dwipurnomoikipbu.files.wordpress.com · Web viewMisalkan x1 kecepatan mobil, x2 percepatan, dan y...

26
1 TUGAS KELOMPOK MATAKULIAH FUZZY THEORY CHAPTER 5 LINGUISTIC VARIABLES ANDFUZZY IF-THEN RULES (VARIABEL-VARIABEL LINGUISTIK DAN ATURAN FUZZY JIKA- MAKA) Makalah Diskusi Kelas Buku Sumber A COURSE IN FUZZY SYSTEMS AND CONTROL Oleh Li-Xin Wang Dosen Pembina: Prof. Dr. Toto Nusantara, M.Si. Dr. Hery Susanto, M.Si. Kelompok 4 Arjudin:NPM. 130311910786Dwi Purnomo:NPM. 130311910784 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA S-3 PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS NEGERI MALANG TAHUN 2013

Transcript of dwipurnomoikipbu.files.wordpress.com · Web viewMisalkan x1 kecepatan mobil, x2 percepatan, dan y...

1

TUGAS KELOMPOK MATAKULIAH FUZZY THEORY

CHAPTER 5LINGUISTIC VARIABLES ANDFUZZY IF-THEN RULES

(VARIABEL-VARIABEL LINGUISTIK DAN ATURAN FUZZY JIKA- MAKA)Makalah Diskusi Kelas

Buku SumberA COURSE IN FUZZY SYSTEMS AND CONTROL

Oleh Li-Xin Wang

Dosen Pembina: Prof. Dr. Toto Nusantara, M.Si.

Dr. Hery Susanto, M.Si.

Kelompok 4Arjudin:NPM. 130311910786Dwi Purnomo:NPM. 130311910784

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA S-3PROGRAM PASCASARJANA

UNIVERSITAS NEGERI MALANGTAHUN 2013

BAB 5VARIABEL-VARIABEL LINGUISTIK DAN ATURAN FUZZY JIKA-MAKA

5.1 Dari Variabel Numerik ke Variabel Linguistik

Dalam kehidupan kita sehari-hari, kata-kata sering digunakan untuk

menggambarkan variabel. Sebagai contoh jika kita mengatakan "hari ini panas,"

maka sama artinya dengan, "suhu saat ini tinggi," kita menggunakan kata "tinggi"

untuk menggambarkan variabel "suhu hari ini." Artinya, variabel "suhu hari ini“

mengambil kata "tinggi" sebagai nilainya. Jelas, variabel "suhu hari ini" juga dapat

diganti bilangan seperti 25°C, 19°C, dan seterusnya, sebagai nilai-nilainya. Ketika

variabel diganti bilangan sebagai nilainya, kita mempunyai kerangka kerja

matemtika yang tersusun dengan baik untuk merumuskannya. Tetapi ketika variabel

mengambil kata-kata sebagai nilainya, kita tidak dapat merumuskannya dalam teori

matematika klasik. Untuk itu konsep variabel linguistik perlu diperkenalkan. Dengan

kata lain, jika variable-variabel yang digunakan mengambil kata-kata dalam bahasa

sehari-hari sebagai nilai-nilainya, hal itulah yang disebut variabel linguistik.

Pertanyaannya adalah adalah bagaimana merumuskan kata-kata dalam istilah

matematika? Dalam hal ini kita akan menggunakan himpunan fuzzy untuk

menggambarkan kata-kata.

Definisi 5.1.

Jika suatu variabel dapat digambarkan dengan kata-kata dalam bahasa sehari-hari

sebagai nilai-nilainya, variabel ini disebut variabel linguistik, di mana kata-kata

yang dicirikan dengan himpunan fuzzy didefinisikan dalam semesta pembicaraan

dalam suatu variabel yang terdefinisi.

Contoh 5.1.

