laylianurafidah.files.wordpress.com · Web viewSingular Value Decomposition (SVD) adalah suatu...

30
SINGULAR VALUE DECOMPOSITION A. PENGERTIAN Singular Value Decomposition (SVD) adalah suatu pemfaktoran matrik dengan mengurai suatu matrik ke dalam dua matrik P dan Q. Jika diketahui suatu matrik adalah matrik A berukuran m×n dengan rank r > 0 , maka dekomposisi dari matrik A dinyatakan sebagai A = P Δ Q T Rank (r) menyatakan banyaknya jumlah baris atau kolom yang saling independen antara baris atau kolom lainnya dalam suatu matrik. P merupakan matrik orthogonal berukuran m×r sedangkan Q merupakan matrik orthogonal berukuran n×r. Δ adalah matrik diagonal berukuran r×r yang elemen diagonalnya merupakan akar positif dari eigenvalue matrik A. Terbentuknya matrik Δ tergantung kondisi matrik A, yaitu diantaranya: a. Δ bila r = m = n c. [ Δ ( 0 )] bila r=m dan r<n b. [ Δ ¿ ] ¿ ¿ ¿¿ bila r = n dan r<m d. [ Δ [(0 ) [ ( 0 ) ]( 0 ) ¿ ] bila r<m dan r<n Matrik P dapat diperoleh melalui perkalian antara A, Q dan -1 sehingga dapat dinyatakan P=AQ -1 Untuk memperjelas dari argumen di atas maka akan diberikan beberapa contoh beserta cara pengerjaaanya. Contoh yang diberikan berupa matrik simetri dan non simetri. 1

Transcript of laylianurafidah.files.wordpress.com · Web viewSingular Value Decomposition (SVD) adalah suatu...

Page 1: laylianurafidah.files.wordpress.com · Web viewSingular Value Decomposition (SVD) adalah suatu pemfaktoran matrik dengan mengurai suatu matrik ke dalam dua matrik P dan Q. Jika diketahui

SINGULAR VALUE DECOMPOSITION

A. PENGERTIAN

Singular Value Decomposition (SVD) adalah suatu pemfaktoran matrik dengan

mengurai suatu matrik ke dalam dua matrik P dan Q. Jika diketahui suatu matrik adalah

matrik A berukuran m×n dengan rank r > 0 , maka dekomposisi dari matrik A dinyatakan

sebagai

A = PΔ QT

Rank (r) menyatakan banyaknya jumlah baris atau kolom yang saling independen antara baris

atau kolom lainnya dalam suatu matrik. P merupakan matrik orthogonal berukuran m×r

sedangkan Q merupakan matrik orthogonal berukuran n×r. Δ adalah matrik diagonal

berukuran r×r yang elemen diagonalnya merupakan akar positif dari eigenvalue matrik A.

Terbentuknya matrik Δ tergantung kondisi matrik A, yaitu diantaranya:

a. Δ bila r = m = n c. [ Δ (0 )] bila r=m dan r<n

b.

[ Δ ¿ ]¿¿

¿¿ bila r = n dan r<m d.

[ Δ[(0 )

[

(0 )](0 )¿

] bila r<m dan r<n

Matrik P dapat diperoleh melalui perkalian antara A, Q dan -1 sehingga dapat dinyatakan

P=AQ-1

Untuk memperjelas dari argumen di atas maka akan diberikan beberapa contoh beserta cara

pengerjaaanya. Contoh yang diberikan berupa matrik simetri dan non simetri.

B. PROSEDUR PENYELESAIAN SINGULAR VALUE DECOMPOSITION (SVD)

I. Prosedur Penyelesaian SVD untuk matrik berukuran mxm

1. Misal diketahui matrik B berukuran mxm non singular (matrik fullrank / matrik yang

determinannya tidak sama dengan nol).

2. Menghitung matrik BTB dan BBT. Misalkan matrik BTB = matrik Y dan BBT = matrik

Z.

3. Mencari eigenvalue () dari matrik Y dan Z . Dimana determinan dari matrik Y dan Z

dikurangi dikalikan dengan matrik identitas (I) sama dengan 0.

Y-I=0 dan

1

Page 2: laylianurafidah.files.wordpress.com · Web viewSingular Value Decomposition (SVD) adalah suatu pemfaktoran matrik dengan mengurai suatu matrik ke dalam dua matrik P dan Q. Jika diketahui

Z-I=0

Banyaknya eigenvalue () yang akan diperoleh sama dengan ukuran matrik Y dan Z

yaitu sebanyak m.

4. Setelah diketahui nilai-nilai nya, langkah selanjutnya adalah mencari eigenvektor

untuk masing-masing . Eigenvektor diperoleh melalui rumus (Y− λI ) x=0 dan

( Z−λI ) x=0 . Sehingga nanti akan diperoleh persamaan x dalam bentuk x1, x2 hingga

xm (a1x1+a2x2+..+amxm=0). Kemudian dari beberapa variabel tersebut jadikan menjadi

satu variabel. Misalnya didapatkan persamaan berikut ini:

4,945x11 + 8x12 = 0....(pers. 1)

8x11 + 12,945x12 = 0....(pers.2)

Dari persamaan 1 didapatkan sebuah persamaan baru, yaitu:

x11 = -1,62x12.... pers.4

Setelah didapatkan persamaan 4 dilakukan normalisasi (penormalan) dari tiap-tiap

dengan mensubsitusikan tiap elemen x1 . Proses penormalan adalah sebagai berikut:

x1¿

=

x1

(x1T x1 )

