ANALISIS KASUS PENGHEMATAN BIAYA TRANSPORTASI

DALAM PENDISTRIBUSIAN SEPATU DAN TAS

disusun oleh :

Tuti Rubianti 140110120002

Mega Novia Andriani 140110120048

Beverly Clarissa Wicaksono 140110120052

Ghiffaniaz Zahra Fadillah 140110120084

Program Studi Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Padjadjaran

2015

I. Studi Kasus

Sebuah home industry akan memproduksi produk sepatu dan tas yang mendapat

pesanan dari berbagai wilayah kota di Indonesia. Sebagian dari pendistribusian sepatu dan tas

ini dikerjakan sendiri oleh perusahaan tersebut, sebagian lainnya menggunakan jasa perusahaan

lain. Kendaraan yang ada sekarang sudah tua dan akan diganti. Perusahaan ini mempunyai

pilihan 2 tipe kendaraan, dimana kendaraan tipe A hanya dapat mengirimkan sepatu dengan

jumlah maksimum 100 pasang sepatu. Sementara kendaraan B dapat mengirimkan sepatu dan

dalam jumlah maksimum 50 pasang sepatu dan 20 tas.

Untuk membeli kendaraan tipe A akan mengakibatkan perusahaan dapat menghemat

sebanyak 1000 (x 1 dollar) per bulan dibandingkan bila memakai jasa perusahaan lain. Untuk

kendaraan tipe B, perusahaan dapat menghemat sebanyak 700 (x 1 dollar) per bulannya.

Jelaslah bahwa perusahaan ini ingin memaksimumkan besarnya penghematan ini, bila jumlah

sepatu yang harus dikirimkan sebanyak 2425 pasang sepatu dan tas yang harus dikirimkan

sebanyak 510 tas.

II. Tahapan dalam Pemodelan Matematika

Formulasi

1. Menyatakan pertanyaan

Berapa jumlah kendaraan tipe A dan tipe B yang harus dibeli agar perusahaan dapat

memaksimumkan penghematan biaya?

2. Identifikasi faktor yang relevan

Faktor-faktor yang mempengaruhi dalam kasus ini:

- Jenis Kendaraan

- Harga Kendaraan

- Jumlah sepatu dan tas yang akan dikirim

ASUMSI I : Banyaknya jenis kendaraan yang akan dibeli adalah nonnegatif

3. Deskripsi matematika

Kasus ini merupakan masalah pemrograman linier. Metode yang digunakan untuk

menyelesaikan kasus ini adalah metode simpleks.

Bentuk umum masalah pemrograman linier [2]

a. Dalam bentuk skalar

min ∑ 𝑐𝑗𝑥𝑗

𝑛

𝑗=1

𝑠. 𝑡 ∑ 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 ≥ 𝑏𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑚

𝑛

𝑗=1

(1)

𝑥𝑗 ≥ 0 , 𝑗 = 1, … , 𝑛

dimana

Fungsi objektif yang akan diminimumkan 𝑧 = min ∑ 𝑐𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1 .

Koefisien 𝑐𝑗, ∀𝑗 = 1, … , 𝑛 dikenal sebagai koefisien biaya.

Variabel keputusan yang akan ditentukan adalah 𝑥𝑗 untuk 𝑗 = 1, … , 𝑛

Pertidaksamaan ∑ 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 ≥ 𝑏𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑚𝑛𝑗=1 merupakan fungsi kendala ke-𝑖.

Koefisien 𝑎𝑖𝑗, 𝑖 = 1, … , 𝑚 , 𝑗 = 1, … , 𝑛 disebut koefisien teknologi.

Kendala 𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1, … , 𝑛 disebut kendala nonnegatif.

b. Dalam bentuk matriks

min 𝑐𝑇𝑥

𝑠. 𝑡 𝐴𝑥 ≥ 𝑏

𝑥 ≥ 0 (2)

dimana

𝑥 = [

𝑥1

𝑥2

⋮𝑥𝑛

] , 𝑏 = [

𝑏1

𝑏2

⋮𝑏𝑛

] , 𝑐 = [

𝑐1

𝑐2

⋮𝑐𝑛

] , 𝐴 = [

𝑎11 … 𝑎1𝑛

⋮ ⋱ ⋮𝑎𝑚1 … 𝑎𝑚𝑛

]

dan tanda superscript 𝑇 digunakan untuk mengindikasikan transpose dari vector kolom 𝑐.

Bentuk standar PL memenuhi :

a. Fungsi objektif merupakan fungsi minimasi.

b. Semua fungsi kendala merupakan fungsi kesamaan dengan tanda (=).

c. Semua variabel keputusan bernilai nonnegatif.

