UniversitasGadjahMada FakultasTeknik’ Jurusan’Teknik’Sipil...
Transcript of UniversitasGadjahMada FakultasTeknik’ Jurusan’Teknik’Sipil...
Statistika Rentang Keyakinan
15-‐Oct-‐15
h2p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
1
Universitas Gadjah Mada Fakultas Teknik Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan Prodi S2 Teknik Sipil
Rentang Keyakinan • Es7masi Parameter • Distribusi probabilitas memiliki sejumlah parameter. • Parameter-‐parameter tsb umumnya tak diketahui. • Nilai parameter tersebut diperkirakan (di-‐es7masi-‐kan) berdasarkan nilai yang diperoleh dari pengolahan data.
• Es7masi • Es7masi tunggal (point es)mates) • Rentang keyakinan (confidence intervals)
15-‐Oct-‐15
h2p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
2
Rentang Keyakinan • Es7masi tunggal • Contoh
• Nilai rata-‐rata sampel sbg es7masi nilai rata-‐rata populasi.
• Nilai simpangan baku sampel sbg es7masi nilai simpangan baku populasi.
15-‐Oct-‐15
h2p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
3
X →µ
sX →σX
Rentang Keyakinan
15-‐Oct-‐15
h2p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
4
• Es7masi parameter θ
θ̂
estimasi! → θ
parameter!
Dicari suatu interval [L,U] yang memiliki probabilitas (1 – α) bahwa interval tsb mengandung θ.
prob(L < θ < U) = (1 – α)
L = batas bawah rentang keyakinan. U = batas atas rentang keyakinan. (1 – α) = 7ngkat keyakinan (confidence level, confidence coefficient). L dan U = variabel random
à Pers (1)
Rentang Keyakinan • Contoh • Data debit Sungai A selama tahun 1981 s.d. 2000 menunjukkan bahwa debit rata-‐rata adalah 77 m3/s. • Kita dapat memperkirakan debit rata-‐rata Sungai A adalah 77 m3/s.
• Kita menyadari bahwa perkiraan tsb dapat salah; bahkan dari sisi penger7an probabilitas, kita tahu bahwa debit rata-‐rata sama dengan 77 m3/s adalah hampir 7dak mungkin terjadi:
15-‐Oct-‐15
h2p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
5
prob Q = 77 m3 s( ) = 0
Batas Bawah dan Batas Atas • Metode Ostle: method of pivotal quan))es • Dicari variabel random V yang merupakan fungsi parameter θ (θ = unknown), tetapi distribusi V ini 7dak bergantung pada parameter yang 7dak diketahui.
• Ditentukan v1 dan v2 sedemikian hingga:
15-‐Oct-‐15
h2p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
6
prob v1 <V < v2( ) =1−α à Pers. (2)
Batas Bawah dan Batas Atas • Metode Ostle: method of pivotal quan))es
• Persamaan di atas diubah kedalam bentuk prob(L < θ < U) = 1− α
• L dan U adalah variabel random dan fungsi V, tetapi bukan fungsi θ.
15-‐Oct-‐15
h2p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
7
prob v1 <V < v2( ) =1−α
Interval Keyakinan: μ suatu distribusi normal, σ tidak diketahui
• Mencari interval [L,U] yang mengandung µ, prob(L < µ < U) = 1 – α
• Misalkan variabel random V:
• V berdistribusi t dengan (n – 1) degrees of freedom • n adalah jumlah sampel yang dipakai untuk menghitung nilai rata-‐rata sampel,
15-‐Oct-‐15
h2p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
8
V =
X −µsX
X
15-‐Oct-‐15
h2p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
9
V =
X −µsX
à berdistribusi t?
