Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 29

VEKTOR DI RUANG DIMENSI 2 DAN 3

Setiap objek pembicaraan dalam matematika memiliki ruang himpunan di mana objek itu

berasal. Di dalamnya terdapat aturan-aturan yang berlaku yang dipenuhi oleh setiap

anggotanya. Misalnya, semua bilangan nyata tergabung dalam sebuah himpunan

bilangan yang dinamakan himpunan bilangan real (ℝ). Semua sifat-sifat dan aturan

perhitungan bilangan real berlaku bagi semua himpunan anggotanya, seperti pada

bilangan rasional, irasional, bulat, pecahan, dan lain- lain.

Sebelum membahas lebih jauh mengenai vektor, akan diperkenalkan tentang konsep

ruang, mulai dari dimensi terkecil hingga dimensi yang digeneralisasi, sebagai ruang-n.

1. Ruang Dimensi-n

Himpunan bilangan nyata (real) biasanya digambarkan ke dalam sebuah gambar

sederhana yang disebut garis bilangan. Garis bilangan dapat dianggap sebagai grafik

sederhana yang menyatakan letak suatu bilangan, di mana bilangan yang lebih besar

berada di sebelah kanan bilangan yang lebih kecil.

Karena garis bilangan hanya memiliki satu dimensi yaitu panjang, maka himpunan

bilangan real dapat dinyatakan sebagai ruang berdimensi-1. Meskipun kata „ruang‟

menunjukkan suatu tempat berdimensi-3, namun dalam matematika „ruang‟

mempunyai makna tersendiri. Berdasarkan definisinya, ruang dalam matematika

merupakan himpunan dari objek-objek yang memiliki sifat yang sama dan memenuhi

semua aturan yang berlaku dalam ruang tersebut.

Definisi Ruang-1 atau 𝑅1

Ruang dimensi-1 atau ruang-1 (𝑅1) adalah himpunan semua bilangan real (ℝ).

Himpunan bilangan real dapat digambarkan oleh garis bilangan real :

Jadi, garis bilangan berfungsi untuk menunjukkan letak suatu titik pada suatu garis

berdasarkan besarnya. Gagasan ini memunculkan gagasan berikutnya bahwa suatu

titik dapat berada pada suatu bidang ataupun ruang. Pada pertengahan abad ke-17

lahirlah konsep ruang dimensi-2 dan dimensi-3, yang kemudian pada akhir abad ke-19

para ahli matematika dan fisika memperluas gagasannya hingga ruang dimensi-n.

0 1 2 3 -1 -2 -3

Bulat Positif Bulat Negatif Nol

Bil. Rasional & irasional

Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 30

Definisi Ruang-2 atau 𝑅2

Ruang dimensi-2 atau ruang-2 (𝑅2) adalah himpunan pasangan bilangan berurutan

(𝑥, 𝑦), di mana x dan y adalah bilangan-bilangan real. Pasangan bilangan (𝑥,𝑦)

dinamakan titik (point) dalam 𝑅2, misal suatu titik P dapat ditulis 𝑃(𝑥, 𝑦). Bilangan x

dan y disebut koordinat dari titik P.

Untuk menggambarkan titik-titik di 𝑅2 secara geometris, koordinat x dan y dianggap

berada pada dua garis bilangan yang berbeda yang membentuk suatu sistem koordinat.

Garis bilangan tersebut dinamakan sumbu koordinat. Sumbu koordinat tersebut

digambarkan saling tegak lurus dan membentuk suatu sistem yang disebut sistem

koordinat siku-siku. Pada 𝑅2 sistem ini dinamakan sistem koordinat-xy atau sistem

koordinat kartesius (Cartesian system) yang dibangun oleh :

Sumbu x (x-axis) yaitu garis tempat semua titik yang mempunyai koordinat (x, 0).

Sumbu y (y-axis) yaitu garis tempat semua titik yang mempunyai koordinat (0, y).

Suatu titik yang berada tepat di kedua sumbu dinamakan titik asal (origin point) ditulis

O(0, 0). Titik ini adalah titik di mana sumbu x dan y saling berpotongan.

Definisi Ruang-3 atau 𝑅3

Ruang dimensi-3 atau ruang-3 (𝑅3) adalah himpunan tripel bilangan berurutan

(𝑥, 𝑦, 𝑧), di mana x, y, dan z adalah bilangan-bilangan real. Tripel bilangan (𝑥, 𝑦, 𝑧)

dinamakan titik (point) dalam 𝑅3, misal suatu titik P dapat ditulis 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧). Bilangan

x, y, dan z, disebut koordinat dari titik P.

Seperti halnya 𝑅2, 𝑅3 memiliki sistem koordinat siku-siku yaitu sistem koordinat-xyz,

dengan titik asal 𝑂 0,0, 0 , yang dibangun oleh :

Sumbu x (x-axis) yaitu garis tempat semua titik yang mempunyai koordinat

(𝑥,0, 0).

y

x

O

Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 31

Sumbu y (y-axis) yaitu garis tempat semua titik yang mempunyai koordinat

(0,𝑦, 0).

Sumbu z (z-axis) yaitu garis tempat semua titik yang mempunyai koordinat

(0,0, 𝑧).

Menjelang akhir abad 19, para matematikawan dan fisikawan mulai menemukan

gagasan bahwa dimensi tidak hanya terbatas pada dimensi-3 dengan tripel

bilangannya, tetapi juga kuadrupel sebagai titik pada ruang dimensi-4, kuintupel pada

ruang dimensi-5, dan seterusnya. Hal ini menghasilkan generalisasi untuk ruang

dimensi-n.

