Pengujian Hipotesis Rata-Rata Populasi

MAKALAH

Disusun untuk Memenuhi Tugas UAS

Mata Kuliah : Bahasa Indonesia

Dosen Pengampu : Indriya Mulyaningsih M.Pd

Atin Supriatin

14121510611

Fakultas / Jurusan : Tarbiyah / Tadris Matematika

Kelas / Semester : C / II (dua)

IAIN SYEKH NURJATI CIREBON Jl. Perjuangan By Pass Sunyaragi Cirebon - Jawa Barat 45132

Telp : (0231) 481264 Faxs : (0231) 489926

BAB I

PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG

Pendugaan parameter dan pengujian hipotesis merupakan ilmu dari cabang

statistika, parameter banyak digunakan oleh para peneliti untuk meneliti sebagian kecil

dari populasi (sampel) yang kemudian diukur dan dijadikan dugaan sementara. Sedangkan

pengujian hipotesis yaitu suatu pernyataan yang masih lemah kebenarannya dan perlu

dibuktikan.

Uji hipotesa adalah prosedur yang memungkinkan untuk menentukan apakah

menerima atau menolak hipotesa. Apabila kita menolak sebuah hipotesa, padahal

seharusnya kita menerima hipotesa tersebut, maka dikatakan telah terjadi kesalahan jenis I

dan jika menerima sebuah hipotesa padahal seharusnya ditolak, dikatakan bahwa telah

terjadi kesalahan jenis II. Dengan mempelajari uji hipotesis mahasiswa diharapkan bisa

melakukan atau mengambil keputusan yang tepat. Karena pada dasarnya uji hipotesis

merupakan suatu proposisi atau anggapan yang mungkin benar dan sering digunakan

sebagai dasar pembuatan keputusan. Pembuatan keputusan ini didasari dengan hasil uji

terlebih dahulu mengunakan data hasil observasi.

B. RUMUSAN MASALAH

1. Apa yang dimaksud dengan Hipotesis ?

2. Bagaimana asal usul istilah pendugaan populasi ?

3. Bagaiman cara pengujian Hipotesis ?

4. Apa saja jenis-jenis hipotesis ?

5. Bagaimana perhitungan sampel besar dan sampel kecil ?

C. TUJUAN PENULISAN

1. Menjelaskan pengertian tentang pengujian hipotesis dan langkah-langkah yang

diperlukan prosedur umum uji hipotesis.

2. Menghitung uji hipotesis dengan sampel besar yang meliputi pengujian rata-rata dan

proporsi populasi, beda dua rata-rata dan beda dua proporsi dari dua populasi.

3. Menghitung uji hipotesis dengan sampel kecil untuk pengujian parameter rata-rata

populasi, beda dua rata-rata dari dua populasi.

4. Untuk menjelaskan kesalahan-kesalahan dalam menentukan hipotesis.

A. MANFAAT PENULISAN

1. Dapat memahami pengertian tentang pengujian hipotesis dan langkah-langkah yang

diperlukan prosedur umum uji hipotesis.

2. Dapat menghitung uji hipotesis dengan sampel besar yang meliputi pengujian rata-rata

dan proporsi populasi, beda dua rata-rata dan beda dua proporsi dari dua populasi.

3. Dapat menghitung uji hipotesis dengan sampel kecil untuk pengujian parameter rata-

rata populasi, beda dua rata-rata dari dua populasi.

4. Dapat mengetahui dan menjelaskan kesalahan-kesalahan dalam menentukan hipotesis.

BAB II

PEMBAHASAN

I. PENGUJIAN HIPOTESIS RATA – RATA POPULASI

A. Pendugaan populasi

Pendugaan merupakan suatu pernyataan mengenai parameter populasi yang

diketahui berdasarkan informasi dari sampel, dalam hal ini sampel random diambil

dari populasi yang bersangkutan. Jadi dengan pendugaan itu, keadaan parameter

populasi dapat diketahui.1

Populasi adalah keseluruhan dari karakteristik atau unit hasil pengukuran yang

menjadi objek penelitian (Riduwan, 1997: 3). Untuk mengetahui ukuran populasi

yang disebut dengan Parameter, biasanya seorang peneliti mengukurnya tidak secara