1/2

=

(x11 ¿ )¿¿

¿¿¿¿=

(−1 ,62 x12 ¿ )¿¿

¿¿¿¿

=(−1 ,62 x12 ¿)¿¿

¿¿¿¿

Selajutnya juga dilakukan penormalan seperti contoh di atas untuk eigenvalue

(λ ) yang lain. Setelah x1¿

danx2¿

telah diperoleh elemen-elemennya, selanjutnya

adalah menggabungkan ketiga hasil penormalan tersebut ke dalam satu matrik dimana

kolom pertama adalah x1¿

, kolom kedua adalah x2¿

. Sehingga diperoleh matrik

X=[ x1¿ x2

¿ ] =

[ x11[ x21

[

x12] x22¿

]

5. Menentukan D yang merupakan matrik diagonal dengan elemen diagonalnya adalah

akar dari eigenvalue matrik Y atau Z.

D=¿[√λ1

[0[0]√ λ2¿

]

2

x11

x21

Page 3: laylianurafidah.files.wordpress.com · Web viewSingular Value Decomposition (SVD) adalah suatu pemfaktoran matrik dengan mengurai suatu matrik ke dalam dua matrik P dan Q. Jika diketahui

6. Diperoleh SVD dengan mengoperasikan P DQ dimana hasilnya akan sama dengan

matrik B.

[ x11[ x21

[

x12] x22¿

][√λ1

[ 0[

0]√ λ2¿

][ x11[ x12

[

x21] x22¿

]=

[ a11[ a21

[

a12]a22¿

]

Note: Jika P adalah eigenvektor dari matrik Z dan Q adalah eigenvektor dari matrik

Y. Dan ketika dioperasikan kedalam P DQ maka akan menghasilkan matrik yang

sama dengan B.

II. Prosedur Penyelesaian SVD untuk Matrik Simetri mxm

1. Misal diketahui matrik A berukuran mxm.

2. Mencari eigenvalue () dari matrik A. Dimana determinan dari matrik A dikurangi

dikalikan dengan matrik identitas (I) sama dengan 0.

A-I=0

3. Banyaknya eigenvalue () yang akan diperoleh sama dengan ukuran matrik A yaitu

sebanyak m.

4. Setelah diketahui nilai-nilai nya, langkah selanjutnya adalah mencari eigenvektor

untuk masing-masing . Eigenvektor diperoleh melalui rumus ( A−λI ) x=0 .

Sehingga nanti akan diperoleh persamaan x dalam bentuk x1, x2 hingga xm

(a1x1+a2x2+..+amxm=0). Kemudian dari beberapa variabel tersebut jadikan menjadi satu

variabel. Misalnya didapatkan persamaan berikut ini:

5x1 + x2 + 4x3 = 0....(pers. 1)

X1 + 2x2 – x3 = 0....(pers.2)

4x1 – x2 + 5x3 = 0....(pers.3)

Kemudian lakukan eliminasi dari pers.1 dan pers.2 sehingga didapatkan

x1 = -x3.... pers.4

Pers.4 tersebut dapat disubstitusikan ke salah satu dari 3 persamaan di atas. Sehingga

didapatkan

x2 = x3....pers.5

Setelah didapatkan persamaan 4 dan pers.5 dilakukan normalisasi (penormalan) dari

tiap-tiap dengan mensubsitusikan tiap elemen x1 . Proses penormalan adalah sebagai

berikut:

3

Page 4: laylianurafidah.files.wordpress.com · Web viewSingular Value Decomposition (SVD) adalah suatu pemfaktoran matrik dengan mengurai suatu matrik ke dalam dua matrik P dan Q. Jika diketahui

x1¿

=

x1

(x1T x1 )

1/2

=

(x1 ¿) (x2 ¿)¿¿

¿¿¿¿=

(−x3 ¿ )( x3 ¿ )¿¿

¿¿¿¿

(−x3 ¿ )( x3 ¿)¿¿

¿¿¿¿Selajutnya juga dilakukan penormalan seperti contoh di atas untuk eigenvalue

(λ ) yang lain. Setelah x1¿

,x2¿

,dan x3¿

telah diperoleh elemen-elemennya, selanjutnya

adalah menggabungkan ketiga hasil penormalan tersebut ke dalam satu matrik dimana

kolom pertama adalah x1¿

, kolom kedua adalah x2¿

dan kolom ketiga adalah x3¿

.

Sehingga diperoleh matrik X=[ x1¿

x2¿

x3¿ ] =

[ x11[ x21

[ x31

[

x12x22x32

x13] x23] x33¿

]

5. Menentukan Δ yang merupakan matrik diagonal dengan elemen diagonalnya adalah

eigenvalue dari matrik A.

Δ=¿[ λ1[ 0[ 0

[

0λ2

0

0]0] λ3¿

]

6. Diperoleh SVD dengan mengoperasikan X Δ XT dimana hasilnya akan sama dengan

matrik A.

[ x11[ x21[ x31

[

x12x22x32

x13] x23] x33¿

]

[ λ1

[ 0[ 0

[

0λ2

0

0]0] λ3¿

]

[ x11[ x12[ x13

[

x21x22x23

x31] x32] x33¿

]

=

[ a11[ a21[ a31

[

a12a22a23

a13]a23]a33¿

]

III.Prosedur Penyelesaian SVD untuk matrik berukuran mxn

1. Misal diketahui matrik B berukuran mxn.

2. Menghitung matrik BTB dan BBT. Misalkan matrik BTB = matrik C(nxn) dan BBT =

matrik D(mxm).