Bentuk standar PL :

min 𝑐𝑇𝑥

𝑠. 𝑡 𝐴𝑥 = 𝑏

𝑥 ≥ 0 (3)

Bentuk kanonik PL :

min 𝑐𝑇𝑥

𝑠. 𝑡 𝐴𝑥 ≥ 𝑏

𝑥 ≥ 0 (4)

Konsep metode simpleks [2]

a. Metode simpleks memberikan algoritma untuk memeriksa solusi fisible basis, dimana

jika suatu solusi tidak optimal, maka metode ini akan mencari kemungkinan solusi

selanjutnya pada solusi fisible basis terdekat yang bernilai lebih rendah atau sama

dengan 𝑓.

b. Proses ini diulang sampai sejumlah terbatas tahap dimana solusi optimal ditemukan.

Ketentuan metode simpleks [3]

1. Nilai kanan fungsi tujuan harus nol.

2. Nilai kanan fungsi kendala harus positif. Apabila negatif, nilai tersebut harus dikali

dengan -1.

3. Fungsi kendala dengan tanda " ≤ " harus diubah ke bentuk “=” dengan menambahkan

variable slack.

4. Fungsi kendala dengan tanda " ≥ " diubah ke bentuk " ≤ " dengan cara mengalikan

dengan -1, lalu diubah ke bentuk “=” dengan ditambah variabel slack. Kemudian karena

nilai kanannya negatif, dikalikan lagi dengan -1 dan ditambah variabel artifisial (𝑎).

5. Fungsi kendala dengan tanda “=” harus ditambahkan variabel artifisial.

Mencari solusi optimal pada metode simpleks [2]

Langkah 1 : tentukan kolom s sehingga �̂�𝑠 = min 𝑐𝑖

Langkah 2 : periksa apakah �̂�𝑠 < 0?

1. Jika tidak, maka solusi optimal, prosedur dihentikan.

2. Jika ya, lanjutkan ke langkah 3.

Langkah 3 : periksa apakah �̂�𝑖𝑠 ≤ 0, ∀𝑖 ?

1. Jika ya, maka solusi tidak terbatas, prosedur dihentikan.

2. Jika tidak, lanjutkan ke langkah 4.

Langkah 4 : tentukan rasio �̂�𝑖

�̂�𝑖𝑠 untuk �̂�𝑖𝑠 ≥ 0.

Langkah 5 : tentukan baris 𝑟 sehingga berlaku

�̂�𝑟

�̂�𝑟𝑠= min

�̂�𝑖𝑠>0

�̂�𝑖

�̂�𝑖𝑠

Langkah 6 : diperoleh bentuk kanonik baru yang memuat fungsi objektif dengan

operasi pivot pada �̂�𝑟𝑠. Kembali ke langkah 1.

Gambar 1. Tabel Simpleks

Manipulasi Matematika

Variabel Keputusan :

𝑥1= jumlah kendaraan Tipe A

𝑥2= jumlah kendaraan Tipe B

𝑚𝑎𝑥 1000𝑥1 + 700𝑥2

𝑠𝑡 100𝑥1 + 50𝑥2 ≤ 2425

20𝑥2 ≤ 510

𝑥1, 𝑥2 ≥ 0 𝑑𝑎𝑛 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑒𝑟 (5)

Penyelesaian metode simpleks menggunakan software Maple 15.

>

> > >

>

>

>

x1 = 23/2

x2 = 51/2

f = 29350

Didapat 𝑥1 =23

2 , 𝑥2 =

51

2, 𝑑𝑎𝑛 𝑓 = 29350.

Evaluasi

Solusi model (5) tidak sesuai dengan kenyataan permasalahan yang ada karena solusi yang

diperoleh dalam bentuk fraksional dan secara logika bilangan fraksional tidak sesuai untuk

menyatakan jumlah kendaraan A dan B yang harus dibeli. Sehingga dilakukan reformulasi.

Reformulasi

Menggunakan Metode Branch and Bound for Mixed Integer.

Algoritma MIP (Mixed Integer Programming) [1]

Initialization.Set 𝑍∗ = ∞. Kemudian akan digunakan tahapan pembatasan, fathoming atau

pemotongan jalur, dan uji optimalitas. Jika tidak dilakukan fathoming, klasifikasikan masalah

ini sebagai satu dari subproblem selanjutnya untuk satu iterasi pertama secara utuh.

Langkah setiap iterasi:

a. Branching. Diantara supbroblem tersisa yang belum difathom, pilih salah satu yang

merupakan supbrolem terbaru, pilih berdasarkan nilai batas yang lebih besar. Diantara

variable yang dibatasi sebagai variable integer namun belum memiliki solusi integer

pada setiap subprobelem, pilih variable pertama dalam urutan alamiah sebagai variable

yang akan dibranching. Dimisalkan 𝑥𝑗 merupakan variable tersebut dengan 𝑥𝑗∗ adalah

nilai pada solusi ini, kemudaian cabangkan titik dari subproblem ini dengan membuat

2 subproblem baru dengan menambahkan fungsi kendala secara berurutan, yaitu.

