KTSPstandar tsi 2006

Lembar Kerja Siswa

#z.'llatematlK

(PtWram IPS)

UntukSiswa SMAItI

D@,

\,€

FIdIt

Hfl[

BAB 1

BAB 2

7r"/"--, &,*-* - tg

A.

B,

A.

B.

.i"kg^*t - +

lntegral Tak Tentu dan lntegral Tertentu - 4lntegral untuk Menghitung Luas Daerah di Bawah Kurva - 1.1

Latihan Mandiril- 12

TugasKelompokl-14Uji Kompetensi 1-14

Persamaan Linear Dua Variabel - 1g

Model Matematika dari Masalah Program Linear - 22Latihan Mandiri 1- 24

Tugas Kelompok 1 -25Menentukan Nilai Optimum dari Fungsi Objektif pada Sistem Pertidaksam aan - 26Latihan Mandiri2-?8TugasKelompok2-30Uji Kompetensi2 - 31

Ulangan Tengah Semester Gasal- 37

BAB 3

:XD*r*t - +o

A. Pengertian Matriks - 40Latihan Mandiril-45TugasKelompokl-46

B. Operasipada Matriks - 47

LatihanMandiri2-49TugasKelompok2-51

C. Determinan dan lnvers Matriks - 52D. Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Dua Variabeldengan lnvers Matriks -53E. Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Dua Variabel dengan lnvers Determinan - 54

LatihanMandiri 3-54UjiKompetensi3-56Ulangan Akhir Semester - 61

Matematika Kelas XII SMA IPS Smt, Gasal

[ruTffi&ffi&r-

ffialam pemecahan masalah sederhana

Memahami konsep integral tak ientu dan integral tentu

Menghitung intesraltur' i*t' Jurr integrall":iiii::tl:?:::i::?i:,::erhana1

2

3 ilffiffii;, Ni"n*i"t'k rnenghiturrg luas daerair dr bawah kurva

Pernahkah kamu mengukur voiume batu yang bentuknya tic:'

beraiuran? Dengan """u

upu kamu dapat ffi€nquktrr" rrnlurne ba

tersebut? Fasti kamu akan menggunakan gelas ukur dan pengga' 'bukan? Selain menggunakan g;las ukur' dapai juga menggunaliz

-

perhitungan secara matematis' yaitu dengan konsep iniegral Tahura-

[l;,;;;, itu rntegral. Untuk biia menjawabnya pelalartiah bab Lr::

gralberikut.

1. lntegral Tak Tentu

a.--Fenge*ian lntegral Tak -Tentu

''.",:'%i::: jilT.iilJ'ffi1:i"iHr':I::l?:9::i:[:

fl::::liilfl:f:J'n::]i,'iliI;;'ffi'f:?f?f;,1[l,Iilli'"i:;;i;;;iil;ir:q:tf:xi:lY,'"1i?13:i:T;;;','[:::'ri3lil.ffi"J-?[i:lj:i#l;:fil':Ent".,piperlutet<nrx-Gt<nixyangcukLtprui.r..liri oluiirrakan Pada uraian berikut

Jika diketahui:F x\ = 2{ , maka F (x) =

Fixl = 2x2 + 3. maka F 1x1 =

F(x; =2r:-7 makaF(x) =

$SlKs(s<\.S.SL.SSslsTStif slfl lli$\Kssj$l:::l\\i\\:\::'tl)'-;":

F(x) hanYa berbeda Pada suku iefaP

Sehingga, daPat ditulis Fix) = lY: + 6

dengan F'(x) = 4xF(x) = fYz + maka F'(x) =

Mli"*riix, Kelas Xll SMA IPS Smt' Gasa

Pada integral yang diketahui adalah fungsiturunannya atau F'(x) Sehrngga harus menentukannilai F(x). Jika F(x)aoalah fungsi umum yang ber"srfat F'(x,1 = 1*;, maka F(x) merupakan antiturunanatau rntegral dari f(x) dengan rumusl

J . Lambang integralyang menyatakan operasi antiturunan

f(x) : Fungsi integral, yaitu fungsiyang dicariantiturunannyac : Konstanta

Menentukan Rumus lntegral Tak Tentu FungsiAljabarPerhatikan deferensial berikut!

Jika F(x)=5rz,makaF'(x)=12xdanF(x;= lru,makaF'(x1=2x5.Bagaimanajikadicari

f(x)? Didapatkan dengan cara mengrntegralkan, yaitu sebagai berikut.

Jr1xl ox = F(x) + c

a' fizxax.9x'-'-6x,

[n 1x1 dx = k lr (x) ctx

j(r1x;+ o(x))ax -- !r(*) o, n

J(r(*) -o(x))ax = lr(x)ax -

fi,(,)),,,(*) o, =fri,t"l) +

a, Jx'ox

b lax'axPenyelesaian:

a Jxu ox =lu*'"+c=1x8+c

. Jax-'cix = j* r, 3'1+

c = \*' *, -

Jr1x1 ox =F(x)+c

b. l2xtdx-.? r"' 2 IJ 5*1 -x"l(' -x"*c

Dari soal tersebut, maka didapatkan rumus.

Berikut sifat-sifat yang berlaku dalam integral

a ^,lax"dx - x"'-t-c, nr_1x+1

lo(x) ax

lo(x) ax

c, di mana c adalah konstanta, n + *1

Contoh: Hitunglah fungsi f(x) dari soal-soal berikufl

tll-x'dx.Z

li ox) x,

,4x2+"- i-r,4x'

d.

7(,)ox : r(c)+ c

lJ;:ematika Kelas Xll SMA IPS Smt. Gasal

11c l1*- ox, r' -r:2r, -"=11,1r')* "=1.ru*"- J2" -" 7-1' - B ,\2 I ) 16

"? ? (7) 1

u. J x' -" .r --' -. (_7)+ 1 _6 2 2x.

c. Menentukan Rumus lntegral Tak Tentu Fungsi Trigonometri

Sebelum menyelesaikan integral tak tentu fungsi trigonometri, maka peril: --r=:'unlirs-

rumus trigonometri berikuti

1) 2 sin xcoSY= sin (x +Y )+ sin (x-Y)2) 2 cosxsin y = sin (x + y ) - sin (x-Y)3) 2 cos xcos Y= cos (x + Y ) + cos (x-Y)4) -2 sin x sin y = cos(x + y ) - cos (x- y)

5) sin2x+ cos2x= 1 dan 1 +tan2x= sec2x

6) 1 +cotan2x=cosec2x

1 - cos 2nx7) sin2 nx = ,-- dan cos2 nx =

8) sin x cos v = ]{.in(o +y)+ sin(x- v)}

e) cos x sin y = ;Lsin(x

+ y)- sin(x - y))

10) cos x cos y = ]{"o.(* + y)+cos(x - y)}

1r11) - sin x sin y = r{"os(x

+ y)-cosn(* - v)}

Rumus dalam menentukan integraltak tentu fungsi trigonometri.

1 ) lntegral dengan sudut x dan sudut ax

1 + cos2nx

2) lntegral dengan sudut (ax + b) atau U(x)

a) fsin

(ax + b)dx = -cos (ax +b) + C c) J

sin llrv - -- -i

b ) Jcos

(ax + u)ox :sin (ax+b)+Cl'

d) lcosUdx =-- '-JL

a) Jsinxdx=*coSx+C c)

fsinaxdx= 1*. ax+C

o) Jcos

x dx =sin x + C o) Jcos

ax dx=1sin ax + C

Matematika Kelas XIISMA IPS Smt. Gasal

3) lntegral dengan bentuk pangkai

a) Jsin" xcosx 6, - 1r;nn-1 x + Cn+1

b) jcos'x sinxO* =--!"osn*1 x+Cn+1

c) Jsinn x dx = Jsinn'-1 x sin x dx,bila n ganjil

d) Jcos" x dx = Jcosn-1 x cos x dx,bila n ganjil

e) jsin" x dx = 1(sin' x )! o*,0,,, ngenap

I ^ \n

f) Jcos' x dx = J@os'? x ), O*,nit, n genap

Contoh: Hitunglah fungsi f(x) dari soal-soal berikutl

a. jsin(x r- cos x)dx

b. J (cos 6x - sin (+x + 1)!x

c. jsin5xdxd. j sin 4x cos 6x dx

Penyelesaian:

a. jsin(x + cos x)dx : -cosx + sinx + C

b. j(cos6x - sin(+x + 1)!x - lsiro* * lcos(4x r l)* C"64

c. jsins xdx - Jsinaxsinx dx

= i(1* cos2 x)2 sin x dx

= Jsinxdx - j2cos2 xsinxdx+Jcosa xsinxdx

= -cos* *?"or' x -1cosu x * C35

d. Jsin 4xcos 6x o* = lJ{sin10xr- sin(-zx)}ox2''

d. lntegral subtitusiMlsalkan u = g(x) dengan g(x) merupakan fungsi yang mempunyai turunan g'(x), maka

It(g(*)g'(xlx dapat diubah menjadi jr(u!u Jika F(u) adalah antiturunan darif(u), maka:

jr(s(x)s'(x)!x = Jf(u)du = F(u)+ c

Contoh: Selesaikan tiap integral berikut!

a. 2x (x2 + 4)3 dx

Penyelesaian:Misalkanu=x2+4,maka:

du du_=zx<:)ox=_dx 2x

b.

b.

sinsx cos x dx

Misalkan u = sin x, maka:

du du_=cosxeoXdx cos x

Matematika Kelas XIISMA IPS Smt. Gasal

ii:IhIhhtshh:FItsthTI:ITThTthIhh

EhIthHThhF:tsTTtt

Eh

EI

E

EI

HE

Sehingga:

2x(x2+ 4)3dx= J2xu3

= +,,u3 du

= [1ua*c'4

= Lk'+ 4)o + c4'

a ix(2x+3)2dx b

Penyelesaian:

a Misalkanu=x= {=1dx

didaPat: du = dx

6u = (2x + 3)2 dx

: = ir (2x + 3)'?dx

Maka,

Jx (2x + 3)'z dx

i x sin xdx = x(- cos x) - J(- cos x)dx

= ,] iz* ,3)' - 1] (zx + s)'oxbo

-= 1x(zx, 3)' - ]J(2x, 3)3oxbo

-f,(zx ,)' * ]tr**3)a+c

= |*(z* * 3)' - fit .+ 3)4 + c

Sehingga

sin5x cos x dx = .i u.

= jusdu

!n= -Ll +t/

o

1a= -sln-x+u6

Jx sin x dx

Misatkanu=x- 9!:rdX

didapat. du = dx

dv =sinxdxv = Ix sinxdx=-cosxMaka,

= -XCOSX r- JCOSXdX

: -XCOSX -r- SinX + C

du

Ti]CS;

:l) {

e. lntegral Parsiallntegral parsial digunakan untuk mengintegralkan suatu fungsiyang tidak

dengan integral subtitusi.

Rumus:

lu ctv = uv * [vclu

Catatan:

Pemilihan u diambil suatu fungsi yang dapat diturunkan hingga habts

Pemilihan integral v dv dipilih yang mudah diintegralkan

Contoh: Selesaikan tiap integral berikutl

: -= esaikan

s1:FB).::::fr)itller>::n-:'rilii)'; - i :

Matematika Kelas XIISMA IPS Smt. Gasal

f. Aplikasi lntegral Tak Tentu1) Dalam persamaan gerak lurus beraturan, yaitu:

Sehingga :

Contoh: Suatu benda yang bergerak pada bidang datar dengan kecepatan v m/s. Pada

saattdetikbendatersebutmempunyaikecepatanv=3t2-4t+3,padasaatt=2sekonbenda tersebut mempunyai jarak 8 m. Tentukan jarak benda setelah benda tersebutbergerak selama 3 sekon!Penyelesaian:

Diket :v=312-4t+3 t=2makas=8

Makas=ivdt :=:.-'l"l':.''t ^ r o=z -z.z t3.2+Cs=l(et'-4t 3)dt 8=8_8+6s=t3 -212 +3t+C g=C

s(t) -13-2t2+3t+Bs(3) =33-2(3)2+ 3 (3) +6

=27_19+g+B=26m

Jadi, jarak benda yang ditempuh selama 3 sekon adalah 26 m.

2) Menentukan persamaan kurva jika diketahui gradien garis singgungnya dan melalui sebuahtitik pada kurva.

Diketahui gradien garis singgung dengan kurva y = f(x) adalah . = :l = t'(r) , sehingga

persamaan kurvanya dapat ditentukan dengan persamaan berikut.

.i:

.i,I

1

Contoh: Gradien garis singgung di titik A(x,y) pada kurva adatah :l=4x+3. Jika

kurva tersebut melalui titik (2,1 ), tentukan persamaan kurva tersebut!Penyelesaian:

Diketahui :*=4x+3, sehinssa:

Kurva melalui titik (2,1), maka.

y = I:F- = f{0, + s)dx = 2x2 +3x + c

y=2x2+3x+Cl=2(2)2+3(2) +C1=B+6+CC=1-14=-13Jadi, persamaan kurva tersebut adalah y = 2x2 + 3x - 13

Matematika Kelas Xll SMA IPS Smt. Gasal

a t a.a a a a a a a a t't:tir'ra.:

2. lntegral Teftentu

Jrkay=f(x)adalahfungsikontinudanterdefinisidalaminterval a<x<b ma(a ntegraltertentu

terhadap x dari x = a sampai dengan x = b dinyatakan oleh

Keterangan:

l, fuu,,r,tF(x) = hasil integral

a = batas bawah

b = batas atas't,f (l,t = tt,,l,i = e Q)- rQ)

Sifat-sifat integral tertentu dengan f(x) dan g(x) fungsi yang

adalah:bb

a1 jrt(x)ox = t1 r(x)ox, k = konstantaaaDcb

b) jf(x)dx = It(*)dx + Jf(x)dx, dengan a < c < b

: " o" b

c1 j(t(x)r s(x))ox = It(r)dx - js(x)dx

ol itG)o- = ziik)o* oirun" t fungsi senap

kontinu daan ^:e-,a a<x<b

a

3.d.l(0-cosxlcx

0

,

b

e)jf(x)dx =a

b

f)jf(x)dx =a

a

0

0

a.-l t(x )dx

tt,

g)_if(x)dx = 0 dimana f fungsi ganjil

Contoh:Hitunglah setiap integral berikut.