Kecepatan sebuah mobil adalah variabel x yang nilainya berada dalam interval [0,

Vmax], dalam hal ini Vmax adalah kecepatan maksimum mobil. Kita dapat

mendefinisikan kecepatan mobil dalam tiga himpunan fuzzy "lambat", "menengah",

dan "cepat" dalam [0, Vmax] seperti ditunjukkan pada Gambar 5.1. Jika kita

memandang sebagai variabel linguistik, maka dalam hal ini “lambat”, “menengah”

dan “cepat adalah nilainya. Sehingga kita dapat mengatakan “ adalah lambat”, “

2

adalah menengah”, dan “ adalah cepat”. Tentu saja, x juga dapat dinyatakan dengan

bilangan dalam interval [0, Vmax] sebagai nilai-nilainya, misalnya, x = 50 km/jam, x =

25 km/jam dan seterusnya.

Definisi 5.1 merupakan definisi sederhana dan intuitif untuk variabel

linguistik. Dalam literatur teori fuzzy, definisi yang lebih formal tentang variabel

linguistik yang biasanya digunakan (Zadeh [I973] dan [1975]). Definisi tersebut

diberikan sebagai berikut.

Definisi 5.2.

Suatu variabel linguistik ditandai dengan huruf-huruf (X, T, U, M), di mana:

1) X adalah nama dari variabel linguistik, dalam Contoh 5.1, X adalah kecepatan

mobil.

2) T adalah himpunan nilai linguistik yang diambil X, dalam Contoh 5.1,

T = {lambat, menengah, cepat).

3) U adalah domain fisik yang sebenarnya di mana variabel linguistik X mengambil

nilai kuantitatif yang tegas; dalam Contoh 5.1, U = [0, Vmax].

4) M adalah aturan semantik yang berhubungan dengan setiap nilai linguistik di T

dengan suatu himpunan fuzzy di U; dalam Contoh 5.1, M menghubungkan

"lambat", "menengah," dan "cepat" dengan fungsi keanggotaan yang ditunjukkan

pada Gambar. 5.1.

Jika kita bandingkan definisi 5.1 dengan definisi 5.2, maka kedua definisi

tersebut pada dasarnya sama. Definisi 5.1 adalah lebih intuitif, sedangkan definisi 5.2

3

terlihat lebih formal. Dari definisi ini kita melihat bahwa variabel linguistik adalah

perluasan dari variabel numerik dalam arti bahwa mereka diperbolehkan untuk

mengambil himpunan fuzzy sebagai nilai-nilai mereka, lihat Gambar. 5.2.

Mengapa konsep variabel linguistik penting? Karena variabel linguistik

adalah unsur-unsur yang paling mendasar dalam representasi pengetahuan manusia.

Ketika kita menggunakan sensor untuk mengukur variabel, mereka memberi kita

bilangan, ketika kita meminta mereka untuk mengevaluasinya, mereka memberi kita

kata-kata. Sebagai contoh, ketika kita menggunakan spedometer untuk mengukur

kecepatan mobil, tertera bilangan seperti 39 km/jam, 42 km/jam, ketika kita

meminta manusia untuk memberitahu kita tentang kecepatan mobil, dia sering

memberitahu dalam kata-kata seperti "itu lambat," "itu cepat," dan seterusnya. Oleh

karena itu, dengan memperkenalkan konsep variabel linguistik, kita dapat

mendeskripsikan rumusan yang samar-samar dalam bahasa alami ke dalam istilah

matematika yang tepat. Ini adalah langkah pertama untuk menggabungkan

pengetahuan manusia ke dalam sistem teknik secara sistematis dan efisien.

5.2 Linguistic Hedges (Batasan-batasan Linguistik)

Dengan konsep variabel linguistik, kita dapat mengambil kata-kata sebagai

nilai-nilai variable linguistik. Dalam kehidupan kita sehari-hari, kita sering

menggunakan lebih dari satu kata untuk menggambarkan variabel. Sebagai contoh,

jika kita melihat kecepatan mobil sebagai variabel linguistik, maka nilai-nilainya

mungkin "tidak lambat," "sangat lambat," "sedikit cepat," "lebih atau kurang

menengah,"dan seterusnya. Secara umum, nilai dari variabel linguistik adalah suku

4

komposit yang merupakan gabungan dari suku

tunggal (atomic terms) Suku–suku tunggal dapat

diklasifikasikan ke dalam tiga kelompok:

1) Istilah dasar (Primary terms), yang merupakan label dari fuzzy set; dalam

Contoh 5.1, adalah “lambat," "menengah," dan "cepat."

