VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK...

1

MATEMATIKA

01

SET 1PERSAMAAN KUADRAT

A. BENTUK UMUMax2 + bx + c = 0, a ≠ 0

B. MENCARI AKAR/SOLUSIa. Faktorisasib. Rumus ABC

C. OPERASI DASAR AKAR

a. x xba1 2+ = -

b. x xca1 2 =×

c. x xD

a1 2 = –−

D. SIFAT-SIFAT AKARa. Akar real D ≥ 0

1. akar berlainan D > 0 2. akar kembar D = 0 3. akar rasional D = k2, k = 1, 2, 3, … 4. akar irasional D ≠ k2, k = 1, 2, 3, …

MATERI DAN LATIHAN SOAL SBMPTN

ADVANCE AND TOP LEVEL

WWW.E-SBMPTN.COM

2

b. Akar tidak real D < 0c. Sifat akar lain, analisis sifat x1 + x2 dan x1 . x2

E. MENYUSUN PERSAMAAN KUADRATPersamaan kuadrat yang memiliki akar-akar x1 dan x2 adalahx2 – (x1 + x2)x + x1 . x2 = 0

Contoh Soal

TIPE SOAL: OPERASI AKAR1. Misalkan x1 dan x2 merupakan akar-akar positif dari persamaan x2 – mx + n = 0. Jika x1

2 – x22

= -3 dan x1 : x2 = 1 : 2, maka m : n = .... (Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236)A. 0,5B. 1C. 1,5D. 2E. 2,5

Pembahasan:• x1 > 0, x2 > 0 x1 + x2 > 0 x1x2 > 0 m > 0 n > 0

• xx

x x1

22 1=

12

= 2→ • x1

2 – x22 = -3

x12 – (2x1)2 = -3

-3x12 = -3

x1 = 1 x2 = 2 • x1

+ x2 = m → m = 3

•

mn

=32

= 1,5

Jawaban: C

Contoh SoalContoh SoalContoh SoalContoh Soal

WWW.E-SBMPTN.COM

3

Latihan Soal

1. Akar-akar positif dari persamaan x2 + mx + n = 0 adalah α dan β. Jika 2β – α = 12 dan α2 = 4β, maka m + n = .... (Soal SIMAK UI Tahun 2012)

Jawaban: 39

2. Jika akar-akar persamaan x2 – ax + b = 0 memenuhi persamaan 2x2 – (a + 3)x + (3b – 2) = 0, maka .... (Soal SIMAK UI Tahun 2009)(1) a = 3(2) b = 2(3) 2a – 2ab + 3b = 0(4) ab = 5

Jawaban: (1), (2), dan (3) benar

3. Jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan x2 – 2x + p = 0 adalah 98, maka nilai p adalah .... A. -20B. -15C. -1D. 15E. 20

Jawaban: B

4. Persamaan kuadrat x2 – ax = 5a2 memiliki akar-akar x1 dan x2. Nilai x ax a

x ax a

1

1

2

2++

+− −

adalah .... A. 1B. 2C. 3D. 4E. 5

Jawaban: B

5. Akar dari persamaan (x – 2014)2 + (x – 4029)2 – (x + 1)2 = 0 adalah ....A. (2014, 10074)B. (2013, 10073)C. (-2014, 10074)D. (-2014, 2014)E. (-2014, -10004)

Jawaban: A

WWW.E-SBMPTN.COM

4

TIPE SOAL: SIFAT AKAR6. Misalkan α dan β merupakan akar-akar dari persamaan x2 – bx + 6 = 0. Jika 1

α dan

1β

adalah akar-akar dari persamaan x2 – 4x + c = 0, maka akar-akar dari persamaan x2 – (bc)x

+ bc = 0 merupakan .... (Soal SIMAK UI Tahun 2013)A. akar kembar dan positifB. akar kembar dan negatifC. dua akar berbeda dan berlainan tandaD. dua akar berbeda dan positifE. dua akar berbeda dan negatif

Jawaban: A

7. Himpunan bilangan k sehingga x2 + 2(k – 1)x + k + 5 = 0 memiliki setidaknya satu akar riil positif adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2012)A. {k R | k ≤ -1}B. {k R | -∞ < k < ∞}C. {k R | 0 < k ≤ 1}D. {k R | -1 < k < ∞}E. {k R | k > 0}

Jawaban: A

8. Misalkan m adalah bilangan bulat sehingga setiap persamaan 2x2 + (m + 1)x – 2m = 0 dan persamaan x2 – (2m2 – m + 1)x – 3m – 66 = 0 mempunyai akar-akar riil yang berlainan tanda, maka hasil kali semua m yang memenuhi adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2011)A. -1B. 0C. 14364D. 143640E. tak hingga

Jawaban: E

9. Misalkan α dan β adalah akar-akar dari persamaan x2 + 2(k – 3)x + 9 = 0 dengan α ≠ β, maka himpunan semua bilangan k sehingga -6 < α < 1 dan -6 < β < 1 adalah .... (Soal SI-MAK Tahun 2011)A. {k ∈ R | 6 < k < 6,75}B. {k ∈ R | 1 < k < 6,75}C. {k ∈ R | 1 < k < 9}D. {k ∈ R| 6,75 < k < 9}E. {k ∈ R | 6 < k < ∞}

WWW.E-SBMPTN.COM

5

10. Akar-akar persamaan x2 + (m – 2)x + 14

m = 0 adalah x1 dan x2. Batas-batas nilai m agar 1 < x1 < 2 dan 2 < x2 < 3 adalah ....

A. -

45

< < 0m

B. 15

< <45

m

C. 0 < <45

m D. 1 < m < 4 E. -1 < m < 6

Jawaban: C

TIPE SOAL: MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT11. Jika x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan kuadrat 2x2 + 4x – 2 = 0, persamaan kuadrat

yang mempunyai akar-akar x13 + x2

3 dan x15 + x2

5 adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2011)A. x2 + 96x – 1.148 = 0B. x2 – 96x – 1.148 = 0C. x2 – 82x + 840 = 0D. x2 + 82x + 840 = 0E. x2 + 96x + 1.148 = 0

Jawaban: E

12. Suku banyak yang akarnya 2 5− adalah .... (Soal SNMPTN Tahun 2010)A. x4 + 14x2 + 9 = 0B. x4 – 14x2 + 9 = 0C. x4 – 14x2 – 9 = 0D. x4 + 14x2 + 89 = 0E. x4 – 14x2 + 89 = 0

Jawaban: B

13. Persamaan kuadrat yang mempunyai akar a dan b sehingga 1

+1

=7

10a b adalah .... (Soal

SNMPTN Tahun 2010)A. x2 + 7x – 10 = 0B. x2 + 7x + 10 = 0C. x2 – 10x + 7 = 0D. x2 – 7x – 10 = 0E. x2 – 7x + 10 = 0

Jawaban: E

WWW.E-SBMPTN.COM

6

14. Jika f(x) = 3x2 – 6x + 1, maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya pangkat 3 dari akar-akar f(x) = 0 tersebut adalah .... (Soal SNMPTN Tahun 2010)A. 27x2 + 6x + 1 = 0

B. x2 + 24x – 14

= 0

C. x2 – 6x + 1

27= 0

D. 2x2 + 12x + 2

27 = 0

E. x2 – 24x + 1

27 = 0

Jawaban: C

TIPE SOAL: ANTARRUANG LINGKUP15. Diberikan suku banyak p(x) = ax2 + bx + 1. Jika a dan b dipilih secara acak dari selang [0,

3], maka peluang suku banyak tersebut tidak mempunyai akar adalah .... (Soal SNMPTN Tahun 2012 (Persamaan kuadrat, Peluang, Integral))A. 1

B. 34

C. 24

D. 14

E. 0 Jawaban: B

WWW.E-SBMPTN.COM

9

MATEMATIKA

02

Set 2MATRIKS

A. ORDO MATRIKSAm × n, m baris, n kolom

B. TRANSPOSE MATRIKSBaris ke i ↔ kolom ke iNotasi: At

C. PENJUMLAHAN/PENGURANGAN MATRIKSsyarat : ordo samacara : jumlah/kurang unsur seletak

D. PERKALIAN ANGKA DENGAN MATRIKScara : kalikan angka dengan semua unsur matriks

E. PERKALIAN MATRIKS DENGAN MATRIKSsyarat : Am × n × Bn × p × Cm × p

kolom = baris cara : baris ke i × kolom ke j dengan pola kali tambah



WWW.E-SBMPTN.COM

10

F. IDENTITAS/MATRIKS SATUAN

I I2 2 3 3=1 00 1

, =1 0 00 1 00 0 1

× ×

sifat : A.I = I.A = A

G. INVERS MATRIKSNotasi: A-1

Sifat-sifat : 1. A.A-1 = A-1.A = I 2. (AB)-1 = B-1A-1

3. (A-1)-1 = A

cara : AA

A-1 =1

adj× [ ]

|A| determinan A dimana|A2 × 2| = ad – bc|A3 × 3| gunakan skema SarrusBila |A| = 0, matriks A tidak punya invers/singular

Contoh Soal dan Latihan

1. Jika A B=1 01 1

, =1 10 1

, dan A B

a bc d

2012 2012+ =

, maka a + b + c + d = .... (Soal

SIMAK UI Tahun 2012)

A. 2012B. 2014C. 4024D. 4028E. 6039

Pembahasan:

A =1 01 1

perhatikan pola

A

A A A

2

3 2

=1 01 1

1 01 1

=1 02 1

= =1 02 1

1 01 1

×

=1 03 1

dst =1 0

1maka =

1 02012 1

n 2012An

A

Contoh Soal dan LatihanContoh Soal dan LatihanContoh Soal dan LatihanContoh Soal dan Latihan

WWW.E-SBMPTN.COM

11

A

A A A

2

3 2

=1 01 1

1 01 1

=1 02 1

= =1 02 1

1 01 1

×

=1 03 1

dst =1 0

1maka =

1 02012 1

n 2012An

A

dengan cara yang sama B2012 =1 20120 1

, maka

A Ba bc d

2012 2012+ =2 2012

2012 2=

, sehingga

a + b + c + d = 4028Jawaban: D

2. Jika A B C=-2 41 -1

, =-1 -2-1 1

, =0 -1-1 2

, dan AB C

x yz w

=

, maka (x – 2y – 3z + 3w)2

adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2010)

A. 0B. 36C. 63D. 144E. semua salah

Jawaban: A

3. Jika x dan y memenuhi persamaan -1 54 -6

=-1324

xy

dan xa

=-1 54 -6

, maka nilai a

adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2009)

A. 42B. 3C. -3D. -14E. -42

Pembahasan:Cara 1

-1 54 -6

=-1324

=-1 54 -6

-13-1

xy

xy 224

=1

-14

-6 -5-4 -1

-1324

= -1

xy

xy 114

-4228

=3-2

xy

WWW.E-SBMPTN.COM

12

-1 54 -6

=-1324

=-1 54 -6

-13-1

xy

xy 224

=1

-14

-6 -5-4 -1

-1324

= -1

xy

xy 114

-4228

=3-2

xy

a x=-1 54 -6

= 3 6 - 20 = -42( )

Cara 2Aturan Cramer

a bc d

xy

pq

p bq da cb d

y

a pc qa bc d

= x = ,

=

→

dari soal tampak jelas

a

a

=-13 524 -6

= 78 - 120 = -42

Jawaban: E

4. Diketahui persamaan matriks

3 2 31 4 23 -1 2

=134

13

xyz

bila xa

zb

=3 2 31 4 23 -1 2

, =3 2 31 4 23 -1 2

,

maka nilai a + b adalah ....Jawaban: A

WWW.E-SBMPTN.COM

13

5. Hasil jumlah akar-akar persamaan yang dinyatakan dengan x x x

x

2 + 3 2 +1+ 5 4

= 3 adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2009)

A. -12

B. -12

C. 1

D. 32

E. 4Jawaban: A

6. Hubungan yang benar antara matriks A =

1 -22 1

dengan matriks B =

2 4-4 2

adalah ....

(Soal SIMAK UI Tahun 2009)(1) B = 2A(2) A = B-1

(3) A = Bt

(4) B = 10A-1

Jawaban: 4 saja yang benar

7. Jika diketahui matriks B memenuhi persamaan 3 13 2

2 51 3

=2 14 5

B , maka determi-

nan dari B-1 adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2009)

A. 2

B. -12

C. 0

D. -12

E. -2

Jawaban: B

WWW.E-SBMPTN.COM

14

8. Persamaan garis lurus yang dinyatakan dengan 11 2 11 3 2

= 0y x

memenuhi sifat-sifat ....

(Soal SIMAK UI Tahun 2009 (Matriks, Persamaan Garis))(1) memotong sumbu x di titik (-1, 0)(2) memiliki gradien 1(3) melalui (1, 2)(4) tegak lurus garis x + y + 1 = 0

Jawaban: (1), (2), (3), dan (4) benar

9. Jika tan 1

1 tancos

sinxcos=

12

2xx

xx

ab

, dimana b = 2a, maka 0 ≤ x ≤ π yang memenuhi

adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2009 (Matriks, Trigonometri))

(1) π6

(2) π

12

(3) 56π

(4) 512

π

Jawaban: (2) dan (4)

10. Jika f x x( ) = 3 2 +1, maka invers dari 16

4 4 ’ 112

’ 4 - ’ 112

6

f f

f f

( )

( )

adalah .... (Soal UM UGM

Tahun 2008 (matriks/turunan))

A. -0, 9 -0,10, 6 -0, 6

B. 0, 9 -0, 6

0,1 0, 6

C. 0, 6 0, 6-0,1 0, 9

D. 0, 6 -0, 60,1 0, 9

E. -0, 6 0, 6-0,1 -0, 9

Jawaban: C

WWW.E-SBMPTN.COM

17

MATEMATIKA

03

Set 3PERTIDAKSAMAAN

A. PERTIDAKSAMAAN IRRASIONALa. Bentuk 1

f x g x( ) ( )≤

syarat: f(x), g(x) ≥ 0 cara:

f x g x

f x g x

( ) ( )( ) ( )

2 2

≤

→ ≤

b. Bentuk 2

f x g x( ) ( )≤

syarat: g(x) ≥ 0 cara: permisalan

B. PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAKa. Bentuk 1 |f(x)| < |g(x)|



WWW.E-SBMPTN.COM

18

cara: |f(x)|2 < |g(x)|2

→f(x)2 < g(x)2

b. Bentuk 2

f x

g xa

( )( )

<

syarat: g(x) ≠ 0 cara: |f(x)| < a |g(x)| →f(x)2 < g(x)2

c. Bentuk 3 |f(x)| + |g(x)| < h(x) cara: kembalikan pada defi nisi nilai mutlak

f xf x f x

f x f x( )

( ) ( )( ) ( )

, ‡0

- , < 0

Contoh Soal

1. Himpunan penyelesaian dari -1 + 3− ≥x x adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2013)A. {x|x ≤ 1}B. {x| -5 ≤ x ≤ 2} C. {x|x ≤ i} D. {x|x ≤ -2} E. {x| -3 ≤ x ≤ -2}

Pembahasan:• -1 + 3− ≥x x syarat - 1 – x ≥ 0 x ≤ -1 ….. Hp1

• Penyelesaian

-1 -1 + 2

- + 2 misal : -1 =

+ 2 0

+ 2 1 0

2

2

− ≥ − −

⇒ ≥ −

⇒ − ≥

⇒ − ≥

⇒

x x

p p x p

p p

p p

p

( )

( )( )≤≤ − ≥

⇒ ≤ − − ≥

⇒ − ≥

2 atau 1

-1- 2 atau -1 1

tidak mungkin -1 1

- 1

2 2

p

x x

x( ) ( ) ( )−− ≥

≤ −

∩

≤ − ∈

x 12 ......... Hp

Hp = Hp Hp

= 2,

2

total 1 2

x

x x x R{ }

Contoh SoalContoh SoalContoh SoalContoh SoalContoh SoalContoh Soal

WWW.E-SBMPTN.COM

19

-1 -1 + 2

- + 2 misal : -1 =

+ 2 0

+ 2 1 0

2

2

− ≥ − −

⇒ ≥ −

⇒ − ≥

⇒ − ≥

⇒

x x

p p x p

p p

p p

p

( )

( )( )≤≤ − ≥

⇒ ≤ − − ≥

⇒ − ≥

2 atau 1

-1- 2 atau -1 1

tidak mungkin -1 1

- 1

2 2

p

x x

x( ) ( ) ( )−− ≥

≤ −

∩

≤ − ∈

x 12 ......... Hp

Hp = Hp Hp

= 2,

2

total 1 2

x

x x x R{ } Jawaban: D

2. Himpunan penyelesaian dari 3 3 > 5− −x x adalah ....Jawaban: -1 < x < 2

3. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan x x x2 21 3 + 2− ≤ − adalah .... (Soal SIMAK

UI Tahun 2009)

A. x x x≤ ≥-1atau12

B. {x|x ≥ 1 atau x ≤ -1} C. {x|x ≤-1} D. {x|-1 ≤ x ≤ 1} E. x x

12

1≤ ≤

Jawaban: B

4. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x x x x2 5 + 6 < 2 4 < 3 + 4− − adalah ....Jawaban: 2 < x < 4

5. Himpunan penyelesaian x x x x− −4 < 4 adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2011)A. x > 5B. x > 4C. 4 < x < 5D. 0 < x < 4E. 0 < x < 4 atau x > 5

Jawaban: x > 5

WWW.E-SBMPTN.COM

20

SOAL NILAI MUTLAK6. Nilai-nilai x yang memenuhi x – 2 ≤ |1 – 2x| adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2012) A. semua bilangan riieal

B. x ≥ -1 atau x ≤ C. -1 ≤ x ≤ 1D. x ≤ -1 atau x ≥ 1E. x ≤ atau x ≥ 1Pembahasan:

Definisi 1 21 2 ,

12

2 1, >12

−− ≤

−x

x x

x x

maka penyelesaian untuk soal di atas dibagi ke dalam dua domain

untuk x ≤ 12

maka

x – 2 ≤ |1 – 2x|⇒ x – 2 ≤ 1 – 2x⇒ 3x ≤ 2⇒ x ≤ 1

x ≤ 12∩x ≤ 1 → Hp1 x ≤

12

untuk x >

12

maka

x – 2 ≤ |1 – 2x|⇒ x – 2 ≤ 2x – 1⇒ -x ≤ 1⇒ x ≥ -1 ∩x >

12→ Hp2 x ≥ 1

Hp gab = Hp1 ∩Hp2

Jawaban: E

7. Himpunan penyelesaian dari xx

+ 2 <15

adalah ....Jawaban: 0 < x < 3

8. Himpunan penyelesaian dari x

x + 21≤ adalah ....

Jawaban: -1 ≤ x ≤ 2

WWW.E-SBMPTN.COM

21

9. Himpunan penyelesaian dari 2 3

30

2x x

x

− −−

≥ adalah ....Jawaban: x < -3 atau atau x > 3

10. Nilai x yang memenuhi adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2010) A. 0 ≤ x ≤ 4B. x ≤ -2 atau x ≥ 4C. x ≤ 0 atau x ≥ 4D. x ≤ 1 atau x > 3E. x < 1 atau x ≥ 4

Jawaban: C. x ≤ 0 atau x ≥ 4

WWW.E-SBMPTN.COM

23

MATEMATIKA

04MATERI DAN LATIHAN SOAL UJIAN NASIONAL (UN)

TOP LEVEL - XII SMA

Set 4SISTEM PERSAMAAN

A. SISTEM PERSAMAAN LINEARSistem persamaan linear adalah kumpulan persamaan yang terdiri dari 2 atau lebih peu-bah yang memiliki derajat tertinggi satu.Bentuk umum sistem persamaan linear 2 peubah ax + by = c px + qy = rBentuk umum sistem persamaan linear 3 peubah ax + by + cz = p dx + ey + fz = q gx + hy + iz = rSolusi sistem persamaan linear dicari dengan menggunakan proses eliminasi atau substi-tusi atau eliminasi-substitusi.

B. SISTEM PERSAMAAN GABUNGANSistem persamaan jenis ini memiliki bentuk bermacam-macam, ada bentuk persamaan linear 2 variabel dengan fungsi kuadrat, contoh:2x – y = 7y + 2x2 + x = 1atau bentuk persamaan linear multivariat, contoh:4xy + y = 12x + 3xy = 2dan lain-lain.

WWW.E-SBMPTN.COM

24

Sistem persamaan n variabel, umumnya membutuhkan n persamaan agar variabelnya bisa ditemukan. Metode memecahkan sistem persamaan gabungan umumnya dengan cara substitusi.

Contoh Soal

1. Diketahui dua sistem persamaan linear berikut mempunyai solusi yang sama:

ax y bx y

+ 2 = +1+ = 3

dan 2 + = + 2

+ 3 = 3

2x y ax y

maka nilai a – b adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2013)A. -9B. -5C. 0D. 5E. 9

Pembahasan:Karena solusinya sama, maka, kita eliminasix + 3y = 3 x + y = 3 – 2y = 0 y = 0, x = 3kita substitusikan (3, 0) keax + 2y = b + 1 → 3a – b = 1 ….. (1)2x + y = a2 + 2 → a2 = 4 a = ±2a = 2, substitusi ke persamaan (1), b = 5sehingga a – b = -3a = -2, substitusi ke persamaan (1), b = -7sehingga a – b = 5

Jawaban: D

2. Jika 3 + 5 = b

3 = 216

b log4

3

x y

x y−

dan 3log a = x + y, maka a = .... (Soal SIMAK UI Tahun 2009)

A. 2B. 7C. 9

Contoh SoalContoh SoalContoh SoalContoh SoalContoh SoalContoh Soal

WWW.E-SBMPTN.COM

25

D. 12E. 16

Jawaban: C

3. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan: x – y = 7 y = x2 + 3x – 10

adalah {(x1, y1), (x2, y2)}. Nilai y1 + y2 adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2009)A. -16B. -2C. 8D. 12E. 20

Pembahasan:x – y = 7 y = x – 7 …. (1)Persamaan (1) substitusi ke y = x2 + 3x – 10, menjadi x2 + 3x – 10 = x – 7⇒ x2 + 2x – 3 = 0⇒ (x +3)(x –1) = 0⇒ x1 = -3 atau x2 = 1dari persamaan (1)y1 = -10 atau y2 = -6maka y1 + y2 = -16

Jawaban: A

4. Dari sistem persamaan123x + 321y = 345321x + 123y = 543nilai x2 + y2 adalah ....

Jawaban: 52

5. Diberikan sistem persamaan berikut.

x kykx y

+ = 3+ 4 = 6

Banyaknya bilangan bulat k sehingga sistem tersebut mempunyai solusi x > 1 dan y > 0 adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2013)A. 0B. 1C. 3

WWW.E-SBMPTN.COM

26

D. 5E. tak hingga

Pembahasan:Lakukan eliminasi x + ky = 3 × k x + ky = 3 × 4kx + 4y = 6 × 1 kx + 4y = 6 × k

kx k y kkx y

k y k

yk

ky

kk

+ = 3+ 4 = 6

- 4 = 3 6

=3 6

4di mana > 0

3 64

> 0

2

2

2

2

−

−

−

−

−

−

( )

33 2+ 2 2

> 0

1+ 2

> 0

> -2 .... Hp1

kk k

kk

−

−

( )( )( )

4 + 4 = 12

+ 4 = 6

4 = 12 6

=6 2

2 2 +

=6+ 2

d

2

2

x ky

k x ky k

k x k

xk

k k

xk

−

− −

−

−

( )( )

( )( )

ii mana > 16+ 2

> 1

6+ 2

+ 2+ 2

> 0

- + 4+ 2

> 0

-2 < < 4 .... Hp2

x

k

kkk

kk

k

−

k bilangan bulat yang memenuhi hanya k = 35(1 buah bilangan)

Jawaban: D

6. Jika diketahui sistem persamaany ax

x y

= + 3

+ = 12 2

mempunyai dua pasang penyelesaian (x, y), syarat untuk nilai a adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2013)A. -2 2 < < 3 2a B. a a< -2 2 atau > 2 2 C. a > 0D. a > 2 2 E. semua bilangan riil

Jawaban: B

WWW.E-SBMPTN.COM

27

7. Diketahui x dan y adalah bilangan bulat yang memenuhi xy + x + y = -33 dan x2y + xy2 = 162. Nilai |x – y| adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2012)A. 3B. 6C. 9D. 11E. 12

Pembahasan:xy + x + y = -33x2y + xy2 = 162 – xy(x + y) = 162Dua persamaan di atas bisa dipenuhi oleh xy = -27 dan x + y = -6nilai x dan y yang memenuhi dua persamaan baru di atas adalah x = -9 dan y = 3maka |x – y| = 12

Jawaban: E

8. Misalkan x dan y bilangan bulat yang memenuhi sistem persamaan berikut:

x xy y x yx y

2 2+ 3 + 2 5 4 = 0+ 2 = 4− − −

maka x2 – y2 = .... (Soal SIMAK UI Tahun 2012)A. -6B. -3C. 0D. 3E. 6

Jawaban: D

9. Jumlah nilai-nilai x yang memenuhi persamaan berikut.(x – 2)(y – 1) = 3(x + 2)(2y – 5) = 15A. -4B. -3C. 3D. 4E. 5Pembahasan:

x y

yx

yxx

− −

−−

−

2 1 = 3

1=3

2

=+1

2.... (1)

( )( )

WWW.E-SBMPTN.COM

28

(1) disubstitusi ke (x + 2)(2y – 5) = 15, menjadi

xx

x

x x x

x x

+ 22 + 2

25 = 15

+ 2 -3 +12 = 15 2

- 3 + 6 + 24 = 12

( )

( )( ) ( )−

−

⇒ −

⇒ 55 30

- 3 9 + 54 = 0

+ = -ba

= -3

2

1 2

x

x x

x x

−

⇒ −

Jawaban: B

10. Diketahui sistem persamaan(x – 1)(y – 2) = 12(y – 2)(z – 3) = 20(z – 3)(x – 1) = 15x, y, z > 0Nilai 3x + 2y + 3z adalah .... A. 48B. 36C. 24D. 12E. 6

Jawaban: A

WWW.E-SBMPTN.COM

1

MATEMATIKA

05MATERI DAN LATIHAN SBMPTN

TOP LEVEL - XII SMA

Set 5FUNGSI

Soal-soal matematika IPA yang terkait dengan fungsi, umumnya terkategori ke dalam tipe soal berikut1. Fungsi komposisi dan invers2. Menentukan daerah asal dan hasil suatu fungsi3. Fungsi kuadrat yang lebih kompleks4. Menentukan rumus fungsi

Definisi, sifat, dan rumus yang terkait adalah1. (fog)(x) = f [g(x)]2. Domain (fog)(x) adalah irisan dari domain g(x) dan fungsi akhir dari (fog)(x)3. Domain fungsi secara umum adalah x ∈ R kecuali

a. y = g x( ) di mana g(x) ≥ 0

b. y = h x

g x( )( )

di mana g(x) ≠ 0 c. y = log g(x) di mana g(x) > 0

4. Range fungsi secara umum adalah y ∈ R kecuali

a. y = g x( ) di mana y ≥ 0

b. y = c

g x( ) di mana y ≠ 0

WWW.E-SBMPTN.COM

2

5. y = f(x) ⇔ x = f-1(y) 6. (fog)-1(x) = (g-1of-1)(x) 7. Menentukan fungsi dari soal cerita, bisa melalui langkah-langkah berikut

a. Baca soal dengan teliti.b. Tuliskan semua peubah yang disebutkan dalam soal.c. Tuliskan apa yang diketahui.d. Perlu dianalisa apa jenis fungsinya apakah fungsi linear, kuadrat, rasional, dan lain-

lain.

