colourfull of Mathematic Home

About Me

Pengujian Hipotesis

Kategori: Tugas DasProsDiposting oleh YulindaPs pada Rabu, 23 Februari 2011 [10 Dibaca] [0 Komentar]

 

 

 

                                

     Disusun oleh:

           1. Dyngga Andriyani Pane           2. Fitria Hardina           3. Gustri Indriyani           4. Mesa Inas

           5. Yulinda Permatasari

 

 Dosen pengasuh : Dr.Ratu ilma

Mata Kuliah        : Metoda Statistika

 

Prodi Pendidikan Matematika

Tahun Ajaran 2010/2011

Universitas Sriwijaya Palembang

Pengujian Hipotesis

 

1. Pendahuluan

Pengujian adalah membuktikan atau menguatkan anggapan tentang parameter populasi yang tidak diketahui berdasarkan informasi dari sampel yang diambil dari populasi tersebut dengan langkah-langkah atau metode tertentu.

 

Hipotesis adalah pernyataan atau dugaan yang masih lemah tingkat kebenarannya  sehingga masih harus di uji menggunakan teknik tertentu. Jika pernyataan dibuat untuk menjelaskan nlai parameter populasi maka disebut hipotesis stastistik. Berikut yang dapat dianggap sebagai hipotesis:

a.Peluang lahirnya bayi berjenis laki-laki =0,5

b. 30% masyarakat termasuk golongan A

c.rata-rata pendapatan keluarga di suatu daerah Rp. 35.000,00 tiap bulan.

Setiap hipotesa bisa benar atau salah sehingga perlu diadakan penelitian sebelum hipotesis itu diterima atau ditolak.

Jadi, Pengujian Hipotesis adalah langkah atau prosedur untuk menguatkan anggapan atau dugaan yang masih lemah tingkat kebenarannya dengan di uji menggunakan teknik tertentu.

2. Dua macam kesalahan

            Untuk pengujian hipotesis , penelitian dilakukan dengan mengambil sampel acak, menghitung nilai-nilai statistik kemudian membandingkan berdasarkan kriteria tertentu untuk menentukan hipotesis tersebut ditolak atau diterima. Jika hasil yang diterima dari penelitian itu jauh berbeda dari hasil yang diharapkan, berarti hipotesis ditolak, begtu juga sebaliknya. Meskipun berdasarkan penelitian kita telah menerima atau menolak hipotesis, tidak berarti bahwa kita telah membutikan atau tidak membuktikan kebenaran hipotesis. Kita hanya memperlihatkan menerima atau menolak hipotesis saja.

 

 

 

 

Dalam pengujian hipotesis ada 2 jenis tipe kesalahan

Tipe I : menolak hipotesis yang seharusnya diterima

 =P (menolak Ho|Ho benar)

            =α (taraf nyata)

Tipe II: menerima hipotesis yang seharusnya ditolak

            = P (menerima Ho|Ho salah)

            = β (kuasa uji)

Keputusan Ho Benar Ho SalahTerima Ho Keputusan benar Kesalahan Tipe ITolak Ho Kesalahan Tipe II Keputusan benar

 

-Ho dan Ha

Hipotesis Nihil/Nol (Ho) yaitu hipotesis yang menyatakan tidak adanya hubungan antara dua variabel atau lebih atau tidak adanya perbedaan antara dua kelompok atau lebih. Hipotesis

Alternatif (Ha) yaitu hipotesis yang menyatakan adanya hubungan antara dua variabel atau lebih atau tidak adanya perbedaan antara dua kelompok atau lebih.

-α dan β

α merupakan peluang kesalahan tipe I dan β untuk kesalahan tipe II. Dalam merencanakan suatu penelitian untuk pengujian hipotesis kedua tipe kesalahan tersebut dibuat sekecil mungkin.

α disebut pula taraf signifikan atau taraf arti atau taraf nyata. Besar kecilnya α dan β yang dapat diterima dalam pengambilan kesimpulan bergantung pada akibat-akibat atas diperbuatnya kekeliruan-kekeliruan itu. Kedua kekeliruan-kekeliruan tersebut juga berkaitan. Jika α diperkecil, maka  β menjadi besar dan demikian sebaliknya. Hasil pengujian hipotesis yang baik ialah pengujian yang dilakukan dengan nilai α yang sama besar dan nilai β yang paling kecil.

Untuk keperluan praktis, nilai atau harga α yang biasa digunakan yaitu α = 0,01 atau α = 0,05. α = 0,05 atau taraf nyata 5%, berarti kira-kira 5 dari tiap 100 kesimpulan bahwa kita akan menolak hipotesis yang seharusnya diterima. Jadi,kita yakin bahwa 95% kita telah membuat kesimpulan yang benar.

 

Untuk setiap pengujian dengan α yang ditentukan ,besar β dapat dihitung. Harga ( 1 – β ) dinamakan kuasa uji. Nilai atau harga β bergantung pada parameter, katakanlah , sehingga didapat  β () sebuah fungsi yang begantung pada . Bentuk β () dinamakan fungsi ciri operasi ( C.O )dan 1 - β () disebut fungsi kuasa.

 

3. Langkah-langkah Pengujian Hipotesis.

            Kesimpulan dari pengujian hipotesis ini ada 2 pilihan, menerima atau menolak hipotesis. Tentunya dengan menggunaka perumusan-perumusan seperlunya agar dapat menentukan satu pilihan yang mudah dilakukan dan lebih terperinci.

Langkah-langkah Pengujian Hipotesis, yaitu

1.Rumuskan Ho .

