UJI NORMALITAS DAN HOMOGENITAS

OLEH KELOMPOK 4

DENTI OKTAVIANI (06081181419065)ENDAH RIZKIANI (06081181419026)PUTRI HANDAYANI (06081181419018)

UJI NORMALITAS

1. Chi-SquareChi-Square atau untuk Uji Goodness of fit Distribusi Normal menggunakan pendekatan penjumlahan penyimpangan data observasi tiap kelas dengan nilai yang diharapkan

𝑋 2=∑ (𝑂𝑖−𝐸𝑖 )𝐸 𝑖

Persyaratan Metode Chi-Square (Uji Goodness of fit Distribusi Normal) :

a) Data tersusun berkelompok atau dikelompokkan dalam table distribusi frekuensi.

b) Cocok untuk data dengan banyaknya angka besar ( n > 30 )c) Setiap sel harus terisi, yang kurang dari 5 digabungkan.

KriteriaJika nilai hitung < nilai tabel, maka Ho diterima ; Ha ditolak.Jika nilai hitung > nilai tabel, maka maka Ho ditolak ; Ha diterima.

Interval prestasi

Frekuensi

45-5455-6465-7475-8485-94

141672

Jumlah 30

Contoh :Selidikilah apakah data tersebut di atas berdistribusi normal ? (Mean =71,2; Standar deviasi = 8,74)

Batas Interval Kelas Bawah

44,5-54,5 -3.05 - -1.91 0.4989 – 0.4719 1 0.81

54,5-64,5 -1.91 - -0.77 0.4719 – 0.2794 4 5.8

64,5-74,5 -0.77 – 0.38 0.2794 – 0.1480 16 3.9

74,5-84,5 0.38 – 1.52 0.1480 – 0.4357 7 -8.684,5-94,5 1.52 – 2.67 0.4357 – 0.4962 2 -1.82

Jumlah

Penyelesaian :1) Hipotesis :

Ho : Populasi tinggi badan mahasiswa berdistribusi normalH1 : Populasi tinggi badanmahasiswa tidak berdistribusi normal

2) Nilai Nilai = level signifikansi = 5% = 0,05

3) Derajat BebasDf = ( k =panjang kelas) – 3 ) = ( 10 – 3 ) = 7

4) Nilai Tabel Xtabel2=X1-∝,dk2=X(0.95,4)=9,49

5) Daerah Penolakan• Menggunakan Gambar

• Menggunakan Rumus

|1.83| < |9.49| ; berarti Ho diterima, Ha ditolak.

2. Lilliefors Metode Lilliefors menggunakan data dasar yang belum diolah dalam tabel

distribusi frekuensi. Data ditransformasikan dalam nilai Z untuk dapat dihitung luasan kurva normal sebagai probabilitas komulatif normal.

𝑍 𝑖=𝑋 𝑖− 𝑋𝑠

Hipotesis dari uji Liliefors:Ho : Sampel berdistribusi normalHi : Sampel tidak berdistribusi normal Kriteria:Jika Lhitung, < L tabel maka terima Ho dan tolak HiJika Lhitung, > L tabel maka tolak Ho dan terima Hi

Contoh :Berikut ini adalah data nilai hasil belajar statistik siswa SMA Cendikia, yang terdiri dari 30 siswa:

No absen nilai siswa1 452 623 634 645 646 657 658 679 67

10 6711 6712 6813 6814 6815 69

No absen nilai siswa16 6917 7118 7219 7320 7421 7422 7523 7524 7625 7626 7827 7828 8129 8530 87

Apakah nilai mata pelajaran tersebut berdistribusi normal?

Penyelesaian : Rata – rata

Standar Deviasi 

Kesimpulan :Dari kolom terakhir dalam tabel di atas didapat L0 = 0,0188 dengan n =

30 dan taraf nyata α = 0,05. Dari tabel Nilai Kritis L untuk Uji Liliefors di dapat L = 0,161 yang lebih besar dari L0 = 0,0188 sehingga hipotesis H0 diterima.Jadi data tersebut normal.

3. Kolmogorov SmirnovMetode Kolmogorov-Smirnov tidak jauh beda dengan metode Lilliefors.

Langkah-langkah penyelesaian dan penggunaan rumus sama, namun pada signifikansi yang berbeda. Signifikansi metode Kolmogorov-Smirnov menggunakan tabel pembanding Kolmogorov-Smirnov, sedangkan metode Lilliefors menggunakan tabel pembanding metode Lilliefors.

