Tugas Pengganti UAS-Kamila Luthfia Putri

download Tugas Pengganti UAS-Kamila Luthfia Putri

of 24

  • date post

    10-Jan-2016
  • Category

    Documents

  • view

    286
  • download

    36

Embed Size (px)

description

tugas pengganti uas komnum

Transcript of Tugas Pengganti UAS-Kamila Luthfia Putri

  • TUGAS UAS

    KOMPUTASI NUMERIK

    Oleh :

    Kamila Luthfia Putri (1306412193)

    DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA

    FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS INDONESIA

    DEPOK 2014

  • 2

    DAFTAR ISI

    BAB I Dasar Teori

    1.1 Diferensiasi Numerik ..................................................................................................... 3

    1.2 Metode Euler .................................................................................................................. 4

    1.3 Metode Heun .................................................................................................................. 5

    1.4 Metode Midpoint .......................................................................................................... 6

    1.5 Metode Runge Kutta ...................................................................................................... 7

    BAB II Pembahasan Soal

    2.1 Case Study : Paket SoalA .......................................................................................... 12

    2.2 Soal 2 (Buku Chapra-Canale, english Book/E-Book) .................................................. 19

    2.3 Soal 3 ( Opsi Tambahan) : Buku Chapra-Canale, Bhs Ind. ........................................... 22

  • 3

    BAB I

    Dasar Teori 1.1 Diferensiasi Numerik

    Metode numerik adalah suatu prosedur yang menghasilkan solusi perkiraan

    (approximate solution) pada suatu nilai, dengan hanya menggunakan operasi penambahan,

    pengurangan, perkalian dan pembagian.Metode numerik sangat sesuai digunakan untuk

    menyelesaikan persamaan-persamaan diferensial (dan juga integral) yang kompleks.

    Masalah diferensiasi numerik adalah penentuan nilai pendekatan atau hampiran untuk

    turunan suatu fungsi f yang umumnya diberikan dalam bentuk tabel. Diferensiasi numerik

    harus dihindari bilamana mungkin karena umumnya nilai pendekatan diferensial akan kurang

    teliti dibandingkan nilai fungsi yang merupakan asal nilai-nilai tersebut diturunkan.

    Sebenarnya, turunan adalah limit dari hasilbagi dan dalam hal ini ada proses pengurangan

    dua be saran bernilai besar dan membagi dengan besaran kecil. Lebih lanjut jika fungsi f

    dihampiri menggunakan suatu polinom p, selisih dalam nilai-nilai fungsi boleh jadi kecil

    tetapi turunan-turunannya mungkin sangat berbeda. Karenanya masuk akal bahwa diferens

    iasi numerik adalah runyam, berlawanan dengan integrasi numerik, yang tidak banyak

    dipengaruhi oleh ketidaktelitian nilai-nilai fungsi, karena integrasi pada dasarnya adalah

    suatu proses yang mulus.

    Metode numerik diperlukan untuk menyelesaikan suatu fungsi yang sulit untuk

    dikerjakan secara manual. Perhitungan kalkulus banyak digunakan untuk keperluan

    perhitungan geometrik, yang berhubungan dengan perubahan nilai per-satuan waktu atau

    jarak. Secara kalkulus, didefinisikan sebagai perbandingan perubahan tinggi (selisih tinggi)

    dan perubahan jarak.

    (1)

    (2)

    dengan komdisi awal, dan

    . Hubungan antara nilai fungsi dan

    perubahan fungsi untuk setiap titiknya didefinisikan:

    (3)

    Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan

    differensial, antara lain: metode Euler, metode Midpoint, metode runge-kutta dan metode-

    metode prediktor-korektor seperti metode Adam Moulton. Hanya saja metode-metode

    pendekatan ini menyebabkan penyelesaian yang dihasilkan bukanlah penyelesaian umum

    dari persamaan differensial, tetapi penyelesaian khusus dengan nilai awal dan nilai batas

    yang ditentukan. Permasalahan persamaan differensial ini merupakan permasalahan yang

    banyak ditemui ketika analisa yang dilakukan tergantung pada waktu dan nilainya

  • 4

    mengalami perubahan-perubahan berdasarkan waktu. Hampir banyak model matematis di

    dalam ilmu teknik menggunakan pernyataan dalam persamaan differensial.

