TUTORIAL SIMULASI KOMPUTER -...

6 2017/2018

Modul Montecarlo

TUTORIAL SIMULASI KOMPUTER

Laboratorium Pemodelan dan Simulasi Industri

Universitas Islam Indonesia

UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA FM-UII-AA-FKU-01/R0

Fakultas : Teknologi Industri Pertemuan : 6

Jurusan : Teknik Industri Modul : 6

Kode Mata Kuliah : 52213702 Halaman : 39

Nama Mata Kuliah : Simulasi Komputer Tahun : 2017

Halaman 1

BAB VI

MONTECARLO

6.1 Tujuan Praktikum

1. Praktikan dapat memahami konsep dasar model simulasi Monte Carlo ;

2. Memperkenalkan aplikasi statistik dalam simulasi ;

a. Macam-macam distributisi dalam statistik

b. Pembangkitan Bilangan Random

c. Langkah-langkah pengujian hipotesis

d. Validasi model

3. Memperkenalkan mahasiswa mengenai fungsi-fungsi pada Ms. Excel

yang sering digunakan dalam proses simulasi montecarlo (khususnya

fungsifungsi statistik);

4. Melatih mahasiswa untuk mengaplikasikan fungsi-fungsi pada Ms Excel

yang sering digunakan pada penyelesaian masalah simulasi montecarlo

5. Mahasiswa dapat menggunakan fungsi-fungsi pada Ms. Excel guna

pembuatan desain eksperimen pada model simulasi monte carlo;

6.2 Sejarah Monte Carlo

Simulasi Monte Carlo dikenal juga dengan istilah Sampling Simulation atau

Monte Carlo Sampling Technique. Simulasi ini menggambarkan kemungkinan

penggunaan data sample dalam metode Monte Carlo yang juga juga sudah dapat

diketahui atau diperkirakan distribusinya. Simulasi ini menggunakan data yang

sudah ada (historical data) yang sebenarnya dipakai untuk tujuan lain. Dengan

kata lain apabila menghendaki model simulasi yang mengikut sertakan random

dan sampling dengan distribusi probabilitas yang dapat diketahui dan ditentukan,

maka cara simulasi ini dapat dipergunakan.

Ketika kita menggunakan kata simulasi , kita mengacu pada metoda

analitis manapun dengan maksud untuk meniru suatu sistem nyata, terutama






Halaman 2

ketika analisa lain ternyata merupakan suatu kasus mathematically yang

kompleks atau terlalu sukar untuk dipecahkan.

Tanpa bantuan simulasi, suatu model spreadsheet hanya akan

mengungkapkan hasil tunggal, dan biasanya yang hampir bisa dipastikan atau

rata-rata dari skenario. Spreadsheet analisis risiko menggunakan suatu simulasi

dan model spreadsheet yang secara otomatis meneliti efek dari bermacam-macam

input untuk menghasilkan output pada sistem yang telah dibuat modelnya. Salah

satu jenis simulasi spreadsheet adalah Monte Carlo simulasi, yang secara acak

menghasilkan nilai-nilai untuk variabel yang tidak-pasti secara berulang kali

untuk menirukan suatu model.

Istilah Monte Carlo dalam simulasi mulai diperkenalkan oleh Compte de

Buffon pada tahun 1977, dan pertama kali pemakaiannya dalam sistem nyata

adalah selama perang dunia II yang diperkenalkan oleh Stanislaw Ulam dan John

von Neumann pada Los Alamos Scientific Laboratory. Pada saat itu digunakan

untuk merancang pelindung nuklir, mereka membutuhkan data-data tentang jarak

yang dapat ditembus oleh neutron pada berbagai material. Masalah ini sangat

sulit dipecahkan secara analitik/ matematis. Kemudian mereka memecahkan

masalah tersebut dengan menggunakan komputer, dengan bantuan bilangan

random. Metode ini dinamakan Monte Carlo, diambil dari pusat judi terkenal di

dunia Monte Carlo, karena pada dasarnya adalah seperti permainan judi.

Simulasi Monte Carlo merupakan metode komputasi numerik yang

melibatkan pengambilan sampel eksperimen dengan bilangan random. Metode

ini cukup mudah diaplikasikan dengan komputer. Metode ini digambarkan

sebagai metode percobaan statistik, karena dalam pelaksanaannya melibatkan

unsur-unsur perhitungan statistik, seperti bentuk distribusi, probabilitas, variansi,

dan standar deviasi.

Saat melakukan eksperimen data menggunakan simulasi kita sering

menggunakan sampel dari bilangan acak (random) dimana distribusi

probabilitasnya menggambarkan generalisasi dari objek yang diamati. Simulasi






Halaman 3

yang menggunakan bilangan random yang digabungkan dengan model simulasi

probabilitas dikenal dengan nama Monte Carlo Sampling.

Kunci dari metode Monte Carlo terletak pada pembangkitan bilangan

random yang digunakan untuk mewakili ketidakpastian atau risiko yang diamati.

Sebelum hal ini dilakukan terlebih dahulu pendefinisian tingkat probabilitas yang

ada pada setiap elemen yang mengandung unsur risiko. Tingkat probabilitas

tersebut kemudian diterjemahkan dalam bilangan random yang dihasilkan dari

generator bilangan acak (random).

Dalam kesederhanaan cara, simulasi ini memberikan tiga batasan dasar

yang perlu diperhatikan, yaitu :

1. Apabila suatu persoalan sudah dapat diselesaikan atau dihitung jawabannya

secara matematis dengan tuntas maka hendaknya jangan menggunakan

simulasi ini. Itu berarti apabila persoalan dapat diselesaikan dengan

pemrograman ataupun teori dalam operation research (Quening Theory,

Integer Programin dll) simulasi ini tidak perlu digunakan lagi, kecuali

perancangan-perancangan itu memerlukan perkiraan tertentu

2. Apabila sebagian persoalan tersebut dapat diuraikan secara analitis dengan

baik, maka penyelesaiannya lebih baik dilakukan secara terpisah, yaitu

sebagian dengan cara analitis dan yang lainnya dengan simulasi Monte Carlo

untuk kemudian disusun kembali keseluruhannya sebagai penyelesaian akhir.

Ini berarti teknik sampling dari simulasi Monte Carlo ini hanya dilakukan

apabila betul-betul dibutuhkan

3. Apabila mungkin maka dapat digunakan simulasi perbandingan. Kadangkala

simulasi ini dibutuhkan apabila dua sistem dengan perbedaan-perbedaan pada

parameter, distribusi, cara-cara pelaksanaannya.

Teknik Simulasi Monte Carlo :

Tentukan distribusi probabilitas untuk variabel yang penting

Membangun distribusi kumulatif untuk masing-masing variabel






Halaman 4

Menentukan interval bilangan random umtuk setiap variabel

Bangkitkan bilangan random

Simulasikan

Bidang aplikasi monte carlo

- Antrian

- Forecasting

- Pengelolahan inventory

- Perkiraan studi kelayakan proyek

- Perencanaan kebijakan pemasaran

- Pengelolahan produksi

6.3 Pendahuluan

Simulasi berusaha merepresentasikan sistem nyata yang ada dengan presisi yang

lebih “pas” dibandingkan jenis model lain. Dengan demikian sudah barang tentu

bahwa model simulasi yang baik adalah model simulasi yang tidak hanya

berorientasi pada output/hasil dari sebuah sistem, melainkan bagaimana model

tersebut dapat menjelaskan karakteristik dan perubahan sistem dari waktu ke

waktu.

Untuk dapat menggambarkan bagaimana mekanisme perubahan sistem,

tentu diperlukan sebuah metode pendekatan khusus yang dianggap dapat

dijadikan dasar untuk mengidentikkan perubahan sistem tersebut. Dalam simulasi

khususnya Simulasi Sistem Kejadian Diskrit yang yang dikenal juga dengan

sebutan “Discrete-Event System Simulation” (DESS), sebagian besar perubahan






Halaman 5

yang terjadi pada sistem didekati dengan konsep probabilitas dari setiap

kemungkinan perubahan variabel sistem yang ada. Kita akan dituntut dapat

menentukan sebuah fungsi yang menunjukkan bagaimana sistem itu beraktifitas.