No Xi Fs1          2          3          4          dst          

Persyaratan:a. Data berskala interval atau ratio (kuantitatif)b. Data tunggal / belum dikelompokkan pada tabel distribusi frekuensic. Dapat untuk n besar maupun n kecil. Kriteria

Signifikansi uji, nilai | – Fs| terbesar dibandingkan dengan nilai tabel Kolmogorov Smirnov.

Jika nilai | – Fs| terbesar < nilai tabel Kolmogorov Smirnov, maka Ho diterima ; Ha ditolak.

Jika nilai | – Fs| terbesar > nilai tabel Kolmogorov Smirnov, maka Ho ditolak ; Ha diterima.

Contoh :

Suatu penelitian tentang berat badan mahasiswa yang mengikuti pelatihan kebugaran fisik/jasmani dengan sampel sebanyak 27 orang diambil secara random, didapatkan data sebagai berikut ; 78, 78, 95, 90, 78, 80, 82, 77, 72, 84, 68, 67, 87, 78, 77, 88, 97, 89, 97, 98, 70, 72, 70, 69, 67, 90, 97 kg. Selidikilah dengan α = 5%, apakah data tersebut di atas diambil dari populasi yang berdistribusi normal ?

Penyelesaian: 1) Hipotesis

Ho : Populasi berat badan mahasiswa berdistribusi normalH1 : Populasi berat badan mahasiswa tidak berdistribusi normal

2) Nilai αNilai α = level signifikansi = 5% = 0,05

No Fs

1 67 -1,3902 0,0823 0,0741 0,00822 67 -1,39023 68 -1,2929 0,0985 0,1111 0,01264 69 -1,1957 0,1151 0,1481 0,0330

5 70 -1,09850,1357 0,2222 0,08656 70 -1,0985

7 72 -0,9040,1841 0,2963 0,11228 72 -0,904

9 77 -0,41780,3372 0,3704 0,033210 77 -0,4178

11 78 -0,3205

0,3745 0,5185 0,144012 78 -0,320513 78 -0,320514 78 -0,320515 80 -0,1261 0,4483 0,5556 0,1073

16 82 0,06843 0,5279 0,5926 0,064717 84 0,26291 0,6025 0,6025 0,027118 87 0,55463 0,7088 0,7088 0,042119 88 0,65188 0,7422 0,7422 0,038520 89 0,74912 0,7734 0,7734 0,032721 90 0,84636 0,8023 0,8148 0,012522 90 0,8463623 95 1,33256 0,9082 0,5190 0,389224 97 1,52704

0,9370 0,9630 0,026025 97 1,5270426 97 1,5270427 98 1,62429 0,7474 1,0000 0,2526

Nilai FT-Fs tertinggi sebagai angka penguji normalitas, yaitu 0,1440

3) Derajat BebasDf tidak diperlukan.  

4) Nilai Tabel Nilai Kuantil Penguji Kolmogorov, α= 0,05 ; N = 27 ; yaitu 0,254. Tabel Kolmogorov Smirnov pada lampiran.

5) Daerah PenolakanMenggunakan rumus| 0,1440 | < | 0,2540| ; berarti Ho diterima, Ha ditolak

6) Kesimpulan Populasi tinggi badan mahasiswa berdistribusi normal α = 0,05.

4. Shapiro WilkMetode Shapiro Wilk menggunakan data dasar yang belum diolah dalam

tabel distribusi frekuensi. Data diurut, kemudian dibagi dalam dua kelompok untuk dikonversi dalamShapiro Wilk. Dapat juga dilanjutkan transformasi dalam nilai Z untuk dapat dihitung luasan kurva normal.

D = Berdasarkan rumus di bawah ai = Koefisien test Shapiro Wilk X n-i+1 = Angka ke n – i + 1 pada data X i = Angka ke i pada data

 Xi = Angka ke i pada data yang ke-i  

X = Rata-rata data

G = Identik dengan nilai Zdistribusi normal T3 = Berdasarkan rumus diatas  = Konversi StatistikShapiro-Wilk Pendekatan Distribusi Normal (lampiran

Persyaratan• Data berskala interval atau ratio (kuantitatif)• Data tunggal / belum dikelompokkan pada tabel distribusi frekuensi• Data dari sampel random SignifikansiSignifikansi dibandingkan dengan tabel Shapiro Wilk. Signifikansi uji nilai T3 dibandingkan dengan nilai tabel ShapiroWilk, untuk dilihat posisi nilai probabilitasnya (p).

o Jika nilai p < 5%, maka Ho ditolak ; Ha diterimao Jika nilai p > 5%, maka Ho diterima ; Ha ditolak.

Tabel Harga Quantil Statistik Shapiro-Wilk Distribusi Normal. Jika digunakan rumus G, maka digunakan tabel 2 distribusi normal.