4

x11

x21

x31

Page 5: laylianurafidah.files.wordpress.com · Web viewSingular Value Decomposition (SVD) adalah suatu pemfaktoran matrik dengan mengurai suatu matrik ke dalam dua matrik P dan Q. Jika diketahui

3. Mencari eigenvalue () dari matrik C(nxn) dan D(mxm) . Dimana determinan dari matrik

C(nxn) dan D(mxm) dikurangi dikalikan dengan matrik identitas (I) sama dengan 0.

C-I=0 dan

D-I=0

Banyaknya eigenvalue () yang akan diperoleh sama dengan ukuran matrik C yaitu

sebanyak n (1, 2, ... n) dan eigenvalue untuk matrik D yaitu sebanyak m

(1, 2, ... m). Selanjutnya, setiap eigenvalue dari matrik C dan D dinamai matrik

diagonal dan

Note: Jika dalam perhitungan eigenvalue didapatkan = 0 maka untuk prosedur

perhitungan eigenvektor dapat diabaikan. Sehingga, matrik diagonal =

4. Setelah diketahui nilai-nilai nya, langkah selanjutnya adalah mencari eigenvektor

untuk masing-masing untuk setiap matrik C dan D. Eigenvektor diperoleh melalui

rumus (C−λI ) x=0 dan ( D− λI ) x=0 . Sehingga nanti akan diperoleh persamaan x

dalam bentuk x1, x2 hingga xm (a1x1+a2x2+..+amxm=0). Kemudian dari beberapa

variabel tersebut jadikan menjadi satu variabel. Misalnya, didapatkan persamaan

berikut ini:

5x11 + x12 + 4x13 = 0....(pers. 1)

X11 + 2x12 – x13 = 0....(pers.2)

4x11 – x12 + 5x13 = 0....(pers.3)

Kemudian lakukan eliminasi dari pers.1 dan pers.2 sehingga didapatkan

x11 = -x13.... pers.4

Pers.4 tersebut dapat disubstitusikan ke salah satu dari 3 persamaan di atas. Sehingga

didapatkan

x12 = x13....pers.5

Setelah didapatkan persamaan 4 dan pers.5 dilakukan normalisasi (penormalan) dari

tiap-tiap dengan mensubsitusikan tiap elemen x1 . Proses penormalan adalah sebagai

berikut:

x1¿

=

x1

(x1T x1 )

1/2

=

(x1 ¿) (x2 ¿)¿¿

¿¿¿¿=

(−x3 ¿ )( x3 ¿)¿¿

¿¿¿¿5

Page 6: laylianurafidah.files.wordpress.com · Web viewSingular Value Decomposition (SVD) adalah suatu pemfaktoran matrik dengan mengurai suatu matrik ke dalam dua matrik P dan Q. Jika diketahui

(−x3 ¿ )( x3 ¿)¿¿

¿¿¿¿Selajutnya juga dilakukan penormalan seperti contoh di atas untuk eigenvalue

(λ ) yang lain. Setelah x1¿

,x2¿

,dan x3¿

telah diperoleh elemen-elemennya, selanjutnya

adalah menggabungkan ketiga hasil penormalan tersebut ke dalam satu matrik dimana

kolom pertama adalah x1¿

, kolom kedua adalah x2¿

dan kolom ketiga adalah x3¿

.

Sehingga diperoleh matrik X=[ x1¿

x2¿

x3¿ ] =

[ x11

[ x21[ x31

[

x12x22x32

x13] x23] x33¿

]

5. Dekomposisi nilai singular matrik B dinyatakan dalam:

dimana

Keterangan:

= matrik diagonal yang berisi akar kuadrat dari eigenvalue matrik C atau D

-1 = invers

Q1 = eigenvektor dari matrik C (BTB)

Q1T = transpose Q1

C. CONTOH

Contoh 1:

Menghitung SVD matriks non singular A(2x2)

Bila deketahui matrik X sebagai berikut

X = [2 12 3 ]. Maka Hitunglah SVD dari matrik X!

Jawab:

X XT = [2 12 3 ][2 2

1 3 ]=[5 77 13 ]

Eigenvalue X XT

|XXT−λI|=0 |[5 7

7 13 ]−[ λ 00 λ ]|=0

6

x11

x21

x31

B = P1 Q1T P1 = B Q1 -1

Page 7: laylianurafidah.files.wordpress.com · Web viewSingular Value Decomposition (SVD) adalah suatu pemfaktoran matrik dengan mengurai suatu matrik ke dalam dua matrik P dan Q. Jika diketahui

|5−λ 77 13−λ

|=0

(5-λ )(13-λ )-(7)(7) = 0

65-5λ -13λ +λ 2 -49 = 0

λ 2 -18λ +16 = 0

λ1,2=−b±√b2−4 ac

2 a =−(−18 )±√(−18 )2−4 (1 )(16 )

2(1)

=

18±√324−642

= 18±2√652

=9±√65

∴Eigenvalue matrik X adalahλ 1 = 9−√65= 0,9377 dan λ 2 = 9+√65 = 17,0623

Eigenvektor XXT

Untuk λ 1 = 0,9377

(XXT−λI )x=0

([5 77 13 ]−[0,9377 0

0 0,9377 ]) (x1 ¿)¿¿

¿¿=

(0 ¿ ) ¿¿

¿¿

[4 ,0623 77 12 , 0623 ]¿ (x1¿ )¿

¿¿

4,0623 x1 -7 x2 = 0 ; 7x1 + 12,0623 x2 = 0

x1= − 7

4 ,0623x2

= -1,7232

Proses normalisasi

x1¿=

x1

( x1T x1)

