JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No.1, (2013) 2337-3520 (2301-928X Print)

1

Abstrak: Konsumsi energi di Indonesia terus meningkat

karena pertambahan penduduk, pertumbuhan ekonomi

dan pola konsumsi energi. Untuk mengatasi permasalahan

tersebut, diperlukan adanya pengendalian terhadap tingkat

produksi sumber energi. Pada tugas akhir ini, diterapkan

teori kendali optimal dalam produksi sumber energi

terbarukan dan tidak terbarukan menggunakan metode

Prinsip Minimum Pontryagin. model yang digunakan

adalah model Lotka-Volterra dengan menginterpretasikan

dinamika tingkat produksi sumber energy terbarukan dan

tidak terbarukan masing masing 50%. Dalam tugas akhir

ini didapatkan waktu yang optimal sebesar 17.69 tahun,

untuk mencapai target produksi sumber energi terbarukan

dan tidak terbarukan, selain itu juga ditunjukan laju

peningkatan produksi sumber energi terbarukan dan laju

penurunan produksi sumber energi tidak terbarukan.

Kata kunci – Waktu Optimal, PMP (Prinsip Minimum

Pontryagin), Sumber Energi

I. PENDAHULUAN

EBUTUHAN energi di Indonesia terus meningkat

karena pertambahan penduduk, pertumbuhan ekonomi

dan pola konsumsi energi itu sendiri yang senantiasa

meningkat. Sedangkan energy fosil yang selama ini merupakan

sumber energi utama ketersediaannya sangat terbatas dan terus

menipis. Hal ini menyebabkan kebutuhan dan konsumsi

terhadap energi semakin hari semakin tinggi seiring dengan

meningkatnya pertumbuhan penduduk setiap tahunnya. Di

tengah kekayaan sumberdaya energi yang dimiliki, Indonesia

masih sangat menggantungkan konsumsi pada energy yang

tidak terbarukan, yang suatu saat akan habis karna terus

digunakan, karena memang Energi memiliki peranan yang

sangat besar dalam keseharian manusia. Hal ini menyebabkan

kebutuhan dan konsumsi terhadap energi semakin hari semakin

tinggi seiring dengan meningkatnya pertumbuhan penduduk

setiap tahunnya

Menurut para ahli minyak bumi, gas alam, dan batu

bara yang dikatakan sebagai bahan bakar fosil diperkirakan

akan habis 30 tahun lagi, bahan bakar gas habis dalam kurun

waktu 70-80 tahun, dan bahan bakar padat 120 tahun lagi.

Sehingga diperlukan penghematan untuk bahan bakar fosil.

Selain itu produksi minyak bumi

terus nerkurang dan konsumsi (BBM) semakin meningkat

melebihi di tingkat produksinya. Saat ini kebutuhan BBM kita

mencapai 1.3 barel/hari, sementara produksi minyak yang

didapat pemerintah hanya 540.000 barel/hari, itu pun tidak

semua diolah menjadi BBM. Oleh karena itu pemerintah harus

mengimpor minyak dalam bentuk BBM sebesar 500.00

barel/hari, Oleh sebab itu, untuk mengatasi permasalahan

tersebut diperlukan adanya solusi yang tepat.

Berdasarkan Kebijakan Umum Bidang Energi (KUBE)

dari Departemen Pertambangan dan Energi Indonesia, minyak

bumi dan gas alam yang tidak terbarukan (non renewable) serta

cadangan di dalam bumi diperkirakan akan menurun, sehingga

pemerintah harus berusaha menggalakkan usaha-usaha

penghematan energi dan pengembangan sumber energi

terbarukan untuk memenuhi kebutuhan energi. Indonesia

mempunyai potensi sumber energi terbarukan yang sangat

besar, sehingga sangat tepat jika sumber energi terbarukan

dikembangkan di Indonesia.