            Ho  yang sesuai dengan persoalan yang dihadapi.

2.Rumuskan Ha (hipotesis tandingannya).

 Karna ada 2 pilihan kesimpulan, hipotesis Ho perlu didampingi oleh hipotesis tandingan

(Ha) yang isinya berlawanan . Pasangan Ho  dan Ha ini ,tepatnya Ho melawan Ha ,menentukan

kriteria pengujian yang terdiri dari daerah penerimaan dan penolakan hipotesis. H1 ini harus

dipilih atau ditentukan peneliti sesuai dengan persoalan yang dihadapi. Pasangan H 0 dan H1 yang

telah dirumuskan, dituliskan dalam bentuk :

             

atau    

atau   

3. Pilih Uji Statistik yang sesuai dan tentukan daerah kritisnya .

                     Kita pilih bentuk statistika yang digunakan ,apakah uji z, t, x2,F atau lainnya.

Menentukan kriteria pengujian berdasarkan pilihan taraf nyata atau ukuran daerah kritis.

 

Peran hipotesis tandingan H1 dalam penentuan daerah kritis adalah sebagai berikut:

1)      Jika tandingan H1 mempunyai perumusan tidak sama, maka dalam distribusi statistik yang

digunakan, normal untuk angka z, Student untuk t, dan seterusnya didapat dua daerah kritis

masing-masing pada ujung-ujung distribusi. Luas daerah kritis atau daerah penolakan pada

tiap ujung adalah ½. Karena adanya dua daerah penolakan ini, maka pengujian hipotesis

dinamakan uji dua pihak.

Gambar XII(1)

Gambar di atas memperlihatkan sketsa distribusi yang digunakan disertai daerah-daerah

penerimaan dan penolakan hipotesis. Kedua daerah ini dibatasi oleh d1 dan d2 yang harganya

didapat dari daftar distribusi yang bersangkutan dengan menggunakan peluang yang

ditentukan oleh . Kriteria yang didapat adalah : terima hipotesis H0 jika harga statistik yang

dihitung berdasarkan data penelitian jatuh antara d1 dan d2, dalam hal lainnya H0 ditolak.

2)      Untuk tandingan H1 yang mempunyai perumusan lebih besar, maka dalam distribusi yang

digunakan didapat sebuah daerah kritis yang letaknya di ujung sebelah kanan. Luas daerah

kritis atau daerah penolakan ini sama dengan .

Gambar XII(2)

Harga d, didapat dari daftar distribusi yang bersangkutan dengan peluang yang ditentukan

oleh , menjadi batas antara daerah kritis dan daerah penerimaan H0. Kriteria yang dipakai

adalah: tolak H0 jika statistik yang dihitung berdasarkan sampel tidak kurang dari d. Dalam

hal lainnya kita terima H0. Pengujian ini dinamakan uji satu pihak, tepatnya pihak kanan.

3)      Akhirnya, jika tandingan H1 mengandung pernyataan lebih kecil, maka daerah kritis ada di

ujung kiri dari distribusi yang digunakan. Luas daerah ini = yang menjadi batas daerah

penerimaan H0 oleh bilangan d yang didapat dari daftar distribusi yang bersangkutan.

Peluang untuk mendapatkan d ditentukan oleh taraf nyata .

Gambar XII(3)

Kriteria yang digunakan adalah : terima H0 jika statistik yang dihitung berdasarkan penelitian

lebih besar dari d sedangkan dalam hal lainnya H0 kita tolak.

4)Hitung nilai Statistik dari contoh acak berukuran n.

5)Buat keputusan.

            Terima atau tolak Ho berdasarkan letak nilai statistik pada daerah kritis.

4. MENGUJI RATA-RATA : UJI DUA PIHAK

            Umpamakanlah kita mempunyai sebuah populasi berdistribusi normal dengan

rata-rata dan simpangan baku . Akan diuji mengenai parameter rata-rata .

Untuk ini ambil sebuah sampel acak berukuran n, lalu hitung statistik  dan s.Dapat

dibedakan  hal-hal berikut:

1)σ diketahui

Untuk pasangan hipotesis

dengan 0 sebuah harga yang diketahui, digunakan statistik :

XII(1) …………………

Statistik z ini berdistribusi normal baku, sehingga untuk menentukan kriteria pengujian,

seperti tertera dalam Gambar XII(1), digunakan daftar distribusi normal baku. H0 kita terima jika

–z½ (1 - ) < z < z½(1 - )  dengan z½(1 - ) didapat dari daftar normal baku dengan peluang ½ (1 - ).

Dalam hal lainnya, H0 ditolak.

Catatan :    Pengujian yang menghasilkan H0 diterima dalam taraf nyata 0,05 dinamakan uji tak

nyata atau uji tak berarti atau uji non-signifikan.

 

 

5) MENGUJI RATA-RATA : UJI SATU PIHAK

Perumusan yang umum untuk uji pihak kanan mengenai rata-rata berdasarkan H0 dan

H1 adalah :

Kita misalkan populasi berdistribusi normal dan di ambil sebuah sampel acak berukuran

n. Seperti biasa, dari sampel tersebut dihitung  dan s. Didapat hal-hal berikut:

Hal A). diketahui

Jika simpangan baku untuk populasi diketahui, seperti biasa digunakan statistik z yang

tertera dalam Rumus XII(1). Sketsa untuk kriteria pengujian seperti nampak dalam Gambar

XII(2), ialah menggunakan distribusi normal baku. Batas kriteria, tentunya didapat dari daftar

normal baku. Kita tolak H0 jika z z0,5 - dengan z0,5 - didapat dari daftar normal baku

menggunakan peluang (0,5 - ). Dalam hal lainnya H0 kita terima.

