden om deze Egyptischemethode te onderzoeken aan de hand van vragen als:Waarom werkt dit? Is deze methode te vergelijken met‘trial-and-error’? En hoe is het verband met desymbolische methode (gebruik van variabelen) die inhet schoolboek staat voor het oplossen vanvergelijkingen als x � �4

x� �100?

Noten

[1] Een eerdere versie van dit artikel is door Chris flink ingekort en

daardoor leesbaarder gemaakt.

[2] In het BPS-project (Bètaprofielen in het studiehuis) wordt een

onderscheid gemaakt tussen inhoudelijke inbreng van leerlingen en

organisatorische inbreng. Met name wordt in dit project door leraren

en begeleiders gezocht naar mogelijkheden om in de bèta-vakken de

leerlingen te helpen de ruimte die zij krijgen op inhoudelijk gebied te

benutten.

Literatuur

H. Boertien (2001), Voortgang bijhouden in het studiehuis, hoe doe je

dat? Euclides, 76, 5, pp.192-195.

H. Staal (2001), Project Digitale Leeromgeving Wiskunde, Euclides,

76, 5, pp.205-209.

D. Wheeler (2000), The Role of the Teacher, Mathematics Teacher,

173, 58-64.

Over de auteurs

Harrie Broekman is verbonden aan het IVLOS, Universiteit Utrecht, en

tevens medewerker van het Centrum voor Didactiek van wiskunde en

natuurwetenschappen waarvan het Freudenthal Instituut deel

uitmaakt.

Chris van der Heijden was wiskundedocent te Spijkenisse.

Zo’n gezamenlijke reflectie op de kern van deproblematiek kan de leerlingen helpen verderzelfstandig met dit soort problemen aan de slag tegaan. Een geobserveerde korte discussie tussen tweeleerlingen over de onmogelijkheid om op deze manierhet voorschrift bij elke grafiek te vinden doetvermoeden dat deze bespreking voor hen in ieder gevaleen aanzet tot ‘verder denken’ heeft gegeven. Endaarmee heeft hun docent hen dus kennelijkgeïnspireerd tot ‘inhoudelijke zelfstandigheid’.[2]

3. Een brugklas werkend aan allerlei vormenDe wiskundedocent vraagt de leerlingen of zij eenvoorwerp in de klas kunnen aanwijzen met eenvierkant als zijkant. De docent helpt: ‘En de zijkantvan deze kast?’ Voor de leerlingen is niet directduidelijk of dit een vierkant is. De vraag komt op hoeje dit zou kunnen nagaan. Allerlei voorstellen voor(geïmproviseerde) meetinstrumenten komen naarvoren, maar er is geen liniaal, touw of rolmaataanwezig. ‘Zal ik er dan maar even naast gaan staan?’zegt de docent. ‘Zo, dat komt dus net boven mijnmiddel. Jammer dat we een bezoeker hebben, anderszou ik er nu op de grond voor gaan liggen om te zienhoe het er met die lengte voorstaat …’Als vanzelf vragen de leerlingen zich nu samen met dedocent af of je andere manieren hebt om er achter tekomen of het een vierkant is, en daarbij zijn ze heelgeïnspireerd bezig om kenmerkende eigenschappen vaneen vierkant op te sporen. Er is nu een werksfeerontstaan, die maakt dat de docent alleen nog maarhoeft te zeggen: ‘Vanaf nu is iedereen bezig met opgave6’. De docent loopt vanaf dat moment al helpend rondterwijl de leerlingen ‘gericht’ doorwerken. Deze docent inspireerde zijn leerlingen tot het openpraten over de wiskunde, waarbij zij merkten dat zijveel ideeën over wiskunde van elkaar kunnen leren.Een vorm van interactie.

ConclusieWe zien in de voorbeelden dat docenten diezogenaamd buiten het boekje gaan en een uitdagendinitiatief durven te nemen, hiervoor worden beloonddoor de leerlingen die op deze uitdaging ingaan enerdoor worden geïnspireerd om zich verder teverdiepen in de wiskunde. Het verhoogt hun zelf-vertrouwen dat volgens David Wheeler in zijn artikelThe role of the teacher een voorwaarde is om nieuwevragen aan elkaar en jezelf te stellen om zo nieuwekennis en vaardigheden op te doen.De kernconclusie luidt dan ook: Een inspirerendedocent/docente is voor de leerlingen hard nodig.

Tot slotDe artikelen van Harm Boertien en Henk Staal, maarook het artikel van David Wheeler en mijn praktijk-ervaring in het bijwonen van lessen hebben mij aan-gezet om dit artikel te schrijven en deden mij eens temeer beseffen hoe belangrijk een inspirerende docent isvoor alle leerlingen, intelligente en zwakke. Het zoujammer zijn als de aanpak in de tweede fase van



40 j

aar

gele

den

Vraagstukken uit het Nieuw Tijdschrift voor Wiskunde 49 (1961-1962)

De rubriek ‘40 jaar geleden’ wordt verzorgd door Martinus van Hoorn (e-mail: [email protected]),

voormalig hoofdredacteur van Euclides (1987-1996).

13 OF 31? Als je 1356 en 92 moet optellen zonder rekenmachine, zet je zeonder elkaar: 1356

92—— +

en je telt van rechts naar links op. Niets om je over te verbazen. [ Jeanne Breeman, Hans van Lint ]

Maar we zijn wel vergeten dat het op de basisschoolveel moeite kost om aan te leren: eerst goed kijkenhoeveel cijfers ieder getal heeft, dan ‘netjes’ onderelkaar schrijven. Rechts uitlijnen heet dat met eencomputerterm.Als we een rijtje woorden opschrijven zetten we delinkerletters onder elkaar. Het verschil in uitlijnen van woorden en getallen isgoed te zien op het stukje kassabon.

Onze woorden, met Latijnse letters, schrijven en lezenwe van links naar rechts. Onze getallen komen uit hetArabisch. We schrijven ze van links naar rechts, met debovengenoemde moeilijkheid tot gevolg.

Merkwaardig genoeg gebruiken Arabieren anderecijfers dan wij:

in een Iraans boek;

in een Syrisch boek, voor zover verschillend.Arabieren schrijven getallen ongetwijfeld, net als hunteksten, van rechts naar links. Dat is ook veel logischernatuurlijk. Als ik een getal ga opschrijven en ik beginmet ‘13…’ weet niemand wat die 1 voorstelt, het kannog 10, 100, 1000 en nog veel meer worden. Als ik,rechts beginnend, ‘…56’ opschrijf, is meteen duidelijk,6 betekent 6, 5 staat voor 50.In figuur 1 staat een stukje uit een Syrisch wiskunde-boek (en denk erom we lezen van rechts naar links).Op bladzij 35 van dat boek staat onderaan:Het lijnstuk dat in twee gelijke delen is verdeeld, heefteen linkeruiteinde met coördinaten (5,�4, 6) en hetrechterpunt is (�1, 2, 8). Het onderste punt heeftcoördinaten (2, 6,�4). Merk op dat de komma‘ondersteboven’ staat, en dat het minteken rechts vanhet getal staat.Het is niet duidelijk wat de x-, y- en z-coördinaat is,maar dat zijn ook maar namen. De volgorde wordt pasbelangrijk als je bij natuurkunde met corioliskrachtengaat werken.

FIGUUR 1

Over de auteurs

Hans van Lint was 37 jaar leraar/conrector aan de Van der Capellen

Scholengemeenschap (voormalige Rijks-HBS) te Zwolle. Hij is 10 jaar

bestuurslid geweest van de NVvW (1988-1998) waarvan 9 jaren

voorzitter.

Jeanne Breeman was 28 jaar lerares aan het Gymnasium Celeanum te

Zwolle. Gedurende die tijd heeft zij ook bij het APS gewerkt, in het

bestuur van VeEX (Vrouwen en Exacte Vakken) gezeten, en zij is lid

geweest van de VWO-B-commissie.

Hun email-adres is [email protected]

Het bovenste deel van bladzijde 36 staat in figuur 2.In vrije vertaling:

Het midden � ((�1 � 5)/2, (2 � �4)/2, (8 � 6)/2)� ( 2 ,�1 , 7)

De afstand van het onderste punt tot het midden vanhet lijnstuk

��(x�x1�)2 � (y��y1)2�� (z��z1)2��(2�2)�2 � (6��1)2 �� (�4��7)2��0�72�� (�1�1)2��49�1�21�� 170�

In figuur 3 staat een stukje uit een Iraans boekje, omzelf uit te zoeken wat er staat. Hier wordt de wiskunde van links naar rechtsgeschreven. En merk het verschil op in de schrijfwijzevan de ‘6’ in ‘blz. 116’ en in het antwoord ‘a��6’.Grappig is dat onze notatie x � 2 is vervangen door x → �2 �(lees: x naar �2 vanaf de positieve kant). Voorleerlingen veel eenvoudiger, denken wij.

En op de voorkant van het programmaboekje van hetjubileumcongres van de NVvW (zie pagina 46) stonddus 31.

→


FIGUUR 2 FIGUUR 3

InleidingIn Euclides 77-1 (p. 002) is een bijdrage van mijn handverschenen over de laatste wijzigingen in deregelgeving rond wiskunde in de Tweede fase. Eenvoorpublicatie daarvan is door APS-wiskunde ookverstuurd als service aan alle scholen. Door de veelheidaan verschillende regelingen is daarin helaas een foutgeslopen rond het domein Continue DynamischeModellen voor vwo wiskunde B1 en B12.Hieronder treft u de mijns inziens complete lijst aanvan onderdelen waarop een of andere regeling vaninvloed is.Ik bied mijn welgemeende excuses aan voor deverwarring en extra werk die de eerdere publicatie inEuclides en bijbehorende brief aan de scholen mogelijkheeft veroorzaakt.Deze bijdrage is als brief eveneens naar de scholengestuurd.

Tot slotAls persoonlijke noot wil ik hier nog aan toevoegen,dat naar mijn mening de hoeveelheid verschillende ensteeds veranderende regelingen de grens van hettoelaatbare ruimschoots heeft overschreden. Vansamenhang en consistentie in de regelingen endaardoor in de programma’s is inmiddels geen enkelesprake meer.Mijn persoonlijke regeling is dat ik tot nader ordergeen verantwoordelijkheid meer kan nemen voorvoorlichting over deze regelingen. Het is letterlijk enfiguurlijk niet meer uit te leggen. Dat is inmiddelsgebleken.

Over de auteur

Kees Hoogland (e-mail: [email protected]) is projectleider van APS-

wiskunde (http://www.aps.nl/wiskunde) in Utrecht.