Namun pemanfaatan energi pada tahun 2012 masih

relatif kecil dibandingkan dengan sumber-sumber energi

berbasis fosil. Pemanfaatan energi terbarukan hanya 4,4%, batu

bara 30,7%, minyak bumi 43,9%, dan gas bumi 21%. Hal ini

disebabkan pengembangan energi terbarukan memerlukan

biaya yang tinggi dengan teknologi yang tinggi pula, sehingga

untuk memenuhi kebutuhan energi yang semakin hari semakin

meningkat diperlukan adanya kebijakan untuk

mengombinasikan penggunaan sumber energi terbarukan dan

tidak terbarukan dengan cara memproduksi kedua sumber

energi tersebut secara optimal agar biaya produksi dapat

minimalkan. Melalui Peraturan Presiden Nomor 05 tahun 2006

tentang Kebijakan Energi Nasional (KEN) telah menetapkan

target pemanfaatan energi baru dan terbarukan (EBT) sebesar

17% dari total Bauran Energi Nasional (BEN) pada tahun 2025

[4].

Pada paper ini akan di bahas masalah kendali optimal

dalam produksi energy terbarukan dan tidak terbarukan,

tujuanya adalah untuk mengetahui waktu yang optimal dalam

produksi kedua sumber energy tersebut. Pembahasan ini

dimulai dari menjelaskan model produksi kedua sumber energy

tersebut dan langkah langkah penyelesaiannya dengan

menggunakan prinsip minimum pontryagin.

Waktu Optimal Dalam Diversifikasi Produksi

Sumber Energi Terbarukan dan Tidak

Terbarukan dengan Menggunakan Prinsip

Minimum Pontryagin Misbahur Khoir, Subchan,

Jurusan Matematika, Fakultas MIPA , Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS)

Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 Indonesia

e-mail: subchan@matematika.its.ac.id

K

JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No.1, (2013) 2337-3520 (2301-928X Print)

2

II. MODEL SISTEM DINAMIK TINGKAT

PRODUKSI SUMBER ENERGI TERBARUKAN

DAN TIDAK TERBARUKAN

Sistem dinamik dari permasalahan energi terbarukan

dan tidak terbarukan merupakan model matematika yang

berdasarkan pada model Lotka-Volterra. Model Lotka-Volterra

diperkenalkan oleh Alfred Lotka dan Vito Volterra. Model ini

merupakan model sederhana yang mendeskripsikan interaksi

antar dua spesies dari suatu sumber populasi [5]. Dalam

permasalahan energi, interaksi yang terjadi melibatkan dua

sumber energi, yaitu terbarukan dan tidak terbarukan. Bentuk

model tersebut dinyatakan dalam bentuk persamaan diferensial

tak linier. Adapun model matematika dari sistem dinamik

sumber energi terbarukan dan tidak terbarukan adalah sebagai

berikut [1]:

�̇�1 = 𝑑𝑥1

𝑑𝑡= 𝛼1𝑥1 − 𝛽1𝑥1𝑥2 (1)

�̇�2 = 𝑑𝑥2

𝑑𝑡= 𝛼2𝑥2 − 𝛽2𝑥1𝑥2 (2)

selama jangka waktu 𝐼 = [𝑡0, 𝑡𝑓]. Untuk suatu 𝑡 𝜖 𝐼 dan batas :

𝑥1(𝑡0) = 0.05

𝑥2(𝑡0) = 0.95

𝑥1(𝑡𝑓) = 0.5

𝑥2(𝑡𝑓) = 0.5

dengan:

𝑥1(𝑡) : tingkat kapasitas produksi sumber energy

terbarukan pada waktu t.

𝑥2(𝑡) : tingkat kapasitas produksi sumber energi tidak

terbarukan pada waktu t.

𝛼1 : persentase tingkat pertumbuhan dalam produksi

sumber energi terbarukan

𝛼2 : persentase tingkat pertumbuhan dalam produksi

sumber energi tidak terbarukan..

𝛽1 : konstanta positif yang merepresentasikan

dampak yang berpengaruh pada produksi energi

terbarukan akibat adanya persaingan dengan tingkat

produksi sumber energi tidak terbarukan.

𝛽2 : konstanta positif yang merepresentasikan

dampak yang berpengaruh pada produksi energi tidak

terbarukan akibat adanya persaingan dengan tingkat

produksi sumber energi terbarukan.