Contoh Soal

TIPE SOAL: FUNGSI, KOMPOSISI, DAN INVERS

1. Soal SIMAK UI Tahun 2012 Diberikan fungsi f : R → R dengan f(2log 4x) = 2x + 1. Jika f-1 adalah invers dari fungsi f,

maka nilai f-1(3) = . . . .A. 5B. 3C. 2D. 1E. -1Pembahasan:f(2log 4x) = 2x + 1makaf-1(2x + 1) = 2log 4xset 2x + 1 = 3 2x = 2 x = 1substitusi x = 1 kef-1(2x + 1) = 2log 4xf-1(3) = 2log 4 = 2

Jawaban: C

2. Soal SIMAK UI Tahun 2011 Jika diberikan g(x) = x +1 , maka untuk sembarang t selalu berlaku . . . .

1) g(t2 – 1) = |1|

2) g(t2 – 2) = t 2 1−

WWW.E-SBMPTN.COM

3

3) g(t2 – 3) mungkin tak terdefinisi

4) g(2t) = 2 +1t Pembahasan:1) g(x) = x +1

g(t2 – 1) = t t2 21 + 1 =− = |t| benar

2) g(t2 – 2) = t t2 22 + 1 = 1− − benar

3) g(t2 – 3) = t t2 23 + 1 = 2− − benar

mungkin tak terdefinisi bila

- 2 < < 2t

4) g(2t) = 2 + 1t benar Jawaban: 1), 2), 3), dan 4) benar

3. f-1(x) dan g-1(x) menyatakan invers fungsi f(x) dan g(x). Jika h(x) = 2x + 1 dan (fogoh)(x2) = 8x2 + 2, maka nilai (g-1of-1)(2) = . . . .A. 2B. 1

C. 12

D. 14

E. 18

Pembahasan: (fogoh)(x2) = 8x2 + 2

⇒

⇒

⇒−

⇒

fogoh x x

fog x x

fog xx

f

( )( )( )( )

( )( )

= 8 + 2

2 +1 = 8 + 2

= 81

2+ 2

oog x x

fog xx

g of xx

g of

( )( )

( ) ( )

( )( )

( )

= 4 2

=+ 24

=+ 24

2

-1

-1 -1

-1 -1

−

⇒

⇒

⇒ (( ) = 1

Jawaban: B

WWW.E-SBMPTN.COM

4

4. Invers dari fungsi f(x) = 8 + 60 +150 +1256 +12 8

3 2

3 2

x x xx x x− −

adalah f-1(x) = ax

x

13

13

5

+ b

−, maka nilai a + b

adalah . . . .A. -2B. -1C. 0D. 1E. 2Pembahasan:

8 + 60 +150 +1256 +12 8

=

2 5

2=

2 52

=

2

3 2

3 2

3

3

13

x x xx x x

y

x

xy

xx

y

− −

−

−

−−

( )( )

xx y x− −5 = 21

3 ( ) 2 = 5 2

2 = 5 2

=5 2

2

=2 5

2

mak

13

13

13

13

13

13

13

13

x y x y

x y y

xy

y

xy

y

− −

− −

−

−

−

−

( )

aa =2 5

2

-1

13

13

f xx

x( ) −

−

a = 2b = -2makaa + b = 0

Jawaban: C

5. Soal SNMPTN Tahun 2009 Jika fungsi f memenuhi persamaan 2f(x) + f(9 – x) = 3x untuk setiap x bilangan real, maka

nilai f(2) adalah . . . .

WWW.E-SBMPTN.COM

5

A. 11B. 7C. -3D. -5E. -11Pembahasan:2f(x) + f(9 – x) = 3xsubstitusi x = 2 2f(2) + f(7) = 6 . . . (1)substitusi x = 72f(7) + f(2) = 21 . . . (2)

(1) × 2 4f(2) + 2f(7) = 12(2) × 1 2f(7) + f(2) = 21 – 3f(2) = -9 f(2) = -3

Jawaban; C

6. Diketahui f(x) = 11

−x

, bila f2(x) = f(f(x)), f3(x) = f(f(f(x))) dan seterusnya, maka nilai f34(5) adalah . . . .

A. 45

B. 35

C. 25

D. 15

E. 0

Pembahasan:

f xx

f xx

xf x

x

f x fx

x

xxx

( )

( ) ( )

( )

= 11

=1

=-1

1

=1

=

11

1

-1

2

−

−↔

−

−−

−

−xx

x xx x

f x f xx

f x f f f x f f x

=1

1=

-11

= = -1

1

= =

2 -1

3 -1

− −− −

−( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ))( )( ) ( )( )

( )

( ) ( )

=

= ...

= =1

5 = 5 =5 1

5=

45

34 33

34

x

f x f f x

f xx

x

f f

−

−

WWW.E-SBMPTN.COM

6

f xx

f xx

xf x

x

f x fx

x

xxx

( )

( ) ( )

( )

= 11

=1

=-1

1

=1

=

11

1

-1

2

−

−↔

−

−−

−

−xx

x xx x

f x f xx

f x f f f x f f x

=1

1=

-11

= = -1

1

= =

2 -1

3 -1

− −− −

−( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ))( )( ) ( )( )

( )

( ) ( )

=

= ...

= =1

5 = 5 =5 1

5=

45

34 33

34

x

f x f f x

f xx

x

f f

−

−

Jawaban: A

7. Soal Fungsi Kuadrat Jika titik puncak fungsi kuadrat y = (a – 1)x2 + acx + 4 adalah 1,

394

2a

, maka jarak antar-

titik potong fungsi kuadrat tersebut dengan sumbu x adalah . . . .

A. 219

1101 B. 21

22

C. 23

21

D. 2 13

E. 23

21 Pembahasan:

xp = 1 → -2

= 1ba

-2 1

= 1

- = 2 2

=2 2

-

aca

ac a

ca

a

−

−−

( )

y ap =

394

2 → b ac

aa

a c a

aa

a c a a

22

2 22

2 2

4-4

=394

4 1 4

-4 1=

394

16 +16 = -39

−

− × − ×−

−

( )( )

22

2

2

22

2

1

2 216 +16 = -39 1

4 1 16 1

a

aa

aa a a

a a

−

−− −

− − −

( )( )

( )

( ) ( )) ( )( )

( )( )

= -39 1

4 1 16 = -39

39 + 4 20 = 0

13 +10 3 2 = 0

=

2

2

2

a a

a a

a a

a a

a

−

− −

−

−

--1013

atau =23

a

WWW.E-SBMPTN.COM

7

b aca

a

a c a

aa

a c a a

22

2 22

2 2

4-4

=394

4 1 4

-4 1=

394

16 +16 = -39

−

− × − ×−

−

( )( )

22

2

2

22

2

1

2 216 +16 = -39 1

4 1 16 1

a

aa

aa a a

a a

−

−− −

− − −

( )( )

( )

( ) ( )) ( )( )

( )( )

= -39 1

4 1 16 = -39

39 + 4 20 = 0

13 +10 3 2 = 0

=

2

2

2

a a

a a

a a

a a

a

−

− −

−

−

--1013

atau =23

a

Jawaban: E

TIPE SOAL: DOMAIN DAN RANGE

8. Soal SIMAK UI Tahun 2010

Jika f(x) = 1

1x − dan g(x) = x , maka daerah asal dan daerah hasil dari (gof)(x) adalah . . . .

1) daerah asal {x | -∞ < x 1, 1 < x < ∞} 2) daerah asal {x | 1 < x < ∞} 3) daerah hasil {x | -∞ < y 1, 1 < y < ∞} 4) daerah hasil {x | 0 < y < ∞}

Pembahasan:g[f(x)]• cari domain input yaitu f(x)

f(x) = 1

1x −

memiliki domain x ∈ R, x ≠ 1 . . . Hp1

• cari domain g[f(x)]

g

x x1

1=

11− −

syarat 1

10

x −≥

x > 1 atau bisa ditulis

1 < x < ∞ . . . Hp2

WWW.E-SBMPTN.COM

8

• Domain komposisi = Hpgabung = Hp1 ∩ Hp2 = {x | 1< x < ∞} • Untuk daerah hasil Rf = {y ∈ R, y ≠ 0} maka Rgof = {y ∈ R, y > 0}

9. Misalkan diketahui g(x) = log x, h(x) = 4 2− x , daerah asal (goh)(x) adalah . . . .A. -2 ≤ x ≤ 2B. -2 < x < 2C. -∞ < x < -2D. 2 < x < ∞E. x ∈ R Pembahasan:(goh)(x) = g[h(x)]1) cari domain h(x)

h(x) = 4 2− x

h(x) terdefinisi bila 4 – x2 ≥ 0 x2 – 4 ≤ 0 (x + 2)(x – 2) ≤ 0 -2 ≤ x ≤ 2 . . . Hp1

2) cari domain g[h(x)]

g[h(x)] = log 4 2− x

g[h(x)] terdefinisi bila 4 – x2 > 0 x2 – 4 < 0 (x + 2)(x – 2) < 0 -2 < x < 2 . . . Hp2

Sehingga domain {x | x ∈ R, -2 < x < 2}Jawaban: B

WWW.E-SBMPTN.COM

9

TIPE SOAL: MENENTUKAN FUNGSI

10. Soal UMB Tahun 2013

POPULASI SATWA LANGKA Seorang peneliti mengamati populasi satwa langka di suatu hutan tertutup. Populasinya

pada tahun ke-t diperkirakan sekitar P(t) satwa, dan pada saat diamati (t = 0) adalah sekitar 850 satwa.

Berdasarkan data dan prediksi pengamat diperoleh suatu rumus hampiran untuk P(t) yang berlaku untuk setiap saat t. Suatu rumus hampiran untuk besarnya laju perubahan dari P terhadap t adalah

P tt

tt’ =

4.800

+16, 0 12

2 2( )( )

≤ ≤

dengan P(0) adalah populasi satwa pada saat diamati. Rumus hampiran untuk banyaknya satwa di hutan tertutup pada tahun ke-t, 1 ≤ t ≤ 12

adalah P(t) = . . . .

A. 1.0004.800

+162−t

B. 1.150

4.800+162−

t C. 1.000

2.400+162−

t D. 850

2.400+162−

t

E. 8002.400

+162−t

Pembahasan:

P(t) = ’P t dt( )∫

=4.800

+16

= 4.800 +16

2 2

2 -2

t

tdt

t t dt

( )( )

∫

∫

= 4.800 +16+16

2

= 2.400+16

-1+

2 -22

2 -1

td t

tC

( ) ( )

( )∫

WWW.E-SBMPTN.COM

10

P tt

C( ) = -2.400

+16+2

Karena P(0) = 850, maka

P(0) = -2.400

16 + C = 850

= -150 + C = 850 C = 1.000

P(t) = 1.0002.400

+162−t

Jawaban: C

Latihan Soal

1. Soal SNMPTN Tahun 2009

Jika fx

x8

1+=

, dengan x ≥ 0, maka f(4) = . . . .

A. 36B. 25C. 16D. 9E. 1

2. Soal SNMPTN Tahun 2009 (Fungsi Simetris) DIberikan fungsi f memenuhi persamaan 3f(-x) + f(x – 3) = x + 3 untuk setiap bilangan real

x. Nilai 8f(-3) adalah . . . .A. 24B. 21C. 20D. 16E. 15

3. Diketahui f(x) = ax7 + bx3 + cx – 5. Jika f(-7) = 7, maka f(7) adalah . . . .

A. -17B. -7C. 14D. 17E. 21

WWW.E-SBMPTN.COM

11

4. Soal UMB Tahun 2013

Daerah hasil dari f(x) = 2 4

42

xx

−−

adalah . . . .A. (-∞, ∞) B. (-∞, -2) ∪ (-2, ∞) C. (-∞, -2) ∪ (-2, 2) ∪ (2, ∞) D. - ,

12

12

,∞ ∪ ∞

E. - , 0 0,12

12

,∞ ∪ ∪ ∞( )

5. UMB 2009

denah kebun bunga

taman bermain

persegipanjang

setengahlingkaran

Pada gambar diperlihatkan taman bermain yang berbentuk persegi panjang. Bagian tengah taman adalah sebuah kebun bunga yang berbentuk gabungan persegi panjang dengan cakram setengah lingkaran. Keliling kebun bunga ini adalah 60 meter dan diameter setengah lingkarannya adalah x meter.

Luas kebun bunga sebagai fungsi kuadrat dari x adalah L(x) = . . . .

A. 3014

+1 2x x− π

B. 3014

+12

2x x− π

C. 30

18

+12

2x x− π

D. 60 + 3018

+12

2x x− π

E. 60 3018

+12

2− − πx x

WWW.E-SBMPTN.COM

1

MATEMATIKA

Set 6BARISAN ARITMETIKA

a. Ringkasan FoRmulaa. Suku ke-n = Un = a + (n – 1)b a = U1 = suku pertama b = bedab. b = U2 – U1 = U3 – U2 = . . . = Un – Un – 1

c. p, q, r barisan aritmetika maka 1. 2q = p + r 2. p + q + r = 3qd. Suku tengah (Ut)

Ua U

tn=

+2

Un = suku terakhir n = banyak bilangan e. Bila U1, U2, U3, . . ., Un barisan aritmetika dengan beda b. Bila di antara 2 bilangan

berdekatan disisipkan k bilangan baru, maka 1. U1 tidak berubah 2. beda berubah menjadi b’, di mana b

bk

’ =+ 1


TOP LEVEL - XII SMA

WWW.E-SBMPTN.COM

2

f. Jumlah n suku pertama (Sn), di mana

1. Sn

a Un n=2

+( )

Untuk suku awal dan akhir diketahui 2. S

na n bn =

22 + 1−( )( )

Untuk beda diketahui 3. Un = Sn – Sn – 1

Contoh Soal

1. Jika suku ke-n dari suatu deret aritmetika adalah Un = log cn (c konstanta positif ), maka U1 + U2 + . . . + Un + . . . + U2n = . . . . (soal umB Tahun 2013)

A. 12

+1 logn n c( )

B. n(n + 1) log c C. n(2n – 1) log c D. n(2n + 1) log c E. 2n(n + 1) log c Pembahasan:Un = log cn

• U1 = a = log c• U2 = log c2

= 2 log c• beda = b = 2 log c – log c = log c

•

Sn

a n b

S n c n c

S n c n

n

n

n

2

2

2

=22

2 + 2 1

= 2log + 2 1 log

= log 2 + 2 1

−

−

−

( )( )( )( )

( ))( )S n n cn2 = 2 1 log−

Jawaban: C

2. Diketahui a2 – b2 + c2 – d2 = 2010 dan a + b + c + d = 2.010. Jika a, b, c, d adalah empat suku pertama dari suatu barisan aritmetika, maka a = . . . . (soal simak ui Tahun 2013)

WWW.E-SBMPTN.COM

3

A. 1.008B. 898C. 788D. 604E. 504

Pembahasan:Misal a, b, c, d barisan aritmetika yang bedanya p a2 – b2 + c2 – d2 = 2.010(a + b)(a – b) + (c + d)(c – d) = 2.010 (a + b)(-p) + (c + d)(-p) = 2.010 -p (a + b + c + d) = 2.010 -p (2010) = 2.010 p = -1sehingga a + b + c + d = 2.010a + (a – 1) + (a – 2) + (a – 3) = 2.010 4a – 6 = 2.010 4a = 2.016 a = 504

Jawaban: E

3. Misalkan f(x) adalah suatu polinomial derajat tiga yang akar-akarnya membentuk barisan aritmetika dengan nilai suku ketiga adalah tiga kali nilai suku pertama; dan jumlah akar-akarnya adalah 12. Maka akar-akar dari f(x + 1) adalah . . . . (soal simak ui Tahun 2011)1) 1 dan 32) 1 dan 53) 3 dan 54) 2 dan 4

Pembahasan:misal akar-akar polinom derajat tiga itu adalah x1, x2, x3 dimana

x3 = 3x1 . . . (1)x1, x2, x3 barisan aritmetika, maka 2x2 = x1 + x3

2x2 = x1 + 3x1 {substitusi (1)} 2x2 = 4x1

x2 = 2x1 . . . (2)jumlah akar-akarnya 12, maka x1 + x2 + x3 = 12 x1 + 2x1 + 3x1 = 12 {substitusi (1) dan (2)} 6x1 = 12 x1 = 2

WWW.E-SBMPTN.COM

4

maka x2 = 4, x3 = 6akar-akar f(x + 1) adalah

x1 – 1, x2 – 1, x3 – 1 yaitu 1, 3, 5Jawaban: a

4. Diberikan dua buah barisan aritmetika (An) dan (Bn). Diketahui jumlah 100 suku pertama dari barisan (An) dengan beda bernilai satu adalah 5.850. Suku pertama kedua barisan adalah sama dan suku terakhir barisan (Bn) sama dengan suku kedua terakhir barisan (An). Jika beda barisan (Bn) adalah 2, maka jumlah barisan (Bn) adalah . . . . (soal simak ui Tahun 2011)A. 2.385B. 2.470C. 2.725D. 2.900E. 2.925 Pembahasan:misal An: U1, U2, U3, . . . , Un , Bn = U1’, U2’, . . . , Um’ S100 = 5.850 b’ = 2 b = 1

S a b

a

aaa

100 =100

22 + 99 = 5.850

50 2 + 99 1 = 5.850

2 + 99 = 1172 = 18

= U

( )

( )( )

11 1= 9 = U ’

misal banyak suku barisan An ada 100maka untuk barisan Bn

Um’ = U99

U1’ + (m – 1)b’ = U1 + 98b (m – 1) 2 = 98 . 1 m – 1 = 49 m = 50maka

S U b50 1=502

2 ’ + 49 ’

= 25 18 + 98 = 2.900

( )

( ) Jawaban: D

WWW.E-SBMPTN.COM

5

5. soal simak ui Tahun 2010 Jumlah p suku pertama dari suatu bilangan aritmetika ialah q dan jumlah q suku pertama

ialah p. Maka jumlah (p + q) suku pertama barisan tersebut adalah . . . .

A. (p + q)

B. p + q

2( )

C. p + q + 1D. -(p + q)E. -(p + q + 1) Pembahasan:

S qp

a p b q

app b pb

q

S pq

a q b

p

p

=2

2 + 1 =

+2 2

= ...(1)

=2

2 + 1 =

2

→ −

−

→ −

( )( )

( )( ) pp

aqq b qb

p+2 2

= ...(2)2

−

(1) dan (2) eliminasi

(1)(2)

+2 2

=

+2 2

=

22

22

××

−

−

qp

apqp qb pqb

q

apqp qb pqb

p

p q pq bq p

pqp q b

q p q p

bp q

pq

2 22 2

2=

2= +

= -2 +

...(3)

−−

−−

( )

( ) ( )( )

( )

WWW.E-SBMPTN.COM

6

Sp q

a p q b

pa p b qb

qa q b pb

p+q =+2

2 + + 1

=2

2 + 1 + +2

2 + 1 +

( ) ( )( )( ) ( )

−

− −(( )

( )( ) ( )( )=2

2 + 1 +2

+2

2 + 1 +2

= + +

substitus

pa p b

pqb qa q b

pqb

q p pqb

− −

ii (3)

= + +-2 +

= - +

p q pqp q

pq

p q

( )

( ) Jawaban: D

6. Jumlah lima puluh suku pertama deret log 5 + log 55 + log 605 + log 6.655 + . . . adalah . . . . (soal snmPTn Tahun 2010)A. log (551150)B. log (525 111225)C. log (2525 111225)D. log (2751150)E. 1.150 log (5) Pembahasan:log 5 + log 55 + log 605 + . . . barisan aritmetika karena log 55 – log 5 = log 605 – log 55 log 11 = log 11 = bdiketahui: a = log 5 b = log 11

S a50

50

=502

2 + 49b

= 25 2log5 + 49log11

= 50log5 +1225log11

= log 5

( )( )

××

×

11

= log 25 11

1225

25 1225

( )( )

Jawaban: C

7. Diketahui barisan dengan suku pertama U1 = 15 dan memenuhi Un – Un – 1 = 2n + 3, n ≥ 2. Nilai U50 + U2 adalah . . . . (soal snmPTn Tahun 2010)

WWW.E-SBMPTN.COM

7

A. 2.688B. 2.710C. 2.732D. 2.755E. 2.762 Pembahasan: Un – Un – 1 = 2n + 3 Un = Un – 1 + 2n + 3n = 2 U2 = U1 + 7 = 22n = 3 U3 = U2 + 9 = U1 + 7 + 9n = 4 U4 = U3 + 11 = U1 + 7 + 9 + 11makaU50 = U1 + S49

di mana S49 jumlah 49 suku pertama dari deret 7 + 9 + 11 + 13 + . . . + U49

S a b49 =492

2 + 48

=492

2 7 + 48 2

= 2.695

( )

( )× ×

maka U50 = U1 + 2.695 = 2.710maka U50 + U2 = 2.732

Jawaban: C

8. Diketahui p, q, r, dan s adalah empat bilangan bulat berurutan yang memenuhi

12

+13

+14

p q r = s. Nilai p + q adalah . . . . (soal snmPTn Tahun 2010)

A. 51B. 52C. 53D. 54E. 56 Pembahasan:p, q, r, s barisan aritmetika dengan b = 1maka q = p + 1 r = p + 2 s = p + 3

WWW.E-SBMPTN.COM

8

12

+13

+14

=

12

+13

+1 +14

+ 2 = + 3 12

p q r s

p p p p( ) ( ) ×

6P + 4P + 4 + 3P + 6 = 12P + 36 13P + 10P = 12P + 36 P = 26 maka q = 27p + q = 53

Jawaban: C

9. Suatu segitiga siku-siku memiliki panjang sisi yang membentuk barisan aritmetika. Jika luas segitiga tersebut adalah 42, maka kelilingnya adalah . . . . (soal umB Tahun 2009) A. 6B. 12C. 13 D. 12 7 E. 15Pembahasan:misal segitiga siku-siku itua – b, a, a + bdengan [a + b]2 = [a – b]2 + a2

a2 + 2ab + b2 = a2 – 2ab + b2 + a2

4ab = a2

Luas = 42, maka

12

b a = 42

12

14

= 42

38

= 42

= 112

= 4 7 = 7

2

2

a

a a a

a

a

a b

− ×

− ×

→

( )

Keliling = K = 3a = 12 7 Jawaban: D

WWW.E-SBMPTN.COM

9

10. Jika akar-akar persamaan suku banyak x4 – 8x3 + 2ax2 + (5b + 3)x + 4c – 3 = 0 diurutkan menurut nilainya dari yang terkecil ke yang terbesar, maka terbentuk barisan aritmetika dengan beda 2. Nilai a + b + c = . . . . (soal simak ui Tahun 2009)A. -3B. 1C. 3D. 5E. 6Pembahasan:misal akar x1, x2, x3, x4 di manax1 < x2 < x3 < x4 atau x1 < x1 + 2 < x 1 + 4 < x1 + 6

x1 + x2 + x3 + x4 = -ba

x1 + x1 + 2 + x1 + 4 + x1 + 6 = 8 4x1 + 12 = 8 x1 = -1makax2 = 1, x3 = 3, x4 = 5

maka polinomnya (x1 + 1)(x2 – 1)(x3 – 3)(x4 – 5) = 0 (x2 – 1)(x2 – 8x + 15) = 0 x4 – 8x3 + 14x2 + 18x – 5 = 0

dapat disimpulkan2a = 14; 5b + 3 = 8; 4c – 3 = -15 a = 7 b = 1 c = -3maka a + b + c = 5

Jawaban: D

11. Jumlah sebuah barisan aritmetika dengan n suku adalah S. Diantara 2 suku disisipkan 4 buah bilangan sehingga terjadi barisan aritmetika baru yang jumlahnya S’. Perbandingan S dan S’ adalah . . . . A. n : 2n + 1B. n : 3n + 1C. n : 5n – 4D. n : 5n + 4E. n : 5n – 3 Pembahasan:Barisan pertama

Sn

a n bn =2

2 + 1−( )( )

WWW.E-SBMPTN.COM

10

Barisan kedua menjadi m suku

b

b b’ =

4 +1=

5

berlaku Um = Un a + (m – 1)b’ = a + (n – 1)b(m – 1) = (n – 1)b – m = 5n – 4maka

SS

na U

ma U

nm

nn

n

m

n

m

= 2+

2+

= =5 4

( )

( )

− Jawaban: C

Latihan Soal

1. Diketahui 3 buah bilangan memiliki perbandingan 2 : 3 : 5. Jika bilangan kedua ditambah 2, maka ketiga bilangan tersebut membentuk barisan aritmetika. Jumlah ketiga bilangan itu adalah . . . .A. 30B. 40C. 60D. 80E. 100

2. Misalkan f(x) adalah suatu polinomial derajat tiga yang akar-akarnya membentuk barisan

aritmetika dengan nilai suku ketiga adalah tiga kali nilai suku pertama dan jumlah akar-akarnya sama dengan 12. Maka sisa dari pembagian f(x + 6) oleh x2 + 1 adalah . . . . (soal simak ui Tahun 2011)

3. Empat buah bilangan a, b, c, dan d membentuk barisan aritmetika. Jika b – a = p + 5, d – c = 2p + 3, dan d = 6, maka nilai a adalah . . . .A. -5B. -10C. -15D. -20E. -25

WWW.E-SBMPTN.COM

11

4. Jika Up = q dan Uq = p, maka Sp + q = . . . .

A. 12

+p q( )

B. 12

+ 2p q( )

C. 12

+ + +1p q p q( )( )

D. 12

+ + 1p q p q( )( )−

E. 1

2p q−( )

WWW.E-SBMPTN.COM

1

MATEMATIKA

Set 7BARISAN GEOMETRI

a. Rumus suku ke-n (un)a. Un = arn – 1

b. Un = Up.rq, n = p + q

B. Rasio (R)

a. rUU

UU

U

Un

n

= = = ... =2

1

3

2

+1

b. rU

Un p qn p

q

= , = −

C. suku Tengah (uT), pada n ganjil

a. U a Ut n= ×

b. tn

=1+

2

d. jumlah n suku peRTama

Sa r

r

a r

rn

n n

=1

1=

1

1

−

−

−

−

( ) ( )


TOP LEVEL - XII SMA

WWW.E-SBMPTN.COM

2

e. deReT geomeTRi Tak hingga (s∞)

a. Sa

r∞ −=

1b. -1 < r < 1 syarat barisan konvergen

F. u1 u2 . . . uT . . . un = uTn

n bilangan ganjil

Contoh Soal

1. Misalkan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 – (2k2 – k – 1) + (3k + 4) = 0 dan kedua akar itu bilangan bulat dengan k konstan. Jika x1, k, x2 merupakan 3 suku pertama barisan geometri, maka jumlah n suku pertama dari barisan tersebut adalah . . . .