 

Catatan :   Pengujian yang menghasilkan H0 ditolak dengan taraf nyata 0,05 dinamakan

uji nyata atau uji berarti atau uji signifikan.

                     Jika H0 ditolak pada taraf 5% tetapi diterima pada taraf 1% maka dikatakan

bahwa hasil uji “barangkali” berarti. Dalam hal ini dianjurkan untuk

melakukan penelitian lebih lanjut dan pengujian dapat dilakukan lagi.

 

 

 

 

Hal B). tidak diketahui

 jika tidak diketahui, statistik yang digunakan untuk menguji pihak kanan

adalah statistik t seperti dalam Rumus XII(2).

Kriteria pengujian didapat dari daftar distribusi Student t dengan dk = (n – 1) dan peluang (1 - ).

Jadi kita tolak H0 jika t t1 - dan menerima H0 dalam hal lainnya.

 

Untuk menguji pihak kiri

 

cara yang sama berlaku untuk uji pihak kanan. Jika diketahui, maka statistik z seperti dalam

Rumus XII(1) digunakan dan tolak H0 jika z - z0.5 - , denga z0,5 - didapat dari normal baku

menggunakan peluang (0,5 - ). Dalam hal lainnya H0 diterima. Di sini = taraf nyata.

Jika tidak diketahui, maka untuk uji pihak kiri tersebut digunakan statistik t seperti yang

tertera dalam Rumus XII(2). Dalam hal ini kita tolak hipotesis H0 jika t - t1 - , dengan t1 - di

dapat dari daftar distribusi Student t menggunakan peluang (1 - ) dan dk = (n – 1). Untuk t > - t1

- , hipotesis H0 kita terima.

6)MENGUJI PROPOrsi : UJI DUA PIHAK

Misalkan kita mempunyai populasi binom dengan proporsi peristiwa A = . Berdasarkan

sebuah sampel acak yang diambil dari populasi itu, akan diuji mengenai uji dua pihak :

dengan 0 sebuah harga yang diketahui. Dari sampel berukuran n itu kita hitung proporsi sampel

x/n adanya peristiwa A. Dengan menggunakan pendekatan oleh distribusi normal, maka untuk

pengujian ini digunakan statistik z yang rumusnya :

 

Kriteria untuk pengujian ini, dengan taraf nyata adalah: terima H0 jika –z½ (1 - ) < z < z½

(1 - ), di mana z½ (1 - ) didapat dari daftar normal baku dengan peluang ½ (1 - ). Dalam hal lainnya,

hipotesis H0 ditolak.

 

7)MENGUJI PROPORSI : UJI SATU PIHAK

Jika yang diuji dari populasi binom itu berbentuk:

maka pengujian demikian merupakan uji pihak kanan. Untuk ini pun, statistik yang digunakan

masih statistik z seperti tertera dalam Rumus XII(3). Yang berbeda hanyalah dalam penentuan

kriteria pengujiannya. Dalam hal ini, tolak H0 jika z z0,5 - , di mana z0,5 - didapat dari daftar

normal baku dengan peluang (0,5 - ). Untuk z < z0,5 - hipotesis H0 diterima.

 

 

Untuk uji pihak kiri, maka pasangan hipotesis nol dan tandingannya adalah :

Statistik yang digunakan statistik z seperti dalam Rumus XII(3). Kriteria pengujian

adalah: tolak H0 jika z - z0,5 - di mana z0,5 - didapat dari daftar normal baku dengan peluang (0,5

- ). Dalam hal lainnya H0 diterima.

8.     MENGUJI VARIANS σ2

Kita misalkan populasi berdistribusi normal dengan varians σ2 dan diambil sebuah sampel

acak berukuran n. Varians sampel yang besarnya s2 dihitung dengan Rumus V (5) atau Rumus V

(6).

Kita bedakan dua hal berikut :

Hal A). Uji dua pihak

      Untuk ini, pasangan H0 dan H1 adalah :

Untuk pengujian ini dipakai statistik chi-kuadrat

Jika dalam pengujian dipakai taraf nyata α, maka kriteria pengujian adalah : terima H0

jika  di mana  dan didapat dari daftar distribusi chi

kuadrat dengan dk = (n – 1) dan masing-masing dengan peluang  dan .

Dalam hal lainnya H0 ditolak.

 

 

 

Hal B). Uji satu pihak

Dalam kenyataannya sangat sering dikehendaki adanya varians yang berharga kecil.

Untuk ini pengujian diperlukan dan akan merupakan uji pihak kanan :

Statistik yang digunakan masih tetap X2. Kriteria pengujian dalam hal ini adalah: tolak H0

jika , di mana , didapat dari daftar chi-kuadrat dengan dk = (n – 1)

dan peluang (1 – α). Dalam hal ini lainnya, H0 diterima.

Jika hipotesis nol dan tandingannya menyebabkan uji pihak kiri, yakni pasangan :

Maka hal yang sebaliknya akan terjadi mengenai kriteria pengujian, yaitu tolak H0 jika

, dimana didapat dari daftar chi-kuadrat dengan dk = (n – 1) dan peluang α.