2) Komplemen "tidak" dan hubungan "dan" dan "atau."

3) Hedges, seperti "sangat," sedikit," "lebih atau kurang," dan lain-lain.

Istilah "tidak," "dan," dan "atau" dipelajari dalam Bab 2 dan 3. Tugas kita

sekarang adalah untuk mengkarakterisasi hedges.

Meskipun dalam penggunaan sehari-hari hedges sangat tidak memiliki arti

yang terdifinisi denganjelas, pada dasarnya itu bertindak sebagai suatu penguat.

Dalam kesempatan ini, kita memiliki definisi berikut untuk dua nilai hedges yang

paling sering digunaka, yaitu sangat dan lebih atau kurang.

Definisi 5.3.

Misalkan A adalah himpunan fuzzy dalam U, maka sangat A didefinisikan sebagai

himpunan fuzzy dalam U dengan fungsi keanggotaan

(5.1)

dan lebih atau kurang A adalah himpunan fuzzy dalam U dengan fungsi keanggotaan

(5.2)

Contoh 5.2

Misal U = {1,2, ..., 5) dan himpunan fuzzy kecil didefinisikan sebagai

(5.3)

yang dapat digambarkan sebagai berikut.

5

Maka, menurut (5.1) dan (5.2) diperoleh

(5.4)

(5.5)

(5.6)

5.3 Aturan Fuzzy IF-THEN (Jika…maka)

Dalam Bab 1 telah disebutkan bahwa dalam sistem dan kontrol fuzzy,

pengetahuan manusia dinyatakan dalam aturan fuzzy IF-THEN. Sebuah aturan fuzzy

IF-THEN adalah pernyataan kondisional/implikasi yang diungkapkan sebagai

JIKA <proposisi fuzzy>, MAKA <proposisi fuzzy> (5.7)

Oleh karena itu, dalam rangka memahami aturan fuzzy IF-THEN, pertama kita harus

mengetahui apa yang dimaksud proposisi fuzzy.

5.3.1 Proposisi Fuzzy

Ada dua jenis proposisi fuzzy yaitu proposisi fuzzy tunggal, dan proposisi fuzzy

majemuk.

(5.8)

Suatu proposisi fuzzy tunggal adalah pernyataan tunggal di mana x adalah variabel

linguistik, dan A adalah nilai linguistik dari x (yaitu, A adalah sebuah himpunan

fuzzy yang didefinisikan dalam physical domain x). Suatu proposisi fuzzy majemuk

adalah komposisi dari proposisi-proposisi fuzzy tunggal menggunakan penghubung

6

1 2 3 4 5 S

"dan," "atau," dan "tidak" yang merupakan irisan fuzzy, gabungan fuzzy, dan

komplemen fuzzy. Sebagai contoh, jika x merupakan kecepatan mobil pada Contoh

5.1, maka berikut ini adalah proposisi fuzzy (tiga pertama adalah proposisi fuzzy

tunggal dan tiga terakhir adalah proposisi fuzzy majemuk):

di mana S, M dan F masing–masing melambangkan fuzzy set "lambat", "menengah,"

dan "cepat,".

Perhatikan bahwa dalam proposisi fuzzy majemuk, proposisi fuzzy tunggal

independen, yaitu, x dalam beberapa proposisi pada (5.12) - (5.14) dapat berbeda

variabel. Sebenarnya, variabel linguistik dalam proposisi fuzzy majemuk secara

umum tidak sama. Sebagai contoh, misalkan x kecepatan mobil dan adalah

percepatan mobil, maka jika kita mendefinisikan himpunan fuzzy besar (L) untuk

percepatan tersebut, berikut adalah proposisi fuzzy majemuk

x adalah F dan y adalah L.