langsung, melainkan dengan cara mengambil sebagian kecil dari populasi disebut

dengan sample, kemudian mengukurnya. Selanjutnya hasil pengukuran sample

tersebut digunakan untuk “menduga” ukuran sebenarnya (ukuran populasinya atau

parameternya). Dari sinilah berasal istilah “Pendugaan Parameter”.2

Karena nilai parameter tidak bisa ditentukan kepastiannya 100% maka dikenal

istilah Selang Kepercayaan (Confidence Interval) yaitu ukuran yang menunjukan nilai

parameter yang asli mungkin berada. Selang Kepercayaan 95% artinya kita percaya

bahwa 95% sample yang kita ambil akan memuat nilai parameter aslinya. Selang

Kepercayaan 99% artinya kita percaya bahwa 99% sample yang kita ambil akan

memuat nilai parameter aslinya.

1 . Hasan Iqbal, Pokok – pokok Materi Statistik 2 ( Jakarta: PT. Bumi Aksara, 2005 ), halaman 111.

2 . Riduwan, Dasar – dasar Statistika ( Bandung: Alfabeta, 1997 ), halaman 8.

Taraf Kepercayaan merupakan derajat jaminan bahwa pernyataan secara statistik

tertentu adalah benar di bawah kondisi yang telah disebutkan. Sedangkan taraf nyata

merupakan derajat ketidakpastian tentang pernyataan secara statistik pada kondisi

yang sama untuk menentukan taraf kepercayaan. Taraf nyata dilambangkan dengan α

(0≤α≤1) dan taraf kepercayaan dilambangkan dengan 1-α. Secara matematik juga

dinyatakan bahwa taraf kepercayaan + taraf nyata = 1. Jika taraf nyata 5% maka taraf

kepercayaan adalah 95%, mengandung arti bahwa pernyataan diharapkan akan kurang

tepat sebesar kira-kira 5%.3

1. Pendugaan Rata – rata Populasi

Pendugaan rata-rata populasi (μ) dilakukan dengan menggunakan rata-rata

sampel (x ) dan memperhatikan simpangan bakunya (σ ).

a. Selang kepercayaan ((1−α ) ×100 % untuk μ jika simpangan baku populasi (σ )

diketahui, adalah x−z α2

σ

√n<μ<x+ z α

2

σ

√n .

Dengan n adalah banyaknya sampel

b. Selang kepercayaan ((1−α ) ×100 % untuk μ jika simpangan baku populasi (σ )

tidak diketahui, adalah x−t α2

;υ

s

√n<μ<x+t α

2;υ

s

√n .

Dengan n adalah banyaknya sampel

c. Selang kepercayaan (1−α ) ×100 % untuk μ jika simpangan baku populasi (σ )

tidak diketahui tetapi n ≥ 30, adalah x−z α2

s

√n<μ<x+ z α

2

s

√n .

Dengan n adalah banyaknya sampel.4

Contoh:

Rata-rata hasil ujian dari 40 siswa SD “X” yang diambil secara acak adalah

7,5 dengan simpangan baku 1,4. Tentukan selang kepercayaan 95 % dari nilai

rata-rata seluruh siswa SD “X” tersebut!

3. Subana, Statistik pendidikan (Bandung: Pustaka Setia, 2000), halaman 25.

4. Hasan Iqbal, Pokok – pokok Materi Statistik 2 ( Jakarta: PT. Bumi Aksara, 2005 ), halaman 119.

Simpangan baku populasi (σ ) tidak diketahui ,n = 40 >30

α= 1-0,95 = 0,05.

x−z α2

s

√n<μ<x+ z α

2

s

√n

7,5−z0,0251,4

√40<μ<7,5+z0,025

1,4

√40

7,5−0,43<μ<7,5+0,4

7,5−1,961,4

6,32<μ<7,5+1,96

1,46,32

7,07<μ<7,93

Jadi, selang kepercayaan 95% bagiμ adalah 7,07<μ<7,93.

2. Pendugaan Proporsi

Pendugaan proporsi adalah pendugaan dari proporsi populasi yang tidak

diketahui.