Simulasi Monte Carlo sering digunakan untuk melakukan analisa

keputusan pada situasi yang melibatkan risiko yang melibatkan beberapa

parameter untuk dilakukan pertimbangan secara simultan. Metode ini dapat

digunakan secara luas karena didasarkan pada proses simulasi dengan pilihan

kemungkinan secara random. Dengan demikian jumlah iterasi yang dilakukan

sangat menentukan tingkat ketelitian atas jawaban yang diperoleh. Metoda ini

seringkali juga disebut dengan metoda percobaan statistik (method of stastical

trials).

Metoda ini mengasumsikan pola kejadian variabel perhitungannya pada

dua model distribusi yaitu distribusi normal dan distribusi uniform. Asumsi ini

dapat melemahkan suatu kasus yang mempunyai pola distribusi di luar kedua

asumsi tersebut di atas. Namun dengan sedikit melakukan usaha manipulasi

statistik dengan melakukan transformasi data mentah pada variabel yang

bersangkutan untuk diubah untuk memenuhi dua asumsi distribusi tersebut dapat

dilakukan dengan sederhana. Dengan demikian bagi pengambil keputusan hal

yang harus diperhatikan terlebih dahulu sebelum menggunakan metoda ini adalah

melakukan uji distribusi atas variabel perhitungan yang akan digunakan sampai

memenuhi asumsi distribusi yang dipersyaratkan baru kemudian melakukan

perhitungan berdasarkan prosedur yang ada. Metoda ini didasarkan pada

perhitungan sederhana dan dapat diadaptasi dengan komputer. Keuntungan atas

fasilitas uji coba (pengulangan) yang sangat cepat pada komputer sangat

membantu dalam aplikasi metoda Monte Carlo ini.

Di dalam operasionalnya Monte Carlo melibatkan pemilihan secara acak

terhadap keluaran masing-masing secara berulang sehingga diperoleh solusi

dengan nilai pendekatan tertentu. Oleh Canada dan White (1980) dinyatakan

bahwa dengan semakin banyaknya jumlah ulangan percobaan yang dilakukan






Halaman 6

maka tingkat kesalahan atas atas hasil yang diperoleh akan semakin kecil.

Dengan demikian tingkat ketelitian atas jawaban bagi seorang pengambil

keputusan dapat ditentukan sendiri atas kisaran kesalahan yang terjadi dikaitkan

dengan jumlah ulangan berdasarkan data yang ada.

Perubahan itu sendiri-karena keacakannya sering sulit untuk dapat

dimodelkan dengan tepat. Untuk itu, maka alternatif terbaik adalah bagaimana

kita memperhatikan keacakan yang terjadi dalam pembuatan model simulasi

hingga dapat dibentuk sebuah model yang bisa menjadi representasi sistem nyata

yang diamati.

Sebuah keacakan, biasanya dicapai dengan membuat sifat dan waktu

(dalam sistem yang diamati) sebagai sebuah variabel random dengan distribusi

yang sesuai. Jadi kita mempunyai suatu fungsi distribusi variabel random f(x)

tertentu dan ingin (untuk menyediakan masukan masukan pada model simulasi)

menghasilkan variabel angka random X1, X2,…. Bebas yang mempunyai fungsi

distribusi seperti fungsi yang ada pada sistem nyata

Metode atau langkah pembuatan model simulasi Monte Carlo terbagi

dalam beberapa langkah, yaitu :

1. Formulasi masalah, dalam tahap ini ditentukan masalah apa yang akan

dibahas dan ditentukan batasan-batasan masalah.

2. Pembuatan model simulasi monte carlo, dalam tahap ini kita membuat

model dan menentukan parameter-parameter model, variabel, hubungan

antar bagian model

3. Pembuatan distribusi untuk Variabel, dalam tahap ini kita menetapkan

distribusi probabilitas untuk variabel – variabel utama. Dalam tahap ini

juga menggunakan teori probabilitas.

Ide dasar simulasi monte carlo adalah membangkitkan nilai-nilai untuk

variabel penyusun yang sedang dianalisa. Banyak sekali variabel pada

kondisi sistem nyata yang bersifat probabilistik secara alami.






Halaman 7

Beberapa dari variabel itu antara lain :

a. Permintaan persediaan harian atau mingguan

b. Waktu penyelesaian aktivitas proyek

c. Tingkat pendapatan penjualan perminggu

d. Kedatangan pengangkutan untuk pengiriman produk perbulan

e. Lead time untuk pesanan persediaan tiba

f. waktu antar kerusakan mesin, dll.

Satu cara yang sering digunakan dalam menetapkan distribusi

probabilistik dari variabel yang ada ada adalah menganalisis data – data

historis. Probabilitas atau frekuensi relatif untuk setiap hasil yang

mungkin dari sebuah variabel didapat dengan membagi frekuensi

observasi dengan jumlah observasinya. Distribusi dapat secara empiris

berdasarkan yang sudah umum digunakan, seperti distribusi normal,

poisson atau eksponensial.

4. Ubah distribusi probabilitas menjadi probabilitas kumulatif. Setelah

menentukan distribusi probabilitas selanjutnya adalah mengubahnya

menjadi distribusi probabilitas kumulatif. Hal ini untuk menentukan

bahwa hanya satu variabel akan diasosiasikan dengan satu bilangan acak.

5. Simulasikan model. Lakukan simulasi dan analisa untuk sejumlah besar

pengamatan. Jumlah replikasi yang sesuai dengan cara yang sama dengan

jumlah yang tepat dari suatu sampel dalam eksperimen aktual. Uji

karakteristik yang umum mengenai signifikansi dapat digunakan. Dengan

simulasi komputer, jumlah model yang dilakuakan sangat besar, dan

ekonomis untuk menjalankan sampel besar dengan tingkat kesalahan

yang sangat kecil. Dalam mensimulasikan model terlebih dahulu

ditentukan :

a. Aplikasi aturan keputusan

b. Pembangkitan bilangan – bilangan acak.

Setelah kita menentukan distribusi kumulatif untuk setiap variabel

yang terlibat dalam simulasi, selanjutnya adalah menentukan






Halaman 8

bilangan – bilangan tertentu untuk mempresentasikan setiap nilai

atau hasil mungkin. Ini sebagai acuan interval bilangan acak.

Bilangan acak (random) dibangkitkan untuk masalah – masalah

simulasi dengan berbagai cara. Jika masalah tersebut sangat

komplek dan proses yang diamati melibatkan ribuan percobaan

simulasi, maka suatu program komputer dapat digunakan. Jika

simulasi dilakukan secara manual, pemilihan bilangan acak dapat

dilakukan seperti halnya putaran roda rolet, atau metode lainnya.

Yang jelas karakteristiknya adalah setiap digit atau angka

memiliki kesempatan yang sama untuk muncul.

6. Evaluasi strategi model. Pada tahap ini kita melakukan evaluasi terhadap

model apakah sudah menyerupai sistem nyata.

7. Periksa apakah diperlukan adanya perbaikan model ?. Pada tahap ini

apabila ternyata diperlukan adanya perbaikan model dikarenakan sesuatu

hal, tidak sesuai dengan sistem nyata maka akan dilakukan perbaikan

(pengulangan) formulasi masalah. Sedangkan apabila ternyata tidak

diperlukan perbaikan model maka langkah selanjutnya penentuan

keputusan.

8. Keputusan. Keputusan diambil apabila model sudah sesuai dengan sistem

nyata.