• Buk7
Distribusi t: X =Y
ν
U, ν = degree of freedom
V =X −µ
sX
=X −µ
sX
2 n=
X −µ( ) σs
X
2 σ n=
X −µ( )σ n
⋅1
sX2 σ2
=X −µ( )σ n
⋅n−1
Xi −X( )2∑ σ2=Y ⋅
ν
U
→Y =
X −µ
ν n, U =
Xi −X( )2∑σ2
, ν = n−1
15-‐Oct-‐15
h2p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
10
• Pers (2):
prob v1 <V < v2( ) =1−α ⇒ prob v1 <
X −µsX
< v2
$
%&
'
() =1−α
luas = (1 – α) luas = αa luas = αb
atα b
t α−1
αa + αb = α
prob(t < v1) = αa
prob(t > v2) = αb
dengan (n – 1) degrees of freedom
15-‐Oct-‐15
h2p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
11
prob v1 <X −µ
sX
< v2
"
#$
%
&' =1−α
prob tαa ,n−1 <X −µ
sX
< tαb ,n−1
"
#$
%
&' =1−α
prob X + tαa ,n−1 ⋅ sX <µ < X + tαb ,n−1 ⋅ sX( ) =1−α
ℓ u
ℓ = X + tαa ,n−1 ⋅ sX
u = X + tαb ,n−1 ⋅ sX
Jadi, batas bawah dan batas atas rentang keyakinan:
sX = sX n
tαa ,n−1→ tabel distribusi t
15-‐Oct-‐15
h2p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
12
• Jika dikehendaki probabilitas rentang keyakinan simetris, maka v1 dan v2 dipilih sedemikian hingga prob(t < v1) = prob(t > v2).
• Karena simetri, maka αa = αb = α/2 • Yang dicari adalah rentang keyakinan (1 – α) = 100(1 – α)% à maka: prob(t < v1) = α/2 = prob(t > v2)
luas = (1 – α)/2 luas = (1 – α)/2
luas = α/2 luas = α/2
tα 2 = −t1−α 2
t1−α 2
15-‐Oct-‐15
h2p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
13
luas = 1 – α/2 luas = 1 – α/2
luas = α/2 luas = α/2
2αt 21 α−t
2αt 21 α−t
luas = 1 – α luas = α/2 luas = α/2
21 α−− t
Distribusi t
15-‐Oct-‐15
h2p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
14
ℓ = X − t1−α 2,n−1 ⋅ sX
u = X + t1−α 2,n−1 ⋅ sX
• Dengan demikian, batas bawah dan batas atas rentang keyakinan jika probabilitas rentang keyakinan simetris adalah:
15-‐Oct-‐15
h2p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
15
luas = 1 – α luas = 1 – α luas = α luas = α
n Kadang dikehendaki probabilitas rentang keyakinan satu sisi q batas bawah à prob(t < v1) = α q batas atas à prob(t > v2) = α
prob V > v1( ) =1−α ⇒ probX −µ
sX
> v1
$
%&
'
() =1−α
prob V < v2( ) =1−α ⇒ probX −µ
sX
< v2
$
%&
'
() =1−α
αt α−1t
Distribusi t • Notasi • tγ,n = nilai t sedemikian hingga probabilitas variabel random t dengan n degrees of freedom adalah lebih kecil daripada γ.
• misalkan: t0.95,50 = nilai t sedemikian hingga prob(t < t0.95,50) = 0.95 untuk t yang memiliki 50 degrees of freedom.