Definisi tupel-n-berurutan

Jika n adalah sebuah bilangan positif, maka tupel-n-berurutan (ordered-n-tuple)

adalah sebuah urutan n buah bilangan real (𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑛).

Definisi Ruang-n atau 𝑅𝑛

Ruang dimensi-n atau ruang-n (𝑅𝑛 ) adalah himpunan semua tupel-n-berurutan

(𝑎1,𝑎2, . . . , 𝑎𝑛), dengan 𝑎1, 𝑎2, . . . , dan 𝑎𝑛 adalah bilangan-bilangan real. Tupel-n

bilangan 𝑎1,𝑎2 , . . . , 𝑎𝑛 dinamakan titik (point) dalam 𝑅𝑛 , misal suatu titik P dapat

ditulis 𝑃(𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑛). Bilangan 𝑎1, 𝑎2, . . . , dan 𝑎𝑛 disebut koordinat dari P.

Jelas bahwa ruang dimensi-n dengan n > 3 tidak dapat divisualisasikan secara

geometris, namun penemuan ini sangat berguna dalam pekerjaan analitik dan numerik,

karena tidak sedikit permasalahan nyata tidak dapat divisualisasikan dengan grafis

namun memerlukan penalaran dan penyelesaian secara matematis.

𝑅𝑛 yang merupakan generalisasi dari 𝑅1, 𝑅2, dan 𝑅3, menyebabkan sifat-sifat dan

aturan-aturan di dalamnya adalah sama, perbedaannya hanya terletak pada ukuran atau

Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 32

banyak komponen yang akan dihitung. Walaupun bab ini hanya menyajikan definisi,

teorema, atau sifat-sifat dalam 𝑅2 dan 𝑅3, tetapi semuanya akan berlaku untuk 𝑅𝑛 ,

setelah dimodifikasi sesuai dimensinya. Seperti definisi jarak antar dua titik dalam 𝑅2

dan 𝑅3 berikut yang dapat digeneralisasi untuk 𝑅𝑛 .

Definisi Jarak Dua Titik

Jarak antara dua titik 𝐴(𝑥1,𝑦1) dan 𝐵(𝑥2,𝑦2 ) di 𝑅2 didefinisikan oleh :

𝐴𝐵 = 𝑥2 − 𝑥1 2 + 𝑦2−𝑦1

2

Jarak antara dua titik 𝐴(𝑥1,𝑦1, 𝑧1) dan 𝐵(𝑥2,𝑦2 , 𝑧2) di 𝑅3 didefinisikan oleh :

𝐴𝐵 = 𝑥2 − 𝑥1 2 + 𝑦2−𝑦1

2 + 𝑧2−𝑧1 2

2. Titik dan Garis

Pada bagian sebelumnya telah dibahas pengertian titik pada 𝑅2 dan 𝑅3 serta 𝑅𝑛

secara umum. Definisi titik ini sama untuk semua ruang, yang berbeda hanyalah

kedudukannya di dalam masing-masing ruang tersebut. Dua titik atau lebih jika

dihubungkan akan membentuk garis, kumpulan garis-garis akan menjadi bidang, dan

kumpulan bidang-bidang akan menjadi ruang.

Geometri adalah cabang matematika yang khusus mempelajari titik, garis, dan bidang.

Mengenai garis, geometri hanya terbatas pada kuantitas dan kedudukan, seperti

panjang garis atau besar sudut antara dua garis, tetapi tidak pada arahnya serta

kedudukannya dalam suatu bidang atau ruang. Ilmu vektor merupakan cabang dari

matematika yang mempelajari ruas garis berarah yang dinamakan vektor.

3. Vektor

Banyak kuantitas fisis, seperti luas, panjang, massa, suhu, dan lainnya, dapat

dijelaskan secara lengkap hanya dari besarnya, misalnya 50 kg, 100 m, 30 ℃, dll.

Kuantitas fisis ini dinamakan skalar. Dalam matematika, skalar mengacu pada semua

bilangan yang bersifat konstan.

Namun, ada kuantitas fisis lain yang tidak hanya memiliki besar/nilai tapi juga arah,

seperti kecepatan, gaya, pergeseran, dan lain- lain. Kuantitas fisis ini dalam fisika

maupun matematika dinamakan vektor. Dalam matematika, ilmu vektor menjadi salah

satu cabang ilmu yang semakin luas perkembangannya serta penerapannya, dan tidak

terbatas pada mempelajari besaran-besaran yang memiliki nilai dan arah tetapi sebagai

suatu besaran yang memiliki banyak komponen yang membentuk satu kesatuan dari

besaran itu sendiri.

Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 33

Titik ujung

Titik awal

a

Notasi Vektor

Vektor biasanya dinyatakan dengan huruf kecil tebal (a), atau diberi tanda panah di

atasnya (𝑎 ), atau tanda garis bawah ( 𝑎 ).

Definisi Vektor

Sebuah vektor a dengan komponen-n (berdimensi-n) di dalam 𝑅𝑛 adalah suatu aturan

tupel-n dari bilangan-bilangan yang ditulis sebagai baris (𝑎1,𝑎2,… , 𝑎𝑛) atau sebagai

kolom

𝑎1

𝑎2

⋮𝑎𝑛

, dengan 𝑎1,𝑎2,… , 𝑎𝑛 adalah bilangan-bilangan real dan dinamakan

komponen dari vektor a.

Dengan demikian, di 𝑅2 vektor dapat ditulis : 𝐚 = (𝑎1, 𝑎2) atau 𝐚 = 𝑎1

𝑎2 , dan di 𝑅3

vektor dapat ditulis : 𝐚 = (𝑎1,𝑎2, 𝑎3) atau 𝐚 = 𝑎1

𝑎2𝑎3

. Pada bagian berikutnya, vektor

akan sering disajikan dalam bentuk baris (vektor baris).