DOMEINEN EN SUBDOMEINENIN DE EXAMENPROGRAMMA’SWISKUNDE TWEEDE FASE[ Kees Hoogland ]


LijstOnderstaande lijst bevat onderdelen, die afwijkend zijn van reguliere onderdelen die gewoon op het Centraal Examen getoetst moeten worden. Aan deze opsomming kunnen geen rechten worden ontleend.Voor de precieze regelingen verwijs ik u naar het Gele Katern bij Uitleg, jaargangen 1997-2001 (zie ook http://www.cfi.nl).

havo A1

havo A2

havo B1

havo B12

vwo A1

vwo A12

vwo B1

vwo B12

nee

nee

neenee

neeneenee

nee

neenee

nee

neeneenee

neenee

neeneenee

ja

eigen keuze

jaeigen keuze

jaeigen keuzeeigen keuze

nee

eigen keuzeeigen keuze

nee

eigen keuzeneeja

jaja

jajanee

Alle domeinen

Subdomein: De binomiale verdeling

Domein: Ruimtemeetkunde 1Subdomein: Periodieke functies

Domein: Tellen en kansenSubdomein: Periodieke functiesSubdomein: Periodieke functies 2

Eindtermen 3, 10 (w.b. rekenregels logaritmen), 13, 23 en 24Domein: Grafen en matricesSubdomein: Het toetsen van hypothesen

Eindtermen 3, 10 (w.b. rekenregels logaritmen), 13Domein: Grafen en matricesSubdomein: Ruimtelijke objectenDomein: Keuzeonderwerp

Domein: Continue Dynamische ModellenDomein: Keuzeonderwerp

Domein: Continue Dynamische ModellenDomein: Keuzeonderwerpen Eindtermen 140-144, 151-153, 167-175

tot nader order

examens 2002 en 2003

tot nader orderexamens 2002 en 2003

tot nader orderexamens 2002 en 2003examens 2002 en 2003

tot nader order

examens 2002 en 2003tot nader order

tot nader order

examens 2002 en 2003tot nader ordertot nader order

tot nader order tot nader order

tot nader ordertot nader ordertot nader order

CE SE GeldigheidOnderdeel

VERWARRING ROND FUNCTIESEN VORMENWat antwoordt een leraar, en wat zeggen de leerboeken op de vraag:‘Is de functie x → �102sin x wel of niet exponentieel? En zo ja, watis z’n grondtal of groeifactor?’ [ Hessel Pot ]


Echte functies en nep-functiesBij het gebruik van de term ‘functie’ lijkt het vanbelang, onderscheid te maken tussen de mogelijkeeigenschappen van functies enerzijds en de mogelijkeaanduidingsvormen voor functies anderzijds.Ik zal dat verschil hieronder uitwerken.Bij ‘eigenschappen’ moet gedacht worden aan groepenfuncties zoals: kwadratische, lineaire, constante,identieke, homogene, gehele of gebroken functies.Verder aan veeltermfuncties, even/oneven,algebraïsche, periodieke, (streng/zwak)monotone,definiet-positieve, omkeerbare, differentieerbare,primitiveerbare, reële, analytische functies, aanrijfuncties (met de natuurlijke getallen als domein), enaan nog heel veel meer.Van een gegeven functie is steeds te zeggen welke vandeze eigenschappen hij al dan niet bezit, en welónafhankelijk van de vorm waarin je de functie krijgtaangeboden.De functie x → x (x�1) op � is evenzeer kwadratischals de functie x → x 2 �x op �. Want in beide gevallengaat het om exact dezelfde functie, exact dezelfdeoneindige verzameling van getallenparen.

Als het gaat om de manieren waarop een functie metbehulp van variabelen en bewerkingssymbolen oppapier (of op het beeldscherm) kan wordenopgeschreven, aangeduid of uitgebeeld, is er ietsgeheel anders aan de hand. Er wordt dan welgesproken (althans in het overgrote deel van deleerboeken, en dus waarschijnlijk ook door de meesteleraren in de klas) van:productfuncties, quotiëntfuncties, somfuncties,verschilfuncties, inverse functies, afgeleide functies,primitieve functies, samengestelde functies, parameter-functies, impliciete functies en expliciete functies.Maar hiermee worden nu geen functiesoorten-met-een-specifieke-eigenschap bedoeld zoals eerderbeschreven. Men moet erop bedacht zijn dat dezebenamingen in feite duiden op verschillende soortenfunctie-beschrijvingen, en wel met behulp van:

• een vermenigvuldig-vorm (een product):x → x(x�1)

• een optel-vorm (een som):x → x2 �x

• een inverteer-vorm (een inverse):(x → ±�(4x�1)/2 – 0,5)inv

• een differentieer-vorm (een afgeleide):(x → x 3/3�x 2/2)’of d/dx (x 3/3�x 2/2)

• een primitiveer-vorm (een onbepaalde integraal metimpliciet gegeven integratieconstante):Pr(x → 2x�1), 0 → 0of�(2x�1) dx, 0 → 0

• een schakel-vorm (een samenstelling):(t → t 2/4 – 0,25) ⊗ (t → 2t�1)of x → ((2x�1)2 – 1)/4

• een parameter-vorm:{(x, y)| x� t/2 – 0,5, y � t 2/4 – 0,25, t ∈�}

• een impliciete vorm (een vergelijking):{(x, y) | x 2 � y � x�0}.

Deze beschrijvingen slaan acht keer op precies dezelfdefunctie. Dat betekent hier echter niet dat die enefunctie ook acht verschillende eigenschappen bezit,maar alleen dat die functie in velerlei verschillendevormen te kneden (te noteren) valt.De benamingen ‘productfuncties’, ‘quotiëntfuncties’, …,‘expliciete functies’, doelen niet op even zovele soortenfuncties, maar op verschillende manieren vanaanduiden/opschrijven/weergeven/noteren/… van eenbepaalde functie.

VoorstelOm dit onderscheid te laten uitkomen stel ik voor omniet te spreken van productfuncties, et cetera, maarvan productvormen, et cetera.Hierbij gebruik ik de term ‘vorm’ in dezelfde zin alseerder door tal van auteurs in het allereerste algebra-hoofdstuk van hun leerboeken (Alders, Bos/Lepoeter,Bunt, Coster/Van Dop/Streefkerk, Derksen/De Laive, DeGroot/De Jong, Van Thijn/Kobus, Van Thijn/Wasscher,Wansink, Wijdenes).Vormen zijn te herleiden tot andere (gelijkwaardige)vormen, met behulp van rekenregels/herleidingsregels.Ze zijn, al naar gelang de soort zaak die er door wordtaangeduid, te onderscheiden in getal-vormen enfunctie-vormen. Wanneer er één of meer niet-gebonden variabelen in de vorm voorkomen, sprekenwe van open vormen. Bij functies (in de strikte betekenis van ‘parenverzamelingen met louter éénduidige beelden’) gaat hetom iets heel anders dan bij vormen. Je kunt nietspreken van twee ‘gelijkwaardige’ functies die uitelkaar te herleiden zijn, net zomin als je van tweegetallen kunt zeggen dat ze gelijkwaardig zijn. Maarvan functies kun je wel de eigenschappen opsporen, ener stellingen mee formuleren.

Exponentiële functiesWaarom vind ik dit onderscheid tussen functies envormen belangrijk? Bijvoorbeeld: omdat het erg moeilijk blijkt te zijn, inschoolboeken en andere literatuur het antwoord tevinden op de vraag wat met de aanduiding‘exponentiële functie’ precies bedoeld wordt.Wordt er bedoeld: de functiesoort met de eigenschapdat intervallen van gelijke lengte in het domeinafgebeeld worden op intervallen van relatief gelijkelengte in het bereik, zoals bijvoorbeeld dekroosgroeifuncties en de C14-vervalfunctie?Of wordt er bedoeld: de symbolisch geschreven open


Zoals in een breukvorm A/B een teller en een noemerzijn aan te wijzen, zo bevat een machtvorm A^B eengrondtal en een exponent.Maar van de exponentiële functie x → 32x is negen hetgrondtal en niet drie! Dit laatste volgt uit de definitievan ‘grondtal van een exponentiële functie’ als zijndede factor waarmee de functiewaarde aangroeit/afneemtbij een toename van de variabele met 1.Deze definitie heeft overigens ook tot gevolg dat alleenexponentiële functies met een getallenstructuur alsdomein (zoals � of �), een grondtal bezitten.Exponentiële functies op een grootheden-domein (heelvaak: tijdsduren) zijn niet te karakteriseren met behulpvan hun grondtal - dat hébben ze helemaal niet, wantin een groothedenstructuur komt helemaal geenmultiplicatieve eenheid voor.Die exponentiële grootheden-functies zijn echter welmet ándere parameters van elkaar te onderscheiden.Het meest gebruikt men de relaxatie-tijd, ofwel meteen wat algemenere term benoemd: de subtangent (de‘suta’, analoog aan de ‘rico’) van de exponentiëlefunctie. Dat is de - voor één bepaalde exponentiëlefunctie E - constante lengte van het domeinintervalwaarop een lineaire groei met snelheid E’(t) eenaangroeiing geeft ter grootte E(t), waarbij t eenwillekeurig domeinelement is van de functie E. Infiguur 1 is die subtangent aangeduid langs de domein-as (de asymptoot van de grafiek).

Andere dubbelzinnighedenDe helderheid van bepaalde hoofdstukken in veelleerboeken zou mijns inziens sterk kunnen toenemen

machtsverheffingsvormen met een variabele in iedergeval ergens in de exponent, zoals 3x, 3x 2, 3sin x, 3ln x,xx, …?Eeuwenlang is de laatste interpretatie vrijwel de enigvoorkomende geweest, in navolging vantoonaangevende auteurs als Johann Bernoulli en Euler.In de loop van de laatste honderd jaar is echter ook deeerste interpretatie (als functie in strikte zin) meer enmeer in gebruik geraakt, volgens welke de functiesx → 3x2, x → 3sin x, x → 3ln x, x → xx niet exponentieelgenoemd kunnen worden. Ze bezitten immers niet deeerdergenoemde definiërende eigenschap.Overigens is de vorm-interpretatie in veel leerboekenook nog steeds springlevend. Zolang echter een auteurvan een leerboek bij het gebruik van de benaming‘exponentiële functies’ niet expliciet kiest voor defunctiesoort-kant, zal er geen enkele specifiekeeigenschap van exponentiële functies geformuleerdkunnen worden - die functiesoort is dan immers ingenen dele afgepaald. Verder zal er geen enkele stellingover deze functiesoort uitgesproken kunnen worden.En evenmin kan hard gemaakt dat deze functiesoort zobelangrijk is dat deze in de leerboeken voorkomt, wantelke willekeurige (definiet-positieve) functie f kangeschreven worden in de vorm x → e ln f (x )

maar daarmee is die functie f toch niet ineens‘exponentieel’ geworden?

Grondtal versus grondtalAansluitend bij de twee betekenissen van exponentiëlefunctie zijn er ook twee betekenissen van de term‘grondtal’.


suta t

E

FIGUUR 1

Een exponentiële functie E geeft voor elk domeinpunt t dezelfde lengte van de raaklijnprojectie: de‘subtangent ’ (suta) van die functie.

wanneer verder ook heel expliciet onderscheidgemaakt wordt tussen:

• logaritmische functies (functies die een productsteeds omzetten in een som),versus logaritme-vormen/logaritmen: Alog B of logA Bof lg B of ln B;

• machtsfuncties (die producten overvoeren inproducten), versus machtsvormen/machten: AB of A^B;

• wortelfuncties (die na (herhaalde) vermenigvuldigingmet zichzelf overgaan in een identieke functie, op � ofop een deel daarvan), versus wortelvormen/wortels:�

AB� of �B;

• gehele functies (die na (herhaald) differentiërenovergaan in een constante functie; ook: die eenrekenkundige rij steeds omzetten in een gegenerali-seerde rekenkundige rij), versus veeltermvormen/veeltermen;

• gebroken functies (die na vermenigvuldiging met eenpassende gehele functie overgaan in een gehelefunctie), versus gebroken vormen: A/B.

Nog andere kwesties die lijken te kunnen wordenopgehelderd door het maken van onderscheid tussenbenamingen die een notatie aanduiden, versusbenamingen die een wiskundig begrip aanduiden, zijnbijvoorbeeld:- Het afbakenen van de betekenis van de termen‘breuk’, ‘deling’, ‘gebroken getal’, ‘quotiënt’, ‘rationaalgetal’, ‘verhouding’, ‘kommagetal’.- De ontmaskering van Meneer-Van-Daalen: Debehoefte aan een afspraak over de voorrang bij hetontbreken van haakjes betreft niet de voorrang tussende zeven bewerkingen (dat zijn functies van tweevariabelen), maar wel de voorrang tussennotatievormen voor bewerkingen. Zodoende kan (enzàl in de wereldwijde praktijk ook vrijwel steeds) ina : bc de tekenloos genoteerde vermenigvuldigingvoorrang hebben, terwijl in a : b �c en in a : b�c demet stip of kruis genoteerde vermenigvuldiging géénvoorrang heeft.- De problemen rond rij en reeks, waarover in devolgende paragraaf iets meer.

