fardatilaini.files.wordpress.com · Web viewOLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP . SEL. EKSI TINGKAT...

OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP

SELEKSI TINGKAT PROVINSI TAHUN 2006

1. Diberikan segitiga PQR siku-siku di Q. Jika panjang PQ adalah X + 4, panjang QR

adalah

3x + 2, dan panjang PR adalah 3x + 4, maka panjang QR adalah….

Jawab :

Karena segitiga PQR siku-siku di Q, maka sisi PR merupakan Hypotenusa.

Menurut Dalil Pythagoras :

Maka, panjang QR = 3(2) + 2 = 8

2. Diberikan fungsi kuadrat :

Jawab :

Hitung a dan c .

3. Nomor telepon di Kota Malang terdiri dari enam angka. Banyaknya nomor telepon di

kota

itu yang habis dibagi 5 adalah ….

Jawab :

Angka yang digunakan pada nomor Telepon adalah 0 s.d. 9 .

Buatlah 6 petak , kemudian isi dengan banyaknya angka yang mungkin digunakan untuk

setiap digitnya.

Digit pertama sebanyak 9 angka yang mungkin (karena 0 tidak digunakan pada digit

pertama), digit kedua sebanyak 10 angka, sampai dengan digit kelima, digit terakhir hanya

ada 2 angka yang mungkin yaitu 0 dan 5 ( karena habis dibagi 5).

Jadi, banyaknya nomor Telepon yang habis dibagi 5 adalah sebanyak

9 x 10 x 10 x 10 x 10 x 2 = 180.000 nomor.

4. Perhatikan gambar berikut ini.

Jika panjang sisi pada persegi yang terbesar adalah 1 satuan panjang dan persegi berikutnya

diperoleh dengan cara menghubungkan semua titik tengah pada keempat sisinya, maka

jumlah luas yang diarsir adalah…

Jawab :

Perhatikan gambar dengan cermat !

Luas segitiga ke-2 = 1/2 x luas segitiga DEF




Luas daerah yang diarsir = luas segitiga DEF + luas segitiga ke- (1 + 2 + 3 + 4 + 5)

Luas daerah yang diarsir = (1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16) x luas segitiga DEF

Luas daerah yang diarsir = 31/16 x 1/2 x DE x DF

Luas daerah yang diarsir = 31/16 x 1/2 x 1/2 x 1/2 = 31/128 satuan luas.

5. Rata-rata nilai matematika dari 24 siswa adalah 7,20. Setelah ditambah nilai dari 2

siswa,

rata-ratanya menjadi 7,25. Jika nilai salah satu dari kedua siswa itu adalah 7,65, maka nilai

satu siswa yang lain adalah …

Jawab :

Misalkan nilai satu siswa adalah N . Menurut definisi rata-rata hitung

N = 26 x 7,25 – 24 x 7,20 – 7,65

N = 26(7,20 + 0,05) – 24 x 7,20 – 7,20 – 0,45

N = 7,20 + 26 x 0,05 – 0,45

N = 7,20 + 1,30 – 0,45

N = 8,05

Jadi, nilai satu siswa adalah 8,05 .

REVIEW (Melihat Kembali)

Jika kita anggap nilai 2 siswa sebagai penambah masing-masing 7,20, maka rata-rata 26

siswa adalah 7,20. Sedangkan data soal rata-ratanya 7,25 berarti rata-rata bertambah 0,05.

Dengan demikian jumlah nilai 2 siswa tersebut 7,20 ditambah 0,05 sebanyak 26, tetapi

diketahui nilai 1 siswa 7,65 berarti sebagian nilai (26 x 0,05 ) termuat dalam nilai 7,65 yaitu

sebesar (7,65-7,20) = 0,45.

Jadi, Nilai 1 siswa = 7,20 + (26 x 0,005 – 0,45) = 7,20 + 1,30 – 0,45 = 7,20 + 0,85 = 8,05.

Perhatikan 3 langkah terakhir !