    1.2 Metode Euler

    Metode Euler adalah salah satu dari metode satu langkah yang paling sederhana. Di

    banding dengan beberapa metode lainnya, metode ini paling kurang teliti. Namun demikian

    metode ini perlu dipelajari mengingat kesederhanaannya dan mudah pemahamannya

    sehingga memudahkan dalam mempelajari metode lain yang lebih teliti.

    Metode Euler dapat diturunkan dari Deret Taylor:

    (4)

    Apabila nilai x kecil, maka suku yang mengandung pangkat lebih tinggi dari 2 adalah

    sangat kecil dan dapat diabaikan, sehingga persamaan diatas dapat ditulis menjadi:

    (5)

    Dengan membandingkan persamaan diatas dapat disimpulkan bahwa pada metode

    Euler, kemiringan = 'iy = f (xi , yi), sehingga persamaan dapat ditulis menjadi:

    (6)

    h (7)

    dengan i = 1, 2, 3, Persamaan diatas adalah metode Euler, nilai yi + 1 diprediksi dengan

    menggunakan kemiringan fungsi (sama dengan turunan pertama) di titik xi untuk

    diekstrapolasikan secara linier pada jarak sepanjang pias x. Gambar 1, adalah penjelasan

    secara grafis dari metode Euler.

    Kesalahan Metode Euler

    Penyelesaian numerik dari persamaan diferensial biasa menyebabkan terjadinya dua

    tipe kesalahan, yaitu:

    1) Kesalahan pemotongan, yang disebabkan oleh cara penyelesaian yang digunakan untuk

    perkiraan nilai y,

    Gambar 1. Metode Euler

  • 5

    2) Kesalahan pembulatan, yang disebabkan oleh keterbatasan jumlah angka (digit) yang

    digunakan dalam hitungan.

    Kesalahan pemotongan terdiri dari dua bagian. Pertama adalah kesalahan pemotongan

    lokal yang terjadi dari pemakaian suatu metode pada satu langkah. Kedua adalah kesalahan

    pemotongan menyebar yang ditimbulkan dari perkiraan yang dihasilkan pada langkah-

    langkah berikutnya. Gabungan dari kedua kesalahan tersebut dikenal dengan kesalahan

    pemotongan global.

    1.3 Metode Heun

    Metode Heun merupakan modifikasi dari metode Euler. Modifikasi dilakukan dalam

    memperkirakan kemiringan . Metode ini memperkirakan dua turunan pada interval, yaitu

    pada ujung awal dan akhir. Kedua turunan tesebut kemudian diratakan untuk mendapatkan

    perkiraan kemiringan yang lebih baik (Gambar 2).

    Berdasarkan metode Euler, kemiringan pada ujung awal dari interval adalah:

    (8)

    Kemiringan tesebut digunakan untuk menghitung nilai yi + 1 dengan ekstrapolasi linier

    sehingga:

    (9)

    Nilai 0 1i y dari persamaan (8.14) tersebut kemudian digunakan untuk memperkirakan

    kemiringan pada ujung akhir interval, yaitu:

    (10)

    Kedua kemiringan yang diberikan oleh persamaan (8) dan persamaan (10),

    kemudian diratakan untuk memperoleh kemiringan pada interval, yaitu:

    Gambar 2. Metode Heun

  • 6

    Kemiringan rerata tersebut kemudian digunakan untuk ekstrapolasi linier dari yi ke yi

    + 1 dengan menggunakan metode Euler:

    (11)

    Metode Heun ini disebut juga metode prediktor-korektor. Persamaan (9) disebut

    dengan persamaan prediktor, sedang persamaan (11) disebut dengan persamaan korektor.

    1.4 Metode Midpoint (Poligon)

    Metode Poligon dapat juga disebut sebagai modifikasi dari metode Euler. Metode

    Euler digunakan untuk memprediksi kemiringan nilai y pada titik tengah interval. Untuk itu

    pertama kali dihitung nilai yi + 1/2 berikut ini. Gambar 8.5 adalah penjelasan dari metode

    tersebut.

    (12)

    Kemudian nilai tersebut digunakan untuk mengestimasi kemiringan pada titik tengah

    interval, yaitu :

    Kemiringan tersebut merupakan perkiraan dari kemiringan rerata pada interval, yang

    kemudian digunakan untuk ekstrapolasi linier dari xi ke xi + 1 dengan menggunakan metode

    Euler:

    (13)

    Gambar 3. Metode Euler yang dimodifikasi (Poligon)

  • 7

    1.5 Metode Runge Kutta

    Pada metode Euler memberikan hasil yang kurang teliti maka untuk mendapatkan

    hasil yang lebih teliti perlu diperhitungkan suku yang lebih banyak dari deret Taylor atau

    dengan menggunakan interval x yang kecil. Kedua cara tersebut tidak menguntungkan.

