Volume Benda Putar
description
Transcript of Volume Benda Putar
y
Y=f(xf(ξ)
X=a x=b
x
y
VOLUME BENDA PUTAR
Suatu bidang datar jika diputar mengelilingi suatu garis tertentu akan menghasilkan
benda yang dapat dihitung volumenya. Ada dua metode untuk menghitungnya, yaitu metode
cakram dan metode kulit silinder.
A. Metode cakram
Diketahui suatu bidang datar yang dibatasi oleh grafik fungsi f(x), sumbu x, garis x =
a, dan x = b, seperti tampak pada gambar 1. Jika luasan tersebut diputar mengelilingi sumbu x
maka akan didapatkan suatu benda yang dapat dihitung volumenya (gambar 1 (b)). Jika suatu
pias dengan panjang f(ξ) dan lebar Δx diputar mengelilingi sumbu x, maka akan terbentuk
suatu silinder dengan jari-jari alasnya f(ξ) dan tinginya Δx.
Gambar 1. Volume benda Putar dengan Menggunakan Metode Cakram
(c)
hasil
putaran pias terhadap sumbu x
Volume silinder (hasil putaran pias terhadap sumbu x) tersebut adalah
(a) gambar daerah yang hendak diputar
Δx =
(b) hasil putaran daerah terhadap sumbu x
X= Δx x=
y=f(x)
x
f
Δx
X = 2
Y =
x
y
Selanjutnya, volume benda secara keseluruhan dapat didekati dengan menjumlahkan
volume silinder yang diperoleh dari seluruh interval, yaitu,
Jumlahan ini akan semakin mendekati volume benda sesungguhnya jika diambil nilai
limitnya seperti pada saat mencari luas datar.
Dari definisi jumlahan Riemann diperoleh rumus untuk mencari volume benda putar
dari daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi f(x), sumbu x, garis x = a, x = b, dan diputar
mengelilingi sumbu x sebagai berikut.
Contoh 1
Hitung volume benda yang terjadi jika daerah pada kuadran 1 yang dibatasi oleh
kurva y = dan garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu x.
Jawab:
Daerah pada kuadran 1 yang dibatasi oleh kurva y = , sumbu x dan garis x = 2
Hitung volume dengan menggunakan persamaan:
=
= π
=
=
y
Y=f(xf(ξ)
X=a x=bx
y
x
f(ξ)
g(ξ)x=a x=b
y=g(x)
y=f(x)
g(ξ)
x=g(y)y = d
y =
y =y = c x
y
y
f(ξ)y=
Rumus Volume Benda Putar Menggunakan Metode Cakram:
Daerah
dibatasi olehSumbu putar
Gambar daerah Rumus
Y = f(x)Sumbu x
Garis x = aGaris x = b
Sumbu x V =
Y=f(x)Y=g(x)
Garis x=aGaris x=b
Sumbu x V =
x=g(y)sumbu xgaris y=cgaris y=d
Sumbu y
y=V =
x=g(y)x=h(y)
garis y=cgaris y=d
Sumbu y V =
Contoh 2
Hitung volume benda putar dari daerah yang dibatasi y = dan y = x jika diputar
pada sumbu y.
X= Δx x=
X= x=x=h(y) x=g(y)
g( )
y=d
y=
y=c
o
Jawab:
Tentukan titik potong kedua kurva tersebut:
Jadi titik potongnya adalah (0,0) dan (1,1)
Hitung volume dengan persamaan:
V = π
= π
= π
= π
= satuan volume
B. Metode Kulit Silinder
Metode cakram dapat dipakai jika sumbu putarnya tegak lurus dengan piasnya. Jika
pengambilan piasnya sejajar dengan sumbu putar, maka dipergunakan metode kulit silinder.
Jika luasan diputar terhadap sumbu y, maka akan tersebut suatu benda yang berlubang
di tengahnya. Jika pias pada interval ke-i diputar mengelilingi sumbu y, maka akan terbentuk
suatu silinder yang tingginya f( ) dan berlubang di tengahnya.
Daerah yang dibatasi y = dan
y = x
y
x
y=
y=x
Akan dihitung adalah volume silinder yang diarsir (gambar 2 (c)) dan itu sama artinya
dengan menghitung volume silinder yang berjari-jari dikurangi dengan volume silinder
yang berjari-jari atau
.
= π f(
= π f( )
Jika adalah titik tengah dari dan , maka
Sehingga , maka
Contoh 1
Hitung volume benda jika daerahnya dibatasi dengan y= dan x=2 dan diputar
mengelilingi sumbu y.
Jawab:
Hitung volume dengan
menggunakan persamaan:
.
= 2π
=
=
= 8π satuan volume
Daerah yang dibatasi y = , sumbu x dan garis x = 2
x
x=2
y=y
y
Y=f(xf(ξ)
X=a x=bx
y
x
f(ξ)
g(ξ)x=a x=b
y=g(x)
y=f(x)
g(ξ)
x=g(y)y = d
y =
y =y = c x
y
h( )y=
y
y=g(x)
x
Rumus Volume Benda Putar dengan Metode Kulit Silinder
Daerah dibatasi
oleh
Sumbu putar
Gambar daerah rumus
y = f(x)Sumbu x
Garis x = aGaris x = b
Sumbu y V =
y=f(x)y=g(x)
Garis x=aGaris x=b
Sumbu y V =
x=g(y)sumbu ygaris y=cgaris y=d
Sumbu x
y= V =
x=g(y)x=h(y)
garis y=cgaris y=d
Sumbu x V =
Contoh 2
Hitunglah volume benda putar pada gambar dibawah ini jika diputar mengelilingi
sumbu x.
X= x=
X= x=
yx=h(y) x=g(y)
g( )
y=d
y=
y=c
O
Hitung volume dengan menggunakan persamaan:
.
= 2π
= 2π
= 2π
= satuan volume
C. Menghitung Volume Benda dengan Metode Penampang Melintang
Selain untuk menghitung volume benda putar, integral juga dapat dipakai untuk
menghitung volume yang sudah diketahui bentuk penampang melintangnya. Mula-mula
ditentukan letak sumbu-sumbu koordinat pada benda tersebut sedemikian hingga luas
penampangnya dapat dicari. Kemudian benda tersebut dibagi dalam n subinterval yang sama
besar. Volume benda dalam satu subinterval dapat dipandang sama dengan volume silinder
yang luas alasnya A(x) (luas penampang benda tersebut) dan tingginya Δx, yaitu
.
Volume benda secara keseluruhan adalah limit dari
jumlahan volume seluruh subinterval, yaitu
Contoh 1
Daerah yang dibatasi y = dan y = x
x
y=x
y=
y
A
V =
O
y
x
y
Tentukan berapa volume gelas yang terlukis di bawah ini, jika tinggi bagian yang
dapat menampung air 16 cm. Bentuk luar gelas tersebut dianggap parabola dengan persamaan
x = .
Jawab:
Mula-mula ditentukan terlebih
dahulu luas penampang benda tersebut.
Oleh karena penampangnya berupa
lingkaran, maka luasnya sama dengan
π kali kuadrat dari jari-jari lingkaran
dari gambar di bawah terlihat bahwa
panjang jari-jari lingkaran tersebut
adalah y
sehingga dan
=
=
= 128 π satuan volume