A. -12

-1 +12

( )n

B. -12

-112

( )n −

C. 1

2-1 +

12

( )n

D. - -1( )n

E. 1

2-1

12

( )n −

pembahasan:• x2 – (2k2 – k – 1) + (3k + 4) = 0 a = 1 b = -(2k2 – k – 1) c = 3k + 4• x1, k, x2 barisan geometri k2 = x1x2

k2 = 3k + 4 k2 – 3k – 4 = 0 (k – 4)(k + 1) = 0 k = 4 atau k = -1• kembali ke persamaan kuadrat untuk k = 4

WWW.E-SBMPTN.COM

3

P.K. x2 – 27x + 16 = 0 akar-akarnya bukan bilangan bulat (k ≠ 4)untuk k = -1P.K. x2 – 2x + 1 = 0 akar-akarnya bulat yaitu x1 = 1, x2 = 1• Barisan geometrinya menjadi 1, -1, 1 dengan r = -1 maka Un = arn – 1

= 1 -1

=-1

-1= - -1

1

1

× −( )( )( )

( )

n

nn

jawaban: d

2. Pada suatu barisan geometri dengan r > 1, diketahui dua kali jumlah empat suku pertama adalah tiga kali jumlah dua suku genap pertama. Jika di antara suku-suku tersebut disisipkan empat bilangan, dengan cara: antara suku kedua dan ketiga disisipkan satu bilangan, dan antara suku ketiga dan keempat disisipkan tiga bilangan, maka akan terbentuk barisan aritmetika dengan beda r. Jumlah bilangan yang disisipkan adalah . . . . (soal simak ui Tahun 2011)A. 14B. 24C. 28D. 32E. 42 pembahasan:• Dua kali jumlah empat suku pertama adalah tiga kali jumlah dua suku genap pertama

2 = 3 +

21

1= 3

1

1

4 2 4

4 4

2

S U U

a r

r

ar r

r

( )

( )

( )−

−

−

−

2 =3+1

2 + 2 = 3 = 2

rr

r r r→

• Misal barisan geometrinya a, 2a, 4a, 8a, disisipkan bilangan-bilangan dengan beda = r = 2

a, 2a, 2a + 2, 4a, 4a + 2, 4a + 4, 4a + 6, 8a ekuivalen dengan

WWW.E-SBMPTN.COM

4

a, 2a, 2a + 2, 2a + 4, 2a + 6, 2a + 8, 2a + 10, 2a + 12 4a = 2a + 4 2a = 4 a = 2• Maka barisannya menjadi

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16

disisipkan

• maka jumlah bilangan yang disisipkan 6 + 10 + 12 + 14 = 42

jawaban: e

3. Bentuk deret geometri bilangan 8,88888… adalah . . . . (soal sBmpTn Tahun 2010) A. 8

110

+1

=1

∑

n

n

∞

B. 81

10

+1

=0

∑

n

n

∞

C. 8

110

1

=0

∑

n

n

−∞

D. 0, 81

10=1

∑

n

n

∞

E. 81

10

1

=1

∑

n

n

−∞

pembahasan:• 8,8888… = 8 + 0,8 + 0,08 + 0,008 + … = 8 (1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + …)• Mencari rumus Un barisan geometri dengan a = 1, r = 0,1

U arn

n

=

=1

10

n 1

1

−

−

• Menyusun notasi sigma

8,8888… = 8=1

Unn

∞

∑

WWW.E-SBMPTN.COM

5

= 81

10

+1

=1

∑

n

n

∞

jawaban: a

4. Tiga bilangan bulat membentuk barisan aritmetika. Jika suku kedua ditambah 3 dan suku ketiga dikurangi 21, maka akan diperoleh barisan geometri. Jika suku ketiga barisan semula ditambah 9, maka ia menjadi tiga kali suku kedua barisan geometri. Jumlah ketiga suku barisan aritmetika sama dengan . . . . (soal umB Tahun 2009)A. 8B. 9C. 15D. 21E. 28 pembahasan:• Misal barisan aritmetikanya a – b, a, a + b• Barisan geometrinya a – b, a + 3, a + b – 21 maka (a + 3)2 = (a – b)(a + b – 21) . . . (1)• Sifat lainnya a + b + 9 = 3(a + 3) a + b + 9 = 3a + 9 b = 2 . . . (2)• pers (1) substitusi ke pers (2) (a + 3)2 = (a – 2a)(a + 2a – 21) a2 + 6a + 9 = -a(3a – 21) a2 + 6a + 9 = -3a2 + 21a 4a2 – 15a + 9 = 0 (4a – 3)(a – 3) = 0

maka a = 34

atau a = 3

kita ambil a = 3 maka jumlah 3 bilangan semula a – b + a + a + b = 3a = 9

jawaban: B

5. Misalkan Un menyatakan suku ke-n suatu barisan geometri. Jika diketahui U6 = 64 dan log U2 + log U3 + log U4 = 9 log 2, maka nilai U3 adalah . . . . (soal snmpTn Tahun 2009)A. 8B. 6

WWW.E-SBMPTN.COM

6

C. 4D. 2E. 1

pembahasan:• log U2 + log U3 + log U4 = 9 log 2 log (U2.U3.U4) = log 29 U2.U3.U4 = 29

Ur3 . U3.U3.r = 29

U33 = 29 U3 = 23 = 8

jawaban: a

6. Barisan geometri diketahui Sn = 150 , Sn + 1 = 155, dan Sn + 2 = 15712

. Maka suku pertamanya adalah . . . .A. 72,5B. 75C. 80D. 85,5E. 90 pembahasan:• Un + 1 = Sn + 1 – Sn

arn = 155 – 150 arn = 5 . . . (1)• Un + 2 = Sn + 2 – Sn + 1

arn + 1 = 157,5 – 155 arn.r = 2,5 {substitusi (1)} 5r = 2,5

r = 15712

• Sr

rn

n

=a 1

1= 150

−

−

( )

a

a

n

n

112

12

= 150

112

= 75

112

−

−

−

( )

n

n

a

aa

=75

12

=75

... 2−

WWW.E-SBMPTN.COM

7

a

a

n

n

112

12

= 150

112

= 75

112

−

−

−

( )

n

n

a

aa

=75

12

=75

... 2−

S

a

n

n

+1

+1

=

112

112

= 155

−

−

a

aa

a

n

112

12

= 75,25

175 1

2= 75,25 substi

− ×

−−

×

ttusi 2

2 + 752

= 75,25

+ 752

= 75,25

+ 75 = 155= 80

( ){ }

a

a aaa

aa

−

jawaban: C

7. Deret geometri dengan 10 suku. Diketahui suku ketiga adalah 253

dan jumlah logaritma

semua suku-sukunya adalah 45log 5 – 35log 3. Suku ke-2 barisan itu adalah . . . . A. 2B. 3C. 4D. 5E. 6pembahasan:• log U1 + log U2 + log U3 + . . . + log U10 = 45log 5 – 35log 3

log U1U2U3 . . . U10 = log 53

45

35

U1U2U3U4U5U6U7U8U9U10 = 53

45

35

U

r

Ur

U U rU r U r U r U r U r U r32

33 3 3

23

33

43

53

63

745

35=

53

×

WWW.E-SBMPTN.COM

8

U r

r

r

310 25

45

35

1025

45

35

2545

35

10

2

=53

253

=53

=53

35

×00

2525

=53

=53

r r

→

• UUr23= =

253

53

= 5 jawaban: d

8. Diketahui U1, U3, U13, dan Un dari barisan aritmetika membentuk barisan geometri. Nilai n adalah . . . .A. 60B. 63C. 65D. 68E. 72 pembahasan:• U1, U3, U13 barisan geometri U32 = U1U13

[a + 2b]2 = a[a + 12b] a2 + 4ab + 4b2 = a2 + 12ab 4b2 = 8ab b = 2a• Barisan geometrinya dapat ditulis a, a + 2b, a + 12b, Un

a, a + 2(2a), a + 12(2a), Un

a, 5a, 25a, Un = 125a

×5 ×5 ×5• maka Un = 125a a + (n – 1)b = 125a a + (n – 1)(2a) = 125a (n – 1)(2a) = 124a n – 1 = 62 n = 63

jawaban: B

WWW.E-SBMPTN.COM

9

9. Misal 3x, 4y, 5z membentuk barisan geometri, sementara 1

,1

,1

x y z membentuk barisan

aritmetika. Nilai dari xz

zx

+ adalah . . . .

A. 3016

B. 3415

C. 3517

D. 3919

E. 4121

pembahasan:• 3x, 4y, 5z barisan geometri

16y2 = 15xz → xzy

=16

15

2

• 1

,1

,1

x y z barisan aritmetika

2=

1+

1

2=

+

2=

1516

+

=1532

+ + =3215

2

y x z

yx z

xz

y

x z

y

y x z x z y

×

→

( )

( )

• Nilai xz

zx

x zxz

+ =+2 2

=+ 2

=+

2

=

321516

15

2 =3415

2

2

2

2

x z xz

xz

x z

xz

y

y

( )

( )

−

−

−

jawaban: B

WWW.E-SBMPTN.COM

10

10. Barisan geometri positif yang banyak sukunya ganjil. Hasil kali suku pertama dan terakhirnya 2.500. Jumlah logaritma semua suku-sukunya sama dengan lima kali logaritma

suku tengahnya dan kuadrat dari suku kedua sama dengan 25

kali suku keempat. Suku kedua barisan itu adalah . . . .A. 5B. 8C. 10D. 15E. 25pembahasan:• U1Un = 2.500

U U1 n = 50

Ut = 50• log U1 + log U2 + . . . + log Un = 5log Ut

log U1U2 … Ut … Un = log Ut5 Ut

n = Ut5 n = 5 maka t =

n +12

= 3 sehingga U3 = 50

• U U22

4=25

Ur

U r

rr

r r

32

3

2

2

3

=25

50=

25

50

125 = maka = 5

×

× ×

• maka nilai UUr23= =

505

= 10 jawaban: C

WWW.E-SBMPTN.COM

11

Latihan Soal

1. Hasil penjumlahan 3 + 33

9+ 6

381

+123

729

adalah . . . .

A. 9

73

B. 107

3

C. 117

3

D. 127

3

E.

137

3 2. Diketahui barisan bilangan yang dikelompokkan sebagai berikut (1), (2, 4, 8), (16, 32, 64,

128, 256), …. Suku ke-5 dari kelompok ke-10 adalah . . . . A. 285

B. 286

C. 287

D. 288

E. 289

3. Misal sin θ, cos θ, tan θ, … adalah barisan geometri untuk beberapa θ ∈ R. Pada urutan ke

berapa sukunya menjadi cosec θ?A. 5B. 6C. 7D. 8E. 9

WWW.E-SBMPTN.COM

12

WWW.E-SBMPTN.COM

1

MATEMATIKA

08MATERI DAN LATIHAN SOAL UJIAN NASIONAL (UN)

TOP LEVEL - XII SMA

Set 8LOGARITMA

A. Review SingkAt MAteRia. alog b = c – ac = b syarat numerous a, b > 0, a ≠ 1b. Sifat-sifat 1. alog xy = alog x + alog y

2. alog xy

= alog x – alog y

3. alog xm = m alog x

4. alog b = logloga

=loglog

=1

logb b

a a

p

p b

5. a m an

bmn

blog = log

6. alog b . blog c = alog c 7. alog 1 = 0 8. a alog b = b c. Persamaan alog f(x) = alog g(x) f(x) = g(x), f(x), g(x) > 0

WWW.E-SBMPTN.COM

2

d. Pertidaksamaan alog f(x) < alog g(x), f(x), g(x) > 0 1. f(x)< g(x) bila a > 1 2. f(x) > g(x) bila 0 < a < 1

Contoh Soal

1. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan log (52x + 25) > x(1 – log 2) + log 2 + log 13 adalah . . . . (Soal SiMAk Ui tahun 2013)A. {x ∈ R | x < 0 atau x > 2}B. {x ∈ R | 0 < x < 2}C. {x ∈ R | x ≤ 0 atau x > 2}D. {x ∈R | 0 ≤ x < 2}E. {x ∈ R | x > 2}Pembahasan:log (52x + 25) > x(1 – log 2) + log 2 + log 13log (52x + 25) > x – xlog 2 + log 26log (52x + 25) > log 10x – log 2x + log 26log (52x + 25) > log 5x . 26maka 52x + 25 > 5x . 26[5x]2 – 26 . 5x + 25 > 0(5x – 25)(5x – 1) > 0pembuat nol x = 2, x = 0garis bilangan

0

+ _ +

2x

Hp = {x | x < 0 atau x > 2, x ∈ R}

Jawaban: A

2. Nilai x dengan x > 4 yang memenuhi x xx x− −− −4 > 42 4 5( ) ( ) adalah . . . . (Soal SiMAk

Ui tahun 2012)

A. -1 < x < 32

B. x > 4

WWW.E-SBMPTN.COM

3

C. x > 5

D. x > 32

atau x < 1

E. x > 34

atau x < -1

Pembahasan:Karena x > 4 maka x – 4 > 0sehingga

x x

x x

xx

x x

x x− −

⇒ − −

⇒ −−

⇒ − −

− −

−−

4 > 4

4 > 4

4 >5

22 8 > 5

2

2

4 5

x 4x 5

2

2

2

( ) ( )

( ) ( )

⇒⇒ − −

⇒ −

2 3 > 0

2 3 +1 > 0

2x x

x x( )( )

akar x = 32

atau x = -1

garis bilangan

-1

+ _ +x

32

Hp = x x x| < -1atau >32

Jawaban: D

3. Batas nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 2log <1

log 102 -3 -1xx( )

adalah . . . . (Soal

SiMAk Ui tahun 2010)

A. x >34

174

−

B. 34

174

< <174

+34

− x

C. 3

2<

174

+34

≤ x

WWW.E-SBMPTN.COM

4

D. 3

2< <

174

+34

x

E. 3

2<

174

+34

≤ x Pembahasan:

2log <1

log 102 3 -1xx −( )

syarat: 1) x > 0 . . . Hp1

2) (2x – 3)-1 > 0

1

2 3> 0

x − akar x =

32

garis bilangan

_ +x

32

Hp2 = x x| >32

3) (2x – 3)-1 ≠ 1

1

2 31

x −≠

2x – 3 ≠ 1 x ≠ 2 . . . Hp3

Penyelesaian pertidaksamaan

2log <1

log 10

log < log 2 3

2log < -2log 2 3

lo

2 3

2 10 -1

-1x

x x

x x

x −

−

−

( )

( )( )

gg < -log 2 3x x −( )

WWW.E-SBMPTN.COM

5

log < log 2 3

<1

2 31

2 3< 0

2 3 12 3

< 0

-1

2

x x

xx

xx

x xx

−

−

−−

− −−

( )

x1,2 =3 – 9 + 8

4

=3 – 17

4

akar pembilang (Rumus ABC)

x x1 2=3 17

4, =

3 + 174

−

akar penyebut x = 32

garis bilangan

– –+ +x

32

3 174

− 3+ 174

Hp3 = x x<3 17

432

< <3 + 17

4−

∪

maka Hptotal

Hptotal = Hp1 ∩ Hp2 ∩ Hp3

0 234

174

−32

34

+174

Hptotal = x x|

32

< <174

+34

Jawaban: D

4. Jika p dan memenuhi persamaan 3log (4(3x) – 7) = -1 + 3log (9x + 6), maka nilai p + q = . . . . (Soal SiMAk Ui tahun 2009)A. -6B. -3C. 3

WWW.E-SBMPTN.COM

6

D. 6E. 12

Pembahasan:3log (4(3x) – 7) = -1 + 3log (9x + 6)

⇒ −

⇒ −

3 3 3 2

3 3

log 4 3 7 = log13

+ log 3 + 6

log 4 3 7 = log

x x

x

( )( ) ( )

( )( ) 33 + 6

3

4 3 7 =3 + 6

3

3 12 3 + 27 = 0

3 9 3 3 =

2

2

2

x

xx

x x

x x

( )

( ) ( )

( ) ( )( )( )

⇒ −

⇒ −

⇒ − − 00

3 = 9 atau 3 = 3= 2 atau = 1

= 2 atau = 1maka + = 3

1 2

⇒⇒⇒

x x

x x

p qp q

⇒ −

⇒ −

3 3 3 2

3 3

log 4 3 7 = log13

+ log 3 + 6

log 4 3 7 = log

x x

x

( )( ) ( )

( )( ) 33 + 6

3

4 3 7 =3 + 6

3

3 12 3 + 27 = 0

3 9 3 3 =

2

2

2

x

xx

x x

x x

( )

( ) ( )

( ) ( )( )( )

⇒ −

⇒ −

⇒ − − 00

3 = 9 atau 3 = 3= 2 atau = 1

= 2 atau = 1maka + = 3

1 2

⇒⇒⇒

x x

x x

p qp q

Jawaban: C

5. Himpunan penyelesaian |log(x – 1)| < 1 adalah . . . . (Soal SiMAk Ui tahun 2009) A. {x | 11 < x < 110} B. {x | -11 < x < 110} C. {x | -9 < x < 110}

D. x x| -1110

< < 11

E. x x|1110

< < 11

Pembahasan:|log(x – 1)| < 1• syarat x – 1 > 0 x > 1 . . . Hp1

• |log(x – 1)| < 1 -1 < log(x – 1) < 1

WWW.E-SBMPTN.COM

7

log1

10< log 1 < log10

110

< 1< 10

1110

< < 11 ... Hp2

x

x

x

−

−

( )

• Hptotal = Hp1 ∩ Hp2

1 11x

1110

Hptotal = x x x|

1110

< < 11, R∈

Jawaban: e

6. Nilai x yang memenuhi 9 + 4 = 853 2log 2 +1 log +3x x( ) ( ) adalah . . . .

A. -5 dan 3B. 2 dan 3C. 3 dan 5D. 3E. 5Pembahasan:

3 + 2 = 85

3 + 2 = 85

2 +1

2 log 2 +1 2 log +3

log 2x+1 log +3

3 2

3 2 2 2

x x

x

x

( ) ( )

( ) ( )

(( ) ( )2 2

2 2

2

2

+ + 3 = 85

4 + 4 +1+ + 6 + 9 = 85

5 +10 75 = 0

+ 2 15 = 0

+ 5

x

x x x x

x x

x x

x

−

−

(( )( )x

x x

− 3 = 0

= -5 atau = 31 2

test 2x + 1 x + 3

x1 = -5 -9 x -2 x bukan solusi

x2 = 3 7 6 solusi

solusinya x = 3Jawaban: D

WWW.E-SBMPTN.COM

8

7. xlog xy . ylog xy + xlog (x – y) . ylog (x – y) = 0 x > y > 0, x, y ≠ 1, nilai x + y adalah . . . .

A. 3 + 2

B. 7

C. 5

D. 2 + 3

E. 1+ 5

Pembahasan:xlog xy . ylog xy + xlog (x – y) . ylog (x – y) = 0

loglog

loglog

+log y

log

log

log= 0

log + lo2

xyx

xyy

x

x

x y

y

xy

×−

×−( ) ( )

[ ] gg = 02

x y−( )

log xy = 0 dan log (x – y) = 0xy = 1 x – y = 1 . . . (2)

yx

=1

& (1)

(1) substitusi ke (2) x x

x xa b c

xb b a

a

x

−

⇒ −

⇒−

⇒

1= 1

+ 1= 0= 1, = 1, = -1

=- – 4 c

2

=-1– 5

2

=-1+ 5

2

2

1,2

2

xx > 0{ }

WWW.E-SBMPTN.COM

9

yx

y

y

x y

x y

=1

=1

-1+ 52

=2

5 1

5 +1

5 +1

=5 +12

maka + =5 12

+5 +12

+ = 5

⇒

⇒−

×

−

Jawaban: C

8. Un menyatakan suku ke-n dari suatu barisan. Jika log =log45 + log15 log25

log125+

11+ log5 + log 5

+ log55 2

1Un

nn− − −

log =log45 + log15 log25

log125+

11+ log5 + log 5

+ log55 2

1Un

nn− − − , maka rumus Un adalah . . . .

A. 0,3 × 10n B. 27 × 10n C. 10 × 3n

D. 27010n

E. 9 × 10n Pembahasan:

log =log45 + log15 log25

log125+

11+ log5 + log 5

+ log5

=log

5 2-1U

nn

n− −

2273

+log10

log10log10 log5

+ log5

=13

log27 + 1 log2 + 1

-1-1

nn

n n

−

− −( ) (( )

( )

log5

= log3 + n 1 log10

= log3 10 -1

−

× n →→ ×

×

Unn

n

= 3 10

= 0,3 10

-1

Jawaban: A

WWW.E-SBMPTN.COM

10

9. Harga x yang memenuhi persamaan 3 + 2 2 3 2 2 =32

x x

− − adalah . . . .

A. 3-2 2 log2

B. 3-2 2 log3

C. 1+ 2 log2

D. 2 log 1+ 2( ) E. 3 log2

Pembahasan:

3 + 2 2 3 2 2 =32

2 +1 2 1 =32

2 +11

2 +

x x

x x

x

− −

− −

−11

=32

misal 2 +1 =

1=

32

2 2 = 3

2 3 2 = 0

2 +1

2

2

( )

x

xy

yy

y y

y y

y y

−

−

− −

− 22 = 0

= -12

atau = 2

2 +1 = -12

2 +1 = 2

( )

y y

x x

3 + 2 2 3 2 2 =32

2 +1 2 1 =32

2 +11

2 +

x x

x x

x

− −

− −

−11

=32

misal 2 +1 =

1=

32

2 2 = 3

2 3 2 = 0

2 +1

2

2

( )

x

xy

yy

y y

y y

y y

−

−

− −

− 22 = 0

= -12

atau = 2

2 +1 = -12

2 +1 = 2

( )

y y

x x

pilihan pertama tidak mungkin

karena 2 +1 > 0

x

maka

2 +1 = 2

log 2 +1 = log2

= log2

2 +1 2 +1

2 +1

x

x

x

Jawaban: C

WWW.E-SBMPTN.COM

11

10. Bila log 2 = a, log 3 = b, dan 2x+1 = 32-3x, maka nilai x + 1 adalah . . . .

A. 5

3 +a

a b

B. 53

aa b−

C. 5+ 3

ba b

D. 5

3b

a b−

E.

3 +5

a ba

Pembahasan: 2x+1 = 32-3x

⇒

⇒ −

⇒ −

⇒

log2 = log3

+1 log2 = 2 3 log3

+1 = 2 3

+ 3

+1 2-3x x

x x

x a x b

ax

( ) ( )( ) ( )

bbx b a

x a b b a

xb a

a b

xb a

a ba ba b

x

= 2

+ 3 = 2

=2

+ 3

+1=2

+ 3+

+ 3+ 3

+1

−

⇒ −

⇒−

⇒−

⇒

( )

==5+ 3

ba b

⇒

⇒ −

⇒ −

⇒

log2 = log3

+1 log2 = 2 3 log3

+1 = 2 3

+ 3

+1 2-3x x

x x

x a x b

ax

( ) ( )( ) ( )

bbx b a

x a b b a

xb a

a b

xb a

a ba ba b

x

= 2

+ 3 = 2

=2

+ 3

+1=2

+ 3+

+ 3+ 3

+1

−

⇒ −

⇒−

⇒−

⇒

( )

==5+ 3

ba b

Jawaban: C

Soal Latihan

1. Diketahui 2log 2log 3log x = 2log 3log 2log y = 0, maka x + y adalah . . . . A. 8B. 9C. 16D. 17E. 18

WWW.E-SBMPTN.COM

12

2. Bila x , log3, dan log4 adalah tiga sisi dari segitiga siku-siku, nilai x yang mungkin adalah . . . .

A. log4 dan log12

B. log43

dan log12

C. log43

saja

D. log12 saja

E. tidak ada yang memenuhi 3. Apabila x memenuhi

2

2 8

loglog2 log2

= 3x

x −, maka nilai dari 1 + x + x2 + x3 + x4 + ... adalah . . . .

A. 12

B. 1C. 2D. 4E. 8

4. Perhatikan xy = 10a, yz = 10b, xz = 10c. Nilai dari log x + log y + log z adalah . . . .

A. abc

B. abc

2

C. a + b + cD. 2a + 2b + 2c

E. a b c+ +2

5. Diketahui persamaan 2x – 3log y = 7 2y + 3log x = 9 maka nilai x + y adalah . . . .

A. 3B. 4C. 5D. 6E. 8

WWW.E-SBMPTN.COM

1

MATEMATIKA

Set 9PELUANG

A. RingkAsAn MAteRia. Aturan Perkalian

m cara

kejadian 1 dan

n carakejadian 2

= m × n cara

b. Aturan tambah

m cara

kejadian 1 atau

n carakejadian 2

= m + n

c. Faktorial n (n!) n! = n(n – 1)(n – 2) ... 1d. Permutasi (kejadian Menyusun Objek) 1. permutasi n unsur = n! 2. permutasi k unsur dari n unsur

nPk = Pn

n kkn =

!!−( )

3. Permutasi unsur berulang

n kPn

k kk ,1 2

1 2=

!! !

4. Permutasi siklis n unsur = n!


TOP LEVEL - XII SMA

WWW.E-SBMPTN.COM

2

e. kombinasi (kejadian Memilih)

C

nk n kk

n =!

! !−( )f. Peluang suatu kejadian A

P An A

n S( ) ( )

( )=

A = kejadian yang diharapkan S = kejadian yang mungkin

Contoh Soal

1. Dari 15 anak yang terdiri atas laki-laki dan perempuan akan diambil 2 anak secara bersamaan. Jika banyak kemungkinan terambil laki-laki dan perempuan adalah 26, maka selisih jumlah laki-laki dan perempuan adalah . . . . (UM UgM 2013)A. 13B. 11C. 9D. 5E. 3Pembahasan:misal banyak anak laki-laki = x banyak anak perempuan = 15 – x

banyak kemungkinan terambil 1 laki-laki dan 1 perempuan

C C

xx

x

x

x x

x x1 1

15- = 26

!1 !

15 !

14 != 26

15 = 26

−×

−−

× −

( )( )( )

( ) x yang memenuhi x = 13maka banyak perempuan 2 orang sehingga selisihnya 11 orang

Jawaban: B

2. Jika L(a) adalah luas daerah yang dibatasi oleh sumbu X dan parabola y = ax + x2, 0 < a <

1, maka peluang nilai a sehingga L(a) ≥ 1

48 adalah . . . . (sBMPtn 2013)

WWW.E-SBMPTN.COM

3

A. 1112

B. 78

C. 56

D. 34

E. 12

Pembahasan:• misal A = kejadian L(a) ≥

148

• Daerah yang dibatasi oleh y = ax + x2 dan sumbu X Luasnya bisa menggunakan

LD D

a=

6 2

D = b2 – 4ac → D = a2

maka La a a

=6 1

=6

2 2

2

3

×

• L(a) ≥ 1

48

⇒ ≥ ⇒ ≥

≥

aa

a

33

61

4818

12

maka agar L(a) ≥

148

, maka a ≥ 12

sedangkan 0 < a < 1 kalau kita gambar pada garis bilangan

a1

n(A) = 12

n(S) = 1

0 12

WWW.E-SBMPTN.COM

4

maka peluangnya P A

n A

n S( ) ( )

( )= =

12

Jawaban: e

3. Banyak bilangan ratusan dengan angka pertama dan angka kedua mempunyai selisih 2 adalah . . . . (sBMPtn 2013)A. 120B. 130C. 140D. 150E. 160 Pembahasan:Bilangan ratusan terdiri dari 3 angka ratusan puluhan satuanAngka ratusan dan puluhan selisih 2 adalah

1, 3 3, 1

2, 4 4, 2

3, 5 5, 3

4, 6 6, 4

5,7 7, 5

6, 8 8, 6

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) (( )( ) ( )( )

7, 9 9, 7

2, 0

15 kemungkinan

maka 15 10 ratusan puluhan satuanbanyak angkanya adalah 15 × 10 = 150

Jawaban: D

4. Enam anak, 3 laki-laki dan 3 perempuan, duduk berjajar. Peluang 3 perempuan duduk berdampingan adalah . . . . (sBMPtn 2013)

A. 160

B. 1

30

WWW.E-SBMPTN.COM

5

C. 1

15

D. 110

E. 15

Pembahasan:Ada 6 orang duduk berjajarn(S) = 6!L1L2 P1P2P3 L3

Kelompok perempuan dianggap 1 bagian dari 4 bagian, maka cara menyusun 3 laki-laki dan 1 kelompok wanita adalah 4!.Karena kelompok perempuan terdiri dari 3 orang, maka cara menyusun 3 wanita pada kelompok wanita adalah 3! makan(A) = 4! × 3!Peluangnya

P An A

n S( ) ( )

( )= =

4! 3!6!

