I. GARIS SEJAJAR DAN PERBANDINGAN SEHARGA

A. Dua Garis Sejajar Dipotong Garis Transversal

(g A 1 2 3 4h B 1 2 3 4 k)

Jika diketahui dua garis sejajar , yaitu g dan h dipotong oleh garis k, maka akan terbentuk pasangan-pasangan sudut berikut ini :

A. Sudut-sudut sehadap :

A1 dan B1

A2 dan B2

A3 dan B3

A4 dan B4

Sepasang sudut yang sehadap mempunyai besar yang sama.

B. Sudut-sudut bertolak belakang:

A1 dan A4

A2dan A3

B1 dan B4

B2 dan B3

Sepasang sudut yang bertolak belakang mempunyai besar yang sama.

C. Sudut-sudut berseberangan dalam :

A3 dan B2

A4 dan B1

Sepasang sudut yang berseberangan dalam mempunyai besar yang sama.

D. Sudut-sudut berseberangan luar :

A2 dan B3

A1 dan B4;

Sepasang sudut yang berseberangan luar mempunyai besar yang sama.

E. Sudut-sudut sepihak dalam :

A4 dan B2

A3 dan B1

Sepasang sudut sepihak dalam jumlahnya 1800

F. Sudut-sudut sepihak luar :

A2 dan B4

A1 dan B3

Sepasang sudut sepihak luar jumlahnya 1800.

B. Perbandingan Seharga Garis-garis

Dalil : Jika beberapa garis sejajar memotong suatu garis atas bagian-bagian yang sama, maka garis-garis sejajar tersebut juga akan memotong atas bagian-bagian yang sama garis-garis yang lain.

Diketahui :

Buktikan :

Bukti :

Buatlah garis-garis sejajar AD dan masing-masing melalui titik P, Q, & R Terbentuklah jajaran genjang :

APEB AB = PE

BQFC BC = QF

CRGD CD = RG

dan diketahui AB = BC = CD

Sehingga : PE = QF = RG

Perhatikan , , dan .

1.

2.

( EP//FQ//GR dipotong PS sudut-sudut sehadap )

3.

( AP//BQ//CR//DS dipotong PS sudut-sudut sehadap)

Karena ( s sd sd ), akibatnya

Contoh (aplikasi)

Diketahui segmen segmen garis AB. Bagilah AB atas tiga bagian yang sama panjang

Melalui titik A buat sebarang garis g

Ukurkan tiga segmen garis yang sama panjang dan berturutan pada g (AP=PQ=QR)

Hubungkan titik B dan R

Tarik Garis DQ//BR dan CP//BR

Maka menurut dalil diatas : AC=CD=DB

Dalil :Jika sebuah garis yang dipotong oleh 3 buah garis sejajar maka bagian-bagian (potongan-potongan) yang terbentuk akan sebanding dengan bagian-bagian dari garis lain yang dipotong oleh 3 garis sejajar tersebut.

Diketahui : AP//BQ//BC memotong AC dan PR

Buktikan : AB : BC = PQ : QR

Bukti ;

Misalkan AB dibagi atas n bagian yang sama panjang dan BC dibagi atas m bagian yang sama oleh garis-garis //.

Maka PQ juga akan dipotong oleh garis-garis // tersebut atas n bagian yang sama dan QR atas m bagian yang sama sehingga PQ : QR = n : m

AB:BC= n:m

Jadi PQ:QR=AB:BC= n:m

Terbukti AB:BC=PQ:QR

Dalil : Dalam suatu segitiga, jika digambar sebuah garis // dengan salah satu sisinya dan memotong kedua sisi yang lain maka garis tersebut akan membagi kedua sisi tersebut atas perbandingan seharga

Diketahui : ABC dan DE//AB.

Buktikan :

1. CD:DA=CE:EB

2. CD:CA= CE:CB

3. DE : AB= CD : CA = CE : CB

Bukti :

1. Gambarlah garis h melalui C // DE , maka CD:DA = CE:EB

2. CD : DA = CE : EB

a1 : a2 = b1 : b2

a1 =

a2 =

CD : CA = a1 : (a1 + a2)

= :

= :

= :

= :

= b1 : (b1 + b2)

= CE : (CE + EB)

Jadi CD : CA = CE : CB

3. Gambarlah garis EF // CA , maka BE : EC = BF : FA

DE : AB = DE : (AF+FB)

= AF : (AF+FB)

= :

= :

= :

= :

= :

DE : AB = EC : BC

Contoh :

Diketahui : ACB , DE // CB,

AD =12cm, AC=32cm, AE=15cm .

Tentukan : AB

Jawab : AD : DC = AE : EB

12 : (32-12) = 15 : EB

EB = (15 . 20)/12 = 25

Jadi AB = AE + EB

= 15 cm + 25 cm

AB = 40 cm

II. LUKISAN DASAR PADA GEOMETRI

Siapkan peralatan berikut ini untuk membuat Lukisan Geometri

1. Pencil yang runcing

2. Mistar/penggaris panjang dan dua penggaris siku-siku ( 600 dan 450)

3. Jangka

4. Busur derajat

5. Karet penghapus

A. Menggambar Menggunakan Mistar :

1. Menggambar sebuah garis tegak lurus pada suatu garis dan melalui sebuah titik pada garis tersebut

(h)

Diketahui : garis g dan titik P pada g

Lukis : garis h melalui P dan g

Lukisan :

1. Ambil penggaris siku-siku

2. (P) (g)Letakkan penggaris siku-siku tsb hingga salahsatu sisi siku-sikunya berimpit pada garis g dan sudut siku-siku penggaris berimpit dengan titik P.

3. Tarik garis h sepanjang sisi siku-siku yang lain.

2. Menggambar sebuah garis tegak lurus pada suatu garis dan melalui sebuah titik di luar garis

(.P)Diketahui : garis g dan titik P di luar g

Lukis : garis h melalui P dan g

Lukisan :

1. Ambil penggaris siku-siku

2. Letakkan penggaris siku-siku tsb hingga salah satu sisi siku-sikunya berimpit pada garis g dan sisi siku-siku yang lain melelui titik P .

3. (g)Tarik garis h sepanjang sisi siku-siku yang melelui titik P tersebut.

3. Menggambar garis-garis sejajar

Diketahui : garis g

(g)Lukis : garis h // g

Lukisan :

1. Ambil penggaris panjang dan sebuah penggaris siku-siku.

2. Letakkan penggaris siku-siku sedemikian sehingga sisi siku-sikunys berimpit dengan garis g. Letakkan penggaris panjang pada salah satu sisi siku-sikunya.

3. Geser penggaris siku-siku ke atas (bawah), sesuai dengan letak garis h yang diinginkan, tarik garis sepanang sisi miring penggaris siku-siku tsb.

B. Menggambar Menggunakan Jangka :

1. Menggambar sudut yang kongruen dengan sudut yang diketahui

(A)Diketahui : A =

Lukis : P = A

Lukisan :

1. Gambar sebuah garis l dan tentukan titik P pada garis tsb.

2. Berpusat di A buatlah busur dengan jangka sehingga memotong kakikaki A di titik B dan C, dengan jari-jari yang sama dan berpusat di P buatlah busur t yang memotong l di Q

3. Menggunakan jangka ukurlah ruas garis BC.

4. Pada Q ukurkan panjang ruas garis BC pada busur t di R

5. Hubungkan titik P dan R, maka terbentuklah QPR yang kongruen dengan A

(l)

2. Membagi dua sama besar sebuah sudut (garis bagi sudut)

(A)Diketahui : A =

Lukis : garis bagi A sehingga A1 = A2

Lukisan :

1. Berpusat di A buatlah busur dengan jangka sehingga memotong kakikaki A di titik B dan C.

2. Berpusat di B dan C buatlah busur dengan jari-jari yang sama pada daerah interior sudut A, hingga berpotongan di satu titik misalkan P.

