Tugas Proyek Akhir Probstok

TUGAS PROYEK AKHIR

PROBABILITAS DAN STOKASTIK

Ayu Yunita Sari / 1306369812

Indah Fresha / 1306369876

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS INDONESIA

2015

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah, puji syukur rahmat Allah SWT sehingga kami dapat menyelesaikan

laporan tugas akhir untuk menyelesaikan tugas mata kuliah Probabilitas dan Stokastik tepat

waktu. Banyak kesulitan yang telah kami temui dalam menyelesaikan Laporan Tugas Akhir ini,

tetapi hal ini tidak menyurutkan semangat kami untuk menyelesaikan tugas pengganti UAS ini.

Penulis menyadari bahwa dalam penulisan makalah ini masih jauh dari

kesempurnaan olehnya itu penulis mengharapkan kritik serta saran yang bersifat membangun

demi kesempurnaan makalah ini.

Penulis juga berharap agar makalah ini dapat berguna bagi para pembaca serta dapat

dijadikan bahan pembelajaran tambahan selain buku palajaran .

Penulis menyadari bahwa kesempurnaan hanya milik Allah SWT dan kekurangan adalah

milik kami. Oleh karena itu, penulis sangat mengharapkan masukan berupa kritik dan saran

untuk perbaikan karya tulis ini di kemudian hari.

Akhir kata, penulis berharap karya tulis ini dapat bermanfaat bagi semua pihak.

Depok, 02 Juni 2015

( Penulis )

DAFTAR ISI

Halaman judul ...........................................................................................................................................

Kata Pengantar ...........................................................................................................................................

Daftar Isi ...........................................................................................................................................

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang ..........................................................................................................................

1.2 Rumusan Masalah ...............................................................................................................................

1.3 Tujuan Penulisan ................................................................................................................................

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Dasar Teori

2.2 Pembahasan

BAB III

PENUTUP

Kesimpulan ...........................................................................................................................

Lampiran

Daftar Pustaka

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Antrian adalah suatu kejadian yang biasa dalam kehidupan seharihari. Menunggu di

depan loket untuk mendapatkan tiket kereta api atau tiket bioskop, pada pintu jalan tol, pada

bank, pada kasir supermarket, dan situasisituasi yang lain merupakan kejadian yang sering

ditemui. Studi tentang antrian bukan merupakan hal yang baru.

Salah satu model yang sangat berkembang sekarang ini ialah model matematika.

Umumnya, solusi untuk model matematika dapat dijabarkan berdasarkan dua macam prosedur,

yaitu : analitis dan simulasi. Pada model simulasi, solusi tidak dijabarkan secara deduktif.

Sebaliknya, model dicoba terhadap harga harga khusus variabel jawab berdasarkan syarat

syarat tertentu (sudah diperhitungkan terlebih dahulu), kemudian diselidiki pengaruhnya

terhadap variabel kriteria. Karena itu, model simulasi pada hakikatnya mempunyai sifat induktif.

Misalnya dalam persoalan antrian, dapat dicoba pengaruh bermacam macam bentuk sistem

pembayaran sehingga diperoleh solusi untuk situasi atau syarat kedatangan dan pelayanan.

Kami memiliki berbagai ide yang muncul, namun kami memilih judul Daftar Antrian

Truk untuk pembuatan data daftar antrian penggunaan truk. Judul tersebut dipilih karena kami

ingin mendapatkan Waiting Line Theory dan kami berkesempatan untuk mendapatkan data

survey langsung yang berlokasi tidak jauh dari tempat tinggal kami. Dalam pengolahan data

survey yang kami dapat, kami menggunakan pola distribusi poisson dalam distribusi penggunaan

truk baik kedatangan maupun keberangkatannya.

1.3 Rumusan Masalah

Sehubungan dengan adanya masalah yang timbul maka penulis merumuskan masalah sebagai

beikut :

1. Apakah jumlah unit truk cukup ?

2. Apa yang mengurangi waktu pasti jika kita menambah jumlah unit truk?

3. Berapa tenaga kerja supaya mendapatkan biaya yang paling murah dengan pelayanan

yang sama?