4

a. j6x dx3

3,

b. jFx'+4x-3)dx-1

x

,c. { sin2x dx-0

Penyelesaian:

a ion**.[;,']. =3k r -G)'l=]t u-sl=e(z)=zr

b. itur'

* *x - 3)dx

l(r*' *-+x - a)ox = [r' *2x2 -3x11

= (a)' + z(s)'? - 3Gr- (- r)' +z(- r)' - s(- r)= ((zz)+ 1B - s)- (C t)* 2 + 3) = 36 - 4 = 32

l10 Matematika Kelas XIISMA IPS Smt. Gasal

iftr a a i a.f! a a-'

?.inz* o, = i- 1"orz*'i - --1,.orzt [2 -a 2l_

lj(3 cosx )dx fex , sin xlo

-1rV,-t1= -)1-z;=t_t,t

cos2 o -21

-lq I tusin| [sto). sino]l r3l 3

-,,- t,,s l-[o -ol, n-1,5122

Rumus luas daerah (L) yang terletak1. Di atas sumbu-x

Untuk menentukan luas daerah yang

dibatasioleh beberapa kurva, misalkan R

daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x),

sumbu-x, garis x = a, dan garis x = b,

dengan f(x) = I Pacia [a, b], maka luas

daerah R adalah sebagai berikut.

Di bawah sumbu-xMisalnya S daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu-x. garis x =. a, dan garis x = b, denganf(x) = 6 pada [a, b], maka luas daerah S adalah

Di atas dan di i;auvalr eumbu-xMisalkanTdaerah yarigdi!:atasioleh kurva y=f(x), suRtl:tt-x, garisx= a. dangarisx=s. dplrgffnf(x) = 0 pada [a b] dan f{x) = g pada [b, c], maka luas daerah T adaiah

r: l.f $)ctx

-*'-""ffiffi dq

Matematika Kelas XII SMA IPS Smt. Gasal - , r**r-**-*r . tB

y = f(x)

,J,

kurva

5.

l

:

.,:

.,

'i.

..1

4. Di antara dua: f,(x)

Disumbu-y

vEil

(J

il

Contoh:Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) = 6 - 2x2, sumbu-x, gansPembahasan:

rx = I re^

x- I

x =21

Daerah tersebut adalah daerah R. Luas daerah R adalah:

r-(Rr= (1a-z^,1 ox = [ax -1r,f'L3.lo

=[u,-ltzt''.]=[,. T]=i.#]=+ y

Jadi, luas daerah R adalah f satuan tuas.

A. lsilah titik-titik berikut dengan jawaban yang benar!

" Lafihan Mandiri 1 *# 1r tr-*-*- -- A r t

1 . llrn - sr'o + 5px = ... .

-1c l-_ x udx -,b

3 (.'"1, -"",[+, -u)) o, =

4. (-f ."'u* - Jsinlox

+ 5) dx =

{tz Matematika Kelas XIISMA IPS Smt. Gasal

5. J("ors* - sin(3x + +)) dx =

6. Hasil integrat Oari ix sin x dx adalah ....

L

7 . Hasil dari iniegral i (r,n' * - "os'*)d*

adalah ... .

,1

-t

B. Hasil integral dari 'z1 (zx + sinx)ax adalah . . . .

9. Hasil integral d"ri ; (x ' sinx)dx adalah .. '.0

10. Hasilintegraldari f"sin dx adalah ....

B. Kerjakan soal-soal berikut dengan jawaban yang benar!

1. Tentukanlah integral berikut!

a 11/fzt')+|lox

b Jpx'+ox!x2. Selesaikan tiap integral berikutl

^ x.a. )(-x" - *)dx

b. J(ax-'+axlx2. Tentukanlah integral berikut!

a. jcosx +cos4xdx

^ rflcosrox+lsintz)oxe 't1o 6 )

n I L"o"2ox +!sinor)a*w' '\10 6 )

^ il,- -i "r" eox - l sln aox) axv' '[ 30 40 )

d. ! (2. cos x - sin 4x-r 3 cos 2x) dx

/ -

e\

b llzJx-* H*\ vx /

3. Suatu benda yang bergerak pada bidang datar dengan kecepatan v m/s. Pada saat t detik

bendatersebutmempunyaikecepatanv=6t2-8t+6,padasaatt=4sekonbendatersebutmempeunyai jarak 96 m. Tentukan jarak benda setelah benda tersebut bergerak selama 2

sekon!

dV4. GradiengarissinggungdititikA(x,y)padakurvaadatah k=Ur+2.Jikakurvatersebutmelalui

titik (3, 1 ), tentukan persamaan ku rva tersebutl

5. Tentukan nillai dari integral berikut!

riL

a. lsinsxdx b. f coszxdx c. f cos x o*0

iliiamatira kelas XItSMI tpS Sm!, pasal

i

I

Tugas Kelompok 1

Kerjakan soal-soal berikut bersama

1 Tentukanlahintegralberikut!

a. I(2x' + -)dx c.

b l(.,D;t o I sin 2 x)dx rl25

2. Gradien garis singgung di titik A(x,y) pada kurva adatah

melaluititik (6,2) tentukan persamaan kurva tersebut!

Tentukan luas daerah yang diasir pada gambar berikut!

dY i...I ZA

dx

b.a.

4.

5.

Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) = 4 -x2, sumbu-x ga. s.; = I :an x ;1 !

Tentukanlah luas daerah yang dibatasigaris y = +r -2 sumbu-x, garis x = 4 :z^ s--bu y!'4

,{

f&

A.

ffi#€

Berilah tanda silang (X) pada huruf a, b, c,

)

1. J j. nO, - lcos{6v - 10) dx =

a. lcos3x .lcosl2x r 5)-C

b. -1cos6x - frsin(ox

+ 5)+ C

11c. )cos2x-5

"o.(s*-s) . c

1^1d. -cos2x-' cos(3x+5)+C

e. cos2x-cos(ax +5)+C

kelompokmu dengan jawaban yang benar!

j (- 4 cos +x - 3 sin 3x)dx

rIlcossx - 1s,nex]o*'[s 6 )

d atau e di depan jawaban yang benar!

aI COS' XdX

a -3x-lsinzx -1sin4x*C8432

b 9x-lsinzx- asin4x. c8432

" Z^-lsinzx-1sin+x-c8432

a ?x-lsinzx asin+x-c8432

" J*-lsinzx,fsin4x-c448

- 4 Jika ku-,'a tersebut

y-x --4x+J

I V=-X-+6X-5

Matematika Kelas Xll SMa tpS Smt

J. j(cos3x - sin(zx + z))ox =....

a. lcoss,

* 1"or(2, + 7)+ c

b. ]coss, -)"or(zr+ 7)+ c

1^1tc. )cos2x

- rcos(Sx

+ 7)+ C

d. )cosz**1.o.(sr+7)+

c

e. cos2x-cos(3x+7)+C

[90, ='7lx'

a. 2ffJi+c d. 16,[+c

1"r 1^rb. 7'"!x+c e. ,Vx+c

vic. _-+c21

i(ru-3r'+5)dx=.1 " x'a. --X" --+C85

.7"3b. --x"-6+c

c. )*'-)*"+5x+c1,3^r -X'-lx" +5x+Cr.r. 7 6

" 1*t -9xB -u5x+C98

fisinox -cos(6x r 5)) ox =

11a.

rcos3x+-cos(2x+ 5)+C

b. -]coso, - ]sin(6x + 5)+ C66\

c |coso*

+ lcos(ox

+ 5)+ c

1'la ,cos2x, ^cos(3x*5)rC

e cos2x cos(3x, 5), C

itzx' ox = .

a -x" ic6

b x6,c

u' lY' 'c

i5x :dx

trJAa. - X-rC

Ct

5^b Ix' , c

o

2J.:

(IXC4

?

e -x',c4

fU

l.c

R

5,-.- -x'

7r5

6

AJNc --x " +c

I(cos5x sin3x)dx ...a. sin5x+cos3x+Cb. sin3x+cos5x+C

1._ 1c -sinSx-r--cos3x r-C531_1d -sinsx - -cos3x F C531^1e. =sin

3x + --cos 5x - CJ5

filO"o=Zr - 6sin2x) dx= ..

a. sin5x+cos3x+Cb. 3sin3x+ 5cos5x+C

c. 5sin2x+3cos2x+C

1_1_d -sin5x-cos3x*C531^1_e -sin3x+-cos5x+C35

10

A

Matematika Kelas XII SMA IPS Smt. Gasal

7

d.

f,

^/J/ll11 Nrlar dari jsinl 2x - -

0\3

1F; nitentuiran f"(xl-'3x 2 f t1)-3 dan

Il2)-2 mara f1

to.

aJ,4

162

1

,

.6d?fl Jcos3x dx =

0

2_;J

1

-5

I

6

12. Nilai

a.

b.

c.

a.

b.

. 6dxHasil darr l:-- = .."3x+5

a. 6ln(3x+5)+Cb. 3ln(3x+5) +Cc. 3ln(6x+5)+Cd. 2ln(3x+5) +Ce. In(3x+5) *C

n

2

Nilai dari Jcos 2x sin x dx = .,..0

110a -i d -n411b'-a e i5

12

fr

6

Nilai dari Jcos 2x cos x dx = ....0

55a' 6 d -a

45b.;o"6Aco

a -6b. -Bc -g

Z

1T 5jd(3x 1 2):1

^ad.u

b15c. 1V

I2r

sinxcosx20. l-. dx

i r/1+ sin'x

a 'tj+1b '^l'

-1

c 1- ury

jsin5 xcos2 xdx = .

414

: .COS"Xr COS X ::S ._UJJ

'1 .2"1h -srn"x -cos"x -cos ' -3571.2r1

a -Sln'X r -COS" X 'COS i-?E7

JU

1.2n1 _rI COS X - COS'X :CS

35/1arlLql-

o -Slll'X--COS"X COS r -337

Hasil dari integral cos x , cos ,1x :.:l =

1_1^2 - sinSx'-sin3x;C55

1_1^r' -sinSxr-sin3x C561-1^. sinSxr sin3x C10 6

1_'i _.l sin 5x - sin 3x C10 6

1_1tr - -- sin 5x --sin 3x - C10 6

!J

lox =)

1.{ --2

1

2

d.0

I

J

c2:E-,

13.

14.19.

15.

Matematika Kelas Xll SMA IPS Smt. Gasal

B. lsilah titik-titik berikut dengan jdwabam yang benar!

1 l: oX=1i(

t lzoitiox =

a

t ["r-v l-"

,1A l-'x'-'

J(

E-fJ-,

' tz

.6x+1r S"&6. J- .-'cix-

-1Vv^

7. Hasilintegral dari I--1- dx adatah....

11 ,

8. Hasil integratOari |(x' x'+ x) dx adalah ....

I4

9. Jcos 3x sin xdx -s

2

1o lQx- 1)(3x + 2)dx = ....1

C. Kerjakan soal-soal berikut dengan jawaban yang jelas dan benar!

1. Tentukanlah integral berikut!

,1 s .3 "a. j;x" dx c. iix' dx

o5

b. J7x6 dx d. t-ti*-^ o*

2. Gradien garis singgung di titik A (x,y) pada kurva adalah f| - a, + 6 Jika kurva tersebut

melaluititik (1 3), tentukan persamaan kurva tersebutl

3. Tentukanlah integrai berikut!

a 1(ex'+z* o)o* c i(:-*'r2x-S)dx

b !12x6 r ), - |to. d it- ] , - s,

u1) o*

4 Tentukanlah setiap integral berikut!

. i[f .o"sx - lsinsx')0,'t2 s )

b. J(cos4x + sin3x)ox

.c. J(4cos4x+3sin3x)dx ..

d. J(cos4x -3cos3x)dx5. Tentukanlahintegraiberikut!

a. J(3x5 + sin 2x 6)dx

b. !(2x6,"or1*-sin1x)ox

?^c. l(f;x" + sin2x 5) ox

d. l{-)*' -cos3x-sin1x) ax

D. Jodohkan pernyataan-pernyataan berikut dengan pilihan jawaban yang disediakan!

1()IEo-2 ( ) lzsinxax

-l3 ) Jsec'x dx

-14 ( ) l.dx'x-

5. t .. ) J.6-osn ro,

6 ( ) {B sin6x cos8x dx

7. \ 1 ixt.,7x 1dx

B ( r (x, 3Yx" -tzx)'odx _...

o , ilg{ dxV.().r ,-^r2x' B

A.

B

C

D

E.

F.

Lf,

t-l

I

J

K

t5

1x; +c5

-2cosx = C

tanx+Ct^

2x'3sinx+C

f tanlx + 2tan3 jx + c

1

- 3cos9x + ^cosx + CJ

1(*'-3)u *c16'

r--'.-:-_6V2x"+8+C1,5.E

'10. ( ) Luas daerah yang dibatasi y = x(1 - x2)dengan sumbu x

Matematika Kelas XIISMA IPS Smt. Gasal

1. Menentukan batas daerahnya atau titik potong dengan sumbu x dan y

2. Menentukan daerah yang rnemenuhi dengan cara mengambil sernbarang titik vang trdakterletak pada garis tersebut, misalnya (0 0).

3 Mensubstitusikan titik tersebut ke dalam pertidaksamaan.

Jika benar, maka daerah tersebut merupakan daerah penyelesaian Jrka lidak maka daerahtersebut bukan merupakan daerah penyelesaian.

4. Mengarsir daerah penyelesaian.

Contoh:

Tentukan grafik himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear 3x + 2'! o 16 lika x dan ybilangan real!

Jawab

Langkah-langkah untuk rnembuat grafik adalah sebagai berikut1. Menentukan batas daerahnya, yaitu 4x + 2y d < 8

Jika x = 0, maka y = 4, maka koordinat titik potong dengan sumbu y adalah (0 zrJika y = 0, maka x = 2, maka koordinat titik potong denEan sumbu x adalah 12 Cr

2. Menentukan ujisembarang titik, yaitu:

Mengambil sembarang titik yang tidak terletak pada garrs 4x + Zy = 6, misainya tltik O (0,0),maka diperoleh

4.0+29<g0 <8

Jadi, titik O (0,0)terletak pada daerah himpunan penyelesaian.Daerah yang diarsir pada gambar berikut menunjukkan hinrpunan penyelesa,a r, 4x + 2y < B

,t

4x+2y<B Daerah 4x * 2\., s a

penyelesaia n

2. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua VariableSistem pertidaksamaan linear adalah sistem yang komponen-komponennya te.crr a:as selumlahpertidaksamaan linear. Penyelesaian dari sistem pertidaksamaan Iinear me.;cakan irisanpenyelesaian darisetiap pertidaksamaan Jrka diperoleh penyelesaian daris s:en cenroaksamaanlinear, maka penyelesaian tersebut merupakan penyelesaian untuk satu s.siem bu<a:i oenyelesaianuntuk masing-masing pertidaksamaan.

Contoh:

Gambarkan grafik himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear berrkut dengan xdan y q R, 6x + 3y . 12di mana x > 0 dan y : 0!

Jawab:

- Menentukan daerah himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan 6x + 3y < i2Jikax= 0 + y =4,maka titik potong dengan sumbu yadalah (0,4).

