BAB II

LANDASAN TEORI

2.2. Konsep Probabilitas

Probabilitas adalah suatu nilai untuk mengukur tingkat kemungkinan

terjadinya suatu kejadian yang tidak pasti. (Johannes Supranto,2005).

P A ,99 artinya probabilitas bahwa kejadian akan terjadi sebesar 99% ,

probabilitas A tidak akan terjadi100 99 % 1% .

Nilai probabilitas dapat dihitung berdasarkan nilai observasi (sifatnya

subjektif) atau berdasarkan pertimbangan pembuat keputusan atau tenaga ahli dalam

bidangnya secara surjektif. Besarnya nilai kemungkinan munculnya suatu kejadian

adalah selalu diantara nol dan satu. Pernyataan ini dapat dituliskan

sebagai 0 P A 1 P A menyatakan nilai kemungkinan bagi munculnya

kejadian A . Sedangkan jumlah nilai kemungkinan muncul adalah satu. Jadi bila W

menyatakan ruang hasil yang bersifat lengkap maka jumlah kemungkinan seluruh

anggota ruang hasil tersebut adalah satu. Pernyataan ini dapat dituliskan sebagai

W i

Untuk menghitung probabilitas suatu kejadian adalah dengan cara mencari

banyaknya anggota kejadian, dibandingkan dengan banyaknya anggota ruang

sampelnya.

P A

Contoh :

ada 15 buah yang cacat atau rusak. Kalau kebetulan di ambil secara acak satu saja,

berapa Di dalam kegiatan pengendalian mutu produk, ada 100 buah barang yang

1 1 atau P W 1 dimana W menyatakan anggota ruang hasil.

X

n

, dimana

i

diperiksa, ternyata probabilitasnya bahwa yang di ambil adalah barang yang rusak.

Dari soal diketahui bahwa :

n = 100 buah barang

X = 15 buah barang yang rusak

A = barang yang diambil secara acak

Jadi probabilitas memperoleh barang yang rusak adalah :

P A

P A ,15

Jika X 0 , berarti tidak ada barang yng rusak, P A 0 , kejadian ini disebut

impossible event (tidak mungkin terjadi), tetapi jika X n 100 , berarti semua

barang rusak.

P A

2.3. Percobaan, Ruang Sampel, Titik Sampel, Peristiwa

Percobaan adalah proses di mana pengukuran atau observasi dilaksanakan.

Ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin pada suatu percobaan.

Titik sampel adalah setiap anggota atau elemen daripada ruang sampel.

Peristiwa adalah himpunan bagian dari ruang sampel pada suatu percobaan, atau hasil

dari percobaan yang bersangkutan.

Contoh :

Dua buah mata uang setimbang dilemparkan ke atas. Menentukan ruang

sampel, titik sampel, dan peristiwa yang mungkin ?

Jawab :

Percobaan : pelemparan dua mata uang logam

Ruang sampel : {A,G}, {A,A}, {G,A}, {G,G}

1

X

n

15

100

0 n

100

100

8

Titik sampel : G (gambar) dan A (angka)

Peristiwa yang mungkin :

1. AA (angka dengan angka)

2. AG (angka dengan gambar)

3. GG (gambar dengan gambar)

4. GA (gambar dengan angka)

2.4. Peristiwa Probabilitas

Ada beberapa peristiwa yang terjadi dalam probabilitas, antara lain :

2.3.1. Peristiwa Saling Lepas (Mutually Exclusive)

Dua buah peristiwa atau lebih disebut peristiwa saling lepas apabila kedua atau

lebih peristiwa itu tidak dapat terjadi pada saat yang bersamaan.

1. Untuk dua peristiwa A dan B saling lepas, maka probabilitas terjadinya peristiwa

tersebut adalah sebagai berikut :

2. Untuk tiga peristiwa A, B, dan C saling lepas, maka probabilitas terjadinya

peristiwa tersebut adalah sebagai berikut :

2.3.2. Peristiwa Tidak Saling Lepas (Non-Mutually Exclusive)

Dua buah peristiwa atau lebih disebut peristiwa tidak saling lepas apabila kedua

atau lebih peristiwa itu dapat terjadi secara bersamaan.