3. Buatlah garis dari A ke P, maka garis AP ini adalah garis bagi A. Terbentuk dua buah sudut yaitu BAP dan CAP dimana BAP = CAP atau A1 = A2

3. Menggambar sebuah garis tegak lurus pada suatu garis dan melalui sebuah titik pada garis tersebut

Diketahui : garis g dan titik P pada g

Lukis : garis h melalui P dan g

Lukisan :

1. Berpusat di P buatlah busur dengan jangka sehingga memotong garis g di titik B dan C.

2. Berpusat di B dan C buatlah busur dengan jari-jari yang sama hingga berpotongan di satu titik misalkan Q.

3. Hubungkan P dan Q dengan sebuah garis h

4. (g) (P)Garis h melalui P dan g

4. Menggambar sebuah garis tegak lurus pada suatu garis dan melalui sebuah titik di luar garis

(.P)

Diketahui : garis g dan titik P di luar g

Lukis : garis h melalui P dan g

Lukisan :

1. Berpusat di P buatlah sebuah busur sehingga memotong garis g di titik B dan C.

2. (g)Berpusat di B dan C buatlah busur dengan jari-jari yang sama hingga berpotongan di satu titik misalkan Q (pada arah yang berlawanan dengan P).

3. Hubungkan P dan Q dengan sebuah garis h

4. Garis h melalui P dan g

5. Menggambar garis sumbu suatu ruas garis

Diketahui : ruas garis AB

Lukis : garis sumbu ruas garis AB

Lukisan :

1. (AB)Berpusat di A dan B buatlah busur dengan jari-jari yang sama hingga saling berpotongan di dua titik yaitu P dan Q

2. Hubungkan titik P dan Q dengan sebuah garis dan memotong AB di T, maka garis PQ AB dan AT= TB

3. PQ adalah sumbu AB

6. Menggambar garis sejajar

Diketahui : garis g

Lukis : garis h // g

Lukisan :

1. Gambar sebuah garis l yang memotong garis g di titik P

2. Tentukan sebuah titik Q pada l , dimana akan digambar garis yang sejajar g.

3. (g)Gambar (pindahkan) sudut P pada sudut Q, dimana garis l sebagai salah satu kaki sudut Q.

4. Perpanjang kaki sudut yang lain dari sudut Q yang terbentuk dan beri nama h , maka h//g

Didasarkan pada dalil-dalil geometri dan menggunakan lukisan dasar, maka dapat dibuat/dikonstruksi bangun-bangun geometri secara tepat dan akurat, misalkan menggambar ruas garis dengan perbandingan tertentu, menggambar garis-garis sejajar, membuat sudut dengan besar tertentu, menggambar sebuah segitiga yang diketahui komponen-komponennya.

C. Menggambar/melukis Segitiga (Gambar dan tuliskan langkah-langkahnya !)

1. Melukis segitiga jika diketahui dua buah sisi dan sudut yang diapitnya (ss.sd.ss)

(b)

Diketahui: sisi b

(c)sisi c

sudut

Lukis : Segitiga ABC

Lukisan :

2. Menggambar segitiga jika diketahui sebuah sisi dan dua sudut pada sisi tersebut (sd.ss.sd)

(c)

Diketahui: sisi c

sudut

sudut

Lukis : Segitiga ABC

Lukisan :

3. Menggambar segitiga jika diketahui sebuah sisi dan sebuah sudut pada sisi serta sudut dihadapan sisi tersebut.

(c)

Diketahui: sisi b

sudut

sudut

Lukis : Segitiga ABC

Lukisan :

4. Menggambar segitiga jika diketahui ketiga buah sisinya (ss.ss.ss)

(a)

(b)Diketahui: sisi a

sisi b

(c)sisi c

Lukis : Segitiga ABC

Lukisan :

III. SEGITIGA

(ABCacb)

Segitiga adalah bangun datar bersisi tiga.

Sisi dihadapan A adalah sisi a

Sisi dihadapan B adalah sisi b

Sisi dihadapan C adalah sisi c

Jumlah ketiga sudut dalam segitiga adalah 1800

(A + B + C = 1800 )

A. KLASIFIKASI

1. (RPQ)Berdasarkan jenis sudut-nya :

(KML) (ABC)

Segitiga LancipSegitiga Siku-siku Segitiga Tumpul

Segitiga Lancip (ABC) adalah segitiga yang ketiga sudutnya merupakan sudut lancip.

Segitiga Siku-siku (KLM) adalah segitiga yang salah satu sudutnya merupakan sudut siku-siku (K = 900). Sisi dihadapan sudut siku-siku disebut sisi miring (hipotenusa) dan sisi-sisi pada sudut siku-siku disebut sisi/kaki siku-siku.

Segitiga Tumpul (PQR) adalah segitiga yang salah satu sudutnya merupakan sudut tumpul (1800< P > 900).

2. (GHI) (FED) (ABC)Berdasarkan panjang sisi-nya :

Segitiga Sembarang - ABC - adalah segitiga yang ketiga sisinya tidak sama panjang (AB BC CA) .

Segitiga Samakaki (isosceles triangle) - DEF - adalah segitiga yang kedua sisinya sama panjang (DF=EF).

Segitiga Samasisi (equilateral triangle) - GHI - adalah segitiga yang ketiga sisinya sama panjang (GH = HI = IG).

B. KONGRUENSI (SAMA DAN SEBANGUN)

Definisi : dua buah bangun dikatakan sama dan sebangun jika sama ukuran dan sama bentuk, artinya sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar (kongruen).

(RPQ) (ABC)

Definisi : ABC dan PQR sama dan sebangun, dinotasikan ABC PQR , jika sisi-sisi yang bersesuaian sama ( AB=PQ, BC=QR, AC=PR) dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar ( A=P, B=Q, C=R ).

Dalil-dalil :

1. (RPQ) (ABC)Dua segitiga kongruen jika dua buah sisi dan sudut yang dibentuk oleh kedua sisi tersebut pada kedua segitiga tersebut kongruen (ss.sd.ss).

Pada ABC dan PQR jika AC=PR, AB=PQ dan CAB=RPQ, maka ABC PQR

2. (RPQ) (ABC)Dua segitiga kongruen jika dua buah sudut dan sebuah sisi diantaranya pada kedua segitiga tersebut kongruen (sd.ss.sd).

Pada ABC dan PQR jika CAB = RPQ , ABC = PQR dan AB=PQ, maka ABC PQR

3. (RPQ) (ABC)Dua segitiga kongruen jika dua buah sudut dan sebuah sisi dihadapan salah satu sudut pada kedua segitiga tersebut kongruen (ss.sd.sd).

Pada ABC dan PQR jika CAB = RPQ , ACB = PRQ dan AB = PQ , maka

ABC PQR

4. (RPQ) (ABC)Dua segitiga kongruen jika ketiga sisi yang bersesuaian pada kedua segitiga tersebut kongruen (ss.ss.ss).

Pada ABC dan PQR jika AB=PQ ; BC=QR dan AC=PR, maka ABC PQR

C. KESEBANGUNAN (SIMILARITAS)

Definisi :Dua segitiga dikatakan sebangun jika sudut-sudut yang seletak kongruen dan sisi-sisi yang seletak sebanding.

(RPQ) (ABC)

Definisi : ABC dan PQR sebangun, dinotasikan ABC PQR , jika sudut-sudut yang seletak sama besar ( A=P, B=Q, C=R ) dan sisi-sisi yang seletak sebanding (AC : AB : BC = PR : PQ : QR)

Dalil : Pada dua segitiga yang sebangun sisi-sisi yang seletak sebanding jika dan hanya jika sudut-sudut yang seletak kongruen.