Jika y = 0 -+ x = 2, maka titik potong dengan sumbu x adalah (2,0)- Menentukan ujisembarang titik, yaitu :

Dae ra h

penyelesa ra n

Matematika Kelas Xll SMA IPS Smt. Gasal

Mengambil sembarang titik yang tidak terletak oada garis 6x + 3y < 12 Misalnya, titik O (0,0),maka diperoleh:

6.0+3.0<6os6

Jadi, titik O (0,0)terletak pada daerah himpunan penyelesaian.Dengan demikian, daerah yang diarsir pada gambar berikut menunjukkan himpunanpenyelesaian 6x + 3y 112.Grafik himpunan penyelesaian

Daerah Penyelesaian 6x+3y=12

Menentukandaerahx>0Pertidaksamaan x > 0, artinya semua nilaix positif

positif

Menentukandaerahy>0Pertidaksamaan y > 0, artinya semua nilai y positif

nilai y positif

A

I

Dari daerah-daerah penyelesaian di atas,irisannya merupakan daerah penyelesaiansistem pertidaksamaan 6x + 3y i 12, x > O, y >

0. Maka grafiknya adalah sebagai berikut.

Daerah Penyelesaian

sistem pertidaksamaan

4x+3Y=12

6x+3y=12

Matematika Kelas Xll SMA IPS Smt. Gasal

3. Menentukan sistem pertidaksamaan Iinear jika diketahui daerah himpunanpe nye lesa ia n nya.

a. Persamaan garis yano melalui (a 0) dan {0,b) adalah bx +ay

b. Persamaan qaris nnelalur tx,, y,) dengan gradien adalan y -

c. Persamaan garis rnelaiui lx.,V - V-

y,) adalan " :-l2 l'

Contoh:Perhatikan grafik berikutl

Tentukan sistem pertidaksamaan linear untuk daerah himpunanpenyelesaian pada grafik tji samping!

Jawab:a. Semua daerah yang diarsir berada drkuadran l, berartix > 0 dan y > 0

b. Persamaan garrs melalui (2 0) dan (0,6) adalah:

2x+6y=2.6x+3y=6

c. Menguji dengan salah satu trtik. mioalnya titik (0,0), sehingga diperoleh

1.0+3.0=60:6

Karena titik O (0,0) tidak terletak di daerah himpunan penyelesaian sehingga :ae'an himpunanpenyelesaian yang memenuhr adalah x + 3y > 6.

d. Persamaan garis yiang melelui (8,0) dan (0,4) adalah.8.x+4.y=B4Zx+y - B

Menguji salah satu titik, misalnya tiiik O (0,0), sehingga diperoleh:

2.0+10=80:B

Karena titik O (0 0) terletak di daerah hrmpunan penyelesaian, maka daera-r himpunanpenyelesaian yang memenuhi adalah 2x + y < 8.

Jadi, sistem perttdaksamaan iinear untuk daerah himpunan penyelesaian g.a.k :e'sebut adalah

x + 3y > 6; 2x + y . B; x,_V,: 0

Pengertian Model MatematikaModel matematika merupakari penerlemahan permasalahan seharr-han ke dalam kalimat

matematika Perhatikan contoh dari masalah program linear berikutl

Contoh:Pabrik MebelAntik memproduksidua jen!s lemari, yaitu lemarijati dan lemari bambu Biaya produksi

untuk dua set lemari jati dan empat set lemari bambu adalah Rp22 000 000 00 Pabrik Mebel

Modern memproduksi tiga set lemari jati dan dua set lemar; bambu dengan biaya produksi

Rp 21.000.000,00 Buatlah model matematika untuk persoalan tersebLrtl

Matematika Kelas Xll SMA IPS Smt. Gasal

X \-

Y'. t'

2.

Jawab:Kita misalkan:

x = biaya produksi per set untuk lemari lati.y = biaya produksi per set untuk lemari bambu.

Biaya produksi di pabrik mebelAntik adalah 2x + 4y = Rp 22 000 0C0 0C

Biaya produksidi pabrik mebel Modern adalah 3x+2y = Rp 21 00C 000 00

Biaya produksi pembuatan lemari tidak mungkin bernilai negatif, maka x > 0 dan y 7 0 Sehingga,

model matematika untuk persoalan tersebut adalah 2x + 4y = 22.000 000, 3x + 2y = 21 000 000,

x:0; y > 0.

Model Matematika Permasalahan Program LiniearPada umumnya, model matematika pada program linearterdiriatas pertidaksamaan sebagaifungsikendala dan sebagai fungsi obyektif. Ciri khas model matematika pada program linear adalahselalu bertanda "<" atau ">" dengan nilai peubah x dan y yang selalu positif.Perhatikan contohberikutl

Contoh:Bu Harno membuat dua jenis kue untuk dijual ke pasar, yaitu kue lapis dan kue kelepon. Untukmembuat satu adonan kue lapis, diperlukan 500 gram tepung beras ketan dan 300 gram gula.

Sedangkan untuk satu adonan kue kelepon diperlukan 400 gram tepung beras ketan dan 200gram gula. Bu Harno mempunyai persediaan 15 kg tepung beras dan B kg gula. Keuntungan dari

satu adonan kue lapis Rp30.000,00 dan satu adonan kue kelepon Rp25.000,00. Buatlah model

matematika dari permasalahan program linear tersebut agar Bu Harno memperoleh keuntungan

sebesar-besarnya !

Jawab:Model matematikanya. yaitu:

Adonan Kue lapis Kue kelepon Persediaan

Terigu beras ketanGula

500 gr

300 qr400 gr

200 qr

'15.000 gr

8.000 qr

Keuntungan Rp30.000,00 Rp25.000,00

Misalnya:

Banyak adonan kue lapis = x

Banyak adonan kue kelepon = y

Karena x dan y menunjukkan jumlah adonan kue, sehingga x > 0 dan y > 0.

500x+400y< 15.000 e 5x+4y< 150

300x + 200y < 8.000 e 3x + 2y .80f(x, y) = 30.000x + 25.000y

Jadi, model matematika dari permasalahan tersebut adalah 5x + 4y < 150, 3x + 2y : 80; x > 0; y> 0; dengan fungsi objektif f(x, y) = 30.000x + 25.000y.

Matematika KelasW d'.uXll SMAtpSSmi.Gisal -* "*,r,u, u .,,, ,,,, ,,r*, ,,i*',r, o- ', ,, *-{-^38

-a a a a a a

,#8€ t-rrit r, il;i;i t N.,.wS* .*-.-:-*;:J'='*;"***ffiJ :

A, lsilah titik-titik berikut dengan jawaban yang benar!

1. Pertidaksamaan yang memenuhi dari grafik berikut adalah

2. Pertidaksamaan yang memenuhi dari grafik berikut adalah

3 Pertidaksamaan yang memenuhi dari grafik berikut adalah ... .

4. Pertidaksamaan yang memenuhi dari himpunan penyelesaian yang ditunj"<<:^ : eh daerahyang diarsir pada grafik berikut adalah ... . y

Koordinat titik A pada soal no. 4 adalah

B. Kerjakan soal-soal berikut dengan jawaban yang benar!

1" Pabrik P memproduksidua jenis kursi. yaitu kursirotan dan kursijati. Braya proCuksiuntuk

dua set kursi rotan dan tiga set kursijati adalah Rp 36.000.000,00. Pabrik Q yang nerupakancabang dari pabrik P memproduksi tiga set kursi rotan dan dua set kursi jati oergan biayaproduksi Rp 40.000.000,00. Buatlah model matematika untuk persoalan tersebut

2. Bagas membeli 5 kg pisang dan 7 kg rambutan. Bagas harus membayar Rp 41 000,00.

Sementara itu, Ayu membeli 3 kg buah pisang dan 6 kg buah rambutan. Ayu harus rnembayar

Rp 33.000,00. Jika harga 1 kg buah pisang adalah x dan 1 kg rambutan adalar:'r rupiah,

buatlah model matematika untuk masalah tersebut!

3. Dengan persediaan kain polos 20 m dan kain bergaris 10 m, seorang penjahit akan n:embuatpakaian jadi. Modellmemerlukan'1 m kain polosdan 1,5 m kain bergaris, model ll memerlukan

2m kain polos dan 0,5 m kain bergaris. Tentukan model matematika dari permasalahan tersebut!

4. Seorang pedagang menjual 2 jenis buah, yaitu semangka dan melon. Tempainya hanya

mampu menampung buah sebanyak60 kg. Pedagang itu mempunyai modal Rpi40 000,00.

Harga beli semangka Rp 2.500,00/kg dan harga beli melon Rp 2.000/kg. Keuntungan yang

diperoleh dari penjual semangka Rp 1.500,00/kg dan melon Rp 1.250,00/kg Tentukan model

matematika dari permasalahan tersebut!

o

WwSSsStallislr q'.-ffi N]\g*

Matematika Kelas Xll SMA IPS Smt. Gasal *;i!!::SijtaE*il*;'. r -::'{i:i''iri;i$i;iitN**

E Tentukan sistem pertidaksamaan linear untuk daerah himpunan penyelesaian yang ditunjukkanoleh gambar berikut ini!

Kerjakan soal-soal berikut bersama kelompokmu dengan jawaban yang benar!

1. Gambarlah grafik darl setiap himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut!

a. 3x-5y515

b. 10x + 4y > 0 dengan x dan y adalah bilangan real

c. x+2y < 4;3x+y> 12 x > 0; y > 0

d. 3x+y <3.,2x+3y<6,x>0; y>0

e 2x+ Y > 6; x + 3y r 6; x > 0; y > 0 dengan x dan y adalah bilangan real

2. Gambarlah daerah himpunan penyelesaiannya yang memuat kendala (syarat) sebagai berikutx-2y, 6 ; x + y < 4', y<3x ; x > 0, y> 0l

3. Diana, seorang Iulusan SMK Taruna I yang membuat dua jenis kue untuk dijual di kantinmakanan tradisional, yaitu kue lupis dan kue kelepon. Untuk membuat satu adonan kue lupis,diperlukan 1.000 gram tepung beras ketan dan 600 gram gula, sedangkan untuk satu adonankue kelepon diperlukan 800 gram tepung beras ketan dan 400 gram gula. Diana memilikipersediaan 30 kg tepung beras ketan dan '16 kg gula. Keuntungan dari situ adonan kue lupisRp 60.000,00 ddn satu adonan kue kelepon Rp 50.000,00. Buatlah model matematika daripermasalahan program linear tersebut agar Diana mendapatkan keuntungan yang sebesar-besarnya!

4. .Sgorang anak penderita kekurangan gizi diharuskan makan dua jenis tablet viiamin setiap hari.Tablet pertama mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B, sedangkan tablet keduamengandung 10 unit vitamin A dan 'l unit vitamin B. Dalam satu hari, anak itu memerlukan 20unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Jika harga tablet pertama Rp400,O0/biji dan tablet keduaRp600,00/biji, tentukan model matematika dari permasalahan tersebufl

5. Lia ingin membuat puding buah dan es buah. Untuk membuat puding buah, ia membutuhkan 3kg mangga dan 2 kg melon. Sedangkan untuk membuat es buah, ia membutuhkan 1 kg manggadan 4 kg melon. Lia memiliki persediaan 11 kg mangga dan 14 kg melon. Bualah moOLlmatematika dari persoalan ini!

Tugas Kelompok I

Matematika Kelas XIISMA IPS Smt. Gasal

g's-mww:ffiwffi?

2"

Fungsi Objektif dan Fungsi KendalaFungsiyang akan dicari nilaioptimumnya adalah fungsiobjektif (fungsi tuluan) Sedangkan

fungsi kendala adalah batasan-batasan yang harus dipenuhi oleh variabel yano terdapat dalamfungsi obyektif.Titik Optimum dan Nilai Optimum

Titik optimum adalah suatu tttik di mana fungsi obyektif bernilar optimum Unti.;< nrtar optimunrditentukan dengan cara memasukkan nilat variabei (x dan y) yang merupakan penvelesaian yang

layaK ke fungsi obyektif.Langkah-langkah dalam menentukan nilai optimum, yaitu:

a. Mengubah soal cerita ke dalam bentuk model matematika.b. Menggambar grafik.

c. Menentukan daerah penyelesaiannya.

d. Menentukan nilai optimum dari fungsi obyektif.Contoh:Seorang pemborong memproduksidualenis bentuk pagaryaitu pagarAdengan harga Rp 30.000,00/

m2 dan pagar B dengan harga Rp 45 000,00/m2.fiap m2 pagar jenis A membutuhkan 4 m pipa besidan 6 m besibeton. Sedangkan tiap m2 pagar jenis B membutuhkan B rn pipa besidan 4 m besibeton. persediaan yang ada 640 m besi pipa dan 480 m besi beton Tentukan berapa banyak trap-

tiap pagar yang harus dibuat untuk mendapaikan hasil penjualan maksimal?

Jawab:a. Misalnya: pagar jenis A = x

pagar jenis B = y

Tabel matematika:

Besi Pipa (m) Besi Beton (m) Harqa/m" (Rp)

Jenis I (x) 4 o 30 000Jenis ll (y) 8 4 45.000Batasa n 640 480

Berdasarkan tabeltersebut, kebutuhan besi pipa, yaitu.

4x+8y<640x + 2y :160Kebutuhan besi beton yaitu

6x+4y<4803x+2y<240Model matematika dari permasalahan tersebut, yaitu:

Memaksimumkan fungsi obyektif z = 30.000x + 45.000y

dengan batasan: x+ 2y < 160, 3x + 2y < 240,x : 0; y > 0

Menggambar grafik daerah himpunan penyelesaian

x+ 2y = 160 + memilikititik poiong (0 B)dan (160, 0)

3x + 2y = 240 , mempunyai titik potong (0,120) dan (80, 0)

Mencari titik C yaitu. Grafik(i) x+2y =160(ii) 3x + 2y = 240 -

-2x = -80

x =40Subtitusikan x= 40 ke (i) sehingga:

x+2y =16040 + 2y= 1602y=160 -40, y=66Didapatkan C (40,60).

- E sN.K\(w\\!.!

Wa Matematik3 Kefas XllSMA IPS Smt. Gasal

ffiffiffiffi

I

I

i

Masukkan nilai variabel x dan y pada titik ekstrirn ke fungsi obyektif.z=30000x+45000yA(0, 0) d z = 30000 (0) + +SOOO (0) = O

B(0, 80) -+ z = 30000 (0) + asOOO (80; = 36OOOOO

C(40,60) ) z= 30000 (40)+ 45966 (60;= 39OOOOO

D(80, 0) -) z = 30000 (801 + a5996 (0) = Z+OOOOO

Jadi, nilai optimum didapatkan pada titik (40,60) Artinya, pendapatan akan maksimum iikadibuat 40 pagar jenis A dan 60 buah pagar jenis B.