Contoh :

Pendugaan proporsi (interval proporsi) dengan tingkat keyakinan 90%, p = 0,07

dan Sp= 0,0114 adalah.

p – Zα/2 . Sp < P < p + Zα/2 . Sp

0,07 – Z0,05 . 0,0114 < P < 0,07 + Z0,05 . 0,0114

0,07 – (1,645)(0,0114) < P < 0,07 + (1,645)(0,0114)

0,051 < P < 0,089

Jadi, selang kepercayaan 90% bagi P adalah 0,051 < P < 0,089.

3. Pendugaan Varians σ 2

Pendugaan varians σ 2 adalah pendugaan dari varians populasi yang tidak

diketahui.

Contoh :

Pendugaan varians ( interval varians ) dengan tingkat keyakinan 95%, dengan n =

14 dan S2 = 9 adalah. 5

= = 24,736 Lihat tabel X2 dengan db = n-1 = 13

= = 5,009

4,73 < σ 2 < 23,36

Jadi, selang kepercayaan 95% bagi σ 2 adalah 4,73 < σ 2 < 23,36.

4. Pendugaan simpangan baku

Pendugaan simpangan baku adalah pendugaan dari simpangan baku populasi

(parameter) yang tidak diketahui.

.Contoh:

pendugaan simpangan baku (interval simpangan baku σ ) dengan tingkat keyakinan

90 %, dengan n = 16 dan S2 = 25 adalah.6

5. Ibid, halaman 120.

6. Ibid, hal 121.

= 24,996 Lihat tabel X2 dengan db = n-1 = 15

= 7,261

= 3,873 < σ

< 7,186

Jadi selang kepercayaan 90% bagi σ adalah 3,873 < σ < 7,186.

B. Pengujian Hipotesis

1. Pengertian Hipotesis

Hipotesis berasal dari bahasa Yunani, yaitu hupo dan thesis. Hupo berarti

lemah, kurang, atau di bawah dan thesis berarti teori, proposisi, atau pernyataan

yang disajikan sebagai bukti. Jadi, hipotesis dapat diartikan sebagai suatu

pernyataan yang masih lemah kebenarannya dan perlu dibuktikan atau

dugaan yang sifatnya masih sementara.7

Hipotesis statistik adalah pernyataan atau dugaan mengenai keadaan

populasi yang sifatnya masih sementara atau lemah kebenarannya. Selanjutnya

Sudjana (1992: 219) mengartikan “hipotesis adalah asumsi atau dugaan mengenai

suatu hal yang dibuat untuk menjelaskan hal itu yang sering dituntut untuk

melakukan pengecekannya”.8

Dalam pengujian hipotesis kita akan sering menggunakan istilah

”menerima” atau ”menolak” suatu hipotesis.

7 . Hasan Iqbal, Pokok – pokok Materi Statistik 2 (Jakarta: PT. Bumi Aksara, 2005), halaman 140.

8 . Sudjana, Metoda Statistik (Bandung: PT. Tarsito Bandung, 1992), halaman 219.

Namun demikian perlu disadari bahwa dalam pengujian hipotesis kita tidak akan

menyimpulakan bahwa hipotesis itu benar atau salah melainkan kita akan

menyimpulkan bahwa hipotesis dapat diterima atau ditolak berdadasarkan apa yang

diperoleh dari sampel.

Secara garis besar, hipotesis dibedakan atas hipotesis nol atau hipotesis nihil

yang biasanya dilambangkan dengan H0 dan hipotesis tandingan atau hipotesis

alternatif dilambangkan dengan Ha atau H1.9

2. Fungsi Hipotesis

a. Menguji teori, artinya berfungsi untuk menguji kesahihan teori. Pernyataan

teori dalam bentuk yang teruji disebut hipotesis. Teori adalah satu satu prinsip

yang dirumuskan untuk menerangkan sekelompok gejala atau peristiwa yang

saling berkaitan. Teori menunjukkan adanya hubungan antara fakta yang satu

dengan fakta yang lain.

b. Menyarankan teori baru, apabila hasil pengujian hipotesis dapat membentuk

proposisi, asumsi atau penjelasan tentang suatu peristiwa.

c. Mendeskripsikan fenomena sosial, artinya hipotesis memberikan informasi

kepada peneliti tentang sesuatu yang nyata terjadi secara empirik.10

3. Prosedur Pengujian Hipotesis

a. Menentukan Formulasi Hipotesis

1) Hipotesis nol (H0) adalah hipotesis yang dirumuskan sebagai suatu

pernyataan yang akan diuji. Disebut hipotesis nol karena hipotesis tersebut

tidak memiliki perbedaan dengan hipotesis sebenarnya.