Saya yakin.., peserta OSN ada yang menjawab dengan langkah skip seperti itu.

6. Jika Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari bilangan bulat positip a dan b tidak

kurang dari 15, dan

kelipatan persekutuan terkecil (KPK) nya tidak lebih dari 32, maka banyaknya pasangan

bilangan bulat a dan b yang mungkin adalah…

Jawab :

Diketahui : FPB (a,b) ≥ 15 , KPK (a,b) ≤ 32 dengan a dan b bilangan bulat positif.

Anggap a < b

Untuk FPB (a,b) = 15 , maka yang mungkin KPK(a,b) = 30

Karena 30 = 2 x 15 , maka a = 15 , dan b = 30


Karena 32 = 2 x 16 , maka a = 16 , dan b = 32

Dengan demikian , pasangan (a,b) yang mungkin adalah ( 15,30) dan (16, 32).

Jadi, sebanyak 2 pasang.

Secara Aljabar sebagai berikut :

FPB(a,b) =15 , maka dapat ditulis; a = k1 x 15 dan b = k2 x 15 , dengan k1 dan k2 adalah

bilangan bulat positif.

KPK (a,b) = 30 , maka 15 . k1. k2 = 30 atau k1. k2 = 2 , diperoleh k1=1 dan k2 = 2 ,

sehingga

a = 1 x 15 = 15 dan b = 2 x 15 = 30 .


FPB(a,b) =16 , maka dapat ditulis; a = k1 x 16 dan b = k2 x 16 , dengan k1 dan k2 adalah

bilangan bulat positif.

KPK (a,b) = 32 , maka 16 . k1. k2 = 32 atau k1. k2 = 2 , diperoleh k1=1 dan k2 = 2 ,

sehingga

a = 1 x 16 = 16 dan b = 2 x 16 = 32 .

Dengan demikian , pasangan (a,b) yang mungkin adalah ( 15,30) dan (16, 32).

Jadi, sebanyak 2 pasang.

7. Sebuah kebun berbentuk persegi panjang yang berukuran panjang 160 meter dan lebar

50

meter. Di sepanjang tepi kebun dibangun parit dengan lebar yang sama. Jika luas kebun

tersebut sekarang menjadi 3/4 luas kebun mula-mula, maka lebar parit yang dibangun

adalah…

Jawab :

Untuk memudahkan perhitungan, buatlah sketsa gambar Persegi seperti berikut:

Misalkan lebar parit adalah y meter.

Berdasarkan informasi soal :

Luas kebun yang tersisa 3/4 luas kebun semula, maka

(50 – 2y) (160 – 2y) = 3/4 x 160 x 50 , (dimana 50 – 2y > 0 dan 160 – 2y > 0 )

4(25 – y )(80 – y) = 3/4 x 160 x 50

(25 – y )(80 – y) = 3 x 10 x 50

(y – 5)(y – 100) = 0

Dipenuhi untuk y = 5 , sedangkan y = 100 (tak memenuhi) , karena menghasilkan

50 – 2y < 0

Jadi, lebar parit adalah 5 m.

8. Terdapat tiga penjaga taman hiburan A, B, dan C. A berjaga setiap 3 hari, B setiap 4

hari dan

C setiap 5 hari. Pada hari Minggu mereka berjaga bersama-sama untuk yang pertama

kalinya. Pada saat mereka akan berjaga bersama-sama untuk yang kedua kali, A sakit,

sehingga tidak masuk. Pada hari apa mereka dapat berjaga bersama- sama untuk yang

berikutnya ?

Jawab :

Soal cerita yang berkaitan dengan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK).

KPK(3 , 4, 5 ) = 3 x 4 x 5 = 60 .

Jadi, mereka akan berjaga bersama-sama setelah k.60 hari dari hari Minggu, dengan k

bilangan Asli.

Karena untuk yang kedua kalinya akan berjaga bersama-sama A sakit, maka setelah 120 hari

dari hari Minggu mereka akan berjaga bersama-sama lagi untuk yang berikutnya. Banyaknya

hari dalam 1 Minggu = 7 hari.