=6

30=

15

×

Jawaban: e

5. Dalam kantong terdapat bola yang diberi nomor 1, 2, 3, 4, dan 5. Andi mengambil 1 bola secara acak lalu mencatat nomornya dan tidak mengembalikannya. Andi melakukan pengambilan bola tersebut sebanyak tiga kali. Banyak cara Andi mendapatkan jumlah ketiga nomor bola yang diambilnya sama dengan 10 adalah . . . . (sBMPtn 2013)A. 6B. 12C. 15D. 16E. 18 Pembahasan:3 angka berjumlah 102, 3, 5 banyak susunan 3! = 61, 4, 5 banyak susunan 3! = 6total kejadian 6 + 6 = 12 kejadian

Jawaban: B

WWW.E-SBMPTN.COM

6

6. Diberikan suku banyak p(x) = ax2 + bx + 1. Jika a dan b dipilih secara acak dari selang [0, 4], maka peluang suku banyak tersebut tidak mempunyai akar adalah . . . . (sBMPtn 2013)A. 0

B. 13

C. 23

D. 56

E. 1

Pembahasan: Suku banyak p(x) = ax2 + bx + 1 tidak memiliki akar (pembuat nol) bila

D > 0b2 – 4ac > 0

a b>

14

... (1)2

sedangkan a, b dipilih dari selang [0, 4] atau 0 ≤ a ≤ 4 dan 0 ≤ b ≤ 4karena a, b ∈ R, perlu kita gambar grafiknya

n(A)

b

a = 14

b2

n(S) = 1 × 1 = 1

a

1

14

n(A) adalah sekumpulan (b, a) sehingga

a b>14

... (1)2

n A

n A

( )

( )

( )

( )

=13

114

+34

1

=1

12+

34

=1012

=56

makaa = =56

P An A

n S( ) ( )

( ) Jawaban: D

WWW.E-SBMPTN.COM

7

7. Di dalam kotak terdapat 2 bola biru, 4 bola merah, dan 2 bola putih. Jika diambil 7 bola tanpa pengembalian, maka peluang banyak bola merah yang terambil dua kali banyak bola putih yang terambil adalah . . . . (sBMPtn 2012)

A. 78

B. 6

8

C. 58

D. 2

8

E. 1

8

Pembahasan:Kondisi banyak bola merah 2 kali lebih banyak bola putih adalah A = (2P, 4M, 1B) → n(A) = 1

sedangkan n(S) = C78 =

8!1!7!

= 8

P An A

n S( ) ( )

( )= =

18

Jawaban: e

8. Tujuh orang berpergian dengan dua mobil milik dua orang di antara mereka. Masing-masing mobil dikemudikan oleh pemiliknya dan kapasitas mobil masing-masing adalah 4 orang termasuk pengemudi. Banyak cara menyusun penumpang di kedua mobil tersebut adalah . . . . (sBMPtn 2012)A. 10B. 20C. 25D. 28E. 58 Pembahasan:

A

mobil A

B

mobil B

WWW.E-SBMPTN.COM

8

Pilihan 1: 3 orang di mobil A dan 2 orang di mobil BPilihan 2: 2 orang di mobil A dan 3 orang di mobil BBanyak kemungkinan menyusun/menempatkan penumpang adalah

C C C C35

22

25

33+ =

5!3! 2!

+5!

2! 3!= 20 cara

Jawaban: B

9. Sepuluh titik terletak pada bidang datar sehingga tidak ada tiga titik yang segaris. Banyak segitiga yang dapat dibuat dengan titik-titik sudut dari titik-titik tersebut adalah . . . . (snMPtn 2011) A. 30B. 60C. 120D. 150E. 300

Pembahasan:

C310 =

10!3!7!

=10 9 8 7!

3 2 7!= 120 segitiga

× × ×× ×

Jawaban: C

10. Banyak siswa laki-laki 10 orang dan siswa perempuan 5 orang. Banyaknya cara untuk membentuk panitia yang beranggotakan 10 orang dan terdiri atas paling sedikit 2 orang perempuan dan paling banyak 4 orang perempuan adalah . . . . (snMPtn 2011)A. 4.800B. 3.150C. 2.700D. 2.300E. 2.250 Pembahasan:Siswa terdiri dari 10 laki-laki dan 5 perempuan 2 perempuan10 orang C C8

1025

8 laki-laki 3 perempuan10 orang C C7

1035

7 laki-laki 4 perempuan10 orang C C6

1045

6 laki-laki

WWW.E-SBMPTN.COM

9

maka banyak kemungkinan formasi panitia adalah

C C C C C C810

25

710

35

610

45+ + =

10!8!2!

5!2!3!

+10!7!3!

5!3!2!

+10!6

× ×!!4!

5!4!1!

= 45 10 +120 10 + 210 5 = 2.700

×

× × ×

Jawaban: C

Latihan Soal

1. Di dalam kotak terdapat 3 bola biru, 6 bola merah, dan 2 bola putih. Jika diambil 7 buah bola tanpa pengembalian, maka peluang banyak bola merah yang terambil tiga kali banyak bola putih yang terambil adalah . . . .

A. 1330

B. 233

C. 4

33

D. 16

55

E. 1

12

2. Diketahui segilima ABCDE, dengan A(0, 2), B(4, 0), C(2π + 1, 0), D(2π + 1, 4), dan E(0, 4). Titik

P dipilih secara acak dari titik di dalam segilima tersebut. Peluang sudut APB berukuran tumpul adalah . . . . (snMPtn 2011)

A. 38

B. 14

C. 1

2

D. 516

E. 58

WWW.E-SBMPTN.COM

10

3. Panitia jalan sehat akan membuat kupon bernomor yang terdiri dari 4 angka yang disusun oleh angka-angka 0, 1, 3, 5, dan 7. Jika angka pertama atau terakhir tidak 0, maka banyak kupon yang dapat dibuat adalah . . . . (snMPtn 2011)A. 600B. 605C. 610D. 620E. 625

4. Tiga pasang suami istri duduk berdampingan pada satu baris. Jika setiap pasang suami istri harus duduk berdampingan, maka banyak cara mereka duduk adalah . . . . (snMPtn 2011)A. 6B. 12C. 18D. 24E. 48

5. Ada 5 orang, 2 di antaranya adik kakak, duduk secara acak pada 5 kursi yang berderet. Peluang adik kakak duduk berdampingan adalah . . . . (snMPtn 2011)

A. 1120

B.

160

C.

124

D. 1

5

E. 2

5

WWW.E-SBMPTN.COM

1

MATEMATIKA

Set 10TEOREMA SISA

A. RingkAsAn MAteRia. Suatu polinom p(x) bila dibagi (x – a) maka sisanya (S) S = p(a)b. Suatu polinom p(x) bila dibagi oleh (x – a)(x – b) maka sisanya (S(x))

S x

x a

b ap b

x b

a bp a( ) ( ) ( ) ( ) ( )= +

−−

−−

c. Suatu polinom p(x) bila dibagi oleh (x – a)(x – b)(x – c) maka sisanya (S(x))

S x

x b x c

a b a cp a

x a x c

b a b cp b

x a( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )= + +

− −− −

− −− −

−(( )( )( )( ) ( )

x b

c a c bp c

−− −

d. Bila p(x) habis dibagi (x – a) p(a) = 0e. Bila (x – a) faktor dari p(x) maka p(a) = 0f. Untuk polinom derajat 3, p(x) = 0 ax3 + bx2 + cx + d = 0 yang memiliki akar-akar x1, x2, x3 maka berlaku

1. x x xba1 2 3+ + = -

2. x x x x x xca1 2 1 3 2 3+ + =


TOP LEVEL - XII SMA

WWW.E-SBMPTN.COM

2

3. x x xda1 2 3 =× ×

g. Untuk p(x) polinom derajat 4 dan p(x) = 0 ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 yang memiliki akar-akar x1, x2, x3 maka berlaku

1. x x x xba1 2 3 4+ + + = -

2. x x x x x x x x x x x xca1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4+ + + + + =

3. x x x x x x x x x x x x

da1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4+ + + = -

4. x x x x

ea1 2 3 4 =× × ×

h. Mencari akar polinom derajat tiga atau lebih bisa menggunakan skema Horner

Contoh Soal

1. Jika x4 + ax3 + (b – 10)x2 + 15x – 6 = f(x)(x – 1) dengan f(x) habis dibagi x – 1, maka nilai b adalah . . . . (soal sBMPtn tahun 2013 kode 130)A. 2B. 1C. 0D. -1E. -2 Pembahasan:f(x) habis dibagi (x – 1)f(1) = 0x4 + ax3 + (b – 10)x2 + 15x – 6 = f(x)(x – 1) ... (1)substitusi x = 11 + a + b – 10 + 15 – 6 = 0 a + b = 0 ... (2)turunkan pers (1)4x3 + 3ax2 + 2(b – 10)x + 15 = f’(x)(x – 1) + f(x) . 1masukkan x = 14 + 3a + 2b – 20 + 15 = 03a + 2b = 1 . . . (3)eliminasi (2) dan (3) akan didapatb = -1

Jawaban: D

WWW.E-SBMPTN.COM

3

2. Diketahui g(x) = ax2 – bx + a – b habis dibagi x – 1. Jika f(x) adalah suku banyak yang bersisa a ketika dibagi x – 1 dan bersisa 3ax + b2 + 1 ketika dibagi g(x), maka nilai a adalah . . . . (soal snMPtn tahun 2011 kode 253)A. -1B. -2C. 1D. 2E. 3Pembahasan:• g(1) = 0 → a – b + a – b = 0 f(1) = a 2a – 2b = 0 a = b . . . (1)• f(x) : g(x) → S(x) = 3ax + b2 + 1 f(x) = g(x) . h(x) + 3ax + b2 + 1 substitusi x = 1 f(1) = g(1) . h(1) + 3a + b2 + 1 a = 0 . h(1) + 3a + b2 + 1 2a + b2 + 1 = 0 substitusi (1) 2a + a2 + 1 = 0 (a + 1)2 = 0 a = -1

Jawaban: A

3. Diketahui f(x) = x3 – (a – b)x2 – x + b + 1 habis dibagi oleh (x – 1). Jika kurva y = f(x) bersinggungan dengan garis x + y = -1 di titik (2, -3), maka nilai a adalah . . . . (soal snMPtn tahun 2011 kode 559)A. -4B. -2C. 1D. 3E. 5 Pembahasan:• f(1) = 0 1 – (a – b) – 1 + b + 1 = 0 -a + 2b = -1 . . . (1)• f(x) bersinggungan dengan x + y = -1 f’(x) = mgs = -1 3x2 – 2(a – b)x – 1 = mgs

WWW.E-SBMPTN.COM

4

substitusi x = 2 3(2)2 – 2(a – b)2 – 1 = -1 12 – 4a + 4b – 1 = -1 -4a + 4b = -12 a – b = 3 . . . (2) (1) dan (2) dieliminasi maka a = 5

Jawaban: e

4. Diketahui sisa pembagian f(x) = x4 – a2x3 + a2x2 – 2a – 3 oleh x + 1 adalah a dan a > 0. Titik minimum grafik f adalah . . . . (snMPtn 2011 kode 559)A. (1, -6)B. (0, -7)C. (2, -7)D. (-6, 1)E. (1, -7)Pembahasan:• f(-1) = a 1 + a2 + a2 + – 2a – 3 = a 2a2 – 3a – 2 = 0 (2a + 1)(a – 3) = 0

a = -12

atau a = 2

• ambil a = 2 (a > 0) f(x) = x4 – 4x3 + 4x2 – 7 f ’(x) = 4x3 – 12x2 + 8x f “(x) = 12x2 – 24x + 8• syarat maksimum, minimum f ‘(x) = 0 4x3 – 12x2 + 8x = 0 4x(x2 – 3x + 2) = 0 4x(x – 2)(x – 1) = 0 f ‘(0) = -7 f “(0) = 8 > 0 (minimum) f ‘(2) = -7 f “(2) = 8 > 0 (minimum) f ‘(1) = 0 f “(1) = -4 < 0 (maksimum)

Jawaban: B dan C

5. Jika suku banyak p(x) dibagi dengan (x + 1) memberikan sisa 13 dan jika dibagi (x – 1) memberikan sisa 7, maka jumlah koefisien dari suku-suku p(x) dengan pangkat x genap adalah . . . . (soal siMAk Ui tahun 2013 kode 131)

WWW.E-SBMPTN.COM

5

A. 0B. 3C. 6D. 10E. 20 Pembahasan:p(-1) = 13p(1) = 7bilap(x) = an xn + an-1 xn

-1 + an-2 xn-2 + . . . + a0

bila n ganjil maka

p(-1) = -an + an-1 – an-2 + . . . + a0

p(1) = an + an-1 + an-2 + . . . + a0 +13 + 7 = 2[an-1 + an-3 + . . . + a0]10 = an-1 + an-3 + . . . + a0

Jawaban: D

6. Diketahui suku banyak f(x) bersisa -2 bila dibagi x + 1, bersisa 3 bila dibagi x – 2. Suku banyak g(x) bersisa 3 bila dibagi x + 1 dan sisa 2 bila dibagi x – 2. Jika h(x) = f(x) . g(x), maka sisa h(x) dibagi x2 – x – 2 adalah . . . . (soal snMPtn tahun 2011 kode 659/578/559)A. 3x – 2B. 4x – 2C. 3x + 2D. 4x + 2E. 5x – 2 Pembahasan:• f(-1) = -2 f(2) = 3• g(-1) = 3 g(2) = 2 h(x) dibagi x2 – x – 2 memiliki sisa S(x) = ax + b, maka h(x) = (x – 2)(x + 1) + ax + b f(x) . g(x) = (x – 2)(x + 1) + ax + b x = -1 → f(-1) . g(-1) = -a + b = -6 x = 2 → f(2) . g(2) = 2a + b = 6 – -3a = -12 a = 4 → b = -2 sehingga S(x) = 4x – 2

Jawaban: B

WWW.E-SBMPTN.COM

6

7. Diketahui f(x) suku banyak derajat tiga dengan koefisien x3 sama dengan 1, yang habis dibagi (x – 3)(x + 1). Jika f(4) = 30, maka f(2) = . . . . (soal UM UgM tahun 2006 kode 372)A. -8B. -7C. -12D. 0E. 7Pembahasan:misal• f(x) = (x – 3)(x + 1)(x + p) x = 4 f(4) = 5(4 + p) = 30 p = 2• f(x) = (x – 3)(x + 1)(x + 2) f(2) = (-1)(3)(4) f(2) = -12

Jawaban: C

8. Diketahui p(x) = ax5 + bx – 1, dengan a dan b konstan. Jika p(x) dibagi dengan (x – 2.006) bersisa 3, maka bila p(x) dibagi dengan (x + 2.006) akan bersisa . . . . (soal sPMB tahun 2006 kode 420)A. -1B. -2C. -3D. -4E. -5Pembahasan:• p(2.006) = 3 a(2.006)5 + b(2.006) – 1 = 3 a(2.006)5 + b(2.006) = 4• p(-2.006) = a(-2.006)5 + b(-2.006) – 1 = -a(2006)5 – 2.006b – 1 = -(a(2006)5 + b(2.006)) – 1 = -4 – 1 = -5

Jawaban: e

WWW.E-SBMPTN.COM

7

9. Diketahui h(x) = x2 + 3x – 4 merupakan salah satu faktor dari g(x) = x4 + 2x3 – ax2 – 14x + b. Jika g(x) dibagi dengan x + 1 akan bersisa . . . . (soal sPMB tahun 2006 kode 121)A. 0B. 3C. 9D. 12E. 24Pembahasan:g(x) : x2 + 3x – 4g(x) : (x + 4)(x – 1)g(1) = 0g(-1) = y1 + 2 – a – 14 + b = 01 – 2 – a + 14 + b = y – 4 – 28 = -ymaka y = 24

Jawaban: e

10. Diketahui p(x) = (x – 1)(x2 – x – 2) q(x) + ax + b dengan q(x) suatu suku banyak. Jika p(x) dibagi dengan (x + 1) bersisa 10 dan jika dibagi dengan (x – 1) bersisa 20, maka jika p(x) dibagi dengan (x – 2) bersisa . . . . (soal sPMB tahun 2006 kode 320)A. -10B. 0C. 5D. 15E. 25 Pembahasan:p(x) = (x – 1)(x2 – x – 2) q(x) + ax + b• -(-1) = 10 -a + b = 10 . . . (1)• p(1) = 20 a + b = 20 . . . (2)eliminasi (1) dan (2) didapata = 5 b = 15maka p(x)) = (x – 1)(x – 2)(x + 1) + 5x + 15sisa pembagian p(x) oleh x – 2 adalahp(2) = 5(2) + 15p(2) = 25

Jawaban: e

WWW.E-SBMPTN.COM

8

Latihan Soal

1. Jika x4 + ax3 + (b – 10)x2 + 15x – 6 = f(x)(x – 1) dengan f(x) habis dibagi x – 1, maka nilai b adalah . . . . (soal sBMPtn tahun 2013 kode 130)A. 2B. 1C. 0D. -1E. -2

2. Salah satu akar persamaan x4 – 5x3 + 5x2 + 5x – 6 = 0 adalah 2. Jumlah akar-akar yang lain

persamaan tersebut adalah . . . . (soal sPMB tahun 2005 kode 480)A. 6B. 5C. 4D. 3E. 2

3. Diketahui f(x) = x3 – 5 x + 20, g(x) = 2x3 + 5x2 + 11, dan h(x) = x + 3. Jika a dan b merupakan

masing-masing sisa hasil pembagian f(x) dan g(x) oleh h(x), maka a + b = . . . . (soal sPMB tahun 2005 kode 280)A. -20B. 10C. 34D. 118E. 142

4. Jika salah satu akar suku banyak f(x) = 0 adalah a, maka salah satu akar (x2 + 3x + 6) f(x + 2)

= 0 adalah . . . . (soal sPMB tahun 2006 kode 521)A. a + 2B. a + 3C. a – 3D. 2aE. a – 2

WWW.E-SBMPTN.COM

9

5. Diketahui suku banyak g(x) = ax2 – bx – (a + b) habis dibagi x – 4 dan salah satu akar persamaan suku banyak f(x) = 0 adalah 4. Jika f(x) dibagi g(x) sisanya ax + b – 2, maka nilai a adalah . . . . (soal snMPtn tahun 2011)

A. 67

B. 5

7 C. 4

7 D. 2

7 E.

17

WWW.E-SBMPTN.COM

1

MATEMATIKA

11

Set 11TRIGONOMETRI SEGITIGA

A. RINGKASAN MATERIa. Untuk segitiga siku-siku ABC A

B C

bc

a

sin cos

cos sec

tan cot

Ccb

ec Cbc

Cab

Cba

Cca

an Cac

= ↔ =

= ↔ =

= ↔ =

b. tansincos

xxx

=

c. sin2 x + cos2 x = 1 tan2 x + 1 = sec2 x cotan2 x + 1 = cosec2 xd. sin (x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y cos (x ± y) = cos x cos y sin x sin y

MATERI DAN LATIHAN SBMPTN

TOP LEVEL - XII SMA

WWW.E-SBMPTN.COM

2

e. C

A c B

b a

Aturan Sinus

aA

bB

cCsin

=sin

=sin

Aturan Cosinus a2 = b2 + c2 – bc cos A b2 = a2 + c2 – ac cos B c2 = a2 + b2 – ab cos Cf. Sifat sudut pada kuadran Kuadran I sin α = cos (90 – α) cos α = sin (90 – α) tan α = cot an (90 – α) Kuadran II sin (180 – α) = -sin α sin (90 + α) = cos α cos (180 – α) = -cos α cos (90 + α) = -sin α tan (180 – α) = -tan α tan (90 + α) = -cot tanα Kuadran III sin (180 + α) = -sin α sin (270 – α) = -cos α cos (180 + α) = -cos α cos (270 – α) = -sin α tan (180 + α) = tan α tan (270 – α) = cot tanα Kuadran IV sin (360 – α) = -sin α sin (270 + α) = -cos α cos (360 – α) = cos α cos (270 + α) = sin α tan (360 – α) = -tan α tan (270 + α) = -cot tanαg. Jumlah sin dan cos

sin sin sin cos

sin - sin cos sin

cos cos

A BA B A B

A BA B A B

A

+ =+ −

=+ −

+

22 2

22 2

BBA B A B

A BA B A B

=+ −

− =+ −

22 2

22 2

cos cos

cos cos - sin sin

h. Sudut ganda 1. sin 2x = 2 sin x cos x 2. cos 2x = cos2 x – sin2 x cos 2x = 2 cos2 – 1 cos 2x = 1 – 2 sin2 x

3. tantantan

22

1 2xx

x=

−

WWW.E-SBMPTN.COM

3

Contoh Soal

1. Jika dalam segitiga ABC diketahui 5 sin A + 12 cos B = 13 dan 5 cos A + 12 sin B = 6 2 , maka sin C = .... (Soal SBMPTN Tahun 2013)A. 1

2

B. 12

2

C. 12

3

D. 3 E. 3

5

Pembahasan:

C

A B

5 sin A + 12 cos B = 13 5 cos A + 12 sin B = 6 2 masing-masing persamaan dipangkat-duakan

25 sin2 A + 144 cos2 B + 120 sin A cos B = 169 25 cos2 A + 144 sin2 B + 120 cos A sin B = 72 +25 + 144 + 120 (sin A cos B + cos A sin B) = 241 169 + 120 sin (A + B) = 241 120 sin (A + B) = 72

sin (A + B) = 72

120

sin (A + B) = 35

Karena sifat sudut segitigaA + B + C = 180→ C = 180 – (A + B)→ sin C = sin 180 – (A + B)→ sin C = sin (A + B)→ sin C =

Jawaban: E


WWW.E-SBMPTN.COM

4

2. Diberikan koordinat titik O(0, 0), B -3, 7( ) , dan A(a, 0), dengan a > 0. Jika pada segitiga

AOB, ∠OAB = α dan ∠OBA = β, maka cos12

+α β( ) = .... (Soal UM UGM Tahun 2013

Kode 261)

A. 14

B. 14 2

C. 14 6

D. 7

E. 14 14

Pembahasan:Ilustrasi

7

y

oOB = 3 + 72 2

⇒ OB = 4

xAP

B

θ

β

α

aO-3

misal ∠AOB = θ, berlaku

θ α β

α β θα β θ

α βθ

+ + =

+ = −+

= −

+( ) =

180

180

290

212 2

o

o

o

cos sin

Perhatikan ∆POB!

∠ = −∠ =

=

⇒ − =

⇒ =

POBPOB

o180

34

1 212

34

12

78

2

2

θθ

θ

θ

θ

cos -cos

cos -

sin -

sin

⇒⇒ = =sin12

7

8

14

14θ

WWW.E-SBMPTN.COM

5

∠ = −∠ =

=

⇒ − =

⇒ =

POBPOB

o180

34

1 212

34

12

78

2

2

θθ

θ

θ

θ

cos -cos

cos -

sin -

sin

⇒⇒ = =sin12

7

8

14

14θ⇒ = =sin

12

7

8

14

14θ

Jawaban: E

3.

A B 50

D

40o 20o

C

Pada gambar, jika ∠CAD = 40o, ∠ACD = 20o, dan BC = 50, maka panjang ruas garis AD adalah .... (Soal UMB Tahun 2013 Kode 183) A. 25(sin 20°)2

B. 25(cos 20°)2

C. 25(tan 20°)2

D. 25(cot 20°)2

E. 25(sec 20°)2

Pembahasan:

A B 50

D

40o 20o

C

Perhatikan

tan

tan

20

50 20

o

o

BDBC

BD

=

⇒ =

Perhatikan

sin

sin

tansin

sincos

40

40

50 2040

50 2020 2

o

o

o

o

o

o

BDAD

ADBD

AD

AD

=

⇒ =

=

=ssin cos

sec

20 20

25 202

o o

oAD

( )=

Jawaban: E

WWW.E-SBMPTN.COM

6

4. Jika sin2t (csc2t – 1)(1 – sint + sin2t – sin3t + ... = x, dengan π

≤ π2

< t , maka nilai dari cos t adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2012 Kode 521)

A. 1 1 2− −( )x B. - 1 1 2− −( )x C. - 1 1 2+ −( )x D. -

1

1 1 2− −( )x

E.

1

1 1 2+ −( )x

Pembahasan:

sin2t (csc2t – 1)(1 – sint + sin2t – sin3t + ... = x

⇒ −

−

sin

sin sin2

2

11

11

tt t

11

2−−

=sinsin

tt

x

maka x = 1 + sin t atau sin t = x – 1Karena t kuadran II makasin t = x – 1 > 0

sin t = x −1

1

x – 1 I

t

1 1 2− −( )x

maka cos t = - 1 1 2− −( )x

dengan cos t < 0

Jawaban: B

5. Diketahui segitiga dengan titik sudut (-3, 0), (3, 0), dan (3 cos θ, 3 sin θ) untuk 0 ≤ θ ≤ 2π. Banyak nilai θ yang mungkin agar luas segitiga tersebut 8 adalah .... (Soal SNMPTN Tahun 2012 Kode 334)A. 4B. 3C. 2

WWW.E-SBMPTN.COM

7

D. 1E. 0Pembahasan:

C

At

3

θB

3x

-3

Luas ∆ = ( )( )12

alas tinggi

Luas ∆ = × × =12

6 3 8sinθ

sin =

89

θ

sin =89

θ atau sin = -89

θ

maka θ yang memenuhi ada 4, karena θ mencakup semua kuadranJawaban: A

6. Dalam segitiga ABC, jika sudut α berhadapan dengan sisi a dan sudut β berhadapan dengan sisi b, maka

tan

tan

1212

α β

α β

+( )

−( ) = .... (Soal SIMAK UI Tahun 2012)

A. a ba b

−+

B. a ba b

+−

C. a ba b−+

2

D. a ba b++

2 E. a b

a b+−

2 Pembahasan:

A B

C

a

α

b

β

misal ∠C = θ α + β + θ = 180o

a b

a bba

sin sin

sin sin sin sin

α β

β α β α

=

= → =

WWW.E-SBMPTN.COM

8

tan

tan

sin cos

sin cos

1212

12

12

12

12

α β

α β

α β α β

α β α

+( )

−( )=

+( ) −( )

−( ) + ββ( )

=+[ ]

−[ ]

=+

=+−

1212

sin sin

sin sin

sin sin

sin - sin

α β

α β

α α

α α

ba

ba

a ba b

Jawaban: B

7. Pada segitiga ABC diketahui sudut α, β, dan γ berhadapan dengan sisi a, b, c. Jika a2(a + cos α) = 2 bc sin2 α, maka .... (Soal SIMAK UI Tahun 2011) A. α = βB. α = γC. β = γD. α = β = γE. salah satu sudut adalah siku-siku Pembahasan:a2(a + cos α) = 2 bc sin2 αa2(a + cos α) = 2 bc (1 – cos2 α)a2(a + cos α) = 2 bc (1 + cos α)(1 – cos α)a2(a + cos α) – 2 bc (1 + cos α)(1 – cos α) = 0(1 + cos α) (a2 – 2 bc (1 – cos α)) = 0(1 + cos α) (a2 – 2 bc + 2 bc cos α) = 0• 1 + cos α = 0 cos α = -1 α = 180° (tidak mungkin)• a2 – 2 bc + 2 bc cos α = 0 a2 = 2 bc – 2 bc cos α b2 + c2 – 2 bc cos α = 2 bc – 2 bc cos α b2 + c2 – 2 bc = 0 (b – c)2 = 0 b = c β = γ

Jawaban: C

WWW.E-SBMPTN.COM

9

8. Diketahui bahwa a dan b adalah besar dua suku pada sebuah segitiga. Jika sin sina b+ =12

2

dan cos cosa b+ =12

6, maka cos (a – b) = .... (Soal SIMAK UI Tahun 2010)

A. -1

B. -12

C. 0

D. 12

E. 1Pembahasan:

sin sina b+ =12

2

cos cosa b+ =12

6

pangkat dua

sin sin sin sin2 2 2

12

a b a b+ + =

cos cos cos cos2 2 232

a b a b+ + =

1 + 1 + 2 cos (a – b) = 2 cos (a – b) = 0

Jawaban: C

9. Diketahui segitiga ABC, dengan AB = 1 cm, BC = 2 cm, dan AC = k cm. Jika α adalah sudut

ACB, maka nilai-nilai k yang memenuhi cosα <78

adalah .... (Soal SNMPTN Tahun 2008) A. 3

22< <k

B. 32

2 0< < <k atau k

C. 12

1< <k

D. 12

1 0< < <k atau k

E. 032

< <k

WWW.E-SBMPTN.COM

10

Pembahasan:

A B

C

a = 2 cmb = k cm

c = 1 cm

α

cosα =+ −

<a b c

ab

2 2 2

278

=+ −× ×

− <

=+

− <

+ −<

− +<

−(

4 12 2

78

0

34

78

0

2 6 78

0

2 7 68

0

2 3

2

2

2

2

kk

kk

k kk

k kk

k )) −( )<

k

k

2

80

k k k= = ≠32

2 0, ,

garis bilangan

k20

++ ––

k atau k< < <032

2

k atau k< < <032

2

Jawaban: B

10. Dalam sebuah segitiga ABC, diketahui tan α = -4 dan cos 2 β = -119169

, dimana 45o < β < 90o, maka nilai dari tan γ adalah ....