    Penghitungan suku yang lebih banyak memerlukan turunan yang lebih tinggi dari fungsi nilai

    y (x), sedang penggunaan x yang kecil menyebabkan waktu hitungan lebih panjang.

    Metode Runge-Kutta memberikan hasil ketelitian yang lebih besar dan tidak memerlukan

    turunan dari fungsi, bentuk umum dari metode Runge-Kutta adalah:

    xxyxyy ),,( iii1i (14)

    dengan (xi, yi, x) adalah fungsi pertambahan yang merupakan kemiringan rerata pada

    interval.

    Fungsi pertambahan dapat ditulis dalam bentuk umum:

    nn2211 ... kakaka (15)

    dengan a adalah konstanta dan k adalah:

    k1 = f (xi, yi) (16a)

    k2 = f (xi + p1x, yi + q11 k1x) (16b)

    k3 = f (xi + p2x, yi + q21 k1x + q22 k2x) (16c)

    kn = f (xi + pn 1x, yi + qn 1, 1 k1x + qn 1, 2 k2x + + qn 1, n 1 kn 1x) (16d)

    Persamaan tersebut menunjukkan bahwa nilai k mempunyai hubungan berurutan.

    Nilai k1 muncul dalam persamaan untuk menghitung k2, yang juga muncul dalam persamaan

    untuk menghitung k3, dan seterusnya. Hubungan yang berurutan ini membuat metode Runge-

    Kutta adalah efisien dalam hitungan.

    1) Metode Runge-Kutta order 2

    Metode Runge-Kutta order 2 mempunyai bentuk:

    xkakayy )( 2211i1i (17a)

    dengan:

    ),( ii1 yxfk (17b)

    ),( 111i1i2 xkqyxpxfk (17c)

    Nilai a1, a2, p1 dan q11 dievaluasi dengan menyamakan persamaan (17a) dengan deret

    Taylor order 2, yang mempunyai bentuk:

  • 8

    2

    ),('

    1

    ),( iiiii1i

    xyxf

    xyxfyy (18)

    dengan ),(' ii yxf dapat ditentukan dari hukum berantai (chain rule) berikut:

    dx

    dy

    y

    f

    x

    fyxf

    ),(' ii (19)

    Substitusi persamaan (8.24) ke dalam persamaan (8.23) menghasilkan:

    2

    )(

    1

    ),( iii1i

    x

    dx

    dy

    y

    f

    x

    fxyxfyy

    (20)

    Dalam metode Runge-Kutta ini dicari nilai a1, a2, p1 dan q11 sedemikian sehingga

    persamaan (8.22a) ekivalen dengan persamaan (8.25). Untuk itu digunakan deret Taylor

    untuk mengembangkan persamaan (8.22c). Deret Taylor untuk fungsi dengan dua

    variabel mempunyai bentuk:

    ...),(),(

    y

    gs

    x

    gryxgsyrxg

    Dengan cara tersebut, persamaan (8.22c) dapat ditulis dalam bentuk:

    )(),(),( 21111ii111i1i x0y

    fxkq

    x

    fxpyxfxkqyxpxf

    Bentuk diatas dan persamaan (17b) disubstitusikan ke dalam persamaan (17a) sehingga

    menjadi:

    )(),(

    ),(),(

    3

    ii

    2

    112

    2

    12ii2ii1i1i

    x0x

    fyxfxqa

    x

    fxpayxfxayxfxayy

    atau

    )(),(

    ),(),(

    32

    ii11212

    ii2ii1i11

    x0xx

    fyxfqa

    x

    fpa

    xyxfayxfayy

    (21)

    Dengan membandingkan persamaan (20) dan persamaan (21), dapat disimpulkan bahwa

    kedua persamaan akan ekivalen apabila:

    a1 + a2 = 1. (22a)

    a2 p1 = 2

    1. (22b)

  • 9

    a2 q11 = 2

    1. (22c)

    Sistem persamaan diatas yang terdiri dari tiga persamaan mengandung empat bilangan

    tak diketahui, sehingga tidak bisa diselesaikan. Untuk itu salah satu bilangan tak

    diketahui ditetapkan, dan kemudian dicari ketiga bilangan yang lain. Dianggap bahwa a2

    ditetapkan, sehingga persamaan (22a) sampai persamaan (22c) dapat diselesaikan dan

    menghasilkan:

    21 1 aa (23a)

    2

    1112

    1

    aqp (23b)

    Karena nilai a2 dapat dipilih sembarang, maka akan terdapat banyak metode Runge-Kutta

    order 2.