ABC PQR , AC : AB : BC = PR : PQ : QR A=P, B=Q, C=R

Pembuktian :

Diketahui : A=P, B=Q dan C=R

Buktikan : AC : AB : BC = PR : PQ : QR

Bukti :

(ABCPQ) (RPQ)

Pindahkan PQR ke ABC sehingga R berimpit dengan C, maka :

P=P ; Q=Q

PR = PR ; QC = QR

Diketahui A=P dan B=Q maka A=P dan B=Q, sehingga AB//PQ dan akibatnya :

AC:PC = BC:QC atau

AC : BC = PC : QC atau

AC : BC = PR : QR ........... (1)

Dengan cara yang sama dapat diperoleh

AB : AC = PQ : PR (jika P berimpit dengan A) ........... (2)

AB : BC = PQ : QR ( jika Q berimpit dengan B) ........... (3)

Dari (1), (2) dan (3) diperoleh :

AC : AB : BC = PR : PQ : QR (terbukti)

Diketahui : AC : AB : BC = PR : PQ : QR

Buktikan : A=P, B=Q dan C=R

Bukti :

(RPQ) (ABCPQ)

Ukurkan CP = RP pada CA dan CQ=RQ pada CB, maka AC:BC=PC:QC atau AB//PQ, sehingga :

A=P ; B=Q ....(1)

AC : AB : BC = PR : PQ : QR dan CP = RP & CQ=RQ sehingga PQ = PQ dan CPQ RPQ (ss.ss.ss), akibatnya P=P, Q=Q dan C=R ....(2)

Dari (1) dan (2), maka dapat diperoleh : A=P, B=Q dan C=R (terbukti)

Dalil :Dua buah segitiga sebangun jika terapat 2 pasang sudut seletak yang sama.

Diketahui : ABC dan PQR dan A=P ; B=Q

Buktikan : ABC PQR

(RPQ) (ABC)Bukti :

A = P dan B = Q, maka A + B = P + Q

C = 1800 ( A + B) dan R = 1800 ( P + Q), sehingga C = R

Jadi :

A=P ; B=Q dan C = R, maka AC : AB : BC = PR : PQ : QR sehingga dapat disimpulkan bahwa ABC PQR.

Dalil : Dua buah segitiga sebangun jika terdapat sepasang sudut yang seletak sama besar dan sisi-sisi pada kedua sudut tersebut sebanding.

Diketahui : ABC dan PQR , A=P dan AB : AC = PQ: PR

Buktikan : ABC PQR

(RPQ) (ABC)Bukti :

Pindahkan PQR pada ABC sehingga sudut P berimpit dengan sudut A, maka Q=Q dan R=R

Pada ABC : AQ= PQ ; AR = PR dan AB:PQ=AC:PR, sehingga AB:AQ=AC:AR akibatnya QR//BC

QR//BC dipotong AC, maka ARQ = ACB sehingga R = C .....(1)

QR//BC dipotong AB, maka AQ R= ABC sehingga Q = B .....(2)

Dari (1), (2) dan diketahui P = A maka disimpulkan bahwa ABC PQR

D. SEGITIGA SIKU-SIKU

DALIL PYTHAGORAS :

(ABCacb)Pada sebuah segitiga siku-siku maka berlakulah bahwa kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi siku-sikunya.

Diketahui ABC siku-siku di A, maka :

(a2 = b2 + c2)

Segitiga siku-siku yang panjang sisi-sisinya merupalan bilangan asli, dapat ditentukan dengan menggunakan rumus Pythagoras, berikut ini : a2 = b2 + c2 , diubah menjadi b2 = a2 - c2 atau

b2 =( a + c )( a - c) atau dalam bentuk perbandingan : (a+c) : b = b : (a-c). Sebut saja masing-masing ruas sebagai m : n dengan m & n adalah bilangan asli, maka m > n karena a+c > a-c.

Jadi : (a+c) : b = m : n n(a+c)=mb na+nc-mb = 0 dan

b : (a-c) = m : n m(a-c)=nb ma-mc-nb = 0

adalah dua persamaan homogen dengan a, b dan c yang tidak diketahui, sehingga diperoleh :

m

n

a

b

c

m

n

a

b

c

2

1

5

3

4

6

5

51

11

60

3

1

10

8

6

7

1

3

2

13

5

12

7

2

4

1

17

15

8

7

4

5

2

29

21

20

7

6

5

4

41

9

40

7

1

6

1

37

35

12

8

2

Pada ABC :

Jika a2 = b2 + c2 dengan a adalah sisi terpanjang pada segitiga, maka ABC adalah segitiga siku-siku dengan A sebagai sudut siku-sikunya.

Jika a2 < b2 + c2 dengan a adalah sisi terpanjang pada segitiga, maka ABC adalah segitiga lancip.

Jika a2 >b2 + c2 dengan a adalah sisi terpanjang pada segitiga, maka ABC adalah segitiga tumpul.

SEGITIGA SIKU-SIKU ISTIMEWA :

1. Segitiga siku-siku dengan sudut : 300 600 900

(ABCacb)

A = 900

B = 300

C = 600

Perbandingan sisi-sisinya :

a: b : c = 2 : 1 : 3

2. Segitiga siku-siku dengan sudut : 450 900 450 (segitiga siku-siku samakaki)

(ABCacb)

A = 900

B = 450

C = 450

Perbandingan sisi-sisinya :

a: b : c = 2 : 1 : 1

E. GARIS-GARIS ISTIMEWA

1. Garis Tinggi :

Garis tinggi adalah garis yang ditarik dari salah satu titik sudut segitiga dan tegak lurus pada sisi dihadapannya. ta : garis tinggi yang ditarik dari titik sudut A pada sisi dihadapannya (sisi a)

Ketiga garis tinggi segitiga berpotongan di satu titik yang disebut sebagai titik tinggi.

Panjang garis tinggi yang ditarik dari dua titik sudut segitiga berbanding terbalik dengan sisi dihadapannya.

(CABacbtctatbDETF)

Panjang garis tinggi : s

(RPQ)

2. Garis Berat

Garis berat adalah garis yang ditarik dari satu titik sudut segitiga ke pertengahan sisi dihadapannya. za adalah garis berat yang ditarik dari titik sudut A.

Ketiga garis berat segitiga berpotongan disatu titik yaitu titik berat, dengan perbandingan dua banding satu, dimana bagian yang besar terletak pada titik sudut.

(ABCZzazbzcDEF) (KML) (RPQ)

AF = FB ; BD = DC ; AE = EC

AZ : ZD = BZ : ZE = CZ :ZF = 2 : 1

3. Garis Bagi

Garis bagi dibedakan atas garis bagi dalam dan garis bagi luar. Garis bagi dalam adalah garis yang membagi sudut-sudut dalam segitiga atas dua bagian yang sama besar ( da, db, dc ), sedang garis bagi luar membagi sudut luar segitiga atas dua bagianyang sama besar ( la, lb, lc ).

Ketiga garis bagi dalam pada segitiga berpotongan di satu titik yang merupakan titik pusat lingkaran dalam segitiga

Setiap titik pada garis bagi berjarak sama terhadap kedua kaki sudutnya.

(C)

(ABDEFdaa1a2bc)Panjang garis bagi dalam :

da2 = b.c a1.a2

db2 = a.c b1.b2

dc2 = a.b c1.c2

(ABClalblc)

Garis bagi luar

4. Garis Sumbu

Garis sumbu adalah pada segitiga adalah garis yang tegak lurus dan membagi dua sama panjang suatu sisi segitiga.

Ketiga garis sumbu segitiga berpotongan di satu titik yang merupakan pusat lingkaran luar segitiga (OA = OB = OC = jari-jari lingkaran luar segitiga) .