9. Selesai. Pembuatan model simulasi Montecarlo selesai.






Halaman 9

Gambar 1. Diagram Langkah-langkah penyelesaian model simulasi Monte Carlo






Halaman 10

6.4 VARIABEL RANDOM

6.4.1 Preview

Jika kita mengamati sebuah sistem nyata yang ada di sekitar kita, bagaimana

setiap entitas, atribut, dan elemen lain dari sistem itu berubah dari waktu

kewaktu., maka kita akan sampai pada sebuah kesimpulan bahwa keadaan selau

berubah, dinamis. Dinamisasi sebuah sistem sering tak dapat diduga karena

keacakan dalam setiap kemungkinan perubahan yang ada. Sebagai sebuah

contoh, ketika kita mengamati sebuah supermarket, kita tidak dapat mengetahui

kapan secara pasti sebuah produk yang dijual akan habis, kapan kasir akan

kebanjiran pembeli yang hendak membayar, atau kapan petugas kasir akan

mempunyai waktu yang cukup “selo” untuk berbincang-bincang dengan

rekannya karena tidak ada pembeli yang membayar karena sepi, atau kapan

supermarket tersebut akan penuh sesak hingga kita merasa “sumuk” karena

penuhnya pengunjung serta kapan supermarket akan terlihat hanya sebagai

tempat “kongko-kongko” para penjaga/karyawannya, karena hampir tidak ada

pengunjung ?. Semua hal tersebut mungking sekali terjadi pada sebuah sistem

supermarket. Namun kita tidak bisa memperkirakan dengan pasti karena

keacakan kemungkinan tersebut. Dilain pihak, lalu bagaimana jika kita ingin

membuat model simulasi sistem supermarket tersebut, dimana harus dapat

menjelaskan perubahan yang terjadi, sedang perubahan itu sendiri-karena

keacakannya sering sulit untuk dapat dimodelkan dengan tepat. Untuk itu, maka

alternatif terbaik adalah bagaimana kita memperhatikan keacakan yang terjadi

dalam pembuatan model simulasi hingga dapat dibentuk sebuah model yang bisa

menjadi representasi sistem nyata yang diamati.

Sebuah keacakan, biasanya dicapai dengan membuat sifat dan waktu

(dalam sistem yang diamati) sebagai sebuah variabel random dengan distribusi

yang sesuai. Jadi kita mempunyai suatu fungsi distribusi variabel random f(x)

tertentu dan ingin (untuk menyediakan masukan masukan pada model simulasi)

menghasilkan variabel angka random X1, X2,…. Bebas yang mempunyai fungsi

distribusi seperti fungsi yang ada pada sistem nyata.






Halaman 11

Pada Hakekatnya semua metode untuk menghasilkan suatu barisan

variabel angka random X1, X2,…. Yang bebas dengan distribusi f(x) menyangkut

penggunaan deret variabel random yang bebas dam berdistribusi seragam pada

(0,1). Hal tersebut memiliki fungsi densitas probabilitas :

1

Gambar 2.1. PDF untuk Bilangan Random

Persoalan memilih nilai yang baik, untuk tetapan pembangkit bilangan

Random (disebut juga “Pseudo-Random”) merupakan persoalan yang rumit.

Agar dapat dikatakan acak, deret bilangan yang dihasilkan oleh pembangkit

bilangan random harus memenuhi beberapa uji (test) untuk menjamin bahwa

bilangan – bilangan tersebut terdistribusi secara serba-sama, dan tak ada korelasi

signifikan antar digit bilangan-bilangan itu atau antar bilangan-bilangan yang

berurutan.

Memperhatikan hal tersebut, maka unsur variabel random ini menjadi

salah satu elemen pokok dalam hampir setiap model Simulasi terutama simulasi

F(x)

0 1 x






Halaman 12

kejadian diskrit. Mengenai bagaimana cara membangkitkan variabel random, kita

gunakan bantuan software untuk melakukannya dengan asumsi bahwa software

tersebut memiliki metoda pembangkitan variabel Random yang andal.Dalam

Statistik

Variabel Random dibedakan menjadi 2 bagian, yaitu :

1. Variabel Random Diskrit

Adalah suatu variabel random yang mengandung jumlah tertentu

(Countable). Sebagai contoh :

a. Jumlah manager dalam suatu perusahaan (bisa 0,1,2,3, dan

seterusnya).

b. Jumlah kesalahan yang dibuat oleh seorang operator (bisa 0,1,2,3,

dan seterusnya)

c. Jumlah konsumen yang antri pada sebuah restoran (bisa 0,1,2,3,

dan seterusnya).

Terlihat disini bahwa ciri khas dari variabel random diskrit adalah

jumlahnya yang bulat, dan tidak bisa diubah menjadi pecahan atau

desimal.

2. Variabel Random Kontinyu

Adalah suatu variabel random yang mengandung suatu nilai dalam sutu

interval tertentu. Sebagai contoh :

a. Jumlah waktu yang diperlukan untuk mengerjakan sutu tugas

tertentu (bisa 1 menit, 2.4 menit, 1,5 jam, dan seterusnya)

b. Berat jeruk yang dijual di suatu supermarket (bisa 200 gr, 1,25

Kg,

250,5 gr, dan seterusnya)

c. Tinggi badan calon asisten SIMBI (bisa 160,5 cm , 172,4 cm, dan

seterusnya)






Halaman 13

Terlihat bahwa angka untuk variabel random kontinyu dalam bentuk

rasional, bisa bulat, desimal, maupun pecahan.

6.4.2 Metode Pembangkitan Bilangan random (Random Generate)

Simulasi suatu sistem yang mengandung bilangan random atau stokhastik

memerlukan metode pembangkitan bilangan random. Cara yang paling awal

adalah dengan melempar dadu. Karena perkembangan dan kompleksitas sistem

maka metode-metode baru berkaitan dengan pembangkitan bilangan random

bermunculan. Dua metode pembangkitan bilangan random yang akan dibahas

pada modul ini yaitu : Mid Square dan Linear Congruential serta transformasi

inversi.

6.4.2.1 Metode Mid Square

Metode ini pada intinya adalah mengambil nilai kuadrat tengah dari bilangan

inisial/awal. Bilangan awal sendiri ditentukan secara bebas oleh pemodel.

Contoh : Kita ambil angka 76 sebagai bilangan awal dan kita ambil dua digit

untuk seterusnya. Diinginkan bilangan random dengan distribusi uniform[0,1],

penyelesaiannya :

Bilangan inisial r0 = 76 r02 = 5776

r1 = 77 r02 = 5929

r2 = 92 dst.

Didapat bilangan random : 0.77, 0.92 ..... dst.

6.4.2.2 Metode Linear Congruential

Metode Linear Congruental ini pertama kali dikenalkan oleh Lehmer (1951).

Rumus untuk membangkitkan bilangan random dengan metode ini adalah :

Xi+1 = (aXi +c)modm, i = 0,1,2,...

X0 : disebut dengan nilai inisial/seed a :

disebut konstanta pengali

c : adalah inkremen






Halaman 14

m : adalah modulus

Jika c ≠ 0 diartikan sebagai mixed congruential method. Jika c = 0, dinamakan

multiplicative congruental method. Pemilihan nilai a, c, m, dan X0

mempengaruhi kelengkapan nilai statistical dan nilai cycle lenght.

Syarat-syarat pembangkitan bilangan random dengan metode LCM :

a. Konstanta a harus lebih besar dari √𝑚

Dan biasanya dinyatakan dengan syarat :

m

𝑚

100 < 𝑎 < 𝑚 − √𝑚

𝑚

100 + 𝑚 > 𝑎 > √𝑚

b. Untuk konstanta c harus berangka ganjil apabila m bernilai pangkat dua.

Tidak boleh berkelipatan dari m

c. Untuk modulus m harus bilangan prime atau bilangan tidak terbagikan,

sehingga memperlancar dan memudahkan perbitungan-perhitungan di

dalam komputer dapat berjalan dengan mudah dan lancar.

d. Untuk pertama Xo harus merupakan angka integer dan juga ganjil dan

cukup besar.

Contoh :

Bangkitkan bilangan random dengan menggunakan metode linear Congruental

jika diketahui;

X0 = 27 ; a = 17, c = 43; dan m = 100

Penyelesaian :

Nilai integer bilangan random yang dibangkitkan berada antara 0 sampai dengan

99 dikarenakan nilai modulusnya 100.