Dari model sistem dinamik pada persamaan (1) dan

(2), terlihat bahwa laju perubahan tingkat produksi sumber

energi terbarukan dan tidak terbarukan dipengaruhi oleh besar

kecilnya persentase tingkat pertumbuhan produksi sumber

energi masing-masing dan dipengaruhi oleh adanya faktor

persaingan antara kedua sumber energi tersebut sehingga

menyebabkan pengurangan pada produksi sumber energi.

Dalam permasalahan ini, diasumsikan bahwa

persentase dari tingkat pertumbuhan dalam produksi sumber

energi dapat berubah-ubah pada waktu t, sehingga 𝛼1 dan 𝛼2

dinyatakan sebagai fungsi waktu yaitu 𝛼1(𝑡) dan 𝛼2(𝑡).

Semakin besar nilai 𝛼1(𝑡), maka semakin besar laju perubahan

tingkat produksi sumber energi terbarukan. Begitu pula

sebaliknya, semakin kecil 𝛼1(𝑡) maka semakin kecil laju

perubahan produksi sumber energi terbarukan. Disisi lain,

semakin besar 𝛼2(𝑡), semakin besar pula laju perubahan

produksi sumber energi tidak terbarukan. Sebaliknya, semakin

kecil 𝛼2(𝑡) maka semakin kecil laju perubahan produksi

sumber energi tidak terbarukan. Oleh sebab itu, dalam

mengendalikan tingkat produksi sumber energi terbarukan dan

tidak terbarukan, 𝛼1(𝑡) dan 𝛼2(𝑡) diasumsikan sebagai variabel

pengendali 𝑢1(𝑡) dan 𝑢2(𝑡) dimana 𝛼1(𝑡) = 𝑢1(𝑡) dan

𝛼2(𝑡) = 𝑢2(𝑡) pada interval 𝐼 = [𝑡0, 𝑡𝑓].

III. MEMINIMUMKAN BIAYA IMPLEMEMTASI DENGAN

ADANYA TINGKAT PROUKSI

Permasalahan ini bertujuan untuk mendapatkan

pengendali optimal yang dapat meminimumkan biaya

implementasi dengan adanya tingkat produksi di waktu akhir,

dalam menyelesaikan permasalahan ini akan dilakukan

beberapa langkah.

A. Formula Kendali Optimal

Dalam permasalahan produksi energi ini, tujuan yang

hendak dicapai adalah untuk mendapatkan waktu yang optimal

dalam produksi sumber energy terbarukan dan tidak terbarukan

sehingga dapat meminimumkan biaya implementasi dengan

target produksi yang sudah ditentukan Adapun fungsi tujuan

dalam permasalahan energi ini dinyatakan kedalam model

matematika sebagai berikut [1]:

𝐽(𝑢) = 1

2 ∫ {𝑞1𝑢1

2 + 𝑞2𝑢22}

𝑡𝑓

𝑡0

𝑑𝑡

menunjukkan fungsi biaya yang berhubungan dengan usaha

pengembangan produksi energi. Parameter 𝑞1 dan 𝑞2 masing-

masing merupakan bobot untuk usaha pengembangan energi

dalam hal investasi modal, pemeliharaan, dan biaya

infrastruktur untuk sumber energy terbarukan dan tidak

terbarukan. dimana bobot parameter tersebut di dapatkan dari

penelitian yang sudah disesuaikandengan kondisi

pengembangan, pemeliharaan dan biaya infrastruktur pada

zaman tersebut.

B. Penyelesaian Kendali Optimal

Dalam penyelesaian ini, langkah pertama adalah mencari

fungsi Hamiltonian, dengan:

ℋ = ℋ(x(t), u(t), λ(t), t)

= 𝑣(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑡) + 𝜆′(𝑡)𝑓(𝑥), 𝑢(𝑡), 𝑡)

ℋ =1

2𝑞1𝑢1

2(𝑡) +1

2𝑞2𝑢2

2(𝑡)

+𝜆1(𝑡)𝑢1(𝑡)𝑥1(𝑡) − 𝛽1𝜆1(𝑡)𝑥1(𝑡)𝑥2(𝑡)

+𝜆2(𝑡)𝑢2(𝑡)𝑥2(𝑡) − 𝛽2𝜆2(𝑡)𝑥1(𝑡)𝑥2(𝑡) (3)