Problemen rond rij en reeksEen rij (elke functie op domein �) kan rekenkundig,meetkundig, harmonisch, convergent, sommeerbaarzijn. Maar zijn diezelfde condities ook toepasbaar op‘reeksen’? Is een meetkundige reeks wat anders daneen meetkundige rij? Een convergente reeks schijnt wèlwat anders te zijn dan een convergente rij.Tal van auteurs introduceren de term ‘reeks’ (mijnsinziens terecht) voor een bepaalde vorm waarin een rij(iedere rij) genoteerd kan worden, en wel die met hetgrote-sigma-teken als symbool voor de afbeelding vaneen gegeven rij op zijn partieelsommenrij, of ook diemet de plustekentjes en drie puntjes op het eind:

1, 1 � �12�, 1 � �

12� � �

14�, …

Gewoonlijk wordt daaruit echter niet de consequentiegetrokken dat je dan niet over ‘convergente reeksen’kunt spreken. Een notatievorm kan immers nooitconvergent, rekenkundig of sommeerbaar zijn! Voor mij is het daarom steeds een grote puzzel om uitte maken wat er bedoeld wordt wanneer er sprake isvan machtreeksen, taylorreeksen, fourierreeksen endergelijke.

Tot slotDe in het begin genoemde functie x →�102 sin x is inmijn visie dus niet exponentieel.Maar op welke plaats kan een leerling dat vinden? Alsin een hoofdstuk uit een schoolboek met de titelExponentiële Functies niet te vinden is wat dat wel enniet zijn, waar gaat zo’n hoofdstuk dan wèl over?Veelal over de rekenregels voor machtsverheffings-vormen (en eventueel logaritmenemings-vormen),maar laat de titel dan niet wat anders beloven.De Nomenclatuurcommissie zou hier helderheid inmoeten verschaffen, het begrip ‘exponentiële functie’staat immers genoemd in de examenprogramma’s?

Over inhoud en auteur

Dit artikel is de uitgewerkte inhoud van een workshop die gehouden is

tijdens het NVvW-jubileumcongres in Utrecht op 17 november 2000.

Het adres van de auteur is Tournoysveld 67, 3443 ER Woerden.


Verrassend is dat niet, want Frans Keune is inNijmegen als onderwijsdirecteur aan de KUN al langeractief op het gebied van het voortgezet onderwijs.

De opgavenKangoeroe is bedoeld voor alle leerlingen: het isbeslist geen wedstrijd voor alleen maar bollebozen.Dat wil ook weer niet zeggen dat de opgaveneenvoudig zijn. De eerste opgaven zijn niet zomoeilijk, maar de laatste zijn dat zeker wel. Deleerling begint met 30 punten. Een goed antwoordlevert 3, 4 of 5 punten op, zodat hij maximaal op150 punten kan komen. Maar: een fout antwoord kost�34�, 1 of 1�

14� punt. Géén antwoord geven levert niets op,

maar kost ook niets. Zodoende is de verwachtings-waarde van het aantal punten bij puur gokken 0.En 75 minuten is niet zo veel tijd. Zelf denk ik dathet praktisch onmogelijk is om alle opgaven goed temaken. Dat is ook niet de bedoeling. Als iemand dehelft goed heeft, is dat al een heel behoorlijkeprestatie.De Kangoeroe-vragen hebben allemaal iets fris, ietsverrassends. De leerling heeft ze waarschijnlijk nooiteerder gezien en moet dus zelf een idee vormen overde probleemstelling. Veel leerlingen beleven plezieraan deze hersengymnastiek.Als voorbeeld staan hiernaast drie opgaven van vorigjaar.

Kangoeroe in het kortIn 2001 waren er 26 deelnemende Europese landen metin totaal 1,75 miljoen deelnemers. De wedstrijd die uitdertig vijfkeuzevragen bestaat, vindt plaats op schoolen duurt vijf kwartier. Er zijn drie verschillende versiesvan de wedstrijd: voor de klassen 1 en 2, voor deklassen 3 en 4 vbo/mavo en voor de klassen 3,4,5havo/vwo. De wedstrijdformulieren worden centraal ophet CITO te Arnhem verwerkt. Daar wordt de score vaneen leerling vergeleken met die van de anderedeelnemers in Nederland uit dezelfde klassenlaag enhetzelfde schooltype. Alleen voor de brugklas wordtgeen onderscheid gemaakt in schooltype.Voor elke deelnemer is er een aandenken. Elke schoolkrijgt bij de uitslag een aantal prijzen naar rato vanhet aantal deelnemers. Bovendien zijn er prijzen voorde landelijke winnaars.

VeranderingTot voor kort was de dagelijkse leiding van Kangoeroein handen van Jan Donkers (TUE). Dat heeft hij metzijn uit- en aanstekend enthousiasme gedaan. Janheeft de Kangoeroe-wedstrijd in Nederland op potengezet en jarenlang geïnspireerd geleid. Nu trekt ‘misterKangoeroe’ zich geleidelijk terug en draagt hij zijnwerk over aan mij. Het is voor mij een uitdaging omJans werk voort te zetten.Kangoeroe verhuist daarmee naar Nijmegen, naar desubfaculteit Wiskunde van de Katholieke Universiteit.

KANGOEROEOp vrijdag 22 maart 2002 vindt de eerstvolgende Kangoeroe plaats -een wiskundewedstrijd voor middelbare scholieren, die gelijktijdigin meerdere Europese landen wordt gehouden. [ Leon van den Broek ]


De baten en de kostenVoor de leerlingen zijn de baten duidelijk: die hebbengewoon plezier aan de wiskundepuzzels. Maar dat isniet het enige. De opgaven hebben ook een ‘culturele’waarde: de leerlingen moeten er anders mee omgaandan met het normale werk op school. Voor de school is Kangoeroe dan ook een welkomeaanvulling op het dagelijkse schoolprogramma.Eigenlijk vind ik dat een activiteit als Kangoeroe eenmust is voor elke school. Dit zijn de dingen waar deleerlingen thuis over doorpraten. En … een school zaluit publicitair oogpunt blij zijn met prijswinnaars.In het bijzonder scoort de sectie wiskunde metKangoeroe goed bij de kinderen, ouders en collega’s.Ze laat zien dat wiskunde een creatief en uitdagendvak is.Het kost natuurlijk ook wat: per deelnemer 2,50 euro.Dit bedrag wordt voornamelijk besteed aan deverwerking van de antwoordformulieren en aanprijsjes voor de scholen en voor de landelijkewinnaars.Voor de sectie wiskunde kost het tijd om de wedstrijdop school te organiseren. Vooral bij grote deelnamemoet dat niet onderschat worden.

Hoe doe je mee aan Kangoeroe?Scholen doen op allerlei manieren mee. Het enige datecht nodig is, is wat enthousiasme. Elke school kan diemanier kiezen die het beste bij haar past. Ik geef enkelesuggesties wat betreft organisatie, beloning envoorbereiding: - Wijs om te beginnen een docent wiskunde aan alsKangoeroe-contactpersoon.- Neem Kangoeroe klassikaal af (bijvoorbeeld in debrugklas).- Organiseer de wedstrijd (gedeeltelijk) in schooltijd,bijvoorbeeld tussen 13.00 en 14.30 uur.- Laat de school of oudercommissie (een gedeelte) betalen.- De leerlingen kunnen hun score (omgerekend) alsproefwerk mee laten tellen.- Loof schoolprijzen uit voor de beste leerling perleerlaag, of voor de beste brugklas.

- Verspreid de opgaven van vorig jaar onder deleerlingen. Bespreek eens een Kangoeroe-opgave vaneen vorig jaar in de klas.- Wijs leerlingen op de website van Kangoeroe(www.sci.kun.nl/math/kangoeroe).- Geef ruchtbaarheid aan de wedstrijd, bijvoorbeeld viahet schoolblad (en prijswinnaars komen natuurlijk inde regionale pers).

OntwikkelingenKangoeroe is in beweging. De Nederlandse deelname(35.000 leerlingen in 2001) is goed, maar het kan nogveel beter. Een grotere deelname betekent meermiddelen. Graag willen we ook sponsors, de overheid ende media interesseren. En we willen uitbreiden. Er zou een Kangoeroe-wedstrijdvoor de hoogste groepen van de basisschool moetenkomen. En ook het Vlaamse deel van België zou met deNederlandse Kangoeroe moeten kunnen meedoen.

Wilt u meer weten?In januari 2002 ontvangt elke middelbare school eenbrief over de aanstaande Kangoeroe-wedstrijd (metfolders, posters en een aanmeldingsformulier). Dewedstrijd vindt plaats op vrijdag 22 maart 2002.Op de Kangoeroe-website vindt u onder andere hetreglement, een verslag van de Kangoeroe-wedstrijd2001 en de opgaven met antwoorden en uitwerkingen.Daar vindt u ook een aanmeldingsformulier.

Over de auteur

Leon van den Broek heeft de dagelijkse leiding van Kangoeroe. Hij is

als leraar wiskunde aan de RSG Pantarijn te Wageningen gedetacheerd

aan de KUN. Ook is hij actief als auteur van de Wageningse Methode

en van artikelen in Euclides en Pythagoras.

Adresgegevens:

Stichting Wiskunde Kangoeroe

Subfaculteit Wiskunde, Katholieke Universiteit Nijmegen

Toernooiveld 1 6525 ED Nijmegen; e-mail: [email protected]

tel.: 024 3653232 (dinsdags en vrijdags)

beleidsnota. Redenen genoeg om een tweedeconferentie te organiseren. Die werd gehouden op18 mei 2001 in Utrecht. De bedoeling was om nuverder te komen dan het signaleren van knelpunten.Dat is heel goed gelukt. In diverse workshops kondendeelnemers kennismaken met mogelijkheden om ookin het wiskundeonderwijs aan te haken bij dehierboven geschetste ontwikkelingen. In de meesteworkshops was de inbreng van de workshopleidergebaseerd op praktijkervaringen die inmiddels zijnopgedaan. De organisatoren zijn er ook in geslaagdom alle sectoren van het hbo waar wiskunde ofstatistiek tot de leerstof behoort, in de workshops aande orde te laten komen.

AansluitingRond dit thema waren er twee workshops, die zichrichtten op het Hoger Technisch Onderwijs. Onderleiding van Roel van Asselt, directeur van hetLandelijk Informatiecentrum VO-HBO, werd het beleidvan dit informatiecentrum toegelicht. Uitgangspunt isdat de technische opleidingen zowel met het profielNatuur en Gezondheid als het profiel Natuur enTechniek uit de voeten kunnen en dat in samenhangdaarmee verschillende typen ingenieurs wordenopgeleid. Dat vereist aanpassing van de technischeopleidingen. Besproken werd verder hoe dit op diverseopleidingen vorm begint te krijgen en hoe dit beleidregionaal vervolgd kan worden.

AanleidingDe aanleiding voor het initiatief om een conferentie tebeleggen was dat wiskundedocenten steeds meerrekening moeten gaan houden met de volgendeontwikkelingen:- de invoering van andere onderwijsvormen zoalsprojectonderwijs en probleemgestuurd onderwijs;- de invoering van de tweede fase voortgezet onderwijsen de veranderingen in de doorstroming mbo-hbo;- de opkomst van computer algebra en de grafischerekenmachine;- de opkomst van elektronische leeromgevingen zoalsBlackboard en WebCT;- de verschuiving van leerdoelen naar competenties.