12

=(x1 ¿)¿¿

¿¿¿¿

=

(-1,7232 ¿ ) ¿¿

¿¿¿¿

Untuk λ 2 = 17,0623

(XXT−λI )x=0

7

Page 8: laylianurafidah.files.wordpress.com · Web viewSingular Value Decomposition (SVD) adalah suatu pemfaktoran matrik dengan mengurai suatu matrik ke dalam dua matrik P dan Q. Jika diketahui

([5 77 13 ]−[17,0623 0

0 17,0623 ]) (x1 ¿)¿¿

¿¿=

(0 ¿ ) ¿¿

¿¿

[−12 ,0623 77 −4 ,0623 ]¿ (x1 ¿)¿

¿¿

-12,0623 x1 + 7 x2 = 0 ; 7 x1 – 4,0623 x2 = 0

x1=

712 , 0623

x2=0 ,5803 x2

Proses normalisasi

x2¿=

x1

( x1T x1)

12

=(x1 ¿)¿¿

¿¿¿¿

=

(0 , 5803 ¿ )¿¿

¿¿¿¿∴Sehingga eigenvektor X XT adalah

P = [−0 , 8649 0 , 5019

0 , 5019 0 , 8649 ]

XTX = [2 21 3 ] [

2 12 3 ] = [

8 88 10 ]

Eigenvalue XTX

|XT X−λI|=0 |[8 8

8 10 ]−[ λ 00 λ ]|=0

|8−λ 88 10−λ

|=0

(8-λ )(10-λ )-(8)(8) = 0

80-8λ -10λ +λ 2 -64= 0

λ 2 -18λ +16 = 0

λ1,2=−b±√b2−4 ac

2a =−(−18 )±√(−18 )2−4 (1 )(16 )

2(1)

8

Page 9: laylianurafidah.files.wordpress.com · Web viewSingular Value Decomposition (SVD) adalah suatu pemfaktoran matrik dengan mengurai suatu matrik ke dalam dua matrik P dan Q. Jika diketahui

=

18±√324−642

= 18±2√652

=9±√65

∴Eigenvalue matrik X adalahλ 1 = 9−√65= 0,9377 dan λ 2 = 9+√65 = 17,0623

Eigenvektor XTX

Untuk λ 1 = 0,9377

(X T X−λI ) x=0

([8 88 10 ]−[0,9377 0

0 0,9377 ]) (x1 ¿)¿¿

¿¿=

(0 ¿ ) ¿¿

¿¿

[7 , 0623 88 9 , 0623 ]¿ ( x1 ¿ )¿

¿¿

7,0623 x1 + 8x2 = 0 ; 8x1 + 9,0623x2 = 0

x1 =

− 87 , 0623

x2= - 1,1328 x2

Proses normalisasi

x1¿=

x1

( x1T x1)

12

=(x1 ¿)¿¿

¿¿¿¿

=

(- 1,1328 ¿ ) ¿¿

¿¿¿¿

Untuk λ 2 = 17,0623

(X T X−λI ) x=0

([8 88 10 ]−[17,0623 0

0 17,0623 ]) (x1 ¿)¿¿

¿¿=

(0 ¿ ) ¿¿

¿¿

[−9 ,0623 88 −7 , 0623 ]¿ (x1 ¿ )¿

¿¿

-9,0623 x1 + 8 x2 = 0 ; 8x1 - 7,0623x2 = 0

x1 =

89 , 0623

x2= 0,8828 x2

9

Page 10: laylianurafidah.files.wordpress.com · Web viewSingular Value Decomposition (SVD) adalah suatu pemfaktoran matrik dengan mengurai suatu matrik ke dalam dua matrik P dan Q. Jika diketahui

Proses normalisasi

x1¿=

x1

( x1T x1)

12

=(x1 ¿)¿¿

¿¿¿¿

=

(0,8828 ¿ ) ¿¿

¿¿¿¿

∴Sehingga eigenvektor XTX adalah

Q = [−0 ,7497 0 ,66180 , 6618 0 ,7497 ]

Sedangkan matrik Δ adalah Δ=[√0 , 9377 0

0 √17 , 0623 ]=[0 ,9684 00 4 , 1307 ]

SVD suatu matrik X bila PΔ Q = X

PΔ Q = [−0 , 8649 0 , 5019

0 ,5019 0 , 8649 ][0 ,9684 00 4 ,1307 ][−0 ,7497 0 ,6618

0 , 6618 0 ,7497 ] = [

−0 , 8376 2 , 07330 , 4861 3 , 5727 ][−0 ,7497 0 ,6618

0 , 6618 0 ,7497 ] = [

2 12 3 ]

∴Terbukti bahwa PΔ Q = X

Contoh 2:

Menghitung SVD matriks simetri non singular A(2x2)

1. Diketahui bahwaA=[5 2

2 2 ]2. Mencari eigenvalue matrik A

|A-I| = 0

10

Page 11: laylianurafidah.files.wordpress.com · Web viewSingular Value Decomposition (SVD) adalah suatu pemfaktoran matrik dengan mengurai suatu matrik ke dalam dua matrik P dan Q. Jika diketahui

|(5 2

2 2 )−( λ 00 λ )| = 0

|5−λ 22 2−λ

| = 0

(5-)(2-)-4 = 0

-7

-7

(-1)(-6) = 0

Sehingga didapatkan dan

3. Mencari eigenvektor matrik A

Untuk 1=0

( A−λ1 I ) χ1=0 .