(ABCO)

F. DALIL MENELAOS, CEVA & STEWART

Garis Transversal adalah sebuah garis yang memotong setiap sisi atau perpanjangan sisi suatu bangun.

(ABCg) (ABCg)

Garis g adalah garis transversal

(ABCg)

Transversal sudut adalah garis transversal yang melalui satu titik sudut.

(ABC) (ABC)

Garis transversal sudut yang ditarik dari ketiga titik sudut segitiga dan berpotongan disatu titik.

1. Dalil MENELAOS : jika sebuah transversal segitiga ABC memotong sisi-sisi AB, BC, CA di titik P, Q dan R maka berlakulah :

(ABCPRQ)

Kebalikan Dalil Menelaos : Jika pada segitiga ABC terdapat titik P pada sisi AB, titik Q pada sisi BC, titik R pada sisi AC dan , maka titik P, Q dan R terletak pada sebuah garis.

2. Dalil CEVA : Pada segitiga ABC dibuat tiga transversal sudut yang memotong sisi AB, BC, dan CA berturut-turut di P, Q dan R; jika ketiga transversal sudut tersebut berpotongan disatu titik, maka berlakulah :

(C)

(ABRQPO)

Kebalikan Dalil Ceva : Pada segitiga ABC, jika titik P, Q dan R bertutut-turut terletak pada AB, BC, dan AC sehingga , maka garis AQ, BR dan CP melalui sebuah titik

3. Dalil STEWART :

Pada segitiga ABC ditarik sebuah transversal sudut dari titik A hingga memotong sisi BC di D, maka panjang segmen garis AD dapat di hitung dengan :

(ABEDFCa1aa2b1b2c1c2bcsascsb)AD2 . BC = AB2 . CD + AC2 . BD CD . BD . BC

Dalil Stewart :

sa2.a = b2.a1 + c2.a2 a1.a2.a

sb2.b = a2.b1 + c2.a2 b1.b2.b

sc2.c = a2.c1 + b2.c2 c1.c2.c

IV. SEGIEMPAT

Segiempat adalah bangun datar bersisi empat. Segiempat dikelompokkan atas segiempat beraturan dan segiempat tak beraturan.

A. Segiempat Tak Beraturan

(ABCD)

ABCD adalah bangun segi-4 tak beraturan.

AB, BC, CD dan DA : sisi

A, B, C, dan D : titik sudut

AC dan BD : diagonal

Jumlah sudut-sudut dalam segi-4 adalah 3600. Buktikan !

B. Segiempat Beraturan

1. JAJAR GENJANG : adalah segi-4 yang sisi-sisinya sepasang-sepasang sejajar.

(ABCD)Sifat-sifat :

1. Sisi-sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar

2. Sudut-sudut yang berhadapan sama besar

3. Kedua diagonal saling memotong ditengah-tengah

2. PERSEGI PANJANG : adalah suatu jajar genjang yang salah satu sudutnya siku-siku.

(ABCD)Sifat-sifat :

1. Sisi-sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar

2. Keempat sudutnya siku-siku

3. Kedua diagonalnya sama panjang

4. Kedua diagonal saling memotong ditengah-tengah

3. (DABC)BELAH KETUPAT : adalah suatu jajar genjang yang dua sisinya berturutan sama panjang.

Sifat-sifat :

1. Sisi-sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar

2. Sudut-sudut yang berhadapan sama besar

3. Kedua diagonal saling memotong ditengah-tengah

4. Kedua diagonal saling berpotongan tegak lurus

5. Diagonalnya membagi sudut atas dua bagian yang sama

4. PERSEGI (BUJUR SANGKAR) adalah segi-4 yang keempat sisinya sama panjang dan sudutnya siku-siku.

(DABC)Sifat-sifat :

1. Sisi-sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar

2. Keempat sudutnya siku-siku

3. Kedua diagonalnya sama panjang

4. Kedua diagonal saling memotong ditengah-tengah

5. Kedua diagonal saling berpotongan tegak lurus

6. Diagonalnya membagi sudut atas dua bagian yang sama

5. TRAPESIUM adalah segi-4 yang sepasang sisinya sejajar.

(DABCE)

Sifat-sifat :

1. Sepasang sisinya sejajar (AB//DC)

2. Sisi tegak : AD dan BC

3. CE : tinggi trapesium

(DBCAE)Trapesium samakaki :

1. Kedua sisi tegak sama panjang (AD=BC)

2. Kedua sudut alasnya sama besar ( A = B )

3. Kedua diagonalnya sama panjang (AC = BD)

(DABC)

Trapesium siku-siku :

1. Salah dua sudutnya siku-siku

6. LAYANG-LAYANG adalah segi-4 yang sepasang-sepasang sisinya sama panjang.

(ABCD)

Sifat-sifat :

1. Sepasang sisinya sama panjang (AB=BC dan CD=DA)

2. Kedua diagonalnya saling berpotongan tegak lurus

3. Salah satu diagonalnya ( BD) membagi dua sama panjang diagonal lainnya (AC).

4. Sepasang sudut yang berhadapan sama besar (A=C)

V. LUAS BANGUN DATAR

Luas bangun datar adalah daerah/permukaan yang dibatasi oleh sisi-sisi bangun yang tertutup.

Persegi/bujur-sangkar satuan adalah bangun persegi yang panjang sisinya satu satuan dan mempunyai luas sebesar satu satuan luas. Jika panjang sisi adalah 1 cm, maka luas persegi adalah 1cm persegi ( 1 cm2).

Luas suatu bangun adalah banyaknya bujur-sangkar satuan yang terdapat pada permukaan bangun tersebut.

Luas : 6 x 6 satuan luas Luas : 9 x 6 satuan luas

(SS2)

Luas bujur-sangkar bersisi S adalah panjang sisi x sisi atau S2.

(P x LLP)

Luas persegi-panjang dengan panjang P dan lebar L adalah panjang x lebar atau P x L

LUAS SEGITIGA : x panjang alas x panjang tinggi

(tinggi)

(alas)

Segitiga-segitiga yang mempunyai panjang alas dan tinggi sama, maka luasnya juga sama

(alastinggi) (alastinggi)LUAS JAJARAN GENJANG : panjang alas x tinggi

LUAS BELAH KETUPAT : x diagonal pendek x diagonal panjang

(diagonal pendek)

(diagonal panjang)

LUAS TRAPESIUM : tinggi x jumlah sisi-sisi sejajar = t (a+b)

(b)

(t)

(a)

(diagonal pendek) (diagonal panjang)LUAS LAYANG-LAYANG : x diagonal pendek x diagonal panjang

VI. SEGI BANYAK

Segi banyak ( segi n ) adalah bangun yang dibatasi oleh n buah sisi. Segi n dikelompokkan atas segi n tak beraturan dan segi n beraturan. Unsur-unsur segi n : sisi , titik sudut dan diagonal. Diagonal adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang tidak berturutan. Pada segi-n terdapat n buah sisi dan n buah titik sudut. Segi-banyak disebut juga POLIGON

(titik sudutdiagonalsisi).

Nama-nama poligon menurut banyaknya sisi :

Banyak sisi

Nama poligon

Banyaknya sisi

Nama poligon

3

segitiga

8

oktagon

4

segiempat

9

nonagon

5

pentagon

10

dekagon

6

heksagon

12

dodekagon

7

heptagon

n

n-gon

Dalil : Dari sebuah titik sudut suatu segi n dapat ditarik n-3 buah diagonal.