1. Untuk dua peristiwa A dan B tidak saling lepas, maka probabilitas terjadinya

peristiwa tersebut adalah sebagai berikut :

2. Untuk tiga peristiwa A, B, dan C tidak saling lepas, maka probabilitas terjadinya

peristiwa tersebut adalah sebagai berikut :

9

2.3.3. Peristiwa Saling Bebas

Dua peristiwa atau lebih disebut peristiwa saling bebas apabila terjadinya

peristiwa yang satu tidak mempengaruhi atau dipengaruhi terjadinya peristiwa yang

lainnya.

1. Untuk dua peristiwa A dan B saling bebas, maka probabilitas terjadinya

peristiwa tersebut adalah sebagai berikut :

2. Untuk tiga peristiwa A, B, dan C saling bebas, maka probabilitas terjadinya

peristiwa tersebut adalah sebagai berikut :

2.3.4. Peristiwa Tidak Saling Lepas

Dua peristiwa A dan B tidak saling bebas, apabila terjadinya peristiwa yang

satu mempengaruhi atau dipengaruhi atau dipengaruhi terjadinya peristiwa yang

lainnya.

1. Untuk dua peristiwa A dan B tidak saling lepas, maka probabilitas terjadinya

peristiwa tersebut adalah sebagai berikut :

2. Untuk tiga peristiwa A, B, dan C tidak saling lepas, maka probabilitas terjadinya

peristiwa tersebut adalah sebagai berikut :

2.3.5. Peristiwa Bersyarat

Peristiwa bersyarat merupakan suatu peristiwa yang akan terjadi dengan

syarat peristiwa yang lain telah terjadi.

Dirumuskan :

10

2.3.6. Peristiwa Komplementer

Peristiwa komplementer adalah peristiwa yang saling melengkapi. Jika

peristiwa A komplementer terhadap peristiwa B, maka probabilitas peristiwa

tersebut adalah sebagai berikut.

2.5. Harapan Matematis

Harapan matematis atau nilai harapan adalah jumlah semua hasil perkalian

antara nilai variabel acak dengan probabilitas yang bersesuaian dengan nilai tersebut.

Nilai Harapan atau nilai rata-rata bukan nilai individu dari variabel akan tetapi

merupakan nilai ringkasan untuk mewakili suatu kelompok nilai. Di dalam teori

pengambilan keputusan, nilai harapan pay off (expected pay off) merupakan salah

satu kriteria untuk dasar pengambilan keputusan. Untuk hal-hal yang menguntungkan

(laba, kemenangan, penjualan, ekspor) biasanya memilih suatu alternatif dengan nilai

harapan terbesar (maximum expected pay off) sebaliknya untuk hal-hal yang tidak

menguntungkan (rugi, pengeluaran, utang, biaya) biasanya dipilih alternatif dengan

nilai harapan terkecil (minimum expected pay off). Nilai harapan pay off merupakan

kriteria keputusan dalam keadaan ada resiko yang sangat penting.

Jika X = variabel acak (random variabel), maka nilai yang diambil oleh X

sukar diramalkan sebab nilai tersebut tidak pasti. Maka dapat dirumuskan :

11

2.6. Aksioma dan Teorema

Aksioma 1.

Untuk setiap kejadian A, . Aksioma ini menyatakan bahwa peluang dari

setiap kejadian adalah nonnegatif.

Aksioma 2.

Aksioma ini menyatakan bahwa jika setiap kejadian pasti untuk terjadi, maka peluang

dari kejadina tersebut adalah 1.

Aksioma 3.

Untuk jumlah kejadian saling asing yang tidak terbatas

Aksioma ini menyatakan bahwa untuk dua kejadian atau lebih yang saling asing,

maka peluang dari suatu kejadian atau lebih yang terjadi adalah jumlah dari masing-

masing peluangnya.

Teorema 1.

Bukti :

Andaikan kejadian sedemikian hingga iA untuk i = 1,2,...

Dengan adanya , maka kejadian iA adalah kejadian asing, untuk i =

1,2,...

