Volume Benda Putar

13
y Y=f( f(ξ X=a x=b x y VOLUME BENDA PUTAR Suatu bidang datar jika diputar mengelilingi suatu garis tertentu akan menghasilkan benda yang dapat dihitung volumenya. Ada dua metode untuk menghitungnya, yaitu metode cakram dan metode kulit silinder. A. Metode cakram Diketahui suatu bidang datar yang dibatasi oleh grafik fungsi f(x), sumbu x, garis x = a, dan x = b, seperti tampak pada gambar 1. Jika luasan tersebut diputar mengelilingi sumbu x maka akan didapatkan suatu benda yang dapat dihitung volumenya (gambar 1 (b)). Jika suatu pias dengan panjang f(ξ) dan lebar Δx diputar mengelilingi sumbu x, maka akan terbentuk suatu silinder dengan jari-jari alasnya f(ξ) dan tinginya Δx. Gambar 1. Volume benda Putar dengan Menggunakan Metode Cakram (a) gambar daerah yang hendak diputar Δx = (b) hasil putaran daerah terhadap sumbu x X= Δx y=f(x x

description

penerapan integral pada volume benda putar dan contoh soal

Transcript of Volume Benda Putar

Page 1: Volume Benda Putar

y

Y=f(xf(ξ)

X=a x=b

x

y

VOLUME BENDA PUTAR

Suatu bidang datar jika diputar mengelilingi suatu garis tertentu akan menghasilkan

benda yang dapat dihitung volumenya. Ada dua metode untuk menghitungnya, yaitu metode

cakram dan metode kulit silinder.

A. Metode cakram

Diketahui suatu bidang datar yang dibatasi oleh grafik fungsi f(x), sumbu x, garis x =

a, dan x = b, seperti tampak pada gambar 1. Jika luasan tersebut diputar mengelilingi sumbu x

maka akan didapatkan suatu benda yang dapat dihitung volumenya (gambar 1 (b)). Jika suatu

pias dengan panjang f(ξ) dan lebar Δx diputar mengelilingi sumbu x, maka akan terbentuk

suatu silinder dengan jari-jari alasnya f(ξ) dan tinginya Δx.

Gambar 1. Volume benda Putar dengan Menggunakan Metode Cakram

(c)

hasil

putaran pias terhadap sumbu x

Volume silinder (hasil putaran pias terhadap sumbu x) tersebut adalah

(a) gambar daerah yang hendak diputar

Δx =

(b) hasil putaran daerah terhadap sumbu x

X= Δx x=

y=f(x)

x

f

Δx

Page 2: Volume Benda Putar

X = 2

Y =

x

y

Selanjutnya, volume benda secara keseluruhan dapat didekati dengan menjumlahkan

volume silinder yang diperoleh dari seluruh interval, yaitu,

Jumlahan ini akan semakin mendekati volume benda sesungguhnya jika diambil nilai

limitnya seperti pada saat mencari luas datar.

Dari definisi jumlahan Riemann diperoleh rumus untuk mencari volume benda putar

dari daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi f(x), sumbu x, garis x = a, x = b, dan diputar

mengelilingi sumbu x sebagai berikut.

Contoh 1

Hitung volume benda yang terjadi jika daerah pada kuadran 1 yang dibatasi oleh

kurva y = dan garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu x.

Jawab:

Daerah pada kuadran 1 yang dibatasi oleh kurva y = , sumbu x dan garis x = 2

Hitung volume dengan menggunakan persamaan:

Page 3: Volume Benda Putar

=

= π

=

=

Page 4: Volume Benda Putar

y

Y=f(xf(ξ)

X=a x=bx

y

x

f(ξ)

g(ξ)x=a x=b

y=g(x)

y=f(x)

g(ξ)

x=g(y)y = d

y =

y =y = c x

y

y

f(ξ)y=

Rumus Volume Benda Putar Menggunakan Metode Cakram:

Daerah

dibatasi olehSumbu putar

Gambar daerah Rumus

Y = f(x)Sumbu x

Garis x = aGaris x = b

Sumbu x V =

Y=f(x)Y=g(x)

Garis x=aGaris x=b

Sumbu x V =

x=g(y)sumbu xgaris y=cgaris y=d

Sumbu y

y=V =

x=g(y)x=h(y)

garis y=cgaris y=d

Sumbu y V =

Contoh 2

Hitung volume benda putar dari daerah yang dibatasi y = dan y = x jika diputar

pada sumbu y.

