5

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1. Penjelasan Umum

Struktur bangunan adalah bagian dari sebuah sistem bangunan yang bekerja

untuk menyalurkan beban yang diakibatkan oleh adanya bangunan di atas tanah.

Fungsi struktur dapat disimpulkan untuk memberi kekuatan dan kekakuan yang

diperlukan untuk mencegah sebuah bangunan mengalami keruntuhan. Struktur

merupakan bagian bangunan yang menyalurkan beban-beban. Beban-beban tersebut

menumpu pada elemen elemen untuk selanjutnya disalurkan ke bagian bawah tanah

bangunan, sehingga beban-beban tersebut akhirnya dapat di tahan (Ariestadi D.,

2008).

Metode matriks adalah salah satu pemikiran baru pada analisa struktur, yang

berkembang bersamaan dengan makin populernya penggunaan komputer otomatis

untuk operasi-operasi perhitungan aritmatika. Di dalam ilmu mekanika teknik,

konstruksi yang paling sederhana adalah konstruksi stastis tertentu memang akan

dapat segera diselesaikan hanya dengan menggunakan beberapa persamaa

keseimbangan. Namun pada kebanyakan perencanaan teknis yang nyata, konstruksi

yang dijumpain merupakan struktur-struktur yang kompleks.

Analisa dengan menggunakan matriks telah memberikan kemungkinan-

kemungkinan bagi peroses idealisasi ini. Seperti diketahui, suatu hal yang utama

yang berhubungan dengan proses dari perencanaan struktur adalah menganalisa apa

akibat dari pembebanan gaya-gaya pada konstruksi yang ditinjau. Tingkah laku dari

6

konstruksi ini pada umumnya berhubungan sangat erat dengan perubahan stress dan

strain yang terjadi padanya, gaya lintang, gaya normal, momen torsi, sedangkan

strain bisa menyatakan deformasi terjadi pada konstruksi.

Analisa struktur dengan metode matriks adalah suatu metode untuk

menganalisa struktur dengan menggunakan bantuan matriks, yang terdiri dari matriks

kekakuan, matriks perpindahan, dan matriks gaya, dengan menggunakan hubungan :

{P} = [K] . {U}

{P} = matriks gaya

[K] = matriks kekakuan

{U} = matriks perpindaan

Salah satu cara yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan di atas, yaitu

dengan menggunakan metode kekakuan. Pada metode inin, variabel yang tidak

diketahui besarannya adalah perpindahan titik simpul struktur (rotasi dan defleksi).

Jadi jumlah variabel dalam metode kekakuan sama dengan derajat ketidaksamaan

kinematis struktur.

Untuk dapat memahami suatu bidang ilmu termasuk struktur bangunan, maka

pengetahuan tentang bagaimana kelompok - kelompok dalam struktur dibedakan,

diurutkan, dan dinamakan secara sistematis sangat diperlukan. Pengetahuan tentang

kriteria dan kemungkinan hubungan dari bentuk - bentuk menjadi dasar untuk

mengklasifikasikan struktur bangunan. Metode umum yang sering digunakan adalah

7

mengklasifikasikan elemen struktur dan sistemnya menurut bentuk dan sifat fisik

dasar dari suatu konstruksi.

Klasifikasi struktur berdasarkan karakteristik kekakuannya elemennya:

1. Elemen kaku, biasanya sebagai batang yang tidak mengalami perubahan

bentuk yang cukup besar apabila mengalami gaya akibat beban-beban.

2. Elemen tidak kaku atau fleksibel, misalnya kabel yang cenderung

berubah menjadi bentuk tertentu pada suatu kondisi pembebanan. Bentuk

struktur ini dapat berubah drastis sesuai perubahan pembebanannya.

Elemen-elemen struktur utama dikelompokan menjadi tiga kelompok utama,

yaitu:

1. Elemen kaku yang umum digunakan: balok, kolom, pelengkung, pelat datar,

pelat berkelengkungan tunggal dan cangkang.

2. Elemen tidak kaku atau fleksibel: kabel, membran atau bidang berpelengkung

tunggal maupun ganda.