Bukti :

(A)Pada suatu segi-n, tentukan sebuah titik-sudut, misal sudut A. Buatlah ruas garis melalui titik A dan titik sudut yang lain, maka terdapat buah ruas garis. Dua ruas garis (yang titik-titiknya berturutan dengan A) merupakan 2 buah sisi dari segin tersebut. Jadi banyaknya ruas garis yang merupakan diagonal yang melalui titik A adalah (n-1) 2 = n - 3

Dalil : Banyaknya diagonal dalam segi n adalah n (n-3)

Bukti :

Pada segi-n, dari satu titik sudut dapat dibuat (n-3) diagonal. Dari n buah titik sudut dapat dibuat n( n-3) diagonal. Setiap diagonal dihitung/digambar dua kali, satu dibuat berdasarkan titik sudut sebagai pangkal ruas garis dan satu lagi dibuat berdasarkan titik sudut sebagai ujung ruas garis.

Jadi banyak semua diagonal yang dapat dibuat dalam segi n adalah n (n-3) buah diagonal.

Dalil : Jumlah sudut dalam suatu segi n adalah (n-2).1800

(A)Bukti :

Dalam segi n , tentukan satu titik sudut dan gambarkan semua diagonal yang melalui titik sudut tersebut , maka akan terbentuk sebanyak (n-2) buah segitiga.

Jumlah sudut-sudut dalam segitiga adalah 1800, maka jumlah sudut dari (n-2) buah segitiga adalah (n-2).1800.

Jadi jumlah sudut-sudut dalam segin adalah (n-2).1800

SEGI-BANYAK BERATURAN

(Segi enam beraturansudut- luarsudut- dalam)

Segi banyak beraturan adalah segi-n yang semua sisinya sama panjang atau semua sudutnya sama besar.

Dalil : Besar sebuah sudut-dalam segi-n beraturan adalah 1/n.(n-2).1800

Bukti : Jumlah sudut-sudut dalam segin adalah (n-2).1800. Pada segi-n beraturan, besar n buah sudut-dalam-nya sama besar, maka besar setiap sudut-dalam segi-n adalah :

1/n x (n-2)1800.

Dalil : Jumlah semua sudut-luar segi n beraturan adalah 3600

Bukti : Besar sebuah sudut-dalam dan sebuah sudut-luar segi n adalah 1800. Terdapat n buah titik sudut, maka jumlah n pasangan sudut-dalam dan sudut-luar segi-n adalah n x 1800. Sedangkan jumlah n sudut-dalam segi n adalah (n-2) x 1800. Jadi jumlah n sudut-luar segi n adalah (n x 1800) ((n-2) x 1800) = 2 x 1800 = 3600.

VII. LINGKARAN

Lingkaran adalah kumpulan titik-titik pada bidang yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu yang disebut pusat lingkaran.

Unsur-unsur lingkaran :

O : pusat lingkaran

OA = OB = OC : jari-jari (radius)

AC : garis tengah (diameter)

ED , EF : talibusur

AOB : sudut pusat

DEF : sudut keliling

m : juring atau sektor

n : tembereng

: busur kecil

: busur besar

Jika suatu jari-jari (garis tengah) yang tegak lurus pada suatu talibusur ( OD AB ) , maka :

AM = BM

OAM = OBM

AOM = BOM

Jika OM AB dan ON DC dan OM = ON, maka panjang talibusur AB = talibusur DC

Jika dua buah busur sama panjang , maka :

Sudut pusatnya sama besar (AOB=COD)

Talibusurnya sama panjang (AB=CD)

Talibusur berjarak sama ke posat lingkaran (OM=ON)

Dalam suatu lingkaran, panjang suatu busur dan luas suatu juring sebanding dengan besar sudut-sudut pusatnya.

Sudut keliling adalah sudut yang titik sudutnya terletak pada keliling lingkaran dan kaki sudutnya merupakan talibusur lingkaran () .

Sudut pusat lingkaran adalah sudut yang titik sudutnya berada pada pusat lingkaran ().

Sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama besarnya sama.

Sudut keliling besarnya sama dengan setengah dari sudut pusat yang menghadap busur yang sama.

=

Sudut yang terbentuk dari perpotongan talibusur dan berada di luar lingkaran : P

Sudut yang terbentuk dari perpotongan talibusur dan berada di dalam lingkaran : CQB

Garis singgung lingkaran : garis yang memotong lingkaran di satu titik.

Garis singgung dan jari-jari saling tegak lurus .

OM PM dan ON PN.

Dari satu titik P di luar lingkaran, dapat ditarik dua garis singgung pada lingkaran tersebut.

Terbentuklah bangun layang-layang garis singgung PMON, dengan : PM = PN dan PNO = PMO =900

Garis singgung persekutuan

Lingkaran-lingkaran yang bersinggungan dari dalam mempunyai sebuah garis singgung persekutuan (g) , sedang lingkaran-lingkaran yang bersinggungan di luar mempunyai 3 buah garis singgung persekutuan (g1, g2, dan g3 ). Garis singgung g1 tegak lurus pada garis yang menghubungkan pusat-pusat lingkaran tersebut (g1O1O2). Panjang garis singgung AB=CD.

Terdapat dua buah garis singgung persekutuan pada dua buah lingkaran yang saling berpotongan (g1, dan g2). AB = CD. PQ adalah talibusur persekutuan dan tegak lurus pada O1O2 ( garis sentral ) . Jika kedua lingkaran tidak saling berpotongan, maka terdapat 4 buah garis singgung yaitu 2 garis singgung luar (g1, dan g2) , dengan AB=CD dan 2 garis singgung dalam (g3, dan g4) dengan EF=GH.

LINGKARAN DAN SEGITIGA

Titik pusat lingkaran luar suatu segitiga adalah perpotongan garis sumbu setiap sisi-sisinya yang merupakan talibusur lingkaran. Panjang jari-jari lingkaran tersebut adalah R.

, dengan L = luas segitiga

Segitiga-segitiga yang salah satu sisinya adalah garis tengah suatu lingkaran, pastilah merupakan segitiga siku-siku, dengan sudut siku-sikunya berada pada keliling lingkaran.

Lingkaran dalam segitiga adalah lingkaran yang menyinggung sisi-sisi segitiga dari sebelah dalam, atau sisi-sisi segitiga tsb merupakan garis singgung lingkaran. Jika panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga adalah r , maka , dengan L = luas segitiga dan s = keliling segitiga

Keliling lingkaran adalah panjang busur pada lingkaran penuh = 2 R , dengan

R : jari-jari lingkaran dan = 3,14159265....

Luas lingkaran = R2

LINGKARAN DAN SEGIEMPAT

Segiempat Talibusur adalah segiempat yang sisi-sisinya merupakan talibusur-talibusur dalam satu lingkaran.

ABCD adalah segiempat talibusur.

AB, BC, CD dan DA adalah talibusur

Pada segiempat talibusur berlakulah :

DAB = BCE

A + C = 1800

B + D = 1800

Jumlah sudut dalam segi-4 talibusur =3600

Dalil Ptolomeus : Pada segiempat talibusur, hasil kali diagonal-diagonalnya sama dengan jumlah hasil kali sisi-sisi yang berhadapan.

AC x BD = AB x DC +AD x BC

Segiempat Garis-singgung adalah segiempat yang sisi-sisinya merupakan garis singgung pada satu lingkaran

ABCD adalah segiempat garis singgung.

AB, BC, CD, dan DA adalah garis-garis singgung pada lingkaran yang berpusat di O.

Pada segi-4 garis-singgung berlakulah jumlah sisi-sisi yang berhadapan sama panjang.

AB + CD = AD + BC

SOAL-SOAL

A. SUDUT

1. Jumlah A dan B adalah .192 16' 48". Keduanya berbanding 1 : 5. Hitunglah sudut-sudut tsb.

2. Selisih dua sudut 38 49' 40" dan perbandingannya 3 : 7. Hitung besar masing-masing sudut

3. Jumlah kedua sudut A dan sudut B adalah 172 48' 25" dan berbanding sebagai 2 : 3. Hitunglah besar sudut penyiku A dan sudut pelurus sudut B.