    Dibawah ini merupakan 3 metode Runge-Kutta order 2 yang sering digunakan.

    a) Metode Heun

    Apabila a2 dianggap 2

    1, maka persamaan (23a) dan persamaan (23b) dapat

    diselesaikan dan diperoleh:

    Parameter tersebut apabila disubstitusikan ke dalam persamaan (17a) akan

    menghasilkan:

    (24a)

    dengan:

    (24b)

    (24c)

    dimana k1 adalah kemiringan fungsi pada awal interval dan k2 adalah kemiringan

    fungsi pada akhir interval. Dengan demikian metode Runge-Kutta order 2 adalah

    sama dengan metode Heun.

    b) Metode Poligon (a2 = 1)

    Apabila a2 dianggap 1, maka persamaan (23a) dan persamaan (23b) dapat

    diselesaikan dan diperoleh:

  • 10

    Parameter tersebut apabila disubstitusikan ke dalam persamaan (17a) akan

    menghasilkan:

    (25a)

    dengan:

    (25b)

    (25c)

    c) Metode Ralston

    Dengan memilih a2 =3

    2, akan menghasilkan kesalahan pemotongan minimum untuk

    metode Runge-Kutta order 2. Dengan a2 =3

    2, didapat:

    sehingga :

    (26a)

    dengan:

    (26b)

    (27c)

    2) Metode Runge-Kutta Order 3

    Metode Runge-Kutta Order 3 diturunkan dengan cara yang sama dengan order 2 untuk

    nilai n = 3. Hasilnya adalah 6 persamaan dengan 8 bilangan tak diketahui. Oleh karena itu

    2 bilangan tak diketahui harus ditetapkan untuk mendapatkan 6 bilangan tak diketahui

    lainnya. Hasil yang biasa digunakan adalah:

    (28a)

    Dengan:

    (28b)

    (28c)

  • 11

    (28d)

    3) Metode Runge-Kutta Order 4

    Metode Runge-Kutta order 4 banyak digunakan karena mempunyai ketelitian lebih

    tinggi. Metode ini mempunyai bentuk:

    (29a)

    Dengan:

    (29b)

    (29c)

    (29d)

    (29e)

  • 12

    BAB II

    Pembahasan Soal 2.1 Case Study : Paket SoalA Soal Sumber :

    Hasan Akhtar Zaidi and Kamal Kishore Pant, Combined experimental and kinetic

    modeling studies for the conversion of gasoline range hydrocarbons from

    methanol over modified HZSM-5 catalyst, Korean J. Chem. Eng., 27(5), 1404-

    1411 (2010)

    1. Model-I The unanimously accepted reaction path for the methanol conversion to hydrocarbons is

    The basis for the model I was proposed for the disappearance of DME over ZSM-5 catalyst. The

    reaction model is represented as follows:

    where A represents Oxygenates (methanol+DME)), B (Olefins) and C (liq. Hydrocarbon

    aromatics+paraffins) for methanol to hydrocarbon conversion reaction. This model takes into

    account the autocatalytic nature of the reactions and considers the reaction rate of disappearance

    of methanol and DME by reaction of oxygenates with olefins. The kinetic equations for the

    above model have been formulated by considering the elementary steps for the mechanism and

    are given in Eqs. (6) and (7) in terms of mass fraction (Y) of species and space time ( =W/FA0):

    The above equations were solved simultaneously using a fourth order Runge-Kutta method as

    discussed before. The experimental data were fitted at all the temperatures. The final kinetic

    constants after best fitting are given in Eqs. (8), (9) and (10), respectively.