1) HipotesisHo : Populasi usia balita berdistribusi normalH1 : Populasi usia balita tidak berdistribusi normal

2) Nilai αNilai α = level signifikansi = 5% = 0,05

3) Rumus Statistik PengujiLangkah pertama dihitung nilai D, yaitu :

No 1 18 -18.7083 350.00052 19 -17.7083 313.58393 23 -13.7083 187.91754 24 -12.7083 161.50095 26 -10.7083 114.66776 27 -9.7083 94.251097 30 -6.7083 45.001298 32 -4.7083 22.16809

6 27 -9.7083 94.251097 30 -6.7083 45.001298 32 -4.7083 22.168099 33 -3.7083 13.7514910 33 -3.7083 13.7514911 34 -2.7083 7.33488912 35 -1.7083 2.91828913 36 -0.7083 0.50168914 36 -0.7083 0.50168915 36 -0.7083 0.50168916 37 0.2917 0.05808917 40 3.2917 10.8325918 41 4.2917 18.4186919 46 9.2917 86.3356920 48 11.2917 127.502521 55 18.2917 334.586322 56 19.2917 372.169723 58 21.2917 453.336524 58 21.2917 453.3365

Jumlah 3184.958

i1 0.4493 58 - 18 = 40 17.9722 0.3089 58 - 19 = 39 12.08223 0.2554 56 - 23 = 33 8.42824 0.2145 55 - 24 = 31 6.64955 0.1807 48 - 26 = 22 3.97546 0.1512 46 - 27 = 19 2.87287 0.1245 41 - 30 = 11 1.36958 0.0997 40 - 32 = 8 0.79769 0.0764 37 - 33 = 4 0.3056

10 0.0539 36 - 33 = 3 0.161711 0.0321 36 - 34 = 2 0.064212 0.0107 36 - 35 = 1 0.0107

Jumlah  

Langkah berikutnya hitung nilai T, yaitu:

𝑇 3=1𝐷 [∑𝑖=1

𝑘

𝑎𝑖 (𝑋𝑛− 𝑖+1−𝑋 𝑖 ) ]2

¿1

3187.958(54.6894 )2=0,9391

4) Derajat BebasDb = n

5) Nilai TabelPada lampiran dapat dilihat, nilai α (0,10) = 0,930 ; nilai α (0,50) = 0,963

6) Daerah PenolakanNilai T3 terletak diantara 0,930 dan 0,963, atau nilai p hitung terletak diantara 0,10 dan 0,50, yang diatas nilai α (0,05) berarti Ho diterima, Ha ditolak

7) Kesimpulan Sampel diambil dari populasi normal, pada α = 0,05. Cara lain setelah nilai T3 diketahui dapat menggunakan rumus G, yaitu : 𝐺=𝑏𝑛+𝑐𝑛+𝑙𝑛(𝑇3−𝑑𝑛

1−𝑇 3)

¿𝑏24+𝑐24+𝑙𝑛 (𝑇3−𝑑24

1−𝑇 3)

¿−5.605+1.862+𝑙𝑛 ( 0.9391−0.21061−0.9391 )¿−1.2617

UJI HOMOGENITAS1. Uji Homogenitas Variansi

Adapun langkah-langkah yang perlu kita lakukan dalam uji homogenitas variansi ini adalah sebagai berikut.

a) Menentukan nilai varians/standar deviasi untuk variabel X dan Y, yaitu dengan rumus:

𝑆𝑥2=√𝑛 .∑ 𝑋 2− (∑ 𝑋 )

2

¿¿ ¿ 𝑆 𝑦2=√𝑛 .∑ 𝑌 2− (∑𝑌 )

2

¿¿ ¿

dengan: n = banyak data 

b) Menentukan nilai dari varians X dan Y, yaitu dengan rumus:

𝐹=𝑆𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟

❑

𝑆𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙❑

c) Menentukan hipotesis pengujian: Ho : (varians data homogen)Ha : (varians data tidak homogen)

 d) Menentukan level signifikan ()

bernilai 0,01 atau bernilai 0,05. 

e) Membandingkan dengan pada tabel distribusi FKriteria pengujian: jika: , maka Tolak Ho jika: , maka Terima Hodimana:

No X Y X2 Y2

1 89 87 7921 75692 78 90 6084 81003 92 78 8464 60844 85 83 7225 68895 79 76 6241 57766 80 91 6400 82817 80 82 6400 67248 83 90 6889 81009 92 82 8464 6724

10 90 80 8100 6400JUMLAH 848 839 72188 70647

contoh :Berikut adalah 10 data tentang hubungan antara nilai siswa ketika

belajar dengan metode pembelajaran ceramah (X) dan nilai siswa ketika belajar dengan metode pembelajaran diskusi (Y).