A. 553

B. 6

53 C. 7

53 D. 8

53 E. 9

53

WWW.E-SBMPTN.COM

11

Pembahasan:• cos 2 β = -

119169

⇒ − =

⇒ =

⇒ =

⇒ =

2 1119169

250

16925

1695

13

2

2

2

cos -

cos

cos

cos

β

β

β

β

B

β

5

12 ⇒ βtan =

125

• α + β + γ = 180o

γ α β

γ α β

= − +( )= +( )

180o

tan -tan

=+

=+

−

-tan tantan tan

--

-

α βα β1

4125

1 4125

=

=- -8

538

53

Jawaban: D

WWW.E-SBMPTN.COM

12

Soal Latihan

1. Misalkan sudut pada segitiga ABC adalah A, B, C. Jika sin B + sin C = 2 sin A, maka nilai dari

tan tanB C2 2

adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2010 Kode 504)

A. 13

B. 43

C.

12 6

D. 1

6 3

E. 2122

2. Diketahui segitiga ABC dengan AC = 2, AB = 3, dan BC = 7 . Jika α menyatakan sudut BAC,

β menyatakan sudut ABC, p = cos 2α dan q = cos 2β, maka 8p2 + 7q sama dengan .... (Soal UMB Tahun 2008 Kode 380)A. 3B. 4C. 5D. 6E. 7

3. Dalam segitiga ABC, diketahui sudut α, β, γ berhadapan dengan sisi a, b, c. Jika b > c, maka

b cb c

−+

= .... (Soal SIMAK UI Tahun 2012)

A.

sin

cos

12

12

β γ

α

−( )

( )

B. cos

sin

12

12

β γ

α

−( )

( )

C. tan

sin

12

12

β γ

α

−( )

( )

WWW.E-SBMPTN.COM

13

D.

tan

tan

12

12

β γ

α

−( )

( )

E.

tan

cot

12

12

β γ

α

−( )

( )

4. Jika pada sebuah segitiga ABC diketahui sudutb α, β, γ berhadapan dengan sisi a, b, c,

maka a cos12

β γ−( ) = .... (Soal SIMAK UI Tahun 2011)

A. b c+( ) sin12

α B. b c+( )cos

12

α C. b c+( )tan

12

α D. b c+( )cot

12

α E. b c+( )csc

12

α

5. Perhatikan gambar berikut.

b a

α β

γ

Bila tan tan tan tan

12

12

12

12

23

α β β γ× + × = , maka ....

A. a + c = bB. a + c = 2bC. a – c = bD. a – c = 2bE. a + b = 2c

WWW.E-SBMPTN.COM

1

MATEMATIKA

Set 12TRIGONOMETRI 2

A. RINGKASAN MATERIa. sin x = sin α ⇒ x = α + k . 30o k = 0, 1, 2, ... ⇒x = 180o – α + k . 360o, k = 0, 1, 2, ... b. cos x = cos α ⇒x = + α + k . 360o, k = 0, 1, 2, ... c. tan x = tan α ⇒x = α + k . 180o, k = 0, 1, 2, ... d. A cos x + B sin x = k cos(x – α)

dengan k A B= +2 2

tanα =

BA

Penentuan kuadran α A > 0, B > 0 α kuadran I A < 0, B > 0 α kuadran II A < 0, B < 0 α kuadran III A > 0, B < 0 α kuadran IV


TOP LEVEL - XII SMA

WWW.E-SBMPTN.COM

2

e. Jumlah sin dan cos sin sin sin cos

sin sin cos sin

cos cos

A BA B A B

A BA B A B

A

+ =+ −

− =+ −

+

22 2

22 2

BBA B A B

=+ −

22 2

cos cos

cos cos - sin sinA B

A B A B− =

+ −2

2 2

f. sin cos sin sinA B A B A B= +( ) + −( ) 12

cos sin sin sin

cos sin cos cos

A B A B A B

A B A B A B

= +( ) − −( )

= +( ) + −

1212

(( )

sin sin - cos cosA B A B A B= +( ) − −( ) 12

g. sin sin cos cos sinx y x y x y±( ) = ±

cos cos cos sin sin

tantan tan

tan tan

x y x y x y

x yx y

m x y

±( ) = ±

±( ) = ±1

Contoh Soal

1. Banyaknya solusi dari persamaan sin cosx x+ =2 04 untuk -2π < x < 2π adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2013 Kode 236)A. 0B. 1C. 2D. 3E. 4

Pembahasan:

sin cosx x+ =2 04

dipenuhi bila sin cosx dan x= =0 2 04


WWW.E-SBMPTN.COM

3

• sinx = 0

sin

sin sin

x

x

x k

x k

k x x

k

o

o o

o o

o o

=

=

= + ×

= + ×

= = =

0

0

0 360

180 360

0 360 1801 2

== = = →{ }- - - - ,1 360 180 180 1803 4x xo o o o

• 2 04 cosx =

2 00

90

90 360

0 90 90

11 2

3

coscos

cos cos

-

xx

x

x k

k x x

k x

o

o o

o o

==

=

= ± + ×

= = =

= == = →{ }450 270 90 90 2704o o o o ox - , ,

Karena tidak ada irisan maka solsinya tidak adaJawaban: A

2. Jika sin2 t(csc2 t – )(1 – sin t – sin2 t – sin3 t + ...) = x , dengan π

π2< ≤t , maka nilai dari cos t

adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2012 Kode 521)

A. 1 1 2− −( )x B. - 1 1 2− −( )x C. - 1 1 2+ −( )x D. -

1

1 1 2− −( )x

E.

1

1 1 2+ −( )x

Pembahasan:sin2t (csc2t – 1)(1 – sint + sin2t – sin3t + ... = x

⇒ −

−

sin

sin sin2

2

11

11

tt t

11

2−−

=sinsin

tt

x

WWW.E-SBMPTN.COM

4

maka x = 1 + sin t atau sin t = x – 1Karena t kuadran II makasin t = x – 1 > 0

sin t = x −1

1

x – 1 I

t

1 1 2− −( )x

maka cos t = - 1 1 2− −( )x

dengan cos t < 0

Jawaban: B

3. Untuk -32

2π

π< <x , banyaknya nilai x yang memenuhi persamaan

sin cos cos2 3 2 56

22

x x x+( ) − = −

πadalah ....

A. 4B. 3C. 2D. 1E. 0Pembahasan:

Bentuk 3 2 2 2cos sin cosx x A x+ = −( )θ

• A = ( ) +3 12

2

A = 2

• tanθ = =1

3

13

3 θ

π=

6

Bentuk sin cos cos2 3 2 56

22

x x x+( ) − = −

π

Persamaan pada soal bisa dinyatakan 2 2

65

62

26

5

cos cos

cos

x x

x

−

− = −

−

=

π π

π

WWW.E-SBMPTN.COM

5

Nilai - cos1 26

1≤ −

≤x

π maka untuk cos 2

65x −

=

π tidak ada nilai x memenuhi

Jawaban: E

4. cot 105o . tan 15o .... (Soal SBMPTN Tahun 2013)A. -7 4 3+

B. 7 4 3+

C. 7 4 3−

D. -7 4 3−

E. -7 2 3+

Pembahasan:cot 105o . tan 15o = -tan2 15o

= −( )( )=

−+ ×

=

- tan

-tan tan

tan tan

--

45 30

45 301 45 30

1

2

2

o o

o o

o o

113

3

113

3

3 3

3 3

3 3

3 3

12 6 36

2

2

2

+

=−+

×−−

=−

-

-

= −

= +

-

-

2 3

7 4 3

2

Jawaban: A

5. Nilai dari - sin sinsec cos

sin2 2 10 2 35

52

405

o oo o

o− −

adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun

2013)A. -4B. -2C. 0D. 2E. 4

WWW.E-SBMPTN.COM

6

Pembahasan: 2 2 2 35 10

2 105

2 2 10 405

2 2 4

- sin sinsin

cossin cos

sin

cos

o oo

o

o o

o( ) + + =

55 252 2 5 5

52 2 5 5 40

5

2

o oo o

o

o o o

o− + + =cossin cos

cossin cos cos

sin

2212

2 2 2 25 2 2 5 2 2 45 35

2 2 2 2 35

× + + + =

+ +

- cos sin cos cos

cos - c

o o o o

o oos sin

- sin sin sin

sin

25 2 2 5

4 2 2 2 30 5 2 2 5

4 2 2 5

o o

o o o

o

+ =

+ + =

− ++ =2 2 5 4sin o

Jawaban: E

6. Nilai sec 40° + sec 80° + sec 160° = .... (Soal SIMAK UI Tahun 2012)A. 2B. 4C. 6D. 8E. 10Pembahasan: 1

40180

1160

160 80 160 40 8

cos cos cos

cos cos cos cos

o o o

o o o ocos

+ + =

+ + 00 4040 80 160

40 2 160 80 2 160

o o

o o o

o o o o

coscos cos cos

sin cos cos cos

=

+ ccos cos cos

sin cos cos cos

40 2 80 40

2 40 40 80 1

o o o

o o o

+( )

660o =

12

40240 80 200 120 120

sincos cos cos cos cos coso

o o o o o+ + + + + 44018

320

o

osin

=

- - cos cos cos

- - cos co

412

80 2012

12

40

432

80

+ − − − +

=

+ +

o o o

o ss cos

- - cos cos cos

40 20

432

2 60 20 20

o o

o o o

−

=

+ −

= -- - cos cos4

32

20 20 6+ −

= o o

Jawaban: C

WWW.E-SBMPTN.COM

7

7. Jika sin x + cos x = -15

dan 34π ≤ x < π, maka nilai sin 2x adalah .... (Soal SNMPTN Tahun

2011 Kode 591)

A. -2425

B. -

725

C. 725

D. 8

25 E. 24

25

Pembahasan:

sin cos -

sin cos

sin

sin -

x x

x x

x

x

+ =

+( ) =

+ =

=

15

125

1 21

25

22425

2

Jawaban: A

8. Jika sudut lancip ϕdan θ memenuhi persamaan (cos ϕ + cos θ)2 + (sin ϕ – sin θ)2 = 1 , maka tan (ϕ+ θ)= .... (Soal UMB Tahun 2011)A. - 3

B. -13 3

C. -1

D. 13 3

E. 3 Pembahasan:

cos cos sin sin

cos cos sin sin

ϕ θ ϕ θ

ϕ θ ϕ θ

+( ) + −( ) =

+ + +

2 2

2 2 2 2

1

++ − =

+ + +( ) =

+( ) =

2 2 1

1 1 2 1

12

cos cos sin sin

cos

cos -

ϕ θ ϕ θ

ϕ θ

ϕ θ

ϕϕ θ+ =120o

WWW.E-SBMPTN.COM

8

cos cos sin sin

cos cos sin sin

ϕ θ ϕ θ

ϕ θ ϕ θ

+( ) + −( ) =

+ + +

2 2

2 2 2 2

1

++ − =

+ + +( ) =

+( ) =

2 2 1

1 1 2 1

12

cos cos sin sin

cos

cos -

ϕ θ ϕ θ

ϕ θ

ϕ θ

ϕϕ θ+ =120o

maka tan (ϕ+ θ)= tan 120o = -tan 60o = - 3 Jawaban: A

9. Jumlah dari semua nilai sin x dimana 0° < x < 180° yang memenuhi cos2 x – 3 sin x cos x + 2 sin2 x = 2 adalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2011)

A. 2

10

B. 12

+2

10

C. 3

2 D. 1

1

10−

E. 1+

1

10

Pembahasan:cos2 x – 3 sin x cos x + 2 sin2 x = 2cos2 x + sin2 x – 3 sin x cos x + sin2 x = 21 – 3 sin x cos x + 1 – cos 2x = 2-3 sin x cos x – cos2 x = 0-cos x (3 sin x + cos x) = 0maka cos x = 0 atau 3 sin x + cos x = 0 3tan x + 1 = 0 x =

π2

sin x = 1 tan x = -13

3

-110

sinx =

1

10

Jawaban: E

WWW.E-SBMPTN.COM

9

10. Selesaikan persamaan tan 2x + 2sin x = 0, untuk 0 < x ≤π adalah x1 dan x2. Nilai x1 + x2 adalah .... (Soal SNMPTN Tahun 2011 Kode 659)A. 2π

B. 53π

C. 32π

D. 43π

E. 34π

Pembahasan:tan 2x + 2sin x = 0, 0 < x ≤π sincos

sin

sin coscos

sin

sincos

22

2 0

22

2 0

2

xx

x

x xx

x

xx

+ =

+ =

+

ccoscos

sin cos cos

cossin

22

0

2 2 1

20

2

2

xx

x x x

xx

=

+ −( )=

22 1 1

20

cos cos

cos

x x

x

−( ) +( )=

sin x = 0 cos x = -1x = 0o (salah) x = 180o

x = 180o (benar)

cos x = 12

x = 60o (benar)nilai x1, x2 yang memenuhi x1 = 60° dan x2 = 180°

maka x1 = x2 = 240o = 43π

Jawaban: D

WWW.E-SBMPTN.COM

10

Latihan Soal

1. Diketahui sin A + sin B = 1 dan cos a + cos B = 53

. Nilai cos (A– B) = .... (Soal SBMPTN Tahun 2013)

A. 1

B. 12 3

C. 1

2 2 D. 1

2 E.

13

2. Nilai dari cos a . cos 2a . cos 3a ... cos 2015a dimana a =

22015π

adalah ....

A. 12

B. 12015

C. 1

20152

D. 122015

E.

120152015

3. Diberikan persamaan (1 + tan 1o)(1 + tan 2o) ... (1 tan 45o) = 2n maka nilai n adalah ....

A. 20B. 22C. 23D. 45E. 90

4. Nilai dari (1 – cot 22°)(1 – cot 23°) adalah ....A. 1B. 2C. 3

WWW.E-SBMPTN.COM

11

D. 4E. 5

5. Nilai dari sin10o . sin 50o . sin 70o adalah ....

A. 12

B.

14

C. 1

8

D. 1

6 E. 1

32

WWW.E-SBMPTN.COM

1

Set 13PERTIDAKSAMAAN TRIGONOMETRI

A. RINGKASAN MATERILangkah-langkah penyelesaian pertidaksamaan:

1. Buat pertidaksamaan dalam bentuk tunggal • sinf(x)<c • cosf(x)<c • tanf(x)<c carinilaixyangmemenuhipersamaannya laludibuatkandiagramtanda,dengan

memperhatikandomain.

2. Buatpertidaksamaandalambentukfaktor,denganruaskanannol,[sinf(x)][cosg(x)]<0

carinilaixyangmemenuhi sinf(x)=0dancosg(x)=0 khususuntuktanf(x),makaf(x)≠180n–90,dengannilainbilanganbulat,nilaix

dimasukkankedalamdiagramtanda,dengantetapmemperhatikandomain.

3. Buatpertidaksamaandalambentukpecahantunggaldenganruaskanannol

misal sin

cos

f x

g x( )( )

< 0

dengansyaratcosg(x)≠0

MATEMATIKA


TOP LEVEL - XII SMA

WWW.E-SBMPTN.COM

2

cari pembuatnol dari sin f(x) dan cosg(x) kemudianditempatkanpadadiagramtanda.

Contoh Soal

1. Nilai 3 sinx–cosx<0,jika....(Soal SNMPTN Tahun 2012) A. 7

611

7π π< <x

B. 56

76

π π< <x

C. 57

107

π π< <x

D. π π6

96

< <x

E. π π

1254

< <x

Pembahasan:• 3 sinx–cosx<0 2cos(x–120o)<0 cos(x–120o)<0

• caripembuatnol cos(x–120o)=0 cos(x–120o)=cos90o

x–120o=+90o+k.260o

untukk=0 x1=210° x2=30° k=1 x3=570° x4=390°

• membuat diagram tanda

30o

– – –+ +

210o 390o 570o

diantara pilihan yang memenuhi hanya 5

676

π π< <x

Jawaban: B


WWW.E-SBMPTN.COM

3

2. Semuanilaix∈[0,2π]yangmemenuhipertidaksamaansinx+tan2x<0adalah....(Soal SNMPTN Tahun 2011 Kode 523)

A. π π2

32

< <x

B. ππ

ππ

232

2< < < <x atau x C. 0<x<π

D. π π ππ

3 232

2< < < <x atau x E. π π

332

< <x Pembahasan:

sin tan

sinsincos

cos sin sincos

sin cos

x x

xxx

x x xx

x x

+ <

+ <

+<

+

2 0

2 0

20

2(( )<

cosx0

mencaripembuatnol:i. sinx =0 x =0°+k.360° x =180°+k.360° untukk=0 x1=0° x2=180°k=1 x3=360°ii. cosx=0 cosx=cos90° x =±90°+k.360° untukk=0 x3=90° k=1 x4=270° membuat diagram tanda pada garis bilangan

360o

x270o

ujidenganx=60o

180o90o0

makadiagramtandamenjadi

WWW.E-SBMPTN.COM

4

360o

x270o180o90o0

+ +– –

maka himpunan penyelesaiannya

ππ

ππ

232

2< < < <x atau x Jawaban: B

3. Solusidaripertidaksamaanberikut.sinx>0,5tanx>1,0≤x≤2πadalah .... (Soal SIMAK UI Tahun 2010 Kode 508) A. x x x x

π π π π6 4 2

56

< <

∪ < <

B. x x

π π6

56

< <

C. x x

π π4 2< <

D. x x

π π6 2< <

E. x x

π π4

56

< <

Pembahasan:Pertidaksamaan 1sinx>0,5• carisolusisinx=0,5 sinx =sin30° x =30°+k.360° x =150°+k.360° untukk=0 x1=30° x2=150° k=1 tidakadayangmemenuhi• diagram tanda

ujidenganx=90o

0 2ππ6

56π

WWW.E-SBMPTN.COM

5

didapatsin90°=1>0,5,makadiagramtandanyamenjadi

0

– + –

2ππ6

56π

Hp1= x x

π π6

56

< <

Pertidaksamaan 2tanx>1mencarisolusitanx =1, x≠ tanx =tan45°x =45°+k.180°untukk=0 x3=45°=k=1 x4=225°=membuat diagram tanda

2π34π5

4ππ

4π2

0

ujix=60o

tan60o= 3 >1 diagramtandamenjadi

2π34π5

4ππ

6π2

0

– –+ +

Hp2=π π π π4 2

54

32

< < < <

x atau x

Solusisistemnya

0 π6

π4

π2

56π 5

4π 3

3π 5π

Hp= x xπ π4 2< <

Jawaban: C

WWW.E-SBMPTN.COM

6

4. Himpunan penyelesaian dari sin sinx x−

− +

+ ≥

π π6

56

2 0 untuk0≤x≤2π adalah ....

(Soal SIMAK UI Tahun 2010 Kode 605) A. x x

53

2π

π≤ ≤

B. x x0

3≤ ≤

π

C. x x0

23

≤ ≤

π

D. x x0

53

≤ ≤

π

E. x x

-π π3

53

≤ ≤

Pembahasan:

sin sin

cos

x x

x x

−

− +

+ ≥

− + +

π π

π π

656

2 0

2 656

2

− − +

+ ≥

+

sin

cos sin -

x x

x

π π

ππ

656

22 0

213 22

2 0

213

2 0

13

1

+ ≥

+

+ ≥

+

≤

- cos

cos

x

x

π

π

cos cos( )x

x

x

Tidak memenuhi

+

≤

+ ≤

≤ −

13

0

13

0

13

π

π

π

cos cos ( )

x

, |

x

x

Jadi x x

+

≤

+ ≤

≤

≤ ≤

13

2

13

2

53

053

π π

π π

π

π

Jawaban: D

WWW.E-SBMPTN.COM

7

5. Untuk0≤x≤π,makahimpunanpenyelesaiandari tanxsinx1

2cosxadalah .... (Soal

SIMAK UI Tahun 2009 Kode 965) A. x x x x

π π ππ

4 3 2≤ ≤

∪ ≤ ≤

B. x x x x

π π ππ

4 234

< <

∪ < ≤

C. x x x x

π π ππ

4 234

< ≤

∪ ≤ <

D. x x x x

π π ππ

4 3 2≤ <

∪ < <

E. x x x x

π π ππ

4 2 2≤ <

∪ < <

Pembahasan:

tan sincos

sincos cos

sincos

-coscos

x xx

xx x

xxxx

>

− >

−>

12

12

0

2 12

0

2

2

2

>>

<

0

20

coscos

xx

tan sincos

sincos cos

sincos

-coscos

x xx

xx x

xxxx

>

− >

−>

12

12

0

2 12

0

2

2

2

>>

<

0

20

coscos

xx

caripembuatnolpembilangdanpenyebut:1) cos2x=0

cos = cos2

xπ

22

2

4

x k

x k

= ± + ×

= ± + ×

ππ

ππ

untukk=0 x1=

22

2

4

x k

x k

= ± + ×

= ± + ×

ππ

ππ

k=1 x2=

34π

WWW.E-SBMPTN.COM

8

2) cosx=0

cos = cos

2x

π

x k= ± + ×

ππ

4

untukk=0 x3=π

2

membuat garis bilangan

34π ππ

4π2

0

ujix=60o

cos120cos 60

<0o

o(negatif )

maka diagram tandanya

++ ––

34π ππ

4π2

0

solusi:

Hp= x x x xπ π π

π4 2

34

< ≤

∪ ≤ <

Jawaban: C

6. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2 sincos

cossin

− θθ

≤θθ untuk 0<

2θ ≤

π adalah ....

(Soal SNMPTN Tahun 2010 Kode 528)

A. 0<6

θ ≤π

B. 0

6≤ θ ≤

π

C. 0

3< θ <

π

D.

π< θ ≤

π6 3

E. π

< θ ≤π

6 3

WWW.E-SBMPTN.COM

9

Pembahasan: 2 sincos

cos sin

2sin sin cos sin , cos >0

2si

2 2

− θθ

≤θθ

θ− θ ≤ θ θ θ{ }nn sin cos 0

2sin 1 0

sin 12

2 2θ− θ− θ ≤θ− ≤

θ ≤

dipenuhi

06

≤ θ ≤π

Jawaban: B

7. Nilai-nilaix,untuk0<x<πyangmemenuhicos3x>sinxadalah....(Soal SIMAK UI Tahun 2012)

A. 08 2

34

< < < <x xπ π π,

B. 08

58

34

< < < <x xπ π π,

C. 0

4 234

< < < <x xπ π π,

D. 34π

E. π8

Pembahasan:cos3x>sinxcos3x>cos(90°–x)3x=±(90°–x)+k.360°(i) 3x=(90°–x)+k.360° 4x=90°+k.360° x=22,5°+k.120°(ii) 3x=-90°+x+k.360° 2x=-90°+k.360° x=-45°+k.180° untukk=0 x1=22,5°=

π8

x2=142,5°=

π8

x3=34π

WWW.E-SBMPTN.COM

10

makabilakitacaridiagramtandanya

+ +– –

0 π8

58π 3

4π π

08

58

34

< < < <x xπ π π,

Jawaban: B

8. Nilai-nilaix,untuk0°≤x≤360°yangmemenuhisinx+sin2x>sin3xadalah....(Soal SIMAK UI Tahun 2011)A. 0°<x<120°,180°<x<240°B. 0°<x<150°,180°<x<270°C. 120°<x<180°,240°<x<360°D. 150°<x<180°,270°<x<360°E. 0°<x<135°,180°<x<270°Pembahasan:sinx+sin2x>sin3xsin3x–sinx–sin2x<02cos2xsinx–2cosxsinx<02sinx(cos2x–cosx)<02sinx(2cos2x–cosx–1)<02sinx(2cosx+1)(cosx–1)<0

sinx=0ataucosx=12ataucosx=1

dengan menyelesaikan 3 persamaan di atas didapatx=0°,x=120°,x=180°,x=240°,x=360°membuat diagram tanda + ++ +

0 120o 180o 240o 360o

Himpunan penyelesaian{x|0°<x<120°,180°<x<240°}

Jawaban: A

9. Solusidaripertidaksamaan5+2cosx≤3|2sinx–1|untuk0≤x≤2π adalah .... A. 90°≤x≤270°B. 90°≤x≤210°atau330°≤x≤360°C. x=90°atau210°≤x≤330°

WWW.E-SBMPTN.COM

11

D. x<90°atau210°≤x≤270°E. 210°≤x≤330°Pembahasan:5+2cosx≤3|2sinx–1|5+2(1–2sin2x)≤3|2sinx–1|7–4sin2x≤3|2sinx–1|

misaly=sinx7–4y2≤3|2y–1|

• bila y ≥ 12

7–4y2≤3(2y–1) 4y2+6y–10≥0 2y2+3y–5≥0

y≥1atauy≤-52

solusidiatasdiiriskandengany≥12

didapat y ≥ 1

• bilay<12

7–4y2≤-3(2y–1) 4y2–6y–4≥0 2y2–3y–2≥0

y≤-12

atau y ≥ 2

diiriskandengany<12didapatkany≤-

12

Jadi yang memenuhi pertidaksamaan

sinx≥1dansinx≤-12

untuksinx≥1yangbisadipenuhiadalahsinx=1sehingga sinx =1 sinx =sin90° x =90°+k.360°k=0 x=90°k=1dsttidakmemenuhi

untuksinx≤-12

sinx=sin-30°x=-30°+k.360°x=210°+k.360°

WWW.E-SBMPTN.COM

12

untukk=0 x=210°k=1 x=330°pada garis bilangan berlaku

+ – +

210o 330o

210°≤x≤330°solusinyax=90°atau210°≤x≤330°

Jawaban: C

10. Solusidaripertidaksamaan sin cos6 6 1316

x x+ > dengan -π π2 2≤ ≤x adalah ....

A. {x|-90o≤x≤-75o ∪ -15o≤x≤15o ∪ 75o≤x≤90o} B. {x|-90o<x≤-75o ∪ -15o≤x≤15o ∪ 75o≤x<90o}C. {x|x≤-75o ∪ -15o≤x≤15o ∪x≥75o} D. {x|-15o≤x≤-15o} E. {x|15o≤x≤75o}

Pembahasan: sin cos

sin cos sin sin cos cos

6 6

2 2 4 2 2 4

1316

1316

x x

x x x x x x

+ >

+( ) − +( ) >

11 31316

1 312

21316

3

2 2 2 2 2

2

sin cos sin cos

sin

x x x x

x

+( ) −( ) >−

>

442

316

214

12

12

414

12

414

412

2

2

sin

sin

cos

- cos

cos

x

x

x

x

x

<

<

− <

< −

>

WWW.E-SBMPTN.COM

13

cos

cos cos

412

4 60

4 60 360

15 90

x

x

x k

x k

o

o o

o o

=

=

= ± + ×

= ± + ×

untukk=-1 x=-75° k=0 x1=15° x2=-15° k=1 x3=75°berlaku pada garis bilangan

-90o

+ – + – +

-75o -15o 15o 75o 90o

{x|-90o≤x≤-75o ∪ -15o≤x≤15o ∪ 75o≤x≤90o} solusi

Jawaban: A

Latihan Soal

1. Himpunan penyelesaian sin tan ,2 2 02

x x x+ ≥ ≤ ≤π

adalah ....

