Oleh: Wayan Suana, M.Si. Pendidikan Fisika Universitas Lampung

USAHA DAN ENERGI DALAM ELEKTROSTATIKA

Usaha untuk Memindahkan Muatan

Usaha adalah kerja yang dilakukan oleh gaya F untuk memindahkan muatan dari satu tempat ke tempat lainnya.

= (1)

Jika kita hendak memindahkan muatan dalam suatu medan listrik maka kerja yang dilakukan adalah melawan medan listrik di tempat itu. Usaha yang dilakukan untuk memindahkan muatan titik dari jauh tak hingga ke posisi adalah:

= adalah elemen garis. Untuk koordinat bola, = + + sin sedangkan adalah gaya yang dialami oleh muatan Q, dengan = sehingga ungkapan W menjadi

= 14 !" ( + + sin )

= 14 !"

.

x

y

z

q

.

Q

Oleh: Wayan Suana, M.Si. Pendidikan Fisika Universitas Lampung

= 14 !" (2)

Usaha yang dilakukan ini berubah menjadi energi potensial yang dimiliki oleh muatan Q yang berada pada jarak r terhadap muatan q. Jadi energi elektrostatika adalah kerja yang dilakukan untuk melawan medan listrik yang ditimbulkan oleh suatu muatan q di titik tersebut.

Energi Potensial untuk Muatan Titik

Hubungan antara energi potensial dengan potensial diperoleh dengan menuliskan

kembali bahwa potensial di titik yang ditimbulkan oleh muatan q adalah: () = 14 !" (3) Maka energi potensial muatan Q pada titik dapat dinyatakan dengan: = 14 !" = () (4)

Jika terdapat N muatan titik, &, , (, , *, masing-masing dengan posisi &+++, +++, (+++, ..., *++++ maka bagaimana ungkapan energi potensialnya? Energi potensialnya sama dengan usaha total yang diperlukan untuk membawa muatan-muatan tersebut satu persatu dari posisi jauh tak hingga ke posisi &+++, +++, (+++, , *++++.

Usaha yang diperlukan untuk membawa muatan & ke titik &+++ adalah &, yaitu

y

z

&+++ .

.

.

.

x

+++

(+++

,+++

q1 q2 q3

q4

Oleh: Wayan Suana, M.Si. Pendidikan Fisika Universitas Lampung

& = & (&+++) (5) dengan (&+++) adalah potensial listrik di titik &+++. Oleh karena belum ada muatan yang lain dalam sistem koordinat, maka (&+++) = 0 sehingga & = 0 (6)

Usaha yang diperlukan untuk membawa muatan ke titik +++ adalah , yaitu = (+++) (7)

dengan (+++) adalah potensial listrik di titik +++. Oleh karena telah ada muatan & dalam sistem koordinat, maka potensial listrik di titik +++ yang ditimbulkan oleh muatan & adalah (+++) = 14 !" &|&+++ +++| (8) sehingga menjadi = 14 !" &|&+++ +++| (9)

Usaha yang diperlukan untuk membawa muatan ( ke titik (+++ adalah (, yaitu ( = ( ((+++) (10) dengan ((+++) adalah potensial listrik di titik (+++. Pada sistem koordinat telah ada muatan & dan sehingga potensial listrik di titik (+++ ditimbulkan oleh muatan & dan , yaitu ((+++) = 14 !" &|&+++ (+++| + 14 !" |+++ (+++| (11)

sehingga ( menjadi ( = 14 !" &(|&+++ (+++| + 14 !" (|+++ (+++| ( = 14 !" 4 &(|&+++ (+++| + (|+++ (+++|5 (12)

Usaha yang diperlukan untuk membawa muatan , ke titik ,+++ adalah ,, yaitu , = , (,+++) (13)

Oleh: Wayan Suana, M.Si. Pendidikan Fisika Universitas Lampung

dengan (,+++) adalah potensial listrik di titik ,+++. Kini telah ada muatan &, , dan ( sehingga potensial listrik di titik ,+++ ditimbulkan oleh muatan &, , dan (, yang besarnya

(,+++) = 14 !" &|&+++ ,+++| + 14 !" |+++ ,+++| + 14 !" (|(+++ ,+++| (14) sehingga , menjadi , = 14 !" &,|&+++ (+++| + 14 !" ,|+++ (+++| + 14 !" (,|(+++ ,+++| , = 14 !" 4 &,|&+++ ,+++| + ,|+++ ,+++| + (,|(+++ ,+++|5 (15)

Adapun usaha yang diperlukan untuk memindahkan muatan ke-N adalah

* = 14 !" 4 &*|&+++ *++++| + *|+++ *++++| + (*|(+++ *++++| + + *7&*|*7&++++++++ *++++|5 (16)