Oleh karena itu, proposisi fuzzy majemuk harus dipahami sebagai relasi

fuzzy. Bagaimana menentukan fungsi keanggotaan untuk relasi fuzzy?

Untuk penghubung "dan" menggunakan irisan fuzzy.

Secara khusus, misalkan x dan y variabel linguistik pada domain fisik U dan V,

serta A dan B adalah himpunan fuzzy di U dan V, maka proposisi fuzzy majemuk

(5,15)

diartikan sebagai relasi fuzzy A ∩ B di U V dengan fungsi keanggotaan

(5.16)

7

x adalah S (5.9)

x adalah M (5.10)

x adalah F (5.11)

x adalah S atau x adalah bukan M (5.12)

x adalah S dan x adalah bukan F (5.13)

(x adalah S dan x adalah bukan F) atau x adalah M (5.14)

dimana t : [0, 1] x [0, 1] → [0, 1] adalah suatu t-norm.

Untuk penghubung "atau" menggunakan gabungan fuzzy.

Secara khusus, proposisi fuzzy majemuk

(5.17)

diartikan sebagai relasi fuzzy A B di U V dengan fungsi keanggotaan

(5.18)

dimana s : [0, 1] x [0, 1] → [0, 1] adalah suatu s-norm.

Untuk penghubung "tidak" menggunakan komplemen Fuzzy. Artinya, mengganti

tidak A dengan ,yang didefinisikan sesuai dengan operator komplemen dalam

Bab 3.

Contoh 5.3.

Proposisi Fuzzy (5.14), yaitu,

FP = (x adalah S dan x tidak F) atau x adalah M (5,19)

adalah suatu relasi fuzzy dalam ruang hasil kali [0, Vmax ]3 dengan fungsi keanggotaan

(5.20)

di mana s, t dan c adalah s-norma, t-norm dan operator fuzzy complement, masing-

masing, fuzzy set S = lambat, M = menengah, dan F = cepat didefinisikan pada

Gambar. 5.1, dan x1 = x2 = x3 = x. Kami sekarang siap untuk menafsirkan aturan

fuzzy IF-THEN dalam bentuk (5.7).

5.3.2 Interpretasi aturan Fuzzy IF-THEN

Karena proposisi fuzzy ditafsirkan sebagai relasi-relasi fuzzy, pertanyaan kunci yang

tersisa adalah bagaimana menafsirkan operasi IF-THEN. Dalam proposional kalkulus

klasik, ekspresi IF p THEN q ditulis sebagai p q dengan implikasi

didefinisikan oleh Tabel 5.1, di mana p dan q adalah variabel proposisi dengan nilai

benar (T) atau salah (F).

8

Tabel 5.1. tabel kebenaran p → q

p q p → qT T TT F FF T TF F T

Berdasarkan tabel 5.1 di atas kita melihat bahwa jika p dan q keduanya bernilai

benar atau salah, maka p q bernilai benar, jika p benar dan q salah, maka p q

bernilai salah, dan, jika p salah dan q benar, maka p q bernilai benar. Oleh karena

itu, p q adalah equivalent dengan

q (5.21)

dan

(p q) (5.22)

dalam arti bahwa mereka memiliki tabel kebenaran yang sama pada (Tabel 5.1)

sebagai p q di mana dan masing–masing mewakili operasi logika (klasik)

"tidak," "atau," dan "dan".

Karena aturan fuzzy IF-THEN dapat dipandang sebagai mengganti p dan q

dengan proposisi fuzzy, kita dapat menafsirkan aturan fuzzy IF-THEN dengan

mengganti operator dan di (5.21) dan (5.22) sebagai fuzzy complement,

fuzzy unions, dan fuzzy intersections. Karena ada berbagai macam operator fuzzy

complement, fuzzy union, dan fuzzy intersections, sejumlah interpretasi yang

berbeda dari aturan Fuzzy IF-THEN yang diusulkan dalam literatur.