3. Elemen - elemen yang merupakan rangkaian dari elemen-elemen tunggal:

rangka, rangka batang, kubah, dan jaring.

a) Balok dan Kolom

Struktur yang dibentuk dengan cara meletakkan elemen kaku horisontal di

atas elemen kaku vertikal. Elemen horisontal (balok) memikul beban yang bekerja

secara transversal dari panjangnya dan menyalurkan beban tersebut ke elemen

vertikal (kolom) yang menumpunya. Kolom dibebani secara aksial oleh balok, dan

akan menyalurkan beban tersebut ke tanah. Balok akan melentur sebagai akibat dari

beban yang bekerja secara transversal, sehingga balok sering disebut memikul beban

8

secara melentur. Kolom tidak melentur ataupun melendut karena pada umumnya

mengalami gaya aksial saja. Pada suatu bangunan struktur balok dapat merupakan

balok tunggal di atas tumpuan sederhana ataupun balok menerus. Pada umumnya

balok menerus merupakan struktur yang lebih menguntungkan dibanding balok

bentangan tunggal di atas dua tumpuan sederhana.

b) Pelat datar

Struktur pelat datar digunakan secara horisontal dan memikul beban sebagai

lentur dan meneruskannya ke tumpuan. Struktur pelat dapat terbuat dari beton

bertulang ataupun baja. Pelat horisontal dapat dibuat dengan pola susunan elemen

garis yang kaku dan pendek, dan bentuk segitiga tiga dimensi digunakan untuk

memperoleh kekakuan yang lebih baik. Struktur pelat dapat berupa pelat lipat (folded

plate) yang merupakan pelat kaku, sempit, panjang, yang digabungkan di sepanjang

sisi panjangnya dan digunakan dengan bentang horizontal.

2.2. Matriks Kekakuan Langsung

Metode kekakuan atau juga disebut sebagai metode perpindahan adala

metode yang terutama dipakai dalam analisa struktur dengan matriks. Pada metode

kekakuan, besaran yang tidak diketahui adalah perpindahan titik kumpul struktur

yang tertentu secara otomatis. Jumlah yang tidak diketahui dalam metode kekakuan

sama dengan derajat ketidaktentuan kinematis atau derajat kebebasan (degree of

freedom) dari setruktur.

Pada struktur dua dimensi dengan titik hubung kaku, pada umumnya akan

timbul lendutan translasi (linear) dan rotasi (anguler) di titik-titik diskrit. Lendutan

9

translasi selalu dapat dinyatakan oleh dua komponen yang saling tegak lurus,

sedangkan rotasi dinyatakan oleh satu komponen anguler. Dengan demikian pada

suatu titik pertemuan secara lengkap akan ada tiga komponen lendutan.

2.3. Analisa Struktur pada Balok dengan Metode kekakuan Langsung

a. Mencari Keseimbangan Gaya

=

P1 K11 K12 K13

K14 U1

P2 K21 K22 K23

K24 U2

P3 K31 K32

K33 K34

U3

P4 K41 K42 K34

K44 U4

Keseimbangan gaya di arah U1

P1 = K11. U1 + K12. U2 + K13. U3 + K14. U4

Keseimbangan gaya di arah U1

P2 = K21. U1 + K22. U2 + K23. U3 + K24. U4

Keseimbangan gaya di arah U1

P3 = K31. U1 + K32. U2 + K33. U3 + K34. U4

Keseimbangan gaya di arah U1

P4 = K41. U1 + K42. U2 + K43. U3 + K44. U4

Jika U1 = 1 dan U2 = U3 = U4 = 0, maka :

P1 = K11 ; P2 = K21 ; P3 = K31 ; P4 = K41

10

Jika U2 = 1 dan U1 = U3 = U4 = 0, maka :

P2 = K21 ; P1 = K11 ; P3 = K31 ; P4 = K41

Jika U3 = 1 dan U1 = U2 = U4 = 0, maka :

P3 = K31 ; P1 = K11 ; P2 = K21 ; P4 = K41

Jika U4 = 1 dan U1 = U2 = U3 = 0, maka :

P4 = K41 ; P1 = K11 ; P2 = K21 ; P3 = K31

=

K

K11 K12 K13

K14

K21 K22 K23

K24

K31 K32

K33 K34

K41 K42 K34

K44

11

b. Jika pada batang gaya aksial :

Matriks kekakuan elemen dengan melibatkan gaya aksial :

2.4. Analisa Struktur pada Balok dengan Metode Kekakuan Langsung dengan

Hanya Memperhatikan Deformasi Akibat Translasi dan Rotasi

Sebuah balok statis tak tentu seperti pada gambar.