120 : 7 = 17 sisa 1, maka mereka akan berjaga bersama-sama untuk yang berikutnya pada

hari Senin.

9.

Jawab :

Cara tak langsung

Kedua ruas dikuadratkan diperoleh ;

maka x = 3

10. Nilai dari ;

Jawab :

Misalkan jumlahnya S , kelompokkan setiap dua suku deret tersebut !

S = (1 + 2)(1 – 2)+(3 + 4)(3 – 4) +… + (2003+2004)(2003 –2004) + (2005 + 2006)(2005 –

2006)

Ini yang disebut cara Gauss, ilmuwan yang briliant , yang melatarbelakangi jumlah deret

Aritmetika

Jadi, jika menggunakan rumus jumlah n suku deret aritmetika , hasilnya sama.

S1003 = 1/2 x 1003 ( (-3) + (-4011)) = 1003 x (-2007) = – 2.013.021.

11. Himpunan penyelesaian dari

Jawab :

Kalikan kedua ruas dengan 7 , diperoleh;

7 – 2(x – 5) ≤ 28(3 – x) – 1

7 – 2x + 10 ≤ 84 – 28 x – 1

26 x ≤ 84 – 18

26 x ≤ 66

13 x ≤ 33

x ≤ 33/13

12. Jika P dan Q keduanya adalah bilangan positif ganjil dan memenuhi ,

maka selisih P dan Q adalah …

Jawab :

Dipenuhi, jika dan hanya jika 3Q – 20 = 1 , dan P = 5Q.

3Q = 21 , maka Q = 7 , dan P = 5 x 7 = 35.

Sehingga, P – Q = 35 – 7 = 28.

Kemungkinan Lain :

4/Q = 3/5 – 1/P

4/Q = (3P – 5) / 5P jika dan hanya jika 3P – 5 = 4 dan Q = 5P , maka diperoleh P = 3

dan Q=15, sehingga P – Q = 3 – 15 = -12, jadi selisih P dan Q adalah 12

13.

Jarak antara titik A dan titik B adalah …

Jawab :

Temukan titik A dan B !

Dari kedua persamaan tersebut diperoleh;

(x – 1 )(x + 6) = 0

x =1 atau x = -6

Untuk x= 1 diperoleh y = 2(1) + 8 = 10 , maka A(1, 10)

Untuk x= – 6 diperoleh y = 2(-6) + 8 = -4 , maka B(-6, -4)

14.

Sebuah ember terbuat dari seng seperti tampak pada gambar. Luas seng yang digunakan

untuk ember tersebut adalah ….

Jawab :

Jika gambar ember dibalik kedudukannya, maka tampak merupakan Kerucut terpancung

(terpotong) oleh sebuah bidang datar yang sejajar bidang alas kerucut.

Diketahui ; panjang AB = 50 cm ,maka OB= 25 cm

CD = 30 cm, maka DE = 15 cm , dan EO = h1 = 40 cm , TE = h2

Hitung luas selimut ember !

Luas selimut ember = luas selimut kerucut TAB – luas selimut TCD.

perhatikan garis TO tegak lurus AB dan CD, maka besar sudut TED = sudut TOB

Besar sudut DTE = sudut BTO ( sudut persekutuan)

Maka segitiga TED sebangun segitiga TOB ( sd-sd) , akibatnya;

Segitiga TED siku-siku di E , maka

Segitiga TOB siku-siku di B , maka

Jadi, luas seng diperlukan = luas selimut ember + luas alas ember

Dengan Algoritma (langkah pengerjaan) tersebut anda dapat menurunkan

Rumus Luas selimut Kerucut terpancung. (selamat mencoba)

15.

Dari gambar di atas diketahui bahwa jari- jari lingkaran kecil adalah 3 cm dan jari-jari

lingkaran besar adalah 5 cm. Panjang CD adalah ……cm.

Jawab :

Buatlah garis AF dan BE . dimana E dan F adalah titik-titik singgung garis singgug

persekutuan luar 2 lingkaran.