Berikut ini kita tulis ulang (5.7) sebagai IF <FP1> THEN <FP2> dan

menggantikan p dan q di (5.21) dan (5.22) oleh FP1 dan FP2, di mana FP1 dan FP2

adalah proposisi fuzzy. Diasumsikan bahwa FP1 adalah relasi fuzzy didefinisikan

dalam U = Ul . . . Un , dan FP2 adalah relasi fuzzy didefinisikan dalam V = Vl . . .

Vm, serta x dan y masing-masing adalah variabel linguistik (vektor) di U dan V.

Terdapat beberapa interprestasi aturan fuzzy JIKA-MAKA, yaitu:

9

1) Implikasi Dienes-Rescher: Jika kita mengganti operator logika dan V di

(5.21) oleh komplemen fuzzy dasar (3.1) dan union fuzzy dasar (3.2), maka kita

mendapatkan apa yang disebut implikasi Dienes-Rescher. Secara khusus, fuzzy

IF-THEN aturan IF <FP1> THEN <FP2> ditafsirkan sebagai relasi fuzzy QD di

U V dengan fungsi keanggotaan

(5.23)

2) Implikasi Lukasiewicz: Jika kita menggunakan Yager s-norm (3.10) dengan w =

1 untuk V dan komplemen fuzzy dasar (3.1) untuk pada (5.21), kita

memperoleh implikasi Lukasiewicz . Secara khusus, fuzzy IF-THEN aturan IF

<FP1> THEN <FP2> ditafsirkan sebagai relasi fuzzy QL di U V dengan fungsi

keanggotaan

(5,24)

3) Implikasi Zadeh: Berikut fuzzy IF-THEN aturan IF <FP1> THEN <FP2>

ditafsirkan sebagai relasi fuzzy QZ di U V dengan fungsi keanggotaan

(5.25)

Jelas, (5.25) diperoleh dari (5.22) dengan menggunakan komplemen fuzzy dasar

(3.1), union fuzzy dasar (3.2), dan intersections fuzzy dasar (3.3) untuk masing-

masing , V dan ∧.

4) Implikasi Godel: Implikasi Godel adalah formula implikasi terkenal dalam

logika klasik. Dengan generalisasi ke proposisi fuzzy, dihasilkan aturan fuzzy

IF <FP1> THEN <FP2> yang ditafsirkan sebagai relasi fuzzy QG di U V

dengan fungsi keanggotaan

10

Adalah hal yang menarik untuk mengeksplorasi hubungan antara implikasi–

implikasi di atas. Lemma berikut menunjukkan bahwa implikasi Zadeh lebih kecil

dari implikasi Dienes-Rescher dan lebih kecil dari implikasi Lukasiewicz.

Lemma 5.1.

Untuk semua , berikut ini adalah benar

(5.27)

Bukti:

Misalkan (x, y) U x V. Maka x U dan y V.

(i) Akan ditunjukkan QD(x, y) < QL(x, y), dengan cara menunjukkan

max[1-FP1(x), FP2(y)] < min[1,1 - FP1(x) + FP2(y)

Karena 0 < 1 - FP1(x) < 1 dan 0 < 1 - FP2(y) < 1, maka

max[1- FP1(x), FP2(y)] < 1 - FP1(x) + FP2(y) dan max[1- FP1(x), FP2(y)] < 1.

Sehingga

max[1-FP1(x), FP2(y)] < min[1,1 - FP1(x) + FP2(y)

yang berarti QD(x, y) < QL(x, y).

(ii) Akan ditunjukkan bahwa QZ(x, y) < QD(x, y), dengan cara menunjukkan

max[min(FP1(x), FP2(y)), 1-FP1(x)] < max[1-FP1(x), FP2(y)]

Perhatikan bahwa min[FP1(x), FP2(y)] < FP2(y), sehingga

max[min(FP1(x), FP2(y)), 1-FP1(x)] < max[1-FP1(x), FP2(y)]

yang berarti QZ(x, y) < QD(x, y).