12

a. Menentukan keaktifan ujung-ujung elemen

b. Menentukan matriks tujuan

c. Matriks kekakuan struktur

DOF = 2, maka :

[K2] 2x2

[Ks] = [K1] + [K2]

d. Membuat matriks kekakuan elemen

Elemen 1

13

Elemen 2

Matriks kekakuan Global Struktur

[KS] = [K1] + [K2]

Untuk mendapatkan deformasi ujung-ujung aktif struktur, maka digunakan

hubungan :

{Ps} = [Ks] . {Us} {Us} = [Ks]-1 . {Ps}

Dimana :

Us = deformasi ujung-ujung aktif

Ks = kekakuan struktur

Ps = gaya-gaya pada ujung aktif elemen akibat beban luar

[KS] 2x2

[KS] 2x2

14

Untuk contoh di atas, maka :

a. Menghitung invers matriks kekakuan global [Ks]-1

Jadi : {Us} = [Ks]-1 . {Ps}

15

b. Deformasi untuk masing-masing elemen :

c. Reaksi akibat beban luar :

d. Gaya akhir elemen :

Elemen 1 : {P1} = [K1] + {PR1}

16

Elemen 2 : {P2} = [K2] + {PR2}

Free Body Diagram :

17

e. Melalui gambar gaya-gaya dalam

Bidang D

Bidang M

2.5. Analisa Struktur pada Balok dengan metode Kekakuan Langsung dengan

Hanya memperhatikan Deformasi Akibat Rotasi Saja

Sebuah balok statis tak tentu seperti pada gambar.

18

a. Menentukan keaktifan ujung-ujung elemen

b. Menentukan matriks tujuan

c. Matriks kekakuan struktur

DOF = 2, maka :

[Ks] 2x2

[Ks] = [K1] + [K2]

d. Menentukan matriks kekakuan elemen akibat deformasi rotasi.

Elemen 1

19

Elemen 2

e. Matriks kekakuan global struktur

[Ks] = [K1] + [K2]

Untuk mendapatkan deformasi ujung-ujung aktif struktur, maka digunakan

hubungan:

{Ps} = [Ks] . {Us} {Us} = [Ks]-1 . {Ps}

Dimana :

Us = deformasi ujung-ujung aktif

Ks = kekakuan struktur

Ps = gaya-gaya pada ujung aktif elemen akibat beban luar

20

Untuk contoh diatas, maka :

a. Menghitung invers matriks kekakuan gobal [Ks]-1

Jadi : {Us} = [Ks]-1 . {Ps}

21

b. Deformasi untuk massing-masing elemen :

c. Rotasi akibat luar :

d. Gaya akhir elemen :

Elemen 1 = {P1} = [K1] + {PR1}

22

Elemen 2 = {P2} = [K2] + {PR2}

Free body diagram

e. Menggembar gaya-gaya dalam

Bidang D

23

Bidang M

2.6. Dasar Pengoperasian Matriks

Gambar. 2.1. Matlab Interface

a. M-File

M-File adalah deretan perintah Matlab yang disimpan dalam bentuk file.

Karena itu Matlab menyediakan fasilitas editor dimana command yang dibuat dapat

disimpan dan dieksekusi dalam bentuk script file ekstensi *.m. M-File diperlukan

untuk pembuatan program lebih efektif.

Agar Matlab mengenali M-File yang dibuat, pertama kali harus

mendefinisikan direktori dimana perogram berada. Caranya adalah :

1. Pada menu pulldown klik File > Set Path

24

Gambar. 2.2. Menu pulldown File > Set Path

2. Maka akan muncul kotak dialog setPath. Kemudian klik tombol Add

Folder

Gambar. 2.3. kotak dialog setPath

3. Kotak dialog Browse For Folder akan muncul. Kemudian pilih folder

dimana akan menyimpan M-File, lalu klik OK.