3. Garis SelidikDalam menentukan nilai maksimum suatu fungsiobjektif f(x, y) = px + qy dapat digunakan garisselidik. Dimana garis selidik adalah garis lurus yang diperoleh dari persamaan fungsi obyektif.Bentuk umum garis selidik, yaitu.pxt qy= k; p > 0; q, 0 dan k = R.

Langkah-langkah untuk menentukan nilai optimum dengan menggunakan garis selidik yaitu:a. Menggambardaerah penyelesaian dari permasalahan yang diketahui.b. Membuat persamaan garis selidik awal px + qy = k, dengan k = pg Kemudian, gambar garis

tersebut dengan titik potong pada sumbu x pada titik (q, 0) dan titik potong pada sumbu y padatitik (0, p).

c. Membuat garis-garis selidik lain yang sejajar dengan garis selidik awal melalui titik-titik ekstrim(titik sudut) daerah penyelesaian.

d. Menentukan nilaioptimum dengan ketentuan.1) Titik maksimum adalah titik ekstrim yang dilalui oleh garis selidik yang paling kanan.2) Titik minimum adalah titik ekstrim yang dilaluioleh garis selidik yang paling kiri.'e. Menentukan nilaioptimum dengan memasukkan nilaivariabelx dan y pada titik optimum kefungsi obyektrf

Contoh:Seorang pedagang es memiliki modal Rp 60.000,00. la merencanakan menjual es A dan es B. EsA dibeli dari agen Rp 600,00 per bungkus, sedangkan Es B dibeli dari agen Rp 300,00 per bungkus.Keuntunganyang diperoleh pedagangtersebutadalah Rp 150,00 perbungkusesAdan np tOO,OOper bungkus es B. Oleh karena keterbatasan tempat, pedagang es tersebut hanya akanmenyediakan 150 bungkus es. Tentukan keuntungan nraksimum yang bisa diperoleh! Berapabungkus es A dan es B yang harus disediakan? Selesaikanlah masalah tersebut denganmenggunakan metode garis selidiklJawab:Misalnya. Banyaknya es Ayang disediakan = x

Banyaknya es B yang disediakan = y

Maka, model matematikanya

600x + 300y 5 60.000 - 2x + y S 200.x+y<150;xr0,yr0f(x, y) = 150x + 100 y

Daerah himpunan penyelesaian:

.d..1*qrMatematikaKelasillSMAtpsSmt'ciiat.i&

....rr:.,,tiit'r:jr:jar,,t-.iiftiftrri*:.i-::rrii,#X*lliii-ir.,"r.;tl# :l:.::aiti t[tc.]tr*:

!::i-I,]T rETffi5. ti:.c.;$.iiLi#e,i.:i.t;r;.l... :t:::ra-:;:ausi*i,#

Membuat garis selidik 150x + 100y = 15.000 dan membuat garis-garis yang selajar dengan garis150x + 100y = 15.000 tersebut. Garis sejajaryang terletatipatinglau'rr oari cjfo ol melatuititikB(50 100). Titik maksimum fungsi diperoleh untuk titik B(50, i 00). Nitai maksimum iungsi = (S0,100) = 150(50) + 100(100) = 17.500.Jadi, pedagang tersebut akan memperoleh keuntungan maksimum sebesar Rp17 500,00 denganmenjual es A sebanyak 50 bungkus dan es B sebanyak 1 oo bungkus

,rlrti,:i :.:.:r|**i.r : ::rn$s:::::::.:J: r:r:

Mandiri 2

A. lsilah titik-titik berikut dengan jawaban yang benarl1. Nilai minimum dari fungsi x + 3y daerah penyelesaian (yang

diarsir) yang ditunjukkan pada grafik berikut adatah .

Nilai minimum fungsiobyektif f(x, y) = '1000x + 1500y pada daerah himpunan penyelesaiansistem pertidaksamaan x + y > 5, x + 3y, g, 3x + yf g; x > 0; y. O adalahNilai maksimum fungsi obyektif f(x y; = 10Ox + BOy pada himpunan penyetesaian sistempertidaksamaan2x+ y < B; 2x + 3y < 12. x: 0; y : 0 adalah ....

Nilai maksimum dari Z= Ex+ 3y dengan syarat x+ 2y< g; x+ y < 6; x > 0, y > 0 adalah

Gita ingin membuat dua jenis adonan roti, yaitu rotiA dan roti B. RotiA membutuhkan 300gram terigu dan 40 gram mentega. Roti B memerluk an 2OO gram terigu dan 60 gram mentega.Jika tersedia 12 kg terigu dan 3 kg mentega, banyaknya adonan roiiAoan rotr: B yang harusdibuat agar diperoleh roti sebanyak-banyaknya adalah ....

Jika daerah yang diarsir pada grafik berikut adalah himpunanpenyelesaian suatu pertidaksamaan linear, maka nilai m in im u mdarifungsiobyektif 3x - 5y adalah ....

Jika daerah yang diarsir pada grafik berikut adalah himpunanpenyelesaian suatu pertidaksamaan linear, maka nilai minimumdari fungsi obyektif 3x - 5y adalah ....

I

Matematika Ketas XitSMA ips Smt. CaiirW$N\\srs\i\ssl-\ j.w

B. Titikkordinatnirai maksimum dari Z=5x+3y,dengansyaratx+zyog; x+y <6; x>0y > 0 adalah . ..

9 Sebuah pesawat terbang mempunyai kapasitas tempat duduk tidak lebih dari 48 tirang. setiappenumpang kelas utama dapat membawa bagasi seberat 60 kg dan kelas ekonomi 20 kg,sedangkan pesawat tersebut mempunyai rapasitas bagasi fioat< tebin dari 1.440 kg. Apabilaharga tiket untuk kelas utama dan. ekonomi masing-irasing adalah Rp1.000.000,00 danRp500 000,00 per orang, tentukan maka banyaknya pen-umpang setiap kelas agar hasit penjualantiket maksimum adalah ....

l0 Lihat kembali soal nomor 9, maka penjualan tiket akan maksimum jika banyaknya penumpangkelas utama sebanyak ... orang.

B' Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan jawaban yang jelas dan benar!1' Suatu masalah program linear dapat diterjemahkan ke dalam rnodei matematika berikut.

2x+ 3y> 12',x +y> 5; 4x+y:8; x> 0;yr0. Tentukantitikminimirm ftrngsiobjektif f(x, y)= 14x + 7y dan tentukan nilai minimumnya!

2. Satu program linier mempunyai sistem pertidaksamaan x +maka tentukan nilai maksimum fungsi obyektif f = x + 2y dantentukan nilai maksimumnyal

3. Daerah yang diarsir adalah daerah himpunan penyelesaianpermasalahan program linear. Tentukan nilai maksimum darifungsi tujuan z= 2x+ Sy!

3y . 9; 2x + y < B; x:0; y:0,y E(?,s)

Perhatikan gambar berikut!

Daerah yang diarsir pada gambar di samping menyatakan daerahpenyelesaian suatu sistem pertidaksamaan. Tentukan nilaiminimum darix + y pada daerah penyelesaian tersebut!

5' Tentukan nilai maksimum fungsi obyektif z = 5x + 3y dari sistem pertidaksam aan 2x + 3y 122,3x+2y >18,x>0.,y> 0! y

(0,e)

^._"-ol::n nTl'Il:l?:-gp-"l1ll_s.in mensisi tokonya densan sepatu taki-taki patins sedikit 100pasang, dan sepatu wanita dapat memuataoo paiang se-patu. Diketahuisetiap p"irng ,"prt,lelaki Rp 1.000,00, seq?.n.gl(_al untuk sepasang sepltu wanita Rp 5.000,00'iixu ori,,arnvasepatu lelaki tidak melebihi 150 pasang, maka berapakah keuntungan terbesar yang dif drorehz

4

c(3,0)

(zz

[;

(11,0)

8

o

10.

Tentukan nilai maksimum dari fungsi oblektif P = 20x + 30y pada sistem pertidaksam aan x +

'!14, x+3y <6;x>0dany a0iSeorang pembuat paku membuat jenrs paku dari bahan yang tersedia yattu 5 5 <gAdan 2 kgcahan B. Paku jenis I tiap buah memerlukan 200 gram bahan Adan 75 gram bahan B sedangkanpaku jenis ll tiap buah memerlukan 150 gram bahan jenisAdan 50 gram bahan lenrs B. Jikapengusaha menjual paku I dengan harga Rp 500,00 dan paku il dengan harga Rp 350,00 makahitunglah berapa buah paku I dan paku ll yang harus dibuat agar penghasilan pengusaha

maksimum?

Suatu perusahaan akan memproduksi2 macam barang yang jumlahnya t Cak boleh lebih

dari 1B unit. Keuntungan dari kedua produk tersebut masing-masing adalan Rp 750 00 danRp.425 00perunit. Dari survey terlihat bahwa produk I harus dibuat sekirrang-Kurangnya5 untt sedangkan produk ll sekurang-kurangnya 3 unjt. Mengingat bahan caku yang adamaka kedua produk tersebut dapat dibuat paling sedikit 10 unit. Tentukan bar',,aknya produkyang harus dibuat untuk mendapatkan keuntungan yang maksimum?

Tentukan nilai mininium f(x y) - x+ 2y pada himpunan penyelesaian sistem certidaksamaan2x+ y > 20, 4x+ 3y > 48, x> Q, y : 0!

Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan jawaban yang jelas dan benar!

1. Tentukan nilai maksimum fungsi oblektrf f(x y; = 5x + 4y pada sistem penidaksamaan x + y

512,x+2y516: x>0,y201

2. Tentukannilar minimumdarif(x,y)=4x+3ypadasistempertidaksamaan2x+y>B x+2y>B;x+y>6,x>0;y>01

3. Tentukan nilai maksimum dari fungsi obyektif f(x, y) = 2x + 5y untuk sistem pertrdaksamaan

berikutl

a. 2x+ 5y . 20', 2x + 5y < 16; x, 0, y, 0

b. Bx + y < B',7x+ 2y 528 x2 0; y r 0.

4. Tentukan nilai minimum darif(x, y) = x + 2y untuk kendala sebagai berikuil

a. 4x+y > 8,2x + 6y r 8, x:0; y:" 0,

b. 2x+ 3y, lZ, 2x+ 2y > 10; x t 0, y: 0.

5. Seorang pengusaha pemancingan ikan memiliki tanah seluas 456 m2. Dia akan mem buat d ua

macam kolam ikan, yaitu beberapa kolam ikan lele dengan luas masrng-masing 6 m2 dan

beberapa kolam ikan kakap dengan luas masing-masing 24 m2. Banyak kolam yang akan

dibuat tidak lebih dari 40 buah. Jika dari tiap kolam ikan lele akan diperoleh hasrl Rp 300 000 00

dan dari setiap kolam ikan kakap akan drperoleh hasil Rp 400 000,00, tentukan

a. modelmatematikanya,

b. bentuk objektifnya, dan

c. hasil yang dapat diperoleh sebanyak-banyaknyal

Tugas Kelompok 2

Matematika Kelas Xll SMA IPS Smt. Gasal

A. Berilah tanda silang (X) pada huruf a, b, c, d atau e di depan jawaban yang benar!

1. Daerah yang diarsir dari gambar berikut 4. Daerah yang merupakan penyelesaian sistem

merupakan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 5x + 3y >_ 15, x + 3y > 6, x <

suatu sistem pertidaksamaan. Maka 0, y' 0.

sistem pertidaksamaan tersebut adalah ... . Pada gambar di bawah adalah ..

a. OABC

b. BCD

c. BCE

d. DBE

e. ABD

a.

b.

c.

d.

e.

2x+y>2,dan2x+3y

2x-y>2,dan2x-3y

2x+ y > 4, dan 2x+ 3y

2x+y>2,dan3x+2y

2x-y>2,dan3x-2y>

Nilai maksimum pada gambar di bawah

dari fungsi tujuan z = 3x + y adalah ...

5. Daerah yang diarsir adalah daerah himpunan

penyelesaian permasalahan program

linear. Nilai minimum dari fungsitujuan

z = 2x + 5y adalah .. .

a.6b.7c. 10

d.15e. 29

Seorang pemborong pengecatan rumah

mempunyai persediaan B0 kaleng catwarnaputih dan 60 Kaleng warna abu-abu.Pemborong tersebut mendapat tawaran untuk

mengecat ruang tamu dan ruang tidur.Setelah dihitung ternyata '1 ruang tamumenghabiskan 2 kaleng cat putih dan 1

kaleng abu-abu. Sedangkan ruang tidurmenghabiskan masing-masing 1 kaleng. Jika

banyaknya ruang tamu dinyatakan dengan

x dan ruang tidur dengan y, maka model

matematika dari pernyataan di atas adalah

a. 2x+y < B0; x + y.60; x > 0; y> 0

b. x+y S80 ; 2x+y>60 , x>0 ;y> 0

c. x+y 580 ; 2x+y.60 ; x> 0 ;y, 0

d. 2x+y >80; x*y.60; x > 0; y r 0

e. 2x+y < 80; x + y >60; x > 0; y> 0

x >0,y>0,16x>0,y>0,:6x>0,y>0,>6x>0,y>0,:6x>0,y>0,:6

2.6.

a. 19

b. 17

c. '16

d. 14

e. 10

3. Nilai maksimum fungsi obyektif 4x + 2y

pada himpunan penyelesaian sistempertidaksamaan x + 5 4,x+ y > 9,

-2x + 3y > 12, 3x - 2y Z 12 adalah ....

a. 16

b. 24

c. 30

d. 36

e. 48

Matematika Kelas Xll SMA IPS Smt. Gasal

t . a i:t;t .':::t::,G:,tt::a t:r!i-!-!-!i..rl+.

D(2'6) ce.4l

\ ) a<s,zt

t;t:,ii!".t.!l ;

8.

Suatu pesawat mempunyai tempat duduk

tidak lebih dari 48 penumpang. Setiappenumpang kelas utama boieh mernbawa

bagasi 60 kg sedangkan kelas ekonomi 20

kg Pesawat itu hanya dapat membawa

bagasi 1.440 kg. Bila x dan y berturut-turut

menyatakan banyaknya 0enumpang kelas

utama dan ekonomi, maka modelmatematika dari persoalan di atas adaiah

a. x+y -148,3x+Yr72 x>0,ylCb x+y548;x+3y.72 x>0:y,Cc. x+y<48 ; 3x +y <72, x> 0; y, 0

d. x+.y> 48 ; x+ 3y 772,x20. y3 0

e. x+y i48; x+ 3y r72; x> 0:y:0Tanah seluas 10 000 m2 akan ilibangunrumah iipe A dan tipe B. t-Jntul( tipe q

diperlukan 100 m2 dan dan tipe B dtperiukan

75 m2. Jumlah rumah yang akandibangun paling banyak 125 unitKeuntungan rumah tipe A adalah Rp.