4. Bila sudut pelurus A sama dengan 56 19' 18 dan sudut penyiku B adalah 36 42' 19". Hitunglah A - B.

5. Jumlah A dan B = 194 49' 56 dan selisihnya 33 36' 12". Hitunglah A dan B.

6. Jumlah A dan B adalah 179 44' 44", sedangkan sudut penyiku A = 48 44' 32". Hitung B.

7. A sama dengan 2 x sudut pelurusnya. Berapakah besar A.

8. ( B D EF A C Gambar 1 ) A = 68 53 42" dan B = 14 16' 24". Sudut manakah yang basarnya = 2 x B + 2/3 xA ?

9. Sudut manakah yang sama dengan 1/7 kali sudutpelurusnya ?

10. Sudut BAC = 90, sudut DAE = 90; sudut EAC = 29. Hitunglah sudut lainnya. (lihat Gambar 1.)

11. Berapakah besar sudut antara kedua jarum pada jam yang menunjuk pukul 6, pukul 9, pukul setengah 12 dan pukul 07.45 ?

B. GARIS-GARIS SEJAJAR DAN PERBANDINGAN SEHARGA GARIS-GARIS

( g h f e d c a b)

12. Pada gambar di samping, b = 36 19'45". f = 2 x b. Berapakah besar sudut-sudut lainnya?

13. Pada gambar di samping jika b = 11/13 sudut penyikunya. Hitunglah sudut-sudut yang lain.

( A d c b B a C g h m n D l k p o)

14. Pada gambar di samping garis AB dan CD sejajar. Diketahui b = 56 27'42" dan , a = 2/3 x b. Hitunglah sudut lainnya.

15. Pada ABC ditarik sebuah garis sejajar dengan AB, yang memotong sisi AC dan BC berturat-turut di D dan E.

a. Jika AD = 9 cm; DC = 6 cm; EC = 7,2 cm. Hitunglah BE

b. Jika AD = 9 cm; DE = 6 cm; AB = 20 cm. Hitunglah DC

c. Jika AD = 9 cm; DC = 6 cm; BC = 20cm. Hitunglah CE.

d. Jika AB = 20 cm; DE = 8cm ;AC = 15 cm.Hitunglah AD

16. Pada ABC, sisi AB= 16 cm, BC= 18 cm dan AC=12. D terletak pada AC, sehingga AD = 8 cm. Ditarik DE //AB (E pada BC) dan dari E garis EF // CA (F pada AB). Hitung CE, CD, DE dan EF.

17. Sisi-sisi sejajar suatu trapezium panjangnya 10 cm dan 14 cm, sisi-sisi tegak 6 cm dan 7 cm. Berapa jauhkah sisi-sisi tegak tsb. harus diperpanjang agar bertemu?

18. Dari trapesium ABCD (AB // DC) diketahui: AB=10, DC=AD = 6, CB=8. E terletak pada DA, sehingga DE = 2. Tarik EF // AB (F pada BC). Hitunglah BF, CF dan EF.

19. Garis yang menghubungkan pertengahan-pertengahan sisi-sisi tegak suatu trapesium, sejajar dengan alas dan panjangnya sama dengan setengah jumlah sisi-sisi yang sejajar. Buktikan!

20. Gambarkan suatu sudut ABC. Tarik dalam sudut ini sebuah garis BY dan tentukan dua buah titik P dan Q pada BY. Tariklah PD dan QE tegak lurus pada BC serta PF dan QG tegak lurus pada BA. Uktikan bahwa PD/QE = PF/QG

21. Sisi-sisi sejajar suatu trapesium panjangnya 8cm dan 12 cm. Salah sebuah kakinya dibagi atas tiga bagian jang sama dan melalui titik-titik bagi itu tarik garis-garis sejajar dengan alas. Hitunglah panjang garis2 itu.

22. Diketahui ABC. Pada BC terletak titik D, sehingga CD =2/5 BC dan pada AB titik E, sehingga AE = 1/3 AB.. AD dan CE berpotongan di S. Hitunglah AS/SD dan CS/SE

23. Pada trapesium ABCD (AB//CD) : P dan Q pertengahan-pertengahan diagonalnya. Buktikan, bahwa PQ // AB dan PQ = (AB-CD).

24. Pada diagonal AC jajaran-genjang ABCD terletak sebuah titik P. PA:PC = 2:5. Melalui P ditarik sebuah garis sejajar dengan AB. Jika diketahui AB =21 cm, hitunglah kctiga bagian dari garis sejajar itu, yang dibagi oleh AD, AC, BD dan BC.

25. Dari sebuah titik P pada alas AB dibuat segitiga samakaki ABC ditarik PD//AC dan PE//BC. Buktikan: PD: PE= PB:PA.

26. Dalam trapesium ABCD (AB//DC) ditentukan sembarang titik E pada kaki AD. Dari E ditarik sebuah garis sejajar dengan AB, yang memotong AC, BD dan BC berturut-turut di titik-titik P, Q dan R. Buktikan: EQ = PR.

C. LUKISAN

27. Bagilah sebuah garis l yang diketahui panjangnya menjadi 5 bagian yang sama.

28. Bagilah sebuah sudut yang telah ditentukan besarnya menjadi 8 bagian yang sama!

29. Diketahui sebuah garis melali titik M dan N, dan sebuah titik P di luar garis tsb. Lukislah sebuah garis yang melalui P tegak lurus ke MN.

30. Gambarkan 4 buah segitiga yang sisi-sisinya 7 cm, 8 cm dan 9 cm. Pada segitiga ke-1 lukislah ketiga garis beratnya, pada segitiga ke-2 lukislah garis-garis baginya, pada sgitiga ke-3 lukislah ketiga garis tingginya dan pada segitiga ke-4 lukislah ketiga garis sumbunya.

31. Gambarkan sebuah segitiga siku-siku, kemudian gambarkan ketiga garis berat dan garis baginya !.

32. Gambarkan sebuah sudut yang besarnya 75, 135 dan 165.

33. Gambarkan sebuah garis melalui puncak suatu segitiga dan juga sejajar dengan alas.

34. Gambar ABC. Bagi dua (sama tengah) sisi AB kemudian melalui titikbagi ini buatlah sebuah garis sejajar dengan alas AC.

35. Gambarkan sebuah sudut yang besarnya 90, 45, 6730' dan 9730'.

36. Gambarkan sebuah segitiga samasisi dengan sisinya 6 cm.

37. Gambarkan segitiga siku-siku dengan sisi siku-sikunya 5 cm dan 7 cm.

38. Gambarkan sebuah segitiga samakaki yang alasnya 6 cm dan kakinya 8 cm.

39. Gambarkan sebuah segitiga yang alasnya 6 cm dan sudut-sudut yang terletak pada sisi tsb. Masing-masing 45 dan 60.

40. Gambarkan sebuah segitiga samakaki yang alasnya 6 cm dan sudut alas 45.

41. Pada sebuah segitiga diketahui dua sudutnya, bentuklah sudut yang ketiga.

42. Pada sebuah segitiga siku-siku diketahui sebuah sudut lancipnya. Bentuk sudut-lancip lainnya.

43. Dari sebuah segitiga samakaki diketahui sudut alasnya; bentuk sudut puncak segitiga itu.

44. Gambarkan sebuah segitiga yang sisinya masing-masing 5 cm dan 7 cm sedang sudut yang diapitnya adalah 60.

45. Gambarkan sebuah segitiga siku-siku, bila diketahui sebuah sisi siku-siku dan sudutlancip yang dihadapan sisi tsb.

46. Gambarkan sebuah segitiga samasisi, bila diketahui garistingginya.

D. SEGITIGA (PR) dikerjakan ya

47. Dalam ABC : AD garisbagi A dan ED // BA. Buktikan bahwa ADE samakaki (Gambar 4.).

48. Pada kaki-kaki sudut O ukurkan OA = OB. Di A dan B gambarkan masing-masing garis tegaklurus pada kaki sudut sehingga berpotongan di S. Buktikan ASB samakaki (Gambar 5).