Jari-jari BE tegak lurus DE, begitu pula jari-jari AF tegak lurus DF.

Besar sudut BED = sudut AFD = 900

Sudut BDE = sudut ADF (sudut persekutuan)

Maka segitiga BDE sebangun dengan segitiga ADF (sd-sd), akibatnya ;

BD x AF = AD x BE

(CD + 3) x 5 = (CD + 11) x 3

5CD + 15 = 3CD + 33

2CD = 18

CD = 9 cm.

16. Pak Rahman memiliki satu kantong permen yang akan dibagikan kepada anak-anak.

Jika setiap anak diberi dua permen, maka di dalam kantong Pak Rahman tersisa empat

permen. Namun jika setiap anak diberi tiga permen, maka ada dua anak yang tidak mendapat

bagian dan satu anak yang mendapatkan dua permen. Banyak permen Pak rahman di dalam

kantong sebelum dibagikan adalah…

Jawab :

Ini soal cerita yang berkaitan dengan SPLDV, disini anda dituntut untuk membuat kalimat

matematika dalam bentuk persamaan linear sesuai soal.

Misalkan , banyaknya permen pak Rahman semula adalah P permen , dan

banyaknya orang sebanyak M orang .

Berdasarkan informasi soal ;

Jika setiap anak diberi dua permen, maka di dalam kantong Pak Rahman tersisa empat

permen,

maka P = 2M + 4 …………..(1)

Jika setiap anak diberi tiga permen, maka ada dua anak yang tidak mendapat bagian dan

satu anak yang mendapatkan dua permen, berarti ada 3 orang yang tidak mendapat

permen sebanyak 3 , sehingga

P = (M – 3) x 3 + 2 …………….(2)

Dari kedua persamaan tersebut diperoleh;

2M + 4 = 3(M – 3) + 2

2M + 4 = 3M – 9 + 2

M = 11

Jadi, banyaknya permen pak Rahman semula adalah P = 2(11) + 4 = 26.

17. Lima orang pemuda pergi berekreasi menggunakan sebuah mobil. Mobil yang

digunakan

memiliki dua tempat duduk di depan (termasuk untuk pengemudi) dan tiga tempat duduk di

belakang. Dari kelima pemuda tersebut hanya dua orang yang bisa menjadi pengemudi.

Banyak cara mereka duduk di mobil adalah …

Jawab :

Buatlah petak sebagai sketsa tempat duduk Mobil !, lalu isi dengan banyaknya cara yang

mungkin orang dapat menduduki tempat duduk tersebut sesuai cerita soal.

Tempat Sopir kemungkinannya hanya dapat diisi dengan 2 cara, tempat duduk berikutnya,

kemungkinan dapat diduduki dengan ( 5 – 1) cara, berikutnya 3 cara, 2 cara dan 1 cara.

Jadi, banyaknya cara mereka duduk adalah 2 x 4 x 3 x 2 x 1 = 48 cara.

18. Jika n adalah bilangan asli, maka bentuk paling sederhana dari perkalian

Jawab :

Karena tidak ada batasan n ≠ 1 , maka untuk n = 1 diperoleh ;

19.

Gambar di atas menunjukkan banyaknya siswa dari kelas 7, kelas 8, dan kelas 9 yang

mengikuti kegiatan ekstra kurikuler sepak bola. Diketahui bahwa banyak siswa yang

mengikuti kegiatan tersebut semuanya adalah 28 orang. Dua orang siswa dipilih secara acak

untuk menjadi ketua dan wakil ketua. Jika wakil ketua terpilih adalah siswa kelas 7, maka

peluang terpilihnya ketua yang berasal dari kelas 9 adalah …

Jawab :

Hitung banyaknya siswa setiap kelas !

Dari diagram Batang di atas , misalkan banyaknya siswa kelas 7 = 3s , kelas 8 = 6s, dan

Kelas 9 = 5s yang mengikuti kegiatan tsb.