1.4 Tujuan Penulisan

Adapun tujuan penulis melakukan survei ini adalah lebih meningkatkan efisiensi baik untuk

tenaga kerja dan distributor dalam efisiensi waktu, tenaga, dan biaya untuk khususnya tenaga

kerja, dapat mengurangi jumlah biaya yang dikeluarkan tanpa mengurangi pelayanan yang

sama.

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Dasar Teori

Sistem Antrian

Ada tiga komponen dalam sistim antrian yaitu :

1. Populasi dan cara kedatangan pelanggan datang ke dalam sistem

2. Sistem pelayanan ( Waiting Line & Work Station )

3. Kondisi pelanggan saat keluar sistem

1. Populasi dan Cara Kedatangan Pelanggan

a) Populasi

Populasi yang akan dilayani,setiap masalah antrian melibatkan kedatangan, misalnya orang,

mobil, panggilan telepon untuk dilayani, dan lain lain. Unsur ini sering dinamakan proses

input. Proses input meliputi sumber kedatangan atau biasa dinamakan calling population, dan

cara terjadinya kedatangan yang umumnya merupakan variabel acak.

Karakteristik dari populasi yang akan dilayani dapat dilihat menurut ukurannya, pola

kedatangan, serta perilaku dari populasi yang akan dilayani. Menurut ukurannya, populasi yang

akan dilayani bisa terbatas (finite) bisa juga tidak terbatas (infinite).

b) Distribusi Kedatangan

Secara umum, formula garis tunggu antrian memerlukan informasi tingkat kedatangan unit

per periode waktu (arrival rate). distribusi kedatangan bisa teratur - tetap dalam satu periode.

Artinya kedatangan unit/ pelanggan dalam antrian dengan unit/ pelanggan berikutnya memiliki

periode waktu yang sama. Kedatangan yang seperti ini biasanya hanya ada di sistem produksi

dimana antrian dikendalikan oleh mesin. Kedatangan yang teratur sering kita jumpai pada proses

pembuatan/ pengemasan produk yang sudah distandardisasi. Pada proses semacam ini,

kedatangan produk untuk diproses pada bagian selanjutnya biasanya sudah ditentukan waktunya.

Pola kedatangan yang sifatnya acak dapat digambarkan dengan distribusi statistik dan dapat

ditentukan dua cara yaitu :

Dengan cara menganalisa kedatangan per satuan waktu untuk melihat apakah waktu

kedatangan unit/ pelanggan dalam antrian mengikuti pola distribusi statistik tertentu. Biasanya

kita mengasumsikan bahwa waktu kedatangan unit/ pelanggan dalam antrian dengan unit/

pelanggan berikutnya berdistribusi eksponensial.

Dengan cara menetapkan lama waktu (T) dan mencoba menentukan berapa banyak unit/

pelanggan yang datang ke dalam sistem dalam kurun waktu T. Secara spesifik biasanya

diasumsikan bahwa jumlah kedatangan per satuan waktu mengikuti pola distribusi Poisson.

Probabilitas n kedatangan dalam waktu T ditentukan dengan rumus

P ( n,t ) =

n = 0,1,2,..

Keterangan :

= rata rata kedatangan per satuan waktu

T = periode waktu

n = jumlah kedatangan dalam satuan waktu T

P (n,t) = Probabilitas n kedatangan dalam satuan waktu T

Jika kedatangan mengikuti Distribusi Poisson dapat ditunjukkan secara matematis bahwa

waktu antar kedatangan akan terdistribusi sesuai dengan distribusi eksponensial .

P ( T ) = 1 - 0

Keterangan :

P ( T ) = Probabilitas dimana waktu antar kedatangan T

= rata rata kedatangan per satuan waktu

t = suatu waktu tertentu

c) Pola Kedatangan

Kedatangan unit truk dalam sistem antrian, untuk beberapa kasus, dapat dikendalikan.

Misalnya kedatangan dikendalikan dengan cara menambah jumlah unit truk untuk mengambil

tanah kali pada jam sepi untuk efisiensi biaya bahan bakar transportasi.

d) Jumlah Unit/ Pelanggan yang Datang

Kedatangan tunggal atau dengan kata lain satu kali kedatangan bisa saja hanya terdiri dari

satu unit. Namun demikian bisa saja dalam satu kali kedatangan terdiri dari banyak unit yang

disebut batch arrivals, misalnya kedatangan truk pada suatu tempat penggalian tanah atas

permintaaan konsumen tertentu.