6.000 000,00/unit dan tipe B adalah Rp.

4.000.000,00/unit. Keuntungan makstmunt

yang dapat diperoleh daripenjualan rumah

tersebut adalah .

a Rp. 550 000.000 00

b. Rp 600 000 000.00

c. Rp 700 000 000.00

d. Rp 800 000 000.00

e. Rp. 900 000 000,00

Daerah yang diars r pada gambar di atas

merupakan grafrk rrn p.rna"r penye,esaian

sistem pertidaksamaan

a. 3x+2y<b. 3x+2y<c. 2x+3y<d 2x+3Y<e 2x+3y<

12,x-3yr6,x>0 y:012,x-3y:O,x>0,y:012,x-3y.6,x>0 y:012.3x-yZ6,x>0 y:012.3x-y:6,x>0 y:"0

Seorang penjual buah-birahan yang

menEgunakan gerobak mempunyai modal

Rp 1.000.000,00. la telah memr;eli lerukdengan harga Rp 4.000 00 per kg dan pisang

Rp 1.600,00 per kg Banyaknya.leruk yang

dibeli x kg dan pisang y kg Sedangkan

muatan gerobak iidak dapat nreleothi 4C0 kg

sehilrEEa ststem pertroa(sar;:E3n'lBng

memenuhi permssslu6an di atas adalah

a 5x+4y<2500 x+v<40C x;0y20b 5x*4y<1250.x*y<1:L, 3 yiCc 5x*2y <1250 x+y5.40C o l0 y30d 5x+4y < 1 240,x+y1400 x>0:y20e 5x+y <750,x+y<400 x: 0,y>0

Tempat parkir seluas 3eC m:,;'apatrn*:nairlpunq trdak Iebih oarr iC Kendaraan.

Untuk parkir sebuah secjan crperluKan rata-

rata 6 m2 dan sebuah Dls 24 m: Jika

banyaknya sedan dinyatakan dalanr x dan

bus y, maka modei nnaiernatiKa daripernyataan dr aters a,Ja ci,

a. x+y 530;x+4y160 x>0,y>0b. x+y <30:x+4.1 .60,x>0;y:0c x+), .30:ay-.,.50 x10.y>_0d. x+y <30 4x+.1 <60 x>0,y:0e x+y 530 4x- :'160,x:0,y:0Sebuah perusa^aan boia Iampumenggunakat 2 =nis mesin Untukmembuat bola lamcu ;enrs A memerlukan

waktu 3 menit pada 'resrn I Can 5 menit pada

mesin ll. Bola larpu lenis B memerlukan

waktu 2 menit paCa me srn I dan 7 menit pada

mesin ll Jlka rnes r bekerla 1 820 menit

dan mesin ll beker a e 060 menit, maka

modeL maten ai <a xai cermasalahan di atas

adalah

a. 3x+5-y<1820 2x+7y <4060 x>0'v il

b 3x*7y1 1 820 2x+2y54060, x 2o y,o

C.

d

3x+5y<4060,2x+o y:o3x + 2y < 1.820, 5x +

0,y,0

7y 11 820, x 7

7y54060 x 2

3x+7y<4060,2x+5y 51820 x 30,y:0

"10

11tt.

12

u

Matematika Kelas Xll SMA IPS Smt. Gasall\l

Ni

'13. Seorang alumni SMK merencanakanmembangun persewaan rumah dengan duatipe rumah yaitu tipe 45 dan tipe 54 untuk540 orang. Banyaknya rumah yang dibanguntidak lebih dari 12A rumah. Apabila dayatampung untuk tipe 45 adalah 4 orang dantipe 54 adalah 6 orang, maka modelmatematika dari permasalahan di atasadalah....

. a. x+y< 120,2x+3y<270,x>0,y> 0

b. x + y < 270, 2x+3y < 120,x > 0, y > 0c. 2x+ y < 270,x +3 y <120, x: 0, y > 0

d. x+3y<120,2x+y<270.x> 0,y> 0

e. 2x+y !24, x +3 y <27A, x > 0, y: 0

14. Diketahui sistem pertidaksamaan x + y 14 2x* y.6, x > 0 dan y > 0, maka nilai maksimumdari 2x + 3y pada himpunan penyelesaianpertidaksamaan di atas adalah ....

lebih dari Rp 200.000.00. Jika banyaknyakecap kuaiitas I adalah x dan kualitas ll adalahy. maka model matematikanya adalah ... .

a. x+y< 50; 4x+ 3y.200" x, 0; yo 0

b. x+y< 50; 3x * 4y.200; x, 0; yr0c. x+yi 50;4x + 4y.200. xr 0; yr0d. x+y>50;4x+ 3yr200; xr0; yr 0

e. x+y>50;3x + 4yr 200; x.0; y.0Untuk menambah penghasilan. seorangibu setiap harinya memproduksi dua jenis

kue untuk dijual Setiap kue jenis I

modalnya Rp 200.00 dengan keuntungan40ok. sedangkan setiap kue jenis llmodalnya Rp. 300,00 dengan keuntungan30%. Jika modal yang tersedia setiapharinya adaiah Rp. 100.000,00 dan paling

banyak hanya dapat memproduksi 400kue, maka keuntungan terbesar yang

dapat dicapai ibu tersebutadalah ....a. 30%

b. 32%

c" 34%

d. 36%

e. 40o/o

Seorang pedagang menjual buah manggadan pisang dengan menggunakangerobak. Pedagang tersebut membelimangga dengan harga Rp. 8.000,00ik9dan pisang Rp. 6.000,00/kg. Modal yangtersedia Rp. 1.200.000,00 dan gerobaknyahanya dapat memuat mangga dan pisangsebanyak 180 kg. Jika harga jualmanggaRp 9.200,00/kg dan pisang Rp 7.000,00/kg maka laba maksimum yang diperolehadalah ... .

a. Rp. 150.000,00.b. Rp. 180.000,00.c. Rp. 192.000,00.d. Rp.204"000,00.e. Rp.216.000,00.

n sistem

ditunjukkan oleh....a. I

b.ilc. llldtve.V

18.

a.5b.7

d.'10e. 12

c.B15. Dari diagram di bawah ini, grafik himpunan

penyelesaian sistem pertidaksamaan 2x + y

< 4; x + 2y .6; 3x + 2y > 6;x > 0; y > 0

adalah daerah .

a. I

L llu_il

c. llld. rve.V

Luas daerah parkir 1.760 m2. Luas rata - rata

untuk mobil kecil 4 m2 dan mobil besar20m2. Daya tampung maksimum hanya200 kendaraan, biaya parkir mobil kecil

Rp. 1.000,00/jam dan mobil besar Rp.

2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisipenuh dan tidak kendaraan yang pergi

dan datang, maka hasil maksimum tempatparkir itu adalah ...a" Rp. 176.000,00. d Rp. 300.000,00.

b. Rp.200.000,00. e. Rp. 340.000,00.

c. Rp" 260.000,00.

Seseorang memproduksi kecap dengan dua

macam kualitas yang setiap harinyamenghasilkan tidak lebih dari 50 botol Harga

bahan-bahan pembuatan kecap per botoluniuk kualitas I adalah Rp 4.000,00 dan untuk

kualitas ll adalah Rp 3.000,00. la tidak akanmembelanjakan untuk pembuatan kecap tidak

,1 0

16.

20. Himpunan penyelesarapertidaksamaan l2x + y <6

lx+sy>61x>ot"-"i.v>o

tt.

,. sssnqnns.SfS..'lSSsStl\W N;,su

r - Y*ffiJk5":3:Ill?Yilllli*:il .

B. lsilah titik-titik berikut dengan jawaban yang benar!

1. Daerah yang diarsir pada diagram berikut mernenuhisisiem pertidaksamaan adalah ....

2. Nilai maksimum dari 11x+y + 2 yang memenuhi sy.aratx> 0, y > 0, 11x * 4y.210 dan x +

2Y ' 60 adalah ..

3. Koordinat titik-titik segitiga ABC dari garnbar berikut

memenuhi pertidaksamaan adalah ....

A

Nilai minimum dari 1 1 x + y + 2 yang memenuhi syarat x > 0. y > 0, 1'lx + 4y 121A dan x + 2y< 60 adalah ...

Daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan x > 0, y:0 dan x + 2y :-qadalah....

Untuk membuat sebuah mainan jenis I diperlukan bahan A sebanyak 2 m, bahan B sebanyak

1,5 m, sedang untuk mainan lenis ll diperlukan bahan A sebanyak 1 m, bahan B sebanyak 2,5

m. Jika bahan Ayang tersedia sebanyak 9 m dan bahan B sebanyak 6 m, model matematika

untuk permasalahan tersebut adalah ....

Nilai minimum dari x + Y- 5 yang memenuhi syarat x > 0, y > 0, 3x + 4y, 37 dan 4x + 3y >

40 adalah

Daerah penyelesaran (DP) dari sistem pertidaksamaan x+ 3y <6, 2x + Y < 8 ; x > 0; y:0 adalah .

Harga per bungkus lilin A Rp 2.000,00 dan lilin B Rp 1 .000,00. Jika pedagang hanya mempunyai

modalRp 800 000,00 dan kiosnya hanya mampu menampung 500 bungkus lilin, maka model

matematikanya adalah ....

Perhatikan grafik berikut inil

Daerah penyelesaian yang memenuhisistem pertidaksamaan x + y < 5, 3x + 2y 112,x72,y20berikutadalah. .

4.

9.

10.

Matematika Kelas Xll SMA IPS Smt. Gasal

C. Kerjakan soal-soal berikut dengan jawaban yang jelas dan benar!1. Seorang pemborong lemari memproduksi dua jenis bentuk lemari:

a. lemarijenis I seharga Rp 30.000,00tnr,b. lemarijenis ll seharga Rp 45.000,00/m2.

Tiap m2 lemarijenis I memerlukan 4 m kayu jati dan 6 m kayu mahoni, sedangkan tiap m:pagar jenis ll memerlukan 8 m kayu jatidan 4 m kayu mahoni. Persediaan yang ada 640 mkayu jati dan 480 m kayu mahoni. Tentukan berapa banyak tiap-tiap lemari harus dibuat untukmendapatkan hasil penjualan maksimal?

2. Seorang pengrajin menghasilkan satu tipe meja dan satu tipe kursi. Proses yang dikerjakanhanya merakit meja dan kursi Dibutuhkan waktu 2 jam untuk merakit i unit mela. dan 30menit untuk merakit ,r unit kursi. Pditikitan dilakukan oleh 4 orang karyawan dengan waktukerja B jam perhari. Pelanggan pada umumnya membeli paling banyak 4 kursr untuk 'l meja.Oleh karena itu pengra.lin harus memproduksr kursi paling banyak empat kali.lumiah meja.Harga jual per unit meja adalah Rp 1 ,2 juta dan per unrt kursi adalah Rp 500 ribu For^mulas jkankasus tersebut ke dalam model matematikanya!

3. Seorang peternak memiliki 200 kambrng yang mengkonsumsi g0 kg pakan khusus seriapharinya. Pakan tersebut disiapkan menggunakan campuran Jagung dan bungkil kedelaidengankomposisi sebagai berikut :

Bahan Kg per kg bahan

Kalsium Protein Serat Biaya (Rp/kg)

Jagung 0.001 0.09 0.02 2000

Bungkil kedelai 0.002 0.60 0.06 5500

Kebutuhan pakan kambing seti:ip harrnya adalah paling banyak 1% kalsium, paling sedikit30% protein dan paling banyak 5% s6rat. Formulasikan permasalahan diatas ke dalam modelmatematikanyal

Suatu bank kecil mengalokasikan dana maksimum Rp'180 juta untuk pinjaman pribadidanpembelian mobilsatu bulan kedepan. Bank mengenakan biaya suku bunga pertahun 14%untuk pinjaman pribadi dan 12% untuk pinjaman pembelian mobil Kedua tipe pinjaman itudikembalikan bersama dengan bunganya satu tahun kemudian. Jumlah pinjaman pembelianmobil paling tidak dua kali lipat dibandingkan pinjaman pribadi. Pengalaman sebelumnyamenunjukkan bahwa 1% pinjaman pribadi merupakan kredit macet. Formulasikan masalah diatas ke dalam bentuk model matematikanya!

seorang pedagang menjual 2 jenis buah, yaitu sawo dan manggis. Tempatnya hanya mampumenampung buah sebanyak60 kg. Pedagang itu mempunyai modal Rp 140 000,00. Hargabeli sawo Rp 2.500,00/kg dan harga beli manggis Rp 2.000/kg. Keuntungan yang diperotehdari penjual sawo Rp 1.500,00/kg dan manggis Rp 1.250,00/kg. Tentukan model matematikadari permasalahan tersebut!

,#:

::l

.l;

?;-li.

Matematika Kelas XIISMA IPS Smt. Gasal

:r tn

?l

:it':

i.

D. Jodohkan pernyataan-pernyataan berikut dengan pilihan

Untuk mengerjakan soal-soal berikut, perhatikan grafik berikut!

1. ( ) Sistem pertidaksamaannya disepanjang sisi

jawaban yang disediakan!

2.

I

4"

E

A

()()(... )

()()

segitiga ABC.

Koordinat titik E.

Koordinat titik D.

Persamaan garis f,,(x).

Persamaan garis fr(x).

Model matematika dari pemecahan transaksi Sasa

yang membeli 5 kg apel dan 7 kg jeruk. Sasa harus

membayar Rp41.000,00. Sementara itu, Yuni membeii 3

buah jeruk Yuni harus rnembayar Rp33 000.00. Jika harga

dan 1 kg jeruk adalah y rupiah.

7. ( ) Bentuk pertidaksamaan dari grafik berikut.

kg buah apel dan 5 kg.1 kg buan apeladalah x

8. ( ) Bentuk pertidaksamaan grafik berikut

9. ( ) Daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan x > 0 y: O, 2x + By < B.

10. ( ) Sistem pertidaksamaan linear daerah lll.