Berdasarkan aksioma 3, diperoleh :

12

i1

Teorema 2.

Untuk kejadian yang saling asing

Bukti :

Andaikan kejadian tak terbatas dimana dimana n

adalah kejadian yang diberikan dan iA untuk . Maka untuk

melalui aksioma 3, dapat diperoleh :

A

P

13

Teorema 3.

Untuk setiap kejadian A,

Bukti :

Andaikan kejadian A dan saling asing dan

Teorema 4.

Untuk setiap kejadian A,

Bukti :

Dari aksioma 1diperoleh jika , maka dari teorema 3

dimana berkontraksi dengan aksioma 1, yang menyatakan peluang setiap

kejadian harus nonnegatif, maka sehingga .

Teorema 5.

Jika , maka

Bukti :

perhatikan gambar dibawah ini :

S

BA

A

Gambar 2.5.1 Himpunan

c

14

Dari gambar, kejadian B adalah gabungan dari kejadian A dan , sehingga

Dari aksioma 1,

Maka :

Teorama 6.

Untuk dua kejadian A dan B

Bukti :

Perhatikan gambar dibawah ini.

S

A B

Gambar 2.5.2 himpunan

Dari gambar dapat dituliskan

Dari teorema 2 didapat

Dari gambar 2.2 juga diperoleh

Maka

15

sehingga

Teorema 7.

Diberikan ruang sampel S, jika S mempunyai N bagian dari kejadian untuk kejadian

A dari S.

Bukti :

Diberikan sampel dimana setiap adalah titik sampel dari

sekarang diberikan adalah mutually exclusif, maka

diperoleh :

Teorema 8.

Jika dari partisi A dari ruang sampel, maka, untuk kejadian

16

Bukti :

Set A dapat dibuat n

A iB

Dan

B

Teorema 9.

Jika S adalah sampel diskrit dengan elemen kejadian ie , i 2... dimana ie

mempunyai P e , maka, untuk kejadian A S

P A P e e

Bukti :

P A P A e P e e e

Teorema 10.

Jika A ,

P

... 1 P A

Bukti :

P A i1

P B P A P A B

k A A i j A P A

i j

P A 1

P A

n

1

A ,... A

i j

n i

1 2

P B A

maka

A i

k

B , i j A B A B

i

A ,... n A adalah n sembarang dari set S, maka n

1

n1

k 1 i

k1 k1

P A

i j

i

i

1 2

17

P

P A P A A P A A A

... 1 P A A

P

P

... 1 P A A ... A

Teorema 11.

Jika adalah partisi dari ruang sampel eksperimen dan untuk

i = 1,2, ... n untuk kejadian A dari S, maka dapat ditulis :

Bukti :

Kita mempunyai adalah mutually exclusive (saling lepas), ,

dimana sehingga

Diperoleh adalah set dari kejadian mutually exclusive. Sekarang

diperoleh

diberikan

Untuk itu,

Tapi P AB P A | B P

1

j k 1

A

A A

i k

A

P A

1 i

i k

i

P A A P

A

A

k

1

j k

i j k

k

iA

i k

i j i

k1

A A

k1

k

A

k1 i j k1

i i

P

18

Maka,

P A P A | B P B P A |

Dari defenisi peristiwa bersyarat di peroleh,

P B | A

P BA P

i i

Atau

P

2.7. Teorema Partisi dan Teorema Bayes

Antara teorema Bayes dan Teori Partisi terdapat hubungan yang sangat erat,

hal ini disebabkan untuk membuktikan Teorema Bayes, kita tidak akan terlepas dari

penggunaan Teori Partisi. Dengan kata lain, Teori Partisi adalah konsep dasar bagi

Teorema Bayes.

2.6.1. Teori Partisi

Andaikan S menyatakan ruang sampel dari beberapa percobaan dan k adalah k

kejadian A ,...,

. Sehingga dapat dikatakan kejadian k tersebut membentuk partisi atau bagian dari S.

Jika k kejadian A ,..., A

membentuk partisi atau bagian untuk B, seperti gambar di bawah ini.