A. 08

< ≤xπ

B. 04

< ≤xπ

C. 04

≤ ≤xπ

D. π π

4 4≤ <x

E. π π

4 2≤ ≤x

2. Himpunan penyelesaian dari 54

14

2 22 2sin sin cosx x x+ > dengan0≤x≤2π adalah ....

A. π π π π6 2

56

76

< < ∪ < <x x B. π π π

π6

72

116

2< < ∪ < <x x

WWW.E-SBMPTN.COM

14

C. π π π π6

52

76

116

< < ∪ < <x x

D. 06

56

116

≤ < ∪ < <x xπ π π

E. π π

611

6< <x

3. Himpunanpenyelesaian|tanx|> 3 ,0°≤x≤180°adalah....

A. 60o<x<90o B. 60o<x<90o∪ 120o<x<180o C. 60o<x<90o∪ 90o<x<120o D. 60o<x<120o∪ 150o<x<180o E. 120o<x<180o

4. Himpunanpenyelesaian|sinx|+|cosx|>1,0≤x≤π adalah ....

A. 0<x<π B. 0≤x<π

C. 02

≤ ≤xπ

D. 0<x< π2

E. π3<x<

π2

5. Himpunan penyelesaian dari

sinx+cosxsinx cosx

> 3−

,0≤x≤2π adalah ....

A. 45o<x<75o ∪ 225o<x<235o B. 45o<x<75o ∪ 255o<x<255o C. 45o<x<90o ∪ 255o<x<255o D. 45o<x<135o ∪ 255o<x<315o E. 45o<x<135o

WWW.E-SBMPTN.COM

1

MATEMATIKA

Set 14LIMIT

A. RINGKASAN MATERIa. Limit aljabar bentuk

00

, diselesaikan dengan 1. Faktorisasi 2. Dalil L’Hospital

Lim

f x

g xLim

f x

g x

f a

g ax a x a→ →

( )( )

=( )( )

=( )( )

’

’

’

’

b. Limit aljabar betuk ∞∞

, gunakan pembagian pangkat tertinggi

c. Limx

xLim

xxx x→ →

= =0 0

1sin tan

d. Rumus bantu bentuk limit trigonometri

cos sin

cos cos sin

cos sin

cos sin

AxA

x

x x x

x x

x x

= −

= −

− =

= −

1 22

2

1

2

2

2 2

2 2

π

+( ) = +−

tantan tan

tan tanx y

x yx y1


TOP LEVEL - XII SMA

WWW.E-SBMPTN.COM

2

Contoh Soal

1. Limx

x xx→

−0

31 costan

.... (Soal UM UGM Tahun 2013)

A. 0

B. 12

C. 34

D. 32

E. 3 Pembahasan:

Limx

x xx→

−0

31 costan

=−( ) + +( )

=( ) × + +( )

=

→Lim

x x x

x x

x

x

x 0

2

2 2

2

1 1

12

1 1 1 1 32

cos cos cos

tan

Jawaban: D

2. Diketahui bahwa Limf x g x g x f x

f x xx→

( )× ( ) − ( ) + ( ) −( ) − −( )5

3 3

3 5terdefi nisi. Nilai dari g(5) = .... (Soal

SIMAK UI Tahun 2013) A. 3B. 2C. 1D. 0E. -1Pembahasan:

Limf x g x g x f x

f x xLim

g x f xx x→ →

( )× ( ) − ( ) + ( ) −( ) − −( )

=( ) ( )

5 5

3 3

3 5

−− + ( ) − ( ) − −( )

=( ) − × ( ) +

→

3 3

3 5

3 15

f x

f x x

Limf x g x

x

( ) − −( )f x x3 5

maka g(5) + 1 = 0 → g(5) = -1Jawaban: E


WWW.E-SBMPTN.COM

3

3. Limx x

xx→ −0

31tan sin

cos = .... (Soal SBMPTN Tahun 2013)

A. 0B. 1C. 3 D. 6 E. 6

Pembahasan:

Lima bx cx

nxa b c

nx→ −=

× ×0 21

2

tan sincos

Limx x

xLim

x xxx x→ →−

=−

=× ×

=0 0

31

31

3 1 112

6tan sin

costan sin

cos

Jawaban: D

4. Limx xx xx→

− +0

2 1sin costan


A. 32

B.

12

C. -

12

D. -1 E. -2

Pembahasan:

Limx xx xx→

− +0

2 1sin costan

Limx x

x xLim

x xx xx x→ →

+

=

××

+0

2 2

0

212 2sin sin

tansin sin

tan

sin112

12

112

32

x

x

x

x×

= + =

sin

tan

Jawaban: A

5. Limx

X X X→∞

+( )5 531


A. 0B. 1

WWW.E-SBMPTN.COM

4

C. 10D. 25E. 125Pembahasan:

Lim Limx

X X Xx

X X X

→∞ →∞+( ) = +( ) 5 5 5 1 53

12

1

= × +( ) = × +

= × =

→∞ →∞Lim Limx

X Xx x

x5 1 5 5 5

15

1

5 5 125

21

22

1

2

Jawaban: E

6. Limx

x xx→∞

+

+

7

4 32 = .... (Soal SIMAK UI Tahun 2012)

A. -∞

B. -12

C. 0

D. 12

E. ∞Pembahasan:

Limx

x xx→∞

+

+

7

4 32

misal: pxp

=→ ∞→∞

-

Limp

p p

Limp

p

p

p

→∞

→∞

+

−+

=

-

--

7

4 3

72

12

2

Jawaban: B

7. Lim

x

x xX→

−

+

0

2

2

1

4

cos

cotπ = .... (Soal SNMPTN Tahun 2012)

A. -1

B. 0C. 1

WWW.E-SBMPTN.COM

5

D. 22

E. 3 Pembahasan:

Lim

x

x xX→

−

+

0

2

2

1

4

cos

cotπ = tan

π4

1

=

Jawaban: C

8. Lima b

ab

a bab

a b→

−

+ −

−

tan tan

tan tan1 1= .... (Soal SIMAK UI Tahun 2011)

A. 1b

B. bC. -b

D. - 1b

E. 1Pembahasan:

Lima b

ab

a bab

a b→

−

+ −

−

tan tan

tan tan1 1= Lim

a b

a bab

a ba b→

+( ) +( )tan - tan

tan tan - tan tan1 1

Lima b

ab

a bLim

a bb a

b

a b a b→ →

−

−

+[ ]

=−( )

−( )tan tan

tan tan

tan

1 1==

−( )−( )

=→

Limb a b

a bb

a b

- tan-

Jawaban: C

9. Jika Limg x

xx→

( )=

02 , maka Lim

g x

xx→

( )− −0 1 1

= .... (Soal SNMPTN Tahun 2011)

A. -4B. -2C. 1D. 2E. 4

WWW.E-SBMPTN.COM

6

Pembahasan:

Limg x

xLim

g x

xx

x

Limg x

xLim

x

x

x x

x x

→ →

→ →

( )− −

=( )

×− −

( )×

− −

0 0

0 0

1 1 1 1

1 1

== × =211

2 1

4-

-

Jawaban: A

10. Jika diketahui Limax x b

xx→

+−

=0 1

1sin

cos, maka nilai a dan b yang memenuhi adalah .... (Soal

SIMAK UI Tahun 2010)

A. a = 12

, b = 0

B. a = 1, b = 1

C. a = 12

, b = 0

D. a = 1, b = -1E. a = 1, b = 0Pembahasan:

Limax x b

x

ax x b x

ax bx

x

x

x

→

→

→

+−

=

+ ≅ − −( )

+ ≅ − +

0

0

20 2

11

1

20

sincos

sin cos

⇒⇒∴ = =a b- ,12

0

Jawaban: A

Latihan Soal

1. Limx x xx xx→

−0

2 2 23sin costan


A. 2

B. 12

C. -1

WWW.E-SBMPTN.COM

7

D. -12

E. -2

2. Limx x

xx→

+

( )0

2 2

2

32 2

sintan = .... (Soal UMB Tahun 2013)

A. 0

B. 13

C. 34

D. 32

E. 52

3. Untuk t > 0 maka Limt t

tt→

+

+ −( )

0

1 11 1 = .... (Soal SIMAK UI Tahun 2010)

A. -∞

B. -12

C. 0

D. 12

E. ∞

4. Limx x x

xx→

− × −0

2 2

4

1 cos sin cos = ....

A.

12

B. 14

C. 18

D. 116

E. 132

WWW.E-SBMPTN.COM

8

5. Limx

x xx→ −0

3

tan sin = ....

A. 1B. 2C. 3D. 4

WWW.E-SBMPTN.COM

1

MATEMATIKA

Set 15TURUNAN 1

A. RINGKASAN MATERI

a. y = f(x) → = ( ) = ( )= =

+( ) − ( )→

y f xdf x

dxdydx

Limf x h f x

hh’ ’

0

b. Turunan Aljabar 1. y = k → y' = 0 2. y = kxn → y' = nkxn – 1 3. y = k[f(x)n] → y' = nk[f(x)]n – 1 f'(x) 4. y = f(x) + g(x) → y' = f'(x) + g'(x) 5. y = f(x) . g(x) → y' = f'(x) . g(x) + f(x) . g'(x) 6. y

f x

g xy

f x g x f x g x

g x=

( )( )

→ =( )× ( ) − ( )× ( )

( )’

’ ’2

c. Turunan Fungsi Trigonometri 1. y = sin x → y' = cos x 2. y = cos x → y' = sin x 3. y = tan x → y' = sec2 x 4. y = sin f(x) → y' = f'(x) cos f(x) 5. y = cos f(x) → y' = f'(x) sin f(x) 6. y = tan f(x) → y' = f'(x) sec2 f(x) 7. y = cot f(x) → y' = f'(x) csc2 x


TOP LEVEL - XII SMA

WWW.E-SBMPTN.COM

2

Contoh Soal

1. Jika f(x) = x2 + 5x + 1 dan g x Limf x f x h

hh( ) = ( ) − −( )

→0, maka grafi k fungsi y = (f – g)(x)

bersifat .... (Soal UMB Tahun 2013)A. tidak memotong sumbu YB. ada di atas sumbu XC. menyinggung sumbu XD. memotong sumbu X di dua titikE. ada di bawah sumbu X

Pembahasan:

g x Limf x f x h

hh( ) = ( ) − −( )

→0= f’(x) = 2x + 5

maka y = (f – g)(x) = (x2 + 5x + 1) – (2x + 5) y = x2 + 3x – 4 → memotong sumbu X di dua titik karena D > 0

Jawaban: D

2. Jika f(x) = cos2 x, 0 < x < π π π π6 2

56

76

< < ∪ < <x x, memenuhi persamaan 2f(x) – f’(x) = 1 , maka sin 4x = .... (Soal

UMB Tahun 2012)A. -1

B. -12

C. 0

D. 12

E. 1Pembahasan: f(x) = cos2 x2f(x) – f'(x) = 12cos2 x – 2cos x (-sin x) = 1(2cos2 x – 1) + 2sin x cos x = 0 cos 2x + sin2 2x = 0 (kuadratkan!) cos2 2x + 2cos 2x sin 2x + sin2 2x + 01 + sin 4x + 0 → sin 4x = -1

Jawaban: A


WWW.E-SBMPTN.COM

3

3. Diberikan f(x) = sin2 x. Jika f’(x) menyatakan turunan pertama dari f(x), maka

Lim f xh

f xX→∞

+

− ( )

’ ’1


A. sin 2xB. -cos 2xC. 2cos 2xD. 2sin xE. -2cos xPembahasan:

Lim f xh

f xX→∞

+

− ( )

’ ’1

= f''(x) sehingga f(x) = sin2 x f’(x) = 2 sin x cos x = sin 2x f’(x) = 2 cos 2x

Jawaban: C

4. Diketahui fungsi f dan g dengan g(x) = f(x2 + 2). Jika diketahui bahwa g’(1) = 2, maka f’(3) nilainya adalah .... (Soal SNMPTN Tahun 2010)A. 0B. 1C. 2D. 3E. 6 Pembahasan:g(x) = f(x2 + 2)g’(x) = 2x . f’(x2 + 2), substitusi x = 1g’(1) = 2 . f’(3) 2 = 2 . f’(3)f’(3) = 1

Jawaban: B

5. Diketahui fungsi y = ax cos x + bx sin x dan y” adalah turunan kedua dari y. Jika y” + y = sin x – 3 cos x, maka nilai a + b = .... (Soal SIMAK UI Tahun 2009) A. 2

B. 32

C. -12

WWW.E-SBMPTN.COM

4

D. -32

E. -2

Pembahasan:y = ax cos x + bx sin xy‘ = a cos x + ax (-sin x) + b sin x + bx cos xy‘ = (bx + a) cos x – (ax – b) sin x

makay” = b cos x – (bx + a) sin x – [a sin x + (ax – b) cos x]y“ = -(bx + 2a) sin x – (ax – 2b) cos xmakay“ + y = -2a sin x + 2b cos x = sin x – 3 cos x

kesimpulannya -2a = 1 dan 2b = 3

a = -12

b = -32

maka a + b = -2Jawaban: E

6. Jika f x x x3 2 1+( ) = + dan f’ adalah turunan pertama fungsi f, maka 12f’(11) = .... (Soal SNMPTN Tahun 2009)A. 9B. 11C. 12D. 14E. 15Pembahasan:

f x x x

df x

dxx

x

x

f x xx

xsubsti

3 2 1

3 21

2 1

3 3 2 12 1

+( ) = +

+( )= + +

+

+( ) = + ++

’ , ttusi x

f

f f

=

( ) = +

( ) = ⇒ ( ) =

3

3 11 43

2 4

3 1134

12 11 11

’

’

f x x x

df x

dxx

x

x

f x xx

xsubsti

3 2 1

3 21

2 1

3 3 2 12 1

+( ) = +

+( )= + +

+

+( ) = + ++

’ , ttusi x

f

f f

=

( ) = +

( ) = ⇒ ( ) =

3

3 11 43

2 4

3 1134

12 11 11

’

’ Jawaban: B

WWW.E-SBMPTN.COM

5

7. Diketahui fungsi f dan g dengan nilai f(2) = f(4) = g’(2) = g’(4) = 2 dan g(2) = g(4) = f’(2) = f’(4) dengan f’ dan g’ berturut-turut menyatakan turunan pertama fungsi f dan g. Jika h(x) = f(g(x)), maka nilai h’(2) adalah .... (Soal SNMPTN Tahun 2009)A. 40B. 32C. 24D. 16E. 8 Pembahasan:h(x) = f(g(x))h’(x) = f’[g(x)] . g’(x)suubstitusi x = 2 h’(2) = f’[g(2)] . g’(2) h’(2) = f’(4) . 2 = 4 . 2 = 8

Jawaban: E

8. Diketahui f xx x xx x x

( ) = − +− +

sin sin sincos cos cos

3 23 2

maka nilai dari f ’π6

adalah ....

A. 1

B. 32

C. 2D. 3E. 4Pembahasan:

f xx x x

x x x( ) =

+( ) −+( ) −

sin sin sin

cos cos cos

3 2

3 2

=−−

=−( )

2 2 22 2 2

2 2 1

2 2

sin cos sincos cos cos

sin cos

cos

x x xx x x

x x

x ccos

tan

x

x

−( )=

1

2

f x xx

f o

’ seccos

’cos

( ) = =

= =

22

2

21

2

61120

4π

Jawaban: E

WWW.E-SBMPTN.COM

6

9. Diketahui f(x) = x3 + ax2 + bx + c, jika f(1) = 3, f’(2) = 2, f’(-1) = 5, maka nilai 2a + b – c adalah .... A. 0B. 4C. 12D. -4E. -12Pembahasan:f(1) = (1)3 + a(1)2 + b(1) + c = 3 a + b + c = 2 . . . (1)f’(x) = 3x2 + 2ax + b

makaf’(2) = 3(2)2 + 2a(2) + b = 2 4a + b = -10 . . . (2)f’(-1) = 3(-1)2 + 2a(-1) + b = 5 -2a + b = 2 . . . (3)

(2) dan (3) dieliminasi, didapat a = -2, b = -2nilai a, b disubstitusi ke (1) didapat2a + b – c = 12

Jawaban: C

10. Turunan dari yxx

=−+

11

coscos

adalah ....

A. cosec xB. cosec x cotan xC. cosec x(cosec x – cotan x)D. cosec2 x – 1E. 1 – cotan2 xPembahasan:Sederhanakan

1

111

11

−+

=−+

×−−

coscos

coscos

coscos

xx

xx

xx

=

−( )−

=−

= −

1

11

2

2

cos

coscos

sincsc cot

x

xx

xx x

WWW.E-SBMPTN.COM

7

maka y' = -csc x . cot x + csc2 x y' = csc x(csc x – cot x)

Jawaban: C

Latihan Soal

1. Suatu fungsi f(x) = h(x2 + 1), bila f’(3) = 12, maka nilai dari h’(10) adalah .... A. 1B. 2C. 3D. 4E. 5

2. Diketahui f x

xx

xx

xx

L( ) =+

++

+

+

+2 2

2

2

3

1 1 1 maka f’(x) adalah ....

A. 1

1

2

2 2

+

− +( )x

x x

B. 1

1

2

2 2

−

− +( )x

x x

C.

1

12 2x x− +( )

D.

x

x x

2

2 21− +( )

E.

-x

x x

2

2 21− +( )

3. Diketahui fungs y = (x + 1)(x2 + 1)(x4 + 1)(x8 + 1)(x16 + 1). Nilai dari f’(0) adalah ....

A. -2B. -1C. 0D. 1E. 2

WWW.E-SBMPTN.COM

8

4. Bila f(x) = tan 2x, maka nilai Limf x a f x

aa→

−( ) − ( )0

2 adalah .... A. sec2 2xB. -sec2 2xC. 2sec2 2xD. -2sec2 2xE. -4sec2 2x

5. Diketahui fungsi f(x) = sin x + sin3 x + sin5 x + … maka

df x

dx( ) adalah ....

A. sec x(2tan2 x – 1)B. sec x(2tan2 x + 1)C. tan x(2sec2 x + 1)D. tan x(2sec2 x – 1)E. tan x(1 – 2sec2 x)

WWW.E-SBMPTN.COM

1

MATEMATIKA

SET 16TURUNAN 2

RINGKASAN MATERI

1. Gradien garis singgung di titik (x1, y1) pada kurva y = f(x)

mgs = f'(x1)

2. Fungsi Naik/Turunf(x) naik bila f'(x) > 0 f(x) turun bila f'(x) < 0 f(x) tidak naik bila f'(x) ≤ 0 f(x) tidak turun bila f'(x) ≥ 0

3. Maksimum/minimum fungsi• f(x) maksimum di x1 bila f'(x1) = 0 dan f''(x1) < 0 • f(x) minimum di x1 bila f'(x1) = 0 dan f''(x1) > 0

4. Titik belok fungsi(x1, y1) titik belok bila f''(x1) = 0


TOP LEVEL - XII SMA

16 WWW.E-SBMPTN.COM

2

CONTOH SOAL

1. Garis g menyinggung kurva y = x x −1 di titik (2, 2). Jika garis g memotong sumbu x di A dan memotong sumbu y di B, maka AB = … (UMB 2013)

A. 2 D. 2 5

B. 2 2 E. 5

C. 12 5

Pembahasan:• Persamaan garis g : y = mx + c di titik (2, 2)

m f’ x x x= (2) = 1 1 +12

1

= 1 2 1 +12

2 2 1

= 2

-12

-12

− −

− −

( )

( )

• y = 2x+ c melalui (2, 2) 2 = 2 (2) + c ⇒c = -2

y = 2x – 2

A

B

0

-2

1

AB = OA + OB

AB = 1 +(-2) = 5

2 2

2 2

Jawaban: E

2. Jika kurva f(x) = ax2 – bx2 + 1 mempunyai titik ekstrem (1, -5) maka kurva tersebut naik pada … (UM UGM 2013)

A. {x|x ≤ 0 atau x ≥ 2} D. {x|x ≤ -12

atau x ≥ 0}

B. {x|x ≤ 0 atau x ≥ 1} E. {x|x ≤ -2 atau x ≥ 1}C. {x|x ≤ -2 atau x ≥ 0}

CONTOH SOALCONTOH SOALCONTOH SOALCONTOH SOAL

WWW.E-SBMPTN.COM

3

Pembahasan:• f(x) = ax2 – bx2 + 1 f(1) = a – b + 1 = 5 a – b = -6 a + b = 6 ----- (1)

• Titik ekstrem → f'(x) = 0 f'(x) = 3ax2 – 2bx = 0 = 3a(1) – 2b(1) = 0 → 3a = 2b ----- (2) Dari persamaan 1 dan 2, didapat: A = 12, dan b = 18

• Kurva naik f'(x) ≥ 0 3 . 12x2 – 2 . 18x ≥ 0 ≥ 36x2 – 36x ≥ 0 – 36x (x – 1) ≥ 0

+0 1

+–

HP = {x|x ≤ 0 atau x ≥ 1} Jawaban: B

3. Diketahui f(x) = 13

x3 + x2 – 3x + 13. Jika g(x) = f(1 – x), maka kurva g naik pada selang …

(SBMPTN 2013)

A. -3 ≤ x ≤ 1 D. -4 ≤ x ≤ 0 B. -1 ≤ x ≤ 2 E. -3 ≤ x ≤ 3 C. 0 ≤ x ≤ 4 Pembahasan:

f(x) = 13

x3 + x2 – 3x + 13

g(x) = f(1 – x)

g(x) = 13

+ (1 – x)3 + (1 – x)2 – 3(1 – x) + 13 g naik, jika g(x) ≥ 0 -1(1 – x)2 – 2(1 – x) + 3 ≥ 0

× (-1) (1 – x)2 + 2(1 – x) – 3 ≤ 0(1 – x + 3)(1 – x – 1) ≤ 0(-x + 4)(-x) ≤ 0

WWW.E-SBMPTN.COM

4

Diagram tanda 0 ≤ x ≤ 4

Jawaban: C

4. Grafik fungsi f(x) = ax3 + bx2 – cx – 12 naik jika … (SNMPTN 2012)A. b2 – 4ac < 0 dan a > 0 D. b2 – 3ac < 0 dan a < 0B. b2 – 4ac < 0 dan a < 0 E. b2 – 3ac < 0 dan a > 0C. b2 – 3ac > 0 dan a > 0Pembahasan:f(x) = ax3 + bx2 – cx – 12f'(x) = 3ax3 + 2bx2 – c > 0 (naik), f(x) naik ⇒ f'(x) > 0 ⇒3ax3 + 2bx2 – c > 0 (definit positif )

⇒D < 0 ∩3a > 0 ⇒ (2b)2 – 4(3a)(c) > 0 ∩a > 0 ⇒4b2 – 12ac > 0 ⇒b2 – ac > 0

Jawaban: C

5. Dari semua garis singgung pada kurva yx

=5+ 62 , maka persamaan garis singgung

dengan kemiringan terkecil adalah … (SIMAK UI 2011)A. 32 5 2 = 30y x− D. 12 4 3 = 21y x−

B. 8 2 = 24y x− E. 12 4 3 = 7y x−

C. 32 + 5 2 = 30y x

Pembahasan:

Maka, y' = -5 2

+ 62 -2

× x

x( )

= -10

+ 62 -2

x

x( )

Garis singgung minimum: y'' = 0

⇒−-10 + 6 -10 2 + 6 2

+ 6= 0

2 2 2

2 2

x x x x

x

( ) ( )( )( )( )

( )

⇒ −-10 + 6 + 6 4 = 02 2 2 2x x x( ) ( )

WWW.E-SBMPTN.COM

5

⇒ 3x2 + 6 = 0 ⇒ x2 = 2 ⇒ x = + 2

Buat diagram tanda

+ –

- 2

+

2

Minimal di x = 2

Maka mmin =-10 2

2 + 6=

-5 2322 2( )

, dan

y =

5

2 + 6=

582

y x− −

58

= -5

322 2( )

32 20 = -5 2 2y x− −( )

32 20 = -5 2 +10y −

⇒ 32 + 5 2 = 30y x Jawaban: C

6. Diketahui f x x x( ) = sin1

3 . Persamaan garis singgung di f yang melalui titik asal adalah …

(SNMPTN 2011)A. x = 0 D. y = -x B. y = 0 E. Tidak adaC. y = xPembahasan:

f x x x( ) = sin1

3 di titik (0, 0)

m f’ x x x x x= = sin + cos-23

13( )

m =sin 0

0+ 0 1=× ∞

WWW.E-SBMPTN.COM

6

∴Tidak ada garis singgungJawaban: E

7.

x x/2

y

y

Kolam renang berbentuk gabungan persegi panjang dan setengah lingkaran seperti gambar berikut. Keliling kolam renang sama dengan satuan panjang. Agar luas kolam renang maksimum, maka x = … satuan panjang (SNMPTN 2011)

A. 2aπ

D. a

4 + 2π

B. aπ

E. 24 +

aπ

C. a4 + π

Pembahasan:Keliling = k x y x a= + 2 +

12

=π

⇒ π

12

+1 + 2 =

x y a

⇒ − π2 =

12

+1y a x

⇒ − πya

x=2

14

+12

----- (1)

Luas = L xy x a= +12

12

=2

π

= +

18

2xy xπ ----- (2)

Substitusi (1) pada (2)

L xa

x x=2

14

+12

+18

2− π π

La

x x x=2

14

+12

+18

2 2− π π

La

x x=2

18

+12

2− π

Syarat L' = 0

WWW.E-SBMPTN.COM

7

ax

22

18

+12

= 0− π

14

+1 =2

π

x

a

(π+ 4)x = 2a

x

a=

2+ 4π( )

Jawaban: E

8. Grafik y = f'(x) ditunjukkan pada gambar berikut. Pernyataan yang benar adalah … (SNMPTN 2011)A. Fungsi f mempunyai titik minimum (0, -1) B. Fungsi f naik pada interval (0, ∞) C. Titik minimum lokal f terjadi di x = -2D. Fungsi f bernilai positif pada selang (-∞ , -2)E. Titik minimum lokal f terjadi di x = 2Pembahasan:

+ –

-2 2

+

Fungsi naik pada x < -2 atau x > 2 Fungsi turun pada -2 < x < 2 Minimum di x = 2 Maksimum di x = -2

Jawaban: E

9. Dalam sebuah bola padat yang berjari-jari 3 cm dibuat kerucut tegak. Volume maksimum kerucut itu adalah …A. 16

3 D. 1283

B. 323

E. 2563

C. 643

Pembahasan:

WWW.E-SBMPTN.COM

8

Perhatikan irisan penampang bola

A

3

3

O

D

x

3

B

h

C

Misal:

Jari-jari kerucut adalah xTinggi kerucut adalah h

Maka volume kerucut

V x h=13

2

Dari gambar di atas, diperoleh: OD x= 9 2−

h = 3 + ODh = 3 + OD x= 9 2−Maka:

V x x=13

3 + 92 2−( )Syarat Vmax :V' = 023

3 + 9 +13

-2

2 9= 02 2 2

2x x x

x

x−

−( )

23

3 + 9 =3 9

23

2x x

x

x−

−( )

2 3 + 9 =

9

22

2−

−x

x

x( )

6 9 2− x = 3x2 – 18

26 9 2− x = x2 – 64(9 – x2) = x4 – 12x2 + 364x – 8 x2 = 0x2(x2 – 8) = 0 → x = 2 2