Bilangan random dapat dibangkitkan dengan cara :






Halaman 15

Xi+1 = (aXi +c)modm, i = 0,1,2,...,

𝑅𝑖 = 𝑋𝑖

𝑚 i = 1, 2,...

X0 = 27

X1 = (17 * 27 + 43) mod 100 = 502 mod 100 = 2

R1 = = 0.02

X2 = (17 * 2 + 43) mod 100 = 77 mod 100 = 77

R2 = = 0.77

X3 = (17 * 77 + 43) mod 100 = 1352 mod 100 = 52

R2 = = 0.52

Dst....

6.4.2.3. Metode Transformasi Inversi

6.4.2.3.1 Distribusi eksponensial

Misal untuk setiap i maka didapat waktu rat-rata tiap kejadian adalah :

Probability density function (pdf) dirumuskan :

Diketahui parameter λ adalah rata-rata jumlah kejadian tiap satuan waktu.

Sebagai contoh, waktu antar kedatangan adalah X1, X2, X3, ...berdistribusi

eksponensial dengan rata-rata λ, kemudian λ bisa di-interpretasikan sebagai

jumlah kedatangan persatuan waktu atau rata-rata kedatangan.

Untuk setiap i berlaku :

E(X i ) = 1

𝜆






Halaman 16

Sehingga 1/ λ diartikan sebagai waktu antar kedatangan.

Langkah-langkah pembangkitan bilangan random yang berdistribusi eksponensial

adalah ;

1. Tentukan variabel random X untuk distribusi ekponensial F (x) = 1 - 𝑒−𝜆𝑥

, x ≥ 0

2. Set F(X) = R dalam range dari X

Untuk distribusi eksponential 1- 𝑒−𝜆𝑥 = R berada dalam range x 0 X

adalah variabel random (dalam hal ini berdistribusi eksponential), berart

bahwa 1- 𝑒−𝜆𝑥 juga variabel random, yang disebut R.

3. Cari penyelesaian F(X) =R

1- 𝑒−𝜆𝑥 = R

𝑒−𝜆𝑥 = 1 – R

- λX = ln (1-R)

X = −1

𝜆 ln (1 − 𝑅𝑖) ; dinamakan random variate

generator yang berdistribusi eksponential.

4. Pembangkitan bilangan Random berdistribusi eksponential R1, R2, R3,...

adalah ;

F-1(R) = −1

𝜆 ln (1 − 𝑅)

Xi = −1

𝜆 ln (1 − 𝑅𝑖)

6.4.2.3.2 Distribusi uniform

Diketahui interval variabel random X adalah [a,b] dengan a adalah nilai

minimum dan b adalah nilai maksimum. Adapun umus untuk membangkitkan

nilai X dengan distribusi uniform adalah :

X = a + (b - a) R






Halaman 17

Dengan Ri adalah bilangan random ke-i

Rumus ini didapat dari :

Mengingat bahwa R adalah bilangan random diantara (0,1), maka probability

density function (pdf) adalah :

jika persamaan diatas diturunkan menjadi

langkah 1 :

Langkah 2 : Set F(X) = (X-a) / (b-a) = R

Langkah 3 : Selesaikan persamaan untuk X dan R yaitu, X = a + (b-a)R

6.4.2.3.3 Distribusi Normal

Rumus yang digunakan untuk membangkitkan nilai X dengan distribusi normal

adalah :

X = Z𝜎 + 𝜇

Dengan Z = bilangan random normal

𝜎 = standar deviasi

𝜇 = rataan

adapun untuk sampel maka E(𝜎) = S dan E(𝜇) = �̅�

6.4.2.3.4 Distribusi Poisson

Diketahui variabel random poisson adalah N dengan rataan α






Halaman 18

Langkah langkah yang digunakan :

1. Set n = 0, P = 1

2. Bangkitkan bilangan random Rn 1 dan ganti P dengan P. Rn+1

3. Jika P < 𝑒−𝛼 maka terima N = n. Jika sebaliknya tolak n dan tambah n

dengan 1 kemudian kembali ke langkah 2

Untuk α ≥ 5 maka digunakan rumus yang mendekati normal, Nilai Z dicari pada

tabel random normal.

kemudian bagnkitkan nilai N sebagai variabel poisson dengan rumus :

N = α + √𝛼𝑍 – 0.5

Catatan : hasilnya dibulatkan jika α + √𝛼𝑍 – 0.5 < 0 maka N di set = 0

N = variabel poisson dengan n unit kejadian tiap satuan waktu

6.5 Pengujian Bilangan Random

Dua syarat utama bilangan random adalah uniform dan independen. Untuk

memastikan bahwa suatu bilangan random memenuhi dua hal tersebut maka

perlu pengujian, yaitu uji uniform dan uji independen.

6.5.1 Uji uniform

Uji ini menggunakan Kolmogorov Smirnov atau Chi-Square untuk

membandingkan suatu set bilangan random dengan distribusi uniform.

6.5.1.1 Kolmogorov Smirnov

Uji Kolmogorov Smirnov ini berdasarkan pada deviasi absolute terbesar dari F(x)

dan S N (x) dalam range bilangan random.

Catatan :

F(x) = x, 0 ≤ x ≤ 1






Halaman 19

S N (x) = 𝑛𝑢𝑚𝑏𝑒𝑟 𝑜𝑓 𝑅1,𝑅2,𝑅3,…,𝑅𝑁 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑎𝑛𝑎 ≤𝑥

𝑁

Jadi uji Kolmogorov Smirnov dirumuskan

D = max F(x) - SN (x)

Langkah 1 : urutkan data dari yang terkecil sampai yang terbesar.

R(1) ≤ R(2) ≤ ... ≤ R(N)

Langkah 2 : hitung

langkah 3 : hitung D = max(D+,D1)

langkah 4 : definisikan nilai kritis D α, dari tabel. Dengan tingkat

kepercayaan dan besarnya N

langkah 5 : buat kesimpulan, jika D ≤ Dα maka tidak ada perbedaan antara

distribusi data yang sebenarnya dengan distribusi uniform.

6.5.1.2 Uji Chi Square

Salah satu cara pengujian hipotesis dari suatu nilai random berukuran n dari

variabel X adalah uji Chi Square. Permasalahan yang dihadapi pada pengujian ini

adalah menguji apakah frekuensi yang diobservasi memang konsisten dengan

frekuensi teoritisnya. Tes ini biasanya digunakan untuk pengujian sample dengan

ukuran besar ( > 30 sampel). Tes ini diawali dengan membuat interval kelas dari

sejumlah n data ke dalam k kelas interval. Pembuatan kelas interval sesuai

dengan aturan Sturgess, yaitu :

k = 1 + 3.322 log n

dimana : k = jumlah kelas






Halaman 20

n = jumlah keseluruhan observasi yang terdapat dalam

data.

Langkah selanjutnya adalah menentukan lebar kelas, yaitu :

i = (𝑡−𝑟)

𝑘

dimana : i = lebar interval kelas

t = nilai tertinggi

r = nilai terendah

k = jumlah kelas

rumus yang digunakan untuk pengujian bilangan random dengan uji Chi Square ini

adalah :

𝜒2 = (𝑂𝑖− 𝐸𝑖)2

𝐸𝑖

dimana : Oi = frekuensi observasi

Ei = frekuensi harapan dari interval kelas

6.5.2 Uji Independensi

6.5.2.1 Uji run up dan run down

Jika N adalah jumlah bilangan random dan a adalah jumlah perubahan run, maka

rumus rataan dan variansi-nya adalah :

𝜇𝑎 = 2𝑁−1

3

dan

𝜎𝑎2 =

16𝑁−29

90

untuk N > 20, distribusi dari a mendekati distribusi normal. Jadi rumus untuk Z

hitungnya dapat dihitung melalui :

𝑍0 = 𝛼 −𝜇𝑎

𝜎𝑎






Halaman 21

contoh :

Berdasarkan uji runs up dan runs down tentukan bahwa 40 data berikut ditolak

atau diterima berdasarkan independensi hipotesis, jika diketahui α = 0.05.