Sebuah penyedia tanah kali yang menyewakan truk yang dioperasikan oleh satu kelompok yang

terdiri dari tiga orang tenaga kerja. Terjadi antrian truk tetapi di saat lain, petugas yang

mengoperasikan menganggur.

Data yang didaptakan : rata-rata kedatangan 4 truk per jam.

rata-rata pelayanan 5 truk per jam.

biaya sewa truk Rp. 200.000 per jam

upah tenaga kerja Rp. 250.000 per hari

Perusahaan menggunakan 2 kelompok tenaga kerja, sehingga rata-rata pelayanan 12 truk per

jam. Dan 1 harinya 8 jam kerja untuk truk.

Untuk mengatasi masalah tersebut,dilakukan penambahan kelompok tenaga kerja untuk

mengoperasikan mesin.

2.2 Pembahasan

Perkiraan prestasi dari sistem antrian dapat digambarkan dengan misalnya : rata-rata jumlah

kedatangan dalam antrian, rata-rata waktu tunggu dari suatu kedatangan dan persentase waktu

luang dari pelayanan. Ukuran prestasi ini dapat digunakan untuk memutuskan jumlah pelayanan

yang harus diberikan, perubahan yang harus dilakukan dalam kecepatan pelayanan atau

perubahan lain dalam sistem antrian. Dengan sasaran pelayanan, jumlah pelayan dapat

ditentukan tanpa berpatokan pada biaya waktu tunggu. Ukuran prestasi dan parameter model

antrian ditentukan dengan notasi sebagai berikut:

= rata-rata kecepatan kedatangan (jumlah kedatangan persatuan waktu) 1/ = rata-rata waktu antar kedatangan

= rata-rata kecepatan pelayanan (jumlah satuan yang dilayani persatuan waktu bila pelayan

sibuk).

1/ = rata-rata waktu yang dibutuhkan pelayan

= faktor penggunaan pelayan (proporsi waktu pelayan ketika sedang sibuk) Pn = probabilita bahwa n satuan (kedatangan) dalam system

Lq = rata-rata jumlah satuan dalam antrian (rata-rata panjang antrian)

Ls = rata-rata jumlah satuan dalam system

Wq = rata-rata waktu tunggu dalam antrian

Ws = rata-rata waktu tunggu dalam sistem

Dalam kasus ini antrian yang didasarkan pada asumsi berikut :

1. Satu pelayanan dan satu tahap.

2. Jumlah kedatangan per unit waktu digambarkan oleh Distribusi Poisson dengan = rata-rata kecepatan kedatangan

3. Waktu pelayanan eksponensial dengan = rata-rata kecepatan pelayanan

4. Disiplin antrian adalah first come first served (Aturan antrian pertama datang-pertama dilayani) seluruh kedatangan dalam barisan hingga dilayani,

5. dimungkinkan panjang barisan yang tak terhingga.

6. populasi yang dilayani tidak terbatas

7. rata-rata kedatangan lebih kecil dari rata-rata waktu pelayanan

Dalam asumsi tersebut dapat diperoleh hasil

a. probabilitas fasilitas layanan sibuk atau factor utilisasi fasilitas

1. satu kelompok kerja : = 4/5

Pw = /

= 0.8

2. dua kelompok kerja :

= 4/10

= 0.4

3. tiga kelompok kerja :

= 4/15

= 0.267

4. empat kelompok kerja :

= 4/20

= 0.2

5. lima kelompok kerja :

= 4/25

= 0.16

b. Jumlah rata-rata dalam antrian

1. satu kelompok kerja :

= 42/ 5(5-4)

= 3.2

2. Dua kelompok kerja :

= 42/10(10-4)

= 0.267

3. Tigakelompok kerja :

= 42/15(15-4)

= 0.096

4. Empat kelompok kerja :

= 42/20(20-4)

=0.05

5. Lima kelompok kerja :

= 42/25(25-4)