Maka h x= 3 + 9 = 42−

WWW.E-SBMPTN.COM

9

V x h=13

2

V

RCS RCS

xCS

CS x

QR PQ QR

=13

2 3 2 2 4

: = 30

33

= = 3

=12

sin60

2

o

o

( )

( )( )

×

∆ ∠

→

V =13

2 2 42( ) ×

V =323

Jawaban: B

10. Sebuah karton berbentuk segitiga samasisi yang panjangnya 6 cm akan dibuat prisma segitiga beraturan tanpa tutup dengan memotong pojok-pojok nya. Agar memperoleh prisma yang mempunyai volume terbesar, maka ukuran tinggi prsma tersebut adalah …

A. 13

D. 3 B.

13 3 E. 2 3

C. 1Pembahasan:Misal : SR = x

A B

C

RS

Q

T

P

∆RCS ⇒ ∠RCS = 30o

tan 30o = SRCS

33

= = 3x

CSCS x→

BT = CS = x 3

Maka sisi alas prismaQR = 6 – 2x 3

Luas alas = 12

(PQ)(QR) sin 60o

= 12

(6 – 2x 3 )(6 – 2x 3 ) . 12 3

WWW.E-SBMPTN.COM

10

= 14 3 (6 – 2x 3 )2

Volume Prisma = Luas Alas × Tinggi

= 14

3 6 2 32

− ×x x( )

ya

bx=

2 +3

5

= 14

3 36 24 3 +12 2x x x−( ) Volume Prisma = 9 3 18 + 3 32 3x x x− Syarat Vmax → V’ = 0

9 3 18 + 3 32 3x x x− = 0

3 4 + 3 = 02x x−

3 1 3 = 0x x− −( )( )

x = 1

3 x = 3 (Tidak memenuhi)

x = 13

3

Jawaban: B

WWW.E-SBMPTN.COM

11

Latihan Soal

1. Diketahui f x x x x( ) =23

12

3 +16

3 2− − . Jika g(x ) = f(2 – 1x), maka kurva g naik pada selang

… (SBMPTN 2013)

A. -14

≤x ≤ 1 D. -34

≤x ≤ 1

B. -1 ≤x ≤ 14

E. -34

≤x ≤ 1

C. -54

≤x ≤ 1

2. Grafi k fungsi f(x) = ax3 – bx2 + cx + 25 turun jika … (SNMPTN 2011)A. b2 – 4ac < 0 dan a > 0 D. b2 – 3ac < 0 dan a > 0B. b2 – 4ac < 0 dan a < 0 E. b2 – 3ac < 0 dan a < 0C. b2 – 3ac > 0 dan a < 0

3. Pesegi panjang PQRS dibuat dengan ketentuan titik P dan Q terletak pada parabola y = 12

x2 + 2, titik R dan S terletak pada garis y = 26. Luas maksimum persegi panjang PQRS yang dapat dibentuk adalah … satuan luasA. 72

P Q

R

Y

X

y = 26

y = 12

x2 + 2

SB. 128 C. 144D. 169E. 216

4. Pada setengah lingkaran yang memiliki persamaan x2 + y2 = a2 digambar sebuah persegi panjang (lihat gambar). Luas maksimum persegi panjang itu adalah …

A. a2

4 D. 2a2

B. a2

2 E. 4a2

C. a2

WWW.E-SBMPTN.COM

12

5. Kurva ya

bx=

2 + melalui titik (1, 1) dan gradien garis singgung di titik tersebut

35

, maka nilai a + b adalah …

A. 18

D. 1

B. 14

E. 2

C. 12

WWW.E-SBMPTN.COM

1

MATEMATIKA

SET 17INTEGRAL 1

RINGKASAN MATERI

1. ∫ F'(x) dx = F(x) + c

2. Rumus Dasar Integral Aljabara. ∫ a dx = ax + c

b. ∫ axn dx = a

nx n

+1+1 + c, n ≠ 1

c. ∫ ax -1 dx = a in |x| + c

3. Rumus Dasar Integral Trigonometria. ∫ sin x dx = -cos x + c b. ∫ cos x dx = sin x + c c. ∫ sec2 x dx = tan x + c d. ∫ cosec2 x dx = -cotan x + c e. ∫ sec x. tan x dx = sec x + c f. ∫ cosec x . cotan x dx = -cosec x + c


TOP LEVEL - XII SMA

17 WWW.E-SBMPTN.COM

2

4. Sifat Integrala. ∫ (f(x) + g(x)) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) g(x) b. ∫ af(x) dx = a ∫ f(x) dx c. ∫ f(x) . g(x) dx = ∫ f(x) dx . ∫ g(x) dx

5. Integral Substitusi

∫ [f(x)]n f'(x) dx = ∫ un du

di mana: u = f(x) dan du = f'(x) dx

6. Rumus Bantu Trigonometri

a. sin A . cos B = 12

sin (A + B) + 12

sin (A – B) b. cos A . sin B =

12

sin (A + B) – 12

sin (A – B) c. cos A . cos B =

12

cos (A + B) + 12

cos (A – B) d. sin A . sin B = -

12

cos (A + B) + 12

cos (A – B) e. sin2 A =

12

– 12

cos 2A f. cos2 A =

12

+ 12

cos 2A

7. Integral Tentu

f’ x dx f’ x dx f x f b f ax=a

x=b

a

b

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫= = =x= a

x= b−

8. Sifat Integral Tentu

a. f x dx f x dxa

b

b

a

( ) ( )∫ ∫= -

b. f x dx f x dx f x dx a c ba

b

a

c

c

b

( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫= + , ⟨ ⟨

c. f x dx f u dua

b

a

b

( ) ( )∫ ∫=

WWW.E-SBMPTN.COM

3

CONTOH SOAL

1. x xx

dx2

0

2 + 3+ 2

= ...∫

A. 4

157 2−( ) D.

815

7 2 1−( )

B.

415

7 2 1−( ) E. 815

7 2 +1( )

C. 4

157 2 +1( )

Pembahasan:

x xx

dx2

0

2 + 3+ 2

= ...∫

⇒− −x x

xdx

+ 2 + 2 2

+ 2=

2

0

2 ( ) ( )∫

x x x dx+ 2 + 2 2 + 2 =212

-12

0

2

( ) ( ) ( )

∫ − −

25

+ 223

+ 2 4 + 2 =52

32

12

0

2x x x( ) ( ) ( ) ]− −

25

3223

8 4 225

4 223

2 2 4 2 =× − × − × − × − × −

192 80 12015

24 2 20 2 60 215

=− −

−− −

-8

15+

56 215

=

815

7 2 1−( )

2. ∫ 2sin x . cos (1 – 2x ) dx = .... SBMPTN 2013

A. sin (x – 1) + sin (3x – 1) + CB. sin (x – 1) – sin (3x – 1) + C

WWW.E-SBMPTN.COM

4

C. -sin (x – 1) + 13

sin (3x – 1) + C

D. -sin (x – 1) – 13

sin (3x – 1) + C

E. sin (x – 1) + 13

sin (3x – 1) + C

Pembahasan: ∫ 2sin x . cos (1 – 2x ) dx =

∫ (cos [x + (1 – 2x)] + cos [x – (1 – 2x)]) dx =∫ (cos [1 – x] + cos [3x – 1]) dx =

sin(1 – x) – 13

sin (3x – 1) = -sin (x – 1) –

13

sin (3x – 1) + C 3. Diketahui f x dx ax bx c( )∫ =

14

+ +2 dan a ≠ 0. Jika f(a) = a + 2

2b

dan f(b) = 6, maka fungsi

f(x) = .... (SNMPTN 2011)

A. 12

+ 4x D. x + 4

B. 2x + 4 E. -12

x + 4

C. -12

x – 4

Pembahasan:

f x dx ax bx c( )∫ =14

+ +2

f x ax b( ) =12

+

Diketahui: f(a) = a + 2

2b

⇒

12

+ =+ 22

2a ba b

⇒ a2 + b = a + 2b ⇒ a2 – a = 0 ⇒ a (a – 1) = 0 a = 0 atau a = 1

Sehingga f(x) = 12

ax + b

WWW.E-SBMPTN.COM

5

Diketahui: f(b) = 6

⇒ 12

b + b = 6

⇒ b = 4

Sehingga f(x) = 12

x + 4

4. 3

1+1

= ...2

18

13

x xdx∫ (UMB 2011)

A. 33 D. 40B. 36 E. 45 C. 38Pembahasan:

Misal:• u = 1 + x-1 • du = -x-2dx

x2dx = -du

3 1+-2 -1

12

18

13

x x dx( )∫

= 3 -

12u du∫ ( )

= -312u du∫

= -2u u

= -2 1+ 1+-1 -11

8

13γ( ) ]x

= -2[4 . 2 – 9 . 3] = 38

5. Jika f x dx( )∫1

4

= 6 , maka f x dx5 = ...1

4

−( )∫ (SIMAK 2010)

A. 6 D. -1 B. 3 E. -6 C. 0Pembahasan:

f x dx f u du( ) ( )∫ ∫1

4

1

4

≡

Ditanyakan : f x dx51

4

−( )∫ ≡ Equivalen

WWW.E-SBMPTN.COM

6

= 5f x dxx=1

x=4

−( )∫

Misal:• u = 5 – dx • du = -dx

dx = -du• x = 1 → u = 4 x = 4 → u = 1

= -f u duu=4

u=1

( ) ( )∫

= -4

1

f u du( )∫

=1

4

f u du( )∫

f x dx f x dxa

b

b

a

( ) ( )∫ ∫= -

= 6

6. Diketahui f(x) = |x – 1|. Nilai f x dx( )∫0

1

= ... (SNMPTN 2010)

A. 0 D. 2

B. 12

E. 4

C. 1 Pembahasan:

x – 1, untuk x ≥ 1 f(x) = |x – 1|

x – 1, untuk x < 1

Ditanyakan: f x dx( )∫0

1

=

x xx=0

x=1

−1 d =∫

− −x dxx=0

x=1

1 =( )∫

1 =− x dxx=0

x=1

( )∫

x x−

12

=12

20

1]

WWW.E-SBMPTN.COM

7

7. Jika x

xdx a

1+=

0

1

∫ , maka 1

1+= ...

0

1

xdx∫ (SNMPTN 2010)

A. a D. a – 12

B. 1 – a E. a2 C. 2a

Pembahasan:

xx

dxx

dx dx1+

+1

1+=

0

1

0

1

0

1

∫ ∫ ∫

a y x+ =

0

1] y = 1 – a

8. x xx

dx2

2

+ 4 11

= ...−

−∫ (SIMAK UI 2009)

A. 4x + 2 in |3x – 2| + C D. x + 2 in |x2 – 1| + C B. 4x + 4 in |3x – 2| + C E. x + in |x2 – 1| + C C. 2x + 2 in |3x – 2| + C

Pembahasan:

x xx

dx2

2

+ 4 11

=−

−∫x x

xdx

2

2

1 + 4

1

−

−

( )∫

Misal:• u = x2 – 1 • du = 2x dx

2du = 4x dx =

11

+4

1

2

2 2

xx

xx

dx−− −∫

= 1+

412

xx

dx−∫

= +

412

xx

xdx

−∫

= +2

xu

du∫ = x + 2in |u| + C = x + 2in |x2 – 1| + C

9. ∫ (sin x + sin3 x + sin5 x + ...) dx adalah … (SIMAK 2009)A. ∞ D. sec x + sin x + CB. ctg x + C E. cosec x + CC. sec x + C

WWW.E-SBMPTN.COM

8

Pembahasan:Bentuk deret:sin x + sin3 x + sin5 x + ...Adalah deret geometri tak hingga dengan rasio sin2 x, maka

sin x + sin3 x + sin5 x + ... = ar1−

=

sin1 sin2

xx−

= sin

cos2

xx

= sec x tan x Maka:∫ (sin x + sin3 x + sin5 x + ...) dx = ∫ sec x tan x dx = sec x + C

10. Hasil substitusi u = x + 1 pada x x dx2

0

1

+1∫ adalah … (SNMPTN 2009)

A. u u du−1 2

0

1

( )∫ D. u u du−1 2

0

1

( )∫

B. x u du2

0

1

∫ E. u u du−1 2

1

2

( )∫

C. u u du−11

2

( )∫Pembahasan:• u = x + 1 • x = u – 1 du = dx• Bila x = 0 → u = 1 x = 1 → u = 2

x x dx2

0

1

+1∫

= +12x x dx

x=0

x=1

∫

= 1 2

=1

=2

u u duu

u

−( )∫

= u u du−1 2

1

2

( )∫

WWW.E-SBMPTN.COM

9

Latihan Soal

1. x x dx+1 = ...-2

1

( )∫

A. 13

D. 43

B. 23

E. 53

C. 1

2. xx x

dx4

3

+1= ...

−∫

A. 12

- ln1

+22

xx

xC

− D. 12

ln1

+2

xx

xC−

−

B. 12

+ ln1

+22

xx

xC

− E. 1

2ln

+1+

2

xx

xC−

C. 12

+ ln1

+2

xx

xC

−

3. dx

x xsin cos= ...3

25

2∫

A. 23

tan + 2cotan +3

2 12x x C( ) D. 2

3tan + 4 cotan +

32x x C( )

B. 2

3tan 2cotan +

32 1

2x x C( ) − E. 13

tan + 4 cotan +3

2 12x x C( )

C. 23

tan + 4 cotan +3

2 12x x C( )

4. cos2 + cos

1+ cos= ...

x xx

dx∫

A. 2 sin x + x + C D. -2 sin x – x + CB. 2 sin x – x + C E. 2 sin x + x + CC. -2 sin x + x + C

WWW.E-SBMPTN.COM

10

5. x x dxsin = ...3

0

π

∫

A. 6 + 312π D. 6π + 13

B. 6 +1312

π E. 6π – 13

C. 6 1312

π −

WWW.E-SBMPTN.COM

1

MATEMATIKA

SET 18INTEGRAL 2

RINGKASAN MATERI

1.

y = g(x)

x

y

ba

y = f(x) Luas daerah

L f x g x dxa

b

= ( ) ( )( )∫ −

2. x = g(g) x = f(g)

x

y

b

a

Luas daerah

L f y g y dya

b

= ( ) ( )( )∫ −


TOP LEVEL - XII SMA

18 WWW.E-SBMPTN.COM

2

3.

y = f(x)

y = g(x)

y

xa b

Volume benda putar dengan sumbu putar sumbu x

V f x g x dxa

b

=2 2

π −( ) ( ) ∫

4.

x = g(y) x = f(y)

x

y

b

a

Volume benda putar dengan sumbu putar sumbu y

V f y g y dya

b

=2 2

π −( ) ( ) ∫

Contoh Soal

1. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 3 – x2 dan y = 2|x| adalah…

A. - 2 + 32

0

1

x x dx−( )∫ D. - 2 + 32

-1

1

x x dx−( )∫

B. 2 - 2 + 32

-1

0

x x dx−( )∫ E. 2 - + 2 + 32

-1

0

x x dx( )∫

C. - + 2 + 32

-1

1

x x dx( )∫

WWW.E-SBMPTN.COM

3

Pembahasan:Diketahui fungsi y = 2|x|, dimana:

2x, x ≥ 0 sketsa

x

y = 2|x|

-3 -2 -1 1 2 3

246

y

y = 2|x| -2x, x < 0

x

y

-1 1

Sketsa daerah Karena daerah simetris terhadap sumbu y, maka

L x x dx= 2 3 22

0

1

− −∫

L x x dx= 2 3 + 22

-1

0

−∫

2. Diketahui lingkaran dengan jari-jari 2, sebagai mana diberikan dalam gambar di samping. Jika tali busur pada gambar berjarak 1 dari garis tengah , maka luas daerah di bawah tali busur adalah …

A. 2 2 4 12

0

1

π − − −x dx( )∫ D. 4 2 4 12

0

3

π − − −x dx( )∫

B. 2 2 4 12

0

3

π − − −x dx( )∫ E. 4 2 4 2

0

3

π − − x dx( )∫

C. 4 4 12

0

1

π − − −x dx( )∫ Pembahasan: Ilustrasi grafi k Persamaan lingkaran x2 + y2 = 4 y2 = 4 – x2

Larsiran = Llingkaran – L1

A By = 1

2

1l

-2

2a-2 Larsiran = π − − −r x dxa

2 2

0

2 4 1( )∫

= 4 2 4 12

0

π − − −x dxa

( )∫

= 4 2 4 12

0

3

π − − −x dx( )∫

WWW.E-SBMPTN.COM

4

Mencari absis B

4 = 12− x

4 – 2x = 1x = 3

Jawaban: D

3. Jika diketahui garis singgung parabola y = ax2 + 12x – 14 pada titik x = 3 membentuk sudut terhadap sumbu x sebesar π – arctan (6), maka luas daerah yang dibatasi oleh garis lurus y = 9x – 32 dan parabola tersebut adalah … (Simak 2012)

A. 852

D. 115

2

B. 952

E. 1252

C. 1052

Pembahasan:• y' = mgs = tan a

Substitusi x = 3 m = π – arctan (6)

⇒ 2ax + 12 = tan a ⇒ 2ax . 3 + 12 = tan ( π – arctan (6)) ⇒ 6a + 12 = -tan (arctan (6)) ⇒ 6a + 12 = -6 ⇒ a = -3

• Batas daerah menjadi (1) y1 = -3x2 + 12x – 14 (2) y2 = 9x – 32

• ygab = y1 – y2 = (-3x2 + 12x – 14) – (9x – 32) = -3x2 + 3x + 18 a = -3, b = 3, c = 18 D = b2 – 4ac = 32 – 4(-3)(18) = 9 + 216 = 225

• LD D

a=

6=

225 225

6 -3=

12522 2( )

Jawaban: E

WWW.E-SBMPTN.COM

5

4. Jika luas daerah yang dibatasi oleh kurva yx

=4

2, x = 1, dan y = c, c > 0 adalah 2

14

satuan

luas, maka jumlah semua bilangan c yang mungkin adalah … (SIMAK 2011)

A. 25 D. 252

B. 253

E. 50

C. 254

Pembahasan:Sketsa kemungkinan

y = c2

1

4

y = c1c1

c2

L1

Luas L1 = 1

2= 2

14

4

1

−y

dyc

∫

⇒ −y yc

4 =94

12 1

4]

⇒ − − − −c c1 14 4 8

94

= 01

2( ) ( )

⇒ −c c1 14 +

74

= 01

2

⇒ −4 16 + 7 = 01 11

2c c

⇒ − −2 1 2 7 = 01 1

12

12c c( )( )

c

c

1

1

12 =

12

=14

c

c

1

1

12 =

72

=494

c c1 1+ =

504

=252

Jawaban: D

5. Jika daerah yang dibatasi oleh sumbu y, kurva y = m2 dan garis y = a2 dimana h ≠ n diputar mengelilingi sumbu x volumenya sama dengan jika daerah itu diputar mengelilingi sumbu y. Nilai a yang memenuhi adalah … (SIMAK 2011)

WWW.E-SBMPTN.COM

6

A. 58

D. 85

B. 38

E. 52

C. 25

Pembahasan:

y = x2

a

y = a2

Volume diputar sumbu x = Volume diputar sumbu y

a x dxa

4 4

0

−( )∫ = y dya

0

2

∫

a x xa4 50

15

− π] = 12

20

2

ya] π

a a5 515

− = 12

4a

a = 58 Jawaban: A

6. Luas daerah di bawah y = -x2 + 8x, di atas y = 6x – 24, dan terletak dikuadran I adalah … (SNMPTN 2011)

A. - + 8 + 2 242

0

42

4

6

x x dx x x dx( ) ( )∫ ∫ − −

B. - + 8 + - + 2 + 242

0

42

4

6

x x dx x x dx( ) ( )∫ ∫

C. - + 8 + - + 2 + 242

0

62

6

8

x x dx x x dx( ) ( )∫ ∫

WWW.E-SBMPTN.COM

7

D. 6 24 + - + 84

62

6

8

x x dx x x dx−( ) ( )∫ ∫

E. 6 24 + - + 80

42

4

6

x x dx x x dx−( ) ( )∫ ∫Pembahasan:

y = 6x – 24y = -x2 + 8x

x

y

4 6 8

Luas yang diarsir

= - + 8 + - + 8 6 242

0

42

4

6

x x dx x x x dx( ) ( ) ( )∫ ∫ − −

= -x + 8x + -x + 2x + 242

0

42

4

6

( ) ( )∫ ∫dx dx

Jawaban: B

7. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva , sumbu x, dan garis y = x – 2 adalah … (UMB 2011)A. 3 D. 4

B. 313

E. 413

C. 323

Pembahasan: Rumus Cepat:

2

2 4

-2

y = -x – 2

y = x

y

t

Maka Luas Daerah Arsiran

L =

23

4 212

2 2× × − × ×

L =

163

2 =103

= 313

−

Jawaban: B

L = 23

at

WWW.E-SBMPTN.COM

8

8. Suatu daerah dibatasi oleh y = sin x dan sumbu x untuk 0 ≤ x ≤ π diputar mengelilingi sumbu x, maka volume yang terjadi adalah …

A. 14

π2 D. 32

π2

B. 12

π2 E. 2π2

C. π2

Pembahasan: V x dx= sin 2

0

ππ

( )∫

V x dx=

12

+12

cos20

ππ

∫

V x x=

12

+14

sin20]π πo π

V =

12

2π

Jawaban: B

9. Besar volume yang terjadi jika elips diputar mengelilingi sumbu x adalah …A. 10π D. 36π B. 14π E. 48π C. 16π

Pembahasan:

V = π −449

2

-3

3

x dx

∫

= 2 449

2

0

3

π − x dx

∫

= 2 44

273

0

3π −x x

]

x

y

3

2

-3

x y2 2

9+

4=1

= 2π(12 – 4) = 16π Jawaban: C

WWW.E-SBMPTN.COM

9

10. Volume daerah yang dibatasi oleh y = in x, x = 0, y = 0, y = 1 bila diputar terhadap sumbu y adalah …

A. 12

π(e2 + 1) D. 12

πe

B. 12

π(e2 – 1) E. 12

π

C. 12

πe2

Pembahasan:

1

y = in x

y

y = in x → x = ey

V e dyy=2

0

1

π ( )∫

= 2

0

1

π e dyy∫

=

12

20

1e y ] π

=12

12

2π − πeCatatan:

• e dx e Cx x∫ = + • in ex = x• ein x = x

=

12

12π −e( )

Latihan Soal

1. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y x= 2 1 2− dan sumbu x adalah …

A. 12

π D. 2π

B. π E. 3π

C. 32

π

2. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, garis singgung kurva di (-1, 1) dan garis singgung di (3, 9) adalah …

WWW.E-SBMPTN.COM

10

A. 283

D. 343

B. 303

E. 353

C. 333

3. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva yx

=5

2

, y

x=

5 2

, sumbu x positif, dan garis x =

10 adalah … (SPMB 2005)

A. 356

yx

=5

2

yx

=5 2

y

0x

x = 10

B. 4

C. 416

D. 456

E. 516

4. Volume benda berputar dari daerah yang dibatasi oleh x – 2y = 0 dan parabola y2 – 2x = 0 mengelilingi sumbu x adalah …

A. 643

π D. 923

π

B. 723

π E. 953

π

C. 813

π

5. Volume benda putar dari daerah yang dibatasi yx

=2

, garis y = 2x, x = 0, x = 4 dan diputar terhadap sumbu y adalah …

A. 16

π D. 76

π

B. 46

π E. 86

π

C. 56

π

WWW.E-SBMPTN.COM

5

Dinyatakan: ACAC

ABAB = =

304

330

18

-

ACAB = =

9

3 2

32

2

Jawaban: e 3. soal simAk Ui tahun 2012 Dalam segitiga ABC, AB = a , AC = b .JikatitikGadalahberatsegitigaABCmaka=....

A. 16

a b+( ) D. 23

a b+( )

B. 14

a b+( ) E. 34

a b+( )C.

13

a b+( )

PemBAHAsAn:

A BQ

C

PG

b

AG = 23

AP

= 23

AB BP+( )

= 23

12

AB BC+

= 23

12

AB BA AC+ +( )

= 23

12

12

AB AC+

= 13

a b+( )

Jawaban: C

4. Diketahui vektor u dan vektor v membentuk sudut θ . Jika panjang proyeksi u pada sama dengan tiga kali panjang v , maka perbandingan panjang u terhadap panjang v adalah ....

WWW.E-SBMPTN.COM

6

A. 1 : 3 cos θ D. cos θ : 3 B. 3 : cos θ E. 1 : cos θ C. 3 cos θ : 1

PemBAHAsAn:

Diketahui: uv = 3 v

u v

v

× = 3 v

u v

v

cos θ = 3 v

u

v =

3cos θ

Jawaban: B

5. soal snmPtn tahun 2012 Jika u dan v adalah dua vektor satuan membentuk sudut 30O, maka ( u + v ). v = ....

A. 32

D. 2

2+1

B. 3

2+1 E.

13

+1

C. 3

2-1

PemBAHAsAn: ( u + v ). v = u . v + v . u

= u v vcos θ+2

= 1.1.cos 30o + 12

= 12

3 +1

Jawaban: B

WWW.E-SBMPTN.COM

7

6. soal snmPtn tahun 2011 Diketahui vektor u = (a, –2, –1) dan v = (a, a, –1). Jika vektor u tegak lurus pada v , maka

nilai a adalah ....A. -1 D. 2B. 0 E. 3C. 1

PemBAHAsAn: u . v = 0 ↔ u ⊥ v

a aa-

- -21 1

0

×

=

a2 – 2a + 1 = 0 (a – 1)2 = 0 a = 1

Jawaban: C

7. soal snmPtn tahun 2011 Diketahui vektor u = (1, – 3a + 1,2) dan v = (a3 – 3a2, 3, 0) dengan –2 < a < 4. Nilai maksimum

u . v adalah ....A. 27 D. 1B. 8 E. -24C. 3

PemBAHAsAn:

u v aa a

× +

13 1

2

330

3 2

--

u . v = a3 – 3a2 – 9a + 3 f(a) = a3 – 3a2 – 9a + 3 fungsi maksimum: f'(a) = 0 3a3– 6a – 9 = 0 a2 – 2a - 3 = 0 (a – a)(a + 1) = 0 a = 3 atau a = –1

WWW.E-SBMPTN.COM

8

–1 3

+ – +

Maksimum di a = –1 maka, f(-1) = 8Jawaban: B

8. soal snmPtn tahun 2011 Vektor u i bj ck= + +4 tegak lurus vektor w i j k= +2 2 3- dan u w= 2 , maka nilai b

memenuhi .... A. 13b2 – 32b + 404 = 0 D. 13b2 + 32b + 404 = 0B. 13b2 + 3b – 404 = 0 E. 3b2 – 10b – 402 = 0C. 13b2 – 32b – 404 = 0

PemBAHAsAn:Diketahui :

u bc

=

4,

2w 2

3

= −

,

apabila u w⊥ maka:

u w⋅ = 0

4 2b 2 0c 3

⋅ − =

8 – 2b + 3c = 0 3c = 2b-8 →

2b 83−

Diketahui:

u w= 2

42 2 2+ + b c = 2 2 2 32 2 2+ − +( )

16 2 2+ +b c = 2 17

16 + b2 + c2 = 68 b2 = 52 – c2

b2 = 52 – 2 8

3

2b -

b2 = 52 – 4 32 64

9

2b b− +

WWW.E-SBMPTN.COM

9

9b2 = 468 – 4b2 + 32b – 64 13b2 – 32b – 404 = 0

Jawaban: C

9. soal simAk tahun 2010 Diketahui vektor-vektor a = (2, 2, z), b = (–8, y, –5), c = (x, 4y, 4), dan d = (2x, 22 – z, 8).