Jadi terbukti bahwa

Secara konseptual, kita bisa mengganti, dan dalam (5.21) dan (5.22)

oleh fuzzy complement, s-norm dan t-norm, untuk mendapatkan interpretasi tertentu.

Sehingga muncul pertanyaan: Berdasarkan kriteria apa kita memilih kombinasi fuzzy

complement, s-norma, dan t-norma? Ini adalah pertanyaan penting dan kita akan

membahasnya dalam Bab 7-10. Pertanyaan lain adalah: Apakah (5.21) dan (5.22)

masih "ekuivalen" untuk p q saat p dan q adalah proposisi fuzzy dan apa artinya

"ekuivalen"? Sekarang kita mencoba untuk menjawab pertanyaan ini. Ketika p dan q

adalah proposisi yang tegas (yaitu, p dan q adalah benar atau salah), p q adalah

implikasi global (global implications) dalam arti bahwa Tabel 5.1 mencakup semua

11

kemungkinan kasus. Namun, ketika p dan q adalah proposisi fuzzy, p q hanya

mungkin implikasi lokal (local implications) dalam arti bahwa p q memiliki nilai

kebenaran besar hanya ketika kedua p dan q memiliki nilai kebenaran yang besar.

Misalnya, ketika kita mengatakan "JIKA kecepatan tinggi, MAKA resistensi tinggi,"

kita hanya peduli dengan situasi lokal dalam arti bahwa aturan ini tidak memberitahu

kita tentang situasi ketika "kecepatan lambat," "kecepatan menengah," dll. Oleh

karena itu, aturan fuzzy IF-THEN

IF <FP1> THEN <FP2> (5.28)

harus ditafsirkan sebagai

IF <FP1> THEN <FP2> ELSE <NOTHING> (5.29)

di mana NOTHING berarti bahwa aturan ini tidak berlaku. Dalam hal logika, itu

menjadi

p q= p ∧ q (5.30)

Dengan menggunakan min atau algebraic product untuk ∧ dalam (5.30), kita

memperoleh implikasi Mamdani.

5) Implikasi Mamdani: aturan fuzzy IF-THEN (5.28) ditafsirkan sebagai

hubungan fuzzy QMM atau QMP di U V dengan fungsi keanggotaan

atau

Implikasi Mamdani yang paling banyak digunakan dalam implikasi fuzzy

sistem dan fuzzy kontrol. Mereka didukung oleh argumen bahwa aturan fuzzy IF-

THEN bersifat lokal. Namun, seseorang mungkin tidak setuju dengan argumen ini.

Sebagai contoh, seseorang mungkin berpendapat bahwa ketika kita mengatakan

"JIKA kecepatan tinggi, MAKA resistensi tinggi," secara implisit menunjukkan

bahwa "JIKA kecepatan lambat, MAKA resistensi rendah." Dalam pengertian ini,

aturan Fuzzy IF-THEN adalah nonlokal. Perdebatan semacam ini menunjukkan

bahwa ketika kita merepresentasikan pengetahuan manusia dalam aturan fuzzy IF-

THEN, orang yang berbeda memiliki interpretasi yang berbeda. Akibatnya, implikasi

12

yang berbeda diperlukan untuk mengatasi keragaman interpretasi. Misalnya, jika

manusia ahli berpikir bahwa aturan mereka adalah lokal, maka implikasi Mamdani

harus digunakan, jika tidak, implikasi global (5.23) - (5.26) harus dipertimbangkan.

Kita sekarang meninjau beberapa contoh untuk perhitungan QD, QL, QZ, QMM

dan QMP.

Contoh 5.4.