Op de conferentie bleek dat allerlei knelpunten diesamenhangen met deze ontwikkelingen onmogelijklokaal door individuele docenten opgelost kunnenworden. Daarom werd na die conferentie onderauspiciën van de Nederlandse Vereniging voorWiskundeleraren de werkgroep hbo-wiskundeopgericht. Deze werkgroep heeft de beleidsnota‘Wiskunde in het vernieuwde HBO’ opgeleverd, die opdit moment in verschillende geledingen in het hbobesproken en uitgewerkt wordt. Er zijn plannen voorde oprichting van een expertisecentrum WISNET-HBO. Er wordt nog gezocht naar financiering.Intussen is ook al op verschillende opleidingengeëxperimenteerd met aanbevelingen uit de

PERSPECTIEVEN VOOR DEWISKUNDE IN HET HBO,VERSLAG VAN DE TWEEDECONFERENTIEIn januari 1999 is voor het eerst een conferentie gehouden voorwiskundedocenten in het hbo. De belangstelling voor dezeconferentie was groot. [ Henk Staal ]


Jacob Hop, werkzaam in het MBO, besprak in zijnworkshop de veranderingen in het doorstroom-programma als gevolg van het TWIN-project. Tevenskwam als voorbeeld aan de orde de overeenkomst dieROC’s en Hogescholen in de regio Noord-Oost hebbengesloten over de doorstroming.Marian Kollenveld (voorzitter NVvW) gaf bij deopening van de conferentie een beeld van deontwikkelingen in de Tweede fase van het voortgezetonderwijs.

Projectonderwijs en competentiesWiskundige competentie wordt wel beschreven als hetvermogen om bij problemen met wiskundige aspecteneen adequate keuze te doen voor de inzet entoepassing van wiskundige kennis en hulpmiddelen.Maar hoe leer je dat? Organiseer je aparte wiskunde-cursussen of komt wiskunde aan bod op het momentdat dat voor het uitvoeren van een project of debehandeling van een thema belangrijk is? In deworkshops ‘Competenties in de wiskunde’ van BertZwaneveld en ‘Projectonderwijs en wiskunde’ vanPeter van der Velde werd op dit probleem ingegaan. Degeïntegreerde aanpak heeft niet de voorkeur van dedeelnemers. De belangrijkste argumenten hiervoorwaren:- de samenhang tussen wiskundige begrippen,methoden en onderdelen gaat helemaal verloren (die isoverigens in de aparte aanpak ook al niet erg groot);

- het wiskundige werk in de geïntegreerde aanpak isbij studenten de sluitpost van hun activiteiten;- voor de geïntegreerde aanpak is enige ervaring in hetwerken met wiskundige modellen een vereiste; hiermeewordt bedoeld: zelf een (eenvoudig) model opstellen,c.q. bewerken, dan wel er ook echt mee aan de slaggaan; dergelijke (basale) voorkennis ontbreekt. Bert Zwaneveld is zelf tot de conclusie gekomen dateen aanpak waarbij wiskunde weliswaar apart wordtgegeven, maar waarbij expliciet aandacht wordtbesteed aan het (leren) toepassen van wiskunde, hetbeste werkt.

Een beproefd voorbeeld van integratie van wiskundebij een ander vak werd gedemonstreerd door PeterMenger van de TH Rijswijk. Op de TH Rijswijk is Maplehet standaard algebraprogramma. Bij het vakmechanica van de opleiding Technische Natuurkundewordt dit uitgebuit. De wiskunde krijgt bij mechanicaeen minder dominante rol. De aandacht verschuift naarhet opstellen van vergelijkingen en het controleren vande uitkomsten. Het grote voordeel van het werken metMaple bij het vak mechanica is dat het zich uitstekendleent om de Systematische Probleemaanpak (SPA) vanbegin tot eind grondig toe te passen, omdat tijdrovendrekenwerk en gemanipuleer met formules door Maplewordt overgenomen. De aandacht is meer gericht op dehoofdzaken die spelen rond een natuurkundigprobleem, zoals (1) het analyseren van de probleem-


FOTOGRAFIE JAN GRASMEIJER

applications of Mathematica’. Samen met AnnetteLok demonstreerde hij de mogelijkheden vanMathematica bij het onderwerp differentie-vergelijkingen voor economen. Annette Lok heeftervaring opgedaan met de eerstejaars studenteneconomie aan de Universiteit van Amsterdam. In eenaparte workshop ging Thomas Cool in op een nieuwebenadering van risicoanalyse in de economie (ziehiervoor ook http://www.dataweb.nl/~cool; klik doornaar ‘Proper definitions for uncertainty and risk’).In de workshop ‘Statistiek met ActivStats’ ging DirkTempelaar in op de verschillende kenmerken van deelektronische leeromgeving ActivStats. ActivStats isgebaseerd op moderne didactische inzichten: deactief lerende student, aandacht voor concepten inplaats van eenzijdige aandacht voor technieken. Erwordt gebruik gemaakt van realistische voorbeeldenen opgaven, liefst met echte data, die door destudenten zelf verzameld kunnen worden. InActivStats zijn een tekstboek, een simulatie- enillustratietool, videofragmenten uit de bekende‘Against all Odds’ serie, interactieve oefen-vraagstukken, huiswerkopdrachten, projecten, en eenrekenprogramma ondergebracht in één elektronischeleeromgeving. Tijdens de workshop zijn deverschillende componenten en hun onderlinge relatietoegelicht. En is gediscussieerd over de bruikbaarheidervan in een Nederlandse context. Bij dat laatste kande kanttekening geplaatst worden, dat ActivStats zelfwaarschijnlijk weinig taalbarrières bevat voorNederlandse studenten, maar dat de aansluiting bijeen Nederlandstalig tekstboek wellichtproblematischer kan zijn.

Toepassen van wiskunde en computeralgebraEr zijn twee nieuwe wiskundemethoden verschenen(bij Academic Service) die als kenmerk hebben hetwerken met wiskundige modellen bij het toepassenvan wiskunde en geïntegreerd gebruik van computer-algebra.‘Wiskunde door middel van Derive’ van Peter van derVelden is een grondige herziening van een eerdereuitgave onder dezelfde titel. In zijn workshop lietPeter zien hoe Derive didactisch benut kan wordenbij het leren van wiskundige concepten en hoe metbehulp van Derive gewerkt kan worden metvoorbeelden uit de praktijk. Een andere workshop was gewijd aan ‘Toegepastewiskunde voor hoger onderwijs met behulp vanMaple’ van Henk Staal, Anneke Grünefeld en Peervan de Sanden. Een proefversie van deze methode isonder andere gebruikt door Henk Caminada bij deopleiding elektrotechniek van Hogeschool Alkmaar.Een belangrijk onderdeel van deze methode is een CDmet interactieve Maple worksheets. Henk Caminadadeed verslag van zijn ervaringen.Als aanvulling op Maple en Derive kan Matlab eenbelangrijke rol spelen. Paul Wolkenfelt liet met eenvoorbeeld zien wat de betekenis kan zijn van Matlabbij het hele proces van modelvorming, analyse,numeriek oplossen en beoordelen van de resultaten.

stelling die moet uitmonden in een stelsel vanvergelijkingen; (2) het controleren van de uitkomsten(daar is tijd voor vrij gekomen); (3) het numeriekdoorrekenen van meerdere situaties inclusief hetgenereren van grafieken en (4) tenslotte kunnen meercomplexe en daardoor interessantere probleem-stellingen doorgerekend worden.Studenten vinden het aantrekkelijk om met eenprogramma als Maple te werken. Het kost echtermoeite om de systematische aanpak die SPA, zeker incombinatie met Maple, afdwingt, zich eigen te maken.Tegelijk met de invoering van deze vernieuwingen iseen website gemaakt die de lessen ondersteunt. Dewebsite wordt voornamelijk gebruikt voor decommunicatie tussen docent en studenten. De websiteis ontwikkeld vóór de introductie van de elektronischeleeromgeving Blackboard. In het volgende cursusjaarzal het vak mechanica geïntegreerd zijn in het vakNatuur en Techniek. Hierbij zal gebruik gemaaktworden van Blackboard.De mogelijkheden van Blackboard en WebCT werdenverder uitgediept in de workshop ‘Virtual classrooms’van Alfons Kokhuis.

Bij een geïntegreerde aanpak hoort ook een anderemanier van toetsen. Fred Bosman behandelde ditthema in de workshop ‘Competentiegericht toetsen’. Indeze workshop speelden de ervaringen die in hetvoortgezet onderwijs en in het MBO inmiddels zijnopgedaan met het examendossier een belangrijke rol.

Klaas-Jan Wieringa liet zien hoe bij de opleidingBedrijfswiskunde van de Noordelijke HogeschoolLeeuwarden competenties zijn uitgewerkt. Ze speleneen rol bij de hele opleiding. In het eerste jaar komtdat al tot uiting bij oriëntatie op algemenevaardigheden, case-study en beroepsoriëntatie. Aan dehand van praktische voorbeelden werd de ontwikkelingvan competenties en de manier van toetsengedemonstreerd (zie http://www.ond.nhl/~wieringk/wieringk.html).

Statistiek en economisch hoger onderwijsBij het moderniseren van het statistiekonderwijs speeltde computer een belangrijke rol. Theo van Pelt lietzien welke voordelen het inzetten van Excel heeft.Studenten hoeven zich niet te verdiepen in eenspeciaal statistiekpakket en veel studenten zijn alvertrouwd met Excel. Excel is bovendien een pakketdat in het bedrijfsleven veel gebruikt wordt. Theo vanPelt is bezig een boek te schrijven dat onder de titel‘Statistiek voor technici met behulp van Excel’ zalverschijnen bij Academic Service. In de workshop van Jaap Klouwen en Henny Vosbergenspeelde Excel ook een belangrijk rol, maar nu voor hethoger economisch onderwijs voor het onderwerp‘Kostprijs door middel van regressie’. De studentenkunnen de gehele onderwijseenheid rond ditonderwerp volgen via het internet met behulp vanWebCT (zie http://heswebct.hesasd.nl). Thomas Cool is de auteur van ‘The Economics Pack,


De grafische rekenmachineDe grafische rekenmachine wordt tegenwoordiggebruikt (tot op het eindexamen) in de tweede fasevoortgezet onderwijs en in het MTO. In het MTO heeftHenk van der Kooij in het TWIN-project veeldidactische ervaring opgedaan met de grafischerekenmachine en Alex Lobrecht gebruikt de TI89 bij deopleiding Telematica van de Hogeschool van Utrecht.De TI89 is een grafische rekenmachine die ook demogelijkheid van computeralgebra heeft. In eenworkshop werd bediscussieerd wat de consequentieszijn van het gebruik van deze machines. Toekomstigehbo-studenten beschikken over minder algebraïschevaardigheden maar meer vaardigheid in probleem-aanpak. Hoe sluit je daar op aan in het hbo?

Hans Daale liet de mogelijke gevolgen zien van deinvoering van bachelor-master structuur. In dezeworkshop is aandacht besteed aan een aantal mogelijkbelangrijke ontwikkelingen binnen het hogeronderwijs, dus zowel het hbo als het wo. Daarbij wordtvoorzien dat de leerlingenstromen wel eens anderszullen gaan lopen, mede als gevolg van zaken als deveranderende doorstroom van mbo naar hbo, deinvoering van de bachelor- en master-structuur en deprofilering in het havo en vwo.Dat heeft natuurlijk gevolgen voor alle aansluit-momenten en de eventuele eisen die door vervolg-opleidingen in het hbo en wo worden gesteld aan deinstromende leerling uit het havo, vwo en mbo.Aangezien wiskunde wel altijd op een of anderemanier is ingebed in het doorstroomprogramma c.q. alseen belangrijk gegeven voor de slaagkans in eenvervolgstudie wordt gezien, is het goed om dezenieuwe leerlingenstromen te onderkennen. Het is nietzo dat nu al exact is aan te geven welkeontwikkelingen het meest dominant zijn en hoehogescholen en universiteiten daarop zullen reageren.Iedereen die zich binnen die instituten bezighoudenmet strategie en beleid, breekt zich het hoofd over watde beste tactiek kan zijn, laat staan dat de docenten opde werkvloer weten en beseffen hoe het onderwijs overeen aantal jaren zal zijn ingericht…

UitgeversBij het realiseren van geïntegreerd gebruik vancomputer en grafische rekenmachine spelen uitgeverseen belangrijke rol. Er is veel gratis materiaal opinternet, maar dat past meestal niet zonder meer in eenopleiding en de kwaliteit laat vaak te wensen over.Voor uitgevers is het lastig om elektronisch materiaalvan goede kwaliteit te verspreiden en de ontwikkel-kosten terug te verdienen. Ruud Veen, directeur vanuitgeverij Lemma, ging in zijn workshop in op dezeproblematiek.