Berdasarkan definisi titik dan vektor, simbol (𝑎1, 𝑎2,… , 𝑎𝑛) mempunyai dua tafsiran

geometrik yang berbeda, yaitu sebagai titik dalam hal 𝑎1, 𝑎2,… , 𝑎𝑛 adalah koordinat,

dan sebagai vektor dalam hal 𝑎1,𝑎2,… , 𝑎𝑛 adalah komponen.

Arti Geometrik Vektor

Secara geometris, vektor dinyatakan sebagai segmen garis berarah atau panah. Arah

panah menentukan arah vektor dan panjangnya menyatakan besar vektor. Ekor panah

dinamakan titik awal (initial point) dan ujung panah dinamakan titik ujung/terminal

(terminal point).

Komponen-komponen vektor menentukan besar dan arah vektor. Misal pada 𝑅2,

vektor 𝐯 = (2, 3) berarti dari titik awal bergerak 2 satuan ke kanan, kemudian 3

satuan ke atas. Pada 𝑅3, misalkan sebuah vektor 𝐯 = 3, 4,−2 berarti dari titik awal

bergerak 2 satuan ke depan (x-positif), 4 satuan ke kanan (y-positif), dan 2 satuan ke

bawah (z-negatif).

Definisi berikut dapat memperjelas tafsiran geometrik vektor.

Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 34

Definisi Vektor Posisi

Vektor posisi dari 𝐴(𝑎1,𝑎2,… , 𝑎𝑛) adalah suatu vektor yang titik awalnya adalah titik

asal O dan titik ujungnya adalah A, dan ditulis 𝑂𝐴 = (𝑎1, 𝑎2,… ,𝑎𝑛 ).

Berdasarkan definisi ini dapat dibuktikan bahwa, dari sebuah titik dapat dibuat tepat

satu buah vektor posisi. Dengan kata lain setiap titik dalam ruang memiliki vektor

posisi yang berbeda-beda.

Jika vektor v dengan titik awal A dan titik ujung B, maka v dapat ditulis sebagai : 𝐴𝐵 .

Komponen-komponen dari 𝐴𝐵 akan dijelaskan setelah mempelajari aritmetika vektor.

Definisi Vektor-Vektor Ekuivalen

Vektor-vektor ekuivalen adalah vektor-vektor yang memiliki panjang dan arah yang

sama.

Vektor-vektor ekuivalen dianggap sebagai vektor yang sama meskipun kedudukannya

berbeda-beda. Jika v dan w ekuivalen maka dapat dituliskan v = w.

Contoh 1 :

Keempat ruas garis berarah di atas berawal di suatu titik tertentu yang kemudian

digerakkan 2 satuan ke kiri dan 5 satuan ke atas. Keempatnya dinamakan vektor dan

dapat dinotasikan oleh 𝐯 = −2, 5 = −2 5

. Keempat ruas garis berarah di atas

dinamakan representasi dari vektor v. ∎

Definisi Vektor Nol

Vektor nol adalah vektor yang semua komponennya adalah nol, dan ditulis

𝟎 = (0, 0, 0).

Dengan demikian vektor nol adalah vektor yang tidak mempunyai panjang dan arah.

Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 35

Definisi Negatif Vektor

Negatif dari vektor v, atau –v didefinisikan sebagai vektor yang mempunyai besar

yang sama dengan v, namun arahnya berlawanan dengan v.

Definisi Vektor satuan/unit (Unit Vectors)

Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya adalah 1.

Definisi Vektor Basis/Satuan Standar (Standard Unit Vectors)

Vektor satuan baku adalah vektor yang mempunyai panjang 1 dan terletak sepanjang

sumbu-sumbu koordinat.

Untuk 𝑅2, vektor satuan baku ditulis : i = 1,0 dan j = 0,1 .

Untuk 𝑅3, vektor satuan baku ditulis : i = 1,0,0 , j = 0,1,0 , dan k = 0,0,1 .

Dengan demikian setiap vektor v = (𝑣1, 𝑣2 , 𝑣3 ) di 𝑅3 dapat ditulis

v = 𝑣1, 𝑣2 , 𝑣3 = 𝑣1 1,0,0 + 𝑣2 0,1, 0 + 𝑣3 0,0, 1 = 𝑣1 𝐢 + 𝑣2 𝐣+ 𝑣3𝐤

Contoh 2 :

Nyatakan v = 2,−3, 4 dalam vektor basis.

Penyelesaian :

𝐯 = 2,−3, 4 = 2 1,0, 0 + −3 0,1, 0 + 4 0,0, 1 = 2𝐢 − 3𝐣 + 4𝐤 ∎

Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 36

𝒃

𝒂 + 𝒃

𝒂

4. Aritmetika Vektor

Pada bagian ini, definisi serta teorema yang diberikan hanya untuk vektor-vektor di

𝑅3, sedangkan interpretasi geometris sedapatnya diberikan dalam 𝑅3, namun

kebanyakan dalam 𝑅2. Hal ini bertujuan hanya untuk mempermudah pemahaman

analitik dan geometrik. Secara konsep, teoretis, dan numeris, semua definisi, teorema,

dan rumus-rumus dapat dengan mudah dimodifikasi sesuai dimensi yang diinginkan.