 

9.     MENGUJI KESAMAAN DUA RATA-RATA : UJI DUA PIHAK

Misalkan kita mempunyai dua populasi normal masing-masing dengan rata-rata μ1 dan μ2

sedangkan simpangan bakunya σ1 dan σ2.Dari populasi kesatu diambil sebuah sampel acak

berukuran n1 sedangkan dari populasi kedua sebuah sampel acak berukuran n2. dari kedua sampel

ini berturut-turut didapat , s1 dan  s2. akan diuji tentang rata-rata μ1 dan μ2.

Pasangan hipotesis nol dan tandingannya yang akan di uji adalah :

Untuk ini kita bedakan hal-hal berikut :

 

Hal A).  dan σ diketahui

Statistik yang digunakan jika H0 benar, adalah :

 

Dengan taraf nyata α, maka kriteria pengujian adalah : terima H0 jika

 dimana  didapat dari daftar normal baku dengan peluang

½(1 – α). Dalam hal lainnya H0 ditolak.

Hal B).   tetapi σ tidak diketahui

Jarang sekali dan diketahui besarnya. Jika H0 benar dan  

sedangkan σ tidak diketahui harganya, statistik yang digunakan adalah

Dengan

maka statistik t di atas berdistribusi Student dengan dk = (n1 + n2 – 2). Kriteria pengujian

adalah: terima H0 jika  dimana didapat dari daftar distribusi t

dengan dk = (n1 + n2 – 1) dan peluang (1 - ). Untuk harga-harga t lainnya H0 ditolak.

 

 

 

 

Hal C). σ1 ≠ σ2 dan kedua-duanya tidak diketahui

Jika kedua simpangan baku tidak sama tetapi kedua populasi berdistribusi normal, hingga

sekarang belum ada statistik yang tepat yang dapat digunakan. Pendekatan. Pendekatan yang

cukup memuaskan adalah dengan menggunakan statistik t’ sebagai berikut :

 

Kriteria pengujian adalah : terima hipotesis H0 jika

Dengan :

           dan

               

Hal D). Observasi berpasangan

kita ambil μB = μ1 – μ2. Hipotesis nol dan tandingannya adalah :

 

Jika B1 = x1 – y1, B2 = x2 – y2,...., Bn = xn – yn, maka data B1, B2, ... , Bn menghasilkan

rata-rata  dan simpangan baku sB. Untuk pengujian hipotesis, gunakan statistik :

Dan terima H0 jika  dimana

Di dapat dari daftar distribusi t dengan peluang  dan dk = (n – 1). Dalam

hal lainnya H0 ditolak.

 

10)MENGUJI KESAMAAN DUA RATA-RATA : UJI SATU PIHAK

Dimisalkan bahwa kedua populasi berdistribusi normal dengan rata-rata μ1 dan μ2 dan

simpangan baku σ1 dan σ2. karena umumnya besar σ1 dan σ2 tidak diketahui, maka di sini akan

ditinjau hal-hal tersebut untuk keadaan σ1 = σ2 atau σ1 ≠ σ2

Hal A). Uji pihak kanan

Yang diuji adalah

Dalam hal σ1 = σ2 maka statistik yang digunakan ialah statistik t seperti pada rumus

Kesamaan dua rata-rata:uji 2 pihak . Kriteria pengujian yang berlaku ialah : terima H0 jika t < t1 –

α dan tolak H0 jika t mempunyai harga-harga lain. Dk= (n1 + n2 – 2) dengan peluang (1 – α).

Jika σ1 ≠ σ2, maka statistik yang digunakan adalah statistik t’. Dalam hal ini, kriteria

pengujian adalah : tolak hipotesis H0 jika

dan terima H0 jika terjadi sebaliknya, dengan ,

t = t(1 – α),(n1 – 1) dan t(1 – α),(n2 – 1). Peluang untuk penggunaan daftar distribusi t ialah (1 – α) sedangkan

dk-nya masing-masing (n1 – 1) dan (n2 – 1)

Untuk observasi berpasangan, pasangan hipotesis nol H0 dan hipotesis tandingan H1

untuk uji pihak kanan adalah :

Statistik yang digunakan masih statistik dan tolak H0 jika di mana t1 – α didapat

dari daftar distribusi Student dengan

dk = (n – 1) dan peluang (1 – α).

 

Hal B). Uji Pihak Kiri

Perumusan hipotesis H0 dan hipotesis tandingan H1 untuk uji pihak kiri adalah :

Langkah-langkah yang ditempuh dalam hal ini sejalan dengan yang dilakukan untuk uji

pihak kanan.

Jika σ1 = σ2, kedua-duanya nilainya tak diketahui, maka digunakan statistik t dalam

Rumus yang sama dengan rumus kesamaan rata-rata:uji 2 pihak. Kriteria pengujian adalah : tolak

H0 jika

, di mana t1 – α didapat dari daftar distribusi t dengan dk = (n1 + n2 – 2) dan

peluang (1 – α). Untuk harga-harga t lainnya, H0 diterima.

Jika σ1 ≠ σ2, maka yang digunakan adalah statistik t’ dalam Rumus XII(8) dan tolak H0

untuk

Di mana w1, w2, t1 dan t2 semuanya seperti telah diuraikan di muka. Jika t’ lebih besar

dari harga tersebut, maka H0 diterima.

Untuk observasi berpasangan, hipotesis H0 dan tandingan yang akan diuji adalah

Statistik yang digunakan ialah statistik t dalam yang rumus yang sama di atas dan tolak

H0 jika dan terima H0 untuk .

