Tugas Persamaan Dfferensial Parsial

Latihan 4.2 (nomor genap)

Dalam soal nomor 1-8, memecahkan masalah selaput getaran (2)-(4) untuk data yang

diberikan. Jika mungkin, dengan bantuan komputer, temukan nilai kuantitatif untuk lima

koefisien nonzero pertama dari deret solusi dan plot bentuk membran pada berbagai nilai .

(Formula (11) berguna untuk semua latihan).

2.

4.

[Petunjuk: Relasi orthogonalitas pada bagian 4.8]

6.

8.

[Petunjuk: pengintegrasian secara parsial, contoh 2]

10. Masalah: secara radial persamaan panas simetri dalam suatu disk.

Gunakan metode pada bagian ini untuk menunjukkan bahwa solusi panas dari masalah ini

Adalah

Dengan

Dimana , dan = positif nonzero dari

11. (a) menyelesaikan masalah panas pada latihan 10 jika , .

Bagaimana solusi yang kamu dapatkan?

(b). Mendekati temperatur dari titik terpanas pada plat pada waktu , diberikan

dan . Dimana titik tersebut berada pada plate? Bagaimana jawabanmu?

12. Masalah: Integral identitas dengan Fungsi Bessel

(a). Gunakan (7) dan (8), pada bagian 4.8 untuk menghitung identitas

Generalisasi dari bentuk identitas ini

(b) dengan pengintegralan (5), bagian 4.8, menunjukkan bahwa

(c) gunakan integral pertama dalam (a), (b) dan induksi untuk menentukan bahwa

Seperti suatu ilustrasi, turunkan identitas berikut:

(d) dengan mengintegralkan (3), bagian 4.8, tunjukkan bahwa

[petunjuk: hitung integralnya dari secara parsial]

(e) ambil dalam (d) dan gunakan (c) untuk membuktikan bahwa untuk

Turunkan identitas berikut:

JAWABAN:

Solusi simetri radial gelombang dua dimensi:

Dimana

2.

Mencari nilai

Dengan integral parsial, dimana dan

(dengan persamaan (7), bagian 4.8, dimana , diperoleh

Untuk menghitung integralnya, berdasarkan persamaan (11) diperoleh

Dimana

Maka

Mencari nilai

Substitusi nilai dan ke persamaan:

Jadi,

4.

Mencari nilai

Mencari nilai

Untuk

Substitusi dan ke persamaan:

Jadi,

6.

Mencari nilai

Dengan integral parsial, dimana dan

diperoleh

Mencari nilai

Substitusi nilai dan ke persamaan:

Jadi,

8.

[Petunjuk: pengintegrasian secara parsial, contoh 2]

Mencari nilai

Dengan integral parsial, dimana dan

(dengan persamaan (7), bagian 4.8, diperoleh:

Dengan integral parsial lagi, dimana dan

, diperoleh:

Untuk

Misal dan dan diperoleh

Karena

Sehingga

Mencari nilai

Substitusi nilai dan ke persamaan:

Jadi,

10. Pemisahan variabel, mencari solusi dari bentuk Dengan memasukkan

ke dalam persamaan panas, diperoleh

Dimana adalah konstanta pemisah. (pemilihan tanda nonnegatif untuk konstanta

pemisah akan dibuktikan sebentar lagi). Karena berdasarkan dua persamaan diferensial

biasa:

Catatan bahwa persamaan dalam adalah turunan pertama. Solusi fungsi

eksponensialnya

Jika telah dipilih konstanta pemisah negatif , solusi menjadi

Yang mana akan bergerak secara eksponensial dengan . Ini tidak bisa

dipertimbangkan pada alasan-alasan pisik dengan demikian kita membuang solusi ini dan

konstanta pemisahan yang bersesuaian, dan mengambil konstanta pemisah menjadi

nonnegatif. Syarat batas adalah

Solusi dari parameter bentuk persamaan Bessel

Adalah

Turunan untuk menjadi berhingga, dengan memisalkan sebab tidak

dibatasi mendekati dan kondisi syarat batas

mengakibatkan

Dimana adalah nth positive zero dari . Pemecahan persamaan yang bersesuaian

dalam , diperoleh

Dengan begitu solusi

Ini berdasarkan persamaan panas dan kondisi syarat batas. Maka

Dengan , diperoleh

Karenanya adalah koefisien Fourier Bessel dari dan diperoleh dari

11. (a) dengan , diperoleh dari latihan 10,

Karenanya

(b). Dengan memasukkan nilai dan , solusi didapatkan seperti

Plot grafik yang dihasilkan seperti berikut ini:

12. (a) dengan persamaan (8) bagian 4.8 dengan . Maka

Dengan persamaan (7) bagian 4.8, dengan . Maka

(b). Berdasarkan persamaan (5) bagian 4.8, diperoleh

Integralkan kedua ruas, maka

(c). Formula benar untuk , karena direduksi menjadi

Yang benar oleh (a). Asumsikan formula benar untuk dan akan dibuktikan

untuk . Berdasarkan yang telah didapat dari (b), dengan dan

hipotesis induksi,

Yang ditunjukkan bahwa formula yang dipertahankan untuk dan dengan

begitu formula tersebut dipertahankan untuk setiap dengan induksi. Ambil

dan diperoleh

(d). Memulai denga persamaan (3), bagian 4.8 diperoleh

Dengan integral parsial:

Jadi

Dimana persmaan terakhir mengikut bentuk sebelumnya dnegan mengubah

menjadi .

(e). Bentuk (d) dan (e), didapatkan

Ambil , maka

Ambil , maka

Tugas Persamaan Differensial Parsial

OLEH:

IIN KARMILA PUTRI K

P3500212002

PROGRAM STUDI MATEMATIKA TERAPAN

PROGRAM PASCASARJANA UNHAS

2013