Gambar.2.4. kotak dialog Browse For Folder

25

4. Maka akan kembali ke kotak dialog setPath. Dapat dilihat folder yang

sudah disimpan dalam Matlab search path window. Klik save untuk

menyimpan informasi path lalu Close.

Gambar.2.5. Folder baru pada kotak dialog setPath

Setelah selesai, maka akan kembali ke Matlab command area. Kemudian buat M-File

baru, carany :

1. Pada menu pulldown klik File > New > M-File

Gambar.2.6. menu pulldown New>M-File

2. Maka akan keluar M-File Editor. Pada editor tersebut ketik kembali

command.

26

Gambar.2.7. M-File Editor

3. Lalu simpan M-File tersebut dengan cara, menu pulldown klik File > Save As

Gambar.2.8. Menu pulldown M-File Editor File > Save As

4. Kotak dialog save file as akan muncul. Dan beri nama misal contoh.m lalu

klik save untuk kembali ke M-File Editor

Gambar.2.9. menyimpan M-File

5. Kemudian untuk menutup M-File Editor. Dari menu pulldown klik Window

> Close All untuk kembali ke command area

27

Gambar.2.10. menutp M-File Editor

6. Untuk mengeksekusi M-File tersebut, cukup dengan mengetik contoh pada

Matlab command area lalu <ENTER>. Maka hasilnya seperti pada gambar

dibawah.

Gambar.2.11. Eksekusi M-File

2.7. Membuat Fungsi Independent M-File

Fungsi independent dalam Matlab adalah M-File yang berisi sederetan perintah

dengan variabel input dan output yang telah didefinisikan. Tujuannya agar program

yang dibuat lebih fleksibel.

28

Cara membuat fungsi yang fleksibel.

1. Buat M-File baru dengan cara dari menu pulldown klik File > New > M-

File.

2. Kemudian pada Matlab Editor ketik perintah seperti dibawah ini :

3. Simpan M-File dengan cara dari menu pulldown klik File > Save as.

Kemudian berinama contoh1 (terserah kepada kita penguna Matlab).

4. Jalankan program tersebut dengan mengetik perintah :

Maka hasilnya :

Gambar.2.12. Eksekusi fungsi contoh1.m dengan variabel global

Selain itu, kemudahan dari Matlab variabel yang digunakan tidak harus sama dengan

variabel yang diunakan di dalam fungsi contoh1.m, dengan tanda pendefinisian

variabel terlebih dahulu. Contoh :

1. Pada command area ketik perintah :

29

2. Kemudian <ENTER>, maka hasilnya :

Gambar.2.13. Eksekusi fungsi contoh1 dengan variabel lokal

2.8. Beberapa Fungsi Dasar Matlab

Untuk diketahui bahwa fungsi Matlab baik itu sifatnya dalam bentuk M-File

jumlahnya sangat banyak. Oleh karena itu, hanya akan dibahas beberapa fungsi saja

yang berhubungan dengan script file yang akan dibuat selanjutnya.

1. Fungsi Umum

Untuk lebih jelasnya, akan dibuat contoh dengan perintah yang tertera di atas.

Pada contoh ini akan membuat yang me-loading angka dari file ekstternal yang

diketik dengan Notepad (program text-editore dalam windows). Adapun langkah-

langkahnya adalah sebagai berikut :

a. Buka program Notepad lalu buat suatu matriks, lalu simpan dengan nama

tmp.txt

30

Gambar.2.14. Notepad Editor

b. Buat M-File baru kemudian ketik program seperti :

c. Simpan dengan nama contoh3.m lalu jalankan dengan cara dari menu

pulldown klik Debug > Run atau dengan menekan tombol F5.