[(5 22 2 )−(1 0

0 1 )] (x1

x2)=(00 )

(4 22 1 )(x1

x2)=(00)

(4 x1+2 x2

2 x1+x2)=(00 )

=>2 x1+x2=0

2 x1=−x2

x1=−1

2x2

x1¿=x1

(x1T x1)1

2

=(− 1

2x2

x2)

[(−12

x2 x2 ) (−12

x2

x2)]

12

= 1

√ 54

x22 (−1

2x2

x2)=(−0 , 4472

0 ,8944 )

Untuk 2=6

( A−λ2 I ) χ = 0 .

11

Page 12: laylianurafidah.files.wordpress.com · Web viewSingular Value Decomposition (SVD) adalah suatu pemfaktoran matrik dengan mengurai suatu matrik ke dalam dua matrik P dan Q. Jika diketahui

[(5 22 2 )−(6 0

0 6 )] (x1

x2)=(00 )

(−1 22 −4 )( x1

x2)=(00 )

(−x1+2 x2

2x1−4 x2)=(00 )

=> 2 x1−4 x2=0

2 x1=4 x2

x1=2 x2

x2¿=x2

(x2T x2)1

2

=(2 x2

x2)

[ (2 x2 x2 ) (2 x2

x2 )]12

= 1

√5 x22 (2 x2

x2 )=(0 ,89440 , 4472 )

Sehingga didapatkan eigenvector matrik A yaitu

χ¿=(−0 , 4472 0 , 89440 ,8944 0 , 4472 )

4. Menentukan

merupakan metric diagonal yang elemen-elemennya adalah eigen value dari matrik A

sehingga: Δ=(λ1 0

0 λ2)=(1 0

0 6 )5. Mencari SVDnya dengan rumus A=X Δ XT

A =(−0 ,4472 0 , 8944

0 , 8944 0 , 4472 ) (1 00 6 ) (−0 , 4472 0 ,8944

0 ,8994 0 ,4472 )=(−0 ,4472 5 ,3664

0 ,8944 2 ,6832 ) (−0 , 4472 0 ,89440 ,8994 0 ,4472 )

=(5 ,027 1 , 992 ,013 1 , 99 )

=(5 22 2 )

Maka dapat disimpulkan bahwa bentuk svd dari matriks A adalah

12

Page 13: laylianurafidah.files.wordpress.com · Web viewSingular Value Decomposition (SVD) adalah suatu pemfaktoran matrik dengan mengurai suatu matrik ke dalam dua matrik P dan Q. Jika diketahui

(5 22 2 )=(−0 , 4472 0 , 8944

0 , 8944 0 , 4472 )(1 00 6 )(−0 , 4472 0 , 8944

0 , 8994 0 , 4472 )

Contoh 3:

Menghitung SVD matriks A(mxn) = A(3x2)

A=[1 10 11 0 ]

Jawab:

AT = [1 0 11 1 0 ]

ATA = [1 0 11 1 0 ][

1 10 11 0 ]= [

2 11 2 ]

Eigenvalue ATA

|[2 11 2 ]−[ λ 0

0 λ ]|=0

|2−λ 11 2−λ

|=0

(2- λ )2-1=0

4-4 λ + λ 2-1=0

λ 2-4 λ +3=0

(λ -3)( λ -1)=0

λ 1=1 λ 2=3

Eigenvektor ATA

Untuk λ 1=1

( A−λ1 I ) x=0

[2−λ 11 2−λ ]¿ [ x1 ¿ ] ¿

¿¿

[2−1 11 2−1 ]¿ [ x1 ¿ ] ¿

¿¿

13

Page 14: laylianurafidah.files.wordpress.com · Web viewSingular Value Decomposition (SVD) adalah suatu pemfaktoran matrik dengan mengurai suatu matrik ke dalam dua matrik P dan Q. Jika diketahui

[1 11 1 ]¿ [ x1 ¿ ] ¿

¿¿

x1 + x2 = 0 x1 = - x2

Proses Normalisasi

x1¿=(x1 ¿)¿

¿¿¿¿¿

=(−x2 ¿)¿¿

¿¿¿¿

Untuk λ 1=3

( A−λ2 I ) x=0

[2−λ 11 2−λ ]¿ [ x1 ¿ ] ¿

¿¿

[2−3 11 2−3 ]¿ [ x1 ¿ ]¿

¿¿

[−1 11 −1 ]¿ [ x1 ¿ ] ¿

¿¿

-x1 + x2 = 0 x1 = x2

Proses Normalisasi

x2¿=(x1 ¿)¿

¿¿¿¿¿

=( x2¿ )¿¿

¿¿¿¿Sehingga eigenvektor ATA

X=¿[− 1

√2

[ 1√2

[

1√2

]1√2¿

]

14

Page 15: laylianurafidah.files.wordpress.com · Web viewSingular Value Decomposition (SVD) adalah suatu pemfaktoran matrik dengan mengurai suatu matrik ke dalam dua matrik P dan Q. Jika diketahui

AAT = [1 10 11 0 ][1 0 1

1 1 0 ]= [2 1 11 1 01 0 1 ]