Misalkan x1 kecepatan mobil, x2 percepatan, dan y gaya yang diterapkan untuk pedal

gas. Tinjau aturan fuzzy IF-THEN berikut:

JIKA x1 lambat dan x2 kecil, MAKA y besar (5.33)

di mana "lambat" adalah himpunan fuzzy yang didefinisikan pada Gambar. 5.1,

yaitu,

"Kecil" adalah himpunan fuzzy dalam domain percepatan dengan fungsi

keanggotaan

dan "besar" adalah himpunan fuzzy dalam domain kekuatan diterapkan pada pedal

gas dengan fungsi keanggotaan

Misal domain x1, x2 dan y adalah U1 = [O, 100], U2 = [O, 30], dan V = [O, 3],

masing-masing. Jika kita menggunakan produk aljabar untuk t-norm dalam (5.16),

maka proposisi fuzzy

FP1 = x1 adalah lambat dan x2 adalah kecil (5.37)

adalah relasi fuzzy dalam U1 U2 dengan fungsi keanggotaan

13

Gambar. 5.3 menggambarkan bagaimana untuk menghitung FP1 (x1, x2).

Jika kita menggunakan implikasi Dienes-Rescher (5.23), maka aturan fuzzy

IF-THEN (5.33) ditafsirkan sebagai relasi fuzzy QD (x1, x2, y) di U1 U2 V dengan

fungsi keanggotaan

Dari 5.38 didapat

Untuk membantu kami menggabungkan dari (5.40) dengan

dari (5.36) dengan menggunakan operator max, kami menggambarkan

pada Gambar 5.4 pembagian daerah

dan dan kombinasi mereka. Dari Gambar. 5.4, kita memperoleh

Untuk implikasi Lukasiewicz, Zadeh dan Mamdani, kita dapat menggunakan

prosedur yang sama untuk menentukan fungsi keanggotaan.

Dari Contoh 5.4 kita melihat bahwa jika fungsi keanggotaan dalam proposisi

fuzzy tunggal bukan merupakan fungsi yang mulus (misalnya, (5.34) - (5.36)),

perhitungan dari fungsi keanggotaan akhir dan lain–lain, adalah tidak

praktis, meskipun langsung. Sebuah cara untuk mengatasi kompleksitas ini adalah

14

dengan menggunakan fungsi mulus tunggal untuk mendekati fungsi nonsmooth; lihat

contoh berikut.

Contoh 5.4 (lanjutan)

Andaikan kita menggunakan

(5.42)

Untuk mendekati pada (5.34)

(5.43)

Untuk mendekati pada (5.35), dan

(5.44)

Untuk pendekatan pada (5.36). Sekarang jika menggunakan hasil implikasi

Mamdani (5.32) dan hasil aljabar untuk t-norm pada (5.16), maka fungsi

keanggotaan dapat dihitung dengan mudah sebagai

(5.45)

Contoh 5.5

Misal U = {1, 2, 3, 4} dan V = {1, 2, 3}. Andaikan x U adalah beberapa proposisi

kebalikan untuk y V. untuk mengetahui formula ini, kita mungkin menggunakan

aturan fuzzy IF-THEN:

Jika x Besar, maka y kecil (5.46)

Dimana himpunan fuzzy “besar” dan “kecil” didefinisikan sebagai

Besar = 0/1 + 0,1/2 + 0,5/3 + 1/4 (5.47)

Kecil = 1/1 + 0,5/2 +0,1/3 (5.48)

Jika kita menggunakan implikasi Dienes-Rescher (5.23), maka aturan fuzzy IF-

THEN di interpretasikan mengikuti relasi fuzzy QD pada U V :

15

QD = 1/(1, 1) + 1/(1, 2) + 1/(1, 3) + 1/(2, 1) + 0,9/(2, 2) + 0,9/(2, 3) + 1/(3, 1) +

0,5/(3, 2) + 0,5/(3, 3) + 1/(4, 1) + 0,5/(4, 2) + 0,1/(4, 3)

(5.49)

Jika kita menggunakan implikasi Lukasiewicz (5.24), aturan (5.46) menjadi:

QL = 1/(1, 1) + 1/(1, 2) + 1/(1, 3) + 1/(2, 1) + 1/(2, 2) + 1/(2, 3) +1/(3, 1) + 1/(3, 2)

+ 0,6/(3, 3) + 1/(4, 1) + 0,5/(4, 2) + 0,1/(4, 3)