Gambar.2.15. Menu pulldown Debug > Run

d. Maka pada command area akan tampak hasil program seperti :

Gambar.2.15. Hasil program contoh3

31

2.9. Mengenal operator matematis dan matriks

Aturan penulisan matriks misalkan matriks A dan vektor B dengan nilai :

32

Untuk mencetak hasil program dan formatnya antara lain :

Untuk lebih jelasnya lihat contoh dibawah ini, dimana output program langsung

ditampilkan di bawah perintah yang diberikan :

a. Buat nilai i dari 1 sampai dengan 5 beda 1, perintahnya :

b. Buat matriks 2 dimensi A dan B. Kemudian penambahan, pengurangan,

perkalian, dan pembagian dari matriks A dan B. Perintahnya :

c. Kemidian pemangkatan, perkalian perbaris, pembagian perbaris, dan

pemangkatan perbaris dari matriks A dan B. Perintahnya :

33

d. Hitung transpose, invers, dan determinan dari matriks A. Dengan perintah :

2.10. Konsep Dasar Perencanaan

Pada tahap perencanaan perlu dilakukan study literatur untuk

menghubungkan satuan fungsional gedung dengan sistem struktur yang akan

digunakan, disamping untuk mengetahui dasar-dasar teorinya. Pada jenis gedung

tertentu, perencanaan sering kali diharuskan menggunakan suatu pola akibat syarat-

syarat fungsional maupun strukturnya. Hal ini merupakan salah satu faktor yang

menentukan, misal pada situasi yang mengharuskan bentang ruang yang besar serta

harus bebas kolom, sehingga akan menghasilkan beban besar dan berdampak pada

balok.

Study literatur dimaksudkan untuk dapat memperoleh hasil perencanaan yang

optimal dan aktual.

34

2.11. Kriteria dan Asas–asas Perencanaan

Perencanaan pembangunan ini diharuskan memenuhi beberapa kriteria

perencanaan, sehingga konstruksi bangunan tersebut sesuai yang diharapkan, dan

tidak terjadi kesimpang- siuran dalam bentuk fisiknya.

Adapun kriteria-kriteria perencanaan tersebut adalah :

1. Harus memenuhi persyaratan teknis

Dalam setiap pembangunan harus memperhatikan persyaratan teknis

yaitu bangunan yang didirikan harus kuat untuk menerima beban yang

dipikulnya baik itu beban sendiri gedung maupun beban yang berasal dari

luar seperti beban hidup, beban angin dan beban gempa. Bila persyaratan

teknis tersebut tidak diperhitungkan maka akan membahayakan orang yang

berada di dalam bangunan dan juga bisa merusak bangunan itu sendiri. Jadi

dalam perencanaan harus berpedoman pada peraturan-peraturan yang berlaku

dan harus memenuhi persyaratan teknis yang ada. Namun pada Tugas Akhir

ini hanya beban mati yang akan ditinjau.

2. Harus memenuhi persyaratan ekonomis

Dalam setiap pembangunan, persyaratan ekonomis juga harus

diperhitungkan agar tidak ada aktivitas - aktivitas yang mengakibatkan

membengkaknya biaya pembangunan sehingga akan menimbulkan kerugian

bagi pihak kontraktor. Persyaratan ekonomis ini bisa dicapai dengan adanya

penyusunan time schedule yang tepat, pemilihan bahan-bahan bangunan yang

digunakan dan pengaturan serta pengerahan tenaga kerja yang profesional.

Dengan pengaturan biaya dan waktu pekerjaan secara tepat diharapkan bisa

menghasilkan bangunan yang berkualitas tanpa menimbulkan pemborosan.

35

3. Harus memenuhi persyaratan aspek fungsional

Hal ini berkaitan dengan penggunaan ruang. Biasanya hal tersebut

akan mempengaruhi penggunaan bentang elemen struktur yang digunakan.

4. Harus memenuhi persyaratan estetika

Agar bangunan terkesan menarik dan indah maka bangunan harus

direncanakan dengan memperhatikan kaidah-kaidah estetika. Namun

persyaratan estetika ini harus dikoordinasikan dengan persyaratan teknis yang

ada untuk menghasilkan bangunan yang kuat, indah dan menarik. Jadi dalam

sebuah perencanaan bangunan harus diperhatikan pula segi artistic bangunan

tersebut.