A i

i

P B | A P

1

i

P B | A P A

A S

i

i n i

n i i

saling asing dan

B P B ... P A | B P B

P A

B | A P A

BA

i k

1 2 2 n n

P BA i

i

P BA

n

A dalam S sedemikian sehingga A ,..., A

membentuk sebuah partisi dari S, maka kejadian akan

n

1 1

i k

i k

19

A

BA

Gambar 2.6.1 Partisi Ruang Sampel S

B A B

Karena k kejadian dalam persamaan diatas adalah disjoint (saling asing) maka :

P B A B A B ... A B

P B P A i1

Jika maka peluang bersyarat untuk

P B | A

P BA

Maka dapat ditulis kembali persamaan sebagai berikut :

P B P A i1

P B P A P i1

i B

... A B

i

n

n

2 n

i

n

...

...

A B

i B

P A

P B | A P A

| A

A A

BA BA

1

1 2 n n

P BA i

i

n i

1 2

1 2

B

20

Sehingga dapat dituliskan bahwa untuk kejadian A ,..., A yang membentuk partisi

dari ruang sampel S dan , untuk i =1,2, ... ,n , maka untuk kejadian B dan ruang

sampel S, berlaku :

P B P A i1

Yang memiliki persamaan pada teorema 11 sebelumnya.

2.6.2. Teorema Bayes

Teorema Bayes dikemukakan oleh seorang pendeta presbyterian Inggris pada

tahun 1763 yang bernama Thomas Bayes. Teorema Bayes ini kemudian

disempurnakan oleh Laplace. Teorema Bayes digunakan untuk menghitung

probabilitas terjadinya suatu peistiwa berdasarkan pengaruh yang didapat dari hasil

observasi.

Teorema Bayes menerangkan hubungan antara probabilitas terjadinya

peristiwa A dengan syarat peristiwa B telah terjadi dan probabilitas terjadinya

peristiwa B dengan syarat peristiwa A telah terjadi. Teorema ini didasarkan pada

prinsip bahwa tambahan informasi dapat memperbaiki probabilitas.(Iqbal Hasan,

2002)

Sesuai dengan probabilitas subjektif, bila seseorang mengamati kejadian B

dan mempunyai keyakinan bahwa ada kemungkinan B akan muncul, maka

probabilitas B disebut probabilitas prior. Setelah ada informasi tambahan bahwa

misalnya kejadian A telah muncul, mungkin akan terjadi perubahan terhadap

perkiraan semula mengenai kemungkinan B untuk muncul. Probabilitas untuk B

sekarang adalah probabilitas bersyarat akibat A dan disebut sebagai probabilitas

posterior. Teorema Bayes merupakan mekanisme untuk memperbaharui probabilitas

dari prior menjadi probabilitas posterior.

P B | A

n i

i k

21

Misalkan kejadian A ,..., A membentuk sebuah partisi dari ruang sampel S

sedemikian sehingga untuk i = 1,2, ... n dan misalkan B adalah suatu kejadian

sedemikian sehingga untuk i = 1,2, ... n maka berlaku rumus :

P A |

P B | A i1

Dimana :

Peristiwa iA akan terjadi dengan syarat peristiwa B terjadi lebih dulu

Peluang peristiwa iA

Peristiwa B akan terjadi dengan syarat peristiwa iA terjadi lebih dulu

Peluang peristiwa B

Bukti :

Dimana,

P B P A P B A i1

P A

P A | B

P A

maka didapat,

P A | B

P B | A P A i1

i n

i

i

A i n

B | A P A

| A P A

B | P A

B P A P B | A

P i P A

n i

i

P B i

B

P i

i n

B i

|

i

i

22

Contoh 1 :

Seorang ahli geologi dari suatu perusahaan minyak, akan memutuskan melakukan

pengeboran minyak di suatu lokasi tertentu. Diketahui sebelumny, probabililitas

untuk memperoleh minyak, katakan usaha berhasil adalah H sebesar 0,20 dan akan

gagal adalah G, tidak memperoleh minyak sebesar 0,80. Sebelum keputusan dibuat,

akan dicari tambahan informasi dengan melakukan suatu eksperimen yang disebut

pencatatan seismografis (seismographic recording). Hasil eksperimen berupa

diketemukan tiga kejadian yang sangat menentukan berhasil tidaknya pengeboran,

yaitu :