2) Hipotesis alternatif (H1) adalah hipotesis yang dirumuskan sebagai lawan

dari hipotesis nol.

Secara umum, formulasi hipótesis dapat dituliskan :9 . Supranto, Statistik Teori dan Aplikasi (Jakarta: Erlangga, 1997), halaman 37.

10. ibid, hal 38.

H0 : θ = θ0

H1 : θ>θ0

Pengujian ini disebut pengujian sisi kanan

H0 : θ = θ0

H1 : θ<θ0

Pengujian ini disebut pengujian sisi kiri

H0 : θ = θ0

H1 : θ ≠ θ0

Pengujian ini disebut pengujian dua sisi.

Contoh :

Pengujian Hipotesis bahwa suatu jenis obat baru lebih efektif untuk

menurunkan berat badan. Maka rumusan hipotesisnya adalah :

H0 : obat baru = obat lama.

H1 : obat baru lebih baik dari obat lama.

b. Menentukan taraf signifikansi (α )

Taraf nyata adalah besarnya batas toleransi dalam menerima kesalahan

hasil hipotesis terhadap nilai parameter populasinya. Taraf nyata

dilambangkan dengan α (alpha) Semakin tinggi taraf nyata yang digunakan,

semakin tinggi pula penolakan hipotesis nol atau hipotesis yang diuji, padahal

hipotesis nol benar.11

Besarnya nilai α bergantung pada keberanian pembuat keputusan yang dalam

hal ini berapa besarnya kesalahan yang akan ditolerir.

Penentuan taraf nyata (α) dan nilai Z (tabel Zα).12

5% (0,05) =1,645 2,5%(0,025) =1,96

1%(0,01) = 2,33 0,5%(0,005) = 2,575

c. Memilih statistik uji yang sesuai

11. Hasan Iqbal, Pokok – pokok Materi Statistik 2 ( Jakarta: PT. Bumi Aksara, 2005 ), hal 141.

12 . Ibid, halaman 142.

Hipotesis Statistik Uji Kriteria Keputusan

H0 : μ = μ0

H1 : μ ≠ μ0

Jika σ diketahui

z=x−μ0

σ√n

Jika σ tidak diketahui

t=x−μ0

s√n

Jika σ diketahui, H0 ditolak

jika z<−z α2 atau z>z α

2

Jika σ tidak diketahui, H0 ditolak

jika t <−t α2

;n−1 atau t >t α2

;n−1

H0 : μ= μ0

H1 : μ>μ0

Atau

H0 : μ ≤ μ0

H1 : μ>μ0

Jika σ diketahui, H0 ditolak jika

z>zαJika σ tidak diketahui,

H0 ditolak jika t >t α;n−1

H0 : μ= μ0

H1 : μ<μ0

Atau

H0 : μ ≥ μ0

H1 : μ<μ0

Jika σ diketahui,H0 ditolak

jika z<−zα

Jika σ tidak diketahui,H0 ditolak

jika t <−t α; n−1

Keterangan:

Yang dimaksud dengan zα adalah bilangan z sedemikian sehingga luas daerah

di bawah kurva normal baku di atas sumbu x dari zα ke kanan adalah α atau

P(z > zα) = α .13

d. Menentukan kriteria keputusan

Bentuk Formulasi Hipotesis

Bentuk Pengujian Hipotesis Formulasi Hipotesis

13. Ibid, halaman 143.

Hipotesis dua pihak H0 = dan H

1 ≠

Hipotesis pihak kiri

H0

= atau H0

≥

H1< atau H

1 ≤

Hipotesis pihak kanan

H0 = atau H

0 ≤

H1 > atau H

1

ð UJI SATU ARAH ï

M Pengajuan dan dalam uji satu arah adalah sebagai berikut:

: ditulis dalam bentuk persamaan (menggunakan tanda =)

: ditulis dalam bentuk lebih besar (>) atau lebih kecil (<)

luas daerah terarsir

ini =

-z atau - t(db;) 0

n daerah yang diarsir ® daerah penolakan hipotesis

¨daerah tak diarsir ® daerah penerimaan hipotesis

ó UJI DUA ARAH ó

M Pengajuan dan dalam uji dua arah adalah sebagai berikut :

: ditulis dalam bentuk persamaan (menggunakan tanda =)

: ditulis dengan menggunakan tanda ¹.14

14. Ibid, halaman 144.

luas daerah terarsir luas daerah terarsir

= /2 = 0.5% = /2 = 0.5%

-z /2 atau 0 z /2 atau

-t(db;/2) t(db;/2)

n daerah terarsir ® daerah penolakan hipotesis

¨daerah tak terarsir ® daerah penerimaan hipotesis

Contoh :

Misalkan akan diuji keunggulan suatu obat baru. Hipotesis yang dibuat adalah

obat baru tersebut tidak lebih baik dari obat-obat serupa yang beredar di

pasaran dan kemudian mengujinya lawan hipotesis alternatif bahwa obat baru

tersebut lebih unggul dari obat yang beredar di pasaran. Berarti uji yang

digunakan adalah uji satu arah dengan wilayah kritiknya berada di ekor kanan.

Perhitungan:

Jika σ diketahui:

z=x−μ0

σ√n

Jika σ tidak diketahui:

t=

x−μ0

s√n

Menarik kesimpulan:

Pembuatan kesimpulan merupakan penetapan keputusan dalam hal

penerimaan atau penolakan hipotesis nol (H0), sesuai dengan kriteria

pengujiannya. Pembuatan kesimpulan dilakukan setelah membandingkan nilai

uji statistik dengan nilai a tabel atau nilai kritis.15

4. Tipe-Tipe Kesalahan15. Ibid, halaman 145.

a. Kesalahan tipe 1

Keputusan untuk menolak hipotesis nol apabila secara realita hipotesis nol

benar. Secara singkat ditulis dengan menolak H0 yang benar.

b. Kesalahan tipe 2

Keputusan untuk menerima hipotesis nol apabila secara relita hipotesis nol

salah. Secara singkat ditulis dengan menerima H0 yang salah.16

5. Jenis- Jenis Hipotesis

a. Berdasarkan Jenis Parameternya

1) Pengujian hipotesis tentang rata-rata

2) Pengujian hipotesis tentang proporsi

3) Pengujian hipotesis tentang varians

b. Berdasarkan Jumlah Sampelnya

1) Pengujian sampel besar (n > 30)

2) Pengujian sampel kecil (n < 30)

c. Berdasarkan Jenis Distribusinya

1) Pengujian hipotesis dengan distribusi Z

2) Pengujian hipotesis dengan distribusi t (t-student)

3) Pengujian hipotesis dengan distribusi χ (chi-square)

4) Pengujian hipotesis dengan distrbusi F (F-ratio)

d. Berdasarkan Arah atau Bentuk Formulasi Hipotesisnya

1) Pengujian hipótesis dua pihak (two tail test)

2) Pengujian hipotesis pihak kiri atau sisi kiri

3) Pengujian hipotesis pihak kanan atau sisi kanan. 17

6. Contoh Sampel Besar (n>30)

16 . Hasan Iqbal, Pokok – pokok Materi Statistik 2 ( Jakarta: PT. Bumi Aksara, 2005 ), halaman 162.

17 . Ibid, halaman 163.

Pimpinan bagian pengendalian mutu barang pabrik susu merek AKU SEHAT

ingin mengetahui apakah rata-rata berat bersih satu kaleng susu bubuk yang

diproduksi dan dipasarkan masih tetap 400 gram atau sudah lebih besar dari itu.

Dari data sebelumnya diketahui bahwa simpangan baku bersih per kaleng sama

dengan 125 gram. Dari sampel 50 kaleng yang diteliti, diperoleh rata-rata berat

bersih 375 gram. Dapatkah diterima bahwa berat bersih rata-rata yang dipasarkan

tetap 400 gram ? Ujilah dengan taraf nyata 5%!