A. x+ 4y>_8, 3x+4y<24, x+6y>12B. 3x + 4y <24C.x+6y>12D (12,0)

E (2,0)F. 5x + 2y s20c. x> 0, y> 0, 2x+ By> B; 4x+ 2y <16H. llt. 125x+ 7y <41.000; x+ 2y s 11.000;

x>o; y>oJ. x > 0, y > 0,2x+ By > B; 4x+ 2y> 16

Matematika Kelas XIISMA IPS Smt. Gasal$$sls\s\ssfi js I.) .. -,

sgiffiwNeffiwffiM$#,fix1ffi..:..s:iiis$ir(ltlN-(i.irri{iiii(,-:iiiiilsr:1s:ri\\srii:si,l

ffiE#i ffiffiffi#i Sr*rffiiBI

A. Berilah tanda silang (X) pada huruf a, b, c, d atau e di depan jawaban yang benar!

4 i6 sin4x cos5x dx =. 6xZ1. Hasil dari ! ,-.' dx -

\X' 4

1r'*14 'c4

1;^-.v'x" 4+CZ

,rpl rc

oJxt + rc

I4x (2x'z - s)'oox = ....

a. 11 (2x2 - 5)" + Cb. (2x;:, 51tr 1 ,;

^ 1 lr.,

^,\" - nu i1\-^

a Lbx, -5)" +C13

t /

^ 1b*' 5)" + c14'

. Bx2i- -dx -....J I : ^\5\x" - z)

2^ ., -t-\.d

s(x' - z).

Z^

^ --;*Uu e(*' - z)"

2^..--..-..-.'- _+tc s(x' + z)o

)d s(r',4*"

2^^

-:+(/

e :(*' 2\'

a

b

C

d

a

e ' ccsgx-3cosx C

't'b ^cos9x-,3cosx'C

J

1

r^ cos9x 3cosx.C"?

.,1r- 3cos9x , cos x C3

? :rs1' jrli-r C

t^.Diketahui lt3L lr it,Lr l:.

,

I

Niiai ,, -

a. -;b. -2

d1e.2

d. '18

)p l0:

-)

c. -1Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2

dan garis x + y = 6 adalah . satuan luas.

^ EAd. Ja

b32

i^ao

o

I

rl.7. Hasil dari J'tt"Vlt l dr " '

0

71a..da

/-1

8ra!') -)

7C,;

J

$Is$a-.r\N$N>,!:: s.N\\s\ISiE\\\N\\s\\Nr IISS\SS$,S\IiiNSSSSSSSSS( Jf'..,...*

rn* Maiematixa Ketas XltsMA rps smt. casat 3S**;u*l**-..-.*-*-^^-r*.**---. -*..+* ;-&Jo

2.

6.

8. Jika f(x) = ( x- 2)' -4dan g(x) = -f (x),maka luas daerah yang dibatasioleh kurvaf dan g adalah ... satuan luas.

Hasil dari lt.rt * I ).cos xcls' - ....,J

a. x2sinx+2xcosx+Cb. (x' -1 )sin x+ 2xcosx+ Cc. (x2+ 3 )sin x-2xcosx+ Cd. 2x2cosx+2x2sinx+Ce. 2x sin x - (x' -1 )cos x + CTI

12. Jseco ], tar"r2 !xdr : ...

a. ]tan'ir*itan5 {x+c

b. -+tan3 +x +|ranj =.y * r.

c ltani]r*;tani;.y*t

d. *tanr ]x - ]tan' *x *,,

e. -4tan3 j-r*itan5 jr*c,

13, j(x -2){, + 6px =.a. x2+2x-12+g

1.b x",2x' 12x-C

c. 3x3 -2x2 - 13 + Cd. x2+2x2-4x+Ce. x3+x2-13+C

14: Luas daerah D yang dibatasi oleh parabola y

= x2 dikuadran l, garis x + y = 2, dan garis y

.' ,'-,4 adalah ... satuan luas

4..

b.

d.

Luas daerah yang dibatasioleh kurva y = (x-

4$-a),sumbu x, dan interval 1 < x d < 4adalah ... satuan luas

a.12

1

b ttl

2

"'2i

)l0:J

21!-)

)11 -

J

)42 1

3

4s1J

a.

b.

e.

Y.

10. f(.o. *sin2x)dx = ...

d.

U.

,11

Jsin 2x cos x dx =

b.

-l6-6

,l2

15.

1

t2

3

4;J

2-,

4_;

a.

b.

2_;J

4-5

1

a2

54

5

a.

c.

+!6

q

A

2d.;

)

1

e.;J

ffi- *'Y'*k"*"1..!,i.ll.rfg"|'1;

x1i$"y1tns Smt Gasal

d.

B. !silah titik-titik berikut dengan jawaban yang benar!

df(x) . 1 ?

1. * = x2 - x-3; f(1) = - imaka jf(x)dx =

2

2. Jx21x - +;ox2

;.I

5.

6.

J(srn2x+cosx)dx=...0

LuasdaerahyangdibatasisumbuY;1i=-x2+4x; 0d<xd<5; dansumbuxadalah...satuanluas.

Luas daerah yang dibatasi oleh y = -x2+9x+1 dan Y = x + 4x + 3 adalah ... satuan luas.

Seorang pedagang sepeda ingin membeli sepeda balap dan sepeda motor sebanyak 25

buah untuk persediaan. Harga sebuah sepeda balap Rp 1.500.000,00 dan sepeda motor Rp

8.000.000,00. Jika modal yalfigrdirniliki Rp 100.000.000,00, maka model matematika dari

permasalahan tersebut adalahi,..r,.

7. Jika segilima OPQRS merufaftdh himpunanpenyelesaian program linear maka, maka nilai

maksimum fungsi tujuan x + 3y a&lah ....

:i .,J

'., 1

o

Nilai maksimum fungsi objektif f(x, y) = 100x t 80 y pada himpunan penyelesaian sistem

pertidaksamaan2x * y . B ,2x2 + 3y:.112; x > 0 ; dan y > 0 adalah ....

Nilai optimumnya fungsi objektif f (x, y) = 1.000x + 1.500y pada daerah himpunan penyelesaian

sistem pertidaksamaan x+ y > 5; x+ 3 > 9i 3x+y29, jikadiketahui x> 0danxye > 0

adalah....

Nilai dan titik minimumnya fungsi objektif f (x, y) = 1.000x + 1.500y pada daerah himpunan

penyelesaian sistem pertidaksamaanx+ y> 5;x+ 3> 9; 3x+y>9, jikadiketahuix> 0danxY'0adalah...

B.

10.

w Matematika Kelas XIISMA IPS Smt. Gasal

6.

MATRIK'

3. Menggunakan matriks dalam pemecahan masalah.

1. Menggunakan sifat-sifat dan operasi matriksmerupakan invers dari matriks perseqi lain.2. Menentukan determinan dan invers ,itrit s Z

bahwa suatu r--.ailks perseoi

.9 * Li:ngS,1llalan_determinan dan invers dalam maa,a iriear dua vaiiabel.

Dalam bab ini kita akan mempelajari tentang n-atriks Dalamproses penyelesaian masalah dalam pelajaran a n atau dalamkehidupan sehari-hari sering dihadapkan pada pe.carian niraibeberapa peubah. Matriks adalah salah satu medla bantu untukmemecahkan masarah-masarah tersebut. Misaikar natrrks dapatmemudahkan dalam membuat analisis masalah c(3iomt yangmemuat bermacam-macam peubah. Matriks jug a ca.z-.: gunakanuntuk mempermudah analisis input_outpuf baik ca .i o,drngekonomi, manajemen, kependidikan dan brdang la.-i , a

suatu nratriks adalah susunan yang berbentuk persegi panjang dari bilangan-bilangan ar3! i/ariabeiyang diatur pada baris fiajaran) dan lajur (kolom). oaiam teiioupan sehari-hari-bai,,z<:er-dapat[<r:terangan yang disajikan dalam bentuk matriks, misalnya trarga suaiu p.orrr;;g;;". s ,-atu iokop:ad.,r suatu hari terpampang sebagai berikut.

Nama Produk Produk A Produk B Produk CJagung 4.500 2.500 1 500Kacang merah 5.000 4.000 3 000Kedelai 4.000 3.500 2 000Beras 6.000 5.000 4.500Minyak qorenq 9.000 7.500 6.500

masing kolom dan la

matriks sebagai beri

Daridaftar diatas jika judul masing-maka susunan tersebut berbentuk

4.500 2.500 1.5005.000 4"000 3.0004.000 3.500 2.0006.000 5.000 4.5009.000 7.500 6.500

Contoh:

It 53 2 -21" 13 21 4 sln=17 21 -2 -tl

[s 21 2 3)

'!*il, $.#.::Illir'i,Sfijgf

:n dan diletakkan di

*T-ll' " l"- *.'f, l

rjur dihilangkan darkut

41:

&zz

banyaknVa heris 2 dan

1] matriks C be rorcic 1 x 4 ar1in},a 'oanyaknya bar"is 1 dan banyaknya

matriks D berordo 4 x 1 artinya banyaknya baris .i Can banyaknya

it:rri": rn

2 kolom n

Dari matriks A di atas dapat dinyatakan bahwa:

a. banyaknya baris adalah 4;

b. banyaknya kolom adalah 5;

c. elemen-elemen baris ke-1 adalah 1, 5,3,2, -2',

d. elemen-elemen baris ke-2 adalah 3,'2, 1 , 4, 5'.

e. elemen-elemen baris ke-3 adalah 7,2, 1, -2, -1,f. elemen-elemen baris ke-4 addflh'3,?," 1,2,3',g elemen-elemen kolom ke-1 adalaff!', 3;7, 3;

h. elemen-elemen kolom ke-2 adaldHrs;2,2,2,i. elemen-elemen kolom ke-3 adeiiSh'i3', i';1, 1,

j. elemen-elemen kolom ke-4 addlah2i 4:'-2,2,k. elemen-elemen kolom ke-5 adaiafi''9, 5, -t, 3;

l. elemen baris ke-2 dan kolom keiSriJiau a,. adalah 1;

m. elemen baris ke-3 dan kolom ke-S atau.a.,, adalah -i.

Ordo MatriksOrdo suatu matriks adalah banyaknya elemen baris (m)dan banyaknya kol,rrn (fl) A,,,n berartimatriksAberordo m x n, artinya matriks tersejbut mempunyai m buah barrs dan n buah kolom.Contoh:

lt 2 41

1. Matriks A=ll 1 ll matriksAberordo 3x3ai'tirr-vabanyaknveLraris3clanban.,rai<nyaLU 2 3l

kolom 3.

2. Matriks r=[_],

banyaknya kolom 4.

3. Matriks C =[z -z - 4

kolom 4.

4..

i

I

I

dnl

I

I

v1 kolom

t^1"11I ?,,

A=l

l

t ldm1

Ikolom

4. Matriks

kolom 1.

, [il14 )

aoa'.JLI

, i _3 {, matriks B berordo 2 r 4 artinyal

@'',*_ ****&+rU

r,jalu1t*&is+sn$irn* $a*if*e6i*f,rt9.dd$utftiiNililiid*#6{&ik,r

. t;i3-j*nis Matriks

.r ilvlatriks noi adalah rnatriks yang seluruh elemennya nolCohtotr:

to o olA=lo o ol

io o ol

'rt ivlatriks kolom adalah matriks yang ierdirr dari satu kolomContah:

tsl^ lol

1-4llrlLr l

,': :\;'iatriks baris adalah matr"iks yang terdirr dari satu barisContoh:

A=[4 -2 -1 s]

iolB=i0

0l

B=[2 o r]

c-[o o o]

c=h 3l

B- 'o r,-'2'- r 2' .,=_ 4

L]

d. l+iatriks diagonal adalah matriks persegi yang elemen di luar diagonal utamanya bernilail:i:i.

e *nt*h:

,.r'Q 0 0

i ? J.q 90 0 4.0r-l A. n \')'J U',U \

\,,iilrcl.rKs segttigai'viailriks segitiga terdiri atasi:ar,;a h .

Itlatriks segitiga afas adalah matriks yang elemen-elemen di bawah diagonal utama;eiLlruhnya nol

**ntoh:

lt 2 s 41

" lo 3 6 1l^ l0 0 2 3l

[o o o z)

-aaa _lo./ / ,)"-v,g

\r/ ,..."...

r'',', :.t i:ra:, :.

dua macam, yaitu matriks segitiga atas dan matriks segitiga

l\,latriks segitiqa bawah adalah matriks yang elemen-elemen di atas diagonal utamaitluruhnya nol

e *i:fof:;

.s.'....l]:].!ll!H/J,f?M!M@.iwMatematikaketasXttsMntp$5mt'ciiar' ',*,,*'ii,#*@ii{isiid$$N;r\\ii:.}i$ii\{iili{{Ssii .\ \{\is,Nsii\ii *^^^*s@

:' :

fz r ^-ll/ ,r+ Z)

B=lo 3 slLo o el

'l 0 0 0r.: Ubo -2 00.l'' 7 i 5 o e-ls 7 olrii :; i 1) L1 3 6li.j

r,r:,:rlril(ri r,erseEi adalah matriks yang banyak baris sama dengan banyak kolom.'! ta#i, :

lt e -2 5lu=l u' o, ? -nrl

[s B 1 zl

1r241A-ls 6 el12 7 5)

g. Matriks identitas adalah matriks yang elemen-elemen diagonal utamanya sama dengan 1,

sedangkan elemen-elemen lainnya sama dengan nol

Contoh:

r<'b.. o ol

^=18\).3iLoo\}

Transpose MatriksTranspos matriks A atau (At) adalah sebuah matriks yang disusun dengan cara menuliskan

baris ke-imatriksAmenjadikolom ke-idan sebaliknya, menuliskan kolom ke-jmatriksAmenjadi

t1o-2At=13 s o

[s4 7

tr -4 5 B-l tt o -1 9

"_lo 2 -4 tl .t_l-+ z o -1"-l-1 0 3 5l maka " -l 5 -4 3 0

[o -1 o 6.] LB 7 5 6

c =rl, _.,]^=[]

baris ke-j.

Gontoh:

t1 3 5-lo =

L-0, 8 ?,] *'n'

o = [-dt * Jrr] o"n

Jawab:

.lru)

4. Kesamaan Dua MatriksDua matriks dikatakan sama, apabila mempunyaiordo sama dan elemen-elemen yang seletak(bersesuaian) dari kedua matriks tersebut sama.

Contoh:

Matriks A=B karena ordo dan elemen-elemen yang seletak dari kedua matriks tersebut sama.

Sedangkan A + C, walaupun elemennya sama tetapi tidak seletak

Contoh:Tentukan x, y, dan z jika A = B dari matriks-matriks berikut.

, =1tr:;3 ,t]

4z+2=64z =6-24z -4z =1

B

lzx-z 1l= l4z+2 5yl

x+2y= Sy

3+2y= 5y3 =3yY =1

A

[x+1L6

x + 1 =2x-2x-2x =-2-1-x =-Jx =3

Matematika Kelas Xll SMA IPS Smt. Gasal

e '-:!-i!:!:Eliilll..

, r:r t -*..,+:,i::'t::r!.:l.l-- 1,, I iit".t { O:l{:,1....t,,.O:

5. Persamaan Matriks Berbentuk AX = B dan XA = BBila diketahui matriksAdan B, maka untuk menyelesaikan matriks yang berbentukAX = Bdan XA = B adalah sebagai berikut.Ax _B

A" (AX) =Ar. B

(A'.A).X =A-1 . BlX =A'1 . BX =A-1 . B

Contoh:

, lz 3-l., I s 201, Lt +.1^=[ro i5] 2.