Kejadian , tidak terdapat struktur geologis

Kejadian , struktur geologis terbuka

Kejadian , struktur geologis tertutup

Berdasarkan pengalaman masa lampau, probabilitas dari ketiga kejadian ini untuk

dapat memperoleh minyak yaitu berhasil H, masing-masing sebesar 0,30 ; 0,36 dan

0,34. Sebaliknya untuk tidak memperoleh minyak yaitu gagal G, masing-masing

sebesar 0,68 ; 0,28 dan 0,04. Informasi ini, sebagai hasil eksperimen, merupakan

informasi tambahan yang berguna untuk memperbaiki probabilitas prior.

Jika H = kejadian memperoleh minyak, dan

G = kejadian tidak memperoleh minyak,

Maka hitunglah :

a. , atau probabilitas bahwa tidak terdapat strutur geologis.

b. , atau probabilitas bahwa struktur geologis terbuka.

c. , atau probabilitas bahwa strutur geologis tertutup.

d. , atau probabilitas bahwa diperoleh minyak dengan syarat tidak

terdapat struktur geologis.

e. , atau probabilitas bahwa diperoleh minyak dengan syarat struktur

geologis terbuka.

23

f. , atau probabilitas bahwa diperoleh minyak dengan syarat struktur

geologis tertutup.

Jika keadaan tersebut digambarkan dalam pohon kemungkinan maka diperoleh

sebagai berikut :

P(H) = 0,20

P(G) = 080

Gambar 2.6.2 Diagram Kemungkinan Pengeboran Minyak

a. Probabilitas bahwa tidak terdapat strutur geologis adalah :

b. Probabilitas bahwa struktur geologis terbuka adalah :

24

c. Probabilitas bahwa struktur geologis tertutup adalah :

d. Probabilitas bahwa diperoleh minyak dengan syarat tidak terdapat struktur

geologis adalah :

e. Probabilitas bahwa diperoleh minyak dengan syarat struktur geologis terbuka

adalah :

f. Probabilitas bahwa diperoleh minyak dengan syarat struktur geologis tertutup

adalah :

25

Dalam menghadapi suatu persoalan, pengambil keputusan telah mempunyai

informasi awal, baik itu dalam bentuk subyektif maupun obyektif. Bila informasi

awal ini dirasakan telah memadai, maka keputusan dapat langsung dibuat. Tetapi bila

informasi awal ini dirasakan belum cukup, maka diperlukan suatu usaha untuk

mendapatkan informasi tambahan. Selanjutnya, bila kemudian telah diperoleh

informasi tambahan, maka kita perlu menggunakan informasi tambahan ini dengan

informasi awal, untuk mendapatkan informasi yang lebih baik untuk pengambilan

keputusan.

2.8. Tabel Nilai Hasil (Payoff Table)

Nilai hasil yang berhubungan dengan setiap hasil tindakan yang mungkin

dipilih pada masalah keputusan dapat dibuat daftar dalam suatu tabel nilai hasil (pay

off table). Tabel nilai hasil yang merupakan daftar dalam bentuk tabulasi dari nilai

hasil yang berhubungan dengan semua tindakan yang dapat dilakukan dengan setiap

peristiwa yang akan terjadi pada suatu masalah keputusan.

Tabel nilai hasil biasanya digambarkan dalam bentuk baris dan kolom, setiap

kolom menunjukkan peristiwa yang akan terjadi dan baris menunjukkan tindakan

yang dapat dilakukan. Apabila dalam suatu masalah pemilihan keputusan setiap

tindakan yang dapat diambil diberi simbol dan peristiwa yang akan

terjadi untuk tiap masing-masing tindakan yang dapat dipilih diberi simbol

, maka table nilai hasil dapat dibuat seperti tampak pada tabel 2.7

berikut :

26

Tabel 2.7 Tabel Contoh Pay Off Table

2.9. Teori Keputusan

Teori keputusan adalah teori yang mempelajari bagaimana sikap fikir yang

rasional dalam situasi yang amat sederhana, tetapi yang mengandung ketidakpastian,

seperti dalam permainan lotre. Karena itu peranannya dalam menghadapi situasi yang

kompleks adalah sangat kecil.