VisieHet gebruik van ICT-middelen bij productieprocessenen dienstverlening vraagt van haar gebruikers eenwiskundige geschoolheid die anders is dan detraditionele. Wiskundige algoritmes en techniekenworden door de apparaten en systemen vlekkeloosuitgevoerd, de gebruiker komt er niet meer mee inaanraking. Maar om die apparaten en systemendoelmatig te kunnen inzetten is een zeker inzicht in dewerking ervan onmisbaar. Dit wordt ook welomschreven als Mathematical Literacy. Henk van derKooij zette uiteen welke verschuiving dit zou kunneninhouden voor het wiskundeonderwijs.

ToekomstDe verrassing van deze conferentie was dat gebleken isdat er in het hbo veel ontwikkeld wordt op het gebiedvan het wiskundeonderwijs. De verworvenheden vanexperimenten die in de workshops aan de ordekwamen kunnen een belangrijke betekenis hebben voorandere opleidingen. Het project WISNET-HBO beoogtde samenwerking en uitwisseling tussen wiskundedocenten na deze conferentie te continueren. Het is debedoeling te komen tot een kennisgemeenschap die devernieuwing van het wiskundeonderwijs in het hboondersteund en faciliteert. André Heck schetste debeoogde opzet in een workshop. Metha Kamminga, deenthousiaste en energieke projectleider van WISNET-HBO, ging bij de afsluiting van de conferentie ook inop de financiële aspecten van het project.Het laatste nieuws is echter dat de projectaanvraagafgewezen is en dat er voorlopig nog niet gestartwordt met WISNET-HBO. Gezocht wordt nog naarandere subsidiebronnen.

Over de auteur

Henk Staal (e-mail: [email protected]) werkt bij de Educatieve

Faculteit Amsterdam en bij het Algemeen Pedagogisch Studiecentrum.

Hij begeleidt zowel in het voortgezet onderwijs als in het hoger

beroepsonderwijs projecten die beogen ervaring op te doen met het

gebruik van digitale hulpmiddelen bij het wiskundeonderwijs. Hij is

medeauteur van de zojuist bij Academic Service verschenen methode

‘Toegepaste wiskunde voor hoger onderwijs met behulp van Maple’.


er wordt inhet hbo veel

ontwikkeld

Kies één van deze zes figuren en bereken, met deverhoudingen 1 : 1 : �2� en 1 : �3� : 2, de lengten vanalle overige lijnstukken en daarmee de lengten �6� ��2� en �6� ��2� van de beide rechthoekszijdenvan de rechthoekige driehoek met hoeken van 15º en 75º.Ik heb geen keus willen maken uit deze zesmogelijkheden omdat ze alle zes zo’n bijzonder aardigeoefening zijn in het rekenen met verhoudingen en hetrekenen met wortels.

Over de auteur

Frans M. Vriesendorp (e-mail: [email protected]) is wiskundedocent

aan het Anna van Rijn College te Nieuwegein.

In figuur 1 staan de twee bekende tekendriehoekenwaarvan de zijden zich verhouden als 1 : 1 : �2� en 1 : �3� : 2.Er is een andere ‘tekendriehoek’ met minder bekendeverhoudingen. Deze driehoek heeft hoeken van 15° en75°.Van de ‘tekendriehoek’ met hoeken van 15° en 75° zijnin figuur 2 drie mogelijkheden getekend, ieder apart,en daaronder samengevoegd in één figuur.Tot voor kort kende ik voor de bijbehorendeverhoudingen alleen een bewijs met gonioformules.Bijvoorbeeld:

sin (45°�30°) = sin 45°cos 30°�cos 45°sin 30° =

�12��2� � �

12��3� � �

12��2� � �

12� = �

14�(�6� ��2�)

Maar onlangs bleek mij dat er ook een meetkundigeafleiding bestaat.In figuur 3 zijn zes figuren getekend waarin alleen deschuine zijde met lengte 4 is gegeven.

TEKENDRIEHOEKEN[ Frans Vriesendorp ]


FIGUUR 1


FIGUUR 2 EN 3

(De sectoren van de ring hoeven zelfs niet afwisselendwit en zwart gekleurd te zijn, als er maar evenveelwitte als zwarte sectoren zijn). Bewering: Bij elke zwart-witkleuring kan men de schijfzó binnen de ring plaatsen dat er minstens n treffersoptreden. Bewijs: Laat een willekeurige kleuring van de schijfgegeven zijn. We kunnen de schijf op precies 2nmanieren binnen de ring passen. Bij elk van dieposities tellen we het aantal treffers. Stel dat dieaantallen gelijk zijn aan a1, a2, …, a2n. Bewering:

a1 + a2 + … + a2n = 2n2

Als we dit kunnen bewijzen, zijn we klaar, want danstaat hier een som van 2n termen met uitkomst 2n2 �2n�n. Niet alle termen kunnen kleiner zijn dan n,want dan zou de uitkomst kleiner zijn dan 2n2, en dus isminstens één van de ai groter dan of gelijk aan n.Hoe bewijzen we de laatste bewering? Door het totaleaantal treffers op een andere manier te tellen. Stel datde schijf z zwarte en w witte sectoren heeft, met z�w�2n. Neem nu een van de zwarte sectoren vande ring in het oog. Als we de schijf op alle 2nmogelijke manieren binnen de ring passen, treedt er bijdeze ene zwarte ringsector precies z maal een trefferop, want de schijf heeft z zwarte sectoren. Dit geldtvoor elke zwarte sector van de ring, en evenzo levertelke witte sector van de ring w treffers op. In totaaltreden er dus bij alle 2n posities van de schijf nz�nw � n(z�w) � n�2n�2n2 treffers op, zoals weaan wilden tonen.Tot slot nog een studieopgave voor de lezer: is er eensoortgelijk resultaat af te leiden voor het geval dat hetaantal sectoren oneven is? En wat valt er over hetalgemene geval te zeggen, waarbij de ring in j witte enk zwarte sectoren verdeeld is?

Literatuur

Daniel Cohen, Basic Techniques of Combinatorial Theory, Wiley, New

York (1978)

Over de auteur

Rob Bosch (e-mail: [email protected]) is na zijn doctoraal wiskunde

13 jaar werkzaam geweest als wiskundeleraar in het middelbaar

onderwijs. Sinds 1987 is hij als docent verbonden aan de Koninklijke

Militaire Academie te Breda. Zijn belangstelling gaat o.a. uit naar de

sociale keuzetheorie op welk gebied hij aan de Katholieke Universiteit

Brabant onderzoek verricht.

Minstens zeventreffers [ Rob Bosch ]Binnen een ring, verdeeld in 14 sectoren dieafwisselend wit en zwart gekleurd zijn, past een schijfdie ook in 14 sectoren is verdeeld (zie figuur 1). Iknodig de lezer uit het volgende spel te spelen. U kleurtde sectoren van de schijf ook wit en zwart, helemaalnaar eigen inzicht (er hoeven niet evenveel sectorenwit als zwart te zijn), en ik pas vervolgens de schijf zóbinnen de ring, dat er zoveel mogelijk treffersoptreden: sectoren waarin ring en schijf dezelfde kleurhebben. Ik heb gewonnen als ik minstens 7 treffersscoor; u wint als me dat niet lukt.

Even een kleine verkenning: als u alle sectoren wit zoukleuren, zijn er altijd precies 7 treffers, hoe ik de schijfook binnen de ring pas, dus dan win ik. Hetzelfde geldtwanneer u alle sectoren zwart kleurt. Kleurt u zeafwisselend wit en zwart, dan kan ik zelfs 14 treffersscoren. In figuur 2 zien we een kleuring van de schijfmet vijf treffers (links), maar door diezelfde schijf éénslag linksom te draaien (rechts) kan ik negen treffersbereiken, en zo alsnog de winst binnenhalen. Het valt blijkbaar niet mee de schijf zo te kleuren, datik niet winnen kan. Hier moet u even met lezenophouden, en zelf proberen een kleuring van de schijfte vinden waarbij ik gegarandeerd verlies.

U heeft inmiddels verder gelezen, al dan niet na eenaantal vruchteloze pogingen. Want vruchteloos zijn zeongetwijfeld geweest: zo’n kleuring bestaat namelijkniet, en het bewijs daarvan is een mooie toepassingvan het laadjesprincipe. We doen het maar gelijk ietsalgemener, niet met 14, maar met 2n sectoren (in onsvoorbeeld was n dus 7). Gegeven zijn een ring en een schijf die binnen de ringpast. Allebei zijn ze verdeeld in 2n sectoren. Van dering zijn n sectoren wit, en n sectoren zwart gekleurd.

FIGUUR 1 Ring en schijfFIGUUR 2 Links vijf treffers, maar na draaiing van deschijf (rechts) zijn het er negen

WISKUNDEMET KLEUR

In april 2001 organiseerden het Freudenthal Instituuten APS-wiskunde een conferentie over het gebruik vaninformatie- en communicatietechnologie (ICT) in hetwiskundeonderwijs. Hiervoor was veel belangstellingen de evaluatie van de deelnemers was zeer positief.Daarom zal op donderdag 25 april 2002 als vervolg detweede conferentie ‘ICT in het wiskundeonderwijs’plaatsvinden.

Op deze conferentie staat het directe gebruik van ICTin de wiskundeles centraal. In parallelsessies zullenvoorbeelden worden getoond van diverse mogelijk-heden van ICT-gebruik. Ook kunnen ervaringenworden uitgewisseld over de vele initiatieven die op ditgebied al op verschillende scholen plaatsvinden.Hierdoor kunt u zich een beeld vormen van de krachten van de gevaren van de inzet van technologie in uwwiskundelessen.In computerlokalen kunt u zelf aan de slag metsoftware en andere ICT-toepassingen die tijdensparallelsessies worden getoond en genoemd.

Meer informatie over deze conferentie kunt u in deloop van het schooljaar 2001-2002 vernemen viaEuclides, de Nieuwe Wiskrant, WiskundE-brief en dejanuari-mailing van APS-wiskunde.

Datum en locatieDonderdag 25 april 2002 op het APS in Utrecht, van9.30 tot 16.15 uur.

Doelgroep en kostenMaximaal 150 docenten wiskunde voortgezetonderwijs, met interesse in en/of affiniteit met ICT.De prijs van de conferentie is € 260,- per persooninclusief materiaal en lunch.

Meer informatieVoor informatie en inschrijving: Yolanda Velo, APS-wiskunde, tel 030-2856722.In de loop van het najaar wordt een website tervoorbereiding van de conferentie geopend.

Aankondiging / Tweede Conferentie ‘ICT in hetwiskundeonderwijs’


het wiskundeonderwijs over deafgelopen honderd jaar.De doe- en activiteitenmarktvoorziet elk jaar in een behoefte.Tijdens dit congres was het mogelijkom zelf inventief bezig te zijn metallerlei soort materialen.De traditionele studie dag heeft inhet congres een uitgebreidevertolking gekregen.Twee dagen van ontmoeting enuitwisseling van ervaring.Bij het naar huis gaan krijgt eenieder nog een presentje in de vormvan een poster, inclusief toelichting,met de afbeelding van de Boom vanPythagoras, welwillend terbeschikking gesteld doordr. A.E. Bosman.