Jika vektor a tegak lurus dengan vektor b , dan vektor c sejajar dengan d , maka (y + z) = ....A. –5 D. 2B. –1 E. 5C. 1

PemBAHAsAn:

a b⊥ ⇒ × =a b 0

⇒

×

=

22

8

50

zy-

-

⇒ 16 – 2y – 5z = 0 ⇒ 2y – 5z = 16 ....(1) c // d ⇒ c = k d

⇒4126

−−

k = 12

, maka:

⇒ 4y = 12

(22 – z)

⇒ 8y + z = 22 ....(2)

Mencari y dan z dengan melakukan eliminasi persamaan (1) dan (2) (1) x 4 8y – 20z = 64

(2) x 1 8y + z = 22

–21z = 42 z = –2

Substitusi balik, didapatkan y = 3 Maka nilai y + z = 1

Jawaban: C

WWW.E-SBMPTN.COM

10

10. Diketahui a = 4126

−−

dan b = 424−

, dan vektor c merupakan proyeksi orthogonal

vektor a terhadap b . Jika vektor d = 21x

memiliki panjang yang sama dengan vektor c

, maka nilai dari x adalah ...

A. 133

D. 233

B. 173

E. 293

C. 193

PemBAHAsAn:

d c=

⇒ d ab=

⇒ 2 1

4126

424

4 2 4

2 2 2

2 2 2+ + =

−−

−

+ + −( )x

⇒ 2 16 8

x 56 3

+ = =

⇒ x2 5649

+ =

⇒ x2 199

=

⇒ x = ± = ± 199

193

Jawaban: C

LATIHAN SOAL

1. soal sBmPtn tahun 2013 Diketahui A (3, 0, 0), B (0, -3, 0), dan C ( 0, 0, 6). Panjang vektor proyeksi AC ke vektor AB

adalah ...

WWW.E-SBMPTN.COM

11

A. 5 2

2 D.

23

B. 2 2 E. 2

C. 3 2

2

2. soal snmPtn tahun 2012 Diketahui vektor u dan vektor v membentuk sudut θ . Jika panjang proyeksi u pada v

sama dengan dua kali panjang v , maka perbandingan panjang u terhadap panjang v adalah ....A. 1 : 2 cos θ D. 1 : cos θB. 2 : cos θ E. cos θ : 2C. 2 cos θ : 1

3. soal snmPtn tahun 2011 Diketahui vektor u = (a3, 3, 4a) dan v = (2, –7a2, 9) dengan 0 < a < 8. Nilai maksimum u

. v adalah ...A. 108 D. 6B. 17 E. 1C. 15

4. soal snmPtn tahun 2010

Diketahui a , b , dan c vektor dalam dimensi –3. Jika a ⊥ b , dan a ⊥ ( a + 2 c ), maka a .(

b – c ) = ....A. 4 D. 0B. 2 E. –1C. 1

5. soal UmB tahun 2009 Jika vektor a dan b memenuhi ( a + b ) . b = 12, a = 2, dan b = 3, maka sudut antara

a dan b adalah ....A. 60o D. –45o

B. 30o E. –60o

C. –30o

WWW.E-SBMPTN.COM

12

WWW.E-SBMPTN.COM

1

MATEMATIKA

20MATERI DAN LATIHAN SOAL SBMPTN

TOP LEVEL - XII SMA

Set 20Dimensi 3: Jarak dan Sudut

A. ringkAsAn mAteria. Jarak titik ke titik adalah ruas garis yang menghubungkan titik A dan B.b. Jarak titik ke garis adalah panjang ruas garis tegak lurus yang memotong garis tersebut (garis tinggi). A

A1

jarak AA1

garis

c. Jarak titik ke bidang adalah panjang ruas garis yang memotong bidang secara tegak lurus.

bidang

jarak

A

WWW.E-SBMPTN.COM

2

d. Sudut antara garis dengan garis adalah sudut terkecil pada perpotongan 2 garis tersebut.

h

g

α

e. Sudut antara garis dengan bidang adalah sudut yang terbentuk antara garis tersebut dengan proyeksi garis tersebut pada bidang.

o

proyeksi op pada bidang ν

p1

p

α

ν

f. Sudut antara bidang dengan bidang adalah sudut pada garis/titik pertemuan dua bidang tersebut yang terbentuk oleh bidang ketiga yang tegak lurus pada dua bidang tersebut.

garis pertemuan

bidang 1

bidang 3bidang 2

α

WWW.E-SBMPTN.COM

3

g. Rumus Bantu Segitiga 1. Segitiga siku-siku

D

AB

C AB . BC = AC . BD

2. Segitiga Sama Kaki

B C

A

A1

B1

• GaristinggiAA’=garisbenar(AB=AC) • GaristinggiBB’garisbenar(BA≠ BC) • BerlakuBCxAA’=ACxBB’

3. Segitiga Sama Sisi

S

S

t

t = S sin 60o

L = S2

43

4. Segitiga Sembarang

C1

C

C

B

ab

A

GunakansegitigacosinusuntukmencariCC’

WWW.E-SBMPTN.COM

4

• Cos B = a c b

ac

2 2 2

2+ −

Cari sin B → CC’=asinB

• CosA=b c a

bc

2 2 2

2+ −

Cari sin A → CC’=bsinA

CONTOH SOAL

1. soal sBmPtn tahun 2013 DiketahuikubusABCD.EFGHmempunyaisisi4cm.TitikPadalahtitiktengahCD,titikQ

adalahtitiktengahEH,dantitikRadalahtitiktengahBF.JarakPkeQRadalah....

A. 15 D. 5B. 3 2 E. 2 2

C. 6

PemBAHAsAn:

yr

x+

z+

R

F

H

P

P1

C

BA

GQ

E

D

4

MencaripanjangQR:• QR2 = QE2 + EF2 + FR2

QR2 = 22 + 42 + 22

QR = 24 = 2 6• PQ2 = QH2+HD2+DP2

PQ = 2 4 22 2 2+ + = 2 6• PR2 = RB2 + BC2+CP2

PR = 2 +6 +22 2 2 = 2 6

WWW.E-SBMPTN.COM

5

QPRsegitigasamasisi

aP1

R

P

60O

JarakPkeQR=PP’PP’ = PQsin60o

= 2 6 × 12

3 = 18 =3 2

Jawaban: B

2. soal snmPtn tahun 2012 DiberikanlimasT.ABCdenganAB=AC=BC=6danTA=TB=TC=5.JaraktitikTkebidang

ABC adalah ....

A. 18 D. 52

3

B. 13 E. 2 3C. 4

PemBAHAsAn:

S

BA6o

Ct

T

P

JarakTkebidangABC(t) AP2 = AB2–BP2

AP = 6 -32 2 = 3 3

AO = 13AP

= 2 3 TO2 = t2=AT2 – AO2

t = S - 2 32 2( ) = 13

Jawaban: B

3. soal simAk Ui tahun 2010 PadakubusABCD.EFGHdenganpanjangrusuk6cm.TitikPdanQberturut-turutmerupa-

kanpusatbidangEFGHdanABCD.JarakantargarisQFdenganDPadalah....

A. 3 D. 32 2

B. 2 3 E. 2

C. 3 3

WWW.E-SBMPTN.COM

6

PemBAHAsAn: GH

EF

Q

BA 6

DC

P PerhatikanbidangdiagonalBDHF! H F

BDQ

P

JarakDFdanQFadalah:

13

BF = 13

6 3 = 2 3

Jawaban: B

4. soal snmPtn tahun 2011 PrismategaksegitigasamasisiABC.DEFdenganpanjangAB=sdanAD=t.JikatitikGterle-

takditengah-tengahsisiEF,makapanjangAGadalah....

A. t s2 234

− D. t s2 2−

B. t s2 234

+ E. t s2 214

+

C. t s2 2+

PemBAHAsAn:

S

A C

B

E

GFD

t

60o

DG =Ssin60o

DG = 12

3 S

AG2 = AD2+DG2

AG2 = t2 + 12

32

S

AG2 = t2 + 34

S

AG2 = t S2 234

+

Jawaban: B

WWW.E-SBMPTN.COM

7

5. soal snmPtn tahun 2011 DiketahuikubusABCD.EFGHdenganpanjangrusuknya2a.JikatitikPberadapadaper-

panjangangarisHGsehinggaHG=GP,makajaraktitikGkegarisAPadalah....

A. a6

6 D. 23

3a

B. a3

3 E. 23

6a

C. a3

6

PemBAHAsAn:

H G

G'

P

C

BA 2a

FE

D

JarakGkeAP(GG’) GP =2a AP2 =AH2+HP2

AP = 2 2 42 2a a( ) + ( )

AP =2a 6

L ∆ AGP = 12.AH.GP= 1

2.AP.GG'

2a 2 . 2a = 2a 6 GG'

GG' = 2 2

6

a

= 13

a 3

Jawaban: D

6. soal simAk tahun 2012 Diberikan bidang empat ABCD dengan BC tegak lurus BD dan AB tegak lurus bidang BCD.

Jika BD = BD = 2 cm,danAB=acm,makasudutantarabidangACDdanBCDsamaden-gan ....

A. π6

D. 34π

B. π4

E. π2

C. π3

WWW.E-SBMPTN.COM

8

PemBAHAsAn:

B

C

P

D

α

a 2

a

A

a 2

∠ACD,BCD=∠AP,PB=∠ α ∠BCD=45O

BP =BCSin45O

BP =a 2 .12 2

BP =a

tan α = aa

= 1

α = π4

Jawaban: B

7. soal simAk Ui tahun 2011 DiberikanprismasegitigaberaturanABC.DEFdenganBE=2AC.TitikPdanQadalahtitik

pusatsisiADEBdanCFEB.TititkRadalahtitikpusatsisiABCdantitikSadalahtitiktengahrusuk CF. Jika αadalahsudutyangterbentukantaragarisPQdangarisRS,makanilaicosα adalah ....

A. 12

D. 14 3

B. 12 3 E. 1

C. 13

PemBAHAsAn: D F

S

P QE

C

B

M

Ra

2a

A

∠PO,SR=∠ ST,SR CM2 = CB2 – BM2

CM2 = a2 – 12

2

a

CM a

CM a

2 2 2

2

314

34

2

= −

=

CM = 12

a 3

WWW.E-SBMPTN.COM

9

SR2 = SC2 + CR2

SR2 = SC2 + 23

2

CM

SR2 = a2 + 13

32

a

SR = 13

a 3

= 14

3

cosα =

12

23

3

a

a

Jawaban: D

8. soal snmPtn tahun 2011 DiketahuilimasTABCdenganTAtegaklurusbidangABC,panjangrusukAB,AC,BCdanTA

berturut-turutadalah3cm,4cm,5cm, dan 95

cm. Jika ϕ merupakan sudut antara bidang

BCTdenganbidangABC,makanilaicosϕ adalah ....

A. 35

D. 925

B. 45

E. 1225

C. 6

25

PemBAHAsAn: T

C

P

B

59

A

WWW.E-SBMPTN.COM

10

PerhatikanTAP! C

A B3

45

Berlaku BCxAP = ABxAC 5xAP = 3x4

AP = 125

T

Aν

P

95

155

TP = 155

=3(TriplePythagoras)

Maka sin ϕ = ATTP

= 953

35

=

Jawaban: A

9. soal snmPtn tahun 2011 Diketahui limas segitiga beraturan R.ABC dengan panjang rusuk 10 cm. Jika sudut antara

bidangTABdanbidangABCadalahα ,makanilaisinα adalah ....

A. 23

D. 13

B. 2 3

3 E.

13

C. 2 23

PemBAHAsAn:

10

10

B

B

M

t

S

B

α

TM=MC = 10 52 2−

= 5 3

MO = 13

MC = 53

3

TO = TM MO2 2−

= 75253

− = 103 6

WWW.E-SBMPTN.COM

11

sin α = TOTM

= =

103

6

5 3

23

2

Jawaban: C

10. soal simAk Ui tahun 2010 PadakubusABCD.EFGH,titikKterletakpadarusukGH,sehinggaHK:GH=1 :2.TitikM

terletakpadarusukEFsehinggaEM:MF=1:2.Jikaα adalah sudut yang terbentuk antara irisanbidangyangmelaluititikA,C,K,danirisanbidangyangmelaluiA,C,M,makanilaidari cos α adalah ....

A. 711

19 D. 5711

19

B. 117

19 E. 2

1119

C. 1157

19

PemBAHAsAn:

G F

M

E

P

D

k

B

AD

H

QN

C

PerhatikanpersegiEFGH,misalEH=12 G F

M

Q

P

K

EHL 12

N FQ = FMsin45

= 8 . 12

2 = 4 2

HP = HLsin45

= 6 . 12 2 = 3 2

WWW.E-SBMPTN.COM

12

PQ = HF–(HP+FQ)

= 12 2 – (3 2 + 4 2 )=5 2 PerhatikanBidangBDHF!

H

D

12

5 2 4 23 2

3 2 2 2

F

B

12

T

P

R S

Q

αγθ

tan θ = 2 2 tan γ = 3 2

α + θ + γ = 180o

α = 180o – ( θ + γ ) tan α = –tan ( θ + γ )

= – tan tantan tan

α γ

θ γ+

−1

= – 2 2 +3 21 12−

tan α = 5 211

de

sa( )( )

11α

3 195 2

Maka:

cos α = =

11

3 19

1157

19

Jawaban: C

LATIHAN SOAL

1. soal snmPtn tahun 2011 DiketahuikubusABCD.EFGHdenganpanjangrusuk2cm.TitikMberadaditengahruas

garisEH.TitikNberadaditengahruasgarisEF.JaraktitikEkebidangMNAadalah....

WWW.E-SBMPTN.COM

13

A. 1 D. 34

B. 13

E. 14

C. 12

2. soal simAk Ui tahun 2010 Diberikanprismategaksegitigasiku-sikuABC.DEFdenganalasABCsiku-sikudiB.Panjang

rusuk tegak prisma 2 2 satuan,panjangAB=panjangBC=4satuan.MakajarakAkeEFadalah ... satuanA. 4 D. 2 6B. 4 2 E. 4 6C. 4 3

3. soal snmPtn tahun 2009 DiketahuikubusABCD.EFGH.TitiktengahsisiAB,BF,danFGdiberisimbolX,Y,danZ.Besar

∠YXZadalah....A. 15o D. 60o

B. 30o E. 90o

C. 45o

4. PadasuatukubusPQRS.TUVWsudutantaragarisPWdanbidangdiagonalQUWSsamadegan ....A. 75o D. 30o

B. 60o E. 15o

C. 45o

5. BesarnyacotangentsudutBEGdanABGHpadakubusABCD.EFGHadalah....A. 2 D. 6B. 3 E. 2 2 C. 5

WWW.E-SBMPTN.COM

14

WWW.E-SBMPTN.COM

1

MATEMATIKA


TOP LEVEL - XII SMA

Set 21Dimensi 3 : Luas dan Volume

A. Ringkasan Materi

a. Bidang iris adalah bidang datar yang membagi bangun ruang menjadi 2 bagian.

bagian 1

bagian 2

bidang iris

b. Untuk membentuk bidang iris minimal dibutuhkan 3 titik.c. Langkah membentuk bidang iris:

1. Hubungkan semua titik yang terletak pada bidang yang sama.

A

EF

P

Q

GH

B

CD

WWW.E-SBMPTN.COM

2

2. Hubungkan garis yang didapat pada no.1 dengan perpanjangan rusuk yang sebidang dengan garis.

A

EF

P

Q

GH

B

CD

3. Bila terdapat dua titik pada alas atau atap, hubungkan untuk membentuk sumbu afinitas.

A

EF

P

Q

GH

B

C sumbu afinitasD

4. Hubungkan sumbu afinitas dengan perpanjangan rusuk alas.

A

EF

P

Q

GH

B

D C

5. Kembali hubungkan dua titik sebidang, sehingga terbentuk bidang iris.

A

EF

P

Q

GH

B

D C

WWW.E-SBMPTN.COM

3

d. Luas dan Volume1. L AB t= ( )( )1

2 L AB AC= ( )( )1

2sinα

A B

t

α

C

2. Perbandingan Luas dan Volume

LL

ab

PQR

PST

=2

2

L

b ab

LQRST PST=−2 2

2

S

R Q

P

ab

T

VV

ab

TABC

TPQR

=3

3

Vb a

bVPQRABC TPQR=

−3 3

3

B

C A

T

a

b

P

Q

R

3. VSilinder = Lalas × T VKerucut =

13

Lalas × T

WWW.E-SBMPTN.COM

4

CONTOH SOAL

1. Soal Simak UI 2013 Pada kubus ABCD.EFGH titik P terletak pada segmen BG sehingga 2 × PG = BP. Titik Q

adalah titik potong garis HP dan bidan Gabcd. Jika panjang sisi kubus 6 cm, luas segitiga APQ adalah … cm2.A. 3 2 D. 27 2 B. 9 2 E. 36 2 C. 18 2

PEMBAHASAN:

E

A B

C

P

Q

F

GH

D

6 2

6

• BP = 23

BG

= 23

6 2× = 4 2 • Perhatikan ∆HAQ!

A B

Q

P

H

6 2 9 2

• Berlaku:

BQ

BQ + 6 =

4 2

6 2

3BQ = 2BQ + 12 BQ = 12

WWW.E-SBMPTN.COM

5

• Maka luas APQ

LAPQ = 12

AQ BP×

= 12

18 4 2×

= 36 2 Jawaban: E

2. Soal Simak 2011 Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 2 cm. Titik P terletak pada rusuk FG

sehingga PG = FP. Jika α adalah bidang irisan kubus yang melalui titik B, D, dan P, maka luas bidang α adalah … cm2.

A. 32

6 D. 52

B. 2 6 E. 92

C. 3 3

PEMBAHASAN:

CR AC= =12

2

FG EG= =

14

12

2

Perhatikan ∆SCR! Berlaku:

x

x +2 =

12

2

2

A B2

CD

R

QH

E P

GF

x

x +2 =

12

12

2

F G

2

X

S

CR 12

2

2x = x + 2 x = 2Panjang RS:

RS CR CS= +2 2

RS = ( ) + =2 4 3 2

22

WWW.E-SBMPTN.COM

6

Luas BDS: LBDS =

12

BD RS× α( )

12

2

= 12

2 2 3 2 = 6 cm2×

Luas BDQP (α), rasio 12

2

L cmBDQP = × =

34

692

2

Jawaban: E

3. Soal Simak UI 2010 Pada kubus ABCD.EFGH, titik K terletak pada rusuk GH sedemikian sehingga HK : KG = 1 :

2. Jika panjang rusuk kubus adalah a, maka luas irisan bidang yang melalui titik A, C, dan K adalah …

A. a2

922 D.

43

222a

B. 49

222a E. a2

322

C. 29

222a

PEMBAHASAN:

A a

P

L

EF

GH K

B

C

M

D

• HK HG=

13

• HK a=13

WWW.E-SBMPTN.COM

7

Perhatikan persegi EFGH! • HM = HL sin 45o

HM = a3

12

2

HM = a6

2

K GN

L M

E F

Perhatikan ∆PDL!

xx a+

=13

3x = x + a 2x = a → x

a=

2

MH

a

XP

D 12

2a

16

2a

Maka PD = 32

a

Panjang LP PD DL= +2

LP a a=

+

32

12

22 2

LP a a= +94

24

2 2

LP a=12

11

Luas ∆ACP: L AC LPACP = × ×

12

L a aACP = × ×12

212

11

L aACP =

14

222

Luas ACKL, Rasio

13

2

L LACKL ACP=

89

WWW.E-SBMPTN.COM

8

L aACKL = ×89

14

222

L aACKL =29

222

Jawaban: C

4. Soal UMB 2012 Sebuah silinder terletak di dalam kerucut sehingga bidang alasnya berimpit dengan

bidang alas kerucut dan lingkaran atasnya terletak pada selimut kerucut. Jika tinggi silinder adalah sepertiga tinggi kerucut, maka perbandingan volume silinder terhadap volume kerucut adalah ….A. 1 : 3 D. 5 : 9B. 4 : 9 E. 5 : 8C. 1 : 2

PEMBAHASAN:

t t

tt2 1

2

1

13

13

= → =

QR PR=

13

Maka, PQ PR=23R

Q

P

T t1

r1

r2

S

Dengan prinsip kesebangunan QT RS=23

r rrr2 12

1

23

23

= → =

Maka, VV

Silinder

Kerucut

= π

π

r t

r t

22

2

12

1

13

= 3 2 2 2

1 1 1

r r tr r t

= 3 2 2 13 3 3

49

. . .. .

=Jawaban: B

5. Soal Simak 2011 Diberikan kubus ABCD.EFGH. Titik P terletak pada rusuk FG sehingga PG = 2FP. Jika α

adalah bidang irisan kubus yang melalui titik B, D, dan P, maka bidang tersebut membagi volume kubus dalam perbandingan ....

WWW.E-SBMPTN.COM

9

A. 18 : 36 D. 20 : 36B. 19 : 35 E. 20 : 45C. 19 : 38

PEMBAHASAN:

E

H QG

(1)

(2)

(3)

P

C

BA

D

• Misal Panjang AB = 6 cm

• GP = 23

FG = 4 cm

• Rasio = r = 46

=23

• CR = 3 × CG = 3 × 6 = 18

Volume CBDGPQ (V1) • V total Kubus = V = 216 V1 = 1

827

−

VRCBD Maka, Volume Bagian Kedua adalah:

= 1927

.13

.12

6 . 6 . 18 V2 = 216 – 76 = 140

V1 = 76 • Maka, VV

1

2

1935

=

Jawaban: B

6. Soal SNMPTN 2010 Kubus ABCD.EFGH panjang sisinya 1 dm. Titik P dan BC dengan |PC| = t dm. Titik Q adalah

proyeksi A pada DP dan R adalah proyeksi Q pada bidang EFGH. Luas segitiga AQR adalah … dm3.

A. 1

2 12t + D. t2 1

2−

B. 1

12t + E. 1 + t2

C. 2 12t +

WWW.E-SBMPTN.COM

10

PEMBAHASAN:

A

E

H R G

F

D Q

B

Pt dm

C

A B

P

t

CSD

Q

S

• PD = 1 2+ t • Perhatikan ∆ APD S × S = PD × AQ

AQ

t=

+

1

1 2

• Luas AQR = 12

AQ QR

= 12

1

11

2+ t.

= 1

2 1 2+ t

Jawaban: A

7. Soal SNMPTN 2010 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 2 satuan, kemudian P, Q, dan R berturut-turut

adalah titik tengah AB, BF, dan FG. Luas perpotongan bidang PQR dengan kubus tersebut adalah … satuan

A. 3 D. 6 3

B. 3 2 E. 8 3

C. 3 3

WWW.E-SBMPTN.COM

11

PEMBAHASAN:

A B

CD

Q

R

GH

FE

Bangun yang terbentuk adalah segi enam beraturan dengan panjang sisi 2 .Maka luas segi enam tersebut adalah:

L cm= 654

32

2.

=

32

. 2 3 cm2

= 3 3 cm2

Jawaban: C

8. Soal UMB 2009 Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan panjang rusuk 2 cm. Titik P di tengah-tengah AE, titik

Q di tengah-tengah BF, titik R pada FG dan titik S pada EH sedemikian sehingga bidang PQRS membentuk sudut 30o dengan bidang ABCD. Bidang PQRS mengiris kubus menjadi 2 bagian. Perbandingan volume bagian yang kecil dan yang besar adalah ….

A. 3 + 8 361

D. -3 + 8 367

B. -3 + 8 361

E. 3 + 8 363

C. 3 + 8 367

PEMBAHASAN:

A 2 B

CQ

FE

S

H G

R

B

30o

60o

1

C

GRF

Volume Prisma FQR.EPS Panjang FR = FQ tan 60o

V1 = Luas FQR × Tinggi PR = 3 =

12

1 3 2 = 3( )( )×

WWW.E-SBMPTN.COM

12

Maka Volume Bagian 2 (V2 ) V2 = V kubus – V1 = 8 – 3

Maka, VV

1

2

3

8 3

8 3

8 3=

−×

++

=

3 + 8 363

Jawaban: E

9. Soal UMB 2008 Tinggi sebuah limas tegak adalah 5 cm dan alasnya suatu segi empat ABCD dengan semua

titik sudutnya terletak pada busur lingkaran, titik B dan D masing-masing berjarak 10 cm dan 6 cm dari A dan keduanya tidak terletak pada busur yang sama, maka volume limas sama dengan …A. 39 cm3 D. 65 cm3

B. 50 cm3 E. 75 cm3

C. 60 cm3

PEMBAHASAN:

D

6 10

A

B

C

10

CD = 8 cm (Pythagoras)

LACD = 12

. 6 . 8

= 24BC = 3 10 (Pythagoras)

LACD = 12

. 10 . 3 10 = 15

LABCD = LADC + LABC

= 39

VLimas = 13

LABCD × TLimas

= 13

. 39 ×5 = 65 cm3

Jawaban: D

WWW.E-SBMPTN.COM

13

10. Soal SNMPTN 2008 Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan panjang tiap rusuk 2 3 . Jika titik P terletak pada

EF dan titik Q terletak pada GH sehingga bidang APQD membentuk sudut 60o dengan bidang ABCD, maka bidang APQD mengiris kubus tersebut menjadi dua bagian. Volume bagian yang lebih kecil adalah ….A. 8 cm3 D. 11 cm3

B. 9 cm3 E. 12 cm3

C. 10 cm3

PEMBAHASAN:

B 2 3 A

C

60o

D

P EF

G Q H

Perhatikan AEP P E

A

30o

60o

2 3

tan 300 = PEEA

PE = tan 300 EA = ⋅ =2 3

13

3 2

Volume bagian kecil adalah volume prisma dengan alas AEP dan tinggi EHV = (LAEP) × (EH)

= (12

. 2 . 2 3 ) × (2 3 ) = 12 cm3

Jawaban: E

WWW.E-SBMPTN.COM

14

LATIHAN SOAL

1. Soal SINPENMARU Tahun 1988

A B

C

Q

P

E F

GH

D

ABCD.EFGH adalah sebuah kubus dengan panjang rusuk a cm. Jika P dan Q masing-masing adalah titik pada perpanjangan FB dan FG, perbandingan isi bidang empat P.EFQ dan isi kubus ABCD.EFGH adalah ....A. 1 : 1 D. 2 : 3B. 1 : 2 E. 3 : 4C. 1 : 3

2. Soal UMPTN Tahun 2000 Dalam kubus ABCD.EFGH titik S adalah titik tengah sisi CD dan P adalah titik tengah

diagonal ruang BH. Perbandingan antara volume limas P.BCS dan volume kubus ABCD. EFGH adalah ….A. 1 : 4 D. 1 : 12B. 1 : 6 E. 1 : 24C. 1 : 8

WWW.E-SBMPTN.COM

15

3. Soal UMPTN Tahun 2000

A C

B

D F

E

Perhatikan gambar prisma tegak di ABC DEF di atas. Jika volume limas F ABC sama dengan 12 cm3 dan tinggi prisma 4 cm, luas alas prisma tersebut adalah ….A. 3 cm3 D. 1 : 12B. 4 cm3 E. 1 : 24 C. 6 cm3

4. Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan rusuk a. Melalui diagonal DF dan titik tengah rusuk AE dan CG, dibuatlah bidang datar. Luas bagian bidang di dalam kubus sama dengan ....

A. 32

2a D. 2a2

B. a2 6 E. 12

62a

C. 13

62a

5. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang masing-masing rusuk 4. Jika I di tengah-tengah AB dan J di tengah-tengah FG, luas segitiga ICJ sama dengan ....

A. 5 21 D. 2 21B. 4 21 E. 21C. 3 21

WWW.E-SBMPTN.COM

16

WWW.E-SBMPTN.COM

VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK...

Documents

Transcript of VEL MATEMATIKA - · PDF file(Soal SIMAK UI Tahun 2013 kode 236) A. 0,5 B. 1 ... (Soal SIMAK...