Usaha total untuk memindahkan N muatan adalah penjumlahan dari &, , (, ,,..., * 89: = & + + ( + , + * 89: = 14 !" &|&+++ +++| + 89: = 14 !" 4 &(|&+++ (+++| + (|+++ (+++|5 + 89: = 14 !" 4 &,|&+++ ,+++| + ,|+++ ,+++| + (,|(+++ ,+++|5 + + 89: = 14 !" 4 &*|&+++ *++++| + *|+++ *++++| + (*|(+++ *++++| + + *7&*|*7&++++++++ *++++|5 (17)

Setelah disusun ulang, didapatkan

89: = 14 !" & ; |&+++ +++| + (|&+++ (+++| + ,|&+++ ,+++| + + *|&+++ *++++|< + 89: = 14 !" ; (|+++ (+++| + ,|+++ ,+++| + + *|+++ *++++|< + 89: = 14 !" ( ; ,|(+++ ,+++| + + *|(+++ *++++|< + 89: = +

Oleh: Wayan Suana, M.Si. Pendidikan Fisika Universitas Lampung

89: = 14 !" *7& ; *|*7&++++++++ *++++|< + 89: = = >*>?& @=

14 !" ABC++ D++B*

AE> F (18)

Oleh karena 1BC++ D++B = 1BD++ C++B maka 1BC++ D++B = 12 G 1BC++ D++B + 1BD++ C++BH (19)

Dengan mensubstitusikan persamaan (19) ke persamaan (18), diperoleh

89: = = >*>?& @12 = 14 !" A G 1BC++ D++B + 1BD++ C++BH

*AE> F

89: = 12 = >*

>?& @ =14 !" ABC++ D++B

*A?&,AI> F (20)

Perhatikan suku dalam kurung kurawal pada persamaan (20)! Suku tersebut adalah potensial listrik di C++, yaitu (C++), yang ditimbulkan oleh (J 1) muatan, &, , (, , >7, >7&, >K&, >K, , *. (C++) = 14 !" = ABC++ D++B

*A?&,AI> (21)

Dengan demikian, persamaan (20) menjadi

89: = 12 = >*

>?& (C++) (22) Ini adalah usaha total yang diperlukan untuk menyusun N muatan titik secara bersama-sama. Usaha total ini merepresentasikan besarnya energi potensial yang tersimpan dalam susunan muatan tersebut.

Oleh: Wayan Suana, M.Si. Pendidikan Fisika Universitas Lampung

Energi pada Distribusi Muatan Kontinue

Pada distribusi muatan volume dengan rapat muatan L, maka ungkapan energi potensial pada persamaan (22) berubah menjadi

= 12 L M (23) Ungkapan energi ini dapat juga dinyatakan dalam medan listrik N+ yaitu dengan memanfaatkan persamaan pada Hukum Gauss.

++ N+ = L!" L = !"++ N+ (24) dengan mensubstitusikan persamaan (24) ke persamaan (23) diperoleh

= 12 !"++ N+ M (25) Salah satu sifat perkalian operator ++ adalah ++ N+ = ++ N+ + N+ ++ (26) dengan mensubstitusikan ++ = N+ selanjutnya didapatkan ++ N+ = ++ N+ N+ ++ N+ = ++ N+ + N+ (27) Selanjutnya mensubstitusikan persamaan (27) ke persamaan (25), hasilnya

= !"2 P++ N+ + N+Q M = !"2 ++ N+MR + !"2 N+ MR (28) Ingat kembali teorema divergensi, bahwa

Oleh: Wayan Suana, M.Si. Pendidikan Fisika Universitas Lampung

++ S MR = T S UV sehingga

!"2 ++ N+MR = !"2 T N+ UV (29) Maka persamaan (28) dapat ditulis menjadi

= !"2 T N+ UV + !"2 N+ MR (30) = !"2 N+ MWXX YZW[\ (31) Ini adalah ungkapan energi potensial dalam N+ dimana pengintegralan dilakukan untuk seluruh ruang.

Contoh

Hitung energi potensial dari kulit bola bermuatan seragam dengan rapat muatan ] dan total muatan q jika jari-jari R !

Solusi 1. Menggunakan ungkapan dalam potensial

= 12 ] U Potensial pada permukaan bola adalah konstan, besarnya

= 14!" _ sehingga

= 18!" _ ] U = 18!"

_

Oleh: Wayan Suana, M.Si. Pendidikan Fisika Universitas Lampung

Solusi 2. Menggunakan ungkapan dalam medan listrik

= !"2 N+ MWXX YZW[\ Integral dilakukan pada seluruh ruang, di dalam dan di luar bola. N+ di dalam bola adalah nol sehingga integralnya bernilai nol untuk ruang di dalam bola. Sementara

N+ di luar bola adalah N+ = 14!" N+ = 1(4!")

, dengan demikian energinya menjadi

= !"2 N+ MWXX YZW[\ = !"2 1(4!")

,`a ( sin d d )c koordinat bola = !"2 (4!") 1`a sin d d c = !"2 (4!") 1

l

m" d sin d

m"

= !"2 (4!") n 1nlm

" d sin d m

"

= !"2 (4!") 1_ sin dm

" m

"

= !"2 (4!") 1_ 4 = 18!"

_