Definisi Penjumlahan Vektor

Diberikan vektor 𝐚 = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) dan 𝐛 = (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3) vektor-vektor di 𝑅3, maka

penjumlahan a dan b didefinisikan oleh

𝐚 + 𝐛 = (𝑎1 + 𝑏1 , 𝑎2 + 𝑏2 , 𝑎3 + 𝑏3)

Secara geometris, penjumlahan a + b dilakukan dengan dua cara, yaitu dengan aturan

segitiga (triangle law) dan aturan jajar genjang (parallelogram law). Aturan segitiga

dilakukan dengan menghubungkan titik awal b dengan titik ujung a, kemudian

menghubungkan titik awal a dan titik ujung b sebagai (a + b). Sedangkan aturan jajar

genjang dilakukan dengan menghubungkan kedua titik asal a dan b, sehingga a dan b

membentuk jajaran genjang. Diagonal yang dibuat dari titik awal kedua vektor akan

menjadi (a + b). Seperti ilustrasi berikut :

Contoh 3 :

Misalkan 𝐮 = 1, 2,3 , 𝐯 = 2,−3, 1 ,dan 𝐰= (3,2,−1) vektor-vektor di 𝑅3, maka

𝐮+ 𝐯+𝐰 = (1 + 2 + 3, 2 + −3 + 2, 3 + 1 + −1 = 6,1, 3 ∎

Definisi Pengurangan Vektor

Diberikan vektor 𝐚 = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) dan 𝐛 = (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3), maka pengurangan a oleh b

didefinisikan oleh :

𝐚 − 𝐛 = 𝐚 + −𝐛 = [ 𝑎1 + (−𝑏1 , 𝑎2 + (−𝑏2 ), 𝑎3 + (−𝑏3)]

= ( 𝑎1 −𝑏1 , 𝑎2 − 𝑏2 , 𝑎3 − 𝑏3)

Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 37

Seperti halnya pada penjumlahan vektor, secara geometris pengurangan vektor dapat

dilakukan dengan aturan segitiga ataupun jajar genjang seperti ilustrasi berikut.

Contoh 4 :

Misalkan 𝐮 = 1, 2,3 , 𝐯 = 2,−3, 1 ,dan 𝐰= (3,2,−1) vektor-vektor di 𝑅3, maka

𝐮− 𝐯 −𝐰 = (1− 2− 3,2 − −3 − 2, 3 − 1 − −1 = −4,3, 3 ∎

Berdasarkan definisi ini, komponen-komponen dari vektor yang titik awalnya bukan

titik asal, misal 𝐴(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) dan titik ujung 𝐵(𝑏1 ,𝑏2 , 𝑏3), sehingga 𝐚 = 𝑂𝐴 =

𝑎1 , 𝑎2, 𝑎3 dan 𝐛 = 𝑂𝐵 = 𝑏1 , 𝑏2, 𝑏3 adalah :

𝐴𝐵 = 𝑂𝐵 – 𝑂𝐴 = 𝐛 – 𝐚 = 𝑏1 ,𝑏2 ,𝑏3 − 𝑎1 , 𝑎2, 𝑎3

= (𝑏1 − 𝑎1 , 𝑏2 − 𝑎2 , 𝑏3 −𝑎3 )

Contoh 5 :

Vektor dengan titik awal dan titik ujung berturut-turut 𝑃1 2,−7,0 dan 𝑃2(1,−3,−5)

adalah 𝑃1𝑃2 = 1− 2,−3 − −7 ,−5 − 0 = −1,4,−5 ∎

Dengan memisalkan semua koordinat ada di sumbu-sumbu positif, vektor 𝐴𝐵 di 𝑅3,

dengan koordinat 𝐴 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 dan 𝐵(𝑥2,𝑦2 , 𝑧2), dapat digambarkan sebagai berikut.

Sehingga 𝐴𝐵 = (𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1, 𝑧2 − 𝑧1).

Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 38

Definisi Perkalian Skalar-Vektor

Jika 𝐯 = (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 ) adalah vektor tak-nol dan k adalah bilangan real tak-nol, maka

hasil kali kv didefinisikan oleh

𝑘𝐯 = 𝑘 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 = (𝑘𝑣1, 𝑘𝑣2, 𝑘𝑣3)

Secara geometris, hasil kali kv adalah vektor yang panjangnya k kali panjang v, yang

arahnya sama dengan v jika k > 0, dan berlawanan arah dengan v jika k < 0.

Contoh 6 :

Misalkan suatu vektor di 𝑅2,𝐚 = (2,4). Hitunglah 3𝐚,1

2𝐚, dan− 2𝐚, dan gambarkan

keempat vektor tersebut ke dalam satu sistem koordinat.

Penyelesaian :

Berdasarkan definisi perkalian skalar-vektor, maka

3𝐚 = 6,12 ; 1

2𝐚 = 1,2 ; −2𝐚 = (−4,−8)

∎

Norma/Panjang Vektor

Panjang suatu garis dapat diperoleh dengan menggunakan aturan Phytagoras. Karena

vektor adalah ruas garis berarah, maka panjang vektor, baik di 𝑅2 maupun 𝑅3 dapat

diperoleh dengan rumus yang sama.

Definisi Norma Vektor

Norma atau panjang vektor 𝐯 = (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 ) didefinisikan oleh :

𝐯 = 𝑣12 + 𝑣2

2 + 𝑣32

Berdasarkan definisi di atas, jika 𝐯 = 0 maka 𝐯 = 𝟎. Dan, jika v vektor satuan,

maka 𝐯 = 1, begitu pula dengan vektor basis 𝐢 = 1, 𝐣 = 1, dan 𝐤 = 1.