( A S O BGambar 5) ( C E D A BGambar 4)

49. Dari samakaki ABC diketahui sudut puncak C = 36. Garis AD adalah garisbagi A. Buktikan : AB = AD = DC.

50. Buktikan, bahwa di dalam dua segitiga yang sama dan sebangun: a). garis2-bagi yang seletak sama panjangnya. b). garis-berat yang seletak sama panjangnya. c). garis tinggi yang seletak sama panjangnya.

51. Buktikan bahwa dalam segitiga samakaki garis-garis bagi sudut-alas sama panjangnya.

52. Buktikan bahwa dalam segitiga samakaki garis-garis berat sudut-alas sama panjangnya.

53. ABC samakaki dgn A sudut puncak. Sisi BA diperpanjang sehingga BA = AD. Buktikan DC BC.

54. Dalam ABC dan A1B1C1 , sudut A dan sudut A1 adalah sudut-sudut alas yang terbesar. Jika diketahui: sudut A =sudut A1 dan c : c1 = (a - b) : (a1 - b1) buktikan bahwa ABC dan A1B1C1 sebangun.

55. Diagonal-diagonal trapesium ABCD (AB//CD) berpotongan di S. Buktikan: ABS ~ CDS.

56. Dalam segitiga ABC ditarik garis-garis tinggi AD dan BE. Buktikan : a) ADC dan BEC; b) AD:BR = AC:BC ; c)DC:EC = AC:BC ; d) DEC ~ ABC.

57. Pada segitiga ABC diketahui: AB =10cm, BC = 12 cm, dan CA = 8 cm. Pada BC terletak titik E, sehingga CE = 2cm , pada CA terletak titik D sehingga CD = 3 cm.

Buktikan CED ~ CAB dan dapatkah sekarang DE dihitung ?

58. Sisi-sisi sejajar suatu trapesium samakaki panjangnya 6 cm dan 10 cm , diagonalnya 12 cm. Hitunglah keempat bahagian diagonal-diagonal itu.

59. Pada trapesium ABCD (AB//CD) diketahui : AB=12cm, DC = 4 cm. Garis tegak lurus AE ke BC panjangnya 7,5cm. Hitunglah panjang garis tegak lurus DP pada kepanjangan BC.

60. Pada kaki AB suatu ABC terletak sebuah titik P dan pada kaki AC sebuah titik Q. AP = 8, AQ = 12. Jarak dari P ke-AC ialah 6. Hitunglah jarak dari Q ke-AB.

61. Bila dalam suatu trapesium siku-siku diagonal yang terpendek menjadi pembanding tengah antara sisi-sisi yang sejajar maka diagonal ini tegak lurus pada sisi condong.

62. Dalam ABC ditarik garis CD, sehingga ACD = B Buktikanlah: AC pembanding tengah antara AD dan AB.

63. AD dan BE garis-garis tinggi dalam ABC. Buktikanlah: DEC ~ ABC (Ambil dahulu sudut A lancip, sesudah itu sudut A tumpul).

64. Dipertengahan M hypotenusa BC segitiga sikusiku ABCdibuat sebuah garis tegak lurus, yang memotong AB dan AC berturut-turut di P dan Q. Buktikanlah: MA2 = MP x MQ.

65. Alas dan sebuah kaki suatu segitiga samakaki berbandig sebagai 2 dan 3. Tingginya 16 cm. Hitunglah luas segitiga itu.

66. Suatu trapezium siku=siku, panjang sisi-sisi sejajar adalah 6 cm dan 12 cm, tingginya 8 cm. Hitunglah panjang sisi miring, diagonal-diagonal dan luasnya.

67. Sisi-sisi sejajar suatu trapezium samakaki adalah 6 cm dan 9 cm, luasnya 30 cm2. Hitunglah panjang sisi tegaknya.

68. Diketahui segitiga siku-siku ABC; sudut C= 300 dan AB = 36cm. Hitung keliling segitiga ABC.

69. Pada segitiga ABC diketahui sudut A =300, AC= 20 cm dan AB = 36 cm. Hitunglah luas dan keliling segitiga tersebut.

70. Pada segitiga ABC diketahui : AB = 6 cm dan BC = 8 cm. Hitunglah panjang AC, jika B = 300 ; 450 ; 600; 1200 dan 1350.

71. Pada segitiga ABC diketahui A =300, B = 450, tc = 8 cm.Hitunglah panjang sisi-sisinya dan luas sgitiga ABC.

72. Dalam persegi panjang ABCD terletak sebuah titik P. Buktikan bahwa PA2 + PC2 = PB2 + PD2.

73. Segitiga ABC siku-siku di A. Buktikan bahwa !

74. Berapakah keliling suatu ABC jika diketahui sudut A = 450, AB=42 cm dan garis tinggi pada AB = 24 cm ?

75. Luas ABC = 756 cm2; CD = garis tinggi ; AD = 45 cm dan DB = 18 cm. Hitunglah keliling segitiga itu.

76. Segitiga ABC sama sisi dengan sisinya 12 cm. Hitunglah panjang garis tingginya dengan mempergunakan rumus garis tinggi dan tidak menggunakan rumus tsb.

77. Segitiga ABC lancip. Tarik garis tinggi BF dan hubungkan F dengan P dan Q yang masing-masing merupakan pertengahan AB dan BC. Buktikan bahwa jarak dari P ke FQ dan ke BQ adalah sama.

78. Pada ABC diketahui AB = 10 cm, BC = 13 cm, dan CA = 17 cm. Titik P terletak pada perpanjangan AB sehingga AP : PB = 7 : 5. Hitunglah panjang CP.

79. Segitiga ABC samakaki dengan puncak C. Tarik sebuah garis melalui C ke sembarang titik D pada alas. Buktikan CD2 = AC2 AD x DB !

80. Pada ABC, titik D terletak pada AB sehingga AD : DB = 2 : 1. Buktikan bahwa CD membagi dua sama panjang garis berat BE (petunjuk : tariklah garis melalui E sejajar CD).

E. SEGI - N :

81. Pada suatu persegi, selisih antara diagonal dan sisinya adalah 4 cm. Tentukan panjang sisinya.

82. Jumlah pangkat 2 diagonal-diagonal jajaran genjang sama dengan jumlah pangkat dua sisi-sisinya. Buktikan !

83. Diagonal-diagonal segi-4 ABCD berpotongan di S. Jika pertengahan-pertengahannya adalah SA, SB, SC dan SD dihubungkan, maka terjadi suatu segi-4 yang luasnya dari segi-4 ABCD. Buktikan.

84. Diagonal-diagonal segi-4 ABCD berpotongan di S. Luas segi-4 ini adalah 84. Diketahui AS=5, BS=3, CS=7 dan DS=2. Hitung luas keempat segitiga dalam segi-4 ABCD.

85. Jumlah sudut dari suatu segi-n adlah 12600. Tentukan segi-n tersebut dan banyaknya diagonal.

86. Tiap-tiap sudut suatu segi banyak beraturan besarnya 1720. Tentukan segi-n tersebut !.

87. Dua buah sudut suatu segi-5 masing-masing 900 dan sudut lainnya berbanding 4, 5, dan 6. Hitunglah sudut-sudut tersebut.