Kemudian langkah selanjutnya adalah mendapatkan u*

dengan cara menurunkan fungsi Hamiltonian (3) terhadap u,

didapatkan:

𝑢1(𝑡) = −𝜆1(𝑡)𝑥1(𝑡)

𝑞1

(4)

𝑢2(𝑡) = −𝜆2(𝑡)𝑥2(𝑡)

𝑞2

(5)

JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No.1, (2013) 2337-3520 (2301-928X Print)

3

Karena kendali berada pada interval [-1,1] maka u* yang

diperolah juga berada pada interval tersebut dan turunan kedua

dari fungsi Hamiltonian tersebut adalah positif, yaitu: 𝜕ℋ

𝜕𝑢1

= 𝑞1 > 0 𝑑𝑎𝑛 𝜕ℋ

𝜕𝑢2

= 𝑞2 > 0

Menunjukan bahwa ℋ mempunyai nilai minimum.

Langkah selanjutnya adalah subtitusi nilai u* kedalam fungsi

ℋ untuk mendapatkan ℋ∗ atau ℋ yang optimal, yaitu:

ℋ∗ = −𝜆1(𝑡)𝑥1

2(𝑡)

2𝑞1

− 𝛽1𝜆1(𝑡)𝑥1(𝑡)𝑥2(𝑡)

−𝜆2(𝑡)𝑥2

2(𝑡)

2𝑞2

− 𝛽2𝜆2(𝑡)𝑥1(𝑡)𝑥2(𝑡) (6)

Selanjutnya hasil dari ℋ∗ digunkan untuk mendapatkan state

dan co-state yaitu:

𝑥1̇(𝑡) =𝜕ℋ∗

𝜕𝜆1(𝑡)= −

𝜆1(𝑡)𝑥12(𝑡)

𝑞1

− 𝛽1𝑥1(𝑡)𝑥2(𝑡) (7)

𝑥2̇(𝑡) =𝜕ℋ∗

𝜕𝜆2(𝑡)= −

𝜆2(𝑡)𝑥22(𝑡)

𝑞2

− 𝛽2𝑥1(𝑡)𝑥2(𝑡) (8)

𝜆1̇(𝑡) =𝜕ℋ∗

𝜕𝑥1(𝑡)=

𝜆12(𝑡)𝑥1(𝑡)

𝑞1

+ 𝛽1𝜆1(𝑡)𝑥2(𝑡)

+𝛽2𝜆2(𝑡)𝑥2(𝑡) (9)

𝜆2̇(𝑡) =𝜕ℋ∗

𝜕𝑥2(𝑡)=

𝜆22(𝑡)𝑥2(𝑡)

𝑞2

+ 𝛽1𝜆1(𝑡)𝑥1(𝑡)

+𝛽2𝜆2(𝑡)𝑥1(𝑡) (10)

Formulasi kendali optimal pada permasalahan ini

menggunakan sistem dengan 𝑡𝑓 bebas dan x(𝑡𝑓) ditentukan,

sehingga kondisi transversalitasnya adalah:

(ℋ∗ +𝜕𝑆

𝜕𝑡)

𝑡𝑓= 0

Didapatkan

(−𝑥1

2(𝑡𝑓)

2𝑞1

) 𝜆12(𝑡𝑓) − (−

𝑥22(𝑡𝑓)

2𝑞2

) 𝜆22(𝑡𝑓)

−(𝛽1𝑥1(𝑡𝑓)𝑥2(𝑡𝑓))𝜆1(𝑡𝑓)

−(𝛽2𝑥1(𝑡𝑓)𝑥2(𝑡𝑓))𝜆2(𝑡𝑓) = 0

C. Analisa Hasil Simulasi

Dalam simulasi diberikan nilai parameter yang

digunakan untuk memproduksi sumber energi terbarukan dan

tidak terbarukan. Dalam hal ini, energi yang dihasilkan berupa

pembangkit listrik dengan satuan MW( Mega Watt). Adapun

nilai inputan parameternya antara lain : 𝑞1=2, 𝑞2=2,

𝑥1(0)=0.05 , 𝑥2(0)=0.95 . Sedangkan nilai parameter

komputasi yang digunakan adalah: 𝛽1=0.008, 𝛽2=0.01,.