JaarvergaderingOp zaterdag 18 november houdt devoorzitster haar feestrede(zie Euclides jaargang 76, nr. 4).De jaarvergadering krijgt temiddenvan de vele activiteiten bescheidenaandacht.

VerslagenDe notulen van de jaarvergadering1999 worden onveranderdvastgesteld. Niemand maakt gebruikvan de gelegenheid om toelichtingte vragen.

De penningmeester geeft vooraf eentoelichting op de financiële stukken.Geen van de aanwezigen heeft eenvraag. De kascommissie, bestaandeuit de heren W. van den Berg enC. Garst, heeft de boekengecontroleerd en kan hier positiefover rapporteren. De voorzittervraagt de vergadering om depenningmeester te dechargeren. Devergadering onderstreept dit doorapplaus.

BestuursverkiezingDe bestuursleden S. Garst,M. Kollenveld en W. Kuipers wordenherbenoemd.

Door het aftreden vanmevrouw A. Aukema-Schepel, diezich niet herkiesbaar stelt, benoemtde vergadering in haar plaatsmevrouw L. de Schutter, docent aanhet Mendelcollege te Haarlem.De voorzitster spreekt AgnetaAukema toe en zegt haar veel dankvoor de jarenlange bestuurs-deelname. Wie kent Agneta niet,gedreven en met een hart voor hetwiskundeonderwijs, en wie heeftniet met haar te maken gehad. Eenbestuur zonder Agneta kan men zichnauwelijks voorstellen.

Rondvraag en sluitingVan de rondvraag maakt niemandgebruik zodat de voorzitster devergadering kan afsluiten.

Samenvattend: Congres en jaar-vergadering blijven bij velen in deherinnering als geslaagd in opzet enuitvoering.

CongresDe jaarvergadering vindt dit jaarplaats als onderdeel van hetlustrumcongres.De Vereniging bestaat 75 jaar en datfeit is de moeite waard om op eenbepaalde wijze bij stil te staan. Ineen congres van twee dagen gevenwe in een uitgebreide en feestelijkevergadering aandacht aan eenaantal aspecten van hetwiskundeonderwijs.Het congres heeft als thema:Wiskunde over de grenzen. Het gaatdan over wiskunde over delandsgrenzen, over de vakgrenzenen over de tijdsgrenzen. Binnendiverse workshops worden dezeaspecten nader uitgewerkt.Prof. dr. Jan de Lange geeft ons inzijn lezing inzicht in hetwiskundeonderwijs over de grenzendoor de plaats van hetwiskundeonderwijs in ons land tetraceren binnen het TIMMS-onderzoek. In parallellezingen laatdr. Ed de Moor hoogte- en diepte-punten zien van het meetkunde-onderwijs in Nederland in detwintigste eeuw en geeft prof. dr.Jelke Bethlehem een uitgebreidetoelichting op de resultaten van ‘deNationale Doorsnee’.Op de eerste dag van het congresheet de voorzitter minister F.Hermans welkom.De minister gaat na zijn toespraaknog enige ogenblikken met de zaalin discussie waarbij de werk-belasting van docenten en leerlingenniet onbesproken blijft.De voorzitster overhandigt deminister het eerste exemplaar vanhet jubileumboek.Het bestuur nam het initiatief tot deuitgave van dit boek om een schetste geven van de ontwikkelingen van

VerenigingsnieuwsNotulen van de Algemenevergadering van de NederlandseVereniging van Wiskundeleraren op

zaterdag 18 november 2000 in het Educatorium van de Universiteit van Utrecht

[ Wim Kuipers ]

Jaar-vergaderinggeslaagd inopzet enuitvoering


waarbij de doe-markt de gelegenheidbiedt om te experimenteren metmateriaal.De minister van onderwijs neemt defeestrede voor zijn rekening.Docenten krijgen in elk geval tehoren dat scholen de ruimte krijgenom een eigen invulling te geven aande inhoud en organisatie van hetonderwijs. In een korte discussie metde minister hebben enkele docentennogmaals duidelijk gemaakt dat destudielast en werkdruk sterk istoegenomen in de tweede fase.De voorzitster biedt de minister hetjubileumboek ‘Honderd jaarwiskundeonderwijs’ aan. De uitgavevan het boek is een initiatief van hetbestuur. Met het boek wil het bestuureen breed lezerspubliek bereiken:leraren, ouders van leerlingen, oud-leerlingen, onderwijskundigen endidactici. Het bestuur is erg dankbaardat velen zich hebben ingespannenom mee te werken aan de samen-stelling van dit boek.Samenvattend: de congrescommissie,bestaande uit bestuursleden encollega’s van de hogescholen, is er ingeslaagd om een feestelijk congres teorganiseren. Tevreden reacties op hetinitiatief hebben het bestuur goedgedaan.

Nationale DoorsneeHet bestuur nam het initiatief tot hetopzetten van het lustrumproject DeNationale Doorsnee. De uitvoeringwerd in handen gelegd van eenprojectgroep, in samenwerking metAPS-wiskunde, Centraal Bureau voorde Statistiek, Freudenthal instituut ende Stichting WeTen, maar zeker in hetbijzonder in de persoon van deprojectleider Philip van Schaik.Het project beoogde een groot aantalleerlingen uit de brugklas en hettweede leerjaar te betrekken bijstatistiek. Met als centrale vraag:‘Wie is de gemiddelde leerling vanNederland.’

Om het onderzoek dicht bij deleerling te brengen is er voor gekozenom een onderzoek te doen naarzichzelf en naar leeftijdgenoten. Veelleerlingen hebben meegedaan enervaren dat wiskunde ergens mee temaken heeft.De opgeleverde en beschikbare datageven docenten de gelegenheid omhun lessen statistiek inhoud te geven.Daarnaast maakt een lespakket,samengesteld door het APS en hetCBS, gebruik in de klas directmogelijk. Tijdens het congres heeft prof. dr. Jelke Bethlehem eenuitgebreide toelichting gegeven op deverkregen informatie.Het bestuur is de ondersteunendeorganisaties dankbaar dat ze op dezewijze de wiskunde onder de aandachtvan velen heeft gebracht. Goed voorhet beeld van de wiskunde.

Havo/vwoDe havo/vwo werkgroep bestaat uitdocenten die het bestuur dienen metproducten van bezinning oponderwerpen die actueel zijn enwaarvoor het bestuur zichverantwoordelijk weet om initiatievente nemen tot verbetering enontwikkeling van het onderwijs. Dewerkgroep bezint zich op de plaatsvan de grafische rekenmachine en decomputeralgebra. Fundamenteleveranderingen die een goede door-denking vragen. Het bestuur heeft zorgen over dewerkdruk die is toegenomen. Over debeschikbare contacttijd heeft hetbestuur een brief opgesteld welkedoor veel collega’s onder de aandachtvan hun directie is gebracht. In deene school kan een leerling veel meertijd aan de wiskunde besteden dan ineen andere school. Leerlingen lopenhet risico om onvoorbereid op hetexamen te komen. Samen met anderevakorganisaties heeft het bestuur hetinitiatief genomen om dit onderwerp

Verenigingsnieuws


B

Verslag van hetverenigingsjaar 1 augustus 2000 - 31 juli 2001

[ Wim Kuipers ]

BestuurHet bestuur was dit jaar als volgtsamengesteld:mevr. drs. M.P. Kollenveld(voorzitter), W. Kuipers (secretaris),drs. S. Garst (penningmeester).

Overige leden:J. Hop, mevr. drs. M. Kamminga, drs. P.G.M. Kop,mevr. drs. M.A. Lambriex, S.H. Schaafsma, mevr. L. de Schutter,mevr. drs. H.B. Verhage.

AlgemeenIn dit verslagjaar heeft het bestuuraandacht kunnen besteden aan het75-jarig bestaan van de Vereniging.Een feestelijk congres bracht veelleden voor twee dagen bij elkaar omsamen na te denken over een aantalaspecten van het wiskundeonderwijs(zie verder de paragraaf Jaar-vergadering).Ook in dit verenigingsjaar werden deontwikkelingen in de eerste en tweedefase nauwlettend gevolgd. Studielast,werkdruk en de zorg voor de inhoudvan het onderwijs kregen voort-durend een plaats op de bestuurs-agenda en vroegen om overleg metoverheidsinstanties en onderwijs-instellingen.Informatie over allerlei activiteitenwaren (en zijn) regelmatig te lezen opde website.

JaarvergaderingDe jaarvergadering is dit jaar eenonderdeel van het lustrumcongres,een feestelijke studiedag gehouden inhet Educatorium van de Universiteitvan Utrecht, dit in afwijking van onsvertrouwde adres in Bilthoven. Een groot aantal docenten heeftelkaar twee dagen ontmoet en metelkaar nagedacht over diverse thema’srond het centrale thema: Wiskundeover de grenzen.Ook dit jaar sluiten de onderwerpenaan bij de praktijk van het lesgeven

vaardigheden die docenten nodighebben om de leerlingen voor tebereiden op de aansluiting met hetmbo.

Mbo/hboDe ontwikkelingen binnen hetmiddelbaar en hogerberoepsonderwijs heeft ook voor depositie van het wiskundeonderwijsgevolgen.Voor wat het middelbaarberoepsonderwijs betreft is in hetbijzonder de aansluiting vanuit hetvmbo van belang. Per regio wordensteeds meer afspraken gemaakt. De werkgroep HBO heeft een notitieuitgebracht waarin aanbevelingenworden gedaan met betrekking tothet gebruik van de computeralgebra.De beleidsnotitie ‘Wiskunde in hetvernieuwde HBO’ is te vinden op dewebsite van de Vereniging. Eenexpertisecentrum zal ondersteuninggaan bieden.De werkgroep zal zich verderbezinnen op de positie van het vakwiskunde. Om de docenten te laten delen inopgedane ervaringen en om verdergezamenlijke lijnen uit te zetten,heeft de werkgroep een congresgeorganiseerd. In een aantal thema’swerden de veranderingen zichtbaargemaakt: de rol van ICT, de rol vande grafische rekenmachine en decomputeralgebra, de didactiek, deaansluiting op de vooropleidingen.

Regionale bijeenkomstenOok dit jaar organiseerde het bestuureen aantal regionale bijeenkomsten teZwolle, Eindhoven en Leiden. Deplenaire lezing tijdens debijeenkomsten werd verzorgd doorprof. dr. Anne van Streun. Hetbestuur had de spreker gevraagd ommet de deelnemers te kijken naar destand van zaken in het wiskundeonderwijs in Nederland. In devoordracht werden de verdienstenvan het wiskunde onderwijsgeïnventariseerd en werd gekeken

naar de toekomst, waarbij vooral derol en de functie van de leraaralsmede de invloed van ICT ruimeaandacht kreeg.In workshops werden een aantalactuele onderwerpen ingeleid enbesproken.Het bestuur merkt op dat het aantaldeelnemers elk jaar iets terugloopt.Dit is reden om na te gaan of deregiobijeenkomsten nog een functiehebben of dat wellicht gedacht moetworden aan een andere opzet. Hetkomende verenigingsjaar zal hetbestuur op dit punt met eenantwoord komen.

ZebraDe Zebra-reeks mocht weer wordenuitgebreid met een paar deeltjes.Het is steeds de wens van hetbestuur om deze deeltjes een plek tegeven binnen de lespraktijk.Het bestuur onderzoekt demogelijkheid of er voor debovenbouw van het vmbo ookmogelijkheden zijn tot eenvergelijkbare uitgave.

EuclidesHet bestuur spreekt haar waarderinguit voor de inzet van de redactie ommet het vakblad ondersteuning tegeven aan docenten.Het blijft de wens van het bestuur datdocenten hun ervaringen prijsgevenen met behulp van ons orgaan eenbijdrage leveren aan het uitwisselenvan ervaringen.Kees Hoogland heeft als hoofd-redacteur een aantal jarenvoortreffelijk leiding gegeven. Hijgaf te kennen met het werk te willenstoppen. Het bestuur is er ingeslaagd om in de persoon vanMarja Bos een opvolger te vinden.