    A comparison between experimental data of the weight fraction (water free basis) of oxygenates,

    light olefins and rest of the hydrocarbons and the values calculated from the model has been

    plotted at different contact time. As can be seen from Figs. 9(a) to (c), the model proposed by

    Eqs. (6) and (7) adequately fits the experimental data. The parity plot between experimental and

    calculated mass fractions at different contact times temperatures is also shown in Fig. 9(d). The

  • 13

    weighted least square analysis method was used to calculate the difference between

    experimental and simulated values. The deviation between experimental and simulated values

    was 1.1%. This model is simple, establishes olefins as primary products, and proposes the

    reaction between oxygenates and the olefins as an autocatalytic step.

    Berdasarkan formula rumus berdasarkan metode Runge-Kutta Orde IV, maka berilah contoh bagaimana cara perhitungan untuk mendapatkan harga slope =, k1, k2, k3 dan k4 pada titik awal dan satu titik atau dua titik setelahnya. Kondisi Awal pada saat =0, Mass Fraction YAo = 1 dan YBo =0. A adalah komponen metanol dan DME, B adalah komponen Olefin

    Selesaikanlah persamaan difrensial biasa (PDB atau ODE = ordinary differential Equation) pada persamaan 6, 7 dengan menggunakan Runge kuta Orde Empat dengan membuat tabel

    dalam perhitungan excell slope =, k1, k2, k3 dan k4 , YA dan YB. Buat Rentang perhitungan space time dari =0 sampai dengan =0.2 dengan step size h yang sekecil mungkin.

    Dan Buatlah plot kurva hubungan anatara dengan Mass Fraction YA dan YB dalam x-y diagram. seperti menyerupai kurva terlihat pada gambar 9a, 9b dan 9c, sehingga mendapatkan

    hubungan antara space time ( =W/FA0) dengan Mass Fraction YA serta hubungan antara space time ( =W/FA0) dengan Mass Fraction YB

    Jawab:

    Tabel 9(a) Kasus A dengan Suhu 635 K.

    Kondisi awal pada saat = 0, Mass Fraction YAo = 1 dan YBo = 0. Rentang perhitungan space

    time dari = 0 sampai dengan = 0,2 dengan step size h = 0,01 untuk suhu 635 K.

    Persamaan 6 dan 7 adalah sebagai berikut:

  • 14

    Dimana nilai k1, k2, dan k3 didapatkan dari persamaan 8, 9, 10 berikut ini:

    Selanjutnya memasukkan nilai k1, k2, dan k3 ke dalam persamaan 6 dan 7, sehingga persamaan 6

    dan 7 menjadi:

  • 15

    a. Perhitungan untuk mendapatkan harga slope =, k1, k2, k3 dan k4 pada titik awal dan satu titik atau dua titik setelahnya, berdasarkan formula rumus berdasarkan

    metode Runge-Kutta Orde IV

    Dimana

    Mencari seluruh slope pada awal interval yaitu = 0 untuk persamaan yA

    -3.223087

    -3.17428

    -3.175020188

    -3.126831295

    0.968252468

    Nilai slope untuk persamaan yB

    3.223087

    3.174264

    3.175004113

    3.126799138

    0.031747371

    b. Metode Runge-Kutta Orde Empat

  • 16

    Berikut adalah metode Runge-Kutta Orde Empat :

    Pernyataan Masalah: Gunakan metode metode Runge-Kutta Orde Empat untuk

    mengintegrasikan secara numerik persamaan berikut:

    dari = 0 sampai = 0,2, dengan ukuran step size = 0,01. Kondisi awal pada = 0 adalah

    YAo = 1 dan YBo = 0 untuk suhu 635 K.

    Persamaan-persamaan yang digunakan untuk metode Runge-Kutta Orde Empat ini dalam

    menjawab permasalahan di atas adalah (indeks A menunjukkan k untuk persamaan YA

    sedangkan indeks B menunjukkan nilai k untuk persamaan YB):

    Maka

    Dengan menggunakan Microsoft Excel maka didapatkan tabel berikut ini:

  • 17

    Gambar 1. Print Screen hasil perhitungan menggunakan Excel untuk mencari nilai yA

  • 18

    Gambar 2. Print Screen hasil perhitungan menggunakan Excel untuk mencari nilai yB

    c. Berikut adalah grafik dari metode Runge-Kutta Orde Empat di atas:

    Gambar 3. Grafik perbandingan yA dan yB dengan metode Runge Kutta

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22

    Mas

    s fr

    acti

    on

    (Y

    )

    Space Time ()

    Grafik Perbandingan YA dan YB dengan Metode Runge-Kutta Orde Empat

    YA

    YB

  • 19

    2.2 Soal 2 (Buku Chapra-Canale, english Book/E-Book)

    25.1 Solve the following initial value problem over the interval from t = 0 to 2 where y(0) = 1.

    Display all your results on the same graph.

    dy/dt = yt3 1.5y

    (a) Analytically.