0.41 0.68 0.89 0.94 0.74 0.91 0.55 0.62 0.36 0.27

0.19 0.72 0.75 0.08 0.54 0.02 0.01 0.36 0.16 0.28

0.18 0.01 0.95 0.69 0.18 0.47 0.23 0.32 0.82 0.53

0.31 0.42 0.73 0.04 0.83 0.45 0.13 0.57 0.63 0.29

urutan dari runs up dan runs dowm adalah:

+ + + + - + - + - -

- + + - + - - + - +

- - + - - + - + + -

- + + - + - - + + -

bisa dilihat bahwa banyaknya run (perubahan dari + ke – atau sebaliknya) adalah

26 perubahan. Dari sini bisa disimpulkan bahwa N = 40 dan a = 24

dari tabel normal didapat bahwa Z0.025 = 1.96, sehingga hipotesis independensi

untuk data ini diterima.

6.5.2.2 Uji rataan run above dan run below

Uji ini hampir sama dengan uji runs up dan runs down, tetapi yang membedakan

antara uji ini dengan uji runs up dan runs down adalah, nilai – diberikan untuk

bilangan yang nilainya berada di bawah rata-rata dan nilai + diberikan untuk

bilangan yang berada diatas nilai rata=rata. Rataan yang dimaksud adalah rataan

untuk interval bilangan random misal : [(0.99+0.00)/2=0.495]. jadi untuk nilai –






Halaman 22

nilai yang berada di bawah nilai rataan ( 0.495) akan diberikan tanda -, begitu

juga sebaliknya jika berada diatas nilai 0.495 akan diberikan tanda +.

Jumlah maksimum run/jumlah bilangan random : N = n1 + n2

Dengan n1 adalah above dan n2 adalah below. Dan b adalah total run, rumus

rataan dan variansi adalah :

𝜇𝑏 = 2𝑛1𝑛2

𝑁+

1

2

dan

𝜎𝑎2 =

2𝑛1𝑛2(2𝑛1𝑛2−𝑁)

𝑁2(𝑁−1)

Adapun Z hitung :

𝑍0 = 𝑏 −𝜇𝑏

𝜎𝑏

contoh :

Berdasarkan uji run above dan run below tentukan bahwa 40 data berikut ditolak

atau diterima berdasarkan independensi hipotesis, jika diketahui = 0.05.

0.41 0.68 0.89 0.94 0.74 0.91 0.55 0.62 0.36 0.27

0.19 0.72 0.75 0.08 0.54 0.02 0.01 0.36 0.16 0.28

0.18 0.01 0.95 0.69 0.18 0.47 0.23 0.32 0.82 0.53

0.31 0.42 0.73 0.04 0.83 0.45 0.13 0.57 0.63 0.29

urutan dari runs up dan runs dowm adalah :

- + + + + + + + - -

- + + - + - - - - -

- - + + - - - - + +

- - + - + - - + + -






Halaman 23

dari sini diketahui bahwa :

n1 = 18

n2 = 22

N = n1+ n2 = 40

b = 17

𝜇𝑏 = 2(18)(22)

40+

1

2 = 20.3

dan

𝜎𝑎2 =

2(18)(22)[2(18)(22)−40]

402(40−1) = 9.54

𝑍0 = 17−20.3

√9.54 = -1.07

dari tabel normal didapat bahwa Z0.025 = 1.96, sehingga hipotesis independensi

untuk data ini diterima.

6.6 Uji Distribusi Probabilitas

6.6.1 Fungsi Distribusi Probabiltas Diskrit

Sering lebih mudah bila semua peluang suatu variabel random X

dinyatakan dalam suatu rumus. Jadi dapat ditulis f(x) = P(X =x). Himpunan

pasangan (x,f(x)) disebut fungsi peluang atau distribusi peluang atau fungsi

massa peluang variabel random diskrit X. Untuk setiap x ∈

dan ∑ 𝑓(𝑥)𝑥 -1 dengan Distribusi kumulatif F(x) suatu variabel random diskrit X

dengan distribusi peluang f(x) dapat dinyatakan oleh :

F(x) = P(X ≤ x) = ∑ 𝑓(𝑡)𝑥 )untuk - ~ < x < ~

Sedangkan distribusi dari variabel random diskrit adalah sebuah grafik,

tabel atau rumus, yang menyatakan suatu probabilitas yang berhubungan dengan

tiap nilai yang mungkin dari variabel random diskrit.






Halaman 24

6.6.2 Fungsi Distribusi Probabilitas Kontinyu

Jika ruang hasil dari variabel acak X merupakan bilangan dari interval yang tak

berhingga , dimana banyaknya bilangan tak terhingga dan tak terbilang, maka X

disebut sebagai variabel random kontinyu. X mengambil semua nilai antara 0 dan

1 atau interval 0<x<1. Berapakah p(x1) = P(X=x1), dimana 0<x<1 ?. Karena

banyaknya titik antara selang 0 sampai 1 tak terbilang, kita tidak bisa mengatakan

titik ke-i dari selang [0,1] dan P(X=x1) tidak mempunyai arti. Kita dapat

mengganti fungsi p(x) yang ditentukan pada Rx yang terbilang dengan fungsi f(x)

yang didefinisikan untuk setiap x dalam interval !(-~,~) dengan syarat :

1. f(x) ≥ 0 untuk setiap x dari selang 1

2. ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑(𝑥) = 1

3. Untuk setiap a,b dengan -

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏

𝑎 dalam hal ini f(x) dikenal sebagai fungsi kemungkinan

Dari ketentuan diatas p(X = x0) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏

𝑎= 0 dan P(a < x < b) = P(a < x < b)

= P(a < x < b)

Distribusi probabilitas variabel kontinyu berupa kurva, dimana luas

daerah dibawah kurva menunjukkan probabilitas tertentu. Karena total

probabilitas adalah 1 maka luas maksimal dibawah kurva juga 1. Karena alasan

kemudahan analisis, maka fungsi distribusi tersebut dibagi dalam kelas-kelas

interval, hingga bentuknya di ubah seperti distribuasi Diskrit (bukan

kurva).Untuk memudahkan dalam menentukan apakah suatu kejadian yang kita

amati berdistribusi Diskrit atau Kontinyu, maka kita dapat menggunakan tips

yang menyatakan “segala sesuatu yang berhubungan dengan pengambilan data

dengan cara mengukur maka termasuk pada distribusi kontinyu, sedangkan yang

menggunakan penghitungan dalam pengambilan datanya, maka termasuk dalam

distribusi Diskrit.






Halaman 25

6.7 Metoda Penentuan Fungsi Distribusi yang sesuai

Dalam sebuah aktifitas sistem, tidaklah mudah untuk mengetahui fungsi

distribusi populasi yang ada, untuk itu kita harus menaksir fungsi tersebut. Fungsi

distribusi empiris menaksir fungsi sesungguhnya dari distribusi yang

mendasarinya. Ada beberapa teknik untuk menentukan apakah sampel random

berasal dari suatu fungsi distribusi yang ditentukan sebelumnya, antara lain :

a). Metode Visual

Test “Chi-Square Goodness of Fit”

b). Metode “Heuristic”

Test “Liliefors”

Test “Kolmogorov-Smirnov”.

Pada kesempatan praktikum Delsim kali ini hanya akan dibahas mengenai tes

chikuadrat untuk menentukan distribusi probabilitas. Untuk metode visual kita

hanya membuat Histogram dari Distribusi frekuensi observasi yang kemudian

dibandingkan dengan histogram distribusi probabilitas teoritis tertentu . Kita cari

distribusi probabilitas teoritis yang paling sesuai dengan distribusi probabilitas

observasi. Jika kedua grafik dianggap sama, maka distribusi probabilitas

observasi dapat didekati dengan distribusi probabilitas teoritis yang telah

ditentukan tersebut.