Jawab:

XA =fl(XA)AI = B. A-1

(A'.A).X =B.Ar.Xl = BArX = BA-1

-f 2 3-l l- s 2o1^Lr 4)=L1o 15.1

1 11 i], = [,1 ?3)

lz 3-l- ts 20)[r +]^=lro 15i

r;Ii1 ;ll1 ll^=rlo$ -,')[3 ?3]

tJ \1^=r*ol:, ,'l[,% ?8] :

- 1[-10 351

^=sL 5 1oi'.j

'

^=l-l 51 :

, xl1 3'l Is+,1= [ro

201151

ul2 3l t lq -3]-t5 2ol 1 (q -3\^Lt 4)24-311-1 z )=lto T5l2a_31[-r i )

ul2 3-l1[+ -3-] [s 201 1 lq -31"11 4-ls L- 1 2 )- l1o 1s)2A_3jl-1 2 )

,1f2 3l[4 -3-l 1[S 2O]14 -31^EL1 4JL-1 2 .l=EL1o r5J[-r i )

-1[5 ol 1Io zsf^ 5Lo s.l

: 5125 1o l

-[1 ol ts ol^Lo 1l =

Lo s_l

',. - [5 ol^-10 5l

Matemitiki Ketas Xit SMA tpS

'-:ai: c.:r. a:,1 I 5 iiaii:a::::al: * I a i a:a

a .,: ri::r:::a.i:nl lLd.:i{::jr7i{ft*Pf.lia: .t.;*rttirirlr}.:r,rr.r!!,i:a i,r:,.1.:::tj;.,l r : i'1

A. Isilah titik-titik berikut dengan jawaban yang benarl

1. Matrik A- [l 9 io'."out-)

f€€ il-.a8Efumrn MarsafiBrfr

2. Diketahui suatu rnatriks

3. Pada matriks A soal no.

4. Diketahui matriks D

il: ;r,: ;ad;r i:r;iis ketiga adaiah

2 diatas,

?1 1'L .)i-'j :i i ,:l';'.ri,,ti, l'.,:,,iit lia)tl;; :.r:rii;i. i(cllliil ke"iii;i adalah ...,- )1

:-I,lji3

5. Ordo dari matriks

1..1 :'

B. Kerjakan soal-soal berikut dengan benar!

1. Diberlkan suatu matriks.

a. Berapakah banYaknYa baris?

b. Berapakah BanYaknYa kolom?

c. Tuliskan elemen-elemen baris ke-1.

d Tuliskan elemen-elemen baris ke-3

e. Tuliskan elemen-elemen kolom ke-21

f. Tuliskan elemen-elemen koloni ke-4! iZg Sebutkan elemen baris ke-2 kolom ke-31 I t

h. Sebutkan elemen baris ke-4 kclom ke-51 -

I ?i. Nyatakannamauntukelemen-elemetr -2,7'?t,'t1i l-"

j. Nyatakan nama untuk elemen-elemen 3, "2,2. i,11k. Nyatakan nama untuk elemen 9l

l. Nyatakan nama untuk elemen -71

2. Buatlah matriks sembarang yang nrempunyai kerienluan sebagai berikut!

a. Mempunyaidua baris dan empat kolom

b. Mempunyaitiga baris dan empat kolom.

c. Mempunyai satu baris dan empat kolom.

3. Tuliskan ordo dari matriks-matriks berikutl

c c=h 2 -3 o 5 7l

[l 24,idr/'i

ri ,..1 ,1 '; i:I;:, I .ii,1 4 ,a

[r i ':::

1 -2 1 21

6 -7 1 7l2 -5 -7 3l-2 2 1 111

^[Ja. ^-15l0

i 3 o -2 1 5l4 6 B 1 3 4l5 6 7 4 2 0l-1 2 4 5 0 7l10?-6511

37 2)6 -2 1l4 6 3l

, 5 4 9l

1 s -31B 5 0l4 B 6l*2 0 610 7 5l1 -3 6l

b. B-

MatematiXa Kelas XIISMA IPS Smt. Gasal

1. Penjurnlahanmatriks* Dua matriks dapat dijumlahkan apabiia ordo kedua matriks sama dan elemen-elemen yang

seletak kedua matriks tersebut juga sama.Contoh:

1. Jikaia b1A-1.

(1 t dan B-L"

makaA+ B =

lz72. .tit" A=1,

sL'

Jawab:

[n ql

J SI

ql larpr.l= [" *.

[r o 4lt^ -tLt 4 ll

[t o ] ,t r l-l

lz 4 7 jl : 5 rl

[t+: o+7 ]+1'l=tl]-l a t < ,,r]

L_r_ a1-J tatl

_[; , ,lIr q s]

A*B=12 z Il*[t 0 4

125r_l 1247

A*B=12*t t+o l++l

12+2 5+4 t+1)

[:751A+B=l l

14e8l

la b1 lp[" ,].[.

l] dan B

b*qld+s_j

,tentukanA+BdanB+A!

I.l1,l-.I B+ Al

: B+Adan

B+ A

* Sifat-sifat penjumlahan matriks.Bila A, B, dan C adalah matriks yang ordonya sama, maka berlaku sifat-sifat matriks berikut.a. Komutatif :A+B=B+Ab. Asosiatif :(A+B) +$ =A+(B+C)c. lndentitas '.A+Z=z+ A=Adengan Zadalah matriks nold. (A + B)t- At+ Bt

':' Dua matriks dapat dikurangkan apabila ordo kedua matriks sama dengan cara mengurangkanelemen matriks.

Contoh:

makaA- B- p l, -r/1

- t' ,/ - i ]

la1 tixa A =lc

b1 ^ lp q1

d) dan o =l', ;]

1,, b) I p ,t) 1,,-

I l-l l:l-[c ct ) l, ,,] L.

r dlu!!tir Matematika Kelas Xll SMA IPS Smt, Gasal ry*,,*=r"**rw**u0...**"*****64N

lqti[t 04.12 rixrA=[o , ;] dan u:1,

4 z_] *un,unrnA-BdanB-A!

Jawab:

t Sifat-sifat perkalian matriks dengan bilangan riil.

BilaAdan B matriks yang ordonya sama dengan K dan M bilangan riil, maka berlaku:1) (K+M)A =K.A+M.A2) K(A+B) =K.A+K.B3) (-1) A = A (-1) = -A, -A adalah lawan atau negatif dari matriks A4) K(M A) =(K M)A5) (KA)' = K. (A)'

b. Perkalian dua matriks

{. Dua buah matriks dapat dikalikan jika banyaknya kolom matriks-matriks yang kiri samadengan banyaknya baris matriks yang kanan sedangkan aturan melakukan perkalian matriks

adalah mengalikan baris-baris dengan kolom-kolom dan kemudian dijumlahkan hasilperkalian tersebut.

o-r=lo 'l-[' oo] u-o-[' ot-r l+7t"-l+ s rl lz 4 7) "-lz 4 1) [r 5 r]

o_r=[r-, i o ,-ol a*n_,r-o o-] ., 'll4-2 5-4 t-71 dan 12 4 4-s 7-ll

o-r=[" -'l ,-o-l-t -7;lL2 r -6.1 l-2 -l 6l

3. Perkalian Matriksa. Perkalian matriks dengan bilangan riil

* Jika K bilangan riil dan A suatu matriks, maka hasil perkalian K dengan mairiks A adalahmatriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap eiemen A dengan K

ro b, ia b.tikaA=l^ -i,makakA

_kurl\q L" u_l [c d )

lxu kbl= ln" kdj]

" Contoh:

lz rlJika matriks A -l . ^ l. tentukan:

[o r]a. 4A

b. 5A

Jawab:

a ^o=rl; ll=[l.: i.]l=[; ,0,)

b ,o=,[; ]]-[:.: ;.]l Ll: :l

Matematika Kelas Xll SMA IPS Smt. Gasal

r r:r r o'.*{,r .r i.r l.i"r i.rE

i'' can o

t'' {! t',i :.', ,' ir,t,':-rr ht

- !, ,l ,"1, - tt.lt - h.k tt.t1 t hl tr.t. - h.rtt

I

= | r i-l i

L. ,l )l,A I ntl ls,.l..,i.k t'.q+tl.l t'.r'-ti.1r-

Tl{1

..{:li

LL

Jika

makaA. B

Contoh:

iz1l

JIKA lL - iiL

Jawab:

A. B

A. lsilah titik-titik berikut dengan jawaban yang benar!

makaA.BdanB.Aadalah

B adalah

: rrit tll r.'l t,

-l i +: "

it.:-.1.t :.: +.s l,-,,t:5r .;sli.l 5.i i.i i.5t - tl,53 lt,-..i]

l-t tc 6rtol .t ,,) x_t5(, -'o g-li, dan B A

_x I) ,r,-,: I

lro 26| = [t: ]61

):e jri ti i1l-l

rlllr

A t: I

1. Jika l, r r]dank=6.maka64adalah..ll

I il lro ]6 *r-li r0I

dan B - l:0.5 _l-'r l0 ], maka n.15 051 ts i5 |5]

I ro

A= 05i

L_5

i-io

.11L

I { --1--ldan tr rr . ,makaD-Eadalah._i _: i'

12-i

n)

2. Jika

3. Jika

Matematika Kelas Xll SMA IPS Smt. Gasal

#4&.,:

B adalah ...

[, + -i^-lr.,l4. Diketahui matriks^-18 ' Glrtriks

L; _2 tl, ,rn, matriks 4 A adalah

. tl -^41 [:4r]5. Diketahui matriks o=l'-l

'lo"nmatriksa:l-: t 6lrrrrns

[, 2 - 2) [., , r] maKaA

B. Kerjakan soal-soal berikut dengan benar!

1. Diketahui matriks-matriks berikut.

j=1, 1l ,^ [: +]o=lu 3j dan "=1, e]

Tentukan:

a. A.C d. ZQ!2Ab. 24 + 3C e. C.2Ac. C-A

ol

t)

d 2C+2Ae. (38 -2 A)t

v) oI

6-ixl dan 8-.in]

-s

- lz 5l rr -rto =l' o-l

o'n t = L; ;]

I :i:,::

c. D1-St

2. Jika matriks

Tentukan:

a. D. Sl

b. D'.35Diketahui matriks-matriks berikut.

o=[, :.1 a=1, -r.] c=[,14 rl, [5 7 1' 12

Tentukan:

a. C.Bb. 2A+ 38c. 38-2A

lx 2

Diketahui matriks o=l' 4

L8 t6 +2xy

Tentukan nilai p dan q!

z z1q zol,I5q t1l

4.

fqx +o Is Matriks , = L,z _ool dan 1l] *r,ro"n nilai x, y dan x + y !

- ft6x + +yZ=l

140

Matematika Kelas Xll SMA IPS Smt. Gasal

aaallatatttatrotata

Tugas Kelompok 2

Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan jelas dan benar!1. Diketahuimatriks-matriksberikut:

i-u -/,1 l-ho sl

'=l% 2,.^no=l% rJ,.

Tentukan:

a. PO

b. 3P+2qc. Q-Pd. 2P+2Q

e. Q.3P

I "toob 'tooc i Ioloqc 212. Diketahui | .- | - |

L | 'losn.]=[ t /r_)

Tentukan nilai a, b, dan c!

[t +1 tt ot3. Lixa M =[z ,_]oan t =[o r.]*"r.nrhipersamaan

bilangan riil, maka tentukan nilai a dan b!

[r -1 zl [s 4

4. Diketahui matriksx=12 3 -llornv=l 2 -5la 4 s_l L-r +

Tentukan XiY!

lutoob' o I i r ol5 Jika M = L rlb 2rosolo'n * =

| "'o116 %)

Jika M = 2.N, maka tentukan nilai a, b, dan c!

M2 = a.M + b.l, dimana a dan b adalah

1l

5i

3l

Matematika Kelas Xll SMA IPS Smt. Gasal

Dengan prinsip perkalian antara dua matriks, maka sistem persamaan liniear dapat diubah menjadipersamaan dalam bentuk matriks.

I qc-a,1lrl_l aq-bp

I

lyl-l -pcnarllaq-bp I

. qc-br -pcjardenqanx= ----, danv= ---.' aq-Dp ' aq_bp

ax+by =c) lairlpx+qy=r) lp

Rumus:

I oc-nr 1

[,]_i ,q _bp I

lyl-i -pc+arll,q-w )

. qc-brdenoanx= -- . dany=" aq-bp

-pc + ar

aq-bp

Contoh:Dengan menggunakan invers matriks, maka tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaanberikut!

2x +:y = 12)

x+4y=n jJawab:

2x+3y=12\ --.[z .tl lrl [r:ix+4y=n [ -[r +-] [y] [rr]

fxl_ r [+ -:l[rzl= ly) z+-: r[-r z ] [rr]

[x-] r[+s-:: Itt-tt- lvl- s[- n zz)

[,]: [,]= Lyl

-Lrl

Jadi, himpunan penyelesaiannya {3,2}

bl[x-l [cllttL

q )lv ) [']

Matematika Kelas XIISMA IPS Smt. Gasal

B. Kerjakan soal-soal berikut dengan benar!

1. Diketahui matriks-matriks berikut.

lz rl - [:4)o=lu 'l

o'n B=[r 'i

Tentukan:

a. determinan matriksA

b. determinan matriks B

2. Lihat soal nomor 1, maka tentukan:

a. invers matriks A

b. invers matriks B

3. Jika marriks f lz sl [; -21

'=1, n.l oan ts = [r , ]Tentukan.

a. D+F

b. determinan matriks D + F

c. D-F=matriks

. d. invers matriks D - F

4. Diketahui matriks-matriks berikut.

" [t 3l - rT rl [: 6'.1A=i' -l B=l' 'l c=l' r

L4 rl' Ls 1), 12 1)

Tentukan:

a. A+B

b. determinan A +B

c. A+B+C

5. Lihat soal nomor 4, maka tentukan:

a. determinanA+ B + C

b. invers matriksA+ B + C

Matematika Kelas Xll SMA IPS Smt. Gasal

Matriks

[: 41

13 Jika o = L, ,l dan

^ t_2 _s)

"=l-,0 + i''uk'A'-sadalah '

a. diaogonal

b. kolom

c. baris

d. segitiga

e. nol[-s r3]

a L,o 4)

[- t - rlb l-.- ,]l-z - rlc Io -,]

i^ -ir \i-,t".-l.,'

[s a]

Ir rloll

L-6 o j10. Jika matriks A=F 2 -3 o 5 z),

maka matriks A disebut ....a. diagonalb. kolom

c. baris

d. segitiga

e. nol

dank=1/3,makaB=[p ql

LT S]

adalah....