Eigenvalue AAT

|[2 1 11 1 01 0 1 ]−[ λ 0 0

0 λ 00 0 λ ]|=0

|2−λ 1 1

1 1− λ 01 0 1− λ

|=0

(2− λ )(1− λ) (1− λ)+0+0-(1− λ) -(1− λ)=0

(λ 2-2λ +1)(2-λ )-(2-2λ )=0

2λ 2-4λ +2-λ 3-2λ -λ -2+2λ =0

-λ 3-3λ =0

-λ (λ 2-3)=0 λ =0 ; λ =1 ; λ =3

Eigenvektor AAT

Untuk λ 1 = 0

( A−λ1 I ) x=0

[2−λ 1 11 1−λ 01 0 1−λ ][ x1

x2

x3]=[000 ]

[2 1 11 1 01 0 1 ][ x1

x2

x3]=[000 ]

2x1 + x2 + x3 =0 ; x1 + x2 = 0 ; x1 + x3 = 0

x2 = - x1 ; x3 = - x1

Proses Normalisasi

x1¿=

[x1

x2

x3]

([ x1 x2 x3 ] [ x1

x2

x3])

12

15

Page 16: laylianurafidah.files.wordpress.com · Web viewSingular Value Decomposition (SVD) adalah suatu pemfaktoran matrik dengan mengurai suatu matrik ke dalam dua matrik P dan Q. Jika diketahui

x1¿=

[ x1

−x1

−x1]

([ x1 −x1 −x1 ] [ x1

−x1

−x1])

12

x1¿=

[ x1

−x1

−x1]

(3 x12)

12

=[ x1

−x1

−x1]

√3 x1

=[1√3−1√3−1√3

] Untuk λ 2 = 1

[2−λ 1 11 1−λ 01 0 1−λ ][ x1

x2

x3]=[000 ]

[1 1 11 0 01 0 0 ][ x1

x2

x3]=[000 ]

x1 + x2 + x3 =0 ; x1 = 0 ; x1 = 0

x3 = - x2

Proses Normalisasi

x2¿=

[x1

x2

x3]

([ x1 x2 x3 ] [ x1

x2

x3])

12

x2¿=

[ 0−x3

x3]

([0 −x3 x3 ] [ 0−x3

x3])

12

16

Page 17: laylianurafidah.files.wordpress.com · Web viewSingular Value Decomposition (SVD) adalah suatu pemfaktoran matrik dengan mengurai suatu matrik ke dalam dua matrik P dan Q. Jika diketahui

x2¿=

[ 0−x3

x3]

(2 x32 )

12

=[0

−12 √2

12 √2 ]

Untuk λ 3 = 3

[2−λ 1 11 1−λ 01 0 1−λ ][ x1

x2

x3]=[000 ]

[−1 1 1

1 −2 01 0 −2 ][ x1

x2

x3]=[000 ]

-x1 + x2 + x3 =0 ; x1 – 2x2 = 0 ; x1 – 2x3 = 0

x2 = 12 x1; x3 =

12 x1

Proses Normalisasi

x3¿=

[ x1

x2

x3]

([ x1 x2 x3 ] [ x1

x2

x3])

12

x3¿=

[x1

12

x1

12

x1]

([ x112

x112

x1][x1

12

x1

12 x1])

12

17

Page 18: laylianurafidah.files.wordpress.com · Web viewSingular Value Decomposition (SVD) adalah suatu pemfaktoran matrik dengan mengurai suatu matrik ke dalam dua matrik P dan Q. Jika diketahui

x3¿=

[x1

12

x1

12

x1]

(1 12

x12)

12

=

[x1

12

x1

12

x1]

1,2247 x1=[0,8165

0,40820,4082]

Mencari Nilai P:

P = AQ∆-1

= [1 10 11 0][−1

√21√2

1√2

1√2 ] [

1√1

0

0 1√3 ]

= [ 0 √21√2

1√2

−1√2

1√2

] [ 1√1

0

0 1√3 ]

= [ 0 √63

√22

√66

−√22

√66]

A = P∆Q

= [ 0 √63

√22

√66

−√22

√66] [1 0

0 √3] [−√22

√22

√22

√22 ]

= [ 0 √2√22

√22

−√22

√22][−√2

2√22

√22

√22 ]

18

Page 19: laylianurafidah.files.wordpress.com · Web viewSingular Value Decomposition (SVD) adalah suatu pemfaktoran matrik dengan mengurai suatu matrik ke dalam dua matrik P dan Q. Jika diketahui

= [1 10 11 0]

Contoh 4

Menghitung SVD matriks A(mxn) = A(2x3)

Dapatkan Singular Value Decomposition (SVD) dari matrik yang berukuran m×n berikut ini:

B(2×3) = [2 −2 44 2 2 ]

Jawab:

1. Menghitung Matrik BTB dan BBT

BTB = C =[ 2 4−2 24 2 ] [2 −2 4

4 2 2 ]=[20 4 16

4 8 −416 −4 20 ]

BBT = D = [2 −2 44 2 2 ] [ 2 4

−2 24 2 ]

=[24 1212 24 ]

2. Mencari Eigenvalue () dari Matrik BTB dan BBT

Eigenvalue Matrik B T B : C-I= 0

|[20 4 164 8 −4

16 −4 20 ]− [ λ 0 00 λ 00 0 λ ]|=0

|20−λ 4 16

4 8−λ −416 −4 20−λ

|=0

(

= 0

19

Page 20: laylianurafidah.files.wordpress.com · Web viewSingular Value Decomposition (SVD) adalah suatu pemfaktoran matrik dengan mengurai suatu matrik ke dalam dua matrik P dan Q. Jika diketahui