Contoh 7 :

Misalkan 𝐚 = (3,−5,10) maka 𝐚 = 9 + 25 + 100 = 134 ∎

Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 39

a

b

𝐚

𝐛 𝜽

Teorema : Aturan Dasar Aritmetika Vektor

Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor di 𝑅2 atau 𝑅3, dan k serta l adalah skalar

(bilangan real), maka hubungan berikut akan berlaku,

a. u + v = v + u

b. (u + v) + w = u + (v + w)

c. u + 0 = 0 + u = u

d. u + (-u) = 0

e. k( lu ) = ( kl )u

f. k(u + v) = ku + kv

g. (k + l)u = ku + lu

h. 1u = u

5. Perkalian Titik / Perkalian Dalam (Dot Product/Inner Product)

Definisi pertama dari perkalian titik dua vektor adalah menggunakan sifat-sifat

geometrisnya, yaitu norma kedua vektor dan besar sudut di antara keduanya, dengan

asumsi titik-titik awalnya berimpit.

Definisi 1

Jika u dan v adalah vektor-vektor di 𝑅2 dan 𝑅3, dan 𝜃 adalah sudut di antara u dan v,

maka perkalian titik (dot product) atau perkalian dalam Euclidis (Euclidean inner

product) 𝐮 ∙ 𝐯 didefinisikan oleh

𝐮 ∙ 𝐯 = 𝐮 𝐯 cos𝜃 ; jika 𝐮 ≠ 𝟎 dan 𝐯 ≠ 𝟎

0 ; jika 𝐮 = 𝟎 atau 𝐯= 𝟎

Pekalian ini juga dinamakan perkalian skalar (scalar product) karena hasil perkalian

titik dua vektor akan menghasilkan skalar (bilangan real). Dari definisi jelas bahwa

norma vektor u dan v serta nilai cosinus sebarang sudut di antara keduanya adalah

bilangan real, sehingga hasil kali ketiganya adalah bilangan real. Jika salah satu atau

kedua vektor merupakan vektor nol, maka hasilnya adalah nol.

Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 40

Contoh 8 :

Misalkan 𝐮 = 0, 0,1 dan 𝐯= (0,2, 2) sedangkan sudut di antaranya adalah 45°,

maka 𝐮 ∙ 𝐯 = 𝐮 𝐯 cos 45° = 02 + 02 + 12 02 + 22 + 22 1

2 = 2 ∎

Definisi ke-dua dari perkalian titik dua vektor adalah menggunakan komponen-

komponen dari masing-masing vektor.

Definisi 2

Jika 𝐮 = (𝑢1,𝑢2) dan 𝐯 = (𝑣1, 𝑣2) adalah vektor di 𝑅2, maka perkalian titik/perkalian

dalam 𝐮 ∙ 𝐯 didefinisikan oleh :

𝐮 ∙ 𝐯 = 𝑢1𝑣1 + 𝑢2𝑣2

Jika 𝐮 = (𝑢1,𝑢2,𝑢3) dan 𝐯 = (𝑣1, 𝑣2 , 𝑣3) adalah vektor di 𝑅3, maka perkalian titik

𝐮 ∙ 𝐯 didefinisikan oleh :

𝐮 ∙ 𝐯 = 𝑢1𝑣1 + 𝑢2𝑣2 + 𝑢3𝑣3

Contoh 9 :

Misalkan 𝐚 = 0, 3,−7 dan 𝐛= (2,3, 1) maka 𝐚 ∙ 𝐛 = 0.2 + 3.3 + −7 .1 = 2 ∎

Kedua definisi ini saling berkaitan karena salah satu definisi diperoleh dari definisi

yang lain. Dalam beberapa buku, salah satu definisi dituliskan sebagai “definisi”,

kemudian definisi yang lainnya dituliskan sebagai “teorema” yang diturunkan dari

definisi sebelumnya. Biasanya kedua definisi digabungkan untuk mencari besar sudut

di antara u dan v jika komponen u dan v diketahui.

Contoh 10 :

Misalkan 𝐮 = (2,−1,1) dan 𝐯 = (1, 1, 2), Hitunglah 𝐮 ∙ 𝐯 dan tentukan sudut di

antara keduanya.

Penyelesaian :

𝐮 = 22 + (−1)2 + 12 = 6 ; 𝐯 = 12 + 12 + 22 = 6 ; dan

𝐮 ∙ 𝐯 = 2.1 + −1 .1 + 1.2 = 3

sehingga,

𝐮 ∙ 𝐯 = 𝐮 𝐯 cos𝜃 ⇔ cos𝜃 =𝐮 ∙ 𝐯

𝐮 𝐯 =

3

6 6=

1

2⇔ 𝜃 = arccos

1

2 = 60° ∎

Teorema : Sudut Antara Dua Vektor

Jika u dan v adalah vektor-vektor tak nol, dan 𝜃 adalah besar sudut di antara kedua

vektor tersebut, maka

Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 41

𝜃 lancip (0° < 𝜃 < 90°) jika dan hanya jika 𝐮 ∙ 𝐯 > 0

𝜃 tumpul (90° < 𝜃 < 180°) jika dan hanya jika 𝐮 ∙ 𝐯 < 0

𝜃 siku-siku (𝜃 = 90°) jika dan hanya jika 𝐮 ∙ 𝐯 = 0

Dua vektor yang membentuk sudut siku-siku dinamakan ortogonal (tegak lurus).

Teorema : Sifat-sifat Perkalian Titik

Jika u, v, dan w adalah vektor- vektor di 𝑅2 atau 𝑅3 dan k adalah skalar, maka

a. 𝐮 ∙ 𝐯 = 𝐯 ∙ 𝐮

b. 𝐮 ∙ 𝐯+ 𝐰 = 𝐮 ∙ 𝐯+ 𝐮 ∙ 𝐰

c. 𝑘 𝐮 ∙ 𝐯 = 𝑘𝐮 ∙ 𝐯 = 𝐮 ∙ (𝑘𝐯)

d. 𝐯 ∙ 𝐯 > 0 jika 𝐯 ≠ 𝟎 dan 𝐯 ∙ 𝐯 = 0 jika 𝐯 = 𝟎

6. Proyeksi

Dua vektor yang titik asalnya berimpit dapat menghasilkan vektor lain yang

dinamakan vektor proyeksi. Perhatikan ilustrasi berikut.