Test “Chi-Square Goodness of Fit”

Test “Goodness of Fit” pada prinsipnya menggunakan uji Chi-kuadrat untuk

menguji apakah suatu distribusi data hasil observasi memiliki kecocokan dengan

suatu distribusi teoritis, seperti distribusi normal, poisson, eksponensial, dan

sebagainya. Jadi, misalnya ada sebuah sampel yang terdiri dari kumpulan data,

akan diuji apakah distribusi data tersebut sesuai dengan salah satu distribusi

frekuensi yang ditentukan. Untuk melakukan tes jenis ini, maka konsep tentang

uji hipotesis sebaiknya telah dipahami dengan baik.

Sebelumnya kita menggunakan metode uji tersebut terlebih dahulu kita tentukan :






Halaman 26

Fx(0) : Merupakan probabilitas kumulatif dari distribusi teoritis

Fx(N) : Merupakan probabilitas kumulatif dari distribusi frekuensi pengamatan.

Selanjutnya untuk memudahkan penghitungan dalam uji kecocokan dengan

metode Chi-Square maka Fx(0) dianggap sebagai probabilitas teoritis yang

dilambangkan dengan EI dan Fx(N) dianggap sebagai probabilitas observasi yang

dilambangkan dengan Oi.

Diketahui sebaran variabel random x1, x2,…, xn yang normal mempunyai rata -

rata (x) = E(x) = 𝜇 dan keseragaman atau variansi (x) = 𝜎2 . Variabel random

normal demikian dapat diubah ke dalam bentuk standar dengan rumus :

𝑧 = 𝑥 − 𝜇

𝜎

Dengan rata - rata E(x) = 0 dan keragaman (x) = 𝜎2 = 1.

Misalkan terdapat statistik 𝜒2 = 𝑥12 + 𝑥2

2 + ⋯ + 𝑥𝑛2 , maka statistik ini

mempunyai sebaran Chi - kuadrat (X2) dengan fungsi kepadatan :

Dengan n adalah jumlah variabel random independen yang dijumlahkan dan

mempunyai derajat bebas sebesar n - 1.

Dalam pengujian tentang kecocokan atau disebut juga uji kompatibilitas,

permasalahan yang dihadapi adalah mengujui apakah frekuensi yang diobservasi (

dihasilkan ) memang konsisten dengan frekuensi teoritisnya

( perencanaannya ) ? Apabila konsisten, maka tidak terdapat perbedaan nyata,

dengan kata lain hipotesisnya dapat diterima.

Sebaliknya apabila tidak ada konsistensi, maka hipotesisnya ditolak. Artinya

hipotesis teoritisnya tidak didukung oleh hasil observasinya. Rumus yang

digunakan adalah :






Halaman 27

OI = frekuensi observasi ( hasil produksi ) dan

EI = frekuensi teoritis atau perencanaan produksi dengan derajat bebas

= n - k - 1

𝜒2 merupakan ukuran perbedaan antara frekuensi observasi dengan frekuensi

teoritis. Apabila tidak ada perbedaan antara frekuensi observasi dengan frekuensi

teoritis, maka 𝜒2 akan semakin besar pula. Nilai 𝜒2 akan dievaluasi dengan

sebaran Chi - kuadrat.

Prosedur pengujian hipotesis

dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut :

1) Menyatakan H0 dan hipotesis alternatifnya,

2) Tentukan taraf nyata ( tingkat signifikansi ),

3) Tentukan statistik uji 𝜒2 dan derajat bebasnya,

4) Tentukan daerah penolakannya,

5) Hitung 𝜒2 dan tentukan ditolak atau diterima H0 – nya

6) Buatlah kesimpulannya

Contoh uji kecocokan

Hasil produksi ( OI ) dan prediksi produksi yang telah ditetapkan ( EI ) selama 7

bulan produksi suatu industri adalah sebagai berikut :

xi 1 2 3 4 5 6 7

Oi 120 125 115 130 110 115 125

Ei 120 120 120 120 120 120 120

Prosedur pengujian hipotesisnya dilakukan dengan langkah-langkah :

1) Menentukan hipotesis :

H0 : probabilitas semua kejadian sama ( hasil produksi sesuai dengan

perencanaan), H1 : hasil produksi tidak sesuai dengan perencanaan






Halaman 28

2) Taraf nyata (α ) = 0,05

3) Statistik uji

Dengan derajat bebas = 7 - 1 = 6

4) Daerah penolakan dengan α = 0,05 menjadi :

𝜒2 > 𝜒2(0.05,6) = 12.592

Hitungan :

5) Karena 2,500 < 12,592 maka H0 diterima

Dengan kata lain, barang yang dihasilkan oleh industri tersebut telah sesuai

dengan apa yang telah direncanakan.

Pengujian Dalam Statistik Nonparametrik

Dalam pokok bahasan statistik nonparametrik dibahas sejumlah cara pengujian

yang sama sekali tidak berdasarkan pengetahuan tentang distribusi populasi yang

dibicarakan.

Kelebihan dari statistik nonparametrik antara lain :

Apabila asumsi dari distribusi sampelnya sangat lemah, maka statistik

nonparametrik akan layak digunakan.

Karena kurang memadainya skala pengukuran, maka akan lebih baik

apabila datanya diklasifikasikan saja dan uji yang mungkin terbaik untuk

dilakukan adalah uji non parametrik. Apabila data yang dipunyai dapat

dirangking atau dibuat peringkat, maka uji nonparametrik dapat digunakan.

Perhitungan yang diperlukan dalam uji nonparametrik sangat sederhana

dan dapat dikerjakan dengan mudah dan cepat. Pada skala ordinal, datanya diberi

peringkat menurut suatu urutan tertentu dan uji nonparametrikmenganalisis

peringkat-peringkat tersebut.






Halaman 29

Sebagai contoh :

Dua mahasiswa diberi tugas untuk memberikan peringkat ( rangking ) pada

empat model ( merk ) sepatu. Peringkat 1 diberikan pada model sepatu yang

dianggap mempunyai kualitas tertinggi, peringkat 2 diberikan kepada model

sepatu terbaik kedua dan seterusnya.

Uji nonparametrik dapat digunakan untuk menentukan adakah kesesuaian antara

kedua mahasiswa tersebut dalam memberikan peringkat ?

Beberapa tipe data dalam ruang lingkup statistika :

Data nominal ( data pilah )

Adalah data yang diklasifikan secara dipilah-pilah, misalnya jenis

kelamin, agama, pekerjaan, jurusan kuliah

Data ordinal ( data jenjang )

Adalah data yang mempunyai jenjang ( tingkatan ) akan tetapi jarak

antara setiap jenjang ( tingkatan ) tidak sama.

Data interval ( data selang )

Adalah data yang berbentuk jnjang dan jarak setiap jenjang adalah sama,

akan tetapi jarak yang sama tidak diartikan mempunyai arti yang sama.

Sebagai contoh termometer, spidometer

Data rasio

Merupakan data tentang ukuran suatu hal yang nyata, misalnya ukuran

waktu, jarak, berat dan lain sebagainya.

6.8 VALIDASI MODEL

6.8.1. Pendahuluan

Tahapan lanjut dari simulasi setelah verifikasi model adalah validasi. Shanon

(1975) dengan ringkas menggambarkan proses vali-dasi sebagai berikut:






Halaman 30

“ Satu pendekatan yang paling nyata dalam membantu proses validasi

sistem yang telah ada adalah dengan membandingkan output dari sistem

nyatanya dengan model.”

Langkah validasi ini juga merupakan langkah untuk mengawasi atau mengecek

apakah model yang sudah diprogram itu asli, sudah sesuai dan benar.

Dua tujuan umum dalam validasi :

1. Menghasilkan suatu model yang representatif terhadap prilaku sistem

nyatanya sedekat mungkn untuk dapat digunakan sebagai subtitusi dari sistem

nyata dalam melakukan eksperimen tanpa mengganggu jalannya sistem.