𝑥𝑗 ≤ ⌊𝑥𝑗∗⌋

𝑑𝑎𝑛

𝑥𝑗 ≥ ⌊𝑥𝑗∗⌋ + 1

b. Bounding.Untuk setiap subproblem, perolehlan nilai batasnya dengan menggunakan

Metode Simpleks atau Dual Simpleks pada masalah Linear Programming dan gunakan

nilai Z sebagai hasil dari solusi optimal.

c. Fathoming.Untuk setiap subproblem yang baru, gunakan uji fathoming berikut.

i. F(1) : Jika nilai batasnya ≤ 𝑍∗, dengan 𝑍∗adalah nilai Z pada incumbent

sekarang.

ii. F(2) : Jika Linear Programming memiliki solusi infisible

iii. F(3) : Jika solusi optimalnya memiliki solusi integer untuk variable yang

dibatasi integer sehinga apabila solusi yang diperoleh ini lebih baik dari solusi

incumbent, maka solusi ini menjadi incumbent baru dan F(1) diujikan kembali

pada seluruh subproblem yang belum difathom dengan nilai 𝑍∗ yang lebih

besar.

d. Tes Optimal. Perhitungan dihentikan ketika tidak ada lagi subproblem yang tersisa dan

incumbent yang diperoleh sudah optimal.

ASUMSI II : Banyaknya jenis kendaraan yang akan dibeli adalah integer.

Manipulasi Matematika

Penyelesaian model (5) menggunakan metode Branch and Bound for mixed integer dengan

software Maple 15.

> >

> >

SUB PROBLEM 1

𝑚𝑎𝑥 1000𝑥1 + 700𝑥2

𝑠𝑡 100𝑥1 + 50𝑥2 ≤ 2425

20𝑥2 ≤ 510

𝑥1 ≤ 11 (6)

>

SUB PROBLEM 2

𝑚𝑎𝑥 1000𝑥1 + 700𝑥2

𝑠𝑡 100𝑥1 + 50𝑥2 ≤ 2425

20𝑥2 ≤ 510

𝑥1 ≥ 12 (7)

>

SUB PROBLEM 2.1

𝑚𝑎𝑥 1000𝑥1 + 700𝑥2

𝑠𝑡 100𝑥1 + 50𝑥2 ≤ 2425

20𝑥2 ≤ 510

𝑥1 ≥ 12

𝑥2 ≤ 24 (8)

>

SUB PROBLEM 2.2

𝑚𝑎𝑥 1000𝑥1 + 700𝑥2

𝑠𝑡 100𝑥1 + 50𝑥2 ≤ 2425

20𝑥2 ≤ 510

𝑥1 ≥ 12

𝑥2 ≥ 25 (9)

>

Error, (in Optimization:-LPSolve) no feasible solution found

SUB PROBLEM 2.1.1

𝑚𝑎𝑥 1000𝑥1 + 700𝑥2

𝑠𝑡 100𝑥1 + 50𝑥2 ≤ 2425

20𝑥2 ≤ 510

𝑥1 ≥ 12

𝑥2 ≤ 24

𝑥1 ≤ 12 (10)

>

SUB PROBLEM 2.1.2

𝑚𝑎𝑥 1000𝑥1 + 700𝑥2

𝑠𝑡 100𝑥1 + 50𝑥2 ≤ 2425

20𝑥2 ≤ 510

𝑥1 ≥ 12

𝑥2 ≤ 24

𝑥1 ≥ 13 (11)

>

SUB PROBLEM 1.1

𝑚𝑎𝑥 1000𝑥1 + 700𝑥2

𝑠𝑡 100𝑥1 + 50𝑥2 ≤ 2425

20𝑥2 ≤ 510

𝑥1 ≤ 11

𝑥2 ≤ 25 (12)

>

SUB PROBLEM 1.2

𝑚𝑎𝑥 1000𝑥1 + 700𝑥2

𝑠𝑡 100𝑥1 + 50𝑥2 ≤ 2425

20𝑥2 ≤ 510

𝑥1 ≤ 11

𝑥2 ≤ 26 (13)

>

Error, (in Optimization:-LPSolve) no feasible solution found

Jadi, dengan kendaraan tipe A sebanyak 12 buah dan kendaraan tipe B sebanyak 24 buah

perusahaan dapat menghemat sebanyak 28800 (x 1 dollar).

Evaluasi

Dengan menggunakan metode Branch and Bound for mix integer, model (5) menghasilkan solusi yang

integer, sehingga untuk menyelesaikan kasus ini lebih baik menggunakan metode Branch and Bound

for mix integer.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Chaerani, Diah. 2015. Modul Praktikum Mata Kuliah Optimisasi. Diktat kuliah. Program

Studi S1 Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran.

[2] Chaerani, Diah. 2011. Pemrograman Linier, Bahan Ajar. Diberikan di Jurusan

Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran.

[3] Wirdasari, Dian. Metode Simpleks dalam Program Linier. Jurnal Saintikom. Vol. 6, No.1,

Januari 2009, halaman 276-285.