Dalam kasus ini, diinginkan waktu akhir produksi dengan

kondisi batas yang sdah ditentukan, yaitu:

𝑥1(𝑡0) = 0.05

𝑥2(𝑡0) = 0.95

𝑥1(𝑡𝑓) = 0.5

𝑥2(𝑡𝑓) = 0.5

Akan tetapi sebelum dilakukan simulasi, fungsi objektif akan

ditransformasikan. untuk menjadikan tf sebagai sebuah

parameter dengan mengambil:

𝑧1 = 𝑡𝑓 − 𝑡0

untuk 𝑡0 = 0 maka didapatkan 𝑧1 = 𝑡𝑓

setelah itu dilakukan transformasi dengan menggunakan

𝑡 = 𝑠𝑧1 − 𝑡0 [6].

kemudian kedua ruas diturunkan, didapat 𝑑𝑡 = 𝑧1𝑑𝑠 sehingga

didapatkan fungsi tujuan sebagai berikut:

𝐽(𝑢) = 𝑧(1) 1

2 ∫ {𝑞1𝑢1

2 + 𝑞2𝑢22}

𝑡𝑓

𝑡0

𝑑𝑠

Simulasi pertama yang dilakukan adalah ketika

pengendali untuk tingkat produksi sumber energi terbarukan

(𝑢1(𝑡)) dan tidak terbarukan (𝑢2(𝑡)) bernilai nol. Artinya tidak

ada pengendalian terhadap produksi sumber energi. Kemudian

simulasi yang kedua adalah dengan adanya pengendalian,

sehingga dapat terlihat pengaruh kendali optimal dalam

produksi sumber energi terbarukan dan tidak terbarukan.

Gambar 1. Tingkat produksi energi terbarukan tanpa

pengendalian

Dalam simulasi tersebut menunjukkan perilaku tingkat

produksi sumber energi terbarukan tanpa pengendalian. Dari

grafik tersebut terlihat bahwa tingkat produksi sumber energy

terbarukan tidak mengalami penurunan maupun peningkatan

produksi.

Tingkat produksi awal untuk sumber energy

terbarukan adalah 0.05, kemudian berjalan konstan hingga

akhir waktu. sehingga tidak ditemukan waktu akhir dalam

produksi ini, karena produksi tidak akan pernah mencapai nilai

target produksi sebesar 0.5 (50%). Hal ini disebabkan tidak

adanya pengendali sehingga laju perubahan produksi konstan.

kemudian simulasi yang kedua adalah tingkat produksi sumber

energi tidak terbarukan tanpa adanya pengendalian.

JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No.1, (2013) 2337-3520 (2301-928X Print)

4

Gambar 2. Tingkat produksi energi tidak terbarukan tanpa

pengendalian

Dan dalam simulasi ke 2 tersebut menunjukkan

perilaku yang sama dengan produksi sumber energi terbarukan

tanpa pengendalian. Dari grafik tersebut terlihat bahwa tingkat

produksi sumber energi tidak terbarukan tidak mengalami

penurunan maupun peningkatan produksi. Tingkat produksi

awal untuk sumber energi terbarukan adalah 0.95, kemudian

berjalan konstan hingga akhir waktu. sehingga tidak ditemukan

waktu akhir dalam produksi ini, karena produksi tidak akan

pernah mencapai nilai target produksi sebesar 0.5(50%). Hal ini

disebabkan tidak adanya pengendali sehingga laju perubahan

produksi konstan.

kemudian simulasi selanjutnya adalah ketika

pengendali untuk tingkat produksi sumber energi

terbarukan(u1(t)) dan tidak terbarukan (u2(t)) bernilai 6= nol.

Artinya ada pengendalian terhadap produksi sumber energi.

Gambar 3. Tingkat produksi energi terbarukan dengan

pengendalian. Dari gambar 3 tersebut terlihat bahwa produksi energy

terbarukan dengan pengendalian dengan kondisi awal untuk

energi terbarukan adalah sebesar 0.05 (5%) dan mengalami

peningkatan hingga mencapai 0.5 (50%) di akhir waktu.

untuk simulasi keempat, adalah untuk menunjukkan tingkat

produksi sumber energi tidak terbarukan dengan pengendalian.