Diketahui jumlah siswa yang mengikuti kegiatan tsb = 28, maka

3s + 6s + 5s = 28

14 s = 28 , maka s =2.

Dengan demikian banyaknya siswa dari kelas 7 = 6 orang, kelas 8 = 12 orang dan

Dari kelas 9 = 10 orang.

Dari informasi soal, wakil ketua terpilih dari kelas 7 , artinya pemilihan diambil dari 28

orang, sedangkan terpilihnya ketua diambil dari (28 – 1)= 27 orang, setelah terpilihnya wakil

ketua.

Ini termasuk contoh soal Peluang bersyarat, peluang kejadian B setelah kejadian A terjadi.

20.

Pada gambar di atas, segitiga ABC adalah siku-siku di A dan AEDF adalah suatu persegi. Jika

panjang AB = 6 cm dan AC = 3 cm, maka luas daerah segitiga CDE adalah……cm2

Jawab :

Karena AEDF adalah Persegi, maka panjang AE = DE = DF = AF = a , sehingga panjang

CE = 3 – a , .

Segmen garis ED // AB , maka besar sudut CDE = sudut CBA (sudut sehadap)

Besar sudut CED = sudut CAB = 900 ,maka

Segitiga CED sebangun dengan segitiga CAB (sd-sd), akibatnya;

CE x AB = CA x DE

(3 – a) x 6 = 3 x a

18 – 6a = 3a

9a = 18 , maka a = 2 , sehingga panjang CE = 1 , dan DE = 2.

Jadi, luas segitiga CDE = 1/2 x 1 x 2 = 1 cm².

Soal Uraian

1. Sebuah cerobong asap berbentuk kerucut terpancung, jari-jari alas cerobong tersebut 5

meter, jari-jari atas 4 meter, dan tinggi 20 meter. Cerobong asap tersebut akan dicat,

biaya

mengecat permeter persegi adalah Rp 5.000,- . Hitung biaya pengecatan cerobong asap

itu !

Jawab :

Penyelesaian soal ini identik dengan soal no. 14 , tentang luas selimut kerucut terpancung

(terpotong) .

Untuk menghitung luasnya, buatlah gambar seperti berikut :

Segitiga TED sebangun dengan segitiga TOB, (sd-sd) , akibatnya ;

5 TE = 4 TE + 80

TE = 80 m

Karena Segitiga TED siku-siku di E , maka ;

Karena Segitiga TOB siku-siku di O , maka ;

Luas Cerobong Asap = luas selimut kerucut TAB – luas selimut kerucut TED

2. Tentukan m agar persamaan

mempunyai tepat dua solusi real !

Jawab :

Mempunyai tepat dua solusi real, jika dan hanya jika sepasang akar-akar persamaan pangkat

4 tersebut saling berkebalikan, dan dipenuhi jika konstantanya = koefisien x pangkat 4.

Jika kita uraikan , maka konstantanya adalah -(m+1) dan koefisien x pangkat 4 yaitu 2.

-(m + 1) = 2 atau m = -3

Jadi, nilai m agar persamaan soal mempunyai tepat 2 solusi real adalah – 3 .

3.

Diberikan segitiga siku-siku sama kaki ABC dengan sudut siku-siku di C.

Luas segitiga ABC adalah 2 satuan luas. Busur l adalah busur lingkaran yang berpusat di A

dan membagi segitiga menjadi dua bagian yang sama luasnya. Busur m adalah busur

lingkaran yang berpusat di B dan menyinggung busur l di titik yang terletak di AB. Tentukan

luas daerah yang diarsir.

Jawab :

Soal kelihatannya sukar , tetapi sebenarnya tidak sukar, hanya perlu kecermatan saja.

Untuk menghitung luas daerah yang di arsir, gunakan postulat penjumlahan luas !

Luas daerah yang diarsir = luas segitiga siku-siku ABC – luas sektor lingkaran dengan busur l

– luas sektor lingkaran dengan busur m.