2. Meningkatkan kredibilitas model, sehingga model dapat digunakan oleh para

manajer dan para pengambil keputusan lainnya.

Tipe validasi model :

1. Validasi asumsi, model asumsi ini dibagi kedalam dua kelas, yaitu asumsi

struktural dan asumsi data.

- Asumsi struktural meliputi pertanyaan-pertanyaan bagaimana sistem

beroperasi dan asumsi ini juga melibatkan penyederhanaan dan

penggambaran kenyaataan dari sistem. Sebagaian penulis memisahkan

asumsi ini kedalam validasi proses.

Contoh :

Jumlah teller pada suatu sistem bisa tetap dan bisa variabel

Melakukan diskusi dengan orang yang paham betul dengan proses

yang diamati, seperti para manajer.

- Asumsi data harus didasarkan pada penumpulan data yang reliabel/data

terpercaya dan analisa statistik yang tepat dari suatu data.

2. Validasi Output (merupakan titik tekan pada bab ini), Cara yang paling

mudah untuk melakukan validasi ini adalah dengan pendekatan visual.

Beberapa orang ahli mengamati dan membandingkan antara output model

terhadap sistem riil. Metode lain yang sering digunakan adalah dengan

pendekatan statisik.






Halaman 31

6.8.2 Teknik Validasi

Untuk melakukan validasi model apakah sesuai dengan sistem nyatanya dapat

dilakukan dengan :

Keseragaman Data Hasil Simulasi

Sebagaimana pada validasi data input, maka pada data hasil simulasipun

diadakan uji keseragaman data guna menentukan bahwa data setiap data simulasi

memiliki deviasi yang normal atau tidak terlalu berbeda dari nilai rata-ratanya.

Hal ini dimaksudkan untuk mengetahui bahwa perilaku model sistem berada pada

kondisi yang relatif tidak begitu memiliki fluktuasi. Bila perilaku model sangat

fluktuatif, maka akan sulit bagi peneliti untuk menarik konklusi akan perilaku

model sistem yang diamati. Rumus yang digunakan untuk penentuan batas

kontrol :

1. Batas atas = BKA = X + k.SD

2. Batas Bawah = BKB = X - k.SD

Setelah diketahui sebaran dan hasil simulasi, maka dapat ditentukan

interval kepercayaan untuk output hasil simulasi. Hal itu ditunjukkan oleh

persamaan :

Y = Nilai Rata – Rata Parameter dari R kali Replikasi s = Nilai Standar

Deviasi dari sampel nilai Parameter dari R kali replikasi

1- α = Uinterval Konvidensi (95%)

= Nilai fungsi dari distribusi student t dengan tingkat signifikansi

dan derajat bebas R – 1. Kita gunakan pendekatan Distribusi Studen t jika yang

diambil adalah kumpulan sampel sehingga variansi populasi tidak diketahui. (

jika variansi populasi tidak diketahui digunakan pendekatan distribusi student t..






Halaman 32

Uji Kesamaan Dua Rata-Rata

Uji kesamaan ini dimaksudkan untuk mengetahui perbandingan performansi

antara sistem riil dengan model simulasi yang diterjemahkan dalam nilai jumlah

rata-rata output dari dua populasi tersebut. Jika dalam uji didapat hasil bahwa

kedua nilai rata-rata tidak berbeda secara signifikan, maka dapat disimpulkan

bahwa model memiliki validitas yang cukup untuk parameter output rata – rata..

Karena yang akan diuji adalah kesamaan dua populasi, maka uji yang

akan dilakukan adalah uji dua sisi.. dengan :

H0 : μ1 = μ2

: Rata-rata output sistem riil = rata-rata output model Simulasi

H1 : μ1 ≠ μ2

: Rata-rata output sistem riil ≠ Rata-rata output model Simulasi

Untuk mencari t hitung digunakan rumus sebagai berikut :

Rumus t hitung :

t hitung kemudian dibandingkan dengan t tabel

N -1 adalah Derajat kebebasan

α adalah tingkat kepercayaan

Uji Kesamaan Dua Variansi

Dalam melakukan proses pengujian selisih maupun kesamaan dua

ratarata, selalu diasumsikam bahwa kedua populasi memiliki variansi yang sama.

Agar hasil uji kesamaan dua rata rata yang dilakukan diatas benar, maka






Halaman 33

diperlukan sebuah kepastian bahwa asumsi tentang persamaam dua variansi

terpenuhi. Misalnya kita mempunyai dua populasi normal dengan variansi 𝜎12

dan 𝜎22. Akan diuji dua pihak dalam kesamaannya, maka hipotesis ujinya adalah

:

H0 : 𝜎12 = 𝜎2

2

H1 : 𝜎12 ≠ 𝜎2

2

Berdasarkan sampel acak yang independen maka diperoleh populasi satu dengan

ukuran n1 dan variansi s12 sedangkan populasi dua dengan ukuran n2 dan

variansi s22, maka untuk menguji hipotesisnya digunakan statistik uji : F =

𝑠12

𝑠22.

Kriteria pengujian adalah menerima H0 jika

Dengan demikian F hitung berada dalam daerah penerimaan sebagaimana terlihat

dalam gambar dibawah ini :

Daerah Penerimaan ujesamaan Variansi Sistem riil dan

Uji Kecocokan Model Simulasi

Proses Validasi yang terakhir adalah menguji bahan antara hasil model

simulasi memiliki kecocokan dengan dengan sistem riil yang diamati. Metode

yang digunakan adalah uji Chi-Kuadrat. Disebut juga uji kecocokan atau disebut

uji kompatibilitas, memiliki tujuan adalah menguji apakah frekuensi yang

2.1 f - Hitung

0 Daerah Penolakan Daerah Penolakan

rletak Daerah Penerima kritis

6 1 1






Halaman 34

diobservasikan (dihasilkan) melalui model simulasi memang konsisten dengan

frekuensi teoritisnya (sistem riil). Rumus yang digunakan adalah:

𝜒2 = ∑(𝑂𝑖 − 𝐸𝑖)2

𝐸𝑖

0I = frekuensi observasi (hasil simulasi) dan

EI = frekuensi teoritis atau sistem riil dengan derajat bebas = n-1

𝜒2 merupakan ukuran perbedaan antara frekuensi observasi dengan frekuensi

teoritis. Apabila tidak ada perbedaan antar frekuensi observasi dengan frekuensi

teoritis, maka 𝜒2 akan semakin besar pula.

6.9 CONTOH STUDI KASUS (SIMULASI SISTEM PERSEDIAAN)

Pada simulasi kali ini kita mulai memasuki permasalahan seputar persediaan

(Inventory), adapun pada sistem persediaan sendiri sudah digambarkan pada

Gambar 2.11 . Dimana sistem persediaan merupakan sistem yang memiliki

peninjauan berkala panjang N saat tingkat persediaan sudah diketahui.

Perintah tersebut dibuat untuk membawa tingkat persediaan sampai

ketingkat M. Pada akhir periode dalam pertinjauan pertama kuantitas order di

tempatkan menjadi Ql. Sedangkan dalam sistem persediaan istilah lead time yaitu

panjang waktu antara penerimaan pesanan dengan pengiriman diakumulasikan

adalah NOL. Dimana permintaan sendiri biasanya tdak diketahui secara pasti,

sehingga jumlah pesansanan bersifat Probabilistik. Pada periode atau waktu

tertentu permintaan telah terlihat menjadi seragam pada gambar 2.11, namun pada

kenyataanya permintaan tersebut biasanya juga tidak seragam dan dia bersifat

Fluktuatif dari waktu ke waktu. Kemungkinan semua permintaan yang ada akan

terjadi pada awal waktu siklus, dan lainya juga memiliki Lead Time atau waktu

tunggu yang acak dari beberapa proses yang ada.