14. Jika matriks berordo 2 x 2, maka carilahmatriks A dari

11. Jika

1/3BtI t ,l-[,l-2 o.l lz

[o - 3-l

a l, o]Is 6l

b f-o 4)

I a alc l-o -+)

-:-l, I adalah .. .+l

Isp 3ql

a L;' +.]

lt I IleP 5ql

d lt r i

La' 5'l

I o -:ld l-, o ]

[; rle i-r -"rlL - 'l

tr r IlsP r'I

b. lr r I

Lso d'l

[+, .olc

[" +"]

e ['I .1]

15. Diketahui matriks

Iro=l z

[-r

2 'j3 rl

I,) -) I- -l

maka matriks 7P adalah ....

12.lt sl

Lit"A=lz ,) dan

maka A + 28 adalah .

lo q)

a iu,] d

I e r:-lb L,o t4) e

la o'lc

[s+)

lta =l'

l3

Is r+l

1,, 14 l

lq tl[, o)

.-lrlol

Ir z t1ll

a i4 u ,l d

L-2 4 -4)

lz 4

14 6

l-, 4

l-z -4

14 6

lz 4

zl2l

-+l

z1

,I-+)

it t4 tlb l'o 2t , I e

L-7 14 -14)

ftt'tfl- 'l

c 1462llz44)

I

l.

flatemqlika Ketas X[ SrtrrAiFs sri. 6iiij

i.r:*i.r- ]- i:.::r:!L, r.:illi t'lt::l..t:f.,': ..r,r,.:i::rir*ilt-iaLIiliE :tl.ti tlliiiii

!

lsilah titik-titik berikut dengan jawaban yang benar!

-1 2 -4 5 1 2'i4 6 7 B 5 1 |

o o 4. 4 7 -1'14 2 5 4 3 4l

1. Ordo dari matriks 'l 5 3 12 2 T i adalah '

lo B e 7 5 6i3 2 4 2 5 5;

2 Tranpose dari matriks [2 1 -ll adaian . .

ir rt : I it j:3. Jikadiketahur matrrksA=A=ls . , idanB= . :; +i,makaB-A':ii:'.'r,''

lr J - ' i

J.54 Jika matriks D = 1 , , l maka nilardarr Dl adalah ..

I L -__l

rlt +r I : lo

5. Nilaix pada persamarn [ ; s l- lr, s ;r)1 adalah

!_

[r , ,l

6 Jika diketahui suatu matriks ' l: ; ,_ nraka matrirs D o seour inar'ls

r 3y-S7. Himpunan penyelesaian sistem persamaan , - t/ - aCalah ' .

[r o]B. JikaA= ]. . lOan lmatriks satuan ordc dua makaA: - 2A+ iadalah

-J

ll lu9. Diketahui matriks =O].* 3 Ount= ,, t Tentukannilai xsupavairariirii:

merupakan matriks singular !

[: -il10. lnvers dari matriksA= | -, , I adalah

l-- + )

Jw,$$!m:--\$|N}>\\N\:S\$\\S\'\)T$!!S':-3:llss$li!|!!!|ll!i!!!::ws'Matematita Kelas Xll SMA IPS Smt. Gasal r$

i

!

,4.,

!

\

Kerjakan soal-soal berikut dengan benar!

1 Tentukan ordo dari masing-masing matriks berikuil ' * {

[: 1ltta 14 3l

l7 ) I

t' -)

53t6:-)3g34

i il b tl:l c [: ;1',)

la' m1b L, ,)

Ir 4

t7 -5l, -,c i, sI

Ir ')L'

ofr 4zl

2. Alina nrembeli 6 buku dan 4 pensil dengan harga Rp 16.000.000. Pada saat yang sama, /

membeli4 buku tulis dan 2 buah pensil dengan harga Rp 10.000,00. Bagaimanakah pernyata

tersebut jika ditulis dalam matriks!

3. Tentukan transpose matriks-matriksberikut!

4. Diketahui matriks-matriksA= dan B = , tentukan:

a. A+Bb. A-B

c. B+A

E Diketahumatriks-matrii<sP=112 3ldanQ=,tentukannilaidarioperasimatriks-matriksPdan Q P!

D. Jotl*rh$<an pernyetaam-pernyat*an hen!kut dengan jawaban yang benar!

lq

al,l'tL'

1 ( ) -(A')',

2. (.. ) -(P + Q)l

3. ( ) (PQ)'4. ( ) A(A,) ,

5. ( ) (A.B) '

6. ( ) P+Q7. ( ) (P+Q) +R

B. (. ) (k+m)P

9, ( ) k(P+Q)'10 ( ) k(m.P)

A. B-1 . A-1

B.AC. P,. Qt

D. -Pt+QtE. _A

F. (km)PG. k.P + k.QH. k.P + m.P C

t. p+(O+R)J. Q+PK. -Q-P

.l:'I'

Matematika Kelas Xll SMA'IPS Smt. Gasal

ETES

LW'K'X]gKEgKEruEf

IM

== *WW * ffi *3 & & Lt ffi $Siffi *teiw &i * H ffi ffi

A. Berilah tanda silang (X) pada huruf a, b, c, d atau e di depan jawaban yang ber.lau.l

5. l$'*2x-1)dx=...

a. -lrt" x2-x+C

1

. [(g*r - 3x + 7)dx =r. I'0

ila. ;- d. 13

-)

12b. . e.3

.i

l3a-

.,

2. Jika f'(x) = -3 sin2 (3 - 2x) cos (6 - 4x)maka nilai f(x) adalah ... .

b. X3+x2+x+Cc. x3-x? -x+Cd. x3+x2-x+Ce. x3+x2-x+C

jseca3xtan3xdx =...

a fsec'3x+cb ;seco3x ic

c. fsec'3x , c

d. f cosec" 3x -r, c

e. fcosec'3x + c

c/ n\/ r \

ilz-: l[ " ]0, =r t x)\x')a.2 d.Bb.4 e10c.6Luas daerah yang diarsrr pada garnbarberikut adalah ... .

d.z

b. 1,5

o

Jd.

4

1

e.4

Luas daerah yang dibatasi oleh y = x3 - 1,

sumbu x, x = -1, dan x = 2 adalah.., satuanluas.

Ja.

4

b.2

3c2-4

a. sin'(3 - 2x).

b sin3 (3 + 2x)

c. cos" (3 - 2x).

d. cos'(3 + 2x).

e. - cos3 (3 - 2x). 7 '

3. Hasil dari j (x * 5) cos 2x dx adalah ....

a. ltx r S)sin2x+ 1cos2x+C2''48.

b. (x + 5)sin 2x + lcos2x + C

c' i* -a)r,n, x -lcos2x +c441

d. -(x r5)cos2x-r lsin2xr C2'4

e. ]f*, s)cos2x*1cos2x+C2"49.4. Jika diketahui F'(x) = 4 cos 2x, maka F(x)

adalah ... .

a.4sinxcosxb. Bsinxcosx

c. 16 sin x cos x

d. 4cosxcosx

e. 4sinxsinx

1

4aJ

4-4

A

Dari grafik berikut, daerah yang diarsiradalahhimpundn.' penyelesaian suatu pertidak-samaan linear. Nilai optimum dari 3x + 2ypada daerah penyelesaian tersebut adalah

Nilai maksimum pada grafik berikut darifungsi tujuan z = 5x + 2y adalah ..

a.29 Y

t

2

11. I'lilai integral dari Jsrn 2x cos x dx adalah ....0

e. 1

1

1 (3x: -3x + 7)s; , -

IIa.; d.13

.)

b. T e.3

IJC.

L

Koordinat titik-titik di dalam dan sepanjang

sisi segitiga PQR dalam gambar di bawah ini

memenuhi pertidaksamaan ... .

14"^?2dx'10 Nilai ,l F

3q )--4

1

o. J-4

e

c 6-4

d.;2

d.J

4I

b.;J

3

4

3d 4-;

.+

e.6a. 20

b29c31d. 43

e. 45

15.

i2

b. 34

c. 37

d. 42

e. 43

Nilai maksimum dari 2x+ 5y pada himpunanpenyelesaian sistem pertidaksam aan x + 2y< B, x + 3y. 9; x > 0; y > 0 adalah ....

a. 11

b. 13

c. 15

d17e. 21

10. Nilaimaksimum dari3x +2y dari sistempertidaksamaan 2x+ 3y < 12, 3x- y < 6; x

: 0, y: 0 adalah ....

a. 11,54

b. 12,54

c. 13,34

d. 14,34

e. 15,65

Diketahui sistem pertidaksamaan x + y:4,2x+y <6, x > 0dan y > 0, maka nilai

maksimum dari 2x + 4y pada himpunanpenyelesaian pertidaksamaan di atas adalah

at. 12

b. 10

c. '16

d 18

e. 20

to

1713.

'18.

d.

b.

d.

e.

4x+y>9,4x+y>9,x+4y>8,4x+y<8,x+4y>8,

4x+3y<24,4x+3y<24,3x+4y<24,3x+4y>24,3x+4y>24,

gy+y>126y+y>12x+6y>126y+y<12x+6y>12

,r i\a

1 u,+T,.1,1J,r._13*1 rrny.5*s-$,i-1,il'c'i,} ""-

(,

1e rVratriks ^=[i

L3

2 -2) 22.4 5l_2 _1 l, maka2 3)

elemen-elemen kolom ke-5 adalah ...a. -2, 5, -1, 3b. 1, 5, 3, 2, -2c 3,2,1,4,5d. 7,2, 1, -2, -1 :

e. 3,2, 1,2,3

20. Matriks

a 1x4b. 4x1c. 1 x.1

d. 4x4e. 1x0

21 Transpose dari matriks

adalah ...,

dan z jika A = B dari matriks

1lx+2yldan

D lzx-z 1-lo=lnz+2 5y] adalah

a. x=1,y=1,2=1b. x=3,y=3,2=1C. x=3.Y=1,2=3d. x=3,y=3,2=1e. X=3,Y=1,2=1

23. Nilai matriks X dari persamaan matriks

-fz 3l ls 2o1^L t 4 )= l1o 15 ] adalah ...

24. b dari matriks-matrrks

dr. B = [6# a8o] aour,n

". ,=1danb=3 d. a=4danb=1

b. a=5danb=4 e. a=5danb=1c. a=4danb=5

25. Jika diketahui matriks dan

matriks4)7 ] maKa nilai B + A

Nilai x, y,

^ [x 11

lo

53zt21a1ZI

lt ola. ln ol

Lw L)

lt olb [o rl

ls olc [o5jNilai a dan

" [16a ol^=Lro 64b]

d l; t)

to 5le is ol

lt -4 5 Blc-l 0 2 -4 7l"-l-1 0 3 5l

le -1 o 6l

[r-4 5 8llo -i e 2l

a. lo -t -4 3llo z s 6l

" 12711^=lz 5 1l

It o -r e-ll-+ 2 o rlb I s 4 3 olLB 7 5 6.1

Ir -4 5 o]l2 -4 -1 0l

c. ls 5 o 6l[-r e 8 7)

fa 'z clatJo [as4)ts e s.lel+78)

,=u 2

57)e4l

751eBl

73)eBl

^[ad. lRL"

fabL;

I-scl+

lt o 1 ell-q 2 o -11d l5 -4 3 olLB 7 5 6l

Ig -1 0 1-lI r o 2 -41e. l0 3 -4 5lL3 5 7 8l

./

ngan jawaban yangB, lsilah titik-titik berikut de

1 j(x' 1)2dx=

i2 (r- -;idr -...

L

,4r

a I 3Jx*----*6bx=u '1. Jx )

4. lnvers dari matrik D =

benar!

5. Jika diketahui matriks

I-rr i6l

1,, rr]adatan

lz 3lx -l , .l oan matriks I

Lr +)'

lr +1 1-limatriksD=8 slorn==Lo

iz rl- L. ^ l. maka X +V aoalah ....lu il

rl

,],*rt,D.E adalah ..

bernilai sama dengan determinan matriks ] r'l ,ro, harga x adatah

lt o I lptt i i l:B. Nilaixdanyyangmemenuhi persamaanls,,,]

]', .1] n ,ladatah

9. Nilaimaksimum fungsiobyektif 4x + 2y pada himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan

x + y : 4', x + y < 9', -2x+ 3y < 12', 3x - 2y : 12 adalah ....

10. Nilai maksimumfungsiobyektif z=5x-3ydaii sistempertidaksamaanx+y<5; 3x+2y112, x 2 0; y , 0 pada grafik berikut adalah ... .

Kerjakan soal-soal berikut dengan jelas dan benar!

1. Jika diketahui F'(x) = 3x' - 6x + 2 dan F(-1) = -2, maka tentukan nilai f(x)l

2. Tentukan luas daerah yang berurarna biru pada gambar berikutl

1

v

Jika diketahu

f t rlJikai .l

l-r 1l

,?

Jawab.

CarilahJawab:

luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan garis x + y = 6!

4. Dikeiahui matriks-matriksberikut.

I j r I o -,iA- j 1 2 4-ri r ri

]; I I t7 i ql

Tentukan:

a. K.A b.2A+3KJawab:

t: sl [: -215. Jixa matriks 4 :;z o.] orn B =

lr , ]Tentukan:

a. A+Ej c. A-B=matriksb. determinan matriksA+ B d. invers matriks A- B

Jawab:

6. Diketahui matriks-matriksberikut.

Ir i iz -r [: 6-]K I t- I \4-l Il+ I 5 j_, : ilTentukan

a K+Lb. determinan K +Lc. K+L+M

d. determinanK+L+Me. invers matriks K + L+ M

Jawab.

z Jika matriks r = [; ]] 0". ,=l:r ;] *r* tentukan: pr e l !

Jawab:

B. Dengan menggunakan determinan matriks, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan

berikutl

:x-y-t) 2x-3y=5'a' x :y-rlf b x-sy=oJJawab:

[:" - to 4l9. Diketahui matriksA= I 1 ^1,

hitungtafr nilai-nilaiayang memenuhideterminanA=0!L -r 0)

Jawab.

10. Seorang pedagang menjual buah apel dan jeruk dengan menggunakan gerobak pedagang

tersebut membeli apel dengan harga Rp 8.000,00/kg dan jeruk dengan harga Rp 6.000,00/kg.

Modal yang tersedia Rp 1.200.000,00 dan gerobaknya hanya dapat memuat apel dan jeruk

sebanyak 180 kg. Jika harga apel Rp 9.200,00/kg dan jeruk Rp 7.000,00/kg, maka berapakah

laba maksrmum yang diperoleh?

Jawab:

Matematika Kelas XIISMA IPS Smt. Gasal