Luas daerah yang diarsir = 2 – 1 – luas sektor lingkaran dengan busur m

= 1 – luas sektor lingkaran dengan busur m

Tampak luas daerah yang diarsir kurang dari 1 satuan luas .

Hitung luas sektor lingkaran dengan busur m ! Buatlah gambarseperti berikut !

Untuk menghitung luas sektor BEF , hitung panjang BF !

Misalkan kedua busur l dan m bersinggungan di titik F pada garis AB.

Segitiga ABC siku-sik sama kaki, maka panjang AC = BC , dan besar sudut A = sudut B =

450

Luas segitiga ABC = 2 satuan luas

1/2 x AC x AC = 2

AC x AC = 4 , maka panjang AC = BC = 2 , dan

Luas sektor ADF = 1

Sehingga panjang BF = panjang AB – panjang AF

4. Ucok bermain menyusun batang-batang korek api seperti tampak pada gambar

berikut.

Apabila susunan batang korek api yang dibuat Ucok dilanjutkan, tentukan banyak batang

korek api yang diperlukan untuk membuat susunan ke-20 ?

Jawab :

Banyaknya batang korek api yang digunakan dalam setiap susunan membentuk barisan

bilangan ;

3 , 9 , 18 , 30 , …

Yang ditanyakan suku ke-20 dari barisan tersebut .

Lebih dari satu cara untuk dapat menentukan suku ke-20 .

Dengan mengamati pola dari suku sebelumnya ;

Suku ke-2 = suku ke-1 + 2 x 3 = 9

Suku ke-3 = suku ke-2 + 3 x 3 = 9 + 9 = 18

Suku ke-4 = suku ke-3 + 4 x 3 = 18 + 12 = 30

Suku ke-5 = suku ke-4 + 5 x 3 = 30 + 15 = 45

Dan seterusnya , tetapi cara ini cukup panjang bagaimana jika yang ditanyakan suku ke-

1000 merepotkan ..

Kita tentukan suku ke-n dari barisan berikut :

Suku ke-1 = 3 = 3 x 1 = 3 (1 )

Suku ke-2 = 9 = 3 x 3 = 3 ( 1 + 2 )

Suku ke-3 =18 = 3 x 6 = 3 ( 1 + 2 + 3 )

Suku ke-4 =30 = 3 x 10 = 3 ( 1 + 2 + 3 +4 )

. .

. .

Suku ke-n = = 3 ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …+ n )

Deret 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …+ n , merupakan deret aritmetika dengan a=1 dan beda = 1 ,

sehingga 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …+ n = 1/2 x n (1+ n) ,

Jadi,

Suku ke-n = = 3 x 1/2 x n ( 1 + n )

Dengan demikian,

Suku ke-20 = 3/2 x 20 x ( 1 + 20 ) = 30 x 21 = 630

Jadi, banyak batang korek api yang diperlukan untuk membentuk susunan ke- 20 adalah

sebanayak 630 batang.

5. Indonesia akan mengirim delegasi Olimpiade Sains Internasional (OSI) tingkat SMP

pada

tahun 2006. Delegasi ini terdiri atas tiga siswa SMP yang harus dipilih secara acak dari 10

kandidat yaitu enam siswa bidang Sains dan empat siswa bidang Matematika. Berapa peluang

terpilihnya delegasi OSI yang terdiri 2 siswa dari bidang Sains dan 1 siswa dari bidang

Matematika?

Jawab :

Ini soal Kombinasi

Semua kombinasi 3 siswa dari 10 siswa , yang mungkin adalah sebanyak

Banyaknya kombinasi 2 siswa dari bidang sains dan 1 siswa dari bidang matematika adalah

sebanyak

Jadi, Peluang terpilihnya delegasi OSN yang terdiri dari 2 bidang sains dan 1 dari bidang

matematika adalah 60/120 = 1/2 .

fardatilaini.files.wordpress.com · Web viewOLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP . SEL. EKSI TINGKAT...

Documents

Transcript of fardatilaini.files.wordpress.com · Web viewOLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP . SEL. EKSI TINGKAT...