10.            KESAMAAN DUA PROPORSI: UJI DUA PIHAK

Misalkan sekarang kita mempunyai dua populasi binom yang didalamnya masing-masing

didapat proporsi peristiwa A sebesar π1 dan π2. Dari populasi kesatu diambil sebuah sampel acak

berukuran n1 dan di dalamnya terdapat proporsi peristiwa A sebesar x1/n1. Dari populasi kedua

angka-angka tersebut berturut-turut adalah n2 dan x2/n2.Akan diuji hipotesis:

Untuk ini digunakan pendekatan oleh distribusi normal dengan statistik :

XII(10) .........................

Dengan  dan q = 1 – p

Jika dalam pengujian ini digunakan taraf nyata α, maka kriteria pengujian adalah :

Terima H0 untuk  dan tolak H0 untuk harga-harga z lainnya.

 

11.            MENGUJI KESAMAAN DUA PROPORSI : UJI SATU PIHAK

Untuk uji pihak kanan, maka pasangan hipotesisnya adalah :

Statistik yang digunakan masih berdasarkan pendekatan oleh distribusi normal, jadi

digunakan statistik z dalam Rumus XII(10). Dalam hal ini tolak H0 jika  dan terima

H0 untuk dengan α = taraf nyata.

Apabila uji pihak kiri, maka hipotesis nol H0 dan tandingannya H1 berbentuk

Dengan statistik yang sama seperti di atas, tolak H0 untuk dan terima H0

jika . Untuk kedua-duanya di dapat dari daftar distribusi normal baku

dengan peluang (0,5 – α).

 

12.            MENGUJI KESAMAAN DUA VARIANS

Menguji kesamaan atau perbedaan dua rata-rata telah berulang kali ditekankan adanya

asumsi bahwa populasi mempunyai varians yang sama agar menaksir dan menguji bisa

berlangsung. Dalam hal varians yang berlainan, hingga sekarang hanya digunakan cara-cara

pendekatan. Oleh karena itu terasa perlu untuk melakukan pengujian mengenai kesamaan dua

varians atau lebih. Populasi-populasi dengan varians yang sama besar dinamakan populasi

dengan varians yang homogen. Dalam hal lainnya disebut populasi dengan varians heterogen.

Dalam bagian ini akan dilakukan pengujian kesamaan varians untuk dua populasi.

Misalkan kita mempunyai dua populasi normal dengan varians dan .

Akan diuji mengenai uji dua pihak untuk pasangan hipotesis nol H0 dan tandingannya H1:

Berdasarkan sampel acak yang masing-masing diambil dari populasi tersebut. Jika

sampel dari populasi kesatu berukuran n1 dengan varians  dan sampel dari populasi kedua

berukuran n2 dengan varians maka untuk menguji hipotesis di atas digunakan statistik.

XII(11) ......................

Kriteria pengujian adalah : terima hipotesis H0 jika

Untuk taraf nyata α, di mana Fβ(m,n) didapat dari daftar distribusi F dengan peluang β,

dk pembilang = n dan dk penyebut = n .

Dalam hal lainnya Ho ditolak.

Statistik lain yang digunakan untuk menguji hipotesis H0 di muka juga adalah:

XII(12) ....................

Dan tolak H0 hanya jika F ≥  dengan  didapat daftar distribusi F

dengan peluang ½α, sedangkan derajat kebebasan v1  dan v2 masing-masing sesuai dengan dk

pembilang dan penyebut dalam rumus XII(12). Seperti biasa α =  taraf nyata.

Dalam perhitungan F dari daftar, jika peluang beda dari 0,01 atau 0,05, maka digunakan

Rumus VIII(22).

Jika pengujian yang dihadapi merupakan uji satu pihak, yaitu uji pihak kanan, untuk

hipotesis nol H0 dengan tandingan H1

Dan uji pihak kiri :

Maka dalam kedua hal, statistik yang digunakan masih  seperti dalam

Rumus XII(11). Untuk uji pihak kanan, kriteria pengujian adalah: tolak H0 jika F ≥

sedangkan untuk uji pihak kiri, tolak H0 jika F ≤ . Dalam hal-hal

lain H0 diterima.

 

13.            KUASA UJI DAN KURVA CIRI OPERASI

 

Telah kita lihat bahwa dalam membuat keputusan berdasarkan pengujian hipotesis terjadi

dua tipe kekeliruan, ialah α dan β. Untuk mendapatkan keputusan yang baik kedua kekeliruan

tersebut haruslah seminimal mungkin. Tetapi hal ini sulit dicapai mengingat meminimalkan yang

satu akan terjadi peningkatan yang lain; kecuali dengan jalan memperbesar ukuran sampel, yang

pada umumnya jarang bisa dilaksanakan. Dalam prakteknya suatu kompromi diambil guna

membatasi terjadinya kekeliruan yang dianggap berbahaya. Kekeliruan tipe I sering dibatasi

dengan jalan menentukan terlebih dahulu taraf nyata misalnya α = 0,001 atau β = 0,05 atau nilai

lainnya. Berpegang kepada prinsip ini, marilah sekarang kita lihat berapa besar kekeliruan β

mungkin dibuat dan berapa besar kuasa uji (1 – β) didapat berdasarkan α yang dipilih lebih

dahulu tersebut.

Diberikan contoh tentang uji rata-rata masa hidup lampu, ialah H0 : μ = 800 jam melawan

H1 : μ ≠ 800 jam dengan σ = 60 jam diketahui. Dengan sampel berukuran n = 50 dan =792

jam, pengujian menyatakan menerima H0 pada taraf α = 0,05. Jika sebenarnya rata-rata masa

hidup lampu itu bukan 800 jam, melainkan μ =  778 jam, berapakah β, yaitu peluang membuat

kekeliruan tipe II, dalam pengambilan keputusan di atas?