Jawab:a) Menentukan nilai varians/standar deviasi untuk variabel X dan Y, yaitu dengan rumus:

b) Menentukan nilai dari varians X dan Y, yaitu dengan rumus:Dari perhitungan di atas didapat,

Dari perhitungan diatas, dan grafik daftar distribusi F dengan dk pembilang = 10 – 1 = 9. dk penyebut = 10 – 1 = 9. Dan = 0,05 dan = 3,18Tampak bahwa . Hal ini berarti data variabel X dan Y homogen.

2. Uji Bartlett Adapun langkah-langkah yang perlu kita lakukan dalam uji barlett ini adalah sebagai berikut.

a) Misalkan sampel berukuran dengan data dan dan hasil pengamatan lebih disusun seperi didalam tabel di bawah ini.

  Data Populasi ke1 2 ... K

Data hasil

pengamatan

...

... 

...

b) Selanjutnya sampel-sampel dihitung variansnya masing-masing yaitu , , ... , dengan rumus

𝑆 𝑖2=

𝑛 .∑ 𝑋 2− (∑ 𝑋 )2

𝑛 (𝑛−1 )

Sampel ke dk

12 k

c) Untuk mempermudah perhitungan, satuan-satuan yang diperlukan uji barlett lebih baik disusun dalam sebuah tabel seperti berikut:

d) Menentukan hipotesisHo :σ12=σ22=… =σk2H1 :σ12≠σ22≠… ≠σk2

e) Menentukan nilai level signifikan bernilai 0,01 atau bernilai 0,05.

f) Menghitung nilai-nilai statistik penguji, sebagai berikut: Varians gabungan dari semua sampel

𝑠2=∑ (𝑛𝑖−1¿𝑠𝑖2

∑ (𝑛−1 ) Harga satuan B

𝐵=( log 𝑠2)∑ (𝑛𝑖−1 ) Statistik chi-kuadrat

𝑋 2=(ln 10) {𝐵−∑ (𝑛−1 ) log 𝑠𝑖2 }dengan

g) Membandingkan dengan pada tabel distribusi chi-squareKriteria pengujian: jika: , maka Tolak Ho

jika: , maka Terima Hodimana jika didapatkan dari tabel distribusi chi-square dengan peluang dan  Contoh:Berikut adalah data nilai siswa ketika diajarkan dengan tiga strategi pembelajaran (ekpositori, inkuiri, dan konstektual) yang berbeda.

  Data populasi ke1 2 3

Data hasil

pengamatan

92 89 8084 82 8787 86 9079 87 8583 76 80

  Data populasi ke      1 2 3

Data hasil

pengamatan

92 89 80 8464 7921 640084 82 87 7056 6724 756987 86 90 7569 7396 810079 87 85 6241 7569 722583 76 80 6889 5776 6400

JUMLAH 425 420 422 36219 35386 35694

Jawab:

a) Variansi setiap sampel

𝑆 𝑖2=

𝑛 .∑ 𝑋 2− (∑ 𝑋 )2

𝑛 (𝑛−1 )

𝑆12=

5 (36219 )− (425 )2

5 ( 4 )=23,5

𝑆22=

5 (35386 )− ( 420 )2

5 ( 4 )=26,5

𝑆32=

5 (35694 )− (422 )2

5 (4 )=19,3

Sampel ke dk

123

JUMLAH

b) Menentukan hipotesisHo :σ12=σ22=σ32H1 :σ12≠σ22≠σ32

c) Menentukan nilai level signifikan αNilai α=5%=0,05.d) Untuk mempermudah perhitungan, satuan-satuan yang diperlukan uji barlett lebih baik disusun dalam sebuah tabel seperti berikut:

e) Menghitung nilai-nilai statistik penguji, sebagai berikut: Varians gabungan dari semua sampel

𝑠2=∑ (𝑛𝑖−1¿𝑠𝑖2

∑ (𝑛−1 )=¿¿

Sehingga

Harga satuan B

𝐵=( log 𝑠2)∑ (𝑛𝑖−1 )=(1,36 ) (12 )=16,32 Statistik chi-kuadrat

𝑋 2=( ln 10 ) {𝐵−∑ (𝑛−1 ) log 𝑠𝑖2 }=(2,3026 ) (16,32−16,28 )=0,0921

f) Membandingkan dengan pada tabel distribusi chi-squareKriteria pengujian:jika: , maka Tolak Hojika: , maka Terima Ho ; jika dari tabel distribusi chi-square dengan didapat  Tampak bahwa . Hal ini berarti data tersebut homogen.