Misalkan a dan b berimpit di titik asalnya. Jika dari titik ujung b ditarik garis menuju

a sedemikian sehingga tegak lurus a (diproyeksikan terhadap a), maka vektor yang

dapat dibuat dengan titik asal yang sama dan berujung di titik di mana b

diproyeksikan pada a dinamakan vektor proyeksi b terhadap a. Vektor ini disebut juga

proyeksi ortogonal b pada a.

Dengan cara yang sama dapat diperoleh vektor proyeksi a terhadap b.

Notasi Vektor Proyeksi

Vektor proyeksi b terhadap a dinotasikan proy𝐚 𝐛

Vektor proyeksi a terhadap b dinotasikan dengan proy𝐚𝐛

Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 42

Teorema : Proyeksi Ortogonal

Jika u dan v adalah vektor di 𝑅2 atau 𝑅3 dan keduanya bukan vektor nol, maka

proy𝐚 𝐛=𝐚 ∙ 𝐛

𝐚 2 𝐚 dan proy𝐛 𝐚=

𝐚 ∙ 𝐛

𝐛 2 𝐛

Sedangkan panjang dari vektor-vektor proyeksi tersebut adalah

proy𝐚 𝐛 =𝐚 ∙ 𝐛

𝐚 dan proy𝐛 𝐚 =

𝐚 ∙ 𝐛

𝐛

Contoh 11 :

Jika 𝐚 = (1, 0,−2) dan 𝐛 = (2,1,−1) , tentukan vektor proyeksi a pada b.

Penyelesaian : 𝐚 ∙ 𝐛 = 4 dan 𝐛 2 = 6 maka proyeksi ortogonal a pada b adalah

proy𝐛 𝐚=𝐚 ∙ 𝐛

𝐛 2 𝐛 =

4

6 2,1,−1 =

4

3,2

3,−

2

3 ∎

7. Perkalian Silang (Cross Product)

Berikut akan diperkenalkan sebuah operasi antar vektor dalam 𝑅3. Jika perkalian titik

akan menghasilkan skalar/bilangan, maka perkalian silang akan menghasilkan vektor.

Dan jika proyeksi ortogonal suatu vektor terhadap vektor la in akan menghasilkan

vektor baru yang berimpit dengan vektor tersebut, maka perkalian silang dua vektor

akan menghasilkan vektor baru yang tegak lurus dengan kedua vektor tersebut.

Definisi Perkalian Silang

Jika 𝐮 = (𝑢1,𝑢2,𝑢3) dan 𝐯 = (𝑣1, 𝑣2 , 𝑣3) adalah vektor di 𝑅3, maka perkalian silang

𝐮× 𝐯 didefinisikan oleh

𝐮× 𝐯 = (𝑢2𝑣3 −𝑢3𝑣2 ,𝑢3𝑣1 − 𝑢1𝑣3 ,𝑢1𝑣2 − 𝑢2𝑣1)

atau dalam notasi determinan

𝐮 × 𝐯 = 𝑢2 𝑢3

𝑣2 𝑣3 ,−

𝑢1 𝑢3

𝑣1 𝑣3 ,

𝑢1 𝑢2

𝑣1 𝑣2

Rumus di atas dapat dibuat pola yang mudah diingat. Bentuklah matriks 2 × 3 :

𝑢1 𝑢2 𝑢3

𝑣1 𝑣2 𝑣3

Komponen pertama dari 𝐮 × 𝐯 adalah determinan matriks tersebut setelah kolom

pertama dicoret, komponen ke-2 adalah negatif dari determinan matriks setelah kolom

ke-2 dicoret, dan komponen ke-3 adalah determinan matriks setelah kolom ke-3

dicoret.

Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 43

i

j k

Contoh 12 :

Misalkan 𝐮 = (1, 2,−2) dan 𝐯 = (3, 0, 1), maka

1 2 −23 0 1

𝐮× 𝐯 = 2 −20 1

,− 1 −23 1

, 1 23 0

= 2,−7,−6 ∎

Secara geometris, perkalian silang 𝐮 × 𝐯 dapat diinterpretasikn oleh gambar berikut,

Arah 𝐮× 𝐯 dapat ditentukan dengan “aturan tangan kanan” (right hand rule).

Misalkan 𝜃 adalah sudut di antara u dan v, dan anggaplah u terotasi sejauh sudut 𝜃

menuju v (sehingga berimpit dengan v). Jika jari-jari tangan kanan menunjukkan arah

rotasi u maka ibu jari menunjukkan arah 𝐮 × 𝐯.

Dengan menggunakan definisi ataupun dengan mempraktekkan aturan ini, dapat

diperoleh hasil-hasil berikut :

𝐢 × 𝐢 = 𝐣 × 𝐣 = 𝐤 × 𝐤 = 𝟎

𝐢 × 𝐣 = 𝐤 , 𝐣 × 𝐤 = 𝐢 , 𝐤 × 𝐢 = 𝐣

𝐣 × 𝐢 = −𝐤 , 𝐤 × 𝐣 = −𝐢 , 𝐢 × 𝐤 = −𝐣

Diagram berikut dapat membantu untuk mengingat hasil perkalian di atas.