Untuk menentukan β, kita buat sketsa dua distribusi normal, yang satu dengan μ = 800

dan satu lagi dengan μ =  778. Kedua-duanya mempunyai σ = 60.

Uji dua pihak dengan σ = 0,05 menghasilkan daerah penerimaan H0 berbentuk – 1,96 < z

< 1,96 atau  atau  .

Gambar XII(9)

 

β adalah bagian grafik dalam distribusi normal dengan μ = 778 yang dalam daerah penerimaan

H0 yaitu dari 783,36 ke 816,46. Dalam distribusi normal baku, ini sama dengan dari

 ke atau dari z = 0,63 ke         z = 4,55 atau praktis dari

z = 0,63 kekanan. Luasnya adalah 0,5 – 0,2357 = 0,2643. Jadi β = 0,2643.

Ini berarti peluang menerima hipotesis nol bahwa rata-rata masa hidup lampu 800 jam

padahal sebenarnya 778 jam adalah 0,2643. Untuk itu, kuasa uji  dapat ditentukan ialah (1 – β) =

0,7357 dan ini tiada lain daripada peluang menolak hipotesis μ = 800 karena sebenarnya μ = 778.

Jika sekarang μ = 825, maka β merupakan bagian grafik dalam distribusi normal dengan

μ = 825 yang terletak dalam daerah penerimaan H0 yaitu antara 783,36 dan 816,64.

Gambar XII(10)

Dalam angka z, ternyata β antara z = -4,91 dan z = -,099 atau praktis dari z = -0,99 ke

kiri. Luasnya adalah 0,5 – 0,3389 = 0,1111. Dengan demikian β = 0,1111 dan kuasa uji = 0,8889.

Dengan cara yang sama, β dan (1 - β) dapat dihitung untuk harga-harga μ yang berlainan.

Beberapa diantaranya dapat dilihat berikut ini.

Daftar XII (2)

Beberapa nilai kuasa uji untuk berbagai μ

H0 : μ = 800 melawan H1 : μ ≠ 800

μ 750 765 778 790 800 810 825 870 845

β 0,000

0

0,0154 0,2643 0,781

5

0,95 0,7815 0,111

1

0,0582 0,0004

1-β 1,000

0

0,9846 0,7357 0,218

5

0,05 0,2185 0,888

9

0,9418 0,9996

 

Kita lihat bahwa β menyatakan peluang menerima H0 : μ = 800 apabila sebenarnya harga

μ lain daripada 800. Tetapi jika sebenarnya μ = 800, maka β diartikan sebagai peluang menerima

μ = 800 apabila memang itu harus diterima. Dalam hal ini, besar μ = 0,95.

            Grafik β terhadap μ dinamakan kurva ciri operasi, disingkat kurva CO, yang dapat dilihat

di bawah ini :

Gambar XII(11)

Bentuk kurva CO seperti diatas adalah khas untuk uji dua pihak. Makin tajam puncak

kurva makin baik aturan keputusan untuk menolak hipotesis yang tidak berlaku.

Grafik (1 – β) terhadap μ dinamakan kurva kuasa untuk uji hipotesis. Untuk uji dua pihak

dalam contoh di muka, bentuk kurva kuasanya dapat dilihat dalam gambar XII(12). Ternyata

bahwa bentuknya persis kebalikan daripada kurva ciri operasi.

Gambar XII(12)

(1 – β) disebut juga fungsi kuasa, karena memperlihatkan kuasa daripada pengujian untuk

menolak hipotesis yang seharusnya ditolak.

Untuk uji satu pihak akan kita ambil uji pihak kanan mengenai proporsi π sebagai contoh.

Misalkan akan menguji

H0 : π = 0,5 melawan H1 : π = 0,5

dengan α = 0,05 berdasarkan sebuah sampel acak berukuran n = 100. ukuran sampel cukup

besar, sehingga dapat digunakan pendekatan oleh distribusi normal dengan Rumus XII(3).

Dinyatakan dalam perbandingan sampel f = x/n, kita terima H0 jika

atau  atau jika .

Jika sebenarnya π = 0,4, berapakah besarnya β?

Dengan melakukan penyesuaian terhadap x, dalam hal ini dikurangi 0,5, maka dalam

kurva distribusi normal baku, letak daerah β ada di sebelah kiri dari

Luasnya = 0,5 – 0,4968 = 0,0032 sehingga β = 0,0032 dan kuasa uji = 0,9968.

Dengan jalan yang sama, nilai β dan (1 – β) untuk berbagai π diberikan di bawah ini.

DAFTAR XII (3)

BEBERAPA KUASA UJI UNTUK BERBAGAI π

H0 : π = 0,5 melawan H1 : π > 0,5

π 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

β 1,0000 0,9998 0,95 0,305

0

0,0032 0,0000

1 - β 0,0000 0,0002 0,05 0,695

0

0,9968 1,0000

 

Kurva ciri operasi (CO) untuk pengujian di atas dapat dilihat dalam Gambar XII(13)

Makin agak jauh jalan kurva makin baik aturan keputusan untuk menolak hipotesis yang

seharusnya ditolak.

Kurva kuasa untuk pengujian di atas dapat dilihat dalam Gambar XII(14). Ternyata

bentuknya kebalikan daripada kurva ciri operasi.

Gambar XII(13)

Gambar XII(14)

 

Kurva ciri operasi kurva kuasa adalah ekivalen.