(5.50)

Untuk implikasi Zadeh (5.25) dan implikasi Godel (5.46) kita mempunyai:

QZ = 1/(1, 1) + 1/(1, 2) + 1/(1, 3) + 0,9/(2, 1) + 0,9/(2, 2) + 0,9/(2, 3) + 0,5/(3, 1)

+ 0,5/(3, 2) + 0,5/(3, 3) + 1/(4, 1) + 0,5/(4, 2) + 0,1/(4, 3)

(5.51)

dan

QG = 1/(1, 1) + 1/(1, 2) + 1/(1, 3) + 1/(2, 1) + 1/(2, 2) + 1/(2, 3) + 1/(3, 1) + 1/(3, 2)

+ 0,1/(3, 3) + 1/(4, 1) + 0,5/(4, 2) + 0,1/(4, 3)

(5.52)

Akhirnya, Jika kita menggunakan implikasi Mamdani (5.31) dan (5.32), maka aturan

fuzzy IF – THEN (5.46) menjadi:

QMM = 0/(1, 1) + 0/(1, 2) + 0/(1, 3) + 0,1/(2, 1) + 0,1/(2, 2) + 0,1/(2, 3) + 0,5/(3, 1)

+ 0,5/(3, 2) + 0,1/(3, 3) +1/(4, 1) + 0,5/(4, 2) + 0,1/(4, 3)

(5.51)

dan

QMP = 0/(1, 1) + 0/(1, 2) + 0/(1, 3) + 0,1/(2, 1) + 0,05/(2, 2) + 0,01/(2, 3) + 0,5/(3,

1) +0,25/(3, 2) + 0,05/(3, 3) + 1/(4, 1) + 0,5/(4, 2) + 0,1/(4, 3)

(5.52)

Untuk (5.49) – (5.52) kita melihat terdapat kombinasi tidak mencakup aturan (5.46)

itu adalah, pasangan (1,1), (1,2), dan (1,3) (karena large (1) = 0 ) QD, QL, QZ, dan QG

memberi seluruh nilai keanggotaan mereka, tetapi QMM dan QMP memberi nilai

keanggotaan nol. Ini konsisten dengan diskusi awal pada Implikasi global Dienes-

Rescher, Lucasiewicz, Zadeh dan Godel, mengingat implikasi lokal Mamdani.

16

5.5 LATIHAN

Latihan 5.1

Berikan tiga contoh variabel linguistik. Mengkombinasikan variabel linguistik

menjadi proposisi majemuk fuzzy dan menentukan fungsi keanggotaannya.

Latihan 5.2

Pertimbangkan beberapa nilai linguistik hedges selain yang dalam Bagian 5.2 dan

mengusulkan operasi yang wajar mewakili mereka.

Latihan 5.3

Biarkan QL, QG, QMM dan QMP menjadi hubungan fuzzy didefinisikan dalam (5.24),

(5.26), (5.31), dan (5.32), masing-masing. tunjukkan bahwa QMP QMM QG QL

Latihan 5.4

Gunakan operator fuzzy dasar (3.1) - (3.3) untuk "tidak," "atau," dan "dan," masing-

masing, dan menentukan fungsi keanggotaan untuk proposisi fuzzy (5.12) dan (5.13).

potongan fungsi keanggotaan.

Latihan 5.5

Pertimbangkan aturan fuzzy IF-THEN (5.33) dengan fuzzy set lambat, kecil, dan

besar didefinisikan oleh (5.42), (5.43) dan (5,44), masing-masing. menggunakan

min untuk t-norma di (5.16) dan menghitung hubungan fuzzy QD, QL, QZ, QG, QMM

dan QMP

Latihan 5.6

Misalkan Q hubungan fuzzy dalam U U. Q disebut refleksif jika (u, u) = 1 untuk

semua u U. Tunjukkan bahwa jika Q adalah refleksif, maka:

(a) Q o Q juga refleksif, dan

(b) Q Q o Q, di mana o menunjukkan komposisi max - min.

17

18