= 0.03

c. Jumlah rata-rata didalam sistem ( yang antri dan yang sedang dilayani)

1. Satu kelompok kerja

= 4/5-4

= 4

2. Dua kelompok kerja

= 4/10-4

= 0.67

3. Tiga kelompok kerja

= 4/15-4

= 0.36

4. Empat kelompok kerja

= 4/20-4

= 0.25

5. Lima kelompok kerja

= 4/25-4

= 0.19

d. Waktu rata-rata dalam antrian

1. Satu kelompok kerja :

= 4/5(5-4)

= 0.8


= 4/10(10-4)

= 0.067

3. Tiga kelompok kerja :

= 4/15(15-4)

= 0.024


= 4/20(20-4)

= 0.0125


= 4/25(25-4)

= 0.0076

e. Waktu rata-rata dalam sistem


= 1/5-4

= 1


= 1/10-4

= 0.167


= 1/15-4

= 0.09


= 1/20-4

= 0.0625


= 1/25-4

= 0.0476

Perbandingan penggunaan kelompok tenaga kerja

1

kelompok

2

kelompok

3

kelompok

4

kelompok

5

kelompok

Rata-rata jumlah truk dalam

antrian

3.2 0.267 0.096 0.05 0.03

Rata-rata jumlah truk dalam

sistem

4 0.67 0.36 0.25 0.19

Rata-rata waktu truk dalam

antrian

0.8 0.067 0.024 0.0125 0.0076

Rata-rata waktu truk dalam

sistem

1 0.167 0.09 0.0625 0.0476

Probabilitas fasilitas 0.8 0.4 0.267 0.2 0.16

Biaya total penggunaan berdasarkan banyak kelmpok kerja


Biaya truk per hari = 4 x 8 jam x Rp 250.000

= Rp 8.000.000

Biaya tenaga kerja perhari = 3 x Rp. 200.000

= Rp 600.000

Biaya total = Rp 8.600.000


Biaya truk per hari = 0.67 x 8 jam x Rp. 250.000

= Rp. 1.333.000

Biaya tenaga kerja per hari = 6 x Rp. 200.000

= Rp. 1.200.000

Biaya total = Rp. 2.533.000



= Rp. 720.000


= Rp. 1.800.000




= Rp. 500.000


= Rp. 2.400.000



Biaya truk perhari = 0.19 x 8jam x Rp. 250.000

= Rp. 380.000


= Rp. 3.000.000


Biaya truk Biaya tenaga kerja Biaya total

Satu kelompok Rp. 8.000.000 Rp. 600.000 Rp. 8.600.000

Dua kelompok Rp. 1.333.000 Rp. 1.200.000 Rp. 2.533.000

Tiga kelompok Rp. 720.000 Rp. 1.800.000 Rp. 2.520.000

Empat kelompok Rp. 500.000 Rp. 2.400.000 Rp. 2.900.000

Lima kelompok Rp. 380.000 Rp. 3.000.000 Rp. 3.380.000

BAB III

PENUTUP

Kesimpulan

Pola distribusi Poiison digunakan dalam antrean di mana kedatangan pelanggan cenderung

mengelompok seperti data survey yang kami dapatkan. Penggunaan pola distribusi Poisson dapat

mengurangi biaya , waktu, dan tenaga yang dikeluarkan dalam suatu pola antrean yang banyak.

Lampiran

Data Kedatangan Truk Data Pelayanan Truk Truk ke Jam Kedatangan Truk ke Jam Selesai Pelayanan Dilayani Oleh

1 8.15 1 8.42 kelompok 1

2 8.33 2 8.51 kelompok 2

3 8.47 3 9.12 kelompok 1

4 8.58 4 9.28 kelompok 2

5 9.14 5 9.39 kelompok 1

6 9.27 6 9.47 kelompok 2

7 9.44 7 9.55 kelompok 1

8 9.55 8 10.22 kelompok 2

9 10.05 9 10.33 kelompok 1

10 10.26 10 10.51 kelompok 2

Daftar Pustaka

queuing-bcit.blogspot.com/

en.wikipedia.org/wiki/Queueing_theory

Tugas Proyek Akhir Probstok

Documents

Transcript of Tugas Proyek Akhir Probstok