Hingga kini, β dan (1 – β) telah dihitung berdasarkan populasi normal dengan σ

diketahui. Jika σ tidak diketahui, pengujian akan berdasarkan distribusi t dan ustuk menentukan

kuasa diperlukan distribusi yang nonsentral. Hal ini tidak dibicarakan di sini, karena memerlukan

teori yang lebih jauh dan karenanya pula sudah keluar dari ruang lingkup buku ini.

Hal yang sama juga berlaku untuk pengujian yang menggunakan distribusi F dan

distribusi chi-kuadrat. Dalam hal ini, untuk menghitung β diperlukan distribusi F nonsentral dan

chi-kuadrat nonsentral.

Distribusi-distribusi yang kita kenal sekarang di sini semuanya distribusi sentral.

 

14.  MENENTUKAN UKURAN SAMPEL

Sesudah kita mempelajari cara menguji hipotesis, akan diberikan beberapa contoh

bagaimana menentukan banyak objek yang perlu diteliti. Faktor yang ikut menentukan dalam

hal ini ialah:

a.      Mengenai parameter apakah hipotesis yang akan diuji itu.

b.      Bagaimana pengujian dilakukan, satu pihak atau dua pihak

c.       Berapa besar taraf nyata yang akan digunakan.

d.      Berapa besar kekeliruan yang mau dilakukan

e.      Berapa besar penyimpangan yang dapat diterima diukur dari nilai hipotesis.

Pada umumnya, simpangan baku σ tidak diketahui besar sebenarnya dan sering didapat

berdasarkan penaksiran atau dari pengalaman. Dalam hal ini, cara menentukan ukuran sampel

yang tepat haruslah digunakan distribusi t dan bukan distribusi normal. Untuk keperluan ini,

karena menyangkut perhitungan β, seperti telah diuraikan di muka, diperlukan distribusi t

nonsentral. Hal yang sama berlaku untuk menentukan ukuran sampel berdasarkan pengujian

yang menggunakan distribusi yang tidak normal.

 

15.            MENGUJI HOMOGENITAS VARIANS POPULASI

Untuk menguji kesamaan beberapa buah rata-rata, dimisalkan populasinya mempunyai

varians yang homogen, yaitu Untuk menguji kesamaan dua rata-rata, telah

dimisalkan . sekarang akan diuraikan perluasannya yaitu untuk menguji kesamaan k

buah (k ≥ 2) varians populasi yang berdistribusi normal. Tepatnya, misalkan kita mempunyai k

(k ≥ 2) buah populasi berdistribusi independen dan normal masing-masing dengan varians

. Akan diuji hipotesis:

H1 : paling sedikit satu tanda sama dengan tidak berlaku

 

berdasarkan sampel-sampel acak yang masing-masing diambil dari setiap populasi.

Ada beberapa metoda yang telah ditemukan untuk melakukan pengujian ini, tetapi di sini,

hanya akan diberikan sebuah saja yang dikenal dengan nama uji Bartlett.

Kita misalkan masing-masing sampel berukuran n1, n2, ... , nk dengan data Yij (i = 1, 2, ...,

k dan j = 1, 2, ..., nk) dan hasil pengamatan telah disusun seperti dalam Daftar XII(4).

Selanjutnya, dari sampel-sampel itu kita hitung variansnya masing-masing ialah .

 

DAFTAR XII(4)

DATA SAMPEL DARI k BUAH PUPULASI

  DARI POPULASI KE

     1               2               ...........               3

Data Hasil

Pengamata

n

Y11             Y21            ...........               YK1

Y12             Y22            ...........               YK2

                    .                                            .

.                   .                                            .

.                   .                                            .

Y1N1            Y2N2                                     YKNK

 

Untuk memudahkan perhitungan, satuan-satuan yang diperlukan untuk uji Bartlett lebih

baik disusun dalam sebuah daftar seperti dalam Daftar XII(5)

 

DAFTAR XII(5)

HARGA-HARGA YANG PERLU UNTUK UJI BARTLETT

Sampel ke dk

1

 

2

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

.

 

K

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Jumlah -- -

 

 

Dari daftar ini kita hitung harga-harga yang diperlukan, yakni:

1. Varians gabungan dari semua sampel :

XII(13) ........  

2. Harga satuan B dengan rumus :

XII(14) ........

      Ternyata bahwa untuk uji Bartlett digunakan statistik chi-kuadrat.

XII(15) ..............

Dengan In 10 = 2,3026, disebut logaritma asli dari bilangan 10.

Dengan taraf nyata α, kita tolak hipotesis H0 jika x2 ≥ , di mana  

di dapat dari daftar distribusi chi kuadrat dengan peluang (1 – α) dan dk = (k – 1).

Contoh : Bagaimana uji Bartlett ini digunakan, marilah kita ambil contoh tentang

pertambahan berat badan kambing karena empat macam makanan.

 

 

 

DAFTAR XII(6)

PERTAMBAHAN BERAT BADAN (dalam kg) KAMBING

SETELAH PERCOBAAN

  Pertambahan berat karena makanan ke

Data Hasil

Pengamatan

1 2 3 4

12

20

23

10

17

14

15

10

19

22

6

16

16

20

9

14

18

19

 

Dengan Rumus V(5), varians untuk tiap sampel kita hitung, hasilnya:

                  ;  ;  ;  dan 

Daftar XII(5) sekarang menjadi :

 

 

 

 

 

 

 

DAFTAR XII(7)

HARGA-HARGA YANG PERLU UNTUK UJI BARTLETT

Sampe

l

Dk 1/(dk)

1

2

3

4

4

4

3

3

0,25

0,25

0,33

0,33

29,3

21,5

35,7

20,7

1,4669

1,3324

1,5527

1,3160

5,8676

5,3296

4,6581

3,9480

Jumlah 14 1,16 -- -- 19,8033

 

Varians gabungan dari empat sampel itu adalah

Sehingga log s2 = log 26,6 = 1,4249.