Formalisme dasar dari teori keputusan adalah tabel payoff , yang memetakan

keputusan yang mutually exclusive. Misalnya, “keputusan X mengarah pada hasil Y”,

“keputusan Y mengarah pada hasil Z”, dan seterusnya. Bila set hasil yang sesuai

untuk suatu keputusan yang tidak dikenal, maka situasi seperti ini disebut sebagai

keputusan di bawah ketidakpastian, inilah studi yang mendominasi pada teori

keputusan.

Teori keputusan memberikan sejumlah saran bagaimana cara untuk

mengestimasi probabilitas yang kompleks dalam keadaan ketidakpastian, yang

sebagian besar berasal dari teorema Bayes.

2.10. Teori Pengambilan Keputusan

Mengambil atau membuat keputusan berarti memilih salah satu di antara

sekian banyak alternatif. Minimal ada dua alternatif dan dalam praktiknya lebih

27

dari dua alternatif di mana pengambil/pembuat keputusan (decision maker) harus

memilih salah satu berdasarkan pertimbangan atau kriteria tertentu. Pada umumnya

suatu keputusan dibuat dalam rangka untuk memecahkan permasalahan atau

persoalan (problem solving), setiap keputusan yang dibuat pasti ada tujuan yang

akan dicapai. (J. Supernato,2005)

Pengertian Pengambilan Keputusan menurut beberapa ahli, antara lain :

1. Menurut George R. Terry

Pengambilan keputusan adalah pemilihan alternatif perilaku (kelakuan) tertentu

dari dua atau lebih alternatif yang ada.

2. Menurut S.P. Siagian

Pengambilan keputusan adalah proses yang mencakup semua pemikiran dan

kegiatan yang diperlukan guna membuktikan dan memperlihatkan pilihan terbaik.

3. Menurut Iqbal Hasan

Pengambilan keputusan adalah suatu proses pemilihan alternative terbaik dari

alternative secara sistematis untuk ditindaklanjuti (digunakan) sebagai suatu

cara pemecahan masalah.

Sehingga teori pengambilan keputusan adalah teori-teori atau teknik-teknik

yang digunakan dalam suatu proses pengmilan keputusan. (Iqbal Hasan,2002)

2.8.1. Fungsi Pengambilan Keputusan

Pengambilan keputusan sebagai suatu kelanjutan dari cara pemecahan

masalah memiliki fungsi antara lain sebagai berikut :

1. Pangkal permulaan dari semua aktivitas manusia yang sadar dan terarah baik

secara individual maupun secara kelompok, baik secara institusional maupun

secara organisasional.

2. Sesuatu yang bersifat futuristik, artinya bersangkut paut dengan hari depan,

masa yang akan datang, dimana efeknya atau pengaruhnya berlangsung sangat

lama.

28

2.8.2. Faktor-faktor Pengamilan Keputusan

Dalam pengambilan keputusan, ada beberapa faktor/hal-hal yang

mempengaruhinya, antara lain sebagai berikut :

1. Posisi/kedudukan

Dalam rangka pengambilan keputusan, posisi kedudukan seseorang dapat

dilihat dari letak posisi dan tingkatan posisi.

2. Masalah

Masalah adalah apa yang menjadi penghalang untuk tercapainya tujuan, yang

merupakan penyimpangan daripada apa yang diharapkan, direncanakan atau

dikehendaki.

3. Kondisi

Kondisi adalah keseluruhan dari faktor-faktor yang secara bersama-sama

menentukan daya gerak, daya berbuat atau kemampuan kita.

4. Tujuan

Tujuan yang hendak dicapai, baik tujuan perorangan, tujuan unit (kesatuan),

tujuan organisasi yang pada umumnya sudah ditentukan.