88. Setiap sudut luar segi banyak beraturan besarnya 400. Berap banyakkah diagonalnya ?

89. Sudut-sudut luar suatu segi banyak berbanding 2, 3, 4, 5 dan 6. Berapakah besar sudut-sudut dalamnya ?

90. Segi banyak manakah yang jumlah sudutdalamnya 5 x jumlah sudut-sudut luarnya.

F. LINGKARAN :

91. Dari titik P di luar sebuah lingkaran gambarkan garis singgung PA. PA = 48 cm. Jari-jari lingkaran R = 20 cm. Hitung jarak dari P ke pusat M.

92. Seperti soal no 1. dengan ketentuan bahwa PA = 14 cm, PM = 17,5 cm. Hitunglah jari-jari R.

93. Jika PM = 6,5 cm dan R = 3,6 cm. Hitung garis singgung PA.

94. Di dalam suatu lingkaran dengan jari-jari = 3,9 cm dibuat sebuah talibusur AB yang panjangnya 7,2 cm. Hitunglah panjang garis MD, yang ditarik dari pusat M dan tegak lurus pada tali busur AB.

95. Seperti soal no.4, tetapi R = 32,5 cm, dan MD = 12,5 cm. Hitung panjang talibusur AB.

96. Jika panjang talibusur AB = 10 2/3 cm dan garis tegak lurus MD = 4 cm. Hitung jari-jari R.

97. Terdapat dua lingkaran berpotongan. Jari-jari masing-masing lingkaran tersebut R = 36 cm dan r = 20 cm. Tali busur persekutuan AB = 24 cm. Hitung jarak kedua pusat M dan N.

98. Seperti soal no 7, tetapi R= 41 cm dan r = 15 cm dan MN = 52 cm. Hitunglah panjang talibusur persekutuan AB.

99. Terdapat dua lingkaran M dan N yang berpotongan. Tali busur persekutuannya = 18 dm sedang potong-potongn MN oleh pembagian tali busur itu masing-masing 19 dan 11 dm. Hitung jari-jari R dan r (cukup dua angka di belakang koma).

100. Terdapat dua lingkaran M dan N yang berpotongan. Talibusur persekutuan AB = 30 cm; garis MN = 56 cm; dan R 39 cm. Hitung jari-jari lingkaran yang terkecil.

101. Seperti soal no 10, AB=48 cm, MN=17 cm dan r=25 cm. Hitung jari-jari lingkaran yang terbesar.

102. Dari dua lingkaran bersinggungan diketahui bahwa R=25 cm dan r = 16 cm. Hitung panjang garis singgung luar AB.

103. Lingkaran M dan N bersinggungan di dalam. MN = 65 cm. Garis singgung dari M ke lingkaran yang terkecil itu = 50 cm. Hitunglah jari-jari kedua lingkaran itu.

104. Jari-jari dua lingkaran M dan N yang bersinggungan di dalam masing-masing sama dengan 48 dan 10,5 cm. Hitunglah panjang garis singgung dari M ke lingkaran yang terkecil itu.

105. Dari sebuah titik P di luar lingkaran M ditarik kedua garis singgung PA dan PB. PA=36 cm. Dan R = 10,5 cm. Hitunglah garis AB.

106. Seperti soal no 16, hitung sekarang luas segiempat PAMB.

107. Dua lingkaran M dan N berpotong-potongan. R = 8,8 cm; r = 6 cm sedangkan MN = 10 cm. Hitunglah garis singgung luar AB.

108. Dalam suatu lingkaran ditarik dua talibusur AB dan CD berpotongan di E. Diketahui besar busur AD = 8944', busur DB = 5628' dan besar busur CB= 12536'. (a). Hitung sudut AEC (b). Hitung sudut ADC

109. Soal no. 18, jika sudut BAD 2715'46" ; sudut AEC 7619'25". Hitunglah besar busur AD.

110. Lihat gambar di samping, besar busur BD = 5617' dan besar busur AC = 1036'. Busur DC : busur AB = 2 : 3. Hitung sudut A, B, dan C.

111. Pada gambar yang sama, jika Sudut B = 10836', sudut A = 5418' dan besar CD= 4824'. Hitung besar AB, BD, dan AC.

112. Pada gambar di samping, AB menyinggung lingkaran tersebut. Besar busur AD = 5748', besar busur DE = 4x besar bususr AD dan besar bususr EF = 1/3 besar busur AD. Hitunglah sudut-sudut A, B dan C.

113. Terdapat tiga titik A, B dan C yang membagi keliling lingkaran atas busur-busur dengan perbandingan 5:6:7. Hitung besar busur masing-masing dan sudut pusat yang menghadap busur tersebut.

114. Terdapat dua lingkaran sepusat. Jari-jari lingkaran kecil adalah r = 24 cm, dan jari-jari lingkaran yang besar R= 1,5 r. Hitunglah luas daerah gelang yang terbentuk.

115. Dalam lingkaran yang berpusat di O, dua buah talibusur AB dan CD yang panjangnya sama berpotongan di S. Buktikan busur AC = busurBD, AS=DS dan CS = BS.

116. Dari titik P diluar Lingkaran O ditarik sebuah garis singgung PA dan sebuah garis yang memotong lingkaran di B dan C. Buktikan : P=ABC - ACB.

117. P adalah pertengahan busur AB dalam lingkaran M, dihubungkan dengan Q yang pertengahan busur BC. PQ memotong AB di E dan memotong BC di F. Buktikan bahwa BE dan BF sama panjang.

Daftar Pustaka :

[1] Rich, Barnett 2005. Schaums Easy Outlines : GEOMETRI. Penerbit Erlangga. Jakarta

[2] Ringensberg, Lawrence A. & Presser, Richard S. 1971, GEOMETRY, John Wiley & Sons, Inc.

[3] Siagian, P. 1951. Ilmu Ukur. Kementrian Pendidikan, Pengajaran dan Kebudayaan RI

[4] Wijdenes, P. 1959, Planimetri, disadur oleh Kuipers,L dan Wirasto, Noordhoff Kollff NV. Jakarta

GE R2 66009(LIN)10

CD

BC

AB

DS

CR

BQ

AP

=

=

//

//

//

A

E

C

D

B

A

E

C

D

B

A

E

C

F

B

D

A

E

C

F

B

D

RS

QR

PQ

=

=

PEQ

D

QFR

D

RGS

D

RG

QF

PE

=

=

GRS

FQR

EPQ

=

=

RSG

QRF

PQE

=

=

2

1

.

2

b

b

a

1

2

.

1

b

b

a

2

1

.

2

b

b

a

2

2

1

.

2

b

a

b

a

+

2

2

.

2

1

.

2

b

b

a

b

a

+

2

)

2

1

(

2

b

b

b

a

+

2

2

a

b

2

2

a

b

(

)

1

-

n

O

C

B

A

D

E

F

m

n

O

C

B

A

D

E

F

m

n

O

AB

M

C

D

O

A

B

M

C

D

O

A

B

M

CD

N

O

A

B

M

C

D

N

O

A

B

CD

O

A

B

C

D

P

A

B

C

D

Q

P

A

B

C

D

Q

O

N

M

P

O

N

M

P

O

2

O

1

M

A

C

B

D

g

1

g

2

g

3

O2

O1

M

A

C

B

D

g1

g2

g3

A

B

C

D

P

Q

R

S

E

F

G

g

O

1

O

2

M

g

O1

O2

M

O

2

O

1

Q

g

1

g

2

A

C

B

D

P

P

O2

O1

Q

g1

g2

A

C

B

D

O

1

g

1

g

2

g

4

g

3

O

2

A

B

C

D

E

F

H

G

O1

g3

g1

g2

g4

O2

A

B

C

D

E

F

H

G

ab

c

AB

C

R

t

c

a

b

c

A

B

C

R

tc

A

B

C

D

P

Q

R

S

E

F

G

AB

C

o

D

E

F

A

B

C

o

D

E

F

R

pR

R

pR

R

R

AB

C

D

E

A

B

C

D

E

AB

C

D

O

A

B

C

D

O