Wereldwiskunde FondsTot op heden konden een aantalprojecten worden gesteund inZambia, Zimbabwe, Mozambique,Bhutan, Ghana, Soedan en Kenia.Het bestuur wijst op het belang van

door middel van brieven engesprekken onder de aandacht tebrengen van de staatssecretaris, deleden van de Vaste Kamercommissie,de inspectie en de schoolleiders.

VmboBinnen het vmbo staat er een grootaantal veranderingen aan te komen.De vmbo-werkgroep heeft deevaluatie van de inspectie metbetrekking tot de basisvorminggeëvalueerd. Het bestuur wijst op demogelijkheid dat wellicht teveelleerlingen het risico lopen omwiskunde te vroeg te laten vallen.Een te snelle afsluiting zou later vooreen eventuele vervolgopleidinggevolgen kunnen hebben. Het bestuur is van mening datverantwoordelijke instanties zichdienen in te spannen om materialente ontwikkelen die het mogelijkmaken om vorm en inhoud te gevenaan een sectorale inkleuring van hetwiskundeonderwijs. Van docentenmag men niet verwachten dat zenaast hun werk van alle dag nog inde gelegenheid zijn om materiaal teontwikkelen. Het bestuur heeft haar zorg over dehaalbaarheid van het programmadoor de zwakke leerlingen.Het leerwegondersteunend onderwijsmoet naar de mening van het bestuurop ondersteuning kunnen rekenen.Het bestuur heeft middels een briefgereageerd op het project VMBO-aanloop. Dit is een project van hetministerie waarbij aan een aantalonderwijsinstellingen en uitgevers isgevraagd om materiaal tevervaardigen met behulp waarvanleerlingen van het lwoo de reguliereexamens kunnen maken.Het bestuur meent dat het project opgeen enkele wijze heeft aangegevenwat de kenmerken zijn van lwoo-leerlingen en welke wiskunde voorhen relevant is.In gesprekken met het APS is aan deorde geweest de plaats van denascholing waar het gaat om de

Verenigingsnieuws


dit initiatief om ten behoeve van dewiskunde in ontwikkelingslandengeld in te zamelen.

ExamenbesprekingenOok dit jaar konden weer een aantalexamenbesprekingen georganiseerdworden.De ruime belangstelling rechtvaardigtvoortzetting van deze dienstverleningin de toekomst.

Zij-instromersHet bestuur is vertegenwoordigd in deStichting Beroepskwaliteit Leraren.Hierin benadrukken we het belangvan een goede vakinhoudelijke kennisen van didactische kwaliteiten dienodig zijn voor het geven van goed,eigentijds wiskundeonderwijs.

Tot slotHet bestuur heeft dit jaar met veelinstanties contact gehad en gesproken

over de toekomst van het wiskunde-onderwijs in Nederland. In samen-spraak met de leden wil het bestuurgraag vorm geven aan haar verant-woordelijkheid om initiërend bezig tezijn als het gaat om een goedeontwikkeling van het wiskunde-onderwijs, waarbij de belangen vandocenten en leerlingen voorop staan.Ook in het komende jaar hoopt hetbestuur haar dienende functie waar temaken.

Verenigingsnieuws


Puzzel 002 Recreatie


VoorafOnze vaste puzzelmedewerker en redacteur Jande Geus is door omstandigheden helaas nogniet in staat de Recreatierubriek te hervatten.Dat betekent dat de ‘ladder’ in ieder geval tothet decembernummer ongebruikt in hetberghok moet blijven staan.Gelukkig vonden we collega HermanLigtenberg uit Veenendaal opnieuw bereid eentweetal puzzels te leveren. De oplossingenzullen in een volgend nummer van Euclidesgepubliceerd worden. Ze tellen niet mee voorde ladder.

Puzzel 5Steven en Thomas hebben elk dezelfde taak alsstrafwerk opgekregen: tien lastige wiskunde-sommen. ‘Als jij me nu eens helpt’, zegt Steventegen zijn vriend, ‘dan ben ik 20 minuteneerder klaar.’ Thomas lacht, en zegt: ‘Maar alsjij mij zou helpen, dan ben ik drie kwartiereerder klaar.’Hoeveel tijd zal elk van de knapen nodighebben om het opgegeven werk te maken?Het is trouwens aardig om deze vraag ook eensmeetkundig te benaderen.

Puzzel 6Ik was – het is al heel wat jaren geleden – opbezoek bij een man, die vertelde: ‘Mijn leeftijdis precies viermaal de som van de cijfers vanmijn geboortejaar.’ Zijn jongere buurman, dieook aanwezig was, dacht even na en zei toenverrast: ‘Dat is ook het geval met mijn leeftijden mijn geboortejaar!’Hoeveel jaar was het leeftijdsverschil van dezemannen?

MeerBovenstaande puzzels en de puzzels die zijngepubliceerd in Euclides 76-7 en 76-8 (mei enjuni 2001), zijn te vinden in een door HermanLigtenberg geschreven boekje met de titel De spin en de vlieg. Het is verschenen bijUitgeverij Elmar te Rijswijk-ZH (isbn 90 389 0928 4, ƒ 16,50) en is verkrijgbaarin de boekhandel.

Een oplossing is: p�8 en q�1. Dan zijn dezijden van de driehoek 16, 63, 65.Een tweede oplossing: p�8 en q�7. Dan zijnde zijden 112, 16, 113.Uit de beide uitdrukkingen voor O vinden wer�q(p�q)waarin p en q gehele getallen zijn. r is dus ookeen geheel getal.Voor (x, y, z)� (4, 3, 5) hebben we p�2, q�1. Zodat r �1.

Hieronder volgen de oplossingen van depuzzels uit Euclides 76-8 (p. 322).

Puzzel 3De ‘grap’ is dat menigeen geneigd is te denkendat de rechte hoek weer bij het punt S moetzitten, maar dat was niet als voorwaardegesteld.Al vrij spoedig vormt zich een rechte hoek bijhet punt A, zoals de figuur laat zien. OmdatSB�2SA, zal hoek ASB gelijk zijn aan 60°.De omlooptijd van planeet B is 211–2 = 2�2� jaar.Na 1 jaar heeft A één omloop voltooid, B nogmaar �

14��2�. Het verschil is dus (1� �

14��2�)

omlopen per jaar. Aan het begin is hoek ASBgelijk aan 90°. Deze hoek moet 60° worden.

Dus planeet A moet 30° (= �112� deel van een

omloop) van zijn ‘achterstand’ op B goed-maken.De gevraagde tijd is dus:

�112� : (1� �

14��2�) = jaar.

Dit is afgerond 0,129 jaar = 47 dagen.

Puzzel 4Een Pythagoreïsche driehoek (x, y, z) wordtgevormd als x � 2pq, y � p2 – q2, z � p2 �q2.Noemen we de straal van de ingeschrevencirkel r, dan is de oppervlakte van de driehoekgelijk aanO� �

12�r (x�y�z)�pr (p�q).

Ook is O � �12�xy �pq (p2 – q2).

Uit beide uitdrukkingen volgt dan q(p – q)�7(voor de bedoelde driehoek was gegeven dat r �7).

4��2�

RecreatieOplossingen 001


Willem Hoekstra, Douwe KokOp weg naar het einde van de standaardnormale verdeling,128

Mascha HonsbeekScholieren strijden op KUN-wiskundetoernooi, 260

Kees Hoogland- CEVO-maatregelen Tweede fase, 118- In memoriam, Wolfgang Reuter, boegbeeld van hetNederlandse wiskundeonderwijs, 233

Boukje Janssen, Jacob Perrenet6de Mathematische Modelleercompetitie Maastricht 2000, 110

M.C. van HoornOns boek, ons onderwijs, 172

Gert de KleuverVakantiecursus 2000, 160

Dick KlingensDat bijna vergeten algoritme, en wat er wel degelijk vergetenis, 250

Wim Knoester-DoeveTekstverwerking en wiskunde: een aanvulling, 120

Wim KuipersWiskunde in het vmbo. Hoe bedoelt U?, 239

Kees Lagerwaard, Ger Limpens, Gerard StroomerGrafische rekenmachine en examens, 084

Marianne Lambriex-van der HeijdenPraktische opdrachten voor wiskunde in 5-vwo, 316

Floor van LamoenVlakke meetkunde, 263

Freek MahieuIn memoriam E.H. Schmidt, 1906 - 2000, 041

Hans MontanusPi en het toeval, 152

Ed de MoorEuclides’ moeilijkste eeuw, 290

Redactiecommissie JubileumboekWiskundeleraren vertellen waar ze mee bezig zijn, 003

BijdragenGert Bakker, Kees Lagerwaard, Ger Limpens, Henk SchuringEindexamen vwo en havo, eerste tijdvak 2000, 042

Gerard AlbertsDirk Struik 1894-2000, 219

Danny Beckers- Wisconstighe Vermaecklykheden V, Recreatieve wiskunde inNederland in de 19e eeuw: Kindertijdschriften, 146- ‘In veel Wijsheid is veel Verdriet’: J.W. Karsten en zijn Volks-Meetkunde 1775-1825, 254

Johan van Benthem Instroom Blues, 197

Jan BlankespoorHet nieuwe imago van de wiskunde in het hbo, 094

Hans BlomSint en de letter e, 212Lezersreacties: Toegiften van de Sint, 246

H. BoertienVoortgang bijhouden in het studiehuis, hoe doe je dat?, 192

Petra BoonEindexamens vbo en mavo C/D, eerste tijdvak 2000, 038

Petra BosHet Wereldwiskunde Fonds en wiskunde in Ghana, 075

Leon van den BroekDe afgeleide van de inhoud is de oppervlakte, 080

Joop van Dormolen, Abraham ArcaviWat is een cirkel?, 183

Paul DrijversComputeralgebra in een digitale leeromgeving wiskunde, 240

Anita DuinkerkenProbleemoplossen met BetaPC, 098

J.M. de GeusVerslag examenbesprekingen 2000, 056

C.D. HendriksWerkgroep havo/vwo Tweede fase, 236


INHOUD VAN DE 76e JAARGANG(2000/2001)

Zsòfia RuttkayBruno Ernst over wiskunde, 012

W.C. SchaafsmaDe inhoud van een conifeer, 138

Harm Jan SmidDavid van Dantzig en de Leer der Vergelijkingen, 065

Henk Staal- Computeralgebra en digitaal lesmateriaal: Project DigitaleLeeromgeving Wiskunde, 204- Curve fitting met computeralgebra, 280

Eveline TuynmanMillenniumvergissing?, 214

Johan VerhoogSchaatsen, 156

Agnes VerweijEen bijna vergeten algoritme, 188

Anders VinkPraktische opdrachten in het vmbo: Werken met eenstartpapier en een stappenplan, 312

Pauline Vos- Impressies uit Japan, 132- Wiskunde in de verdrukking, 276

Pauline Vos, Klaas BosNederlands wiskundeonderwijs bij de internationale top, 226

Rinnie S. de VriesScheve schaats?, 245

Peter van WijkDe Nationale Doorsnee: een uniek statistiekproject, 174

Hans Wisbrun- Vakdidactiek in Cyberspace, deel 1, 264- Vakdidactiek in Cyberspace, deel 2, 308

Erik ZomervruchtErvaringen met de eerste groep leerlingen HAVO wiskunde B1en B12 (1998-2000), 060

Jan ZuidhoekMillenniumvergissing, 124

InterviewsFreek MahieuAgneta Aukema, 272

Henk StaalHans Dompeling over computeralgebra en digitaal lesmateriaalin de klas, 304

Korrels010, 151, 187, 245, 303

Van de redactieInhoud van de 75e jaargang, 104Van de redactietafel, 001, 037, 073, 109, 145, 181, 217, 253,289Lustrumcongres 2000, 166Oproep: Zebra-boekjes, 177