15-‐Oct-‐15
h2p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
16
Distribusi t • Dapat dibaca di tabel distribusi t • Tabel Distribusi t
• Dapat dihitung dengan perintah/fungsi MSExcel • T.DIST(t,ν,true)
• menghitung nilai prob(T < t) • untuk menghitung nilai prob(T > t) à 1 – T.DIST(t,ν,true) • t = nilai yang diinginkan untuk dicari distribusinya • ν = degree of freedom • one-‐tailed distribu)on
• T.INV(p,ν) • mencari nilai t jika nilai p = prob(T < t) diketahui • one-‐tailed distribu)on
15-‐Oct-‐15
h2p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
17
Distribusi t
15-‐Oct-‐15
h2p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
18
untuk 50 degrees of freedom
t = 1.6
t = 1.6 t = –1.6
t
0.95
t –t
0.95
prob(T < 1.6) = T.DIST(1.6,50,TRUE) = 0.942
prob(T < 1.6) = 1 – T.DIST.RT(1.6,50) = 0.942
prob(–1.6 < T < 1.6) = 1 – T.DIST.2T(1.6,50) = 0.884
prob(T < t ) = 0.95
t = T.INV(0.95,50) = 1.68
prob(-‐t < T < t ) = 0.95
t = T.INV.2T(1-‐0.95,50) = 2
Rentang Keyakinan: µ suatu distribusi normal, σ diketahui
• Apabila variansi populasi diketahui, maka variabel random V didefinisikan sbb.:
15-‐Oct-‐15
h2p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
19
V =
X −µσX
, σX = σX n
à V berdistribusi normal
Rentang Keyakinan: µ suatu distribusi normal, σ diketahui
15-‐Oct-‐15
h2p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
20
• Rentang keyakinan
ℓ = X + za ⋅σX
n
u = X + zb ⋅σX
n bz
1−α αb αa
ℓ = X − z1−α 2 ⋅σX
n
u = X + z1−α 2 ⋅σX
n zα 2 = −z1−α 2
z1−α 2
1−α α 2 α 2
• Jika probabiitas rentang keyakinan diinginkan simetris
za
Rentang Keyakinan: σ2 suatu distribusi normal • Mencari interval [L,U] yang mengandung σ2 dengan peluang prob(L < σ2 < U) = 1 – α. • Didefinisikan variabel random V:
• à V berdistribusi chi-‐kuadrat dengan (n – 1) degrees of freedom.
15-‐Oct-‐15
h2p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
21
V =
n−1( ) sX2
σX2
15-‐Oct-‐15
h2p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
22
prob v1 <V < v2( ) =1−α
prob v1 <n−1( ) sX
2
σX2
< v2
$
%&&
'
()) =1−α
Pilih:
v1 = χα 2,n−12
v2 = χ1−α 2,n−12
prob χα 2,n−12 <
n−1( ) sX2
σX2
< χ1−α 2,n−12
%
&''
(
)** =1−αsehingga:
atau:
probn−1( ) sX
2
χ1−α 2,n−12
< σX2 <
n−1( ) sX2
χα 2,n−12
%
&''
(
)** =1−α
15-‐Oct-‐15
h2p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
23
§ Jadi batas bawah dan batas atas rentang yang mengandung σX2 dengan 7ngkat keyakinan (1 – α) adalah:
ℓ =n−1( ) sX
2
χ1−α 2,n−12
u =n−1( ) sX
2
χα 2,n−12
• batas bawah:
• batas atas:
Catatan: X berdistribusi normal
χ2 berdistribusi chi-‐kuadrat
15-‐Oct-‐15
h2p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
24
§ Distribusi chi-‐kuadrat 7dak simetris:
sX2 − ℓ ≠ u − sX
2
n » → (n – 1) » → distribusi mendeka7 distribusi simetris,
sX2 berada kira-‐kira di tengah-‐tengah rentang [L,U].
χα 2
2
χ1−α 2
2
1−α α 2
α 2
Rentang Keyakinan Satu Sisi • Hanya diinginkan satu sisi rentang keyakinan saja • hanya batas bawah rentang keyakinan µ
• hanya batas atas saja rentang keyakinan µ
15-‐Oct-‐15
h2p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
25
prob L < θ( ) =1−α ⇒ ℓ = X − t1−α ,n−1
prob θ <U( ) =1−α ⇒ u = X + t1−α ,n−1
15-‐Oct-‐15
h2p://is7
arto.staff.ugm.ac.id
26