5. Harus memenuhi persyaratan aspek lingkungan

Setiap proses pembangunan harus memperhatikan aspek lingkungan

karena hal ini sangat berpengaruh dalam kelancaran dan kelangsungan

bangunan baik dalam jangka pendek (waktu selama proses pembangunan)

maupun jangka panjang (pasca pembangunan). Persyaratan aspek lingkungan

ini dilakukan dengan mengadakan analisis terhadap dampak lingkungan di

sekitar bangunan tersebut berdiri.

2.12. Dasar – dasar Perencanaan

Dalam perhitungan perencanaan bangunan ini digunakan standar yang

berlaku di Indonesia, antara lain:

1. Plat Lantai

Perencanaan plat didasarkan pada peraturan SK SNI T-15-1991-03 dan

Pedoman Beton 1989. Untuk merencanakan plat beton bertulang yang perlu

36

dipertimbangkan tidak hanya pembebanan namun juga ukuran dan syarat-syarat

tumpuan.

2. Balok

Perencanaan balok didasarkan pada persyaratan SK SNI T-15-1991-03

yaitu:

a. Syarat-syarat tumpuan yang dipertimbangkan adalah:

1) Tumpuan jepit penuh

2) Tumpuan jepit sebagian

b. Ukuran balok

Dalam pra desain, tinggi balok menurut SK SNI T-15-1991-03

merupakan fungsi dari bentang dan mutu baja yang dipergunakan.

2.13. Metode Perhitungan

Dalam perencanaan ini, perhitungan mekanika struktur menggunakan

program MATLAB. Software ini merupakan alat bantu untuk menyelesaikan sebuah

perhitungan setruktur dengan metode analisa matriks dalam mencari hasil dari

Momen Max. Hal -hal yang perlu diperhatikan dalam perhitungan mekanika ini

adalah :

a. Plat dianggap sebagai membran dan semua beban yang ada pada plat

dianggap sebagai beban merata.

b. Balok hanya menumpu beban dinding yang ada di atasnya dan beban

hidup balok juga berasal dari pendistribusian beban pelat.

37

Sebelum melakukan perhitungan mekanika, terlebih dahulu harus

menghitung beban - beban yang bekerja pada eleman struktur antara lain :

a. Beban Mati

Beban yang diambil dari elemen struktur beserta beban yang ada di atasnya.

b. Beban Hidup

Diambil dari Pedoman Perencanaan Pembebanan untuk Rumah dan Gedung

(PPURG) 1987 untuk bangunan gedung.

2.14. Klasifikasi Pembebanan Rencana

Pembebanan rencana diperhitungkan berdasarkan Pedoman Perencanaan

Pembebanan untuk Rumah dan Gedung 1987. Pembebanan diperhitungkan sesuai

dengan fungsi ruangan yang direncanakan pada gambar rencana. Besarnya muatan–

muatan tersebut adalah sebagai berikut :

a. Massa jenis beton bertulang : 2400 kg/m3

b. Berat plafon dan penggantung (gpf) : 18 kg/m2

c. Tembok batu bata (1/2) batu : 250 kg/m2

d. Beban hidup untuk tangga : 300 kg/m2

e. Beban hidup untuk gedung fasilitas umum : 250 kg/m2

f. Adukan dari semen, per cm tebal : 21 kg/m2

g. Penutup lantai, per cm tebal : 24 kg/m2

38

Kombinasi pembebanan yang di gunakan, yaitu : Comb 1 = 1,2 DL + 1,6 LL Combo

(comb) = beban total untuk menahan beban yang telah dikalikan dengan faktor beban

atau momen dan gaya dalam yang berhubungan dengannya.

DL (dead load) = beban mati atau momen dan gaya dalam yang berhubungan dengan

beban mati.

LL (live load) = beban hidup atau momen dan gaya dalam yang berhubungan dengan

beban hidup.

39

Gambar. 2.1. Flowchart perhitungan Deformasi Ujung-ujung Aktif Elemen

Menganalisa Pembebanan

Mulai

Pencarian Literatur/Study Pustaka

Data Teknis

Menentukan Keaktifan Ujung-ujung Elemen

Menentukan Matriks Kekakuan Elemen

Menghitung Matriks Kekakuan Global Struktur

Menghitung Deformasi Ujung-ujung Aktif

Menghitung Gaya Akhir Elemen

Aplikasi

MATLAB

Selesai