= 0

dan

Jika dinyatakan dalam bentuk matrik diagonal 12 =

[0 0 00 12 00 0 36 ]

Eigenvalue Matrik BB T : D-I= 0

|[24 1212 24 ]−[λ 0

0 λ ]|=0

|24−λ 1212 24−λ

|=0

] = 0

0

dan

Jika dinyatakan dalam bentuk matrik diagonal 22 = [

12 00 36 ]

Pada proses mencari eigenvalue matrik BTB (matrik C) didapatkan 1 = 0, mengacu pada

prosedur penyelesaian SVD matrik m×n terdapat catatan bahwa: jika dalam perhitungan

eigenvalue didapatkan = 0 maka untuk prosedur perhitungan eigenvalue = 0

diabaikan yang berakibat eigenvektor untuk kolom = 0 pada prosedur selanjutnya akan

dihilangkan dari matrik eigenvektornya.. Sehingga, matrik diagonal =

2 = [12 00 36 ]

3. Mencari Eigenvektor Matrik BTB dan BBT

Untuk

Eigenvektor Matrik B T B:

Untuk (C – x1 = 0

[20−λ 4 164 8−λ −4

16 −4 20−λ ] x1=0

20

Page 21: laylianurafidah.files.wordpress.com · Web viewSingular Value Decomposition (SVD) adalah suatu pemfaktoran matrik dengan mengurai suatu matrik ke dalam dua matrik P dan Q. Jika diketahui

[20−0 4 164 8−0 −4

16 −4 20−0 ] [ x11

x12

x3]=0

[20 4 164 8 −4

16 −4 20 ] [x11

x12

x3]=0

[20 x11+4 x12+16 x13

4 x11+8 x12−4 x13

16 x11−4 x12+20 x13]=[000 ]

(20 x11+4 x12+16 x13=04 x11+8 x12−4 x13=0

16 x11−4 x12+20 x13=0)Eliminasi Pers.1 dan Pers.3:

20x11 + 4x12 + 16x13 = 016x11 – 4x12 + 20x13 = 0

+36x11 + 36x13 = 0

x11 + x13 = 0x11 = – x13 Pers.4

Subsitusikan Pers.4 ke Pers.2

4(x13) + 8x12 4x13 = 08x12 8x13 = 0x12 = x13 Pers.5

Proses normalisasi untuk x1 :

x1¿

=

x1

(x1T x1 )

1/2

=

(x11 ¿ ) (x12 ¿)¿¿

¿¿¿¿=

(−x13 ¿) (x13 ¿)¿¿

¿¿¿¿

21

Pers.1Pers.2Pers.3

Page 22: laylianurafidah.files.wordpress.com · Web viewSingular Value Decomposition (SVD) adalah suatu pemfaktoran matrik dengan mengurai suatu matrik ke dalam dua matrik P dan Q. Jika diketahui

=

(−x13 ¿ ) (x13 ¿)¿¿

¿¿¿¿=(−0 ,5774

0 ,57740 , 5774 )

Untuk (C – x2 = 0

[20−λ 4 164 8−λ −4

16 −4 20−λ ] x2=0

[20−12 4 164 8−12 −4

16 −4 20−12 ] [x21

x22

x23]=0

[ 8 4 164 −4 −416 −4 8 ] [x21

x22

x23]=0

[8 x21+4 x22+16 x23

4 x21−4 x22−4 x23

16 x21−4 x22+8 x23]=[000 ]

(8 x21+4 x22+16 x23=04 x21−4 x22−4 x23=016 x21−4 x22+8 x23=0)

Eliminasi Pers.1 dan Pers.3:

8x21 + 4x22 + 16x23 = 016x21 – 4x22 + 8x23 = 0

+24x21 + 24x23 = 0

x21 + x23 = 0x21 = – x23 Pers.4

Subsitusikan Pers.4 ke Pers.2

4(x23) 4x22 4x23 = 04x22 8x23 = 0x22 = 2x23 Pers.5

22

Pers.1Pers.2Pers.3

Page 23: laylianurafidah.files.wordpress.com · Web viewSingular Value Decomposition (SVD) adalah suatu pemfaktoran matrik dengan mengurai suatu matrik ke dalam dua matrik P dan Q. Jika diketahui

Proses normalisasi untuk x2 :

x2¿

=

x2

(x2T x2 )

1/2

=

(x21 ¿ )( x22 ¿)¿¿

¿¿¿¿=

(−x23 ¿ ) (−2 x23 ¿ )¿¿

¿¿¿¿

=

(−x23 ¿) (−2 x23 ¿)¿¿

¿¿¿¿=(−0 ,4082−0.81650 ,4082 )

Untuk (C – x3 = 0

[20−λ 4 164 8−λ −4

16 −4 20−λ ] x3=0

[20−36 4 164 8−36 −4

16 −4 20−36 ] [ x31

x32

x33]=0

[−16 4 164 −28 −4

16 −4 −16 ] [ x31

x32

x33]=0

[−16 x31+4 x32+16 x33

4 x31−28 x32−4 x33

16 x31−4 x32−16 x33]=[000 ]

(−16 x31+4 x32+16 x33=04 x31−28 x32−4 x33=0

16 x31−4 x32−16 x33=0 )Eliminasi Pers.1 dan 4 × Pers.2:

16x31 + 4x32 + 16x33 = 016x31 – 112x32 + 16x33 = 0

+108x32 = 0

x32 = 0 Pers.4

23

Pers.1Pers.2Pers.3

Page 24: laylianurafidah.files.wordpress.com · Web viewSingular Value Decomposition (SVD) adalah suatu pemfaktoran matrik dengan mengurai suatu matrik ke dalam dua matrik P dan Q. Jika diketahui

Subsitusikan Pers.4 ke Pers.3

16x31 4(0) 16x33 = 016x31 16x33 = 0 x31 = x33 Pers.5

Proses normalisasi untuk x3 :

x3 =

x3

(x3T x3 )

1 /2

=

(x31 ¿ )( x32 ¿ )¿¿

¿¿¿¿=

(x33 ¿ ) (0 ¿ )¿¿

¿¿¿¿

=

(x33 ¿ ) (0 ¿ )¿¿

¿¿¿¿=(0 , 7071

00 ,7071)

Sehingga, eigenvektor yang didapatkan adalah:

X = [−0 ,5774 −0 , 4082 0 ,7071

0 , 5774 −0 ,8165 00 , 5774 0 ,4082 0 ,7071 ]

Akan tetapi, untuk prosedur selanjutnya eigenvektor yang digunakan adalah eigenvektor

dari kolom yang nilai eigenvalue () lebih dari nol (positif).

Q = [−0 , 4082 0 , 7071−0 , 8165 00 , 4082 0 , 7071 ]

Eigenvektor Matrik BB T :

Untuk D – 1I) x1 = 0

[24−λ 1212 24−λ ] x1=0

[24−12 1212 24−12 ] [x11

x12 ]=0

24

Page 25: laylianurafidah.files.wordpress.com · Web viewSingular Value Decomposition (SVD) adalah suatu pemfaktoran matrik dengan mengurai suatu matrik ke dalam dua matrik P dan Q. Jika diketahui

[12 1212 12 ] [x11

x12]=0

[12x11+12 x12

12x11+12 x12 ]=[00 ](12 x11+12 x12=0 ¿)¿¿

¿¿

12x11 + 12x12 = 0 x11 + x12 = 0

x11 = – x12 Pers.3

Proses normalisasi untuk x1 :

x1¿

=

x1

(x1T x1 )

1/2

=

(x11

x12)

(( x11 x12 ) (x11

x12))1/2

=

(−x12

x12)

((−x12 x12 ) (−x12

x12 ))1/2

=

(−x12

x12)

( x122+x

122 )1/2=

(−x12

x12)

(2 x122 )

1/2=(−1/√21/√2 )

=(−0 ,7071

0 ,7071 )

Untuk D – 2I) x2 = 0

[24−λ 1212 24−λ ] x2=0

[24−36 1212 24−36 ] [x21

x22 ]=0

[−12 1212 −12 ] [ x21

x22 ]=0

[−12 x21+12 x22

12 x21−12 x22 ]=[00 ](−12 x21+12 x22=0 ¿)¿¿

¿¿

12x21 + 12x22 = 0 x21 + x22 = 0

x21 = x22 Pers.3

25

Pers.1Pers.2

Pers.1Pers.2

Page 26: laylianurafidah.files.wordpress.com · Web viewSingular Value Decomposition (SVD) adalah suatu pemfaktoran matrik dengan mengurai suatu matrik ke dalam dua matrik P dan Q. Jika diketahui

Proses normalisasi untuk x2 :

x2¿

=

x2

(x2T x2 )

1/2

=

(x21

x22)

(( x21 x22 ) (x21

x22))1/2

=

( x21

x22)

(( x21 x22 ) (x21

x22))1/2

=

(x21

x22)

( x212+x

122 )1/2=

(x21

x22)

(2 x222 )

1/2=(1/√21/√2 )

=(0 , 70710 ,7071)

Sehingga, eigenvektor yang didapatkan adalah:

Y = [−0 , 7071 0 ,70710 , 7071 0 ,7071 ]

4. Dekompisisi Nilai Singular (SVD) Matrik B

Diketahui: 2 = [12 00 36 ] =

[√12 00 √36 ]=[3 ,464 0

0 6 ]

-1 = [1/√12 0

0 1/√12 ]= [0 , 2887 0

0 0 ,1667 ]Didapatkan:

P1 = B Q1 -1

P1 = [2 −2 44 2 2 ] [−0 , 4082 0 ,7071

−0 , 8165 00 ,4082 0 ,7071 ] [0 ,2887 0

0 0 , 1667 ]

P1 = [2 , 4494 4 ,2426−2 ,4494 4 ,2426 ] [0 ,2887 0

0 0 ,1667 ]P1 = [

0 , 7071 0 ,7071−0 ,7071 0 ,7071 ]

Dekomposisi matrik B = P1 Q1T

B = [0 ,7071 0 ,7071−0 , 7071 0 ,7071 ] [3 , 464 0

0 6 ] [−0 , 4082 −0 , 8165 0 , 40820 ,7071 0 0 , 7071 ]

B = [2 , 4494 4 ,2426−2 ,4494 4 ,2426 ] [−0 , 4082 −0 ,8165 0 ,4082

0 ,7071 0 0 ,7071 ]26

Page 27: laylianurafidah.files.wordpress.com · Web viewSingular Value Decomposition (SVD) adalah suatu pemfaktoran matrik dengan mengurai suatu matrik ke dalam dua matrik P dan Q. Jika diketahui

B = [2 , 0001 −2 ,0000 3 ,99993 , 9999 2 ,0000 2 ,0001 ]

B = [2 −2 44 2 2 ]

27