X= Δx x=

X= x=x=h(y) x=g(y)

g( )

y=d

y=

y=c

Page 5: Volume Benda Putar

o

Jawab:

Tentukan titik potong kedua kurva tersebut:

Jadi titik potongnya adalah (0,0) dan (1,1)

Hitung volume dengan persamaan:

V = π

= π

= π

= π

= satuan volume

B. Metode Kulit Silinder

Metode cakram dapat dipakai jika sumbu putarnya tegak lurus dengan piasnya. Jika

pengambilan piasnya sejajar dengan sumbu putar, maka dipergunakan metode kulit silinder.

Jika luasan diputar terhadap sumbu y, maka akan tersebut suatu benda yang berlubang

di tengahnya. Jika pias pada interval ke-i diputar mengelilingi sumbu y, maka akan terbentuk

suatu silinder yang tingginya f( ) dan berlubang di tengahnya.

Daerah yang dibatasi y = dan

y = x

y

x

y=

y=x

Page 6: Volume Benda Putar

Akan dihitung adalah volume silinder yang diarsir (gambar 2 (c)) dan itu sama artinya

dengan menghitung volume silinder yang berjari-jari dikurangi dengan volume silinder

yang berjari-jari atau

.

= π f(

= π f( )

Jika adalah titik tengah dari dan , maka

Sehingga , maka

Contoh 1

Hitung volume benda jika daerahnya dibatasi dengan y= dan x=2 dan diputar

mengelilingi sumbu y.

Jawab:

Page 7: Volume Benda Putar

Hitung volume dengan

menggunakan persamaan:

.

= 2π

=

=

= 8π satuan volume

Daerah yang dibatasi y = , sumbu x dan garis x = 2

x

x=2

y=y

Page 8: Volume Benda Putar

y

Y=f(xf(ξ)

X=a x=bx

y

x

f(ξ)

g(ξ)x=a x=b

y=g(x)

y=f(x)

g(ξ)

x=g(y)y = d

y =

y =y = c x

y

h( )y=

y

y=g(x)

x

Rumus Volume Benda Putar dengan Metode Kulit Silinder

Daerah dibatasi

oleh

Sumbu putar

Gambar daerah rumus

y = f(x)Sumbu x

Garis x = aGaris x = b

Sumbu y V =

y=f(x)y=g(x)

Garis x=aGaris x=b

Sumbu y V =

x=g(y)sumbu ygaris y=cgaris y=d

Sumbu x

y= V =

x=g(y)x=h(y)

garis y=cgaris y=d

Sumbu x V =

Contoh 2

Hitunglah volume benda putar pada gambar dibawah ini jika diputar mengelilingi

sumbu x.

X= x=

X= x=

yx=h(y) x=g(y)

g( )

y=d

y=

y=c

Page 9: Volume Benda Putar

O

Hitung volume dengan menggunakan persamaan:

.

= 2π

= 2π

= 2π

= satuan volume

C. Menghitung Volume Benda dengan Metode Penampang Melintang

Selain untuk menghitung volume benda putar, integral juga dapat dipakai untuk

menghitung volume yang sudah diketahui bentuk penampang melintangnya. Mula-mula

ditentukan letak sumbu-sumbu koordinat pada benda tersebut sedemikian hingga luas

penampangnya dapat dicari. Kemudian benda tersebut dibagi dalam n subinterval yang sama

besar. Volume benda dalam satu subinterval dapat dipandang sama dengan volume silinder

yang luas alasnya A(x) (luas penampang benda tersebut) dan tingginya Δx, yaitu

.

Volume benda secara keseluruhan adalah limit dari

jumlahan volume seluruh subinterval, yaitu

Contoh 1

Daerah yang dibatasi y = dan y = x

x

y=x

y=

y

A

V =

Page 10: Volume Benda Putar

O

y

x

y

Tentukan berapa volume gelas yang terlukis di bawah ini, jika tinggi bagian yang

dapat menampung air 16 cm. Bentuk luar gelas tersebut dianggap parabola dengan persamaan

x = .

Jawab:

Mula-mula ditentukan terlebih

dahulu luas penampang benda tersebut.

Oleh karena penampangnya berupa

lingkaran, maka luasnya sama dengan

π kali kuadrat dari jari-jari lingkaran

dari gambar di bawah terlihat bahwa

panjang jari-jari lingkaran tersebut

adalah y

sehingga dan

=

=

= 128 π satuan volume