Dan B = (1,4249)(14) = 19,8033 = 0,063.

            Jika α = 0,05, dari daftar distribusi chi kuadrat dengan dk = 3 didapat = 7,81.

Ternyata bahwa x2 = 0,068 < 7,81 sehingga hipotesis

diterima dalam taraf nyata 0,05.

            Jika harga x2 yang dihitung dengan Rumus XII(15) ada di atas harga x2 dari daftar dan

cukup dekat kepada harga tersebut, biasanya dilakukan koreksi terhadap Rumus XII(15) dengan

menggunakan faktor koreksi K sebagai berikut:

 

XII(16) .........

Dengan faktor koreksi ini, statistik x2 yang dipakai sekarang ialah:

XII(17) ...........

Dengan x2 di ruas kanan dihitung dengan Rumus XII(15). Dalam hal ini, hipotesis H0

ditolak jika

Catatan : Untuk contoh soal di muka, faktor koreksi K tidak diperlukan.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Contoh Soal dan Penyelesaiannya.

1.Lihat data dalam Daftar V ( 1 ), Bab V. Misalkan bahwa upah tiap jam mempunyai simpangan

baku populasi Rp 15,00. jika data tersebut merupakan sampel acak yang diambil dari populasi itu

untuk meneliti pertanyaan bahwa rata-rata upah Rp 80,00 setiap jam, bagaimana hasil penelitian

dengan menggunakan taraf nyata 0,05?

Penyelesaaian :

Diketahui         :                     =          15

                                                n          =          65

                                                0                 =          80

                                                α          =          0,05  =  5 %

 = 80

                                    Ha   :   μ    ≠   μo

                                                μ   >   μo

                                                         μ   <   μo

Ditanya            :           Z   . . . .

Dijawab           :

Upah ( Rupiah ) Fi Xi Fi . Xi

50,00 – 59,99

60,00 – 69,99

8

10

54,995

64,995

439,96

649,95

70,00 – 79,99

80,00 – 89,99

90,00 – 99,99

100,00 – 109,99

110,00 – 119,99

16

14

10

5

2

74,995

84,995

94,995

104,995

114,995

1.119,92

1,189,93

949,95

524,975

229,99

Jumlah 65 594,965 5.184,675

                     =          ∑ fi  .   xi

                                         fi

                        =          5. 184,675                   =          79,764

                                           65

            Z          =                    

                        =          79,764 – 80

                                      15 /

                        =          -0,236                          =          -0,127

                                    15 /

             =  80

            Terima Z ½ ( 1 – α )    =    Z 0,475    =    1,96

                

2. Di suatu daerah, 158 dari 496 para wajib pajak ternyata lalai untuk melunasi pajaknya. Di

daerah lain, kelalaian ini terdapat sebanyak 147 dari 509. selidikilah, apakah derajat

kelalaian pelunasan pajak di kedua daerah tersebut berbeda secara nyata ataukah tidak?

            Penyelesaian :

            Ho        :           πA        =          πB

H1        :           πA                 ≠          πB

 

P          =          158   +   147       =          0,303

                        496  +  509

q          =          1   -   p

            =          1   -   0,303

            =          0,697

 

Z          =          ( x1 / n1 )   -   ( x 2 / n2 )

                        {( 1/n1)  +  ( 1/n2 )}

            =          ( 158/496 )   -   ( 147/509 )

                        { 1/496 + 1/509 }

            =          ( 0,318 )   -   ( 0,289 )

                       

            =          1,036

 

Dengan peluang 0,479 = 1,96 terima Ho jika -1,96 < Z < 1,96 dan tolak Ho dalam hal lainnya.

Jelas bahwa Z = 1,036 ada dalam daerah penerimaan Ho. Kesimpulan dalam taraf 5 % tidak

terdapat perbedaan yang nyata antara kedua daerah itu.

    3.Seorang ahli mengemukakan kepada manajer bahwa dengan mengadakan

perubahanprubahantertentu dalam proses produksi akan meningkatkan efisiensi, karena rata-rata

persentase kerusakan produksi tiap mesin akan berkurang. Peubahan-perubahan akan

memerlukan biaya sehingga percobaan perlu diadakan terlebih dahulu sebelum dilakukan secara

menyeluruh dalam proses. Percobaan terhadap 6 unit proses menghasilkan kerusakan produksi,

dalam persen sebagai berikut :

            8,2  -  7,9  -  8,0  -  8,4  -  8,3  dan  7,8

Manajer hanya akan melakukan perubahan-perubahan apabila dalam proses baru terjadi

rata-rata kerusakan paling banyak 8 %. Atas dasar hal di atas, tentukanlah keputusan apa

yang dapat diambil oleh manajer disertai besar resiko yang diperkirakan?

            Penyelesian :

                     =          0,486   =          0,081

                                        6

            μo         =          0,08

            α          =          0,05

 

            S2         =          ∑ ( x i  -     ) 2

                                        n - 1

                        =          2,8 . 10 -5           =          5,6 . 10-6

                                         5

            S          =          2,37 . 10-3

 

            t           =            -   μ o

                                                                        S /

                        =          0,081   -   0,08                 =          1,033

                                    2,37 .10-3 /

            T0,025 ; 5             =          2,57