Vektor 2015

download Vektor 2015

of 30

description

vektor

Transcript of Vektor 2015

  • VEKTORBesaran Skalar dan Besaran VektorBesaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar (panjang/nilai)Contoh: waktu, suhu, panjang, luas, volum, massaBesaran Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arahContoh: kecepatan, percepatan, gaya, medan magnet, medan listrik

  • VektorNotasi VektorRuas garis berarah yg panjang dan arahnya tertentu.Vektor dinyatakan dg huruf , u, u (bold), atau u (italic).Jika u menyatakan ruas garis berarah dari A ke B, maka ditulis dengan lambang u = AB Notasi u dibaca vektor u

  • Penyajian VektorVektor di R2Vektor sbg pasangan bilanganu = (a,b)a : komponen mendatar, b : komponen vertikalVektor sbg kombinasi vektor satuan i dan ju = ai + bj

  • Kesamaan VektorDua buah vektor dikatakan sama besarbila besar dan arahnya sama.Misalkan u = (a,b) dan v = (c,d) Jika u = v, maka Panjang u = panjang varah u = arah va=c dan b=d

  • Contoh:

  • Penjumlahan VektorPenjumlahan vektor menurut aturan segitiga dan aturan jajaran genjangDalam bentuk pasangan bilangan sbb:

  • Elemen IdentitasVektor nol ditulis 0Vektor nol disebut elemen identitasu + 0 = 0 + u = u Jika u adalah sebarang vektor bukan nol, maka u adalah invers aditif u yang didefinisikan sebagai vektor yang memiliki besar sama tetapi arah berlawanan.u u = u + (-u) = 0

  • Pengurangan VektorSelisih dua vektor u dan v ditulis u v didefinisikan u + (-v)

    Dalam bentuk pasangan bilanganvuw = u - v-vu

  • Perkalian Vektor dengan Skalarmu adalah suatu vektor dg panjang m kali panjang vektor u dan searah dengan u jika m>0, dan berlawanan arah jika m
  • Panjang (Norm) Suatau VektorPanjang (Norm) suatu vektor u=(a,b) dinyatakan dengan llull dan dirumuskan:

    Panjang (Norm) suatu vektor u=(a,b,c) dinyatakan dengan llull dan dirumuskan:

  • Sifat-Sifat Operasi VektorKomutatif : a + b = b + aAsosiatif : (a+b)+c = a+(b+c)Elemen identitas terhadap penjumlahanSifat tertutup : hasil penjumlahan vektor juga berupa vektor Ketidaksamaan segitiga |u+v||u|+|v|1u = u 0u = 0, m0 = 0.Jika mu = 0, maka m=0 atau u = 0

  • Sifat-Sifat Operasi Vektor (lanj.)(mn)u = m(nu)|mu| = |m||u|(-mu) = - (mu) = m (-u)Distributif : (m+n)u = mu + nu Distributif : m(u+v) = mu + mv u+(-1)u = u + (-u) = 0

  • Panjang Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan

  • Jarak dua titik di R2Jika P1(x1,y1) dan P2(x2,y2) adalah dua titikdalam ruang dimensi 2, maka jarak d diantarakeduanya adalah panjang dari vektor P1P2

    P1P2=(x2- x1, y2y1)

    maka

  • Jarak dua titik di R3Jika P1(x1,y1, z1) dan P2(x2,y2, z2) adalahdua titik dalam ruang dimensi 3, maka jarak ddiantara keduanya adalah panjang dari vektor P1P2 P1P2=(x2- x1, y2y1, z2z1)maka

  • Contoh menentukan panjang dan jarak.Panjang vektor u=(-3,2,1) adalah

    Jarak d dari titik

  • Panjang Vektor Hasil kali perkalian vektor dg skalarDari definisi hasil kali ku, panjang vektor ku adalah lkl kali panjang u.Pernyataan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan sbb:llkull=lkl llull

  • Hasil kali Titik (Dot Product)

    Jika u dan v adalah vektor-vektor pd ruang berdimensi 2 atau berdimensi 3 dan adalah sudut antara u dan v maka hasil kali titik (dot product) uv didefinisikan oleh:

  • Bentuk komponen dari hasil kali titikJika dan maka

    Jika dan maka

  • Menentukan sudut antara vektor-vektorJika u dan v adalah vektor vektor taknol maka :

  • Contoh Perkalian Dot ProductDiberikan vektor a = [1,2,0] dan b = [3,-2,1]Hitung sudut antara dua vektor tsb

  • Vektor OrtogonalTeoremaHasil perkalian dot product antara dua vektor bukan-nol adalah nol jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut saling tegak lurus

    Vektor u disebut ortogonal thd vektor v jika uv = 0, dan vektor v juga ortogonal thd vektor u. Vektor nol 0 ortogonal terhadap semua vektor.

  • TeoremaJika u=v maka

    Jika u dan v adalah vektor-vektor bukan-nol dan adalah sudut diantaranya maka adalah lancip jhj uv > 0 adalah tumpul jhj uv < 0=/2 jhj uv = 0

  • Sifat Sifat Hasilkali TitikJika u,v dan w adalah vektor-vektor pdruang berdimensi 2 atau berdimensi 3dan k adalah skalar maka:uv = vuu(v+w)=uv+uwk (uv)=(ku)v=u(kv)vv>0 jika v0, dan vv=0 jika v=0

  • Proyeksi OrtogonalJika u dan a adl vektor-vektor pd ruangberdimensi 2 atau berdimensi 3 dan jika a0maka: komponen vektor u sepanjang a

    komponen vektor u yg ortogonal terhadap a

  • Hasilkali SilangJika u=(u1,u2,u3) dan v=(v1,v2,v3)adalah vektor-vektor pd ruangberdimensi 3 maka hasilkali silang(cross product) uxv adalah vektor yangdidefinisikan sebagai:

    uxv=(u2v3-u3v2, u3v1u1v3, u1v2u2v1)

  • Contohjika u=(1,2,-2) dan v=(3,0,1)Tentukan uxv=(2,-7,-6)

  • Hubungan antara hasilkali silang dan hasilkali titikJika u,v adalah vektor-vektor pada ruang berdimensi 3, maka:1. u(uxv)=0 uxv ortogonal terhadap u2. v(uxv)=0 uxv ortogonal terhadap v

  • Sifat-sifat hasilkali silangJika u,v dan w adalah vektor-vektorpada ruang berdimensi 3 dan k skalarmaka:1. uxv=-(vxu)2. ux(v+w)=(uxv)+(uxw)3. (u+v)xw=(uxw)+(vxw)4. k(uxv)=(ku)xv=ux(kv)5. ux0=0xu=06. uxu=0

  • Luas Jajaran genjangJika u dan v adalah vektor vektor padaruang dimensi 3 maka sama dengan luas jajaran genjang yangdibatasi oleh u dan v

    ******************************