    (b) Eulers method with h = 0.5 and 0.25. (c) Midpoint method with h = 0.5.

    (d) Fourth-order RK method with h = 0.5.

    Jawab :

    (a) Analytically.

    Pada t=0, y(0)=1

    Maka persamaan diatas menjadi,

    (b) Eulers method with h = 0.5 and 0.25. Dengan H=0,5

    Pada kondisi awal : t = 0 y = 1

    Langkah pertama (i+1): t = 0,5

    0 2 0 3 1 0 2 0 3

    Dengan H=0,25

    Pada kondisi awal : t = 0 y = 1

    Langkah pertama (i+1): t = 0,25

  • 20

    0 2 0 2 3 1 0 2 0 2

    Selanjutnya menggunakan program Excel untuk mencari nilai f(t,y) dengan H=0,5 dan H=0.25

    Gambar 4. Print Screen hasil perhitungan menggunakan Excel untuk mencari nilai f(t,y) untuk H=0,5 dan H=0.25

    (c) Midpoint method with h = 0.5

    Persamaan yang digunakan

    t3 1

    Untuk t = 0 hingga t = 2 pada h = 0,5

    Gambar 5. Print Screen hasil perhitungan menggunakan Excel untuk mencari nilai f(t,y) untuk H=0,5 dengan midpoint method

  • 21

    (d) Fourth-order RK method with h = 0.5

    Dimana

    Untuk t = 0 hingga t = 2 pada h = 0,5

    Gambar 6 Print Screen hasil perhitungan menggunakan Excel untuk mencari nilai f(t,y) untuk H=0,5 dengan Fourth-order RK

    method

    Setelah menghitung nilai y dengan menggunakan 4 metode didaptkan data sebagai berikut

    Tabel 1 Perbandingan Hasil Y dari Seluruh Metode yang Digunakan

    t y

    Analytical y Euler y MidPoint y RK

    0 1 1 1 1

    0.25 0.47981 0.25 0.53125 0.48109599

    0.5 0.2865 0.078125 0.2915649 0.28693225

  • 22

    0.75 0.37367 0.05859375 0.2277851 0.37375219

    1 2.71828 0.11352539 0.5414345 2.51307247

    Dari hasil perhitungan metode analitik, Euler h(0,25), Euler h(0,5), midpoint, dan Runge Kutta

    orde 4 didapat grafik sebagai berikut.

    2.3 Soal 3 ( Opsi Tambahan) : Buku Chapra-Canale, Bhs Ind. Soal 3.1 Gunakan metode Runge Kutta orde keempat untuk menyelesaikan Soal 16.10 halaman 640

    Buku Chapra-Canale edisi Bhs Ind. Berdasarkan

    16.10 Gunakan metode Euler dengan suatu ukuran langkah sebesar 1,0 untuk menyelesaikan

    sistem persamaan yang berikut x = 0 hingga x = 10;

    Dimana y1 = 25 dan y2 = 7 pada x = 0

    Jawab :

    Fourth-order RK method with h = 1,0

    Dimana

    0

    0.5

    1

    1.5

    2

    2.5

    3

    0 0.5 1 1.5 2 2.5

    y

    t

    t vs y

    Midpoint,Sheet2! h=0,5

    Euler, h=0,5

    Euler, h=0,25

    4th-Ord RK, h=0,5

    Analytical

  • 23

    Untuk x = 0 hingga x = 10 pada h = 1,0. Dimana pada x = 0 y1 = 25 dan y2 = 7

    Menghitung nilai x, y, k1, k2, k3, dan k4 menggunakan program excel

    Gambar 7. Print Screen hasil perhitungan menggunakan Excel untuk mencari nilai yA dan yb dengan Fourth-order RK method

  • 24

    Dari data diatas nilai yA dan yB di plot ke dalam grafik sebagai berikut

    0

    1000

    2000

    3000

    4000

    5000

    6000

    7000

    8000

    0 2 4 6 8 10 12

    x

    y

    x vs y1 dan x vs y2

    y1

    y2