Perkalian silang 𝐮× 𝐯 dapat dinyatakan secara simbolis dalam bentuk determinan

3 × 3 :

𝐮× 𝐯 = 𝐢 𝐣 𝐤𝑢1 𝑢2 𝑢3

𝑣1 𝑣2 𝑣3

= 𝑢2 𝑢3

𝑣2 𝑣3 𝐢 −

𝑢1 𝑢3

𝑣1 𝑣3 𝐣 +

𝑢1 𝑢2

𝑣1 𝑣2 𝐤

Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 44

Contoh 13 :

Contoh 11 dapat dikejakan dengan cara :

𝐮× 𝐯 = 𝐢 𝐣 𝐤1 2 −23 0 1

= 2 −20 1

𝐢 − 1 −23 1

𝐣 + 1 23 0

𝐤 = 2𝐢 − 7𝐣 − 6𝐤 ∎

Teorema : Hubungan Perkalian Silang dan Perkalian titik

Jika u dan v adalah vektor di 𝑅3, maka :

a. 𝐮 ∙ 𝐮× 𝐯 = 0 ( 𝐮× 𝐯 ortogonal ke u )

b. 𝐯 ∙ 𝐮× 𝐯 = 0 ( 𝐮× 𝐯 ortogonal ke u )

c. 𝐮 × 𝐯 𝟐 = 𝐮 𝟐 𝐯 𝟐 − 𝐮 ∙ 𝐯 𝟐 (Identitas Lagrange/Lagrange Identity)

Teorema : Sifat-Sifat Perkalian Silang

Jika u, v, dan w dalah sebarang vektor di 𝑅3 ddan k adalah sebarang skalar, maka :

a. 𝐮 × 𝐯 = − 𝐯× 𝐮

b. 𝐮 × 𝐯+ 𝐰 = 𝐮× 𝐯 + (𝐮× 𝐰)

c. 𝐮+ 𝐯 × 𝐰 = 𝐮× 𝐰 + (𝐯× 𝐰)

d. 𝑘 𝐮× 𝐯 = 𝑘𝐮 × 𝐯 = 𝐮× (𝑘𝐯)

e. 𝐮 × 𝟎 = 𝟎 × 𝐮 = 𝟎

f. 𝐮 × 𝐮 = 𝟎

g. 𝐮 ∙ 𝐯× 𝐰 = 𝐮× 𝐯 ∙ 𝐰 =

𝑢1 𝑢2 𝑢3

𝑣1 𝑣2 𝑣3

𝑤1 𝑤2 𝑤3

Berdasarkan teorema-teorema sebelumnya, dapat diturunkan teorema berikut.

Teorema : Aplikasi Geometri Perkalian Silang

Jika u, v, dan w vektor-vektor di 𝑅3 dengan titik asal yang sama, maka

a. Jika 𝜃 adalah sudut di antara u dan v, maka 𝐮 × 𝐯 = 𝐮 𝐯 sin 𝜃

b. Norma dari 𝐮× 𝐯 sama dengan luas jajaran genjang yang dibentuk oleh u dan v,

atau Luas jajar genjang = 𝐮 × 𝐯

c. Volume bangun yang dibentuk oleh ketiganya adalah 𝑎𝑏𝑠[𝐮 ∙ 𝐯× 𝐰 ].

Contoh 14 :

a, b, dan c adalah sebarang vektor di 𝑅3 yang berimpit di titik awalnya. Jika

ketiganya dihubungkan akan membentuk suatu bangun dimensi-3 (parallelpiped).

Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 45

Luas masing-masing sisinya adalah :

𝐚 × 𝐛 , 𝐛 × 𝐜 , 𝐚 × 𝐜

Sedangkan volume bangun tersebut adalah :

𝑎𝑏𝑠(𝐚 ∙ 𝐛× 𝐜 )

Rumus volume di atas biasanya digunakan untuk mengetahui apakah ketiga vektor

berada pada bidang yang sama. Jika volume yang dihitung bernilai nol, maka

ketiganya berada pada bidang yang sama, dan sebaliknya jika volumenya tidak sama

dengan nol. Fungsi abs(absolute)/mutlak berguna untuk mempositifkan hasil akhir

perhitungan volume.

Contoh 15 :

Tentukan apakah ketiga vektor 𝐚 = (1, 4,−7), 𝐛 = (2,−1, 4), dan 𝐜 = (0,−9, 18)

terletak pada satu bidang di 𝑅3 atau tidak.

Penyelesaian :

𝐚 ∙ 𝐛× 𝐜 = 1 4 −72 −1 40 −9 18

1 42 −10 −9

= 1 −1 18 + 4 4 0 + −7 2 −9 —

{ 7 −1 0 + 1 4 −9 + 4 2 18 }

= −18 + 126− 144 + 36

= 0

Jadi, ketiga vektor tersebut terletak pada satu bidang di 𝑅3 ∎

Contoh 16 :

Carilah luas segitiga yang dibentuk oleh 𝑃1 2,2, 0 ,𝑃2 −1,0, 2 ,dan 𝑃3(0,4, 3) .

Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 46

x

y

z

𝑃2 −1,0, 2

𝑃1 2,2, 0

𝑃3(0,4, 3)

Penyelesaian :

Luas segitiga tersebut adalah ½ luas jajaran genjang yang dibentuk 𝑃1𝑃2 dan 𝑃1𝑃3

, di

mana

𝑃1𝑃2 = −1,0, 2 − 2,2, 0 = (−3,−2, 2)

𝑃1𝑃3 = 0,4, 3 − 2,2, 0 = (−2, 2, 3)

𝑃1𝑃2 × 𝑃1𝑃3

= (−10, 5,−10)

Sehingga Luas segitiga = 1

2 𝑃1𝑃2 × 𝑃1𝑃3

=1

2 15 = 7

1

2 ∎

Latihan I

1. Carilah komponen vektor yang mempunyai titik awal 𝑃1 dan titik ujung 𝑃2.

a. 𝑃1 3,5 ; 𝑃2(2,8)

b. 𝑃1 7,−2 ; 𝑃2(0,0)

c. 𝑃1 6,5, 8 ; 𝑃2(8,−7, 3)

d. 𝑃1 0,0, 0 ; 𝑃2(−8,7, 4)

2. Misalkan 𝐮 = 1,− 2,3 ,𝐯 = 2,−3, 1 dan 𝐰 = (3, 2,−1). Carilah komponen-

komponen dari :

a. u – w

b. 7v + 3w

c. –w + v

d. 3(u – 7v)

e. – 3v – 8w

f. 2v – (u + w)

3. Carilah vektor dengan titik awal 𝑃(2,−1, 4) yang mempunyai arah yang sama dengan

𝐯 = (7, 6,−3).

4. Carilah vektor yang berlawanan arah dengan 𝐯 = (−2,4,−1) yang mempunyai titik

terminal di 𝑄(2,0,−7).

Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 47

5. Misalkan 𝑃(2,3,−2) dan 𝑄(7,−4, 1).

a. Carilah titik tengah dari segmen garis yang menghubungkan P dan Q.

b. Carilah titik pada segmen garis 𝑃𝑄 sehingga dari P ke titik itu adalah ¾ dari 𝑃𝑄.

Latihan II

1. Hitunglah norma/panjang v jika

a. 𝐯 = (3, 4)

b. 𝐯 = (−1, 7)

c. 𝐯 = (0,−3)

d. 𝐯 = (1, 1, 1)

e. 𝐯 = (−8, 7,4)

f. 𝐯 = (9, 0, 0)

2. Hitunglah jarak di antara A dan B.

a. 𝐴 2, 3 , 𝐵(4, 6)

b. 𝐴 −2,7 , 𝐵(0,−3)

c. 𝐴 8,−4,2 , 𝐵(−6,−1, 0)

d. 𝐴 1, 1,1 , 𝐵(6,−7,3)

3. Misalkan 𝐮 = 1,−3,2 , 𝐯 = 1, 1, 0 dan 𝐰 = (2,2,−4). Carilah :

a. 𝐮 + 𝐯

b. 𝐮 + 𝐯

c. −2𝐮 + 2 𝐮

d. 3𝐮− 5𝐯+ 𝐰

e. 1

𝐰 𝐰

f. 1

𝐰 𝐰

4. Carilah semua skalar k sehingga 𝑘𝐯 = 3, di mana 𝐯 = 1,2, 4 .

Latihan III

1. Carilah 𝐮 ∙ 𝐯 untuk :

a. 𝐮 = 1, 2 ,𝐯 = 6,−8

b. 𝐮 = −7,−3 ,𝐯 = 0,1

c. 𝐮 = 1,−3, 7 ,𝐯 = 8,−2,−2

d. 𝐮 = −3, 1, 2 ,𝐯 = 4,2,−5

2. Tentukan apakah u dan v membentuk sudut lancip, tumpul, atau keduanya ortogonal.

Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 48

a. 𝐮 = 7, 3, 5 ,𝐯 = −8,4, 2

b. 𝐮 = 6, 1, 3 ,𝐯 = 4,0,−6

c. 𝐮 = 1, 1, 1 ,𝐯 = −1,0, 0

d. 𝐮 = 4, 1, 6 ,𝐯 = −3,0, 2

3. Carilah proyeksi ortogonal u pada a, jika :

a. 𝐮 = 2, 1 ,𝐚 = −3,2

b. 𝐮 = 2, 6 ,𝐚 = −9,3

c. 𝐮 = −7, 1, 3 ,𝐚 = 5,0, 1

d. 𝐮 = 0, 0, 1 ,𝐚 = 8,3, 4

4. Carilah 𝑝𝑟𝑜𝑦𝐚 𝐮 , jika :

a. 𝐮 = 2,−1 ,𝐚 = 3,4

b. 𝐮 = 4, 5 ,𝐚 = 1,−2

c. 𝐮 = 2,−1, 3 ,𝐚 = 1,2, 2

d. 𝐮 = 4,−1, 7 ,𝐚 = 2,3,−6

5. Misalkan 𝐮 = 1, 2 ,𝐯 = 4,−2 ,dan 𝐰= (6,0). Carilah :

a. 𝐮 ∙ 7𝐯+𝐰

b. 𝐮 ∙ 𝐰 𝐰

c. 𝐮 𝐯 ∙ 𝐰

d. 𝐮 𝐯 ∙ 𝐰

Latihan IV

1. Misal 𝐮 = 2,−1, 3 , 𝐯 = 0, 1,7 , dan 𝐰= (1, 4, 5). Nyatakan dalam vektor basis :

a. 𝐯× 𝐰

b. 𝐮× (𝐯× 𝐰)

c. 𝐮× 𝐯 × 𝐰

d. (𝐮× 𝐯) × (𝐯× 𝐰)

e. 𝐮× (𝐯 − 2𝐰)

f. 𝐮× 𝐯 − 2𝐰)

2. Carilah vektor yang ortogonal terhadap u dan v.

a. 𝐮 = −7, 3, 1 ,𝐯 = 2,0, 4

b. 𝐮 = −1,−1,−1 ,𝐯 = 2, 0, 2

3. Carilah luas segitiga yang mempunyai titik sudut P, Q, dan R.

a. 𝑃 1, 5,−2 𝑄 0,0,0 𝑅 3,5, 1

b. 𝑃 2, 0,−3 𝑄 1,4,5 𝑅(7,2, 9)