Halaman 35

Terdapat catatan bahwa dalam siklus kedua memiliki jumlah persediaan

yang kian menurun hingga diwah nol, maka hal tersebut menunjukan adanya

kekurangan (Shortage) pada persediaan yang ada. Pada gambar 2.11 juga

menggambarkan bahwa di beberapa unit terjadi Backorder atau tidak terpenuhinya

perminntaan yang ada ketika pesanan dari konsumen terus menerus datang. Maka

permintaan dari barang-barang yang tidak terpanuhi menjadi salah satu hal

penting yang menjadi kepuasan pelanggan, dimana lebih baik untuk menghindar

dari jenis-jenis kerugian seperti kekurang persediaan dan buffer perlu

diselamatkan.

Mengambil persediaan dari Inventory seperti memiliki biaya berkaitan

dengan Bunga yang dibayar atas dana pinjaman untuk membeli item tertentu,

maka ini juga bisa menjadi bentuk kerugian dari tidak adanya dana yang tersedia

untuk tujuan berinvestasi. Maka biaya yang lain dapat ditempatkan pada Ruang

penyimpanan atau dengan menyewa penjaga dan lain-lain. Maka sebuah alternatif

untuk menjaga persediaan yang banyak adalah dengan pembuatan catatan

kegiatan asuk dan keluarnya barang, dan pada akhirnya bisa deiktahui barang-

barang lebih sering dibeli atau menetap. Ini juga memiliki keterkaitan dengan

biaya pemesanan juga, serta kelak akan ada biaya jangka pendek. Pelanggan bisa

saja menjadi marah kerugian yang didapatkannya dikemudian hari, maka






Halaman 36

persediaan yang lebih besar bisa menguranggi kemungkinan kekurangan stock,

serta biaya-biaya tersebut harus tetap berputar untuk diperdagangkan guna

meminimalkan biaya total pada persediaan tersebut.

Dimana total biaya (total keuntungan) pada sistem persediaan atau

inventoy adalah ukuran dari kinerja itu sendiri, dan itu dapat dipengaruhi oleh

beberpa alternati kebijakan yang ada. Sebagai contoh pada gambar 2.11 pembuat

keputusan dapat mengontrol tingkat maksimum dalam persediaan. Panjang siklis

M dan N, serta apa efek serta perubahan bagi N yan Maka pada M, N dalam

sistem persediaan, beberapa persitiwa yang banyak terjadi adalah permintaan

untuk sebuah item atau barang dalam persediaan yang dilihat dari posisi

persediaan itu sendiri diakhir periode. Seperti pada gambar yang ada 2.11 bahwa

pada akhirnya dua peristiwa terjadi secara bersamaan memiliki berbagai macam

biaya?

Maka pada M, N dalam sistem persediaan, beberapa persitiwa yang

banyak terjadi adalah permintaan untuk sebuah item atau barang dalam persediaan

yang dilihat dari posisi persediaan itu sendiri diakhir periode. Seperti pada gambar

yang ada 2.11 bahwa pada akhirnya dua peristiwa terjadi secara bersamaan.

Dalam beberapa contoh lain berikutnya yaitu untuk menentukan beraapa banyak

koran atau sebuah catatan tertulis untuk membeli hanya dalam jangka satu

periode, serta yang lainya hanya satu rancangan yang dibuat. Persediaan yang

tersisa pada jangka waktu tertentu bisa di catat atau dibuang. Dan masih banyak

permasalahan dalam duania persediaan Inventory termasuk pada penyimpanan

suku cadang, barang tahan lama, dan barang-barang khusus untuk musiman

[Hadley dan Whitin, 1963].

Misalkan pada kasus ini yaitu perusahaan yang menjual lemari es. Sistem

yang mereka gunakan untuk menjaga persediaannya yaitu dengan meninjau

kondisi persediaan selama hari yang ditetapkan (sebut N) dan membuat keputusan

mengenai apa yang harus dilakukan. Kebijakan yang dikeluarkan yaitu memesan

lemari es hingga batas (sebut M), dengan menggunakan persamaan berikut :

𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑚𝑒𝑠𝑎𝑛𝑎𝑛 = 𝑏𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑝𝑒𝑚𝑒𝑠𝑎𝑛𝑎𝑛 − 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑟𝑖 𝑎𝑘ℎ𝑖𝑟 + 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑘𝑒𝑘𝑢𝑟𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛






Halaman 37

Misalkan batas pemesanan lemari es (M) sebanyak 11 buah dan periode

peninjauan (N) yaitu 5 hari. Inventori akhir lemar es pada kondisi awal adalah

sebanyak tiga buah. Jumlah lemari es yang dipesan oleh konsumen berdistribusi

acak. Data lain yang berdstribusi acak adalah jumlah hari setelah pemesanan

ditempatkan oleh supplier sebelum kedatangan, atau lead time. Pihak penjual telah

memesan lemari es sebanyak 8 buah yang akan dijual kembali pada hari ke-3

dalam siklus pertama. Artinya, ketika barang yang dipesan tiba, barang tersebut

baru akan dijual esok harinya.

Berikut adalah tabel permintaan lemari es dan lead time pemesanan ke

supplier :

Demand Probability

0 0.10

1 0.25

2 0.35

3 0.21

4 0.09

Lead Time (hari) Probability

1 0.6

2 0.3

3 0.1

Day Cycle Day

Within

Beginning

Inventory

Random

Digits

for

Demand Ending

Inventory

Shortage

Quantity

Order

Quantity

Random

Digits

for

Lead

Time

Days

until

Order






Halaman 38

Cycle Demand Lead

Time

(days) Arrives

1

1

1 3 26 1 2 0 - - - 1

2 2 2 68 2 0 0 - - - 0

3 3 8 33 1 7 0 - - - -

4 4 7 39 2 5 0 - - - -

5 5 5 86 3 2 0 9 8 2 2

6

2

1 2 18 1 1 0 - - - 1

7 2 1 64 2 0 1 - - - 0

8 3 9 79 3 3 0 - - - -

9 4 5 55 2 5 0 - - - -

10 5 3 74 3 0 0 11 7 2 2

11

3

1 0 21 1 0 1 - - - 1

12 2 0 43 2 0 3 - - - 0

13 3 11 49 2 6 0 - - - -

14 4 6 90 3 3 0 - - - -

15 5 3 35 1 2 0 9 2 1 1

16

4

1 2 8 0 2 0 - - - 0

17 2 11 98 4 7 0 - - - -

18 3 7 61 2 5 0 - - - -

19 4 5 85 3 2 0 - - - -

20 5 2 81 3 0 1 12 3 1 1

21

5

1 0 53 2 0 3 - - - 0

22 2 12 15 1 8 0 - - - -

23 3 8 94 4 4 0 - - - -

24 4 4 19 1 3 0 - - - -

25 5 3 44 2 1 0 10 1 1 1

Total 68 9

Average 2.04 2.72 0.36






Halaman 39

Daftar Pustaka

Khosnevish, Behrokh. Discrete System Simulation. New York : McGraw-Hill,

Inc. 1994

Bank, Carson, Nelson. Discrete-Event System Simulation. New Jersey : Prentice

Hall Inc. 1986

Law, AM., and David W kelton. Simulation Modeling And Analysis, New York :

McGraw-Hill, 1991

Levin, Rubin, Stinson, Gardner. Pengambilan Keputusan Secara Kuantitatif,

Jakarta, Penerbit PT Raja Grafindo Persada, 1993

Simatupang, Togar, Pemodelan Sistem. Klaten, Nindita, 1996

Walpole, Ronald., and Raymond H Myers. Ilmu Peluang dan Statistika untuk

Insinyur. Penerbit ITB Bandung, 1995

Guritno, Adi Joko., dan Hari Purnomo. Diktat Kuliah Analisa Keputusan,

Yogyakarta, 2002

Wirabhuana, Arya. Diktat Kuliah : “Industrial System Simulation”. Yogyakarta :

Laboratorium SIMBI. 2002

Mansyur, Agus., dkk, Modul Praktikum Analisis Investasi, Yogyakarta :

Laboratorium SIMBI. 1998

TUTORIAL SIMULASI KOMPUTER -...

Documents

Transcript of TUTORIAL SIMULASI KOMPUTER -...