Gambar 4. tingkat produksi energi tidak terbarukan dengan

pengendalian

Dari gambar 4 tersebut terlihat bahwa produksi energy tidak

terbarukan dengan pengendalian dengan kondisi awal untuk

energi terbarukan adalah sebesar 0.95 (5%) dan mengalami

penurunan hingga mencapai 0.5 (50%) di akhir waktu. Untuk

simulasi kelima adalah untuk menunjukkan tingkat

pengendalian pada produksi sumber energi terbarukan.

Gambar 5. pengendali tingkat produksi energi terbarukan

Kemudian Gambar 5, terlihat bahwa pengendali yang

didapat berada dalam interval [-1; 1]. Persentase tingkat

pertumbuhan dari sumber energi terbarukan (pengendali 1)

berada di sumbu positif, menunjukkan bahwa produksi sumber

energi tersebut ditingkatkan dan upaya pengendalian yang

diberikan pun juga diminimumkan.

Gambar 6: pengendali tingkat produksi energi tidak terbarukan

Selanjutnya Gambar 6, terlihat bahwa pengendali yang didapat berada dalam interval [-1; 1]. Persentase tingkat

pertumbuhan dari sumber energi tidak terbarukan (pengendali

2) berada di sumbu negatif, menunjukkan bahwa produksi

sumber energi tersebut diturunkan. kemudian yang terakhir

akan ditunjukan hasil dari waktu optimal dalam diversi_kasi

produksi sumber energi terbarukan dan tidak terbarukan.

gambar 4.7 menunjukan waktu akhir energi terbarukan dengan

tingkat produksi awal adalah 0.05% dan target akhir adalah

sebesar 0.56%, sedangkan untuk sumber energi yang tidak

terbarukan dengan target produksi awal sebesar 0.95% dan

target akhir sebesar 0.5%, adalah:

Gambar 7: waktu akhir untuk tingkat produksi energi

JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No.1, (2013) 2337-3520 (2301-928X Print)

5

Dengan menggunakan fungsi objektif yang sudah

ditransformasikan (4.9), dan inpu parameter 𝑞1 = 1:1, 𝑞2 = 0:75,

𝑢1(𝑡𝑓) = 0.77, dan 𝑢2(𝑡𝑓) = -0.2 maka akan didapatkan 𝑧1

sebesar 17.69, dan karena 𝑧1 = 𝑡𝑓 , maka waktu akhir

didapatkan sebesar 17.69 tahun.

IV. KESIMPULAN

Berdasarkan analisis dan pembahasan yang telah disajikan pada

bab sebelumnya, dapat disimpulkan bahwa dengan menerapkan

PMP (Prinsip Minimum Pontryagin) diperoleh pengendali

optimal dalam produksi sumber energi terbarukan dan tidak

terbarukan dan didapatkan waktu yang optimal dalam produksi

sumber energi terbarukan dengan nilai awal produksi sebesar

0.05 (5%) dan produksi sumber energi tidak terbarukan dengan

nilai produksi awal 0.95% dan niali akhir produksi masing

masing sebesar 50% adalah selama 17.69 tahun.

IV. SATUAN WAKTU.DAFTAR PUSTAKA

[1] Miah, M. S., Ahmed, N. U., Chowdhury, M. (2011).

“Optimum Policy for Integration of Renewable energy

sources into the power Generation System”. Elsevier.

Energy Economics pp: 558-567.

[2] Fitria, (2013). “Kendali Optimal Pada Produksi Energi

Terbarukan dan Tidak Terbarukan”. Paper Jurusan

Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember

Surabaya. [3] Naidu, S. D. (2002). Optimal Control System. USA: CRC

Press LLC.

[4] Perpres. (2006). Peraturan Presiden Republik Indonesia.

Jakarta.

[5] Shonkwiler dan Herod. (2009) Mathematical Biology:An

Introduction with Maple and Matlab USA

[6] Cahyaningtias, 2011 “Waktu Optimum Peluru Kendali

Dengan Manuver Akhir Menghujam Vertikal” Paper

Jurusan Matematika Institut Teknologi Sepuluh

Nopember Surabaya.