Penyelesaian:

Dik: n (banyaknya) = 50

(rata-rata) = 375

σ (simpangan baku) = 125

µ0(rata-rata populasi) = 400

Jawab:

a. Formulasi

H0 : µ = 400

H1 : µ > 400

b. Taraf nyata dan nilai Z

α = 5% = 0,05

Z0,05 = 1,64 (sisi kanan)

  Kriteria Pengujian :H0 diterima jika Z0 ≤ Zα H0 ditolak jika Z0 > Zα..18

c. Uji statistik

18 . Supranto, Statistik Teori dan Aplikasi ( Jakarta: Erlangga, 1997), halaman 39.

Z0 = = = - 1,414

Z0,05 = 1,64

Dari uji statistik didapat Z0 = -1,414 maka H0 diterima.

d. Kesimpulan: rata-rata berat bersih satu kaleng susu bubuk yang dipasarkan

masih tetap 400 gram.19

7. Contoh Sampel Kecil (n≤30)

Seorang job-specialist menguji 25 karyawan dan dia mendapatkan bahwa

rata-rata penguasaan pekerjaan kesekretarisan adalah 22 bulan dengan simpangan

baku = 4 bulan. Dengan taraf nyata 5% , ujilah!

Apakah rata-rata penguasaan kerja kesekretarisan tidak sama dengan 20 bulan?

Jawab:

Diketahui : = 22, = 5% , S = 4, n = 25, µ0= 20

a. H0 : m = 20 H1 : m¹ 20

b. Statistik uji : t ® karena sampel kecil

c. Arah pengujian : 2 arah

d. Taraf Nyata Pengujian :

= 5% = 0.05 /2 = 2.5% = 0.025

db(derajat bebas) = n-1 = 25-1=24

t 0,025;24 =2,064 (lihat tabel sebaran t-student )

19. Ibid.

e. H0 diterima jika – tα/2 ≤ t0 ≤ tα/2

H0 ditolak jika t0 > tα/2

f. Statistik Hitung

t=x̄−μ0

s/√n=

22−204 /√25

= 20,8

=2,5

g. Kesimpulan :

Karena t0 = 2,5 > t 0,025;24 = 2,064 maka H0 ditolak. Jadi, rata-rata penguasaan

kerja kesekretarisan tidak sama dengan 20 bulan.20

BAB III

20 . Ibid, halaman 40.

PENUTUP

A. Kesimpulan

Hipotesis adalah perumusan sementara mengenai sesuatu hal yang dibuat untuk

menjelaskan hal itu dan untuk mengarahkan penyelidikan selanjutnya. Dalam

melakukan hipotesis, ada dua macam kekeliruan yang dapat terjadi, Dikenal dengan

nama-nama, yaitu kekeliruan tipe I adalah menlolak hipotesis yang seharusnya

diterima dan kekeliruan tipe II adalah menerima hipotesis yang seharusnya ditolak.

Prosedur pengujian hipotesis, yaitu merumuskan hipotes, menentukan taraf nyata,

menentukan uji statistik, menentukan daerah keputusan dan mengambil keputusan,

sehingga kita dapat menarik kesimpulan sesuai dengan prosedur hipotesis.

B.     Saran

Kami menyadari akan kekurangan dalam makalah ini, maka pembaca dapat

menggali kembali sumber-sumber lain untuk menyempurnakannya. Jadi kami

harapkan kritik yang membangun dari anda sekalian, agar kami bisa lebih baik dan

sempurna dalam pembuatan makalah selanjutnya. Semoga makalah ini bisa

bermanfaat bagi para pembaca.

DAFTAR PUSTAKA

Hasan, Iqbal. 2005. Pokok – pokok Materi Statistik 2. Jakarta: PT. Bumi Aksara.

Subana, dkk. 2000. Statistik pendidikan. Bandung: Pustaka Setia.

Sudjana. 1992. Metoda Statistik. Bandung: PT. Tarsito Bandung.

Supranto, J. 1997. Statistik Teori dan Aplikasi. Jakarta: Erlangga.

Riduwan. 1997. Dasar – dasar Statistika. Bandung: Alfabeta.