VerenigingsnieuwsExamenbesprekingen 2001, 235Het Wereldwiskunde Fonds, 126, 235, 271Jaarverslag 1 augustus 1999 - 31 juli 2000, 091Lustrumcongres 2000, 020, 054Notulen van de jaarvergadering op zaterdag 13 november1999, 090

Regionale NVvW-bijeenkomsten, 199

Marian Kollenveld- Jaarrede 2000, 162- Van de bestuurstafel, 018, 198, 234, 270

Marianne LambriexJaarvergadering/Studiedag 2001, 306

AankondigingenDe Nationale Doorsnee 10 oktober 2000, 030, 055Wintersymposium van het Wiskundig Genootschap, 123Conferentie ICT in het wiskundeonderwijs, 141Nascholingscursus Kansberekening en Computersimulatie voorwiskundeleraren vwo, 141HKRWO-symposium 2001, 177Regionale studiebijeenkomsten van de NVvW in 2001, 177Perspectieven voor de wiskunde in het HBO, 197

BoekbesprekingenJan van de CraatsMathematical Olympiad Challenges (Titu Andreescu, RazvanGelca), 287

Roelof DatemaAlgebra, de brug tussen getallen en meetkunde (M.Riemersma), 115

H.J. HöferStatistiek eenvoudig (J.S. Cramer en J. Hemelrijk), 117

Kees HooglandKennisgrafen in het wiskundeonderwijs (B. Zwaneveld), 028

Ger LimpensEr was eens een getal (J.A. Paulos), 131

F.J.L. MartensAn Introduction to Gröbner Bases (Ralf Fröberg), 116

J.C. SmitHet Magisch Labyrint, de wereld bezien door wiskundige ogen(Ian Stewart), 279

J. van ‘t SpijkerA handbook of Small Data Sets (D.J. Hand e.a.), 063

Hans SterkVectoren en Matrices, een inleiding in de lineaire algebra (Janvan de Craats), 278

F.W. SteutelSpelen met kansen (Henk C. Tijms), 069

S.H. de ZoeteAnalysis I (H. Amann en J. Escher), 078

Frits de ZwaanWiskundige Methoden Toegepast (J. Grasman), 117

Servicepagina036, 072, 108, 144, 180, 216, 252, 288, 324

Mededelingen203

RecreatieJan de Geus, 032, 070, 106, 142Herman Ligtenberg, 287, 322

40 jaar geleden011, 068, 093, 137, 178, 210, 248, 269

Verschenen171, 249



KalenderIn deze kalender kunnen alle voor wiskunde-docenten toegankelijke en interessantebijeenkomsten worden opgenomen.Wil eenieder die relevante data heeft, deze zospoedig mogelijk doorgeven aan de hoofd-redacteur. Hieronder treft u de voorlopigeverschijningsdata aan van Euclides in hetkomende schooljaar. Achter de verschijnings-data is de deadline voor het inzenden vanmededelingen vermeld. Doorgeven kan ook viae-mail: [email protected]

nr verschijnt deadline

3 06 december 2001 23 oktober 2001

4 18 januari 2002 27 november 2001

5 28 februari 2002 15 januari 2002

6 11 april 2002 26 februari 2002

7 23 mei 2002 08 april 2002

8 24 juni 2002 10 mei 2002

woensdag 31 oktoberConferentie Tweede fase havo/vwo, UtrechtOrganisatie APS

woensdag 31 okt. – vrijdag 2 nov.20e Panama-najaarsconferentie,NoordwijkerhoutOrganisatie Freudenthal Instituut

zaterdag 10 novemberArs et Mathesis-dag, BaarnOrganisatie Stichting Ars et Mathesis

zaterdag 17 novemberJaarvergadering/studiedag NVvWHogeschool Domstad, UtrechtZie p. 32 in Euclides 77-1.

vrijdag 23 novemberVoorronde Wiskunde A-lympiade /Wiskunde B-dagOrganisatie Freudenthal Instituut

donderdag 6 decemberConferentie Wiskunde in het mbo, UtrechtOrganisatie APS

zaterdag 19 (of 26) januari 2002Mathematische Modelleercompetitie, MaastrichtOrganisatie Universiteit Maastricht

vrijdag 1 en zaterdag 2 februari 2002Nationale Wiskunde Dagen, NoordwijkerhoutOrganisatie Freudenthal Instituut

vrijdag 22 maart en zaterdag 23 maart 2002Finale Wiskunde A-lympiade, GarderenOrganisatie Freudenthal Instituut

vrijdag 22 maart 2002Kangoeroe-wedstrijdOrganisatie KUN, zie pagina 54.

donderdag 25 april 2002Conferentie ICT in het wiskundeonderwijs,UtrechtOrganisatie APS en Freudenthal Instituut, zie pagina 63.

Voor internet-adressen zie de website van deNVvW: http://www.nvvw.nl/Agenda2.html

Publicaties van deNederlandse Vereniging van Wiskundeleraren

* Zebra-boekjes1. Kattenaids en Statistiek2. Perspectief, hoe moet je dat zien?3. Schatten, hoe doe je dat?4. De Gulden Snede5. Poisson, de Pruisen en de Lotto6. Pi7. De laatste stelling van Fermat8. Verkiezingen, een web van paradoxen9. De Veelzijdigheid van Bollen

10. Fractals

Prijzen van de Zebra-boekjes:Schoolabonnement: 6 exemplaren van 5 delenvoor ƒ 400,-Individueel abonnement voor leden: ƒ 75,-Losse boekjes voor leden: ƒ 16,50Deze bedragen zijn inclusief verzendkosten.Bestellen kan door het juiste bedrag over temaken op Postbanknummer 5660167 t.n.v.Epsilon Uitgaven te Utrecht onder vermeldingvan Zebra (1 t/m 5) of Zebra (6 t/m 10).Zelf ophalen kan in de losse verkoop; ledenprijsop bijeenkomsten ƒ 12,50; in de betereboekhandel ƒ 17,75.

* Nomenclatuurrapport Tweede fase havo/vwoDit rapport en oude nummers van Euclides(voor zover voorradig) kunnen besteld wordenbij de ledenadministratie (zie Colofon).

* Wisforta - wiskunde, formules en tabellenFormule- en tabellenboekje met formulekaartenhavo en vwo, de tabellen van de binomiale ende normale verdeling, en toevalsgetallen.ISBN 90 01 65956 X; prijs ƒ 15,00; te bestellenin de boekhandel.

* Honderd jaar Wiskundeonderwijs, lustrumboekvan de NVvWHet boek is met een bestelformulier te bestellenop de website van de NVvW(http://www.nvvw.nl/lustrumboek2.html).Leden: ƒ 50,-; niet-leden: ƒ 62,50 (incl. verzendkosten).Zie eventueel ook de advertentie in Euclides 76-7 (na p. 288).

Servicepagina

Zo ju i s t ve rschenen …

Hoe lang is de kust van Noorwegen? Hoe beter je meet, hoe langer hij wordt! Dit

vreemde effect wordt verklaard door het feit dat de kustlijn eigenlijk een fractal is.

Fractals zijn meetkundige objecten, net als cirkels en lijnen, maar dan extreem

grillig. In de natuur komen fractals overal voor, bijvoorbeeld in de structuur van

een varenblad of van een bliksemschicht. Wiskundig gezien zijn fractals

fascinerende figuren. Niet alleen omdat ze vaak prachtige plaatjes opleveren, maar

ook omdat ze onze meetkundige intuïtie op z’n kop kunnen zetten. In dit boekje

worden de soms vreemde eigenschappen van fractals bekeken. Zo zul je onder

meer ontdekken dat een fractal “structuur op elke schaal” heeft, en een dimensie

van 1,5 kan hebben!

ISBN 90 5041 068 5

Prijs voor leden van de NVvW: f 16,50 (inclusief verzendkosten).

Bestellingen via girorekening 5660167 t.n.v. Epsilon Uitgaven, Utrecht.

Prijs voor leden van de NVvW op bijeenkomsten: f 12,50.

Prijs voor niet-leden: f 17,75 (in de betere boekhandel).

Voor abonnementen zie de Servicepagina in dit nummer van Euclides.

Zebra 10[ Igor Hoveijn, Jan Scholtmeijer ]

Epsilon Uitgavenin samenwerking met de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren

advertentie

Pythagoras is een wiskundetijdschrift voor jongeren datde leuke en uitdagende kanten van wiskunde laat zien,dingen die meestal niet in de schoolboeken staan.Pythagoras bevat allerlei wiskundige wetenswaardighe-den. Er is een grote variatie in onderwerpen: priemgetal-len, fractals, computers, grafische rekenmachine, reken-trucs, drogredeneringen, grafische onmogelijkheden in‘Beeld en Bedrog’. Het thema van schooljaar 2001-2002is: ‘Experimentele wiskunde’ - wiskunde om zelf te ont-dekken. Gastredacteur voor dit thema is professor Jan van de Craats. Pythagoras wordt uitgegeven door hetWiskundig Genootschap en verschijnt zes keer perschooljaar. Een jaarabonnement kost f 39,50. Bij tussen-tijdse abonnering ontvangt en betaalt men die nummers die dat schooljaar nog worden uitgebracht.Homepage: www.science.uva.nl/misc/pythagorasE-mail: [email protected]

PYTHAGORAS

Svp invullen in blokletters:

Naam m / v

Adres

Postcode Woonplaats

Geboortedatum

Telefoonnummer

E-mailadres

Bank- of gironummer

Antwoordcode euclides

Maak nu voordelig kennis met Pythagoras. Het eerste jaar Pythagoras voor f 32,50 in plaats van f 39,50. Elke nieuwe abonnee krijgt de poster‘Onmogelijke Driehoek’ thuisgestuurd.

Ja, ik abonneer mij op Pythagoras! Het eerste jaar betaal ik f 32,50 in plaats van f 39,50.

Deze bon kan ongefrankeerd opgestuurd worden naar: Pythagoras, Antwoordnummer 17,NL-7940 VB Meppel. Je kunt de bon ook faxen naar: 0522 855176 of, met vermelding van de antwoordcode, de gegevens e-mailen naar de abonnee-administratie: [email protected]

advertentie

2000Toegestaan op Tweede Fase eindexamens havo-vwo

WisfortaWiskunde, Formules en Tabellen

Het boek is alleen voor rekening leverbaar. Stuur de bon in een gefrankeerde envelop

naar Wolters-Noordhoff, t.a.v. afd. voorlichting Exact, Postbus 58, 9700 mb Groningen.

E-mailen kan ook: [email protected].

Bestelcoupon

Ja, ik bestel

___ ex Wisforta à ƒ 15,00/€ 6,81 isbn 90 01 65956 x

Naam school

Ter attentie van

Adres

Postcode

Plaats

Wolters-Noordhoff

Postbus 58

9700 mb Groningen

Telefoon (050) 522 63 11

Fax (050) 522 62 55

Ook verkrijgbaar via de

boekhandel

Wo

lte

rs

No

ord

ho

ff

✃

419/1210

De inhoud:

• formulekaart havo

• formulekaart vwo

• cumulatieve binomiale verdeling

• cumulatieve normale verdeling

• toevalsgetallen.

Het boekje is goedgekeurd door de CEVO en

mag bij de centrale examens wiskunde in de

Tweede Fase worden gebruikt.

(Bron: www.eindexamen.nl en de novemberbrief 1999)

isbn 90 01 65956 x ƒ 15,00 € 6,81

Eindelijk duidelijkheid! Alles wat een leerling mag

raadplegen op zijn Tweede Fase wiskunde-examen in

een overzichtelijk boekje.

ZONDER INSPIRERENDE DOCENT? · 2016-08-09 · De Stichting Vierkant is al langer bekend in wijde...

Documents

Transcript of ZONDER INSPIRERENDE DOCENT? · 2016-08-09 · De Stichting Vierkant is al langer bekend in wijde...